matematicas financieras

Matematicas financieras

Matematicas financieras

Sacar la inflacin de Banco de Mxico

Matematicas financieras -

1. Matemticas Financieras Agosto- de 2011.

2. Objetivo General

Proporcionar los temas fundamentales de las matemticas financieras, a partir del concepto de Valor de Dinero en el Tiempo y sus derivaciones, como marco de referencia para la solucin de problemas en la operacin y evaluacin de los instrumentos de inversin, deuda y cobertura que se operan en los mercados financieros.

3. Contenido

Conceptos Bsicos

Inters Simple

Inters Compuesto

Tasas equivalentes, efectivas y nominales

Inflacin

Tcnicas de evaluacin de proyectos de inversin

Anualidades y Perpetuidades

Amortizacin

4. Captulo 1 CONCEPTOS BSICOS

5. Conceptos Bsicos

Matemticas Financieras

Son una rama de las matemticas que explica el comportamiento del dinero a travs del tiempo.

Es una herramienta bsica para la toma de decisiones de tipo social, econmico y financiero

Captulo 1. Conceptos Bsicos

6. Captulo 1. Conceptos Bsicos CAMPO DE APLICACIN Yasukawa (2000) Tasa instantnea de descuento Anlisis en contextos inflacionarios Valor Actual en el campo continuo Emisin de emprstitos Descuentos de tasas Valuacin de deudas Procesos de Actualizacin Problemas relativos a la tasa de inters Tasa instantnea de inters Monto en el campo continuo Sistemas de amortizaciones Tasas y sus relaciones Amortizaciones de valores o extincin de deudas Procesos de Capitalizacin a Inters Simple y Compuesto APLICACIONES FUNDAMENTOS

Valor del Dinero en el tiempo

Aqu es importante familiarizarse con 2 elementos:

Dinero

Tiempo

Estos dos factores estn estrechamente relacionados debido a que el valor del dinero depender del momento en que lo utilicemos.


Ejemplo:

Si recibimos una cierta cantidad de dinero el da de hoy, probablemente nos sera ms til a que si nos la entregaran en dos meses

Ahora si decidimos no utilizar el dinero en este momento estamos sacrificando un beneficio presente por uno futuro

Este sacrificio debe ser compensado por una ganancia adicional .

Esta ganancia es la tasa de inters que no es ms que el pago por el uso del dinero


La tasa de inters depender de la oferta y la demanda

Si hay escasez de dinero el precio ser alto y por tanto la tasa de inters ser alta

Si hay abundancia de dinero el precio bajar y las tasas tambin

TASA DE INTERS Caractersticas Captulo 1. Conceptos Bsicos

Costo del Dinero

Acreedor

Ahorrador o inversionista

Sacrifica el gasto presente

Dispone exceso de recursos en un ahorro o inversin

Recibe un rendimiento sobre sus ingresos

Deudor

Persona con necesidades financieras

Acude a Instituciones financieras para allegarse de recursos

Captulo 1. Conceptos Bsicos El costo del dinero depende del papel que se asuma en alguna operacin financiera, es decir acreedor o deudor

Tasas de inters

Tasa Activa

Activo de la Institucin Financiera

El deudor pagar por hacer uso del dinero prestado

Tasa Pasiva

Pasivo de la Institucin Financiera

La institucin financiera ofrece al acreedor a cambio de resguardar el dinero por un determinado tiempo


7. Costo del dinero Captulo 1. Conceptos Bsicos Ahorrador Institucin Financiera (Banco) Deudor RENDIMIENTO (Tasa de inters pasiva) Exceso de dinero Falta de dinero COSTO DE CAPITAL (Tasa de inters activa)

8. RESUMEN

Conceptos:

Matemticas Financieras y aplicaciones

Valor del dinero en el tiempo

Tasa de inters

Costo del dinero

Acreedor

Deudor

Tasa Activa

Tasa Pasiva


9. Captulo 2 INTERS SIMPLE

10. INTERS SIMPLE Caractersticas

Rendimiento

Se cobrar o pagar (dependiendo la situacin) al final de un intervalo de tiempo

Utilizado en deudas a corto plazo (de un ao o menos).

Captulo 2. Inters Simple

11. Componentes Captulo 2. Inters Simple La tasa de inters y el plazo siempre deben de tener la misma base (Anual, mensual, bimestral, trimestral, etc. ) A menos que se aclare otra base, la tasa de inters se considera anual simple. Sigla Definicin Descripcin M Monto Capital ms intereses generados al final del intervalo de tiempo. C Capital Inicial Cantidad invertida, ahorrada o prestada al inicio del perodo I Inters Rendimiento generado al final del perodo procedente del Capital Inicial i Tasa de inters Relacin que se da entre el Inters y el Capital. Se expresa en porcentaje y representa el valor de una unidad monetaria en el tiempo. t Plazo Intervalo de tiempo que dura la operacin financiera. Existen dos criterios para la aplicacin del plazo, tomar como base Ao Comercial de 360 das o Ao Natural 365 das.

12. Funcionamiento Captulo 2. Inters Simple Capital Capital Inters Fecha inicial Fecha final Monto Plazo

13. Ejemplo

El Tesorero del Municipio A decide pedir un prstamo a una institucin bancaria por la cantidad de $200,000.00; acordando con el ejecutivo de cuenta que en perodo de dos meses le entregar al banco la cantidad de $215,000.00. Cul es el Inters as como la tasa pactada?

Se tienen los siguientes datos:

C = $200,000

M =$215,000

t = dos meses


De acuerdo a la definicin de Monto se tiene que:

M = C + I

Al sustituir los datos a la frmula se obtiene que:

215,000 = 200,000 + I

Entonces si se despeja la frmula,

I = $215,000 $200,000

I = $15,000


La tasa de inters , de acuerdo a la definicin, es la relacin que existe entre el Inters o Rendimiento generado y el Capital, por lo tanto:

i = I / C

Sustituyendo,

i = $15,000 / $200,000

i = 0.075 o bien expresado en porcentaje se multiplica por 100 y se obtiene 7.5%

Lo anterior indica que el prstamo contrado gener un inters del 7.5% en DOS MESES


Para convertirlo a una tasa anual se tomar como base el ao comercial:

i (anual) = i (del plazo) / T * 360

Sustituyendo,

i(anual) = 7.5% / 60 * 360

i(anual) = 45% anual

Conversin a Tasa Anual Captulo 2. Inters Simple

14. Comprobacin

Podemos obtener tambin el Inters a travs de la siguiente ecuacin:

I = C * i * t

Sustituyendo,

I = $200,000 * (7.5% / 60 das) * 60

(Recordando la aclaracin de que la base de la tasa de inters y el plazo, DEBE SER EL MISMO)

I = $15,000


15. VALOR FUTURO Caractersticas

El Valor Futuro es la suma del Capital e Intereses

Frmula:

M = C + I

Sustituimos I por,

I= C * i * t

Por tanto,

M = C + (C * i * t)

Factorizando,

M = C (1 + i * t)


16. Ejemplo

Al jefe del Departamento de Finanzas del Organismo de Agua Potable y Alcantarillado del Municipio H, se le pide abrir una cuenta bancaria para invertir los excedentes de recursos por los prximos dos aos

Investigando en diversas instituciones, la mejor tasa que le ofrecen es del 12% simple anual. Cunto obtendr al trmino del plazo por el remanente de $300,000?


Los datos proporcionados son:

C = $300,000

i = 12% 0.12

t = 2 aos

Sustituyendo

M = C (1 + i * t)

M = 300,000 ( 1 + 0.12 * 2 )

M = 300,000 ( 1 + 0.24 )

M= 300,000 ( 1.24 )

M= $372,000


17. Valor Presente Caractersticas

El Valor Presente o Actual se le denomina al Capital

Usos:

Conocer la cantidad de ahorro hoy para disponer en un futuro.

Ejemplo:Qu cantidad se tiene que ahorrar hoy para poder disponer de $150,000 en 10 aos?

En cuestiones econmicas hay necesidad de deflactar.


Frmula:

M = C (1 + i * t)

Despejando la ecuacin,

C = M / (1 + i * t)

Esta ecuacin sugiere que es descontado al Valor Futuro los intereses generados durante un determinado perodo de tiempo.


18. Ejemplo:

Una persona decide retirar el dinero de su Fondo de Ahorro porque desea adquirir un automvil nuevo.

Analizando la compra, se observ que el Primero de Marzo pag $90,000.00; sin embargo el Primero de Diciembre decide venderlo para pagar unas deudas. Afortunadamente, la persona pudo venderlo a un precio de $110,000.00

Si sabemos que la tasa de mercado es de 11%, Fue conveniente la operacin?.

(Para poder resolver este tipo de problema es necesario comparar el ingreso de $110,000 a la fecha del primero de marzo en condicione similares de mercado)


Por tanto:

C1 = $90,000

M = $110,000

i = 11% 0.11 anual simple

t = 9 meses 9/12 = 0.75

Sustituyendo los datos:

C2 = 110,000 / (1 + 0.11 * 0.75)

C2 = 110,000 / ( 1.0825 )

C2 = $101,617

Ahora bien la diferencia entre C2 y C1 es de $11,617.00 lo que significa que a la persona le convino haber adquirido el automvil y deshacerse de l 9 meses despus, que haber invertido su fondo en alguna institucin porque financieramente hubiera dejado de ganar dicha cantidad.


19. Resumen

Inters Simple y sus componentes

M = C + I

i (anual) = i (plazo) / T * 360

I = C * i * t

VF = C * (1 + i * t )

VP = M / (1 +i * t )


20. Captulo 3 INTERS COMPUESTO

21. Caractersticas

Es utilizado en operaciones donde el Inters se van capitalizando , es decir, terminando un lapso de tiempo, ste se aade al Capital y se reinvierte

Utilizando en operaciones con plazo mayores a un ao

Captulo 3. Inters Compuesto

22. Componentes Captulo 3. Inters Compuesto Sigla Definicin Descripcin M Monto Capital ms intereses generados al final del intervalo de tiempo. C Capital Inicial Cantidad invertida, ahorrada o prestada al inicio del perodo I Inters Rendimiento generado al final del perodo procedente del Capital Inicial i Tasa de inters Relacin que se da entre el Inters y el Capital. Se expresa en porcentaje y representa el valor de una unidad monetaria en el tiempo. Perodo de Capitalizacin Lapso de reinversin de intereses (Anual, semestral, trimestral, bimestral, etc.) Frecuencia de Conversin Nmero de veces que el inters se capitaliza durante un ao. t Plazo Intervalo de tiempo que dura la operacin financiera. Existen dos criterios para la aplicacin del plazo, tomar como base Ao Comercial de 360 das o Ao Natural 365 das.

23. Puntos a considerar

La tasa de inters y el plazo siempre deben de tener la misma base (Anual, mensual, bimestral, trimestral, etc. )

A menos que se aclare otra base, la tasa de inters se considera que su capitalizacin es anual.

La tasa de inters anual siempre debe convertirse de acuerdo al perodo de capitalizacin establecido.

El inters compuesto es mayor al inters simple.

A mayor frecuencia de conversin, mayor ser el inters que se obtenga siendo igual la tasa anual nominal.


24. Funcionamiento Captulo 3. Inters Compuesto Capital Intereses Fecha 0 Fecha 1 Monto 1 Capital Intereses Monto 2 Monto 1 Fecha 2 Perodo de capitalizacin 2 Frecuencia de Conversin = 2 Perodo de capitalizacin 1

Cul es la tasa de inters por perodo de:

60% anual capitalizable mensualmente?:

i = 60% anual / 12 meses = 5%

36% semestral capitalizable trimestralmente?:

i = 36% semestral / 2 trimestres = 18%

12% trimestral? : i = 12%

15% anual?: i = 15% anual / 1 ao = 15%

18% anual capitalizable semestralmente?:

i = 18% anual / 2 semestres = 9%

18% anual capitalizable mensualmente?:

i = 18% anual / 12 meses = 1.5%

6.5% mensual? : i = 6.5%

Ejercicios sobre Perodo de capitalizacin y frecuencia de conversin: Captulo 3. Inters Compuesto

Cul es la frecuencia de conversin?:

60% anual capitalizable mensualmente?: 12 veces en 1 ao

36% semestral capitalizable trimestralmente?: 2 veces en 1 semestre

12% trimestral? : 4 veces en 1 ao

15% anual?: 1 vez en un ao

18% anual capitalizable semestralmente?: 2 veces en 1 ao

18% anual capitalizable mensualmente?: 12 veces en 1 ao

6.5% mensual? 1 vez al 1 mes


25. Valor Futuro Caractersticas

Al Monto se le van adicionando los intereses generados por cada perodo de tiempo contemplando la tasa de inters capitalizada

Frmula:

M = C (1 + i * t)

En este caso t = 1, ya que es un perodo, por lo que:

M = C (1 + i )

Ahora (1 + i ) representa cada perodo de capitalizacin, por lo que el Capital se ver afectado por cada uno de los perodos que dure la operacin financiera es decir:


M = C (1 + i )* (1 + i ) *(1 + i )

(Para tres perodos de una operacin financiera)

Por lo que, esta sucesin de montos expresada como progresin geomtrica resulta:

M = C (1 + i)

n Captulo 3. Inters Compuesto C M3 1 + i 1 + i 1 + i M1 M2

26. Ejemplo

El jefe del rea administrativa de la tesorera del Municipio Z, ha recibido una visita de un ejecutivo de una Sociedad de Ahorro y Prstamo para que abra una cuenta de ahorro.Cunto recibir al trmino de dos aos?

Le ofrecen dos opciones:

Una cuenta a un plazo de 90 das con opcin a reinvertirse los intereses, a una tasa anual fija de 9%. Si el Jefe de Administracin tiene disponible $14,000.00;

Una cuenta a un plazo de dos meses reinvirtiendo los intereses, a una tasa fija de 8%.

Que pasara si decidiera retirar su dinero al trmino de 1 ao bajo la situacin del inciso a


27. Inciso a)

Los datos son:

C = 14,000

t = 2 aos

i = 9% anual capitalizable trimestralmente

En primer lugar es necesario convertir la tasa anual a trimestral:

i = 9% anual / 4 trimestres = 2.25% .0225

Ahora bien en 2 aos hay 8 trimestres, por lo tanto n = 8

Sustituyendo,

M = C (1 + i )

M = 14,000 ( 1 + .0225 )

M = 14,000 ( 1.194831 )

M = $16,727

n 8 Captulo 3. Inters Compuesto

28. Inciso b)

b) Una cuenta a un plazo de dos meses reinvirtiendo los intereses, a una tasa fija de 8%.

C = 14,000

t = 2 aos

i = 8% anual capitalizable bimestralmente.

Convirtiendo la tasa:

i = 8% anual / 6 bimestres = 1.33% 0.0133

n = 12

Sustituyendo,

M = 14,000 (1 + 0.0133)

M = 14,000 ( 1.111779)

M = $16,405.31

8 Captulo 3. Inters Compuesto

29. Inciso c)

c) Que pasara si decidiera retirar su dinero al trmino de 1 ao bajo la situacin del inciso a.

n = 4

Sustituyendo,

M = 14,000 ( 1 + 0.0225 )

M = 14,000 (1.093083 )

M = $15,303


30. VALOR PRESENTE Caractersticas

Es utilizado para determinar el Capital necesario para invertir actualmente , a una tasa determinada, para llegar a tener un Monto fijado.

Frmula:

M = C (1 + i )

C = M / (1 + i) C = M * (1 + i)

-n n n Captulo 3. Inters Compuesto

31. Ejemplo

Una persona necesita contar con $250,000 para terminar de pagar su casa en dos aos, por lo que decide acudir a una Operadora de Fondos de Inversin en donde le ofrecen un instrumento de inversin con una tasa de inters del 13% anual capitalizable semestralmente.

Si la tasa permanecer constante durante este perodo Con cuanto dinero deber de abrir su cuenta en la Operadora?


32. Ejemplo

Tenemos los datos:

M = $250,000

i = 13% anual capitalizable semestralmente

Obteniendo la tasa del perodo:

i = 13% anual / 2 semestres = 6.5% 0.065

n = 4

Sustituyendo,

C = 250,000 / (1 + 0.065 )

C = 250,000 / 1.286466

C = $194,330


33. Resumen

Inters compuesto y sus componentes

Perodo de capitalizacin

Frecuencia de conversin

VF = C * (1 + i )

VP = M / ( 1 + i ) VP = M * ( 1 + i )

n n -n Captulo 3. Inters Compuesto

34. Captulo 4

TASAS NOMINALES,

EFECTIVAS Y EQUIVALENTES

35. TASA NOMINAL

Tasa anual

Permanece constante durante la vigencia de la operacin financiera

INICIO FIN 15%

Ejemplos:

25% anual capitalizable bimestralmente

18% anual capitalizable trimestralmente

11% anual capitalizable semestralmente

5% anual

Captulo 4. Tasas

36. TASA EFECTIVA Perodo de capitalizacin (semestral) TASA NOMINAL ( 11 % anual ) + = Tasa nominal capitalizable al semestre 11% nominal anual capitalizable semestralmente 11% nominal anual ( Inters efectivamente generado durante un perodo )

37. TASA EQUIVALENTE

Dos tasas nominales anuales

con diferentes perodos de capitalizacin

sern equivalentes,

S

Generan los mismos intereses al final de un ao.

Captulo 4. Tasas

Inters

( 1 + i )

Inters ( 1 + j/m) j = tasa de inters anual nominal m = no. capitalizaciones al ao Tasa Equivalente TASA NOMINAL CAPITALIZABLE 1 VEZ AL AO TASA NOMINAL CAPITALIZABLE 2 MS VECES AL AO Captulo 4. Tasas m (1 + i ) = ( 1 + j / m )

Ejemplo:

Cul es la tasa efectiva de un instrumento financiero pactado a una tasa de 17% anual capitalizable mensualmente?

Despejando i :

m i = ( 1 + j / m ) - 1 i = ( 1 + 0.17 / 12) - 1 12 i = 1.183892 - 1 Captulo 4. Tasas m (1 + i ) = ( 1 + j / m )

i = 1.183892 - 1

i = 0.1838 18.38% Tasa nominal: 17 % anual Tasa efectiva de inters ganado : 18.38% Tasa equivalente a una tasa del 17% capitalizable mensualmente es 18.38% Si la persona decide invertir una cantidad de dinero a una tasa de inters de 17% reinvirtiendo los intereses cada 30 das, obtendr el mismo rendimiento si lo invierte a una tasa del 18.38% capitalizados anualmente. Captulo 4. Tasas

38. Resumen

Tasa Nominal

Tasa Efectiva

Tasa Equivalente

(1 + i ) = (1 + j / m)

m Captulo 4. Tasas

39. Captulo 5 INFLACIN

40. Qu es la Inflacin?

y por tanto,

la consiguiente prdida del poder de compra o poder adquisitivo de la moneda.

Aumento generalizado y sostenido de los precios de los bienes y servicios Captulo 5. Inflacin

41. Causas?

El aumento de emisin de circulante sin un aumento equivalente de la produccin de bienes y servicios.

Captulo 5. Inflacin Y Yo O P P Po E E1 OA DA DA

42. Cmo se mide? Se mide mediante el ndice Nacional de Precios al Consumidor (INPC), el cual es un indicador que mide el crecimiento promedio que sufren los precios de los bienes y servicios a travs del tiempo. Captulo 5. Inflacin

43. Cmo se calcula el INPC?

Actualmente el INPC se calcula a travs de un sistema de muestreo mediante el cual se recopilan 170,000 cotizaciones de productos especficos, que se agrupan en 313 conceptos genricos provenientes de 46 localidades agrupadas en siete regiones del pas.

Banco de Mxico Captulo 5. Inflacin

44. Caractersticas

FORMAS

DE

EXPRESION

PORCENTAJE (mensual, quincenal, trimestral) Ej. 2.4% INDICE (Respecto al ao base) Ej. 126.18028 Captulo 5. Inflacin

45. Efecto compuesto (progresin geomtrica)

Ejemplo:

( (Enero Marzo) = 5% + 2% + 3% = 10% ( (Enero Marzo) = 5% * 2% * 3% = 0.003% Captulo 5. Inflacin 31/ 01 /07 31/12/06 28/02/07 31/03/07 5% 2% 3%

46. Clculo de la Inflacin

= ndice del perodo actual

ndice del perodo anterior

- 1 * 100 **Su clculo es un incremento comn de valores Captulo 5. Inflacin

47. Ejemplos

1. S el ndice de precios a finales de Marzo de 2006 fue de 121.06816000 y a fin de Diciembre del mismo ao fue de 124.86924600, Cul fue la inflacin en el perodo de tiempo?

(inicial) = 121.06816000

(final) = 124.86924600

Sustituyendo la frmula:

(marzo diciembre ) = ( 124.86924600 / 121.06816000 ) -1 * 100

(marzo diciembre ) = 3.13%

Captulo 5. Inflacin

Si la inflacin mensual promedio durante seis meses ha sido del 1.2%, de cunto ser la acumulada en el semestre?

**Lo que sugiere este ejemplo es que se tendran que sumar la inflacin de cada mes para poder obtener la inflacin por el perodo o simplemente multiplicar 1.2% por 6.

Sin embargo, los valores inflacionarios se comportan como una progresin geomtrica como es el caso de la ecuacin de Valor Futuro con Inters Compuesto [ M = C (1 + i) ].

En consecuencia el clculo correcto es el siguiente:

n Captulo 5. Inflacin

48. Clculo:

( (semestre) = [ (1 + ( (mensual) ) - 1 ] * 100

Sustituyendo,

( (semestre) = ( 1. 012 ) - 1 * 100

( (semestre) = 7.41 %

n 6 Captulo 5. Inflacin

49. Resumen

Concepto de inflacin

Causas de la inflacin

Medicin de la inflacin (INPC)

Clculo del INPC

Formas de expresin de la inflacin

Efecto compuesto: [ M = C (1 + i) ].

Frmula:

( = ( ndice del perodo actual / ndice del perodo anterior -1 ) * 100

n Captulo 5. Inflacin

50. Captulo 6 TCNICAS DE VALUACIN DE PROYECTOS DE INVERSIN

51. Proyectos

Definicin:

Conjunto de acciones planificadas que al optimizar el uso de los recursos disponibles (humanos, materiales y tecnolgicos entre otros), minimiza los costos y maximiza los beneficios econmicos y sociales del entorno

Tipos:

Privados: busca la mejor opcin para el inversionista donde su dinero genere los mayores beneficios, tomando en cuenta el tiempo de recuperacin de la inversin y el nivel de riesgo

Sociales: + Complejo. Implica el analizar el impacto que tendr sobre el bienestar social de la comunidad.

Captulo 6. Proyectos de Inversin

52. Proyectos

Componentes:

Estudio de mercado

Estudio tcnico

Estudio financiero

Estudio administrativo

Aplicacin: Valor del dinero en el tiempo Captulo 6. Proyectos de Inversin

53. Medicin de la Rentabilidad

Si el valor actual de los ingresos o beneficios generados son mayores a los desembolsos = RENTABLE

Captulo 6. Proyectos de Inversin ($ 300,000 ) $ 200,000 $ 250,000 $ 150,000 $ 50,000 Desembolsos Beneficios Perodo 0 1 2 3 4

54. 1. VALOR PRESENTE NETO (VPN)

Tiene como base la ecuacin de Valor Presente con inters compuesto

Clculo similar al empleado en el valor actual de una inversin en bonos u obligaciones.

Los administradores calculan el valor actual descontado para evaluar los proyectos de operaciones dentro de la empresa y las posibles compras de otras empresas y proyectos

El valor presente neto es el valor actual de los flujos de caja netos menos la inversin inicial.


Frmula:

VA = C0 + M1 / (1 + i ) + M2 / (1 + i ) + M3 / (1 + i ) + M4 / (1 + i ) + + Mn / (1 + i )

Simplificado:

VA = Co + ( [ Mn / (1 + i ) ]

VA = Valor Actual de los flujos

Co = Capital inicial en el perodo cero.

M = Flujos positivos o negativos

i = tasa de inters cuyo rendimiento iguala el invertir la misma cantidad de dinero en otro instrumento financiero con menos riesgo. Es conocida tambin como tasa de descuento .

n = no. de perodo

1 2 3 4 n n 1 n Captulo 6. Proyectos de Inversin

55. Ejemplo

Co = $300,000

F1 = $50,000

F2 = $150,000

F3 = $250,000

F4= $200,000

t = 11% 0.11

Sustituyendo:

VA = - 300,000 + ( 50,000 / (1 + 0.11 ) + 150,000 / (1 + 0.11) + 250,000 / (1 + 0.11) + 200,000 ( 1 + 0.11 )

VA = - 300,000 + 45,045 + 121,743 + 182,797 + 131,746

VA = $181,331

3 2 1 4 Los ingresos futuros respaldan la inversin inicial ya que es mayor a cero, teniendo una ganancia adicional por $181,331.

56. 2. PERODO DE RECUPERACIN DE INVERSIN

Tambin denominado payback

Determina el tiempo necesario para que los flujos de caja netos positivos sean iguales al capital invertido.

Brinda un panorama cercano a la realidad para saber en que momento los beneficios igualan a los costos o se recupera la inversin

Razn de peso para dar preferencia a los de menor tiempo de recuperacin (en los pases donde la situacin poltica y econmica es muy inestable).


Se basa en la liquidez que pueda generar el proyecto y no realmente en la rentabilidad del mismo

Desventajas:

Slo considera los flujos de caja netos positivos durante el plazo de recuperacin y no considera estos flujos que se obtienen despus de este plazo

No toma en cuenta la diferencia que existe entre los vencimientos de los flujos de caja netos positivos.

2. PERODO DE RECUPERACIN DE INVERSIN (CONT.) Captulo 6. Proyectos de Inversin

Ejemplo:

Sumando los flujos positivos M1 + M2 resulta un monto acumulado de $166,788; siendo el remanente $133,212 a cubrirse durante el tercer perodo. Esto indica que si dividimos 133,212 / 182,746 resultar la porcin del tercer ao en que se recupera la inversin ( 0.73), por lo tanto tenemos que la inversin se recupera en 2.73 aos .


57. 3. TASA INTERNA DE RETORNO

El TIR es la tasa especfica de descuento para la cual los beneficios descontados igualan el desembolso inicial, es decir, el NPV= 0.

Es el costo mximo de Capital que puede respaldar un proyecto de inversin

Se compara con la tasa requerida de retorno (RRR) para este tipo de inversin. El RRR es la misma tasa de descuento que se utiliza para calcular el VPN. Se aprobar el proyecto de inversin cuando el TIR sea mayor que el RRR.


Frmula:

VA = Co + ( [ Mn / (1 + r ) ]

Donde,

r = TIR

i = tasa de descuento (de acuerdo a condiciones del mercado o el inversionista) que utilizar como punto de comparacin (RRR).

Si la TIR > i entonces la Inversin es recomendable

Si la TIR = i entonces la Inversin es indiferente y su eleccin depender de otros elementos

Si la TIR < i entonces la Inversin no es recomendable

n 1 n Captulo 6. Proyectos de Inversin

58. Clculo de TIR

Para la obtencin de la TIR, el procedimiento resulta un tanto complicado ya que se trata de un polinomio de grado n

Recomendable tener una calculadora financiera (ingresar flujos de efectivo)

Mtodo alternativo: brinda una aproximacin del valor real de la TIR y que se denomina: aproximaciones sucesivas . Dicho clculo se basa en la regla de prueba y error.


59. Ejemplo por el mtodo de aproximaciones sucesivas

TIR1 = 30%

TIR2 = 31%

TIR3 = 32%

Sustituyendo TIR1 = 30%:

VA1 = -300,000 + 38,461 + 88,757 + 113,791 + 70,025

VA1 = 11,034


VA2 = -300,000 + 38,167 + 87,407 + 111,205 + 67,911

VA2 = 4,690


VA3 = -300,000 + + 37,878 + 86,088 + 108,697 + 65,877

VA3 = -1,460

**La TIR se encuentra en el rango de 31 32%, cifra mayor a la tasa de descuento, por lo que la inversin es recomendable


60. 3. Relacin Costo - Beneficio

Este indicador buscar medir que tanto los beneficios o flujos positivos del proyecto superan los costos

La decisin de clasificar como rentable o no el proyecto depender slo si la relacin es mayor a 1

Frmula:

B/C = Valor Actual de los Beneficios

Valor Actual de los Desembolsos

> 1 Captulo 6. Proyectos de Inversin

61. Ejemplo

C0 = 300,000

M1 = 45,045

M2 = 121,743

M3 = 182,797

M4 = 131,746

t = 11% 0.11

B/C = (45,045 + 121,743 + 182,797 + 131,746) / 300,000

B/C = 481,331 / 300,000

B/C = 1.6

El resultado indica que por cada $1 invertido en el proyecto, se estn recuperando $1.6, por lo tanto se considera que el proyecto es rentable.


62. Resumen

Proyectos

Medicin de rentabilidad

VPN

Perodo de recuperacin de inversin

TIR

Relacin de Costo Beneficio


63. Captulo 7 ANUALIDADES Y PERPETUIDADES

64. Anualidades

Son una sucesin de pagos generalmente iguales realizados en intervalos iguales de tiempo

Los intervalos no son necesariamente aos, pueden ser: mensuales, bimestrales, quincenales, etc.

Ejemplos: sueldos quincenales, pagos mensuales por la renta de una casa, pagos mensuales a tarjetas de crdito, pagos anuales de primas de seguros, pagos mensuales de hipotecas

Intervalo de pago : tiempo que transcurre entre un pago y otro

Plazo : tiempo entre el primer y ltimo pago

Rentas de una anualidad: son los pagos peridicos por la vida de la anualidad.

65. Clasificacin de anualidades ANUALIDADES CIERTAS (Los plazos comienzan y terminan en fechas determinadas ) Se dividen de acuerdo al tiempo en: CONTIGENTES O EVENTUALES (El primer y/o el ltimo pago dependen de algn suceso, sin saber cuando ocurrir ) VENCIDAS (Los pagos se hacen al final de cada perodo) ANTICIPADAS (Los pagos se hacen al principio de cada perodo) DIFERIDAS (Los pagos se aplazan por un cierto tiempo)

66. Ejemplo de Anualidad Vencida

La beneficiaria de un seguro de vida recibir $8,000 mensuales durante 10 aos, sin embargo prefiere que le den el equivalente total al inicio del plazo. Cunto le darn si el dinero otorga un rendimiento promedio de 14% anual capitalizable mensualmente?

Donde: R = renta por cada perodo i = tasa de inters capitalizable en p perodos al ao p = frecuencia de capitalizacin de intereses n = plazo en aos Captulo 7. Anualidades y Perpetuidades

Los datos que se tiene son:

R= $8,000

i = 14% anual capitalizable mensualmente 0.14

p = 12

n = 10

Sustituyendo,

VA = 8,000 * ( 0.751406 / 0.011667 )

VA = $515,235

Captulo 7. Anualidades y Perpetuidades

67. Ejemplo de anualidad anticipada

Una persona renta una propiedad, cobrando una renta bimestral de $20,000, acordando con el arrendatario que los pagos debern depositarse en el banco X el primer da de cada bimestre. Si el banco le paga al arrendador una tasa de inters de 6% anual capitalizable bimestralmente, cunto tendr la persona al final de un ao?


Los datos son:

R = 20,000

i = 6% anual capitalizable bimestralmente 0.06%

p = 6

n = 1

Sustituyendo,

VF = 20,000 * 6.21 VF = $124,270 Captulo 7. Anualidades y Perpetuidades

68. Ejemplo de anualidad diferida

Cunto acumular el municipio P en la fecha de jubilacin de cada uno de sus empleados, si 3 aos antes hace un depsito de $4,500 seguido de 20 depsitos mensuales de $1,200 cada uno, ganando intereses del 8% anual capitalizable mensualmente?

Para poder determinar el monto al final a los tres aos con una tasa i = .08 / 12 , se tiene que calcular por separado:

El Valor final de $4,500 a tres aos (ecuacin de Valor Futuro con inters compuesto)

El Valor final de los depsitos a fecha del ltimo de ellos (ecuacin de Valor Futuro de una anualidad vencida)

El Valor final del monto acumulado de los depsitos al trmino de los tres aos.

Suma de los resultados del Punto 1 + Punto 3


Esto es:

M1 = 4,500 * (1.006667 )36

M1 = $5,716

M2 = 1,280.0004 * ( 21.318869 )

M2 = $25,753

M3 = 25,753 * ( 1.006667 )

M3 = $28,641

M4 = 28,641 + 5,716

M4 = $34,357

16 Captulo 7. Anualidades y Perpetuidades

69. Perpetuidades

Son una variable de las anualidades ciertas

Se les llama a aquellos pagos cuyo plazo no tienen fin

El nmero de perodos es muy grande

Se establece la tasa de inters del perodo de tiempo (no se capitalizan los intereses)

El valor de cada pago o renta equivalen a los intereses que se generan


70. Perpetuidades (Cont.)

La tasa de inters es casi siempre anual y el valor de cada renta es igual a los intereses que se generan en el periodo

Ejemplos: inversiones inmobiliarias de arrendamiento, pensiones o rentas vitalicias.

Frmula:

R = I = C * i

R = Valor de cada renta

I = Inters

C = Capital Inicial

i = tasa de inters del perodo


Ejemplo 1:

Para que mis 2 hijos estudien becados en una universidad de prestigio, dentro de 10 aos, es requisito fundamental -entre otros- depositar el da de hoy una suma de dinero en una institucin financiera que paga mensualmente por ahorros de este tipo el 1.5% y que permite a la institucin disponer de UM 2,500 mensuales a perpetuidad. Cunto debo depositar el da de hoy?.

R = I = 2,500

i = 1.5% 0.015

C = ?

R = I = C * i

C = I / i

C = 2,500/0.015 = $166,667

(Debo depositar el da de hoy $ 166,6667. Mensualmente el dinero gana $ 2,500 de inters. Este inters constituye la beca)


Ejemplo 2:

Con el producto de sus ventas, la Lotera Nacional instituye una beca trimestral de $6,500. De cunto deber ser el capital a invertir a la tasa de inters del 15% compuesto trimestralmente?

R = $6,500

i = 15% 0.015 / 4 = 0.0375

R = I = C * i

C = R / i

Sustituyendo,

C = 6,500 / 0.0375

C = $173,333

Esto indica que mientras los $173,333 permanezcan invertidos con la misma tasa de inters, se podr otorgar la beca de $6,500 trimestralmente por un tiempo indefinido.


71. Resumen

Anualidades

Caractersticas

Clasificacin

Perpetuidades

Caractersticas


72. Captulo 8 AMORTIZACIN

73. Caractersticas

Concepto : operacin mediante la cual se extingue gradualmente una deuda, mediante pagos peridicos, es decir en intervalos de tiempo iguales que comprenden una parte del capital y el inters (pueden ser simples o compuestos segn sea el caso)

Cada abono reduce el Capital, los intereses que se pagan van disminuyendo y aquella parte la deuda que an so ha sido saldada se le conoce como saldo insoluto.

Aplicacin importante de las Anualidades

Captulo 8. Amortizacin

74. Caractersticas

Dependiendo del tamao y la frecuencia de los pagos, existen diferentes sistemas para amortizar un crdito. Estos son:

Amortizacin gradual :

Forma ms usual para liquidar deudas,

Los abonos (amortizacin + intereses) peridicos tienen la misma frecuencia y son por cantidades iguales.

Es conveniente cuando la inflacin es relativamente baja.


75. Caractersticas

Amortizacin constante :

La porcin del abono amortiza el Capital adeudado es constante.

Ventajas: el clculo del saldo insoluto en cualquier perodo resulta fcil de realizar

til en casos de refinanciar o cancelar la deuda en ese momento.


76. Caractersticas

Amortizacin con renta variable :

Cada abono y su correspondiente amortizacin es mayor que los anteriores.

Los primeros pagos son pequeos, haciendo, en ocasiones, que la deuda se incremente para luego comenzar a reducirse cuando los pagos son mayores.

Utilizado en operaciones a mediano y largo plazo, pero sobre todo cuando los ndices inflacionarios son altos.


77. Tablas de amortizacin

Herramienta de registro de la deuda donde que plasma de manera ordenada la deuda inicial, capital pagado, intereses y el saldo insoluto.

Para poder construir una tabla de amortizacin se debe comenzar con la obtencin del valor del abono , de acuerdo a lo siguiente:

Donde: a = Valor del abono C = importe de la deuda i = tasa de inters del perodo n = no. de perodos en que se va a liquidar la deuda Captulo 8. Amortizacin

78. Mtodo de pagos iguales o anualidades

Este mtodo consiste en hacer pagos iguales, el pago de capital va en aumento mientras que el pago de intereses va en decremento. El valor del pago se determina con la frmula de anualidades.

Captulo 8. Amortizacin (a) (b) (c) (d) (e) (f) Perodo Saldo Inicial Pago Intereses Capital Saldo Insoluto 1 Capital k (b)1 . i (c)1 (d)1 (b)1 (e)1 2 (f)1 k (b)2 . i (c)2 (d)2 (b)2 (e)2 3 (f)2 k (b)3 . i (c)3 (d)3 (b)3 (e)3 n (f)n-1 k (b)n . i (c)n (d)n (b)n (e)n= 0

79. MTODO DE PAGO PERIDICO DE INTERS. CAPITAL AL VENCIMIENTO.

Este mtodo realiza nicamente pagos de inters, haciendo la amortizacin total al final. Es la forma clsica de un bono.

Captulo 8. Amortizacin (a) (b) (c) (d) (e) (f) Perodo Saldo Inicial Pago Intereses Capital Saldo Insoluto 1 Capital (d)1 (b)1 . i 0.0 (b)1 (e)1 2 (f)1 (d)2 (b)2 . i 0.0 (b)2 (e)2 3 (f)2 (d)3 (b)3 . i 0.0 (b)3 (e)3 n (f)n-1 (d)1+(f)n-1 (b)n . i Capital (b)n (e)n= 0

80. Ejemplo del mtodo de pagos iguales

El Tesorero del municipio H, le pide al encargado del rea de finanzas que le realice un plan de pagos del prstamo contrado por $300,000 a 3 aos a liquidarse mediante pagos semestrales con una tasa de inters del 17%.

Los datos son:

C = 300,000

i = 17% / 2 0.085

n = 6 pagos

Para poder determinar el monto de los pagos semestrales se sustituye en la frmula los datos:


81. Mtodo de amortizaciones iguales ms intereses sobre saldos insolutos.

Este mtodo realiza amortizaciones de capital iguales; los intereses y el pago decrecen. La amortizacin se calcula dividiendo el capital total entre el nmero total de pagos.

donde k = Capital n Captulo 8. Amortizacin (a) (b) (c) (d) (e) (f) Perodo Saldo Inicial Pago Intereses Capital Saldo Insoluto 1 Capital (d)1 + (e)1 (b)1 . i k (b)1 (e)1 2 (f)1 (d)2 + (e)2 (b)2 . i k (b)2 (e)2 3 (f)2 (d)3 + (e)3 (b)3 . i k (b)3 (e)3 n (f)n-1 (d)n + (e)n (b)n . i k (b)n (e)n= 0

a = 25,500 / 0.387055

a = $65,882

Una vez teniendo el monto del Abono, se empezar a llenar la tabla de amortizacin.


82. Llenado de la Tabla de Amortizacin

Los datos que se sugieren colocar son: Perodo, Saldo Inicial, Abono, Intereses, Amortizacin y Saldo Insoluto.

En la primera columna, se anotar el no. de cada perodo, que para este ejemplo son 6

Se empezar a llenar los datos de manera horizontal y de izquierda a derecha comenzando con el Saldo inicial en el perodo cero (perodo donde comienza la vida del prstamo y no se pagan ni intereses ni capital).

Comenzando el perodo 1, vaciamos la cifra de abono que permanecer constante durante la vida del prstamo.


83. Llenado de la Tabla de Amortizacin (Cont.)

Se realiza el clculo de intereses: 300,000 * 0.085 = 25,500

La amortizacin como parte del Abono

( Abono = Intereses + Amortizacin )

se calcular: 65,882.12 25,500 = 40,381.12

El saldo insoluto resultar de restar el Saldo Insoluto del Perodo anterior (300,000) menos la amortizacin (40,381.12)

Se comienza los clculos del segundo perodo y as sucesivamente hasta que el Saldo Insoluto del ltimo perodo sea cero.


84. La tabla llenada: Captulo 8. Amortizacin Perodo Saldo Inicial Abono Intereses Amortizacin Saldo Insoluto 0 300,000 .00 300,000.00 1 300,000 .00 65,882.12 25,500 .00 40,381.12 259,617.88 2 259,617.88 65,882.12 22,067.52 43,814.60 215,803.28 3 215,803.28 65,882.12 18,343.28 47,538.84 168,264.44 4 168,264.44 65,882.12 14,302.48 51,579.64 116,684.80 5 116,684.80 65,882.1 2 9,918.21 55,963.91 60,720.88 6 60,720.88 65,882.12 5,161.28 60,720.8 8 0.00

85. Resumen

Caractersticas

Sistemas de amortizacin

Tabla de amortizacin

Clculo del Abono

Llenado de tabla

matematicas financieras

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