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Matemáticas 6 Biblioteca del profesor

¿Cuáles son proposiciones? Subraya.

● 1 Ciro Alegría escribió La serpiente de oro.

● 2 Honrarás a tu padre y a tu madre.

● 3 ¿Quién rompió el vidrio?

● 4 Las aguas marinas no son saladas.

● 5 Las estrellas forman las constelaciones.

● 6 Estaciónese aquí.

● 7 Aristóteles fue el primer sistematizador de la lógica.

Escribe PS si es proposición simple, PC si es propo-sición compuesta o NP si no es proposición.

● 8 Cero es un número par.

● 9 Uno es un número primo.

● 10 ¡Arriba la promoción!

● 11 Adela no irá al cine.

● 12 El átomo es la mínima parte de la materia.

● 13 Luis aprobará si y solo si estudia mucho.

● 14 El pentágono es un polígono de cinco lados.

● 15 Diego no es abogado.

● 16 Si 3 + 5 = 8, entonces 2(3 + 5) = 16.

● 17 Andrea irá al gimnasio el martes en la tarde.

● 18 Sergio practica fútbol y karate.

● 19 El elefante es un paquidermo.

Sean las proposiciones simples p y q:

p: Bruno es matemático. q: Bruno es periodista.

Traduce al lenguaje verbal las siguientes proposi-ciones compuestas:

● 20 p ∨ q

● 22 p → ~q

● 24 ~(p ∧ q)

● 21 p ∧ q

● 23 ~(p ∨ q)

● 25 ~p → ~q

Sean las proposiciones simples p, q y r:

p: La risa es la música del alma.

q: El tiempo cura las heridas.

r: Los ojos reflejan el alma.

Formaliza las siguientes proposiciones compuestas:

● 26 La risa es la música del alma y los ojos reflejan el alma.

● 27 El tiempo cura las heridas si y solo si la risa es la música del alma.

● 28 El tiempo no cura las heridas.

● 29 Si no es cierto que el tiempo cura las heridas, en-tonces la risa no es la música del alma.

Sean las proposiciones simples p y q:p: 150 es número par.q: 9 – 3 > 7Determina el valor de verdad de cada una de las si-guientes proposiciones:

● 30 p

● 33 p ∧ q

● 36 p ∨ ~q

● 31 q

● 34 p ∨ q

● 37 p → q

● 32 ~p

● 35 ~p ∧ q

● 38 ~p ∧ ~q

Simboliza las siguientes proposiciones y determina su valor de verdad.

● 39 24 es divisible por 5 y por 7.

● 40 Si 4 + 3 = 7, entonces 7 × 2 = 21.

● 41 18 es múltiplo de 2 ó 3.

● 42 Si 3 es número primo, entonces es impar.

● 43 2 + 3 = 5 si y solo si 3 + 2 = 5.

● 44 La Luna no es satélite de Marte ni de Mercurio.

Si q es verdadera, r es falsa y s es verdadera, halla el valor de verdad de cada proposición.

● 45 q ↔ r

● 48 ~r

● 51 q ∧ ~r

● 46 s → q

● 49 ~q ∧ r

● 52 r ↔ ~s

● 47 r ∨ s

● 50 q → r

● 53 ~s ∨ r

16

Proposiciones

Evalúa las siguientes fórmulas lógicas y determina si son tautológicas, contradictorias o contingentes.

● 54 (~p → q) → (p ∨ q)

● 55 (~p → q) → (~q ∧ p)

● 56 ~(~p → q) → ~q

● 57 ~(p → q) ↔ (~p ∨ q)

Simboliza las siguientes proposiciones compuestas y determina su valor de verdad.

● 58 Si no es cierto que 12 sea múltiplo de 18, entonces es divisor de 36.

● 59 18 es un número compuesto si y solo si 14 no es un número primo.

Si p � V y q � F, determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:

● 60 q → (p ∧ q) ● 61 ~p ∨ ~q

● 62 ~(p ∧ ~q) ● 63 ~q ∨ (p → q)

● 64 (p ∨ q) ↔ ~q ● 65 (p ∨ ~q) → ~q

19

Escribe PS si es proposición simple, PC si es propo-sición compuesta o NP si no es proposición.

● 66 Hay seres vivos en Marte.

● 67 ¡Qué sed tengo!

● 68 20 es par y divisible por 2.

● 69 Es falso que 2 + 1 ≠ 3.

● 70 7 es un número primo.

Niega las siguientes proposiciones:

● 71 Estoy en 2.o de secundaria.

● 72 La música criolla me gusta.

● 73 Los libros no me sirven para aprender.

Sean las proposiciones simplesp: 12 es número par.q: 12 es número divisible por 2.r: (12 + 1) es un número impar.Simboliza las siguientes proposiciones compuestas:

● 74 Si 12 es número par, entonces es divisible por 2.

● 75 Si 12 es número par, entonces (12 + 1) no es un número impar.

● 76 12 es un número par y (12 + 1) no es un número impar.

● 77 12 no es un número par si y solo si (12 + 1) no es un número impar.

Analiza y responde.

● 78 ¿Cuál es el valor de verdad de una proposición conjuntiva si la primera proposición es F y la se-gunda V?

● 79 Si en una proposición condicional el antecedente es verdadero, ¿cómo debe ser el consecuente para que la proposición sea falsa?

Determina el valor de verdad de las siguientes pro-posiciones compuestas:

● 80 Si 6 es un número divisible por 2, entonces es un número par.

● 81 8 es un número par si y solo si es un número divi-sible por 2.

Analiza las proposiciones y simboliza.

● 82 Sean p: Adriana llega tarde, y q: Adriana irá al teatro. Simboliza la proposición: Si Adriana llega tarde, entonces no irá al teatro.

● 83 Sean p: El hombre es un ser débil, y q: La humani-dad enriquece la vida. Expresa en lenguaje formal lo siguiente: No es cierto que si el hombre es un ser débil y la humanidad no enriquece la vida, en-tonces la humanidad enriquece la vida.

Si q es verdadera, r es falsa y s es verdadera, determi-na el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

● 84 q → r

● 87 ~q ∧ r

● 85 q ↔ r

● 88 r → s

● 86 r ∨ s

● 89 ~q ∧ s

Evalúa cada fórmula lógica y clasifícalas en tautoló-gicas, contradictorias o contingentes.

● 90 ~[(p ∧ q) → p]

● 91 (q ∧ ~q) → (p ∨ q)

● 92 ~(p → q) ↔ (p ∧ q)

● 93 (p ∧ q) ↔ (q ∧ p)

● 94 [~p → (q ∧ ~q)] ∧ ~p

● 95 [(p → ~q) ∧ (~p ↔ q)] → ~p

● 96 [p ∧ (p → q)] → p

● 97 [(~p → q) ∧ ~p] ∧ (~q → p)

Si q → r � F y p ∧ q � V, determina el valor de ver-dad de las siguientes proposiciones:

● 98 p → q

● 100 p ∨ q

● 99 ~p ∨ ~q

● 101 p ∨ (q → ~r)

Evalúa la segunda proposición de acuerdo con el va-lor de verdad de la primera.

● 102 ~(~p → q) � V, entonces (p ∨ ~q) es…

● 103 (~p ∨ q) � F, entonces (p ∧ ~q) es…

● 104 p → q � F, entonces (~p ∧ q) es…

● 105 (p ∧ q) � V, entonces (p ∨ q) es…

20

Conjuntos

EJERCITACIÓN. Sea U {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}el conjunto universal. A partir de él escribir lossiguientes conjuntos por extensión y por comprensión.20. B es el conjunto formado por los múltiplos de 6.21. A es el conjunto formado por los cuadrados per-fectos.22. C es el conjunto formado por los números impares.

PROBLEMAS. Resolver.En una bolsa se depositan cinco balotas numeradas deluno al cinco y se pide a una persona que saque dosbalotas.23. Escribir el conjunto formado por todas las parejasque se puedan conformar con las cinco balotas de labolsa.24. Escribir el conjunto formado por las parejas debalotas donde la suma sea 9.25. Escribir el conjunto formado por las parejas debalotas donde la suma sea 2.Sea U el conjunto universal formado por las primerasdiez letras del alfabeto.26. Escribir el conjunto formado por las letras que for-man palabras que tienen sentido y significado.Se eligen tres cartas al azar.

27. Escribir el conjunto formado por todos los tríosque se puedan conformar con las seis cartas.28. Escribir el conjunto formado por los tríos de car-tas donde todas son ases.

EJERCITACIÓN. Escribir por extensión cada uno de lossiguientes conjuntos.1. E {r/r es un divisor de 240}2. C {g/g es una figura geométrica plana}3. D {c/c es un cuadrilátero}4. E {w/w es un múltiplo o submúltiplo del gramo}5. F {p/p es un múltiplo par de 23 menor que 208}

EJERCITACIÓN. Escribir por comprensión cada uno delos siguientes conjuntos:6. G {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}7. I {traslación, rotación, reflexión}8. W {rombo, rectángulo, cuadrado, trapecio}9. E { 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4}

10. M { , , , , }

RAZONAMIENTO. Escribir dos conjuntos universales dis-tintos. Para cada uno de los siguientes conjuntos.11. El conjunto de los números primos.12. El conjunto de los polígonos regulares.13. A { 4, 12, 36, 108, 324, 972}14. B {triángulo acutángulo, triángulo escaleno,triángulo isósceles}

RAZONAMIENTO. Determinar los elementos de cadaconjunto. Luego, escribir la clase de conjunto que es.15. El conjunto de los divisores de 6.16. El conjunto de los múltiplos primos de 5.17. El conjunto de los números fraccionarios.18. El conjunto polígonos regulares.19. El conjunto de las potencias de 10.

510

48

36

24

12

I

I

P

A

P

P

Nombre: Curso: Fecha:

Ejercicios con cuantif icadores

● 1 Subraya el cuantificador en cada proposición.

a) Toda ecuación es una relación de igualdad.

b) Algunas pruebas se quedaron en casa.

c) Todas estas innovaciones tecnológicas sorprenden.

d) Algunos polígonos son regulares.

e) Muchos artefactos son importados de China.

● 2 Escribe el cuantificador adecuado para obtener proposiciones verda-deras.

a) ___ número natural es entero.b) ___ número positivo es mayor

que 0.c) ___ decimal es positivo.d) ___ piurano es peruano.

● 3 Formaliza estas proposiciones:

a) Todo número natural es mayor o igual a cero.

b) Existe al menos un número na-tural cuya raíz cuadrada es ma-yor o igual a 7.

c) Existe al menos un número en-tero que elevado al cuadrado es igual a –1.

d) El doble de todo número entero positivo es un número par.

e) Todo número entero sumado con su cuadrado es mayor que 1.

● 4 Decodifica las notaciones y exprésalas en lenguaje verbal.

a) ∀x ∈ lN, x < 0b) ∃x ∈ ZZ / x 2 > 0c) ∀x ∈ ZZ , √

__ x > 0

d) ∃x ∈ lN / x = 2°

e) ∀(x, y) ∈ lN, x + y ≤ 2(x + y)

● 5 Simboliza la negación de las siguientes proposiciones:

a) ∀x ∈ lN, x + 2 = 5b) ∀x ∈ ZZ, 2x + 2 < –10c) ∃x ∈ ZZ / x 2 ≥ 2d) ∃x ∈ lN / x < –1e) ∀x ∈ lN, 2x ≤ 4x 2

● 6 Simboliza y niega las siguientes proposiciones:

a) Todos los gatos maúllan.b) Todos los números enteros son

menores que 1.c) Algunos obreros estudian.d) Algunos estudiantes no apro-

baron el examen.

● 7 Clasifica en proposiciones o en enunciados abiertos. Luego, simboliza.

a) 3 es par.b) Fulano es muy generoso. c) x es par y 6 también. d) x e y son impares. e) 2 es un número par y primo.

● 8 Sea la función proposicional P(x): 3x + 1 < 10 y el dominio lN. Determina el valor de verdad de P(1), P(3), P(–3) y P(10).

● 9 Sea la función proposicional Q(x): x 2 – 4 = 4 y el dominio lN. Determina el valor de verdad de Q(0), Q(1), Q(–4) y Q(4).

● 10 Considera las funciones proposi-cionales y evalúa.

P(x): x es un número naturalQ(x): x es divisor de 6R(x): x es un número compuestoS(x): x es múltiplo de 5

a) [P(1) ∨ Q(6)] → R(11)b) S(500) ∧ [P(4) → P(36)]c) P(6) ↔ [Q(1) ∨ ~R(9)]d) ~Q(3) ∨_ ~[S(10) ↔ P(–2)]e) P(10) → [Q(1) → [P(1) ∧ S(0)]]

● 11 Utiliza cuantificadores y convierte en proposiciones los siguientes enunciados abiertos. Luego, deter-mina su valor de verdad.

a) x es un número entero menor o igual a 1.

b) x es divisor de 200.c) x e y son primos entre sí.d) x es mayor que el doble de y.e) x es un número mayor o igual a 4.

● 12 Sea A = {1; 2; 3; 4}. Determina el valor de verdad de ∃x ∈ A / x 2 + 1 ≥ 9.

● 13 Sea B = {2; 4; 6; 8}. Determina el valor de verdad de ∀x ∈ B, 2x2 < 120.

● 14 ¿Qué diagrama representa la nega-ción de la proposición x > 3?

A) B)

C) D)

● 15 En lN, ¿cuál es la negación de la proposición “x es primo y x < 15”?

A) x no es primo o x � 15B) x no es primo y x > 15C) x es un número par o x < 15D) x es un número par y x � 15

● 16 Sean, en el conjunto de los seres humanos, F(x): x y ,atseif al a euf R(x): x fue a la reunión. ¿Cómo se simboliza la proposición cuantifi-cada “Algunos no fueron a la fiesta y faltaron a la reunión”?

A) ∀x, ~F(x) ∧ R(x)

B) ∃x / F(x) ∧ R(x)

C) ∃x / ~F(x) ∧ ~R(x)

D) ∀x, ~F(x) ∧ ~R(x)

● 17 Un profesor dice a los estudiantes de 4.° A: “No todos ustedes aproba-rán en diciembre”. Sean A el conjun-to de los estudiantes de 4.° A y P(x): x aprobará en diciembre. ¿Qué fue lo que quiso decir el profesor?

A) Todos los estudiantes de 4.° A aprobarán en diciembre.

B) Existen estudiantes de 4.° A que aprobarán en noviembre.

C) No todos los estudiantes de 4.° B desaprobarán en diciembre.

D) Existen estudiantes de 4.° A que no aprobarán en diciembre.

x > 3 x < 3

x > 3 x < 3

















a) ∀x ∈ lN, x < 0b) ∃x ∈ ZZ / x 2 > 0c) ∀x ∈ ZZ , √

__ x > 0

d) ∃x ∈ lN / x = 2°

e) ∀(x, y) ∈ lN, x + y ≤ 2(x + y)






baron el examen.














A) B)

C) D)




A) ∀x, ~F(x) ∧ R(x)

B) ∃x / F(x) ∧ R(x)

C) ∃x / ~F(x) ∧ ~R(x)

D) ∀x, ~F(x) ∧ ~R(x)






x > 3 x < 3

x > 3 x < 3

















a) ∀x ∈ lN, x < 0b) ∃x ∈ ZZ / x 2 > 0c) ∀x ∈ ZZ , √

__ x > 0

d) ∃x ∈ lN / x = 2°

e) ∀(x, y) ∈ lN, x + y ≤ 2(x + y)






baron el examen.














A) B)

C) D)




A) ∀x, ~F(x) ∧ R(x)

B) ∃x / F(x) ∧ R(x)

C) ∃x / ~F(x) ∧ ~R(x)

D) ∀x, ~F(x) ∧ ~R(x)






x > 3 x < 3

x > 3 x < 3

















a) ∀x ∈ lN, x < 0b) ∃x ∈ ZZ / x 2 > 0c) ∀x ∈ ZZ , √

__ x > 0

d) ∃x ∈ lN / x = 2°

e) ∀(x, y) ∈ lN, x + y ≤ 2(x + y)






baron el examen.














A) B)

C) D)




A) ∀x, ~F(x) ∧ R(x)

B) ∃x / F(x) ∧ R(x)

C) ∃x / ~F(x) ∧ ~R(x)

D) ∀x, ~F(x) ∧ ~R(x)






x > 3 x < 3

x > 3 x < 3

















a) ∀x ∈ lN, x < 0b) ∃x ∈ ZZ / x 2 > 0c) ∀x ∈ ZZ , √

__ x > 0

d) ∃x ∈ lN / x = 2°

e) ∀(x, y) ∈ lN, x + y ≤ 2(x + y)






baron el examen.














A) B)

C) D)




A) ∀x, ~F(x) ∧ R(x)

B) ∃x / F(x) ∧ R(x)

C) ∃x / ~F(x) ∧ ~R(x)

D) ∀x, ~F(x) ∧ ~R(x)






x > 3 x < 3

x > 3 x < 3

Operaciones entre conjuntos

I

MODELACIÓN. Representar cada una de las siguientesoperaciones en un diagrama de Venn.1. (A B)c 2. (A B)c

3. (A B)c 4. (A B)c

5. Ac Bc 6. Ac Bc

EJERCITACIÓN. Sea U el conjunto formado por losnúmeros naturales menores o iguales a 20. Se definenlos conjuntos:A {2, 5, 9, 10}, B {5, 9, 17, 20}, C {5, 10, 15, 20}7. Representar en un diagrama de Venn el conjuntouniversal y los conjuntos A, B y C. Luego, escribir porextensión los siguientes conjuntos:8. (A B) 9. (A C)10. (A B) 11. (A B) C12. Cc B 13. A Bc C14. (A B C)c 15. (A B C)c

PROBLEMAS. Dados los conjuntos.U {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A B {0, 2, 3, 4, 6, 9},A B {3, 4}16. Con la información suministrada, ¿es posibleencontrar los conjuntos A y B? Justificar la respuesta.17. Con relación al punto anterior, ¿qué informaciónes necesaria? Justificar la respuesta.18. Si se sabe que A B {0, 2}, ¿es posible hallar Ay B? En caso afirmativo encuéntrelos, en caso negati-vo justificar la respuesta.19. Graficar la situación anterior en un diagrama de Venn.20. Si existe un conjunto C, de tal forma que:A B C {4}, A C {0, 4}, ¿es posible encon-trar el conjunto C? Justificar la respuesta.21. Si además, se sabe que B C {4, 9} yA B C {0, 2, 3, 4, 6, 8, 9}, escribir los elemen-tos del conjunto C.22. Elaborar un diagrama de Venn con los tres con-juntos.

EJERCITACIÓN. Calcular las siguientes operacionescon relación al diagrama del punto 22.23. A B24. Ac

25. (A B C)c

PROBLEMAS. El administrador de una fábrica decidepreguntar a sus empleados por la actividad deportivaque practican en su tiempo libre, y la frecuencia conque lo hacen.Los resultados fueron los si-guientes:Se encuestaron 3.200 emplea-dos. 2.000 practican fútbol,2.600 practican algún deportedos veces por semana. Ade-más, 1.800 de los trabajadoresque practican fútbol lo hacendos veces por semana.26. Elaborar un diagrama de Venn en el cual se con-sideren los conjuntos: A, el conjunto formado por laspersonas que practican fútbol. B, el conjunto formadopor las personas que practican algún deporte dos vecespor semana.27. ¿Cuántos empleados no practican fútbol?28. ¿Cuántos empleados no practican deporte dosveces por semana?29. ¿Cuántas personas que practican el fútbol, no lohacen dos veces por semana?30. ¿Cuántas personas que practican deporte dosveces por semana no practican fútbol?31. ¿Cuántos empleados no practican fútbol y no prac-tican algún otro deporte dos veces por semana?

PROBLEMAS. El administrador de la tienda de comidasrápidas observó el pedido de los últimos 25 clientesque llegaron a comprar la hamburguesa de la casa.Observó si los clientes agregaban salsa (S), cebolla (C)o tocineta (T) a su hamburguesa. Los resultados semuestran en el siguiente diagrama:

32. ¿Cuántos clientes agregaron salsas a su hambur-guesa?33. ¿Qué debe tener la mayoría de hamburguesas quese venden allí?

ST

C

4 2

4

1

2

91

2

P

I

I

I

P

A


Conocer la estructura del sistema de numeración decimal

CONOCER LA ESTRUCTURA DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

:AHCEF:OSRUC:ERBMON

El sistema de numeración decimal tiene dos características:

1.a Es decimal: 10 unidades de un orden forman 1 unidad del orden siguiente.

2.a Es posicional: el valor de cada cifra depende de su posición en el número.

MILLONES (MM)

Centenade millón

CMM DMM UMM CM DM UM C D U

Decenade millón

Unidadde millón

Centenade millar

Decenade millar

Unidadde millar Centena Decena Unidad

MILLARES (M) UNIDADES (U)

1 Observa el siguiente número y completa.

2 Expresa con cifras los números y colócalos en orden.

a) Tres millones cuatrocientos cinco mil ciento veinte.

b) Cincuenta mil ochocientos treinta y nueve.

c) Mil seis.

d) Doscientos ocho mil quinientos setenta y siete.

e) Diecisiete mil novecientos cincuenta y dos.

f) Tres mil quinientos cincuenta y siete.

g) Doce.

h) Setecientos treinta y dos.

.................. unidades

UMM CM DM UM C D U

.................. unidades

Se lee ...................................................................................................

UMM CM DM UM C D U

8 7 0 6 2 6 5

F

F

� 10� 10� 10 � 10� 10� 10� 10� 10


3 Completa la tabla, indicando el orden de unidades y el valor de la cifra 7 en cada número.

4 Escribe la descomposición polinómica de los siguientes números.

5 Escribe el número que representa cada descomposición polinómica.

ACIMÓNILOP NÓICISOPMOCSEDOREMÚN

432.100 400. 000 + 30. 000 + 2. 000 + 100

234. 912

3. 432. 000

32.111.120

1. 540. 003

533

ORDEN DE UNIDADES DEL 7SE LEENÚMERO VALOR DEL 7

007sanetneC827.51 Quince mil setecientos veintiocho

Setenta y cuatro mil ciento cincuenta y seis

1. 967

87. 003

475

Ochenta y siete mil tres

Cuarenta y siete

NÚMERODESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA

5. 000. 000 + 300. 000 + 70. 000 + 8. 000 + 100 + 50 + 6

700. 000 + 9. 000 + 500 + 40 + 1

10 UMM + 80 CM + 40 DM + 1 UM

4 DM + 5 UM + 8 C + 6 D + 9 U

7 UM + 0 C + 4 D + 1 U

23 DMM + 15 UMM + 1 CM + 10 DM + 4 UM

Para ordenar números se utilizan los símbolos:

> mayor que < menor que

064 5. 7 > 56. 123 318 > 316

8. 937 < 8. 990 24 < 27

7 Forma 6 números de 4 cifras con los números de las siguientes figuras.Ordénalos de menor a mayor (<).

9 Por un aeropuerto han pasado en 8 días los siguientes números de pasajeros.

24. 789, 33. 990, 17. 462, 26. 731, 30. 175, 28. 430, 31. 305, 19. 853

Ordena los números de pasajeros en orden creciente, de menor a mayor.

Números:

Ordenación:

6 Escribe 4 números anteriores y posteriores a 8. 475.

Anteriores

...................

...................

...................

...................

8. 475 Posteriores

...................

...................

...................

...................

...................

...................

...................

...................

...................

...................

............... < ............... < ............... < ............... < ............... < ...............

8 Dados los siguientes números, colócalos en su lugar correspondiente.

15. 080

17. 630 7. 478 15. 080 51. 498 5. 478 7. 500

............ < ............ < ............ < ............ < ............ < ............

CONOCER LA ESTRUCTURA DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

Sistema de numeración binario


Un sistema de numeración recibe su nombre a partir de la cantidad desímbolos que se usan en la escritura de números. A este número se ledenomina base. Por ejemplo, el sistema de numeración en base 6, se com-pone de las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5.El sistema de numeración binario es un sistema en el cual se utilizan úni-camente dos dígitos: 0 y 1.Para convertir un número en base 10 a base 2, es decir, de sistema deci-mal a binario, es necesario realizar divisiones sucesivas entre 2, tenien-do en cuenta el último cociente y los residuos respectivos de cada una delas divisiones realizadas.

Representar los siguientes números en base 2.a. 19 b. 32

SOLUCIÓNAl efectuar las divisiones sucesivas entre 2, se tiene que,a. 19 2 b. 32 2

1 9 2 0 16 21 4 2 0 8 2

0 2 2 0 4 20 1 0 2 2

0 119 100112 32 100.000 2

Para convertir un número en base 2 a base 10, es decir, de sistema bina-rio a decimal, se deben tener en cuenta los siguientes pasos:1. Ubicar el número binario en una tabla de orden, con el fin de que a

cada cifra le corresponda una potencia de 2.2. Multiplicar cada cifra del número binario por la potencia de 2 respec-

tiva y sumar los productos obtenidos. El número que resulta será elnúmero binario representado en el sistema de numeración decimal.

Ejercicio resuelto

Representar el número 1011012 en base 10.

SOLUCIÓNSe ubica el número en una tabla de orden. Así,

Se multiplica cada cifra del número por la potencia de dos respectiva y sesuman los productos obtenidos. Como se muestra a continuación:

Posición 6º 5º 4º 3º 2º 1º

Potencia de 2 25 24 23 22 21 20

Número binario 1 0 1 1 0 1

Ejercicio resuelto

Primer dígitodel número Primer dígito

del número

11100 101010Jano

EJERCITACIÓN. Escribir los siguientes números en ba-se 2.1. 9 2. 17 3. 25 4. 505. 92 6. 309 7. 110 8. 4589. 227 10. 530 11. 1.320 12. 3.020

* PARA PENSAR. Unir las expresiones equivalentes.13. VI • 580 • 1001000100214. DLXXX • 6.000 • 10111011100002

1011012 (1 25) (0 24) (1 23) (1 22) (0 21) (1 20)32 0 8 4 0 145

Luego, 1011012 45

Para sumar o multiplicar dos o más números en base 2, se deben teneren cuenta las siguientes sumas y productos fundamentales:0 0 0 0 0 00 1 1 0 1 01 0 1 1 0 01 1 10 1 1 1

Efectuar las siguientes operaciones entre números binarios:a. 1101012 100012 b. 10012 1012

SOLUCIÓNSe tienen en cuenta las sumas y los productos fundamentales.a. 110101 b. 1001

10001 1011000110 1001

00001001101101

Ejercicio resuelto

EJERCITACIÓN. Escribir los siguientes números en ba-se 10.15. 102 16. 12 17. 112 18. 101219. 1102 20. 1112 21. 10002 22. 1010223. 10012 24. 100102 25. 110112 26. 1100012

RAZONAMIENTO. Resolver las siguientes operaciones.27. 1001 1001 28. 100 10029. 11110 11111 30. 101 100

Los nombres de los mesesLos nombres de los meses del año tienen su origen en el latín.Algunos hacen referencia a dioses y otros a números. Por ejemplo,marzo es , mayo es , junio

es , agosto es , enero es .

INTERPRETATIVA. Resolver las operaciones. Luego, completar el texto con las palabras correspondientes.Operaciones

1111 1011Marte

10001 101Maia

10101 10001Juno

1100 11Augustus

11010 10110

100110 1111 1000110

I

P I

A

P

Realizar operaciones con números naturales


SUMA O ADICIÓN

Los términos de la adición se llaman sumandos.

El resultado es la suma o total.

En una piscifactoría se introducen un día 24. 350 truchas, otro día 18. 812 y un tercero 9. 906. ¿Cuántas truchas hay?

RESTA O SUSTRACCIÓN

Los términos de la sustracción se llaman minuendo y sustraendo.

El resultado es la resta o diferencia.

Prueba de la restaPara comprobar si una resta es correcta, la suma del sustraendo y la diferencia debe dar el minuendo:

sustraendo + diferencia = minuendo

F

F

F

F

SUMANDOS

SUMA O TOTAL

DM UM C D U

2 4 3 5 0

1 8 8 1 2

+ 9 9 0 6

5 3 0 6 8

EJEMPLO

Una piscina tiene una capacidad de 15 000 litros de agua. Han aparecido unas grietasy se han salido 1 568 litros. ¿Qué capacidad tiene ahora?

Comprobación:

EJEMPLO

F

F

F

MINUENDO

SUSTRAENDO

RESTA O DIFERENCIA

DM UM C D U

1 5 0 0 0

- 1 5 6 8

1 3 4 3 2

F

F

F

SUSTRAENDO

RESTA O DIFERENCIA

MINUENDO

DM UM C D U

1 5 6 8

+ 1 3 4 3 2

1 5 0 0 0

REALIZAR OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

:AHCEF:OSRUC:ERBMON

1 Efectúa las siguientes operaciones.

a) 23. 612 + 915 + 1. 036 = 14.3081 )b + 24 561 + 37 =

2 Completa con las cifras correspondientes.

)b )a

3 Completa las operaciones y escribe dos restas por cada suma, como en el ejemplo.

3. 058 819 3. 8773. 877 819 3. 0583. 877 3. 058 819"+ =

- =- =

(

a) 5. 665 + 1. 335 = " ) b) 777 + 11. 099 = " )

MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO

Una multiplicación es la suma de varios sumandos iguales.

Los términos de la multiplicación se denominan factores. El resultado final se llama producto.

4 Completa.

a) 50 + 50 + 50 + 50 + 50 + 50 = 50 · =

b) 415 + 415 + 415 + 415 + 415 + 415 = · =

5 Efectúa las multiplicaciones.

#

7

5

8

15

20

80 65 12 10 #

10

100

1. 000

10. 000

100. 000

5 10 20 25

En una regata de barcos de vela hay 20 barcos con 4 tripulantes cada uno.¿Cuántos tripulantes participan en total?

4 + 4 + 4 + 4 + … + 4 20 veces " 4 · 20 = 80 tripulantes

EJEMPLO

1 4 4 3

+ 5 7

6 9 1 0 3 5

6 3

- 1 2 8 4

4 1 5 6 4 2

La multiplicación de dos o más números se puede realizar de distintas maneras sin que el resultado varíe. Son las propiedades conmutativa y asociativa.

Por una carretera circulan 6 camiones que transportan 10 coches cada uno. ¿Cuántos coches son?

Conmutativa6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 • 10 = 60 coches

10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 10 • 6 = 60 coches

El resultado no varía:6 • 10 = 10 • 6

Si cada uno de esos coches tiene 4 ruedas, ¿cuántas ruedas hay en total?

Asociativa(6 • 10) • 4 = 60 • 4 = 240 ruedas 6 • (10 • 4) = 6 • 40 = 240 ruedas

El resultado no varía:(6 • 10) • 4 = 6 • (10 • 4)

EJEMPLO

6 Completa.

a) 8 • 9 = 9 • ......... ......... = .........

b) ........ • 15 = 15 • ......... ......... = .........

c) ......... • ......... = ......... • ......... ......... = .........

d) ......... • 6 = ......... • ......... ......... = 48

7 Completa.

a) 12 • 4 • 2 = 12 • (4 • 2) = 12 • 8 = 96

12 • 4 • 2 = (12 • 4) • 2 = ......... • 2 = .........

b) 7 • 10 • 3 = 7 • (10 • 3) = ......... • ........ = ......... 7 • 10 • 3 = (7 • 10) • 3 = ......... • ........ = .........

c) 11 • 5 • 6 =

11 • 5 • 6 =

d) 3 • 5 • 10 =

3 • 5 • 10 =

DIVISIÓN O COCIENTE

Dividir es repartir una cantidad en partes iguales.

Los términos de la división se llaman dividendo, divisor, cociente y resto.

– Dividendo: cantidad que se reparte (D).

– Divisor: número de partes que se hacen (d).

– Cociente: cantidad que corresponde a cada parte (c).

– Resto: cantidad que queda sin repartir (r).

Juan ha traído a clase 450 golosinas. Las reparte entre sus 25 compañeros. ¿Cuántas golosinas le tocan a cada uno?

Dividendo: D = 450Divisor: d = 25Cociente: c = 18Resto: r = 0

En toda división se cumple que:

D = d ? c + r (propiedad fundamental de la división)

La división puede ser:

• Exacta. Su resto es cero: r = 0.

• No exacta o entera. Su resto no es cero: r Þ 0 y r < d.

EJEMPLO

EJEMPLO

8 ¿Cuántas garrafas de 50 litros se pueden llenar con el contenido de cada uno de estos bidones?

450

2000

25

18 golosinas le tocan a cada compañero.

288

480

24

12

División exacta

288 = 24 ? 12

r = 0

96

21

25

3

División no exacta

96 = 25 ? 3 + 21

r = 21 y 21 < 25

50 litros3. 300litros

4. 150litros

725 - (60 • 7 + 10) = 725 - (420 + 10) = 725 - 430 = 295

(15 • 2) � (17 - 12) = 30 � 5 = 6

EJEMPLO

9 Resuelve las siguientes divisiones. Indica cuáles son exactas o no exactas.Utiliza la propiedad fundamental de la división.

a) 609 � 3 = 23 � 1.046 )c =

b) 305 � 15 = 81 � 16.605 )d =

10 Completa estas tablas.

11 Los 2. 700 alumnos de un colegio van de campamento. ¿Pueden ir en autobuses de 55 plazassin que sobre ninguno? ¿Y en autobuses de 30 plazas? Razona tus respuestas.

DIVIDENDO

350 5

9 45

4 30

DIVISOR COCIENTE DIVIDENDO

3 45

03051

500 10

DIVISOR COCIENTE

OPERACIONES COMBINADAS

Para resolver operaciones combinadas (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones…) hay que seguir un orden:

1.o Quitar paréntesis.

2.o Resolver las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen.

3.o Resolver las sumas y restas en el orden en que aparecen.

12 Efectúa las siguientes operaciones combinadas.

a) 450 - (75 • 2 + 90) = 450 - (150 + 90) = 450 - 240 = 210

b) 350 + (80 • 6 - 150) =

c) 600 � 50 + 125 • 7 =

d) 8 • (50 - 15) � 14 + (32 - 8) • 5 =

1 Haz la siguiente multiplicación.

4 8

# 2 9

2 Calcula el producto de factores: 8 • 9 • 11 = .

3 Indica el número que falta en la multiplicación: 12 • = 228.

4 Completa.

67 � 6 " Cociente: Resto: 616 � 27 " Cociente: Resto:

5 Respecto a una división:

a) ¿Cómo se llaman los términos que intervienen?

D d

r c

D " d " c " r "

b) Si la división es exacta, ¿cuánto vale r?

6 Completa las divisiones con los términos que faltan.

7 32 56 9 77 9

4 8 2 5 6 5

7 Haz la siguiente división.

8 .496 72

8 En un almacén se hace una oferta de bolsas de naranjas, cuyo precio varía según el tipo de bolsa. Calcula en qué tipo de bolsa sale más económico el kilo de naranjas.

a) Una bolsa de 2 kg vale 4 .

b) Una bolsa de 4 kg vale 8 .

c) Una bolsa de 25 kg vale 25 .


Multiplicación y división con números naturales

MATEMÁTICAS CON ORDENADOR

Calcula el cociente y el resto de estas divisiones.a) 173 � 3 b) 267 � 4 c) 1. 329 � 9 d) 255 � 11 e) 32.156 � 15 f) 256 � 16

1. Copiamos los números en las columnas A y B COCIENTE() C2.

3. Copiamos el contenido de la celda C2.

2. Utilizamos la función RESIDUO() para de�nir D2.

4.

Microsoft Of�ce. EXCEL

PRACTICA

1. Calcula el cociente y el resto.a) 1.233 � 7 c) 5.555 � 22b) 4.518 � 13 d) 6.542 � 13

2. Halla los términos que faltan

a) Divisor = 25 Cociente = 33 Resto = 2b) Dividendo = 256 Cociente = 25

INVESTIGA

3.

2, 3, 4 y 5 el dividendo y el divisor anteriores.

cociente y resto. ¿Qué le pasa al cociente y al resto de una división si multiplicamos

número?

ACTIVIDADES

5. Repetimos el proceso

D2 y las celdas

y obtenemos

de todas las divisiones.

PASO A PASO

1

2

3

4

5

Microsoft Of�ce. EXCEL

Escribimos los rótulos en las celdas A1, B1, C1 y D1.

En la columna A los dividendos y en la columna B

Para definir el cociente en la celda C2 utilizamos la función COCIENTE(dividendo;divisor).

En la celda C2 copiamos la fórmula =COCIENTE(A2;B2), que da como resultado 57.

Para definir el resto en la celda D2 utilizamos la función RESIDUO(dividendo;divisor).

En la celda C2 copiamos la fórmula =RESIDUO(A2;B2), que da como resultado 2.

Para obtener el resto de cocientes en la columna C, utilizamos los comandos Copiar y Pegar.

Con el cursor sobre la celda C2 y tras presionar el botón derecho del ratón aparece un menú, en el que seleccionamos la opción Copiar.

Para pegar la fórmula copiada en el paso anterior, seleccionamos las celdas de la columna C, desde C3 a C7, y con cursor sobre el área seleccionada presionamos

Pegar

Tras realizar esta operación aparecen los cocientes de todas las divisiones indicadas.

Repitiendo el proceso indicado en los puntos 3. y 4. para los elementos de la columna D, obtenemos los restos

Una potencia es la forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales.

:AHCEF:OSRUC:ERBMON

En el gimnasio del colegio hay 4 cajas de cartón, cada una de las cuales contiene 4 redes con 4 pelotas en cada red. ¿Cuántas pelotas hay en total?

4 cajas, 4 redes y 4 pelotas 4 • 4 • 4 = 64 pelotas

Esta operación la podemos expresar de la siguiente manera.

43 = 4 • 4 • 443 es una potencia.

EJEMPLO

Una potencia está formada por una base y un exponente.

Por tanto: 43 = 4 • 4 • 4.

F

Base: factor que se repite. Exponente: número de veces que hayque multiplicar la base por sí misma.

Se lee: «Cuatro elevado al cubo».

FF

1 Completa la siguiente tabla.

POTENCIA

35 Tres (elevado) a la quinta

Cinco (elevado) a la sexta

64

10 3

EEL ESETNENOPXEESAB

2 Resuelve con la calculadora. ¿Qué observas en los ejercicios a) y b), y en las actividades c) y d)?

a) 5 • 5 • 5 • 5 = 54 d) 6 • 6 =

b) 7 • 7 • 7 = 4 )e • 4 • 4 =

c) 20 • 20 • 20 • 20 • 20 • 20 = f) 3 • 3 • 3 =

3 Escribe como producto de factores iguales.

a) 24 = 2 • 2 • 2 • 01 )d 2 5 =

b) 63 = 7 )e 4 =

c) 82 = 5 )f 5 =

4 Halla el valor de las siguientes potencias.

a) 32 = 3 • 3 = 01 )d 9 3 =

b) 43 = 9 )e 2 =

c) 24 = 5 )f 3 =

COMPRENDER EL CONCEPTO DE POTENCIA

4 3

Comprender el concepto de potencia

POTENCIAS DE BASE 10

• Las potencias de base 10 y cualquier número natural como exponente son un caso especial de potencias.

• Se utilizan para expresar números muy grandes: distancias espaciales, habitantes de un país, etc.

5 Escribe con números.

a) Seis elevado al cuadrado = c) Ocho elevado al cuadrado =

b) Tres elevado al cubo = atrauc al a odavele zeiD )d =

7 Expresa los siguientes números como potencias.

a) 25 = 5 • 18 )c 5 = 001 )e =

b) 49 = 46 )d = 63 )f =


POTENCIA

102 10 • 10 100 Cien

103 10 • 10 • 10 1. 000 Mil

104 10 • 10 • 10 • 10 10. 000 Diez mil

105 10 • 10 • 10 • 10 • 10 100. 000 Cien mil

106 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 1. 000. 000 Un millón

EXPRESIÓN NÚMERO SE LEE

8 Expresa en forma de potencia de base 10 los siguientes productos.

a) 10 • 10 • 10 = 01 )c • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 =

b) 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 = d) 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 =

9 Completa.

NÚMERO

2. 000 2 • 2000 1 • 103

5225.000 •

15 • 100

4 • 106

13. 000. 000

33 • 10. 000

PRODUCTO DE DOS NÚMEROS CON POTENCIA DE BASE 10

NÚMEROS

Elevado al cuadrado 001941

8 125Elevado al cubo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 Expresa como una sola potencia estos productos de potencias.

a) 57 • 53 = 7 )c 14 • 721 = e) 45 • 44 • 49 =

b) 174 • 172 = 11 )d 3 • 11 = f) 2615 • 26 • 263 =


a) 57 � 5 3 = 7 )c 21 � 7 14 = e) 413 � 4 4 � 4 9 =

b) 174 � 17 2 = 11 )d 3 � 11 = f) 2615 � 26 9 � 26 =


a) (57)8 = 7( )b 21)3 = c) ( )415 3 2_ i

1 Calcula estas potencias.

a) 50 = b) 51 = c) 52 = d) 53 = e) 54 =

Cualquier potencia de exponente 1 es igual a la base. 31 = 3

Cualquier potencia de exponente 0 es igual a 1. 30 = 1

Para multiplicar dos o más potencias de la misma base, se mantiene la misma base y se suman los exponentes.

Para dividir dos o más potencias de la misma base, se mantiene la misma base y se restan los exponentes.

Para elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes.

:AHCEF:OSRUC:ERBMON

OPERAR CON POTENCIAS

Expresa como una sola potencia:

a) 35 • 32 = 35 + 2 = 37 b) 1033 • 10321 • 10312 = 1033 + 21 + 12 = 10336

EJEMPLO


a) 35 � 3 2 = 3 5 - 2 = 3 3 b) 2313 � 23 2 � 23 10 = 23 13 - 2 - 10 = 23 1 = 23

EJEMPLO


a) (35)2 = 35 ? 2 = 310 b) (23 ) 23 23? ?13 10 13 2 10 2602 = =_ i

EJEMPLO

9

Comprender el concepto de potencia

CALCULAR RAÍCES CUADRADAS EXACTAS

:AHCEF:OSRUC:ERBMON

1 Calcula los siguientes cuadrados.

12 = 42 = 72 = 102 = 132 =

22 = 52 = 82 = 112 = 142 =

32 = 62 = 92 = 122 = 152 =

2 Identifica los números que son cuadrados perfectos.

18, 25, 39, 44, 56, 64, 76, 81, 99, 111, 122, 136, 144, 152, 169, 174, 186, 195, 207, 218, 225

• Cuadrados perfectos:

• No son cuadrados perfectos:

3 Determina el radicando y la raíz.

a) 64 8= )b 100 10= c) 1 1=

Raíz = zíaR = Raíz =

Radicando = Radicando = Radicando =

4 Determina la raíz exacta y completa.

a) porque 36362

= = c) porque49 = =

b) porque121 1212

= = d) porque196 = =

5 Determina la raíz exacta y completa.

a) Como entonces25 252= = c) Como entonces 882 = =

b) Como entonces144 1442

== d) Como entonces132 = =

Se dice que un número es un cuadrado perfecto si existe otro número tal que al elevarlo al cuadrado nos da el primero.

9 es un cuadrado perfecto porque 32 = 9 16 es un cuadrado perfecto porque 42 = 16

La raíz cuadrada exacta de un número es otro número tal que al elevarlo a cuadrado obtenemos el primero.

9 3= porque 32 = 9 16 4= porque 42 = 16

Solo existe raíz cuadrada exacta si el radicando es un cuadrado perfecto.

a b= FF

FSímbolo de raíz

Raíz

Radicando

Calcular raíces cuadradas exactas

EJERCITACIÓN. Escribir el número que corresponde encada casilla. Luego, escribir cada expresión como unlogaritmo.1. 2 8 2. 3 81 3. 5 6254. 10 1.000 5. 6 216 6. 2 647. 9 729 8. 11 1.331 9. 7 34310. 4 1.024 11. 15 225 12. 10 10.000

EJERCITACIÓN. Completar la siguiente tabla.

13.

14.15.16.

EJERCITACIÓN. Completar los espacios según corres-ponda.17. Log2 8 3 porque 18. Log 100 porque 1019. Log5 4 porque 4 62520. Log3 porque 5 24321. Log6 porque 216

RAZONAMIENTO. Escribir , o según corresponda.

42. Log6 36 62 43. 81 Log9 81 44. Log5 (25 600) 25 25

45. (70)3 Log6 6 46. Log 100 103 47. 35 53

48.4 27 3 92 49. Log 10 100 50. Log2 162 16

51. Log5 (25 5) Log5 (25 5) 52. Log8 512 Log8 64 (80)5 56.5 75 (72)7 77

Logaritmación Base Número Logaritmo Se lee

Log3 27 3 27

4 3

8 64Log5 125 3

A

I

I

A

A

I

RAZONAMIENTO. Unir las expresiones correspondien-tes en cada columna.Potenciación Radicación Logaritmación

22. 53 4 6.561 Log 104

23. 104 121 Log11 121

24. 83 3 125 Log8 512

25. 94 7 2.187 Log3 2.187

26. 112 4 10.000 Log9 94

27. 37 3 512 Log5 125

EJERCITACIÓN. Calcular cada logaritmo aplicando laspropiedades.28. Log5 (125 25) 29. Log2 (4 8)30. Log3 (9 3) 31. Log4 (64 16)32. Log11 (1.331 121) 33. Log20 (400 1)34. Log7 492 35. Log5 253

36. Log (106)2 37. Log 1.00038. Log 10.000 Log 100 39. Log 102

40. Log 100 Log 10 41. Log (1002)3

Logaritmos


Ecuaciones


8 cm

BA Cx

EJERCITACIÓN. Relacionar cada ecuación con su res-pectiva solución.1. x 5 8 a. 42. m 7 3 b. 1203. 12 n 16 c. 64. 9t 81 d. 105. r 50 70 e. 96. l 7 9 f. 2237. 270 t 493 g. 38. 58q 348 h. 59. 43s 301 i. 7

10. 81k 405 j. 63

RAZONAMIENTO. Encerrar la ecuación que corres-ponde a la frase. Luego, resolver.11. Un número disminuido en 7 es igual a 112

• 7 m 112 • m 7 11212. Un número aumentado en 16 equivale a 236

• p 16 236 • p 236 1613. El triple de un número es 1.359

• 3t 1.359 • 3 t 1.35914. La séptima parte de un número es 574

• 7r 574 • r 7 57415. El doble de un número es igual al triple de 16

• 2k 3(16) • k 2 3(16)

RAZONAMIENTO. El siguiente gráfico representa laspreferencias de canales de televisión de un grupo de350 personas.

16. Plantear una ecuación que permita hallar la can-tidad de personas que prefieren el canal RCN.

MODELACIÓN. Leer cada situación y completar la res-pectiva tabla. Luego, plantear la ecuación correspon-diente.17. Una libra de café cuesta $1.800, ¿cuánto cuestan

tres libras de café? ¿Cuánto cuestan cinco libras decafé?

18. Los datos de la siguiente tabla corresponden alnúmero de operarios y cantidad de artículos queempacan diariamente.

¿Cuántos artículos empacaron 50 operarios?19. Si se quiere empacar 1.250 artículos, ¿cuántos

operarios se necesitarán?20. En una fábrica, 12 máquinas de la misma clase

realizan un trabajo en 10 horas. Completar lasiguiente tabla de acuerdo con la información.

¿Cuántas horas se demoran 3 máquinas, en hacerel trabajo?

21. ¿Cuántas máquinas se necesitan para hacer el tra-bajo en 5 y 2 horas, respectivamente?

* PARA PENSAR. Escribir una expresión que representela longitud del segmento trazado con rojo.22.

85

?

110

65

AXN

RCN

SONY

AIE

Canal

Personas

1 $1.800

2 $3.600

3 ?

4 ?

Libra Precio

5 12510 25020 50030 750

Cantidad de Cantidad de operarios artículos empacados

12 106342

Número de máquinas Tiempo horas

I I

A

A

Esta historia nos presenta a los creadores del calendario gregoriano, usado actualmente en la mayoría de los países: el papa Gregorio XIII, del cual recibe su nombre, y el jesuita alemán Christopher Clavius, al que podríamos considerar como padre intelectual del calendario, que cifró la duración del año trópico mediante cálculos matemáticos y astronómicos en 365,2425 días, lo que justifica los ajustes realizados al calendario.

Christopher Clavius nació el 25 de marzo de 1538 y murió el 12 de febrero de 1612, ingresó en la Orden Jesuita en 1555, estudió en la Universidad de Coimbra y en el Collegio Romano donde,

durante el resto de su vida.

El rechazo de algunos importantes científicos al cambio de calendario

una obra justificando el cambio.

El calendario juliano que se usó desde el año 45 a.C.

y en él la parte no entera se compensaba con años bisiestos:

1 220 años que produjeron una desviación

El nuevo calendario no fue aceptado de buen grado por todos y generó polémica; de hecho, Rusia adoptaría este calendario en 1918 y Grecia en 1923, casi cinco siglos después.

El calendario gregoriano establece que los años bisiestos

en 00 no son bisiestos, excepto los divisibles por 400.

El calendario gregoriano

NOMBRE: CURSO: FECHA:

En una tienda de deportes las pelotas de tenis se venden en botes de 3 unidades. ¿Cuántas pelotas puedo comprar?

1 bote 2 botes 3 botes 4 botes 5 botes …

3 • 1 = 3 3 • 2 = 6 3 • 3 = 9 3 • 4 = 12 3 • 5 = 15 …

Se pueden comprar 3, 6, 9, 12, 15… pelotas.

Los números 3, 6, 9, 12, 15… son múltiplos de 3.

EJEMPLO

Los múltiplos de un número son aquellos que se obtienen multiplicando dicho número por 1, 2, 3, 4, 5… es decir, por los números naturales.

Múltiplos de 4 F 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28…

1 Fíjate en la siguiente secuencia y complétala.


• 3 es múltiplo de 3 porque 3 = 3 • 1




• 15 es múltiplo de 3 porque 15 = 3 • ........

• ........ es múltiplo de 3 porque ........ = 3 • ........




• ........ es múltiplo de 3 porque ........ = 3 • 10

Son números ........................

#

1

3

5

7

9

1 2 3 4

4

14

35

70

5 6 7 8 9 10

IDENTIFICAR LOS MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO

64444444744444448

Identificar los múltiplos y divisores de un número


#

2

4

6

8

10

1 2 3 4

24

16

32

90

5 6 7 8 9 10

4 Escribe los números que faltan (en algunos apartados pueden existir varias soluciones).

a) 28 es múltiplo de 4 porque 28 = 4 • .......

b) 35 es múltiplo de ....... porque ....... = ....... • 7

c) ....... es múltiplo de 6 porque ....... = ....... • .......

d) ....... es múltiplo de 8 porque ....... = 8 • .......

e) 30 es múltiplo de 10 porque 30 = 10 • .......

f) 54 es múltiplo de ....... porque ....... = ....... • .......

5 Halla mentalmente cuatro múltiplos de:

a) 3 c) 9 e) 6

b) 5 d) 11 f) 8

6 Escribe los números que se indican:

a) Múltiplos de 3 menores que 36.

b) Múltiplos de 4 menores que 60.

c) Múltiplos de 100 menores que 1.000.

d) Múltiplos de 7 que estén comprendidos entre 30 y 90.

7 Juan acude a unos grandes almacenes y observa que algunos artículos se venden de la siguiente forma.

• Las cintas de vídeo en paquetes de 3 unidades.

• Los lápices en bolsas de 2 unidades.

• Los disquetes en cajas de 10 unidades.

• Los CD en grupos de 5 unidades.

¿Cuántas unidades de cada artículo podríamos comprar?


Los divisores de un número son los que dividen dicho número un número exacto de veces.

6 y 8 son divisores de 24 porque dividen exactamente a 24.

La división entre ellos es exacta ya que su resto es cero.

Quiero guardar 18 lapiceros en bolsas, de modo que cada una de ellas contenga la misma cantidad de lapiceros sin que sobre ninguno. Tengo que ordenarlos y agruparlos de las siguientes maneras.

• Los números 1, 2, 3, 6, 9, 18 son divisores de 18.

• Los lapiceros están agrupados en bolsas con igual cantidad de ellos.

• La división es exacta, no sobra nada:

1 es divisor de 18 porque 18 � 1 = 18 y el resto es 0.






EJEMPLO

24

0

6

4 veces

24

4

5

4

24

0

8

3 veces

24

3

7

3

1 bolsa de 18 lapiceros 2 bolsas de 9 lapiceros 3 bolsas de 6 lapiceros

6 bolsas de 3 lapiceros 9 bolsas de 2 lapiceros 18 bolsas de 1 lapicero

18

080

1

18

18

0

2

9

18

0

3

6

18

0

6

3

18

0

9

2

18

0

18

1


9 Tacha aquellos números que no sean:

Divisores de 5 = 1, 3, 5 Divisores de 25 = 1, 3, 5, 10, 20, 25

Divisores de 9 = 1, 2, 3, 6, 9 Divisores de 48 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 16, 20, 24, 30, 45, 48

Divisores de 11 = 1, 3, 9, 11 Divisores de 100 = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 40, 50, 60, 75, 90, 100

10 Indica si son verdaderas o falsas las afirmaciones y razona tu respuesta.El número 15 es:

a) Múltiplo de 5 V o F porque 5 • ......... = .........

b) Divisor de 10 V o F porque ............................

c) Múltiplo de 6 V o F porque ............................

d) Divisor de 45 V o F porque ............................

11 Halla todos los divisores de:

a) 18 d) 20

b) 22 e) 16

c) 15 f) 14

12�1 12�2 12�3 12�4 12�5 12�6 12�7 12�8 12�9 12�10 12�11 12�12

División

Cociente

Resto

12 En la clase de Educación Física hay 24 alumnos. ¿De cuántas maneras se podrán formar grupos iguales de alumnos sin que sobre ninguno? Razona tu respuesta.

Para calcular todos los divisores de un número lo dividimos entre los números naturales menores e iguales que él. Los números que hacen que la división sea exacta son sus divisores.

Múltiplo y divisor son dos conceptos relacionados entre sí. En una división exacta de dos números decimos que existe una relación de divisibilidad.

• El número mayor es múltiplo del menor.

• El número menor es divisor del mayor.

48 � 8 = 6 48 es múltiplo de 8, porque 48 = 8 ? 6.

8 es divisor de 48, porque 8 divide un número exacto de veces a 48 (6 veces).

48 � 6 = 8 48 es múltiplo de 6, porque 48 = 6 ? 8.

6 es divisor de 48, porque 6 divide un número exacto de veces a 48 (8 veces).

13 Completa con la palabra adecuada, múltiplo o divisor.

a) 25 es ...................... de 5 d) 11 es ........................ de 33

b) 60 es ...................... de 120 e) 100 es ...................... de 25

c) 16 es ...................... de 8 f) 7 es ......................... de 63

14 Dados los números 15, 10, 1, 25, 5, 8, 20, 45, 2, 12, indica cuáles son:

a) Divisores de 50.

b) Múltiplos de 3.

15 Observa estos números: 9, 25, 15, 20, 48, 100, 45, 5, 2, 22, 3.Forma, al menos, 4 parejas que verifiquen la relación de divisibilidad.

F

F

Un atleta recorre una distancia en saltos de 2 metros.

0 2 4 6 8 10 12 14 …

Una rana recorre una distancia en saltos de 3 metros.

0 3 6 9 12 15 18 21 …

Una garza recorre una distancia en saltos de 5 metros.

0 5 10 15 20 25 30 35 …

Un canguro recorre una distancia en saltos de 10 metros.

0 10 20 30 40 50 60 70 …

• Los saltos del atleta tienen algo en común: al dividirlos entre 2, la división es exacta: el resto es cero; son múltiplos de 2 y la distancia entre ellos es la misma, 2 metros.

Los números que acaban en 0, 2, 4, 6 y 8 son divisibles por 2. Esta es la regla de divisibilidad por 2.

• Los saltos de la rana tienen algo en común: al dividirlos entre 3, la división es exacta: el resto es cero; son múltiplos de 3 y la distancia entre ellos es la misma, 3 metros.

Observa que si sumamos sus cifras, el número obtenido es múltiplo de 3. Esta es la regla de divisibilidad por 3.

3, 12, 21... Sus cifras suman 3, que es múltiplo de 3.



• Los saltos de la garza tienen algo en común: al dividirlos entre 5, la división es exacta: el resto es cero; son múltiplos de 5 y la distancia entre ellos es la misma, 5 metros.

Los números que acaban en 0 o en 5 son divisibles por 5. Esta es la regla de divisibilidad por 5.

• Los saltos del canguro tienen algo en común: al dividirlos entre 10, la división es exacta: el resto es cero; son múltiplos de 10 y la distancia entre ellos es la misma, 10 metros.

Los números que acaban en 0 son divisibles por 10. Esta es la regla de divisibilidad por 10.

EJEMPLO

COMPRENDER Y APLICAR LOS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD


Los criterios de divisibilidad son una serie de normas que permiten saber si un número es divisible por 2, 3, 5, 10…

A continuación, vamos a hallar estos criterios.

Comprender y aplicar los criterios de divisibilidad


1 Indica cuál de los números cumple los criterios de divisibilidad de la tabla (algunos números pueden serlo por varios).

2 De los números 230, 496, 520, 2. 080, 2 .100, 2. 745 y 455, di:

a) ¿Cuáles son múltiplos de 2?

b) ¿Cuáles son múltiplos de 3?

c) ¿Cuáles son múltiplos de 5?

d) ¿Cuáles son múltiplos de 10?

3 Completa la cifra que falta en cada número para que se cumpla el criterio de divisibilidad que se indica (pueden existir varias soluciones).

DIVISIBLE POR 2 DIVISIBLE POR 3 DIVISIBLE POR 5 DIVISIBLE POR 10

18

35

40

84

100

150

1. 038

480

1. 002

5. 027

364

No puede ser. No acaba en 0

ni en…

No puede ser. No acaba en 0,

ni en 2…

36....

35. 02 ....

9....6

1 .4 .... 0

8. 8 .... 5

43....79

DIVISIBLE POR 2

369

DIVISIBLE POR 3

365

DIVISIBLE POR 5

360

DIVISIBLE POR 10

PRACTICA

1. Calcula todos los divisores de estos números.

a) 18 b) 33 c) 81 d) 100

2. Encuentra los divisores comunes y el máximo común divisor de las siguientes parejas de números naturales.

a) 22 y 58 c) 37 y 77

b) 50 y 100 d) 24 y 36

INVESTIGA

3. Las funciones M.C.D() y M.C.M() sirven para encontrar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números.a) Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de dos números.b) Multiplica por 2, 3, 4 y 5 los números anteriores,

y calcula de nuevo el m.c.d. y el m.c.m.c) ¿Qué ocurre con el m.c.d. y el m.c.m. de

mismo número?

ACTIVIDADES

MATEMÁTICAS CON ORDENADOR Microsoft Of�ce. EXCEL

Calcula todos los divisores de 12.

1. Copiamos el número, 12, en A2 y los números naturales que hay hasta él en la columna B.

3. Copiamos la celda C2 y la pegamos en el resto de celdas de la columna C.

2. Utilizamos la función RES IDUO() para de�nir C2.

4. Con la función SI()en la celda contigua, D2, si el resto es cero.

5. adlec al somaipoC D2

en el resto de celdas de la columna D para obtener todos los divisores del número.

PASO A PASO Microsoft Of�ce. EXCEL

1

2

3

4

5

Escribimos los rótulos en las celdas A1, B1, C1 y D1, y el número del que queremos encontrar los divisores en la celda A2.

Para rellenar la columna B utilizamos la función FILA (celda) que devuelve el número de la fila de la celda que pongamos.

En la celda B2 copiamos la fórmula = Fila(B1), que da como resultado 1. Copiamos esta celda, seleccionamos el resto de la columna B y pegamos, de este modo aparecen los números naturales que queremos.

Utilizamos la función R ESIDUO (número;número_divisor), que devuelve el resto de la división del número entre el número divisor, para rellenar la columna D.

En la celda D2 copiamos la fórmula = RESIDUO (A$2;B2), que da como resultado 0.

El símbolo $ fija la referencia del número de fila, de esta manera al copiar la fórmula en otras celdas de esa misma columna no variará el primer argumento de la función.

Copiamos la celda C2, seleccionamos el resto de la columna C y pegamos su contenido. Después de hacer esto aparecen los restos de las divisiones del número entre los sucesivos números naturales.

Utilizamos la función SI(prueba lógica; valor si verdadero; valor si falso), que devuelve el primer valor si la prueba lógica es cierta y el segundo valor si es falsa, para rellenar la columna D.

En la celda D2 copiamos la fórmula = S I(C2= 0;B2;“ ”) , que da como resultado 1, que es valor que hay en la celda C2.

Si en una fórmula ponemos algo entre comillas, la función lo trata como si fuera texto y no realiza ninguna operación con él.

Copiamos la celda D2, seleccionamos el resto de la columna D y pegamos en ella su contenido. Después de hacer esto aparecen los divisores del número cuando el resto al dividir es cero y si el resto no es cero la celda aparece en blanco.

Cigarras y números primos

Evolución histórica de la divisibilidad

Euclides y Fermat

Existe un tipo de cigarras, las cigarras periódicas, que tienen el ciclo vital más largo de todos los insectos. En especial, una de ellas, la Magicicada septendecim vive 17 años bajo tierra alimentándose de las raíces de los árboles, luego emerge a la superficie, pone los huevos y muere.

¿Por qué el ciclo vital de la cigarra es de esa forma? ¿Y por qué es un número primo de años?

Se cree que ese ciclo es un número primo para favorecer la supervivencia de la especie. Según algunas teorías, esta cigarra tiene un parásito con un cierto ciclo vital que la cigarra intenta evitar. Es decir, trata de no coincidir con él.

Imaginemos que el parásito vive 2 años,, entonces la cigarra no puede vivir un número de años que sea divisible por 2, porque el parásito y la cigarra coincidirían regularmente y eso la perjudicaría. Lo mismo ocurriría si el parásito tuviera un ciclo vital de 3 años.

Así, para evitar encontrarse con su parásito, la cigarra alargó su ciclo vital, y, además, lo hizo un número primo para que las coincidencias fueran mínimas.

Como la cigarra vive 17 años, si el parásito vive 2 años, solo se encontrarían cada 34 años. Si el parásito viviera 3, se encontrarían cada 51 años.

El parásito, para contrarrestar esto, debería alargar también su ciclo vital, porque si no estaría muchos años sin poder parasitar a nadie. Ahora bien, debería estar 16 años sin alimento, lo cual es muy difícil.

El largo ciclo vital de las cigarras, y el que este sea un número primo, las protege de forma muy conveniente.

Los hindúes llegaron a conocer la divisibilidad por 3, 7 y 9, y los griegos y egipcios establecieron la clasificación de los números en pares e impares.

El matemático francés Blaise Pascal (siglo xvii) propuso las reglas para determinar la divisibilidad por cualquier número.

Euclides descubrió la infinitud de los números primos. Así, alcanzó su máximo desarrollo la teoría de números en Grecia.

Hasta el siglo xvii en que Fermat propuso sus teoremas (el último de ellos demostrando en la última década del siglo xx) no hubo más progresos en esta área.

Reconocer números primos y compuestos. Factorizar un número


Los 5 jugadores de un equipo de baloncesto quieren saber de cuántas maneras pueden formar grupos iguales para realizar sus entrenamientos.

Se pueden agrupar en conjuntos de 1 y de 5 jugadores.

El número 5 solo tiene dos divisores: 5 y 1 (él mismo y la unidad). Se dice que es un número primo.

De igual manera ocurre con los 7 jugadores de un equipo de balonmano.

El número 7 solo tiene dos divisores: 7 y 1. Es un número primo.

Tengo 8 libros para colocar en una estantería. ¿Cuántos grupos iguales de ellos puedo formar?

Los puedo colocar en grupos de 1, 2, 4 y 8 libros.

El número 8 tiene varios divisores. Se dice que es un número compuesto.

EJEMPLOS

5

0

1

5

5

1

2

2

5

2

3

1

5

1

4

1

5

0

5

1

8

0

1

8

8

0

2

4

8

2

3

2

8

0

4

2

8

3

5

1

8

2

6

1

8

1

7

1

8

0

8

1

1 Halla los números primos que hay desde 100 hasta 129 (escríbelos en rojo).

2 Clasifica los números en primos o compuestos: 6, 15, 7, 24, 13, 2, 20, 11 y 10.

a) Números primos:

b) Números compuestos:

3 Un equipo de fútbol tiene 11 jugadores.

a) ¿De cuántas maneras se pueden colocar formando grupos iguales de jugadores?

b) Si se une al entrenamiento otro jugador, ¿cómo se agruparían?

RECONOCER NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS. FACTORIZAR UN NÚMERO


Número primo: solo tiene dos divisores, él mismo y la unidad.

Número compuesto: tiene más de dos divisores.

100 101 102

111 115

127

110

Descompón en factores primos el número 36.

– Se coloca el número.

– Se traza una línea vertical a su derecha.

– Se comienza a dividir entre los sucesivos números primos (2, 3, 5, 7…) tantas veces como se pueda.

– Acabamos de dividir cuando el último número es un número primo (cociente 1).

36 2 – El primer número primo por el que es divisible 36 es 2: 36 � 2 = 18




1

Por tanto, la descomposición en factores primos de 36 es:

36 = 2 • 2 • 3 • 3 = 22 • 32

EJEMPLO

Descomponer un número en factores es expresarlo como un producto de varios números.

Un número primo solo admite una descomposición en factores, mientras que un número compuesto puede tener más de una.

Como 13 es un número primo solo se puede descomponer en factores como 13 • 1.

En cambio, 32 es un número compuesto y admite más de una descomposición en factores:

32 = 8 • 4 = 2 • 16 " Dos descomposiciones en factores de 32 son 8 • 4 y 2 • 16.

Factorizar un número es descomponerlo en factores primos, es decir, expresarlo como un producto de sus divisores primos.

4 Decide si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones y razona tu respuesta.

a) Una descomposición en factores de 24 es 2 • 12.

V o F porque 24 = ................................................

b) 42 solo se puede descomponer en factores como es 2 • 12.

V o F porque ..........................................................

c) Como 8 es un número compuesto tiene varias descomposiciones en factores.

V o F porque ..........................................................

d) Una descomposición en factores de 48 es 3 • 16 y además no es la única.

V o F porque 48 = ................................................

5 Descompón el número 45 en factores primos.

6 Descompón como producto de factores primos los números 50 y 60.

7 Quiero guardar 40 latas en cajas iguales sin que sobre ninguna. ¿De cuántas maneras puedo hacerlo?

8 María desea distribuir el agua de una garrafa de 12 litros en envases que contengan el mismo número de litros.

a) ¿Qué capacidades tendrán los recipientes?

b) ¿Cuántos necesitará en cada caso?

60 2

30 5

60 = 2 • ................


– El primer número primo por el que es divisible 15 es ......: ........................

– El primer número primo por el que es divisible ......... ......: ........................

Podemos expresar el número 45 así:

45 = 3 • ......... = .........


DIVISORES COMUNESJuan tiene 12 locomotoras de juguete y Pedro 18 aviones. Quieren hacer grupos de manera que tengan el mismo número de juguetes en cada uno.

Juan y Pedro pueden juntar sus juguetes en grupos iguales de 1, 2, 3 y 6.

1, 2, 3 y 6 son los divisores comunes de ambos números.

6 es el mayor grupo que ambos pueden formar con el mismo número de locomotoras y aviones.

6 es el mayor de los divisores comunes, y se llama máximo común divisor (m.c.d.).

EJEMPLO

Vamos a calcular sus divisores:

1 2 3

4 6 12

Vamos a calcular sus divisores:

1 2 3

6 9 18

18 2 9 3

3 3 1 3

18 = 2 • 3 • 3 = 2 • 32 12 = 2 • 2 • 3 = 22 • 3

Juan podrá hacer los siguientes grupos: Pedro podrá hacer los siguientes grupos:

12 2 6 2 3 3 1 3

LOCOMOTORAS

1 grupo de 12 locomotoras

2 grupos de 6 locomotoras




12 grupos de 1 locomotora

AVIONES

1 grupo de 18 aviones

2 grupos de 9 aviones




18 grupos de 1 avión

1 Halla los divisores comunes de:

a) 25 y 30 b) 9 y 12 c) 15 y 20 d) 16 y 24

2 Calcula el mayor de los divisores comunes de cada pareja de números del ejercicio anterior, es decir, el máximo común divisor (m.c.d.).

OBTENER DIVISORES Y MÚLTIPLOS COMUNES DE VARIOS NÚMEROSObtener divisores y múltiplos comunes de varios números


MÚLTIPLOS COMUNES

Ana va a nadar al polideportivo cada 2 días y Eva cada 3. ¿Cada cuánto tiempo coincidirán en el polideportivo?

Ana

Eva

Ana va los días 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20…

Eva va los días 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20… son los múltiplos de 2.

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21… son los múltiplos de 3.

6, 12, 18… son los múltiplos comunes de 2 y 3.

6 es el menor de los múltiplos comunes, y se llama mínimo común múltiplo (m.c.m.).

EJEMPLO

3 Halla los 5 primeros múltiplos comunes de:

a) 5 y 10 c) 10 y 25

b) 4 y 6 d) 12 y 15

4 Calcula el menor de los múltiplos comunes de cada pareja de números del ejercicio anterior, es decir, el mínimo común múltiplo (m.c.m.).

5 Un barco sale de un puerto cada 4 días, otro cada 5 y un tercero cada 7 días. ¿Cuándo vuelven a coincidir los tres barcos en el puerto?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

6 ¿Cuál de las series está formada por múltiplos de 4? ¿Y por múltiplos de 5? ¿Y por múltiplos de 39?

a) 1, 4, 9, 16, 25…

b) 0, 5, 10, 15, 20…

c) 1, 8, 27, 64…

d) 0, 8, 16, 24, 32, 40…

e) 0, 39, 78, 117, 156…

7 Completa la tabla indicando SÍ o NO.

8 Obtén el m.c.d. de los siguientes números.

a) 24 y 36 d) 6 y 14 g) 25 y 50 j) 28 y 35

b) 12 y 14 e) 9 y 10 h) 14 y 42 k) 42 y 28

c) 16 y 18 f) 5 y 15 i) 6 y 15 l) 4 y 6

9 Obtén el m.c.m. de los siguientes números.

a) 24 y 36 d) 6 y 14 g) 25 y 50 j) 28 y 35

b) 12 y 14 e) 9 y 10 h) 14 y 42 k) 42 y 28

c) 16 y 18 f) 5 y 15 i) 6 y 15 l) 4 y 6

DIVISIBLE POR 2 DIVISIBLE POR 3 DIVISIBLE POR 5

640

1. 876

2. 987

345

876

COMPRENDER EL CONCEPTO DE FRACCIÓN. REPRESENTAR FRACCIONES


• Para expresar una cantidad de algo que es incompleto utilizamos las fracciones.

• Ejemplos de frases en las que utilizamos fracciones son: «Dame la mitad de...», «solo nos falta hacer la cuarta parte del recorrido...», «se inundó la habitación de agua en dos quintas partes...», «los dos tercios del barril están vacíos...», «me he gastado la tercera parte de la paga...».

• Una fracción es una expresión matemática que consta de dos términos, llamados numerador y denominador, separados por una línea horizontal que se denomina raya de fracción.

En general, si a y b son dos números naturales (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...), una fracción se escribe así:

Raya defracción

F ba

F F

Numerador

Denominador

FRACCIÓN COMO PARTE DE LA UNIDAD

• Raya de fracción (—). Indica partición, parte de, cociente, entre, división.

• Numerador (a). Número de partes que tomamos de la unidad.

• Denominador (b). Número de partes iguales en las que se divide la unidad.

Juan abre una caja de quesitos que tiene 8 porciones y se come 3. ¿Cómo lo expresarías?

3 porciones se come Juan (partes que toma de la caja)

83 Numerador

8 porciones tiene la caja (partes iguales de la caja) Denominador

¿Cómo se leen las fracciones?

Si el denominador es mayor que 10, se lee el número seguido del término -avo.

Por tanto, podemos decir que Juan se ha comido los tres octavos de la caja.

73

se lee «tres séptimos». 96

se lee «seis novenos».

8

11 se lee «ocho onceavos».

510

se lee «cinco décimos».

EJEMPLO

F

F

Si el numerador es

Se lee

1

Un

2

Dos

3

Tres

4

Cuatro

5

Cinco

6

Seis

7

Siete

8

Ocho

9

Nueve

Si el denominador es

Se lee

2

Medios

3

Tercios

4

Cuartos

5

Quintos

6

Sextos

7

Séptimos

8

Octavos

9

Novenos

10

Décimos

Si el denominador es

Se lee

11 12 13 14 15 16 17 18 19

Onceavos Doceavos TreceavosCator- ceavos

Quin- ceavos

Dieci- seisavos

Diecisie- teavos

Diecio- choavos

Diecinue-veavos


Comprender el concepto de fracción. Representar fracciones

1 Escribe cómo se leen las fracciones.

a) 53

c) 172

e) 109

b) 125

d) 2012

f) 158

2 Escribe las siguientes fracciones.

a) Seis décimos = c) Diez veintitresavos = e) Dos onceavos =

b) Tres octavos = d) Doce catorceavos = f) Quince diecinueveavos =

4 María se ha comido 2 trozos de un bizcocho dividido en 6 partes iguales.

a) ¿Qué fracción representa lo que se ha comido María?

b) Represéntalo mediante cuatro tipos de gráficos.

3 Escribe la fracción que representa la parte coloreada de cada uno de los gráficos.

a) c) e)

b) d) f)

Para representar gráficamente fracciones seguimos estos pasos:

1.º Elegimos el tipo de dibujo: círculo, rectángulo, cuadrado o triángulo (normalmente es una figura geométrica).

2.º Dividimos la figura en tantas partes iguales como nos indica el denominador.

3.º Coloreamos, marcamos o señalamos las partes que nos señale el numerador.

FRACCIÓN COMO COCIENTE

Una fracción también puede expresar el cociente de una división.

Para calcular su valor se divide el numerador entre el denominador.

Si quiero repartir 8 plátanos entre 4 chimpancés 48

, ¿cuántos les corresponde a cada uno?

48


SE ESCRIBE SE REPRESENTA SE LEE

47

Cuatro .....................

Seis onceavos

910

6 Indica las fracciones que representan cada situación mediante un dibujo.

a) De una tableta de chocolate dividida en 15 trozos nos comemos 6.

b) Parto una pizza en 8 partes iguales y tomo 5.

c) Un paquete de pan de molde tiene 24 rebanadas y utilizo 8.

d) De un total de 20 cromos de sellos he cambiado 12.

a) b) c) d)

7 Tres amigos se han retrasado un cuarto de hora (15 minutos), tres cuartos de hora (45 minutos) y 20 minutos, respectivamente. Dibuja las fracciones correspondientes, suponiendo que cada círculo representa una hora.

COMPRENDER EL CONCEPTO DE FRACCIÓN. REPRESENTAR FRACCIONES

d n

5 8 4 4 5 2 plátanos les corresponde a cada uno

FRACCIÓN COMO OPERADOR

Teresa tiene que realizar una carrera de 200 m. Al poco tiempo se detiene, y su entrenador le dice: «Ánimo, que ya has recorrido las tres cuartas partes de la distancia». ¿Cuántos metros ha recorrido?

• Hay que hallar 43

de 200.

• Para calcular su valor:

Se multiplica la cantidad por el numerador y el resultado se divide entre el denominador.

43

de 200 F (200 • 3)� 4 = 600 � 4 = 150 m ha recorrido Teresa.

8 Expresa estas fracciones como cociente.

a) 54

= 0,8 40 5 0 0,8

c) 49

= e) 105

=

b) 1512

= d) 2010

= f) 2015

=

9 Calcula.

a) 54

de 45 = c) 51

de 35 =

b) 32

de 18 = d) 42

de 1. 200 =

10 En un instituto hay 650 alumnos. Tres séptimos son alumnos de 6to y 7mo. ¿Cuántos alumnos de 6to y 7mo hay?

DIFERENCIAR LOS TIPOS DE FRACCIONES


FRACCIONES PROPIAS

• El numerador es menor que el denominador: a < b.

• Representar un número menor que la unidad.

Juan se comió los 38

de la caja de quesitos:

Juan se comió 3 de las 8 porciones de la caja, es decir, menos de una caja.

Son fracciones propias: , , ,54

76

1510

129

.

2 Escribe fracciones cuyo valor sea igual a la unidad y represéntalas.

a) 66

= 6 � 6 = 1 c) e)

b) d) f)

1 Escribe fracciones propias y represéntalas.

a) 9

15 c) e)

b) d) f)

FRACCIONES IGUALES A LA UNIDAD

• El numerador es igual que el denominador: a = b.

• El cociente entre a y b es igual a la unidad.

Juan se comió los 88

de la caja de quesitos.

• 88

= 8 � 8 = 1

Juan se comió las 8 porciones de la caja, es decir, la caja entera (la unidad).

Son fracciones iguales a la unidad: , , ,47 15

1 94

7 59

.


Diferenciar los tipos de fracciones

FRACCIONES IMPROPIAS

• El numerador es mayor que el denominador: a > b.

• Representan un número mayor que la unidad.

Juan se come un día los 88

de la caja de quesitos y otro día los 83

de otra caja.

1 caja entera + 83

de otra

Juan se ha comido 11 porciones cuya unidad contiene 8: 8

11, siendo 11 > 8.

811

88

= más 83

183

= +

Una fracción impropia se compone de un número natural y una fracción propia.

Son fracciones impropias: , , ,59

1015

27

1825

.

3 Escribe fracciones impropias y represéntalas.

a) 8

15 c) e)

b) d) f)

4 Escribe las siguientes fracciones impropias como un número natural más una fracción propia. Fíjate en el ejemplo.

a) 8

1588

87

187

= + = + c) 9

12=

b) 1620

= d) 47

=

5 Representa gráficamente las fracciones , ,,23

27

815

710

.

Ejemplo: 35

33

32

= +

COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE FRACCIÓN EQUIVALENTE


1 Comprueba gráficamente si son equivalentes las fracciones.

a) 32

96

y c) 21

31

y

b) 41

123

y d) 54

45

y

FRACCIONES EQUIVALENTES

Equivalente es sinónimo de «igual», es decir, representan la misma cantidad.

52

y 156

son fracciones equivalentes ya que representan la misma cantidad:

52

156

2 Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones.

a) 5 103 6

y b) 4

21712

y c) 43

119

y d) 78

1514

y e) 4

45920

y

Para comprobar si dos fracciones son equivalentes se multiplican en cruz, y si se obtiene el mismo resultado las fracciones son equivalentes.

52

156

2 • 15 = 5 • 6 F 52

= 156

2 • 15 = 30

52

y 156

son fracciones equivalentes 5 • 6 = 30

FF

Comprender el significado de fracción equivalente


3 Halla el término que falta para que las fracciones sean equivalentes.

a) x8

96

= b) x15

10 2= c)

x8 2

7= d)

x2

136

=

4 Halla los términos que faltan para que las fracciones sean equivalentes.

a) x y2 16

832

= = b) x

y52

206

= = c) x y3 6

421

= =

5 Escribe fracciones equivalentes a:

a) 31

62 3 4

36= = = = = c)

52

= = = =

b) 75

= = = = d) 23

= = = =

6 Escribe fracciones equivalentes mediante simplificación (dividiendo numerador y denominador entre el mismo número).

a) 201 3

4030 5

= = c) 2515

=

b) 3224 12

= = = d) 5640

=

Para determinar el término que falta para que dos fracciones sean equivalentes, multiplicamos en cruz los dos términos conocidos y dividimos por el tercero.

•34

xx

386

68

= = ="

OBTENCIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTES A UNA FRACCIÓN DADA

• Si se multiplican o dividen el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número, obtenemos una fracción equivalente.

52

••

52

33

156

= 156

�15 3

52

• Si multiplicamos, se utiliza el término amplificar.

• Si dividimos, se utiliza el término simplificar.

FF

FF

FF

36�

COMPARACIÓN DE FRACCIONES

Jorge, Araceli y Lucas han comprado el mismo número de cromos. Luego Jorge ha pegado los dos tercios de los cromos, Araceli la mitad y Lucas los tres cuartos. ¿Quién ha pegado más cromos?

Seguimos estos pasos.

1.º Obtenemos fracciones equivalentes con el mismo denominador.

2.º Comparamos las fracciones mediante los numeradores. La fracción que tenga mayor numerador será la mayor.

1.º Jorge: 32

Fracciones equivalentes: 128

64

96

1510

== = …

Araceli: 21


42

63

84

105

147

= == = = …

Lucas: 43


86

1612

= = …

, y128

126

129

son las fracciones que representan a Jorge, Araceli y Lucas.

Todas estas fracciones tienen el mismo denominador.

2.º Las ordenamos de mayor a menor:

129

128

126

32

21

43

> > > >"

Lucas fue el que pegó más cromos, luego Jorge y, por último, Araceli.

7 Ordena, de menor a mayor, las siguientes fracciones: , , , , , , , .104

108

106

105

101

109

103

1010

8 Escribe mayor que (>), menor que (<), o igual que (=) según corresponda.

a) 47

75

d) 77

66

g) 51

73

b) 32

43

e) 57

74

h) 114

29

c) 53

2012

f) 87

41

i) 7

12

815

COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE FRACCIÓN EQUIVALENTE

9 Andrés se ha comido 41

de pizza y Ángela 31

. ¿Quién ha comido más pizza?

Compruébalo numérica y gráficamente.

10 Ordena, de mayor a menor, las fracciones numérica y gráficamente: , , , .32

83

64

21

11 Escribe una fracción mayor y otra menor que cada una de las siguientes con distintos denominadores.

a) 97

b) 7

10 c)

413

d) 49

12 Halla dos fracciones mayores y dos menores que 68

, y represéntalas en la recta numérica para comprobar el resultado.


REALIZAR OPERACIONES CON FRACCIONES

SUMAR Y RESTAR FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR

Para sumar o restar fracciones de igual denominador se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador.

85

82

85 2

87

+ =+

=

87

82

87 2

85

- =-

=

1 Calcula.

a) 15

3152

+ = c) 9

691

92

+ + = e) 11

3112

119

+ + =

b) 5

1258

- = d) 10

4101

102

+ + = f) 12

4127

1215

+ + =

+ =

- =

2 De una pizza, Ana merienda los dos octavos, Paco los tres octavos y María un octavo.

a) ¿Cuánto han comido entre los tres?

b) Si Eva llegó tarde a la merienda, ¿cuánta pizza pudo comer?

SUMAR Y RESTAR FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR

1.º Buscamos fracciones equivalentes que tengan igual denominador.

2.º Se suman o restan los numeradores, dejando el mismo denominador.

…

…41

32 4

182

164

205

32

64

96

1510 4

132

123

128

123 8

1211

Equivalentes a

Equivalentes a

123

128+

= = = =

= = = =+ = + =

+=" "* 4

Observa que 12 es el menor múltiplo común de 4 y 3 (m.c.m.).

…

…57

43 5

71014

1521

2535

43

86

129

1612 5

743

2028

2015

2028 15

2013

Equivalentes a

Equivalentes a

2028

2015-

= = = =

= = = =- = - =

-=" "* 4

Observa que 20 es el menor múltiplo común de 5 y 4 (m.c.m.).

Realizar operaciones con fracciones


3 Completa y realiza las siguientes operaciones.

a)

56

41

20 20+ = + = c)

98

65

18 18- = + = e)

41

42

32

+ + =

b) 35

62

- = d) 72

81

+ = f) 103

54

52

+ - =

6 Calcula.

a) •••

= = c) •65

32

=

b) •72

53

= d) • •32

41

53 2 1 3

= =

4 Pepe come 52

partes de un bizcocho dividido en 10 partes. Después, su perro se come

la mitad del bizcocho 21

c m. ¿Quedará algo de bizcocho? Exprésalo numérica y gráficamente.

5 En una bolsa de canicas, los 52

son de color azul, y los 43

de esas canicas azules son transparentes.

¿Qué fracción del total representan las canicas azules transparentes?

••

53

43

52

de = =

7 Representa gráficamente.

a) 43

21

de b) 32

43

de c) 21

74

de

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, y el denominador, el producto de los denominadores.

•••

5 34 2

54

32

158

= =

32

104

102

• •

8 Un caso especial de división de fracciones es cuando dividimos una fracción entre un número. Por ejemplo, si queremos repartir tres cuartas partes de una caja de golosinas entre 5 amigos. ¿Qué parte de fracción le corresponde a cada uno de ellos?

43

dividido entre 15

es: � �••

43

543

43 1 3

= = =

9 Calcula.

a) �••

5 84 12

54

128

= = c) �64

52

= e) �32

3=

b) �56

2= d) �52

43

= f) �35

4=

11 Suma y simplifica el resultado si se puede.

a) 72

73

+ = b) 23

75

67

+ + = c) 3

65

69

8+ + =

10 Efectúa las operaciones.

a) 32

de 12 = c) 25

00de 1 = e) 35

de 1. 855=

b) 043

de 12 = d) 81

000de 1 = f) 74

2.100de =

12 Haz estas multiplicaciones y divisiones de fracciones, simplificando el resultado.

a) •34

41

= b) �43

75

= c) •87

3 = d) �54

3=

34

203

� 5 =

DIVISIÓN DE FRACCIONES

Dividir fracciones es hallar otra fracción cuyo numerador y denominador es el producto cruzado de los términos de las fracciones dadas (producto en cruz).

�••

5 24 3

54

3 2

1012

= =

5


PRACTICA

1. Resuelve estas operaciones con fracciones.

a) 31

21

51

- + b) 35

23

62

+ +

2. Realiza estas operaciones y utiliza la función M.C.D() para simpli�car el resultado.

a) 31

52

61

- + b) 43

125

72

+ -

INVESTIGA

3. Comprueba que:

21

121

= - 21

41

141

+ = -

21

41

81

181

+ + = -

Y calcula: 21

41

81

161

321

641

1281

+ + + + + +

ACTIVIDADES

Resuelve esta operación: 72

51

83

- +

5. Pulsamos en la tecla INTRO y aparece el resultado.

1. Escribimos las fracciones. Utilizamos la celda B4 para hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores con la función M.C.M().

3. Copiamos la celda B7 y la pegamos en C7 y D7 para calcular los demás numeradores.

2. En las celdas B7 y B8 calculamos fracciones

4. Realizamos las operaciones indicadas en el enunciado con los nuevos numeradores.


1

2

3

4

5

Escribimos los rótulos en la columna A, a continuación escribimos las fracciones, cada una en una columna diferente.

En las celdas B2, C2 y D2 anotamos los numeradores y enlas celdas de la siguiente fila, B3, C3 y D3, los correspondientes denominadores.

Utilizamos la función M.C.M.(número;número;número) paracalcular el mínimo común múltiplo de los denominadores.

En B4 copiamos = M.C.M(B2;C2;D2), que da 280.

Hallamos las fracciones equivalentes cuyo denominador esel m.c.m.

En las celdas B8, C8 y D8 escribimos el m.c.m., 280.

En la celda B7 copiamos la fórmula = B1 *$B4/B2, que da como resultado 80.

El símbolo $ fija la referencia de la columna, de esta manera al copiar la fórmula en otras celdas de esa misma fila ese dato no variará.

Copiamos la celda B7 y pegamos su contenido en las celdas C7 y D7 donde aparecen los numeradores de las otras dos fracciones.

En la celda B12, que corresponde al denominador del resultado, volvemos a escribir el denominador común, 280.

En la celda B11 sumamos y restamos los numeradores según indica el problema, en este cado anotamos la fórmula = B7 – C7 + D7 cuyo resultado es 129.

Tras pulsar la tecla Intro, aparece el resultado: el numerador es la celda B11 y el denominador es la celda B12.

El resultado obtenido no tiene que ser una fracción irreducible.

COMPRENDER EL CONCEPTO DE NÚMERO DECIMAL

:AHCEF:OSRUC:ERBMON

El sistema de numeración decimal tiene dos características:

1.a Es decimal: 10 unidades de un orden forman 1 unidad del orden siguiente.

2.a Es posicional: el valor de cada cifra depende de su posición en el número.

• Si dividimos una unidad en 10 partes iguales, cada parte se llama décima.

1

10 = 0,1 1 U = 10 d

• Si dividimos una unidad en 100 partes iguales, cada parte se llama centésima.

1

100 = 0,01 1 d = 10 c

• Si dividimos una unidad en 1. 000 partes iguales, cada parte se llama milésima.

1 . 000

1 = 0,001 1 c = 10 m

1 unidad = 10 décimas = 100 centésimas = 1. 000 milésimas

PARTE ENTERA PARTE DECIMAL

Centena Decena Unidad Décima Centésima Milésima

C D U d c m

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2

1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,51,4 1,41

1,461 1,462 1,463 1,464 1,465 1,466 1,467 1,468 1,469 1,471,46

1 Escribe con cifras.

a) Cinco décimas. c) Once milésimas. e) Diez centésimas.

b) Una décima. d) Quince centésimas. f) Ciento catorce milésimas.


EEL ESLAMICED ETRAPARETNE ETRAPOREMÚN

15,6

3,27

0,9

15

23

6

35

Quince unidades seis décimas

Nueve unidades treinta y tres centésimas

Comprender el concepto de número decimal


3 Representa los números en una recta numérica.

a) 2,5 b) 1,9 c) 0,4 d) 2,8 e) 1,3 f) 0,2

C D U d c m DESCOMPOSICIÓN

4 3 0 ,

,

,

,

,

5 0 9

7 4 5

5 8 1

0 3 2

3 0 3

400 + 30 + 0,5 + 0,08 + 0,001

600 + 50 + 4 + 0,1 + 0,03 + 0,007

80 + 9 + 0,4 + 0,03 + 0,005

3210

4 Representa los siguientes números en una recta numérica.

a) 2,35 b) 2,59 c) 2,55 d) 2,43 e) 2,48 f) 2,33

5 Colorea en cada caso el número que se indica.

a) 25 centésimas. b) 9 décimas. c) 49 centésimas. d) 200 milésimas.

7 ¿Cuál es el valor de la cifra 7 en cada número?

a) 37,98 b) 43,07 c) 91,75 d) 70,51 e) 52,347

8 Realiza la descomposición de los siguientes números.

6 Completa las siguientes expresiones.

a) 3 décimas = sedadinu 02 )d .samisétnec 03 = ............ décimas.

b) 5 centésimas = ............ milésimas. e) 7 décimas = ............ milésimas.

c) 15 unidades = ............ milésimas. f) 4 centésimas = ............ milésimas.

6,25,24,23,2

:AHCEF:OSRUC:ERBMON

1 Decide si las siguientes divisiones son exactas y si no lo son calcula el cociente con una cifra decimal.

7 � 581 )c 3 � 012 )b 2 � 72 )a

2 Calcula el cociente con dos cifras decimales.

3 1 � 38 )e 7 � 101 )c 3 � 71 )a

1 1 � 654 1. )f 8 � 653 )d 6 � 571 )b

EXPRESAR FRACCIONES EN FORMA DE NÚMERO DECIMAL

División exacta División no exacta

EJEMPLO

3 5 2

0 3 20

1 6

2 2

1 2 5

0 5

2 0

6

1 2 5

1 0 5 01 0 1 0 01 0 0 0 0

2 0

6 , 2 5F

DIVISIÓN DECIMAL DE DOS NÚMEROS NATURALES

1.º Si la división es exacta, el resto es cero, r = 0. (Recuerda que D = d • c + r).

2.º Si la división no es exacta, el resto es distinto de cero y menor que el dividendo, r ! 0 y r < d.

En este caso, se puede seguir dividiendo, bajando un cero al resto y poniendo una coma decimal en el cociente hasta obtener una división con resto cero, o aproximar con una, dos, tres o más cifras decimales.

Expresar fracciones en forma de número decimal


FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES

• Para expresar una fracción como número decimal se divide el numerador entre el denominador.

• Si el resto es cero, el número decimal es exacto.

27

F 7

1010

2

3,5 F 27

= 7 � 2 = 3,5 F 3,5 es un número decimal exacto.

• Si el resto no es cero, el número decimal es periódico (si seguimos dividiendo siempre se repetirá un factor).

73

F

7

101101110 1011111

3

2,33 F

73

= 7 � 3 = 2,3333… F 2,333… es un número decimal periódico.

Un número decimal se puede expresar como fracción decimal.

Para ello se coloca el número sin la coma en el numerador, y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el número decimal.

0,5 = 105

45,78 = 100

4 . 578 15,379 =

1 . 00015 . 379

3 Averigua si las fracciones dan como resultado un número decimal exacto o periódico.

a) 5024

= )c 31

= )e 109

=

b) 3311

= )d 96

= )f 5025

=

4 Expresa en forma de fracción decimal los siguientes números.

a) 36,78 = 108,2 )d = 6548,12 )g =

b) 130,9 = 32760,37 )e = h) 0,00009 =

c) 0,75 = f) 0,30675 = i) 0,0000100 =

5 Halla el número decimal que corresponde a cada fracción.

a) 2410

= )d 100

6 = )g

12.560 =

b) 10035

= )e 19.065

= h) 53.204

=

c) 100398

= f) = i) 13

=

6 Expresa estas fracciones como números decimales.

a) 94

= )c 99011

= )e 99945

=

b) 7

29= )d

163

= )f 562

=

7 Escribe un número decimal comprendido entre 4,7 y 4,8 y que sea menor que 4,75.

8 Escribe un número decimal comprendido entre 8 y 9 y que sea mayor que 8,5.

1.000

10.000

10.0001.000

10.000

29.525

9.990

:AHCEF:OSRUC:ERBMON

COMPARAR Y ORDENAR NÚMEROS DECIMALES

1 Ordena, de menor a mayor, los siguientes números decimales.

6,22; 5,67; 4,98; 5,07; 4,99; 5,81; 6,01; 7,34; 5,73; 5,91; 6,30; 6,28; 7,11

2 Sitúa en una recta numérica los números 5,92; 5,50; 5,67; 5,25; 5,73; 5,81.

3 Las estaturas (en m) de 10 alumnos de 1.o ESO son las siguientes.

1,45; 1,59; 1,52; 1,49; 1,50; 1,48; 1,55; 1,61; 1,58; 1,60

Ordénalas, de mayor a menor, y represéntalas en la recta numérica.

En la clase de Educación Física realizan pruebas de lanzamiento de peso. Los mejores resultados han sido: Alberto, 2,95 m; Ana, 3,16 m, y Elena, 3,17 m. ¿Quién ha lanzado más lejos?

1.º Parte entera:

2,95 es menor que 3,18 y 3,17. 2 < 3

3,18 y 3,17 tienen la misma parte entera. 3 = 3

2.º Parte decimal: Décimas Centésimas

3,17 es mayor que 3,16. 1 = 1 7 > 6

Por tanto: 3,17 > 3,16 > 2,95.

Podemos ver el orden en la recta numérica.

EJEMPLO

2,9

2,95

1,33

3,173,16

F FF Para comparar números decimales hay que seguir estos pasos.

1.º Observamos la parte entera.

• Es mayor el número que tiene mayor parte entera.

• Si las partes enteras son iguales, se compara la parte decimal.

2.º Observamos la parte decimal.

• Se comparan las décimas, luego las centésimas, milésimas…

Comparar y ordenar números decimales


:AHCEF:OSRUC:ERBMON

REALIZAR SUMAS Y RESTAS CON NÚMEROS DECIMALES

1 Calcula.

a) 123,046 +35,23 = 802,514 )c - 4,27 =

b) 0,128 + 17,4 = 80,03 )d - 0,425 =

2 Realiza las siguientes operaciones.

a) 73,987 + 20,621 + 0,34 + 23,96 = c) 0,702 + 11,8 + 238,4945 + 9,2 =

b) 234,76 - 155,3 - 27,4 = 87,47 )d - 7,831 - 1,27 =

En una calle se encuentran estacionados 4 vehículos. Sus longitudes en m son:3,8; 4,17; 10,23; 5,1. ¿Qué longitud de calle ocupan?

En una calle hay estacionados 2 camiones: uno mide 12,98 m y el otro 16,3 m.¿Qué diferencia de longitud hay entre los dos vehículos?

EJEMPLOS

3 , 8 0

4 , 1 7

1 0 , 2 3

+ 5 , 1 0

2 3 , 3 0

Se añaden ceros para que todos los números tengan el mismo número de decimales.

m ocupan los vehículos.

F

F

1 6 , 3 0

- 1 2 , 9 8

3 , 3 2

Se añaden ceros para que todos los números tengan el mismo número de decimales.

m hay de diferencia.

F

Para sumar o restar números decimales, colocamos los números, de forma que coincidan las comas en la misma columna, y se añaden los ceros necesarios para que todos tengan el mismo número de cifras decimales. Después, se suman o se restan como si fueran números naturales, poniendo la coma en el resultado debajo de la columna de las comas.

Realizar sumas y restas con números decimales


4 Una casa tiene 30,56 metros de altura. El cuarto piso está situado a 15,3 metros del suelo. ¿Qué distancia hay desde este piso hasta la azotea?

3 Efectúa estas operaciones.

a) 7,42 + 4,15 - 3,2 +0,715 = d) 0,47 + 84,6 -0,28 + 4 =

b) 82,05 - 7,425 + 0,6 - 7,25 = e) 125 - 81,416 - 4,22 - 0,1 =

c) 124,2 + 0,46 - 3,425 - 0,408 = f) 4 + 7,15 - 2,457 - 0,7 =

5 A un muro que medía 35,4 metros de longitud se le ha añadido una parte nueva de 14,25 metros.¿Qué longitud tiene el nuevo muro?

6 En mi cuenta bancaria había 5.642 €. Primero he tenido que pagar el recibo de la luz, 54,28 €, €. ¿Cuánto me queda?

7 Carlos ha comprado un ordenador portátil. Pagó con 2 billetes de 100 € y 4 billetes de 50 €, y le devolvieron 45,90 €. ¿Cuánto pagó por el ordenador?

8 He comprado 2,45 kg de naranjas y una bolsa de manzanas. El peso total de la compra ha sido de 50 kg. ¿Cúanto pesan las manzanas que he comprado?

9 Un rollo de cinta mide 15 m. Se han cortado, primero, un trozo de 2,5 m, después, otro de 3,75 my por último, otro de 0,78 m. ¿Cuánta cinta queda en el rollo?

REALIZAR MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES CON NÚMEROS DECIMALES

:AHCEF:OSRUC:ERBMON

1 Efectúa las operaciones.

a) 34,5 • 1,2 = b) 71,23 • 4 = c) 108,24 • 9,6 =


a) 534,235 • 100 = 65,3 )d • 10 =

b) 98,381 • 1 000 = 7,5 )e • 100 =

c) 0,78 • 100 = 048,01 )f • 1 000 =

2 Un pueblo tenía 13.568 habitantes en 1970. En 1988 la población se multiplicó por 1,5 y en 2001 se multiplicó por 2,25 en relación a 1988. ¿Cuántos habitantes había en el año 2001?

Para forrar mis libros y carpetas de este curso he necesitado 2,75 m de forro. El precio del metro de forro es de 1,30 €. ¿Cuánto me ha costado en total?

EJEMPLO

2 , 7 5

� 1 , 3

8 2 5

2 7 5 5

3 , 5 7 5 € me ha costado en total.

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

Para multiplicar dos números decimales:

1.º Se multiplican como si fueran números naturales, sin tener en cuenta la coma.

2.º En el resultado obtenido se coloca la coma. Para ello, se cuentan desde la derecha tantos lugares como cifras decimales tengan los dos factores.

Para multiplicar un número decimal por 10, 100, 1.000... se desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad: 1, 2, 3...

265,87 • . 1 0 0 = 7 8 5 6 , 2

937,4 • 1 . 0 0 0 = 4 . 7 3 9

Realizar multiplicaciones y divisiones con números decimales


Para multiplicar un número decimal por un número natural seguido de ceros:

1.º Se multiplica el número decimal solo por el número natural sin los ceros.

2.º El producto obtenido se multiplica por la unidad seguida de los ceros que tenga el número natural.

•••

,, ,,

8 56 2008 56 2 17 1217 12 100 1.712

==

)

6 Calcula los siguientes productos.

a) 9,45 • 200 = 4,21 )c • 300 =

b) 3,41 • 4 .000 = 5,81 )d • 5 .000 =

7 Sabiendo que 364 • 123 = 44.772, coloca la coma decimal en estos productos.

a) 3,64 • 1,23 = 44. 46,3 )c 277 • 1 230 = 44. 772

b) 36,4 • 12,3 = 44. 4,63 )d 277 • 1,23 = 44. 772

8 Realiza las siguientes operaciones combinadas con números decimales.Si lo precisas, recuerda el orden: paréntesis, multiplicaciones, sumas y restas.

a) (73,4 • 2,5) - (56,7 + 3,8) =

b) (12,72 - 11,04) • (58,7 + 0,99) =

c) 2,56 • (23,98 + 41,07) =

d) 1,3 • (28,5 • 20) =

5 Indica, en cada caso, la unidad seguida de ceros por la que se ha multiplicado.

a) 19,45 • ............... = 1. 945 d) 4,8 • ................ = 48. 000

b) 34,820 • ............. = 348,2 e) 0,658 • ............. = 6 .580

c) 1,4 • .................. = 14 f) 437,1 • ............. = 43. 710

4 Un ciclista se entrena en un circuito de 62,35 m de longitud. ¿Cuántos metros habrárecorrido si realiza 10 vueltas al circuito? ¿Y si hace 100? ¿Y 1.000?

Dividendo decimal y divisor natural Dividendo natural y divisor decimal

Dividendo y divisor decimales

EJEMPLO

9 Efectúa las siguientes divisiones.

a) 253,35 � 25 = 51 � 12,41 )e =

b) 9. 680 � 12,5 = 52,1 � 57,851 )f =

c) 0,52 � 0,2 = g) 123,52 � 6,4 =

d) 325 � 1,4 = h) 10,2 � 0,85 =

F4 4 1 3 , 6

F1 , 2 8 0 , 2 1 2 , 8

1 0 8

1 , 0 0

2

6 , 4

3 6

1 2 2 , 5

4 4 1 0

0 8 1

0 0 9 0

0 0 1 8

8 , 5

3 , 5

0

5

1 , 7

F

DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

Existen tres casos:

1.º Dividendo decimal y divisor natural. Se divide como si fuera una división normal, pero al bajar la primera cifra decimal se pone la coma en el cociente.

2.º Dividendo natural y divisor decimal. Se suprime la coma del divisor y se añaden tantos ceros al dividendo como cifras decimales tenga el divisor

3.º Dividendo y divisor decimales. Se suprime la coma del divisor y se desplaza la coma del dividendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales tiene el divisor. Si es necesario, se añaden ceros al dividendo.

10 En una fiesta de cumpleaños hay 9,5 ¬ de refresco de cola. Si los vasos tienen una capacidad de 0,25 ¬, ¿cuántos se llenarán?

11 Un ciclista ha dado 25 vueltas a un circuito durante un entrenamiento. Ha recorrido un total de 237,5 km. ¿Qué longitud tiene el circuito?

Para dividir un número decimal entre 10, 100, 1. 000... se desplaza la coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga el divisor: 1, 2, 3… Si es necesario se añaden ceros.

8 3 4 , 7 � 1 0 0 = 8 , 3 4 7 0 0

0 0 1 8 , 3 � 1 .0 0 0 = 0 , 0 1 8 3

12 Realiza estas operaciones.

a) 534,235 � 100 = 01 � 65,03 )d =

b) 98,381 � 1 .000 = 001 � 7,5 )e =

c) 4,78 � 10 = 1. � 04,801 7. )f 000 =

13 Una carretera tiene una longitud de 3.500 km. Se van a poner teléfonos de emergenciacada 10 km. ¿Cuántos teléfonos podrán instalarse? Y si se van a poner gasolineras cada 25 km, ¿cuántas se instalarán?

14 Antonio, Tomás, Juana y Manuela han reunido 156,34 € para adquirir material deportivo. Si todos han puesto la misma cantidad, ¿cuál ha sido la aportación de cada uno?

La historia que contamos nos traslada a la China imperial, a un momento indeterminado entre los años 618 y 907, durante la dinastía Tang, que fue la época dorada de las artes y las ciencias en China, siendo notables sus avances tanto en Matemáticas como las composiciones poéticas correspondientes a ese período.

En este tiempo, el sistema de acceso al funcionariadopúblico se realizaba, como hoy en día, mediante una exhaustiva oposición que evaluaba los conocimientos literarios y científicos de los aspirantes a mandarín, los cuales debían presentar un trabajo científico y una composición literaria que mereciera la aprobación de un tribunal de sabios reunido a tal efecto.

Uno de esos trabajos pudo ser el origen, no de los números negativos en China, sino de la forma de escribirlos, sobre todo en tratados contables o mercantiles.

Por lo que sabemos del origen de los números negativos, estos fueron usados por primera vez en la India hacia el año 600 y «reinventados» en China poco tiempo después. Aunque fueron utilizados antes, el uso generalizado de estos números y su aceptación como solución de problemas y ecuaciones, no llegó a Europa hasta el siglo XVII.

Los números rojos

COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE LOS NÚMEROS ENTEROS


NÚMEROS POSITIVOS

Por otro lado, también observamos, leemos y decimos expresiones del tipo:

• La ropa vaquera está en la tercera planta.• La gaviota está volando a cincuenta metros sobre el nivel del mar.• ¡Qué calor! Estamos a treinta grados.• Tengo en el banco 160 .

Desde el punto de vista matemático, y en la práctica, se expresan así:

• La ropa vaquera está en la planta +3. Se lee «más tres».• La gaviota vuela a +50 m. Se lee «más 50».• ¡Qué calor! Estamos a +30 °C. Se lee «más 30».• Tengo +160 . Se lee «más 160»

+3, +50, +30, +160 son números positivos.

Expresan cantidades, situaciones o medidas, cuyo valor es mayor que cero. Les precede el signo más (+).Se asocian a expresiones del tipo: más que, tengo, sobre, aumentar o añadir.

1 Expresa con números negativos.

a) La cueva está a cincuenta y cinco metros de profundidad.b) La sección de juguetes está en el tercer sótano.c) La temperatura es de un grado bajo cero.

2 Escribe situaciones que representen estos números negativos.

a) -2: ...........................................................................................................................................................

b) -5: ..........................................................................................................................................................

c) -10: .........................................................................................................................................................

NÚMEROS NEGATIVOS

En nuestra vida diaria observamos, leemos y decimos expresiones del tipo:

• Hemos dejado el coche aparcado en el segundo sótano.• El submarino está a ciento veinte metros bajo el nivel del mar.• Hace una temperatura de cuatro grados bajo cero.• Tu cuenta está en números rojos, debes 160 euros.

Desde el punto de vista matemático, y en la práctica, se expresan así:

• El coche está en la planta -2. Se lee «menos dos».• El submarino está a -120. Se lee «menos 120».• Hace una temperatura de -4 °C. Se lee «menos cuatro».• Tienes -160 en tu cuenta. Se lee «menos 160»

-2, -120, -4, -160 son números negativos.

Expresan cantidades, situaciones, medidas, cuyo valor es menor que cero. Les precede el signo menos (- ).Se asocian a expresiones del tipo: menos que, deber, bajo, disminuir o restar.

Comprender el significado de las números enteros


3 Expresa con números positivos las siguientes expresiones.

a) Estamos a treinta y dos grados.

b) El avión vuela a mil quinientos metros sobre el nivel del mar.

c) El monte tiene una altura de ochocientos metros.

d) La cometa puede volar a ochenta metros.

5 Expresa con un número entero estas situaciones.

a) El helicóptero vuela a 150 m.

b) Estoy flotando en el mar.

c) El termómetro marca 4 grados bajo cero.

d) El Everest mide 8. 844 m.

e) Ana tiene una deuda de 46 .

f) Te espero en la planta baja.

6 Representa con un dibujo los botones del ascensor de un edificio que tiene 7 plantas, una planta baja y 4 plantas para aparcar.

7 Un termómetro ha marcado las siguientes temperaturas, en ºC, durante una semana. Exprésalo con números enteros.

4 Escribe situaciones que representen estos números positivos.

a) +3: ...........................................................................................................................................................

b) +10: .........................................................................................................................................................

c) +45: .........................................................................................................................................................

LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES SÁBADO DOMINGO

Dos sobre cero Cinco sobre cero Cero grados Tres bajo cero Dos sobre cero Uno bajo cero Cinco sobre cero

Los números positivos, negativos y el cero forman el conjunto de los números enteros.

Positivos: +1, +2, +3, +4, +5, +6, …

Negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6, …

Cero: 0


REPRESENTAR, ORDENAR Y COMPARAR NÚMEROS ENTEROS

REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Ya conocemos la recta en la que se representan los números naturales, incluyendo el cero. Ahora vamos a representar los números enteros.

1.º Dibujamos una recta.

2.º Señalamos el origen O, que es el valor cero (0).

3.º Dividimos la recta en segmentos iguales (unidades), a la derecha e izquierda del cero.

4.º A la derecha del origen colocamos los números enteros positivos.

5.º A la izquierda del origen colocamos los números enteros negativos.

-7 -6 -5

Números enteros negativos Números enteros positivos

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 … …

1 Representa en una recta los siguientes números enteros: +8, -9, +5, 0, -1, +6, -7, +11, -6.

2 Representa en una recta numérica los números -5 y +5.

a) Señala de rojo los números enteros entre -5 y 0.

b) Señala de azul los números enteros entre +5 y 0.

c) ¿Qué observas?

3 Considera los siguientes números: -7, +8, +3, -10, +6, +4, -2.

a) Represéntalos en la recta numérica.

b) ¿Cuál está más alejado del origen?

c) ¿Y cuál está más cercano?

d) Escribe, para cada uno de ellos, otro número situado a igual distancia del origen que él.

4 En una ciudad el termómetro osciló entre las siguientes temperaturas.

Máxima: +3 °C Mínima: -4 °C

a) Representa ambos valores en una recta numérica.

b) Indica si pudieron marcarse estas temperaturas: -2 °C, +4 °C, -5 °C, +1 °C, 0 °C, +2 °C.

c) Representa las temperaturas en la recta numérica.

14444444444444244444444444443 14444444444444244444444444443

Representar, ordenar y comparar números enteros


VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO

• El valor absoluto de un número entero es la distancia (en unidades) que le separa del cero en la recta numérica.

• En la práctica se escribe entre dos barras, ||, y resulta el mismo número sin su signo:

Valor absoluto de -3 se escribe |-3| y es 3.

Valor absoluto de +5 se escribe |+5| y es 5.

Observa que:|+5| = 5 y |-5| = 5

• Los números +5 y -5 están a la misma distancia del origen: 5 unidades.

• Se dice que son números opuestos y se escriben así:

Op (+5) = -5 Op (-5) = +5

• Dos números opuestos tienen el mismo valor absoluto.


VALOR ABSOLUTO RESULTADO SE LEE

|+10|

|-8|

|-9|

10

7

7

El valor absoluto de -10 es 10.

El valor absoluto de -15 es 15.

6 Representa en la recta numérica los siguientes números enteros.

a) +7 y -7 b) +4 y -4 c) -6 y +6 d) +10 y -10

¿Qué observas? ¿Cómo son estos números?

7 Para cada número entero, halla su número opuesto.

a) -3 b) -12 c) +9 d) +8

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 ……

F F

…-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7…

F F

COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA

En la recta se representan los números enteros ordenados.

1.º Este orden supone una determinada colocación en la recta numérica.

2.º Un número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo.

3.º Entre varios números enteros, siempre es mayor el que está situado más a la derecha en la recta.

4.º Utilizamos los símbolos mayor que (>) y menor que (<).

+5 > -3 -6 < -3 +7 < +11 -4 > -8

…, -7 < -6 < -5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < +1 < +2 < +3 < +4 < +5 < +6 < +7, …

…, +7 > +6 > +5 > +4 > +3 > +2 > +1 > 0 > -1 > -2 > -3 > -4 > -5 > -6 > -7, …

Números enteros negativos Números enteros positivos

9 Ordena, de menor a mayor, los siguientes números, y represéntalos en la recta numérica.+11, -2, +8, 0, -1, +5, -6, +3, -3, +7, -4, -9, +17

10 Ordena, de mayor a menor, estos números.-8, -16, +5, -2, +13, +3, -4, -9, +9, 0, +18, -10

11 Representa y ordena, de menor a mayor, los números -5, +3, -8, +4, -2, +7, -1.

12 Escribe todos los números enteros que sean:

a) Mayores que -4 y menores que +2.

b) Menores que +3 y mayores que -5.

c) Menores que +1 y mayores que -2.

d) Mayores que 0 y menores que +3.

e) Menores que -3 y mayores que -6.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7… …14444444444444244444444444443 14444444444444244444444444443

8 Compara los siguientes pares de números enteros y represéntalos en la recta numérica.

a) +13 y -2 b) -5 y -7 c) +4 y +1 d) -5 y 0

16 Escribe el signo que corresponda (> o <) entre cada par de números enteros.

a) +5 -2 c) -1 0 e) +11 +15 g) -7 -4

b) -0 +8 d) -4 +1 f) +10 -9 h) +5 -11

+7 > +3 porque: |+7| = 7 y |+3| = 3 7 > 3

-4 > -6 porque: |-4| = 4 y |-6| = 6 4 unidades están más cerca del cero que 6 unidades.

EJEMPLO

15 Escribe el signo que corresponda, < o >, para los siguientes números.

a) +7 +10 c) -5 0 e) -10 -8 g) +11 0

b) +9 +5 d) -16 +20 f) +13 -11 h) +3 -3

17 ¿Es necesario hallar el valor absoluto para comparar dos números si uno es positivo y el otro negativo? ¿Por qué? Pon un ejemplo.

13 Ordena los números enteros, de mayor a menor, utilizando el valor absoluto.

-5, -3, -9, -11, -10, -8, -6, -4

14 Ordena estos números enteros, de mayor a menor, utilizando el valor absoluto.

+5, +3, +9, +11, +10, +8, +6, +4

COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS A PARTIR DEL VALOR ABSOLUTO

• De dos o números enteros positivos, es mayor el de mayor valor absoluto.

• De dos o más números enteros negativos, es mayor el de menor valor absoluto

• Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo.

REALIZAR SUMAS Y RESTAS CON NÚMEROS ENTEROS


(+3) + (+2) 3 |+3| = 3 |+2| = 2

3 + 2 = 5 3 (+3) + (+2) = +5

(-4) + (-1) 3 |-4| = 4 |-1| = 1

4 + 1 = 5 3 (-4) + (-1) = -5

EJEMPLO

(+5) + (-1) 3 |+5| = 5 |-1| = 1

5 - 1 = 4 3 (+5) + (-1) = +4

(-3) + (+5) 3 |-3| = 3 |+5| = 5

5 - 3 = 2 3 (-3) + (+5) = +2

(-3) + (+5) = +2 (+5) + (-1) = +4

EJEMPLO

-3 +1 +2 +3 +4 +5-5 -4 -2 -1 0

F

+5F FF F

-3 +1 +2 +3 +4 +5-5 -4 -2 -1 0

-1

F

1 Realiza las siguientes sumas.

a) (+5) + (+10) = c) (-5) + (-10) = e) (+7) + (-2) =

b) (-4) + (+4) = d) (-7) + (+11) = f) (-8) + (+6) =

2 Representa en la recta numérica estas sumas.

a) (-3) + (-1) b) (+4) + (+4) c) (+5) + (-2) d) (-2) + (-5) e) (+4) + (-4)

Para sumar dos números enteros del mismo signo se suman sus valores absolutos y se pone el signo de los sumandos.

Para sumar dos números enteros de distinto signo se restan sus valores absolutos y se pone el signo del mayor sumando.

Realizar sumas y restas con números enteros


4 Un submarino se encuentra a 100 metros de profundidad. Si asciende 55 metros, ¿cuál es su posición ahora? Expresa el problema numéricamente.

3 Realiza las siguientes restas.

a) (+10) - (+5) = (+10) + (-5) = d) (-15) - (+7) =

b) (+8) - (-12) = e) (-1) - (-1) =

c) (-18) - (+10) = f) (-15) - (-10) =

(+5) - (+2) = (+5) + (-2) = +3 op (+2) = -2 3 |+5| = 5|-2| = 2

3 5 - 2 = 3

(-6) - (-1) = (-6) + (+1) = -5 op (-1) = +1 3 |-6| = 6|+1| = 1

3 6 - 1 = 5

EJEMPLO

(+7) + (+2) = 7 + 2 = 9

(-4) + (-1) = -4 - 1 = -5

+ (-5 + 3 - 2 + 7) = -5 + 3 - 2 + 7 = -7 + 10 = +3

+ (-5 + 3 - 2 + 7) = -5 + 3 - 2 + 7 = -2 - 2 + 7 = -4 + 7 = +3

- (-5 + 3 - 2 + 7) = +5 - 3 + 2 - 7 = 7 - 10 = -3

- (-5 + 3 - 2 + 7) = +5 - 3 + 2 - 7 = +2 + 2 - 7 = 4 - 7 = -3

EJEMPLO

Para restar dos números enteros hay que sumar al primer sumando el opuesto del segundo. Se aplica a continuación la regla de la suma de números enteros.

SUMAS Y RESTAS DE VARIOS NÚMEROS ENTEROS

Para agilizar las operaciones, hay que tener en cuenta una serie de reglas:

• En las sumas se prescinde del signo + de la propia suma.

• Cuando el primer sumando es positivo se escribe sin su signo.

• Un paréntesis con números en su interior:

– Siempre se efectúa en primer lugar.– Engloba a todos los números que hay dentro de él.– El signo que le precede afecta a todos los números de su interior.– Signo + F Mantiene los signos de los números de su interior.– Signo - F Cambia los signos de los números (los transforma en sus opuestos).

• Podemos operar de dos formas:

– Sumar por separado los enteros positivos, los enteros negativos y hallar la resta de ambos.– Realizar las operaciones en el orden en que aparecen.

5 Realiza las siguientes operaciones utilizando las reglas anteriores.

a) (+11) + (-2) = 11 - 2 = 9 d) (+10) - (+2) =

b) (+7) + (+1) = e) (-11) - (-10) =

c) (-15) + (-4) = f) (-7) + (+1) =

6 Calcula.

a) 7 - 5 = d) -3 + 8 =

b) 11 - 4 + 5 = e) -1 + 8 + 9 =

c) -9 - 7 = f) -10 + 3 + 7 =

7 Haz las operaciones.

a) 5 - 7 + 19 - 20 + 4 - 3 + 10 =

b) -(8 + 9 – 11) =

c) 9 - 11 + 13 + 2 - 4 - 5 + 9 =

d) -(20 + 17) - 16 + 7 - 15 + 3 =

8 Opera de las dos formas explicadas.

a) 8 - (4 - 7) =

b) -4 - (5 - 7) - (4 + 5) =

c) -(-1 - 2 - 3) - (5 - 5 + 4 + 6 + 8) =

d) (-1 + 2 - 9) - (5 - 5) - 4 + 5 =

e) (-1 - 9) - (5 - 4 + 6 + 8) - (8 - 7) =

f) -4 - (4 + 5) - (8 - 9) + 1 + 6 =


REALIZAR MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES CON NÚMEROS ENTEROS

(+5) • (-3) = -15 3 5 • 3 = 15El resultado es -15 ya que son de distinto signo (positivo y negativo).

(-5) • (-3) = +15 3 5 • 3 = 15El resultado es +15 ya que son de igual signo (negativo).

(+5) • (+3) = +15 3 5 • 3 = 15El resultado es +15 ya que son de igual signo (positivo).

EJEMPLO

(+20) � (- 4) = -5 3 20 � 4 = 5El resultado es -5 ya que son de distinto signo (positivo y negativo).

(-20) � (-4) = +5 3 20 � 4 = 5El resultado es +5 ya que son de igual signo (negativo).

(+20) � (+4) = +5 3 20 � 4 = 5El resultado es +5 ya que son de igual signo (positivo).

EJEMPLO

Para multiplicar dos números enteros se siguen estos pasos:

1.º Se multiplican sus valores absolutos.

2.º Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo - si son de signos diferentes.

Para dividir dos números enteros se siguen estos pasos:

1.º Se dividen sus valores absolutos.

2.º Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo - si son de signos diferentes.

Para agilizar las operaciones de multiplicación y división de números enteros se utiliza la regla de los signos:

Multiplicación División

(+) • (+) = + (+) � (+) = +

(-) • (-) = + (-) � (-) = +

(+) • (-) = - (+) � (-) = -

(-) • (+) = - (-) � (+) = -

Realizar multiplicaciones y divisiones con números enteros



a) (+7) • (+2) = g) (+16) � (+2) =

b) (+12) • (-3) = h) (-8) � (-1) =

c) (-10) • (+10) = i) (-25) � (+5) =

d) (-5) • (+8) = j) (-100) � (+10) =

e) (-1) • (-1) = k) (+12) � (-3) =

f) (+5) • (+20) = l) (+45) � (+9) =

2 Efectúa.

a) (-2) • (-3) • (+4) = d) (+3) • (+2) • (-5) =

b) (-4) • (-20) • (-3) = e) (-4) • (+5) • (-2) =

c) (+4) • (+1) • (-3) = f) (-2) • (-3) • (-4) =

3 Calcula las operaciones aplicando la regla de los signos.

a) (+12) • (-3) = g) (-1) • (-18) =

b) (-20) � (-10) = h) (-77) � (-11) =

c) (+6) • (-6) = i) (+10) • (+4) =

d) (+80) � (-8) = j) (-9) • (+8) =

e) (-9) � (-3) = k) (+35) � (+5) =

f) (-100) � (+25) = l) (-12) • (+5) =

4 Completa con los números enteros correspondientes.

a) (+9) • ........ = -36 g) (+42) � ........ = -7

b) (-7) • ........ = +21 h) (-8) � ........ = +1

c) ........ • (-8) = -40 i) ........ � (-9) = +6

d) ........ • (+10) = -100 j) (-20) � ........ = -20

e) (-30) • ........ = +30 k) ........ � (-6) = +5

f) (+6) • ........ = 0 l) (+9) � ........ = -9

5 Completa con los números enteros correspondientes.

a) (-2) • (-1) ........ = -8 d) (-5) • (-2) ........ = -20

b) (+4) • (-3) ........ = +24 e) (-3) • (-1) ........ = +15

c) (-3) • (-2) ........ = -12 f) (+4) • (-5) ........ = -40

PRACTICA

1. Calcula todos los divisores de estos números.

a) 18 b) 33 c) 81 d) 100

2. Encuentra los divisores comunes y el máximo común divisor de las siguientes parejas de números naturales.

a) 22 y 58 c) 37 y 77

b) 50 y 100 d) 24 y 36

INVESTIGA

3. Las funciones M.C.D() y M.C.M() sirven para encontrar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números.a) Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de dos números.b) Multiplica por 2, 3, 4 y 5 los números anteriores,

y calcula de nuevo el m.c.d. y el m.c.m.c) ¿Qué ocurre con el m.c.d. y el m.c.m. de

mismo número?

ACTIVIDADES


Calcula la suma y el producto de las siguientes parejas de números enteros.

a) 2 y -4 b) -3 y 44 c) -11 y -20 d) -9 y 9

1. Escribimos los rótulos en la �la 1 y las parejas A y B.

3. Escribimos la fórmula para el producto en la celda C2, y para ello copiamos la fórmula: =A2*B2.

2. Escribimos la fórmula para la suma en la celda C2 =A2+B2.

4. Copiamos la celda C2 y pegamos su contenido

5. Hallamos los productos copiando la celda D2

de su columna.


1

2

3

4

5

Escribimos los rótulos en la fila 1, a continuaciónrellenamos las columnas A y B con las parejas de númerosenteros con las cuales queremos operar.

Definimos la suma en la celda C2.

En la celda C2 copiamos la fórmula = A2 + B2,que da como resultado – 2.

Definimos el producto en la celda D2.

En la celda D2 copiamos la fórmula = A2*B2,que da como resultado – 8.

Copiamos la fórmula de la celda C2 y la pegamos en C3:C5,es decir, en las celdas C3, C4 y C5.

De este modo aparecen las sumas correspondientes:41, – 31, 0.

Copiamos la fórmula de la celda D2 y la pegamosen D3:D5, es decir, en las celdas D3, D4 y D5.

De este modo aparecen las sumas correspondientes:– 132, 220, – 81.

COMPLETAR UNA TABLAObservar las siguientes balanzas. Luego, completar las tablas de los pesos de cada tarro, para que la balan-za se mantenga en equilibrio.

1.

2.

Peso del tarroverde (kg) 1 2 3 5 8 15

31 37 43 64Peso del tarroazul (kg)

EJERCITACIÓN. Unir con líneas las frases numéricas ysu ecuación correspondiente.

MODELACIÓN. Escribir una oración para cada expre-sión referida a un número n.6. n 9 23 7. 16 n 7

8. 9 9. 2n 13 1

10. 5(n 2) 15 11. 3 4n 512. n (n 1) 31 13. n (n 1) (n 2) 7

n4

RAZONAMIENTO. Traducir cada frase numérica en unaecuación.14. 20 menos un número es 5.15. Tres veces un número menos 9 es 54.16. La edad de una persona dentro de 20 años será 75.17. La temperatura aumentó 19ºC; la nueva lectura esde 37ºC.18. La mitad del precio de la camisa equivale a su pre-cio disminuido en 3.000.19. Tres cuartas partes del número es 48.20. La diferencia entre dos veces a y 2 es 16.21. La sexta parte de m aumentado en 13 es 5.

MODELACIÓN. Resolver las siguientes ecuaciones apli-cando la propiedad uniforme.22. x 9 19 23. m 5 724. y 2 0 25. 5 x 3226. 6 x 45 27. 8 m 628. 9 x 15 29. x 100 030. 26 m 76 31. 5x 20

32. 2x 18 33. 36 4x

34. 77 11x 35. 100 25x

36. 150 30x 37. 7

38. 25 39. y 632

5x10

x2

1. Un número disminuidoen 12 equivale a 4

2. La cuarta parte de unnúmero es 12

3. La diferencia entre unnúmero y 9 es igual a 2

4. El producto de 3 y unnúmero, equivale a 75

5. El cociente entre unnúmero y 4 es igual a 7

7n( 4)

3g 75

12n4

n 9 2

8n 16

n 12 4

5 n 150

A

B

BalanzaA

Peso del tarroamarillo (kg) 1 3 5 16 20

28 20 16 4 2Peso del tarrorojo (kg)

BalanzaB

1 Kg1 Kg

46 Kg46 Kg

1 kg

46 kg

I

P

A

I

Ecuaciones con números enteros


Comprender los conceptos de recta, semirrecta y segmento. Estudiar las posiciones relativas

RECTA

• Una recta es una línea continua formada por in�nitos puntos que no tiene principio ni �n.

• Para denominar una recta se suelen utilizar letras minúsculas.

• Por un punto A pasan in�nitas rectas.

• Por dos puntos A y B pasa una única recta r.

SEMIRRECTA Y SEGMENTO

• Una semirrecta es una recta que tiene principio (origen) pero no �n.

• Un punto cualquiera de una recta determina dos semirrectas.

El punto A es el origen de las semirrectas r y s .

• Un segmento es la porción o parte de una recta delimitada por dos puntos.

M y N son los extremos del segmento MN .

1 Dibuja un punto P y traza cuatro rectas que pasen por él.

2 Señala dos puntos cualesquiera, M y N , y traza una recta t que pase por ellos.

Asemirrecta r semirrecta s


1

2

G F

G

F

G

F

G F

G

F

A

r

G

F

r

BA

A G F

tG F

M N

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

• Rectas paralelasSon rectas que nunca se cortan, no tienen ningún punto en común.

• Rectas secantesSon rectas que se cortan en un punto.

• Rectas perpendicularesSon rectas que se cortan en un punto, formando 4 ángulos rectos (90°).

3

4 Dibuja segmentos cuyas medidas sean:

a) AB = 3 cm b) MN = 7 cm c) FG = 10 cm

5 Determina si son rectas, semirrectas o segmentos.

a) • F c) • • e) G F

b) G F d) G • f) • •

r sr

s

r

s90°r

s

r

s

P

r s

P

Señala un punto cualquiera P y dibuja dos semirrectas, r y s, cuyo origen sea el punto P.

6 Dibuja dos rectas, m y n, que sean:

a) Paralelas horizontalmente. c) Paralelas verticalmente.

iculares.dnepreP )dntes.aceS )b

Dibuja una recta cualquiera m y traza.

a) Dos rectas perpendiculares a m. c) Dos rectas paralelas a m.

b) Dos rectas secantes a m. d) Una recta paralela a m y otra perpendicular.

Observa el dibujo y completa.

a) r y t son rectas ...................................

b) r y s son rectas ...................................

c) t y s son rectas ...................................

d) r y u son rectas ...................................

e) r y v son rectas ...................................

f) u y v son rectas ...................................

g) t y u son rectas ...................................

h) t y v son rectas ...................................

i) Las rectas u y v son rectas ...................................

7

8

F G

G

F

F GG

F

F

G

r

s

u

v

t


Comprender el concepto de ángulo. Clasi�car ángulos

TRANSPORTADOR DE ÁNGULOS• Para medir ángulos utilizamos el transportador de ángulos.• Es un instrumento de plástico transparente de forma semicircular, dividido en 180 partes iguales.• Cada parte corresponde a una unidad de medida de ángulos: el grado (1°).• Para dibujar un ángulo seguimos estos pasos:

ÁNGULO• Un ángulo es la región que forman dos semirrectas que tienen el mismo origen.• En un ángulo distinguimos:

- Vértice O : origen de las semirrectas.- Lados A y B : semirrectas de origen O.- Amplitud: abertura del ángulo.

1 Mide con tu transportador los siguientes ángulos.

a) b) c) d)

2 Con la ayuda del transportador, dibuja estos ángulos.

a) 60° b) 45° c) 150° d) 90° e) 180°

1.º Se coloca el transportador de forma que su centro coincida con el vértice del ángulo; y el eje, con un lado del ángu-lo previamente trazado.

2.º A continuación se busca en el transportador el valor del ángulo en cuestión y se marca un trazo en el papel cerca del transportador.

3.º Finalmente se quita el transportador y se une el vértice del ángulo con la marca efectuada.

• F

F

OB

A

120°

OO O

1

1 2

TIPOS DE ÁNGULOS SEGUN SU ABERTURA

Rectos: 90° Agudos: menos de 90° Obtusos: más de 90°

Llanos: 180° (2 rectos) Completos: 360° (4 rectos)

TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN

Complementarios: suman 90°. Suplementarios: suman 180°.

Consecutivos: vértice y lado en común. Opuestos por el vértice: vértice común.

3 Indica, según su abertura, el tipo de cada ángulo del ejercicio 1.

4 Dibuja e indica en estas esferas de reloj el tipo de ángulo que forman las agujas al marcar las horas.

a) Las tres en punto.

b) Las seis menos cuarto.

c) Las seis en punto.

d) Las siete en punto.

e) Las cinco y cuarto.

f) La esfera sin agujas.

a) c) e)

b) d) f)

26° 116°

64°64°

64° + 26° = 90°116° + 64° = 180°

5 Indica, según la posición, el tipo de ángulos.

a) b) c) d)

6 Calcula la abertura del ángulo que falta. Di de qué tipo de ángulos se trata.

a) b)

7 Halla la abertura del ángulo que falta. Di de qué tipo de ángulos se trata.

a) b)

8 Determina la abertura del ángulo que falta. Di de qué tipo de ángulos se trata.

a) b)

32°

130°40°

45°

29°

50°


ÁNGULO 35°

55°

89° 25° 45° 60°

COMPLEMENTARIO

SUPLEMENTARIO

10 Utilizando tu transportador, dibuja.

a) Un ángulo completo (360°). c) Dos ángulos consecutivos de 20° y 30°.

b) Dos ángulos consecutivos de 45° cada uno. d) Dos ángulos consecutivos de 90° cada uno.


Expresar la medida de ángulos en el sistema sexagesimal

El sistema sexagesimal lo utilizamos para medir amplitudes de ángulos. Se denomina sexagesimal porque cada unidad es 60 veces mayor que la unidad del orden inmediatamente anterior.

Para medir ángulos con precisión utilizamos el grado, el minuto y el segundo.

– 1 grado equivale a 60 minutos. 1° = 60'

– 1 minuto equivale a 60 segundos. 1' = 60"

– 1 grado equivale a 3. 600 segundos (60 � 60). 1° = 3 600"grado minuto segundo

F

� 60

F

� 60

F

� 60

F

� 60


GRADOS MINUTOS SEGUNDOS

7

10

12

24

48

7 � 60 = 420

2 Expresa en segundos.

a) 32° 30' = c) 53° 10' =

b) 430' = d) 81° 15' =

3 Expresa en minutos.

a) 62° 36' = c) 47° 59' =

b) 41° 22' = d) 117° 30' =

4 Expresa en grados.

a) 120' = c) 420' =

b) 240' = d) 600' =

5 Expresa en grados, minutos y segundos. Observa el ejemplo resuelto.

a) 5.370” b) 6.400” c) 4.042” d) 6.000”

a) Dividimos 5 370 entre 60 para pasar los segundos a minutos:

Dividimos 89 entre 60 para obtener los grados; el cociente es el número de grados, y el resto, los minutos del resultado �nal.

b) c) d)

5.370"0570

0030"

60

89 '

89 '

29 '5.370 " = 1° 29 ' 30"

60

1°

6 Efectúa las siguientes operaciones.

a) 25° 13 ' 44" + 21° 30 ' 25" = d) 110° 35° + 49 ' 56" =

b) 83° 47 ' 55" + 44° 35 ' 47" = e) 25° 49 ' 12" + 38° 54 ' 49" =

c) 81° + 22° 20 ' 13" = f ) 41° 12 ' 25" + 29° 54 ' 39" =

7 Realiza las siguientes restas en el sistema sexagesimal. Observa el ejemplo resuelto.

a) 63° 45' 5" - 11° 50 ' 15" c) 45° 27' 52" - 30° 44' 27"

b) 82° 59' 47" - 42° 33 ' 25" c) 52° 12' 15" - 10° 21' 42"

a)

b) c) d)

8 Halla el doble del ángulo AU, el triple del ángulo BV y el cuádruple del ángulo CV.

AU = 15° 28' 32" BV = 21° 15 ' 9" CV = 43° 17' 32"

63° 45 ' 5"

- 11° 50' 15"

Como a 45 no se le puede restar 50, pasamos 1° a minutos.

63° 45 ' 5"

- 11° 50' 15"

62° 105 ' 5"

- 11° 50' 15"

1° = 60 '60 + 45

Como a 5 no se le puede restar 15, pasamos 1 minuto a segundos.

62° 105 ' 5"- 11° 50 ' 15"

62° 104 ' 5"

- 11° 50 ' 15"

62° 104 ' 65"

- 11° 50 ' 15"

51° 54 ' 50"

1' = 60"Restamos normalmente.

60 + 5


Comprender el concepto de polígono. reconocer y clasi�car polígonos

1 Dibuja una línea poligonal y un polígono.

a) Línea poligonal. b) Polígono.

2 Señala cuáles de las �guras son polígonos.

a) c) e)

b) d) f)

POLÍGONOS• Varios segmentos unidos entre sí forman una línea poligonal.• Una línea poligonal cerrada y su interior forman un polígono.

ELEMENTOS DE UN POLÍGONO

• Un polígono se nombra asignando letras a los vértices. Por ejemplo, polígono ABCDE .

Línea poligonal Polígono

F

F

Los ángulos son las regiones queforman los lados al cortarse.

Se escriben así: ET.Los vértices son los puntos donde se cortan los lados. Se nombran con una letra mayúscula.

Las diagonales son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

Los lados son los segmentos que limitan el polígono.

B

C

D

EA

F

F

CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS

Los polígonos se clasi�can por su número de lados:

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono

3 lados 4 lados 5 lados 6 lados

Heptágono Octógono Eneágono Decágono

7 lados 8 lados 9 lados 10 lados

3 En los siguientes polígonos, dibuja estos elementos: vértices, diagonales, lados y ángulos. Nómbralos con sus letras correspondientes.

4 Dibuja los siguientes polígonos.

TRIÁNGULO CUADRILÁTERO PENTÁGONO HEXÁGONO

HEPTÁGONO OCTÓGONO ENEÁGONO DECÁGONO

CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS

Los polígonos se clasi�can también por sus ángulos.

• Convexos • CóncavosTodos los ángulos son menores que 180°. Tienen algún ángulo mayor que 180°.

5 Fíjate en las señales de trá�co, e indica cuáles son polígonos y de qué tipo.

6 Clasi�ca los siguientes polígonos en cóncavos o convexos.

7 Indica si los polígonos son cóncavos o convexos. Justi�ca tu respuesta.

a) b)

8 Dibuja dos polígonos cóncavos y dos convexos.


Comprender el concepto de polígono regular. Clasi�car polígonos regulares

RECTAS Y PUNTOS PRINCIPALES DE UN POLÍGONO REGULAR

Centro: punto que equidista de los vértices.Radio: segmento que une el centro y un vértice.Apotema: segmento que une el centro con el punto medio de un lado.

1 De los siguientes polígonos, indica cuáles son regulares e irregulares.

a) c) e)

b) d) f)

Centro

Radio

Apotema

F

POLÍGONO REGULAR

• Polígono regular es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales. En caso contrario, el polígono es irregular.Observa algunos polígonos regulares. Triángulo equilátero Cuadrado Pentágono regular

3 lados 4 lados 5 lados

Hexágono Octógono

6 lados 8 lados

F


POLÍGONO NOMBRE EJES DE SIMETRÍA RADIOS APOTEMAS

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIAHexágono regular1. Trazamos una circunferencia con el compás.2. Sin cambiar la abertura, marcamos seis puntos

de división.3. Unimos los puntos.4. Cada lado del hexágono es el radio

de la circunferencia.

Triángulo equilátero1. Realizamos los mismos pasos que para

el hexágono.2. Unimos las divisiones de dos en dos.

Cuadrado1. Trazamos una circunferencia con el compás.2. Dibujamos dos diámetros perpendiculares.3. Unimos los extremos de los diámetros.

P P

P P

O O

3 Dibuja una circunferencia de 5 cm de radio y construye un hexágono regular inscrito.¿Cuánto mide el lado del hexágono regular?

4 Dibuja una circunferencia de 5 cm de radio y construye un triángulo equilátero inscrito.

5 Dibuja una circunferencia de 5 cm de radio y construye un cuadrado.

6 Dibuja tres circunferencias de 5 cm de radio y construye un hexágono que no sea regular, un triángulo que no sea equilátero y un cuadrilátero que no sea un cuadrado, inscritos en la circunferencia.


Clasi�car triángulos. Reconocer sus rectas y puntos

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

Los triángulos se pueden clasi�car atendiendo a la longitud de sus lados o a la amplitud de sus ángulos.

• Según sus lados:

Equilátero Tres lados iguales

Isósceles Dos lados iguales

Escaleno Tres lados distintos

• Según sus ángulos:Acutángulo

Tres ángulos agudos Rectángulo

Un ángulo rectoObtusángulo

un ángulo obtuso

TRIÁNGULO

• Un triángulo es una �gura plana limitada por una línea poligonal cerrada de tres segmentos.

– Tiene 3 vértices, puntos de unión de los lados: A, B y C.– Tiene 3 lados, segmentos que lo limitan: a, b y c.– Tiene 3 ángulos: AT, BU y CU.

1 Nombra con letras los vértices, lados y ángulos de estos triángulos.

a) b) c)

2 Escribe Verdadero o Falso según corresponda.

• Un triángulo equilátero es acutángulo.

• Un triángulo isósceles puede ser rectángulo.

• Un triángulo rectángulo puede ser escaleno.

A

B

BU CUAU

C

a

b

c

3 Mide con tu regla los lados de cada triángulo y clasifícalos.

a) b) c) d)

a) Triángulo...................... c) Triángulo......................

b) Triángulo...................... d) Triángulo......................

4 Utilizando el transportador, clasi�ca estos triángulos según sus ángulos.

a) b) c)

d)

a) Triángulo...................... c) Triángulo......................

b) Triángulo...................... d) Triángulo......................

5 Clasi�ca los triángulos según sus lados y ángulos.

EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO ACUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO

Triángulo 1

Triángulo 2

Triángulo 3

Triángulo 4

Triángulo 5

Triángulo 6

2 6

1 4 5

3


Comprender el concepto de cuadrilátero. Reconocery clasi�car cuadriláteros

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados.Se clasi�can en:

PARALELOGRAMOS: tienen los cuatro lados paralelos dos a dos.

Cuadrado Rombo Rectángulo Romboide

TRAPECIOS: tienen solo dos lados paralelos.

Trapecio rectángulo Trapecio isósceles Trapecio escaleno

TRAPEZOIDES: no tienen lados paralelos.

1 Fíjate en tu aula y señala cuatro elementos con forma de cuadrilátero.Luego dibuja su contorno y marca sus lados, ángulos y vértices.

a) c)

b) d)

4 lados iguales Lados iguales 2 a 2Ángulos iguales 2 a 2

Ángulos iguales 2 a 2

4 lados y 4 ángulos

iguales

4 ángulos iguales Lados iguales 2 a 2

F

F F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

2 ángulos rectos

Ángulos iguales 2 a 2

Lados no paralelos iguales

4 lados y 4 ángulos distintosF

FF

F

F F


2 Indica el nombre de los cuadriláteros.

a) c) e)

b) d) f)

SEMEJANZAS DIFERENCIAS

Un paralelogramo y un trapecio

Un trapecio y un trapezoide

Un paralelogramo y un trapezoide

4 Un paralelogramo tiene sus cuatro ángulos iguales.

a) ¿Qué tipo de paralelogramo es?b) ¿Puede ser de varios tipos?c) Dibújalos.

5 Traza las diagonales y los ejes de simetría del paralelogramo. ¿Qué observas?

a) b)

1. A (1, 2) B (4, 5)2. A (2, 4) B (3, 6) C (4, 6)3. A (0, 0) B (2, 0) C (2, 2) D (2, 0)4. A ( 1, 0) B ( 3, 5) C ( 2, 4) D (0, 0)

6 Dibujar un plano cartesiano en cada caso. Luego, ubicar los puntos que se indican y escribir el nombre y la clasi�cación de cada �gura.

7 Dividir cada una de las siguientes �guras en dos �guras simétricas.

8

• Trasladar 4 unidades a la derecha.

• Rotar 45º en sentido positivo, con centro de rotación (0, 0).

• Reflejar con respecto a la línea que pasa por A(1, 0) y B(1, 3).

• Trasladar 3 unidades hacia abajo.

• Rotar 30º en sentido negativo. Centro de rotación(0, 0).

• Reflejar con respecto a la línea que pasa por A(1, 0) y B(0, 1).

Para las líneas que se muestran a continuación. Realizar los movimientos indicados en tres planos diferentes.

9

10

11

12

Dibujar un cuadrado de 5 cm de lado. Luego, rotarlo media vuelta sobre su centro.

¿En este caso un vértice del cuadrado coincidecon otro antes de ser rotado?

¿Para cuáles rotaciones de un cuadrado, un vérticecoincide con otro?

Para cada �gura, realizar los movimientos indicados, en planos diferentes.

5

4

3

2

1

-1 1 2 3 4 5-1

-2

y

x

-3

5

4

3

2

1

-1 1 2 3 4 5-1-2

y

x

-3

• Trasladar 2 unidades hacia la izquierda.

• Rotar 90º en sentido negativo. Centro de rotación O(4, 4).

• Reflejar con respecto al eje x o recta horizontal del plano.

• Trasladar 4 unidades hacia arriba.

• Rotar 120º en sentido negativo. Centro de rotación O(0, 0).

• Reflejar con respecto a la línea que pasa por A(0, 5) y a B(5, 0).

54321

-1 1 2 3 4 5-1-2-3

y

x

54321

-1 1 2 3 4 5-1-2-3

y

x

PARA PENSAR. La palabra OIDO, al ser reflejada con relación al eje que pasa horizontalmente por la mitad de la palabra coincide con su imagen. Buscar cuatro palabras que tengan esta propiedad.

Manejar las unidades de longitud, masa y capacidad


1 Une cada magnitud con su unidad correspondiente.


a) 34,56 � 100 = d) 0,71 � 1 000 = g) 139 � 10 =

b) 0,198 � 100 = e) 3 528 � 10 = h) 7 � 10 000 =

c) 18,2 � 1 000 = f) 0,1 � 10 = i) 84 002 � 100 =

3 Calcula.

a) 987 � 1 000 = d) 0,37 � 10 = g) 23 600 � 100 =

b) 15,37 � 100 = e) 0,9 � 10 = h) 253,6 � 1 000 =

c) 46 � 10 = f) 61 302 � 10 000 = i) 47,05 � 100 =

El agua de un embalse

La capacidad de una lata de refresco

La capacidad de una piscina

La velocidad de un ciclista

El peso de un saco de patatas

La longitud de un bolígrafo

El área de un campo de girasoles

La distancia entre dos pueblos

El peso de un camión

La altura de un rascacielos

36 kilómetros por hora

7 450 metros cuadrados

45 kilogramos

12 000 litros

4 500 kilogramos

350 metros

33 centilitros

15 centímetros

145 hectómetros cúbicos

25 kilómetros

• Una magnitud es una cualidad, característica… de un objeto que podemos medir. Ejemplo: longitud, masa, capacidad, super�cie, volumen, velocidad...• Las magnitudes se expresan en unidades de medida. Ejemplo: metros, kilómetros, kilogramos, gramos, centilitros, metros cuadrados, metros cúbicos, kilómetros

por hora…

• El Sistema Métrico Decimal es un sistema de medida decimal porque las unidades se relacionan entre sí mediante potencias de 10 .

• Para multiplicar un número decimal por 10 , 100 , 1 000 … se desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad: 1, 2, 3…

3,47 � 100 = 347 5,89 � 1000 = 5 890• Para dividir un número decimal entre 10 , 100 , 1 000 … se desplaza la coma a la izquierda tantos lugares

como ceros tenga la unidad: 1, 2, 3…25,87 � � 100 = 0,2587 2,9 10 = 0,29

4 Asocia una unidad de longitud con cada ejemplo.

a) La altura de una casa. d) La distancia entre dos ciudades. g) Una ventana.

b) La longitud de una hormiga. e) El tablero de tu pupitre. h) Un imperdible.

c) Tu altura. f) La anchura de una calle. i) Tu habitación.

5 Ordena, de menor a mayor ( <), las medidas. Toma como referencia el metro, pasando todas las medidas a esta unidad.

1, 500 cm 3,5 m 94,7 dm 0,15 km 0,03 dam 6, 341 mm 1,3 m 2,04 km 1,000 m


UNIDADES DE LONGITUD

• El metro es la unidad principal de longitud. Abreviadamente se escribe m.

• Los múltiplos (unidades mayores ) y submúltiplos (unidades menores ) del metro son:

• Cada unidad, en la vida real, se emplea para medir:– Grandes distancias como carreteras, vías férreas: km, hm.– Distancias intermedias como calles, alturas: dam, m.– Pequeñas medidas como fotografías, mobiliario: dm, cm.– Medidas reducidas como al�leres, insectos: mm.

• Para transformar una unidad de longitud en otra se multiplica o se divide por 10.

MÚLTIPLOS DEL METRO UNIDAD PRINCIPAL SUBMÚLTIPLOS DEL METRO

1 000 m kilómetro

(km)

100 m hectómetro

(hm)

10 m decámetro

(dam)

metro (m)

0,1 mdecímetro

(dm)

0,01 mcentímetro

(cm)

0,001 mmilímetro

(mm)

km hm dam m dm cm mm

F

� 10

F

� 10

F

� 10

F

� 10

F

� 10

F

� 10

F

� 10

F

� 10

F

� 10F

� 10

F

� 10

F

� 10


2,1

0,33

9,35

34

13, 472

7, 749

54

NOMBRE ALTITUD (en m) ALTITUD (en hm) ALTITUD (en km)

Everest

Mont Blanc

Mulhacén

Teide

Almanzor

Aneto

8.844

4.810

3.482

3.718

2.592

3.404

7 Expresa las siguientes altitudes de estas montañas en hectómetros y kilómetros.

NOMBRE

Tajo

LONGITUD (en km)

1 120

Ebro 1. 927

Duero 1. 913

Guadiana 1. 743

Guadalquivir 1. 680

Júcar 1. 535

Segura 1. 341

Miño 1. 340

LONGITUD (en hm) LONGITUD (en m)

8 Expresa la longitud de estos ríos en hectómetros y metros.

9 Completa.

a) 5,5 km = ........ m c) 6,7 dam = ........ m e) 785 cm = ........ m

b) 34,5 mm = ........ m d) 12 km = ........ m f) 1,60 dm = ........ m

UNIDADES DE MASA

• El kilogramo y el gramo son las unidades principales de masa. Abreviadamente se escriben kg y g.

• Los múltiplos (unidades mayores ) y submúltiplos (unidades menores ) del gramo son:

• Para medir grandes masas se utilizan:

Ejemplos: carga de un avión, envíos de alimentos, masa de un camión, etc.

• Para transformar una unidad de masa en otra se multiplica o se divide por 10.

10 Ordena, de mayor a menor ( >), las siguientes medidas. Toma como referencia el gramo o el kilogramo y pasa todas las medidas a la unidad que elijas.

27 dag 27 dg 56 g 0,23 hg 1,02 kg 8,34 cg 345 mg 0,5 t 1,1 q

MÚLTIPLOS DEL GRAMO UNIDAD PRINCIPAL SUBMÚLTIPLOS DEL GRAMO

1 000 g kilogramo

(kg)

100 g hectogramo

(hg)

10 gdecagramo

(dag)

gramo (g)

0,1 gdecigramo

(dg)

0,01 gcentigramo

(cg)

0,001 gmiligramo

(mg)

t q mag kg hg dag g dg cg mg

F

� 10

F

� 10

F

� 10F

� 10

F

� 10

F

� 10

F

� 10

F

� 10

F

� 10

F

� 10

F

�10

F

�10

F

�10

F

10

F F

10

F

10

F

10


t q kg g dg cg mg

0,5

0,31

9

65

31.872

1. 749

59

12 Completa.

a) 2,5 kg = .......... g c) 0,7 dag = .......... g e) 587 cg = .......... gb) 5. 345 mg = .......... kg d) 1. 258 g = .......... kg f) 6,6 dg = .......... kg

Unidades Símbolo Equivalencias (en kg) Equivalencia (en g)

Tonelada métrica t 1 000 kg 1 000 000 g

Quintal métrico q 100 kg 100 000 g

Miriagramo mag 10 kg 10 000 g

� 10� � � �

UNIDADES DE CAPACIDAD

• El litro es la unidad principal de capacidad. Abreviadamente se escribe ℓ.

• Los múltiplos (unidades mayores) y submúltiplos (unidades menores) del litro son:

• Para transformar una unidad de capacidad en otra se multiplica o se divide por 10.

INSTRUMENTOS DE MEDIDA DE MASA

MÚLTIPLOS DEL LITROUNIDAD

PRINCIPALSUBMÚLTIPLOS DEL LITRO

1 000 ℓ kilolitro

(kl)

100 ℓ hectolitro

(hl)

10 ℓ decalitro

(dal)

litro ( ℓ)

0,1 ℓ decilitro

(dl)

0,01 ℓ centilitro

(cl)

0,001 ℓ mililitro

(ml)

kl hl dal ℓ dl cl ml

F

�10

F

�10

F

�10

F

�10

F

�10

F

�10

F

� 10

F

� 10

F

� 10

F

� 10

F

� 10

F

� 10

13 Ordena, de menor a mayor ( <), las siguientes medidas. Toma como referencia el litro y pasa todas las medidas a esta unidad.

250 cl 1.500 ml 2,5 ℓ 0,005 kl 0,7 dal 19 dl 7 hl 30 ℓ 450 cl

Balanza granatario

Balanza Roberval

Báscula

Peso de cocina Dinamómetro

Manejar unidades de longitud y super�cie


UNIDADES DE LONGITUD

• El metro es la unidad principal de longitud. Abreviadamente se escribe m. • Los múltiplos (unidades mayores) del metro son el decámetro, el hectómetro y el kilómetro.• Los submúltiplos (unidades menores) del metro son el decímetro, el centímetro y el milímetro.• Para transformar una unidad de longitud en otra se multiplica o se divide por 10.


F

�10

F

�10

F

�10

F

�10

F

�10

F

�10

F

� 10

F

? 10

F

� 10

F

� 10

F

� 10

F

� 10

• Para expresar medidas y longitudes de �guras geométricas vamos a utilizar principalmenteel decímetro (dm), el centímetro (cm) y, en ocasiones, el metro (m).

3 Con tres segmentos de medidas: 30 mm, 0,5 dm y 7 cm, forma estas �guras.

a) Un cuadrado de 3 cm de lado.

b) Un triángulo equilátero de 5 cm de lado.

c) Un rectángulo de 7 � 3 cm.

1 Observa en tu aula qué elementos tiene la silueta de estos polígonos. Mídelos y anota el resultado.

a) b) c)

2 Realiza la misma operación pero con elementos que tengan forma de circunferencia. Mide con una cinta métrica el contorno de la �gura. Expresa el resultado en m y en cm.

a) b)

5 Expresa en cm y en mm las medidas del tablero de tu pupitre. ¿Qué tipo de polígono es? Calcula la medida de su diagonal. Exprésala en cm y en pulgadas. Después, dibuja una �gura representativa.

6 En un establecimiento venden televisores de 14, 21, 25 y 28 pulgadas. Expresa en centímetros estas medidas.

14 pulgadas = .................. cm de ..................

21 pulgadas = .................. cm ......................

25 pulgadas = .................. cm ......................

28 pulgadas = .................. cm ......................

4 La distancia entre tres puntos viene expresada en millas. Exprésala en metros, kilómetros y yardas.

AB = 6 millas = .................. metros = .................. kilómetros = .................. yardas

BC = 7 millas = .................. metros = .................. kilómetros = .................. yardas

AC = 9 millas = .................. metros = .................. kilómetros = .................. yardas

A

BC

6 millas9 millas

7 millas

OTRAS UNIDADES DE LONGITUD

• Existen otras unidades de longitud, como, por ejemplo: la milla, la yarda y la pulgada (medidas inglesas) .

1 milla = 1 610,4 m1 yarda = 0,914 m1 pulgada = 2,54 cm

• La pulgada es una unidad que utilizamos con frecuencia; así, cuando decimos que hemos comprado un televisor de 25 pulgadas nos estamos re�riendo a la medida de la diagonal de la pantalla.

25 pulgadas = 25 � 2,54 cm = 63,5 cm mide la diagonal.

7 Tomando como unidad de medida una unidad cuadrada, calcula la super�cie de las �guras.

a) )d

b)

e)

c)

SUPERFICIE DE UNA FIGURA

Figura AColoreamos 6 cuadrículas, que se consideran 6 unidades cuadradas. Es la super�cie de la �gura.

Figura BColoreamos 10 cuadrículas, que se consideran 10 unidades cuadradas. Es la super�cie de la �gura.

8 Colorea las siguientes �guras para obtener 20 unidades cuadradas de super�cie.

)d )a

)e )b

)f )c

UNIDADES DE SUPERFICIE

• El metro cuadrado es la unidad principal de super�cie. Se escribe m2.• Un metro cuadrado es la super�cie de un cuadrado de 1 m de lado.• Los múltiplos (unidades mayores) del m 2 son: dam 2, hm 2, km 2.• Los submúltiplos (unidades menores) del m 2 son: dm 2, cm 2, mm 2 .• Para transformar una unidad de super�cie en otra se multiplica o se divide por 100.

• Para expresar super�cies de �guras geométricas vamos a utilizar principalmente el decímetro cuadrado (dm2 ), el centímetro cuadrado (cm2 ) y el metro cuadrado (m 2).

9 Dibuja un rectángulo de 7 cm de largo y 3 cm de ancho. Traza cuadrículas de 1 cm de lado.Fíjate en la �gura. ¿Cuántas unidades cuadradas de 1 cm contiene? Exprésalo en cm2.

10 Dibuja un cuadrado de 6 cm de lado. Traza cuadrículas de 1 cm de lado. Fíjate en la �gura. ¿Cuántas unidades cuadradas de 1 cm contiene? Exprésalo en cm 2.

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

F

� 100F F F F F F

F F F F F

� 100 � 100 � 100 � 100� 100

�100 �100 �100 �100 �100 �100

Manejar las unidades de super�cie y volumen


UNIDADES DE SUPERFICIE

• El metro cuadrado es la unidad principal de super�cie. Se escribe m2.• Un metro cuadrado es la super�cie de un cuadrado que tiene 1 metro de lado.• Los múltiplos (unidades mayores ) y submúltiplos (unidades menores ) del m2 son:

• Para medir super�cies de grandes objetos se utilizan:

• Para medir grandes super�cies, como extensiones agrarias o terrestres, se emplean otras unidades:

1 Si 1 m 2 es la super�cie de un cuadrado de 1 m de lado, expresa.

a) 1 dm2 b) 1 cm2 c) 1 mm2 d) 1 dam2 e) 1hm2 f) 1 km2

2 Indica qué unidad de medida utilizarías para expresar las siguientes super�cies.

a) Una calculadora de bolsillo. d) Un campo de fútbol.b) La terraza de una casa. e) Un botón.c) Un campo de girasoles. f) El suelo del aula.

MÚLTIPLOS DEL METRO CUADRADO UNIDAD PRINCIPAL

SUBMÚLTIPLOS DEL METRO CUADRADO

1 000 000 m2

kilómetro cuadrado

(km2)

10 000 m2

hectómetro cuadrado

(hm2)

100 m2

decámetro cuadrado

(dam2)

metro cuadrado

(m2)

0,01 m2

decímetro cuadrado

(dm2)

0,0001 m2

centímetro cuadrado

(cm 2)

0,000001 m2

milímetro cuadrado

(mm2)

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

F

� 100

F

� 100

F

� 100

F

� 100

F

� 100F

� 100

F

� 100F

� 100F

� 100

F

? 100

F

� 100

F

� 100

3 Ordena, de menor a mayor ( <), las siguientes medidas. Toma como referencia el metro cuadrado y pasa todas las medidas a esta unidad.

25,4 km2 610 m 2 34 000 dm2 157. 530 cm 2 2,4 hm2 2 dam2 234 971 mm2

Unidades Símbolo

Hectárea

Área

Centiárea

ha

a

ca

Equivalencia

1 hm2

1 dam2

Equivalencia (en m 2)

10 000 m2

100 m2

1 m21 m2


km2 ha hm2 a dam2 m2

0,25

0,5

30

43

625

2. 500

5 Completa.

a) 850 dm2 = .......... m2 c) 7 m2 = .......... dm2 e) 785 cm2 = .......... dm2

b) 3 295 mm2 = .......... m2 d) 36,5 cm2 = .......... mm2 f) 6,9 dm2 = .......... mm2

6 El área de un cuadrado es el producto de sus lados, A = l � l. Calcula el área de estos cuadrados en cm 2 y dm 2. Fíjate en el ejemplo y dibuja las �guras.

a) l = 5 cm b) l = 3 cm c) l = 4 cm

l = 5 cm

l = 5 cm

7 El área de un rectángulo es el producto de base por altura, A = b ? a. Calcula el área de estos rectángulos en cm2 y dm 2. Fíjate en el ejemplo y dibuja las �guras.

a) b = 5 cm a = 3 cm b) b = 4 cm a = 2 cm c) b = 6 cm a = 4 cm

a = 3 cm

b = 5 cm

8 El suelo de una pista de gimnasia es un cuadrado cuyo lado mide 20 m. Determina su área.

9 Un campo de fútbol tiene las siguientes medidas: de banda 100 m y de fondo 70 m.Halla el área total y expresa el resultado en m2 y a.

A = l � l = 5 cm � 5 cm = 25 cm2

25 cm2 : 100 = 0,25 dm2

A = b � a = 5 cm � 3 cm = 15 cm2

15 cm2 : 100 = 0,15 dm2

RAZONAMIENTO. Determinar, en cada caso, cuál puedeser la población y cuál la muestra.1. El alcalde de la ciudad quiere revisar la situación

de violencia intrafamiliar y para ello visita 300hogares de distintas zonas de la ciudad.

2. Carlos desea saber si entre sus compañeros decurso es posible ganar la monitoría de clase;para ello, pregunta a 15 amigos si van a votarpor él.

3. El edil de la zona quiere saber si es necesario rea-lizar un mantenimiento de las vías y decide visitar50 cuadras para luego tomar la decisión de si debellevar a cabo el mantenimiento o no.

RAZONAMIENTO. Determinar si las siguientes varia-bles son estadísticas o no. Luego, clasificarlas en cuan-titativas o cualitativas.4. Tamaño del pie.5. Profesor preferido.6. Interpretación de una película.7. Tiempo de almuerzo.8. Años en el colegio.9. Gusto por el colegio.10. Artista favorito.11. Marca de automóvil familiar.12. Número de semáforos en una vía.

P P

Conceptos básicos de estadística



INTERPRETAR Y ELABORAR TABLAS DE FRECUENCIAS

En una clase de 24 alumnos de 1.º ESO las calificaciones obtenidas en el examen de Lengua han sido: 4, 6, 7, 3, 6, 8, 5, 9, 2, 7, 5, 8, 7, 5, 4, 7, 8, 4, 6, 5, 8, 7, 3 y 10.

EJEMPLO

Cuando recogemos una serie de datos o anotamos las respuestas de una pregunta, escribimos esos datos en tablas para analizarlos, organizarlos y emitir una serie de opiniones y conclusiones. Esos datos se llaman datos estadísticos, y la ciencia que se ocupa de realizar estas investigaciones es la Estadística.

1 Se ha preguntado a 50 alumnos del sexto la edad, que tienen, y se han obtenido los siguientes datos: 12, 13, 12, 14, 13, 15, 13, 12, 14, 15, 13, 12, 14, 15, 13, 12, 16, 14, 15, 13, 14, 15, 12, 16, 12, 14, 15, 13, 12, 13, 15, 16, 14, 15, 13, 14, 15, 15, 13, 14, 15, 12, 16, 12, 13, 12, 14, 15, 13 y 12. Completa la tabla.

a) Suma todas las frecuencias absolutas.

b) Suma todas las frecuencias relativas.

c) ¿Cuál es la edad que más se repite?

d) ¿Cuál es la edad que menos se repite?

FRECUENCIA ABSOLUTA

FRECUENCIA RELATIVA

RECUENTONOTAS

2 I 1 1/24

3 II 2 2/24

4 III 3 3/24

5 IIII 4 4/24

6 III 3 3/24

7 IIII 5 5/24

8 IIII 4 4/24

9 I 1 1/24

10 I 1 1/24

24 24/24 = 1

FRECUENCIA ABSOLUTA

FRECUENCIA RELATIVA

RECUENTOEDADES

12

13

14

15

16

Total

Frecuencia absolutaEs el número de veces que se repite el dato.

Frecuencia relativaEs el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos, e indica la relación del dato con respecto al total de datos.

• La suma de frecuencias absolutas es el número total de datos: 1 + 2 + 3 + + 4 + 3 + 5 + 4 + 1 + 1 = 24

• La suma de las frecuencias relativas es la unidad.

241

242

243

244

243

245

244

241

241

2424

1

+ + + + + +

+ + + = =

Interpretar y elaborar tablas de frecuencias


2 Las temperaturas medias diarias (en °C) durante el mes de diciembre han sido:

+11, -2, +8, +2, -1, +6, +8, +4, +8, +9, +2, +6, +2, +4, +8, -1, +9, +6, +9, +6, +8, +4, +8, -2, +4, -1, -2, +1, +6, +2, +8

Completa la siguiente tabla.

FRECUENCIA ABSOLUTA

FRECUENCIA RELATIVA

RECUENTOTEMPERATURA

(°C)

-1

-2

+1

Total

3 Natalia ha preguntado en los cursos de sexto A, B y C sobre el tipo de música que prefieren sus compañeros. Los datos los ha reflejado en la siguiente tabla. Completa los valores que faltan.

En ocasiones, los datos que recogemos no son numéricos, sino que responden a valores cualitativos, es decir, a características o valores que no son números, sino cualidades.

FRECUENCIA ABSOLUTA

FRECUENCIA RELATIVA

TIPO DE MÚSICA

16Rock

7521

Pop

Bakalao

18Tecno

759

Melódica

75Total


ELABORAR GRÁFICOS PARA REPRESENTAR UN CONJUNTO DE DATOS

En el curso de sexto los deportes favoritos de los alumnos son:

EJEMPLO

1 Entre los alumnos de sexto se ha realizado una encuesta sobre el tipo de programas de televisión preferido, y se han obtenido los resultados de la tabla. Represéntalos en un diagrama de barras.

Los datos estadísticos se representan mediante gráficos, que nos ayudan a visualizar e interpretar la información recogida.

DIAGRAMA DE BARRAS

• Para hacerlo utilizamos un sistema de ejes. En el eje horizontal representamos los datos, y en el vertical, las frecuencias absolutas.

• La frecuencia que corresponde a cada dato se representa por una barra. En ocasiones se puede mostrar la frecuencia sobre la barra.

DEPORTES

FRECUENCIA

Fútbol Baloncesto Tenis Atletismo Balonmano

10 14 8 12 6

PROGRAMA TV

FRECUENCIA ABSOLUTA

Deportivos Musicales Culturales Películas Concursos

16 10 4 8 12

Fútbol

10

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0Baloncesto

14

Tenis

8

Deportes preferidos

Frec

uenc

ias

abso

luta

s

Atletismo

12

Balonmano

6

Elaborar gráficos para representar un conjunto de datos


2 Las edades de 24 alumnos de ESO que participan en competiciones deportivas son:

16, 14, 15, 13, 14, 15, 12, 16, 12, 13, 12, 14, 13, 15, 13, 12, 14, 15, 13, 12, 14, 15, 13, 12

a) Forma una tabla de frecuencias.

b) Representa los datos en un diagrama de barras.

3 En una clase de 25 alumnos se ha realizado una encuesta para conocer el número de hermanos que tienen. Los resultados han sido:

0, 1, 3, 4, 2, 2, 1, 4, 5, 2, 0, 1, 1, 3, 2, 2, 4, 3, 2, 6, 0, 1, 2, 3, 2

a) Forma una tabla de frecuencias.

b) Representa los datos en un diagrama de barras.

4 Se ha lanzado 100 veces un dado de seis caras. Los resultados obtenidos en los lanzamientos vienen indicados en la tabla. Represéntalos en un diagrama de barras.

FRECUENCIA ABSOLUTA

CARAS

1 12

2 14

3 16

4 18

5 20

6 20

Total 100

En sexto el número de hermanos de los alumnos es:

EJEMPLO

5 Las calificaciones en Matemáticas de los alumnos de una clase han sido:

Representa los datos mediante un polígono de frecuencias.

POLÍGONO DE FRECUENCIAS• Se elabora a partir del diagrama de barras.

• Formamos un diagrama de barras, unimos los extremos superiores de las barras y obtenemos una línea poligonal llamada polígono de frecuencias.

CALIFICACIÓN FRECUENCIA

Insuficiente 6

Suficiente 8

Bien 5

Notable 3

Sobresaliente 2

N.º HERMANOS FRECUENCIA

0 10

1 14

2 8

3 12

4 6

0

18

16

14

12

10

8

6

4

2

01 2

N.º de hermanos

Frec

uenc

ias

abso

luta

s

3 4

Los deportes favoritos de 40 alumnos son:

Deportes favoritos

EJEMPLO

6 Para hallar el ángulo de cada sector utilizamos el siguiente procedimiento.

Dividimos el círculo completo (360º), en tantas partes como frecuencias absolutas hay (40); multiplicamos el resultado por cada frecuencia absoluta y con el transportador se halla cada sector circular.

A cada parte le corresponden 360° � 40 = 9°.

Completa la tabla.

Fútbol

Baloncesto

Tenis

Atletismo

Balonmano

DEPORTE FRECUENCIA

Fútbol 8

Baloncesto 12

Tenis 6

Atletismo 10

Balonmano

Total

4

40

DEPORTE FRECUENCIA

Fútbol 8

Baloncesto 12

Tenis 6

Atletismo 10

Balonmano

Total

4

40

SECTOR CIRCULAR (°)

9° • 8 = 72°

9° • 12 = ......

9° • ...... = ......

9° • ...... = ......

9° • 4 = 36°

........ = 360°

DIAGRAMA DE SECTORESLos datos se representan en un círculo. Cada sector representa un valor de la variable. El ángulo de cada sector circular es proporcional a la frecuencia absoluta de cada dato.

F

F

F

F

F

7 El destino vacacional de 90 familias ha sido el siguiente.

Completa la tabla y representa los datos mediante un diagrama de sectores.

SECTOR CIRCULAR (°)DESTINO

Playa

Montaña

Turismo rural

Circuitos

Extranjero

Otros destinos

Total

FRECUENCIA

26

22

18

10

8

6

90 360°

JUSTIFICAR LA RESPUESTAArgumentar por qué la gráfica que se presenta no es una buena representación de la tabla dada.1. 2.

Escribir V, si la afirmación es verdadera, o F, si es falsa.3. El número de hombres y de mujeres que fuman es el mismo.4. Hay más hombres que mujeres.5. Hay más personas fumadoras que no fumadoras.6. Los hombres fuman más que las mujeres.7. El género no se relaciona con el hecho de ser fumadores.8. En el estudio, no se pueden comparar los hombres con las mujeres.

INTERPRETAR UNA GRÁFICALa siguiente gráfica representa los resultados de un estudio sobre el cigarrillo.

Elaborar la tabla de frecuencias que corresponda a cada diagrama de barras.3. 4. 5.

510152025

Número depersonas

510152025

Número depersonas

510152025

Número depersonas

2

4

6

8

10

12

Toneladas

TrigoOctubre

TrigoNoviembre

TrigoDiciembre

Cosecha de trigo y algodón en el últimotrimestre del año (T)

AlgodónOctubre

AlgodónNoviembre

AlgodónDiciembre

5

10

15

20

25

Número depersonas

Castaño Negro Claro Cabello

Color de ojos y cabello

Azul

Verde

Negro

510152025

Número depersonas

Hombres Mujeres

Estudio sobre el cigarrillo

Fuma

No fuma

MesCosecha Octubre Noviembre DiciembreTrigo 10 5 7Algodón 7 9 2

Color de ojosNegro Azul Verde

Castaño 5 10 7Negro 2 5 1Claro 4 2 9C

olor

de

cabe

llo

Construir la tabla de contingencia de porcentajes para cada tabla. Luego, mencionar doscaracterísticas de cada una y elaborar el diagrama de barras correspondiente.1. 2.Género

Hombre Mujer

Sí 7 15No 22 10

Viajó el año pasadoSí No

Sí 50 10No 5 20

Tuvo

vaca

cion

es

Jueg

o

SOLUCIÓN DE PROBLEMASJUSTIFICAR LA RESPUESTAArgumentar por qué la gráfica que se presenta no es una buena representación de la tabla dada.1. 2.

Escribir V, si la afirmación es verdadera, o F, si es falsa.3. El número de hombres y de mujeres que fuman es el mismo.4. Hay más hombres que mujeres.5. Hay más personas fumadoras que no fumadoras.6. Los hombres fuman más que las mujeres.7. El género no se relaciona con el hecho de ser fumadores.8. En el estudio, no se pueden comparar los hombres con las mujeres.

INTERPRETAR UNA GRÁFICALa siguiente gráfica representa los resultados de un estudio sobre el cigarrillo.

Elaborar la tabla de frecuencias que corresponda a cada diagrama de barras.3. 4. 5.

510152025

Número depersonas

510152025

Número depersonas

510152025

Número depersonas

2

4

6

8

10

12

Toneladas

TrigoOctubre

TrigoNoviembre

TrigoDiciembre

Cosecha de trigo y algodón en el últimotrimestre del año (T)

AlgodónOctubre

AlgodónNoviembre

AlgodónDiciembre

5

10

15

20

25

Número depersonas

Castaño Negro Claro Cabello

Color de ojos y cabello

Azul

Verde

Negro

510152025

Número depersonas

Hombres Mujeres

Estudio sobre el cigarrillo

Fuma

No fuma

MesCosecha Octubre Noviembre DiciembreTrigo 10 5 7Algodón 7 9 2

Color de ojosNegro Azul Verde

Castaño 5 10 7Negro 2 5 1Claro 4 2 9C

olor

de

cabe

llo

Construir la tabla de contingencia de porcentajes para cada tabla. Luego, mencionar doscaracterísticas de cada una y elaborar el diagrama de barras correspondiente.1. 2.Género

Hombre Mujer

Sí 7 15No 22 10

Viajó el año pasadoSí No

Sí 50 10No 5 20

Tuvo

vaca

cion

es

Jueg

o

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Caracterización de dos variables cualitativas



DISTINGUIR ENTRE EXPERIMENTO ALEATORIO Y DETERMINISTA

Un experimento determinista es aquel experimento que una vez estudiado podemos predecir, es decir, saber lo que sucederá antes de que ocurra.

Por ejemplo:

– Si ponemos un recipiente con agua a calentar, sabemos que a 100 °C el agua hervirá.

– Si un coche circula a 100 km/h, y tarda en hacer un trayecto 2 horas, habrá recorrido 200 km.

Para expresar los resultados de experimentos deterministas se suele emplear la frase: «Es seguro que…».

Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no se puede predecir, es decir, por muchas veces que repitamos el experimento en igualdad de condiciones, no se conoce el resultado.

El lenguaje utilizado para expresar experimentos aleatorios está relacionado con situaciones de incertidumbre, ya que se trata de situaciones de azar: «Es más probable que, es igual de probable que salga, es imposible, es poco probable, es más seguro, es improbable, es casi seguro…».

Por ejemplo:

– Si lanzamos un dado, no podemos predecir el número que saldrá.

– Cuando sacamos una bola de una caja que contiene bolas de diferentes colores, no podemos predecir el color que obtendremos.

1 Clasifica los siguientes experimentos. Si el experimento es aleatorio, escribe un posible resultado.

2 Escribe dos experimentos deterministas y dos aleatorios, de tu vida cotidiana.

EXPERIMENTO DETERMINISTA ALEATORIO

Lanzar un dado

El resultado de dividir 10 entre 2

En una caída libre de 5 metros, conocer la velocidad que se alcanza

Lanzar una moneda al aire

Sacar una carta de una baraja española

Saber la fecha de tu nacimiento

Sacar una ficha de una caja donde hay 20 fichas rojas y 5 fichas azules

Al lanzar un dado, obtener una puntuación mayor que 5

El resultado de elevar un número al cuadrado

El tiempo que va a hacer mañana

Sacar un 3

Distinguir entre experimento aleatorio y determinista



OBTENER EL ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO

EJEMPLO

• El espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se representa por E.

• Cada uno de los resultados posibles se denomina suceso elemental.

1 Se tiene un dado en forma de tetraedro (ocho caras numeradas del 1 al 8).

a) ¿Cuál es el espacio muestral del experimento?

b) ¿Cuáles son los sucesos elementales del experimento aleatorio que consiste en tirar el dado?

2 Determina el espacio muestral de un experimento que consiste en sacar tres bolas, sin introducir la bola que se saca, de una urna que contiene tres bolas numeradas de 1 a 3.

3 Di cuál es el espacio muestral de un experimento que consiste en sacar dos bolas, sin introducir la bola que se saca, de una urna que contiene dos bolas numeradas como 1 y 2.

4 Se lanzan dos dados y se suman los puntos. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener? Forma el espacio muestral.

EXPERIMENTO ESPACIO MUESTRAL SUCESOS ELEMENTALES

Lanzar una moneda

Lanzar un dado

E = {cara, cruz}

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

cara (c) y cruz (x)

1, 2, 3, 4, 5 y 6

FF

Todos los resultados posibles.

Cada uno de los re-sultados posibles.

Obtener el espacio muestral de un experimento aleatorio



CALCULAR LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO

RECUENTO FRECUENCIA ABSOLUTA FRECUENCIA RELATIVA

CARA

CRUZ

1 Tira una moneda 25 veces y completa la tabla.

a) ¿Son las frecuencias relativas números próximo a 0,5? b) ¿Qué consecuencias obtienes?

Se lanza un dado de cuatro caras y se anotan las veces que aparece la cara 1.

Observa que el número al que se aproxima la frecuencia del suceso aparecer cara 1 es 0,25. Por tanto, la probabilidad de obtener cara 1 al lanzar un dado de cuatro caras es P = 0,25.

EJEMPLO

Se lanza un dado de seis caras al aire. El espacio muestral es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Calcula las siguientes probabilidades.

EJEMPLO

LANZAMIENTOS 20 40 60 80 100

fi 7 11 15 18 27

hi 0,35 0,275 0,25 0,225 0,27

La probabilidad de un suceso es el número al que se aproxima la frecuencia relativa de ese suceso conforme aumenta el número de veces de repeticiones de un experimento aleatorio.

REGLA DE LAPLACE

Cuando todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio son equiprobables, la probabilidad de un suceso A es el cociente del número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles.

Esta expresión es la regla de Laplace: P (A) = n mero de casos posiblesúún mero de casos favorables

SUCESOS CASOS FAVORABLES

Salir número par

Salir número par o menor que 5

(Se puede dar cualquiera de las opciones: número par o menor que 5)

Salir número par y 4

(Se tienen que dar las dos opciones a la vez: número par y 4)

{2, 4, 6}

{1, 2, 3, 4}

{4}

CASOS POSIBLES

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

CASOS POSIBLESCASOS FAVORABLES

P =

P63

=

P64

=

P61

=

Calcular la probabilidad de un suceso


5 En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han tomado carne 16 hombres y 20 mujeres,y el resto ha tomado pescado. Completa la tabla, considerando que elegimos una persona al azar.

a) ¿Qué probabilidad hay de que sea hombre?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya tomado pescado?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y haya tomado pescado?

HOMBRES

CARNE PESCADO Suma

28

32MUJERES

Suma

16

20

36

2 Hacemos un pronóstico con un dado de tres caras con el 1, dos caras con la X y la otra cara con el 2. Tras lanzar el dado, halla mediante la regla de Laplace (son sucesos elementales equiprobables).

a) El espacio muestral: E = ......b) La probabilidad de obtener 1.

c) La probabilidad de obtener X.

d) La probabilidad de obtener 2.

3 Una urna contiene 4 bolas: 1 roja, 1 azul, 1 verde y 1 blanca. Si se sacan 2 bolas a la vez, halla.

a) El espacio muestral: E = ......b) La probabilidad de que una bola sea blanca y la otra roja.

c) La probabilidad de que las dos bolas sean rojas.

d) La probabilidad de que ninguna de las dos bolas sea blanca.

4 Se saca una carta de una baraja española de 40 cartas. Mediante la regla de Laplace, halla la probabilidad de obtener.

a) Un rey. e) Una carta que no sea de copas.

b) Oros. f) Una figura de bastos.

c) Un 4 o un 6. g) Una carta que no sea figura.

d) El rey de oros. h) Una carta menor que 5.

6 Si se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos, halla.

a) El espacio muestral: E = ......b) La probabilidad de que la suma sea 3.

c) La probabilidad de que la suma sea 7.

d) La probabilidad de que la suma sea superior a 10.

e) La probabilidad de que la suma sea 4 o 5.

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