matemáticas árabes

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Matemáticas del islam Ped. Media en matemáticas

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Matemáticas del islam

Ped. Media en matemáticas

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Las matemáticas

Por la época en que Brahmagupta escribía sus tratadosmatemáticos ya se había derrumbado el imperio Sabeo de la ArabiaFelix, y la península arábiga se encontraba sumida en una profundacrisis. Arabia estaba habitada entonces en su mayor parte pornómadas del desiertos, conocidos con el nombre de beduinos, que nosabían leer ni escribir, y en este marco sociopolítico surgió el profetaMahoma, nacido en la Meca en el año 570 d.c. Mahoma fué elfundador del Islam, religión que se extendió en poco tiempo por todaArabia y que tiene como dogmas la creencia en un Dios único y en unavida futura, en la resurrección y en el juicio final.

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Las matemáticasEn el año 622 d.C, su vida se vió amenazada por un complot , lo que le obligó a trasladarse a Yatrib, más tarde denominada Medina.Esta “huida”, conocida como la Hégira, señala el comienzo de la Era Mahometana, que iba a ejercer durante siglos una poderosa influencia en el desasarrollo de las matemáticas.La unidad de la civilización islámica se basaba mucho en lareligión de Mahoma y en las actividades económicas que en unahegemonía política real. No obstante, esta debilidad política no impidióa los arabes dominar grandes territorios durante siglos y tomar el relevoen la Escuela de Alejandría, mientras que el Occidente atravesabasiglos oscuros y poco propicios a la evolución de las matemáticas.

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Grandes matemáticos árabesMuhammad ibn Musa al-KhawarizmiAbu Jafar Muhammad ibn Musa al-Khawarizmi, nació alrededordel 780 d.C. Su nombre sugiere que, o bien él, o bien su familiaprocedían de Khawarizmi, al este del mar Caspio en lo que es hoy Asia Central soviética.Por el año 820, tras adquirir una reputación de científicodotado en Merv, capital de provincias orientales del califato abasí, fue invitado por el califa Al-Mamun a trasladarse a Bagdad, donde fue nombrado, primero astrónomo y después, jefe de la biblioteca de la Casa de la Sabiduría.

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Este matemático, escribió mas de media docena de obrasastronómicas y matemáticas. Además de tablas astronómicas y tratados sobre el astrolabio y el reloj de sol, escribió dos libros sobre aritmética y álgebra que jugaron un papel muy importante en la historia de las matemáticas. En su obra aritmética, cuyo título en latín es De numero Indorum (el original árabe no ha llegado hasta nosotros),al-Khawarizmi presenta diversas reglas para el cálculo numérico, basadas en los algoritmos indios además de exponer detalladamente el sistema de numeración utilizado por los indios. En Europa, a finales de la Edad Media, atribuyeron al autor árabe la paternidad de la numeración utilizada. Y así el nuevo sistema de notación vino a ser conocido como “el de al-Khawarizmi” y , a través de deformaciones del nombre en la traducción y en la trasmisión, simplemente como“algorismi”.

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La obra principal de al-Khawarizmi es Hisab al-abr wa’lMuqqabala , que significa “cienciade la trasposición y la reducción”, donde el término “la-yabr” se convirtio en “álgebra”, Sinónimo de la ciencia de las ecuaciones. A vecesse le llama a Diofanto el padre del álgebra, pero ese título se le aplicaría a al-Khwarizmi. A los árabes en general les gusta extraordinariamente poder seguir una argumentación lógica correcta y clara de las premisas a la conclusión, así como una organización sistemática, aspectos ambos en los que ni Diofanto ni los hindues brillaban precisamente. Los hindues tenían muy desarrollada una capacidad de asociación yanalogía, de intuición y de instinto estético unidos a una imaginación natural, mientras que los árabes tenían una mentalidad más práctica ymás a ras de tierra en su enfoque de la matemática.

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Ibn Sina (980-1037). Más conocido en occidente comoAvicena. Erudito en casi todos los campos relacionados con lasciencias; sin embargo, las matemáticas sólo desempeñaron un papelsecundario en su vida. Tradujo a Euclides y explicó la prueba delnueve, además de aplicar las matemáticas a la física y a la astronomía.Gran influyente en la filosofía de la Edad Media.

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Al-Biruni (973-1048).

Nacido en Jiva. Durante suestancia en la India, escribió un importante obra titulada Tarih al-Hind.En este libro realiza una amplia descripción geográfica de la India, suscreencias religiosas y los conocimientos científicos del pueblo hindú.Describe con mucho detalle el principio posicional de numeración; ypresenta pasajes de distintos autores, entre ellos Brahmagupta. Engeometría demuestra originalmente la fórmula de Herón relativa al areade un triángulo, y nos cuenta que Arquímedes conocía esta fórmula.

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Abul`l-Wefa y Al-Karkhi. Abu´l-Wefatrabajo en loscampos de la trigonometría y del álgebra. Escribió un comentario sobreel Algebra de al-Khwarizmi, y sobre todo, realizó una traducción delgriego, de la Arithmética de Diofanto. Su sucesor AL-Karkhi debióutilizar sin duda esta traducción, para convertirse en discípulo árabe deDiofanto. Se interesó más por el álgebra de al-Khwarizmi, que por elanálisis indeterminado de los hindúes. En cambio no se preocupó delas ecuaciones cuadráticas, aunque si siguió la costumbre árabe de dardemostraciones geométricas, para la resolución de las ecuacionescuadráticas.

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Resolucion de ecuaciones.La traducción latina del Algebra de Al-Khwarizmi comienza con una breve introducción acerca el principio de notación posicional paralos números, y a continuación se expone, en seis breves capítulos, la solución de los seis tipos de ecuaciones que resultan al considerarsimultáneamente en presencia los tres posibles tipos de cantidades:cuadrados, raices, números (es decir, x, y, y números)

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Tipo nº1AX=C.Cuadrados iguales a números: ax = c

Ej: x² = 5x x = 5

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Tipo nº 2ARaíces iguales a números

Ej: 1x = 2 x = 2

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Tipo nº 3ARaíces iguales a cuadrados: bx = ax

EJ:

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Tipo nº 4

Cuadrados y raíces iguales a números: ax + bx = c

Ej: x² + 10x = 39( x + 5 ) = 39 + 25 = 64x+5=8x=3

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Tipo nº5

Cuadrados y números iguales a raíces: ax + c = bx

ej : x2 + 21 = 10x

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Tipo nº6

Raíces y números iguales a cuadrados: bx + c = ax

Ej: 3x + 4 =

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Solucion de los 6 tipos de ecuaciones la resolución de los tres casos clásicos que

presentan las ecuaciones cuadráticas completas:cuadrados igual a raíces.cuadrados igual a numeros.raíces igual a números.

Las tres restantes logran ser las mas interesantes puesto que se ocupan de la resolución de los tres casos clásicos que presentan las ecuaciones cuadráticas completas:

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1) Cuadrados y raíces igual a números2) Cuadrados y números igual a raíces3) Raíces y números igual a cuadrados

Ej: una ecuacion de tipo nº4

x² + 10x = 39( x + 5 ) = 39 + 25 = 64x+5=8x=3

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Evariste Galois El caballero de la figura, con cara de niño y además

serio, es, posiblemente, el más desgraciado, abandonado por la fortuna, con la vida más triste y corta de los hombres pertenecientes a la raza de grandes matemáticos que en el mundo han sido. Desde luego el calificativo de pobre le va estupendamente. Sólo vivió veinte años y aún así le dió tiempo a desarrollar y formalizar una de las ideas más brillantes y con más aplicación práctica de la historia de las matemáticas y, de paso, impulsar, ordenar y sistematizar el estudio del Algebra. Nos estamos refiriendo al concepto de Grupo.

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Noción de Grupo de GaloisEn primer lugar hay que fijarse en

ordenaciones de letras o números conocidas como permutaciones. Los números 1, 2 y 3 pueden ser colocados de las formas 123, 132, 213, 231, 312 y 321. Llamemos a la permutación 123 permutación identidad y consideremos una forma de expresar las permutaciones consistente en representarlas en dos líneas con la identidad en la línea de arriba y la permutación correspondiente en la línea de abajo. Así tenemos:

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(

123

) (

123

) (

123

) (

123

) (

123

) (

123

) 123 132 213 231 312 321

Una vez establecida la notación que usaremos vamos a defi nir una operación binaria en el conjunto de permutaciones. Consideremos dos cualesquiera:

(

123

) (

123

) = (

123

) 213 132 231

La operación actúa así. Si consideramos en primer lugar la segunda permutación y después la primera, observamos que lo que se ha hecho es relacionar de f orma secuencial los números obtenidos por la segunda permutación con los obtenidos con la primera del siguiente modo:

1 1 2

2 3 3

3 2 1

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Esta operación (que llamaremos producto) es interna; es decir, el producto de dos permutaciones es otra permutación. Se dice que cumple la propiedad de cierre. Además verifica otras propiedades que hacen que el conjunto de las permutaciones, según defi nición de Galois, tenga estructura de Grupo respecto de esta operación. Dichas propiedades son las siguientes:

1. Asociatividad: El orden al combinar dos permutaciones adyacentes es indif erente. Si llamamos a, b y c a tres permutaciones y * a la operación, esta propiedad se puede representar como (a*b)*c = a*(b*c).

2. Elemento neutro: Existe una permutación, que notaremos por e, tal que dada cualquier permutación a, se verifica que a*e = a. En nuestro caso la permutación neutra es

(

123

) 123

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1. Elemento inverso: Dada cualquier permutación a, existe otra, que notaremos por a-1 tal que a*a-1 = e. Por ejemplo, si consideramos la permutación

(

123

) 312

2. su inversa es

(

123

) 231

3. ya que

(

123

) (

123

) = (

123

) 231 312 123