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MATEMÁTICAS BÁSICAS

Autoras: Margarita Ospina PulidoJeanneth Galeano Peñaloza

Edición: Rafael Ballestas Rojano

Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matemáticas

Sede Bogotá

Enero de 2015

Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 1 / 1

Parte I

Funciones


Funciones

Una función es una especie de máquina que toma elementos de unconjunto y después de un proceso obtiene elementos de otro.

Por ejemplo:

1 La función del conjunto de las palabras en el conjunto de las letras,que a cada palabra le asigna su letra inicial.

2 La función del conjunto de ciudadanos de un páıs en el de las huellasdigitales, que a cada ciudadano le asigna la huella digital de su ı́ndicederecho.

3 La función del conjunto de los reales en śı mismo, que a cada real leasigna su cuadrado.


Funciones

De una manera más formal tenemos:

Dados dos conjuntos no vaćıos A y B, una función f de A en B, notada:

f : A −→ B

es un subconjunto de A× B (una relación de A en B) que cumple:

Para todo elemento a ∈ A existe un único b ∈ B tal que la pareja(a, b) ∈ f .

Como es único el elemento b relacionado con a, escribimos

f (a) = b.


Funciones

Si f : A −→ B es una función,

A se llama el Dominio de f .

B se llama el Codominio de f .

{b ∈ B | existe a ∈ A tal que f (a) = b} se llama el Rango de f o elRecorrido de f o la Imagen de f .


Ejemplos

f : R −→ R definida por f (x) = 2x − 1Dom(f ) = R, Imagen de f = R.

g : R −→ R definida por g(x) = x2Dom(g) = R, Imagen de g = [0,∞).


Igualdad de funciones

Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio y paratodo elemento x del dominio f (x) = g(x).

En este curso trabajaremos únicamente funciones reales, es decir,funciones de dominio y codominio R o subconjuntos de R.

En este caso se acostumbra simplemente a identificar la función conla expresión que define su efecto sobre la variable, suponiendo que eldominio es, el subconjunto más grande de R en el que se puededefinir la función y el codominio es R.


Ejemplos

Si f (x) =2x − 1x − 3

, entonces Dom(f ) = R− {3}.

Si g(x) =√

2− 5x , entonces Dom(g) = (−∞, 25 ].


Dominio

Ejemplo

Hallar el dominio de la función f (x) =4

x2 − 8x + 7.

x2 − 8x + 7 = 0(x − 1)(x − 7) = 0

Dominio de f : R− {1, 7}.


Dominio

Ejemplo


x2 − 8x + 7.

x2 − 8x + 7 = 0

(x − 1)(x − 7) = 0



Dominio

Ejemplo


x2 − 8x + 7.

x2 − 8x + 7 = 0(x − 1)(x − 7) = 0



Dominio

Ejemplo

Para hallar el dominio de la función f (x) =√

2x + 6, resolvemos ladesigualdad

2x + 6 ≥ 02x ≥ −6x ≥ −3

Dominio de f : [−3,∞).


Dominio

Ejemplo



2x + 6 ≥ 0

2x ≥ −6x ≥ −3



Dominio

Ejemplo



2x + 6 ≥ 02x ≥ −6

x ≥ −3



Dominio

Ejemplo



2x + 6 ≥ 02x ≥ −6x ≥ −3



Dominio

Ejemplo

Hallar el dominio de la función f (x) =1− 7x

(x + 5)√

3− 2x.

Aqúı hay una combinación de los dos casos, aśı que empezamos por laexpresión dentro del radical.

3− 2x > 0− 2x > −3

x <3

2

S =

(−∞, 3

2

)∗

∗ ¿Por qué el intervalo es abierto en 32 ?


Dominio

Ejemplo


(x + 5)√

3− 2x.


3− 2x > 0

− 2x > −3

x <3

2

S =

(−∞, 3

2

)∗



Dominio

Ejemplo


(x + 5)√

3− 2x.


3− 2x > 0− 2x > −3

x <3

2

S =

(−∞, 3

2

)∗



Dominio

Ejemplo (Cont.)


(x + 5)√

3− 2x.

Además, el denominador se hace cero cuando x = −5

, aśı que el dominiode f es

Dom(f ) =

(−∞, 3

2

)− {−5} = (−∞,−5) ∪

(−5, 3

2

).


Dominio

Ejemplo (Cont.)


(x + 5)√

3− 2x.

Además, el denominador se hace cero cuando x = −5, aśı que el dominiode f es

Dom(f ) =

(−∞, 3

2

)− {−5} = (−∞,−5) ∪

(−5, 3

2

).


Gráficas de funciones

La gráfica de una función real es la representación en el plano cartesiano de

{(x , f (x)) | x ∈ Dom(f )} .

Si f (x) = 2x − 1, su gráfica es la recta y = 2x − 1.

Si g(x) = x2 − 2x + 1, su gráfica es la parábola y = x2 − 2x + 1.

Nótese que una gráfica en el plano cartesiano representa una función real,si toda recta vertical corta la gráfica en a lo sumo un punto.


Función idéntica o función identidad

Dado cualquier conjunto no vaćıo A definimos

IA : A −→ Aa 7−→ a

En particular, la funciónidéntica de R

IR : R −→ Rx 7−→ x

Dom(IR) = RIm(IR) = R

x

y

y = x


Función constante

f : R −→ Rx 7−→ c

donde c es una constante.

Dom(f ) = RIm(f ) = {c}

x

y

y = cc


Función lineal

f : R −→ Rx 7−→ mx + b

donde m y b son constantes.

Dom(f ) = RIm(f ) = R, si m 6= 0

¿Qué pasa si m = 0?¿Cómo es la gráfica de f eneste caso?

x

y

y = mx + b


Función cuadrática

f : R −→ Rx 7−→ ax2 + bx + c

donde a, b y c son constantesy a 6= 0.

Dom(f ) = RIm(f ) =?

¿Cómo es la gráfica de f ?

x

y

Caso a > 0


Función valor absoluto

f : R −→ Rx 7−→ |x |

Dom(f ) = R

Im(f ) =

[0,∞)

¿Cómo es la gráficade f ?

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

y = |x |


Función valor absoluto

f : R −→ Rx 7−→ |x |

Dom(f ) = R

Im(f ) = [0,∞)

¿Cómo es la gráficade f ?

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

y = |x |


Función parte entera

f : R −→ Rx 7−→ [x ]

donde [x ] es el mayor entero menor o igual que x .

Por ejemplo

[π] = 3

[8.27] = 8 [12] = 12

[−2] = −2 [−1,5] = −2 [−π] = −4



f : R −→ Rx 7−→ [x ]


Por ejemplo

[π] = 3 [8.27] = 8

[12] = 12

[−2] = −2 [−1,5] = −2 [−π] = −4



f : R −→ Rx 7−→ [x ]


Por ejemplo

[π] = 3 [8.27] = 8 [12] = 12

[−2] = −2 [−1,5] = −2 [−π] = −4



f : R −→ Rx 7−→ [x ]


Por ejemplo

[π] = 3 [8.27] = 8 [12] = 12

[−2] = −2

[−1,5] = −2 [−π] = −4



f : R −→ Rx 7−→ [x ]


Por ejemplo

[π] = 3 [8.27] = 8 [12] = 12

[−2] = −2 [−1,5] = −2

[−π] = −4



f : R −→ Rx 7−→ [x ]


Por ejemplo

[π] = 3 [8.27] = 8 [12] = 12

[−2] = −2 [−1,5] = −2 [−π] = −4



Ejercicio

Haga la gráfica de y = [x ] y encuentre su imagen.


Función parte entera f (x) = [x ]

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

y = [x ]

Im(f ) = Z



x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

y = [x ]Im(f ) =

Z



x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

y = [x ]Im(f ) = Z


Funciones definidas a trozos

Consideremos la función definida como sigue

f (x) =

3 si x < −4x + 1 si −4 ≤ x ≤ −2x2 si x > −2.

Veamos su gráfica.



f (x) =

3 si x < −4x + 1 si −4 ≤ x ≤ −2x2 si x > −2.

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

4

5



Consideremos la función definida como sigue

f (x) =

2 si x < −2−x2 + 1 si −2 ≤ x < 22x − 6 si x ≥ 2.

Veamos su gráfica.



f (x) =

2 si x < −2− x2 + 1 si −2 ≤ x < 22x − 6 si x ≥ 2.

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

4

5


Gráficas

Ejercicio

Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones:

f (x) =

x2 si x < 0

2 si 0 ≤ x < 11− x si x > 1

f (x) =

−4 si x < −1|x |+ 1 si −1 ≤ x ≤ 12x si x > 1


Parte II

Propiedades de funciones


Funciones pares

Definición

Una función f es par si f (−x) = f (x) para toda x en el dominio de f .

1 Si f es par, la expresión y = f (x) no cambia si se sustituye x por −x .2 f (x) = |x | y f (x) = x2 son ejemplos de funciones pares.3 La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y .


Funciones pares

Definición


1 Si f es par, la expresión y = f (x) no cambia si se sustituye x por −x .

2 f (x) = |x | y f (x) = x2 son ejemplos de funciones pares.3 La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y .


Funciones pares

Definición


1 Si f es par, la expresión y = f (x) no cambia si se sustituye x por −x .2 f (x) = |x | y f (x) = x2 son ejemplos de funciones pares.

3 La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y .


Funciones pares

Definición


1 Si f es par, la expresión y = f (x) no cambia si se sustituye x por −x .2 f (x) = |x | y f (x) = x2 son ejemplos de funciones pares.3 La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y .


Funciones pares

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5


Funciones impares

Definición

Una función f es impar si f (−x) = −f (x) para toda x en el dominio de f .

1 f (x) = x y f (x) = x3 son ejemplos de funciones impares.

2 La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.


Funciones impares

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5


Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues

f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8

= 4x2 + 5x6 − 3x8

= f (x)

f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x

es impar, pues

f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)= −12x5 + 6x3 + 3x= −f (x)




f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8

es par, pues

f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8

= 4x2 + 5x6 − 3x8

= f (x)

f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x

es impar, pues

f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)= −12x5 + 6x3 + 3x= −f (x)




f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues

f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8

= 4x2 + 5x6 − 3x8

= f (x)

f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x

es impar, pues

f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)= −12x5 + 6x3 + 3x= −f (x)




f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues

f (−x)

= 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8

= 4x2 + 5x6 − 3x8

= f (x)

f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x

es impar, pues

f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)= −12x5 + 6x3 + 3x= −f (x)




f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues

f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8

= 4x2 + 5x6 − 3x8

= f (x)

f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x

es impar, pues

f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)= −12x5 + 6x3 + 3x= −f (x)




f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues

f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8

= 4x2 + 5x6 − 3x8

= f (x)

f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x es impar, pues

f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)= −12x5 + 6x3 + 3x= −f (x)




f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues

f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8

= 4x2 + 5x6 − 3x8

= f (x)


f (−x)

= 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)= −12x5 + 6x3 + 3x= −f (x)




f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues

f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8

= 4x2 + 5x6 − 3x8

= f (x)


f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)

= −12x5 + 6x3 + 3x= −f (x)




f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues

f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8

= 4x2 + 5x6 − 3x8

= f (x)


f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)= −12x5 + 6x3 + 3x

= −f (x)




f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues

f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8

= 4x2 + 5x6 − 3x8

= f (x)


f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)= −12x5 + 6x3 + 3x= −f (x)




f (x) = 3x7 + 9x5 − 3x8 no es par ni impar, pues

f (−x) = 3(−x)7 + 9(−x)5 − 3(−x)8

= −3x7 − 9x5 − 3x8

= −(3x7 + 9x5 + 3x8)




f (x) = 3x7 + 9x5 − 3x8

no es par ni impar, pues

f (−x) = 3(−x)7 + 9(−x)5 − 3(−x)8

= −3x7 − 9x5 − 3x8

= −(3x7 + 9x5 + 3x8)





f (−x) = 3(−x)7 + 9(−x)5 − 3(−x)8

= −3x7 − 9x5 − 3x8

= −(3x7 + 9x5 + 3x8)





f (−x)

= 3(−x)7 + 9(−x)5 − 3(−x)8

= −3x7 − 9x5 − 3x8

= −(3x7 + 9x5 + 3x8)





f (−x) = 3(−x)7 + 9(−x)5 − 3(−x)8

= −3x7 − 9x5 − 3x8

= −(3x7 + 9x5 + 3x8)



Ejercicio


f (x) = 2x7 + 3x5 − 6x6 + 1f (x) = 8x6 + 3x4 − x + 4f (x) = 2

√x + 4

f (x) = (x − 1)2 + x4

f (x) = 3− (x + 2)3


Funciones inyectivas y sobreyectivas

Definición

Sea f : A −→ B una función,

f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que

f (a) = f (b) implica que a = b.

f se dice sobreyectiva o sobre si su rango es todo el conjunto B.

f se dice biyectiva si es uno a uno y sobre.



Definición

Sea f : A −→ B una función,f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que

f (a) = f (b) implica que a = b.

f se dice sobreyectiva o sobre si su rango es todo el conjunto B.

f se dice biyectiva si es uno a uno y sobre.



Ejemplo

Considere las siguientes funciones

f1(x) = 4 no es uno a uno ni sobre.

f2(x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre.

f3(x) = x2 no es uno a uno y no es sobre.

f4(x) = x3 es uno a uno y sobre.

f5(x) = |x | no es uno a uno ni sobre.

¿Cómo determinar por medio de la gráfica si una función es uno a uno?



Ejemplo


f1(x) = 4

no es uno a uno ni sobre.








Ejemplo










Ejemplo



f2(x) = 2x + 3

es uno a uno y es sobre.







Ejemplo










Ejemplo




f3(x) = x2

no es uno a uno y no es sobre.






Ejemplo










Ejemplo





f4(x) = x3

es uno a uno y sobre.





Ejemplo










Ejemplo






f5(x) = |x |

no es uno a uno ni sobre.




Ejemplo










Prueba de la recta horizontal

Una función f es uno a uno si y sólo si toda recta horizontal corta lagráfica de f máximo en un punto.

Una función de codominio R es sobreyectiva si toda recta horizontalcorta su gráfica.


Parte III

Operaciones entre funciones



Definición

Sean f y g dos funciones. Definimos

Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x)

Diferencia (f − g)(x) = f (x)− g(x)Producto (fg)(x) = f (x)g(x)

Cociente

(f

g

)(x) =

f (x)

g(x), siempre que g(x) 6= 0.



Definición


Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x)

Diferencia (f − g)(x) = f (x)− g(x)

Producto (fg)(x) = f (x)g(x)

Cociente

(f

g

)(x) =

f (x)




Definición


Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x)

Diferencia (f − g)(x) = f (x)− g(x)Producto (fg)(x) = f (x)g(x)

Cociente

(f

g

)(x) =

f (x)




Ejemplo

Sean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x2 − 4. Entonces

(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3(f − g)(x) = 2x + 1− (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5(fg)(x) = (2x + 1)(3x2 − 4) = 6x3 + 3x2 − 8x − 4(f

g

)(x) =

2x + 1

3x2 − 4

¿Cuál es el dominio de estas funciones?



Ejemplo


(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3

(f − g)(x) = 2x + 1− (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5(fg)(x) = (2x + 1)(3x2 − 4) = 6x3 + 3x2 − 8x − 4(f

g

)(x) =

2x + 1

3x2 − 4




Ejemplo


(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3(f − g)(x) = 2x + 1− (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5

(fg)(x) = (2x + 1)(3x2 − 4) = 6x3 + 3x2 − 8x − 4(f

g

)(x) =

2x + 1

3x2 − 4




Ejemplo


(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3(f − g)(x) = 2x + 1− (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5(fg)(x) = (2x + 1)(3x2 − 4) = 6x3 + 3x2 − 8x − 4

(f

g

)(x) =

2x + 1

3x2 − 4




Ejemplo


(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3(f − g)(x) = 2x + 1− (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5(fg)(x) = (2x + 1)(3x2 − 4) = 6x3 + 3x2 − 8x − 4(f

g

)(x) =

2x + 1

3x2 − 4




El dominio de f + g , f − g , fg es la intersección I de los dominios de f yde g , mientras que el dominio de fg está formado por los puntos x de Itales que g(x) 6= 0.

Ejemplo

Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x

4− x.

Hallar una expresión para las siguientes funciones y sus dominios,

f + g , f − g , fg , fg,

g

f,

g

f + g.


Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x

4− x.

Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.

(f + g)(x) = 5x + 3 +x

4− xDom(f + g) = R− {4}

(f − g)(x) = 5x + 3− x4− x

Dom(f − g) = R− {4}

(fg)(x) = (5x + 3)

(x

4− x

)=

5x2 + 3x

4− xDom(fg) = R− {4}


Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x

4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.

(f + g)(x) = 5x + 3 +x

4− xDom(f + g) = R− {4}

(f − g)(x) = 5x + 3− x4− x

Dom(f − g) = R− {4}

(fg)(x) = (5x + 3)

(x

4− x

)=

5x2 + 3x

4− xDom(fg) = R− {4}


Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x

4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.

(f + g)(x) = 5x + 3 +x

4− x

Dom(f + g) = R− {4}

(f − g)(x) = 5x + 3− x4− x

Dom(f − g) = R− {4}

(fg)(x) = (5x + 3)

(x

4− x

)=

5x2 + 3x

4− xDom(fg) = R− {4}


Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x

4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.

(f + g)(x) = 5x + 3 +x

4− xDom(f + g) = R− {4}

(f − g)(x) = 5x + 3− x4− x

Dom(f − g) = R− {4}

(fg)(x) = (5x + 3)

(x

4− x

)=

5x2 + 3x

4− xDom(fg) = R− {4}


Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x

4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.

(f + g)(x) = 5x + 3 +x

4− xDom(f + g) = R− {4}

(f − g)(x) = 5x + 3− x4− x

Dom(f − g) = R− {4}

(fg)(x) = (5x + 3)

(x

4− x

)

=5x2 + 3x

4− xDom(fg) = R− {4}


Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x

4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.

(f + g)(x) = 5x + 3 +x

4− xDom(f + g) = R− {4}

(f − g)(x) = 5x + 3− x4− x

Dom(f − g) = R− {4}

(fg)(x) = (5x + 3)

(x

4− x

)=

5x2 + 3x

4− x

Dom(fg) = R− {4}


Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x

4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.

(f + g)(x) = 5x + 3 +x

4− xDom(f + g) = R− {4}

(f − g)(x) = 5x + 3− x4− x

Dom(f − g) = R− {4}

(fg)(x) = (5x + 3)

(x

4− x

)=

5x2 + 3x

4− xDom(fg) = R− {4}


Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x

4− x.

Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.

(f

g

)(x) =

5x + 3x

4−x

=(5x + 3)(4− x)

x

=20x − 5x2 + 12− 3x

x

=−5x2 + 17x + 12

x

Dom

(f

g

)= R− {0, 4}.


Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x

4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.

(f

g

)(x) =

5x + 3x

4−x

=(5x + 3)(4− x)

x

=20x − 5x2 + 12− 3x

x

=−5x2 + 17x + 12

x

Dom

(f

g

)= R− {0, 4}.


Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x

4− x.

Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.

(gf

)(x) =

x4−x

5x + 3

=x

(5x + 3)(4− x)

=x

20x − 5x2 + 12− 3x=

x

−5x2 + 17x + 12

Dom(gf

)= R− {4,−3

5}.


Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x

4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.

(gf

)(x) =

x4−x

5x + 3

=x

(5x + 3)(4− x)

=x

20x − 5x2 + 12− 3x=

x

−5x2 + 17x + 12

Dom(gf

)= R− {4,−3

5}.


Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x

4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.

(gf

)(x) =

x4−x

5x + 3

=x

(5x + 3)(4− x)

=x

20x − 5x2 + 12− 3x

=x

−5x2 + 17x + 12

Dom(gf

)= R− {4,−3

5}.


Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x

4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.

(gf

)(x) =

x4−x

5x + 3

=x

(5x + 3)(4− x)

=x

20x − 5x2 + 12− 3x=

x

−5x2 + 17x + 12

Dom(gf

)= R− {4,−3

5}.


Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x

4− x.

Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.

(g

f + g

)(x) =

x4−x

5x + 3 + x4−x

=x

4−x(4−x)(5x+3)+x

4−x

=x

−5x2 + 17x + 12 + x=

x

−5x2 + 18x + 12

Dom

(g

f + g

)= R− {4, 9±

√141

5}.


Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x

4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.

(g

f + g

)(x) =

x4−x

5x + 3 + x4−x

=x

4−x(4−x)(5x+3)+x

4−x

=x

−5x2 + 17x + 12 + x=

x

−5x2 + 18x + 12

Dom

(g

f + g

)= R− {4, 9±

√141

5}.


Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x

4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.

(g

f + g

)(x) =

x4−x

5x + 3 + x4−x

=x

4−x(4−x)(5x+3)+x

4−x

=x

−5x2 + 17x + 12 + x

=x

−5x2 + 18x + 12

Dom

(g

f + g

)= R− {4, 9±

√141

5}.


Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x

4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.

(g

f + g

)(x) =

x4−x

5x + 3 + x4−x

=x

4−x(4−x)(5x+3)+x

4−x

=x

−5x2 + 17x + 12 + x=

x

−5x2 + 18x + 12

Dom

(g

f + g

)= R− {4, 9±

√141

5}.


Composición de funciones

Si f y g son funciones se define

(g ◦ f )(x) = g(f (x)).

De esta manera g ◦ f es una función cuyo dominio es

{x ∈ Dom(f ) | f (x) ∈ Dom(g)} .


Ejemplo 1

Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:

(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1= 4x2 + 8x + 4

En este caso Dom(g ◦ f ) = R.

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)= 2(x2 − 2x + 1) + 3= 2x2 − 4x + 5

De nuevo Dom(f ◦ g) = R.Nótese que en general (f ◦ g) 6= (g ◦ f ).


Ejemplo 1


(g ◦ f )(x)

= g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1= 4x2 + 8x + 4


(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)= 2(x2 − 2x + 1) + 3= 2x2 − 4x + 5



Ejemplo 1


(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)

= (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1= 4x2 + 8x + 4


(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)= 2(x2 − 2x + 1) + 3= 2x2 − 4x + 5



Ejemplo 1


(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1

= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1= 4x2 + 8x + 4


(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)= 2(x2 − 2x + 1) + 3= 2x2 − 4x + 5



Ejemplo 1


(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1

= 4x2 + 8x + 4


(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)= 2(x2 − 2x + 1) + 3= 2x2 − 4x + 5



Ejemplo 1


(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1= 4x2 + 8x + 4


(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)= 2(x2 − 2x + 1) + 3= 2x2 − 4x + 5



Ejemplo 1


(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1= 4x2 + 8x + 4


(f ◦ g)(x)

= f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)= 2(x2 − 2x + 1) + 3= 2x2 − 4x + 5



Ejemplo 1


(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1= 4x2 + 8x + 4


(f ◦ g)(x) = f (g(x))

= f (x2 − 2x + 1)= 2(x2 − 2x + 1) + 3= 2x2 − 4x + 5



Ejemplo 1


(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1= 4x2 + 8x + 4


(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)

= 2(x2 − 2x + 1) + 3= 2x2 − 4x + 5



Ejemplo 1


(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1= 4x2 + 8x + 4


(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)= 2(x2 − 2x + 1) + 3

= 2x2 − 4x + 5



Ejemplo 1


(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1= 4x2 + 8x + 4


(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)= 2(x2 − 2x + 1) + 3= 2x2 − 4x + 5



Ejemplo 1


(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1= 4x2 + 8x + 4


(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)= 2(x2 − 2x + 1) + 3= 2x2 − 4x + 5

De nuevo Dom(f ◦ g) = R.

Nótese que en general (f ◦ g) 6= (g ◦ f ).


Ejemplo 1


(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1= 4x2 + 8x + 4


(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)= 2(x2 − 2x + 1) + 3= 2x2 − 4x + 5



Ejemplo 2

Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =√x tenemos:

(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)=√

2x + 3

Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−32 ,∞).

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√x)

= 2√x + 3

Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R} = [0,∞).


Ejemplo 2


(g ◦ f )(x)

= g(2x + 3)

=√

2x + 3

Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−32 ,∞).

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√x)

= 2√x + 3

Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R} = [0,∞).


Ejemplo 2


(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)

=√

2x + 3

Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−32 ,∞).

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√x)

= 2√x + 3

Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R} = [0,∞).


Ejemplo 2


(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)=√

2x + 3

Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−32 ,∞).

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√x)

= 2√x + 3

Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R} = [0,∞).


Ejemplo 2


(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)=√

2x + 3

Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0}

= [−32 ,∞).

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√x)

= 2√x + 3

Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R} = [0,∞).


Ejemplo 2


(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)=√

2x + 3

Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−32 ,∞).

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√x)

= 2√x + 3

Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R} = [0,∞).


Ejemplo 2


(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)=√

2x + 3

Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−32 ,∞).

(f ◦ g)(x)

= f (g(x)) = f (√x)

= 2√x + 3

Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R} = [0,∞).


Ejemplo 2


(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)=√

2x + 3

Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−32 ,∞).

(f ◦ g)(x) = f (g(x))

= f (√x)

= 2√x + 3

Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R} = [0,∞).


Ejemplo 2


(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)=√

2x + 3

Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−32 ,∞).

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√x)

= 2√x + 3

Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R} = [0,∞).


Ejemplo 2


(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)=√

2x + 3

Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−32 ,∞).

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√x)

= 2√x + 3

Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R}

= [0,∞).


Ejemplo 2


(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)=√

2x + 3

Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−32 ,∞).

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√x)

= 2√x + 3

Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R} = [0,∞).


Composición de funciones

Ejercicio

Si

f (x) =1

1− x2y g(x) =

√1− x ,

defina (f ◦ g) y encuentre su dominio. ¡CUIDADO!


matematicas b asicas - facultad de...

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