matemáticas

Se trata de una disciplina que integra geometría, álgebra y análisis de una manera especial, aunque sistemáticamente se considera una parte de la geometría. Sus orígenes están asociados a la obra de Euler, Cantor y Möbius. La palabra topología había sido utilizada en 1847 por J. B. Listings en un libro titulado Vorstudien zur Topologie. Este había sido un alumno de Gauss en el año 1834. Usaba el término topología para lo que prefería llamar "geometría de posición'', sin embargo von Staudt usaba este último para la geometría proyectiva. En la topología suele reconocerse dos ramas: la conjuntista y la algebraico combinatoria. La primera asociada a la teoría de conjuntos y la segunda que considera las figuras geométricas como agregados de bloques más pequeños.

Para algunos historiadores de las matemáticas, el punto decisivo fue dado por la publicación de Analisis Situsde Poincaré en 1895. Poincaré realizó importantes contribuciones en la topología combinatoria o algebraica. Podemos decir que ésta refiere a propiedades de los invariantes de transformaciones o funciones uno a uno (biunívocas o inyectivas) y además bicontinuas (la función y su inversa son continuas): los homeomorfimos. Courant y Robbins lo ponen así: "Recordemos que la geometría elemental maneja las magnitudes (longitud, ángulo y área) que son invariantes por movimientos rígidos, mientras que la geometría proyectiva trata los conceptos (punto, línea, incidencia, razón simple) que son invariantes por el grupo, todavía más extenso, de las transformaciones proyectivas. Pero los movimientos rígidos y las proyecciones son casos muy particulares de las transformaciones topológicas: una transformación topológica de una figura en otra figura está dada por cualquier correspondencia P <--> P' entre los puntos p de A y los puntos p' de A' , que cumpla las dos propiedades siguientes:

1. La correspondencia es biunívoca. Esto significa que a cada punto p de A corresponde exactamente un punto p' de A', y recíprocamente. 2. La correspondencia es bicontinua. Esto significa que si tomamos dos puntos p y q cualesquiera de A, y movemos p de manera que su distancia a q tienda a cero, entonces la distancia entre los correspondientes puntos p' y q' de A' también tiende a cero, y recíprocamente.

Cualquier propiedad de una figura geométrica A, que se mantenga para todas las figuras en que se transforma A mediante una transformación topológica, se llama una propiedad topológica de A. Y la topología es la rama de la geometría que sólo estudia las propiedades topológicas de las figuras. Imaginen una figura copiada a 'mano alzada' por un dibujante consciente pero inexperto, que curvara las líneas rectas y alterara los ángulos, las distancias y las áreas; entonces aunque se habrían perdido las propiedades métricas y proyectivas de la figura primitiva, las propiedades topológicas quedarían iguales''. [Courant, R. y Robbins, H.: "Topología'' p. 177]

La topología trabaja esencialmente con los aspectos cualitativos. Sin embargo, el asunto sobre los inicios de la topología debe colocarse en una perspectiva histórica más amplia.

Puentes de Konigsberg.

Se puede rastrear el asunto hasta Leibniz que estudió la operación o transformación de algunas propiedades de figuras geométricas, asunto que llamó precisamente analisis situs o geometria situs. Otra referencia tiene que ver con la relación que existe entre el número de vértices, bordes y caras de poliedros

La topología

La topologíalunes, 11 de julio de 200507:46 a.m.

Matemáticas página 1

Otra referencia tiene que ver con la relación que existe entre el número de vértices, bordes y caras de poliedros convexos cerrados. En un cubo, la relación es

, lo que había sido publicado y demostrado por Euler en los años 1750 - 1751 (se supone sin embargo que esto era conocido por Leibniz y Descartes).

Un asunto de carácter topológico fue el problema del puente de Koenigsberg, para el que Euler encontró una solución en el año de 1735. Listing trató de generalizar la relación

Möbius, quien fuera asistente de Gauss, clasificó las propiedades geométricas de similaridad, afinidad y congruencia y propuso el estudio de las relaciones entre figuras con puntos que poseían relaciones biunívocas y donde existiera correspondencia también con los puntos cercanos. Fue en este contexto que Möbius descubrió las superficies con un solo lado, entre las cuales la más famosa es precisamente la llamada "cinta de Möbius''. Debe decirse, no obstante, que Listing también las había concebido.

El problema de los 4 colores también debe mencionarse. Se trataba de mostrar que 4 colores son suficientes para colorear todos los mapas de los países siempre y cuando los países que tuvieran un arco como frontera común fueran coloreados con un color diferente. Se trataba de una problema-conjetura formulada por un profesor casi desconocido de matemáticas: Francis Guthrie. El primer intento de probar la conjetura, aunque fallido, se dice que fue dado por Cayley. Courant y Robbins lo consignan:

"Al colorear un mapa geográfico, se suele dar colores distintos a dos países que tengan parte de sus límites en común. Se ha encontrado empíricamente que cualquier mapa, independientemente de cuántos países tenga y de cómo estén situados, puede colorearse usando solamente cuatro colores distintos. Es fácil ver que un número menor de colores no bastaría para todos los casos. La figura 11 muestra una isla en el mar, que ciertamente no puede ser coloreada de manera apropiada con menos de cuatro colores, ya que contiene cuatro países, cada uno de los cuales limita con los otros tres.

El hecho de que todavía no se haya encontrado ningún mapa que requiera más de cuatro colores para colorearlo, sugiere el siguiente teorema matemático: Para cualquier división del plano en regiones no superpuestas, siempre es posible marcar las regiones con uno de los números 1, 2, 3, 4, de tal manera que las regiones adyacentes no reciban el mismo número. Por regiones 'adyacentes' entendemos aquellas que tienen un segmento de límite en común; dos regiones que se encuentren en un solo punto o en un número finito de puntos (como los estados de Colorado y Arizona) no se llamarán adyacentes, ya que no se presenta ninguna confusión si se colorean del mismo color''. [Courant, R. y Robbins, H.: "Topología'' p. 183]

Con Riemann la investigación en topología adquiere una nueva fisonomía, pues sin duda la geometría diferencial posee un gran sentido topológico. En el año 1851, el mismo Riemann subrayó la necesidad de resultados topológicos para el estudio de las funciones de variable compleja. De hecho, introdujo el concepto de conectividad de una "superficie de Riemann'', una noción que le sirvió para clasificar superficies, y que era una propiedad topológica.

Klein también estudió superficies topológicas, y, precisamente, se le debe la creación de la famosa "botella de Klein'': una superficie que no posee borde, ni tampoco interior o exterior, y posee un solo lado.


Klein'': una superficie que no posee borde, ni tampoco interior o exterior, y posee un solo lado.

Una generalización del concepto de conectividad fue aportado por el italiano Enrico Betti, de la Universidad de Pisa, que redefinió lo que se llama números de conectividad para cada dimensión.

La teoría más general de la topología combinatoria fue desarrollada por Poincaré, quien también había ofrecido una teoría de ecuaciones diferenciales cualitativas, que trata precisamente de la forma de integrales curvas y el carácter de los puntos singulares. Poincaré realizó una generalización de las superficies de Riemann por medio de las variedades diferenciales para así estudiar la geometría de las figuras n-dimensionales. El teorema de la dualidad, los números de Betti, coeficientes de torsión, "grupo de Poincaré'', grupo de homotopía, son todos asuntos que se incluyen en estos trabajos. En "Analysis situs'' hizo primeramente un listado de todos los diferentes tipos de variedades diferenciales y las ecuaciones algebraicas que las describen (algunas ya conocidas, otras nuevas). Posteriormente, en otros artículos acude a un procedimiento geométrico, donde se concentra en sólidos como el cubo y el tetraedro, y ofrece un método más simple para contar el número de características topológicas de cada sólido. Poincaré trató de extender la famosa formula de Euler a n dimensiones. Las variedades se convierten en la topología algebraica y combinatoria: el estudio de fórmulas algebraicas o diferenciales que describen la estructura de superficies no usuales. En lugar de clasificar todos los espacios topológicos posibles, se trata de limitarse a estructuras que se encuentran en el álgebra abstracta. La topología conjuntista fue desarrollada en sus inicios por Maurice Fréchet (1878 - 1973), 1906, quien empujó hacia el estudio de espacios más abstractos. Un espacio se considera un conjunto de puntos vinculados por una propiedad común. Estas nociones fueron motivadas por el progreso de la teoría de conjuntos de Cantor y del análisis funcional (en particular dentro del cálculo de variaciones). Este último analiza las funciones como puntos de un espacio. Fréchet estableció diferentes conceptos que podían servir como el nexo para establecer un espacio. Por ejemplo, ofreció una generalización del concepto de distancia en el espacio euclidiano para definir los espacios métricos. En un espacio métrico se considera el vecindario de un punto Xo como todos aquellos puntos que están a una distancia establecida del punto Xo. En tres dimensiones se trataría de bolas o esferas con un radio determinado.

Otro de los grandes topólogos fue el holandés L. E. J. Brouwer, a quien vamos a estudiar con mayor detalle dentro de la filosofía de las matemáticas, que realizó contribuciones en la topología conjuntista y la algebraica. Partió de una perspectiva diferente: enfatizó las transformaciones biunívocas más que la invariancia de la dimensión. Completó y generalizó los trabajos de Poincaré. Estableció la topología de los conjuntos de puntos, que refiere a propiedades de los números reales, y también hizo contribuciones a la teoría de la dimensión (que estudia el número de coordenadas que se requiere para describir un objeto matemático básico). Tiempo después, Felix Hausdorff creó una teoría de espacios abstractos usando la noción de vecindario(Grundzüge der Mengenlehre, 1914). Un espacio topológico se define como un conjunto de puntos junto con una familia de vecindarios asociados a ellos. Aquí hay varias nociones que se establecen: espacio compacto, conexo, separable. También es aquí donde entra la idea de homeomorfismo. Una vez establecido esto, se formula la topología conjuntista como aquélla que estudia las propiedades de invariantes bajo homeomorfismos. Hausdorff también dio la noción de completitud, que el mismo Fréchet había usado en 1 906. Usó la noción de conectividad, planteada antes por otros matemáticos (aunque él no lo sabía), para considerar conjuntos conexos como ideas topológicas.

Hausdorff formalizó la topología conjuntista mediante una nueva concepción de geometría en la cual un espacio tiene una estructura que consiste en relaciones que pueden definirse en términos de un grupo de transformaciones. Con el trabajo de Hausdorff se afirmó la topología conjuntista como una disciplina propia dentro de las matemáticas.

Volvemos a la topología algebraica. Se suele afirmar que fue Oswald Veblen quien, como Hausdorff con la conjuntista, hizo de la topología combinatoria un campo independiente de las matemáticas. En el año 1905 Veblen probó el teorema de la curva de Jordan, que afirma que una curva cerrada simple en un plano (un círculo, por ejemplo), divide ese plano en 2 regiones: una adentro y otra afuera de la curva. Veblen también usó la fórmula de Euler, el problema de los cuatro colores y otros asuntos topológicos clásicos para obtener importantes resultados en topología. A lo largo de su obra Veblen quería hacer que la geometría sirviera como un modelo para el mundo real.

Alumno y colega de Veblen en la Universidad de Princeton, James W. Alexander ampliaría muchos trabajos en la topología combinatoria, como las pruebas de Brouwer en la topología algebraica y combinatoria; además, mostró que la invariancia de las propiedades combinatorias podía aplicarse a objetos topológicos especiales, los números de Betti, y a los coeficientes de torsión. En 1928 encontró un método directo para encontrar una fórmula para describir los "nudos''.

Alexander fue importante en la búsqueda de convergencias entre los dos tipos de topologías. Por ejemplo, observó las relaciones entre la topología combinatoria y el analysis situs rectilíneo (es decir, geometría de


observó las relaciones entre la topología combinatoria y el analysis situs rectilíneo (es decir, geometría de figuras de un número finito de pedazos planos).

En el siglo XX, la topología se afirmó como una nueva disciplina con toda propiedad dentro de las matemáticas, al igual que la geometría, el álgebra, o el análisis, y participó de un espíritu de convergencia que ha caracterizado buena parte de las matemáticas modernas; se trata de la utilización de métodos de una disciplina en las otras, potenciando constantemente nuevas ramas de un árbol cada vez más complejo y diversificado.

Pegado de <http://www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz/Libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/Cap21/Parte05_21.htm >


http://www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz/Libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/Cap21/Parte05_21.htm

Problemas de la Quincena

70: DESCOMPONER UN CUADRADO | B

Se trata de descomponer un cuadrado de lado 1 en cinco rectángulos de la misma área y lados menores que 1. ¿ Hay

distintas soluciones?

Solución

71. PASEO ALEATORIO | B

Se coloca una ficha en el origen de coordenadas y se lanza una moneda al aire: si sale cara , se mueve la ficha una unidad

a la derecha y, si sale cruz, una unidad a la izquierda. Calcular la probabilidad de que , después de 10 lanzamientos, la ficha

se encuentre en el punto A(4, 0). Calcular la probabilidad de que después de 6 lanzamientos se encuentre en el punto

B(-5,0)

Solución

73. EL PUZZLE | A

Dos hermanos, Luis y Ana, reciben un puzzle de 2006 piezas como regalo. ―Vamos a hacerlo entre los dos, pero con la

siguiente regla‖-le dice Luis a Ana. ―Cada uno pondrá 1, 2, 3 o 4 piezas cada vez, las que quiera, y el que ponga la última pieza gana. Empezaré yo. ¿De

acuerdo?‖.

¿Qué debe responder Ana? Explica quién debe empezar y cómo debe jugar para ganar el juego.

Solución

72. EL HOTEL | A

La tasa de ocupación de un hotel es del 88% durante los 3 meses de verano y del 45% cada uno de los meses restantes.

¿Cuál es la tasa media de ocupación?El gerente del hotel se ha propuesto llegar al 60% de ocupación, por lo que el último mes lanza una oferta especial. ¿Qué

porcentaje de ocupación debería tener en diciembre para alcanzar el 60%?

Solución

71. LOS CAPICÚAS DE TRES Y CUATRO CIFRAS | A

a) ¿Cuántos números capicúas hay de 3 cifras? ¿Y cuántos de 4 cifras?

b) A una persona se le ocurrió sumar todos los capicúas de 3 cifras, pero sin darse cuenta se saltó uno y el resultado que

obtuvo fue 49.137. ¿Qué número se saltó?

Solución

68. LAS VACAS DE NEWTON | B

Sabemos que hay un conjunto de vacas en un prado donde la hierba es uniforme en todas las direcciones y además crece a

velocidad constante.Si A vacas comen en B días la hierba de C áreas y la hierba que ha crecido en estas C áreas durante esos B días.

Mientras que D vacas comen en E días la hierba de F áreas y la hierba que ha crecido en esas F áreas duranter esos E días.

¿ En cuántos días comerán G vacas la hierba de H áreas y la hierba que ha crecido durante esos días en esas H áreas?.

Solución

Llamando X al número de días buscado, P a la cantidad inicial de hierba por área y Q a la cantidad de hierba que crece por

día en cada área. La cantidad de hierba que come una vaca por día puede expresarse de tres maneras distintas:

(P.C+Q.C.B)/(A.B) = (P.F+Q.F.E)/(D.E) = (P.H+Q.X.H)/(G.X)

De dónde divideiendo por P, se obtienen dos ecuaciones con dos incógnitas , una de ellas es ( Q/P) , y la otra X que

permiten calcular X.

En el famoso libro: Algebra recreativa de Y. Perelman, podemos encontrar un problema semejante:

La hierba crece en todo el prado con igual rapidez y espesura. Se sabe que 70 vacas se la comerían en 24 días, y 30, en 60

días. ¿Cuántas vacas se comerían toda la hierba en 96 días?".Para resolver el problema, Perelman razonaba del siguiente modo :Introduzcamos también aquí una segunda incógnita, que

representará el crecimiento diario de la hierba, expresado en partes de las reservas de la misma en el prado. En una

Divulgamatmartes, 25 de julio de 200607:15 p.m.


representará el crecimiento diario de la hierba, expresado en partes de las reservas de la misma en el prado. En una

jornada hay un crecimiento de y ; en 24 días será 24 y . Si tomamos todo el pasto como 1, entonces, en 24 días las vacas

se comerán

1 + 24 y

En una jornada las 70 vacas comerán

(1 + 24 y ) / 24

y una vaca (de las 70) comerá

(1 + 24 y ) / (24 * 70)

Siguiendo el mismo razonamiento: si 30 vacas acaban con toda la hierba del prado en 60 días, una vaca comerá en un día

1 + 60 y / (30 * 60)

Pero la cantidad de hierba comida por una vaca en un solo día es igual para los dos rebaños. Por eso

(1 + 24 y ) / (24 * 70) = (1 + 60 y ) / (30 * 60)

de donde

y = 1 / 480

Cuando se halla y (medida de crecimiento) es ya fácil determinar qué parte de la reserva inicial se come una vaca al día

(1 + 24 y ) / (24 * 70) = (1 + 24 / 480) / (24 * 70) = 1 / 1600

Por último establecemos la ecuación para la solución definitiva del problema: si el número de vacas es x , entonces,

{1 + (96 / 480)} / 96 x = 1600

de donde x = 20

20 vacas se comerían toda la hierba en 96 días.

69. Problema de Lorenzo Mascheroni | B

Lorenzo Mascheroni fue sin duda un matemático singular. En su libro Geometria del Compasso (Pavia, 1797), probó que

cualquier construcción geométrica que pueda ser hecha con regla y compás, puede ser hecha únicamente con compás. Si

bien , el primero en probar ese resultado fue el danés Georg Mohr, quien publicó sus investigaciones en 1672.

De acuerdo a Mascheroni intenta resolver el siguiente problema:

Tenemos dibujada una circunferencia sobre una superficie y disponemos únicamente de un compás, ¿ cómo harías para

encontrar el centro de dicha circunferencia?

Solución

La verdad es que es un procedimiento complicado de hallar. Existen varios métodos uno de los más sencillos consta de 8 pasos:1. Sobre la circunferencia dada ( en rojo) se toma un punto A2. Con centro el punto A se traza un arco BC( en verde) cuyo radio, a ojo, sea mayor que el radio de la circunferencia dada3. Se trazan dos arcos, uno de centro B y radio BA, otro de centro C y radio CA.4. Se obtiene el punto intersección de dichos arcos, le llamamos D5. Con centro D trazamos un arco( en rosa-violeta) que pasa por A6. Obtenemos así dos puntos E y F( son precisamente la intersección del último arco con el arco verde)7. Ahora trazamos dos arcos, uno con centro F y radio FA y otro con centro E y radio EA.8. Obteniendo el punto intersección de dichos arcos, le llamamos O, que es el centro de la circunferencia pedida.

70. EL PRECIO DEL MÓVIL | A

Un distribuidor de teléfonos móviles había comprado 36 teléfonos iguales para su venta. Sabía que cada uno le había

costado menos de 100 €, pero al revisar la factura observó que sólo se veían las dos cifras centrales del total: *49* €. Ayúdale a obtener el precio de cada móvil, sabiendo que el precio es un número entero.

Solución


EL PRECIO DEL MÓVIL | A

Como el total debe ser múltiplo de 36, lo debe ser de 4 y de 9.Si representamos el total de la factura por x 49 y deberá cumplirse que :a) y es par (o si se quiere 90+y múltiplo de 4 => y =2 o y =6)b) x+4+9+y = múltiplo de 9, o bien x+y+4 = múltiplo de 9Analizando todas las posibilidades:

Y los únicos múltiplos de 4 (o de 36) son 3492 y 8496, pero3492/36 = 97€ .Por tanto la solución es 97 euros el móvil.

69. ¿ CUÁNTOS PALILLOS? | A

a) Se construye un primer cubo con palillos y luego se va formando una hilera de cubos como ves en la figura:

a1) ¿Cuántos palillos se han usado para construir cada una de las figuras?

a2) ¿Cuántos palillos habrá que usar para construir la hilera de 10 cubos?

a3) Si tenemos 500 palillos, ¿de cuántos cubos será la hilera más larga que se puede formar? ¿Cuántos palillos sobrarán?

b) Construimos ahora una hilera de cubos como la anterior pero con dos cubos de anchura.

¿ Cuántos palillos se necesitarán ahora para construir una hilera de longitud n?

Solución

Se puede obtener fácilmente el número de palillos correspondientes a 1, 2, 3,,,,, n figuras, son 12, 20, 28 y,..., 8n+4a2) para n = 10 habrá, por tanto 84 palillosa3) Como 500 = 8. 62 + 4, la hilera tendrá 62 cubos y no sobrará ningún palillob) Razonando del mismo modo que en el caso anterior podemos ontener una relaciónentre n y el número de paliillos, obteniendo el valor 13n+7

68. PIENSA UN NÚMERO | A

El número que estoy pensando es tal que si lo elevo al cuadrado, el resultado lo vuelvo a elevar al cuadrado y, finalmente,

este segundo resultado lo multiplico por el número original, obtengo un número de siete cifras acabado en 7. ¿ De qué

número se trata?

Solución

En realidad lo que nos dice el problema es encontrar un número tal que su quinta potencia es un número de siete cifras acabado en el dígito 7.Pero si elevamos un número a la quinta potencia el único número que verifica tal aseveración es aquel que tiene por dígito de las unidades el número 7.Y el único resultado que acabado en 7 y elevado a la quinta potencia da un resultado de siete cifras es 17.En efecto, 17.17.17.17.17=1.419.857Por tanto, el número buscado es 17.

67. LOS MÚLTIPLOS DE SEIS | B

Si hallamos el producto de todos los múltiplos positivos de 6 que son menores que 1.000 . ¿ Cuál será el número de ceros

con que termina este producto?.


con que termina este producto?.

Solución

El producto es

Es claro que el número de ceros con que termina N corresponde al número máximo de factores 10 que pueden formarse en la factorización de N , es decir al número de factores 5·2 que hay en N. Evidentemente el número de factores 2 en N es mucho mayor que el número de factores 5 en ese producto por lo que sólo debemos contar estos últimos. Pero en el factor

no existe ningún factor 5 , mientras que en el segundo factor, esto es en 1·2· ··· ·166 están los factores 5, 10, 15, ··· , 160, 165 . Si contamos en orden los factores 5 existentes (teniendo especial cuidado en alguno de ellos, nótese que 25 aporta dos factores, 125 aporta tres) obtenemos que

con M entero no divisible por 5 . Esto último implica que N termina con exactamente 40 ceros.

66. TRIÁNGULO DE NÚMEROS CONSECUTIVOS | B

Demostrar que existe uno y sólo un triángulo con longitudes de sus lados enteros consecutivos, y uno de sus ángulos el

doble del otro.

Solución

Supongamos el siguiente triángulo

Siendo A, B y C los ángulos correspondientes a los lados a, b y c respectivamente. Además suponemos que el ángulo A = 2B Para resolver el problema es conveniente conocer las relación que existe entre los lados del triángulo. Aplicando el teorema del seno, tenemos:

Desarrollando adecuadamente, a partir de las igualdades anteriores, y teniendo en cuenta el valor de sen2B y sen 3B, podemos llegar a obtener la siguiente condición:

Una vez obtenida esta relación, al ser a>b, tenemos varios casos a estudiar:

a) a>b>c , al ser números consecutivos b = a-1 y c = a-2 , introduciendo estos valores en la igualdad anterior llegamos a una ecuación de segundo grado

, que si resolvemos no nos da un número entero, por tanto este caso está descartado

b) a>c>b , al ser números enteros consecutivos c = a-1 y b = a-2 , realizando el mismo razonamiento que en el caso anterior llegamos a proponer la ecuación de segundo grado


, dando como solución válida , únicamente la b = 4, por tanto c= 5 y a = 6

c) c>a>b, al ser números enteros consecutivos c = a+1 y b = a-1 , razonando igual que en los pasos anteriores llegamos a la ecuación de segundo grado

que tiene como solución válida el caso a = 2, pero entonces c = 3 y b= 1 , lo que quiere decir que no existe tal triángulo. Resumiendo la única solución es b = 4, c= 5 y a = 6

65. LAS RAICES DEL POLINOMIO | B

Pruebe que el polinomio:

no puede tener todas sus raíces reales y positivas, cualquiera sea el número real a.

Solución

Si suponemos que el polinomio dado admite tres raíces reales y positivas r, s y t. A partir de las relaciones entre las raíces y los coeficientes de un polinomio, resulta que la suma de las mismas es 2 y su producto es 1/3. Ahora bien, sabemos que la media geométrica de tres números positivos no supera a su media aritmética, por lo tanto obtenemos.

Por lo tanto tenemos que

Si elevamos al cubo esta desigualdad resulta que 3 es mayor o igual que 27/8, lo que claramente es una contradicción. Esta contradicción viene impuesta por haber supuesto que existen tres raices reales positivas distintas.

64. LA FIESTA | B

En una fiesta de 20 personas hay exactamente 49 pares de personas que se conocían entre sí. Probar que alguna persona

conocía a lo sumo a 4 de los asistentes.

Solución

Hay varias maneras de resolver el problema, una de ellas es la siguientee:Designando a las personas por P1, P2, ..., P20, construimos una matriz de 20x20 según las siguientes reglas: si ij, en la posición (i , j) escribimos un uno si Pi conoce a Pj, y un cero en caso contrario. En las posiciones (i , i), colocamos un asterico.La hipótesis del problema asegura que en la matriz hay exactamente 49x2=98 unos, ya que si en la posición (i , j) hay un uno también lo habrá en la posición (j , i).Ahora bien, si en cada fila hubiera al menos 5 unos, el número total de unos sería al menos 100, ya que hay 20 filas. En consecuencia, en alguna fila hay a lo sumo 4 unos, esto es, alguna persona conocía a lo sumo 4 de los asistentes, como queríamos demostrar.

66. POLIGONOS SOBRE UNA HOJA | A

Marca 6 puntos no alineados en el plano. ¿Cuántos triángulos distintos puedes obtener uniendo 3 de esos puntos?, ¿cuántos

cuadriláteros uniendo 4 puntos?

Solución

Realmente este es un problema dificil y de investigación. La situación de los puntos determina la solución del problema. Si suponemos que los seis puntos cumplen la condición de que no hay tres cualesquiera de ellos situados sobre una misma recta, la solución es más fácil. Como sabemos, en este caso, coincide con la cantidad de ternas distintas que se pueden formar con los seis puntos tomados tres a tres, que no es ni más ni menos que elnúmero combinatorio:

. El caso de los cuatro puntos se resuelve por un razonamiento similar.

65. LA FAMILIA Y EL PAN | A


65. LA FAMILIA Y EL PAN | A

En una casa compran pan para 6 días. Sin embargo, esa semana tuvieron menos apetito de lo normal y ahorraron una

barra de pan diaria, por lo que tuvieron pan para 9 días. ¿Cuantas barras de pan compraron?.

Solución

Para resolver el problema hemos de tener en cuenta los siguientes pasos:1)Saber las barras de pan que ahorran.:2) Como la diferencia debida al ahorro es de 3 días, las barras de pan ahorradas se reparten entre 3 y así descubriré el consumo de pan diario.:3) Por último multiplicaré por 9, puesto que este es el número de días que estuvieron consumiendo pan.:EJECUCIÓN::6 días ahorrando 1 barra por día: 6 x 1 = 6. Ahorran 6 barras. 9-6=3. Por ahorrar una barra diaria tienen pan para 3 días más: Como 6:3 = 2. Consumen 2 barras diarias.:9x2=18. Así pues, compran 18 barras.:Como comprobación se puede ver que si no hubiesen ahorrado 1 barra por día, el consumo sería de 3 barras diarias: Por tanto también nos daría 3x6=18 panes

67. LOS AZULEJOS EN EL INSTITUTO | A

Este modelo está formado por azulejos blancos y negros. Su anchura es de 7 azulejos. En el patio de un instituto hay uno

como éste con una anchura de 149 azulejos. ¿Cuántos azulejos tendrá en total?. ¿Y si la anchura fuera de n azulejos?.

Solución

Este es un problema muy conocido y que suele aparecer de vez en cuando en libros relacionados con el tema que nos ocupa. .a) En el primer apartado nos piden que calculemos el número de azulejos totales, cuando la anchura es 7. Al no ser demasiados los podemos contar uno a uno, pero nos interesa utilizar algún método más inteligente. Si nos fijamos, el número total de azulejos es igual a : S = 1+3+5+7+5+3+1.Si nos damos cuenta la suma se compone de números impares. La suma S, también podemos ponerla de la siguiente manera: S =2(1+3+5)+7.Pero la suma consecutiva de números impares, comenzando desde el 1, coincide con un número cuadrado, como fácilmente se puede ver en el siguiente dibujo.

Por tanto S = 2(3.3)+7 = 25 azulejosb) Si la anchura es de 149 azulejos se puede razonar de una manera similar, para así obtener la siguiente suma: T = 2(1+3+5+...+147)+149 = 2(74.74)+149=11.101 azulejosc) Para generalizar el problema, únicamente tenemos que tener un poco de cuidado. La cantidad total de azulejos, en el caso de anchura n, suponemos naturalmente que n es un número impar(n =2m+1), será: M =2(1+3+5+....+2m-1)+2m+1 =...... haciendo cuentas y deshaciendo el cambio de variable , llegamos a que el número total de azulejos, en el caso de n azulejos de anchura, es igual a :

62. LA COMPETICIÓN | B

Tres deportistas disputan entre sí una serie de pruebas atléticas, hasta que alguno de los participantes obtenga 3 triunfos.

Se dará entonces por finalizada la competición y se lo declarará ganador. ¿Cuál es el número más probable de pruebas a realizarse?

Solución

Evidentemente deberán realizarse por lo menos 3 pruebas y a lo sumo 7.Habrá que calcular entonces la probabilidad de que la prueba se decida en x pruebas para cada valor de x entre 3 y 7. Para posteriormente ver cuál es valor mayor.El caso x =3 es el más sencillo de todos. La única posibilidad es que alguno de los participantes gane sucesivamente las tres. Puesto que la


El caso x =3 es el más sencillo de todos. La única posibilidad es que alguno de los participantes gane sucesivamente las tres. Puesto que la probabilidad de ganar cada prueba es 1/3 y el atleta que puede ganar es cualquiera de los tres, resulta que la probabilidad de que la competencia se decida en el tercer evento es 3.(1/3)(1/3)(1/3)= 1/9. En los restantes casos el estudio es algo más difícil. Resolveremos con detalle el caso x =5. Se presentan dos subcasos, a saber: 1) Un participante (A) gana tres pruebas y otro (B) gana las dos restantes. El número de situaciones posibles para la elección de ambos atletas es entonces 6, ya que hay 3 formas de elegir A y dos de elegir B. Debemos ahora analizar las posibles secuencias en que se obtienen los triunfos. Es claro que la última prueba debe ganarla A. En cuanto a las cuatro primeras, dos gana A y otras dos B, en cualquier orden. Deberemos considerar entonces las permutaciones con repetición de los 4 símbolos AABB, cuyo número total es 6. Tenemos entonces 6x6 = 36 posibles formas. 2)Un participante (A) gana tres pruebas y los dos restantes (B y C) una cada una. Aquí la elección de los atletas se puede hacer de 3 maneras, pues sólo hay que elegir A. En cuanto a las posibles secuencias, nuevamente la última prueba debe ganarla A, y para las cuatro primeras debemos considerar todas las ordenaciones de los símbolos AABC, cuyo número total es 12. Tenemos entonces 3x12 = 36 posibles formas. Luego hay 36+36 = 72 formas de que la prueba se decida en 5 pruebas, ya que los casos 1 y 2 son mutuamente excluyentes. En consecuencia (teniendo en cuenta que cada prueba es independiente de la anterior), la probabilidad de este suceso es 72.(1/3). (1/3).( 1/3).( 1/3).(1/3)=8/27 . Argumentando en forma similar, resulta que los respectivos valores de la probabilidad para los sucesivos valores de x son 1/9, 2/9, 8/27, 20/81 y 10/81, siendo 8/27 el mayor de ellos . En definitiva, el número de pruebas más probable a realizarse es 5. Este problema se propuso en el V Certamen el Número de Oro.( 1997). Argentina

63. ¿CUÁL ES MAYOR? | B

Si n es un número natural mayor que 3. ¿ cuál de los dos números es más grande:

ln(n).ln(n) ó ln(n-1).ln(n+1)?

Solución

Al ser n mayor o igual que 3, las dos cantidades ln(n-1) y ln(n+1) son positivas. Sabiendo que la media geométrica entre dos números positivos y distintos es menor que su media aritmética, obtenemos:

Elevando al cuadrado concluimos que:

63. LA DESIGUALDAD | A

Demostrar que si a.b>0, entonces se cumple:

Solución

Demostrar esta desigualdad es equivalente a demostrar que

Ahora bien realizando operaciones tenemos:

64. LOS RECTÁNGULOS EN EL AJEDREZ | A

¿Cuántos rectángulos de lados paralelos a los lados del tablero hay en el tablero de ajedrez?.

Solución


Solución

Hay varias maneras de resolver el problema, una de ellas es contando todos los rectángulos( incluyendo los cuadrados), primero los de 1x1, luego los de 1x2,...hay que ser organizado y armarse de paciencia. Otra manera, es la siguiente: cada rectángulo está definido por dos rectas paralelas verticales y dos rectas paralelas horizontales. Esta reflexión nos lleva a saber de cuántas formas se pueden dibujar dos rectas paralelas entre las nueve posibles( ya que también hay que contar los bordes), como sabemos ésto es ni más ni menos que un número combinatorio, en particular es el número 9 tomado en grupo de a 2. Y naturalmente lo mismo para las dos rectas paralelas verticales. Por tanto el número total es :

61. LA ALABARDA | B

Durante la guerra 1914-18 fue descubierta una tumba de un soldado francés muerto el último día de un mes durante otra

guerra en Italia. La alabarda del soldado francés se encontraba a su lado. El producto del día del mes inscrito en su lápida

por la longitud en pies de la alabarda, por la mitad de los años transcurridos entre la muerte del soldado y el

descubrimiento de su tumba, y finalmente por la mitad de la edad del comandante francés de la expedición en que murió el

soldado, es igual a 451.066.

¿ Cómo se llamaba el comandante francés?

Solución

Si descomponemos el número 451.066 en factores primos nos encontramos con:451.066=2.7.11.29.101El último día del mes ha de ser forzosamente el 29, por tanto estamos hablando de un mes de febreo de 29 días.La longitud de la alabarda ha de ser forzosamente igual a 7 pies; nos quedan por emplear tres factores: 2, 11 y 101. Son por tanto posibles dos soluciones: o bien 101 o 202, es la mitad de los años transcurridos entre la muerte del soldado y el descubrimiento de la tumba. Pero entre 1712 y 1716, por una parte la alabarda ya no se utilizaba y por otra no hubo intervenciones francesas fuera de Francia. Así, 202 es la mitad del número de años transcurridos, siendo entonces la edad del comandante 22 años.El año 1512 tuvo lugar la batalla de Rávena entre españoles y franceses, siendo mandadas las tropas francesas por el comandante francés Gastón de Foix, nacido en 1489.

Gaston de Foix

Para resolverlo es conveniente utilzar algún buscador en Internet

60. LAS TORRES DE HANOI | B

Se dispone de un tablero sobre el que hay clavadas tres clavijas verticales; disponemos de un número n de discos, cada

uno de distinto tamaño y supongamos ordenados de mayor a menor diámetro. En un principio están todos colocados sobre

una de las clavijas, tal y como indica la figura.

Calcula en función del número de discos n, los movimientos necesarios para trasladar dicha torre de discos a otra de las dos

clavijas, atendiendo a las reglas siguientes:1) En cada movimiento sólo se puede transportar un disco.

2) Sobre un disco no se puede colocar otro de mayor tamaño.

Solución

Hay infinidad de páginas en INTERNET dedicadas a explicar la solución de este famoso juego. Entre todas ellas te

recomendamos las siguientes:

http://descartes.cnice.mecd.es/taller_de_matematicas/rompecabezas/TorresHanoi.htm




http://www.psicoactiva.com/juegos/hanoi/jg_hanoi.htm

http://www.unizar.es/acz/11Responsables/torres/AppletTorre.html

NÚMERO DE MOVIMIENTOS EN FUNCIÓN DEL NÚMERO DE DISCOS

De ahora en adelante, llamaremos mk al número de movimentos mínimos necesarios para pasar k discos de la torre

"IZQUIERDA" a la torre "DERECHA". Así tenemos que:m1 = 1, m2 = 3, m3 = 7, m4 = 15, m5 = 31

mk = 2*mk-1 + 1. Por ejemplo: m5 = 2*m4 + 1. Si hemos trabajado suficientemente con la escena y hemos

pensado cómo conseguimos pasar los discos a la torre de la derecha, nos habremos dado cuenta que, utilizando

como ejemplo 4 discos: primero pasamos los tres de arriba a la torre "CENTRO" utilizando para ello 7 movimientos

(m3); luego pasamos el disco mayor a la torre "DERECHA", 1 movimiento; por último pasamos los tres discos de "CENTRO" mediante 7 movimientos (m3). En total, para 4 discos, hemos necesitado: m3 + 1 + m3 = 2*m3 + 1 = m4.

mk = 2k - 1. Si se conoce el método de inducción, puede hacerse una demostración fácil de esta fórmula utilizando

la fórmula anterior.

Es fácil observar un par de cosas:

Ya tenemos una fórmula que nos permite calcular el número de movimientos necesarios para trasladar todos los discos

desde la torre "IZQUIERDA" a la torre "DERECHA". Vamos a utilizarla para averiguar cuanto queda hasta el final de los

tiempos según la leyenda de la Torres de Hanoi.Como son 64 discos, el número de movimientos es 264 - 1 = 18446744073709551615. Si suponemos que los monjes

tienen la suficiente habilidad como para hacer un movimiento en un segundo, en un día harán 60*60*24 movimientos. Y en un año de 365 días: 60*60*24*365. Dividimos el número de movimientos por el resultado de la operación anterior y nos

debe dar, aproximadamente, medio billón de años. Sólo falta averiguar cuantos años se estiman que el hombre lleva sobre

la tierra y sabremos el tiempo que le queda sobre ella.

62. EL PARTIDO DE FÚTBOL | A

Al acabar un partido de fútbol su resultado es de 4-3, ¿ cuál fue el resultado del descanso? .

Solución

Es claro que el problema no tiene una única solución. De hecho pueden ser muchas las opciones. El resultado del descanso

puede ser ( 0, 0);(0,1);(0,2);(0,3);(1,0),......(4,2) y (4,3). En total hay 20 soluciones posibles.

61. LAS DIFERENTES PESAS | A

Disponemos de una balanza con dos platos y un juego de pesas que permiten pesar objetos de 1 a 1000 gramos, gramo a

gramo. Si el juego de pesas contiene el número mínimo para poder realizar esta operación. Nos preguntamos:¿cuántas

pesas son necesarias y cuál es el valor de cada pesa?

Solución

Es un problema muy interesante pues requiere varios ensayos. La respuesta es 7 pesas que se corresponden con las potencias de 3, es decir, 1, 3, 9, 27 ,81, 243 y 729

60. LA VELOCIDAD MEDIA | A

Amaia dio una vuelta a una manzana de base cuadrada: Por el primer lado caminó a 4 km/h, por el siguiente caminó a 5

km/h, por el tercero trotó a 10 km/h y por el cuarto corrió a 20 km/h. ¿Cuál fue la velocidad promedio de la vuelta

completa?

Solución

Este es un problema típico, y que muchas personas lo resuelven mal, suelen realizar un promedio entre el espacio recorrido y la suma de velocidades.Con un poco de orden se puede llegar fácilmente a la solución.La clave del problema está en aplicar reiteradamente la ecuación: e = v.t ( e = espacio, v = velocidad, t = tiempo)

Si llamamos x a la longitud del lado del cuadrado, podemos poner, por tramos:

Como el tiempo total es la suma de los tiempos parciales, se verifica:



http://www.psicoactiva.com/juegos/hanoi/jg_hanoi.htm

http://www.unizar.es/acz/11Responsables/torres/AppletTorre.html

Como el tiempo total es la suma de los tiempos parciales, se verifica:

Por tanto la velocidad media, en kilómetros por hora , es igual a:

59. ENCONTRAR PRIMOS | B

Determinar todos los naturales, p primos, tales que:

Solución

59. LA BARCA | A

Para subir una barca por la playa se hace avanzar sobre varios rodillos cilíndricos iguales y cuya circunferencia mide 75 cm.

¿ Qué distancia recorrerá la barca cada vez que los rodillos den exactamente una vuelta?

Solución

58. UN ACERTIJO NUMÉRICO | B

Este es un problema original del gran mago de las diversiones matemáticas Joseph S. Madachy. Dice lo siguiente: Hallar las

dos soluciones del siguinente enigma numérico, una para la suma y otra para la resta.

Solución

57. EL POLIGONO REGULAR DE GAUSS | B

Es claro que F. Gauss era un genio en varias disciplinas, pero no se decidió por las matemáticas hasta el 30 de marzo de

1796 , porque ese mismo día, cuando le faltaba aún un mes para cumplir los diecinueve años, hizo un brillante

descubrimiento. Desde hacía más de 2000 años, se sabía como construir con regla y compás el triángulo equilátero, el

cuadrado y el pentágono regular (así como algunos otros polígonos regulares cuyos números de lados son múltiplos de dos,

de tres o de cinco), pero ningún otro polígono regular con un número primo de lados. Ese día en cuestión Gauss halló un

método para construir un polígono regular de 17 lados con ayuda de regla y compás, e incluso fue más allá, demostrando que sólo ciertos polígonos regulares se podían construir con ayuda de regla y compás. Su método, básicamente, fue el

siguiente:

Método de Gauss(1796), simplificada por H.W. Richmond(1893)

1. Se construye la circunferencia con centro en O. Se dibujan los diámetros perpendiculares AB y CD

2. Se obtiene un punto P, sobre el radio OC, tal que el segmento OP es la cuarta parte de OC

3. Se obtiene el punto E, sobre OA, tal que el ángulo OPE es la cuarta parte del ángulo OPA ( hay que bisectar dos veces un

ángulo)4. Se obtiene un punto G, sobre AB, tal que el ángulo APG sea de 45º ( se puede hacer bisectando un ángulo recto)

5. Se obtiene F, mitad del segmento GA, se dibuja la circunferencia con centro f y radio FA. Esta circunferencia corta al

radio OC en el punto H.

6. Se dibuja la circunferencia con centro E y radio EH, dicha circunferencia corta a AB en dos puntos: M y F ( además pasa

por el punto F)7. Se levantan perpendiculares a AB, pasando por M y F , que cortan a la circunferencia en R y S.

8. La mitad del arco RS, nos da un punto T. El segmento RT es el lado del polígono regular de 17 lados.


8. La mitad del arco RS, nos da un punto T. El segmento RT es el lado del polígono regular de 17 lados.

Trata de entender el dibujo e investiga este problema y sus consecuencias

Solución

58. MÁS SOBRE EL DOMINÓ | A

Como sabes un dominó convencional tiene 28 fichas.Trata de encontrar un método rápido para sumar el valor de todos los

puntos en el dominó completo.

Solución

57. LOS RELOJES DE ARENA | A

Disponemos de dos relojes de arena, uno de ellos puede medir exactamente 4 minutos y el otro 7 minutos. Nos disponemos

a hervir un huevo que tiene que estar hirviendo exactamente 10 minutos.¿ cómo podemos medir el tiempo, empleando

únicamente los dos relojes de arena?

Solución

55. EL DOMINÓ INCOMPLETO | A

Un dominó completo habitual consta de una serie de fichas, desde la 0-0 hasta el 6-6.

a) ¿ Cuántas fichas tiene el dominó?.

Ahora, del dominó quitamos todas las fichas en las que aparece un 6, un 5 y un 4, así nos queda otro dominó completo de

10 fichas, desde la 0-0 hasta el 3-3. Si nos proponemos colocar éstas 10 fichas según las reglas del juego.b) ¿El dominó quedará cerrado?

Solución

56: LAS DOS BOLAS | B

La probabildad casi siempre nos muestra sorpresas inesperadas, o cuanto menos difíciles de asimilar por el sentido común.

Trata de resolver la siguiente situación.

Una saco contiene una bola que puede ser blanca o negra. Ahora añadimos una nueva bola blanca y agitamos el saco,

posteriormente extraemos una bola y resulta ser blanca. Sin devolver la bola al saco ¿ cuál es la probabilidad de sacar una

bola de color blanco?.

Solución

55. LA SERIE ARMONICA | B

Esta es una de las desigualdades numéricas más importantes, con la cual se puede demostrar la divergencia de la famosa

serie armónica.


Se trata de demostrar la siguiente desigualdad

Solución

56. LOS GRIFOS | A

Un depósito puede llenarse de agua con dos grifos. Si el primero se abre 10 minutos y el segundo, 20 minutos, el depósito

se llenará. Mientras que si el primer grifo se abre durante 5 minutos y el segundo durante 15 minutos el depósito se llenará hasta los 3/5. ¿ cuánto tiempo, por separado, tardará cada grifo en llenar el depósito?

Solución

53. DESCOMPONER EN CUATRO CUADRADOS | A

Toma una calculadora y trata de descomponer el número 13.411 como suma de cuatro cuadrados.

Este problema tiene más de una solución

Solución

54. LOS GORROS | A

El director de una prisión llama a tres de sus presos, les enseña tres gorros blancos y dos gorros negros, y les dice: «Voy a

colocar a cada uno de ustedes un gorro en la cabeza, el primero de ustedes que me indique el color de su gorro será puesto

en libertad». Si los presos están en fila, de manera que el primero no puede ver los gorros de los otros dos, el segundo ve el gorro del primero y el tercero ve los gorros de los otros dos. Trata de razonar qué pudo pasar

Naturalmente consideramos que los tres presos razonan bien.

Solución

54. LA PROBABILIDAD DE QUE SEA UN TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO | B

En un plano se toman tres puntos al azar. Calcular la probabilidad de que sean los vértices de un triángulo obtusángulo.

Solución

53. EL SEGMENTO SOBRE EL TRIÁNGULO | B

Dado un triángulo, trazar una recta paralela a la base del triángulo de tal manera que las longitudes de los segmentos de

los lados interceptados entre ésta y la base sean, sumadas, iguales a la longitud de la base.

Por tanto se ha cumplir que : BD+CE=BC

Solución

52. El TRIANGULO Y LOS CIRCULOS | B

Demostrar que en todo triángulo rectángulo se cumple que la suma de los catetos es igual a la suma de los diámetros de los

círculos inscrito y circunscrito.

Solución

51. UN BARCO POR EL NILO | B

Un barco recorre la distancia entre dos ciudades costeras del Nilo en dos días. En el viaje de regreso tarda tres

días.Determina el tiempo que tardará una balsa de juncos que flota en el río en llegar de una ciudad a la otra.

Solución


Solución

52. EL MENOR NÚMERO | A

¿Cuál es el menor número que, dividido por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 da respectivamente los restos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8?

Solución

51. LOS CAPICÚAS DE LA LOTERíA | A

Los sorteos de lotería se componen de 100.000 billetes numerados del 00000 al 99999.

a) ¿Cuántos capicúas tendrá el sorteo? .

b) ¿Cuáles serán los que están más cerca entre sí? .

c) ¿Cuáles serán los que están más separados entre sí? .

d) ¿Cuál será la cantidad mínima de billetes ordenados que pueden albergar tres capicúas?.

e) ¿Cuál es la cantidad mínima de billetes que tenemos que comprar para estar seguros de que compramos tres capicúas? .

Solución

50. PROBLEMA COMBINATORIO DE L. EULER | B

Este es un problema muy conocido sobre la teoría combinatoria y la teoría de la probabilidad. Su autor fue el gran

matemático L. Euler.Tomamos n tarjetas numeradas correlativamente del 1 al n. Se toman tres tarjetas al azar.

A) Calcular la probabilidad de que resulten extraidas tres tarjetas consecutivas.

B) Calcular la probabilidad de que resulten extraidas dos tarjetas consecutivas, pero no tres.

C) Probabildad de no obtener dos tarjetas consecutivas

Solución

49. EL PROBLEMA DE A. EINSTEIN | A

Problema propuesto por A.Einstein y traducido a varios idiomas conservando su lógica. Einstein aseguraba que el 98% de la

población mundial sería incapaz de resolverlo. Condiciones iniciales:

- Tenemos cinco casas, cada una de un color.

- Cada casa tiene un dueño de nacionalidad diferente.

- Los 5 dueños beben una bebida diferente, fuman marca diferente y tienen mascota diferente.

- Ningún dueño tiene la misma mascota, fuma la misma marca o bebe el mismo tipo de bebida que otro.

Datos:

1. El noruego vive en la primera casa, junto a la casa azul.

2. El que vive en la casa del centro toma leche.

3. El inglés vive en la casa roja.

4. La mascota del Sueco es un perro.

5. El Danés bebe té.

6. La casa verde es la inmediata de la izquierda de la casa blanca.

7. El de la casa verde toma café.

8. El que fuma PallMall cría pájaros.

9. El de la casa amarilla fuma Dunhill.

10. El que fuma Blend vive junto al que tiene gatos.

11. El que tiene caballos vive junto al que fuma Dunhill.

12. El que fuma BlueMaster bebe cerveza.

13. El alemán fuma Prince.

14. El que fuma Blend tiene un vecino que bebe agua.

¿Quién tiene peces por mascota?

Solución

49. PROBLEMA DE B.PASCAL Y P. FERMAT | B

Este es uno de los famosos problemas relativos al nacimiento de la probabilidad y en el que estuvieron involucrados dos

grandes matemáticos franceses.Se lanzan n veces dos dados cúbicos.

A) Calcular la probabilidad de obtener el seis en los dos dados al menos una vez.

B) Calcular el número de veces que es preciso lanzar los dados para apostar con ventaja al suceso de obtención del seis en

los dos dados.

Solución

50. EL PRECIO DE LOS SELLOS | A

Por la venta de una partida de sellos un señor obtiene 603, 77 euros. El precio de cada sello fue inferior a 2 euros( 200

céntimos). ¿Cuántos sellos vendió?


Solución

48.LA BOLA DESIGUAL | A

Un joyero está realizando pequeñas bolitas de oro, todas ellas de igual peso y tamaño. Sin querer ha empleado en una de

las bolitas algo más oro que en las otras, por tanto pesa un poco más.

Resulta que dicha bola se ha mezclado entre las bolitas iguales y así tenemos un conjunto de 200 bolitas aparentemente

iguales pero una de ellas con algo más peso que las demás.Si disponemos de una balanza de dos platillos, ¿ en cuántas pesadas podría encontrarse la bolita más pesada?

Solución

47. El VIERNES Y 13 | A

¿Cuántos viernes y 13 puede haber en un año? ¿Cuál es el menor número posible de viernes?

Solución

48. El CUADRADO DE UN NÚMERO RACIONAL | B

Probar que si m, n y p son tres números racionales cualesquiera distintos, la siguiente cantidad es siempre el cuadrado de

un número racional:

Solución

47. El TRIÁNGULO RECTÁNGULO | B

Demostrar que en todo triángulo rectángulo se verifican las siguientes desigualdades

dónde r es el radio de la circunferencia inscrita al triángulo y h , la altura correspondiente a la hipotenusa.

ESTE PROBLEMA PERTENECE AL CONCURSO DE RETOS DEL VERANO.

LAS SOLUCIONES AL MISMO SE PUEDEN REMITIR,

hasta el día 10 de Septiembre de 2005, A LA SIGUIENTE DIRECCIÓN:

[email protected]

!! ANIMO!!

Solución

45. LAS TANGENTES | B

En la figura aparecen dos circunferencias, sus dos tangentes exteriores y una tangente interior. Demostrar que,

independiente del radio de las circunferencias o las distancia entre sus centros, siempre EF = GH?

Quiero agradecer a mi amigo y compañero Fernando Fouz el haberme propuesto este problema

Solución

46. DISPAROS SOBRE LA ESFERA | B

Una pequeña esfera rota sobre su eje a gran velocidad. Tres tiradores expertos disparan sobre ella e impactan sobre su

superficie dejando tres pequeñas señales.¿ Cuál es la probabilidad de que los tres puntos de impacto se encuentren en el mismo hemisferio?

Ojo, ten cuidado que no se habla de hemisferio norte ni hemisferio sur.


Ojo, ten cuidado que no se habla de hemisferio norte ni hemisferio sur.

Solución

46. EL ROSETÓN | A

La vidriera de la fachada principal de una iglesia contiene un rosetón como el de la figura.

Sabiendo que el radio de la circunferencia pequeña es de 20 cms ¿qué se ha utilizado más cristal azul o verde?

Solución

45. LA ESCALERA NUMÉRICA | A

Se disponen los números pares de la siguiente manera:

20 12 18 6 10 162 4 8 14

Como puedes ver forman una escalera numérica. En el primer escalón hay únicamente un número, en el segundo escalón

dos números, etc. Si seguimos construyendo escalones.a) ¿Qué número está en el peldaño superior del vigésimo(20º) escalón?

b) ¿ En qué escalón está el número 2006? ¿ sabrías exactamente en qué peldaño?

Solución

44. EL GRAN CUBO | B

Se dispone de 27 ladrillos de 5 x 10 x 20 (cm) y con ellos se quiere formar un cubo de 30 cm de arista. ¿Es posible?

Desde DivulgaMAT agradecemos a D.Francisco J. Gálvez Martínez el haber propuesto este problema.

Solución

43. El DUELO | B

En plena Revolución francesa dos oficiales se retan a un duelo de pistola. Ellos no son grandes tiradores, de hecho

únicamente aciertan la mitad de sus disparos. Realizan un sorteo para ver quién de los dos dispara primero sobre el otro y luego van disparando de forma alternativa el uno sobre el otro.¿ Cuál es la probabilidad a favor del que dispara en primer

lugar?.

Solución

44. LA COMPETICIÓN DE ATLETISMO | A

Eduardo, Mikel e Iñigo organizaron varias carreras de atletismo entre ellos, de manera que se dan un número determinado

de puntos por llegar el primero (p), segundo (s) o tercero (t), siendo p>s>t>0. Al final de las carreras Eduardo tenía 20

puntos, Mikel 9 e Iñigo 10. La primera prueba la ganó Iñigo.

a) ¿Cuántas carreras se disputaron?

b) Determina los puntos que le correspondían al primero, al segundo y al tercer clasificado.

Solución

43. EL LIENZO | A

Ion ha decidido crear una obra de arte matemática. Para ello divide un lienzo de 1 metro cuadrado en 9 cuadrados iguales y

pinta el cuadrado central de rojo.Luego divide cada uno de los 8 cuadrados restantes en otros nueve cuadrados iguales y pinta el cuadrado central de azul.


Vuelve a dividir cada uno de los cuadrados restantes en otros 9 cuadraditos y pinta el cuadradito central de amarillo.

Continúa este proceso usando un color diferente para cada nuevo conjunto de cuadrados centrales hasta que más de la mitad de la superficie total del lienzo ha sido pintada con pintura.

¿Cuántos colores diferentes ha usado Ion y cuántos cuadrados centrales ha pintado?

Solución

42. EL CUADRADO(Concurso de Problemas) | B

En un cuadrado de vértices ABCD se elige un punto interior ―P‖ de forma que dista 1, 2 y 3, respectivamente de los vértices

A, B y C ¿Cuánto mide el ángulo APB?

CONCURSO DE PROBLEMAS

HA PASADO CASI UN AÑO DESDE QUE ESTA SECCIÓN COMENZÓ A CAMINAR. LA COMISIÓN DE DivulgaMAT QUIERE

ANIMAROS A PARTICIPAR EN EL " CONCURSO DE PROBLEMAS". DE MOMENTO OS PLANTEAMOS DOS RETOS

MATEMATICOS( Uno de nivel A y el otro de Nivel B). PODEÍS MANDAR VUESTRAS SOLUCCIONES A LA SIGUIENTE

DIRECCIÓN:

[email protected]

SE ADMITIRÁN LAS SOLUCCIONES HASTA EL DÍA 15 de MAYO de 2005

ENTRE TODAS LAS PERSONAS QUE RESUELVAN BIEN DICHOS RETOS(SE VALORARÁ LA ORIGINALIDAD, ELEGANCIA Y

PLANTEAMIENTO DE LA SOLUCCIÓN) SE SORTEARÁN DOS LIBROS SOBRE DIVULGACIÓN MATEMÁTICA.! ÁNIMO!

Solución

42.EL CONGRESO INTERNACIONAL( Concurso de problemas) | A

A un Congreso Internacional asisten 1000 delegados de diversos países. Cada uno de ellos habla varios idiomas. Se sabe

que si formamos grupos, cualesquiera, de tres delegados entre ellos se pueden entender(uno de ellos hace eventualmente

de interprete de los otros dos).Demostrar que se pueden alojar a los mil delegados en habitaciones de dos personas, de manera que entre ellas se

comuniquen.

Si en vez de 1000 personas hay 5000 personas. ¿ Se podría demostrar?

CONCURSO DE PROBLEMAS

HA PASADO CASI UN AÑO DESDE QUE ESTA SECCIÓN COMENZÓ A CAMINAR. LA COMISIÓN DE DivulgaMAT QUIERE

ANIMAROS A PARTICIPAR EN EL " CONCURSO DE PROBLEMAS". DE MOMENTO OS PLANTEAMOS DOS RETOS MATEMATICOS( Uno de nivel A y el otro de Nivel B). PODEÍS MANDAR VUESTRAS SOLUCCIONES A LA SIGUIENTE

DIRECCIÓN:[email protected]

SE ADMITIRÁN LAS SOLUCCIONES HASTA EL DÍA 15 de MAYO de 2005

ENTRE TODAS LAS PERSONAS QUE RESUELVAN BIEN DICHOS RETOS(SE VALORARÁ LA ORIGINALIDAD, ELEGANCIA Y

PLANTEAMIENTO DE LA SOLUCCIÓN) SE SORTEARÁN DOS LIBROS SOBRE DIVULGACIÓN MATEMÁTICA.


PLANTEAMIENTO DE LA SOLUCCIÓN) SE SORTEARÁN DOS LIBROS SOBRE DIVULGACIÓN MATEMÁTICA.

! ÁNIMO!

Solución

41. Dividiendo el triángulo por la mitad | B

Sea un triángulo ABC y un punto P situado sobre uno de los lados ( por ejemplo el lado BC), construir una recta que pase

por P y divida el área del triángulo en dos regiones de igual superficie

Solución

40.El teorema de Sophie Germain | B

La matemática francesa Sophie Germain , se preocupó por investigar resultados relativos a la teoría de números. En

particular demostró, por un procedimiento sencillo que : para cualquier número natural a (mayor que 1) la expresión:

. es siempre un número compuesto.

¿Sabrías demostrarlo?

Solución

41. Los cien divisores | A

Hallar el menor número natural que tiene exactamente cien divisores (contados él mismo y la unidad)

Solución

40. El torneo de ajedrez | A

En un torneo de ajedrez participaron 30 concursantes que fueron divididos, de acuerdo con su categoría, en dos grupos. En

cada grupo los participantes jugaron una partida contra todos los demás. En total se jugaron 87 partidas más en el segundo

grupo que en el primero. El ganador del primer grupo no perdió ninguna partida y totalizó 7'5 puntos.¿En cuántas partidas

hizo tablas el ganador?

En el juego del ajedrez la partida perdida cuenta como cero puntos, la ganada por un punto y las tablas por medio punto

Solución

39.LOS NÚMEROS ENLAZADOS | A

Si observas los números 96 y 46 tienen una curiosa propiedad:

96.46=4.416=64.69

Trata de encontrar otros números de dos cifras con idéntica propiedad.

Solución

38. LOS APRETONES DE MANOS | A

Todas las personas que asistieron a una reunión se estrecharon la mano. Una de ellas se dio cuenta que el número total de

apretones de manos fueron 45. ¿Cuántas personas acudieron a dicha reunión?

Solución

39. GENERANDO NÚMEROS | B

Con los números 2 y 5, y la operación suma obtenemos otros números(se pueden repetir dichos números tantas veces

como se quiera).

Ejemplos:

7 = 2+5

4 = 2+2

23 = 2+7+7+7

a)¿ Qué números naturales pueden obtenerse y cuáles no?. ¿ cuál es el mayor número natural que no se puede obtener?

b)Investiga qué pasa si ahora partimos del 4 y el 9

c)Investiga con otros dos números( pares, impares, primos, primos entre sí, etc)

d)Ahora realiza la investigación con tres números ( por ejemplo parte de 6, 8, 11)

Solución

38. LOS CUATRO NÚMEROS SEGUIDOS | B

Toma cuatro números naturales consecutivos y multiplícalos, ¿ Qué observas?

1.2.3.4 = 24 = 25 - 1

2.3.4.5 = 120 = 121 - 1

3.4.5.6 = 360 = 361 - 1

Serías capaz de realizar una conjetura. ¿ Y probarla?


.

Solución

37. El lado de un triángulo (B) | B

Dados dos lados b y c de un triángulo y su área

.

Hallar el tercer lado del triángulo.

Solución

36. La cifra borrosa (A) | A

Al hacer el siguiente producto:

15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2

y tomar nota del resultado: 1 3 0 7 * 7 4 3 6 8 0 0 0 una de las cifras (la 5ª) quedó borrosa y no sabemos exactamente

cuál es. ¿Podrías averiguarla, sin necesidad de repetir la operación, ni de utilizar una calculadora?

Solución

36.Las manecillas del reloj (B) | B

En un reloj de pared dan las 4 en punto. ¿ Cuánto tiempo, exacto, tardará la manecilla grande en alcanzar a la manecilla

pequeña?

Es un típico problema de relojes, la mayoría de estos problemas se resuelven por un procedimiento similar al siguiente:

En un minuto la aguja grande ( el minutero) habrá avanzado 6 grados, mientras que la aguja pequeña ( la horaria) sólo

habrá recorrido medio grado.

Además, a las cuatro en punto el ángulo entre las dos agujas es de 120 grados. Sabemos también que las agujas durante x

minutos habrán girado respectivamente:6x grados y 0,5 grados. Por hipótesis se verifica que: 6x-0,5 = 120, resolviendo la ecuación de primer grado obtenemos la

solución x = 21 minutos y 9/ 11 de minuto. Solución

37. Las esferas pintadas (A) | A

Un vendedor de billares tiene como insignia de su negocio dos esferas desiguales, sólidas y hechas de la misma madera. La

mayor pesa 27 kg y la pequeña 8 kg.El comerciante se propone volver a pintar las insignias. Con 900 gramos de pintura pinta la esfera mayor. ¿Cuántos gramos

necesitará para pintar la pequeña? (La cantidad de pintura necesaria es proporcional a la superficie que hay que pintar)

Solución

35. El sistema homogéneo(B) | B

Demostrar que si :

Entonces se verifica que :

Solución

Ordenando por peso | A

Queremos ordenar cinco objetos, todos con pesos distintos, deben ordenarse por pesos crecientes. Se dispone de una

balanza, pero no de pesas. ¿Cómo se pueden ordenar los objetos correctamente con no más de siete pesadas separadas?

Nota: a) Dos objetos se ordenan por peso con una sola pesada.

b) Tres objetos requieren tres pesadas. La primera determina que A es más pesado que B. Pesamos después B contra C. Si

B es más pesado, hemos resuelto el problema en dos pesadas, pero si C es más pesado, se necesita una tercera pesada para comparar C con A.Solución

Teorema de Ptolomeo | B


Si el cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia entonces la suma de los productos de lados opuestos es igual al

producto de las diagonales:AB. CD+ AD. BC=AC. BD

Solución

El ABC de los criptogramas. | A

Sabiendo que :

Hallar el valor de cada letra para que se verifique la igualdad, si cada una de ellas corresponde a un dígito entre el 0 y el 9.

Solución

La vasija | A

Disponemos únicamente de una vasija de 8 litros llena de agua y de dos recipientes vacíos de 5 y 3 litros.

¿Cómo podemos conseguir exactamente 4 litros en uno de los recipientes?

Solución

Más sobre números primos | B

Demuestra que, si

es primo, también lo es n.

Solución

Sobre números primos | B

Demuestra que hay infinitos números primos de la forma 6k-1

Notas:

a)trata primero de demostrar que todo número primo mayor que 3 es de la forma 6k+1 o 6k-1

b) realiza la demostración suponiendo que el número de primos de la forma 6k-1 es finito

Solución

Los números primos | A

Cuatro números primos se escriben de la siguiente manera:

AA ; BAB ; BACD ; AAAC

Sabiendo que cada letra representa una cifra y que letras iguales corresponden a cifras iguales, ¿cuáles son esos números?

Solución

La regla de cuadrados | A

En esta serie hemos ido dibujando varias figuras Encontrar una regla que indique cómo se pasa de una figura a la siguiente.

Después de 20 pasos ¿cuántos cuadraditos contendrá la figura?

Solución

La circunferencia y el triángulo | A


La circunferencia y el triángulo | A

Calcular el radio de la circunferencia sabiendo que AB=BC= 50 cm. y AC= 60 cm

Solución

El juego de bolas | B

Hay 15 bolas dispuestas en tres filas, tal como muestra la figura. Hay dos jugadores. El juego consiste en tomar

alternativamente cada jugador las bolas que quiera , pero correspondientes solamente a una fila. El que se lleve la última

bola pierde. ¿Cuál es la estrategia ganadora?

( Nota: en la disposición cada número nos indica una bola y su situación )

Solución

La serie | B

Calcular la suma de la siguiente serie alternada:

Solución

Circunferencias tangentes | A

En la figura adjunta el radio de las circunferencias pequeñas es de 5 cm. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia grande?

¿Cuánto mide el área sombreada?

Solución

Las circunferencias | B

Dado el triángulo ABC , dibujar con regla y compás la circunferencia inscrita y la circunscrita a dicho triángulo, tal como se

muestra en el dibujo. ¿ Puedes identificar el centro de cada una de las circunferencias? ¿ Qué propiedades tiene dicho

centro?


Solución

Pintando el cubo | B

Disponemos de 27 pequeños cubitos blancos con los cuales formamos un cubo de 3x3x3. Una vez formado el cubo pintamos

todas las caras exteriores del mismo color y lo desmontamos e inmediatamente introducimos los 27 cubitos en una bolsa de tela..

Nos ponemos una venda en los ojos, para no ver, y sacamos uno a uno todos los cubitos para volver a formar el cubo de

3x3x3. ¿ Cuál es la probabilidad de que el nuevo cubo resulte también pintado de manera similar al original?

Solución

El código secreto | A

El número formado por la primera y la segunda cifra es múltiplo de dos.

El número formado por la segunda y la tercera cifra es múltiplo de tres.

El número formado por la tercera y la cuarta cifra es múltiplo de cuatro.

Un banquero ha dejado olvidado el código de la caja fuerte dentro dela caja.. Pero,recuerda que dicho código consta de

nueve cifras distintas, todas excepto el cero. Además, sabe que, a partir de la izquierda:

....y así sucesivamente, hasta

El número formado por la octava y la novena cifra que es múltiplo de nueve. Con estos datos encuentra dos posibilidades.

¿Cuáles son?

Solución

La circunferencia inscrita en el triángulo rectángulo | B

Dado un triángulo rectángulo de lados a, b y c respectivamente. Calcular en el radio de la circunferencia inscrita en dicho

triángulo.

Solución

Las tres hijas | A

Dos matemáticos se vieron en la calle después de muchos años sin coincidir.

- ¡Hola!, ¿qué tal?, ¿te casaste?, y... ¿cuántos hijos tienes?

- Pues tengo tres hijas.

- ¿y qué años tienen?

- ¡A ver si lo adivinas!: el producto de las edades de las tres es 36, y su suma es el número del portal que ves enfrente...

- ¡Me falta un dato!

- ¡Ah, sí!, ¡la mayor toca el piano!

¿Qué edad tendrán las tres hijas?

Solución

Los cuadrados mágicos | A

Los cuadrados mágicos son ordenaciones de números en celdas formando un cuadrado, de tal modo que la suma de cada

una de sus filas, de cada una de sus columnas y de cada una de sus diagonales dé el mismo resultado. Dicho resultado se denomina característica del cuadrado mágico. Si la condición no se cumple para las diagonales, entonces se llaman

cuadrados latinos.Los cuadrados mágicos se clasifican de acuerdo con el número de celdas que tiene cada fila o columna. Así, uno con 5x5


Los cuadrados mágicos se clasifican de acuerdo con el número de celdas que tiene cada fila o columna. Así, uno con 5x5

celdas se dice que es de quinto orden. Se puede demostrar fácilmente que no existen cuadrados mágicos de orden 2.a) Construye un cuadrado mágico de orden 3 ( empleando los nueve primeros números naturales)

b) Construye un cuadrado mágico cuya característica es igual a 18

Solución

La ecuación exponencial | B

Hallar todas las soluciones reales de la ecuación:

Solución

Cálculo aproximado del número

| B

Se dibuja una circunferencia de radio la unidad y se construye el siguiente dibujo :

Si

, entonces

es aproximadamente igual a AE

b) Se dibuja una circunferencia de radio la unidad y se construye el siguiente dibujo

Si el triángulo ABC es rectángulo con catetos: uno de ellos el diámetro de la circunferencia y el otro el exceso del triple del

radio sobre el lado del triángulo equilátero inscrito en la circunferencia. En esas condiciones p es aproximadamente igual a BC.

Solución

Una maraña de carreteras. | B

A, B y C son tres ciudades , conectadas entre sí por una red de carreteras. Un automovilista nota que hay 82 rutas desde A

a B, incluyendo aquellas que pasan por C, y 62 de B a C, incluyendo aquellas que pasan por A. También sabe que hay

menos de 300 rutas de A a C, incluyendo las que pasan por B. ¿ Cuántas rutas hay de A a C?

Solución

Un número natural | A

Hallar el mayor número natural n tal que


Solución

Más sobre el teorema de Pitágoras | A

Si observas esta figura puedes ver que el cuadrado grande está compuesto de cinco figuras: un cuadrado y cuatro

triángulos rectángulos. Igualando las áreas y simplificando puedes encontrarte con el archifamoso teorema de Pitágoras. Intenta hacerlo.

Solución

El Paralelepípedo | A

Ana ha construido un paralepípedo rectangular con 42 cubos de 1cm de lado. Sabiendo que la base tiene 8 cm de

perímetro. Calcular la altura del paralepípedo

Solución

El Mosaico | A

En una baldosa cuadrangular se han trazado los puntos medios de los lados, y luego se han unido mediante segmentos a

los vértices del cuadrado tal como se puede ver en la figura, dibujándose así un pequeño mosaico( en rojo). Calcula qué

superficie ocupa en relación con la superficie del cuadrado.

Solución

La Pirámide de canicas | B

120 canicas iguales se han colocado de forma compacta formando una pirámide triangular regular. ¿ cuántas canicas hay en

la base?

Solución

La bobina de papel | B

Una bobina de papel, cuyo diámetro es de 30 centímetros , consiste de 400 vueltas de papel fuertemente enrolladas en un

cilindro de 10 centímetros de diámetro. ¿ qué longitud tiene el papel?


cilindro de 10 centímetros de diámetro. ¿ qué longitud tiene el papel?

Solución

Los números ocultos | A

Se han tomado dos fichas de cartón y se ha escrito un número en cada una de las cuatro caras. Las tiramos al aire, una vez

en el suelo sumamos los números que quedan a la vista, los resultados obtenidos son los siguientes:36, 41, 50, 55.

Si dos de los números son el 25 y el 30 . Averigua los otros dos números.

Solución

El múltiplo de seis | B

Comprobar que si

es múltiplo de seis, siendo n un número natural, entonces n también es múltiplo de seis.

Solución

El barco de vela | B

Un barco de vela tiene un palo mayor de 50 metros de altura, un marinero está subido en él. ¿ hasta qué distancia sobre el

mar observará?

Solución

La moneda falsa | A

Un coleccionista de monedas tiene 24 de ellas que parecen idénticas, pero le comunican que una de las monedas es falsa y

pesa algo más que las demás. El coleccionista ha decidido encontrar la moneda falsa utilizando una balanza de dos brazos.

Pero , ¡qué contrariedad!, sólo puede utilizar la balanza tres veces. ¿ Cómo lo hará?

Solución

Igualdades numéricas | B

De antiguo es conocido el triángulo pitagórico:

Seguramente te resultarán sorprendentes las siguientes generalizaciones de esa igualdad cuadrática:

Es inevitable preguntarse si estas igualdades son casuales u obedecen a alguna ley. ¿Es así? ¿ Podrías encontrar otras

igualdades de este tipo?

Solución

El área del cuadrado | B

Obtén la fórmula del área de un rectángulo de lados a y b, utilizando únicamente el conocimiento del área de un cuadrado.

Esto es, sabemos que el área de un cuadrado de lado c es igual a


Solución

El Castillo | A

Este es un castillo de cartas de tres pisos. Para realizarlo se necesitan 15 cartas.

¿Cuántas cartas se necesitarán para un castillo similar de 10 pisos de altura?. El record mundial está en 61 pisos. ¿Cuántas

cartas necesitarías para batir este record y hacer un castillo de 62 pisos de altura?.

Solución

El producto de cuatro números seguidos | A

Toma cuatro números naturales consecutivos y multiplícalos, ¿ Qué observas?

Serías capaz de realizar una conjetura. ¿ Y probarla?

Solución

El Teorema de Pitágoras | A

Comparando estas dos figuras trata de demostrar el teorema de Pitágoras

Solución

La corona Circular | A

Queremos hallar el área de la corona circular que se ve en el dibujo. Sabemos únicamente que AB es una cuerda de la

circunferencia grande y además es tangente a la circunferencia pequeña. ¿ serías capaz de calcular el área de la corona?


Solución

El libro | A

Para numerar las páginas de un libro se han utilizado 960 dígitos. ¿ cuántas páginas tiene el libro?

Solución

Los dígitos | B

a)¿ Cuántos dígitos tiene el número

?

b)Formamos todos los números de 3 dígitos que utilizan exclusivamente dígitos impares. ¿ cuánto vale la suma de todos

esos números?

Solución

La tangente | B

Empleando regla y compás, trazar desde el punto P las dos rectas tangentes a la circunferencia C.

Solución

Los puntos del cuadrado | B

Se seleccionan 9 puntos al azar en el interior de un cuadrado de lado 1. Demostrar que 3 de los puntos son vértices de un

triángulo cuya área es a lo sumo 1/8.

Solución

El Torneo de Tenis | B

En un torneo de tenis se inscriben n participantes. ¿Cuál es la probabilidad de que dos jugadores determinados se enfrenten

a lo largo del torneo? Se supone que los sorteos son al azar.

Solución

LA CRUZ GRIEGA | A


Se quiere embaldosar la planta de una iglesia bizantina, que tiene forma de cruz griega, tal como indica la figura.

Sabiendo que la distancia entre los puntos A y B es de 8 metros. ¿ Cuál es la superficie a embaldosar?.

Solución

Si llamamos x al lado de unos de los pequeños cuadrados que forman la cruz griega, podemos establecer la siguiente relación de acuerdo al teorema de Pitágoras, aplicado al triángulo rectángulo ABC.

Al pedirnos el área de la cruz griega no es necesario calcular el lado x, sino la suma de cinco pequeños cuadrados de lados x, por tanto la solución es igual a 64 m2

Tercer Teorema Japonés | B

(Teorema de Mikami y Kobayashi)(B) Considérese tres círculos tangentes entre sí y tangentes a una misma recta, donde: r

1 < r 2 < r 3 Entonces demostrar que :

Solución

LAS MONEDAS | A

Una persona tiene en su bolsillo estas cinco monedas:


Una persona tiene en su bolsillo estas cinco monedas:

¿ Cuántas cantidades distintas puede formar?

Solución

LOS HUEVOS DE GALLINA Y DE PATA | A

Un granjero tiene ante sí seis cestas con huevos. Algunas son de gallina y otras de pata. En las cestas hay 6, 12, 14, 15, 23

y 29 huevos, respectivamente.El granjero dice: si vendo esta cesta me quedarán doble de huevos de gallina que de pata. ¿ De qué cesta está hablando?

Solución

LA ROSA MISTICA | A

Este diagrama se ha realizado uniendo entre sí, con segmentos, los 10 puntos del círculo.

Cada punto está unido con todos los demás. Sin contarlos. ¿ Sabrías cuántos segmentos hay en total?

Solución

NÚMEROS DIVISIBLES | B

Empleando únicamente las propiedades adecuadas , trata de demostrar que:

a)

se divide por 14

b)

se divide por 30

c)

se divide por 44

Solución

El CUADRADO INSCRITO | B

Dado un triángulo cualquiera, inscribir en él un cuadrado

Solución

LA PIRÁMIDE DE BOLAS | A

.- a) Colocamos 15 discos según el diagrama de la figura. Sabiendo que el perímetro de cada disco es de 6 cms,

¿qué longitud tiene el perímetro exterior de esta figura?

.- a) Colocamos 15 discos según el diagrama de la figura. Sabiendo que el perímetro de cada disco es de 6 cms,

¿qué longitud tiene el perímetro exterior de esta figura?

b) Responde a la misma pregunta si la base de la figura estuviese formada por 6 discos.


b) Responde a la misma pregunta si la base de la figura estuviese formada por 6 discos.

c) ¿Y si la base estuviese formada por ―n‖ discos?

Solución

UN NÚMERO ENORME | A

El número 1234......979899100, ¿cuántas cifras tiene?

¿es múltiplo de 3, de 5, de 6 de 8, de 9?

¿Cuál es el dígito que ocupa el lugar 100?

Solución

¿ UN MÚLTIPLO DE 169? | B

Demostrar que para todos los números naturales n se verifica que

(Nota: a / b significa que el número a divide a el número b)

Solución

EL TRIANGULO ENTERO | B

Determinar todos los triángulos rectángulos con lados enteros y que estén en progresión aritmética.¿ Alguno de ellos tiene

por área 4.374 unidades cuadradas?

Solución

SUMAR SIN CONOCER LOS SUMANDOS | A

Utilizaremos para ello una hoja mensual de calendario.

A fin de simplificar, elegimos una hoja de un mes de abril que tiene cinco jueves.

Se trata de adivinar la suma de 5 días del mes, elegidos al azar, uno de cada semana y sólo conociendo el día de la semana

en el que caen.

¿Sabría Vd. emplear algún procedimiento para poder adivinar dicha suma con las condiciones exigidas? A fin de simplificar,

elegimos una hoja de un mes de abril que tiene cinco jueves.Se trata de adivinar la suma de 5 días del mes, elegidos al azar, uno de cada semana y sólo conociendo el día de la semana

en el que caen.Solución

ACERCÁNDONOS AL PROBLEMA DE APOLONIO | B

a) Dibujar una circunferencia tangente a tres rectas dadas

b) Dibujar una circunferencia que pase por dos puntos y sea tangente a una recta dada.

c) Investigar el problema de Apolonio.

Solución

CONSTRUIR EL TRIANGULO RECTÁNGULO | B

Construir un triángulo rectángulo, utilizando únicamente regla y compás, conociendo su hipotenusa c y la suma de sus

catetos, a + b

Solución

LOS TRES NUMEROS CUADRADOS | B

Demostrar que si p es un número primo superior o igual a 5 entonces el número


Demostrar que si p es un número primo superior o igual a 5 entonces el número

se puede descomponer como suma de tres cuadrados.

Solución

EL CONJUNTO. | B

Sea,

Encontrar los valores naturales de n, tales que el conjunto

se pueda dividir en dos conjuntos disjuntos de tal manera que la suma de sus elementos sea la misma

Solución

LA FRACCION | B

Si a la fracción

, la simplificamos por 6 , obtenemos

, que curiosamente es el resultado verdadero. Encuentra todas las fracciones que poseen esa propiedad, suponiendo que el

numerador y denominador son números de dos dígitos.

Solución

LAS SERIES | B

Cada una de estas series de 5 números obedece a una ley de formación. Descubre la ley y obtén el sexto número en todos

los casos.a) 5, 24, 123, 622, 3121, ...

b) 2, 3, 4, 7, 6,....

c) 13, 17, 19, 23, 29,..

d) 5, 8, 13, 21, 34, ...

e) 1, 3, 5, 7, 31,..

f) 13, 25, 37, 49, 511,....

g) 6, 8, 12, 14, 18, ...

h) 11110, 1010, 132, 110, 50,...

Solución

DE CAJÓN | A

Tenemos sobre una mesa una caja de zapatos cerrada como la adjunta.

Sentimos la imperiosa necesidad de medir la diagonal de la caja que va de A a B. Sólo disponemos de una regla común

milimetrada y no recordamos ni el teorema de Pitágoras ni ningún otro.¿Cómo mediríamos esa diagonal, sin abrir la caja?

Solución

UN PROBLEMA DE MERSENNE | B

En 1644, Mersenne se preguntaba por un número que tuviera exactamente 60 divisores. Encontrar uno menor que 10.000.

Solución

LA MOSCA | A


Colocamos sobre la mesa 25 monedas iguales en la siguiente posición:

Una mosca viene volando y se posa sobre una de ellas (la indicada).

Se le ocurre hacer un paseo andando por las 25 monedas, pero, pasando de una moneda a otra horizontalmente y

verticalmente y sin repetir moneda. ¿Lo podrá hacer? ¿Qué itinerario sería el adecuado para cada moneda en la que se

pueda posar?Solución

EL CALENDARIO | A

Para señalar el día se colocan los cubos de manera que sus caras frontales den la fecha. En cada cubo, cada una de las

caras lleva un número del 0 a 9, distribuidos con tanto acierto que siempre podemos construir las fechas 01, 02, 03, ..., 31 disponiéndolos adecuadamente.

¿Sabe Vd. cuáles son los cuatro dígitos no visibles en el cubo de la izquierda, y los tres ocultos en el de la derecha?

Solución

EL PRISIONERO Y LOS DOS GUARDIANES | A

Un sultán encierra a un prisionero en una celda con dos guardianes, uno que dice siempre la verdad y otro que siempre

miente. La celda tiene dos puertas: la de la libertad y la de la esclavitud.La puerta que elija el prisionero para salir de la celda decidirá su suerte.

El prisionero tiene derecho de hacer una pregunta y sólo una a uno de los guardianes.

Por supuesto, el prisionero no sabe cuál es el que dice la verdad y cuál es el que miente.

¿Puede el prisionero obtener la libertad de forma segura?

Solución

LAS CAJAS Y LA PROBABILIDAD | B

Tenemos una serie infinita de cajas, algunas vacías, otras con piedras. Las piedras se han ido metiendo en las cajas al azar.

Por término medio, hay una piedra por caja.¿Cuál es la probabilidad de que una caja tenga una o más piedras?

Solución

¡ EL QUE DIGA 30 GANA! | A

Es un juego para dos jugadores. Los jugadores eligen por turnos un número entero entre 1 y 5, y los suman a los números

elegidos anteriormente. El primer jugador que consigue sumar exactamente 30 es el ganador. Veamos una partida:

¡Gana el segundo jugador!

Después de jugar algunas partidas, ¿puedes encontrar alguna estrategia ganadora?, ¿Cuál de los dos jugadores crees que

tieneSolución

EL TABLERO DE AJEDREZ Y LOS TETRAMINOS | B

Es fácil recubrir los cuadrados de un tablero de ajedrez común (8 por 8) usando 32 fichas de dominó. Sin embargo, si

eliminamos los cuadrados correspondientes a dos esquinas opuestas del tablero, no es posible cubrir el resto del tablero con

sólo 31 fichas de dominó. Este es un problema clásico que sirve de precalentamiento al que sigue:

Considere un "tetraminó", que consiste en una ficha de cuatro cuadrados puestos en forma de "T" como la siguiente:


Es fácil recubrir el tablero común de ajedrez (8 por 8) con estos tetraminós.

Es posible recubrir un tablero de 10 por 10 con tetraminós en forma de T como los descriptos arriba? Tiene que demostrar

que no se puede hacer, o bien mostrar cómo se hace.

Solución

Si llamamos x al lado de unos de los pequeños cuadrados que forman la cruz griega, podemos establecer la siguiente relación de acuerdo al teorema de Pitágoras, aplicado al triángulo rectángulo ABC.

Al pedirnos el área de la cruz griega no es necesario calcular el lado x, sino la suma de cinco pequeños cuadrados de lados x, por tanto la solución es igual a 64 m2

LOS SEGADORES | B

Una cuadrilla de segadores debía segar dos prados, uno de los cuales tenía doble superficie que el otro. Durante medio día

trabajó todo el personal de la cuadrilla en el prado grande; después de la comida, una mitad de la gente quedó en el prado

grande y la otra mitad trabajó en el pequeño.

Durante esa tarde fueron terminados los dos tajos, a excepción de un reducido sector del prado pequeño, cuya siega ocupó

el día siguiente completo a un solo segador. ¿Cuántos segadores componían la cuadrilla?.

Solución

EL PROBLEMA IMPOSIBLE | B

Se eligen dos números, no necesariamente distintos, en el conjunto de números naturales mayores que 1 y no mayores que

20. Al matemático Salomón (S) se le da solamente la suma de estos números. Y al matemático Pedro(P) se le hace saber

únicamente el producto.Por teléfono S le dice a P : ―No veo cómo vas a poder averiguar mi suma‖. Una hora más tarde , P le dice a S : ―Ya sé

cuánto vale tu suma‖.Más tarde S llama otra vez a P y le informa : ― Ahora ya conozco tu producto‖.

¿ De qué números se trata?

Solución

MAGIA CON SEIS NÚMEROS | A

Dado un número de 6 cifras, sumamos sus cifras por parejas y anotamos debajo sólo la cifra de las unidades del resultado.

Seguimos el mismo proceso con el resultado hasta conseguir un número de una sola cifra.

Ejemplos:


Antes de comenzar a sumar hay que predecir el número que quedará al final.

¿Sabría Vd. hacer tal predicción?

Solución

Si el número de partida fuese "ABCDEF", el valor de la suma final sería:A + 5B + 10C + 10D + 5E + F. Es decir: A + F + 5(B+E) + 10(C+D) C y D no influyen ya que darían un cero al final.B y E siendo a la vez pares o impares, tampoco, ya que darían un cero al final.Nº FINAL: A+F, si B y E son a la vez pares o impares.A+F+5, si B es par y E impar o viceversa.El archivo (Magia con seis números.ppt) contiene una presentación con este reto

OJEANDO EL DADO | A

Se muestran cuatro vistas del mismo dado.

¿Qué letra falta en la cuarta vista?

Solución

La V.

Pegado de <http://www.divulgamat.net/weborriak/RetosMatematicos/Problemas/Prob15.asp>


http://www.divulgamat.net/weborriak/RetosMatematicos/Problemas/Prob15.asp

LOS ACERTIJOS MAS CONOCIDOS DEL MUNDO(según los cualificados participantes en la lista Snark)Presento hoy, en coincidencia con el primer aniversario de nuestra lista, el resultado de la encuesta que preguntaba cuales

son los acertijos más conocidos del mundo. Participaron ocho personas. Los problemas elegidos son aquellos que recibieron al menos dos votos (los tres primeros que presento recibieron tres); en total, doce. Sobre el final hay aclaraciones y comentarios.

1. El zorro, la cabra y el repollo.Un pastor tiene que pasar un zorro, una cabra y un repollo de una a otra orilla de un río. Dispone de una barca en la que solo

caben él y una de las tres otras cosas. Si el zorro se queda sólo con la cabra, se la come. Si la cabra se queda sola con el repollo, se lo come. ¿Cómo debe proceder el pastor? (Mas información sobre el origen de éste problema)

2. El prisionero y los dos guardianes.Un prisionero está encerrado en una celda con dos puertas: una conduce a la salvación, la otra a la muerte, y cada una de

ellas está vigilada por un guardián. El prisionero sabe que uno de los guardianes siempre dice la verdad, y el otro siempre miente. Para elegir la puerta por la que pasara, sólo puede hacer una pregunta a uno solo de los guardianes. ¿Cómo puede salvarse?

3. Las tres pesadas. Hay doce monedas aparentemente iguales, pero una de ellas tiene un peso ligeramente distinto. Usando una balanza de

platillos, y con sólo tres pesadas, encontrar la moneda anómala.

4. Los tres hijos. Un encuestador se dirige a una casa donde es atendido por una mujer:

-¿Cantidad de hijos? -Tres, dice ella. -¿Edades?

-El producto de las edades es 36 y la suma es igual al numero de la casa vecina, dice ella. El encuestador se va; pero al rato vuelve y le dice a la mujer que los datos que le dio no son suficientes; la mujer piensa y le

dice: -Tiene razón, la mayor estudia piano. Esto es suficiente para que el encuestador sepa las edades de los hijos. ¿Cuáles son las edades?

5. ¿De qué color es el oso?.Un oso camina 10 kilómetros hacia el sur, 10 hacia el este (o el oeste), y 10 hacia el norte, volviendo al punto del que partió.

¿De que color es el oso?

6. Cuadrado mágico.En un tablero de 3x3 colocar los números del 1 al 9 de forma que cada fila, columna y diagonal sume 15.

7. La moneda perdida. Tres amigos con dificultades económicas comparten un café que les cuesta 30 pesetas. Cuando van a pagar piden un

descuento, y el dueño les rebaja 5 pesetas, tomando cada uno una peseta y dejando 2 en un bote comun. Más tarde hacen cuentas y dicen: cada uno ha pagado 9 pesetas, así que hemos gastado 9x3=27 pesetas, que con las dos pesetas del bote hacen 29 pesetas. ¿Dónde esta la que falta?

8. Las 8 damas.Situar 8 damas en un tablero de ajedrez de forma que no haya dos de ellas que se amenacen.

9. La supermosca. Dos trenes estan en una misma vía, separados por 100 kilómetros. Empiezan a moverse en sentidos opuestos, uno hacia el

otro, a 50 km/h; en ese mismo momento, una supermosca sale de la locomotora de uno de los trenes y vuela a 100 km/h hacia la locomotora del otro. Apenas llega, da media vuelta y regresa hacia la primera locomotora, y así va y viene de una locomotora a la otra hasta que ambos trenes chocan y muere en el accidente. ¿Qué distancia recorrio la supermosca?

10. Carlos.Dar un nombre de varón que no tenga ninguna letra en común con el nombre Carlos.

11. Nueve puntos.Pisar nueve puntos acomodados en forma de cuadrado de 3x3 con una línea continua formada por cuatro segmentos.

12. Agua, luz y gas. En un vecindario hay tres casas y tres fuentes de agua, de luz y de gas. ¿Es posible conectar cada casa con cada fuente de

suministro mediante líneas que no se crucen entre sí.

El problema del pueblo de lógicos que un dia se desayunan de algo que los obliga a tomar una acción, una vez que

Ciertos votos fueron dificiles de evaluar, ya que proponían géneros y no problemas específicos. Es el caso de los problemas

que a veces se conocen como Quien es Quien, donde hay una serie de personajes y una o más series de atributos, y mediante pistas (del estilo: Hans no es el médico, Fritz es més alto que Otto) deben descubirse las correspondencias precisas. Agrego algunas descripciones mínimas de otros problemas propuestos pero votados una sola vez.

martes, 25 de julio de 200607:28 p.m.


El problema del pueblo de lógicos que un dia se desayunan de algo que los obliga a tomar una acción, una vez que

saben que la tiene que tomar...

Los problemas del tipo de "El mercader de Venecia", con tres cofres con rótulos capciosos que indican elípticamente

en cual está algo, con algunos verdaderos y otros falsos.

Viejo acertijo de origen árabe sobre un hombre que impuso en su testamento la condición de que sus once caballos

fuesen repartidos entre sus hijos de forma que el mayor recibiera 1/2, el mediano 1/4 y el menor de los hermanos 1/6 de los caballos.

La vía muerta. Dos trenes se encuentran de frente en una via, con un pequeño trozo de vía muerta para que puedan

maniobrar los vagones. Averigua los pasos necesarios para que cada cual siga su camino.

Triángulo de monedas. Hay diez monedas agrupadas en filas, formando un triangulo 1-2-3-4. Se trata de invertirlo a

4-3-2-1 moviendo la menor cantidad de monedas.

Cubrir un tablero de ajedrez sin extremos opuestos con 31 dominós.

Los tres marineros y el reparto del botin de monedas de oro.

El caracol que trepa una pared de 5, sube 3 de dia y baja 2 de noche.

Polilla que atraviesa las páginas de una coleccion de libros.

Las torres de Hanoi.

El sobre. Trazar un dibujo esquematico que representa un sobre abierto sin pasar dos veces por el mismo sitio y sin

levantar el lapiz.

Ivan Skvarca

Pegado de <http://www.mensa.es/juegosmensa/viejos.html>


http://www.mensa.es/juegosmensa/viejos.html

Problemas propuestos

Ningún problema se considerará definitivamente cerrado. Nuevos puntos de vista sobre problemas

anteriores siempre son bienvenidos.Las soluciones deben enviarse por correo electrónico a la dirección [email protected], en ficheros

de formato tex, ps o doc, adjuntos al mensaje. Si hubiera figuras, se incluirán en formato gif.En todas las soluciones se incluirá nombre y dirección del remitente, así como la institución a la que

pertenezca. Las soluciones de los estudiantes serán particularmente apreciadas.

Problema 1

Resolver la ecuación en la incógnita x :

(Absolutorial Aufgabe, Baviera, 1874)

Problema 2

Calcular el límite

(Absolutorial Aufgabe, Baviera 1874)

Problema 3

Por un punto P0 de la curva de ecuación y = x3 + Ax2 + Bx + C, se traza una recta, que es

tangente a la curva en otro punto P1.Por P1 se traza una recta, que es tangente a la recta en un nuevo punto P2, y así sucesiva e

indefinidamente.Demostrar que la sucesión de puntos P0,P1,P2,... tiende hacia el punto de inflexión de la curva.

(Prueba de Bachillerato, Suecia 1964)

Problema 4

En los lados AB y AC del triángulo ABC se consideran puntos variables F y E, respectivamente, tales

que

Si M es el punto de intersección de BE y CF, hallar el lugar geométrico del punto M.

(Revista rumana Gazeta Matematica, 1991)

Problema 5

Se considera el triángulo ABC y sea M un punto del segmento BC.

Sean r1, r2, r los inradios de los triángulos AMB, AMC y ABC ;

y sean

los radios de los círculos situados en el interior del ángulo A y exinscritos a AMB.AMC y ABC,

respectivamente.Demostrar que se verifican las relaciones siguientes:

(Este resultado puede considerarse clásico)

jueves, 03 de agosto de 200601:27 p.m.


(Este resultado puede considerarse clásico)

Pegado de <http://www.campus-oei.org/oim/revistaoim/propuestos1.htm>

Problemas propuestos

Ningún problema se considerará definitivamente cerrado. Nuevos puntos de vista sobre problemas

anteriores siempre son bienvenidos.Las soluciones deben enviarse por correo electrónico a la dirección [email protected], en ficheros

de formato tex, ps o doc, adjuntos al mensaje. Si hubiera figuras, se incluirán en formato gif.Durante muchos años, los problemas de geometría de los exámenes de ingreso en las Escuelas

de Ingenieros eran legendarios. Presentamos a continuación, como muestra, los enunciados de

algunos de los propuestos en la Escuela de Ingenieros Industriales de Madrid.

Problema 6

Construir un triángulo, conociendo A, a, b + 3c.

(1941)

Problema 7

Se dan cuatro rectas, tangentes a una parábola no trazada. Determinar el punto de tangencia de la

cuarta tangente.(1941)

Problema 8

Un cuadrilátero variable ABCD tiene el lado AB fijo, el lado CD, de longitud constante, gira alrededor

del punto de intersección de CD y AB. Hallar el lugar geométrico del punto P de intersección de AC y

BD.(1942)

Problema 9

Dados cuatro puntos, A,B,C,M, ¿es posible determinar una cónica que pase por M y respecto

de la cual el triángulo ABC sea autopolar?

(1943)

Problema 10

Los vértices opuestos A y B de un cubo de arista a = 2 son al mismo tiempo los vértices de dos

conos de revolución que tienen por eje común la diagonal AB, admitiendo cada uno de ellos por

generatrices las tres aristas del cubo que parten de su vértice.Determinar:

1) el volumen del sólido formado por los dos conos, cuya base común sea el círculo de intersección,

y los vértices los puntos A y B.2) el radio de la esfera que tiene el mismo volumen que el sólido.

3) la porción del volumen del doble cono considerado, que es exterior a la esfera.

(1943)

Pegado de <http://www.campus-oei.org/oim/revistaoim/propuestos2.htm>


http://www.campus-oei.org/oim/revistaoim/propuestos1.htm

http://www.campus-oei.org/oim/revistaoim/propuestos2.htm

En 1996, durante la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas que tuvo lugar en Costa Rica, encontré en una pared de un

pasillo de la Universidad de San José un letrero titulado EL ADMINISTRATO, junto con una dirección electrónica de la que

presuntamente procedía. Aunque, estrictamente hablando, no se puede considerar matemático este divertimento, no me

resisto a incluirlo en esta sección de la Revista Escolar de la OIM.

EL ADMINISTRATO

El elemento más pesado ha sido recientemente descubierto por investigadores de una Universidad de los Estados Unidos. El

elemento, llamado provisionalmente administrato, no tiene protones ni electrones, y por lo tanto tiene número atómico 0. Sin

embargo, tiene 1 neutrón, 125 neutrones asistentes, 75 viceneutrones y 111 viceneutrones asistentes. Esas 312 partículas se

mantienen unidas por una fuerza que implica el intercambio continuo de partículas parecidas a los mesones, llamadas

mamones. Ya que no tiene electrones, el administrato es inerte. Sin embargo, puede ser detectado químicamente porque

obstaculiza toda reacción con la que entre en contacto. Según los investigadores, una cantidad pequeñísima de administrato

hace que una reacción tarde 4 días en completarse, cuando normalmente habría ocurrido en menos de 1 segundo.

El administrato tiene una vida media normal de 3 años, al cabo de los cuales no se agota, sino que emprende una

reorganización en la que los neutrones asistentes, viceneutrones y viceneutrones asistentes intercambian sus puestos. Algunos

estudios indican que la masa atómica aumenta realmente tras cada reorganización.

La investigación en otros laboratorios indica que el administrato se produce de forma natural en la atmósfera. Tiende a

concentrarse en ciertos puntos, tales como agencias gubernamentales, grandes empresas y universidades. Usualmente se

puede hallar en los edificios más modernos y mejor construidos y conservados.Los científicos dicen que se sabe que el administrato es tóxico a cualquier nivel de concentración y puede destruir fácilmente

cualquier reacción productiva si se le permite concentrarse. Se han hecho intentos para determinar cómo puede ser controlado

para evitar daños irreversibles, pero hasta la fecha los resultados no son prometedores.

Pegado de <http://www.campus-oei.org/oim/revistaoim/divertimentos3.htm>

jueves, 03 de agosto de 200601:35 p.m.


http://www.campus-oei.org/oim/revistaoim/divertimentos3.htm

Königsberg fue una populosa y rica ciudad de la Prusia Oriental. Hoy en día su nombre es Kaliningrado y pertenece a

Rusia. Está situada en las orillas y en las islas del río Pregel, que en el siglo XVIII estaba atravesado por siete puentes. Es

conocida por ser la cuna del filósofo I. Kant (1724-1804), pero en la historia de las Matemáticas es famosa por la

disposición de sus puentes que dio lugar a un juego, precisamente en la época de Kant, que atrajo la atención de los más

famosos matemáticos del momento.

El juego consiste en lo siguiente: ¿Es posible planificar un paseo tal que se crucen todos los puentes sin pasar por ninguno

más de una vez? Algunos de los habitantes de Königsberg opinaban que sí y otros que no.

Para que el lector de estas notas pueda tener su propia opinión, la escena presenta de forma esquemática la disposición

de los puentes y un control que al moverlo deja un rastro. Cuando queramos empezar un "paseo" llevaremos el control al

lugar de inicio, pulsamos sobre el botón <Limpiar> y ya podemos marcar un nuevo camino.

LA SOLUCIÓN DE LEONARD EULERLeonard Euler (1707-1783), genio de las Matemáticas natural de Basilea (Suiza), dio al problema una respuesta segura:

¡No es posible planificar un paseo que recorra todos los puentes una única vez!La investigación que realizó Euler para resolver este problema fue presentada en 1736 en la Academia de Ciencias de San

Pesterbusgo. La obra de Euler puede considerarse como el comienzo de la Teoría de Grafos, que forma parte de la

Topología, rama de las Matemáticas que Leibniz llamó "geometría de la posición".

Euler, para mayor claridad, sustituyó cada uno de los trozos de tierra firme por un punto y cada puente por un trazo,

dando lugar a un esquema simplificado que se representa en la figura adjunta. Así, la isla está representada por el punto

al cual llegan cinco trazos, pues son cinco los puentes que van a ella. La figura resultante es un grafo (un grafo es un

conjunto de puntos llamados "vértices o nodos" del grafo y un conjunto de lineas que los unen que se llaman "aristas o

lados" del grafo).

El problema se reduce a dibujar la figura, partiendo de un punto, de un trazo, es decir, sin levantar el lápiz (boli, pluma.. .)

del papel y sin recorrer una misma línea dos veces. A un recorrido de estas características se le llama camino euleriano.Demostraremos que es imposible dibujar nuestra figura de un solo trazo. En efecto, a cada punto nodal hay que llegar por

un lado y salir por otro distinto; esta regla sólo tiene dos excepciones que son el punto de salida, al cual no hay que llega r

y el punto de llegada, del cual no hay que salir.

Por lo tanto, si un tal recorrido fuera posible, es necesario que en todos los vértices del grafo, salvo a lo más en dos,

converjan dos, cuatro... aristas, es decir, converja un número par de ellas. Pero en cada uno de los nodos del grafo

correspondiente a los puentes de Königsberg concurre un número impar de aristas (3, 5, 3, 3).

El punto de partida y de llegada es el mismo, entonces en todos los vértices concurre un número par de aristas.

Los puntos de partida y de llegada son distintos, entonces hay dos vértices con número impar de aristas (el de

partida y el de llegada) y todos los demás tienen un número par de aristas.

Por lo dicho en el párrafo anterior, si existe un camino euleriano, tenemos dos posibilidades:

El recíproco de esta afirmación es también cierto, es decir, si ocurre alguna de las dos posibilidades anteriores, existe un

camino euleriano y podríamos realizar la figura correspondiente sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por

una misma arista. Además, si todos los nodos tienen un número par de arista se puede empezar por cualquiera de ellos y

se terminará, naturalmente, en el que se empezó; y si hay sólo dos con un número impar de aristas, se empieza en uno

de ellos y se termina en el otro. La demostraciones formales de estas afirmaciones están fuera del alcance de estas notas.

Después de todo lo comentado se comprenderá por qué la "casita" tiene un camino euleriano y el "sobre" no

Una observación final: no es necesario realizar el grafo, éste se hizo por claridad de la exposición. Podríamos haber

contado los puentes que partían de cada trozo de tierra firme y luego haber razonado como lo hizo Euler.

OCHO PUENTES

Unos años después construyeron un puente más. ¿Es posible ahora planificar un paseo tal que se crucen los ocho puentes

EL PROBLEMA DE LOS PUENTES DE KÖNIGSBERG

sábado, 05 de agosto de 200610:40 p.m.


Unos años después construyeron un puente más. ¿Es posible ahora planificar un paseo tal que se crucen los ocho puentes

sin pasar por ninguno más de una vez? La escena presenta la configuración de puentes resultante con el puente añadido. Podemos empezar a pensar si se puede

realizar el paseo trabajando directamente sobre la escena o podemos ser más sistemáticos realizando el grafo asociado y

estudiando dicho grafo como se ha descrito anteriormente.

OTRAS FIGURAS

Seguramente el lector conozca otros ejemplos de figuras que hay que realizar sin levantar el lápiz del papel y sin pasar

dos veces por la misma línea y con las cuales pueda practicar lo aprendido. Por si no es el caso, a continuación se

presentan unas cuantas. Exponemos en la escena hasta un total de ocho figuras diferentes en las cuales hay que encontrar, si existe, un camino

euleriano. Antes de empezar a buscar un camino debemos asegurarnos si tal existe. O sea, debemos aplicar todo lo que se

ha expueto en los apartados anteriores.

Para pasar de una figura a otra se pulsa sobre las flechas del parámetro "Figura". ¡Suerte y a divertirse!

PASATIEMPO FINALHace unos cuantos años, cuando yo estudiaba el Curso de Orientación Universitaria (el COU) circulaba entre los alumnos el

pasatiempo que se verá en la escena que sigue. Se trata de cortar todos los lados de la figura que aparece con una línea

continua y sin que un lado sea cortado más de una vez. No se permite pasar por un vértice y pensar que se han cortado

así dos o tres lados. La imagen que hay a la derecha de la escena es un inicio del juego que espero que sirva para

clarificar las reglas del mismo. Obviamente, si está colocado en esta página es porque alguna relación tendrá con todo lo

que se ha expuesto hasta ahora. Si después de múltiples intentos y/o razonamientos no se llega a solución, un click sobre

el botón <Ayuda> nos llevará a buen puerto. ¡Que continúe la suerte y la diversión!

Pegado de <http://descartes.cnice.mecd.es/taller_de_matematicas/rompecabezas/PuentesKonigsberg.htm >


http://descartes.cnice.mecd.es/taller_de_matematicas/rompecabezas/PuentesKonigsberg.htm

CONSTRUCCIONES ELEMENTALES

Como primeras construcciones geométricas, se presentan en este apartado, la construcción con regla y compás de objetos

básicos en geometría clásica: Mediatriz de un segmento, bisectriz de un ángulo, recta paralela y recta perpendicular a una

recta dada.

Cabri como cualquier programa de geometría dinámica dispone de herramientas para hacer directamente estas

construcciones. Si se utiliza este u otro programa de geometría dinámica en el aula, es conveniente al menos una vez trazar estas rectas

mediante el uso de regla y compás.Se completa este apartado con una sencilla y útil construcción: La división de un segmento en n partes iguales, una de las

aplicaciones más inmediatas del Teorema de Tales.

1.- MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO. PUNTO MEDIO

Se denomina Mediatriz de un segmento AB a la recta perpendicular a él por su punto medio M.

2.- BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que le divide en dos ángulos iguales.

3.- RECTA PARALELA a una recta r por un punto P

sábado, 21 de octubre de 200605:01 p.m.


4.- RECTA PERPENDICULAR a una recta r por un punto P:

P perteneciente a r

P exterior a r

Observa que en ambos casos, la recta solución es la mediatriz de un segmento AB.

5.- TEOREMA DE TALES

Si las rectas a, b, c son paralelas y cortan a otras dos rectas r y s, entonces los segmentos que determinan en

ellas son proporcionales.


EL TEOREMA DE TALES EN UN TRIÁNGULO

Si aplicamos el resultado anterior a los triángulos ABC y AB'C' de la siguiente figura:

Dado el triangulo ABC, construimos un segmento B'C' paralelo al lado BC,

Los triángulos ABC y AB'C' son semejantes, por lo que:

Se atribuye a Thales de Mileto el enunciado de varias propiedades de geometría elemental.

Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por su diámetro.1.

Los ángulo adyacentes a la base en un triángulo isósceles son iguales.2.

Los ángulos opuestos por el vértice que determinan dos rectas secantes son iguales.3.

Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son iguales a los de otro triángulo,

ambos triángulos son congruentes.

4.

El ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.5.

Algunas de estas propiedades se tratan en los apartados correspondientes de esta página.

Normalmente, por Teorema de Thales, se entiende el que se ha enunciado aquí.

6.- DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES

División en 3 partes iguales

División en un número cualquiera de partes

Pegado de <http://roble.cnice.mecd.es/jarran2/cabriweb/0inicio/cobasicas.htm>


http://roble.cnice.mecd.es/jarran2/cabriweb/0inicio/cobasicas.htm

SOBRE LA TRISECCIÓN DEL ÁNGULO

Y SU IMPOSIBILIDAD CON REGLA Y COMPÁS.

En los apartados anteriores se ha visto, como, de forma sencilla, es posible con regla y compás trazar la bisectriz de un

ángulo, también la división de un segmento en un número cualquiera de partes. Puede pensarse, que de forma similar se

podría, dado un ángulo dividirle con regla y compás en tres partes iguales.

La trisección del ángulo es, junto a la cuadratura del circulo y la duplicidad del cubo, alguno de los problemas no

resolubles en matemáticas, estos tres problemas, ya planteados en la antigüedad se han demostrado imposibles.No es extraño, encontrar resuelto el problema de la trisección en alguna página de Internet, y lo que es más peligroso, sin

avisar el autor de que el método utilizado es aproximado, (o erróneo si pretende ser exacto).

El applet siguiente reproduce la falsa demostración encontrada en una página de la red. ( por razones obvias no se indica la página, pero

se encuentra fácilmente desde un buscador).

Se pretende trisecar el ángulo AOB

Esta construcción se basa en:

construir un ángulo recto con extremos en A y B, con centro en la bisectriz del ángulo AOB. Se triseca este ángulo recto,

que es correcto, y a continuación que es donde está "el error", trasladar la trisección del recto al triangulo original.

Puedes mover las rectas que definen el ángulo AOB, y comprueba que la división realizada es siempre aproximada.

Observar como esta construcción da siempre el ángulo del medio distinto a los ángulos exteriores.

Por supuesto, que en la mayoría de aplicaciones prácticas, este nivel de aproximación es válido, pero no es de esto de lo que

se habla, sino de la exactitud de la construcción con regla y compás, que no lo es.

Existen muchas construcciones aproximadas para trisecar un ángulo cualquiera, admitidas como válidas en geometría de las

construcciones.

Mediante el uso de un programa Informático, por calculo del valor del ángulo dividido por tres, se obtienen excelentes

aproximaciones, al menos hasta el número de decimales que soporte el programa. CABRI, que por supuesto no es el más

potente en este sentido, nos da iguales los ángulos hasta la octava cifra decimal (sin entrar a valorar si la medida del ángulo

se corresponde con el número que se muestra en pantalla).

Equivalente a lo anterior es el cálculo de la longitud del arco , y dividir este por tres. Tanto esto como lo anterior, son

excelentes aproximaciones, pero no realizadas con regla y compás.

El problema, sin solución en el caso general, si lo tiene en situaciones particulares: Es inmediata, por ejemplo la trisección

del ángulo recto, y muchos otros que los matemáticos han ido resolviendo a lo largo de la historia.


Se traza una circunferencia cualquiera con centro en O, que corta en P y Q a las semirrectas que definen el ángulo.

Con centro en P y Q se trazan circunferencias que pasan por el vértice O, que cortan en D y C respectivamente a la

circunferencia anterior. Los puntos C y D definen la trisección buscada.

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS

Se verifican estas dos propiedades

a) La suma de los ángulos de un triangulo es 180º.

b) La longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos.


CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS USANDO COMO DATOS LADOS Y ÁNGULOS.

Para determinar un triángulo es preciso conocer tres de sus elementos y al menos uno ha de ser un lado.

Se presentan 4 casos.

En los cuatro casos, en el applet pueden moverse el valor de los segmentos o ángulos. En CABRI puede hacerse con edición

numérica y variar los datos directamente, en CabriWeb creo que no. No queda más remedio que mover gráficamente los

valores.

1.-Conocidos los tres lados.

2.- Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

3.- Conocidos dos ángulos y el lado común.

4.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.


PUNTOS NOTABLES DE UN TRIANGULO.

Baricentro (G)

Circuncentro (Ci)

Incentro (I)

Ortocentro (O)

Recta de Euler

Los distingues bien?

ALGUNOS LUGARES GEOMÉTRICOS QUE GENERAN.

El estudio que viene a continuación, es el resumen de una comunicación presentada por el autor de la página en el 6º Seminario Castellano-Leones de Educación Matemática celebrado en Burgos en Septiembre de 2000, publicado en las actas correspondientes.

En esta sección vamos a estudiar los lugares geométricos que describen, baricentro, incentro, ortocentro y cincuncentro de un triángulo, cuando este cumple alguna condición.

PRIMERA SITUACIÓN

Construimos un triángulo ABC tal que uno de sus vértices sea el centro de una circunferencia y los otros vértices estén sobre

ella.


ella.

SEGUNDA SITUACIÓN

El triángulo ABC está inscrito en la circunferencia.

TERCERA SITUACIÓN

"Inscribimos" el triangulo en polígonos regulares:*Las líneas verticales que aparecen en rojo en Pentágono y Hexágono, no existen.


CUARTA SITUACIÓN.

Triángulo inscrito en "un poígono cualquiera"

A la vista de lo anterior ¿te atreverías a pronosticar que hará el baricentro,.... al "inscribir" un triángulo en un polígono como

el que se representa?

CIRCUNFERENCIA DE FEUERBACH

También conocida como circunferencia de los nueve puntos o circunferencia de Euler.

Dado un triángulo cualquiera ABC, se verifica:

Los puntos medios de los lados, (M1, M2, M3), Los pies de las alturas, (H1, H2, H3), y los puntos medios de los

segmentos que unen el ortocentro con los vértices (L1,L2,L3) determinan una circunferencia.

El centro de esta circunferencia es el punto medio entre el circuncentro (Ci) y el Ortocentro (O).

Como sabemos dados tres puntos no alineados, hay una única circunferencia que los contiene.Por tanto la circunferencia de Feuerbach queda determinada solo con tres cualesquiera de los nueve puntos, por ejemplo por los tres puntos medios de los lados.Con lo que podíamos enunciar diciendo, la circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados, también pasa por los pies de las alturas y los puntos medios entre el ortocentro y los vértices.Como se ve en la figura, los nueve puntos determinan una circunferencia. En principio no conocemos el centro ¿Como determinarlo? Basta con trazar dos mediatrices de dos pares de puntos cualesquiera.

Mueve los botones de debajo de la figura para comprobar que La circunferencia de Feuerbach es tangente a la circunferencia inscrita en el triangulo y a las tres circunferencias exinscritas.Puedes comprobar también que el radio de la circunferencia de los 9 puntos es la mitad del de la circunferencia circunscrita.


TRIÁNGULO ÓRTICO

Dado un triángulo acutángulo ABC , encontrar un triangulo inscrito en él , tal que su perímetro sea mínimo. A este triangulo

se le denomina órtico.

Se demuestra que este triángulo, el órtico se obtiene uniendo los pies de las alturas del triángulo original.Por ello también es frecuente definir el órtico en la forma:

Dado un triángulo ABC, se denomina triángulo órtico de éste, al triángulo que se obtiene uniendo los pies de las alturas.

Figure triortico1.fig

Algunas propiedades del triángulo órtico.

1.-Si el triangulo ABC es acutángulo, el ortocentro de ABC es el incentro del órtico.

En la figura puedes comprobar que las líneas verdes son tanto alturas de ABC, como bisectrices de A'B'C'

2.- El triángulo órtico es el triángulo de perímetro mínimo inscrito en un triángulo. Puedes mover X,Y,Z para comprobarlo.

3.- La circunferencia de Feuerbach del triángulo órtico es de radio la mitad que la correspondiente del triángulo original.


4.- Los lados del triángulo órtico (A'B'C') son paralelos a los del triángulo que se obtiene trazando rectas tangentes a la

circunferencia circunscrita en los vertices del triangulo original (A;B,C)

Las áreas de estos tres triángulos verifican la relación que se indica.

Si llamamos T al triangulo original, To al triangulo órtico de éste, y Tt al que se obtiene trazando tangentes... se verifica:

Área (Tt) * Área (To) = (Área (T))^2

PUNTO DE FERMAT

Dado el triángulo ABC, encontrar un punto F, tal que la suma de distancias FA + FB + FC sea mínima.

Al punto F se le denomina Punto de Fermat.

En los applet siguientes se comprueba fácilmente que F es interior al triángulo si cada uno de sus ángulos es menor de 120º. Si uno de los ángulos es mayor de 120, con la construcción que se realiza F es exterior al triángulo, y obviamente no verifica la condición de distancia mínima, que en este caso sería el vértice de ángulo mayor de 120.

Construcción del Punto de Fermat.

Una de las posibles construcciones es similar a la realizada para el triángulo de Napoleón.

El punto de Fermat verifica que la suma de distancias desde él hasta los vértices es mínima.


El punto de Fermat verifica que la suma de distancias desde él hasta los vértices es mínima.

Punto de Fermat en un triángulo isósceles.

GENERALIZACIÓN A UN CUADRILÁTERO.

¿Cuál es el camino más corto para unir los cuatro vértices de un cuadrado?

¿El método obtenido es válido para un paralelogramo?

¿Puede generalizarse a un cuadrilátero cualesquiera?

Teorema de Napoleón


Dado un triángulo cualquiera, si se construye un triángulo equilátero sobre cada lado, los centros de estos triángulos determinan otro triángulo que es también equilátero.

Si construimos los triángulos equiláteros sobre cada lado del triángulo ABC hacia adentro, Esta propiedad sigue siendo válida.

¿Existe alguna relación entre las áreas de estos triángulos?

Relación entre las áreas de los triángulos de Napoleón Exterior e Interior.

Área ABC = Área A'B'C' - Área A''B''C''


Es inmediato comprobar que el centro de los triángulos A'B'C' y A''B''C'' es el baricentro del triángulo ABC.

Puede generalizarse esta propiedad de los triángulos a otros polígonos??

TEOREMA DE PITÁGORAS

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a2 + b2 = c2

Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas

de los cuadrados construidos sobre los catetos.


Teorema de Pitágoras generalizado

Si en vez de construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, construimos otra figura, ¿seguirá

siendo cierto, que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras

semejantes construidas sobre los catetos?

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

A lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que matemáticos y amantes de las matemáticas han

dado sobre este teorema. Se reproducen a continuación algunas de las más conocidas.


dado sobre este teorema. Se reproducen a continuación algunas de las más conocidas.

DEMOSTRACIONES GEOMÉTRICAS

PITÁGORAS.

Una de las demostraciones geométricas mas conocidas, es la que se muestra a continuación, que suele atribuirse al propio

Pitágoras.

A partir de la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la igualdad

a2 + b2 = c2

PLATÓN.

La relación que expresa el teorema de Pitágoras es especialmente intuitiva si se aplica a un triángulo rectángulo e isósceles.

Este problema lo trata Platón en sus famosos diálogos.

EUCLIDES.

La relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, aparece ya en los Elementos de Euclides.

Elementos de Euclides. Proposición I.47.

En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los

lados que comprenden el ángulo recto.

La prueba que da Euclides consiste en demostrar la igualdad de las áreas representadas en el mismo color.

BHÂSKARA

¡ Mira !


PUZZLES PITAGÓRICOS.

A continuación se presentan algunas demostraciones visuales del teorema de Pitágoras en forma de puzzles. En todos ellos,

las piezas en que se se han dividido los cuadrados construidos sobre los catetos, completan el cuadrado construido sobre la

hipotenusa.1.- Los siguientes disecciones son válidas para cualquier triángulo rectángulo.

Se han ordenado de menos a mayor número de piezas que lo forman.

1. Ozanam

2.- Perigal

3.-


4. Anaricio

5. Bhâskara

6.-


7.-

8.-

2.- Los puzzles siguientes sólo son validos en el caso de que el triángulo rectángulo inicial sea el que se indica.

Triangulo Rectángulo Isósceles


Triangulo rectángulo 3,4,5

Cateto mayor / cateto menor = 2


Hipotenusa /cateto menor =3

3.- Finalmente, dos puzzles especialmente interesantes. No solo prueban el teorema de Pitágoras, también el del cateto.

Son validos para triángulos rectángulos con los ángulos (excluido el recto) en el intervalo que se indica en cada caso.

Para ampliar el intervalo de validez, hay que aumentar el número de piezas, y no puede generalizarse con un número finito.

Ángulos A y B mayor o igual que 30 y menor o igual que 60.

30 ≤ A ≤ 60;


45 ≤ A ≤ 60; por tanto 30 ≤ B ≤ 45

Estas dos disecciones muestran gráficamente las demostraciones de Euclides y de Pappus. Con la limitación que se ha

expresado anteriormente.

DEMOSTRACIONES ALGEBRAICAS.

Valiéndose de la construcción que se representa en cada caso, se han dado a lo largo de la historia excelentes y originales

demostraciones, no tan visuales como las anteriores, pero si tanto o más elegantes. Estás son algunas de las mas populares.

Pappus

A partir de la figura que se representa, se establece la igualdad de las áreas representadas en el mismo color, similar a la

demostración de Euclides.

En la figura, CG = JH y por tanto área rectángulo AIJH = área paralelogramo ACFG, y por otra parte el área de este

paralelogramo es igual a la del cuadrado ACDE. De forma análoga se demuestra la igualdad de las áreas representadas en

azul.


azul.

Ibn Qurra

Si a la figura ACBDEF se le restan los triángulos ABC y BDE se obtiene un cuadrado de lado c = AB, y si le restamos los

triangulos AFG y EFH se obtienen dos cuadrados de lados a y b, lo que demuestra el teorema.

Si de la figura completa se quitan los triángulos ADF, FGI y BIJ se obtiene un cuadrado de lado AB, y si se quitan los

triángulos CEG, CGH y ABC se obtienen dos cuadrados de lados AC y CB. luego AB2 = AC2 + BC2.


Las dos regiones (pentágonos) tienen el mismo área. El de abajo se obtiene como simetría central del superior respecto al

punto medio de la hipotenusa AB.

El pentágono de arriba (tonos verdes) es igual a a2 + b 2 + 3 Triángulos

El inferior (azul) es c2 + 3 Triángulos.

De donde se deduce la igualdad pitagórica.

Leonardo de Vinci

Leonardo demuestra el teorema a partir de esta figura, que se forma añadiendo dos triángulos iguales al dado ABC a la

construcción habitual del teorema de Pitagoras.

Las dos diagonales representadas definen en 4 partes iguales. Los poligonos ACBDEFA y AGHIJBA tienen igual área.

ACBDEFA = AC2 + dos triángulos

AGHIJBA = AB2 + BC2 + dos triángulos,


AGHIJBA = AB2 + BC2 + dos triángulos,

de donde AC2 = AB2 + BC2

Garfield

Basta con calcular el área de la figura de dos formas distintas:

1.- La figura completa es un Trapecio de bases a , b y altura a+b

Área = (a+b) (a+b) /2 =a2 /2 + b2 /2 +ab

2.- Tres triángulos rectángulos

Área = ab/2 + ab/2 + c2/2 = ab +c2/2

Igualando estas dos expresiones y simplificando: a2 /2 + b2 /2 = c2/2; esto es:

a2 + b2 = c2

Se atribuye esta demostración a James Abraham Garfield (1831-1881), vigésimo presidente de EEUU.

Vieta

Una ingeniosa demostración del teorema de Pitagoras es la que estableció Vieta a partir de la figura que se representa.

En ella:

DC = DA + AC =AB + AC

CE =AE - AC =AB - AC

Multiplicando estas expresiones DC . CE = AB 2 - AC 2

Por definicion de potencia de un punto respecto de una circunferencia DC . CF = CB 2 **

Luego CB2 = AB2 -AC2 esto es CB2 + AC2= AB2

Otras demostraciones algebraicas.


En la figura de la derecha, la potencia del punto A, es:

AD * AE = AC2

Expresamos estas distancias en función de los lados del triangulo rectángulo

AD = c - a; AE = c + a; AC = b

Luego (c-a)(c+a) = b2 ; c2-a2 = b2

a2 + b2 = c2

Calculamos el área del triangulo ABC de dos formas diferentes.

1.- El área de un triangulo es igual al semiperímetro por el radio del circulo inscrito.**


1.- El área de un triangulo es igual al semiperímetro por el radio del circulo inscrito.**

A = s * r donde s = (a + b + c)/2.

De la figura se tiene que la hipotenusa c = (a-r) + (b-r); de donde r = s-c .

Area = s * r = s * (s-c)

2.- Área = Base por altura /2 = a *b / 2.

Igualando las expresiones anteriores:

s(s-c) = a b/2

(a+b+c)/2 (a+b-c)/2 = ab /2 ; (a+b+c) (a+b-c) = 2ab ;

(a + b)2 - c2 = 2ab ; a2 + b 2 +2ab -c2 = 2ab;

a2 + b2 = c2

Se ha dejado para el final una prueba (posiblemente desarrollada por el propio Pitágoras), que no precisa de figuras

auxiliares. Es suficiente con un triángulo rectángulo.

Los triángulos ABC, BCD y ACD son semejantes.

Por tanto:

AB/BC=BC/BD ; AB*BD = BC2

AB/AC =AC/AD; AB*AD = AC2

sumando estas expresiones

AB*BD + AB*AD= BC2 + AC2

AB (BD + AD) = BC2 + AC2

AB2 = BC2 +AC2

Algunos autores, hablan de la existencia de hasta mil demostraciones diferentes del Teorema de Pitágoras. En 1927, E. S.

Loomis publica The Pitagoream Proposition donde aparecen 367 pruebas.

CUADRILÁTEROS

Un cuadrilátero es un polígono de 4 lados.

La suma de los ángulos interiores es 360º.

En todo lo que se escribe a continuación, nos referimos a cuadriláteros no cruzados, esto es, excluimos figuras del tipo que


En todo lo que se escribe a continuación, nos referimos a cuadriláteros no cruzados, esto es, excluimos figuras del tipo que

se representa a la derecha. Sin entrar en la discusión de si son o no cuadriláteros, que en todo caso dependerá de la

definición que se tome.

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS

La primera gran división que podemos realizar es cuadriláteros convexos y cuadriláteros no convexos, llamados puntas de

flecha o deltoides.

CUADRILÁTERO CONVEXO

Cada uno de los ángulos interiores es menor de 180º. O bien, dados dos puntos cualesquiera interiores al cuadrilátero, el segmento que los une tiene todos sus puntos interiores al cuadrilátero.

CUADRILÁTERO NO CONVEXO (CÓNCAVO)

Uno de los ángulos (D) es mayor de 180º.

Podemos encontrar dos puntos, P, Q, tales que el segmento PQ tenga puntos, X, exteriores al cuadrilátero

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS CONVEXOS.

La clasificación más extendida es atendiendo al paralelismo de sus lados, se tiene:

CUADRILÁTEROS CONVEXOS

Paralelogramos

Dos pares de lados paralelos

Trapecios

Dos lados paralelos y los otros dos no paralelos

Trapezoides o simplemente cuadriláteros.

Ningún lado paralelo

1.-PARALELOGRAMO

Lados paralelos dos a dos

RECTÁNGULO

Paralelogramo que tiene los 4 ángulos iguales.

Esto es cuatro ángulos rectos.

CUADRADO


CUADRADO

Tiene lados iguales y ángulos iguales.

Tiene cuatro ángulos rectos, y por tanto es un rectángulo.

Tiene cuatro lados iguales y en consecuencia es un rombo.

ROMBO

Paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales.

2.-TRAPECIO

Dos de sus lados, (normalmente llamados bases) son paralelos.

TRAPECIO RECTÁNGULO

Un lado perpendicular a las bases.O bien

Tiene dos ángulos rectos.

TRAPECIO ISÓSCELES

Los lados no paralelos son de igual longitud.

TRAPECIO ESCALENO

A veces encontramos la nomenclatura de trapecio escaleno, para referirse a los no rectángulos ni isósceles. Me parece

innecesario. Llamémosle trapecio, sin apellidos.

3.-TRAPEZOIDEAlgunos libros denominan así a los cuadriláteros que no tienen lados paralelos.

En mi opinión sobra este nombre. Es un cuadrilátero, sin más.

ROMBOIDE **o

COMETA** Hay autores que denominan Romboide al paralelogramo que no es ni rectángulo ni rombo.

Cuadrilátero con dos pares de lados consecutivos iguales.

Se debe a Rey Pastor la utilización de la palabra Romboide para referirse a esta figura.

Existe un caso particular especialmente interesante, el romboide o cometa que tiene dos ángulos rectos. Desconozco si tiene

nombre especifico, me permito llamarle romboide rectángulo.


nombre especifico, me permito llamarle romboide rectángulo.

Entre otras propiedades, este romboide es inscriptible y circunscriptible.

TEOREMA DE VARIGNON

Dado un cuadrilátero cualquiera ABCD, el polígono que determinan los puntos medios (E,F,G,H ) de sus lados es

un paralelogramo. El área del paralelogramo es la mitad del área del cuadrilátero inicial.En primer lugar veamos esta propiedad para cuadriláteros no cruzados.

El cuadrilátero de abajo es idéntico al superior.

Podemos ver de forma sencilla que el área de paralelogramo es la mitad que la del cuadrilátero.

El triangulo OHE se obtiene trasladando CGF por tanto sus áreas son iguales.

Análogamente OGF es una traslación de AHE.

Los triángulos OHG y OEF son simetrías centrales de DHG y BEF respectivamente respecto de los puntos indicados.

Por tanto área OHG = área DHG área OEF = área BEF

Esta forma de obtener los triángulos anteriores también "demuestra" que EFGH es un paralelogramo.

CUADRILÁTEROS INSCRIPTIBLES Y CIRCUNCRIPTIBLES.

En un triángulo, siempre es posible trazar una circunferencia que pase por sus vértices, (circunferencia circunscrita) y otra

tangente a sus lados (circunferencia inscrita), pero en un cuadrilátero, en general esto no es posible, si en algunos casos

particulares.

CUADRILÁTEROS INSCRIPTIBLES.

Se denominan también cuadriláteros cíclicos.


Un cuadrilátero es inscriptible , si sus ángulos opuestos son suplementarios.

CUADRILÁTEROS CIRCUNSCRIPTIBLES.

Un cuadrilátero es circunscriptible si la suma de dos lados opuestos es igual a la suma de los otros dos.

Teorema de Ptolomeo.

Si el cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia, entonces la suma de los productos de lados opuestos es igual al

producto de las diagonales: AB * CD + AD * BC = AC * BD

** Si el cuadrilátero inicial es un rectángulo, se obtiene el teorema de Pitágoras. (Luego podemos considerar el teorema de

Tolomeo como una generalización del de Pitágoras).

Teorema de Pascal.

Este teorema es válido para cuadriláteros inscritos en una cónica. Aquí se representa el caso particular de una

circunferencia. El enunciado original hace alusión a propiedades de alineación de puntos de hexágonos inscritos.

a) En un cuadrilátero inscrito, los dos puntos de intersección de los lados opuestos y los dos de intersección de tangentes en

vértices opuestos, están alineados.


para cada lado AB de un cuadrilátero inscrito se tiene:

b) La intersección (E) de AB con CD, la intersección (G) de BC con la tangente a la circunferencia en A, y la intersección (F)

de AD con la tangente en C están alineados

Teorema Japonés

** Como teoremas japoneses se conocen un conjunto de teoremas.** Aqui se representa solo uno de ellos.

Dado un cuadrilátero ABCD, podemos triangularle de los formas diferentes: ABC , BCD, y también ABD, DCA.

Si el cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, se verifica que la suma de los radios inscritos de cada par de triángulos

de los anteriores es la misma.

Además los incentros de los cuatro triángulos están dispuestos según los vértices de un rectángulo.


En la figura inferior puedes ver que la suma de radios es constante.

POLÍGONOS: POLÍGONOS REGULARES y POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS.

Polígono es la superficie plana encerrada dentro de un contorno formado por segmentos rectos unidos en sus extremos.

Cada uno de los segmentos se denomina lado.

El punto de unión de cada par de segmentos se denomina ángulo.

El numero de lados, ( y por tanto de ángulos) ha de ser mayor o igual a tres.

Polígono cruzado:

Dos o mas lados se cortan.

Cruzado

Los polígonos regulares estrellados son el caso más interesante.

Reg Estrellado 9/2

Polígono convexo:

Si el segmento que une dos puntos cualesquiera del polígono es interior al polígono. Todos los ángulos interiores son menores de

180º.


Si uno o más de los ángulos interiores es mayor de 180, el polígono es no convexo, o cóncavo.

Polígono regular.

Si tiene lados y ángulos iguales.

Este es un polígono equilátero,(lados iguales) pero no es regular (ángulos no iguales)

Algunas propiedades de los polígonos:

La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180(n-2).

En un polígono convexo la suma de los ángulos exteriores es 360.


Número de diagonales (segmentos que unen vértices no consecutivos) de un polígono es Dn = n (n-3)/2

Polígonos regulares: convexos y estrellados.

POLÍGONOS REGULARES CONVEXOS.

Como se ha indicado un polígono es regular si tiene sus lados iguales y sus ángulos iguales.

En la figura se muestran los elementos más importantes de un polígono regular.

Radio (r): segmento que une el centro con un vértice. Es el radio de la circunferencia circunscrita.

Apotema (a): Segmento que une el centro con el punto medio de un lado.

En un polígono regular de n lados:

Angulo central =360/n

Angulo interior = 180 - 360/n

Área = Perímetro x Apotema /2; A = n· L · a /2 , ya que es el área de n triángulos de base L y altura a

(L/2)2 + a2 = r2

por ser triangulo rectángulo L/2, r y a

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES.

No todo polígono regular puede construirse con regla y compás. Más bien al contrario, algunos polígonos regulares pueden

construirse de forma exacta.


construirse de forma exacta.

Se presentan algunos de los polígonos regulares construibles. Desde cada imagen se accede a su construcción.

N=3

Triangulo Equilátero

N= 4

Cuadrado

N=5

Pentágono Regular

N=6

Hexágono Regular

N=8

Octógono Regular.

N=10

Decágono Regular

N=15

Pentadecágono Regular


N=17

Heptadecágono Regular

Si un polígono regular de N lados es construible, también lo es el regular de 2N lados. Basta con trazar la circunferencia

circunscrita y trazar la mediatriz de cada lado.

Si un polígono de N lados es construible, también lo son los polígonos cuyo número de lados sea divisor de N. Uniendo los vértices

correspondientes.

Desde Euclides se conocían construcciones geométricas con sólo regla y compás para polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados y

todos los que se deducen de ellos por bisección: 6, 8, 10, 12,... lados.

Gauss demostró, que son construibles los polígonos regulares con número de lados

esto es, de lados

N=3 (n=0), N=5 (n=1), N=17 (n=2), N=257 (n=3), N=65537 (n=4).

También demostró la imposibilidad de la construcción de polígonos regulares de lados, 7,9,11,13,... en la que muchos habían fracasado.

En algunos textos y páginas de Internet es fácil encontrar la construcción de alguno de estos, que es aproximada, aunque a veces no se indique con claridad.

Construcciones aproximadas de los polígonos regulares de 7 y 9 lados.En la imagen ampliada se observa la aproximación. Se muestra ampliado 10 veces, las inmediaciones del vértice A.

Existen procedimientos para construir de forma aproximada polígonos de numero de lados cualesquiera, que suelen tratarse en

temas de dibujo técnico.

POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS.

También son, de acuerdo a la definición polígonos regulares, los estrellados. Estos, se obtienen a partir del

regular convexo, uniendo vértices no consecutivos, recorriendo todos los vértices de forma continua.No debemos confundir los polígonos estrellados con las estrellas.

La figura de la izquierda representa el polígono estrellado 8/3, octógono estrellado. La imagen de la derecha son dos cuadrados,

girado uno respecto al otro 45º.

OCTÓGONO ESTRELLADO 8/3


Un polígono estrellado N/M se construye a partir del polígono regular N uniendo puntos de M en M.

En el ejemplo uniendo los vértices del octógono regular de tres en tres.

ESTRELLA FORMADA POR DOS CUADRADOS.

También puede formarse esta composición sobre un octógono regular. Pero la figura anterior no es un polígono, si no dos. Son dos líneas poligonales independientes.

Los polígonos regulares convexos, son un caso particular de polígonos regulares estrellados.

CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO

CIRCUNFERENCIASe denomina circunferencia al conjunto de puntos del plano que están a una distancia r de un punto O denominado centro.Elementos de una circunferencia.

Radio: Segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.

Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.


Diámetro es una cuerda que pasa por el centro.

Arco: Parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.circunf2.fig

CIRCULOEs la superficie plana limitada por una circunferencia. El centro y el radio del círculo son los de la circunferencia.

circulo.fig

Semicírculo, mitad de un circulo. región limitada por un diámetro y su arco.

Sector circular, región comprendida entre un arco y los dos radios que determinan sus extremos.


Segmento circular, región del circulo comprendido entre un arco y su cuerda.

Corona circular, recinto comprendido entre dos circunferencias concéntricas.circulo1.fig

TANGENCIAS I.

La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

Si dos circunferencias son tangentes entre si, el punto de tangencia está en la recta que une sus centros.

Recta(s) tangente a una circunferencia.

Rectas tangentes a dos circunferencias.


Circunferencias tangentes a tres rectas secantes dos a dos.

Circunferencias tangentes.

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA.

Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.

La medida del arco AB es la del ángulo central AOB.

Arco AB = Angulo AOB

Arco AB = Ángulo AOB

Esta igualdad nos permite medir en función del ángulo central o arco el resto de ángulos que pueden definirse

en la circunferencia.


Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia.El ángulo semiinscrito, (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular, o caso límite.

El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende.

Angulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo.

La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto.

Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o

secantes a la misma.

La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca.

POTENCIA DE UN PUNTO.

Se llama potencia de un punto respecto de una circunferencia al producto de las distancias desde el punto P a las


Se llama potencia de un punto respecto de una circunferencia al producto de las distancias desde el punto P a las

intersecciones con la circunferencia por una secante arbitraria.

Potencia de P = PA · PA'

La potencia es independiente de la secante elegida.

Si por P se trazan dos secantes cualesquiera PAA' y PBB'.

Los triángulos PAB' y PBA' son semejantes, ya que , ya que los ángulos A' y B' son iguales, (abarcan el mismo arco).

Por tanto PA/PB = PB'/PA', de donde PA·PA' = PB· PB' = cte.

Observa que Pot (P) es positiva si P exterior a la circunferencia, y negativo para P interior. P = 0 si P pertenece a la circunferencia.

VALOR DE LA POTENCIA DE UN PUNTO P

PA· PA' es independiente de la secante elegida.

Si se toma como secante la recta que pasa por el centro se tiene :

Potencia = PA· PA'=(d-r)(d+r)= d2 - r2.

d2-r2 es:

> 0 si d>r, esto es P exterior a circunferencia.

= 0 si d=r , P sobre la circunferencia


= 0 si d=r , P sobre la circunferencia

<0 si d< r , P interior a la circunferencia

Sea P un punto exterior a la circunferencia.

Sea PT = t el segmento tangente a la circunferencia c desde P. (PT es perpendicular a OT)

La recta tangente, es el limite de la secante, por tanto Pot(P,c)=PT2 = t2

De donde d2-r2 = t2, o bien t2 + r2 = d2 Teorema de Pitágoras . (El triángulo POT es rectángulo)

Sea ahora P Interior a la circunferencia.

Potencia de P = PA · PB = PC· PD = PC2 (si prescindimos del signo);

El triangulo ABC es rectángulo.

Se obtiene PA· PB = PC2 teorema de la altura.

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS

El eje radical de dos circunferencias no concéntricas esta formado por los puntos cuya potencia es la misma respecto a las

dos circunferencias. (Lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto a las dos circunferencias).

Se demuestra que este lugar geométrico es una recta perpendicular a la que une los centros de las circunferencias.(1*)

Construcción del eje radical.


1.- Si las circunferencias son secantes, el eje radical contiene a los puntos de intersección

Los puntos de intersección de las circunferencias, (potencia cero) tienen igual potencia respecto a las circunferencias. El eje

radical es una recta, luego ha de ser la recta que contiene a los puntos de corte de las circunferencias.

Comprueba moviendo P, que su potencia (distinta para cada P) es igual respecto a las dos circunferencias.

2.- Circunferencias no secantes.

A partir de la construcción anterior, y con ayuda de dos circunferencias auxiliares s1 y s2, (cada una de ellas secantes a c1 y

c2 ) puede construirse el eje radical de circunferencias exteriores o interiores.Mueve las circunferencias s1 y s2 (y sus centros) de forma que sean secantes a c1 y c2.

Comprueba que si las circunferencias son concéntricas, no existe eje radical. (recta en el infinito).

si utilizamos el resultado (1*) basta con trazar una circunferencia auxiliar s.

También puede determinarse el eje radical a partir de las rectas tangentes a las circunferencias.

El eje radical contiene a los puntos medios de los segmentos tangentes (exteriores o interiores) a dos circunferencias.

A partir de las tangentes exteriores.

La construcción de tangentes exteriores distingue cual es la circunferencia mayor.

A partir de las tangentes interiores.

Esta construcción del eje radical es válida para circunferencias exteriores.

Pegado de <http://roble.cnice.mecd.es/jarran2/cabriweb/0inicio/triseccio.htm>


http://roble.cnice.mecd.es/jarran2/cabriweb/0inicio/triseccio.htm

Kumon: matemáticas en casa Muchos niños detestan las matemáticas, y puede que tu hijo sea uno de ellos. Ni le gustan ni le interesan, y tú prevés

dificultades con esta asignatura en los próximos años. Antes de que lleguen los problemas prueba con el método Kumon,

un sistema que garantiza el aprendizaje de las matemáticas. ¿Cómo lo consigue? Desarrollando la capacidad de

concentración y la confianza en el propio trabajo... entre otros aspectos.

Toru Kumon, profesor japonés de matemáticas, es el fundador de este método individualizado de matemáticas. Cuenta

con más de 40 años de experiencia y se ha aplicado con resultados eficaces a más de 9.000.000 de alumnos. Actualmente,

hay Centros Kumon en 35 países, que agrupan a más de 2.500.000 de personas matriculadas.

El objetivo del método Kumon es desarrollar al máximo el potencial de estudio de las matemáticas en cada alumno,

estimulando y desarrollando capacidades como: Concentración

Hábito de estudio diario

Gran capacidad matemática

Rapidez y agilidad en el cálculo mental

Autocorrección

Deseo de aprender por uno mismo

Confianza en los propios conocimientos

Razonamiento lógico

En Kumon, el alumno puede empezar cuando sólo tiene dos años o en cualquier momento durante la infancia o la edad

adulta, dado que es un método totalmente individualizado en el cual cada alumno avanza en función de sus capacidades y

de su rendimiento. El Programa Kumon está estructurado en una secuencia de hojas de ejercicios diseñadas para capacitar a los alumnos a

progresar de forma natural y a que adquieran los conocimientos que les permitan avanzar sin lagunas. Los ejercicios van

desde el trazado de líneas para los preescolares hasta las matemáticas universitarias.

La metodología de trabajo se desarrolla sobre la base de:

Un test de evaluación inicial que permite identificar el nivel real de conocimientos y de capacidades matemáticas en ese

momento. Un punto de partida fácil, de manera que el alumno resuelva bien todos los ejercicios y pueda aumentar o mejorar su

autoestima frente al trabajo y sus deseos de seguir aprendiendo. El alumno estudia los puntos básicos de cada tema tantas veces como sea necesario para obtener una base sólida que

asegure un dominio completo del tema presentado. El avance viene determinado por el número de errores y el tiempo total de resolución de cada hoja de trabajo según

unos parámetros establecidos. El alumno realiza diariamente sus ejercicios en casa y en dos sesiones semanales en el centro Kumon al que asiste. El

tiempo que emplea diariamente para realizarlos es de entre 10 y 20 minutos, siete días a la semana, de manera que

adquiere un hábito de trabajo que le permite avanzar no sólo en matemáticas sino en otras materias.

El autoaprendizaje se consigue introduciendo cada nuevo tema de forma paulatina con ejemplos que permiten al niño

razonar sus respuestas y resolver sus ejercicios sin ayuda externa. El seguimiento de los padres en el proceso, cuando se trata de un alumno en edad escolar, es determinante para el éxito

del programa dado el estímulo positivo que le supone a un alumno la valoración y reconocimiento de esfuerzos por parte de

sus padres. La labor fundamental del centro Kumon es: facilitar un ambiente óptimo de trabajo y de estímulo personal, hacer un

seguimiento personalizado del alumno, ayudando a los padres (si es un niño en edad escolar) a que se involucren en el

aprendizaje de sus hijos, y ofrecer un soporte pedagógico adecuado a las necesidades de cada alumno. En España, los

centros funcionan en horario extraescolar y se encuentran abiertos entre dos y cuatro tardes a la semana.

Kumon es un método de aprendizaje de las matemáticas que funciona, y funciona bien. Con un pequeño esfuerzo diario

y constante, el alumno logra dominar las matemáticas, mejorar en otras asignaturas y conseguir un nivel de autoestima

inmejorable. Esta autoestima se logra por la confianza en los conocimientos adquiridos y por la capacidad de minimización

de esfuerzos y de resolución de trabajo y que Kumon proporciona.

Carmen Herrera García

Pegado de <http://www.aplicaciones.info/articu2/arti63d.htm>

Matemáticas: cuestión de métodoHay que infundir amor por las tareas. EL TIEMPO, en su editorial del 15 de agosto, planteó como un problema importante el bajo nivel de la educación matemática en el país. Tiene razón el editorialista: el mundo actual requiere que la gente tenga destrezas matemáticas, y el nivel de aprendizaje de la matemática en Colombia es muy bajo. El problema radica, simple y llanamente, en que falta el método para enseñarla.La historia de un profesor japonés (Kumon) ilustra bien la idea. Él era un maestro de secundaria muy ocupado y no tenía tiempo para enseñarle a su hijo Takeshi, que obtenía malas notas en matemáticas. Por insistencia de su esposa, le organizó tareas que le dejaba con ella, a condición de que se las hiciera llenar todos los días en forma disciplinada. El éxito del niño fue grande y los vecinos comenzaron a usar las hojas con similares resultados. Hoy, ese es un método difundido en el mundo.

Pegado de <http://www.mineducacion.gov.co/cvn/1665/article-88375.html>

Kumon

sábado, 21 de octubre de 200608:13 p.m.


http://www.aplicaciones.info/articu2/arti63d.htm

http://www.mineducacion.gov.co/cvn/1665/article-88375.html

Nikolai Ivanovich Lobachevsky

Nacimiento: 1 de Diciembre 1792 en Nizhny (llamado Gorky en los años 1932 al 1990), Rusia.

Fallecimiento : 24 de febrero en Kazan, Rusia.

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Lobachevsky.html

El padre de Nikolai Ivanovich Lobachevsky llamado Ivan Maksimovich Lobachevsky, trabajó como empleado en una

oficina relacionada con inspecciones agrícolas. La madre de Nikolai Ivanovich se llamaba Praskovia Alexandrovna

Lobachevskaya. Era una familia pobre y Nikolai Ivanovich era uno de sus tres hijos. El padre murio en el año 1800 cuando

Ivanovich tenia siete años de edad. Su madre se trasladó con sus tres hijos a la ciudad de Kazan en la parte oeste de Rusia al

borde de Siberia, Alli, en Kazan ,estudiaron en el Instituto de Enseñanza Media, gracias a una beca concedida por el

gobierno. Nikolai Ivanovich ingresó en este Instituto en el año 1802.En 1807, Lobachevsky se graduó como bachiller y entró en la Universidad de Kazan como estudiante por libre. La Universidad

del Estado, en Kazan, fue fundada en 1804,como resultado de una de las numerosas reformas llevadas a cabo por el

emperador Alejandro I, abriéndose al año siguiente de su fundación, o sea dos años antes de que Lobachevsky consiguiera su

graduación como Bachiller. Su primera intención fue estudiar medicina pero se inclinó por estudios científicos en los que no

podían faltar las Matemáticas y la Física. Vinberg escribe

(44):

En los primeros años, el ambiente del Departamento, era completamente favorable. Los estudiantes estaban llenos de

entusiasmo. Estudiaban noche y día para compensar su falta de conocimientos. Los profesores, mayormente, invitados desde

Alemania, se convirtieron en excelentes pedagogos, lo cual no era muy común. Lobachevsky tuvo un éxito notable en todos

los cursos en los que participó.

Uno de aquellos excelentes profesores, venidos de Alemania, fue Martín Bartels (1769-1833) que impartió clases de

Matemáticas. Bartels además de profesor era amigo de Gauss y los dos mantenían una correspondencia.

Tenemos que volver a considerar las ideas de algunos historiadores, por ejemplo M.Kline, dice que Gauss tenía que haber

aconsejado a Lobachevsky sobre las directrices que debia tomar con respecto a su trabajo matemático, esto se conoce gracias

a las cartas que se escribieron Bartels y Gauss. Bartels, considerado como un cualificado maestro, atrajo pronto la atención de

Lobachevsky hacia las Matemáticas. Sabemos que Bartels dio conferencias sobre la historia de las Matemáticas y que impartió

un curso basado en textos de Montucla.

Los Elementos de Euclides y su teoría sobre las líneas paralelas son comentados en detalle en el libro de Montucla, parece ser

que el interés de Lobachevsky por el Quinto Postulado estuvo estimulado por tales conferencias. Laptev, (ver 29),establece

que Lobachevsky asistió a los cursos de Historia dirigidos por Bartels. Lobachevsky recibió su licenciatura en Física y

Matemáticas en 1811.

En 1814 fue nombrado para dar una conferencia y en 1816 se convirtió en un gran profesor. En 1822 fue reconocido como un

profesor excelente.

(1):

....el mismo año que empezó su carrera administrativa como miembro del comité para la supervisión de la construcción de

nuevos edificios para la universidad.Lobachevsky tuvo dificultades en la Universidad de Kazan durante este periodo. Struik escribe lo siguiente sobre la

administración dirigida por el conservador M.l. Magnitskii:.....interpretando el espíritu de los últimos años del Zar Alejandro.

Y hay que señalar que éste, desconfiaba de la Ciencia y Filosofía moderna, especialmente la del filósofo Immanuel Kant,

considerado como un producto maldito de la Revolución Francesa y una amenaza para la religión ortodoxa. Las consecuencias

en Kazan de esta nueva corriente durante los años 1819-1826 fueron el faccionalismo, ( bandos en conflicto),un deterioro en

los standars académicos, dimisiones y salida de algunos de los mejores profesores, incluyendo....Bartels ...

domingo, 03 de diciembre de 200611:56 p.m.


http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Lobachevsky.html

los standars académicos, dimisiones y salida de algunos de los mejores profesores, incluyendo....Bartels ...

A pesar de estas dificultades, muchos trajeron ,según Vinberg en (44) por Lobachevsky.‖Rectitud y un carácter

independiente‖. El consiguió muchos objetivos. Como su vigorosa Investigación Matemática, de la que tenemos que hablar,

más tarde en este artículo, el enseñó una amplia gama de temas incluyendo las Matemáticas, la Física y la Astronomía. Sus clases (44):

...eran claras y detalladas y podían ser comprendidas, incluso,

por los estudiantes peor preparados.

Lobachevsky compró un instrumental para el Laboratorio de Física y también libros para la Biblioteca en St. Petersburgo. Fue

nombrado para ocupar puestos importantes dentro de la Universidad, tales como el de Decano del Departamento de Física y Matemáticas, entre los años 1820 a 1825 y, Jefe de Biblioteca, entre 1825 a 1835.El también desenpeñó el cargo de jefe del Observatorio y tuvo una gran influencia en la política de la Universidad. Sin embargo (30):....los conflictos con Magnitiski, miembro de la junta de la universidad, continuaron.

El zar Nicolás I reinó en 1826 e introdujo un régimen más tolerante. En este año Magnitski fue despedido como miembro de la

Junta de la Universidad de Kazan y fue nombrado Musin-Pushkin ,como nuevo miembro de la junta. La atmósfera ahora

cambió notablemente y Musin-Pushkin encontró en Lobachevsky la persona ideal para trabajar juntos y para efectuar grandes

cambios en la universidad. En 1827 Lobachevsky fue nombrado Rector de la Universidad de Kazan, un puesto que conservó

durante los próximos 19 años. Al año siguiente de su nombramiento pronunció una conferencia , ( la cual se publicó en 1832),

sobre asuntos de educación y expuso claramente sus ideas sobre su filosofía educativa. Laptev escribe sobre Lobachevsky

(30) :

...perfilada la idea de un desarrollo armonioso de la personalidad.

hizo hincapié en el significado social de la educación, destacando el papel de la Ciencia y la obligación de sus científicos sobre

la nación y sobre su pueblo.La Universidad de Kazan floreció durante el rectorado de Lobachevsky, debido a su gran influencia. Hubo un programa

vigoroso sobre nuevas construcciones en las que destacaba una Biblioteca, un Observatorio Astronómico, Instalaciones

Médicas, Físicas, Químicas y un Laboratorio Anatómico. El se preocupó por conseguir un alto nivel en la Investigación

Científica , al igual que infundió animó en el desarrollo de las artes, liderando, a la vez,un Centro de Estudios Orientales.

Incrementó el número de estudiantes en la Universidad y, Lobachevsky, invirtió muchos esfuerzos, no sólo en la consecución

de un mayor nivel educativo, dentro de la universidad, sino, también, en las escuelas locales.Durante el tiempo que fue rector de la universidad dos desastres naturales sorprendieron Kazan (44):

...una epidemia de cólera en 1830 y un gran incendio ocasionado en la universidad en el año 1842. Gracias a su resolución y

a las medidas razonables tomadas por Lobachevski el daño causado a la universidad fue mínimo. Por su actividad durante la

epidemia de cólera, Lobachevski recibió un mensaje de reconocimiento del emperador.

El libro 5 contiene informes anuales que Lobachevsky escribió siendo rector de la Universidad de Kazan. Estos son sólo un

pequeño ejemplo tomados de las cientos de páginas del manuscrito.......escritas completamente con mano firme, apenas sin error, sin tacha, informes que eran un obstáculo para un trabajo real

en el camino de todos los académicos, académicos de entonces como de ahora.A pesar de la onerosa carga administrativa, Lobachevsky continuó enseñando asignaturas muy variadas como Mecánica,

Hidrodinámica, Integrales, Ecuaciones diferenciales, Cálculo de Variaciones y Física Matemática.. Aunque encontraba tiempo

para dar sus conferencias sobre Física, a un público general, durante los años 1838 a 1840, la carga de su pesado trabajo

hizo, eventualmente, mella en su salud.

En 1832 Lobachevsky se casó con Lady Bárbara Alexivna Moisieva, procedente de una familia adinerada. Cuando se casaron

su esposa era muy joven mientras que él había cumplido ya los cuarenta años. El matrimonió le dio siete hijos y se dijo que

los hijos :

.... y el costo de los avances tecnológicos debido a su condición le dejaron con poco dinero para su jubilación.

In (44) Vinberg escribe:

La pareja vivía en una gran mansión de tres plantas y recibía muchos invitados a los que ofrecían siempre una generosa

hospitalidad. Sin embargo Lobachevski no fue feliz con su matrimonio.Después de su retiro en 1846 (causado por su despido de la Universidad de Kazan),su salud se deterioró rapidamente.

Matveev, en su artículo (34) cita muchas cosas sobre el estado de Lobachevsky , y que pudo saber en Slobodka. Sus

biógrafos afirman que :

...Lobachevsky era un gerente poco práctico que puso en peligro su situación financiera por la compra de una finca mientras

vivía de una pensión; sin preocuparse ni interesarse por ella, terminando en la pobreza e ignorado por las autoridades

locales. .etc.

Pero Matveev prueba que tales afirmaciones estàn totalmente injustificadas. Poco después de su retiro, su hijo mayor, su

favorito, murió y Lobchevskii recibió un duro golpe con la tragedia. Empeoró progresivamente por culpa de la enfermedad que

padecía, tanto que se quedó ciego. Esto, más las dificultades financiares, se sumaron a la pesada carga que tuvo que soportar

en sus últimos años. Sus grandes logros en Matemáticas, que debemos ahora considerar, no fueron reconocidos en vida y

murió sin tener ninguna noción de la fama y de la importancia que su trabajo alcanzó, años más tarde.

Desde la formulación del Axioma de Euclides, sobre Geometría Matemática, se ha intentado demostrar su Quinto Postulado

como un teorema deducido de otros cuatro Axiomas. El Quinto Postulado dice que dada una línea y un punto, fuera de la línea,

sólo una línea única puede ser trazada, a través de este punto, que sea paralela a esta línea dada. Lobachevsky no intentó

demostrar este Postulado como un Teorema. En su lugar estudió Geometría sin que necesariamente se deba tener en cuenta

el Quinto Postulado. Lobachevski , es considerado euclidiano como un caso especial de su Geometría General.

Su principal trabajo, Geometría , acabado en 1823 no fue publicado en su forma original hasta 1909. El 11 de febrero de

1826,en la sesión del departamento de ciencias físico-matemáticas de la Universidad de Kazan, Lobachevsky solicitó que su

trabajo sobre una Nueva geometría fuera escuchado y su ensayo Un perfil conciso sobre los fundamentos de la Geometría

fuera enviado a un arbitraje. El texto de este trabajo no sobrevivió, pero, quizás, fue incorporado, en una forma modificada,

en la primera publicación de Lobachevsky sobre Geometría Hiperbólica.

Él publicó este trabajo sobre non-euclidean geometría, (Geometría no eclidiana), el primer tema a tener en cuenta, impreso

en 1922. Fue publicado en el periódico de Kazan, Kazan Messenger, pero desestimado por Ostrogradiski cuando fue

presentado en la Academia de Ciencias de San Petersburgo.

En 1834 Lobachevsky encontró un método para la aproximación de raíces de ecuaciones algebraicas. Este método de solución

numeral de ecuaciones algebraicas, desarrollado independientemente por Gräffe en contestación a una cuestión de la Academia de Ciencias de Berlín, es hoy en día, un método muy adecuado en el uso de ordenadores y en la solución de

problemas. Este método, se llama , actualmente el Dandelin-Gräffe, método llamado así desde que Dandelin lo investigara


problemas. Este método, se llama , actualmente el Dandelin-Gräffe, método llamado así desde que Dandelin lo investigara

independientemente, pero sólo en Rusia aparece bajo este nombre, después que Lobachevsky ,su tercer descubridor, también

lo investigara. Ver (24) para un estudio del método y una exposición de sus tres descubridores.En 1837 Lobachevsky publicó su articulo sobre Geometría Imaginaria y un resumen de su nueva Geometría,‖ Geometrische

Untersuchungen zur Theorie der Parellellinien‖ (Investigación geométrica sobre la Teoría de las líneas paralelas), publicado en

Berlín en 1840. Esta última publicación impresionó gratamente a Gauss pero mucho se escribió sobre el papel de Gauss en el

descubrimiento de la non-euclidean geometry (Geometría no euclidiana) que es simplemente falso. Existe una coincidencia

que surge sobre el hecho de que Gauss descubrió por sí sólo la Geometría no euclidiana y se lo dijo a unos pocos, sólo a sus

amigos más íntimos. Dos de sus amigos fueron Farkas Bolyai, el padre de János Bolyai ( un descubridor independiente de la

Geometría no euclidiana), y el otro fue Bartels el maestro de Lobachevsky. Esta coincidencia tuvo una pronta especulación

sobre la que se decía que Lobchevskii y Bolyai fueron dirigidos por Gauss en sus descubrimientos.

M.Kline puso en marcha tal teoría pero fue rehusada en muchos trabajos; ver, por ejemplo, (28). También Laptev en (29)

habia examinado la correspondencia entre Bartels y Gauss y probó que Bartels no sabía nada sobre los resultados de Gauss

en la Geometría no euclidiana.

Hay otras afirmaciones hechas sobre Lobachevsky y el descubrimiento de la geometría no euclidiana las cuales han sido

recientemente refutadas. Por ejemplo en (25) la afirmación en la que se mencionaba que Lobachevsky mantenía correspondencia con Gauss, (Gauss

apreciaba altamente el trabajo de Lobachevsky pero no se carteaba con él), y que Gauss estudió ruso para leer los trabajos

de Lobachevsky como se afirma, por ejemplo en (1): ( realmente, Gauss estudió ruso antes de que se oyera hablar de

Lobachevsky), y que Gauss fue un buen propagador del trabajo de Lobachevsky en Alemania, (Gauss nunca hizo un

comentario público sobre el trabajo de Lobachevsky), son afirmaciones completamente falsas.

La historia sobre cómo la Geometría Hiperbólica de Lobachevski fue aceptada es una historia muy compleja y su biografía no

es el lugar más apropiado para entrar en detalles, pero tenemos que destacar los principales eventos. En 1866, diez años

después de la muerte de Lobachevsky, Hoüel publicó,- juntamente con alguien que mantenía correspondencia con Gauss sobre

la geometría no euclidiana-, una traducción al francés de Geometrische Untersuchungen, de Lobachevsky, (Investigación

Geométrica). Beltrami, en 1868 dio una realización concreta sobre la geometría de Lobachevski. Weierstrass , dirigió en 1870,

un seminario sobre la Geometría de Lobachevsky en el que fue asistido por Klein y, dos años más tarde, después de que

Klein y Lie, comentaran, en Paris ,esta nueva generalización de la Geometría, Klein presentó en Erlanger Programm, su punto

de vista general sobre la Geometría como propiedades invariables sometidas a la influencia de algún grupo de

transformaciones. Hubo más adelante dos grandes contribuciones a la Geometría de Lobachevsky hechas por Poincaré, en

1822 y 1887. Quizás ésto marca ,finalmente, la aceptación de las ideas de Lobchevskii que eventualmente fueron vistas como

pasos vitales, liberando el pensamiento de los matemáticos, tanto, que la relatividad teórica tuvo un fundamento matemático

natural.

Pegado de <http://www.lobachevsky.com/biografia.htm>


http://www.lobachevsky.com/biografia.htm

GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA:Los conceptos primitivos geométricos (punto, recta, plano) han surgido a partir de la necesidad de medir distancias

entre puntos o localidades, superficies y volúmenes de objetos.En civilizaciones antiguas como la de Egipto, Asiria, India, etc. ya se conocían las principales figuras geométricas y

la noción de ángulo. Pero fue en Grecia (Siglo VI y III a.C. principalmente) donde tuvo su principal desarrollo. En

Alejandría, entre los años 330 y 275 a. c. vivió un hombre que sistematizó y amplió los conocimientos geométricos

hasta entonces conocidos. Si bien pasó desapercibido (junto a su obra) en su época, estableció, bajo la forma

axiomática, las relaciones entre los conceptos primitivos y sus principales propiedades. De él hoy conocemos sólo su

nombre, Euclides, y que escribió en trece libros denominados Stoikheia (elementos), los axiomas y los teoremas

deducidos de ellos. Desgraciadamente no han llegado hasta nosotros toda esta bibliografía, sabemos de la existencia

de ellos a través de los comentarios que se han hecho posteriormente.

En el primer libro se enuncian los axiomas de enlace o existencia que relacionan a los conceptos primitivos entre sí y

sus principales propiedades. De ellos, para este trabajo, sólo nos interesan los cinco primeros.Ellos son:

1º- Trazar una recta de un punto cualquiera a otro: (lo que equivale a decir, por dos punto sólo pasa una recta )

2º- Prolongar por continuidad en línea recta una línea limitada: (aquí surge la confusión de suponer a la recta como

línea abierta únicamente.)3º- Describir el círculo con centro y radio dado.

4º- Todos los ángulos rectos son iguales.

5º- Si una recta al intersecar a dos rectas en un plano, forman ángulos internos sobre un mismo lado (ángulos

conjugados internos) cuya suma sea menor que dos rectas; entonces las rectas, si se prolongan indefinidamente, se

encontrarán del lado sobre el cual la suma sea menor que la de dos rectos.Este axioma fue motivo de discusión casi desde su formulación. El propio Euclides no lo utilizó hasta el teorema 29.

Su elaboración y la impresión de redundancia motivó la suposición que debería demostrarse como un teorema

partiendo de los demás postulados. Sólo hace poco más de un siglo que la idea de tomarlo como un postulado

independiente de los demás ganó adeptos y hace menos de cien años se demostró, efectivamente, que era

imposible demostrarlo.

NEGACIÓN DEL QUINTO POSTULADO:

Como ya se ha dicho, de los cinco postulados del sistema euclidiano, los cuatro primeros traducen propiedades más

o menos evidentes, pero el quinto llama la atención por su mayor complejidad y por carecer de la evidencia intuitiva

de que gozan los demás. Probablemente al propio Euclides le molestara esta deficiencia por lo que evita utilizarlo lo

más posible.

Sólo lo aplica por primera vez para demostrar la proposición 29 del libro I que dice : "una recta que corta a dos

paralelas forma con ellas ángulos alternos internos iguales, correspondientes iguales e interiores de un mismo lado (conjugados internos) suplementarios."El esfuerzo de Euclides por evitar el uso del postulado V y construir la geometría con independencia del mismo

justifica la muy repetida frase de que Euclides fue el primer geómetra no euclidiano, o que la geometría no

euclidiana nació negando su paternidad.

La primera idea que prevaleció por más de veinte siglos fue la de querer demostrar este postulado. Los sucesivos

ensayos de demostración no dieron otro resultado que llevarlo a formas equivalentes, aunque, en ciertos casos, con

apariencia muy distinta a la versión original.CUANDO EL PARALELISMO EQUIVALE AL QUINTO POSTULADO:

Una tendencia que afloró repetidas veces fue la de modificar la definición de rectas paralelas. Para Euclides eran

aquellas que "no se encuentran por más que se las prolongue" (Def. XXIII, libro I) . Proclo, matemático bizantino al

que se le deben las pocas noticias sobre Euclides, las define diciendo: "la distancia entre dos puntos de dos rectas

que no se cortan puede hacerse tan grande como se quiera prolongando suficientemente las dos rectas". Esta

proposición, que atribuye a Aristóteles y toma como evidente, vale que siempre las rectas se consideren líneas no

cerradas. Así el 5º postulado puede enunciarse como :V 1 : Si una recta encuentra a una de dos paralelas, encuentra necesariamente a la otra.

V 2 : Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí

V 3 : Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha recta.

Esta última aseveración es la más conocida, la más comúnmente utilizada en la actualidad en los textos de

geometría y se la atribuye usualmente a John Playfair, matemático y geólogo inglés de principios del siglo XIX. Otra orientación que propone un nuevo aspecto en la incidencia del postulado es la del Jesuita G. Saccheri según la cual

se demuestra que dicho axioma es equivalente a afirmar que: " la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos ".

LAS GEOMETRÍAS: Diferencias

1. Si se lo acepta: Por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una recta paralela a ella.

Existen tres tipos de geometrías que surgen a partir del quinto postulado:

Estamos frente a la geometría euclidiana, la que aprendemos en el colegio secundario.

2. Por un punto exterior a una recta pasan infinitas rectas paralelas a ella.

Si se lo niega quedan dos opciones:

3. Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna recta paralela a ella.

Estamos frente a la geometría no euclidiana llamada hiperbólica. Ej. Silla de montar.

Estamos frente a la geometría no euclidiana llamada elíptica donde sus rectas son rectas cerradas llamadas

geodésicas. Ej. globo terráqueo.

Geometría no euclideana

lunes, 04 de diciembre de 200612:08 a.m.


Una forma de comprender las diferencias entre las tres geometrías se encuentra en la demostración de la

proposición según la cual "la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º (un llano)", válida

únicamente en la geometría euclidiana por ser equivalente al quinto postulado. En la geometría elíptica la suma de

los ángulos interiores de un triángulo es mayor que 180º mientras que en la geometría hiperbólica es menor.

El LADO OSCURO DE LOS ELEMENTOS

Los célebres Elementos de Euclides es una obra extensa, exhaustiva, que sin embargo deja sin enunciar

explícitamente hechos esenciales como que dos circunferencias pueden cortarse, que toda circunferencia define un

recinto interior y otro exterior, etc.Es por eso que Bertrand Russell, con criterios de rigor modernos, pudo decir que la cuarta proposición euclidiana era

una "trama de sin sentidos" declarando además escandaloso que estos libros fueran empleados (en su época) como

libro de texto.

Por otra parte, la geometría de Euclides fue el primer intento decisivo de organizar axiomáticamente esta disciplina,

y malamente podemos considerarlo culpable de no detectar todos los que le pondrían D. Hilbert y otros al formalizar el sistema de principios de este siglo. Entre las pruebas del genio de Euclides, ninguna más llamativa que la comprensión de que su notorio quinto postulado no era un teorema sino un axioma, y como tal, es preciso aceptarlo

sin demostración.

LA GUERRA DE LA GEOMETRÍA

A principios del siglo XIX los esfuerzos por demostrar el postulado de las paralelas adquirieron carácter de manía.

El matemático alemán Karl F. Gauss (1777 – 1855) fue probablemente quién creyera por primera vez en la

independencia del quinto postulado al aceptar la posibilidad lógica de que existiera una geometría en la cual se negara al quinto postulado, pero, por temor a la incomprensión no publicó nada al respecto y sus reflexiones sobre el tema se conocieron sólo a través de correspondencia.

En 1829 se publicó el primer trabajo sobre geometría no – euclidiana, fue escrito por el matemático ruso

Lobachevsky (1793 – 1856), pero el desconocimiento del idioma ruso fuera de la propia Rusia y las muchas críticas

que recibió en su país, impidieron que su trabajo llamara particularmente la atención.El húngaro Farkas Bolyai derrochó gran parte de su vida en tarea de demostrar el quinto postulado y en su juventud

lo analizó no pocas veces con su amigo alemán Karl F. Gauss. Janos Bolyai, hijo de Farkas, llegó a obsesionarse de

tal forma con el problema que su padre, conmovido, llegó a escribirle: "Por amor de Dios, te lo suplico, abandona.

No le temas en menor grado a las pasiones de los sentidos, por que, como ellas, puede robarte todo tu tiempo y

privarte de la salud, la tranquilidad de ánimo y el goce de la vida."

Janos no atendió a los ruegos de su padre y llegó a convencerse muy pronto que el postulado, además de ser

indemostrable, era independiente de los restantes y de su negación podía crearse un sistema diferente

geométricamente coherente. Ufano escribiría a su padre en 1823: "de la nada he creado un universo nuevo". Farkas

rápidamente pidió permiso a su hijo para publicar sus afirmaciones en el apéndice de un libro que estaba

terminando de escribir. La breve obra maestra de Janos apareció, efectivamente, en el libro de su padre tres años

después de la publicación del matemático Ruso. Lo peor es que cuando Farkas envió el apéndice a su amigo Gauss,

el príncipe de las matemáticas le contestó que de alabar la obra estaría alabándose a sí mismo pues él había

realizado idéntico trabajo muchos años antes aunque sin publicarlo, en otras cartas explicó de su miedo a las

reacciones de sus colegas conservadores. Anonadado por la carta de gauss, Janos incluso llegó a sospechar que su

padre hubiera podido revelar al alemán su formidable trabajo. Cuando, años más tarde, supo que el trabajo de

Lobachevsky había salido antes que el suyo, Janos perdió interés en el tema y no volvió a publicar nada más. Hay

que tener en cuenta que Janos era oficial de caballería y que para él las matemáticas eran sólo un hobby.

En ciertos aspectos la historia del jesuita italiano Giolaro Saccheri es más triste que la anterior. Saccheri llegó a

construir ambos tipos de geometrías ¡sin darse cuenta!. En todo caso Saccheri se negó a aceptar que ninguna

geometría de estas estuviera libre de contradicciones, si bien algunos historiadores opinan lo contrario opinan que si

Saccheri hizo creer lo contrario fue para que publicaran su obra. "Proclamar que un sistema no – euclidiano pudiera

ser verdadero como el de Euclides hubiera sido una invitación temeraria a ser reprendido..." Por lo que el Copérnico

de la geometría se valió de un subterfugio: corriendo un riesgo calculado Saccheri denunció su propia obra

esperando que así, con esta mentira piadosa, lograra que su herejía burlara la barrera de la censura.

Lobachevsky y Bolyai construyeron una geometría donde, dada una recta (infinita) y un punto fuera de ella, había

infinitas rectas que pasaban por el punto pero no cortaban a la recta, o sea, eran paralelas. Habían establecido la

negación del quinto postulado y su geometría se llamaría "hiperbólica". Un momento importante en la historia de

estas geometrías ocurrió en 1854 cuando George B. Riemann (1826 – 1866) presentó una tesis en la universidad de

Gottingen, Alemania. Basándose en los trabajos de Gauss fundamentó una geometría basada en el concepto de la

curvatura. Las geometrías pasarán posteriormente a describirse como casos especiales de la geometría de Riemann.

APLICACIONES DE LA GEOMETRÍA NO – EUCLIDIANA:

Es curioso observar como los creadores de la geometría no euclidiana de la primera mitad del siglo XIX, a pesar de

su obra capital, parecieran alejarse del concepto platónico que preside Los Elementos de Euclides y, retrocediendo, vuelven a considerar la geometría como una ciencia destinada a medir las cosas de la tierra. En efecto, al vislumbrar la posibilidad de geometrías distintas de la euclidiana, en lugar de adquirir el convencimiento de que el postulado V

es indemostrable, y que en consecuencia, existen otras geometrías igualmente verdaderas, mostraron una

constante preocupación por averiguar, por vía experimental, cual era la verdadera geometría, es decir, cual era la geometría válida para la naturaleza.Descripciones no – euclidianas del mundo físico, utilizadas por ejemplo en la teoría de la relatividad y en las

investigaciones sobre fenómenos ópticos y sobre la propagación de ondas, se revelaron bastante adecuadas. Las

nuevas geometrías colaboraron así mismo en la interpretación de modelos representativos de conceptos abstractos

muy utilizados hoy en día en física y otras áreas de la ciencia, como por ejemplo la estadística.

A modo de ejemplo: Newton entendía a la gravitación como una acción de fuerzas. Dos masas (imaginemos dos

esferas) ejercen entre sí una fuerza que se "mueve"(figurativamente hablando) a lo largo de la recta que pasa por


esferas) ejercen entre sí una fuerza que se "mueve"(figurativamente hablando) a lo largo de la recta que pasa por

sus centros. Para Einstein la gravedad se debe a una "curvatura" del espacio – tiempo. Para él toda masa produciría

una distorsión, una curvatura en el espacio por el cual nosotros nos "deslizaríamos". Imaginemos una cama bien

tendida, su superficie se asemeja a una superficie euclidiana, una superficie plana. Si sobre esa superficie se apoya

un libro pesado esa superficie deja de ser plana para transformarse en "curva". Cualquier objeto que se encuentre

sobre la sábana cerca del libro se deslizará hacia él por efecto de la curvatura. En el caso del espacio – tiempo, La

Tierra, por ejemplo, curvaría nuestro espacio de manera que cuando soltamos un lápiz él se deslizaría por "esa

curvatura" hacia el suelo.

Actualmente las geometrías no – euclidianas aparecen vinculadas a trabajos de investigación concernientes a los

más diversos campos de interés de la matemática, así por ejemplo a los sistemas dinámicos, funciones automorfas y

la teoría de los números. Su utilidad es muy destacada en el estudio de variedades (superficies) tridimensionales.

Silvia Sokolovsky

Bibliografía:Geometría no – euclidiana Luis Santaló Ed. EUDEBA.

Geometría no – euclidiana, exposición crítico – histórica de su desarrollo. Roberto Bonola Ed. Espasa – Calpe

Argentina S.A.Fundamento de la matemática Alberto Dou Ed. Labor

Geometría no – euclidiana Sueli I. Rodrigues Costa y Sandra A. Santos. Revista: Ciencia Hoy, vol. 3 Nº 15 Set. –

Nov. 1991 pg.34Relatividad general, el renacimiento. Damour Thibauld

Revista: Mundo Científico Vol. 7 Nº 72Juegos Matemágicos: El célebre postulado euclídeo de las paralelas y sus modernos herederos. Martín Gardner.

Revista: Investigación y Ciencia Nº 63 Dic. 1981. Pg. 122Geometría y Realidad física. Edgardo Datri. Ed. Educo. Febrero 1999

Pegado de <http://soko.com.ar/matem/geometria/geometria_no_euclidiana.htm>


http://soko.com.ar/matem/geometria/geometria_no_euclidiana.htm

Sobre los principios fundamentales de la Geometría

Intentos de demostración del quinto postuladoDr. D. Luis Javier Hernández Paricio

Catedratico de Geometría y Topología

Departamento de Matemáticas y Computación

[email protected]

En el siglo V, Proclo, en sus comentarios, criticó el quinto postulado del siguiente modo: "Debe ser borrado por completo de

los postulados porque se trata de un teorema henchido de dificultades, que Tolomeo se puso a resolver en un libro, y su

demostración requiere varias definiciones y teoremas. Más aún: La proposición conversa es efectivamente demostrada por el propio Euclides como un teorema. La afirmación" de que puesto que cuando las rectas son prolongadas más y más, alguna vez se cortarán parece plausible pero no necesaria. Por esto, es claro que debemos dar una prueba de este teorema, que es ajeno al

carácter especial de los postulados" El mismo Proclo dio la siguiente demostración del quinto postulado:

"Dadas dos rectas paralelas m y l. Suponer que n es distinta de m y que corta a m en P. Sea Q el pie de la perpendicular desde P

a l. Veamos que n corta a l. Si n coincide con la recta PQ, n corta a l. Si n no coincide con la recta PQ una de las semirectas de n la PY está entre la semirecta PQ y una semirecta de m. Sea X el pie de la perpendicular de Y hasta m. Ahora si Y se desliza hasta

el final de n, el segmento XY crece indefinidamente y como la distancia entre m y l es constante, en algún momento deberá cruzar l."

Destaquemos dos claros errores en el argumento anterior: En primer lugar, una magnitud puede crecer indefinidamente sin

rebasar un tope prefijado. Y en segundo lugar, no podemos presuponer que la distancia entre m y l es constante. Si se dice que son paralelas, son paralelas (no se cortan) y nada más. La huida de Mahoma de la Meca a Medina en el 622 d. C. inició la época de dominación árabe. En un siglo su influencia se

había extendido desde la India hasta Persia, Mesopotamia, Norte de África y España. En el 641 Alejandría cayo bajo el imperio

árabe y con el paso del tiempo Bagdad se convirtió en la "nueva Alejandría". Los Califas de Bagdad no sólo gobernaron sabia y

correctamente sino que muchos fueron protectores de la cultura invitando a escolares de prestigio a sus cortes. Numerosos trabajos hindúes y griegos en astronomía, medicina y matemáticas fueron diligentemente traducidos al árabe y así se salvaron

hasta que posteriormente traductores realizaran versiones en latín y otras lenguas vernáculas. Un ejemplo importante de este proceso de transmisión lo constituye el Codex Vigilamus, que se escribió en Albelda el año 957, y que es el primer manuscritooccidental en el que aparecen las cifras indo-arábigas de nuestro sistema decimal de numeración. Actualmente este manuscrito

está depositado en la Biblioteca de San Lorenzo del Escorial.

Uno de los primeros centros de enseñanza occidentales fue el creado por Gerberto (940-1003) en la ciudad francesa de

Reims. En su escuela Gerberto enseñaba numerosos métodos de cálculo con la importante novedad de que también empleo los

guarismos indo-árabes. Entre los libros escritos por Gerberto citamos su "Geometría" en la que podemos encontrar la siguiente descripción:

"Dos líneas rectas distintas continuamente una de la otra por el mismo espacio y que cuando se prolongan indefinidamente

nunca se cortan se denominan paralelas; es decir, equidistantes." Esta definición de rectas paralelas recoge dos aspectos: El primero, es que no tengan puntos comunes y el segundo que la

distancia entre estas sea constante. Hacemos notar que la segunda propiedad no es obvia y su demostración depende del quinto

postulado. Desde el 999 hasta el 1003 en el que murió, Gerberto fue el papa romano Silvestre II. Las matemáticas de los árabes fueron excelentes en álgebra aritmética y trigonometría. La teoría de las paralelas fue

también estudiada aunque sin grandes resultados. Ibn-al-Haitham (en torno a 965-1039), conocido como Alhazen en Occidente,

dio una demostración del quinto postulado argumentando que si un cuadrilátero tiene tres ángulos rectos también es recto el

cuarto. En su demostración supuso que el lugar geométrico de los puntos equidistantes a una recta dada era de nuevo una recta.

Cayó en la trampa de la línea equidistante. La simple afirmación de que existan dos rectas equidistantes es equivalente al quinto

postulado. Por otro lado, la propiedad que afirma que en un cuadrilátero si tres de sus ángulos son rectos también lo es cuarto,

es también equivalente al quinto postulado.

Para los árabes el nombre de Omar Khayyam (en torno a 1050-1123) es conocido por sus contribuciones en astronomía y

álgebra. Los esfuerzos de Omar en la teoría de las paralelas se pueden encontrar en "La Verdad de las Paralelas y Discusión

sobre la famosa duda" que es la parte I de su Discusión sobre las dificultades de Euclides. Omar Khayyam estudió, 600 años antes que Saccheri, cuadriláteros ABCD en los que AB es congruente con CD y los ángulos en A y en D son rectos.

Probó que los ángulos superiores del cuadrilátero eran congruentes. También demostró que la perpendicular por el punto medio

de la base corta perpendicularmente en el punto medio del lado opuesto. Además obtuvo el siguiente resultado: "En el



de la base corta perpendicularmente en el punto medio del lado opuesto. Además obtuvo el siguiente resultado: "En el cuadrilátero anterior la longitud del BC es mayor que la de AD si y sólo si el ángulo en B es agudo; BC es congruente a AD si y

sólo si el ángulo en B es recto y BC es mayor que AC si y sólo si el ángulo en B es obtuso. La posibilidad de que este ángulo fuera agudo o obtuso fue negada a partir del argumento de que "la distancia entre rectas paralelas ni se expande ni se contrae, que es

por lo menos lo que en verdad los filósofos piensan." Mencionaremos también al astrónomo árabe Nasir Eddin (1201-1274) que trabajó para Hulagu Khan, hermano de Kublai

Khan y nieto de Genghis Khan. Realizó una versión de los Elementos de Euclides y entre las proposiciones 28 y 29 dio una

demostración del quinto postulado. Supuso incorrectamente que si un cuadrilátero ABCD tiene ángulos rectos en A y en D,

entonces el ángulo en B es agudo si y sólo si el ángulo en C es obtuso. De nuevo encontramos una propiedad que se verifica en

geometría euclidiana y que en geometría absoluta es equivalente al quinto postulado.

Probablemente el primer occidental que analizó el postulado de las paralelas fuera el rabí de Aviñon conocido por

Gersónides(1288-1344) que trabajó con cuadriláteros equiláteros y equiángulos. Aquí tenemos que la proposición que afirma que

los ángulos de un cuadrilátero equilátero y equiángulo son rectos es también equivalente al quinto postulado.

Posteriormente, ya a través de una imprenta, Clavio realizó una edición comentada de los Elementos de Euclides en la ciudad de

Roma en 1584. En esta edición a las 468 proposiciones de Euclides se añadieron 671 más de su propia invención creando un universo de 1234 proposiciones. Se realizó incluso una edición china (1603-1607) de la primera parte de esta versión comentada

de Clavio. Mencionaremos que posteriormente tanto Saccheri como Descartes aprendieron geometría de la edición de Clavio. En su versión monumental, Clavio, llamado por algunos el Euclides del siglo XVI, también incluyó una demostración del quinto

postulado en la que otra vez se utilizaba el argumento erróneo de que una línea equidistante a una línea recta es una recta. John Wallis (1616-1703) siendo profesor de la Universidad de Oxford se interesó en el trabajo de Nasir Eddin, y tradujo al

latín los comentarios del astrónomo persa sobre las paralelas. Como consecuencia de este interés, John Wallis dio una nueva demostración en el año 1663. Para ello Wallis presuponía que dado un triángulo siempre existían triángulos similares a éste y no

congruentes. Sin embargo, esta afirmación es equivalente al quinto postulado. Mención especial requiere el italiano Girolamo Saccheri (1667-1733). Éste ingresó en los Jesuitas a los 23 años, fue profesor

de Teología en un Colegio Jesuita de Milán, posteriormente enseño filosofía en Turín. Más tarde fue profesor de Matemáticas en

la Universidad de Pavía. En este periodo aplicó su método favorito "la reducción al absurdo" para probar el quinto postulado.

Saccheri estudió cuadriláteros ABCD en los que AB es congruente con DC y los ángulos en A y D son rectos, exactamente iguales

que los que había estudiado Omar Khayyam.

1 ) Los ángulos en B y C son rectos.

2 ) Estos ángulos son obtusos.

3 ) Dichos ángulos son agudos.

En los cuadriláteros que denominaremos de Saccheri existen tres casos posibles:

En las condiciones habituales de la geometría absoluta, se puede probar que la suma de los ángulos interiores de un

cuadrilátero de Saccheri es menor o igual que dos llanos. Así que el segundo caso queda descartado. Sin embargo, por mucho

que lo intentó, no consiguió llegar a una contracción suponiendo que se verificara el tercer caso. Por esta razón la llamo la

enemiga hipótesis del Ángulo Agudo. Bajo la hipótesis del Ángulo Agudo, Saccheri probó numerosos resultados de la geometría

no euclidiana. En particular citemos el siguiente resultado:

Proposición IX. Bajo las hipótesis del Ángulo Recto, Ángulo Obtuso o Ángulo Agudo, respectivamente se tiene que la suma de

los ángulos de un triángulo es dos rectos, mayor que dos rectos o menor que dos rectos. También probó que bajo la hipótesis del Ángulo Agudo, dada una recta y un punto exterior, en el haz de rectas que pasan

por el punto exterior existen dos rectas asintóticas que dividen al haz en dos partes, en una parte están las rectas que cortan a la recta dada y la otra, las rectas que no la cortan. El ángulo

(AB) formado por la recta AB y una de las semirectas asintóticas se llama ángulo de paralelismo asociado a la distancia AB.

Observemos que la geometría resultante cuando consideramos la hipótesis el Ángulo Agudo no es compatible con el quinto

postulado y aparecen proposiciones diferentes a las de la geometría euclidiana. Recordemos que la Proposición 29 de los Elementos asegura que la suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos. No obstante, la conclusión final de su trabajo se basa más en la intuición y en su creencia en la validez del quinto postulado

que en la lógica. Su argumento final se apoya en la afirmación de que bajo la hipótesis del Ángulo Agudo se pueden construir dos rectas paralelas distintas que tendrían una perpendicular común en el punto del infinito, lo que es contrario a la naturaleza de la

línea recta. Es decir que la hipótesis del Ángulo Agudo es falsa porque repugna la naturaleza de la línea recta. Ciertamente, Saccheri había probado muchos teoremas de la geometría no euclidiana pero no fue capaz de valorar el tesoro


Ciertamente, Saccheri había probado muchos teoremas de la geometría no euclidiana pero no fue capaz de valorar el tesoro

que había encontrado. Lo desechó a causa de su fe ciega en la validez del quinto postulado. El fruto de sus investigaciones fue recogido en su libro "Euclides ab omni naevo vindicatus". Saccheri murió el 25 de Octubre

de 1733; poco antes, había recibido el permiso, para imprimir el citado libro, de la Inquisición con fecha 13 de Julio y del

Provincial de los Jesuitas con fecha 16 de Agosto. El libro de Saccheri atrajo una considerable atención en el tiempo de su

publicación. En las historias de matemáticas realizadas en Alemania y Francia durante el siglo XVIII se menciona dicho libro. Sin embargo, en Francia e Italia pronto se olvidó esta obra aunque no ocurrió lo mismo en Alemania.

Posteriormente, el suizo Johann Heinrich Lambert (1728-1777) escribió la obra "Die Theorie der Parallellinien" (La teoría de

las Paralelas) que se publicó después de su muerte. En su trabajo Lambert se preguntó si el quinto postulado se podría deducir a

partir de los demás o si sería necesaria alguna hipótesis adicional. Después dio diferentes afirmaciones que necesitaban ser

probadas pero que implicaban el quinto postulado. En la parte final consideró cuadriláteros pero con tres ángulos rectos. De

nuevo tenía las tres hipótesis posibles respecto al cuarto ángulo. Bajo la hipótesis del Ángulo Agudo, Lambert probó que el área

de un triángulo es proporcional a su defecto, que es la diferencia entre un llano y la suma de sus ángulos interiores.

Observemos aquí la diferencia del área de un triángulo establecida en la Proposición 41 de los Elementos como la mitad de un

rectángulo con la misma base que el triángulo y su misma altura. Bajo la hipótesis del Ángulo Agudo existe una cota superior

constante de modo que el área de cualquier triángulo es siempre más pequeña que esa cota superior. En la geometría euclidianaesa área se puede hacer tan grande como queramos. En la geometría no euclidiana los triángulos con área pequeña tienen ángulos interiores cuya suma es próxima a dos rectos y en los triángulos de área grande la suma de los ángulos será tan

pequeña como deseemos. También conjeturó que la hipótesis del Ángulo Agudo se podría verificar en una esfera de radio imaginario puro. Quizás llegó

a esta conclusión al analizar la fórmula (A+B+C-

)r2 que determina el área de un triángulo esférico de ángulos A, B y C en una esfera de radio r. Si se toma como radio r=si,

donde i es el imaginario puro, se obtiene que el área sería s2 (

-A-B-C) es decir el área sería proporcional al defecto.

Adrian Marie Legendre (1752-1833) fue un eminente y quizás el más infatigable en la búsqueda de la demostración del

quinto postulado. Sus varios intentos aparecieron en las doce ediciones de sus "Élements de géométrie" desde 1794 hasta 1823.

Su monografía "Réflexions sur differéntes manières de démostrer la théorie des paralléles ou le théorème sur la somme des trois

angles du triangle" apareció en 1833, véase [15], cien años después de la publicación del libro de Saccheri. Aunque la

publicación del libro de Saccheri produjo curiosidad, sus contenidos no eran muy conocidos, de modo que en sus trabajos

aparece de nuevo el resultado de que en geometría absoluta la suma de los ángulos de un triángulo es menor o igual que dos

rectos; también prueba que si existe un triángulo cuyos ángulos suman dos rectos, entonces todos los triángulos tienen esa

propiedad. Estos resultados ya habían sido probados en el libro de Saccheri que a su vez contenía resultados ya probados por

Omar Khayyam. Después de sus variadas demostraciones e investigaciones, Legendre pensó que finalmente había removido las

dificultades de la fundamentación de la geometría. En sustancia, sin embargo, no aportó nada a los resultados obtenidos por sus

predecesores en la teoría de las paralelas.

Del análisis basado en comentarios de historiadores antiguos, manuscritos y libros impresos antiguos se desprende:

Que son muy numerosos los intentos que desde el siglo III a. C. hasta el siglo XIX se realizaron para probar el quinto

postulado de Euclides. Estos estudios los realizaron personas de distintas religiones y culturas. Recordemos al rabí Gersónides

con sus cuadriláteros equiláteros y equiángulos, al musulmán Omar Khayyam o al jesuita Girolamo Saccheri.

"existen dos rectas equidistantes"

"la distancia entre rectas paralelas ni se expande ni se contrae""una línea equidistante a una línea recta es una recta""en un cuadrilátero, si tres de sus ángulos son rectos también lo es cuarto"

"si un cuadrilátero ABCD tiene ángulos rectos en A y en D y AB es congruente con DC, entonces el ángulo en B es agudo

si y sólo si el ángulo en C es obtuso""los ángulos de un cuadrilátero equilátero y equiángulo son rectos"

"existen dos triángulos similares pero no congruentes""dado un triángulo siempre existen triángulos similares a éste y no congruentes"

"por un punto que no esté en una recta dada pasa una única paralela""por tres puntos no colineales pasa una única circunferencia""la suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos"

Que todas las demostraciones contenían algún fallo que normalmente consistía en una afirmación que es correcta en

geometría euclidiana y que en cierto sentido parece que sea algo evidente que no sea preciso demostrar. Algunas de estas "verdades evidentes" que de modo erróneo se utilizaron para purificar los fundamentos de la geometría son las siguientes:

Todas estas afirmaciones y otras muchas más en la geometría absoluta son equivalentes al quinto postulado. Es decir, que

se puede sustituir el quinto postulado por una cualquiera de ellas. En este caso la afirmación elegida adquiere el carácter de

postulado, el quinto postulado abandona su carácter axiomático para convertirse en una proposición que necesita demostración y también serán proposiciones o teoremas el resto de las afirmaciones.

Especial mención requieren los resultados obtenidos por Saccheri, que indudablemente son los primeros resultados de

importancia en la geometría no euclidiana. El método de trabajo de Saccheri de que negando el quinto postulado se acabaría

encontrado una contradicción abrió la puerta al descubrimiento de la geometría no euclidiana. Realmente Saccheri había descubierto la geometría no euclidiana pero su fe ciega de que la verdad del quinto postulado lo llevó a recurrir a falacias más o menos elaboradas para que la enemiga hipótesis del Ángulo Agudo se destruyera a sí misma.

No sabemos si Saccheri o Lambert hicieron experimentos realizando mediciones de los ángulos interiores de un triángulo.

No obstante, el margen de error de los instrumentos de medición angular de la época les dejaba un margen suficientemente

grande para poder haber asegurado que también existía una geometría en la que la suma de los ángulos de un triángulo era

menor que dos rectos. No lo afirmaron porque pensaban que no podía existir más que una geometría correcta para describir el


menor que dos rectos. No lo afirmaron porque pensaban que no podía existir más que una geometría correcta para describir el espacio, la euclidiana.

Dr. D. Luis Javier Hernández Paricio

Catedratico de Geometría y Topología

Departamento de Matemáticas y Computación

[email protected]

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http://euclides.org/menu/articles/aarticle2.htm

INTRODUCCIÓN

"La ciencia es la humildad en la búsqueda de lo verdadero y en cuanto pierda esa humildad ya no es más que

una forma de embaucamiento".Escohotado (1)

Los Elementos -año 300 aC.-, son un trabajo fascinante de la ciencia al que cabe dedicar atención, estudio y

conocimiento por razones varias de naturaleza distinta. Su belleza ,- una razón sin lugar a dudas- colabora en el

desarrollo lógico de la geometría y de otras ramas como las Matemáticas y las Ciencias Exactas. La eficacia que emana

de la obra determina el valor universal que la distingue de otros intentos. Los Elementos se han transmitido a lo largo

de 24 siglos a través de muchas ediciones y en lenguas como el Griego original, el Árabe, el Latín y en lenguas

modernas como Inglés, Alemán, Euskera y esta versión Castellana y Catalana.Esta versión de los Elementos nace con dos intenciones. Recuperar el interés intrínseco de la obra por la dimensión

universal y disponer de una versión interactiva que combine los trazados dinámicos asociados con una versión

contemporánea, y en lenguas diversas para su comparación. El documento El uso del applet de Java que ilustra ésta

versión es de lectura recomendada y con la autorización de uso de David Joyce que es a quien esta versión debe su

agradecimiento por la dimensión práctica que aporta a la reflexión y al estudio de la geometría. Es el movimiento de

los elementos geométricos lo que genera la percepción de espacio tridimensional en el aparato conceptual de cada uno

y que disipa en ese sentido ciertas ambigüedades ineludibles de los trazados estáticos.

El texto de esta versión se basa en el texto de Heath (2), una traducción latina del texto que Heiberg y Menge (3)

tradujeron del griego y de la que podemos consultar las Definitiones en Latín. Confrontada también con la versión

adaptada y modernizada de Joyce (4) en ciertos pasajes, ésta versión consta de 132 definiciones, 5 nociones comunes

o axiomas, 5 postulados y 465 proposiciones. Leves diferencias presenta la versión castellana de Puertas (5), una

referencia impecable con una Introducción General y un conjunto de notas de apreciada elocuencia y claridad.

El Libro XII y el Libro XIII están completos y disponible en Castellano-Catalán, comparables con el texto de Heath. Con

multitud de correcciones pendientes esperamos sea el inicio de la nueva fase que inagura el proyecto.

NOTAS

(1) ESCOHOTADO. Caos y Orden, 1999.

http://www.escohotado.org

(2) HEATH, Sir THOMAS LITTLE (1861-1940).

The thirteen books of Euclid's Elements translated from the text of Heiberg with introduction and commentary . Three

volumes. University Press, Cambridge, 1908.Consultada y disponible en

http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?lookup=Euc.+1

http://www.perseus.tufts.edu

(3) HEIBERG, JOHAN LUDWIG (1854-1928)

Euclidis opera omnia. 8 vol. & supplement. 1883-1916. Edited by J. L. Heiberg and H. Menge.

Consultada y disponible en



(4) JOYCE, DAVID. Euclid´s Elements. « (...) but it is slightly less literal to make it more readable.»

Cfr.

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/aboutText.html

http://aleph0.clarku.edu

(5) PUERTAS CASTAÑOS, MARÍA LUISA. Elementos de Euclides. Ed. Gredos, 1991.

Disponible en

http://matematiques.org

Pegado de <http://www.euclides.org/menu/elements_esp/introduccion.htm>

EUCLIDES

Poco sabemos de la vida real de Euclides. Vivió en Alejandría alrededor del año 300 aC. Esta fecha se basa en los

pasajes del libro de Proclus Comentarios del I Libro de los Elementos de Euclides. De hecho muchas de las fechas que

se manejan se basan en conjeturas y opiniones de Proclus. Después de nombrar a dos estudiantes de Platón, Proclus

escribe:

Todas las historias que se han escrito referentes a este punto caen en la cuenta del desarrollo de esta ciencia. No

mucho tiempo después de la llegada de Euclides, reunió en los Elementos la sistematización de los Teoremas de

Theatetus y añadiendo las irrefutables demostraciones de las proposiciones que sus precursores no habían

establecido. Él vivió en la época de Tolomeo I ya que Arquímedes que vivió después ya mencionaba a Euclides. Se dice

que Tolomeo I una vez preguntó a Euclides si había un camino más corto para aprender geometría que no fuera a

través de los Elementos y Euclides replicó que no había un camino real hacia la geometría. Euclides por lo tanto es

posterior al grupo de Platón y anterior a Eratosthenes y Arquímedes que eran contemporáneos tal y como Eratosthenes

dice en alguna ocasión. Euclides se rindió a la persuación de Platón y siguiendo su filosofía concibió los Elementos en

toda su globalidad y un camino fué la construcción de los conocidos sólidos platónicos.

(Proclus, ed. Friedlein, p.68, tr. Morrow).

Es evidente que Proclus no tenía pruebas directas de la vida de Euclides pero lo sitúa entre los estudiantes de Platón y

Los Elementos



http://www.escohotado.org





http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/aboutText.html

http://aleph0.clarku.edu

http://matematiques.org

http://www.euclides.org/menu/elements_esp/introduccion.htm

Es evidente que Proclus no tenía pruebas directas de la vida de Euclides pero lo sitúa entre los estudiantes de Platón y

Arquímedes, sin demasiados miramientos alrededor del año 300 ac. Proclus vivió unos 800 años después, en el siglo V

dC. Hay otros comentarios históricos sobre Euclides. Los más importantes empiezan con Pappus, siglo IV dC que ya

dice que Apolonio (siglo III aC) estudió con Euclides en Alejandría. Así, prácticamente no sabemos nada de Euclides,

pero tenemos más escritos de él que de ningún otro matemático de la antigüedad. A parte de los Elementos tenemos

la obra Data, On Divisions of Figures, la obra Phaenomena y la obra Optics. Todas ellas están incluídas en la Obra

Completa de Euclides que Heiberg y Menge tradujeron del griego al latín. Se encuentran en el listado otras

traducciones. Euclides escribió también otros libros cortos que serían mencionados por escritores posteriores. Se

incluyen Surface Loci, Porism, Conics y la Pseudaria (el Libro de los Errores).

Archibald, Raymond Clare (1875-1957).

Euclid's book on division of figures. Cambridge University Press, Cambridge, 1915.

Berggren, J. L. Euclid's Phaenomena: a translation and study of a Hellenistic treatise in spherical astronomy. Garland,

1996?

Bretschneider, Karl Anton. Die Geometrie und die Geometer vor Eukleides; ein historischer Versuch. Teubner, Leipzig,

1870.

Busard, H.L.L. First Latin translation of Euclid's "Elements" commonly ascribe to Adelard of Bath. Pontifical Institute.

Chasles, M. (Michel) (1793-1880)

Les trois livres de porismes d'Euclide, rétablis ... d'aprés la notice ... de Pappus. Mallet-Bachelier, Paris, 1860.

Frankland, William Barrett. The first book of Euclid's Elements with a commentary based principally upon that of

Proclus Diadochus. Cambridge Univ Press, New York, 1905.

Heath, Sir Thomas Little (1861-1940)

The thirteen books of Euclid's Elements translated from the text of Heiberg with introduction and commentary. Three

volumes. University Press, Cambridge, 1908. Second edition: University Press, Cambridge, 1925. Reprint: Dover Publ.,

New York, 1956. Reviewed: Isis 10 (1928),60-62.

Heiberg, J. L. (Johan Ludwig) (1854-1928)

Euclidis opera omnia. 8 vol. & supplement. 1883-1916. Edited by J. L. Heiberg and H. Menge.

Kayas, G. J. Les Eléments. CNRS, 1978.

Knorr, Wilbur Richard The evolution of the Euclidean elements. A study of the theory of incommensurable magnitudes

and its significance for Greek geometry. Synthese Historical Library, vol. 15. Reidel, Dordrecht-Boston, 1975.

Reviewed: MR 57#12003.

Morrow, Glenn R. Proclus: A commentary on the first book of Euclid's elements. Translated by G. R. Morrow. Princeton

Univ Press, Princeton, 1970.

Mueller, Ian. Philosophy of mathematics and deductive structure in Euclid's Elements. MIT Press, Cambridge, Mass.,

1981.

Schmidt, Robert. Euclid's Recipients, commonly called the Data. Golden Hind Press, 1988.

Taisbak, C. M. Colored quadrangles. A guide to the tenth book of Euclid's Elements. Opuscula Graecolatina, 24.

Museum Tusculanum Press, Copenhagen, 1982. Reviewed: MR 84i:01022.

Thomas-Stanford, Charles Early editions of Euclid's Elements. Bibliographical Society, London, 1926. Reviewed: Isis 10

(1928), 59-60.

Thomson, William. Pappus' commentary on Euclid's Elements. Cambridge, 1930. Review: Isis 16 (1931), 132-136.

Pegado de <http://euclides.org/menu/elements_esp/euclidescastellano.htm>


http://euclides.org/menu/elements_esp/euclidescastellano.htm

1. El Método Básico (y necesario)

- Demontar el cubo girando cualquier capa 45 grados y levantando con cuidado una

arista haciendo palanca con un destornillador. El resto de las piezas salen con

facilidad.- Comprender el mecanismo y las piezas: hay esquinas, aristas y centros

- Los colores de una pieza nunca se pueden "mover" (¡están pegados!)

- Los centros siempre ocupan la misma posición relativa entre sí, de modo

que "dan nombre a cada cara" (cara roja, azul, blanca, etc.)- Al volver al montar el cubo, hacerlo siempre en la posición de "resuelto"

- Encajar como última pieza cualquier arista.

Pegado de <http://www.mailxmail.com/curso/vida/rubik/capitulo1.htm>

2. Convenciones

Cubo se refiere al cubo en su conjunto:- Las piezas que componen el Cubo son cubitos pueden ser de tres tipos: centros,

aristas o esquinas (también hay un eje)- Una cara del cubo es cualquiera de sus seis caras de un color

- Una capa del cubo son los nueve cubitos de una misma cara

- Girar una cara/capa se refiere a girar una cara/capa 90 grados

- Girar una pieza (arista, esquina) se refiere a cambiar la orientación de la pieza o

cubito, pero sin cambiar la posición en que se encuentra- Colocar una pieza se refiere a cambiarla de posición

- Una pieza invertida está bien colocada pero mal girada

- Aristas opuestas en la misma cara son las que están al otro lado del centro

- Voltear el cubo se refiere a mover el cubo completo, sin girar sus caras


El cubo Rubikviernes, 01 de diciembre de 200608:14 p.m.


http://www.mailxmail.com/curso/vida/rubik/capitulo1.htm


3. Notación estándar

Español

F Frente

T Detrás

A Arriba

B Abajo

D Derecha

I Izquierda

Inglés

Front F

Back B

Up U

Down D

Right R

Left L

Giros siempre de 90°

X en el sentido del reloj

X´ sentido inverso

X2 giro doble (180°)

(XY) n repetir grupo

Ej: RUR´U´ F2 (RD)2 R´

U2 D2 F2 B2 R2 L2

(En los dibujos en perspectiva,

la cara F queda situada a la izquierda)

Nombres esquinas: ^UFR, ^LFU...

Nombres aristas: ^FU, ^FR...


4. Notación: ejemplos

R F R´

F2 D´ F´



F2 D´ F´

D F R2 (F R´)2


5. Una solución en cinco pasos

Primera capa

- 1. Una cara (aristas + esquinas)

- 2. "Corona"

Segunda capa (intermedia)

- 3. Colocar (y girar) aristas

Tercera capa

- 4. "Cruz" (girar + colocar aristas)

- 5. Esquinas (colocar + girar esquinas)

En total se utilizan sólo seis algoritmos de entre 8 y

18 movimientos, fácilmente memorizables.

Solución optimizada para "recordar", no para velocidad.

Con alguna mejora permite conseguir tiempos sub-60


6. Primera capa

Elegir un color (un centro) para "arriba" y buscar todos los cubitos que tengan

ese color para irlos colocando alrededor.

Colocar las aristas (cruz) de ese color

- Procurando que además de los colores de arriba también coindican los colores de

los laterales.




Colocar las esquinas.

Es más o menos indiferente (fácil o difícil) colocar antes aristas o esquinas en esta

capa.Hay que pensar en las piezas como cubitos, no sólo como colores de una

cara. De este modo los movimientos para colocar aristas y esquinas en su sitio en la

primera capa son casi triviales y se descubren fácilmente.Hay que fijarse en el cubito de origen, no en lo que hay en la posición de destino

(es indiferente).


7. Primera capa: 10 ejemplos

1.-

R´ D´ R

2.-

F D F´ alt. R F´ R´ F

3.-



R´ D2 R y haciendo D =

= caso 1 (R´ D2 R D + R´ D´ R)

4.-

R´ D´ R y haciendo D =

= caso 1 (R´ D´ R + R´ D´ R)

5.-

R´ D´ R para deshacer, y colocar de nuevo


8. Primera capa: 10 ejemplos (cont.)

6.-

L´ R F´ R´ L

7.-



7.-

F´ L R´ D R L´

8.-

simétrico del anterior: R F B´ D´ B F´

9.-

L´ R F2 R´ L

10.-

L´ R F 2 R´ L (caso 9) y con D =

= caso 6


9. Segunda capa

Voltear el cubo (arriba = abajo)



Voltear el cubo (arriba = abajo)

- Localizar aristas que estén arriba que deban ir en la segunda capa (sandwich) y

colocarlas en posición ^FU o ^RU de modo que coincidan con el centro de las caras.

- Aplicar [1a] si está en ^FU; [1b] en ^RU

[1a] U R U´ R´ U´ F´ U F

[1b] U´ F´ U F U R U´ R´

- Si hay aristas invertidas (^FR), deshacer con [1a] o [1b]

- Repetir hasta colocar las 4 aristas de la segunda capa


10. Tercera capa: la cruz (girar aristas)

El objetivo es girar las aristas de la cara de arriba hasta formar una cruz, cuyo

color debe coincidir con el del centro de la cara de arriba.

- Si las aristas forman una "letra V", aplicar [2]



- Si las aristas forman una "letra V", aplicar [2]

[2] F U R U´ R´ F´

- Si las aristas forman una "letra I", aplicar [3]

[3] B´ R´ U´ R U B

- Con todas las aristas invertidas (en ese caso sólo el centro está bien), aplicar

[2], U, [3]


11. Tercera capa: la cruz (colocar)

El objetivo es colocar las aristas de la cara de arriba (que ya están correctamente

giradas):- Girar U hasta ver dos aristas bien en ÛF y ÛR y aplicar [4] para

intercambiar las otras dos aristas[4] U R´ U2 R U R´ U R

- Si dos aristas opuestas están bien, colocarlas en ÛF y ÛB, deshacer

aplicando [3] y resolver con U y [2][3] U [2]



[3] U [2]


12. Tercera capa: esquinas (colocar)

El objetivo es colocar las esquinas de la cara de arriba (aunque no estén bien

giradas). No hay que fijarse en la orientación ahora.

- Elegir una esquina bien colocada (aunque esté mal girada), situarla en la

esquina ^FUR y aplicar [5a] o su simétrico [5b][5a] L´ U R U´ L U R´ U´

[5B] B U´ F´ U B´ U´ F U

- Si no hay ninguna esquina colocada, aplicar [5a] o [5b] para deshacer y repetir la

colocación de nuevo


13. Tercera capa: esquinas (girar)

Voltear el cubo (esquinas giradas abajo)

- Elegir dos equinas a girar y colocar en F

- El poderoso algoritmo [6] gira dos esquinas en el mismo sentido (colores

iguales en ^FD van a D) sin modificar el resto del cubo- Repetir [6] si es necesario para girar más de dos esquinas, volteando el cubo

apropiadamente[6] (R U´ R´ U)2 D (U´ R U R´)2 D´




[6] (R U´ R´ U)2 D (U´ R U R´)2 D´


14. Tercera capa: esquinas (girar) (ejemplos)

Ejemplos de posiciones de la última fase (vista desde abajo, D, quedando F arriba)

[6] (R U´ R´ U)2 D (U´ R U R´)2 D´ (caso básico)

[6] =

Voltear 90° y [6] de nuevo

[6] =

Voltear 90° y [6] de nuevo (también abreviable modificando ligeramente [6]

cambiando D por D2)

[6] y [6]


15. Referencias y enlaces

Rubiks.com, página oficial

www.rubiks.com

Rubik´s Cube (Wikipedia) en.




www.rubiks.com

Rubik´s Cube (Wikipedia) en.

wikipedia.org/wiki/Rubiks_Cube

El Cubo de Rubik de la A a la Z

usuarios.lycos.es/rubikaz/

Rubik´s Cube Solution (Nerd Paradise)

www.nerdparadise.com/puzzles/333/solution/

Speedcubing

www.speedcubing.com

TwistyPuzzles

www.twistypuzzles.com

Mi colección de rompecabezas

www.microsiervos.com/rompeacabezas.html

Spanish Rubik Club (Yahoo Groups)

http://es.groups.yahoo.com/group/spanishrubiksclub



www.nerdparadise.com/puzzles/333/solution/

www.speedcubing.com

www.twistypuzzles.com

www.microsiervos.com/rompeacabezas.html

http://es.groups.yahoo.com/group/spanishrubiksclub


22/02/2004

Sangaku

Cuenta Julio A. Miranda Ubaldo que ”durante el Periodo EDO (1603-1867) Japón se encontraba aislado del mundo occidental,

durante este periodo el acceso a todas las formas de cultura occidental y afluencia de ideas científicas occidentales fue suprimido con eficacia. En este periodo de la historia japonesa gente docta de todas las clases, desde comerciantes y

granjeros hasta samurais(¿?) descubrían y solucionaban una amplia variedad de problemas geométricos, luego inscribían sus

trabajos en tablillas de madera, (usando en muchos casos vivos colores) que después eran colgadas en las azoteas de

santuarios shintoistas y templos budistas como una forma de agradecer a sus dioses.” La palabra Sangaku significa algo así como tablilla matemática . Los problemas planteados en la tablillas Sangaku pueden

perfectamente inscribirse en la matemática recreativa, y plantean endiablados problemas en los que aparecen

invariablemente círculos tangentes unos a otros, o polígonos inscritos en otros polígonos y en círculos. También aparecen

problemas con esferas tangentes a otras esferas, interior y exteriormente. Sin embargo no todos los problemas se ocupan

sólo de la geometría, sino también de problemas aritméticos y algebraicos.

Rescato la siguiente información de la página de Julio A. Miranda Ubaldo:

El Sangaku más antiguo que sobrevive hasta hoy fue encontrado en la prefectura de Tochigi y es del año 1683.

Aunque muchos sangakus se han perdido o quemado todavía existen alrededor de 820 de estas tablillas.

Un notable investigador de los sangakus fue el matemático japonés Yoshio Mikami (1875-1950) quien en sus trabajos: "A

history of Japanese mathematics" (Historia de las matematicas japonesas) de 1914 y "The Development of mathematics in

China y Japon" (El Desarrollo de las Matemáticas en China y Japón) de 1974 realizó importantísimos estudios sobre estas

tablillas matemáticas.

Hidetoshi Fukagawa es un matemático contemporáneo que ha viajado extensamente por todo el Japón para estudiar estas

tablillas y tiene una prolífica colección de libros que se ocupan no sólo de los sangakus sino también de otros aspectos de l as

matemáticas japonesas.

En 1989 Fukagawa junto con Daniel Pedoe publicó un trabajo titulado "Japanese temple goemetry problems: Sangaku" que

constituye la primera colección de sangakus en inglés.Otros matemáticos japoneses como Tatsuhiko Kobayashi y Shigeyuki Takagi también han hecho contribuciones importantes

al desarrollo de los problemas sangakus. Sin embargo no todos los problemas se ocupan sólo de la geometría, sino también de problemas aritméticos y algebraicos.

A modo de ilustración, vean ustedes estos dos bellísimos problemas:

Dado un círculo (verde) de radio r con dos círculos menores interiores tangentes entre sí y tangentes tangentes

al grande de radio r/2 (rojos), formamos un rosario de círculos (naranjas) tangentes cada uno al siguiente y a

los círculos verde y rojo como se muestra en la figura. En los espacios intersticiales de la figura colocamos círculos tangentes a los tres círculos que delimitan el intersticio (azules). Encontrar el radio del enésimo círculo

azul en función de r.

La resolución completa de este hermosísimo problema se encuentra (en inglés) aquí

Pegado de <http://tiopetrus.blogia.com/temas/matematicas.php>

Sangaku

lunes, 21 de abril de 200806:03 p.m.


http://tiopetrus.blogia.com/temas/matematicas.php

26/08/2005

Contando sudokus

Habrán pensado que este blog ha dejado de actualizarse...

En realidad ocurren dos cosas; una es la falta de pericia de su autor para seguir proponiendo paseos matemáticos, que pasados dos años de actividad

regular se va resintiendo, y otra es el periodo veraniego, poco apto para estas cosas. Sabrán perdonarme por ambas cuestiones.Para paliar un poco este silencio les propongo un reto difícil. Calcular el número de SUDOKUS lícitos.

Como supongo que sabrán, un sudoku es un cuadrado de 9x9 casillas (puede ser de otro tamaño, pero consideraremos este, por ser el más habitual. Las

casillas están agrupadas en nueve subcuadrados de 3x3. Pues bien; se deben rellenar las casillas con números del 1 al 9 de manera que no se repitan ni en las filas, ni en las columnas ni en los subcuadrados de 3x3.

Aquí tienen una explicación algo más pormenorizada de lo que es un sudoku, en el hipotético y extraño caso de que no se lo hayan encontrado aún en la

sección de pasatiempos de cualquier periódico.Ya hemos dicho varias veces que la combinatoria, no siendo más (ni menos) que el arte o la técnica de contar elementos de conjuntos), puede ser una

disciplina apasionante y muy complicada. Aquí tienen un ejemplo.Les espero.

26/08/2005 13:57 #. Tema: Para pensar Hay 15 comentarios.

05/08/2005

Una construcción imposible

Demostrar que una determinada construcción es posible puede ser un reto apasionante y difícil. En este mismo blog hemos deducido la existencia de un

objeto poliédrico que cumplía la propiedad tetraedal de que cada cara era adyacente a todas las demás, con un agujero interno, para luego presentarlo

como el denominado Poliedro de Szilassi .Cuando la construcción efectiva del objeto previamente definido se resiste, puede ser que la construcción sea imposible, que el objeto con las propiedades

requeridas no pueda existir, o que simplemente no hemos dado con ello. Si la situación se prolonga, podemos intentar demostrar la imposibilidad de

existencia del objeto de forma teórica, dando correctamente por zanjado el asunto. Esto último es lo que se hace con la duplicación del cubo, la trisección del ángulo de 60 grados o la cuadratura del círculo.

Algo así sucede con la construcción que les propongo a continuación; se trata de un problema que he encontrado en la web recientemente y que dice más

o menos así:Tenemos un cubo con una arista de treinta unidades. Queremos construirlo con 27 ladrillos, de forma que sólo utilicemos ladrillos enteros.

Las dimensiones de cada ladrillo son de cinco unidades de altura por diez de anchura y por veinte de largo.El volumen del cubo es igual al volumen de los 27 ladrillos de que dispongo, como pueden comprobar.

Para que no pierdan tiempo en intentar tal construcción, les adelanto que no es posible.

Se trata de encontrar un argumento que nos convenza de tal imposibilidad.

Feliz fin de semana.


10/06/2005

Congreso de creacionismo científico (y 2)

Los lectores han dado rápidamente con la solución correcta: son 1221 firmantes, y por lo tanto hay 179 personas asistentes al congreso con un mínimo de

conocimientos científicos, lo que hace un 12,78%.El problemilla es bastante soso e intrascendente, pero sirve para mostrar que a veces la solución de un problema está muy vinculada al conjunto

numérico en el que se desarrolla. En el dominio de los números reales, este problema no tiene solución porque los dos porcentajes que se dan se

refieren al total de firmantes, no al total de asistentes. No nos podrían ayudar a calcular el porcentaje de no firmantes.Pero sucede que en el dominio de los números naturales sí tiene solución porque tenemos dos restricciones más que nos aportan dos datos extra: el

12,1212...% y el 23,423423...% de firmantes deben ser ambos enteros. Esto no deja otra posibilidad que 1221, mínimo común multiplo de los denominadores de las respectivas fracciones para estos dos decimales periódicos puros._________________________________________________________

HACE UN AÑO hablábamos de un problema difícil. Posiblemente será el problema más difícil que ha salido en este blog, y sin embargo no tiene dificultad

conceptual alguna, sino meramente de manipulación de posibilidades. Si les apetece recordarlo ahí tienen el enlace. Mientras tanto, que pasen un feliz fin

de semana.10/06/2005 17:24 #. Tema: Para pensar Hay 2 comentarios.

08/06/2005

Congreso de creacionismo científico.

A un congreso sobre creacionismo científico asisten 1.400 personas.

Al terminar el mismo, se pasa a firmar un documento en el que se aboga por la supresión de la teoría de la evolución en las escuelas españolas.

El 12,1212...% de los firmantes creen que los fósiles los ha puesto el demonio para despistar; y el 23,423423...% creen que Dios hizo el mundo en seis

días.La pregunta es:

¿Cuál es el porcentaje de asistentes que tenían un mínimo de conocimientos científicos?

NOTAS:

1.- Se supone que creer que el demonio ha puesto los fósiles para despistar y que el creador ha hecho el mundo en seis días son creencias

independientes: cualquiera puede tener ambas, una sola de ellas o ninguna.2.- Se presupone que tener unos mínimos conocimientos científicos es suficiente para no firmar el documento, y que todos los que no los tenían sí

firmaron.08/06/2005 14:40 #. Tema: Para pensar Hay 15 comentarios.

25/05/2005

Triángulos sobre una cuadrícula (y 2)

Temas para pensarlunes, 21 de abril de 200806:15 p.m.


Triángulos sobre una cuadrícula (y 2)

Vamos a exponer una de las posibles demostraciones de que es imposible dibujar un triángulo equilátero con vertices en los puntos de una cuadrícula,

como exponíamos en el post anterior. Como bien ha sido expuesto en los comentarios de ese post, la cuadrícula se supone ortogonal. Cada lado de la cuadrícula elemental se toma como unidad de medida.

En la ilustración que encabeza el presente post se demuestra que el área de un triángulo equilátero, es raíz de tres cuartos del cuadrado del lado.

El cuadrado del lado es siempre un número entero por aplicación directa del teorema de pitágoras, y en tales circunstancias, el área de un triángulo

equilátero sobre la cuadrícula será siempre un número irracional por la presencia de la raiz de tres.Ahora bien, todo triángulo con vértices sobre la cuadrícula tiene área racional. Para demostrarlo, dibujemos el menor cuadrilátero en la cuadrícula que

contenga completamente a dicho triángulo. Son posibles dos casos: que el triángulo tenga sus tres vértices en la frontera del cuadrilátero mínimo que lo

contiene, o que tenga sólo dos. Ver la ilustración siguiente:En el primer caso, el area sobrante se divide en tres triángulos rectángulos; en el segundo en tres triángulos rectángulos más un cuadrilátero menor. El

área de los triángulos rectángulos de en la cuadrícula es siempre racional, por ser su área base por altura entre dos, siendo tanto la base como la altura

horizontales y verticales de la cuadrícula, y por lo tanto enteros. El área del subcuadrilátero será no sólo racional, sino entera, por ser el producto de dos

enteros (base y altura).

Dado que el área del cuadrilátero que contiene al triángulo también es entera, restando áreas obtenemos que en todo caso un triángulo dibujado en una

cuadrícula tiene área racional.Por lo tanto nunca un triángulo equilátero podrá ser dibujado sobre la cuadrícula.

Esta no es sino una de las posibles demostraciones.


24/05/2005

Triángulos sobre una cuadrícula

Hace cierto tiempo hablábamos del teorema de Pick, y comentábamos que sobre una simple cuadrícula se pueden hacer muchas matemáticas. Hoy me

encontrado con un teorema sencillo, a modo de divertimento, que les propongo.Se trata de ver si puede existir un triángulo equilátero cuyos vértices estén sobre los puntos de una cuadrícula dada. Así de escueto.

Les espero.


22/03/2005

La potencia sin control no sirve de nada

Hemos hecho hincapié varias veces en el blog de la importancia de la experimentación en la validación de las teorías científicas. Si la ciencia es el estudio

de lo real, es lo real quien debe refrendar la utilidad si no la verdad de nuestra teoría. La bajada al mundo de lo real para experimentar, para falsar las teorías y para comprobar predicciones es el freno necesario a la elucubración vana. Es

necesaria una realimentación que nos dote de un control.La metodología científica tiene bien definido el asunto, de manera que la realimentación que supone bajar a la realidad y comprobar la utilidad de las


La metodología científica tiene bien definido el asunto, de manera que la realimentación que supone bajar a la realidad y comprobar la utilidad de las

hipótesis es absolutamente imprescindible en ciencia. Hasta aquí ningún problema. La matemática se sitúa en un estatus diferente por no tener la realidad

como objeto de su estudio, pero de eso ya hemos hablado innumerables veces.Aquí hablamos de ello.

En dinámica de sistemas se ve que los sistemas realimentados exhiben o pueden exhibir comportamientos de autocontrol muy notables, cuando la

realimentación funciona correctamente. Este principio es válido para ecosistemas, circuitos electrónicos, economía, meteorología y para muchas

disciplinas muy alejadas unas de otras. En ausencia de ciclos realimentados no hay autocontrol.¿Qué ocurre cuando un sistema de pensamiento, racional por lo demás en el sentido de que utiliza al menos en parte la razón para producir sus asertos,

se ve privada de esta realimentación? Pues sucede que no hay control, y nos podemos ir por las ramas de la elucubración más asombrosa e inútil hasta el

infinito.Vean y disfruten con la Suma Teológica de Santo Tomás de Aquino .

Aquí encontrarán sesudas disquisiciones para responder a una trascendental pregunta:

Los ángeles, ¿difieren o no difieren en especie?

Aquí verán respondidas las tres preguntas siguientes:

Los ángeles, ¿tienen o no tienen cuerpos unidos a sí naturalmente?

¿Toman o no toman cuerpos?

En los cuerpos que asumen, ¿ejercen o no ejercen acciones vitales?

No menos inquietantes son las dudas planteadas por las tres preguntas siguientes, y respondidas aquí.

El ángel, ¿ocupa o no ocupa lugar?

El ángel, ¿puede o no puede estar en muchos lugares a la vez?

¿Pueden o no pueden muchos ángeles estar en un mismo lugar?

Para terminar, no podía faltar un estudio "serio" sobre la localidad o no localidad de los ángeles. Lo tienen ustedes aquí.

El ángel, ¿puede o no puede moverse localmente?

¿Se mueve o no se mueve de un lugar a otro pasando por el medio?

El movimiento del ángel, ¿es temporal o instantáneo?

El pensamiento crítico debe huir de simplificaciones excesivas. Quien leyendo esto saque la conclusión de que Santo Tomás de Aquino estaba simplemente

loco quizás no esté yendo al origen de la cuestión. A mi no me cabe la menor duda de que era una mente poderosa. El problema es otro. Ya lo decía el anuncio de Pirelli:

La potencia sin control no sirve de nada


17/03/2005

Maraña de rectángulos ( y 2)

Como se ha afirmado en los comentarios del post anterior, debemos buscar la disposición de rectángulos que haga máximo el número de subdivisiones

del plano, y esa disposición es la que tenga mayor número de intersecciones entre los rectángulos.Dados dos rectángulos, el número máximo de intersacciones es de ocho, y se da cuando están girados uno respecto de otro. La situación se observa

perfectamente considerando cuadrados (rectángulos al fin y al cabo) concéntricos y girados 45 grados uno respecto al otro. Definen nueve regiones. Ocho

regiones que pertenecen tan sólo a un rectángulo (las puntas) y otra grande que pertenece a ambos.

Cuando tenemos tres rectángulos tenemos 4·3=12 puntas que pertenecen a un solo rectángulo, otras doce que pertenecen a dos y una que pertenece a

los tres. (ver figura)En el caso general, tenemos 4n regiones que pertenecen a un sólo rectángulo (las puntas), y el mismo número de regiones que pertenecen a dos, a

tres... a (n-1) rectángulos y una sola que pertenece a todos ellos.Compruébenlo en la ilustración siguiente, para el caso de cinco cuadrados:

Por tanto, operando un poco, si llamamos F(n) al número de regiones en que se divide el plano con n rectángulos en esta disposición, tenemos:

F(n) = 1 + 4n + 4n + ... +4n donde hay (n-1) sumandos de 4n.

Por tanto:

F(n) = 1 + 4n(n-1)=1 + 4n2 - 4n = (2n-1)2

Dado que teníamos F(n)= 18.769 regiones, el número mínimo de rectángulos corresponderá con el número de rectángulos de la disposición anterior, de

máxima intersección. Tenemos:18.769 = (2n-1)2

Osea, n = 69; como había afirmado none en un comentario anterior, y no 68 como había dicho yo...

Así pues, podemos afirmar que el número de rectángulos de la disposición del enunciado tiene en 69 su cota mínima.

PD.- Mewt planteaba en los comentarios la ecuación F(n)=2 + 4n(n-1), seguramente contando la región no acotada exterior a todos los rectángulos. En el

enunciado se eliminaba la contabilización de la zona no acotada para evitar dudas.17/03/2005 08:18 #. Tema: Para pensar No hay comentarios. Comentar.

15/03/2005

Maraña de rectángulos

Les propongo un problema que acabo de encontrar:

Tenemos un cierto número de rectángulos distribuidos sobre una superficie plana. Existe total libertad en la forma de los mismos, y en la disposición en el

plano. Se pueden superponer, intersectar y todo lo que ustedes quieran. Una vez colocados, dividen el plano en una serie de regiones finitas.

Denominaremos "región" en este contexto a cada una de las menores divisiones del plano, es decir: a las áreas finitas que no están a su vez

subdivididas .

Si sabemos que una de tales disposiciones de rectángulos tiene 18.769 de tales regiones, ¿cuál es el mínimo número de rectángulos utilizados?


10/03/2005

El amor es una superficie de sexto grado


El amor es una superficie de sexto grado

La teoría de superficies es una de las partes más bellas por lo visual de la matemática.

Pero pocas veces tenemos la oportunidad de visualizar una superficie matemática, con su fórmula analítica que nos recuerde tanto a un símbolo universal

como la que ahora les propongo: el corazón.Esta superficie responde a la ecuación de sexto grado siguiente:

(x2+9/4·y2+z2-1)3 - x2+z3-9/80·y2+z3 = 0

Pueden ver en la ecuación que algunos coeficientes están ajustados a valores como "canónicos", como 9/4 ó 9/80 para conseguir el extraordinario

resultado mostrado en la imagen.En la siguiente imagen pueden ver un corte de dicha superficie con el plano y=0, que muestra un dibujo increíblemente parecido a lo que entendemos

todos por el símbolo de "un corazón".¿Cuál es el interés de dicha superficie?

Pues me temo que simplemente lo anecdótico del asunto.

Sin embargo y por encima de lo anecdótico, es interesante pensar en el hecho de que expresar la ecuación es, quizás la forma más compacta posible de

dar toda la información necesaria para construir el objeto. Y es ahí donde el interés del tema aumenta: ¿Todo objeto "razonable" tiene una ecuación analítica que lo exprese?

¿Qué quiere decir "razonable" en la pregunta anterior?

¿Cuáles son las limitaciones?

¿Hasta dónde podemos disminuir la cantidad de información necesaria para expresar un objeto?

¿Aún en los casos en que es posible, sale computacionalmente demasiado caro reproducir el objeto a partir de la ecuación?

¿Tienen mis lectores alguna opinión al respecto?


22/02/2005

Mil interruptores y 999 fusilados.

Retomamos el tema matemático en el blog con dos acertijos para hacer boca.

Hemos hablado bastante de combinatoria, definiéndola como el arte o la técnica de contar. Así dicho parece una sosada, pero resulta que contar objetos

puede ser verdaderamente difícil. Como siempre, el conjunto N nos sorprende por su hondura y dificultad. El ser humano seguramente está capacitado

para comprender todos los secretos físicos del universo, pero no lo está para responder a todas las preguntas que N nos plantea.Así dicho puede parecer una exageración pero no lo es. Es fácil comprender que el conjunto de preguntas independientes relativas a N es infinito

(numerable pero infinito), de manera que simplemente no tendremos tiempo para responderlas a todas.Contar viene a ser equivalente a averiguar el cardinal de un subconjunto de N. Cuando es difícil hacerlo directamente y no conocemos otro atajo mejor,

suele ser una buena idea preguntarse por la forma que deben tener los elementos de este subconjunto a medir.Algo así ocurre con estos dos problemas. El primero es de conteo, y el segundo nos pide el puesto de un elemento distinguido de un conjunto ordenado:

PROBLEMA UNO

Tenemos mil interruptores numerados del 1 al 1000, todos ellos en posición de apagado. Mil operarios, también numerados, pasar por

ellos uno tras otro, de manera que el operario n sólo actúa sobre los interruptores múltiplos de n.Actuar sobre un interruptor significa encenderlo si estaba apagado o apagarlo si estaba encendido.¿Cuántos interruptores quedan

encendidos al final? PROBLEMA DOS

Estamos en un grupo de mil personas que van a ser fusiladas por un procedimiento curioso: puestas en fila, el ejecutor volará la tapa de

los sesos de uno de cada dos reos, empezando por el primero. Reagrupados los supervivientes y manteniendo el orden, volverá a ejecutar

a uno de cada dos empezando por el primero, y así sucesivamente hasta que sólo quede uno. Qué puesto de la fila elegiria el lector? Como siempre, lo de menos es la respuesta. Lo que importa es el método.


03/01/2005

Un reto para año nuevo.

Soy un hombre afortunado. Comparto mi vida con Vailima; ella es una persona que podríamos englobar en la categoría difusa de "personas de letras", yo

soy lo contrario. No me cabe duda de que el hecho de considerarse "de ciencias" va imprimiendo carácter, y lo mismo ocurre en caso contrario. Sin

embargo, Vailima y yo siempre hemos estado de acuerdo en un aspecto: esa dicotomía maniquea entre seres de ciencias y de letras es más falsa que un

duro de seis pesetas, y a nuestro nivel hemos luchado en contra de los tópicos que ya nos suenan a topicazos al estilo de guipuzcoanos y vizcaínos. O de

gitanos y payos. O de lo que sea.

No obstante, a veces ocurren cosas que reavivan las viejas heridas. Soy suscriptor de una revista mensual que espero con ansia cada mes, se llama

Astronomía, y es la fusión de dos revistas anteriores, Tribuna de Astronomía y Universo, de querida memoria.Todos los meses Alfonso López Borgoñoz escribe una columna editorial sobre diversos temas relacionados con la actualidad de la astronomía, y como

introducción a lo que el lector tiene entre manos en el número actual.Este mes, el editorial se titula Un año nuevo , y en él se puede leer, entre otras cosas:

Este 2.005, sin duda, será recordado como el año del Quijote, al menos en el mundo hispanohablante. Aunque los amantes de las ciencias del espacio

sabemos que cuatrocientos años no es nada, el camino recorrido por este hidalgo manchego en su Rocinante desde entonces no deja de impresionar a

todos los que nos continuamos acercando a la obra de Cervantes Sigue el editorial de Alfonso López Borgoñoz hablando de los contenidos de la revista, de su trayectoria y de sus problemas a lo largo de los años con

continuas referencias al ingenioso hidalgo, para terminar así:Esperemos que , por fin, este año alumbre al Gran Telescopio de CANARIAS, y que al menos su inauguración y puesta en marcha dé nuevo aliento a esta

ciencia antes de que se marchite como Grisóstomo, el estudioso de estrellas del Quijote, que murió de mal de amores por la desafección de la pastora

Marcela

Me gustaría saber si en alguna revista, libro, publicación de arte, literatura y filosofía se ha hecho alguna vez una glosa de este calibre a un reto científico

importante.Existe un quid procuo?

Tal es el reto lanzado a Vailima. Mi postura apriorística es que no va a ser fácil encontrar una revista de arte, filosofía o literatura que mencione el año de

Plank, de Einstein, un centenario de la teoría de la gravitación de Newton, de la teoría cinética de los gases o del teorema de Fermat, todos ellos bellas

construcciones humanas, como las más bellas páginas de la literatura o los mejores lienzos que pudieran salir de un Velázquez.Ojalá esté equivocado, porque no quiero que ambos sean dos mundos que se dan mutuamente la espalda. No deben serlo. No pueden serlo.

Puede el lector ayudarnos en este duelo doméstico?


17/12/2004

Poliedro imposible

Para el fin de semana, un problema muy sencillo y sorprendente:


Para el fin de semana, un problema muy sencillo y sorprendente:

demostrar que no puede existir ningún poliedro tal que sea inestable sobre todas sus caras.

Una de las cosas curiosas de este problemilla es que admite una demostración desde fuera de la matemática. Desde la física, concretamente, y más

concretamente desde ¡la termodinámica!_____________________________________________________________________________

HACE UN AÑO nos introducíamos en los espacios de dimensión infinita y preguntábamos cuál era la mayor longitud de un segmento que podía

introducirse en el interior de un cubo y de una esfera infinitas dimensiones. La respuesta era bastante antiintuitiva: dentro de una esfera de radio unidad

cabía un segmento de dos unidades,pero dentro de un hipercubo de arista unidad cabía toda una recta infinita. Un lector planteó una aparentemente

impecable demostración contraria, que dió paso a este post y al siguiente, demostrando una vez más que los lectores son los que dan la vida al blog.

Que tengan un feliz fin de semana, y que ni los políticos se lo puedan amargar...


15/10/2004

Los elegidos del monasterio

Había una vez un monasterio en el que vivían un grupo de cincuenta monjes. Todos ellos eran especialistas en lógica matemática y tenían voto de

silencio. Pero el voto era muy estricto: no sólo no podían hablar entre sí; tampoco podían intercambiar mensajes por procedimiento alguno. Ni por escrito,

ni por señas, ni nada. Además, como sólo cultivaban el espítiru, tampoco tenían espejos ni manera de contemplarse a sí mismos. Sólo hacían una comida

al día, en el refectorio común, todos a la vez en una enorme mesa redonda, y el resto del día lo pasaban orando y estudiando lógica en sus celdas.

Pues bien, el domingo de resurrección reciben la visita del abad de la orden, el cual estaba liberado del voto de silencio. Cuando estaban reunidos en la

mesa del comedor, les explica lo siguiente:Queridos hermanos: esta noche ha bajado a la tierra un ángel, y ha marcado a alguno o algunos de vosotros con una mancha en la frente.

Esos son los elegidos para le peregrinación anual a la ermita de la cumbre. Cuando sepais a ciencia cierta quienes sois todos los elegidos,

debeis partir inmediatamente hacia dicha ermita todos juntos. Tras oir las palabras del abad, siguieron comiendo con normalidad y volvieron a sus celdas. El abad se marchó inmediatamente. La plácida vida del

monasterio siguió sin cambio alguno hasta que un determinado día acuden a comer diez monjes menos que habitualmente: todos comprenden que son

los elegidos los que han partido.PRIMERA PREGUNTA: ¿Qué día de la semana faltaron los monjes elegidos?

SEGUNDA PREGUNTA: ¿Cómo supieron que eran ellos y sólo ellos los que debían partir?

____________________________________________________________________________________

Este es un problema que me encanta. Sería una pena que un lector que supiera la respuesta de antemano la pusiera inmediatamente, privando a otros

del placer de encontrarla por sí mismos. Que tengan un feliz fin de semana.15/10/2004 08:40 #. Tema: Para pensar Hay 35 comentarios.

14/10/2004

Rigor matemático y rigor mortis

Ninguna otra disciplina de conocimiento humano se distingue por el rigor de forma tan absoluta como la matemática. Esto debe entenderse en sentido no

excluyente por supuesto: nadie duda de que todas las disciplinas científicas deben estar dominadas por el rigor. Sin embargo, esta es, por así decirlo, la

“marca de la casa” de la matemática.No siempre ha sido así. El mismo Euler daba saltos en el vacío más de cuatro veces en sus demostraciones, (cayendo siempre de pie, como un gato, por

cierto). En gran parte fue Nicolás Bourbaki el culpable. Este matemático ficticio de nombre extraño y obra enorme concibió la idea de dotar a la

matemática toda de un rigor absoluto. En sus publicaciones, aboga por ello de forma vehemente. Tal rigor, sin embargo se convirtió en rigor mortis

cuando fue trasladado a la educación de la matemática.

Hoy muchos piensan que generaciones enteras de posibles amantes de la matemáticas la aborrecieron por un enorme y global error educacional. Se

enseñó una matemática fría y rígida, ausente de pasión y de encanto a unos sufridos adolescentes que se convirtieron automáticamente en ―gente de

letras‖ por huir del tema.Realmente es fácil ver la necesidad de un rigor absoluto en la producción matemática de un matemático profesional; sin embargo muchos piensan que

parte del desastre educativo en matemáticas en las últimas décadas del siglo XX ha sido debido a la absurda idea de aplicar el rigor bourbakiano a la

enseñanza secundaria.Carlos Sánchez Fernández y Concepción Valdés Castro , matemáticos cubanos que estudiaron con el gran Kolmogorov (el riguroso y espléndido

maestro Kolmogorov) escriben:Comenzar la enseñanza de la matemática con todo rigor no puede, con la perspectiva que nos da el paso del tiempo, sino ser considerado

como una aberración hoy felizmente superada. Por su parte, Heaviside exclamaba: No es fácil levantar entusiasmo alguno, después que ha sido enfriado artificialmente por los aguafiestas

de los rigoristas No voy a afirmar aquí que el pobre Heaviside tenía razón, pero en parte, algo de esto hay...

A mi me gusta esta reflexión sobre el rigor como una idea de llegada y no de partida. Me gusta contar historias matemáticas y que me las cuenten.

Historias de esas que hacen afición. Por eso tengo un blog sobre historias matemáticas. Contando la matemática de esta forma, se puede intentar

convencer al lector de que el rigor es una absoluta necesidad en la matemática no meramente divulgativa; pero ésta es una idea de llegada, no de

partida.

Y mientras tanto, se puede disfrutar. Como me gustaría que hicieran cada vez que se asoman por aquí...


24/09/2004

La paradoja de Newcomb (y 3)


Hemos dicho varias veces en este blog que las verdaderas paradojas no existen. Es gratificante pensar que siempre debe existir una explicación de

porqué un aparentemente correcto razonamiento nos lleva a dos conclusiones contradictorias. Y es gratificante porque en caso contrario, existe un

teorema que afirma que si en un sistema axiomático pueden ser demostradas dos proposiciones contradictorias, entonces puede ser demostrada cualquier afirmación. Lo cual es lo mismo que decir que el sistema no vale un pimiento.

Lo que no suele ser tan fácil es encontrar el error en las líneas argumentales. En el caso que nos ocupa, creo que parte de la solución ha sido dada en los

comentarios de los post anteriores. Vayamos por partes: estamos hablando de lógica, no de teoría de la decisión.¿Qué sucede cuando una fuerza irresistible se enfrenta a un cuerpo inamovible?

¿Puede Dios crear una piedra tan pesada que él mismo no la pueda levantar ?

Parece mentira, pero preguntas idiotas como éstas han entretenido ( y preocupado) a mentes de todas las épocas. Hubo una época en la que los

―intelectuales‖ se preocupaban del sexo de los ángeles.El nudo gordiano que plantean ambas preguntas se resuelve de la misma manera que Alejandro resolvió el nudo gordiano original: a golpes. Si existiera

una fuerza irresistible (una fuerza frente a la cual nada se resistiera), entonces no podría existir cuerpo alguno que fuera inamovible. La lógica no trata de

las cosas existentes en nuestro universo, por lo tanto no existe ninguna contradicción lógica en la existencia de una fuerza irresistible, ni tampoco en contra de la existencia de un cuerpo inamovible. Lo que es una contradicción lógica es la existencia simultánea de ambas cosas, pues la mera existencia

de una de ellas implica la necesidad lógica de que la otra sea inexistente. La pregunta no se resuelve respondiéndola: se resuelve rechazándola.

A mi me parece que en este caso ocurre lo mismo. No veo ninguna imposibilidad lógica en la existencia de un predictor de nuestro comportamiento.

(Entiéndaseme bien: no creo que tal cosa exista, pero por imposibilidades factuales, no de orden lógico). Lo que sucede es que si tal predictor existiera,

incluso como posibilidad), esto implica lógicamente que nuestra decisión no es tal, que está prefijada, y que no tenemos libertad en absoluto para decidir.

Podemos tener la ilusión de que elegimos, pero no es más que una ilusión.

Si el predictor existe y es infalible, estamos sentenciados. Si no es tal, y su predicción ha sido hecha por un procedimiento de cara y cruz, por ejemplo,

debemos tomar la decisión que nos asegure los mil euros (tomar ambas cajas). En los casos intermedios, en los que X es simplemente un buen psicólogo

que afina bastante, cuanto más afine menos libres somos para decidir. La teoría de la decisión se ve en aprietos porque la propia decisión se ve

comprometida.

Decía en un comentario anterior que es mi solución al problema . Estoy dispuesto a variarla si se me presenta algo mejor.

Que tengan mis lectores un buen fin de semana.

ACTUALIZACION

En la wikipedia he encontrado una buena referencia de lo que aquí se ha tratado, aquí.


22/09/2004

La paradoja de Newcomb (2)

Según cuenta Martin Gardner en Rosquillas anudadas, el matemático Robert Nozick , especialista en Teoría de la decisión escribe a propósito de la

paradoja de Newcomb:He planteado este problema a gran número de personas, tanto amigos como alumnos de mis clases. A casi todo el mundo le resulta perfectamente claro y

obvio qué se debe hacer. La dificultad es que estas personas parecen estar divididas más o menos por igual sobre cuál debe ser la solución del problema, y que un número importante de ellas piensan que las de opinión contrario son sencillamente idiotas. Parece que entre los que han opinado al respecto en el post anterior no existe tal equilibrio, sino un sesgo completo hacia la solución consistente en tomar

ambas cajas. Es realmente sencillo argumentar que la elección de ambas cajas es la correcta. Sin embargo, lo malo es que con poco esfuerzo más podemos argumentar en sentido contrario con igual contundencia. Esa es la paradoja. No obstante, las verdaderas paradojas no existen, y el nudo

gordiano se deshace de alguna manera.

Veamoslo de otra manera: el experimento se realiza un buen número de veces, y el lector es un testigo del mismo.

Imagínese el lector que asiste al experimento. Puede ver que siempre que los concursantes eligen ambas cajas , se llevaron únicamente 1.000 euros,

mientras que siempre que decidieron tomar únicamente la caja C2, se llevaron el millón. X parece que pronostica correctamente. Todo esto no hace sino

avalar la opción de tomar tan sólo la caja 2, ¿verdad?Situemos ahora al testigo frente a las cajas, al otro lado del concursante, y supongamos que el lado de los cofres que da al testigo es de cristal, de forma

que puede ver el interior. El testigo comprueba repetidamente que en la caja C1 hay 1.000 euros (cosa que el concursante sabe con certeza). También ve

la caja C2, y sabe si tiene el millón o está vacía. En ambos casos, si pudiera aconsejar al concursante, aconsejaría tomar ambas por la obviedad de que se

va a llevar 1.000 euros más si lo hace que si no lo hace.

Esta observación favorece evidentemente la opción de tomar ambas en todo caso. ¿Hay o no hay una al menos aparente paradoja?

________________________________________________________________________________

Tengo una manera personal de ver el asunto, y romper este nudo gordiano. Como es personal, no sé si estarán ustedes de acuerdo con ella. En todo caso

es la solución que más me satisface hasta que me presenten otra que me satisfaga más. La vemos en el siguiente post, si les parece interesante. 22/09/2004 12:44 #. Tema: Para pensar Hay 15 comentarios.

21/09/2004

Una aclaración respecto al efecto Mateo

Hace algún tiempo hablábamos del efecto Mateo y de su importancia en el quehacer científico. Es curioso, pero he recibido varios correos de queja por el

tratamiento que doy a la figura de Alberto Einstein. Además en la página Muy interesante se hace una crítica de dicho artículo, que también se publicó en

la revista electrónica 100cia. Parece ser que se ha entendido que efectúo una crítica de la figura del científico alemán por hacer la siguiente afirmación en una carta privada: No

tenemos derecho, desde un punto de vista físico, a negar a priori la posibilidad de la existencia de la telepatía. (Einstein en una carta al Dr. Jan

Ehrenwald, el 8.7.1946).Además de sentirme halagado porque se me lee, quisiera explicar dos cosas:

PRIMERA:

La frase tal y como está redactada no puede sino ser considerada como la cautela propia de todo científico sin prejuicios, y no es especialmente criticable.

En el artículo lo que se critica es la inclusión de la misma en una página web sobre parapsicología, para dar honorabilidad a una pseudociencia utilizando

para ello el reconocido prestigio del investigador que se cita. Este era un excelente ejemplo de lo que se hablaba en el artículo: el principio de no autoridad y el efecto Mateo.

SEGUNDA:

El bueno de Albert lo mismo podía haber escrito:

“No tenemos derecho, desde un punto de vista físico, a negar a priori la posibilidad de la existencia de unicornios de color morado”,

o incluso esto:

“No tenemos derecho, desde un punto de vista físico, a negar a priori la posibilidad de la existencia cierta inteligencia en Paco Porras”.

En todo caso se trataba de una frase privada entre dos personas, que no por ser ―no-falsa‖ es precisamente el colmo de la producción intelectual de su

autor. Albert Einstein es un orgullo para la especie humana por la extrema calidad de su producción científica, y eso brilla con luz propia. Nada de lo que

podamos decir aquí empaña esa realidad. Por eso precisamente, debemos tomar sus afirmaciones, máxime si son ajenas a su especialidad y dichas en

ambiente de intimidad, como las afirmaciones de un ser humano sobre cuestiones opinables, sin más. En caso contrario, él mismo se hubiera reído de

nosotros.

Mañana seguimos con la paradoja de Newcomb.


20/09/2004


20/09/2004

La paradoja de Newcomb

Dos ramas enormemente sugerentes de la matemática del siglo XX son la Teoría de juegos y la Teoría de la decisión . Digo del siglo XX porque la

mayor parte del desarrollo de las mismas han sido efectuada en dicho siglo, si bien las raíces teóricas e incluso prácticas se hunden en los siglos

anteriores.Ambas, se nutren de la Teoría de la probabilidad , y suponen el marco teórico para actuar buscando la optimización de una función de utilidad en

ambiente de riesgo, o de incertidumbre. La Teoría de la decisión efectúa el estudio de la decisión óptima a tomar el llamado decisor ante un abanico de

posibilidades, y la Teoría de juegos supone además que existen otros decisores que compiten entre sí, influyéndose mutuamente.

La paradoja que tenemos entre manos tiene mucho que ver con estos temas, y yo la situaría directamente encuadrada en la Teoría de la decisión , si

bien tiene el enunciado de un juego.Se trata de lo siguiente:

Tenemos ante nosotros dos cofres, C1 y C2. Sabemos con certeza que C1 contiene 1.000 euros, y sabemos que C2 puede contener un millón de euros, o

nada.Nuestra elección puede ser cualquiera de las dos siguientes:

1.- Tomar ambos cofres.

2.- Tomar solamente el cofre C2

Antes de hacer la elección, X ha pronosticado nuestra decisión. X puede ser un sistema experto que analiza el compartamiento humano, puede ser un

extraterrestre con capacidad de predicción sobre asuntos humanos, puede ser Dios... nos basta saber que X es ―alguien‖ o ―algo‖ que puede, con seguridad, adelantar cuál va a ser nuestra decisión.Pues bien: si , X previó que íbamos a escoger C2, habrá colocado el millón de euros en su interior; y si previó que íbamos a tomar ambos, habrá dejado C2

vacío. Para evitar casos latelares que no nos interesan, si prevé que vamos a jugarnos al azar ambas posibilidades, habrá dejado C2 vacío. En todo caso, habrá 1.000 euros en C1.

¿Qué debemos hacer?

La paradoja de Newcomb recibe el nombre de paradoja porque ambas decisiones pueden ser igualmente defendidas con argumentos aparentemente

irrefutables.Les dejo que lo piensen...


10/09/2004

Un país de gilipollas

A estas alturas de la vida uno no ve posible (ni seguramente deseable) que la España entera llore la muerte de los grandes hombres que a cuentagotas

nos van dejando para siempre. Cada uno tiene los suyos; yo desde esta bitácora desearía resaltar a Joan Oró y a Miguel de Guzmán, que tuvieron su

despedida desde este blog.No es de esperar que la labor de estos y muchos otros hombres de bien que han pasado su vida estudiando, trabajando y enseñando a otros pase a ser

tema de conversación en programas verpertinos de televisión o en tertulias de bar entre vino y vino. Seguramente no es ni deseable, y una sociedad sana

y plural deba tener de todo un poco, con un estatus cultural a medio camino entre Einstein y Curro Jimenez. Seguramente.Pero cuando la muerte de los Hombres (recuerden mi costumbre de emplear la mayúscula de Hombres para englobar a ambos sexos)buenos e

interesantes no merece comentario alguno en medios de comunicación y por contrapartida un personaje como Carmina Ordoñez ; populachera devota

de la superstición mariana más rancia, cocainómana y fascista por todo bagage personal, merece cuotas interminables de pantal la, ad nauseam, uno llega

a una indefectible conclusión: este es un país de Gilipollas.

Hala, dicho queda. Que pasen un feliz fin de semana.

Y no me vean mucho la tele, que atonta.


15/08/2004

Soft Science-Fiction

Normalmente, si a una persona le gusta la ciencia, le suele gustar la ciencia-ficción. No me pregunten porqué. Muchas veces es una cuestión de

masoquismo. Casi siempre, cuando veo una película de SF, agarro cabreos monumentales, pero una y otra vez reincido en lo mismo, para desesperación

de mi esposa.

Hace muchos años se denomino Ciencia ficción dura (hard) a aquella que violaba lo menos posible los conocimientos científicos del momento. Lo mínimo

imprescindible para que pudiera haber historia. No se trataba de hacer un tratado de ciencia, pero al menos se trataba de que la cosa no chirriara

demasiado.

Pues bien. A nivel cinematográfico, es muy difícil encontrar ciencia ficción Hard; al menos entre las películas de amplia distribución. Los errores

normalmente suelen ser relatívos a la física- Aún recuerdo un bodrio que se titulaba El núcleo , realmente insoportable por las idioteces y sinsentidos

constantes a lo largo de toda la historia...Hoy hemos visto Alien Hunter . Buena para pasar la tarde.

Les transcribo más o menos una parte del diálogo, tal y como la recuerdo.

Hablan una bióloga y otro investigador. Están en la antártida, en una base científica. Acaban de tener contacto con una entidad extraterrestre y están

haciéndose unos análisis de sangre para evaluar la probabilidad de contagio de un determinado virus alienígena.- Doctora, ¿cómo evalúa la probabilidad de contagio?

- Según mis cálculos la probabilidad de que no estemos contagiados es de noventa y nueve como nueve nueve nueve, hasta el infinito.

- Entonces, no es del cien por cien!

- Efectivamente, no lo es.

Glubs!

Esto me recuerda a una vez que traté (sin éxito) de hacer comprender a alguien que no quería comprenderlo que cero coma nueve periódico era

EXACTAMENTE IGUAL a uno.Ven ustedes diferencias, significativas o no; entre 0'99999 periódico y 1?


09/08/2004

¿Qué cosa es un vector?


¿Qué cosa es un vector?

Hace un tiempo vimos aquí que el concepto de número, a pesar de las apariencias de ser el concepto central en la matemática toda, un concepto derivado

de otro aún más primario: el de conjunto.Siendo así, la definición del nuevo concepto debe retrotraernos al concepto primitivo, y definiremos los números (naturales) en utilizando el concepto

previo de conjunto.Pudiera ser para muchos lectores extraño, pero muchos de los conceptos matemáticos que por su extraordinaria utilidad son ubicuos en otras ciencias

poseen definiciones de este estilo, que nos llevan a conceptos aún más primarios que el que estamos tratando.Algo así pasa con el conocidísimo concepto de vector

Cualquiera diría que un vector es una magnitud que consta de módulo, dirección y sentido . Algunos sin embargo; más teóricos, explicarían que

un vector es una entidad tal que para ser expresada necesita de n escalares (números); siendo n cualquier número natural. Ambas definiciones son muy conocidas y sin embargo parecen ser (sólo parecer ser) totalmente diferentes. Más aún: ninguna de ellas recoge la realidad

de lo que es verdaderamente un vector en sentido puramente matemático. De hecho; entidades que no necesiten más de un escalar para ser expresadas

pueden ser perfectamente vectores, de la misma manera que objetos que no tengan dirección ni sentido. Más aún: objetos que no puedan ser expresados

con ningún número n finito de escalares también puede ser un vector. Una matriz puede ser un vector, al igual que una función real de variable real,o una

función compleja o imaginaria; al igual que un giro o una traslación, o cualquier otra cosa.

¿Qué es entonces un vector?

La definición matemática de vector es más infinitamente más primaria.

DEFINICION DE VECTOR

Un vector es todo elemento de un espacio vectorial.

No, no es una broma.

La definición anterior presupone la existencia de espacios vectoriales, los cuales se definen en base a nociones conjuntísticas y algebráicas; sin la menor

mención a lo que pudiera ser un vector, de manera que no existe circularidad alguna en las definiciones. Lo interesante de esta reflexión es que los

vectores (como tantos otros conceptos matemáticos) surgen simplemente como elementos de ciertas estructuras matemáticas previamente definidas, y no al revés. (Los espacios vectoriales no se definen como conjuntos de vectores).Cualquier propiedad que pudiera tener un vector será deducida de su

mera pertenencia a esa estructura perfectamente definida que hemos llamado espacio vectorial.

Por supuesto, cuando uno trabaja con espacios vectoriales o con vectores, todo esto no tiene la menor importancia. Es a nivel profundo, conceptual,

gnoseológico, donde el asunto se convierte en trascendental.Y a nosotros, nos gustan esos niveles, y por eso hablamos de ello...


07/05/2004

Todos los enteros positivos son iguales !!!

Ya hemos hablado del maravilloso método de inducción matemática. Tenemos un procedimiento para demostrar afirmaciones generales sobre todos los

enteros positivos, que consta de dos fases:1ª FASE:Demostrar la validez de la afirmación para n=1

2ª FASE: Demostrar que si la afirmación es válida para n (hipótesis de inducción), entonces también lo es para n+1.

Hace algunos meses explicábamos que el método de inducción tiene sus peligros, y que tras su aparente simplicidad acechan falacias y razonamientos no

válidos que nos pueden llevar a conclusiones erróneas. Demostrábamos que Todos los blogs del mundo están alojados en Blogia, lo cual es un absurdo.

Les propongo otra aberración, aún pero para que intenten encontrar el error.

TODOS LOS ENTEROS POSITIVOS SON IGUALES

DEMOSTRACION

Sean a,b dos enteros positivos. Sea M=max{a,b} el valor del mayor de ambos:

Procederemos por inducción sobre M.

PRIMERA FASE (M=1)

Para M=1 no hay duda. Si M=1 es que el máximo de ambos es 1, y por lo tanto a=b=1. Por lo tanto a y b son iguales.

Supongamos cierta la afirmación para m, demostraremos que también lo es para m+1.

SEGUNDA FASE

Sean a,b tales que M=max{a,b}=m+1. Entonces es evidente que max{a-1,b-1}=m, y por la hipótesis de inducción, tenemos que a-1=b-1, de donde

clarísimamente concluimos que a=b.Por lo tanto, a=b para todo par de enteros positivos.

Anímense a encontrar el error...


30/03/2004

¿Qué es una teoría?


En cierta ocasión, discutiendo con Testigos de Jehová, descubrí algo que para mi fue importante: la palabra teoría tenía para ellos un significado muy

diferente del que tenía para mí. La teoría de la que hablábamos era, cómo no, la Teoria de la evolución .No hay mejor manera de empezar a entenderse que ponerse de acuerdo en la acepción de los términos que empleamos. Por eso creo interesante hacer

un post sobre lo que es y lo que no es una teoría, en cada contexto.Cuatro frases nos ejemplificarán las cuatro acepciones de la palabra, además de la coloquial que significa simplemente ―elucubración‖, ―opinión‖.

1.- La teoría de la probabilidad surge de manera natural de la teoría de la medida.

2.- La teoría de la relatividad utiliza cálculos tensoriales en sus desarrollos matemáticos.

3.- El doctor Jiménez del Oso dará hoy una conferencia sobre la teoría psicobioenergética tibetana y sus conexiones con el nivel astral

subcuántico presente en las psicofonías y con los megalitos pascuenses.4.- El catedrático de mariología Angel Sagrado Iglesias publica un estudio sobre la teoría de San Agustín relativa a la asunción de la

Virgen María.La primera frase se refiere a una teoría matemática. Ya hemos hablado de ello en otras ocasiones. Una teoría matemática no tiene nada de elucubración

ni de suposición. Es un cuerpo teórico en forma de definición- teorema-demostración-corolario.Dentro de su campo de aplicación, sus conclusiones son verdad absoluta, inmutable y eterna. Amén.

La segunda se refiere a una teoría científica, que la diferencio completamente de una teoría matemática. Aquí es donde los testigos de Jehová (y

muchos otros) tienen problemas. La incomprensión a este respecto no es sino reflejo de la incomprensión de la labor de la ciencia por parte del público.Existen básicamente dos formas de ver la labor de la ciencia entre el gran público; entendiendo ―gran público‖ como ―subconjunto de seres humanos

ajenos al quehacer científico‖. Por un lado están los que desde el desconocimiento comprueban, muchas veces maravillados, el progreso del conocimiento y de la técnica a través de la información normalmente nefasta que les llega desde los medios de comunicación. Para ellos, el prestigio de la ciencia como

garantía de la verdad en lo que se dice es muy grande. Los agentes de publicidad lo reconocen y explotan con frecuencia, señalando que las bondades del

producto X han sido "científicamente comprobadas" o que la superioridad del producto Y está "demostrada científicamente‖. A veces basta introducir una

vocablo de apariencia científica para añadir una pátina de prestigio a un producto comercial. Mi ejemplo preferido es un producto de limpieza con

―desincrustol D‖, por no hablar de los bífidus activos, las nanoesferas... para qué seguir?De esta forma, las proposiciones científicas aparecen como ciertas y aún más, como irrefutables. Los mismos razonamientos paranormales, en busca de

un prestigio del cual carecen están plagados de frases como ― ha sido demostrado científicamente que...‖, frase casi ausente en cualquier artículo serio.Existe otra porción, en aumento, que ―sabe‖ algo más, pero lo sabe mal. Saben que lo anterior no es correcto, y que las verdades científicas no sólo no

son absolutas, sino que ni siquiera son permanentes. Saben de cambios de paradigmas, pero caen en el relativismo gnoseológico más pernicioso. En

realidad opinan exactamente lo contrario de los anteriores. Los argumentos esgrimidos pueden ser del siguiente tipo:

1.- Antes se creía que la tierra era plana. Luego se demostró que en realidad era esférica, y ahora resulta que eso tampoco es cierto, que tiene forma

achatada. Lo que se demostró como cierto resultó que no lo era, por lo tanto.2.- Copérnico se cargó a Ptolomeo; Einstein a Newton, mañana alguien se cargará a Einstein y a Darwin. Por lo tanto la teoría de la relatividad, la teoría

de la evolución, etc, son eso: teorías. Pero no son la verdad, no se han demostrado. Mañana puede salir alguien demostrando que Einstein estaba

equivocado, y que se pueden hacer viajes instantáneos a las estrellas.Existen infinidad de variantes. La conclusión de todas ellas es que nunca podemos estar seguros de nada, y que la ciencia es un complot, una colección de

dogmas no muy diferente de los dogmas de las religiones. Los profetas New Age han explotado esta versión siempre que les ha sido posible.Sería bueno explicar las falacias de ambos razonamientos. Y en realidad no es difícil explicar que ambas visiones de la ciencia son falsas. Creemos que es

mucho más fácil explicar cómo funciona la ciencia que explicar cuestiones científicas, e igualmente productivo, y quizás por ahí habría que empezar. Será en extremo difícil convencer de la existencia de falacias en sus razonamientos creacionistas a un creyente, pero es posible que entiendan

perfectamente lo siguiente:1.- Una teoría científica es un modelo de la realidad, creado por el hombre para explicar el funcionamiento del mundo con el menor

número posible de hipótesis.2.- El trabajo científico tiene una realimentación que impide elucubrar en vano: los modelos predicen cosas que luego la realidad

corrobora, o descarta. De ahí que las hipótesis sobre el modelo deben ser predictivas y refutables.3.- Una teoría científica que da respuesta a todo lo observado es una teoría útil, pero no por ello es una teoría CIERTA.

4.- Cuando se descubren datos que se desconocían y que la teoría explica, ésta sale reforzada, en caso contrario entra en crisis, y puede

ser sustituida por otra mejor, Y NO PASA NADA. Así avanza la ciencia.5.- El castigo por demostrar que lo que se creía es falso, y que debemos cambiar el modelo en una teoría importante suele ser el premio

Nobel.6.- No existe una ciencia oficial y otra extraoficial. Existe una unicidad metodológica, dentro de la enorme variablilidad en toda la ciencia,

que cumple el esquema arriba explicado.La tercera frase se refiere a una teoría paranormal . Las paraciencias tienen una metodología corrupta propia, y de ello nos ocuparemos pronto. De

momento, baste con decir que la palabra teoría en este contexto es muy diferente a la misma palabra en los dos contextos anteriores. La estrategia

paranormal debe llevar implícito un filtro que no deje pasar los hechos que se enfrenten a la tesis que se debe defender a toda costa. Cualquier posibilidad

es aprovechada, dado que los planteamientos paranormales no exigen coherencia ni rigor: a veces se explotará la primera visión de la ciencia, y otras la segunda, normalmente con apelaciones constantes al principio de autoridad de ―prestigiosos investigadores‖ a los que nadie conoce.

La cuarta frase se refiere a una teoría teológica o religiosa. La función de la búsqueda de la verdad en estos contextos es sustituida por una fuente de

revelación. Nada que ver con lo que estamos tratando aquí...Aclarar qué acepción de la palabra teoría estamos utilizando en cada caso es un paso importante para entendernos con nuestros interlocutores amigos de

lo paranormal, por ejemplo.Para ello, hace falta que el interlocutor sea rebatido con respeto, y que quien trata de eliminar el filtro no olvide nunca que en el fondo está atacando

seguridades muy queridas por el creyente, y ofreciéndole a cambio un mundo incierto, inseguro... y un poco más veraz.30/03/2004 14:31 #. Tema: Para pensar Hay 12 comentarios.

28/03/2004

¡Cuánto espacio desaprovechado!


¡Cuánto espacio desaprovechado!

En el post anterior un lector (dob) ha escrito una frase que me ha llamado mucho la atención:

El problema que veo para hacer aceptar estos conceptos a la gente es que la idea de azar parece difícilmente asumible para el primate que todos llevamos

dentro. Nos gusta una buena historia, y si no la vemos nos la inventamos porque la necesitamos. Resulta que quien esto escribe piensa lo mismo. Además, me gustan las buenas historias. Por eso, y porque creo que es posible inventar buenas historias

para disfrutar con ellas sin necesidad de creerlas como ciertas ni de prostituir nuestro pensamiento racional; he pensado que podría incluir en este blog, que ante todo quiere ser un espacio racional, una serie de reflexiones acerca de las falacias y las afirmaciones mágicas que nos invaden por doquier. Al fin

y al cabo, es normal que a quien ha estudiado bastantes demostraciones matemáticas rigurosas le llame la atención las pretendidas "demostraciones" que

circulan por ahí sobre tópicos paranormales y sobre absurdos varios.

Estas reflexiones, que iré poniendo en sucesivos post, intercalados con otros de contenido más matemático, las tengo escritas hace cierto tiempo para

otros espacios, y no pretender ser reflexiones originales. Son mías porque las he hecho mías, sin más. Espero que les resulte interesante.Comenzamos con la primera: una afirmación que aunque está hecha normalmente en forma de exclamación, encierra una falacia bastante gorda. Es una

de mis favoritas.SI ESTAMOS SOLOS EN EL COSMOS...!CUÁNTO ESPACIO DESPROVECHADO!

Seguro que todos hemos oído esta frase, en cualquiera de sus múltiples variantes más de cuatro veces. Como la famosa afirmación de que solo usamos el

10% de nuestro cerebro, pertenece al grupo de afirmaciones que se asumen por ser muy oídas. Muy poca gente se para a pensar un momento qué quiere decir, y qué verdad o falsedad esconde tras de sí.

Podríamos empezar por decir que el principio de aprovechamiento del espacio brilla por su ausencia dentro del conjunto de leyes universales, pero eso es

tan sólo un camino para deshacer la falacia, y hay que explorarlos todos.La pregunta, como todas las afirmaciones paranormales, es perversa: en forma de pregunta esconde una respuesta apriorística: No estamos solos en el

cosmos . Pero es que además, cae en un antropocentrismo velado: la mejor forma de ―aprovechar‖ el espacio es llenarlo de vida inteligente (como la

nuestra). De esta forma, el entorno terrestre está ―bien aprovechado‖; mientras que Plutón y sus inmediaciones están mal aprovechadas. El sistema solar

en su conjunto parece estar ―medianamente aprovechado‖, en vista de que no encontramos vida en él aparte de la terrestre ( dejando en suspenso las sorpresas que nos depare Europa y quizás Titán). Asumiendo la inexistente ley del aprovechamiento espacial, nos resulta imposible de admitir la no

existencia de vida inteligente en nuestra galaxia, y no digamos ya en el universo.Queda clara pues la nula potencia de la pregunta, y la ilícita respuesta a la que parece conducir. Pero podemos aprovechar la circunstancia para

preguntarnos qué tamaño mínimo debería tener el universo para que nosotros estemos en su seno haciendo este tipo de preguntas. Para que nosotros existamos ¿bastaría con un entorno, digamos como el sistema solar? ¿Bastaría con un entorno algo mayor, que incluya a un grupo local

de estrellas de unos cien años luz de diámetro? La respuesta es clara y contundente, sin ambigüedad alguna: NO BASTARIA.¿Porqué es esto así?

Vayamos por partes. El universo es muy grande, y es tan grande porque es muy viejo. Se expande a una velocidad comparable con la velocidad de la luz,

de forma que su diámetro es proporcional a su edad. Sin entrar en complicados temas cosmológicos en una primera aproximación (no nos interesa para

nada la exactitud en este momento, y la edad real es motivo de controversia) podemos decir que su tamaño en años luz es igual a su edad en años. De esta forma, nuestra pregunta puede ser reformulada en unidades de tiempo: ¿Cuánto tiempo hace falta para que surja vida inteligente por procesos

naturales? Ahora es cuando vemos el tema bajo una nueva luz. La vida es un proceso complejo. Necesita de unos elementos idóneos para constituirse.

Admitimos de buen grado que cualquier tipo de vida extraterrestre puede ser muy diferente a la nuestra, pero siempre será un proceso muy complejo, y

necesitará un sustrato material idóneo. Pero en el universo primitivo no existían estos constituyentes, sino tan sólo hidrógeno (H). Es el interior de las

estrellas el único lugar en el que se sintetizan. Las estrellas son formidables hornos nucleares en los que el H se convierte en Helio (He) por fusión nuclear, liberando mucha energía. Cuando el H se agota, si la dinámica estelar lo permite se unen núcleos de He para producir átomos más pesados, y se

van produciendo todos los constituyentes necesarios para la vida: Carbono ( C) ,Nitrógeno (N), Oxígeno(O), Fósforo(P),Azufre (S)...Cómo consiguen salir del interior de las estrellas? Una estrella es un formidable pozo gravitatorio, del que nada pesado puede salir si no hay un poderoso

proceso que lo permita. ¿Lo hay? Pues afortunadamente para nosotros, sí lo hay.Las estrellas revientan de vez en cuando en una espectacular sesión de fuegos artificiales: las supernovas. Cuando esto ocurre, contaminan el ambiente

interestelar con los elementos pesados que se produjeron en su seno. Más aún: forman unos frentes de onda de tal intensidad debido a la explosión que

inducen a nubes de H a colapsar gravitatoriamente y formar nuevas estrellas, que naturalmente nacerán contaminadas de los metales producidos por la

supernova. Si se forman planetas en el disco de acreción de la estrella, estos planetas podrán estar constituidos por restos pesados, como es el caso de la tierra.

Así pues, debe ser una estrella de segunda generación la que vea surgir en sus inmediaciones la vida, por muy simple que sea esta. Debe haber

transcurrido toda la vida de una generación estelar previa, debe haberse formado una segunda generación, y debe haber transcurrido un número indeterminado de miles de millones de años para que el entorno neoestelar se haya estabilizado lo suficiente como para poderse iniciar un proceso

biogénico.

Todo esto lleva, digamos diez mil millones de años como mínimo, luego para que yo esté en este momento tecleando en un ordenador, el diámetro

mínimo necesario de lo existente es de diez mil millones de años luz. En una esfera de diámetro menor NO CABE la posibilidad de mi existencia.Dicho esto, dónde está ese espacio desaprovechado?


18/03/2004

La función de utilidad

Cuando Von Neuman y Morgenstein establecieron los fundamentos de la Teoría de Juegos, establecieron una definición axiomática de la denominada

función de utilidad , a la que volveremos en próximos post. Este concepto refleja la incuestionable realidad de que una ganancia concreta no supone lo

mismo para todas las personas. No es la ganancia lo que maximizamos, en la teoría de juegos, sino la función de utilidad del jugador; que siempre estará

muy relacionada con la ganancia, sin ser lo mismo. Para empezar, parece ser que nuestra percepción de "felicidad" por haber conseguido algo no es

directamente proporcional a la magnitud de lo conseguido, sino al logaritmo de lo conseguido.

Otras veces, lo que verdaderamente nos importa poco tiene que ver con las ganancias del juego; como en el caso que sigue, tomado textualmente de

www.acertijos.netUn banquero de inversión americano estaba en el muelle de un pueblito costero mexicano cuando llegó un botecito con un solo pescador. Dentro del bote

había varios atunes amarillos de buen tamaño.El americano elogió al mexicano por la calidad del pescado y le pregunto:

"¿Cuánto tiempo le tomó pescarlos? "

El mexicano respondió:

"Sólo un poco tiempo".

El americano luego le preguntó:

"¿Porqué no permaneces más tiempo y sacas más pescado?"


www.acertijos.net

"¿Porqué no permaneces más tiempo y sacas más pescado?"

El mexicano dijo que él tenía lo suficiente para satisfacer las necesidades inmediatas de su familia.

El americano luego preguntó:

"Pero.. ¿qué haces con el resto de tu tiempo?"

El pescador mexicano dijo:

"duermo hasta tarde, pesco un poco, juego con mis hijos, me hecho una siesta con mi señora, María, voy todas las noches al pueblo donde tomo vino y

toco guitarra con mis amigos. Como ves tengo una vida divertida y ocupada."El americano replicó:

"Soy un MBA de Harvard y podría ayudarte. Deja te explico... deberías gastar más tiempo en la pesca, con los ingresos comprar un bote más grande, con

los ingresos del bote más grande podrías comprar varios botes, eventualmente tendrías una flota de botes pesqueros. En vez de vender el pescado a un

intermediario lo podrías hacer directamente a un procesador, eventualmente abrir tu propia procesadora. Deberías controlar la producción, el

procesamiento y la distribución. Deberías salir de este "pinche" pueblo e irte a Ciudad de México, luego a Los Angeles y eventualmente a Nueva York,

donde manejarías tu empresa en expansión".

El pescador mexicano preguntó:

"Pero, ¿cuánto tiempo tarda todo eso?"

A lo cual respondió el americano:

"entre 15 y 20 años"

El mexicano:

"¿Y luego qué?"

El americano se rió y dijo que esa era la mejor parte. "Cuando llegue la hora deberías anunciar un IPO (Oferta inicial de acciones) y vender las acciones

de tu empresa al público. Te volverás rico, tendrás millones".El mexicano:

"Millones ...¿y luego qué?"

Dijo el americano:

"Luego te puedes retirar. Te mueves a un pueblito en la costa donde puedes dormir hasta tarde, pescar un poco, jugar con tus hijos, echar una siesta con

tu mujer, ir todas las noches al pueblo a tomar vino y tocar la guitarra con tus amigos".18/03/2004 14:18 #. Tema: Para pensar Hay 9 comentarios.

02/03/2004

Problema infernal

Vamos a aligerarnos un poco de los densos contenidos "a lo Ramsey" de los post anteriores. Volveremos a ellos en breve. Les propongo un problema que

me he encontrado por la red. Es un buen ejemplo de lo que sucede con juegos infinitos. Me explico:Cuando tenemos un problema de decisión, lo habitual suele ser que la decisión consista en elegir un elemento entre un conjunto amplio de posibilidades.

Para cada elección tengo una valoración, o una función de utilidad que refleja qué me aporta a mí (el elector) dicha decisión. Se trata de maximizar dicha

función de utilidad en el caso de que sea un beneficio, o minimizarla en el caso de que se trate de un perjuicio. Como muchas de las situaciones reales nos van a desembocar en funciones de utilidad que no son expresables por fórmulas sencillas, la tarea de

optimización es cualquier cosa menos trivial. Muchas veces debemos acudir a algoritmos de optimización muy sofisticados (algoritmos genéticos,

búsquedas tabú, algoritmos EDA, etc, de los que hablaremos en su día). Nada de esto es lo que les propongo hoy. Veamos un ejemplo de decisión que implica valoraciones infinitas. Les animo a opinar al respecto.

Usted muere, y se presenta en las puertas del infierno. El diablo en persona le explica que puede jugar a cara o cruz la posibilidad de

ingresar en el infierno de forma irremediable o salvarse. Además, le da la posibilidad de jugar hoy , mañana o cualquier otro día. Si decide

postergar n días el juego, sufrirá n días de tortura infernal, pero podrá lanzar la moneda (n+1) veces (1); y bastará con que acierte una

sola para salvarse.

Qué debe hacer usted?

(1) El número de lanzamientos permitidos es (n+1) porque el primer día ya puede lanzar una vez sin tener que esperar nada; lógicamente.


09/02/2004

Celdas y trayectorias imposibles

Tenemos en la ilustración un conjunto de cinco celdas agrupadas de una manera concreta. Podemos pensar que es el plano de una vivienda.Cada pared

interconecta una celda con otra contigua, o con el exterior mediante una puerta, en verde en el dibujo. Se trata de encontrar una trayectoria que

atraviese todas y cada una de las puertas(dieciseis en total)una sola vez.

Tras unos cuantos intentos, vereis que no es fácil encontrar la solución. Es el momento de preguntarse si será imposible. Una de las formas de resolver el

enigma es revisar exhaustivamente todas las posibilidades, de la misma forma que se demostró el Teorema de los cuatro colores . Es una

demostración perfectamente válida, pero espantosamente fea. Además, con este problema, no valdría para demostrar nada con una composición de

celdas más complicada: habría que empezar desde el principio otra vez.

Así pues, lo más elegante sería demostrar que tal trayectoria es imposible en nuestra figura, comprendiendo los porqués de tal imposibilidad. Es, como

muchas cosas en matemáticas, increíblemente fácil una vez se comprende el asunto, pero sé por experiencia que mucha gente se queda atascada.Una vez comprendido el asunto, nada cuesta responder a la misma pregunta en composiciones más complicadas.

¿Les apetece pensarlo?

Si les apetece les aconsejo coger un papel e intentar trayectorias: no tardarán en desesperarse . Es mucho mejor que intenten ver porqué no puede

existir tal trayectoria 09/02/2004 14:27 #. Tema: Para pensar Hay 14 comentarios.

05/01/2004

El juego de "El cazador"

No conozco a nadie que le parezca sencillo el cálculo de probabilidades. A pesar de la enorme importancia que tiene para nuestra propia supervivencia,


No conozco a nadie que le parezca sencillo el cálculo de probabilidades. A pesar de la enorme importancia que tiene para nuestra propia supervivencia,

estamos espantosamente dotados por la naturaleza para este tipo de cálculos. Ya lo comentábamos aquí.Menos mal que tenemos un verdadero arsenal de herramientas para poder afrontarlo. Muchas veces la forma más sencilla de resolver un problema es

resolviendo el contrario. Me explico con un ejemplo:Una persona obtiene un premio si consigue un seis tirando un dado tres veces consecutivas. ¿Qué probabilidad tiene de éxito?

Es evidente que si saca un seis a la primera, no tiene que tirar más: ya lo ha conseguido, y lo mismo a la segunda. La forma más simple de resolver este

problema es pensando precisamente en la probabilidad de no acierto: con probabilidad 5/6 sacará un valor diferente de seis cada una de las tres veces;

como los lanzamientos son independientes, podemos multiplicar las probabilidades para obtener la probabilidad de que no salga un seis ninguno de los

tres lanzamientos, que será exactamente de (5/6)3. Como nos interesa el suceso exactamente contrario (que salga algún seis), la probabilidad pedida

será la unidad menos el valor anterior, esto es:

P{ganar el premio})=1- (5/6)3=91/216

¿Es necesario el paso al suceso contrario para calcular el asunto? Obviamente no; pero es algo más elaborado. Lo que no es lícito es pensar que como

para que salga al menos un seis, debe hacerlo a la primera, a la segunda o a la tercera, podemos sumar las probabilidades, con lo que obtendríamos 3/6=

1/3.Si esto fuera cierto, con seis tiradas tendríamos la seguridad de ganar, y todos sabemos que esto no es así. ¿Qué es lo que falla?

Lo que falla es que si bien la probabilidad de sacar el seis a la primera es ciertamente 1/6, no es así con la segunda. Porque para sacar un seis a la

segunda hacen falta dos cosas:1.- No haber sacado seis a la primera.

2.- Sí sacarlo a la segunda.

Una vez que la primera tirada no ha sido seis, sí que volvemos a tenemos 1/3 de probabilidad de sacarlo a la segunda, pero no a priori. Así pues, con la

nomenclatura siguiente:A=Obtener premio

Si= Obtener seis a la i-ésima tirada.

Sci=No obtener seis a la i-ésima tirada.

nuestro cálculo directo debería ser:

P(A)=P(S1)+ P(S2/ Sc1). P(Sc

1)+P(S3/Sc1, Sc

2). P(Sc1).P(Sc

2).

El primer término es la probabilidad de obtener el premio a la primera. El segundo es la probabilidad de obtener el premio a la segunda cuando no lo

hemos obtenido a la primera, multiplicado por la probabilidad de no obtenerlo a la primera, y así sucesivamente.Ahora sí: sustituyendo por los valores numéricos correspondientes, obtenemos:

P(A)=1/6 + 1/6.5/6 + 1/6.5/6.5/6 = 91/216.

Vemos que tanto el cálculo directo de la probabilidad pedida como el contrario para luego restarle a la unidad dicho valor, son ambos posibles, pero el

trabajo que cuesta uno y otro son diferentes.Sabiendo esto, podemos abordar algo más elaborado:

¿Se acuerdan de la película ―El cazador‖, con Robert de Niro y Christofer Walken? Los malvados del Veitcong se divertían obligando a jugar a la ruleta rusa

(una sola bala en un cargador de seis) a dos prisioneros haciendo apuestas. Si suponemos que cada vez que se dispara se vuelve a ―barajar‖ el revólver,

(cosa que en la película no pasaba), por quién apostaría usted: por el primero que lo intente, o por el segundo? Las apuestas se realizan antes de

comenzar, pero ya sabiendo quién disparará primero.


02/01/2004

Paradoja infinitodimensional

Siempre he pensado que los lectores dan vida al blog. Lo he repetido varias veces, y no es una concesión de cara a la galería. Volviendo de vacaciones, he

leído un comentario de Torek referente al artículo de las esferas y cubos infinitodimensionales.Decíamos que en una esfera infinitodimensional de radio unidad, el mayor segmento que entraba en su interior era de dos unidades de longitud

(cualquiera de sus diámetros); mientras que en un cubo el mayor segmento era infinito (de hecho, toda una recta).Torek plantea una demostración de que lo anterior es falso, y que también en una esfera infinitodimensional cabe una recta infinita. El razonamiento no

puede ser más sencillo y perturbador:Dado que toda esfera tiene un cubo inscrito, y que dentro del cubo cabe, según se ha demostrado, un segmento infinito, con mayor motivo cabrá en la

esfera. Por lo tanto, tanto dentro de una esfera como dentro de un cubo infinitodimensionales cabe un segmento de cualquier longitud, por grande que esta sea.

La elegancia del razonamiento es innegable... a pesar de ser falso.

Si les apetece buscar el error, les espero.


12/12/2003

Una vuelta de tuerca al problema de Monty Hall

En los comentarios de un post anterior se mencionaba el famoso problema de Monty Hall. No tenía intención de hablar de él, por aquello del compromiso

inicial de huir del tópico; pero he encontrado una vuelta de tuerca al asunto muy interesante.Recordemos el problema y su solución:

En un concurso nos ofrecen tres cofres: uno con un premio y dos vacíos. Elegimos uno de ellos, y luego el presentador nos abre uno de los

otros dos, que está vacío. Ahora nos da la oportunidad de quedarnos con nuestra elección primera o cambiar. Supondremos que el

presentador nos ofrece el cambio siempre, que no es una estrategia que use a su conveniencia.¿Qué debemos hacer? La solución del problema es que debemos cambiar: de esta forma doblamos las posibilidades de llevarnos el premio. No quiero incidir en esto, pues está

muy hablado ya, y el que no se lo crea puede revisar en la web mil páginas que lo explican. La aceptaremos sin discusión.La vuelta de tuerca es la siguiente:

Tenemos TRES concursantes, cada uno de los cuales ha elegido un cofre distinto. El presentador abre uno de los cofres vacíos, con lo que el concursante

correspondiente queda eliminado. Ahora, los dos restantes, que conocen la solución al problema de Monty Hall, cambian sin dudar sus respectivos cofres para doblar sus posibilidades: pero esto es absurdo!

Entre ambos tienen siempre el 100% de posibilidades, es imposible que doblen sus probabilidades ambos a la vez. Por otro lado, no vemos que ninguno

de los dos concursantes pueda tener ventaja alguna sobre el otro...¿Qué sucede aquí?

Quisiera animarles a participar con sus comentarios. Los comentarios son los que le dan vida al blog. Cada comentario es un regalo para el autor y para el


Quisiera animarles a participar con sus comentarios. Los comentarios son los que le dan vida al blog. Cada comentario es un regalo para el autor y para el

resto de los lectores.12/12/2003 11:54 #. Tema: Para pensar Hay 18 comentarios.

11/12/2003

¿Qué está mal en esta foto?

Nunca veremos este espectáculo.

¿Porqué?


08/11/2003

Contribuciones de lectores

Varios lectores me han hecho comentarios que me parece interesante reflejar aquí.

José Torres que hace ver por medio de una pregunta que las sucesiones de Goodstein siguen descendiendo una vez alcanzado el cero. Por lo tanto, la

afirmación sorprendente de las mismas es que "alcanzan el cero", no que converjan a cero, como había afirmado.Creo que José Torres lleva razón, dada la definición de las sucesiones de Goodstein. Las afirmaciones de convergencia a cero quedan corregidas en los

artículos por las respectivas de "alcanzan el cero".En el artículo 0+0+...+0=0 ?, Pepe me hace una aguda observación que podeis ver en las comentarios del mismo artículo. Las medidas, dice (y lleva

razón), son aditivas cuando unimos una cantidad numerable de conjuntos disjuntos. En nuestro caso, los conjuntos unitarios de puntos son ciertamente

disjuntos, pero la no numerabilidad dificulta la comprensión de qué cosa es la suma de medidas extendida a todos ellos... En efecto, en Teoría de la

medida se define perfectamente la medida de la unión numerable de subconjuntos disjuntos como la suma de las medidas, pero NO SE PUEDE HACER LO

MISMO cuando la unión es no numerable. De hecho, y ésta es una de las mayores sorpresas que me llevé cuando lo estudié, a base de uniones no

numerables de puntos (todos ellos de medida cero pero bien definida), podemos construir conjuntos a los que no puede asociarse en absoluto el concepto

de medida.

Gracias a todos por las aportaciones.


31/10/2003

Cosmética

El ser humano ha conocido tiempos más sombríos;

tan bobos, posiblemente no.

Luis Goytisolo

Buscad la belleza, es la única batalla

que merece la pena en este asqueroso mundo.

Ramón Trecet

Como se acerca el fin de semana, me van a permitir salirme por la tangente, siempre rozando la matemática. ¿Les gustan a ustedes los fractales? Si la

respuesta es positiva, habrán reconocido la figura que encabeza este artículo: el conjunto de Mandelbrot. Cuando comencé este blog me propuse no

hablar de fractales. No por que no me gusten, que me gustan, sino por ser fiel a mi frase con la que inicié: realizar un paseo por los conceptos menos

tópicos de la matemática.

Alguien debería decir que la belleza de los fractales es enorme, pero NO ESTA EN LAS FOTOS que se exhiben de los mismos. De hecho, estas imágenes no

son fractales en absoluto; son y seguirán siendo por siempre burdas aproximaciones. Al conjunto de Mandelbrot nunca lo ha visto nadie, que diría San

Pablo. Todo esto es cosmética, en una civilización tendente a lo fácil, rápidamente consumible y más rápidamente aún olvidable.

Me carga la frase de que una imagen vale más de mil palabras. Y me carga porque ni siquiera puedo decir que sea falsa. Lo que no me cabe duda es de

que muchas veces una palabra vale por mil imágenes, y no digamos una ecuación. Dado que vivimos una época audiovisual, nos estamos olvidando del

lenguaje, de las letras y de los placeres tranquilos. Si no genera adrenalina en un femtosegundo, no vale una mierda.Daurmith nos comenta magníficamente aquí en qué parámetros se desenvuelve la sociedad norteamericana actual ,modelo del mundo en torno a la fiesta


Daurmith nos comenta magníficamente aquí en qué parámetros se desenvuelve la sociedad norteamericana actual ,modelo del mundo en torno a la fiesta

de Halloween. Si Halloween es una fiesta de cartón piedra en la que las tripas descompuestas de los muertos son de chocolate glassé, y la sangre jugo de

frambuesa, ya me dirán qué podemos esperar. Una conmemoración de la muerte en la que la muerte es la ausente, ahogada en la alegría y el grito, el

dulce y el color fucsia.

Pero no nos fijemos en los estadounidenses: entre nosotros hemos trivializado incluso la belleza de los rituales de aquellas ceremonias en las que no

creemos, convirtiendo a las niñas en pseudonovias en el mes de mayo, a los niños en pseudooficiales de la armada (¿porqué no de infantería, me

pregunto?), y reconvirtiendo la música excelsa de Bach en palurdas guitarras con idiotas canciones de misas de "para jóvenes".De las dos frases que he colocado al inicio, estoy más de acuerdo con la de Goytisolo. La segunda, más que una afirmación es una invitación. No sé si

existen batallas más importantes; supongo que sí. Pero si vamos a buscar la belleza, no creo que debamos conformarnos con la cosmética. Feliz Halloween (para el que vaya a celebrarlo).


09/10/2003

Un lamento arquimediano en el ciberdesierto.

Siendo yo un niño, murió un vecino muy mayor al que mis padres tenían mucho cariño. Los familiares, muy lejanos ellos; dispusieron de sus escasas

pertenencias, y tan sólo quedó un baúl en el trastero, que era común a las tres viviendas de la casa, así que consideré que su interior me pertenecía.El baúl contenía encuadernados los treinta primeros números del ABC, un libro de sonetos de Gracilaso y Juan de Mena editado en Salamanca en el siglo

XVIII, y otro libro.El título del otro libro era: La Nueva mecánica celeste y resolución irrefutable a la cuadratura del círculo . Autor: Justo Mintegui. Editado hacia el

año 1.930 por la editorial Itxaropena en Zarauz, Guipúzcoa.Atesoro los tres libros, pero para mí el del bueno de Justo Mintegui es un incunable. Ni que decir tiene que todo lo que allí está escrito es de una estupidez

tan sólo comparable con la arrogancia del autor. Tan sólo el paso del tiempo me ayuda a ver con cierta y nostálgica benevolencia al infausto autor. ¿Quién

sería? ¿Existirán descendientes suyos que puedan leer esto?

Habla el hombre de lo divino y lo humano, demostrando la imposibilidad de los viajes a la luna, demostrando que la evolución es falsa, que pi vale

exactamente 3,15 y otras lindezas, de las cuales destaco un cuadro en el que aparecen diversos tipos humanos, (―raza‖ europea en lugar destacado), y

un epígrafe en el que pone que no ha querido incluir más variantes degradadas de la humanidad tales como esquimales.Pero no es esto de lo que quiero hablar, sino de los filtros que tuvo que pasar el libro para llegar a mis manos. En aquella época, supongo que sólo la

vehemencia incuestionable de un autor sería capaz de vencer las trabas para ver su libelo publicado. Serían unos pocos ejemplares, y al no tener ningún

valor real, habrían desaparecido darwinianamente de la circulación la mayor parte.En las épocas que yo sí he conocido, se podía leer incautamente cualquier barbaridad creyendo cierta, pero había pistas para quien las quería usar: no

creer nada publicado por Planeta Agostini ni de la editorial EDAF,... ya me entienden, cosas así. Los autores también daban una pista muy fácil de seguir

algunas veces: si un libro estaba escrito, pongamos por ejemplo por el Doctor Jiménez del Oso, y otro por el Doctor Vallejo Nájera; era fácil saber que al

primero no se le podía dar credibilidad alguna y al segundo sí.

Con esto quiero decir lo siguiente: para tener indicios de que lo que lee es creíble, o al menos interesante; la información que debía poseer el lector a

priori era mucho menor que la información que deseaba encontrar y que de hecho encontraba en el libro.Hoy la situación ha cambiado. Tenemos acceso a prácticamente toda la información, y como dijimos en el artículo sobre la expansión decimal de pi, toda

la información se parece a ninguna información. Puedo encontrar demostraciones en la web de la imposibilidad de la cuadratura del círculo, así como mil demostraciones de la cuadratura del círculo; encuentro tantas páginas creacionistas como evolucionistas. No hay filtro alguno que favorezca las

informaciones más contrastadas. Además, generalmente las contribuciones son anónimas; tanto las geniales como las espantosas.... en suma: debo saber

a priori cada vez más de todo para tener un criterio que me diga lo que es válido.

Estamos llegando a la situación paradójica en la que mis conocimientos previos deben ser comparables en complejidad a los conocimientos que estoy

buscando, para poder tener un criterio de selección. Recordarán si me leyeron que para dar mi número de teléfono podía hacer, entre otras, dos cosas: darlo directamente o dar el puesto en el que se

encuentra dentro de pi. Para ambas posibilidades necesito las mismas cifras, luego pi no me sirve para nada.Yo no quiero que la web sea como el

desarrollo decimal de pi. Dadme un criterio en que apoyarme y me moveré por el cibermundo.09/10/2003 18:30 #. Tema: Para pensar Hay 4 comentarios.

04/10/2003

Reverencia

Sucedió en Castelldefels hace unos tres años. Asistíamos a una serie de charlas alrededor de una pregunta central: ¿Queda mucho por saber? Estábamos

cambiando de milenio, y era un buen momento para hacerse esa pregunta. El último día, hubo un coloquio en el que alguien preguntó al doctor Joan Oró

si podía resumir de alguna manera breve qué es lo más importante que había aprendido en toda una vida dedicada al estudio de los enigmas del universo.

El doctor Oró habló de su experiencia personal en el asunto, y explicó (más o menos, no recuerdo los términos que empleó) que una frase muy conocida

condensaba bastante bien lo más importante. La frase era:No hagas a los demás lo que no quieras que te hagan a ti.

¿Han sentido alguna vez una sensación de reverencia por alguien?

Yo muy pocas. Una de ellas sucedió en Castelldefels hace unos tres años.


18/09/2003

¿Matemáticas contra el racismo?

En otra historia comentábamos que la matemática por sí misma nunca podrá explicar el mundo. Cuando intentamos describir un fenómeno de la

naturaleza, establecemos un modelo. Tal cosa es una descripción matemática, lo más sencilla posible, de como funciona el fenómeno a estudiar. Si los

desarrollos matemáticos son perfectos, pero el modelo no es correcto porque no refleja realmente el comportamiento del fenómeno, entonces las

conclusiones serán erróneas. En nuestro caso, todo el desarrollo matemático es correcto, pero no el modelo: falla en lo que parece a simple vista más obvio.

Me he encontrado con un bienintencionado intento de demostrar que el racismo no tiene sentido, argumentado matemáticamente el estrecho parentesco

de todos los seres humanos. Dada la conclusión del "estudio", satisfactoria para toda mente progresista, es una verdadera pena tener que explicar que todo es una falacia.

Vamos al asunto, tal y como lo encontré:

Seleccionemos dos personas, arbitrariamente alejadas una de otra; por ejemplo: un chino de una remota aldea y un negro de lo más tupido de la selva

congoleña. El número de antepasados de cada uno de ellos es:Padres: 2

Abuelos: 4

Bisabuelos: 8

n-abuelos: 2 elevado a n.

Entendemos n-abuelos como los antepasados en la n-ésima generación hacia el pasado. Según nos remontamos en el pasado, el número de antepasados

de cada uno crece exponencialmente. Vamos a hallar el número de generaciones que nos podemos remontar en el tiempo sin encontrar ningún antepasado común entre los dos, en el peor de los casos. El peor de los casos sería escoger las dos personas menos emparentadas del mundo,

lógicamente. Supongamos, para simplificar los cálculos que el número de personas en el planeta es constante en el tiempo. ( Como no es cierto, y en el

pasado el número era menor, el valor real será aún más pequeño de lo que obtendremos).

El caso de máximo alejamiento concebible sería si para un momento en el pasado, la humanidad se dividiera en dos grupos: los antepasados de uno y los

del otro; ambas disjuntas. Supongamos el tamaño de la población en el pasado de mil millones de personas (de hecho era mucho menor). Llamamos N a

tal población. Sea n la generación en la que ocurrió tal división de la humanidad. Tenemos el desarrollo que encabeza este artículo, con un resultado de

28,8 generaciones.


28,8 generaciones.

Así pues, hace 29 generaciones, necesariamente había un antepasado común a los dos. Los valores reales serán todavía menores, según lo comentado

antes. Poniendo un tiempo de 25 años entre dos generaciones, dos seres humanos tienen necesariamente un antepasado común hace menos de 29x25=

725 años.¿Porqué todo lo anterior es falso?

El número de padres de cada persona es ciertamente dos (a no ser que uno sea clónico). El número de abuelos es casi siempre cuatro (salvo el caso de

que los padres sean hermanos, en cuyo caso serán dos, o hermanastros, en cuyo caso serán tres).Si los padres son primos, los bisabuelos no son ocho,

sino seis (dos de ellos son comunes a ambos padres). Según nos vamos remontando en el pasado, la probabilidad de que antepasados nuestros sean

parientes aumenta enormemente, y de hecho, en poblaciones aisladas que se han mantenido en número aproximadamente constante en el tiempo, el

número de antepasados de un individuo concreto es el mismo hace diez generaciones que hace quince: todos los miembros de la tribu hace 400 años

eran antepasados de cada uno de los actuales.

El modelo correcto es que el número de antepasados de cada persona hace n generaciones es a elevado a n; donde a vale menos que dos, y además es

variable para los diversos individuos: en una población con grandes lazos de consanguinidad valdrá casi la unidad. La siguiente tabla refleja el valor del

número de generaciones y años precisos para encontrar necesariamente un antepasado común, en función del valor de a.a________________2_____1.8_____1.5_____1,3______1,2_____1,1_____1.01______1

Generaciones____29_____34______50______78______112_____216_____2083____inf

Años____________725____850____1250____1950_____2800____5400____52083___inf

Vemos por lo tanto que debemos apoyarnos en argumentos más contundentes, y sin duda los hay; para convencernos de la unicidad de la especie

humana y de la falacia de los racismos.18/09/2003 18:04 #. Tema: Para pensar Hay 16 comentarios.

Pegado de <http://tiopetrus.blogia.com/temas/para-pensar.php>


http://tiopetrus.blogia.com/temas/para-pensar.php

Fecha original : 2002-02-01

Traducci�n Astroseti : 2006-04-21

Traductor : Manuel Herm�n Capit�n

Historia de las Matem�ticas: El infinito

Un art�culo sobre el infinito en un Archivo de la Historia de las Matem�ticas presenta problemas especiales. �Se concentra uno

puramente en los aspectos matem�ticos del tema o se consideran los aspectos filos�ficos o incluso religiosos? En este art�culo

veremos que hist�ricamente no pueden separarse los aspectos filos�ficos y religiosos de los matem�ticos dado que juegan un papel

importante en c�mo se desarrollaron las ideas.

Esto es particularmente cierto en tiempos de los antiguos griegos, como escribe Knorr en [26]:-

'La interacci�n de filosof�a y matem�ticas en raras ocasiones se revela con tanta claridad como en el estudio del infinito entre los

antiguos griegos. Los enigmas dial�cticos de los Ele�ticos del siglo V, refinados por Plat�n y Arist�teles en el siglo IV, y

complementados con la invenci�n de m�todos precisos de l�mites, como los aplicados por Eudoxo en el siglo IV y Euclides y Arqu�medes en el III'.

Por supuesto, desde el momento en que la gente comenz� a pensar acerca del mundo en que viv�an, surgieron las preguntas sobre el

infinito. Hab�a preguntas sobre el tiempo. �Apareci� el mundo en un instante concreto o siempre hab�a existido? �Existir�a para siempre o tendr�a un final determinado? Entonces comenzaron las preguntas sobre el espacio. �Qu� sucede si se permanece viajando

en una direcci�n concreta? �Se alcanzar�a el final del mundo o se podr�a viajar para siempre? De nuevo, sobre la Tierra se pueden

ver las estrellas, planetas, el Sol y la Luna, pero �era este espacio finito o se extender�a para siempre?

Las preguntas de arriba son fundamentales y han puesto en problemas a los pensadores a lo largo de toda la historia. Hay preguntas

m�s sutiles acerca del infinito las cuales fueron tambi�n formuladas en una etapa en que la gente comenzaba a pensar profundamente

sobre el mundo. �Qu� sucede si uno corta un trozo de madera en dos trozos, entonces de nuevo corta uno de esos trozos en dos y

contin�a haciendo esto? �Podr�a hacerlo indefinidamente?

Deber�amos comenzar nuestro relato sobre el infinito con el Ele�tico del siglo V Zen�n. Los primeros griegos hab�an llegado al

problema del infinito en una etapa temprana en su desarrollo de la ciencia y las matem�ticas. En su estudio de la materia hicieron la

pregunta fundamental: �se puede dividir de forma continua la materia en trozos m�s y m�s peque�os o se alcanza una pieza tan

diminuta que no puede dividirse a�n m�s? Pit�goras hab�a argumentado que 'todo son n�meros' y su Universo estaba hecho de un n�mero finito de n�meros naturales. Entonces llegaron los Atomistas que cre�an que la materia estaba compuesta de un n�mero

infinito de indivisibles. Parm�nides y la Escuela Ele�tica, con Zen�n incluido, argumentaban contra los Atomistas. Sin embargo las

paradojas de Zen�n demuestran que ambos cre�an que la materia es continuamente divisible y la creencia en la teor�a at�mica llev�

a ambos a aparentes contradicciones.

Por supuesto estas paradojas surgen del infinito. Arist�teles no pareci� apreciar por completo la relevancia de los argumentos de

Zen�n sobre el infinito ya que el infinito no le preocupaba en absoluto. Introdujo una idea que dominar�a el pensamiento durante dos

mil a�os y es a�n un argumento persuasivo para alguna gente hoy d�a. Arist�teles argumentaba contra el infinito real y, en su lugar, consideraba un infinito potencial. Su idea era que nunca podremos concebir los n�meros naturales como un todo. Sin embargo son

potencialmente infinitos en el sentido que dado un conjunto finito siempre podemos encontrar un conjunto finito mayor.

Es de importancia para nuestra discusi�n el notable avance hecho por los Babilonios quienes introdujeron la idea de un sistema

num�rico posicional el cual, por primera vez, nos permit�a una representaci�n concisa de los n�meros sin limitar su tama�o. A pesar

de los sistemas num�ricos posicionales, el argumento de Arist�teles es bastante convincente. Solo un n�mero finito de n�meros

naturales ha sido alguna vez escrito o pensado. Si L es el mayor n�mero pensado hasta ahora entonces podemos ir m�s lejos y escribir

L + 1, o L2 pero a�n pueden pensarse muchos otros finitos. Arist�teles discut�a esto en sus Cap�tulos 4-8 del Libro III de F�sica (ver

[36]) donde afirma que negar que exista el infinito real y permitir solo el infinito potencial no ser�a un obst�culo para los

matem�ticos:-

'Nuestra labor no es robarle a los matem�ticos su ciencia, refutando la existencia real del infinito en la direcci�n de incremento, en el

sentido de infranqueable. A decir verdad ellos no necesitan el infinito y no lo usan. Solo postulan que una l�nea recta finita puede ser

prolongada tanto como se desee.Cantor, unos dos mil a�os m�s tarde, argumentaba que Arist�teles estaba haciendo una distinci�n que estaba solo en su uso de las

palabras:-'... en realidad el infinito potencial tiene solo una realidad prestada, en el grado que como concepto de infinito potencial siempre apunta

El infinito



'... en realidad el infinito potencial tiene solo una realidad prestada, en el grado que como concepto de infinito potencial siempre apunta

hacia un concepto de infinito real l�gicamente anterior de cuya existencia depende'.Llegaremos a las ideas de Cantor hacia el final del art�culo pero por el momento tengamos en cuenta el efecto que tuvo Arist�teles en

los posteriores matem�ticos griegos al permitir solo el infinito potencial, particularmente sobre Euclides; ver por ejemplo [36]. �C�mo

entonces, podr�amos preguntarnos, fue capaz Euclides de probar que el conjunto de n�meros primos es infinito en el 300 a. C.? Bien, la respuesta es que Euclides no prob� esto en Elementos. Esto es simplemente una formulaci�n moderna de lo que Euclides afirm� en

realidad en su teorema, de acuerdo con la traducci�n de Heath, dice:-

'Los n�meros primos son mayores que cualquier magnitud asignada de n�meros primos'.

Por tanto, lo que de hecho prob� Euclides era que los n�meros primos son infinitos potenciales pero en la pr�ctica, por supuesto, esto

es lo mismo. Su prueba demuestra que, dada una colecci�n finita de n�meros primos, debe haber un n�mero primo que no est� en el

grupo.

Deber�amos debatir otros aspectos del infinito que juegan un papel crucial en Elementos. All� Euclides explica el m�todo exhaustivo

de Eudoxo de Cnido. A menudo este m�todo se usa para considerar el c�rculo como l�mite de pol�gonos regulares cuando el n�mero de lados aumenta hasta infinito. Deber�amos enfatizar firmemente, sin embargo, que esta no es la forma en la que los antiguos griegos

observaron el m�todo. En lugar de esto fue un argumento de reducci�n al absurdo el que evit� el uso del infinito. Por ejemplo, para

probar que dos �reas A y B son iguales, el m�todo asumir�a que el �rea de A es menor que la de B para entonces derivar una

contradicci�n tras un n�mero finito de pasos. De nuevo, suponer que el �rea de B es menor que la de A tambi�n nos lleva a una

contradicci�n en un n�mero finito de pasos. Recientemente, sin embargo, han salido a la luz pruebas que sugieren que no todos los antiguos matem�ticos griegos se sent�an

restringidos a tratar solo con el infinito potencial. Los autores de [32] se han dado cuenta de una forma sorprendente en queArqu�medes investig� el n�mero infinito de objetos en El M�todo, un manuscrito de Arqu�medes:-

'... Arqu�medes tom� tres pares de magnitudes infinitas en n�mero y afirm� que eran, respectivamente 'iguales en n�mero'. ...

Sospechamos que no existi� ning�n otro lugar conocido en la matem�tica griega - o, de hecho, en los antiguos escritos griegos -

donde los objetos infinitos en n�mero se les llame iguales en magnitud. ...La sugerencia de que ciertos objetos, infinitos en n�mero, son 'iguales en magnitud' a otros implica que no todos estos objetos,

infinitos en n�mero, son tan iguales. ... Tenemos aqu� muchos objetos infinitos - con definidas y diferentes magnitudes (es decir son

cercanos en n�mero); tales magnitudes son manipuladas de una forma concreta, aparentemente por algo similar a una correspondencia

uno a uno. ... en este caso Arqu�medes trata los infinitos reales casi como si poseyeran n�meros en el sentido habitual...'

Incluso cuando la mayor�a de matem�ticos aceptaron los argumentos del infinito potencial de Arist�teles, otros argumentaban casos

de infinito real. En el siglo I a. C. Lucrecio escribi� su poema De Rerum Natura en el cual argumentaba contra un Universo limitado en el espacio. Su argumento es simplemente uno. Supongamos que el Universo fuese finito por lo que tendr�a que tener un l�mite. Ahora,

si nos aproximamos al l�mite y lanzamos un objeto en �l ,no habr�a nada que lo detuviera ya que cualquier cosa que pudiese pararlo

estar�a m�s all� del l�mite y nada puede existir m�s all� del Universo por definici�n. Ahora sabemos, por supuesto, que el

argumento de Lucrecio es falso dado que el espacio podr�a ser finito sin tener l�mite. Sin embargo durante muchos siglos el

argumento del l�mite domin� el debate sobre si el espacio era finito. Eso se agrand� por los te�logos que argumentaban en favor del infinito real. Por ejemplo San Agust�n, el fil�sofo cristiano que

traslad� gran parte de la filosof�a de Plat�n al cristianismo a principios del siglo V D. C., argumentaba en favor de un Dios infinito y tambi�n de un Dios capaz de pensamientos infinitos. Escribi� en su trabajo m�s famoso, Ciudad de Dios:-'Tal como digo que tales cosas infinitas son pasado en el conocimiento de Dios podr�an tambi�n saltar precipitadamente este agujero

de impiedad, y digo que Dios no conoce todos los n�meros. ... �Qu� loco dir�a eso? ... Ser�a miserable atreverse a presumir que

tiene l�mites en su sabidur�a'.

Los matem�ticos hind�es trabajaron en la introducci�n del cero en su sistema num�rico durante un periodo de unos 500 a�os

empezando con Brahmagupta en el siglo VII. El problema que se encontraron fue qu� hacer con el cero respecto a las operaciones

aritm�ticas habituales. Bhaskara II escribi� en

Bijaganita:-

'Una cantidad dividida por cero se convierte en una fracci�n en la cual su denominador es cero. Esta fracci�n determina una cantidad

infinita. En esta cantidad que tiene el cero como su divisor, no existe alteraci�n, aunque se pueden insertar y extraer muchos; as�

como ning�n cambio tiene lugar en el infinito y el inmutable Dios cuando el mundo es creado o destruido, aunque numerosos �rdenes

de seres sean absorbidos o creados'.

Este fue un intento de traer el infinito, as� como el cero, al sistema num�rico. Por supuesto no funcion� debido a que si introducimos

la sugerencia de Bhaskara II entonces 0 veces infinito debe ser igual a cada n�mero n, por lo que todos los n�meros son iguales. Tom�s de Aquino, el te�logo y fil�sofo cristiano, us� el hecho de que no hay un n�mero para representar el infinito como argumento

contra la existencia del infinito real. En Summa Theologia, escrito en el siglo XIII, Tom�s de Aquino escribi�:-'La existencia de una multitud de infinitos reales es imposible. Para cualquier conjunto de cosas que uno tiene en cuenta debe existir un

conjunto espec�fico. Un conjunto est� especificado por el n�mero de cosas que hay en �l. Ning�n n�mero es infinito, para el resultado num�rico de contar a trav�s de un conjunto de unidades. Por tanto ning�n conjunto de cosas puede en realidad estar

inherentemente ilimitado, ni puede suceder que sea ilimitado'.

Esta objeci�n era en efecto razonable para la �poca de Aquino y no tuvo una respuesta satisfactoria. Un conjunto infinito real requiere

una medida, y tal medida no parec�a posible para Aquino. Tenemos que movernos hacia adelante hasta Cantor cerca de finales del

siglo XIX antes de encontrar una medida satisfactoria para conjuntos infinitos. El art�culo [15] examina:-'... los argumentos matem�ticos usados por dos te�logos del siglo XIII, Alexander Nequam y Richard Fishacre, para defender la

consistencia del infinito divino. En conexi�n con sus argumentos, se plante� la siguiente cuesti�n: �Por qu� los te�logos juzgaban

como inapropiado recurrir a ejemplos matem�ticos en relaci�n con un tema puramente teol�gico?'. La inducci�n matem�tica comenz� a usarse cientos de a�os antes que se hiciera ninguna formulaci�n rigurosa del m�todo. Esta

proporcionaba una t�cnica para probar que las proposiciones eran ciertas para un n�mero infinito de valores enteros. Por ejemplo, al-

Karaji alrededor del a�o 1000 D. C. us� una forma no rigurosa de inducci�n matem�tica en sus argumentos. B�sicamente lo que al-

Karaji hizo fue demostrar un argumento para n = 1, entonces probar el caso para n = 2 bas�ndose en el resultado de n = 1, entonces

probar el caso n = 3 bas�ndose en el caso de n = 2, y llegar hasta n = 5 antes de resaltar que se podr�a continuar el proceso de forma

indefinida. A trav�s de estos m�todos dio una maravillosa descripci�n para generar los coeficientes binomiales usando el tri�ngulo de

Pascal.


Pascal.

Pascal no sab�a nada del trabajo de al-Karaji sobre el tri�ngulo de Pascal pero sab�a que Maurolico hab�a usado un argumento de

tipo de inducci�n matem�tica a mediados del siglo XVII. Pascal, proponiendo su versi�n del tri�ngulo de Pascal escribi�:-'Incluso aunque esta proposici�n puede tener un n�mero infinito de casos, dar� una breve prueba de ellos suponiendo dos axiomas. El

primero, que es evidente por s� mismo, es que la proposici�n es v�lida para la segunda fila. La segunda es que si la proposici�n es v�lida para cualquier fila entonces es necesariamente v�lida para la siguiente fila. De aqu� puede verse que es necesariamente v�lido

para todas las filas; dado que es v�lido para la segunda fila por el primer axioma; y por el segundo axioma debe ser cierto para la

tercera fila, y de aqu� para la cuarta y as� hasta el infinito'.

Habi�ndonos movido hacia delante en el tiempo siguiendo el progreso de la inducci�n, volvamos atr�s un poco para ver argumentos

que se hicieron acerca del Universo infinito. El modelo de Universo finito de Arist�teles con nueve esferas celestiales centradas en la

Tierra hab�a sido el punto de vista aceptado durante un largo periodo. No tuvo oposici�n, sin embargo, ya hemos visto el argumento

de Lucrecio a favor de un Universo infinito. Nicol�s de Cusa, a mediados del siglo XV, fue un brillante cient�fico que argument� que el

Universo era infinito y que las estrellas eran soles distantes. En el siglo XVI, la Iglesia Cat�lica europea inici� su intento de acabar con

tales herej�as. Giordano Bruno no era matem�tico ni cient�fico, pero argument� con fuerza a favor de un Universo infinito en 'Sobre

el Universo infinito y los Mundos' (1584). Llevado ante la Inquisici�n, fue torturado durante nueve a�os en un intento de obligarlo a

aceptar que el Universo era finito. Rechaz� cambiar su opini�n y fue quemado en la hoguera en el a�o 1600.

Galileo era sumamente consciente del destino de Bruno en manos de la Inquisici�n y eso le hizo ser muy cauto a la hora de exponer sus

puntos de vista. Abord� el tema del Infinito en Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (1638) donde estudi�

el problema de dos c�rculos conc�ntricos con centro O, el c�rculo mayor A con di�metro dos veces mayor que el c�rculo menor B. La

f�rmula habitual nos da que la circunferencia de A debe ser el doble que la de B. Pero tomando cualquier punto P en el c�rculo A, entonces PA corta al c�rculo B en un punto. De forma similar si Q es un punto sobre B entonces OQ corta al c�rculo A en exactamente

un punto. Aunque la circunferencia de A es dos veces mayor que la longitud de la circunferencia de B ambas tienen el mismo n�mero de

puntos. Galileo propuso a�adir un n�mero infinito de espacios infinitamente peque�os a la longitud menor para hacerla igual a la

mayor y permitir que tuviesen el mismo n�mero de puntos. Escribi�:-

'Estas dificultades son reales; y no son las �nicas. Pero recordemos que estamos tratando con infinitos e indivisibles, los cuales

trascienden nuestra comprensi�n finita, los primeros a causa de su magnitud, los �ltimos debido a su peque�ez. A pesar de esto, los

hombres no pueden abstenerse de discutirlos, incluso aunque deba hacerse de forma indirecta'. Sin embargo, Galileo argument� que las dificultades eran debidas a:-

'... intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir sobre el infinito, asign�ndole propiedades que damos a lo finito y limitado; pero

pienso que esto es incorrecto, dado que no podemos hablar de cantidades infinitas como si fuesen mayores, menores o iguales a otras'. Entonces dio otra paradoja similar a la del c�rculo esta vez con n�meros ni infinitos ni indivisibles que pod�an ser insertados en el

lugar correcto. Proporcion� la correspondencia uno a uno est�ndar entre los enteros positivos y sus cuadrados. Por una parte

demostr� que hab�a el mismo n�mero de cuadrados que de n�meros. Sin embargo la mayor�a de los n�meros no eran cuadrados perfectos, Galileo dijo que esto solo pod�a significar que:-

'... el total de los n�meros es infinito, y el n�mero de cuadrados es infinito.; ni es menor el n�mero de cuadrados que el de la totalidad

de n�meros, ni el otro mayor que el anterior; y, finalmente, los atributos 'igual', 'mayor', y 'menor' no son aplicables al infinito, sino

solo a cantidades finitas'.

En [25], Knobloch toma un nuevo punto de vista sobre este trabajo de Galileo. En el mismo papel se examinan las cuidadosas

definiciones de Leibniz sobre el infinitesimal y el infinito en t�rminos de procedimientos de l�mites. El desarrollo de Leibniz del C�lculo se construy� sobre ideas de lo infinitamente peque�o que hab�an sido estudiadas durante largo tiempo.

Cavalieri escribi� Geometria indivisibilibus continuorum (1635) en el cual piensa que las l�neas est�n constituidas por infinitos puntos

y las �reas compuestas de infinitas l�neas. Dio un m�todo bastante riguroso de comparaci�n de �reas, conocido como 'Principio de

Cavalieri'. Si movemos una l�nea paralelamente a s� misma a lo largo de dos �reas y si el radio de las longitudes de la l�nea dentro

de cada �rea es siempre a : b entonces el radio de las �reas es a : b.

Roberval fue a�n m�s lejos en el camino de pensar en la l�neas como la suma de un infinito n�mero de peque�as partes indivisibles.

Introdujo m�todos para comparar los tama�os de los indivisibles de forma que incluso si no tienen magnitud por s� mismos se pueden

definir rangos de sus magnitudes. Este fue un gran avance en el trabajo con procesos infinitos ya que por primera vez en la historia fue

capaz de ignorar magnitudes que eran peque�as comparadas con otras. Sin embargo, hay una diferencia entre ser capaz de usar el


capaz de ignorar magnitudes que eran peque�as comparadas con otras. Sin embargo, hay una diferencia entre ser capaz de usar el m�todo de forma correcta y escribir las condiciones precisas rigurosamente sobre cu�ndo podemos usarlo. Consecuentemente se

generaron paradojas lo que llev� a algunos a querer rechazar el m�todo de indivisibles. El Colegio Romano rechaz� los indivisibles y prohibi� su ense�anza en los Colegios Jesuitas en 1649. La Iglesia hab�a fallado al

silenciar a Bruno a pesar de llevarlo a la muerte, fall� al intentar silenciar a Galileo a pesar de ponerlo bajo arresto domiciliario y no

podr�a detener el progreso hacia el c�lculo diferencial e integral prohibiendo la ense�anza de los indivisibles. M�s bien la Iglesia solo obligar�a a los matem�ticos a que se esforzaran por dar un mayor rigor contra las cr�ticas.

El s�mbolo infinito que usamos para el infinito hoy d�a, se us� por primera vez por John Wallis quien lo us� en De sectionibus conicis

en 1655 y de nuevo en Arithmetica infinitorum en 1656. Eligi� este s�mbolo para representar el hecho de que se podr�a atravesar la

curva infinitamente.

Tres a�os m�s tarde Fermat identific� una importante propiedad de los enteros positivos, a saber, no contienen una secuencia

descendente infinita. Hizo este descubrimiento introduciendo el m�todo de descenso infinito en 1659:-... en los casos donde los m�todos ordinarios dados en los libros se muestran insuficientes para manejar proposiciones de tal dificultad,

he encontrado al fin una forma completamente excepcional de trabajar con ellos. He llamado a este m�todo de comprobaci�n de

infinito descenso ...El m�todo estaba basado en demostrar que si una proposici�n era cierta para alg�n valor entero positivo n, entonces tambi�n era

verdad para algunos valores enteros positivos menores que n. Debido a que no existe una cadena de descenso infinita en los enteros

positivos tal prueba caer�a en una contradicci�n. Fermat us� este m�todo para probar que no exist�an soluciones enteras positivas

para x4 + y4 = z4. Newton rechaz� los indivisibles en favor de su fluxi�n que era una medida de la variaci�n instant�nea de una cantidad. Por supuesto,

el infinito no se hab�a eludido dado que a�n ten�a que tener en cuenta incrementos infinitamente peque�os. Esto era, en cierto sentido, la respuesta de Newton al problema de la flecha de Zen�n:-

Si, dice Zen�n, todo est� en reposo o en movimiento cuando ocupa un espacio igual a s� mismo, mientras el objeto movido est� en

ese instante, la flecha en movimiento permanece quieta.La fluxi�n de Newton produjo resultados matem�ticos fant�sticos pero hab�a mucha cautela en el uso de incrementos infinitamente

peque�os. La famosa cita de George Berkeley resume las objeciones de una forma sucinta:-�Y qu� son estas fluxiones? Las velocidades de incrementos evanescentes. �Y qu� son los mismo incrementos evanescentes? No son

m�s que cantidades finitas, no cantidades infinitamente peque�as, ni nada de eso. �No podr�amos llamarlos fantasmas o cantidades

'huidas'?

Newton cre�a que el espacio es de hecho infinito y no indefinidamente grande. Proclam� que tal infinidad pod�a ser comprendida,

usando en particular argumentos geom�tricos, pero no pudo concebirlo. Esto es interesante para, como veremos m�s abajo, otrosargumentos contra el infinito real usando el hecho de que no puede ser concebido.

El problema de si el espacio y el tiempo eran infinitamente divisibles continuaba poniendo en problemas. El fil�sofo David Hume

argument� que hab�a un m�nimo tama�o perceptible en su Tratado de la Naturaleza Humana (1739):-Pon una mancha de tinta en el papel, fija tu mirada en el punto, y ret�ralo a tal distancia que finalmente lo pierdas de vista; es

evidente que el momento en que la imagen o impresi�n desapareci� es perfectamente indivisible.

Immanuel Kant argument� en La Cr�tica a la Raz�n Pura (1781) que el infinito real no puede existir dado que no puede percibirse:-

... para concebir el mundo, que llena todo el espacio, como un todo, la sucesiva s�ntesis de las partes de un mundo infinito tendr�an

que plantearse como completas; es decir, un tiempo infinito tendr�a que considerarse como transcurrido, durante la enumeraci�n de todas las cosas que coexisten.

Esto trae la cuesti�n a menudo preguntada por los fil�sofos: �existir�a el mundo si no hubiese una inteligencia capaz de pensar en su

existencia? Kant dice no; por lo que volvemos al punto del principio de este art�culo, el conjunto de los enteros no es infinito dado que

nunca podremos enumerar m�s de un n�mero finito de n�meros. Se hicieron peque�os progresos en la cuesti�n del infinito real. Los mismos argumentos parec�an no hacer ning�n progreso definitivo

hacia una mejor comprensi�n. Gauss, en una carta a Schumacher en 1831, argumentaba contra el infinito real:-Protesto contra el uso de magnitudes infinitas como algo completo, lo que en matem�ticas nunca se permite. El infinito es simplemente

una forma de hablar, el significado real es un l�mite con ciertos rangos de aproximaci�n indefinidamente cercanos, mientras que otros

se les permite incrementarse sin restricci�n.

Tal vez uno de los sucesos m�s significativos en el desarrollo del concepto de infinito son las Paradojas de Bernard Bolzano sobre el

infinito las cuales public� en 1840. Argumenta que el infinito existe y en su argumento involucra la idea de un conjunto que define por

primera vez:-Llamo conjunto a un grupo donde el orden de sus partes es irrelevante y donde nada esencial se cambia si solo se cambia el orden.

�Por qu� la definici�n de un conjunto hace del infinito real una realidad? La respuesta es simple. Una vez que uno piensa en los

enteros como conjunto entonces esto es una entidad simple que debe ser infinita en realidad. Arist�teles mirar�a los enteros desde el

punto de vista que uno puede encontrar subconjuntos finitos arbitrariamente grandes. Pero una vez que se tiene el concepto de

conjunto entonces estos se ven como subconjuntos del conjunto de los enteros el cual debe ser infinito en realidad. Quiz�s

sorprendentemente Bolzano no us� este ejemplo de conjunto infinito sino que en lugar de esto mira las proposiciones ciertas:-

La clase de todas las proposiciones ciertas se ve f�cilmente como infinito. Si fijamos nuestra atenci�n sobre una verdad tomada de

forma aleatoria y la etiquetamos como A, encontramos que la proposici�n transmite las palabras 'A es cierta' que es distinto de la

proposici�n A en s� misma... En esta etapa, el estudio matem�tico del infinito se mueve hacia la Teor�a de Conjuntos y referimos al lector al art�culo Inicios de la

Teor�a de Conjuntos para mayor informaci�n sobre la contribuci�n de Bolzano y el tratamiento del infinito de Cantor quien construy�

una teor�a de diferentes tama�os de infinitos con sus definiciones de n�meros cardinales y ordinales. El problema de los infinitesimales se puso en una base matem�tica rigurosa por Robinson con su famoso texto de 1966 de an�lisis no-

est�ndar. Kreisel escribi�:-Este libro que apareci� justo 250 a�os despu�s de la muerte de Leibniz, presenta una rigurosa y eficiente Teor�a de Infinitesimales

obedeciendo, como Leibniz quer�a, las mismas leyes de los n�meros ordinarios. Fenstad, en [17], mira al infinito y al an�lisis no-est�ndar. Tambi�n examina sus usos en el modelado de fen�menos naturales.

Autores: J J O'Connor y E F Robertson

MacTutor History of Mathematics

Referencias:

[15] A A Davenport, The Catholics, the Cathars, and

the concept of infinity in the thirteenth century,

Isis 88 (2) (1997), 263-295.

[17] J E Fenstad, Infinities in mathematics and the

natural sciences, in Methods and applications of

mathematical logic, Campinas, 1985, Contemp. Math. 69

(Providence, RI, 1988), 79-92.

[26] W R Knorr, Infinity and continuity in ancient and

medieval thought (Ithaca, N.Y., 1982), 112-145.

[36] D D Spalt, Die Unendlichkeiten bei Bernard

Bolzano, in Konzepte des mathematisch Unendlichen im

19. Jahrhundert (G�ttingen, 1990), 189-218.


19. Jahrhundert (G�ttingen, 1990), 189-218.

Pegado de <http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo.php?num=3482>


http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo.php?num=3482

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Knuttz

Nov 5 2006, 01:13 PM

1 x 8 + 1 = 9

12 x 8 + 2 = 98

123 x 8 + 3 = 987

1234 x 8 + 4 = 9876

12345 x 8 + 5 = 98765

123456 x 8 + 6 = 987654

1234567 x 8 + 7 = 9876543

12345678 x 8 + 8 = 98765432

123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11

12 x 9 + 3 = 111

123 x 9 + 4 = 1111

1234 x 9 + 5 = 11111

12345 x 9 + 6 = 111111

123456 x 9 + 7 = 1111111

1234567 x 9 + 8 = 11111111

12345678 x 9 + 9 = 111111111

123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88

98 x 9 + 6 = 888

987 x 9 + 5 = 8888

9876 x 9 + 4 = 88888

98765 x 9 + 3 = 888888

987654 x 9 + 2 = 8888888

9876543 x 9 + 1 = 88888888

98765432 x 9 + 0 = 888888888

Knuttz



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98765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 1 = 1

11 x 11 = 121

111 x 111 = 12321

1111 x 1111 = 1234321

11111 x 11111 = 123454321

111111 x 111111 = 12345654321

1111111 x 1111111 = 1234567654321

11111111 x 11111111 = 123456787654321

111111111 x 111111111=123456789 87654321

12 + 21 = 33

123 + 321 = 444

1234 + 4321 = 5555

12345 + 54321 = 66666

123456 + 654321 = 777777

1234567 + 7654321 = 8888888

12345678 + 87654321 = 99999999

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TRIÁNGULO DE PASCAL Y TRIÁNGULO DE SIERPINSKITRIÁNGULO DE PASCAL

Recordemos en primer lugar el procedimiento seguido para construir el triángulo aritmético o de Pascal.

Numeramos las filas del triángulo comenzando por 0, es decir fila 0, fila 1, fila 2, etc. La fila "n" contiene n + 1 elementos, el primero y el último de los

cuales toman el valor 1, mientrás que los demás elementos se obtienen sumando los dos elementos de la fila anterior entre los que se encuentra

situado.

El primer applet que se encuentra en esta página muestra inicialmente las primeras filas del triángulo de Pascal.

El interés de dicho triángulo se debe a múltiples razones. Por ejemplo: los números que aparecen en cada fila son los coeficientes que se obtienen al

desarrollar (a + b)n. Por ejemplo, si nos fijamos en la fila-3 observamos que los números 1, 3, 3, 1 son precisamente los coeficientes del desarrollo de (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Por otra parte, los números del triángulo reciben el nombre de números combinatorios. En la fila-3 tenemos 4 números combinatorios: C3,0=1 ,C3,1= 3,

C3,2= 3, C3,3=1. El número combinatorio Cn,m representa el número de grupos distintos de m elementos que se pueden formar a partir de n objetos, de forma que cada grupo se diferencie de otro en algún elemento (combinaciones de n elementos tomados de m en m). Por ejemplo ¿cuántos delegaciones

de 11 miembros se pueden formar a partir de un grupo de 20 personas? La respuesta es C20,11. Para calcular el número basta construir 21 filas del triángulo de Pascal y fijarnos en el número que ocupa el lugar 12 (hemos empezado a contar los elementos de cada fila por el elemento 0 y las filas por

la fila-0). El cálculo también se puede hacer utilizando la fórmula siguiente: Cn,m =

, donde n! se lee "n factorial" y significa: n! = n·(n - 1)·(n - 2)·.......·1. (p.ej. 4! = 4·3·2·1=24)

En el triángulo de Pascal aparecen los números triangulares (1, 3, 6, 10,...), tetraédricos (1,4,10,20,35,56,...), los números de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5,

8, 13, 21,......), etc.Se han estudiado multitud de propiedades numéricas del triángulo, criterios de divisibilidad, algoritmos para calcular restos al dividir por un número

concreto, etc.El triángulo debe su nombre al célebre matemático Blaise Pascal (1623-1662) quien estudió algunas propiedades del mismo, siendo más importante el

método utilizado para demostrar una de ellas que la propiedad en sí. Pascal utilizó aquí por primera vez de forma clara y precisa el método de "inducción matemática". (Boyer: Historia de las Matemáticas). No obstante hay que recordar que el triángulo de Pascal era conocido desde mucho

antes. Las primeras referencias del triángulo corresponden a China, donde está constatado que el triángulo era conocido alrededor de 1100. En relación con el triángulo de Pascal se suelen citar al matemático chino Yang Hui, del siglo XIII, conocido por haber estudiado algunas de sus propiedades, y al

matemático persa Omar Khayyam, del siglo XI-XII, cuyo descubrimiento del triángulo se presume que fue independiente del descubrimiento por parte

de los matemáticos chinos). Al final de esta página existen enlaces a las biografías que la universidad de St. Andrews (Escocia) pone a disposición de los interesados.

PROPIEDAD INTERESANTE En esta página vamos a detenernos en una curiosa propiedad del triángulo de Pascal.

Si consideramos una parte inicial del triángulo (por ejemplo las 20 primeras filas) y coloreamos las casillas correspondientes a los números pares, se

observa una estructura regular que nos recuerda el famoso triángulo de Sierpinski. Si aumentamos paulatinamente el número de filas conservando el tamaño externo del triángulo de Pascal, el parecido se hace más patente y podemos convencernos de que los sucesivos triángulos de Pascal coloreados

y con un número de filas cada vez mayor se aproximan (convergen) al triángulo de Sierpinski.

El primer applet de esta página muestra inicialmente las primeras filas del triángulo de Pascal. Se puede aumentar el número de filas y se puede elegir

entre colorear los números pares o no colorearlos. Cuando se elige colorear se observa perfectamente que al ir aumentando el número de filas el objeto resultante se va aproximando al triángulo de Sierpinski.El segundo applet es algo distinto. Está diseñado para mostrar otro tipo de regularidad que se da en el triángulo de Pascal. Aquí podemos elegir entre

tres números: 3, 5 y 7, y se pueden colorear los números en función del resto obtenido al dividirlos entre 3, 5 ó 7. Exite también la posibilidad

("Divisibles") de colorear sólo los números combinatorios que son divisibles entre 3, 5 ó 7. Es decir, si elegimos el número 3 el applet divide los

números del triángulo entre 3, y dependiendo de la opción elegida ("Colorear" o "Divisibles") colorea en función del resto obtenido (0, 1 ó 2) o bien

colorea solamente los múltiplos de 3.. También se ver la parte del triángulo elegida sin colorear nada ("Colores No").

TRIÁNGULO DE SIERPINSKIEl triángulo de Sierpinski es un famoso conjunto geométrico introducido por el célebre matemático polaco Waclack Sierpinski (1882-1969). Se trata de

un fractal determinístico que se puede generar de diversas formas. La más usual consiste en partir de un triángulo equilátero, marcar los puntos medios

de sus lados y extraer el triángulo interior (considerado como conjunto abierto). Se repite el proceso con los tres triángulos que quedan y así

sucesivamente (formalmente el triángulo de Sierpinski se define como la intersección de los conjuntos cerrados que van apareciendo en cada etapa):

TRIÁNGULO DE PASCAL Y TRIÁNGULO DE SIERPINSKI



sucesivamente (formalmente el triángulo de Sierpinski se define como la intersección de los conjuntos cerrados que van apareciendo en cada etapa):

TRES PRIMERAS ETAPAS DE LA CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO

CUARTA ETAPA DE LA CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO DE SIERPINSKI

El triángulo de Sierpinski posee algunas propiedades importantes. Se trata de un conjunto formado por infinitos puntos (conjunto infinito no

numerable). No existe ningún rectángulo abierto ("abierto" = no se consideran sus bordes), por pequeño que sea, que contenga únicamente puntos del triángulo de Sierpinski. El conjunto de Sierpinski, junto con la aparición de otros conjuntos geométricos "patológicos" como el conjunto de Cantor, la curva de Peano, la curva

de Hilbert, la curva de Koch obligaron a los matemáticos de principios de siglo a desarrollar conceptos nuevos y lineas nuevas de investigación

(dimensión y medida de una curva o de un conjunto, autosemejanza, recursividad, sistemas de funciones iteradas, atractores, caos). Todo este

conjunto de nuevas ideas fue unificado en los años setenta por Benoit Mandelbrot . A él se debe el concepto de fractal y la presentación de nuevos

métodos para el estudio de conjuntos geométricos más "reales" y "complicados" que los conjuntos "ideales" propios de la Geometría Euclídea.

ACTIVIDADES DIDÁCTICAS:

1. ¿Cuántos triángulos se retiran en cada etapa? (En la primera: 1,.en la segunda 3,...).

2.Calcula el área de triángulos que vamos retirando en cada etapa

3. ¿Cuál es el área del triángulo de Sierpinski?

4. Juego del caos: En una cartulina grande marca los vértices de un triángulo equilátero y numéralos (1, 2, 3). Elige un punto arbitrario del plano como

punto inicial. Tira un dado y si obtienes un 1 ó un 2 dibuja el punto medio del segmento determinado por el punto inicial y el vértice 1. Si obtienes con

el dado un 3 ó un 4 haz lo mismo pero utilizando el vértice 2. Si obtienenes un 5 ó un 6 lo mismo pero con el vértice 3. Repite la experiencia con el

punto que has obtenido en la primera tirada del dado y continúa aplicando el mismo proceso a los puntos que vayas obteniendo. Cuando tengas un

número grande de puntos observa el dibujo. Al conjunto de puntos obtenido se le llama órbita del punto inicial.¿A qué figura se aproxima el dibujo? El

objeto ideal al que se aproxima el dibujo se llama atractor del experimento.

La primera vez que leí algo sobre este experimento lo hice en una excelente página del conocido profesor Robert Devaney de la Universidad de Boston.

Allí planteaba una serie de actividades didácticas dirigidas a profesores, y, entre otras cosas, sugería realizar la práctica por grupos, dibujando las

órbitas sobre transparencias que contuvieran el mismo triángulo inicial, para luego al final superponerlas , proyectar con un retroproyector y observar el

resultado.

En su página actual presenta diversas informaciones interesantes relacionadas con el triángulo de Sierpinski y con los "sistemas dinámicos" y el "caos".

Merece la pena visitarla.Con el programa "DERIVE" puedes dibujar una aproximación del triángulo de Sierpinski utilizando el algoritmo del juego del caos. Los vértices del

triángulos serán, por ejemplo, los puntos [0, 0], [100, 0] y [50, 86.6] y únicamente se necesita definir tres funciones: #1. siguiente_vertice(x):=if(x<1/3,[0, 0], if(x<2/3,[100, 0],[50, 86.6]))

#2. siguiente_punto(x):=(x+siguiente_vertice(random(1)))/2

#3. calcula_orbita(punto_inicial, nr_elementos_orbita) := iterates(siguiente_punto(x), x, punto_inicial, nr_elementos_orbita)

#4. (por ejemplo) calcula_orbita([38,78], 300)

y ahora calculamos la expresión #4 con cálculo aprox. y después dibujamos los 300 puntos de la órbita obtenida con las opciones "tamaño punto" =

"pequeño" o "mediano" y con "unir" = "no" (conected = no). Los puntos esbozan la imagen del atractor. Si queremos más puntos basta volver a utilizar calcula_orbita aplicado al último punto de la orbita que hayamos calculado hasta el momento. Es conveniente no dibujar los primeros elementos de la

órbita. El número de puntos de la órbita que se puede calcular depende de la potencia de tu ordenador. (En mi Pentium-120 con 32 megas de Ram se calculan órbitas de 500 elementos sin dificultad).

IMAGEN del TRIÁNGULO DE SIERPINSKI OBTENIDA CON DERIVE:

Con el programa "Cabri" también puedes dibujar una aproximación del triángulo de Sierpinski utilizando el procedimiento consistente en extraer un

triángulo del centro de otro (se puede definir una macro....) Los dibujos de las cuatro primeras fases de la construcción del triángulo que aparecen más arriba están hechos con "Cabri". Puedes hacerlo también con "Dr.Geo" que tiene la ventaja de ser un programa de distribución gratuita (freeware) .También existe la posibilidad de dibujar el triángulo de Sierpinski utilizando una hoja de cálculo como, por ejemplo, Excel. Es fácil de programar

utilizando la idea del juego del caos(si te interesa conocer los detalles, envíame un mensaje). La siguiente imagen del triángulo la he realizado con Excel y se puede mejorar programando una sencilla macro que realice todo el trabajo y además coloree los tres sub-triángulos principales que constituyen el

triángulo completo con colores distintos (es lo típico).

IMAGEN del TRIÁNGULO DE SIERPINSKI OBTENIDA CON "EXCEL":


IMAGEN del TRIÁNGULO DE SIERPINSKI OBTENIDA CON "EXCEL":

5. Autosemejanzas: describe tres contracciones distintas (centro y factor de contracción) que permiten transformar el triángulo de Sierpinski en una de

sus partes (existen tres sub-triángulos principales).

6. Busca información sobre la curva de Koch y el conjunto de Cantor.

7. Busca en Internet información sobre la esponja de Sierpinski (cubo de Sierpinski).

Pegado de <http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/tripasca.htm>


http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/tripasca.htm

Números poligonalesFecha de primera versión: Marzo 1997Fecha de última actualización: 26-06-01

Los números poligonales se remontan al comienzo mismo de la matemática. Fueron los pitagóricos los que los descubrieron.Tal vez, la mejor forma de comprender los números poligonales es percatarse que en aquella época los números se representaban mediante guijarros (calculi) que se disponían en una superficie.Algunos números pueden disponerse formando figuras geométricas, por ejemplo 3 guijarros se pueden disponer formando un triángulo, 4 forman un cuadrado, etc.Los números triangulares (1, 3, 6, 10, 15, ...) son enteros del tipo N = 1 + 2 + 3 + ... + nLos números cuadrados (1, 4, 9, 16, 25, ...) son enteros del tipo N = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1)Los números pentagonales (1, 5, 12, 22, ...) son enteros del tipo N = 1 + 4 + 7 + ... +(3n-2)Los números hexagonales (1, 6, 15, 28, ...) son enteros del tipo N = 1 + 5 + 9 + ... + (4n-3)Y así sucesivamente.En general, los números poligonales son enteros del tipo

Cuando b=1 se dice que es un número triangular, para b=2 cuadrados, para b=3 pentagonales.Los números poligonales se pueden obtener mediante recurrencia (sea n el número de orden del número poligonal):T(n) = T(n - 1) + nC(n) = C(n - 1) + (2n - 1)P(n) = P(n - 1) + (3n - 2)...................................M(n) = M(n -1) + (m - 2)(n - 1) + 1

Observemos que si tomamos el primer número de cada serie de números poligonales (3, 4, 5, 6, ...) obtenemos una progresión aritmética de diferencia 1. Si tomamos el segundo número de cada serie (6, 9, 12, 15, ...) obtenemos una progresión aritmética de diferencia 3, y así sucesivamente

Según Fermat, todo número entero puede expresarse mediante la suma de n números n-gonales como máximo. Gauss demostró esta conjetura para los números triangulares y cuadrados, Cauchy consiguió dar una demostración general.

Los números poligonales se pueden obtener del triángulo de Pascal.

De la observación de la figura se deduce que todo numero cuadrado (de cualquier orden) es la suma de un número triangular del mismo orden y otro de orden inmediatamente anterior. Por ejemplo: 9 = 6 + 3, 25 = 15 + 10. Esto se puede representar de esta forma: C(n) = T(n) + T(n - 1).

Un número pentagonal se puede obtener como la suma de uno triangular del mismo orden más dos veces otro de orden inmediatamente anterior. Por ejemplo: 22 = 10 + 2.6. Eso se puede representar de esta forma: P(n) = T(n) + 2T(n - 1).

Un número hexagonal se puede obtener como la suma de uno triangular del mismo orden más tres veces otro de orden inmediatamente anterior. Por ejemplo: 28 = 10 + 3.6. Eso se puede representar de esta forma: H(n) = T(n) + 3T(n - 1).

La fórmula general para un número poligonal de m lados sería: M(n) = T(n) + (m - 3).T(n - 1).

Otra propiedad curiosa de los números poligonales es esta:C(n) = T(n) + T(n - 1).P(n) = C(n) + T(n - 1).H(n) = P(n) + T(n - 1)................................Algunos números pertenecen a dos familias diferentes. Por ejemplo: 36 es un número triangular de orden 8 y cuadrangular de orden 6.

Pegado de <http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Aritmetica/Numeros/Numpol.htm>

Números poligonaleslunes, 21 de abril de 200806:48 p.m.


http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Aritmetica/Numeros/Numpol.htm

El triángulo de Pascal y la sucesión de Fibonacci

El Triángulo de Pascal (también conocido como triángulo de Tartaglia) es un triángulo formado por números enteros que es

bien conocido por gran cantidad de gente al aparecer en los libros de texto desde secundaria en adelante. De todas formas

vamos a ver cómo se construye:

Colocamos un 1 en el vértice superior del triángulo. Despues, en la fila inferior, colocamos un 1 a la

derecha y un 1 a la izquierda del 1 de arriba. En la inferior colocamos un 1 a cada extremo y entre los dos

unos colocamos un 2 (1 + 1). En la inferior un 1 en cada extremo y en medio un 3 entre el 1 y el 2 (1 + 2)

y otro 3 entre el 2 y el 1 (2 + 1). Y así sucesivamente: en los extremos un 1 a cada lado y en las posiciones

intermedias colocamos la suma de los números de arriba. Queda una cosa así:

Construcción del Triángulo de Pascal

Su aplicación más importante es la siguiente: cada fila del triángulo representa los coeficientes de los monomios que

aparecen en el desarrollo del binomio (a + b)n (tomando el 1 de arriba como la potencia n = 0), o lo que es lo mismo,

los coeficientes que aparecen en el binomio de Newton coinciden con los elementos que aparecen en cada fila

del triángulo de Pascal. Una propiedad realmente interesante. En la Wikipedia podéis ver más información.

Pero en el título del post aparece también la sucesión de Fibonacci, que ya se nombró en este post sobre el número de

Oro. Este número y la sucesión de Fibonacci están íntimamente relacionados, ya que es el límite de la sucesión formada por

los cocientes de cada elemento de la sucesión y el inmediatamente anterior.

Construcción de la sucesión de FibonacciLa sucesión de Fibonacci se construye de la siguiente forma:

Es decir, su primer elemento es el 0, el siguiente el 1, y de ahí en adelante cada elemento es la suma de los dos anteriores.

Por tanto los primeros elementos son:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…

También en la Wikipedia podéis ampliar información sobre esta sucesión: propiedades de ella misma y del número de Oro,

situaciones del arte y la naturaleza donde aparece…

Relación entre ellos

Y bueno, en principio estos dos objetos matemáticos no tienen demasiada relación. Pero en realidad sí la tienen. Tanto la

sucesión de Fibonacci como el número de Oro aparecen en multitud de lugares, tanto matemáticos como reales. Y el triángulo

de Pascal no iba a ser una excepción. ¿Cómo encontrar los elementos de la sucesión de Fibonacci en el triángulo de Pascal?. Pues de esta forma:

El triángulo de Pascal y la sucesión de Fibonacci



Realmente sorprendente cómo dos cosas que en principio no tienen mucha relación pueden converger de esta manera.

Si sumamos los elementos de cada fila obtenemos las potencias de 2: 1, 2, 4, 8, 16,…

Si tomamos cada fila como un número obtenemos los múltiplos de 11: 1, 11, 121, 1331, 14641,…

Si sumamos dos elementos consecutivos de la diagonal 1-3-6-10-15-… obtenemos un cuadrado perfecto: 1, 4, 9, 16,

25,…

Si en una fila el primer número después del 1 es un número primo se cumple que todos los demás números son

divisibles por ese número primo (excluyendo los 1 claro está). Por ejemplo, en la fila 1-7-21-35-35-21-7-1 el primer

número después del 1 es el 7, que es primo. Si nos fijamos en el resto de número, 35, 21 y 7, todos son divisibles por

7.

Y para terminar os dejo algunas de las propiedades que tiene el triángulo de Pascal:

(La imagen anterior y esta información ha sido sacada de aquí)

Pegado de <http://gaussianos.com/el-triangulo-de-pascal-y-la-sucesion-de-fibonacci/>


http://gaussianos.com/el-triangulo-de-pascal-y-la-sucesion-de-fibonacci/

El número 666 tiene curiosas propiedades? Aparte del significado negativo que todos conocemos (es el número de la bestia), cumple las siguientes propiedades:

Podemos obtenerlo a partir de operaciones elementales con las potencias sextas de los tres primeros enteros positivos:

Podemos obtenerlo sumando sus dígitos y los cubos de los mismos:

Por cierto, al parecer hay pocos números que cumplen esta propiedad. ¿Qué números son?

Podemos obtenerlo sumando los cuadrados de los primeros siete números primos:

La función, cuyo valor es la cantidad de enteros positivos menores o iguales que que son primos relativos con , y el número cumplen lo siguiente:

616

Al parecer el 666 ha dejado de ser el número de la bestia, para sorpresa de todos el verdadero número resulta que es el 616:

Nuevas investigaciones sugieren que el 666, que siempre habías sido aceptado como el Número del Diablo, está equivocado. Al aplicar nuevas técnicas fotográficas a un fragmento de texto del siglo III (parte de una colección de documentos históricos encontrados en un vertedero en las fueras d e Oxyrhynchus, en Egipto) se ha revelado que el número bíblico de la bestia es realmente el 616, y no el 666 como se había creado durante tantos años.

Pegado de <http://dhorizons.blogspot.com/>

666martes, 03 de junio de 200810:46 p.m.


http://dhorizons.blogspot.com/

El tiempo es una cultura La historia del tiempo sigue abierta a nuevas interpretaciones

La reflexión humana sobre el tiempo se remonta a Platón y aún no ha concluido. Primero nos vimos atrapados en la rueda del destino, luego protagonistas de la historia, más tarde como los arqueros del universo y finalmente como parte de los procesos irreversibles de la naturaleza. De esta especulación hemos aprendido que el tiempo es una cultura que evoluciona con nuestros conocimientos. Por Eduardo Martínez.

Toda la historia de los conceptos de la materia, el espacio y el tiempo es la de una especulación metafísica que dura varios cientos de años, señala Wartofsky. Antes del uso

del lenguaje, suponemos que nuestra especie, si bien percibe con exactitud el entorno, al mismo tiempo ostenta una forma de conciencia sin forma ni definición. Son los preludios de nuestra más elemental cultura.

El uso del lenguaje -añade Wartofsky- nos saca de nosotros mismos y enmarca nuestra experiencia dentro del mundo común de los objetos, de los actos y de las demás

personas. El lenguaje es el que altera las circunstancias de la percepción, ordena los datos de la experiencia, los codifica y cimienta una específica concepción del mundo.

Es así como el homo sapiens construye su primer marco de referencia y supera el autismo inicial, ese estado de conciencia difusa que caracteriza, supuestamente, sus

primeros momentos como especie.

Entendemos que es así como se introduce en nuestra cultura la noción del tiempo, si bien desde nuestros más remotos antepasados hasta nuestros días, la idea del tiempo

ha evolucionado de manera significativa en esa historia especulativa a la que se refiere Wartofsky.

Primeras reflexiones

Tenemos que remontarnos a la Edad Antigua para encontrar las primeras reflexiones humanas sobre el tiempo. Platón dice que el tiempo es la imagen móvil de la eternidad. Refleja el debate de la época entre el tiempo subjetivo (el de cada persona), el tiempo objetivo (cronos o duración de los acontecimientos), y el concepto de eternidad (tiempo inmortal y divino, sin principio ni fin) introducido por Aristóteles.

Las unidades de tiempo más corrientes, como las diferentes épocas del año, o el día y la noche, contribuyen a introducir en la cultura de nuestros antepasados la mentalidad cíclica asociada a tales fenómenos. Un ciclo sigue al otro en un proceso infinito, cada época no es sino una parte del todo. Pericles expresa así esta mentalidad: todas las cosas de este mundo están abocadas al declive.

Para esta mentalidad cíclica, repetitiva, sin ilusión ni creatividad, el tiempo humano es tan exacto como el del entorno, sin opción a variaciones deliberadas. Todo se considera condicionado por el destino.

Desde estos primeros momentos, la cultura del tiempo combina los elementos objetivo y subjetivo, así como la dimensión de eternidad, en un conjunto de ideas integradoras en las que se entremezclan los ciclos del entorno, las percepciones temporales de cada persona y la noción de que el tiempo se opone a eternidad: según Platón, el tiempo que pasa es la manifestación de una Presencia que no pasa.

Tiempo y movimientoLa relación entre tiempo y movimiento la señala por vez primera Aristóteles, cuando establece: el tiempo es el número (la medida) del movimiento según el antes y el

después. El ser que mide es, para Aristóteles, la conciencia interna del tiempo. Sin embargo, no llega a explicar qué es lo que señala el antes y el después, como advierte Prigogine.

Aunque algunos pensadores de la Antigüedad, como Estratón, consideran que el tiempo es una realidad completa en sí misma, otros, como Aristóteles, prefieren concebirlo

más bien como una relación, aunque sin llegar a definirlo como exclusivamente subjetivo.

En cualquier caso, la primera noche de esta reflexión humana, que se prolonga hasta San Agustín, considera que el tiempo es desde siempre una gran paradoja: parte del

tiempo es pasado y ya no existe, y la otra parte es futuro y no existe todavía, reflexiona Aristóteles. San Agustín enfatiza la percepción subjetiva: el alma y no los cuerpos es la verdadera medida del tiempo.

El tiempo lineal

Un salto esencial en la interpretación del tiempo se produce gracias a los profetas del judaísmo, que rompen con la idea del eterno retorno y rechazan la noción de destino

implantada por los griegos. Esta visión del mundo, sobre la que se construye más adelante la concepción cristiana, realza el valor del futuro e introduce la esperanza como referencia de la evolución humana.

La persona ya no es considerada prisionera de los ciclos y de la fatalidad, sino que se encuentra en peregrinación hacia el futuro y espera con intensidad el próximo cambio del mundo. Es la idea del tiempo lineal, que se contrapone a la idea del tiempo cíclico.

El cambio de mentalidad que introduce el tiempo lineal es considerable: no sólo integra la esperanza en la cultura de la especie, sino que al mismo tiempo la hace subversiva. El mundo está inacabado y debemos perfeccionarlo.

Esta noción del tiempo como fuente de progreso añade la dimensión social al debate de la Antigüedad sobre los elementos objetivo, subjetivo y eterno (o cíclico) del tiempo. La polémica se prolonga hasta la época moderna, cuando el tiempo es percibido, bien como realidad absoluta (una realidad completa en sí misma), bien como propiedad (de las cosas) o también como relación, como decía Aristóteles (más que una realidad, el tiempo es una relación).

Tiempo continuoEl denominador común es la descripción del tiempo como algo continuo, ilimitado, de una sola dirección y dimensión, homogéneo y fluyendo siempre del mismo modo, explica Ferrater Mora.

Newton profundiza en esta descripción y establece el tiempo como algo absoluto, verdadero y matemático, que transcurre uniformemente. Descarta el factor subjetivo e introduce la medición matemática del tiempo con ayuda de relojes. Para Newton el tiempo es sólo una magnitud, una unidad de medida, puesto que en un mundo en movimiento no hay lugar para el presente.

La visión newtoniana recupera el determinismo de los primeros momentos porque considera que la historia cósmica está ya escrita: podemos saber en qué momento ocurrirá el próximo eclipse o el paso del siguiente cometa. Como explica Ivar Ekeland, es la época de la transparencia perfecta, el tiempo se inscribe en el espacio, el pasado y el futuro están escritos en el instante presente para el que sepa leerlos.

El tiempo cuántico

Una nueva y significativa ruptura en la concepción del tiempo se produce en la primera mitad del siglo XX, cuando la teoría de la Relatividad Especial de Einstein establece la

unión del tiempo y el espacio en un nuevo concepto que evoca a Aristóteles. Hace 2.200 años, Aristóteles afirmó que el tiempo tiene que ser movimiento, uniendo así dos conceptos relacionados entre sí pero que se nos presentaban separados, diferentes.

Einstein establece una revolución conceptual parecida cuando señala que el tiempo es la cuarta dimensión de la realidad. Los objetos no sólo tienen longitud, altura y

profundidad, sino que además están inmersos en un proceso temporal inevitable que tiene tanta importancia como las otras tres dimensiones físicas.

Bertrand Russell lo explica así: espacio y tiempo no son independientes, como tampoco lo son las tres dimensiones del espacio. Seguimos necesitando las cuatro

dimensiones para determinar la posición de un hecho... (pues) no existe el mismo tiempo para diferentes observadores.

Espacio-tiempo

La gran trascendencia de la aportación de Einstein radica en la unificación que realiza de conceptos básicos aplicados a la realidad: no sólo establece que la materia es simultáneamente onda y partícula, sino que el tiempo y el espacio son también facetas diferentes de un todo cuatridimensional que es el llamado espacio-tiempo.

Algunos físicos consideran incluso al espacio-tiempo como la matriz de toda la realidad. De hecho, el espacio y el tiempo aparecieron simultáneamente en la evolución del Universo.

La física actual se plantea además que el tiempo puede estar formado por partículas elementales que, al igual que los objetos materiales, percibimos como algo continuo y fluyente a nivel macrofísico (es decir, en la vida cotidiana), pero que, a nivel microfísico (que sólo podemos percibir en el laboratorio), es granulado (está formado por partículas) e irregular (porque tiene periodos de diferentes proporciones). Si esto es así, la misma dualidad onda-partícula aplicable a la luz, valdría también para el tiempo.

El tiempo como ilusión Wartofsky advierte que nuestra imagen actual del espacio y del tiempo ha sido creada por la ciencia, y que las concepciones del espacio y el tiempo no están siempre de acuerdo con las simples verdades espacio temporales que tomamos como inevitables y necesarias.

Conviene tenerlo en cuenta porque para Einstein la distinción entre pasado, presente y futuro es sólo una ilusión, por persistente que ésta sea. Esta afirmación choca con el sentido común, que nos indica que el tiempo es tan real como la materia y el espacio.

El tiempo es una cultura

jueves, 05 de junio de 200809:08 p.m.


sentido común, que nos indica que el tiempo es tan real como la materia y el espacio.

Sin embargo, añade Wartofsky, el sentido común es un término relativo, que indica solamente el sentido común que prevalece en un período determinado del desarrollo

conceptual. Desde esta perspectiva, el sentido común es sólo el conocimiento adquirido por la especie que ha resultado útil en determinados períodos históricos, pero no necesariamente sinónimo de verdad. ¿Es el tiempo una cultura, una ilusión de la especie?

Dos presentes

Aceptar que el espacio y el tiempo forman una única realidad supone no sólo convertir a ambos en fenómenos físicos, sino también revisar la noción de simultaneidad. Hasta Newton se pensaba que existía un presente universal: dos acontecimientos pueden ocurrir al mismo tiempo en dos lugares diferentes.

Sin embargo, la Teoría de la Relatividad establece que no existe ningún momento que tenga validez universal: dos acontecimientos pueden ocurrir simultáneamente para un observador, pero otro observador que se mueva respecto al primero de ellos percibirá esos dos acontecimientos sucesivamente, no al mismo tiempo.

Es decir, aunque en la vida cotidiana, donde las distancias y las velocidades son demasiado pequeñas para apreciar la Relatividad, no ocurren estas cosas, sin embargo acontecimientos que tienen lugar en lugares muy alejados entre sí pueden estar en el pasado para un observador y en el futuro para otro. Bertrand Russel afirma al respecto que el orden-tiempo de los acontecimientos depende en parte del observador.

En consecuencia, el concepto de presente es una cuestión meramente personal y sólo tiene significado para el marco de referencia en el que se encuentra el observador, explica Davies. Y añade: siendo esto así resulta insensato dividir ordenadamente el tiempo en pasado, presente y futuro.

Arqueros del Universo

La estructuración de los acontecimientos en pasado, presente y futuro no deja de ser una construcción mental sin ningún significado para las ciencias naturales, lo que

explica la ilusión a la que se refería Einstein.

El mundo no sucede, simplemente existe, dice el matemático Herman Weyl. La flecha del tiempo la ponemos nosotros. Somos los arqueros que permiten que el Universo

tenga una historia con pasado, presente y futuro.

Un nuevo elemento desconcertante porque, a pesar de su carácter ilusorio, la direccionalidad del tiempo impregna todo el Universo y es la que establece el principio básico

de causalidad, origen de cada uno de nosotros.

Casi todos los físicos están convencidos de que la causalidad es una ley inviolable de la naturaleza, pero a decir verdad carecen de una demostración que así lo pruebe,

advierte Gribbin. Y añade: no existe en realidad nada en las leyes de la física que exija que la causalidad sea verdadera... La ley de causalidad no es más que la concepción vulgar del tiempo expresada en jerga científica.

Nuestra magnitud respecto al Universo guarda así una estrecha relación con nuestra capacidad de interactuación con él: según la Relatividad nosotros somos el tiempo del Universo.

El tiempo creativoYa no podemos pensar, con Einstein, que el tiempo irreversible es una ilusión, sentencia sin embargo Ilya Prigogine. Para mí -añade- el hombre forma parte de esta corriente de irreversibilidad que es uno de los elementos esenciales, constitutivos, del universo.

Premio Nobel de Química en 1977 por su contribución al estudio de los procesos irreversibles y de la termodinámica de los sistemas complejos, Prigogine añade a la teoría clásica, relativista y cuántica la así llamada física de los procesos alejados del equilibrio. Ha podido establecer que en condiciones alejadas del equilibrio, la materia es capaz de apreciar diferencias en su entorno y de reaccionar con grandes efectos a pequeñas fluctuaciones.

Toda la teoría de Prigogine se basa en la termodinámica, una ciencia matemáticamente rigurosa iniciada en 1811 por Jean Joseph Fourier y basada en el tratamiento teórico de la propagación del calor en los sólidos. Esta ciencia añade otro componente universal a la física, además de la gravitación: el calor. Para Prigogine, las grandes líneas de la historia del universo están hechas de una dialéctica entre la gravitación y la termodinámica.

La termodinámica se basa en tres principios básicos: el de conservación (que no es sino una generalización del principio de conservación de la energía conocida en mecánica), el principio de evolución (también conocido como segundo principio de la termodinámica) y el principio de Nernst-Planck.

Tres principios

En sus comienzos, la termodinámica se centra en los procesos de equilibrio y descuida los procesos irreversibles típicos de las situaciones alejadas del equilibrio. Sin

embargo, es sobre estos procesos, a partir de los cuales se formula el segundo principio de la termodinámica, que Prigogine fija su atención: revolucionan de tal forma el conocimiento del mundo que trascienden con mucho la teoría relativista y cuántica sobre la que se cimienta el pensamiento científico del siglo XX.

El segundo principio de la termodinámica es la ley del crecimiento irreversible de la entropía (desorden), formulada por Rudolf Clausius en 1865. La entropía de un sistema

aislado aumenta con el tiempo, explica Penrose: un sistema aislado (por ejemplo un gas) que ha sufrido una evolución, no retorna espontáneamente a su estado inicial, sino que amplifica sus fluctuaciones. Esta amplificación de las fluctuaciones provoca a su vez una situación nueva y una serie de nuevas posibilidades de evolución.

Para la nueva ciencia del calor, los sistemas disipan energía, son irreversibles y evolucionan hacia el desorden. La evidencia que se desprende de la termodinámica es que,

lejos del equilibrio, la materia desarrolla nuevas propiedades: sensibilidad a influencias del entorno, posibilidad de estados múltiples, historicidad de las elecciones adoptadas por los sistemas (se crean nuevos estados irreversibles).

Fenómenos irreversibles

Una de las consecuencias de la termodinámica es que el tiempo no puede ser subjetivo, como sugiere la física de partículas. Según la física del calor, la irreversibilidad es la base de la mecánica cuántica, de la mecánica clásica y de la relatividad, por lo que ya no podemos considerar el tiempo como una aproximación: la relatividad general no da

sentido a la irreversibilidad y no puede explicar la gigantesca producción de entropía que caracterizó el nacimiento de nuestro universo.

Los fenómenos irreversibles que se aprecian en los sistemas alejados del equilibrio conducen a nuevas estructuras materiales que perduran y evolucionan hacia nuevos estados, lo que lleva a Prigogine a afirmar que ya no nos está permitido creer que somos los responsables de la aparición de la perspectiva del antes y del después.

De la termodinámica se desprende que, a niveles macroscópicos, la materia sometida a calor es inestable, fluctúa y engendra nuevos estados. A diferencia de lo que ocurre con la física cuántica, estos procesos metamórficos ocurren al margen de que sean observados o no, son inevitables e imprevisibles y pueden desarrollarse de una forma totalmente incontrolada.

Aunque la estructura subatómica de la materia sea paradójica porque no sigue las leyes físicas conocidas, a niveles macroscópicos la materia se transforma por efecto del calor y sintoniza con el orden espacio-temporal humano. Para Prigogine, este orden macroscópico otorga objetividad al mundo físico y disuelve las paradojas que se observan en el mundo cuántico, considerado como una especie de mundo alejado de los procesos de observación.

Tiempo irreversible

En consecuencia, según la termodinámica todo discurre realmente del pasado al presente y del presente al futuro de manera inevitable e irreversible. Roger Penrose aclara sin embargo que la irreversibilidad es simplemente una cuestión práctica: no podemos en la práctica des-revolver un huevo, aunque es un procedimiento perfectamente

admitido por las leyes de la mecánica.

La inestabilidad, las fluctuaciones y la irreversibilidad, cualidades que descubre la termodinámica, desempeñan un papel en todos los niveles de la naturaleza: la química, la ecología, la climatología, la biología y la cosmología. Desde esta perspectiva, el universo surge de una inestabilidad (no de una singularidad, como expone la teoría del Big Bang), que crea simultáneamente materia y entropía.

Nuestro universo es el resultado de una transformación irreversible y proviene de otro estado físico, no del vacío cuántico. La transformación del espaciotiempo en materia, en el momento de la inestabilidad del vacío, corresponde a una explosión de entropía, a un fenómeno irreversible.

En consecuencia, el universo no está condenado a la extinción, como expone la teoría clásica, sino que puede renacer si la inestabilidad original se llega a reproducir. Para Prigogine, el nacimiento de nuestro tiempo (del tiempo de nuestra vida, de nuestro planeta, de nuestro universo) no equivale al nacimiento del tiempo en sí mismo, ya que en el vacío cuántico el tiempo existía en estado potencial.

Azar y tiempoLa física de los sistemas alejados del equilibrio aporta otra novedad: el azar introducido por la física en la mecánica cuántica no se limita al nivel de las partículas elementales, sino que es también una propiedad de la materia a nivel macroscópico, de los sistemas observados por la termodinámica. A nuevos estados físicos de la materia le corresponden nuevos comportamientos.


materia le corresponden nuevos comportamientos.

La idea que se desprende de esta teoría es que reafirmamos el carácter abierto y creativo del universo que nos sugieren las partículas elementales. Sin embargo, si la física

nos ha hablado hasta ahora del tiempo ilusión de Einstein y del tiempo degradación de la entropía (extinción del universo por disipación del calor), estos dos modelos de tiempo no rigen ya: el universo no sólo no se degrada, sino que aumenta en complejidad con nuevas estructuras que emergen en las estrellas, las galaxias y los sistemas

biológicos. El desorden no es sinónimo de caos, sino de reorganización e incremento de la complejidad de los sistemas. Como señala Prigogine, los desarrollos recientes de la

termodinámica nos proponen un universo en el que el tiempo no es ilusión ni disipación, sino creación.

Una cultura del tiempo abiertaEstas reflexiones nos señalan que el debate iniciado por Platón se prolonga todavía, que continuamos viviendo, compartiendo e inventando la historia del tiempo en una persistente especulación metafísica. Sin embargo, al igual que ocurre con nuestras facultades superiores, seguimos sin saber exactamente lo que es el tiempo.

Uno de los mayores condicionantes de nuestra existencia, de nuestro conocimiento, de nuestra percepción y de nuestra cultura, es también uno de nuestros mayores misterios.

Bergson lo expresa así, elocuentemente: nosotros no pensamos el tiempo real, pero lo vivimos porque la vida desborda a la inteligencia. Parece decirnos que, ya seamos los arqueros del universo que ponemos la flecha del tiempo, como decía Einstein, o ya seamos parte de la corriente de irreversibilidad que cruza el universo, como dice Prigogine, la vida nos desborda y conduce por senderos en los que el tiempo emerge más como una cultura que evoluciona con nuestros conocimientos, que como uno de los fundamentos metafísicos del mundo real.

Esto es lo que podemos aprender de la historia del tiempo, que sigue abierta a nuevas interpretaciones porque es una historia que construimos nosotros con nuestras inquietudes, investigaciones y reflexiones.

Así escapamos también del determinismo cultural que rechazan la física cuántica y la termodinámica porque, como ha expresado la antropóloga María Jesús Buxó, las culturas no son inmutables, sino el vehículo para la creación consciente y constante de estructuras de realidad y, por ello, de futuros probables.

Referencias bibliográficas:

Marx W. Wartofsky, Introducción a la filosofía de la ciencia, Alianza Universidad 39, Tomos I y II, Madrid 1979

Ferrater Mora, Diccionario de Filosofía, Alianza Editorial, Madrid 1979-1980,

Ilya Prigogine, El nacimiento del tiempo, Metatemas 23, Tusquets editores, Barcelona 1988.

Paul Davies, Física Extrema, artículo aparecido en la revista Muy Interesante, febrero de 1988.

Ivar Ekeland, Le calcul, l'imprevu, les figures du temps de Kepler a Thom, Seuil, París, 1984,

Artistóteles, Physica, IV, II, 219 a.

Bertrand Russell, ABC de la Relatividad, Ariel, Barcelona, 1978.

John Gribbin. En busca de la frontera del tiempo, Celeste Ediciones, Madrid, 1993.

Luis Ruiz de Gopegui, ¿Y si el tiempo y el espacio fueran partículas?, revista

Tendencias Científicas y Sociales, julio-septiembre. 1989, págs. 4 y 5.

Einstein-Besso, Correspondence, Ed. P. Speziali, Herman, Paris, 1972,

Roger Penrose, La nueva mente del emperador, Mondadori, Madrid, 1991,

Ilya Prigogine & Isabel Stengers, Entre le temps et l'eternité, Fayard, París, 1988, Bergson, L'evolution créatrice, PUF, Paris, 1970, pág. 534 Mª Jesús Buxó I Rey, Las culturas son inmutables, Revista Tendencias Científicas y Sociales, año II, nº 11, febrero 1989

Pegado de <http://www.tendencias21.net/El-tiempo-es-una-cultura_a953.html>


http://www.tendencias21.net/El-tiempo-es-una-cultura_a953.html

Método TrachtenbergDe Wikipedia, la enciclopedia libre

El método Trachtenberg es un sistema de cálculo mental, algo parecido a las matemáticas védicas. Fue desarrollado por el

ingeniero ruso Jakow Trachtenberg con el fin de mantener su mente ocupada cuando era prisionero en un campo de

concentración nazi.El sistema consiste de un número de patrones memorizables con gran facilidad que le permiten a uno realizar computaciones

aritméticas sin ayuda de lápiz y papel.El resto de este artículo presenta algunos de los métodos diseñados por Trachtenberg.

Multiplicar por 12

4 × 2 = 8

1 × 2 + 4 = 6

3 × 2 + 1 = 7

Volver a copiar 3

Ejemplo: 314 × 12 = 3.768:

Regla: para multiplicar por 12, duplicar el dígito antes de sumarlo al dígito a su derecha y luego volver a copiar el primer dígito:

Multiplicar por 11

Volver a copiar 2

2 + 2 = 4

4 + 2 = 6

3 + 4 = 7

Volver a copiar 3

Ejemplo: 3.422 × 11 = 37.642

Regla: para multiplicar por 11, vuelva a copiar el último dígito. Luego, dos por dos, añada los dígitos uno al otro. Vuelva a

copiar el primer dígito.

Multiplicar por 5

Si el número es impar tomar cinco (5) y sumar la "mitad" del vecino derecho 1.

Si el número es par tomar cero (0) y sumar la "mitad" del vecino 2.

La "mitad" del vecino significa, la mitad sin decimales, ejemplo la "mitad" de 5 es 2 3.

3 es impar y su vecino es cero poner 5

8 es par, toma 0 y la "mitad" de su vecino 3 es 1, sumando el resultado es: 1

6 es par, toma 0 y la "mitad" de su vecino 8 es 4, sumamos y el resultado es 4

1 es impar, toma 5 y la "mitad" de su vecino 6 es 3, sumamos y el resultado es 8

Ejemplo: 1.683 × 5 = 8.415

Regla: para multiplicar por 5:

Multiplicar por 6

Agregar la mitad del vecino a cada dígito. 1.

Si el dígito es impar, reducirlo al número entero más bajo. 2.

Si el resultado es impar, agregar 5. 3.

Volver a copiar 2

3 + (2 / 2) + 5 = 9; 3 es impar se suma 5

8 + (3 / 2) = 9; 3 es impar se reduce a 2

7 + (8 / 2) + 5 = 16; 7 es impar se suma 5, y se lleva 1

5 + (7 / 2) + 1 + 5 = 14; 5 es impar se suma 5, y 1 que se llevaba. 7 es impar se reduce a 6

6 × 6 = 36

6 + (5 / 2) + 1 = 9; se suma 1 que se llevaba. 5 es impar se reduce a 4

Ejemplo: 657.832 × 6 = 3.946.992


Multiplicar por 7

Multiplicar por dos cada dígito. 1.

Añadir la mitad de su vecino. 2.

Si el resultado es impar, añadir 5. 3.

2 × 2 = 4

3 × 2 + (2 / 2) + 5 = 12; 3 es impar se suma 5

8 × 2 + (3 / 2) + 1 = 18; Se suma 1 que se llevaba. 3 es impar se reduce a 2.Se lleva 1

Ejemplo: 657.832 × 7 = 4.604.824


Método Trachtenbergviernes, 06 de junio de 200804:43 p.m.


8 × 2 + (3 / 2) + 1 = 18; Se suma 1 que se llevaba. 3 es impar se reduce a 2.Se lleva 1

7 × 2 + (8 / 2) + 1 + 5 = 24; Se suma 1 que se llevaba. 19 es impar se suma 5, y se llevan 2

5 × 2 + (7 / 2) + 2 + 5 = 20; Se suman 2 que se llevaban. 15 es impar se suma 5. 7 es impar se reduce a 6

6 × 7 = 42

6 × 2 + (5 / 2) + 2 = 16; se suman 2 que se llevaban. 5 es impar se reduce a 4

Multiplicar por 8

Substraer el último dígito de 10. 1.

Subtraer 9 de los otros dígitos. 2.

Quitar dos al dígito de la derecha y sumar si se lleva. 3.


Multiplicar por 9

Substraer el último dígito de 10. (Ex.: 10 - 3 = 7) 1.

Substraer los otros números de 9 y añadir al dígito a la derecha. 2.

Quitar uno del primer dígito. 3.


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http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_Trachtenberg

1. Numbers Near 10

To help multiply two numbers near 10 in your head, this article will provide a convenient shortcut. Practice by selecting numbers of your own and work

through each category until you're confident you understand the process and are getting the correct answer each time. 1.1. Both Numbers Above 10

To start off, we'll work with an equation in which both numbers are above 10. For this section's example, we'll multiply 14 * 13.

First, we subtract 10 from both 14 and 13:

14 - 10 = 4

13 - 10 = 3

Next, you're going to add either number's difference from the opposing number from the equation. In this example, you can either add 4 to 13 or 3 to 14

(you'll get the same answer either way): 4 + 13 = 17

or

3 + 14 = 17

This number is then multiplied by 10 (the reference point we've been using):

17 * 10 = 170

The two differences are then multiplied together:

3 * 4 = 12

Finally, you add this number to the previous answer:

170 + 12 = 182

Thus, the answer to 14 * 13 is 182!

Let's try another example, this time with 12 * 15. We start by subtracting 10 from both numbers:

12 - 10 = 2

15 - 10 = 5

Next, we add either number's difference to the opposing number:

2 + 15 = 17

or

5 + 12 = 17

This number is multiplied by 10:

17 * 10 = 170

The two differences are multiplied (2 * 5 = 10) and then added to the previous answer:

170 + 10 = 180

This gives us 15 * 12 = 180.

1.2. Both Numbers Below 10

The process for multiplying two numbers below 10 is the same as above, except that you start dealing with negative numbers. For this example, we'll use 6 *

8. First, we subtract 10 from both numbers:

6 - 10 = -4

8 - 10 = -2

Next, one numbers difference is added to the other number (notice that the addition of a negative number is effectively a subtraction):

-4 + 8 = +4

or

-2 + 6 = +4

This number is then multiplied by 10:

4 * 10 = 40

Finally, the two differences are multiplied together (-4 * -2 = +8) and added to the previous answer:

40 + 8 = 48

1.3. Numbers Above AND Below 10

When you're multiplying two numbers in which one is above 10 and the other is below 10, the process is the same as the above, except that negative

numbers play a bigger role. In this section, we'll use 8 * 13 as the example. We start by subtracting 10 from both sides:

8 - 10 = -2

13 - 10 = 3

Next, add either number's difference to the opposing number:

3 + 8 = 11

or

-2 + 13 = 11

Multiply this number by 10:

11 * 10 = 110

In this next step, it's important to take signs into consideration. As before, we multiply the differences of the two numbers:

-2 * 3 = -6

Finally, we add this answer to the previous answer:

-6 + 110 = 104

This gives us the answer of 8 * 13 as 104.

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1. Numbers Near 10

viernes, 06 de junio de 200805:34 p.m.


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1. Numbers Near 100

Before learning how to multiply two numbers near 100, you shoud first learn and feel comfortable multiplying NumbersNear10. This process is very

similar, except that it allows you to work with larger numbers. As always, practice with numbers appropriate to each step, and you'll be amazed at how

quickly and easily you'll learn to multiply numbers near 100!

1.1. Both Numbers Above 100

To start off, we'll work with an equation in which both numbers are above 100. For this section's example, we'll multiply 103 * 105.

Instead of 10 as the "reference number", we'll be using 100. So, we start by subtracting 100 from both numbers:

103 - 100 = 3

105 - 100 = 5

Next, you're going to add either number's difference from the opposing number from the equation. In this example, you can eit her add 5 to 103 or 3 to

105 (you'll get the same answer either way): 5 + 103 = 108

or

3 + 105 = 108

This number is then multiplied by 100 (the new reference point we're now using):

108 * 100 = 10,800

The two differences are then multiplied together:

3 * 5 = 15

Finally, you add this number to the previous answer:

10,800 + 15 = 10,815

Thus, the answer to 103 * 105 is 10,815!

As you can see, this is exactly the same process as NumbersNear10, except that the reference number is changed.

1.2. Both Numbers Below 100

When multiplying two numbers below 100, you'll be working with negative numbers again. This can seem more difficult with larger numbers, but that

difficulty goes away with practice. We'll start with 97 * 94 as our example. First, we subtract 100 from both numbers:

97 - 100 = -3

94 - 100 = -6

Next, one number's difference is added to the other number:

-6 + 97 = +91

or

-3 + 94 = +91

This number is then multiplied by 100:

91 * 100 = 9,100

Finally, the two differences are multiplied together (-3 * -6 = +18) and added to the previous answer:

9,100 + 18 = 9,118

1.3. Numbers Above AND Below 100

Finally, we'll use 98 * 107 to demonstrate the process of multiplying one number under 100 by another number over 100.

We start by subtracting 100 from both sides:

98 - 100 = -2

107 - 100 = 7

Next, add either number's difference to the opposing number:

7 + 98 = 105

or

-2 + 107 = 105

Multiply this number by 100:

105 * 100 = 10,500

Remember to take the signs into consideration as you multiply the differences of the two numbers:

-2 * 7 = -14

Finally, we add this answer to the previous answer:

-14 + 10,500 = 10,486

This gives us the answer of 98 * 107 as 10,486.

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1. Introduction

When you multiply a number times itself, the result is called a square number. The square root of a square number would be the original number that

was multiplied by itself. If you multiply 5 * 5 (also written as 52), you get 25, a square number. Therefore, the square root of 25 would be 5. After reading and practicing the techniques in this article, you will be able to, given the square of any number from 1 -99, be able to determine the

square root in your head.

1.1. Learning the One-Digit Squares

To start off, you must learn and remember each of the one-digit squares:

X X2

1 1

2 4

3 9

4 16

5 25

6 36

7 49

8 64

9 81

Learning the full square will be helpful in determining the square roots later on. Also, pay attention to the digit in the ones place in each number.

Notice that the numbers 1, 4, 9 and 6 each appear twice in the ones category, once in a number below 5, and once in a number above 5. Both these

keys are necessary for determining square roots in your head.

1.2. Determining the Tens Digit of the Root

To determine the tens digit of the root, you need to look at the thousands and hundreds place of the square number. For examp le, if you are given the

number 1849, you would only need to look at the 18. Once you have this number, you need to determine the highest sqaure that will fit into it without going over that number. The square root of that will

be the tens digit. In our example, 16 is the highest square we have that is equal to, or lesser than, 18. Because we know tha t the square of 16 is 4,

we know that the tens digit of the square root of 1849 is 4.

1.3. Determining the Ones Digit of the Root

To determine the ones digit of the root, we only need to look at the ones digit of the number you are given. If the ones digi t is 5 or 0, then the ones

digit of the square root will be 5 or 0 respectively, otherwise, there are some extra steps. If the ones digit of the given number is a 1, 4, 9 or 6, then there are two possibilites for the ones digit, and you're going to need to narrow down the

possibility of whether the ones digit of the root is greater than or less than 5. In our 1849 example, we've already determined that the tens digit of the root is 4, but since the last digit is 9, the ones d igit could be either 3 or 7.

To figure out which one is the correct digit, you must first learn a simple method for squaring two-digit numbers ending in 5.

1.3.1. Squaring Two-Digit Numbers Ending in 5

When given a two-digit number ending in 5, simply multiply the number in the tens digit by a number one greater than itself, and add a "25" on the

end. If you're trying to square the number 65 in your head, you would simply multiply 6 (the tens digit of the number in question) times 7 (a number one

greater than 6), and get 42. Adding a 25 to the end of this number gives 4225, which is 652! To figure out what 852 is, you simply multiply 8 time 9 (72), and put that 25 on the end, giving us the answer 7225.

1.3.2. Narrowing Down Between Two Possibilities

In our example of the number 1849, we've already determined that the answer is either 43 or 47, but aren't sure which yet. To determine this we

need to figure our whether the given number is greater than or less than 452. Using the above procedure we determine that the square of 45 is 2025 (4x5=20, with 25 on the end). 1849 is less than 2025, so we now know that

the root must be the lower of the two options - 43!

1.4. More Examples

Let's start with 1225. Looking at just the 12, we see that the highest number we can see that 9 is the highest square equal to or less than this

number, so the tens digit is 3. Because the number ends in 5, we know that the square root of 1225 is 35. As another example, we'll choose 3364. Starting with 33, we determine that 25 is the highest square, so the tens digit is 5. The ones digit of the given

number is 4, so the ones digit of the square root is either 2 or 8. Is the square root 52 or 58? We have to determine 55 2 to figure this out. 552 is 3025,

and 3364 is greater than 3025, so the number must be the higher of the two. That means 58 is the square root.

1.5. Estimating square roots

Suppose you are given a number that's greater than four digits long, or that isn't a perfect square? In such cases it is ofte n useful to come up with an

estimate of the square root, using some ideas which are similar to those used above.

50 00 00

As above, we need to pair up the digits of the target number, going away from the decimal point. Each pair of digits will in fact represent a digit in the

square root. And, just like above, the leftmost pair of digits (or single digit) is used to compute the leftmost (most signif icant) digit of the result,

simply by determining the highest square that will fit into it without going over. So, for instance, to compute the square root of 500,000, we would pair up the digits like:

The biggest square that fits in 50 is 49, which has a square root of 7. So we know our square root will have the form "7 - digit - digit", or "seven

hundred and something". Further, since 50 is very close to 49, we can surmise that the square root will be in the low 700's. Had it been close to the next square, we would know that the square root would be in the high 700's.

6 00 00 00

It was recently reported that the ozone hole over Antarctica has shrunk to 6,000,000 square miles. How big is this? Breaking this up into pairs of digits

gives you:

So you should be able to determine, with a moment's reflection, that this represents a square area measuring in the middle 2000s on each side. (If

you'd rather picture a circle, it will always have a diameter that's about 13% bigger than the square root you just estimated .)

00 . 00 38 23 40

What about numbers smaller than one? Basically, the same method applies. You still pair up digits going away from the decimal point, and the most

sigificant digit will still be the square root of the biggest square that fits into the leftmost pair of digits. So, to compute the square root of 0.0038234, you would pair up the digits like so:

The biggest square that fits in 38 is 36, with a root of 6. So your square root will be 0.06... Since 38 is close to 36, you can also surmise that the next

digit will be small.



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1. Introduction

Squaring a number simply means multiplying a number by itself. This page teaches how to mentally square numbers up to 125 in your head.

2. Squaring Numbers Up To 25

The first 25 squares should simply be practiced and remembered, either by rote, or by using NumberSystems. These are relatively simple, but

will be used in calculation in the later steps, and are therefore basic building blocks. Here are the numbers from 1 to 25, squared:

X X2

1 1

2 4

3 9

4 16

5 25

6 36

7 49

8 64

9 81

10 100

11 121

12 144

13 169

14 196

15 225

16 256

17 289

18 324

19 361

20 400

21 441

22 484

23 529

24 576

25 625

3. Squaring Numbers Ending in 0

When given a number ending in 0, there is an extremely easy shortcut you can take to get the square of the number:

1) Drop the 0 at the end of the number. 2) Mentally multiply the remaining number by itself. 3) Put "00" on the end of the number.

For example, let's take 20. We drop the 0, leaving us with 2. Square 2 and get 4. Putting 00 on the end of the 4, we get 400.

Let's try this with a higher number, like 120. Dropping the 0 gives us 12. The square of 12 gives us 144. Tacking 00 on the end gives us 14,400,

which is 1202!

4. Squaring Numbers Ending in 5

When given a number ending in 5, there is a very easy shortcut you can take to get the square of the number:

1) Drop the 5 at the end of the number. 2) Mentally multiply the remaining number by a number 1 higher than itself. (This can also be done by

squaring the number and then adding one more of the number.) 3) Put "25" on the end of the number. For example, let's take 15. We drop the 5, leaving us with 1. 1 higher than 1 is 2, so we multiply 1 * 2 and get 2. Putting a 25 on the end of the

2, we get 225! Let's try this with a higher number, like 85. Dropping the 5 gives us 8. 8 times 1 greater than itself (9) gives us 72. Tacking a 25 on the end

gives us 7,225, which is 852! Now an even higher number, like 805. Dropping the 5 gives us 80. 80 times 81 is also 802 plus 80 or 6400 plus 80 or 6480. Tacking 25 on the

end gives 648,025 which is 8052.

5. Squaring Numbers 1 greater than a square you know (or can calculate via a simpler method like one of those above)

If you know N2 (say 1202 which is 14,400) and want to calculate (N+1)2 you can use the fact that (N+1)2 is N2+2N+1 or (often simpler and gives

the same result) N2+N+(N+1). For example, let's take 121. We know (or can quickly determine) that the square of 120 is 14,400. Then either double N and add one (twice 120

is 240 plus one yields 241), or add N to N+1 (120 plus 121 gives 241) and add that to N2 (14,400) to get 14,641 which is 1212!

Let's try this with a higher number, like 351. First we need to know 350 squared, which is 352 or 1225 with 00 added on the end to give

122,500. Then add 350 plus 351 (or twice 350 plus one) which is 701 which gives 123,201 as 3512.

6. Squaring Numbers 1 less than a square you know (or can calculate via a simpler method like one of those above)

As in the previous example, (N-1)2 is N2-2N+1 or N2-N-(N-1).

So 3492 is 3502 (122,500) minus 350 minus 349 (or twice 350 minus one) 699 which taken from 122,500 gives 121,801 which is 349 2. Note that

it is often simpler to subtract twice N (700) and then add one for the final result.

7. Squaring Numbers 2 more than a square you know (or can calculate via a simpler method like one of those above)

As in the previous two examples, (N+2)2 is N2+4N+4 or N2+4(N+1).

So 3522 is 3502 (122,500) plus four times 351 (1404) which added to 122,500 gives 123,904 which is 3522. Note that it is often simplest to

double N twice (double 350 is 700 and double that is 1400) added to 122,500 give 123,900 and then add four for the final resu lt of 123,904.

8. Squaring Numbers 2 less than a square you know (or can calculate via a simpler method like one of those above)

As in the previous example, (N-2)2 is N2-4N+4 or N2-4(N-1).

So 3482 is 3502 (122,500) minus four times 349 (easily calculated as the double double of 350 minus four: 1396) which taken from 122,500



So 3482 is 3502 (122,500) minus four times 349 (easily calculated as the double double of 350 minus four: 1396) which taken from 122,500

gives 121,104 which is 3482. Note that it is often simplest to subtract double double of N (122,500 minus 1400 is 121,100) and then add four for the final result of 121,104.

9. Note: Every number is at most one or two away from a number ending in either 0 or 5!

10. Squaring Numbers from 25 to 50

Here are the steps to calculate squares of numbers from 25 to 50. They may seem tricky at first, but they're easily done in your head after

regular practice: 1) Figure out the difference between your number and 50, and call that difference N.

2) Subtract 2500 - (100 * N).

3) Add N2 the previous total. You should know N2 automatically from section 2.

The result will be the square of the number from 25 to 50!

Let's try 442. The difference between 44 and 50 is 6, so we mentally do 2500-600, giving us 1900. 62, as we already know, is 36. Adding this to

our previous total, we get 1,936! As another example, farther away from 50, we'll try to figure out 322. The difference between 32 and 50 is 18, so we subtract 2500-1800, giving

us 700. 182, as you know, is 324. 700+324=1024, which is 322! Practice this method and get comfortable with it, before moving on.


If you're comfortable with the technique in section 4, then squaring numbers from 50 to 75 won't be much of a problem:

1) Figure out the difference between your number and 50, and call that difference N.

2) Add 2500 + (100 * N).

3) Add N2 the previous total. Again, you should know N2 automatically from section 2.

The process is very similar, but note that we add in step 2, instead of subtracting. That's the only difference.

Let's use this process to figure out the answer for 572. The difference between 57 and 50 is 7.

2500+700=3200

72=49

3200+49=3249

Trying this with 72, we see the difference between 72 and 50 is 22.

2500+2200=4700

222=484

4700+484=5184


The process changes here. With numbers from 25 to 75, we've focused on their difference from 50. As we're getting close to 100, instead. Here's

the process to use for numbers from 75 to 100: 1) Figure out the difference between your number and 100, and call that difference N.

2) Subtract N from the number to be squared.

3) Multiply that number by 100 (just add two zeros at the end)

4) Add N2 to that number.

To help clarify things, let's try to figure out 972, using this process:

1) 100-97=3, so N=3

2) 97-3=94

3) 94*100=9400

4) 9400+(32)=9400+9=9409

Trying this with a number farther away, like 812 gives us:

1) 100-81=19, so N=19

2) 81-19=62

3) 62*100=6200

4) 6200+(192)=6200+361=6561


If you've been following the steps, and practicing, you probably won't be surprised to know that this section only involves one minor change from

the previous one: 1) Figure out the difference between your number and 100, and call that difference N.

2) Add N to the number to be squared.

3) Multiply that number by 100 (just add two zeros at the end)

4) Add N2 to that number.

Once again, step two simply changes from subtracting to adding.

Let's try and figure 1062 using this method:

1) 106-100=6, so N=6

2) 106+6=112

3) 112*100=11,200

4) 11,200+(62)=11,200+36=11,236

If you were able to do that mentally, keep in mind that you just did 1062 in your head!

How about 1242?

1) 124-100=24, so N=24

2) 124+24=148

3) 148*100=14,800

4) 14,800+(242)=14,800+576=15,376

Just to be complete, what about 1252?

1) 125-100=25, so N=25

2) 125+25=150

3) 150*100=15,000

4) 15,000+(252)=15,000+625=15,625

Don't forget, though, that there is a much easier way to do 1252! Remember?

1) Dropping the 5, we get 12

2) 12+1=13

3) 12*13=156

4) Tacking the 25 on the end, we get 15,625.

14. Sanity Check Your Answer

Every square of any number ending with n has the same last digit as n2.

For example, 1234567892 and 987892 must both end with 1 because 92 is 81. Likewise, 12345672 and 7972 must both end with 9 because 72 is

49.


Pegado de <http://www.ludism.org/mentat/SquaringNumbers>


http://www.ludism.org/mentat/SquaringNumbers

10 Easy Arithmetic TricksPublished on September 17, 2007 - 181 Comments

Math can be terrifying for many people. This list will hopefully improve your general knowledge of mathematical tricks and yo ur

speed when you need to do math in your head.

1. The 11 Times Trick

We all know the trick when multiplying by ten - add 0 to the end of the number, but did you know there is an equally easy trick

for multiplying a two digit number by 11? This is it:Take the original number and imagine a space between the two digits (in this example we will use 52:

5_2

Now add the two numbers together and put them in the middle:

5_(5+2)_2

That is it - you have the answer: 572.

If the numbers in the middle add up to a 2 digit number, just insert the second number and add 1 to the first:

9_(9+9)_9

(9+1)_8_9

10_8_9

1089 - It works every time.

2. Quick Square

If you need to square a 2 digit number ending in 5, you can do so very easily with this trick. Mulitply the first digit by it self + 1,

and put 25 on the end. That is all!252 = (2x(2+1)) & 25

2 x 3 = 6

625

3. Multiply by 5

Most people memorize the 5 times tables very easily, but when you get in to larger numbers it gets more complex - or does it?

This trick is super easy.Take any number, then divide it by 2 (in other words, halve the number). If the result is whole, add a 0 at the end. If it is not,

ignore the remainder and add a 5 at the end. It works everytime:2682 x 5 = (2682 / 2) & 5 or 0

2682 / 2 = 1341 (whole number so add 0)

13410

Let’s try another:

5887 x 5

2943.5 (fractional number (ignore remainder, add 5)

29435

4. Multiply by 9

This one is simple - to multiple any number between 1 and 9 by 9 hold both hands in front of your face - drop the finger that

corresponds to the number you are multiplying (for example 9×3 - drop your third finger) - count the fingers before the dropped



corresponds to the number you are multiplying (for example 9×3 - drop your third finger) - count the fingers before the dropped

finger (in the case of 9×3 it is 2) then count the numbers after (in this case 7) - the answer is 27.

5. Multiply by 4

This is a very simple trick which may appear obvious to some, but to others it is not. The trick is to simply multiply by two , then

multiply by two again:58 x 4 = (58 x 2) + (58 x 2) = (116) + (116) = 232

Just paying the bills...

6. Calculate a Tip

If you need to leave a 15% tip, here is the easy way to do it. Work out 10% (divide the number by 10) - then add that number to

half its value and you have your answer:15% of $25 = (10% of 25) + ((10% of 25) / 2)

$2.50 + $1.25 = $3.75

7. Tough Multiplication

If you have a large number to multiply and one of the numbers is even, you can easily subdivide to get to the answer:

32 x 125, is the same as:

16 x 250 is the same as:

8 x 500 is the same as:

4 x 1000 = 4,000

8. Dividing by 5

Dividing a large number by five is actually very simple. All you do is multiply by 2 and move the decimal point:

195 / 5

Step1: 195 * 2 = 390

Step2: Move the decimal: 39.0 or just 39

2978 / 5

step 1: 2978 * 2 = 5956

Step2: 595.6

9. Subtracting from 1,000

To subtract a large number from 1,000 you can use this basic rule: subtract all but the last number from 9, then subtract the last

number from 10:1000

-648

step1: subtract 6 from 9 = 3



answer: 352

10. Assorted Multiplication Rules

Multiply by 5: Multiply by 10 and divide by 2.

Multiply by 6: Sometimes multiplying by 3 and then 2 is easy.

Multiply by 9: Multiply by 10 and subtract the original number.

Multiply by 12: Multiply by 10 and add twice the original number.

Multiply by 13: Multiply by 3 and add 10 times original number.

Multiply by 14: Multiply by 7 and then multiply by 2

Multiply by 15: Multiply by 10 and add 5 times the original number, as above.

Multiply by 16: You can double four times, if you want to. Or you can multiply by 8 and then by 2.

Multiply by 17: Multiply by 7 and add 10 times original number.

Multiply by 18: Multiply by 20 and subtract twice the original number (which is obvious from the first step).


Multiply by 24: Multiply by 8 and then multiply by 3.

Multiply by 27: Multiply by 30 and subtract 3 times the original number (which is obvious from the first step).

Multiply by 45: Multiply by 50 and subtract 5 times the original number (which is obvious from the first step).

Multiply by 90: Multiply by 9 (as above) and put a zero on the right.

Multiply by 98: Multiply by 100 and subtract twice the original number.


Bonus: Percentages

Yanni in comment 23 gave an excellent tip for working out percentages, so I have taken the liberty of duplicating it here:

Find 7 % of 300. Sound Difficult?

Percents: First of all you need to understand the word ―Percent.‖ The first part is PER , as in 10 tricks per listverse page. PER =


Percents: First of all you need to understand the word ―Percent.‖ The first part is PER , as in 10 tricks per listverse page. PER =

FOR EACH. The second part of the word is CENT, as in 100. Like Century = 100 years. 100 CENTS in 1 dollar… etc. Ok… so

PERCENT = For Each 100.

So, it follows that 7 PERCENT of 100, is 7. (7 for each hundred, of only 1 hundred).

8 % of 100 = 8. 35.73% of 100 = 35.73

But how is that useful??

Back to the 7% of 300 question. 7% of the first hundred is 7. 7% of 2nd hundred is also 7, and yep, 7% of the 3rd hundred is

also 7. So 7+7+7 = 21.If 8 % of 100 is 8, it follows that 8% of 50 is half of 8 , or 4.

Break down every number that’s asked into questions of 100, if the number is less then 100, then move the decimal point

accordingly. EXAMPLES:

8%200 = ? 8 + 8 = 16.

8%250 = ? 8 + 8 + 4 = 20.

8%25 = 2.0 (Moving the decimal back).

15%300 = 15+15+15 =45.

15%350 = 15+15+15+7.5 = 52.5

Also it’s usefull to know that you can always flip percents, like 3% of 100 is the same as 100% of 3.

35% of 8 is the same as 8% of 35.

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==One trick I use that I didn’t see listed is multiplying large numbers.

Like:

12 x 734

can be broken into ((10×700) + (2×700) + (10×34) + (2×34)) = 7068

or 8 x 6846

can be broken into ((8×6000) + (8×800) + (8×40) + (8×6)) = 54768

basically you break the number into tens, hundreds, thousands, etc and mulitply each group.

with some larger numbers it can get hard to remember each ―sub-number‖ but if you’re trying to estimate, its a good way to get

a rough idea.

great post otherwise, i learned a lot of tips i wouldn’t have thought of otherwise..

~ow3n

Pegado de <http://listverse.com/science/10-easy-arithmetic-tricks/>

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===1, 2 and 3 I knew about (you can excercise them with the following feed - http://www.mental-workout.com/)

about 1 : I also worked out you can do the same with 3 numbers eg.

172 * 11

1(1+7)(7+2)2 = 1892

I am pretty sure you will be able expand on that even further.

5 and 6 did seem obvious to me.

9 I would rather go to the nearest 100 eg. 1000 - 700 = 300 and then do an easy 100 subtraction 100 - 48 = 52 then add them

up 300 +52 = 352 (may seem longer but actually goes pretty fast in my mind)


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Another approach is the ―is x divisable by y?‖-question:

A number is divisable by 2 if it’s an even number.

3: The sum of the individual digits is divisable by 3, e.g. 174 => 1+7+4 = 12 (=> 1+2 = 3)

4: The last two digits is divisable by 4

5: The last digit is 5 or 0

6: The number is divisable by 2 and 3

7: Double the last digit and subtract it from the rest. If the result is divisable by 7, the original number also is. E.g. 48 3 => 48-(3

*2) = 42, divisable by 7

8: The last three digits is divisable by 8

9: The sum of digits is 9

10: The last digit is 011: Subtract the sum of ―even‖ digits from the sum of ―odd‖ digits - if divisable by 11 (incl 0), the original number is divisable by

11: E.g. 7084 => (7+8)-(0+4)=11. 7084 is divisable by 11


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Here’s a quick tip to multiply any two numbers that are between 11-19 (like 13 * 15):

1. Take the first number (13) and multiply by 10(13*10)=130

2. Take the last digit of the second number (5) and multiply by 10 5*10=50

3. Add the results of steps 1 and 2


http://listverse.com/science/10-easy-arithmetic-tricks/

http://www.mental-workout.com/



3. Add the results of steps 1 and 2

130+50=1804. Get the last digit of the first number (3) and the last digit of the second number (5) and mutiply the two

3*5=15

5. Add the results of step 3 and 4

180+15=195


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Relations of square numbers

We can get 15^2 = 225

What about 13^2?

13^2 = 15^2 - (15+13)(15-13) = 225 - 28*2 = 169

17^2 = 15^2 - (15+17)(15-17) = 225 -(-64) = 225 + 64 = 289

Twisting the trick a bit, we can generate ALL Pythagorean Triplets

Most people will recall a 3,4,5 triangle

Some remember the 5,12,13 triangle

Few remember the 7,24,25 triangle

Most don’t know the 121,7320,7321 triangle

Note that the smallest side is odd.Simply square an odd number such as 9^2 = 81

Divide in half (not evenly)

An uneven split of 81 is 40,41

So 9,40,41 is a pythagorean triplet

ie 9^2 + 40^2 = 41^2

It also works for even numbers, but they have to have at least one odd factor.

Lets try 10. Find the pythagorean triplet for 5.

5,12,13 and then muliply by the other factor of 10 (namely 2) to get 10,24,26.

For powers of 2 we must be really sneaky.

Take 2^6 = 64.Divide the number by 4 to get 16.

We know 3,4,5 is a pythagorean triplet.

Multiply the triplet by 16 to get 48,64,80.

We owe this to the Babyloneans (3000+ years old).

1.


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when multiplying two numbers that differ the same amount from a multiple of 10 (for example, 39 and 41, or 25 and 35), you

can just square that multiple of 10 and subtract the square of the difference.

27×33

=30^2- 3^2

= 900-9

=891

(works due to difference of squares)

(30-3)(30+3)


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Here’s a quick method I made up was I was younger for squaring any size of number (I mostly use it for 2 digit numbers though ),

and it’s far handier than Trick #2 of this list.

It’s adapted from the perfect square identity (a+b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) [which I didn’t make up myself, lol].

73^2

=(70 + 3)^2

=70^2 + 2 * 70 * 3 + 3^2 #70^2 is 7^2 * 10^2

=4900 + 420 + 9

=5329, which is right.

Or,

44^2

=(40 + 4)^2

=40^2 + 2 * 40 * 4 + 4^2

=1600 + 320 + 16

=1936, correct again.

For cubing or quarting or whatever higher powers, you could prbably do a binomial expansion on it, although that would probab ly take a far longer time, unless you’d memorised the binomial coefficients( rather than calculating those factorials each time) .


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Square numbers with 1

Example 11^2 or 111^2 or 1111^2

1st Count the digits

2nd Start writing 1,2,3… up to the Counted digits and then go back!

e.g. 1111^2 - It has 4 digits

then we have 1,234,321

With 11 -> 111^2 it has 3 digits

then we have 12,321 - count up to 3 (1,2,3) and then go back (2,1) : 12321 =>(12,321)Pegado de <http://listverse.com/science/10-easy-arithmetic-tricks/>

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squaring two or three digits is sound simple……

we know the formula for

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2consider we want the square of number 47

just replace the digits on the place of variables

Step -I

(4 + 7)^2 = 4^2 + 2(4)(7) + 7^2

Plz ignore + Operaor, i m replacing + operator with a blank space…

(4 7)^2 = 4^2 2(4)(7) 7^2

(4 7)^2 = 16 56 49

Step-II

here is a technical sum

start from right, place first digit i,e 9, and other digit i,4 will be added middle column number , i,e 56. 56+4 =60…..

(4 7)^2 = 16 56 49

(4 7)^2 = 16 (56 + 4)9

(4 7)^2 = 16 (60) 9

repeating above process with middle number,, similiarly for 60 place 0 same and 6 will be added to the left column

(4 7)^2 = (16 + 6)0 9

(4 7)^2 = 22 0 9

and it is the answer 47^2 = 2209

———————————————-

here are other examples

for example number = 69

formula for square is(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 but remove + operator

(6 9)^2 = 6^2 2(6)(9) 9^2

(6 9)^2 = 36 108 81

(6 9)^2 = 36 (108 + 8)1

(6 9)^2 = 36 116 1

(6 9)^2 = (36 + 11)6 1

(6 9)^2 = 47 6 1

69^2=4761

it is the answer

——————————for example number is 31

(3 1)^2 = 3^2 2(3)(1) 1^2

(3 1)^2 = 9 6 1

31^2=961

and it is the answer————————-

if u want more….

for squaring three digit number

use (a + b + c)^3

it is also similiar but little trick there.

similiarly for four digit number

use formula of (a + b + c + d)^2

————————————–

OK if you want not square but CUBE of a two digit number then,,

u can use similiarly formula of (a + b^3 ………………..

…………………………………………………………………………

and this never ends ..

U need to A Srong Sum Caculation

and Bionomial Theorem…

if Any Problem Me here…with [email protected]

2.


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I learn a very good trick for squaring numbers in the 40s and 50s. Think of 50 as 25, and add the ones digit. 51*51 is 25 plu s 1.

26, next you square the ones digit. (1 squared is 01, for the answer 2601. Try the next one 52*52 is 2704. 25 plus the 2 is 2 7, 2 3.




26, next you square the ones digit. (1 squared is 01, for the answer 2601. Try the next one 52*52 is 2704. 25 plus the 2 is 2 7, 2

squared is 04.

For the 40s think of 40 as 15, not 16. Add the ones and square the difference between the ones digit and 50. 41*41 is 15 plus 1,

16. The difference between 41 and 50 is 9. Nine squared is 81. Your answer is 1681.


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MULTIPLY UP TO 20*20 IN YOUR HEAD.

1. TAKE 15 & 16 as an example .

2. Remember to place the larger no of the two on top of your mind3. Then imagine to cover 16 & 5 from a paper mentally . These are the no.s now needed for the whole operation.

4. Add 16+5=21

5. Place a zero(0) after the last digit to get 210.

6. Multiply the lower covered no. into the single upon it one.(6*5=30)

7. Add 210+30=240

amazing….!

4.


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hi, nice rules,

Kaustubh

ur example is difficult i think,

multiplying 16*15 can be done by

Multiply 15*15 by trick

add 15 to th answer

15*15=225

225+15=240

16*15=240

simple

5.


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