EXAMEN DE MATEMÁTICA

1

MATEMÁTICA

Preguntas yrespuestas

Pregunta N.o 1

Dadas las siguientes proposiciones:

I. Si A es una matriz cuadrada tal que A2=A,

entonces AK=A, ∀K ∈ N.

II. Si B es simétrica, entonces – B2 es antisimétrica.

III. C es matriz cuadrada tal que CK=0 para algún

K ∈ N, entonces I Ci

i

K+∑=1

es inversible.

Cuáles de las siguientes proposiciones son

verdaderas.

Rpta.:I y III

Pregunta N.o 2

La siguiente figura da la idea de tres planos interceptándose según la recta L. ¿Cuál(es) de los sistemas de ecuaciones dados representa a la figura dada?

L

I. 2x+3y – z=1 – x+5y+2z=4 x+8y+z=5

II. x – y+3z=– 2 – 2x+2y – 6z=– 4 – x+y – 3z=2

III. 2x – y+z=3 – x+3y – z=1 x – 2y+2z=2

Rpta.:Solo I

Pregunta N.o 3

Sea la sucesión (ak), donde

a kkk =

·Ln 1+

1

Entonces podemos afirmar que:

Rpta.:(ak) converge a 1

Pregunta N.o 4

Sabiendo que se cumple abc=0 a+b+c=1

Halle el valor de

Ka b c a b c= + + − + +2 2 2 3 3 3

2 3

Rpta.: 1/6

Parte 1

EXAMEN DE MATEMÁTICA

2

Pregunta N.o 5

Un sistema de n ecuaciones con n incógnitas se puede expresar como Ax=b, donde A es una matriz cuadrada de orden n×n, b es una matriz de orden n×1 y las incógnitas son los elementos de la matriz x de orden n×1. Si S es el conjunto solución del sistema Ax=b, entonces podemos afirmar que:

Rpta.:Si A es inversible, entonces S es finito.

Pregunta N.o 6

Sean A, B conjuntos del mismo universo U. Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. Card(A ∪ B)=Card(A)+Card(B)

– Card(A ∩ B)

II. Card(P(A ∪ B))=Card(P(A))

+Card(P(B)) – Card(P(A ∩ B))

donde P(A) es el conjunto potencia de A.

III. Si Card(A ∩ B)=0,

entonces A=φ o B=φ

Rpta.:VFF

Pregunta N.o 7

Encuentre el conjunto solución de la ecuaciónx2 – 257x8+256=0.

Rpta.:{± 4, ± 4i, ± 1, ± i}

Pregunta N.o 8

Sea f: Q → Q una función, donde Q es el conjunto de los números racionales, tal queI. f(r+s)=f(r)+f(s)II. f(rs)=f(r)·f(s)III. f(1)=1Señale, la alternativa que permite la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).I. f(n)=n, ∀ n ∈NII. f(r)=r, ∀ r ∈QIII. f(nm)=mn, ∀m, n ∈N

Rpta.:VVF

Pregunta N.o 9

La función f(x)=ax2+bx+c es inyectiva en [2; +∞⟩ y g(x)=ax2+bx+d es inyectiva en ⟨– ∞; 2]. Halle el valor de 4a+b, sabiendo que a ≠ 0.

Rpta.:0

Pregunta N.o 10

El valor numérico de

P x x x x x( ) = + −( ) − + +5 4 33 3 3 9 3 5 7 3para x = 3 3 es:

Rpta.:22 3

Pregunta N.o 11

Dada la ecuación

log log , log ,22

22

222 0 5 0 25 5x x x( ) + ( ) + ( ) =

El menor valor de sus raíces es:

Rpta.:23

EXAMEN DE MATEMÁTICA

3

Pregunta N.o 12Señale la gráfica que mejor representa a la función f(x)=y en su dominio.

Rpta.:

X10–1

Y

Pregunta N.o 13Consideramos la expresiónE = + +0 3 0 33 0 333, , ,a a a

Determine el valor de a de manera que E está lo más próximo posible a 1,0740.

Rpta.:9

Pregunta N.o 14Las raíces cúbicas inexactas de dos enteros positivos son dos números consecutivos y sus residuos, en cada caso, son los máximos posibles. Halle la suma de estos números si la diferencia de sus residuos es 54.

Rpta.:1727

Pregunta N.o 15Sean a1, a2, ..., an ∈ ⟨0; ∞⟩ cualesquiera, n ∈ N \ {1}

arbitrario y MA(n), MG(n) y MH(n) su media aritmética, media geométrica y media armónica respectivamente.Indique la alternativa correcta después de determi-nar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F), en el orden dado:

I. M n M n M n nG A Hn( ) = ( ) ( ) ∀ ∈ { }, \ 1

II. M n M n a a a nA H n( ) ( ) = ∀ ∈ { }1 2 1... , \

III. M Ma a

M MA GA G

2 24 2 2

1 22

( ) − ( ) =+( )

( ) + ( )( )Rpta.:

FFF

Pregunta N.o 16Un juego de azar (tipo lotería) consiste en elegir 5 números diferentes de los primeros 30 números naturales. Cada persona que participa en este juego compra 26 jugadas diferentes. Calcule la cantidad mínima de jugadores que se necesita para ganar el juego.

Rpta.:5481

Pregunta N.o 17Si los coeficientes del primer y último término del

desarrollo del binomio (3a2x3+ay4)20 son iguales (a > 0), determine el coeficiente del décimo oc-tavo término.

Rpta.:380

319

Pregunta N.o 18Determine la cantidad de números de cuatro cifras en base 8, que contienen al número tres.

Rpta.:1526

Pregunta N.o 19Al multiplicar un número A de cuatro cifras por 999 se obtiene un número que termina en 5352. Calcule la suma de las cifras del número A.

Rpta.:20

Pregunta N.o 20Considere el mayor de los números N cuya des-composición en sus factores primos de una cifra es 2a · 53 · mu · 3r, sabiendo que cuando se divide por 40 se obtiene otro número de 54 divisores y además a+u+r < 9. Calcule la suma de sus cifras.

Rpta.:18

EXAMEN DE MATEMÁTICA

4

Pregunta N.o 21

El área de un triángulo cuyos vértices son A(x, y), B(3, 4) y C(5, –1), es 7u2. Además y+3x=4 y x > – 2.Calcule x+y.

Rpta.:6

Pregunta N.o 22

En la circunferencia trigonométrica adjunta,

determine: área delárea del

∆∆PORRQO

.

θ

P O

RQ

Rpta.:sec(2q)+1

Pregunta N.o 23

Sean fx

x( ) sen=

2, g(x)=sen(2x),

para x ∈

∪

π π π π2

32

2, , .

Entonces podemos afirmar que:

Rpta.:f(x) ≥ g(x)

Pregunta N.o 24

Calcule el resultado, simplificado, de la siguiente expresión.

E=25sen5ºsen10ºsen50ºsen70ºsen85ºsen110ºsen130º

Rpta.:1/4

Pregunta N.o 25

En la figura:

AB

C

a b

c

αα

α

Si a=3, b=25, c=26, tgα = mn

, donde m y n son

primos entre si, calcule m+n.

Rpta.:727

Pregunta N.o 26

Dada la ecuación en el plano complejo,

(1– i)z+(1– i)z+2=0,determine la ecuación cartesiana.

Rpta.:x+y+1=0

Parte 2

EXAMEN DE MATEMÁTICA

5

Pregunta N.o 27

Halle el dominio de la función

f x x( ) = −

17

32

arc sec

Rpta.:

−∞ ∪ ∞

, ,12

52

Pregunta N.o 28

En la figura mostrada, las ruedas A y B dan 2n y n vueltas respectivamente (n > 2) desde su posición inicial, hasta el instante en que llegan a tocarse; además, rA=1 u y rB=9 u. Calcule D en u.

AB

D

Rpta.:22 np+6

Pregunta N.o 29

En la figura: O, O1, O2, O3 y O4 son centros de circunferencias, donde A, B, C y D son puntos de tangencia. Si AO=1 cm, entonces el área de la superficie sombreada es:

A

B

C

D

O1

O2O4 O

O3

Rpta.:2,00

Pregunta N.o 30

De un recipiente lleno de agua que tiene la forma de un cono circular recto de 20 cm de radio y 40 cm de altura, se vierte el agua a un recipiente cilíndrico de 40 cm de radio, entonces a qué al-tura, en cm, se encuentra el nivel del agua en el recipiente cilíndrico.

Rpta.:103

Pregunta N.o 31

En un tronco de prisma triangular oblicuo, la lon-gitud del segmento que une los baricentros de sus bases es 16 cm. Calcule la longitud de la menor arista (en cm), si éstas están en razón de 3, 4 y 5.

Rpta.:12

Pregunta N.o 32

En un semicírculo cuyo radio mide R cm, se ins-cribe un triángulo rectángulo ABC (AC diámetro) tal que al girar alrededor de la hipotenusa genera un sólido, cuyo volumen es la mitad de la esfera generada por dicho semicírculo. Entonces el área de la superficie esférica es al área de la región triangular ABC como:

Rpta.:4 p

Pregunta N.o 33

Si el perímetro del desarrollo de la superficie lateral del octaedro mide 30 u; determine la superficie lateral del poliedro mencionado.

Rpta.:18 3 2u

EXAMEN DE MATEMÁTICA

6

Pregunta N.o 34Se da un trapecio en el cual la base menor mide b. Si la base mayor es 8 veces la base menor (figura), y se divide el trapecio en 3 trapecios semejantes por dos paralelas a las bases, halle el valor de x (la menor paralela).

b

A D

P

M

E

N

B C

x

y

Rpta.:2b

Pregunta N.o 35En la figura, el triángulo ABC recto en B, BH es la altura, BD es la bisectriz del ángulo ABH y BE es la bisectriz del ángulo HBC. Si AB=7 u y BC=24 u. Calcule el valor del segmento DE (en u).

A D H E C

B

Rpta.:6

Pregunta N.o 36Se tiene un triángulo equilátero ABC inscrito en una circunferencia de radio r=6 cm, si M es el punto que divide al arco AB en partes iguales (M ≠ C), entonces el área de la región triangular AMB en cm2 es:

Rpta.:

9 3

Pregunta N.o 37

En un triángulo ABC, AB=4 u, BC=6 u. Se traza DE paralela a BC donde los puntos D y E pertene-cen a los segmentos AB y AC respectivamente, de modo que el segmento BE sea bisectriz del ángulo B.Calcule el valor de BD (en u).

Rpta.:2,4

Pregunta N.o 38

Dos segmentos paralelos en el plano tienen longi-tudes 3 cm y 1 cm respectivamente. Si la distancia entre esos segmentos es de 1 cm, calcule el radio de la circunferencia que pasa por los extremos de dichos segmentos.

Rpta.:52

Pregunta N.o 39

Se colocan ocho monedas de igual radio, tan-gentes dos a dos, tangencialmente alrededor de una moneda de mayor radio, entonces la relación entre el radio de la moneda mayor y el radio de la moneda menor es:

Rpta.:2

2 21

−−

Pregunta N.o 40

ABCD - EFGH es un hexaedro regular. Si O es el centro de ABCD y R es punto medio de HG. Halle la medida del diedro que forman el plano BRD y la cara EFGH.

Rpta.:arctan 2 2( )