matemáticas avanzadas para ingeniería, vol. 1: ecuaciones … · • a lo largo de los capítulos...

MATEMTICAS AVANZADAS PARA INGENIERA, VOL. 1:

ECUACIONESDIFERENCIALES



Tercera edicin

Dennis G. ZillLoyola Marymount University

Michael R. Cullen (fi nado)Loyola Marymount University

Revisin tcnica:

MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOAMADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO AUCKLAND

LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SO PAULOSINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO

Natella AntonyanDepartamento de MatemticasInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Ciudad de Mxico

Gabriel Cervantes BelloEscuela de Ingeniera y Arquitectura,Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

Andrs Basilio Ramrez y VillaFacultad de Ingeniera, Universidad NacionalAutnoma de Mxico y Escuela de Ciencias Qumicas,Universidad La Salle

Jos Abraham Balderas LpezDepartamento de Matemticas,UPIBI, Instituto Politcnico Nacional

Director Higher Education: Miguel ngel Toledo CastellanosDirector editorial: Ricardo A. del Bosque AlaynEditor sponsor: Pablo E. Roig Vzquez Editora de desarrollo: Lorena Campa RojasSupervisor de produccin: Zeferino Garca Garca

Traduccin: Erika Jasso Hernn DBorneville Carlos Roberto Cordero Pedraza

MATEMTICAS AVANZADAS PARA INGENIERA, VOL. 1:ECUACIONES DIFERENCIALESTercera edicin

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS 2008 respecto a la primera edicin en espaol porMcGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.

Edificio Punta Santa FeProlongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre APiso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro ObregnC.P. 01376, Mxico, D. F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736

ISBN-10: 970-10-6514-XISBN-13: 978-970-10-6514-3

Traducido de la tercera edicin en ingls de la obra: ADVANCED ENGINEERING MATHEMATICS, by Dennis G. Zill and Michael R. Cullen. Copyright 2006 by Jones and Bartlett Publishers, Inc., pgs i-xxii, xxv-xxxiii, 1-298, 347-450, 567-794, App-1-App-8, Ans-1-Ans-41 e I-1-I-23. Se reservan todos los derechos.ISBN-10: 0-7637-4591-XISBN-13: 978-0-7637-4591-2

1234567890 09765432108

Impreso en Mxico Printed in Mexico

v

Prefacio a la tercera edicin en ingls

A diferencia de un curso de clculo o de ecuaciones diferenciales, donde el conte-nido del curso est muy estandarizado, el contenido de un curso titulado matemticas para ingeniera algunas veces vara de forma considerable entre dos instituciones aca-dmicas distintas. Por lo tanto, un texto sobre matemticas avanzadas para ingeniera es un compendio de muchos temas matemticos, todos los cuales estn relacionados en trminos generales por la conveniencia de su necesidad o utilidad en cursos y carreras subsiguientes de ciencia e ingeniera. En realidad, no hay un lmite para la cantidad de temas que se pueden incluir en un texto como el que ahora nos ocupa. En consecuencia, este libro representa la opinin de los autores, en este momento, acerca de lo que consti-tuyen las matemticas para ingeniera.

Contenido del texto

Los seis primeros captulos constituyen un curso completo sobre ecuaciones diferencia-les ordinarias. El captulo sobre Matrices constituye una introduccin a los sistemas de ecuaciones algebraicas, los determinantes y el lgebra matricial con nfasis especial en aquellos tipos de matrices tiles en la resolucin de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

Las secciones sobre criptografa, cdigos para la correccin de errores, el mtodo de los mnimos cuadrados y los modelos compartimentales discretos se presentan como aplicaciones del lgebra matricial.

Posteriormente se abordan los Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales en el captulo 8 y el captulo 9, los Sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales. Ambos empatan fuertemente con el material sobre matrices que se presenta en el captulo 7. En el captulo 8, los sistemas de ecuaciones lineales de primer orden se resuelven aplicando los conceptos de valores propios, vectores propios, diagonalizacin y funcin exponen-cial por medio de una matriz. En el captulo 9 se explican los conceptos de estabilidad mediante dos aplicaciones: flujo de fluido en un plano y movimiento de una cuenta sobre un cable.

En el captulo 10, Funciones ortogonales y series de Fourier, se presentan los temas fundamentales de conjuntos de funciones ortogonales y expansiones de funciones en trminos de una serie infinita de funciones ortogonales. Estos temas se utilizan posterior-mente en los captulos 11 y 12, donde los problemas de valor en la frontera en coordena-das rectangulares, polares, cilndricas y esfricas se resuelven mediante la aplicacin del

vi PREFACIO A LA TERCERA EDICIN EN INGLS

mtodo de separacin de variables. En el captulo 13, Mtodo de la transformada inte-gral, los problemas de valor en la frontera se resuelven por medio de las transformadas integrales de Laplace y Fourier.

Principales caractersticas de Matemticas avanzadas para ingeniera, Vol. 1: Ecuaciones diferenciales

Todo el texto se moderniz a fondo para preparar a los ingenieros y cientficos con las habilidades matemticas requeridas para estar a la altura de los desafos tecnolgicos actuales.

Se han agregado nuevos proyectos de ciencia e ingeniera aportados por importantes matemticos. Estos proyectos estn relacionados con los temas del texto.

Se han aadido muchos problemas nuevos al libro. Adems, fueron reorganizados muchos grupos de ejercicios y, en algunos casos, se han reescrito por completo para seguir el flujo del desarrollo presentado en la seccin y facilitar ms la asignacin de tareas. Los grupos de ejercicios tambin ponen un gran nfasis en la elaboracin de conceptos.

Hay un gran nfasis tanto en las ecuaciones diferenciales como en los modelos ma-temticos. La nocin de un modelo matemtico est entretejida a lo largo de todo el texto, y se analiza la construccin y las desventajas de diferentes modelos.

En la seccin 5.3, Funciones especiales, se ha ampliado el anlisis de las ecuaciones diferenciales que se pueden resolver en trminos de las funciones de Bessel. Tambin por primera vez se presentan las funciones de Bessel modificadas Iv(x) y Kv(x).

En la seccin 8.4, Sistemas lineales no homogneos, se cubre el mtodo de los coefi-cientes indeterminados.

Otro mtodo para resolver problemas no homogneos de valor en la frontera fue agre-gado a la seccin 11.6.

Se enfatiza ms el problema de Neumann en los captulos 11 y 12.

A lo largo de los captulos 10, 11 y 12, la confusa mezcla de smbolos como l2 y 1l en la solucin de problemas de valor en la frontera de dos puntos se ha reem-plazado por el uso consistente de l . Los tres casos l a2, l 0 y l a2 se enfatizan mediante el anlisis.

Diseo del textoComo resultar evidente, el texto tiene un formato ms amplio y un diseo interior a dos tintas, con el fin de que la lectura y el aprendizaje de este libro sean ms amenos y di-dcticos. Todas las figuras tienen textos explicativos. Se han agregado ms comentarios y anotaciones al margen en todo el libro. Cada captulo tiene una pgina de presentacin que incluye una tabla de contenido y una breve introduccin al material que se estudiar. Al final de cada captulo se incluyen ejercicios de revisin. Despus de los apndices se proporcionan respuestas a los problemas impares seleccionados.

AgradecimientosDeseo agradecer a las siguientes personas que generosamente destinaron tiempo de sus ocupadas agendas para proporcionar los proyectos incluidos en el texto:

Anton M. Jopko, Departamento de Fsica y Astronoma, McMaster University.

Warren S. Wright, Departamento de Matemticas, Loyola Marymount University.

PREFACIO A LA TERCERA EDICIN EN INGLS vii

Gareth Williams, Departamento de Matemticas y Ciencias Computacionales, Stetson University.

Jeff Dodd, Departamento de Computacin y Ciencias de la Informacin, Jacksonville State University.

Matheus Grasselli, Departamento de Matemticas y Estadstica, McMaster University.

Dmitry Pelinovsky, Departamento de Matemticas y Estadstica, McMaster University.

Tambin es un gusto poder agradecer a las siguientes personas por sus comentarios y sugerencias de mejora:

Sonia Henckel, Loyola Technological University.

Donald Hartig, California Polytechnic State University, San Luis Obispo.

Jeff Dodd, Jacksonville State University.

Victor Elias, University of Western Ontario.

Cecilia Knoll, Florida Institute of Technology.

William Criminale, University of Washington.

Stan Freidlander, Bronx Community College.

Herman Gollwitzer, Drexel University.

Robert Hunt, Humboldt State University.

Ronald Guenther, Oregon State University.

Noel Harbertson, California State University.

Gary Stoudt, Indiana University of Pennsylvania.

La tarea de compilar un texto de esta magnitud fue, en pocas palabras, larga y difcil. A lo largo del proceso de pasar cientos de pginas manuscritas por muchas manos, sin lugar a dudas se nos pudieron haber escapado algunos errores. Por esto me disculpo de antemano, y desde luego, apreciara saber acerca de cualquier error con el fin de corre-girlo a la mayor brevedad.

Dennis G. Zill Los Angeles

Prlogo a la edicin en espaol

Para que la seleccin de temas pudiera ser flexible, el texto original en ingls fue dividi-do en cuatro partes o subdivisiones principales. Para la edicin en espaol, se opt por dividir el texto en dos volmenes que se pueden manejar de manera independiente. El primero, que tiene el lector en sus manos, trata de las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, adems de contener el captulo sobre matrices. El panorama general de su contenido se puede ver en el prlogo a la edicin en ingls.

Agradecemos el apoyo de los siguientes profesores para el desarrollo de este proyecto:

Angel Varela, ITECArturo Patrn, ITECAureliano Castro, UAS, Escuela de IngenieraClaudio de Jess Pita Ruiz V., Universidad PanamericanaDaniel Hadad Cartas, UAEMDavid Jurez Luna, ITESM CCMEduardo Soberanes, ITESM CuliacnEliseo A. Sosa Altamirano, ESIME CulhuacnErnesto Filio, ITESM CCMFernando Elizalde, U de G (CUCEI)Jess Palacios, Universidad MaristaJose Caldern Lamas, ITECJose Carlos Aragn Hernndez, ITECJos Humberto Jacobo Escobar, UAS, Facultad de Ciencias Qumico BiolgicasJuan Castaeda, UAS, Facultad de Ciencias Qumico BiolgicasJuana Murillo Castro, UAS, Escuela de IngenieraLeopoldo Cendejas, ITESM CCMLudmilla Gumen, UPAEPLuis Felipe Flores, ITLMManuel Ramn Apodaca Snchez, ITLMMarcial Arrambi Daz, ITCMarco Antonio Rodrguez Rodrguez, ITLMMara Gonzlez Cerezo, ITESM CuernavacaMartn Prez, ITESM CSFOscar Esperanza, ITESM CCMOscar Guerrero, ITESM CuliacnRamn Duarte, UAS, Escuela de IngenieraRal Soto Lpez, UDO Culiacn

ix

ContenidoPrefacio a la tercera edicin en ingls v

Prlogo a la edicin en espaol ix

Proyecto para la seccin 3.7 Ilusiones pticas en el camino xviiAnton M. Jopko, Ph.D.

Proyecto para la seccin 3.10 El pndulo balstico xviiiWarren S. Wright

Proyecto para la seccin 7.1 Red de dos puertos en circuitos Gareth Williams, Ph.D. elctricos xix

Proyecto para la seccin 7.2 Flujo de trfico xxiGareth Williams, Ph.D.

Proyecto para la seccin 7.15 Dependencia de la resistividad en Anton M. Jopko, Ph.D. la temperatura xxiii

Proyecto para la seccin 12.3 El tomo de hidrgeno xxivMatheus Grasselli, Ph.D.

Proyecto para la seccin 13.4 La desigualdad de incertidumbre Jeff Dodd, Ph.D. en el procesamiento de seales xxvii

Proyecto para la seccin 13.4 Difraccin de Fraunhofer a travs Anton M. Jopko, Ph.D. de una abertura circular xxix

Proyecto para la seccin 14.2 Inestabilidades en mtodos Dmitry Pelinovsky, Ph.D. numricos xxxi

Parte 1 Ecuaciones diferenciales ordinarias 3

Captulo 1 Introduccin a las ecuaciones diferenciales 41.1 Definiciones y terminologa 5

1.2 Problemas de valor inicial 14

1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemticos 21

Ejercicios de repaso del captulo 1 33

xi

Fam. Sabillon MillaResaltado


Captulo 2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 352.1 Curvas solucin sin solucin 36

2.1.1 Campos de direcciones 362.1.2 Ecuaciones diferenciales autnomas de primer

orden 382.2 Variables separables 452.3 Ecuaciones lineales 522.4 Ecuaciones exactas 602.5 Soluciones por sustitucin 672.6 Un mtodo numrico 712.7 Modelos lineales 752.8 Modelos no lineales 852.9 Modelacin con sistemas de ecuaciones diferenciales de

primer orden 94 Ejercicios de repaso del captulo 2 100

Captulo 3 Ecuaciones diferenciales de orden superior 1043.1 Teora preliminar: ecuaciones lineales 105

3.1.1 Problemas de valor inicial y de valores en la frontera 105

3.1.2 Ecuaciones homogneas 1073.1.3 Ecuaciones no homogneas 112

3.2 Reduccin de orden 1163.3 Ecuaciones lineales homogneas con coeficientes

constantes 1193.4 Coeficientes indeterminados 1263.5 Variacin de parmetros 1353.6 Ecuacin de Cauchy-Euler 1403.7 Ecuaciones no lineales 1453.8 Modelos lineales: problemas de valor inicial 150

3.8.1 Sistemas resorte-masa: movimiento libre no amortiguado 150

3.8.2 Sistemas resorte-masa: movimiento libre amortiguado 153

3.8.3 Sistemas resorte-masa: movimiento forzado 1563.8.4 Circuito en serie anlogo 159

3.9 Modelos lineales: problemas de valores en la frontera 166

3.10 Modelos no lineales 1743.11 Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales 183 Ejercicios de repaso del captulo 3 190

Captulo 4 La transformada de Laplace 1934.1 Definicin de la transformada de Laplace 1944.2 La transformada inversa y transformadas de

derivadas 1994.2.1 Transformadas inversas 1994.2.2 Transformadas de derivadas 201

4.3 Teoremas de traslacin 2074.3.1 Traslacin en el eje s 2074.3.2 Traslacin en el eje t 210

xii CONTENIDO



CONTENIDO xiii

4.4 Propiedades operacionales adicionales 2184.4.1 Derivadas de transformadas 2184.4.2 Transformadas de integrales 2204.4.3 Transformada de una funcin peridica 223

4.5 La funcin delta de Dirac 2284.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 231 Ejercicios de repaso del captulo 4 236

Captulo 5 Soluciones en serie para ecuaciones diferenciales lineales 2395.1 Soluciones en torno a puntos ordinarios 240

5.1.1 Repaso de las series de potencias 2405.1.2 Soluciones en series de potencias 242

5.2 Soluciones en torno a puntos singulares 2515.3 Funciones especiales 260

5.3.1 Funciones de Bessel 2605.3.2 Funciones de Legendre 267


Captulo 6 Soluciones numricas a ecuaciones diferenciales ordinarias 2756.1 Mtodos de Euler y anlisis de errores 2766.2 Mtodos de Runge-Kutta 2806.3 Mtodos de varios pasos 2866.4 Ecuaciones y sistemas de orden superior 2886.5 Problemas de valores en la frontera de segundo

orden 293 Ejercicios de repaso del captulo 6 297

Parte 2 Matrices 299

Captulo 7 Matrices 3007.1 lgebra matricial 3017.2 Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales 3107.3 Rango de una matriz 3217.4 Determinantes 3267.5 Propiedades de los determinantes 3317.6 Inversa de una matriz 338

7.6.1 Clculo de la inversa 3387.6.2 Utilizacin de la inversa para resolver

sistemas 3447.7 Regla de Cramer 3487.8 El problema del valor propio 3517.9 Potencias de las matrices 3577.10 Matrices ortogonales 3617.11 Aproximacin de valores propios 3687.12 Diagonalizacin 3757.13 Criptografa 384

7.14 Cdigo corrector de errores 3877.15 Mtodo de los mnimos cuadrados 3937.16 Modelos discretos de compartimiento 396 Ejercicios de repaso del captulo 7 400

Parte 3 Sistemas de ecuaciones diferenciales 405

Captulo 8 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 4068.1 Teora preliminar 4078.2 Sistemas lineales homogneos 414

8.2.1 Valores propios reales distintos 4158.2.2 Valores propios repetidos 4188.2.3 Valores propios complejos 422

8.3 Solucin mediante diagonalizacin 4278.4 Sistemas lineales no homogneos 430

8.4.1 Coeficientes indeterminados 4308.4.2 Variacin de parmetros 4338.4.3 Diagonalizacin 435

8.5 Matriz exponencial 438 Ejercicios de repaso del captulo 8 442

Captulo 9 Sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales 4449.1 Sistemas autnomos 4459.2 Estabilidad de los sistemas lineales 4519.3 Linealizacin y estabilidad local 4609.4 Sistemas autnomos como modelos matemticos 4699.5 Soluciones peridicas, ciclos lmite y estabilidad

global 477 Ejercicios de repaso del captulo 9 486

Parte 4 Series de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales 489

Captulo 10 Funciones ortogonales y series de Fourier 49010.1 Funciones ortogonales 49110.2 Series de Fourier 49610.3 Series de Fourier de cosenos y senos 50110.4 Series complejas de Fourier 50810.5 Problema de Sturm-Liouville 51210.6 Series de Bessel y de Legendre 519

10.6.1 Serie de Fourier-Bessel 52010.6.2 Serie de Fourier-Legendre 523


Captulo 11 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares 52711.1 Ecuaciones diferenciales parciales separables 528

xiv CONTENIDO

CONTENIDO xv

11.2 Ecuaciones clsicas y problemas de valores en la frontera 532

11.3 La ecuacin de calor 53711.4 La ecuacin de onda 54011.5 La ecuacin de Laplace 54511.6 Problemas de valores en la frontera no homogneos 55011.7 Desarrollos en series ortogonales 55711.8 Serie de Fourier con dos variables 561 Ejercicios de repaso del captulo 11 564

Captulo 12 Problemas de valores en la frontera en otros sistemas coordenados 56612.1 Problemas en coordenadas polares 56712.2 Problemas en coordenadas polares y cilndricas: funciones

de Bessel 57212.3 Problemas en coordenadas esfricas: polinomios de

Legendre 578 Ejercicios de repaso del captulo 12 581

Captulo 13 Mtodo de la transformada integral 58313.1 Funcin de error 58413.2 Aplicaciones de la transformada de Laplace 58513.3 Integral de Fourier 59313.4 Transformadas de Fourier 59813.5 Transformada rpida de Fourier 604 Ejercicios de repaso del captulo 13 613

Captulo 14 Soluciones numricas de ecuaciones diferenciales parciales 61514.1 La ecuacin de Laplace 61614.2 La ecuacin de calor 62114.3 La ecuacin de onda 627 Ejercicios de repaso del captulo 14 630

Apndices AP-1I Algunas frmulas de derivadas e integrales AP-2II Funcin gamma AP-4III Tabla de transformadas de Laplace AP-6

Respuestas a los problemas seleccionados de nmero impar RESP-1

ndice I-1

xvi PROYECTO PARA LA SECCIN 3.7 Ilusiones pticas en el camino

PROYECTO PARA LA SECCIN

Vrtice Luz del cieloTrayectoria real

La mancha luminosa aparece aqu

Figura 1 Refraccin de la luz por el aire

3.7

Ilusiones pticas en el caminoAnton M. Jopko, Ph. D.Departamento de fsica y astronoma, McMaster University

La mayora de nosotros hemos conducido por alguna carretera durante un da soleado, y hemos visto a la distancia una mancha luminosa en el camino que se ve como un parche de hielo. Esta mancha se mueve, desa-parece y reaparece, a medida que conducimos.

La velocidad de la luz en un medio est dada por n c>n , donde c es la velocidad de la luz en el vaco y n el ndice de refraccin del medio. Como la veloci-dad de la luz no puede ser mayor que c, el ndice de refraccin siempre satisface n 1. Para el aire fro, la densidad y el ndice de refraccin son mayores, de ma-nera que la velocidad de la luz es ms lenta. Por otra parte, para el aire caliente, la densidad y el ndice de refraccin son menores, as que la velocidad de la luz es ms rpida. Cuando la luz viaja entre dos medios con ndices de refraccin diferentes, se dobla o refrac-ta. La figura 1 muestra la luz que el aire refracta con-forme la densidad cambia. El pavimento est caliente, as como el aire que est inmediatamente encima. Este conjunto de circunstancias propicia que la densidad del aire sea ms pequea. Ms arriba el aire es ms fro, lo cual provoca que su densidad aumente con la altura; como consecuencia, su ndice de refraccin aumenta. El ndice de refraccin es cercano a 1 en la superfi-cie del camino y aumenta con mucha lentitud segn la altura sobre el camino. La luz brillante del cielo se refracta a medida que se acerca ms al camino, de ma-nera que entra en los ojos del conductor como se ve en la figura 1. De hecho, la luz nunca toca el camino; ms bien, parece provenir directamente de ste como un brillante parche en la distancia.

Digamos que el ndice de refraccin del aire n(y) depende slo de la altura vertical y situada por encima del camino, y que el eje x se encuentra a lo largo del

camino horizontal. Esto implica que la trayectoria de la luz sea simtrica respecto al eje vertical que atraviesa el punto ms bajo de la curva. Llamamos a este punto ms bajo vrtice. Si y(x) denota la ecuacin de la trayectoria seguida por la luz, es posible demostrar que y satisface la ecuacin diferencial de segundo orden no lineal

d 2y

dx 2 c1 ady

dxb2 d 1

n dn

dy (1)

Para resolver esta ecuacin diferencial necesitamos co-nocer n(y). Consideraremos algunos ejemplos de n(y) en el siguiente apartado de Problemas relacionados. Tambin veremos cmo resolver la ecuacin (1) usan-do la tcnica de reduccin de orden. Estos casos quiz no sean muy realistas, pero tienen la caracterstica de que n es constante o aumenta con la altura y. En cual-quier caso, la ecuacin (1) se resuelve sin dificultad.

Problemas relacionados 1. Si el ndice de refraccin n(y) es una funcin creciente

de y, explique por qu la trayectoria de la luz descrita mediante una solucin y(x) de (1) debe ser cncava ascendente.

2. Suponga que n(y) = constante. ste es un caso espe-cial donde el aire tiene densidad uniforme. Entonces la ecuacin (1) se convierte en d2y>dx2 0.a) Cul es la solucin para esta ecuacin diferencial?

b) Cul es la concavidad de la grfica de esta solu-cin?

c) Por qu la solucin del inciso a) es lgica desde el punto de vista fsico para el ndice de refrac-cin dado?

3. a) Suponga que n 1y2 ey>a, donde a y y se miden en metros y a es grande (digamos, 10 000 m). Muestre que la ecuacin (1) se convierte en

d 2y

dx 2

1a c1 ady

dxb 2 d .

b) En la ecuacin diferencial del inciso a) falta la variable dependiente y, por lo que la sustitucin apropiada es

dy

dx u y

d 2y

dx 2

du

dx.

Encuentre la nueva ecuacin diferencial para u(x) y resulvala.

c) Use el resultado que obtuvo en el inciso b) y la sustitucin u dy>dx para encontrar la nueva ecuacin diferencial para y(x) y resolverla.

d ) Ahora suponga que los ojos del conductor estn a 1.2 m por encima del camino, y que el vrtice de la trayectoria est a 1.19 m por encima del camino y a 50 m frente al conductor. Use la solucin que obtuvo en el inciso c) para encontrar la distancia

PROYECTO PARA LA SECCIN 3.7 Ilusiones pticas en el camino xvii

que hay entre el automvil y el brillante parche del camino.

4. a) Suponga que n 1y2 1y, y 1, donde y se mide en metros. Muestre que la ecuacin (1) se convierte en

d2y

dx2

1

2y c1 ady

dxb2 d .

b) La variable independiente x no se encuentra en la ecuacin diferencial del inciso a) y por tanto la sustitucin adecuada es

dy

dx u y

d 2y

dx 2 u

du

dy .

Encuentre la nueva ecuacin diferencial para u(y) y resulvala.

c) Utilice el resultado del inciso b) y la sustitucin u dy>dx para encontrar una nueva ecuacin di-ferencial para y(x) y resulvala.

d) Ahora suponga que los ojos del conductor se en-cuentran a 1.2 metros sobre el camino, y el vr-tice de la trayectoria se encuentra a 1.19 metros sobre el camino y 3 metros frente al conductor. Utilice la solucin del inciso c) para encontrar la distancia desde el automvil a la seccin brillante sobre el camino.

xviii PROYECTO PARA LA SECCIN 3.7 Ilusiones pticas en el camino

mw

m b + m w

mbvb

l

V

h

mx

Figura 1 Pndulo balstico

PROYECTO PARA LA SECCIN 3.10

El pndulo balsticoWarren S. WrightDepartamento de matemticas, Loyola Marymount University

Histricamente, con el objetivo de mantener el control de calidad de las municiones (balas) fabricadas por una lnea de produccin, el fabricante utilizaba un pndulo balstico para determinar la velocidad de barril de una pistola, es decir, la velocidad de una bala cuando sale del can. El pndulo balstico (inventado en 1742) sencillamente es un pndulo plano que consiste de una varilla de masa despreciable a la que se le conecta un bloque de madera de masa mw. El sistema se pone en movimiento por medio del impacto de una bala, la cual se desplaza de forma horizontal a una velocidad vb desconocida; en el momento del impacto, t = 0, la masa combinada ser mw mb, donde mb representa la masa de la bala incrustada en la madera. En la seccin 3.10 observamos que para el caso de pequeas oscila-ciones, el desplazamiento angular u 1t2 de un pndulo plano como el mostrado en la figura 1 est dado por la ecuacin diferencial lineal u 1g>l2u 0, donde u 7 0 corresponde al movimiento a la derecha de la vertical. La velocidad vb puede obtenerse por medio de la medicin de la altura h de la masa mw mb en el mximo ngulo de desplazamiento mx que se muestra en la figura 1.

De forma intuitiva, sabemos que la velocidad hori-zontal V de la masa combinada (madera y proyectil) despus del impacto solamente es una fraccin de la

velocidad vb de la bala: V a mbmw mbbvb. Ahorarecuerde que una distancia s recorrida por una par-tcula que se desplaza sobre una trayectoria circular est relacionada con el radio l y el ngulo central por medio de la frmula s lu. Al derivar esta ltima

frmula respecto al tiempo t, tenemos que la veloci-dad angular v de la masa y su velocidad lineal v estn relacionadas por medio de v = lv. De esta forma, la velocidad inicial angular v0 en el tiempo t en el que el proyectil impacta al bloque de madera est relacionado

con V por medio de V lv0 o v0 a mbmw mbbvbl .Problemas relacionados

1. Resuelva el problema de valor inicial

d2u

dt2

g

l u 0, u 102 0, u 102 v0 .

2. Utilice el resultado del problema 1 para demostrar que

vb amw mbmb b1lg umx . 3. Utilice la figura 1 para expresar cos mx en trminos

de l y h. Luego utilice los primeros dos trminos de la serie de Maclaurin de cos para expresar mx en tr-minos de l y h. Por ltimo, demuestre que vb est dada (de forma aproximada) por

vb amw mbmb b12gh. 4. Utilice el resultado del problema 3 para encontrar vb

cuando mb = 5 g, mw = 1 kg, y h = 6 cm.

xviii PROYECTO PARA LA SECCIN 3.10 El pndulo balstico

PROYECTO PARA LA SECCIN 3.7 Ilusiones pticas en el camino xix

I1

I1

I2

I2

V1 V2Dos puertos

Figura 1 Red elctrica

I1

I1

I2

I2

V1 V2R

Figura 2 Red de dos puertos

7.1

Red de dos puertos en circuitos elctricosGareth Williams, Ph. D.Departamento de matemticas y ciencias computacionales, Stetson University

Muchas redes elctricas estn diseadas para aceptar seales en ciertos puntos y producir una versin modi-ficada de stas. El arreglo general se ilustra en la figura 1. Una corriente I1 a un voltaje V1 se enva sobre una

una forma lineal y determinan la matriz de transmisin. Nuestro mtodo ser construir dos ecuaciones: una que exprese a V2 en trminos de V1 e I1, y la otra que exprese a I2 en trminos de V1 e I1. Posteriormente combinare-mos estas dos ecuaciones en una sola ecuacin matricial.

Utilizamos la siguiente ley:

Ley de Ohm: La cada de voltaje a travs de una re-sistencia es equivalente a la corriente multiplicada por la resistencia.

La cada de voltaje a travs de la resistencia ser V1 V2. La corriente a travs de la resistencia es I1. Por tanto, la ley de Ohm establece que V1 V2 I1R. La corriente I1 pasa a travs de la resistencia R y exis-te como I1. De esta forma, I2 I1. Primero escribimos estas dos ecuaciones en la forma estndar,

V2 V1 RI1

I2 0V1 I1

y luego como una ecuacin matricial,aV2I2b a1 R

0 1b aV1

I1b .

La matriz de transmisin es a1 R0 1

b. De estaforma si R equivale a 2 ohms y el voltaje y corriente de entrada son V1 5 volts e I1 1 ampere, respectiva-mente, obtenemosaV2

I2b a1 2

0 1b a5

1b a3

1b.

El voltaje y la corriente de salida sern 3 volts y 1 am-pere respectivamente.

En la prctica, se colocan en serie varias redes de dos puertos estndar como la que se describi arriba para obtener un cambio de voltaje y corriente deseado. Considere las tres redes de dos puertos de la figura 3, cuyas matrices de transmisin son A, B y C.

Al considerar cada red de forma independiente, te-nemos queaV2

I2b A aV1

I1b, aV3

I3b B aV2

I2b, aV4

I4b C aV3

I3b.

Al sustituir aV2I2b de la primera ecuacin en la segunda

obtenemos aV3I3b BA aV1

I1b .

red de dos puertos, y sta determina de alguna forma la corriente de salida I2 al voltaje V2. En la prctica, la re-lacin entre las corrientes y voltajes de entrada y salida por lo general es lineal, y se encuentran relacionadas por una ecuacin matricial:aV2

I2b aa11 a12

a21 a22b aV1

I1b.

La matriz de coeficientes aa11 a12a21 a22b se denomina ma-triz de transmisin del puerto. La matriz define a la red de dos puertos.

En la figura 2 se presenta un ejemplo de una red de dos puertos. La parte interior consiste en una resistencia R conectada como se muestra. Podemos demostrar que las corrientes y los voltajes en efecto se comportan de


I1

I1

I2

I2

I2

I2

I3

I3

I3

I3

I4

I4

V1 V2 V3 V4A B C

Figura 3 Dos puertos en serie

PROYECTO PARA LA SECCIN 7.1 Red de dos puertos en circuitos elctricos xix

xx PROYECTO PARA LA SECCIN 3.7 Ilusiones pticas en el camino

I1

I1

I2

I2

V1 V2R

Figura 4 Red de dos puertos para el problema 1

I1

I1

I2

I2

V1 V2R1

R2

I1

I1

I2

I2

V1 V2R1

R2



4. La red de dos puertos de la figura 7 consiste de tres redes de dos puertos colocadas en serie. Las matrices de transmisin son las que se muestran.

a) Cul es la matriz de transmisin de la red de dos puertos compuesta?

b) Si el voltaje de entrada equivale a 3 volts y la corriente a 2 amperes, determine el voltaje y la co-rriente de salida.

Al sustituir la ltima matriz aV3I3b en la tercera ecua-

cin obtenemos

aV4I4b CBA aV1

I1b .

De este modo las tres redes de dos puertos sern equi-valentes a una sola. La matriz de transmisin de esta red de dos puertos ser el producto CBA de los puertos individuales. Observe que la ubicacin de cada puerto en la secuencia es relevante debido a que las matrices no son conmutativas bajo la multiplicacin.

Problemas relacionadosEn los problemas 1-3, determine las matrices de trans-misin de las redes de dos puertos que se muestran en la figura.

1. V1 V2 debido a que las terminales se conectan de forma directa. La corriente a travs de la resistencia R es I1 I2. La cada de voltaje a travs de R ser V1.

2. La corriente a travs de R1 es I1 I2. La cada de vol-taje a travs de R1 es V1. La corriente a travs de R2 es I2. La cada de voltaje a travs de R2 es V1 V2 .

3. La corriente a travs de R1 es I1. La cada de voltaje a travs de R1 es V1 V2. La corriente a travs de R2 es I1 I2. La cada de voltaje a travs de R2 es V2.

I2

I2

I2

I2

I3

I3

I3

I3

I4

I4

2 volts

3 amperes

1 10 1

1 01 1

V2 V3 V4( ( 3 11 1( (( (

Figura 7 Redes de dos puertos en serie para el problema 4

xx PROYECTO PARA LA SECCIN 7.1 Red de dos puertos en circuitos elctricos

PROYECTO PARA LA SECCIN 3.7 Ilusiones pticas en el camino xxi

800 vph

250 vph 600 vph

350 vph225 vph

400 vph

300 vph

125 vphCalle Duval

Calle Monroe

A B

D C

Cal

le H

ogan

Cal

le L

aura

x1

x3

x2 x4

N

Figura 1 Centro de la ciudad de Jacksonville, Florida

Interseccin B: Trfico de entrada = 350 + 125. Trfico de salida = x1 x4. Por tanto, x1 x4 475.

Interseccin C: Trfico de entrada = x3 x4. Trfico de salida = 600 + 300. Por tanto, x3 x4 900.

Interseccin D: Trfico de entrada = 800 + 250. Trfico de salida = x2 x3. Por tanto x2 x3 1050.

Estas restricciones sobre el trfico se describen em-pleando el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x1 x2 625

x1 x4 475

x3 x4 900

x2 x3 1050

Puede emplearse el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan para resolver este sistema de ecuaciones. La matriz aumentada y la forma reducida escalonada por rengln son las siguientes:

Suponga que se aplican las siguientes leyes de tr-fico:

Todo el trfico que ingresa a una interseccin debe aban-donarla.

Esta restriccin de la conservacin del flujo (com-prela con la regla de nodos de Kirchhoff) nos lleva a un sistema de ecuaciones lineales:

Interseccin A: Trfico de entrada = x1 x2.Trfico de salida = 400 + 225. Por tanto, x1 x2 625.

PROYECTO PARA LA SECCIN 7.2

Flujo de trficoGareth Williams, Ph.D.Departamento de matemticas y ciencias computacionales,Stetson University

El anlisis de redes, como lo observamos en el anlisis de las reglas de nodo y lazo de Kirchhoff en la seccin 2.2, juega un papel importante en la ingeniera elctrica. En aos recientes, los conceptos y herramientas de este anlisis de redes han resultado tiles en muchos otros campos, como en la teora de la informacin y el estu-dio de sistemas de transporte. El siguiente anlisis del flujo de trfico a travs de una red de caminos durante las horas pico ilustra cmo en la prctica pueden surgir sistemas de ecuaciones lineales con muchas soluciones.

Considere la red tpica de calles de la figura 1. Representa un rea del centro de la ciudad de Jacksonville, Florida. Las calles son de un solo sentido, las flechas indican la direccin del flujo del trfico. El flujo del tr-fico de entrada y salida de la red se mide en trminos de vehculos por hora (vph). Las cifras que se propor-cionan se basan en las horas de trfico pico de mitad de semana, de 7 a 9 a.m. y de 4 a 6 p.m. Se deber per-mitir un incremento de 2 por ciento en el flujo general durante la tarde del viernes. Construyamos un modelo matemtico que pueda utilizarse para analizar esta red.

El sistema de ecuaciones que corresponde con esta forma reducida escalonada por rengln es

x1 x4 475

x2 x4 150

x3 x4 900.

Al expresar cada variable principal en trminos de la variable restante, obtenemos

x1 x4 475

x2 x4 150

x3 x4 900.

Como podra esperarse, el sistema de ecuaciones cuenta con varias soluciones, por lo que es posible tener varios flujos de trfico. Un conductor cuenta con una cierta cantidad de opciones en las intersecciones. Ahora utilicemos este modelo matemtico para obte-ner ms informacin sobre el flujo de trfico. Suponga que se requiere realizar trabajos de mantenimiento en el segmento DC de Calle Monroe. Es deseable contar con un flujo de trfico x3 lo ms pequeo posible para este segmento de calle. Los flujos pueden controlarse a lo largo de diversas bifurcaciones por medio de sem-foros. Cul sera el valor mnimo de x3 sobre DC que no ocasione una congestin de trfico? Para resolver esta pregunta, emplearemos el sistema de ecuaciones anterior.

Los flujos de trfico no deben ser negativos (un flujo negativo podra interpretarse como trfico que se des-plaza en la direccin incorrecta en una calle de un solo

. 1 1 0 0 6251 0 0 1 4750 0 1 1 900

0 1 1 0 1050

erati1

1 0 0 1 4750 1 0 1 1500 0 1 1 900

0 0 0 0 0

Operaciones de renglones

PROYECTO PARA LA SECCIN 7.2 Flujo de trfico xxi

xxii PROYECTO PARA LA SECCIN 3.7 Ilusiones pticas en el camino

155

75

100

120

130

110

90

80

x1

x5

x2x3

x4x8

x7x6

Figura 4 Flujo de trfico del problema 3

150100

50

200

A

B

D

C

x1

x3

x2

x4


A

B C

D

F E

x3

x1

x2

x2

x4

x4

x5

200 200

Figura 5 Flujo de trfico para el problema 4

100

150100

50100

50

A B

D C

200

50

x1

x3

x2x4


sentido). La tercera ecuacin en el sistema nos indica que x3 ser un mnimo cuando x4 sea lo ms grande posible, siempre que no exceda de 900. El valor ms grande que x4 puede llegar a tener sin ocasionar valores negativos de x1 o de x2 es 475. De este modo, el valor ms pequeo de x3 ser 475 + 900, o 425. Todo tra-bajo de mantenimiento sobre la Calle Monroe deber permitir un volumen de trfico de al menos 425 vph.

En la prctica, las redes son mucho ms vastas que la analizada aqu, llevando a sistemas de ecuaciones lineales ms grandes, que son manipuladas median-te computadoras. Es posible ingresar diversos valores para las variables en una computadora con el fin de crear escenarios distintos.

Problemas relacionados 1. Construya un modelo matemtico que describa el flujo

de trfico en la red de calles sealada en la figura. 2. Todas las avenidas son calles de un solo sentido en las direcciones indicadas. Las unidades estn dadas en vehculos por hora (vph). Proporcione dos flujos de trfico posibles. Cul es el flujo mnimo posible que puede esperarse sobre el tramo AB?

momento? (Las unidades de flujo estn dadas en ve-hculos por hora.)

3. La figura 4 representa el trfico que ingresa y sale de otro tipo de glorieta usada en Europa continental. Tales glorietas aseguran el flujo continuo de trfico en las intersecciones de calles. Construya ecuaciones lineales que describan el flujo del trfico sobre las distintas bifurcaciones. Utilice estas ecuaciones para determinar el flujo mnimo posible sobre x1. Cules son los dems flujos en este momento? (No es nece-sario calcular la forma reducida escalonada por ren-glones. Utilice el hecho de que el flujo de trfico no puede ser negativo.)

2. La figura 3 representa el trfico que ingresa y sale de una glorieta. Tales intersecciones son muy comu-nes en Europa. Construya un modelo matemtico que describa el flujo del trfico sobre las diversas bifurca-ciones. Cul es el flujo mnimo posible terico sobre la rama BC? Cules son los otros flujos en dicho

4. La figura 5 describe un flujo de trfico, con las unida-des en vehculos por hora (vph).

a) Construya un sistema de ecuaciones lineales que describa este flujo.

b) El tiempo total que toma a los vehculos reco-rrer cualquier segmento de calle es proporcional al trfico sobre dicho segmento. Por ejemplo, el tiempo total que toma a x1 vehculos recorrer AB sern kx1 minutos. Suponiendo que la constante es la misma para todas las secciones de calles, el tiempo total para que 200 vehculos recorran esta red ser kx1 2kx2 kx3 2kx4 kx5. Cul ser el tiempo total si k = 4? Proporcione un tiem-po promedio para cada automvil.

xxii PROYECTO PARA LA SECCIN 7.2 Flujo de trfico

PROYECTO PARA LA SECCIN 3.7 Ilusiones pticas en el camino xxiii

Tc ( C) Resistividad (-m) 108

20 5.60

40 5.65

80 5.70

200 7.82

500 11.1

700 20.2

1 000 30.5

7.15

Dependencia de la resistividad en la temperaturaAnton M. Jopko, Ph.D.Departamento de fsica y astronoma,McMaster University

Un conductor de longitud L y rea transversal uniforme A tiene una resistencia R dada por R rL>A, pues el conductor est hecho de un material con resistividad . Sin embargo, la resistividad no es constante para todas las temperaturas del conductor. Cuando la corriente fluye a travs del conductor, se genera calor, lo que eleva su temperatura. A este proceso se le conoce como calen-tamiento de Joule. En general, mientras ms alta sea la temperatura, ms alta ser la resistividad y en ltima ins-tancia la resistencia. Esto significa que debe conocerse la resistividad a la temperatura de trabajo del conductor. Modelamos la resistividad a la temperatura Tc del con-ductor por medio de la funcin cuadrtica dada por

r 1Tc2 r0 a 1Tc T02 b 1Tc T02 2donde Tc representa la temperatura del conductor en grados Celsius, T0 es la temperatura ambiente y r0 es la resistividad a temperatura ambiente. Los coeficientes 0, y se determinan por medio de la experimentacin.

El tungsteno es un conductor con un punto de fusin muy ele-vado, que se utiliza para fabricar los filamentos de las lmparas in-candescentes. Suponga que la in-formacin en la tabla est medida para la resistividad del tungste-no. En los problemas siguientes, presentamos un procedimiento de mnimos cuadrados para en-contrar los valores de 0, y . Asumiremos que T0 20

C.

Problemas relacionadosDeseamos ajustar puntos de informacin 1xi, yi2 utili-zando la ecuacin cuadrtica general y = ax2 + bx + c en el sentido de mnimos cuadrados. Con tan slo tres puntos de informacin, no sera necesario el procedi-miento de mnimos cuadrados. En nuestro caso, conta-mos con siete puntos de informacin.

1. Construya el vector columna Y y1y2o

y7

y la matriz A x21 x1 1x22 x2 1

o o ox27 x7 1

. 2. Haga que el vector columna X* a*b*

c* contenga

los coeficientes mnimos cuadrados. Calcule el vector

X* 1ATA21ATY. 3. Utilizando la ecuacin cuadrtica de mnimos cuadra-

dos, prediga la resistividad del tungsteno a 300C.

4. Si un conductor de tungsteno a temperatura ambiente tiene una resistencia de 5 ohms, utilice el resultado del problema 3 para predecir su resistencia a una tem-peratura de 300C.

5. Encuentre el error RMS (raz cuadrada de la media de los cuadrados) de la ecuacin cuadrtica de mnimos cuadrados,

A

1n a

n

i1

1Yi Y *i 2 2 ,donde Y* AX* es el valor de mnimos cuadrados de Y.

6. Explique, en trminos generales, lo que significa el error RMS o de raz cuadrada de la media de los cua-drados.

7. Realice la prediccin de la resistividad del conduc-tor de tungsteno a 2 000C. Qu tan confiable es este valor?


Imagen Ablestock

PROYECTO PARA LA SECCIN 7.15 Dependencia de la resistividad en la temperatura xxiii

xxiv PROYECTO PARA LA SECCIN 3.7 Ilusiones pticas en el camino

12.3

El tomo de hidrgenoMatheus Grasselli, Ph.D.Departamento de matemticas y estadstica,McMaster University

El tomo de hidrgeno represent uno de los problemas sin resolver ms importantes en la fsica a principios del siglo xx. Con nicamente un protn y un electrn, ofrece el ejemplo ms simple posible que deba ser ex-plicado por cualquier modelo atmico. La descripcin clsica era la de un electrn en rbita alrededor de un protn debido a una atraccin elctrica. Sin embargo, la hiptesis era inconsistente, debido a que para mover-se alrededor del protn, el electrn necesita acelerarse. Toda partcula cargada y acelerada emite ondas electro-magnticas. Entonces, con el tiempo, el electrn deba perder energa cintica y eventualmente colapsarse hacia el ncleo del tomo. Para complicar an ms las cosas, a partir de informacin espectroscpica se saba que el gas de hidrgeno emite luz con longitudes de onda muy especficas, las llamadas lneas espectrales. Adems, estas lneas espectrales que podan observar-se en el rango visible satisfacan una frmula emprica enunciada por primera vez por J. J. Balmer en 1885. Si la longitud de onda es indicada por , entonces las lneas espectrales de lo que actualmente se denomina la serie de Balmer estarn definidas por

1

l RH a14 1k2b, k 3, 4, 5, p (1)

donde RH es una constante para la cual el mejor valor emprico es 10 967 757.6 1.2 m1.

Todo modelo atmico razonable no slo deba ex-plicar la estabilidad del tomo de hidrgeno, sino que tambin deba generar una explicacin para las lneas espectrales con frecuencias que satisfacan esta frmu-la. El primer modelo de este tipo fue propuesto por Niels Bohr en 1913, utilizando una ingeniosa com-binacin de argumentos clsicos y dos postulados cunticos. Bohr asumi que el electrn se encuentra restringido a un movimiento en rbitas con un momen-to angular cuantizado, es decir, en mltiplos enteros de una constante dada. Observe la figura 1. Adems, los tomos emiten energa en forma de ondas electro-magnticas nicamente cuando el electrn salta de una rbita fija a otra. Las frecuencias de estas ondas estn dadas por la frmula de Planck E Un, donde E es la diferencia de energa entre las rbitas y U es la constante de Planck.

Intente reproducir los pasos de Bohr mediante la re-solucin de los problemas 1-3.

Problemas relacionados 1. Suponga, como se muestra en la figura 1, que el elec-

trn cuenta con una masa m y una carga e, y que se desplaza en una rbita circular de radio r alrededor del protn, el cual tiene una carga e y una masa mucho mayor. Utilice las frmulas clsicas de la fuerza elc-trica para cargas puntuales con el objetivo de deducir que la energa mecnica total (cintica ms potencial) para el electrn en esta rbita es

E

e2

8pe0r, (2)

donde e0 es la permisividad del espacio. Adicional-mente, deduzca que el momento angular clsico para esta rbita es

L B

me2r

4pe0. (3)

2. Ahora utilicemos el primer postulado de Bohr: asuma que el momento angular es de la forma L nU, donde n = 1, 2, . . . . Sustituya esta expresin en la ecuacin (3) y encuentre una expresin para el radio orbital r como una funcin de n. Inserte esta funcin en la ecuacin (2) y obtenga una expresin para los niveles de energa cuntica del tomo de hidrgeno.

3. Ahora estamos listos para utilizar el segundo pos-tulado de Bohr. Suponga que una electrn realiza una transicin desde el nivel de energa Ek al nivel de energa En, para enteros k > n. Utilice la frmula E Un y la relacin ln c (donde c representa la velocidad de la luz) para deducir que la longitud de onda emitida por esta transicin es

1

l

me4

8U3e20c a 1

n2

1

k2b (4)


Protn

Electrn

Figura 1 Modelo planetario de Bohr del tomo de hidrge-no: en este modelo, un electrn puede ocupar nicamente ciertas rbitas alrededor de un ncleo que consiste de un protn.

xxiv PROYECTO PARA LA SECCIN 12.3 El tomo de hidrgeno

PROYECTO PARA LA SECCIN 3.7 Ilusiones pticas en el camino xxv

Asignemos n = 2 en la ecuacin (4) y concluimos

que esto genera la serie de Balmer con RH me4

h3e20c.

Ahora, realice una investigacin para los valores de las constantes que aparecen en esta frmula y calcule RH.

Su valor es comparable con el valor emprico? Por

ltimo, reemplace m por la masa reducida mM

m M (donde M es la masa del protn) y sorprndase con la

notable precisin de este resultado.

A pesar de su xito evidente, el modelo de Bohr tena como detalle el que llevaba la teora clsica lo ms lejos posible y luego la complementaba con pos-tulados cunticos especficos cuando era necesario. Esta situacin fue acertadamente considerada como insatisfactoria e inspir a los fsicos a desarrollar una teora mucho ms completa del fenmeno atmico, lo que dio paso al nacimiento de la mecnica cuntica. En el ncleo de ella hay una ecuacin diferencial par-cial propuesta por Erwin Schrdinger en 1926 en un documento con un ttulo sugerente La cuantizacin como un problema de valores propios. La ecuacin de Schrdinger dependiente del tiempo para un siste-ma fsico de masa m sujeto a un potencial V(x) es

U2

2m 2 1x2 V 1x2 1x2 E 1x2 , (5)

donde 2 representa al operador laplaciano y E es el valor (escalar) para la energa total del sistema en el estado estacionario 1x2 . Aqu x = (x, y, z) represen-ta un punto en el espacio de posicin de tres dimen-siones. La interpretacin correcta de la funcin 1x2 implica argumentos probabilsticos refinados. Para nuestro problema, es suficiente decir que 1x2 con-tiene toda la informacin que se puede obtener fsica-mente acerca del sistema en consideracin. Nuestro propsito ahora, siguiendo el espritu del documento original de Schrdinger, ser obtener los niveles de energa En para el tomo de hidrgeno como los valo-res posibles de energa para los cuales la ecuacin (5) admite una solucin.

Ahora intente resolver el siguiente problema.

4. Debido a que la energa potencial V 1r2 e24pe0r

depende nicamente del radio r, para este problema es natural considerar coordenadas esfricas 1r, u, f2 definidas por las ecuaciones

x r sen u cos f, y r sen u sen f, z r cos u .

Comience por escribir la ecuacin (5) en estas coor-denadas [recuerde la expresin para el operador de Laplace en coordenadas esfricas en (2) de la seccin 6.3]. Ahora utilizamos la separacin de variables con

1x2 R 1r2 1u2 1f2 para mostrar que el com-ponente radial R(r) satisface a

R

2r R

2m

U2 a e2

4pe0r Eb R k 2m

U2r2 (6)

donde k es una constante. En la solucin del problema 4 debera haber en-

contrado que la tcnica de separacin de variables di-vide la ecuacin de Schrdinger en dos partes: una que depende nicamente de r y la otra que depende solamente de y . Cada una de estas partes debe ser equivalente a una constante, que denominamos k. Si buscramos la solucin de la parte angular (la que involucra a y ), encontraramos que k es un nme-ro cuntico relacionado con el momento angular del tomo. Para el resto de este proyecto, consideraremos el caso k = 0, que corresponde con los estados con momento angular cero. En este punto proceda con los problemas 5-7.

5. Establezca k = 0 en la ecuacin (6) y considere su lmite cuando r S q. Demuestre que eCr, donde

C

A

2mE

U2 (7)

es una solucin de esta ecuacin limitante. 6. Con base en el ejercicio anterior, considere una so-

lucin general de la forma R 1r2 f 1r2eCr para una funcin analtica f (r). Mediante procedimientos anal-ticos, la funcin f (r) posee una expansin de series

f 1r2 a0 a1r a2r2 p Sustituya esta serie en la ecuacin (6) (con k = 0) y

deduzca que los coeficientes ai satisfacen la relacin recursiva

aj 2

jC B

j 1 j 12aj 1, j 1, 2, p , (8) donde B

me2

4pe0U2

7. Demuestre que el lmite de la ecuacin (8) para

valores grandes de j es aj 2C

j 1aj 1, que es la serie

de potencia para la funcin e2Cr. Concluya que la nica forma de hacer que la funcin R(r) disminuya a cero a medida que r se vuelve ms grande es que la serie de potencias para f (r) termine despus de un nmero finito de trminos. Por ltimo, observe que esto sucede si y slo si nC = B para algn entero n.

Nuestro problema final en este proyecto ser ge-nerar los niveles de energa del tomo de hidrgeno como una consecuencia del trabajo realizado hasta aqu. Deber observar que la existencia de niveles de energa cuantizados no necesitan ser postulados, sino ms bien deducidos a partir del anlisis matemtico de la ecuacin de Schrdinger. Mientras que los pasos

PROYECTO PARA LA SECCIN 12.3 El tomo de hidrgeno xxv

xxvi PROYECTO PARA LA SECCIN 3.7 Ilusiones pticas en el camino

de deduccin son ms complicados que los seguidos por Bohr, debe ser evidente que la eliminacin de los axiomas de cuantizacin especficos de Bohr fue un logro importante alcanzado por Schrdinger, razn por la cual recibi el Premio Nobel de fsica en 1933.

8. Utilice la condicin expresada en el ejercicio previo y las frmulas obtenidas para C y B para concluir que

las energas permitidas para el tomo de hidrgeno en un estado con momento angular cero son

En

me414pe02 22U2n2 (9) que deben coincidir con los niveles de energa que en-

contr para el tomo de Bohr del problema 2.

xxvi PROYECTO PARA LA SECCIN 12.3 El tomo de hidrgeno

PROYECTO PARA LA SECCIN 3.7 Ilusiones pticas en el camino xxvii

13.4

La desigualdad de incertidumbre en el procesamiento de sealesJeff Dodd, Ph.D.Departamento de Matemticas, Computacin y Ciencias de la InformacinJacksonville State University

Los ingenieros en comunicaciones interpretan a la trans-formada de Fourier como la descomposicin de una seal f (x) que lleva informacin, donde x representa al tiempo, en una superposicin de tonos sinusoida-les puros que tienen frecuencias representadas por una variable real. De hecho, los ingenieros usualmente con-sideran la representacin en el dominio de la frecuen-cia resultante, tanto o ms que la representacin en el dominio del tiempo (esto es, la seal misma!). Un aspecto fundamental del procesamiento de seales es que cuanto ms estrecha es una seal en el dominio del tiempo, ms amplia es en el dominio de la frecuencia. Tambin, cuanto ms estrecha es una seal en el dominio de la frecuencia, ms amplia es en el dominio del tiem-po. Este efecto es importante porque, en la prctica, una seal debe enviarse en un tiempo limitado y utilizando un intervalo limitado o banda de frecuencias. En este proyecto se describe e investiga este equilibrio entre du-racin y ancho de banda, tanto cualitativa como cuantita-tivamente. Los resultados de esta investigacin respaldan una regla prctica comnmente citada: una cierta banda de frecuencias es proporcional al producto de la dura-cin en tiempo por el ancho de la banda de frecuencias.

Problemas relacionadosSe emplean la forma compleja de la transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier, dadas en (5) y (6) de la seccin 13.4. Se utiliza la notacin f 1a2 para denotar la transformada de Fourier de una funcin f (x) en una forma compacta que explicita su dependenciade f, esto es, f 1a2 F5 f 1x2 6. Se considera que f es una funcin real, y se comienza revisando dos propie-dades simples de f .

1. Mostrar que si > 0, entonces f 1a2 f 1a2 . As, para cualquier f 1a2 f 1a2 . (Aqu, las notacio-

nes z y z representan el conjugado y el mdulo de un nmero complejo z, respectivamente).

2. Si k es un nmero real, supngase que fk(x) f (x k). Mostrar que

f k 1a2 eiak f 1a2

De manera que recorrer una seal en el tiempo no afecta a los valores de f 1a2 en el dominio de las frecuencias.

Tomando en cuenta estos hechos, ahora se proce-de a considerar el efecto de estrechar o ampliar una seal en el dominio del tiempo simplemente escalan-do la variable temporal.

3. Si c es un nmero positivo, considrese que fc(x) = f (cx). Muestre que

f c 1a2 1c f aacb . De forma que al estrechar la funcin seal f en el do-

minio del tiempo (c >1), se ensancha su transformada en el dominio de la frecuencia, y al ampliar la funcin seal f en el dominio del tiempo (c

xxviii PROYECTO PARA LA SECCIN 3.7 Ilusiones pticas en el camino

decir al respecto de la constante de proporcionalidad? Qu tan pequeo puede ser D(f) B(f)? Es de desta-car que existe un lmite inferior para este producto.

6. Deducir la desigualdad de la incertidumbre: si

q

q

3 f 1x2 4 2 dx q, qq

f 1a2 2 da q, y

lmxS q

x 3 f 1x 2 4 2 0, entonces D 1 f 2 B 1 f 2 12. Seguir estos pasos.

a) Establezca la frmula de Parseval:

q

q

3 f 1x2 4 2 dx 12p

q

q

f 1a2 2 da. [Sugerencia: Aplique el teorema de convolucin

dado en el problema 20, ejercicios 13.4 con g(x) = f ( x).

Especficamente, aplique la frmula para la transformada inversa de Fourier dada en (6) de la

seccin 13.4, y muestre que g 1a2 f 1a2 , y en-tonces fije x = 0.]

b) Establezca la desigualdad de Schwartz: Para fun-ciones reales h1 y h2,

b

a

h1 1s2h2 1s2 ds 2 a ba

3h1 1s2 4 2 dsb a ba

3h2 1s2 4 2 dsb donde la igualdad existe nicamente cuando h2 =

ch1, donde c es una constante [Sugerencia: Escribir

b

a

3lh1 1s2 h2 1s2 4 2 ds como una expresin cuadrtica Al2 Bl C

de la variable real . Observe que la cuadrtica es no negativa para toda y considere el discri-minante B2 4AC.]

c) Establezca la desigualdad de la incertidumbre. [Sugerencia: En primer lugar, aplique la des-igualdad de Schwartz como sigue:

q

q

x f 1x 2 f 1x2 dx 2 a qq

3x f 1x2 4 2dxb a qq

3 f 1x2 4 2 dxb. Utilice la integracin por partes para mostrar que

qqxf 1x2 f 1x 2 dx 12 qq 3 f 1x2 4 2 dx. Reescri-

ba la segunda integral que aparece en el lado de-recho de la desigualdad, utilizando la propiedad operacional (11) de la seccin 13.4 y la frmula de Parseval.]

7. a) Mostrar que si f proporciona el valor mnimo po-sible de D( f ) B( f ), entonces

f 1x2 cxf 1x2 donde c es una constante. Resuelva esta ecua-

cin diferencial para mostrar que f 1x2 decx 2>2 para c < 0 y d = a constante. (Dicha funcin se denomina funcin Gaussiana. Las funciones Gaussianas juegan un papel importante en la teo-ra de probabilidad.)

b) Utilice la transformada de Fourier que est a ambos lados de la ecuacin diferencial del in-ciso a) para obtener una ecuacin diferencial

para f 1a2 y mostrar que f 1a2 f 102ea2>12c2, donde c es la misma que en el inciso a). Se nece-sita conocer la siguiente informacin:

d

da f 1a2 d

da q

q

f 1 x2 eiax dx qq

0

0a f 1 x2 eiax dx

q

q

ix f 1x 2eiax dx i x f 1x 2 . (Del problema 35 de los ejercicios 3.11 del tomo II,

se tiene que qqex 2

dx 2p. De esta expresin

puede deducir que f 102 22p>c d.2 As es que el valor mnimo posible de D( f ) B( f ) se

alcanza para una funcin Gaussiana, cuya transforma-da de Fourier es otra funcin Gaussiana!

La palabra incertidumbre se asocia con la des-igualdad presentada en el problema 6 dado que, desde un punto de vista ms abstracto, es matemticamen-te anlogo al famoso principio de incertidumbre de Heisenberg de la mecnica cuntica. (La interpretacin de este principio de mecnica cuntica es un tema sutil, pero comnmente se entiende como mientras mayor sea la precisin con la que se determine la posicin de una partcula, su momentum se conoce con menor pre-cisin, y viceversa.)

xxviii PROYECTO PARA LA SECCIN 13.4 La desigualdad de incertidumbre en el procesamiento de seales

PROYECTO PARA LA SECCIN 3.7 Ilusiones pticas en el camino xxix

13.4

Difraccin de Fraunhofer a travs de una abertura circularAnton M. Jopko, Ph.D.Departamento de Fsica y AstronomaMcMaster University

Las estrellas del firmamento se encuentran a una dis-tancia enorme de nosotros, de forma que pueden con-siderarse como fuentes puntuales de luz. Si se observa una de estas estrellas a travs de un telescopio, se es-perara ver nicamente otro punto de luz, aunque uno mucho ms brillante. Sin embargo, ste no es el caso. Dado que es una onda, la luz se refracta al pasar a tra-vs de la abertura circular del telescopio, de forma que la luz se extiende sobre una pequea regin difusa que se denomina patrn de difraccin. Este proyecto inves-tiga la forma del patrn de difraccin para la luz que pasa a travs de una abertura circular de radio R.

Por simplicidad, se considera que la luz tiene una longitud de onda nica l, o color. Esta luz tiene la forma de un frente de ondas esfrico cerca de la estrella, pero cuando nos alcanza, llega como un frente de ondas plano. Todos los puntos del frente de ondas tienen la misma fase. A continuacin, se apunta el telescopio con su abertura circular directamente hacia la estrella, de manera que los frentes de ondas planas inciden desde la izquierda, como se muestra en la figura 1.

coordenadas LM est en el plano focal del lente, y su origen est donde toda la luz de la estrella aparecera en ausencia de difraccin. Debido a la difraccin, sin embargo, algo de luz tambin aparece en P. El punto P es un punto general, pero muy cercano a O, nicamen-te a arco-segundos de distancia.

En la figura 2, se han unido la abertura y el lente, dado que en la prctica el borde del lente tambin defi-ne la abertura. Debido a la simetra circular del lente y al patrn de difraccin, es muy deseable utilizar coor-denadas polares. Suponga que una onda es emitida en un punto S del lente con coordenadas (X, Y ) o 1r, u2 y que llega a P con coordenadas (L, M) o coordenadas angulares 1w, c2 . Entonces X r cos u, Y r sen u, y L w cos c, y M w sen c. Aqu, r es la distan-cia radial del centro del lente a la fuente S de la onda emitida y u es su ngulo polar; w es el radio angular de P y c es su ngulo polar.

Las ondas emitidas en la abertura estn en fase y tienen la misma amplitud, pero todas ellas viajan dis-tancias diferentes hacia el punto P, de forma que llegan ah desfasadas. La intensidad de la luz en P es propor-cional al cuadrado de la amplitud resultante de todas las ondas que llegan. Ahora se necesita calcular esta amplitud resultante tomando en cuenta las diferencias de fase de las ondas.

Se define el nmero de onda de las ondas inciden-tes y emitidas como k 2p>l. Entonces, de acuerdo a Principles of Optics, sptima edicin, de Born y Wolf, la amplitud resultante en P de todas las ondas emitidas en la abertura es slo la transformada de Fourier de la abertura:

U 1P2 C abertura

eik1LXMY2

dXdY

donde C es una constante, proporcional en parte a la brillantez de la estrella. La intensidad de P viene en-tonces dada por U 1P2 2. ste es el patrn de difraccin para la estrella en funcin del radio angular w.

Problemas relacionados 1. Muestre que la amplitud resultante en P utilizando los

dos sistemas de coordenadas polares puede escribirse como

U 1P2 CR0

2p

0

eikrw cos 1uc2rdudr


A partir del principio de Huygen, cada punto de la abertura circular emite una onda en todas las direc-ciones. La difraccin de Fraunhofer requiere que las ondas abandonen la abertura en un conjunto casi para-lelo que viaja hacia un punto muy distante P. El nico propsito del lente es formar una imagen puntual de este conjunto paralelo a una distancia mucho ms cer-cana a la abertura. La difraccin ocurrira incluso sin el lente. La lnea discontinua que une los dos orgenes es tambin el eje de abertura y del lente. El sistema de

Y

X

M

P

L

OO

Abertura de radio R

Lente

Figura 1 Difraccin de la luz

Y

X

M

P

L

OO

S

Lente

w

Figura 2

PROYECTO PARA LA SECCIN 13.4 Difraccin de Fraunhofer a travs de una abertura circular xxix

xxx PROYECTO PARA LA SECCIN 3.7 Ilusiones pticas en el camino

2. Utilizando la identidad

in

2p

2p

0

eix cos aeina da Jn 1x 2 , donde Jn es la funcin de Bessel de primer tipo, mues-

tre que la amplitud resultante se reduce a

U 1P2 2pC R0

J0 1krw2r dr para cualquier c. Se elige c 0. (Esta expresin es

tambin conocida como transformacin de Hankel de una abertura circular.)

3. Utilizando la relacin de recurrencia

d

du 3un1 Jn1 1u2 4 un1 Jn 1u2 ,

muestre que

x

0

u J0 1u2 du x J1 1x 2 4. Muestre que U 1P2 CpR2 2J1 1kRw 2

kRw . Por tanto la

intensidad viene dada por

U 1P2 2 c 2 J1 1kRw 2kRw

d 2 I0 5. Qu es lm

wS0 2 J1 1kRw 2

kRw ?

6. Cul es el significado fsico de I0?

7. Cul es el valor de la raz no nula ms pequea de J1? Utilizando l 550 nm, R = 10 cm, y la raz ms

pequea que se acaba de encontrar, calcular el radio angular w (en arco-segundos) del disco central de di-fraccin.

8. Dibujar una grfica de 2 J1 1kRw 2

kRw en funcin de kRw

as como de la intensidad, que es su cuadrado. El pa-trn de difraccin de la estrella consiste en un disco central brillante rodeado por varios anillos concntri-cos delgados tenues. Este disco se denomina el disco de Airy en honor de G. B. Airy, quien fue el prime-ro en calcular el patrn de difraccin de una abertura circular en 1826.

9. Qu sucede con el ancho angular del patrn de di-fraccin si el radio R de la abertura se duplica?

10. Qu sucede con el ancho angular del patrn de di-fraccin si la longitud de onda de la luz se dupli-ca?

11. Qu sucede con el ancho angular del patrn de di-fraccin si la longitud focal del lente se duplica?

12. Suponga que una abertura circular tiene forma de ani-llo con radio interno a y radio externo b. Encuentre U(P). (Este resultado es de importancia prctica, dado que los telescopios de reflexin casi siempre tienen una obstruccin en la parte central de la abertura.)

13. Suponga que el anillo del problema 12 es muy es-trecho, de forma que b a a, donde a es pe-queo pero no infinitesimal. Muestre entonces que la amplitud resultante aproximada viene dada por U 1P2 C 12paa2J0 1kwa2 . [Sugerencia: Interpretar el resultado U(P) del problema 12 como aproxima-

cin para d 1u J1 1u2 2

du u J0 1u2 con u kwa .]

xxx PROYECTO PARA LA SECCIN 13.4 Difraccin de Fraunhofer a travs de una abertura circular

PROYECTO PARA LA SECCIN 3.7 Ilusiones pticas en el camino xxxi

14.2

Inestabilidades en mtodos numricosDmitry Pelinovsky, Ph.D.Departamento de Matemticas y EstadsticaMcMaster University

Los mtodos de diferencias finitas para la solucin nu-mrica de ecuaciones diferenciales parciales pueden ser sorpresivamente inadecuados para aproximaciones numricas. El problema principal con los mtodos de diferencias finitas (especialmente aquellos con esque-mas de iteracin explcita) es que pueden amplificar el ruido de redondeo numrico debido a inestabilidades intrnsecas. Dichas inestabilidades aparecen muy fre-cuentemente en el trabajo de investigacin. Un ingenie-ro debera estar preparado para esta situacin. Despus de emplear muchas horas en el desarrollo de un nuevo mtodo numrico para el modelado de un problema y en la escritura cuidadosa del mtodo en un lenguaje de computadora, el programa de computadora puede lle-gar a volverse intil debido a sus inestabilidades din-micas.

La figura 1 ilustra una solucin numrica de la ecuacin de calor con un mtodo explcito de diferen-cias finitas, donde el paso k del tiempo excede la mitad del tamao del paso cuadrado h (ver ejemplo 1 de la seccin 14.2). Es de esperarse que una solucin de la ecuacin de calor para una barra de longitud finita con temperaturas de cero en los puntos extremos debera exhibir un decaimiento suave de una distribucin ini-cial de calor hacia el nivel constante de temperaturas cero. Sin embargo, la superficie de la figura 1 mues-tra que el decaimiento suave esperado se rompe por el

ruido que crece rpidamente debido a inestabilidades dinmicas del mtodo explcito.

Las inestabilidades de los mtodos numricos de di-ferencias finitas pueden entenderse mediante la aplica-cin elemental de la transformada discreta de Fourier, que se estudia en la seccin 13.5. El principio de su-perposicin lineal y la transformada discreta de Fourier permiten separar variables en un mtodo numrico de diferencias finitas, y estudiar la evolucin individual en el tiempo (iteraciones) de cada modo de Fourier de la solucin numrica.

Por simplicidad, se considera el mtodo explcito de diferencias finitas para la ecuacin del calor ut uxx en el intervalo 0 x a sujeto a condiciones de frontera nulas en los puntos extremos x = 0 y x = a y una condi-cin inicial no nula en el instante t = 0. La discretizacin numrica conduce al esquema de iteracin explcito:

ui, j 1 lui 1, j 11 2l2ui, j lui1, j (1)Donde ui, j es una aproximacin numrica de la solu-cin u(x, t) en el punto de la retcula x = xi y en el instante t = tj, mientras que l k>h2 es el parmetro de discretizacin. Si se observa el instante de tiem-po t tj, j 0 y se expande el vector numrico 1u0, j, u1, j, p , un, j 2 definido en la malla igualmente espaciada xi ih, i = 0, 1, . . . , n, donde nh = a, en la transformada sinusoidal de Fourier discreta:

ui, j a

n

l1

al, j sen apiln b, i 0, 1, p , n (2)Las condiciones de frontera u0, j = 1, j = 0 se satisfa-cen para cualquier j 0. Debido al principio de super-posicin lineal, se considera cada trmino de la suma de la ecuacin (2) por separado. Entonces se sustituye ui, j al, j sen 1kli2 , kl pl>n en el mtodo explcito (1) y se obtiene

al, j 1 sen 1kli2 11 2l2al, j sen 1kli2 lal, j sen 1kl 1i 12 2 sen 1kl 1i 12 2 . (3)

Utilizando la identidad trigonomtrica,

sen 1kl 1i 12 2 sen 1kl 1i 12 2 2 cos 1kl2 sen 1kli2 , El factor sen 1kli2 se cancela en la ecuacin (3), y se obtiene una frmula de iteracin simple para al, j:

al, j 1 Ql al, j,

donde

Ql 1 2l 2l cos 1kl2 (4)Dado que el factor Ql es independiente de j, es claro que la amplitud al, j del modo de Fourier sen 1kli2 cambia en j 0, de acuerdo con la potencia del factor Ql:

al, j Q j lal,0, j 0

La amplitud al, j crece en j si Ql 7 1, y est acotada o decae si Ql 1. Por tanto, la estabilidad del mtodo


00.5

11.5

2

00.5

11.5

1

0.5

0

0.5

1

xt

u

x

Figura 1 Superficie de la solucin numrica

PROYECTO PARA LA SECCIN 14.2 Inestabilidades en mtodos numricos xxxi

xxxii PROYECTO PARA LA SECCIN 3.7 Ilusiones pticas en el camino

de iteracin explcito se define a partir de la condi-cin

Ql 1, para toda l 1, 2, p , (5)

Dado que Ql 1 para l 7 0 la restriccin para la es-tabilidad (5) puede reescribirse como

1 4l sen2 apl

2nb 1, l 1, 2, p , n (6)

que resulta en la estabilidad condicional del mtodo explcito para 0 < 0.5. Cuando > 0.5, el primer modo de Fourier inestable corresponde a l = n, que es el responsable de un patrn de secuencia alternativa en el espacio creciente en el tiempo de ui, j. Este patrn se observa claramente en la figura 1.

As, se pueden estudiar las inestabilidades de los mtodos de diferencias finitas utilizando la transfor-mada discreta de Fourier, el principio de superposicin lineal, y los factores de iteracin explcita en el tiempo. El mismo mtodo puede aplicarse a otros mtodos de diferencias finitas para ecuaciones de calor y de onda, y en general a una discretizacin de cualquier ecuacin diferencial parcial lineal con coeficientes constantes.

Problemas relacionados 1. Considere el mtodo implcito de Crank-Nicholson

para la ecuacin de calor ut = uxx (ver ejemplo 2 de la seccin 14.2):

ui1, j 1 aui, j 1 ui 1, j 1 ui1, j

bui, j ui1, j (7)

donde a 2 11 1>l2 , b 2 11 1>l2 , y l k>h2. Encuentre la frmula explcita para Ql en la ecuacin

(4) y demuestre que el mtodo implcito de Crank-Nicholson (7) es estable incondicionalmente para cualquier > 0.

2. Considere el mtodo explcito de diferencias centrales para la ecuacin de calor ut = uxx:

ui, j 1 2l 1ui1, j 2ui, j ui1, j 2 ui, j 1. (8) Utilizando el mismo algoritmo que en el problema 1,

reduzca la ecuacin (8) a un esquema de iteracin en dos pasos:

al, j 1 4l 1 cos 1kl2 12al, j al, j 1. (9)

Utilizando el esquema de iteracin explcito (4), en-cuentre una ecuacin cuadrtica para Ql y resulvala con la frmula cuadrtica (puede consultar el ejemplo 1 de la seccin 9.2). Demuestre que el mtodo expl-cito de diferencias centrales (8) es incondicionalmen-te inestable para cualquier > 0.

3. Considere el mtodo explcito de diferencias centrales para la ecuacin de onda uu = c

2uxx (ver ejemplo 1 de la seccin 14.3 del presente libro):

ui, j 1 l2ui1, j 2 11 l22ui, j l2ui1, j ui, j 1 (10)

donde = ck/h es el nmero de Courant. Utilizando el mismo algoritmo que en el problema 2, encuentre y resuelva la ecuacin cuadrtica para Ql. Demuestre que Ql 1 cuando ambas races de la ecuacin cua-drtica son complejas. Demuestre que la constriccin para la estabilidad (5) se viola cuando ambas ra-ces de la ecuacin cuadrtica son distintas y reales. Demuestre que el mtodo explcito de diferencias centrales (10) es estable para 0 l2 1 e inestable para l2 1.

4. Considere el mtodo de retroceso en el espacio y avance en el tiempo para la ecuacin de transporte ut cux 0 :

ui, j 1 11 l2ui, j lui1, j (11) donde = ck/h. Considere la transformada discreta de

Fourier compleja con el modo de Fourier,

ui, j al, jeikli, donde k pl>n, i 21

y encuentre el factor complejo Ql en el esquema de iteracin de un paso (4). Pruebe que el mtodo de re-troceso de espacio y avance en el tiempo (11) es esta-ble para 0 < 1 e inestable para > 1.

5. Considere el mtodo espacio central y retroceso en el tiempo para la ecuacin de transporte ut cux 0:

lui1, j 1 2ui, j 1 lui1, j 1 2ui, j (12)

Utilizando el mismo algoritmo que en el problema 4, demuestre que el mtodo de espacio central y retro-ceso en el tiempo (12) es incondicionalmente estable para cualquier > 0.

xxxii PROYECTO PARA LA SECCIN 14.2 Inestabilidades en mtodos numricos



2 CHAPTER 6 Numerical Solutions of Ordinary Differential Equations

3

Ecuaciones diferenciales ordinarias

1 Introduccin a las ecuaciones diferenciales2 Ecuaciones diferenciales de primer orden3 Ecuaciones diferenciales de orden superior4 La transformada de Laplace5 Soluciones en serie para ecuaciones diferenciales lineales6 Soluciones numricas a ecuaciones diferenciales

ordinarias

4

Introduccin a las ecuaciones diferenciales

Estructura del captulo

1.1 Definiciones y terminologa1.2 Problemas de valor inicial1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemticos Ejercicios de repaso del captulo 1

El propsito de este breve captulo es doble: presentar la termino-loga elemental de las ecuaciones diferenciales y analizar breve-mente la forma en que surgen las ecuaciones diferenciales con el fin de describir o modelar fenmenos fsicos en trminos matem-ticos.

C A P T U L O

1

1.1 Definiciones y terminologa 5

1.1 Definiciones y terminologa

Introduccin Los trminos diferencial y ecuacin indican, sin lugar a dudas, la resolucin de cierto tipo de ecuaciones que contienen derivadas; sin embargo, antes de iniciar la resolucin de cualquier ecuacin, primero debemos aprender las definiciones elementales y la terminologa del tema.

Una definicin La derivada dy/dx de una funcin y = f(x) representa en s misma otra funcin f9(x) que se encuentra mediante una regla especfica. Por ejemplo, la fun-cin y = e0.1x

2 es diferenciable sobre el intervalo ( q , q ), y su derivada es dy/dx =

0.2xe0.1x2. Si reemplazamos e0.1x

2 por el smbolo y, obtenemos

dy

dx 0.2xy.

(1)

Ahora imagine que un amigo suyo le proporciona slo la ecuacin diferencial de la ex-presin (1), y que usted no tiene idea de cmo se obtuvo. Su amigo le pregunta: cul es la funcin representada por el smbolo y? Entonces usted se enfrenta a uno de los proble-mas bsicos encontrados en un curso de ecuaciones diferenciales: cmo resolver una ecuacin de este tipo para la funcin incgnita y = f(x)? Este problema es ms o menos equivalente al conocido problema del inverso del clculo diferencial: dada una derivada, encontrar una antiderivada.

Antes de avanzar ms, permtanos ofrecer una definicin ms precisa del concepto de una ecuacin diferencial.

D E F I N I C I N 1.1 Ecuacin diferencial

Se dice que una ecuacin diferencial (ED) es cualquier ecuacin que contiene las derivadas de una o ms variables dependientes con respecto a una o ms variables independientes.

Con el objetivo de referirnos a ellas, debemos clasificar las ecuaciones diferenciales por tipo, orden y linealidad.

Clasificacin por tipo Si una ecuacin diferencial contiene nicamente derivadas ordinarias de una o ms variables dependientes con respecto a una sola variable indepen-diente, se dice que es una ecuacin diferencial ordinaria (EDO). Por ejemplo,

dy

dx 5y ex,

d 2y

dx2

dy

dx 6y 0 y

dx

dt

dy

dt 2x y

(2)

son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuacin en la que se presentan las deriva-das parciales de una o ms variables dependientes de dos o ms variables independientes se denomina ecuacin diferencial parcial (EDP). Por ejemplo,

02u0x2

02u0y2

0, 02u0x2

02u0t2

2 0u0t

y 0u0y

0v0x

(3)

son ecuaciones diferenciales parciales.

Notacin A lo largo de este libro, las derivadas ordinarias se presentarn utilizando la notacin de Leibniz dy/dx, d 2y/dx 2, d 3y/dx3, . . . , o la notacin prima y, y, y , . . . Si se utiliza esta ltima notacin, las primeras dos ecuaciones diferenciales mostradas en (2) pueden expresarse de forma ms compacta como y + 5y = e x y y y + 6y = 0. En realidad, la notacin de prima se utiliza para sealar solamente las primeras tres derivadas; la cuarta derivada se indica como y(4) en lugar de y. En trminos generales, la n-sima derivada ser dny/dxn o y(n). A pesar de ser menos conveniente de escribir y formar tipogr-ficamente, la notacin de Leibniz presenta una ventaja sobre la notacin de prima en el sentido de que indica con claridad las variables independientes y dependientes. Por ejem-plo, en la ecuacin diferencial d2x/dt2 + 16x = 0, se observa de forma inmediata que el

6 CAPTULO 1 Introduccin a las ecuaciones diferenciales

Recuerde estas dos caractersticas de una

EDO lineal.

smbolo x representa ahora a la variable dependiente, mientras que la variable indepen-diente ser t. Adems, es importante que usted conozca que en ingeniera y ciencias fsi-cas ocasionalmente se utiliza la notacin de Newton por puntos (a veces denominada despectivamente como notacin de manchas) para denotar las derivadas con respecto al tiempo t; de esta forma, la ecuacin diferencial d2s/dt2 = 32 se convierte en s

$ 32.

Las derivadas parciales con frecuencia se indican mediante una notacin de subndice que muestra las variables independientes. Por ejemplo, las ecuaciones primera y segunda incluidas en (3) pueden a su vez indicarse como uxx + uyy = 0 y uxx = utt 2ut.

Clasificacin por orden El orden de una ecuacin diferencial (EDO o EDP) re-presenta el orden de la derivada ms alta presente en la ecuacin. Por ejemplo,

segundo orden primer orden

d2y

dx 2 5 ady

dxb3 4y ex

representa una ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden. Las ecuaciones dife-renciales ordinarias de primer orden se escriben ocasionalmente en la forma diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0. Por ejemplo, si suponemos que y representa la variable depen-diente en (y x) dx + 4x dy = 0, entonces y = dy/dx, y as al dividir entre el diferencial dx obtenemos la forma alternativa 4xy + y = x. Consulte la seccin de Comentarios al final de esta seccin.

De manera simblica, es posible expresar una ecuacin diferencial ordinaria de n-simo orden como una variable dependiente empleando la forma general

F(x, y, y, . . . , y(n) ) = 0, (4)

donde F es una funcin con valores reales de n + 2 variables: x, y, y, . . . , y(n). Tanto por motivos prcticos como tericos, de aqu en delante debemos suponer que es posible re-solver una ecuacin diferencial ordinaria presentada en la forma (4) nicamente para la derivada ms alta y(n) en trminos de las variables n + 1 restantes. La ecuacin diferencial

d ny

dx n f 1x, y, y, p , y1n12 2,

(5)

donde f es una funcin continua con valores reales, se denomina forma normal de (4). De este modo, cuando nos sea til, debemos utilizar las formas normales

dy

dx f 1x, y2

y

d2y

dx 2 f 1x, y, y 2

para representar ecuaciones diferenciales generales ordinarias de primero y segundo orden. Por ejemplo, la forma normal de la ecuacin de primer orden 4xy + y = x es y = (x y)/4x. Consulte los Comentarios.

Clasificacin por linealidad Se dice que una ecuacin diferencial ordinaria de n-simo orden (4) es lineal si F es lineal en y, y, . . . , y(n). Esto significa que una EDO de n-simo orden es lineal cuando (4) es an1x2y1n2 an11x2y1n12 p a11x2y a01x2y g1x2 0 o

an1x2 dnydx n an11x2 d n1ydxn 1 p a11x2 dydx a01x2y g1x2. (6)Dos casos especiales de (6) son las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (n = 1) y de segundo orden (n = 2):

a11x2 dydx a01x2y g1x2 y a21x2 d 2ydx2 a11x2 dydx a01x2y g1x2. (7)

En la combinacin aditiva del extremo izquierdo de (6) observamos que las dos propie-dades caractersticas de una EDO lineal son:

La variable dependiente y as como todas sus derivadas y, y, . . . , y(n) son de primer grado, es decir, la potencia de cada uno de los trminos que involucran a y es 1.

1.1 Definiciones y terminologa 7

Los coeficientes a0, a1, . . . , an de y, y, . . . , y(n) dependen a lo sumo de la variable inde-

pendiente x.

Las ecuaciones siguientes, a su vez,

1y x2dx 4x dy 0, y 2y y 0, d 3y

dx3 3x

dy

dx 5y ex,

son ecuaciones diferenciales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectiva-mente. Acabamos de demostrar que la primera ecuacin es lineal en la variable y al es-cribirla en la forma alternativa 4xy + y = x. Una ecuacin diferencial ordinaria no lineal simplemente es una ecuacin que no es lineal. Las funciones no lineales de la variable dependiente o de sus derivadas, tales como sen y o ey, no pueden aparecer en una ecua-cin lineal. Por lo tanto,

trmino no lineal: trmino no lineal: trmino no lineal: el coeficiente depende de y funcin no lineal de y potencia diferente de 1

11 y2y 2y ex ,

d2y

dx2 sen y 0,

d4y

dx4 y2 0,

son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de primero, segundo y cuarto orden, respectivamente.

Solucin Como se indic anteriormente, en este curso, uno de los objetivos es re-solver o encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales. En el siguiente cuadro se define el concepto de solucin de una ecuacin diferencial ordinaria.

D E F I N I C I N 1. 2 Solucin de una EDO

Toda funcin f , definida sobre un intervalo I y que posea al menos n derivadas continuas sobre I, y que al ser sustituida en una ecuacin diferencial ordinaria de n-simo orden reduzca la ecuacin a una identidad, se dice que es una solucin de la ecuacin sobre el intervalo.

En otras palabras, una solucin de una ecuacin diferencial ordinaria (4) de n-simo orden ser una funcin f que posea al menos n derivadas y

F(x, f (x), f (x), . . . , f (n)(x)) = 0 para toda x en I.

Se dice que f satisface la ecuacin diferencial sobre I. Para nuestros propsitos, tambin debemos asumir que una solucin f es una funcin con valores reales. En el anlisis inicial se observ que y = e0.1x2 es una solucin de dy/dx = 0.2xy sobre el intervalo ( q , q ).

En ocasiones resultar conveniente indicar una solucin mediante el smbolo alterna-tivo y(x).

Intervalo de definicin No es posible considerar una solucin de una ecuacin diferencial ordinaria sin pensar al mismo tiempo en un intervalo. El intervalo I de la defini-cin 1.2 se denomina de diversas maneras: intervalo de definicin, intervalo de existen-cia, intervalo de validez o dominio de la solucin y puede ser un intervalo abierto (a, b), un intervalo cerrado [a, b], un intervalo infinito (a, q), etctera.

Ejemplo 1 Verificacin de una solucinCompruebe que la funcin sealada representa una solucin de la ecuacin diferencial dada, sobre el intervalo (q, q).

a) dy/dx = xy1/2; y = x4/16 b) y 2y + y = 0; y = xex

Solucin Una forma de verificar que la funcin indicada representa una solucin es re-visar, despus de sustituir, si cada extremo de la ecuacin es igual para cada x localizada dentro del intervalo.

y

x1

1

y

x1

1

a) Funcin y = 1/x, x 0

b) Solucin y = 1/x, (0, )

Figura 1.1 La funcin y = 1/x no es la misma que la solucin y = 1/x

8 CAPTULO 1 Introduccin a las ecuaciones diferenciales

a) Del extremo izquierdo:

dy

dx 4

x3

16

x3

4

extremo derecho:

xy1>2 x a x416b1>2 x x2

4

x3

4,

observamos que cada extremo de la ecuacin es igual para todo nmero real x. Advierta que y1/2 = x2/4 es, por definicin, la raz cuadrada positiva de x4/16.

b) A partir de las derivadas y = xex + ex y y = xex + 2ex tenemos para todo nmero real x,

extremo izquierdo: y 2y + y = (xex + 2ex) 2(xex + ex) + xex = 0 extremo derecho: 0.

Observe tambin que en el ejemplo 1 cada ecuacin diferencial posee la solucin constante y = 0, q < x < q . La solucin a una ecuacin diferencial idntica a cero sobre un intervalo I se dice que es una solucin trivial.

Curva de solucin La grfica de una solucin f de una EDO se denomina curva de solucin. Ya que f es una funcin diferenciable, ser continua sobre su intervalo I de defi-nicin. De esta forma puede presentarse una diferencia entre la grfica de la funcin f y la grfica de la solucin f . En otras palabras, el dominio de la funcin f no necesita ser el mismo que el intervalo I de definicin (o dominio) de la solucin f . El ejemplo 2 ilustra esta diferencia.

Ejemplo 2 Comparacin entre solucin y funcinConsiderado en trminos simples como una funcin, el dominio de y = 1/x ser el con-junto de todos los nmeros reales x con excepcin de 0. Cuando graficamos y = 1/x, trazamos puntos en el plano xy que corresponden a un acertado muestreo de nmeros tomados a partir de su dominio. La funcin racional y = 1/x es discontinua en 0, y su gr-fica, en las cercanas de su origen, se presenta en la figura 1.1a). La funcin y = 1/x no es diferenciable en x = 0 dado que el eje y (cuya ecuacin es x = 0) representa una asntota vertical de la grfica.

Ahora y = 1/x tambin es una solucin de la ecuacin diferencial lineal de primer orden xy + y = 0 (verifquelo). Sin embargo, cuando decimos que y = 1/x es una solucin de esta ED, significa que es una funcin definida en un intervalo I sobre el cual es diferenciable y satisface la ecuacin. En otras palabras, y = 1/x ser una solucin de la ED sobre todo in-tervalo que no contenga a 0, tal como (3, 1), ( 12 , 10), ( q , 0) o (0, q ). Ya que las curvas de solucin definidas por y = 1/x sobre los intervalos 3 < x < 1 y sobre 12 < x < 10 son bsicamente segmentos o secciones de las curvas de solucin definidas por y = 1/x en q < x < 0 y 0 < x < q , respectivamente, tendr sentido tomar el intervalo I ms grande posible. De este modo, tomaramos a I para que fuera ( q , 0) o (0, q ). La curva de solucin sobre (0, q ) se muestra en la figura 1.1b).

Soluciones explcitas e implcitas Usted debe estar familiarizado con los trminos funciones explcitas e implcitas gracias a sus estudios de clculo. Una solucin en que la variable dependiente se expresa slo en trminos de la variable independiente y constantes se denomina solucin explcita. Para nuestros propsitos, consideremos una solucin ex-plcita como una frmula explcita y = f(x) que podemos manipular, evaluar y diferenciar utilizando las reglas estndar. En los ltimos dos ejemplos hemos observado que y = x4/16, y = xex, y y = 1/x son, a su vez, soluciones explcitas de dy/dx = xy1/2, y 2y + y = 0, y xy + y = 0. Adems, la solucin trivial y = 0 es una solucin explcita de las tres ecuaciones. Cuando abordemos el problema de resolver realmente algunas ecuaciones diferenciales ordinarias veremos que los mtodos de solucin no siempre llevan de forma directa a una solucin explcita y = f(x). Esto aplica en especial cuando se intenta resolver ecuaciones diferenciales

matemáticas avanzadas para ingeniería, vol. 1: ecuaciones … · • a lo largo de los capítulos...

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