matematicas financieras

MATEMATICAS MATEMATICAS FINANCIERASFINANCIERAS

EL VALOR DEL DINERO A EL VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPOTRAVÉS DEL TIEMPO

EL VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPOEL VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO

El factor tiempo juega un papel decisivo a la hora de fijar el valor de un capital. No es lo mismo disponer de $ 1 millón hoy que dentro de un No es lo mismo disponer de $ 1 millón hoy que dentro de un añoaño.

Muchos autores atribuyen como factor principal en el cambio del valor del dinero a través del tiempo a la tasa de interéstasa de interés, cuando en realidad esto no es más que el resultado de la interacción de otros factores como lo son: el costo de oportunidad y la inflaciónel costo de oportunidad y la inflación.

Costo de oportunidadCosto de oportunidad: sacrificio en el que se incurre al tomar una decisión. El dinero puede ser destinado a distintas actividades: puede ser gastado, invertido, o simplemente guardado en el bolsillo.

Todas estas opciones representan costos de oportunidad. Dichos costos de oportunidad influyen en el valor del dinero a través de la implementación de determinada tasa de interés.

Tasa de InterésTasa de Interés: se define como el pago realizado por el alquiler del dinero recibido en préstamo, es el precio del dineroprecio del dinero.

El tipo de interés es un factor que influye en la demanda de dinero, ya que dependiendo de la tasa de interés vigente, se incita a la gente a ahorrar, invertir o gastar dinero.

InflaciónInflación: es un proceso en que los precios de una economía crecen a lo largo del tiempo de forma contínua y generalizada debido a muchos factores: incremento de la masa monetaria, pérdida de valor de la moneda local, gasto público crece por encima de la generación de recursos, la demanda de productos y servicios crece por encima de la oferta, flujo de efectivo internacionales.

Por lo tanto, $1 millón en el momento actual será equivalente a $1 millón más una cantidad adicional dentro de un año. Esta cantidad adicional refleja el costo de oportunidad del dinero y la compensación por la perdida de valor que sufre el dinero durante ese periodo.

Hay dos reglas básicas en matemáticas financieras:

Ante dos capitales de igual montodos capitales de igual monto en distintos momentos, se preferirá aquél que sea más cercano

Ante dos capitales en el mismo momento pero de distintodos capitales en el mismo momento pero de distinto montomonto, se preferirá aquel de monto más elevado.

Para poder comparar dos capitales en distintos instantes, hay que hallar el equivalente de los mismos en un mismo momentoun mismo momento, y para ello utilizaremos las formulas de matemática financieramatemática financiera.

Ejemplo: ¿Qué es preferible disponer de $ 2 millones dentro de 1 año o Ejemplo: ¿Qué es preferible disponer de $ 2 millones dentro de 1 año o de 4 millones dentro de 5 años?.de 4 millones dentro de 5 años?.

Para contestar a esta pregunta hay que calcular equivalentes de ambos montos en un mismo instanteun mismo instante.

Así, por ejemplo, si aplicando las leyes financiera resulta que el primer monto equivale a $ 1,5 millones en el momento actual, y el segundo equivale a $ 1,4 millones, veremos que es preferible elegir la primera opción.

Hemos calculado los importes equivalentes en el momento actual, pero podríamos haber elegido cualquier otro instante (dentro de 1 año, dentro de 5 años, etc), y la elección habría sido la misma.

MATEMATICAS FINANCIERASMATEMATICAS FINANCIERAS

La Matemática Financiera es una derivación de la La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia matemática aplicada que estudia el valor del dinero el valor del dinero en el tiempoen el tiempo, combinando el capital, la tasa y el , combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión. Llamada también análisis de decisiones de inversión. Llamada también análisis de inversiones, administración de inversiones o inversiones, administración de inversiones o ingeniería económica. ingeniería económica.

MATEMATICAS FINANCIERASMATEMATICAS FINANCIERAS

Variables financieras:Capital PTiempo tTasa iInterés ICuota RMonto (Valor Futuro) M (S)Valor Presente P (A)

TiempoTiempo

2211 33 44 55

Valor Valor futurofuturo

PP

00

FF = = ??

Diagramas de Tiempo ValorDiagramas de Tiempo Valor

TiempoTiempo 33 4422 1100

P=P=??

55

FF

ii

Valor Valor presentepresente

INTERES SIMPLEINTERES SIMPLE

Es aquel interes que se genera sobre un capital que permanece constante en el tiempo.


Formula general de la tasa de interés:

i = I / P

Si condicionamos esta formula a la expresión de unidades de tiempo se obtiene la siguiente ecuación:

I = P. i. t

Ejemplo

Encontrar el interés simple sobre US$ 1 000, para a) 30 días; b) 45 días; c) 80 días; d) 180 días. La tasa de interés anual es del 8%.

Solución:

I = P i tI = US$ 1 000 × 0,08 × (80 días/360 días) I = US$ 17,78


Clasificación del interés simple

Interés simple comercial:

360 días al año, 180 días al semestre, 90 días al trimestre, 30 días al mes

Interés simple exacto:

365 días al año

Tabla o calculadora para las demás equivalencias


Valor futuro a interés simpleValor futuro a interés simple

Tambien conocido como montomonto. Se deduce de lasuma entre el capital y los intereses que se generandurante determinado período de tiempo

M = S = P + IM = S = P + ( P. i. t ), luego por factorización

M = S = P ( 1 + i . t )M = S = P ( 1 + i . t )

Ejemplo de Valor futuro simple

Una institución crediticia otorga un préstamo de $49,312.50 a una tasa de interés simple de 16% anual. ¿Cuál será el monto de ese préstamo, después de 5 meses?

$ 49 312.50

0 21 3 4 5 MesesTiempo

¿Valor?

Valor FuturoDATOSTasa de interes 16 %Valor presente 49312.5Tiempo 5 meses

F=P(1+ni)

Sustitución F= 49312.50*(1+0.16*5/12)

Valor Futuro 52,600.00$

49,312.50$

021 3 4

5 Meses

Tiempo

$ 52, 600

Monto que pagará dentro de 5 meses

El valor actual o presente de una suma, que vence en fecha El valor actual o presente de una suma, que vence en fecha futura, es aquel capital que, a una tasa dada y en el período futura, es aquel capital que, a una tasa dada y en el período comprendido hasta la fecha de vencimiento, alcanzará un comprendido hasta la fecha de vencimiento, alcanzará un monto igual a la suma debida.monto igual a la suma debida.

Valor Presente SimpleValor Presente Simple

S=P(1+in)

P= S 1+in)

De la fórmula de monto simple despejamos P para De la fórmula de monto simple despejamos P para obtener el valor presente simpleobtener el valor presente simple

Ejemplo de Valor presente simple

Un miroempresario desea innovar su equipo de trabajo y recurre a una institución crediticia, que le cobra el 16% de interés simple, ¿Qué cantidad le prestaron si tendrá que pagar $52,600 dentro de 5 meses?

$52,600$52,600

0 21 3 4 5 Meses5 MesesTiempoTiempo

¿Valor?¿Valor?

Valor PresenteDATOSTasa de interes 16 %Valor futuro 52600Tiempo 5 meses

P=F/(1+ni)

Sustitución P= 52600/(1+0.16*5/12)

Valor presente 49,312.50$ 49,312.50$

49,312.50$ $52,600

0 21 3 4 5 Meses

Tiempo

¡Esta es la cantidad que le prestaron!

INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTO

Concepto:Es el interés que se genera sobre intereses.Los intereses que se generan en el primer periodo de capitalización se convierten en capital para generar mas intereses para el segundo periodo de capitalización y así sucesivamente.


Comparativo entre el interés simple y el interés compuesto

Capital 100.000$ Tasa 10% AnualTiempo 5 Años

Periodo Diferenciaen años Monto Interes Int. Acumul. Monto Interes Int. Acumul. en intereses

0 0 0 0 0 01 110.000 10.000 10.000 110.000 10.000 10.000 02 120.000 10.000 20.000 121.000 11.000 21.000 1.0003 130.000 10.000 30.000 133.100 12.100 33.100 3.1004 140.000 10.000 40.000 146.410 13.310 46.410 6.4105 150.000 10.000 50.000 161.051 14.641 61.051 11.051

Interés simple Interés compuesto

Deducción del Deducción del Valor Futuro (Valor Futuro (montomonto)) compuesto con compuesto con pago simplepago simple

AñoAño Cantidad a principio de añoCantidad a principio de año Interés ganado durante el añoInterés ganado durante el año Suma a ser pagada a fin de añoSuma a ser pagada a fin de año

11 PP P × iP × i P + P × i = P × (1+i)P + P × i = P × (1+i)

22 P × (1 + i)P × (1 + i) P × (1+i) × iP × (1+i) × i P × (1+i) + P × (1+i) × i = P × (1+i)P × (1+i) + P × (1+i) × i = P × (1+i)22

33 P × (1 + i)P × (1 + i)22 P × (1+i)P × (1+i)22 × x × x P × (1+i)P × (1+i)22 + P × (1+i) + P × (1+i)22 × i = P × (1+i) × i = P × (1+i)33

.. .. .. ..

.. .. .. ..

.. .. .. ..

nn P × (1 + i)P × (1 + i)n-1n-1 P × (1+i)P × (1+i)n-1n-1 × i × i P × (1+i)P × (1+i)n-1n-1 + P × (1+i) + P × (1+i)n-1n-1 × i = P × (1+i) × i = P × (1+i)nn


Formula GeneralFormula General

Valor Futuro (Valor Futuro (MontoMonto)) S = P (1 + i )S = P (1 + i )nn

0 1 2 3..................................n

P S=?

J

Ejemplos :

Valor futuro (S)Valor futuro (S)

a) Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año?

Año 0: 1.000Año 1: 1.000 * (1+0,12) = 1.120Año 2: 1.120 * (1+0,12) = 1.254Año 3: 1.254 * (1+0,12) = 1.405

S= 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405

Alternativamente:


Valor PresenteValor PresentePP == SS______

(1 + i )(1 + i )nn

P = ? S

J

0 1 2 3..................................n

b) Si en cuatro años más necesito tener $ 3.300 y la tasa de interés anual es de 15% capitalizada anualmente. ¿Cuál es el monto que requiero depositar hoy para lograr la meta?

Año 4: 3.300Año 3: 3.300 / (1+0,15) = 2.869,6Año 2: 2.869,6 / (1+0,15) = 2.495,3Año 1: 2.495,3 / (1+0,15) = 2.169,8Año 0: 2.169,8 / (1+0,15) = 1.886,8

A= 3.300 / (1+0,15)4 = 1.000 / 1,749 = 1.886,8

Alternativamente:

Valor Presente Valor Presente (A)(A)

TASA NOMINALTASA NOMINAL (J): (J):La tasa nominal es aquella que supuestamente se esta pagando o La tasa nominal es aquella que supuestamente se esta pagando o cobrando por un dinero prestado o invertido según sea el caso.cobrando por un dinero prestado o invertido según sea el caso.

TASA PERIODICATASA PERIODICA (i): (i):Es aquella tasa que se aplica cuando la tasa nominal esta Es aquella tasa que se aplica cuando la tasa nominal esta expresada en términos anuales y los de Capitalización son distintos expresada en términos anuales y los de Capitalización son distintos a un año.a un año.

i = J/ mi = J/ m Donde: m es el numero de Capitalizaciones en un año. Donde: m es el numero de Capitalizaciones en un año.

TASA EFECTIVATASA EFECTIVA (r): (r): Es el interés que realmente se esta pagando o cobrando por un Es el interés que realmente se esta pagando o cobrando por un dinero prestado o invertido cuando el periodo de Capitalización es dinero prestado o invertido cuando el periodo de Capitalización es distinta a un año.distinta a un año.

r = (1 + i )r = (1 + i )mm -1 -1

Caso especial

c) Si los $1.000 de hoy equivalen a $1.643 al final del año 3. ¿Cuál será la tasa de interés anual relevante?

...continuación

S= 1.000 * (1+r)3 = 1.643(1+r)3 = 1,64(1+r) =

(1,64)1/3

1+r = 1,18 r = 0,18

AnualidadesAnualidades

Una Anualidad es Una Anualidad es una serie de pagos, por lo general iguales, efectuados a intervalos iguales de tiempo..

Son ejemplos de anualidad el pago mensual de la renta Son ejemplos de anualidad el pago mensual de la renta de la casa, los pagos mensuales hechos a la tarjeta de de la casa, los pagos mensuales hechos a la tarjeta de crédito, el pago mensual por el servicio del servicio de crédito, el pago mensual por el servicio del servicio de cable.cable.

0 1 2 3................................................. n

RR

J

El intervalo de tiempo entre dos pagos sucesivos se El intervalo de tiempo entre dos pagos sucesivos se llama llama periodo de rentaperiodo de renta. Puede ser anual, semestral, . Puede ser anual, semestral, mensual, etcétera. mensual, etcétera.

El intervalo de tiempo que transcurre entre el comienzo El intervalo de tiempo que transcurre entre el comienzo del primer periodo de renta y el final del último periodo del primer periodo de renta y el final del último periodo se llama se llama plazo de una anualidadplazo de una anualidad..

Las anualidades se pueden dividir en tres clases de Las anualidades se pueden dividir en tres clases de acuerdo al tiempo en que el pago tiene lugar : acuerdo al tiempo en que el pago tiene lugar : VencidasVencidas ( u Ordinarias) , ( u Ordinarias) , AnticipadasAnticipadas,, DiferidasDiferidas y y PerpetuasPerpetuas. .

En las primeras los pagos se efectúan al En las primeras los pagos se efectúan al fin del fin del periodo de rentaperiodo de renta. .

Las Anticipadas al Las Anticipadas al principio del periodoprincipio del periodo , , las diferidas las diferidas son aquellas en la cual se son aquellas en la cual se aplazan los pagos por un aplazan los pagos por un cierto tiempocierto tiempo y las perpetuas los pagos son los pagos son perpetuosperpetuos..

Anualidades Vencidas u OrdinariasAnualidades Vencidas u Ordinarias

Considere un flujo (R) (anualidad) por montos iguales que se paga al final de todos los años por un período de tiempo n a una tasa i:

0 1 2 3 n-1 n

R R R R R

Año:

FlujosActualizados:

R

(1+r) R

(1+r)2

R

(1+r)3

R

(1+r)n-1

R

(1+r)n

El Valor ActualValor Actual (A) de esa anualidad (R) que implica la suma de todos esos flujos actualizados al momento 0actualizados al momento 0 se define como:

ii

RAn )1(1

*

Como contrapartida al valor actual de un flujo se tiene:Como contrapartida al valor actual de un flujo se tiene:

El El Valor FinalValor Final (S) de una anualidad (R) que implica la (S) de una anualidad (R) que implica la suma de todos esos flujos llevados al periodo n y se suma de todos esos flujos llevados al periodo n y se define como:define como:

ii

RSn 1)1(

*

iiS

R n 1)1(

ii

AR n

)1(1

El cálculo del pago regular (R)

Ejercicios para hacer en claseEjercicios para hacer en clase::

1. ¿A que tasa nominal capitalizada anualmente un capital dobla en 10 años? 1. ¿A que tasa nominal capitalizada anualmente un capital dobla en 10 años? Resp. I = 7.18%Resp. I = 7.18%

2. Encontrar el capital obtenido depositando, al final de cada trimestre, la suma de $ 2. Encontrar el capital obtenido depositando, al final de cada trimestre, la suma de $ 400 a J = 16% C.T., durante 10 años. 400 a J = 16% C.T., durante 10 años. Resp. S = $ 38,010.21Resp. S = $ 38,010.21

3. Usted puede invertir su dinero a una J = 10% C.A., y usted quiere recibir $ 100 al final de cada año, durante 3 años. Determine el monto que hay que invertir hoy. Resp. A = $ 248.69Resp. A = $ 248.69

4. Una persona contrae una deuda de $ 500,000 para ser cancelada mediante pagos semestrales durante 2.5 años, Calcular el valor del pago semestral, suponiendo J = 28% C.S. Elaborar la tabla de amortización. Resp. R = $ 145,641.77Resp. R = $ 145,641.77

5. Una persona compra un carro en $ 1.8 millones. Si le exigen una cuota inicial del 40% y el saldo lo va a cancelar en 24 cuotas mensuales vencidas, ¿a cuanto ascendería la cuota suponiendo J = 36% C.M. Resp. R = $ 63,771.21Resp. R = $ 63,771.21

6. Calcular el valor al contado de una mercancía que es comprada mediante 8 pagos mensuales al final de cada mes de $ 3,000 y un pago final del $ 10,000 al final de un año (12 avo. mes). Suponer J = 33% C.M. Resp. A = $ 28,504.29Resp. A = $ 28,504.29

PerpetuidadPerpetuidad

Considérese un flujo (R) (anualidad) por montos iguales Considérese un flujo (R) (anualidad) por montos iguales que se paga a perpetuidad.que se paga a perpetuidad.

Perpetuidad corresponde a un periodo de tiempo lo Perpetuidad corresponde a un periodo de tiempo lo suficientemente grande para considerar los flujos suficientemente grande para considerar los flujos finales como poco relevantes dado que al descontarlos finales como poco relevantes dado que al descontarlos al año 0 son insignificantes.al año 0 son insignificantes.

El Valor actual de esa anualidad se define como:El Valor actual de esa anualidad se define como:

iR

A

Ejemplo perpetuidadEjemplo perpetuidad:

Suponga usted es de esos afortunados que decide jubilar a los 50 años y recibirá una renta vitalicia de $50.000 mensualesHasta que muera. La tasa de interés periodica es de 1% mensual y la empresa quele dará la renta supone una “larga vida” para usted (suponenpodría llegar a los 90, o tal vez 95 o porqué no 100 años).¿ Cuál es el valor actual del fondo que la empresa debe tenerpara poder cubrir dicha obligación?

000.000.501,0000.50 A

En rigor, usando la fórmula de valor actual de una anualidad (no perpetua) se tendría:Si vive 90 años: VA=$ 4.957.858Si vive 95 años: VA=$ 4.976.803Si vive 100 años: VA=$ 4.987.231

Todos muy cercanos a $5 millones

Anualidades DiferidasAnualidades Diferidas

Una anualidad diferida es aquella cuyo plazo comienza hasta después de Una anualidad diferida es aquella cuyo plazo comienza hasta después de transcurrido un cierto intervalo de tiempo desde el momento en que la transcurrido un cierto intervalo de tiempo desde el momento en que la operación quedó formalizada. Este momento recibe el nombre de operación quedó formalizada. Este momento recibe el nombre de momento inicialmomento inicial. El intervalo de tiempo que transcurre entre el momento . El intervalo de tiempo que transcurre entre el momento inicial y el inicio del periodo de pagos se llama inicial y el inicio del periodo de pagos se llama periodo de graciaperiodo de gracia. .

Este periodo se mide utilizando como unidad de tiempo el Este periodo se mide utilizando como unidad de tiempo el corcorrrespondiente a los periodos de pago. Mientras transcurre el periodo espondiente a los periodos de pago. Mientras transcurre el periodo de gracia se pueden verificar dos situaciones :de gracia se pueden verificar dos situaciones :

1. Que al final de cada periodo se paguen los intereses del capital 1. Que al final de cada periodo se paguen los intereses del capital original. En este caso se dice que hay servicio de intereses.original. En este caso se dice que hay servicio de intereses.El capital permanece constante durante todo el periodo de gracia; de tal El capital permanece constante durante todo el periodo de gracia; de tal manera que el capital al comienzo del plazo es igual al capital original.manera que el capital al comienzo del plazo es igual al capital original.

2. Que los intereses generados se capitalicen en cada periodo, dentro del 2. Que los intereses generados se capitalicen en cada periodo, dentro del periodo de gracia.periodo de gracia.En este caso, el valor del capital al comienzo del plazo será o igual al En este caso, el valor del capital al comienzo del plazo será o igual al capital original más los intereses capitalizados.capital original más los intereses capitalizados.

EjercicioEjercicio

¿Cuál es el valor actual de una serie de 8 pagos ¿Cuál es el valor actual de una serie de 8 pagos anuales de $ 200 comenzandoal inicio del 4to. Año, si anuales de $ 200 comenzandoal inicio del 4to. Año, si la tasa efectiva anual es de 10%? la tasa efectiva anual es de 10%? Resp. A = $ 801.64Resp. A = $ 801.64

Construcción de una tabla de Construcción de una tabla de amortización deamortización de deudasdeudas

Una tabla de amortización de deudas es una descripción detallada de la evolución de la deuda desde el momento inicial del crédito hasta que es pagado por completo.

La descripción incluye el pago regular y su descomposición en interesesintereses y amortización del amortización del principalprincipal.

EjercicioEjercicio::

Se vende una casa en $ 2,000,000 a pagar la mitad al Se vende una casa en $ 2,000,000 a pagar la mitad al contado y el resto en cinco abonos anuales vencidos de contado y el resto en cinco abonos anuales vencidos de igual valor. La tasa de interés aplicable es del 8% anual.igual valor. La tasa de interés aplicable es del 8% anual.

Usamos la fórmula de anualidades vencidas para obtener Usamos la fórmula de anualidades vencidas para obtener el valor de los cinco pago que se debenel valor de los cinco pago que se debenrealizar para amortizar el préstamo. La fórmula es:realizar para amortizar el préstamo. La fórmula es:

ii

AR n

)1(1

Aplicando los valores del problema:Aplicando los valores del problema:

08.0)08.01(1

000,000,15

R =250,456.45

Cinco pagos anuales de $ 250,456.455 liquidan por completo el crédito.

Construimos la tabla de amortización.Construimos la tabla de amortización.

Saldo de la deuda inicial: es el valor de la deuda que falta por pagar al inicio del año indicado en la primera columna.

Pago anual: es la cantidad de dinero que se abona al final del año correspondiente para liquidar el crédito. Se calculó con la fórmula indicada.

Intereses: es igual al Saldo de la deuda inicial x tasa de interés

Amortización de Capital: es igual al pago anual menos intereses.

Saldo de la deuda final: es igual al saldo de la deuda inicial - amortización de capital. El saldo de la deuda final de un año es igual al saldo de la deuda inicial del año siguiente.

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