jiménez, n. - ampliación de matemáticas[1]

Tema 1.- ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEPRIMER ORDENAmpliación de Matemáticas

Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Índice General

1 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Definiciones y Terminología 1

2 Problemas de valor inicial. Teorema de existencia y unicidad de soluciones. 3

3 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 43.1 Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Ecuaciones diferenciales homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Ecuaciones exactas. Factores integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Métodos numéricos para E.D.O. de primer orden 134.1 Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Método de Euler mejorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3 Método de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Definiciones y Termino-logía

Una ecuación diferencial es una ecuación cuya incógnita es una función y en la que aparecen algunasderivadas de esa función. Si la función que interviene tiene sólo una variable independiente, la ecuaciónse llama ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.). Si la función tiene varias variables independientes, sedice que es una ecuación diferencial en derivadas parciales (E.D.P.). En este tema restringimos nuestraatención a las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Además del tipo (ordinaria o parcial), las ecuaciones diferenciales se clasifican según su orden. Elorden de una ecuación diferencial viene determinado por la derivada de orden más alto que aparece endicha ecuación. En su forma más general una ecuación diferencial de orden n se puede escribir como

F³x, y, y0, . . . yn)

´= 0.

Veamos algunos ejemplos:

Ecuación Tipo Orden1) y000 + 4y = 2 Ordinaria 3

2)d2s

dt2= −32 Ordinaria 2

3) (y0)2 − 3y = ex Ordinaria 1

4)∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0 Parcial 2

5) y−sen y0 = 0 Ordinaria 1

Una función y = f(x) se dice que es una solución de una ecuación diferencial si la ecuación se satisfaceal sustituir, en ella, y y sus derivadas por f(x) y sus derivadas respectivas. Por ejemplo,

1

Tema 1. E.D.O. de primer orden. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 2

1. Se puede comprobar que y = lnx es una solución de la ecuación xy00+ y0 = 0 en el intervalo (0,∞).2. Se puede comprobar que y = 1/(x2 − 1) es una solución de y0 + 2xy2 = 0 en el intervalo (−1, 1),pero no en ningún otro intervalo mayor que contenga a éste.

3. Se puede probar que toda solución de la ecuación y0 + 2y = 0 es de la forma y = Ce−2x.

A partir de ahora nos centraremos fundamentalmente en dos cuestiones:

• ¿qué ecuaciones diferenciales tienen solución?• ¿cómo obtener las soluciones?

Los siguientes ejemplos nos muestran distintas situaciones:

— Hay E.D.O. que carecen de soluciones. Así, por ejemplo, carece de soluciones de valor real laecuación µ

dy

dx

¶2+ 1 = 0

— Hay E.D.O. que tienen una única solución. Esto le sucede, por ejemplo, a la ecuaciónµdy

dx

¶2+ y2 = 0

que sólo tiene la solución y = 0.

— Hay ecuaciones diferenciales que poseen infinitas soluciones. Así ocurre en los dos siguientes casos:

De la ecuación y00 − 5y0 +6y = 0 son soluciones todas las funciones que se pueden expresar dela forma y = c1e2x + c2e3x , siendo c1 y c2 constantes cualesquiera.

De la ecuación (y0)2−xy0+y = 0 son soluciones todas las funciones y = cx−c2 con c constante,y también lo es y =

x2

4.

Las ecuaciones diferenciales que vamos a estudiar poseen por lo general infinitas soluciones, y muchasde estas soluciones se pueden escribir mediante una única expresión. Suele ocurrir que muchas de lassoluciones de una ecuación diferencial de orden n se puedan dar mediante una expresión del tipo

G(x, y, c1, c2, . . . , cn) = 0 (*)

que incluye n parámetros c1, c2, . . . , cn. En dicho caso, la familia n-paramétrica de funciones que define(∗) y que, geométricamente, representa una familia de curvas, la denominaremos solución general de laecuación diferencial. Así, por ejemplo, para la ecuación

(y0)2 − xy0 + y = 0

la familia uniparamétrica y = cx − c2 es lo que hemos denominado solución general, aunque dichaexpresión no abarque la solución y = x2/4 .

Llamaremos solución particular de una ecuación diferencial a cada una de las soluciones que formanparte de su solución general, y que se obtendrán dando valores particulares a los parámetros que contiene lasolución general. Las soluciones, si las hay, que no están incluidas en la solución general las denominaremossoluciones singulares.


2 Problemas de valor inicial. Teorema de existencia y unicidadde soluciones.

A continuación vamos a estudiar una ecuación diferencial surgida de un problema físico concreto.

Si se lanza un objeto hacia arriba y se ignora el efecto del aire (es decir, se supone que no hayrozamiento ni corrientes de aire que puedan ejercer alguna influencia en la marcha del objeto), la únicafuerza que actúa sobre él es la gravitatoria. Por ello, si es a la aceleración del objeto y m su masa, lasegunda ley de Newton se puede escribir así:

ma = −mg ⇐⇒ a = −g

Ahora, llamando v a la velocidad del objeto, la igualdad anterior puede escribirse en la formadv

dt= −g.

Así pues, resolviendo esta ecuación diferencial determinaremos la velocidad del objeto en cada instante.Por simple inspección, se ve que la ecuación tiene infinitas soluciones, y se tiene

v(t) = −gt+ kHemos obtenido la solución general de la ecuación diferencial, y en ella el parámetro k aparece comoconsecuencia de la integración. Si hacemos t = 0, se obtiene v(0) = k, así que el parámetro k se puedeinterpretar como la velocidad con que se lanza el objeto.

Obsérvese que aunque el fenómeno está descrito por la segunda ley de Newton, y en ella no figurapara nada la velocidad inicial, en un problema real, al imprimir al objeto una velocidad inicial v(0) dada,estamos eligiendo de entre todas las soluciones de la ecuación diferencial, precisamente aquélla para laque el valor del parámetro k coincide con v(0).Por ello, en todo problema real, a la ecuación diferencial que lo modeliza habrá que añadir unas condicionescomplementarias que determinen concretamente el fenómeno que se estudia.

Una ecuación diferencial junto con condiciones complementarias de la función desconocida y susderivadas, todas dadas para el mismo valor de la variable independiente, constituye lo que llamaremosun problema de valor inicial. En concreto, para una ecuación diferencial de orden n, que en su formamás general se puede escribir

F (x, y, y0, . . . , yn)) = 0,

un problema de valor inicial es considerar, junto con dicha ecuación, n condiciones complementarias deltipo:

y(x0) = y0, y0(x0) = y1, . . . ., yn−1)(x0) = yn−1

Las condiciones complementarias se denominan condiciones iniciales. El término “condiciones iniciales”proviene de que, con frecuencia, en problemas donde interviene el tiempo, se conoce el valor de la variabledependiente o de alguna de sus derivadas en el instante inicial t = 0.

Una solución de un problema de valor inicial es una función que satisface tanto la ecuación diferencialcomo todas las condiciones complementarias.

Los siguientes ejemplos muestran varios problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales deprimer orden:

1. El problema de valor inicial

| y0 | + | y |= 0, y(0) = 1

no tiene solución pues la única solución de la ecuación diferencial es y = 0, y ésta no verifica lacondición inicial.



y0 = 2x, y(0) = 1

tiene una única solución que es y = x2 + 1.


xy0 = y − 1, y(0) = 1

tiene como soluciones y = 1 + cx donde c es una constante arbitraria.

Centrándonos ya en las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, veremos que elsiguiente teorema nos muestra condiciones suficientes, pero no necesarias, para que el problema de valorinicial dado por ½

y0 = f(x, y)y (x0) = y0 (condición inicial)

tenga una única solución definida al menos en un intervalo que contiene al punto x0.

Teorema 2.1 (Teorema de Picard) Si f(x, y) y∂f

∂y(x, y) son funciones continuas en un rectángulo

R

R = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d},

entonces para cada punto (x0, y0) interior de R existe una única solución del problema de valor inicial½y0 = f(x, y)y (x0) = y0

definida al menos en un intervalo que contiene al punto x0.

Obsérvese que si la función f de la ecuación y0 = f(x, y) verifica las hipótesis del teorema anterior,entonces podemos garantizar que dicha ecuación posee infinitas soluciones, aunque sólo habrá una soluciónque describa una curva en el plano que pase por el punto (x0, y0).

Por otra parte, se deberá tener presente desde ahora que aunque se tenga la certeza de que una ecuacióndiferencial tiene soluciones, generalmente la ecuación sólo se podrá resolver por métodos aproximados.Esto significa que sólo podremos obtener “aproximaciones” de sus soluciones.

3 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

A continuación estudiaremos algunos tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden para las que secuenta con métodos de resolución, y que aparecen frecuentemente en las aplicaciones.


3.1 Ecuaciones de variables separables

En primer lugar, observemos que una E.D.O. de primer orden que es fácil resolver es

y0 = f(x) (1)

donde f es una función integrable. Para resolverla basta integrar ambos miembros con respecto a x y asíse obtiene

y =

Zf(x)dx+ c (2)

De modo que su solución general viene dada por (2) , y en ella se recogen todas las soluciones de laecuación (1).

Más generalmente, toda ecuación de primer orden y0 = f(x, y) en la que y0 pueda expresarse comoproducto de dos funciones, una que depende sólo de la variable x, y otra que depende sólo de la variabley, esto es, de la forma

y0 =g(x)

h(y)(3)

se llama ecuación de variables separables.

Para resolver (3) se multiplican ambos miembros por h(y) para obtener

h(y)dy

dx= g(x) (4)

Ahora se observa que si y = f(x) es una solución de (4), al tener que verificar dicha ecuación, entoncescumple

h(f(x))f 0(x) = g(x)

por lo que al integrar se obtendrá Zh(f(x))f 0(x)dx =

Zg(x)dx+ c (5)

Pero como dy = f 0(x)dx, entonces (5) se puede escribir así:Zh(y)dy =

Zg(x)dx+ c (6)

De modo que (6) constituye una familia uniparamétrica de soluciones, que generalmente vienen expresadasde forma implícita.

El razonamiento anterior nos sugiere un método para resolver la ecuación (3):De la ecuación (3) pasamos a h(y)dy = g(x)dx y finalmente integraremos ambos miembros para obtenerla solución general de la ecuación dada.

NOTA.- Las ecuaciones y0 = g(x)h(y), y0 =h(y)

g(x)también son de variables separables y se resuelven

de forma similar.

Ejemplo 3.1 Resolvamos la ecuación de variables separables y0 = y2 − 4.Escribimos la ecuación en la forma

1

y2 − 4dy = dx. A continuación integramos ambos miembros,

para lo cual utilizaremos

1

y2 − 4 =−1/4y + 2

+1/4

y − 2


Así se obtendrá

−14ln |y + 2|+ 1

4ln |y − 2| = x+ c1 =⇒ − ln |y + 2|+ ln |y − 2| = 4x+ 4c1 =⇒

ln

¯y − 2y + 2

¯= 4x+ c2 =⇒

¯y − 2y + 2

¯= e4x+c2 = c3e

4x =⇒ y − 2y + 2

= ce4x, con c ∈ R∗.

Finalmente, despejando

y = 21 + ce4x

1− ce4x

Obsérvese que si ahora buscásemos la única solución tal que y(0) = −2, al sustituir x = 0, y = −2, enla expresión anterior, llegaríamos al absurdo −1 = 1. Esto nos indica que hemos perdido en el procesode resolución la solución de este problema de valor inicial. Pero, si repasamos los cálculos, se observaque se dividió por y2 − 4. Así, se consideró que y 6= 2, y 6= −2. Luego en caso de ser y = 2 o bieny = −2 soluciones de la ecuación diferencial, las podríamos haber eliminado. Es fácil comprobar que,en este caso, tanto y = 2 como y = −2 son soluciones de la ecuación diferencial. La solución y = 2 sepuede obtener de la solución general y = 2

1 + ce4x

1− ce4x para el valor c = 0 del parámetro, pero y = −2 noforma parte de dicha familia uniparamétrica. Sin embargo, es precisamente la solución y = −2 la que esla solución del problema de valor inicial planteado.

3.2 Ecuaciones diferenciales homogéneas

Algunas ecuaciones diferenciales que no son separables se convierten en separables tras un cambio devariable. Este es el caso de las ecuaciones diferenciales de la forma y0 = f (x, y), siempre que f sea unafunción homogénea.

Definición 3.1 Una función f(x, y) se dice que es homogénea de grado n cuando verifica:

f(tx, ty) = tnf(x, y)

para todos los puntos de un cierto conjunto.

Es fácil comprobar que toda función polinómica en las variables x, y, tal que todos sus sumandos sonmonomios de grado total n, es una función homogénea de grado n. Por ejemplo:

f(x, y) = x5 + 7x4y + x2y3 es homogénea de grado 5f(x, y) = x es homogénea de grado 1

También son funciones homogéneas las siguientes:

f(x, y) = x3ex/y + y2x es homogénea de grado 3f(x, y) = x4 cos(x2/y2)− y4sen(y/x) es homogénea de grado 4

Es inmediato observar que el cociente de dos funciones homogéneas del mismo grado es una funciónhomogénea de grado cero. Además, se verifica que toda función homogénea de grado cero f(x, y) sepuede expresar de las siguientes formas:

f(x, y) = f(1, y/x) = f(x/y, 1)


Definición 3.2 Se dice que la E.D.O. de primer orden M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 es homogénea cuandoM(x, y) y N(x, y) son funciones homogéneas del mismo grado.

A la vista de la definición, podemos decir que toda ecuación homogénea se puede escribir de la formay0 = f(x, y) donde f(x, y) es homogénea de grado cero.

Veremos a continuación que toda ecuación homogénea y0 = f(x, y) se puede resolver realizando uncambio de variable. Si llamamos z = y/x se tiene:

y0 = z0x+ z,

luego la ecuación diferencial se puede escribir en la forma:

z0x+ z = f(x, y)

y al ser f homogénea de grado cero, como f(x, y) = f(1, y/x), entonces escribimos la ecuación diferencialen la forma

z0x+ z = f(1, z)

Esta última ecuación es de variables separables, por lo que resolviéndola se obtendrá la expresión de lasfunciones z de x que la verifican. Después, sustituyendo en dicha expresión la z por y/x, tendremosfinalmente la expresión de las soluciones de la ecuación homogénea dada.

Ejemplo 3.2 Resolvamos la ecuación homogénea

y0 =y + 2xe−y/x

x

En primer lugar, expresaremos el segundo miembro como función de y/x.

y0 =y

x+ 2e−y/x

Ahora, realizamos el cambio de variables z = y/x, con lo que al ser y0 = xz0 + z, la ecuación queda de laforma

xz0 + z = z + 2e−z

Esta ecuación es de variables separables, y la integraremos como tal:

xz0 + z = z + 2e−z =⇒ xz0 = 2e−z =⇒ ezz0 =2

x=⇒

Zezdz =

Z2

xdx+ C

=⇒ ez = 2 ln |x|+ C =⇒ ez = lnx2 + C

Ahora, finalmente, se deshace el cambio de variable y tenemos:

ey/x = lnx2 + C

3.3 Ecuaciones exactas. Factores integrantes

Si la expresión F (x, y) = C describe una familia uniparamétrica de funciones y de x, entonces derivandocon respecto a x obtendremos una ecuación diferencial de la que dicha expresión es la solución general.La ecuación diferencial es:

∂F (x, y)

∂x+

∂F (x, y)

∂yy0 = 0⇐⇒ ∂F (x, y)

∂xdx+

∂F (x, y)

∂ydy = 0


Si ahora partimos de la ecuación diferencial

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

siendo

M(x, y) =∂F (x, y)

∂x, N(x, y) =

∂F (x, y)

∂y, para alguna función F (x, y),

podremos decir que F (x, y) = C es su solución general. Este tipo de ecuaciones diferenciales se denominanecuaciones diferenciales exactas. Así pues, cuando una ecuación diferencial es exacta, para obtener susolución general bastará encontrar la función F (x, y).

El siguiente teorema nos permite identificar fácilmente ecuaciones diferenciales que son exactas.

Teorema 3.1 (CRITERIO DE EXACTITUD)Si las funciones M(x, y) y N(x, y) son continuas y tienen derivadas parciales de primer orden conti-

nuas en un rectángulo R

R = {(x, y) : a < x < b, c < y < d},

entonces la ecuación diferencial

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (7)

es una ecuación exacta en R si, y sólo si,

∂M(x, y)

∂y=

∂N(x, y)

∂xpara todo (x, y) ∈ R. (8)

Demostración:-⇒) Supongamos que la ecuación (7) es exacta en R. Esto significa que existe una función F (x, y) tal que,∀(x, y) de R, verifica

∂F (x, y)

∂x=M(x, y) y

∂F (x, y)

∂y= N(x, y)

Así, al ser M y N funciones con derivadas parciales de primer orden continuas, podemos afirmar que lasderivadas de segundo orden de F son continuas, y el teorema de Schwartz nos afirma que las derivadascruzadas de segundo orden de F coinciden, es decir:

∂M(x, y)

∂y=

∂N(x, y)

∂x

⇐) Supongamos ahora que se verifica (8) , y queremos comprobar que (7) es exacta. Para ello debemosencontrar una F (x, y) tal que

∂F (x, y)

∂x=M(x, y) y

∂F (x, y)

∂y= N(x, y)

Por tenerse que verificar∂F (x, y)

∂x=M(x, y), entonces F (x, y) tiene que ser de la forma

F (x, y) =

ZM(x, y)dx+ ψ(y)


para alguna función ψ(y) que únicamente dependa de la variable y. Así todo consistirá en encontrar unaψ(y) tal que se cumpla también la condición

∂F (x, y)

∂y= N(x, y)

lo cual supone que

∂

∂y

µZM (x, y) dx

¶+ ψ0(y) = N(x, y)

Luego debe ser

ψ0(y) = N(x, y)− ∂

∂y

µZM (x, y) dx

¶(9)

y para comprobar que efectivamente existe esa ψ(y) sólo habrá que justificar que el segundo miembro de(9) es una función únicamente de y, ya que así ψ(y) se obtendrá de (9) por simple integración.Por otra parte, si comprobamos que

∂

∂x

µN(x, y)− ∂

∂y

µZM(x, y)dx

¶¶= 0

entonces estará claro que el segundo miembro de (9) es efectivamente una función sólo de la variable y.

Calculemos ahora dicha derivada parcial, teniendo presente que se verifica (8)

∂

∂x

µN(x, y)− ∂

∂y

µZM(x, y)dx

¶¶=

∂N(x, y)

∂x− ∂2

∂x∂y

ZM(x, y)dx

=∂N(x, y)

∂x− ∂2

∂y∂x

ZM(x, y)dx

=∂N(x, y)

∂x− ∂

∂yM(x, y) = 0

Así, queda probado que la ecuación diferencial es exacta. 2

Ejemplo 3.3 La ecuación diferencial y3dx+ 3xy2dy = 0 es exacta, pues siendo

M(x, y) = y3, N(x, y) = 3xy2

se verifica

∂M(x, y)

∂y=

∂N(x, y)

∂x= 3y2.

Para resolverla utilizaremos la idea de la demostración del teorema anterior: Buscamos una funciónF (x, y) tal que

∂F (x, y)

∂x= y3 y

∂F (x, y)

∂y= 3xy2

La condición∂F (x, y)

∂x= y3 la verifica la función

F (x, y) =

Zy3dx+ ψ(y) = y3x+ ψ(y)


siendo ψ(y) una función únicamente de la variable y. Determinaremos dicha función imponiendo que

verifique la condición∂F (x, y)

∂y= 3xy2.

∂F (x, y)

∂y= 3xy2 ⇐⇒ 3y2x+ ψ0(y) = 3xy2 ⇐⇒ ψ0(y) = 0

Por tanto, si tomamos la función ψ(y) = 0, tenemos que una función F (x, y) en las condiciones exigidases

F (x, y) = y3x

y de ahí que la solución general de la ecuación diferencial dada es:

y3x = C

Hemos comprobado que la ecuación y3dx+3xy2dy = 0 es exacta. Si ahora dividimos ambos miembrospor y2, la ecuación resultante es:

ydx+ 3xdy = 0

Esta nueva ecuación, que tiene las mismas soluciones que la anterior, se puede comprobar que no esexacta; sin embargo, para resolverla bastaría con multiplicarla por y2 y resolver la ecuación exacta quese obtiene. Este hecho nos sugiere que determinadas ecuaciones que no son exactas se pueden resolvercomo tales cuando previamente se las multiplica por un cierto factor µ = µ(x, y). Dicho factor recibe elnombre de factor integrante.

Definición 3.3 La función µ = µ(x, y) es un factor integrante de la ecuación diferencial

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

cuando la ecuación

µ(x, y)M(x, y)dx+ µ(x, y)N(x, y)dy = 0

es exacta.

Hallar los factores integrantes puede ser un problema difícil. Sin embargo, hay dos clases de ecua-ciones diferenciales cuyos factores integrantes son sencillos: aquellas que poseen factores integrantes quedependen bien de x solamente o bien de y solamente. Es fácil probar lo siguiente:

1. Si1

N

∙∂M

∂y− ∂N

∂x

¸= h(x) es una función de x solamente, entonces la ecuación posee un factor

integrante de la forma µ (x) .

2. Si1

M

∙∂N

∂x− ∂M

∂y

¸= k(y) es una función de y solamente, entonces la ecuación posee un factor

integrante de la forma µ (y) .

Probaremos la primera afirmación, siendo la prueba de la segunda análoga.

Demostración de 1:La ecuación no exacta M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 admite un factor integrante µ = µ(x) cuando

µ(x)M(x, y)dx+ µ(x)N(x, y)dy = 0 sea exacta para alguna µ(x).


Para ello debe ocurrir que

∂

∂y[µ (x)M (x, y)] =

∂

∂x[µ (x)N (x, y)]

lo cual significa que se verifique:

µ∂M

∂y= µ0N + µ

∂N

∂x=⇒µ0N = µ

∙∂M

∂y− ∂N

∂x

¸=⇒ 1

µ(x)µ0 =

1

N

∙∂M

∂y− ∂N

∂x

¸Por lo que cuando

1

N

∙∂M

∂y− ∂N

∂x

¸sea sólo una función de x, será cuando exista un factor integrante de

ese tipo. 2

3.4 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Definición 3.4 Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a toda ecuación de la forma

a(x)y0 + b(x)y = c(x) (10)

donde a(x), b(x) y c(x) son funciones únicamente de la variable x.

Para las ecuaciones lineales de primer orden expresadas en su forma normal:

y0 + p(x)y = q(x) (11)

se cuenta con el siguiente teorema de existencia y unicidad de soluciones de un problema de valor inicial(caso particular del Teorema de Picard).

Teorema 3.2 Si p(x) y q(x) son funciones continuas en algún intervalo (a, b) que contiene al punto x0,entonces para cualquier y0 ∈ R existe una única solución del problema de valor inicial:½

y0 + p (x) y = q (x)y (x0) = y0

Veremos a continuación dos métodos para resolver las ecuaciones lineales de la forma (11), que verificanlas hipótesis del teorema anterior.

• PRIMER MÉTODO: Mediante factores integrantes

Las ecuaciones lineales siempre poseen un factor integrante del tipo µ = µ(x), y por tanto, se puedenintegrar utilizando este hecho.

En efecto, escribiendo la ecuación diferencial lineal (11) en la forma:

[p(x)y − q(x)]dx+ dy = 0y llamando M(x, y) = [p(x)y − q(x)], N(x, y) = 1 se tiene que

1

N

∙∂M

∂y− ∂N

∂x

¸= p (x)

es únicamente función de x y, utilizando un resultado anterior, podemos asegurar que la ecuación poseeun factor integrante que sólo es función de x.

Por otra parte, se puede comprobar que un factor integrante de la ecuación (11) es:

µ(x) = eRp(x)dx


• SEGUNDO MÉTODO: Por variación de la constante

Este método se basa en el hecho de que todas las soluciones de la ecuación lineal y0+ p(x)y = q(x) sepueden expresar como suma de la solución de la ecuación

y0 + p(x)y = 0 (que se denomina ecuación incompleta u homogénea)

y una solución particular de la ecuación completa y0 + p(x)y = q(x).

La solución general de la ecuación homogénea y0 + p(x)y = 0 se puede obtener fácilmente, teniendoen cuenta que es una ecuación de variables separables:

y0 + p(x)y = 0 =⇒ dy

y= −p(x)dx =⇒ ln |y| =

Z−p(x)dx+ c1

=⇒ y = CeR −p(x)dx con C ∈ R (solución general)

ya que hay que considerar la solución y = 0 que se descartó en los pasos de resolución.

Para obtener una solución particular de la ecuación completa se puede utilizar el que se denominamétodo de variación de la constante, y que se basa en que siempre existe, como comprobaremos, unafunción C(x) tal que

y = C(x)eR −p(x)dx (12)

es una solución de la ecuación completa. Así, una vez determinada C(x) se tendrá una solución particularde la ecuación completa. (Obsérvese que el nombre del método se debe a que la expresión (12) se obtienede la solución general de la ecuación incompleta, considerando la constante ahora como una función).

Escribamos, para simplificar, la expresión (12) en la forma

y = C(x)η(x) (13)

y comprobemos que la ecuación completa tiene una solución de este tipo.

La función y = C(x)η(x) es solución de (11) cuando:

[C 0(x)η(x) + C(x)η0 (x)] + p(x)C(x)η(x) = q(x)

si, y sólo si,

C0(x)η(x) + C(x) [η0(x) + p (x) η(x)] = q(x)

y como η(x) es solución de la ecuación incompleta

C 0(x)η(x) = q(x)

Ahora, como η(x) = eR −p(x)dx no se anula nunca, entonces integrando conseguimos que una C(x) es

C(x) =

ZeRp(x)dxq(x)dx.

Y, por tanto,

y = eR −p(x)dx Z e

Rp(x)dxq(x)dx

es una solución particular de la completa.

Entonces, la solución general de la ecuación se puede expresar en la forma:

y = CeR −p(x)dx + eR −p(x)dx

ZeRp(x)dxq(x)dx.


4 Métodos numéricos para E.D.O. de primer ordenA menudo, existen problemas prácticos que conducen a ecuaciones diferenciales que no pueden resolversemediante los procedimientos expuestos anteriormente o también a ecuaciones cuyas soluciones vienenexpresadas en términos tan complicados que, con frecuencia, es preferible obtener una tabla de valoresaproximados de la solución en los puntos de un determinado intervalo.

Si suponemos que existe una solución de una ecuación diferencial dada, entonces aquélla representaun lugar geométrico (curva) en el plano. En esta sección estudiaremos procedimientos numéricos queutilizan la ecuación diferencial para obtener una sucesión de puntos cuyas coordenadas aproximan lascoordenadas de los puntos de la curva que efectivamente es la solución.

Dado un problema de valor inicial ½y0 = f(x, y)y(x0) = y0

se trata de obtener aproximadamente los valores de la solución, si existe, en un conjunto de puntos delintervalo [a, b] que interese, entre los cuales ha de estar el punto x = x0. Para ello, se fija un h > 0 y seobtiene un conjunto de puntos {x0, x1, ..., xn} ⊂ [a, b], de la forma

x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, x3 = x0 + 3h, · · · , xn = x0 + nh

para los que se calcularán los valores aproximados de la solución y1, y2, . . . , yn de la ecuación diferencial,con la condición y(x0) = y0. A la longitud h de cada subintervalo [xi, xi+1] se le llama paso.

Una forma general de efectuar el cálculo de los valores aproximados de la solución en cada paso esmediante el uso de polinomios de Taylor

y (x+ h) ≈ y (x) + hy0 (x) + h2

2!y00 (x) + · · ·+ h

k

k!yk) (x) (14)

teniendo en cuenta que si el valor de h es pequeño, las potencias más altas h2, h3, . . . son muy pequeñas.Veamos algunos casos particulares.

4.1 Método de Euler

Elmétodo de Euler o método de las tangentes es una de las técnicas más simples. Consiste en considerarla aproximación

y (x+ h) ≈ y (x) + hy0 (x) = y (x) + hf (x, y)

(en donde el miembro derecho se obtiene a partir de la ecuación diferencial dada) y el siguiente procesode iteración. En el primer paso se calcula

y1 = y0 + hf (x0, y0)

que se aproxima a y (x1) = y (x0 + h). En el segundo paso se calcula

y2 = y1 + hf (x1, y1)

que se aproxima a y (x2) = y (x0 + 2h) . Así sucesivamente, se calcula

yn = yn−1 + hf (xn−1, yn−1) ,

que se aproxima a y (xn) y, de esta forma, obtenemos una tabla de valores aproximados de la solución.

A continuación veremos un ejemplo del método de Euler.


Ejemplo 4.1 Usaremos el método de Euler para obtener el valor aproximado de y (0.5) para la solucióndel problema de valor inicial

y0 = (x+ y − 1)2y (0) = 2

Si tomamos h = 0.1, se obtiene

y1 = y0 + 0.1 (x0 + y0 − 1)2 = 2 + (0.1) 1 = 2.1lo cual es una estimación de y (0.1) . Si calculamos ahora

y2 = y1 + 0.1 (x1 + y1 − 1)2 = 2.2440que es una estimación de y (0.2) .En las tablas siguientes se muestran los demás valores para h = 0.1 así como todos los cálculos para

h = 0.05.

Método de Euler con h = 0.1 Método de Euler con h = 0.05

xn yn0.00 2.00000.10 2.10000.20 2.24400.30 2.45250.40 2.75960.50 3.2261

xn yn0.00 2.00000.05 2.05000.10 2.11050.15 2.18380.20 2.27270.25 2.38120.30 2.51420.35 2.67880.40 2.88450.45 3.14510.50 3.4823

El método de Euler no es lo suficientemente exacto para justificar su uso en la práctica. Se trata deun método de primer orden ya que sólo se consideran en la aproximación los términos constantes y eltérmino que contiene a la primera potencia de h. La omisión de los demás términos produce un errordenominado error de truncamiento del método.Como el proceso es iterativo y el valor aproximado yi se basa en el anterior yi−1, al error cometido en

un paso se le llama error de truncamiento por paso o error de truncamiento local que en el métodode Euler sería del orden de h2. Estos errores locales se van acumulando a medida que se opera en lossubintervalos sucesivos, generando el error de truncamiento global. Además, existen también los erroresde redondeo que afectan a la exactitud de los valores que se van obteniendo.

4.2 Método de Euler mejorado

Si se consideran polinomios de Taylor de mayor orden en (14), se obtienen métodos numéricos de mayorprecisión. Pero existe un problema práctico. Si se sustituye y0 = f (x, y) en (14), se obtiene

y (x+ h) ≈ y (x) + hf (x, y) + h2

2!f 0 (x, y) +

h3

3!f 00 (x, y) + · · ·+ h

k

k!fk) (x, y)

en donde, como y en f depende de x

f 0 = fx + fyy0 = fx + fyf


surge el principal inconveniente que es la necesidad de calcular en cada paso las derivadas parciales de lafunción f(x, y). Ahora la estrategia general es evitar el cálculo de tales derivadas y sustituirlas calculandof para uno o varios valores auxiliares de (x, y) elegidos adecuadamente con el fin de obtener una granexactitud. A continuación se analizan dos de tales métodos que tienen gran importancia práctica.

El primer método se denomina método de Euler mejorado o método de Heun. En cada pasode este método primero se calcula el valor auxiliar

y∗n+1 = yn + hf (xn, yn) (15)

y luego se calcula el nuevo valor

yn+1 = yn +1

2h£f (xn, yn) + f

¡xn+1, y

∗n+1

¢¤. (16)

El método de Euler mejorado es un método predictor-corrector, porque en cada paso primero sepredice un valor mediante (15) y luego se corrige mediante (16). Es un método de segundo orden porqueel error por truncamiento por paso es de orden h3.

Ejemplo 4.2 Usaremos el método de Euler mejorado para obtener el valor aproximado de y (0.5) parala solución del problema de valor inicial del ejemplo anterior

y0 = (x+ y − 1)2y (0) = 2

Para h = 0.1, se obtiene

y∗1 = y0 + 0.1 (x0 + y0 − 1)2 = 2.1y, por tanto,

y1 = y0 + (0.1)(x0 + y0 − 1)2 + (x1 + y∗1 − 1)2

2

= 2 + (0.1)1 + 1.44

2= 2.122

lo cual es ahora una estimación de y (0.1) .En las tablas siguientes se muestran los demás valores para h = 0.1 así como todos los cálculos para

h = 0.05.

Método de Euler mejoradocon h = 0.1

Método de Euler mejoradocon h = 0.05

xn yn0.00 2.00000.10 2.12200.20 2.30490.30 2.58580.40 3.03780.50 3.8254

xn yn0.00 2.00000.05 2.05530.10 2.12280.15 2.20560.20 2.30750.25 2.43420.30 2.59310.35 2.79530.40 3.05740.45 3.40570.50 3.8840


4.3 Método de Runge-Kutta

Un método aún más exacto que el anterior es elmétodo de Runge-Kutta de cuarto orden (hay méto-dos de Runge-Kutta de varios órdenes). Este método calcula en cada paso cuatro cantidades auxiliaresy luego se calcula el nuevo valor

yn+1 = yn + ak1 + bk2 + ck3 + dk4

Estas constantes k1, k2, k3, k4 se calculan de manera que el desarrollo anterior coincida con el polinomiode Taylor de cuarto orden. Como la deducción del método es bastante tediosa, solo damos los resultados:

k1 = hf (xn, yn)k2 = hf

¡xn +

12h, yn +

12k1¢

k3 = hf¡xn +

12h, yn +

12k2¢

k4 = hf (xn + h, yn + k3)xn+1 = xn + hyn+1 = yn +

16 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

Se puede demostrar que el error por truncamiento por paso es del orden de h5 y el método es, enconsecuencia, de cuarto orden.

Ejemplo 4.3 Si usamos el método de Runge-Kutta de cuarto orden para obtener el valor aproximado dey (0.5) para la solución del problema de valor inicial de los ejemplos anteriores obtenemos las siguientestablas donde podemos comparar los valores aproximados que se obtienen con los valores reales

Método de Runge-Kuttacon h = 0.1

Método de Runge-Kuttacon h = 0.05

xn yn Valor real0.00 2.0000 2.00000.10 2.1230 2.12300.20 2.3085 2.30850.30 2.5958 2.50580.40 3.0649 3.06500.50 3.9078 3.9082

xn yn Valor real0.00 2.0000 2.00000.05 2.0554 2.05540.10 2.1230 2.12300.15 2.2061 2.20610.20 2.3085 2.30850.25 2.4358 2.43580.30 2.5958 2.59580.35 2.7998 2.79970.40 3.0650 3.06500.45 3.4189 3.41890.50 3.9082 3.9082

Tema 2.- ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DEORDEN SUPERIORAmpliación de Matemáticas.


Índice General1 Introducción 1

2 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas 3

3 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes. Obtenciónde la solución general 4

4 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. 6

5 Estudio de algunos sistemas físicos que conducen a una ecuación diferencial ordinaria 95.1 Muelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.1.1 Ausencia de rozamiento y de fuerza externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.1.2 Muelle sometido a rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.1.3 Muelle sometido a rozamiento y a una fuerza externa sinusoidal . . . . . . . . . . . 11

5.2 Péndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2.1 Ausencia de rozamiento y de fuerza externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2.2 Péndulo sometido a rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2.3 Péndulo sometido a rozamiento y a una fuerza externa sinusoidal . . . . . . . . . . 14

5.3 Circuito eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3.1 Circuito LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.3.2 Circuito LCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3.3 Circuito LCR con una fuente de tensión sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.4 Solución de los problemas de valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.4.1 Ecuación x00 + ω2x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.4.2 Ecuación x00 +1

τx0 + ω2x = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20


τx0 + ω2x = A0 cosω0t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1 IntroducciónA lo largo de este tema expondremos algunas propiedades que poseen las E.D.O. lineales de orden n yse desarrollarán métodos generales para determinar sus soluciones. Prestaremos especial atención a lasecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.

Llamamos ecuación diferencial lineal de orden n a toda ecuación que se puede expresar en laforma

yn) + a1(x)yn−1) + · · ·+ an−1(x)y0 + an(x)y = f(x) (1)

para la que admitimos que los coeficientes ai(x), i = 1, 2, . . . , n y el segundo miembro f(x) son funcionesdefinidas en un intervalo I ⊆ R.La ecuación (1) se dice homogénea o incompleta si f(x) = 0 para todo x ∈ I. En caso contrario,

se dice no homogénea o completa.

1

Tema 2. E.D.O. lineales de orden superior. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 2

El problema de valor inicial asociado a la ecuación diferencial (1) es⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

yn) + a1(x)yn−1) + · · ·+ an−1(x)y0 + an(x)y = f(x)

y(x0) = y0y0(x0) = y00...yn−1)(x0) = y

n−1)0

(2)

donde x0 ∈ I e y0, y00, . . . , yn−1)0 son constantes arbitrarias.

En el teorema siguiente se muestran condiciones suficientes para la existencia de una única solucióndel problema de valor inicial.

Teorema 1.1 (Existencia y unicidad)Si las funciones a1(x), a2(x), . . . , an(x) y f(x) son continuas en un intervalo abierto I que con-

tiene al punto x0, entonces el problema de valores iniciales (2) posee una única solución, para cada³y0, y

00, . . . , y

n−1)0

´∈ Rn, definida en dicho intervalo.

En lo que sigue supondremos que los coeficientes a1(x), a2(x), . . . , an(x) y el segundo miembro f(x)de la ecuación (1) son funciones continuas en algún intervalo I. De esta forma, tendremos garantizadoque la ecuación (1) tienen infinitas soluciones definidas en el intervalo I.A continuación introduciremos algunos conceptos que se utilizarán en el estudio de las propiedades

de las E.D.O. lineales.

Definición 1.1 Sean g, g1, g2, . . . , gk funciones reales definidas en el intervalo I.Se dice que la función g es combinación lineal de las funciones g1, g2, . . . , gk en el intervalo I,

cuando existen k números reales C1, C2, . . . , Ck tales que

g (x) = C1g1 (x) + C2g2 (x) + · · ·+ Ckgk (x) , ∀x ∈ ISe dice que las funciones g1, g2, . . . , gk son linealmente independientes (l.i.) en el intervalo I cuandolos únicos números reales C1, C2, . . . , Ck para los que se verifica la igualdad

C1g1 (x) + C2g2 (x) + · · ·+ Ckgk (x) = 0, ∀x ∈ Ison C1 = C2 = · · · = Ck = 0. En caso contrario, se dice linealmente dependientes.Cuando las funciones g1, g2, . . . , gk tienen derivadas sucesivas hasta el orden k−1 en el intervalo I, se

llama wronskiano de las funciones g1, g2, . . . , gk a la función que denotaremos por W (g1, g2, . . . , gk) osimplemente W , tal que W : I −→ R

W (x) =

¯¯¯g1 (x) g2 (x) · · · gk (x)g01 (x) g02 (x) · · · g0k (x)...

......

gk−1)1 (x) g

k−1)2 (x) · · · g

k−1)k (x)

¯¯¯ , ∀x ∈ I,

donde se debe entender que el segundo miembro es el determinante cuyas filas sucesivas están determi-nadas por las funciones gi, y sus derivadas sucesivas hasta el orden k − 1.

2 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneasTeorema 2.1 Si las funciones y1, y2, . . . , yn son n soluciones en el intervalo I de la ecuación linealhomogénea

yn) + a1(x)yn−1) + · · ·+ an−1(x)y0 + an(x)y = 0, (3)

entonces, toda función de la forma C1y1 + C2y2 + · · · + Cnyn, donde C1, C2, . . . , Cn ∈ R, también essolución de la ecuación.


Esto es, toda combinación lineal de soluciones de una ecuación lineal homogénea es también soluciónde dicha ecuación.

Lemma 1 Sean y1, y2, . . . , yn n soluciones en el intervalo I de la ecuación

yn) + a1(x)yn−1) + · · ·+ an−1(x)y0 + an(x)y = 0,

y sea x0 ∈ I. Entonces:1. y1, y2, . . . , yn son linealmente dependientes en I si y sólo si su wronskiano en el punto x0 se anula.

2. y1, y2, . . . , yn son linealmente independientes en I si y sólo si su wronskiano en el punto x0 no seanula.

Teorema 2.2 Si y1, y2, . . . , yn son n soluciones l.i. en el intervalo I de la ecuación

yn) + a1(x)yn−1) + · · ·+ an−1(x)y0 + an(x)y = 0,

entonces cada solución de la ecuación (3) puede expresarse en la forma

C1y1 + C2y2 + · · ·+ Cnyn,para algunas constantes C1, C2, . . . , Cn ∈ R.

De lo anterior se desprende que la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea vienedada por todas las combinaciones lineales de tantas soluciones l.i. como orden tiene dicha ecuación.Además en la solución general, están dadas todas las soluciones que tiene dicha ecuación.

Así, el problema de encontrar la solución general de una ecuación lineal homogénea, se reduce al deencontrar tantas soluciones particulares linealmente independientes de dicha ecuación, como orden tengadicha ecuación. Por ello nos surge la siguiente pregunta: ¿Existen n soluciones linealmente independientesde la ecuación homogénea de orden n? Cuando los coeficientes a1(x), a2(x), . . . , an(x) son funcionescontinuas en algún intervalo I, como se ha venido suponiendo, del teorema 1 se puede deducir que larespuesta es afirmativa. Basta tener en cuenta que dicho teorema asegura que hay n soluciones distintaspara los n problemas de valor inicial correspondientes a la ecuación homogénea en los que

³y0, y

00, . . . , y

n−1)0

´sean respectivamente los vectores (1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0) , (0, 0, . . . , 1) .Además dichas soluciones son linealmente independientes puesto que su wronskiano en el punto x0 es

no nulo.

Veremos un procedimiento para obtener este conjunto de soluciones en el caso de un ecuación dife-rencial lineal de coeficientes constantes.

3 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientesconstantes. Obtención de la solución general

En este apartado consideraremos únicamente ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes,y veremos cómo obtener soluciones linealmente independientes. Expondremos las ideas para ecuacionesde orden dos.

Partiendo de la ecuación lineal homogénea de orden dos, con coeficientes constantes

y00 + a1y0 + a2y = 0 (4)


para encontrar soluciones de esta ecuación, ensayaremos soluciones de la forma y = erx.Así, observamos que

y = erx es solución de (4) ⇐⇒ (erx)00+ a1 (e

rx)0+ a2 (e

rx) = 0

⇐⇒ erx¡r2 + a1r + a2

¢= 0⇐⇒ r2 + a1r + a2 = 0

Por tanto, las soluciones de la ecuación r2 + a1r + a2 = 0, llamada ecuación característica de laecuación (4), nos determina los números r para los que y = erx es solución de (4).Atendiendo pues, a las posibles soluciones de la ecuación característica se pueden presentar tres casos:

Caso 1: La ecuación característica tiene dos raíces reales distintas.Si r1, r2 son las dos soluciones reales de la ecuación característica, hemos probado que las funciones

er1x, er2x son soluciones de la ecuación homogénea (4) . Como además son linealmente independientes,ya que su Wronskiano en x = 0 no es nulo, tenemos que la solución general de la ecuación homogénea es

y (x) = C1er1x + C2e

r2x

con C1, C2 ∈ R.Caso 2: La ecuación característica tiene dos raíces complejas conjugadas.Cuando las raíces r1, r2 de la ecuación característica son complejas conjugadas, entonces las funciones

er1x, er2x son al igual que antes soluciones independientes de la ecuación homogénea, pero ahora sonfunciones complejas de la variable real x. Sin embargo, veremos que es posible, a partir de ellas, obtenersoluciones reales linealmente independientes.

Suponiendo que r1 = a+ bi, y por tanto r2 = a− bi, se verifica que1

2er1x +

1

2er2x = eax cos bx

1

2ier1x − 1

2ier2x = eaxsen bx

Así, las funciones eax cos bx, eaxsen bx son soluciones de la ecuación dada (por ser combinación linealde dos soluciones de dicha ecuación) y además son linealmente independientes (ya que su wronskiano enx = 0 no es nulo).Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea se puede expresar en la forma:

y (x) = eax (C1 cos bx+ C2senbx)

con C1, C2 ∈ R.Caso 3: La ecuación característica tiene una raíz real doble.En este caso, si r es la raíz doble de la ecuación característica, la función erx es una solución de la

ecuación homogénea, y para buscar otra linealmente independiente con ella, podríamos pensar en ensayarcon posibles soluciones de la forma: y(x) = u(x)erx.Se tiene que

y = u (x) erx es solución de (4) ⇐⇒ (u (x) erx)00+ a1 (u (x) e

rx)0+ a2 (u (x) e

rx) = 0⇐⇒

erx£u (x)

¡r2 + a1r + a2

¢+ u0 (x) (2r + a1) + u00 (x)

¤= 0 ⇐⇒

r2 + a1r + a2 = 02r + a1 = 0

u00 (x) = 0⇐⇒ u (x) = Ax+B.


Luego en particular (para A = 1, B = 0) la función es solución de la ecuación homogénea (4), y porser linealmente independiente con, la solución general de la ecuación homogénea se puede expresar en laforma:

y (x) = erx (C1 + C2x)

con C1, C2 ∈ R.Estas ideas desarrolladas para encontrar dos soluciones l.i. de una ecuación lineal homogénea de orden

2 con coeficientes constantes se pueden extrapolar al caso de ecuaciones de mayor orden. La dificultadobvia que surgirá es la determinación de las raíces de la correspondiente ecuación característica que seráuna ecuación polinómica de grado al menos tres.

Todo el desarrollo teórico anterior nos permite dar el siguiente procedimiento para obtener todas lassoluciones de una ecuación lineal homogénea de orden n, con coeficientes constantes.

PROCEDIMIENTO PARA BUSCAR LA SOLUCIÓN GENERAL de una ecuación linealhomogénea de orden n con coeficientes constantes.

(a) Encontrar las n raíces de la ecuación característica asociada (dicha ecuación es la que resulta desustituir en la ecuación diferencial cada derivada yk) por la potencia rk).

(b) Para cada raíz real λ de multiplicidad algebráica 1, una solución de la ecuación ecuación diferencialhomogénea es y = eλx.

(c) Para cada raíz real λ de multiplicidad algebráica m > 1, m soluciones de la ecuación diferencialhomogénea son:

y1 = eλx, y2 = xe

λx, . . . , ym = xm−1eλx

(d) Si α+ iβ y α− iβ (con β 6= 0) son raíces de multiplicidad algebráica 1, entonces dos soluciones dela ecuación diferencial homogénea son:

y1 = eαx senβx, y2 = e

αx cosβx

(e) Si α+iβ y α− iβ (con β 6= 0) son raíces de multiplicidad algebráica m > 1, entonces 2m solucionesde la ecuación diferencial homogénea son:

y1 = eαx cosβx, y2 = xe

αx cosβx, . . . , ym = xm−1eαx cosβx

ym+1 = eαx senβx, ym+2 = xe

αx senβx, . . . , y2m = xm−1eαx senβx

Siguiendo los pasos anteriores, las n soluciones obtenidas y1, y2, . . . , yn son l.i. Por ello, la solucióngeneral de la ecuación diferencial homogénea es

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + · · ·+ Cnyn(x),

donde C1, C2, . . . , Cn ∈ R.NOTA: Para las ecuaciones lineales con coeficientes variables, no se cuenta con un método general

para determinar n soluciones linealmente independientes.


4 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.Consideramos ahora el problema de encontrar la solución general de una ecuación lineal no homogéneade orden n

yn) + a1(x)yn−1) + · · ·+ an−1(x)y0 + an(x)y = f(x)

y llamaremos ecuación homogénea asociada a la ecuación no homogénea dada la que resulta desustituir f(x) por cero; esto es,

yn) + a1(x)yn−1) + · · ·+ an−1(x)y0 + an(x)y = 0.

Se verá que para resolver una ecuación no homogénea se procederá a calcular la solución general desu ecuación homogénea.

Teorema 4.1 Supongamos que las funciones a1(x), a2(x), . . . , an(x), f(x) son continuas en un intervaloabierto I. Si zp(x) es una solución particular de la ecuación no homogénea e yg(x) es la solución generalde la ecuación homogénea asociada, entonces todas las soluciones y(x) de la ecuación no homogénea sepueden expresar en la forma

y(x) = yg(x) + zp(x)

y esta expresión constituye la solución general de la ecuación no homogénea.

MÉTODOS PARA OBTENER UNA SOLUCIÓN PARTICULAR de la ecuación linealno homogénea con coeficientes constantes.Vamos ahora a exponer métodos para obtener una solución particular de la ecuación lineal no ho-

mogénea de orden n con coeficientes constantes, que desarrollaremos en el caso de la ecuación de orden2:

y00 + a1y0 + a2y = f (x) (5)

• Método de variación de constantes

El método consiste en obtener una solución particular de la ecuación a partir de la solución generalde la ecuación homogénea asociada, dada por

yg (x) = C1y1(x) + C2y2(x)

Para ello las constantes C1, C2 de dicha solución se consideran funciones de x y se trata de determinarfunciones C1 (x) , C2 (x) para las que

zp (x) = C1 (x) y1(x) + C2 (x) y2(x) (6)

sea solución de la ecuación completa dada.La única condición que en definitiva deben cumplir las funciones C1 (x) y C2 (x) es que la función

dada en (6) y sus derivadas cumplan la ecuación diferencial (5).En efecto, de (6) se tiene que

z0p (x) = C01 (x) y1(x) + C1 (x) y

01(x) + C

02 (x) y2(x) + C2 (x) y

02(x)

y para simplificar los cálculos y evitar derivadas de segundo orden de las funciones incógnitas C1 (x) yC2 (x), supondremos que

C 01 (x) y1(x) + C02 (x) y2(x) = 0 (7)


con lo que z0p (x) = C1 (x) y01(x) + C2 (x) y02(x) y la derivada segunda es

z00p (x) = C01 (x) y

01(x) + C1 (x) y

001 (x) + C

02 (x) y

02(x) + C2 (x) y

002 (x)

por lo que zp (x) es solución de la ecuación diferencial no homogénea cuando

C 01 (x) y01(x) + C1 (x) y

001 (x) + C

02 (x) y

02(x) + C2 (x) y

002 (x) +

+a1 [C1 (x) y01(x) + C2 (x) y

02(x)] + a2 [C1 (x) y1(x) + C2 (x) y2(x)] = f (x)

que podemos escribir, reordenando términos, en la forma

C1 (x) [y001 (x) + a1y

01(x) + a2y1(x)] + C2 (x) [y

002 (x) + a1y

02(x) + a2y2(x)] +

+C 01 (x) y01(x) + C

02 (x) y

02(x) = f (x)

Ahora, puesto que los corchetes de la expresión anterior son nulos (ya que y1, y2 son soluciones de laecuación homogénea), llegamos que bajo la hipótesis (7), zp (x) es solución particular de la ecuacióncuando se verifique que

C01 (x) y01(x) + C

02 (x) y

02(x) = f (x) (8)

En definitiva, la función zp (x) es solución de la ecuación cuando existan funciones C1 (x) y C2 (x) queverifiquen las condiciones (7), (8); esto es,

C 01 (x) y1(x) + C02 (x) y2(x) = 0C 01 (x) y

01(x) + C

02 (x) y

02(x) = f (x)

Ahora bien, el sistema de ecuaciones anterior posee solución única pues el determinante de la matrizde coeficientes es el wronskiano de las soluciones l.i. y1, y2.Resolviendo este sistema, obtendremos C01 (x) y C02 (x). Después por integración se obtendrán C1 (x)

y C2 (x) , y así se obtendrá la expresión de una solución particular de la ecuación

zp (x) = −y1(x)Zf (x) y2(x)

W (x)dx+ y2(x)

Zf (x) y2(x)

W (x)dx

NOTA: El razonamiento seguido en el método de variación de constantes se puede emplear paraobtener una solución particular de cualquier ecuación lineal completa de orden n, conocida la solucióngeneral de la ecuación homogénea asociada. La dificultad obvia es que se necesita conocer la solucióngeneral de la ecuación homogénea asociada, para poder aplicar este método.

• Método de los coeficientes indeterminados

Este método nos facilita el cálculo de la solución particular cuando la función f(x) es exponencial,polinómica, seno, coseno o sumas y productos de éstas.

Seguidamente ilustramos la idea subyacente en el método con algunos casos particulares.

Consideremos la ecuación lineal no homogénea de orden 2

y00 + a1y0 + a2y = f(x) (9)

Caso f(x) = ebx

Puesto que la derivación de la función f reproduce dicha función con un posible cambio en el coeficientenumérico, es natural presuponer que la ecuación (9) posee como solución alguna del tipo y(x) = Bebx,para algún valor del coeficiente B.


Como resulta que

y(x) = Bebxes solución de (9) ⇐⇒ B¡b2 + a1b+ a2

¢ebx = ebx

⇐⇒ B =1

b2 + a1b+ a2

cuando el denominador no se anula.

Por tanto, cuando b no sea raíz de la ecuación característica (es decir, el denominador anterior es nonulo) tendremos una solución particular de la ecuación (9).

Por otra parte, si b es raíz de la ecuación característica, ensayando y(x) = Bxebxcomo posible soluciónde la ecuación, tenemos

y(x) = Bxebxes solución de (9) ⇐⇒ B¡b2 + a1b+ a2

¢xebx +B(2b+ a1)e

bx = ebx

⇐⇒ B(2b+ a1) = 1

ya que el primer paréntesis se anula, al ser b raíz de la ecuación característica.

Por consiguiente, obtenemos una solución particular de (9) si 2b+ a1 no se anula. Esto es, si b no esraíz doble de la ecuación característica.

Finalmente, cuando b es raíz doble de la ecuación característica, se puede comprobar que la funcióny(x) = x2ebx/2 es una solución particular de la ecuación diferencial (9).

En definitiva, si f(x) = ebx, la ecuación (9) tiene una solución particular de alguna de las tres formassiguientes: Bebx, Bxebx, Bx2ebx, donde el coeficiente indeterminado B se obtendrá de imponer que seasolución particular. Obsérvese que se descartan la primera o las dos primeras posibilidades cuando laecuación homogénea asociada posee ese tipo de soluciones.

Caso f(x) = sen bx, f(x) = cos bx o cualquier combinación lineal de ellas

Las derivadas sucesivas de este tipo de funciones nos hacen pensar que la ecuación (9) puede admitiruna solución particular de la forma

y(x) = α sen bx+ β cos bx

Se puede comprobar que esto es así, siempre que la ecuación homogénea asociada no posea solucionesdel tipo propuesto. En dicho caso, se ensayará con una solución particular del tipo

y(x) = x(α sen bx+ β cos bx)

Caso f(x) función polinómica de grado m en x

En este caso es lógico pensar que (9) admita como solución particular un polinomio de grado menoro igual que m

y(x) = α0 + α1x+ · · ·+ αmxm

Los casos reseñados anteriormente se pueden generalizar a ecuaciones diferenciales de orden n. Elsiguiente cuadro muestra el tipo de solución particular zp(x) a ensayar cuando f(x) es de los tiposanteriormente citados o su forma es aún más general.


f(x) zp(x)

Pm(x) P ∗m(x)

Pm(x)ebx P ∗m(x)ebx

Pm(x)ebx sen(cx) +Qm(x)e

bx cos(cx) P ∗m(x)ebx sen(cx) +Q∗m(x)e

bx cos(cx)

Aquí, Pm, P ∗m, Qm y Q∗m son polinomios de grado m.

Siempre se deberá tener presente que si cualquiera de los sumandos de la solución propuesta zp(x)es solución de la ecuación homogénea, entonces se deberá ensayar como solución particular una del tipoxkzp(x), donde k será el menor número natural tal que ningún sumando de xkzp(x) sea solución de laecuación homogénea.

Obsérvese que la idea básica de este método no se puede extrapolar a ecuaciones con coeficientes noconstantes.

5 Estudio de algunos sistemas físicos que conducen a una ecua-ción diferencial ordinaria

En esta sección vamos a estudiar algunos sistemas físicos que pueden describirse mediante ecuacionesdiferenciales lineales, centrando nuestra atención en distintos movimientos que se realizan en torno auna posición llamada de equilibrio. La permanencia del móvil en una región limitada del espacio, sedebe a la existencia de una fuerza recuperadora que produce en el móvil una aceleración que tiende afrenarlo cuando se aleja de la posición de equilibrio. De la acción de esta fuerza, a la que pueden sumarseotras, como el rozamiento, o fuerzas externas de diversa índole, resulta que el móvil se precipite hacia laposición de equilibrio, donde finalmente se detiene, o bien evolucione hasta permanecer oscilando entredos posiciones extremas, o bien oscile pero con amplitud cada vez mayor, llegando por último a escapary dejar de ser un movimiento limitado (aunque antes de que ocurra eso, probablemente el sistema físicose destruirá).

De entre estos sistemas físicos, vamos a interesarnos en unos particularmente importantes que recibenel nombre genérico de osciladores, y de ellos vamos a estudiar tres: un muelle, un péndulo y un circuitoeléctrico sencillo, no tanto por su importancia técnica, que sin duda la tienen, pero que cae fuera delalcance de esta asignatura, sino porque constituyen sistemas conocidos, los conceptos físicos involucradosson sencillos, y es muy fácil pasar rápidamente de ellos a las ecuaciones diferenciales que constituyen susmodelos matemáticos. Comprobaremos un hecho crucial: los tres, independientemente de su estructurafísica, se dejan describir por el mismo modelo matemático, las ecuaciones diferenciales lineales. Porello, algunas veces se les llama osciladores lineales y con más frecuencia osciladores armónicos,empleando para ello un término musical debido a que el tipo de oscilaciones que producen es el mismoque el que forma parte de las ondas sonoras.

5.1 Muelle

Un dispositivo elástico, como un muelle o una tira de goma, tienen la particularidad, debido al materialde que están construidos, y a la forma (en el caso del muelle), de recuperar la longitud inicial después


de ser estirados. Este comportamiento elástico es debido a la existencia de una fuerza recuperadoraque se opone al estiramiento y que de acuerdo con la ley experimental de Hooke, es proporcional (paraestiramientos pequeños) a la longitud estirada. Estudiaremos este primer sistema mecánico en los trescasos siguientes.

1. Ausencia de rozamiento y de fuerza externa

2. Sometido a rozamiento pero no a fuerzas externas

3. Sometido a rozamiento y a una fuerza externa

5.1.1 Ausencia de rozamiento y de fuerza externa

Supongamos que disponemos de un muelle de masa despreciable que se encuentra suspendido de unextremo, y cuya longitud es l0. Al colgar del otro extremo un cuerpo de masa m, el muelle se estira hastaalcanzar la longitud l1, quedando entonces inmóvil. En ese momento, el sistema está equilibrado, y laposición del cuerpo se toma como origen. Cualquier desplazamiento posterior se considerará positivo sies hacia abajo de esta posición de equilibrio, y negativo si es hacia arriba. Asimismo, las fuerzas queactúen hacia abajo se tomarán positivas y las que actúen hacia arriba, negativas. Dado que el problemaes unidimensional, no será necesario el empleo de vectores.

En la posición de equilibrio hay dos fuerzas actuando, el peso P hacia abajo, y la fuerza recuperadoradel muelle hacia arriba y que de acuerdo con la ley de Hooke, es proporcional a la longitud estirada, esdecir −k(l1 − l0) donde k > 0 se llama constante elástica del muelle. Pero dado que el sistema estáequilibrado, la suma F de todas las fuerzas es cero

F = P − k(l1 − l0) = 0

l0

l1

x

Si ahora desplazamos el cuerpo hacia abajo una distancia x > 0, el estiramiento del muelle hará actuarde nuevo la fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento −kx de modo que la suma F de todaslas fuerzas que actúan sobre el cuerpo es ahora

F = P − k(l1 − l0)− kx = −kx

Llamando a a la aceleración del cuerpo, la segunda ley de Newton permite escribir

ma = −kx


o bien, teniendo en cuenta que a = x00

mx00 + kx = 0

y si llamamos ω2 =k

m, la ecuación diferencial queda así

x00 + ω2x = 0.

5.1.2 Muelle sometido a rozamiento

La situación descrita en el caso anterior no es realista. Un muelle que se mueve en el aire, está sometidoa fricciones que se traducen en la aparición de una fuerza que tiende a frenarlo. Además, en ciertasaplicaciones industriales, los muelles se diseñan de modo que el efecto de fricción sea importante, comoocurre con los amortiguadores que se emplean en determinados mecanismos.

Admitamos que el rozamiento del aire influye sobre el movimiento del móvil sujeto al muelle, oponiendouna fuerza proporcional y de sentido contrario a la velocidad, es decir

Fr = −bv b > 0

de modo que al añadir esta nueva fuerza, la segunda ley de Newton queda así

ma = −bv − kxo bien

x00 +b

mx0 +

k

mx = 0

donde hemos dividido por m y sustituido a por x00 y v por x0. Por último, llamando1

τ=b

my ω2 =

k

m,

resulta

x00 +1

τx0 + ω2x = 0.

5.1.3 Muelle sometido a rozamiento y a una fuerza externa sinusoidal

Una vez analizada la influencia del rozamiento vamos a estudiar el efecto que produce la aplicación deuna fuerza externa. Nos limitaremos, ya que es el caso más interesante, a fuerza externas sinusoidales.

Imaginemos que ahora el punto S del que está colgado, experimenta un movimiento oscilatorio arribay abajo dado por

p(t) = δ cosω0t δ > 0

p(t)


Si nos situamos en el punto S, es decir, nos colocamos en un sistema de referencia no inercial, y, puestoque

suma de fuerzas activas = −kx− bvfuerza de inercia = mδω20 cosω0t

la segunda ley de Newton, se escribirá así

−kx− bv +mδω20 cosω0t = ma

Recordando que x00 = a y que x0 = v, y reordenando los términos, podemos escribir la ecuación diferencialde esta forma

mx00 + bx0 + kx = mδω20 cosω0t

al dividir por m, queda

x00 +1

τx0 + ω2x = A0 cosω0t

donde, como ya es habitual, hemos llamado1

τ=b

my ω2 =

k

m, además de A0 = δω20.

5.2 Péndulo

Al igual que para el muelle, analizaremos el movimiento del péndulo en los tres casos anteriores.

5.2.1 Ausencia de rozamiento y de fuerza externa

Consideremos un péndulo constituido por un hilo de longitud l inextensible y de masa despreciable delque cuelga un cuerpo de masa m. Las fuerzas que actúan son el peso P = mg y la tensión T del hilo.Tomaremos como positivo el sentido hacia abajo en la dirección vertical, y como origen de ángulos larecta vertical OS. Al desplazarse el péndulo hacia la derecha, el ángulo descrito θ se tomará positivo, asícomo el arco de circunferencia que describe el cuerpo de masa m. Llamaremos s al desplazamiento a lolargo de este arco.

��

��

��

S

O

+-

T

θ

P

Pt P

n

θs


El peso P puede descomponerse en una componente tangencial Pt a la trayectoria y en otra normalPn. La diferencia entre esta última y la tensión del hilo produce una aceleración normal en el móvilresponsable de los cambios de dirección de la velocidad en los distintos puntos de la trayectoria. Lacomponente tangencial es la que provoca cambios en el módulo de la velocidad.

Para los vectores tangenciales seguiremos adoptando el mismo convenio: un vector tangencial en unpunto Q de la trayectoria tiene sentido positivo, si su proyección sobre la recta horizontal que pasa porQ, está situada a la derecha de Q, y negativo si está a la izquierda. Aplicando este convenio a Pt, vemosque tiene sentido negativo si θ > 0, y positivo si θ < 0.

Dado que no hay movimiento en la dirección normal (aunque sí hay aceleración), sólo nos interesare-mos, a efectos de desplazamientos, en la dirección tangencial. De acuerdo con todo esto, la segunda leyde Newton aplicada al péndulo sería

mat = Pt

Si llamamos t al vector unitario de sentido positivo tangente a la trayectoria, podremos escribir

Pt = −mg sen θt

y por lo tanto

at = −g sen θ

Pero la trayectoria es un arco de circunferencia de radio l, con lo cual s = θ l. Además at =dv

dt=

d2s

dt2= s00, así que

θ00l = −g sen θ

Esta ecuación diferencial no es lineal. En su resolución intervienen ciertos tipos de integrales llamadasintegrales elípticas, pero ello cae fuera del alcance de esta lección. En lugar de eso vamos a hacer lasuposición de que las oscilaciones del péndulo son de pequeña amplitud, es decir, vamos a suponer que elmovimiento se realiza con valores pequeños de θ. En tal caso, del desarrollo en serie de la función seno,

sen θ = θ − θ3

3!+

θ5

5!− · · ·

tomamos una aproximación de primer orden

sen θ ' θ para valores pequeños de |θ|

con lo que la ecuación diferencial ahora es lineal

θ00l + gθ = 0

y si llamamos ω2 =g

ly también θ = x, queda así

x00 + ω2x = 0.

5.2.2 Péndulo sometido a rozamiento

Admitamos que el rozamiento que el aire opone al movimiento del péndulo produce efecto sólo sobre elmódulo de la velocidad, pero no sobre su dirección y sentido. Es decir, que el rozamiento no afecta a laforma de la trayectoria, lo cual es una hipótesis bastante plausible. Admitamos además que el rozamiento


es una fuerza proporcional al módulo de la velocidad, y puesto que sólo afecta a ese módulo, su direcciónes tangencial y su sentido el opuesto a v. Es decir

Fr = −bvt b > 0

donde t es un vector unitario tangente y de sentido positivo, de acuerdo con el criterio expuesto en lasección 2.1. A este respecto, es conveniente resaltar el hecho de que v es la componente tangencial de v,no su módulo, por lo que puede ser positiva o negativa.

Recordando además, que estamos en la hipótesis de ángulos pequeños, podemos escribir la segundaley de Newton aplicada al péndulo en estas nuevas condiciones

ma = −mgθ − bv

Puesto que la trayectoria es circular, tenemos que s = θl, de donde resultan s0 = θ0l y s00 = θ00l. Siahora reordenamos los términos y dividimos por ml, queda

θ00 +b

mθ0 +

g

lθ = 0

Por último, llamando x = θ,1

τ=b

my ω2 =

g

l, la ecuación diferencial queda así

x00 +1

τx0 + ω2x = 0.

5.2.3 Péndulo sometido a rozamiento y a una fuerza externa sinusoidal

Supongamos que el punto S del que está suspendido el péndulo, experimenta un desplazamiento horizontalp que en función del tiempo es

p(t) = δ cosω0t δ > 0

��

O

+-

θS

p(t)

Para estudiar el movimiento vamos a situarnos sobre ese punto, con lo cual estamos en un sistema dereferencia no inercial. La segunda ley de Newton en un sistema de tal tipo queda así

suma de todas las fuerzas activas + fuerza de inercia = ma


donde las fuerzas activas son el peso, la tensión del hilo y el rozamiento (si lo hay), mientras que la fuerzade inercia Fi es

Fi = −manidonde ani es la aceleración del sistema no inercial, que de acuerdo con la figura, tiene (y por tanto,también Fi) dirección horizontal.

��

O

+-

θS

p(t)

Fin

Fit

Fi

De las dos componentes, tangencial y normal (a la trayectoria) de la fuerza de inercia, sólo conside-raremos la tangencial, ya que es la única que contribuye al movimiento y esta componente tangenciales

Fit = Fi cos θ ' Fiya que en la hipótesis de ángulos pequeños, cos θ ' 1.Tomando pues sólo las componentes tangenciales de las fuerzas, ya que son las únicas que contribuyen

al movimiento, podemos escribir la segunda ley de Newton (en la aproximación de ángulos pequeños) así

−mgθ − bv +mδω20 cosω0t = ma

pero como v = s0 = θ0l y a = s00 = θ00l, resulta

−mgθ − bθ0l +mδω20 cosω0t = mθ00l

si ahora reordenamos los términos y dividimos por m y l

θ00 +b

mθ0 +

g

lθ =

δ

lω20 cosω0t

Por último, llamando x = θ,1

τ=b

m, ω2 =

g

ly A0 =

δ

lω20, queda

x00 +1

τx0 + ω2x = A0 cosω0t.

5.3 Circuito eléctrico

En el caso del circuito eléctrico, y al no ser éste un sistema mecánico, términos como fuerza, velocidado desplazamiento carecen de sentido. No obstante las similitudes en el comportamiento de este sistemaeléctrico con los anteriores sistemas mecánicos es tan grande, como quedará de manifiesto al establecer laecuación diferencial que lo rige, que el estudio de los tres sistemas merece ser abordado conjuntamente.


5.3.1 Circuito LC

Un condensador es un componente eléctrico capaz de almacenar carga estableciéndose como consecuenciade ello una diferencia de potencial entre sus extremos. Una autoinducción es otro componente quereacciona a las variaciones de la corriente eléctrica que la recorre, creando asimismo una diferencia depotencial entre sus extremos. Para el condensador, la relación entre la diferencia de potencial vC y lacarga q viene dada por

vC =q

C

donde C es una constante positiva característica de cada condensador llamada capacidad.

Para la autoinducción, la relación entre la diferencia de potencial vL y la variación de la corrienteviene dada por la Ley de Faraday

vL = Ldi

dt

donde i es la intensidad de la corriente y L una constante positiva característica de cada autoinducción,llamada inductancia.

Supongamos que cargamos un condensador con una carga q, y a continuación lo conectamos con unaautoinducción.

C

L

VL

VC

i

El condensador comenzará a descargarse, estableciéndose un transporte de carga, es decir una corrienteeléctrica variable con el tiempo a través de la autoinducción. Como inicialmente la corriente era cero yahora no lo es, la autoinducción reaccionará oponiendo una diferencia de potencial entre sus extremos.De acuerdo con la ley de Kirchhoff de las tensiones

vC + vL = 0

o lo que es lo mismo

q

C+ L

di

dt= 0

pero recordando que q0 = i, podemos escribir

Li00 +1

Ci = 0

que es una ecuación diferencial lineal. Si llamamos ω2 =1

LCy también x = i, queda

x00 + ω2x = 0.


5.3.2 Circuito LCR

Una resistencia es un dispositivo eléctrico que reacciona al paso de la corriente con una caída de potencialentre sus extremos proporcional a la intensidad de la corriente que la recorre. Si llamamos vR a estacaída de potencial, la Ley de Ohm establece que

vR = iR

donde R es una constante de proporcionalidad llamada también resistencia.

C

L

VL

VC

i

R

RV

Si al circuito LC que teníamos, le añadimos una resistencia en serie, la ley de Kirchhoff de las tensionesquedará ahora así

vC + vR + vL = 0

o bien

q

C+ iR+ L

di

dt= 0

Ahora derivamos esta igualdad, recordando quedq

dt= i, reordenamos los términos y dividimos por L

i00 +R

Li0 +

1

LCi = 0

Por último, llamamos x = i,1

τ=R

L, ω2 =

1

LC, y la ecuación diferencial queda definitivamente

así

x00 +1

τx0 + ω2x = 0.

5.3.3 Circuito LCR con una fuente de tensión sinusoidal

Una fuente de tensión es un dispositivo eléctrico que a diferencia de otros, como por ejemplo las resis-tencias, mantiene entre sus extremos una diferencia de potencial determinada con independencia de laintensidad de la corriente que la atraviese.

Vamos a incorporar al circuito LCR, una fuente de tensión que mantiene entre sus extremos unadiferencia de potencial que depende del tiempo de esta forma:

v(t) = v0 sen ω0t


C

L

VL

VC

R

i

VR

V(t)

+

Al emplear la ley de Kirchhoff de las tensiones queda

vC + vR + vL = v0 sen ω0t

pero recordando que

vC =q

CvR = iR vL = L

di

dt

podemos escribir

q

C+ iR+ L

di

dt= v0 sen ω0t

Si ahora derivamos y tenemos en cuenta quedq

dt= i

1

Ci+ i0R+ Li00 = v0ω0 cosω0t

reordenando los términos y dividiendo por L queda

i00 +R

Li0 +

1

LCi =

v0Lω0 cosω0t

Por último, llamando x = i,1

τ=R

L, ω2 =

1

LCy A0 =

v0Lω0, tenemos

x00 +1


5.4 Solución de los problemas de valores iniciales

En lo que sigue, resolveremos las diferentes ecuaciones diferenciales obtenidas aplicando las técnicasestudiadas anteriormente y a la vista de las soluciones interpretaremos el movimiento.

5.4.1 Ecuación x00 + ω2x = 0

Las soluciones de la ecuación característica r2 +ω2 = 0 son r = ±ωi, por lo que la solución general de laecuación diferencial es

x(t) = C1 cosωt+ C2 sen ωt


Es costumbre escribir esta expresión de otra forma, para lo que introducimos las constantes A y φ demodo que

C1 = A cosφ C2 = −A sen φ

siendo A > 0 y 0 ≤ φ < 2π. De este modo resulta

x(t) = A cos(ωt+ φ)

que, como puede comprobarse, es una función periódica de período T =2π

ω, independientemente de los

valores de A y φ. A la expresión ωt + φ se le llama fase instantánea o simplemente fase, al númeroA, amplitud. ω es la pulsación, también llamada frecuencia angular, y a φ se llama constante defase, fase inicial o ángulo de fase.

Vamos ahora a dar condiciones iniciales que permitan calcular la amplitud y la constante de fase.Sean

x(0) = x0 x0(0) = x00

entonces, al sustituir en x y en x0 queda x0 = A cosφ, x00 = −Aω sen φ y de aquí podemos obtener Ay φ para estas condiciones iniciales.

En el siguiente cuadro, se resumen algunas de las situaciones que pueden presentarse de acuerdo conlos valores de x0 y x00

Cond. iniciales Solución Gráfica Ang. de fasex0 > 0 x00 = 0x0 < 0 x00 = 0

x (t) = x0 cosωtAB

φ = 0φ = π

x0 = 0 x00 > 0x0 = 0 x00 < 0

x (t) =x00ωsenωt

CD

φ = 3π/2φ = π/2

t

x(t)

x0

Gráfica A

t

x(t)

x0

Gráfica B


t

x(t)

Gráfica C

t

x(t)

Gráfica D


τx0 + ω2x = 0.

La correspondiente ecuación característica r2 +1

τr + ω2 = 0 tiene dos raíces que pueden ser reales

(distintas o iguales) o complejas, según como sea el signo del discriminante1

τ2− 4ω2.

1

τ2− 4ω2 > 0 raíces reales distintas

1

τ2− 4ω2 = 0 raíces reales iguales

1

τ2− 4ω2 < 0 raíces complejas conjugadas

Raíces reales distintas. Sobreamortiguamiento

Cuando el discriminante es positivo, las dos raíces reales resultan ser, como es fácil comprobar, nega-tivas

r1 =−12τ

+

r1

4τ2− ω2 < 0 r2 =

−12τ−r

1

4τ2− ω2 < 0

y la solución general de la ecuación diferencial es

x(t) = C1er1t + C2e

r2t

Las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0(0) = x00 permiten calcular las constantes C1 y C2

C1 =x00 − r2x0r1 − r2 C2 = −x

00 − r1x0r1 − r2

así que la solución del problema de valores iniciales es

x(t) =

∙1

r1 − r2 (x00 − r2x0)er1t − (x00 − r1x0)er2t

¸


De la observación de esta solución se desprende que el oscilador pasa por la posición de equilibriocuando

(x00 − r2x0)er1t − (x00 − r1x0)er2t = 0

y ello sólo ocurre cuando x00−r2x0 y x00−r1x0 tienen el mismo signo. El paso por la posición de equilibriose da una sola vez en el instante

t0 =1

r1 − r2 lnx00 − r1x0x00 − r2x0

Así pues, o bien el oscilador no pasa nunca por la posición de equilibrio, o lo hace una sola vez, osiempre permanece en ella en el caso trivial de que x00 = x0 = 0. En cualquier caso, decimos que el sistemaestá sobreamortiguado. El amortiguamiento debido al término de fricción es tan grande que el sistemano llega a experimentar oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio.

A continuación se muestran algunas de las situaciones que pueden presentarse de acuerdo con losvalores de x0 y x00.

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

Raíces reales iguales. Amortiguamiento crítico

Cuando el discriminante es cero, sólo hay una raíz real (distinta) que resulta ser negativa

r =−12τ

< 0

La solución general de la ecuación diferencial es ahora

x(t) = ert(C1 + C2t)


Con las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0(0) = x00 podemos calcular C1 y C2

C1 = x0 C2 = x00 − rx0

así que la solución del problema de valores iniciales es

x(t) = ert[x0 + (x00 − rx0)t]

Si (x00 − rx0)t = 0, el oscilador no pasa nunca por la posición de equilibrio a no ser que x0 = x00 = 0 encuyo caso no saldría de ella. Si x0 = 0 pero x00 6= 0, el oscilador parte de la posición de equilibrio a laque no regresa jamás. Cuando x0 y x00 − rx0 tienen signos distintos, el oscilador pasa por la posición deequilibrio en el instante

t0 = − x0x00 − rx0

después de haberse iniciado el movimiento, pero si tienen el mismo signo, no pasa nunca por esa posición.

Así pues, ya que excluido el caso trivial de que x0 = x00 = 0, el oscilador solo pasa como máximouna vez (pudiera no pasar ninguna) por la posición de equilibrio, el movimiento no es oscilatorio. Comoantes, el amortiguamiento es tan grande que impide las oscilaciones. En este caso decimos que el sistemaestá críticamente amortiguado, ya que una pequeña variación en la fuerza de fricción o en la fuerzarecuperadora hará que el discriminante pase a ser positivo o negativo, es decir, el sistema seguirá sinoscilar o comenzará a hacerlo.

En la realidad, el amortiguamiento crítico es extremadamente difícil de conseguir, ya que cualquiervariación en las condiciones ambientales (por ejemplo, un pequeño cambio en la temperatura) puedeinfluir sobre los valores de la constante elástica del muelle, o sobre el valor de la resistencia eléctrica, oquizá sobre la longitud del hilo del péndulo.

Raíces complejas conjugadas. Subamortiguamiento

Al ser negativo el discriminante, las raíces de la ecuación característica son complejas conjugadas

r1 = α+ iβ r2α− iβ

donde

α =−12τ

< 0 β =

rω2 − 1

4τ2> 0

y la solución general de la ecuación diferencial es

x(t) = eαt(C1 cosβt+ C2 sen βt)

Ahora introducimos, como hicimos antes, las constantes A y φ de modo que

C1 = A cosφ C2 = −A sen φ

con lo que la solución general queda así

x(t) = Aeαt cos(βt+ φ)

Al sustituir las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0(0) = x00 en x(t) y en x0(t), resulta

x0 = A cosφx00 = αA cosφ− βA sen φ


de donde podemos obtener los valores de A y de φ para diferentes condiciones iniciales. A continuaciónse muestran algunas de las situaciones que pueden presentarse de acuerdo con los valores de x0 y x00.

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

Como se puede observar en las gráficas, x(t) no es una función periódica, no obstante el tiempo quetarda en efectuarse un ciclo es siempre el mismo y puede calcularse, resultando T = 2π/β.



La ecuación diferencial que debemos resolver ahora, es de nuevo lineal, pero ahora tiene segundo miembro.Como ya sabemos, la solución general viene dada por la suma de la solución general de la correspondienteecuación homogénea que ya ha sido obtenida en el segundo caso y de una solución particular de la ecuacióncompleta. Dado que el segundo miembro de la ecuación diferencial es una función coseno, para obteneresta solución particular, emplearemos el método de coeficientes indeterminados.

Vamos pues a ensayar como solución una función de la forma

z(t) = A sen ω0t+B cosω0t

donde A y B son coeficientes a determinar con la condición de que z sea solución de la ecuación diferencial.

Si derivamos z dos veces, sustituimos z, z0 y z00 en la ecuación diferencial, igualamos coeficientes yresolvemos el sistema que se obtiene, encontramos que los valores de los coeficientes son

A =

A0τω0

(ω2 − ω20)2 +

ω20τ2

B =A0(ω

2 − ω20)

(ω2 − ω20)2 +

ω20τ2


Es conveniente expresar z(t) de otra manera. Para ello, introducimos los coeficientes

E > 0 0 ≤ φ0 < 2π

de acuerdo con las igualdades

A = −E sen φ0 B = E cosφ0

con lo cual resulta que

z(t) = A senω0t+B cosω0t

= −E sen φ0 sen ω0t+E cosφ0 cosω0t

= E cos(ω0t+ φ0)

donde

E =A0∙

(ω2 − ω20)2 +

ω20τ2

¸1/2Resulta pues que la solución general de la ecuación diferencial completa es

x(t) = g(t, C1, C2) +E cos(ω0t+ φ0)

en la que g(t, C1, C2) es la solución general de la correspondiente ecuación homogénea. Ahora bien, laforma de la función g depende, como hemos visto en la sección 5.4.2, del signo del discriminante de laecuación característica. Recordemos que puede tomar una de estas tres formas

g(t, C1, C2) = C1er1t + C2e

r2t

g(t, C1, C2) = ert(C1 + C2t)

g(t, C1, C2) = eαt(C1 cosβt+ C2 sen βt)

que tienen en común, como es fácil comprobar, el que

limt→∞ g(t, C1, C2) = 0

independientemente de los valores de C1 y C2, o lo que es lo mismo, de las condiciones iniciales. Así pues,el movimiento comienza como la superposición (es decir, la suma) de un movimiento amortiguado dadopor g(t, C1, C2), y un movimiento oscilatorio no amortiguado E cos(ω0t+ φ0). En esta situación, se diceque el sistema se encuentra en estado transitorio. Pero conforme pasa el tiempo, el primero de ellos vadecayendo, por lo que su contribución al movimiento va siendo cada vez menor, mientras que el segundopermanece. Al cabo de mucho tiempo, sólo este último se mantiene, y entonces se dice que el sistema haalcanzado el estado estacionario, en el que permanece indefinidamente.

El estado transitorio es pasajero como indica su nombre, y ello es así por el efecto del amortiguamiento.En cambio, el estado estacionario permanece mantenido por la acción de la fuerza externa.

Vamos a centrar nuestra atención en el estado estacionario del sistema

z(t) =A0∙

(ω2 − ω20)2 +

ω20τ2

¸1/2 cos(ω0t+ φ0)

Observemos que el movimiento es oscilatorio con una frecuencia angular ω0 que coincide con la de la fuerzaexterna. El amortiguamiento que tendería a frenar el oscilador es compensado por la acción impulsorade la fuerza externa de tal modo, que el movimiento se lleva a cabo con una amplitud constante comosi el amortiguamiento no existiera. Pero sí existe. Una simple inspección de la expresión que da la


amplitud de la oscilación, permite descubrir que un aumento en el factor 1/τ disminuye la amplitud.También podemos observar que una disminución en la diferencia entre la frecuencia angular propia ω deloscilador y la de la fuerza externa ω0, la aumenta. Estudiemos con más detalle estos fenómenos para loque escribimos la amplitud de esta manera

E =A0∙

(ω2 − ω20)2 +

ω20τ2

¸1/2e introducimos la la función

M(ω0) =1∙

(ω2 − ω20)2 +

ω20τ2

¸1/2Esta función presenta un máximo para aquel valor de ω0 en el que el denominador alcanza el mínimo, yello ocurre cuando

ω0 =

rω2 − 1

2τ2si ω2 − 1

2τ2> 0 o cuando ω0 = 0 si ω2 − 1

2τ2< 0.

Veamos los dos casos:

— Si ω2 − 1

2τ2< 0, esto es b2 > 2mk, la función M(ω0) es decreciente y el máximo se alcanza con

ω0 = 0.

— Si ω2 − 1

2τ2> 0, esto es b2 < 2mk, el máximo se alcanza cuando ω0 =

qω2 − 1

2τ2 . A este valor se

le llama frecuencia de resonancia del sistema.

Observese que como se debe tener b2 < 2mk, para que haya resonancia, un sistema no puede estaren resonancia a menos que sea subamortiguado.

0( )M ω

0ω

b=1/4

b=1/2

b=3/2

b=2

b=1

ω

0( )M ω

0ω

b=1/4

b=1/2

b=3/2

b=2

b=1

ω

En la figura se muestran diversas gráficas de la función M(ω0) para distintos valores del factor b.De la observación de la misma se deduce que la amplitud del estado estacionario alcanza valoresgrandes cuando ω ' ω0.


Este aumento en el tamaño de la amplitud (tanto mayor mientras más pequeño sea el factor b) recibeel nombre de resonancia, y por ello, las curvas de la figura reciben el nombre de curvas de resonancia.El hecho de que la resonancia aumente al disminuir el valor de b es debido a que al oponer el osciladorun amortiguamiento débil, la fuerza impulsora externa encuentra pocas dificultades para excitarlo.

Veamos qué ocurre en el caso extremo (que naturalmente no se da en la práctica) de que el amorti-guamiento fuera nulo. La ecuación diferencial adoptaría entonces la forma

x00 + ω2x = A0 cosω0t

que vamos a resolver. La solución general de la correspondiente ecuación homogénea es

C1 cosωt+ C2 sen ωt

y una solución particular de la ecuación completa puede obtenerse por el método de los coeficientesindeterminados, ensayando una del tipo


Al derivar dos veces y sustituir z y z00 en la ecuación diferencial resulta, tras reducir términos semejantes

A(ω2 − ω20) sen ω0t+B(ω2 − ω20) cosω0t = A0 cosω0t

y por lo tanto

A = 0 B =A0

ω2 − ω20

de modo que la solución general de la ecuación diferencial es

C1 cosωt+ C2 sen ωt+A0

ω2 − ω20cosω0t

Al determinar el valor de las constantes C1 y C2 mediante las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0(0) = x00resulta

C1 = x0 − A0ω2 − ω20

C2 =x00ω

de modo que el movimiento del oscilador queda descrito mediante

x (t) = x0 cosωt+x00ωsen ωt+

A0ω2 − ω20

(cosω0t− cosωt)

que puede escribirse, empleando la expresión trigonométrica de la diferencia de cosenos, de esta forma

x (t) = x0 cosωt+x00ωsen ωt+

2A0ω2 − ω20

senµω − ω02

t

¶sen

µω + ω02

t

¶De la observación de esta última expresión se deduce que el movimiento del oscilador es la superposi-

ción de un movimiento vibratorio armónico de amplitud constantepx20 + x

020 y de frecuencia angular ω

representado por los dos primeros términos, y de un movimiento oscilatorio de amplitud

2A0ω2 − ω20

senµω − ω02

t

¶y de frecuencia angular

ω + ω02

. Esta amplitud, como puede verse, no es constante, sino que varía

sinusoidalmente con el tiempo a una frecuencia angularω − ω02

.


t

x(t)

Supongamos por último, que además de ser nulo el amortiguamiento, ocurriera además ω = ω0. Laecuación diferencial adoptaría la forma

x00 + ω20x = A0 cosω0t

y entonces la función


sería solución de la ecuación homogénea. Vamos por lo tanto a ensayar esta otra posible solución

z(t) = t(A sen ω0t+B cosω0t)

Si derivamos dos veces

z0(t) = (−Bω0t+A) sen ω0t+ (Aω0t+B) cosω0tz00(t) = (−Aω20t− 2Bω0) sen ω0t+ (−Bω20t+ 2Aω0) cosω0t

y sustituimos z y z00 en la ecuación diferencial, resulta al agrupar términos semejantes

−2Bω0 sen ω0t+ 2Aω0 cosω0t = A0 cosω0t

igualando coeficientes, obtenemos

A =A02ω0

B = 0

Resulta pues que la solución general de la ecuación diferencial es

x(t) = C1 cosω0t+ C2 sen ω0t+A02ω0

t sen ω0t

Si introducimos las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0(0) = x00, podemos calcular los valores de lasconstantes C1 y C2, que son

C1 = x0 C2 =x00ω0


de modo que el comportamiento del oscilador queda descrito por

x(t) = x0 cosω0t+x00ω0

sen ω0t+A02ω0

t sen ω0t

que consiste en la superposición de un movimiento vibratorio armónico representado por los dos primeros

términos y de una oscilación cuya amplitudA02ω0

t es creciente con el tiempo y cuya frecuencia angular

es ω0. El movimiento resultante es oscilatorio pero con una amplitud cada vez más grande, lo que traecomo consecuencia, desde el punto de vista matemático que la validez de las suposiciones de linealidadhechas hasta ahora en base a considerar pequeñas oscilaciones, dejaría de tener lugar, y desde el puntode vista físico, la destrucción del sistema.

t

x(t)

Tema 3.- SISTEMAS DIFERENCIALES LINEALESAmpliación de Matemáticas.



2 Sistemas lineales de primer orden. Generalidades 3

3 Sistemas lineales de primer orden homogéneos. Sistemas fundamentales de soluciones 4

4 Cálculo de las soluciones de un sistema lineal homogéneo con coeficientes constantespor el método de los autovalores y autovectores 5

5 Sistemas lineales de primer orden no homogéneos 8

1 Introducción

A lo largo de este tema estudiaremos los sistemas de ecuaciones diferenciales. Un sistema de ecuacionesdiferenciales es un conjunto de ecuaciones diferenciales que contienen varias funciones incógnitas y susderivadas.

Ejemplo 1.1 El sistema de ecuaciones diferenciales½x001 − 2x01 − x2 = e3tx02 − 6x1 = 0

posee como funciones incógnitas x1(t) y x2(t). La variable independiente es t y una solución de estesistema en el intervalo (−∞,+∞) está dada por el par de funciones x1(t) = e3t, x2(t) = 2e3t, comopuede comprobarse mediante una simple sustitución.

Normalmente, se usa la letra t para denotar a la variable independiente, y las letras x1, x2, . . . , xn oy1, y2, . . . , yn para indicar las funciones incógnitas, aunque si los sistemas tienen sólo dos o tres ecuacioneses también frecuente el uso de las letras x, y, z para las funciones incógnitas. A veces se utiliza la letrax para la variable independiente cuando son y1, y2, . . . , yn las que se usan para las funciones incógnitas.Seguiremos además la costumbre de no indicar explícitamente la variable independiente (excepto si ellofuera necesario). Por el contexto debe quedar claro que letras designan a las funciones incógnitas y cúales la variable independiente.

La forma más general que adopta un sistema de ecuaciones diferenciales es la siguiente⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

F1

³t, x1, x2, . . . , xn, x

01, x

02, . . . , x

0n, . . . , x

p)1 , x

p)2 , . . . , x

p)n

´= 0

F2

³t, x1, x2, . . . , xn, x

01, x

02, . . . , x

0n, . . . , x

p)1 , x

p)2 , . . . , x

p)n

´= 0

...

Fm

³t, x1, x2, . . . , xn, x

01, x

02, . . . , x

0n, . . . , x

p)1 , x

p)2 , . . . , x

p)n

´= 0

1

Tema 3. Sistemas diferenciales lineales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 2

Puede observarse la presencia de la variable independiente t, de las n funciones incógnitas x1(t), x2(t), . . . , xn(t),y de las derivadas de estas funciones, hasta el orden p. Debido a esto último, se dice que el sistema es deorden p. El número de ecuaciones es m.Los sistemas en los que el número de ecuaciones es distinto al de funciones incógnitas plantean pro-

blemas en cuanto a la existencia de soluciones, y precisan de un estudio particular para cada caso. Porello, en este tema sólo consideraremos sistemas con igual número (usualmente n) de ecuaciones que deincógnitas. En cuanto al orden, nos limitaremos a los sistemas de primer orden y veremos cómo pasara sistemas de primer orden otros de orden superior. Ponemos de manifiesto esta idea en los siguientesejemplos.

Ejemplo 1.2 Un caso de especial importancia es el de una ecuación diferencial de orden n con una soloincógnita

xn) = f³t, x, x0, . . . , xn−1)

´Esta ecuación puede expresarse como un sistema de primer orden haciendo

u1 = x, u2 = x0, u3 = x

00, . . . , un = xn−1)

Así se obtiene ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

u01 = u2u02 = u3...u0n−1 = unu0n = f(t, u1, u2, . . . , un)

Ejemplo 1.3 Consideremos el sistema de dos ecuaciones½F (t, x1, x

01, x

001 , x2, x

02, x

002 , x

0002 ) = 0

G (t, x1, x01, x

001 , x2, x

02, x

002 , x

0002 ) = 0

Este sistema es de tercer orden porque la derivada de orden más alto que en él figura es x0002 . Supongamosque es posible despejar las derivadas de orden más alto en ambas funciones incógnitas x001 y x

0002½

x001 = f (t, x1, x01, x2, x02, x002)x0002 = g (t, x1, x

01, x2, x

02, x

002)

Si ahora introducimos las incógnitas auxiliares

u1 = x1 u2 = x01

u3 = x2 u4 = x02 u5 = x

002

obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩u01 = u2u02 = f (t, u1, u2, u3, u4, u5)u03 = u4u04 = u5u05 = g (t, u1, u2, u3, u4, u5)

Los sistemas que hemos obtenido en los dos ejemplos anteriores tienen todas sus derivadas despejadasen el primer miembro de las ecuaciones y además, tienen el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.Un sistema de primer orden que está escrito de esa forma se dice que está en forma normal.


El aspecto más general que presenta un sistema de primer orden en forma normal es⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x01 = f1(t, x1, x2, . . . , xn)x02 = f2(t, x1, x2, . . . , xn)...x0n = fn(t, x1, x2, . . . , xn)

Si denotamos mediante X la función vectorial (x1, x2, . . . , xn)t cuyas componentes son las funcionesincógnitas y F(t,X) es la función vectorial (f1, f2, . . . , fn)t podemos escribir el sistema de primer ordenen forma normal de una manera más compacta

X0 = F(t,X)

Una solución de este sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones (x1, x2, . . . , xn)t

que satisfacen cada una de las ecuaciones del sistema en algún intervalo I ⊆ R.Consideremos n números reales x10, x20, . . . , xn0 que pueden tratarse como las componentes de un

vector X0 ∈ Rn. El problema (cuya solución está por ver si existe) de encontrar una solución del sistemade ecuaciones diferenciales X0 = F(t,X) que en t0 ∈ I cumpla las igualdades

x1(t0) = x10, x2(t0) = x20, . . . , xn(t0) = xn0

o lo que es lo mismo X(t0) = X0, se llama problema de valores iniciales o de condiciones iniciales.Los números x10, x20, . . . , xn0 son los valores iniciales y las igualdades

x1(t0) = x10, x2(t0) = x20, . . . , xn(t0) = xn0

son las condiciones iniciales. De forma resumida, un problema de valores iniciales está constituido por elpar

X0 = F(t,X)X(t0) = X0

¾En lo que sigue, trabajaremos con sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en

forma normal. Daremos un teorema de existencia y unicidad de soluciones para un problema de valoresiniciales y aquellos resultados generales que justifican el método de cálculo de las soluciones que veremosal trabajar con sistemas lineales con coeficientes constantes.

2 Sistemas lineales de primer orden. GeneralidadesA partir de ahora nos centraremos en los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primerorden, es decir, sistemas que en forma normal se expresan mediante⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x01 = a11(t)x1 + · · ·+ a1n(t)xn + b1(t)x02 = a21(t)x1 + · · ·+ a2n(t)xn + b2(t)...

x0n = an1(t)x1 + · · ·+ ann(t)xn + bn(t)El sistema anterior se dice homogéneo si bi(t) ≡ 0 para todo i = 1, 2, . . . , n. En caso contrario, se

dice no homogéneo.

Una forma usual de expresar los sistemas diferenciales lineales de primer orden en forma normal esutilizar la notación matricial:⎛⎜⎜⎜⎝

x01x02...x0n

⎞⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎝a11(t) · · · a1n(t)a21(t) · · · a2n(t)...

. . ....

an1(t) · · · ann(t)

⎞⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎝x1x2...xn

⎞⎟⎟⎟⎠+⎛⎜⎜⎜⎝b1(t)b2(t)...

bn(t)

⎞⎟⎟⎟⎠


Aún más brevemente podemos escribir

X0 = A(t) ·X+B(t)

Si comparamos con la expresión más general de los sistemas de primer orden en forma normal vemos queF(t,X) = A(t) ·X+B(t).Cuando los elementos de la matriz A(t) sean constantes pondremos

X0 = A ·X+B(t)

En notación matricial, un problema de valores iniciales para un sistema de ecuaciones lineales deprimer orden en forma normal se escribe mediante

X0 = A(t) ·X+B(t), X(t0) = X0

Teorema 2.1 (Existencia y unicidad)Si A(t) y B(t) son continuas en un intervalo I ⊆ R, que contiene al punto t0, entonces el problema

de valores iniciales

X0 = A(t) ·X+B(t)X(t0) = X0

¾para cualquier vector X0 ∈ Rn dado, tiene una única solución definida en el intervalo I.

Obsérvese que el teorema anterior permite asegurar que todo sistema diferencial de la forma X0 =A(t) ·X+B(t), en el que A(t) y B(t) son continuas en un intervalo I, tiene infinitas soluciones.

3 Sistemas lineales de primer orden homogéneos. Sistemas fun-damentales de soluciones

Vamos a estudiar en esta sección técnicas de resolución de sistemas diferenciales lineales homogéneos.Para ello necesitamos conocer las propiedades de las soluciones de este tipo de sistemas.

Ante todo observemos que X(t) = 0 para todo t ∈ I es una solución de cualquier sistema homogéneo.Esta solución se llama solución trivial.

Definición 3.1 Consideremos X,X1,X2, . . . ,Xk : I −→ Rn, k + 1 funciones vectoriales definidas enel intervalo I. Se dice que X es combinación lineal de la funciones X1,X2, . . . ,Xk en el intervalo Isi existen k números reales C1, C2, . . . , Ck tales que

X(t) = C1X1(t) + C2X

2(t) + · · ·+ CkXk(t) ∀t ∈ I

Se dice que las funciones X1,X2, . . . ,Xk son linealmente independientes (l.i.) en el intervalo I,cuando los únicos números reales C1, C2, . . . , Ck para los que se verifica la igualdad

C1X1(t) + C2X

2(t) + · · ·+ CkXk(t) = 0 ∀t ∈ I

son C1 = C2 = · · · = Ck = 0. En caso contrario, se dicen linealmente dependientes (l.d.).

Teorema 3.1 Consideremos el sistema lineal homogéneo X0 = A(t) · X, donde A(t) es una funciónmatricial continua en el intervalo abierto I. Se verifican las siguientes propiedades:

1. Si X(t) es una solución no trivial, entonces X(t) 6= 0 para todo t ∈ I.2. Si X(t) e Y(t) son soluciones y a, b ∈ R, entonces aX(t) + bY(t) también es solución.


3. El conjunto de todas las soluciones del sistema homogéneo es un espacio vectorial de dimensión n,siendo n el número de ecuaciones e incógnitas del sistema.

De este teorema se deduce que cualquier solución del sistema lineal homogéneo puede expresarsecomo combinación lineal de las funciones de una base de soluciones. Una tal base se denomina sistemafundamental de soluciones del sistema lineal homogéneo. Así pues, la solución general del sistemalineal homogéneo es

X(t) = C1X1(t) + C2X

2(t) + · · ·+ CnXn(t)

donde C1, C2, . . . , Cn ∈ R y©X1(t),X2(t), . . . ,Xn(t)

ªes un sistema fundamental de soluciones. Otra

forma más breve de escribir la solución general, consiste en considerar el vector C = (C1, C2, . . . , Cn)t y

la matriz

M(t) =¡X1(t) | X2(t) | . . . | Xn(t)

¢cuyas columnas son las soluciones del sistema fundamental. De esta forma la solución general puedeescribirse en la forma X(t) = M(t) ·C. Una matriz, cuyas columnas forma un sistema fundamental sellama matriz fundamental.Para el cálculo de la solución general de un sistema lineal homogéneo necesitamos no sólo encontrar

n soluciones, sino que éstas deben formar base. En este sentido, resulta muy útil disponer de un criteriode independencia lineal como el que proporciona el siguiente teorema.

Teorema 3.2 (Criterio de independencia lineal) Consideremos el sistema lineal homogéneo X0 =A(t) ·X, donde A(t) es continua en el intervalo abierto I.Sean t0 un punto cualquiera del intervalo I y X1,X2, . . . ,Xk soluciones de este sistema. Entonces,

las soluciones X1,X2, . . . ,Xk son linealmente independientes en el intervalo I si y sólo si los vectoresX1(t0),X

2(t0), . . . ,Xk(t0) son linealmente indepedientes.

4 Cálculo de las soluciones de un sistema lineal homogéneo concoeficientes constantes por el método de los autovalores y au-tovectores

Se pretende ahora obtener las soluciones de un sistema homogéneo de coeficientes constantes X0 = A ·X.La teoría anterior nos asegura que este sistema tiene infinitas soluciones en el intervalo (−∞,+∞), y quebastará encontrar n soluciones linealmente independientes de dicho sistema para determinar cualquiersolución del mismo.

Es lógico pensar que el sistema admita soluciones de tipo exponecial de la forma

X(t) = eλtv

donde λ es un número real y v = (v1, v2, . . . , vn)t es un vector de Rn.Evidentemente si v = 0 obtenemos una solución del sistema que es la solución trivial X(t) = 0 para

todo t ∈ R.Comprobaremos ahora si X(t) = eλtv es solución del sistema X0 = A ·X para algún número real λ y

algún vector v no nulo.

X(t) = eλtv es solución del sistema X0 = A ·X ⇐⇒ λeλtv = A · ¡eλtv¢ ∀t ∈ R⇐⇒ λeλtv =eλtA · v ∀t ∈ R⇐⇒ A · v =λv

Por tanto, para que X(t) = eλtv 6= 0 sea solución del sistema diferencial X0 = A · X es condiciónnecesaria y suficiente que λ sea autovalor (valor propio) de A y v 6= 0 un autovector (vector propio)


asociado. Así que, cuando calculemos los autovalores y autovectores de la matriz A, tendremos solucionesde nuestro sistema diferencial. Sin embargo, no se debe olvidar que necesitamos obtener n solucioneslinealmente independientes.

Supongamos que se han calculado ya los autovalores y autovectores de A. Entonces, nos podemosencontrar dos situaciones:

(a) Que la matriz A tenga n autovectores v1,v2, . . .vn linealmente independientes, asociados a losautovalores λ1,λ2, . . . ,λn, respectivamente (los n autovalores no han de ser distintos), es decir, lamatriz A es diagonalizable.

(b) Que la matriz A sólo tenga k (k < n) autovectores linealmente independientes, es decir, la matrizA no es diagonalizable.

Analizaremos las dos situaciones:

Caso (a): En esta situación contamos con n soluciones del sistema X0 = A ·X que son

eλ1tv1, eλ2tv2, . . . , eλntvn

y que además son linealmente independientes, ya que al evaluarlas en el punto t = 0 los vectores obtenidosson linealmente independientes. Por tanto, en este caso, toda solución del sistema se puede expresar enla forma

X(t) = C1eλ1tv1 + C2e

λ2tv2 + . . .+ Cneλntvn

donde C1, C2, . . . , Cn ∈ R.Un caso en el que podemos asegurar que la matriz A contará con n autovectores linealmente indepen-

dientes se produce cuando los n autovalores de A son distintos, ya que, recuérdese, autovectores asociadosa autovalores diferentes son siempre linealmente independientes.

Debe observarse que cuando algún autovalor λ de A sea complejo (no real), entonces los autovectoresv asociados son también complejos. Por tanto, la solución X(t) = eλtv es compleja. Si interesa expresarlas soluciones en el campo real, bastará saber que las partes reales e imaginarias de una solución complejadel sistema también son soluciones. En efecto, si X(t) = Y(t)+ iZ(t) es solución de X0 = A ·X, entonces

Y0(t) + iZ0(t) = A· (Y(t) + iZ(t)) = A ·Y(t) + iA · Z(t)

por lo que igualando partes reales e imaginarias obtenemos

Y0(t) = A ·Y(t), Z0(t) = A · Z(t)

de modo que Y(t) y Z(t) son soluciones reales del sistema.Por tanto, si λ = α + iβ es un autovalor de A con un autovector asociado v = u + iw, entonces

descomponiendo la solución X(t) = eλtv en la forma

eλtv = e(α+iβ)t (u+ iw) = eαt (cosβt+ i senβt) (u+ iw) == eαt (u cosβt−w senβt) + ieαt (w cosβt+ u senβt)

obtenemos que sus partes real e imaginaria

Y(t) = eαt (u cosβt−w senβt) , Z(t) = eαt (w cosβt+ u senβt)

son dos soluciones reales linealmente independientes del sistema X0 = A ·X, ya que evaluándolas en t = 0obtenemos los vectores u y w que son linealmente independientes.


Nótese que si λ = α+ iβ es autovalor de A con autovector asociado v = u+ iw, entonces v = u− iwes también autovector de A asociado al autovalor λ = α− iβ. De esta forma, las dos soluciones complejasdan lugar únicamente a dos soluciones reales linealmente independientes.

Caso (b): Esta situación se presenta cuando la matriz A de orden n no es diagonalizable, es decir, existealgún autovalor repetido cuya multiplicidad algebraica no coincide con su multiplicidad geométrica. Eneste caso, los k autovectores linealmente independientes determinarán k soluciones linealmente indepen-dientes, pero aún nos faltan otras n− k soluciones. Para determinar las n− k soluciones que formen conlas anteriores un sistema fundamental de soluciones tendremos en cuenta el siguiente resultado:

Si λ es un autovalor de multiplicidad algebraica m y multiplicidad geométrica 1 siendo un autovectorasociado v1, entonces, existen m soluciones linealmente independientes de la forma:

X1 (t)=eλtv1

X2 (t)=eλt¡v12 + t (A− λI) · v12¢

donde v12 es un vector que verifica que (A− λI) · v12 6= 0 y (A− λI)2 · v12 = 0

X3 (t)=eλtµv13 + t (A− λI) · v13 + t

2

2!(A− λI)

2 · v13¶

donde v13 es un vector que verifica que (A− λI)2 · v13 6= 0 y (A− λI)3 · v13 = 0...

Xm (t)=eλtµv1m + t (A− λI) · v1m + · · ·+ tm−1

(m− 1)! (A− λI)m−1 · v1m

¶donde v1m verifica que (A− λI)m−1 · v1m 6= 0 y (A− λI)m · v1m = 0.

Se puede comprobar que efectivamente X1 (t) , X2 (t) , . . . ,Xm (t) son soluciones del sistema homo-géneo sustituyendo estas expresiones en X0= A ·X.Los vectores v12,v13, . . . ,v1m se denominan autovectores generalizados asociados al autovalor λ y la

existencia de estos autovectores generalizados está garantizada por el siguiente resultado.

Teorema 4.1 Si los autovalores de la matriz A son λ1,λ2, . . . ,λk y tienen multiplicidades algebráicasm1,m2, . . . ,mk, respectivamente, entonces para cada λi (1 i k) existen mi vectores linealmenteindependientes que verifican (A− λiI)

r · v = 0 para algún entero positivo r.El conjunto formado por los n = m1+m2+ · · ·+mk vectores así construidos, considerando todos los

autovalores, es linealmente independiente.Además, si v es autovector generalizado asociado a λi, entonces (A− λiI)

mi · v = 0.

Resumiendo lo anterior, un método algorítmico para encontrar n soluciones l.i. de un sistemadiferencial lineal homogéneo X0 = A ·X, es decir, para determinar la solución general del sistema, es elque se describe a continuación.Buscamos los autovalores y autovectores de la matriz A. Entonces:

(a) Si A tiene n autovectores l.i., la solución general es

X(t) = C1eλ1tv1 + C2e

λ2tv2 + . . .+ Cneλntvn

donde v1,v2, . . .vn son n autovectores l.i. asociados a los autovalores λ1,λ2, . . . ,λn respectiva-mente.


(b) Si A tiene únicamente k < n autovectores l.i., entonces inicialmente se tienen únicamente k solucio-nes l.i. del tipo eλtv, correspondientes a esos k autovectores l.i. Para encontrar las n− k restantessoluciones l.i. que nos hacen falta, se procede como sigue:

Para cada autovalor λ repetido cuya multiplicidad algebraica no coincida con la multiplidad geo-métrica se encuentran todos los vectores v para los cuales

(A− λI) · v 6= 0, (A− λI)2 · v = 0

Para cada uno de estos vectores v se tiene que

eλt (v+ t (A− λI) · v)

es una solución adicional l.i. con las anteriores.

Si aún no se tienen n soluciones l.i., entonces para cada autovalor λ repetido cuya multiplicidadalgebraica no coincida con la multiplidad geométrica, se encuentran todos los vectores v para loscuales

(A− λI)2 · v 6= 0, (A− λI)3 · v = 0

Para estos vectores se tiene que

eλtµv+ t (A− λI) · v+ t

2

2!(A− λI)2 · v

¶es una solución adicional l.i. con las anteriores.

Este proceso se continúa hasta encontrar para cada autovalor repetido tantos vectores l.i. comoindique su multiplicidad algebráica.

NOTA: Para los sistemas lineales homogéneos con coeficientes variables, no se cuenta con un métodogeneral para determinar n soluciones l.i.

5 Sistemas lineales de primer orden no homogéneosPretendemos ahora resolver un sistema diferencial lineal no homogéneo

X0 = A(t) ·X+B(t)

Para ello consideramos el siguiente teorema que nos da información acerca de sus soluciones.

Teorema 5.1 Dado el sistema lineal no homogéneo X0 = A(t) · X + B(t) en el que A(t) y B(t) soncontinuas en el intervalo abierto I, y siendo t0 ∈ I, se verifican las siguientes propiedades:

1. Si X(t) e Y(t) son dos soluciones tales que X(t0) 6= Y(t0), entonces X(t) 6= Y(t) para todo t ∈ I.2. Si Xp(t) es una solución del sistema no homogéneo y Xg(t) es la solución general del sistemahomogéneo asociado X0 = A(t) ·X, entonces todas las soluciones X(t) del sistema no homogéneose pueden expresar en la forma

X(t) = Xg(t) +Xp(t)

y esta expresión constituye la solución general del sistema no homogéneo.


De acuerdo con el segundo apartado de este teorema, cuando se quiera resolver el sistema no ho-mogéneo X0 = A(t) · X + B(t), bastará encontrar la solución general Xg(t) del sistema homogéneoX0 = A(t) ·X y una solución particular Xp(t) del sistema completo.

Ya hemos desarrollado un método para obtener la solución general Xg(t) del sistema homogéneocuando los coeficientes son constantes. Ahora, nos dedicaremos a desarrollar métodos para encontrar unasolución particular del sistema completo, suponiendo que se tiene resuelto el sistema lineal homogéneoasociado.

• PRIMER MÉTODO: Variación de constantes

Supongamos que X1(t),X2(t), . . . ,Xn(t) son n soluciones linealmente independientes del sistemahomogéneo X0 = A(t) ·X, y que por tanto su solución general Xg(t) puede expresarse en la forma

Xg(t) = C1X1(t) + C2X

2(t) + · · ·+ CnXn(t) =

=¡X1(t) | X2(t) | . . . | Xn(t)

¢⎛⎜⎜⎜⎝C1C2...Cn

⎞⎟⎟⎟⎠ =M(t) ·C

donde M(t) es una matriz fundamental de soluciones del sistema homogéneo.

Si ahora sustituimos el vector constante C por una función vectorial C(t), veremos que es posibledeterminar esta función para que

Xp(t) =M(t) ·C(t)sea solución del sistema completo X0 = A(t) ·X+B(t). En efecto:

Xp(t) = M(t) ·C(t) es solución en I de X0 = A(t) ·X+B(t)⇐⇒⇐⇒ M0(t) ·C(t) +M(t) ·C0(t) = A(t) ·M(t) ·C(t) +B(t) ∀t ∈ I ⇐⇒⇐⇒ M(t) ·C0(t) = (A(t) ·M(t)−M0(t)) ·C(t) +B(t) ∀t ∈ I ⇐⇒⇐⇒ M(t) ·C0(t) = B(t) ∀t ∈ I ⇐⇒⇐⇒ C0(t) =M−1(t) ·B(t) ∀t ∈ I ⇐⇒⇐⇒ C(t) =

ZM−1(t) ·B(t)dt

Concluimos por tanto, que una solución particular del sistema completo es

Xp(t) =M(t) ·ZM−1(t) ·B(t)dt

Así que las soluciones del sistema no homogéneo se pueden expresar en la forma

X(t) =M(t) ·C+M(t) ·ZM−1(t) ·B(t)dt

donde, como se ha dicho, M(t) es una matriz fundamental del sistema homogéneo, y C es una columnade constantes arbitrarias.

Nótese que el método de variación de constantes puede ser aplicado para encontrar una soluciónparticular de cualquier sistema diferencial del cual conozcamos una matriz fundamentalM(t) del sistemahomogéneo asociado, no necesariamente ha de ser éste un sistema con coeficientes constantes (aunque seaéste el único caso en el que tenemos un procedimiento sistemático para la obtención deM(t)).


• SEGUNDO MÉTODO: Coeficientes indeterminados

Si consideramos un sistema diferencial de coeficientes constantes X0 = A ·X+B(t) donde el términoB(t) posee una estructura determinada (está formado por funciones polinómicas, exponenciales, senos, co-senos o sumas y productos finitos de éstas) podemos recurrir al método de los coeficientes indeterminadospara obtener una solución particular del sistema no homogéneo.

Dicho método se basa en la búsqueda de una solución particular Xp(t) del mismo tipo que la funciónvectorial B(t) (este método ofrece mejores resultados, y es más sistemático, cuando se aplica sobreecuaciones diferenciales lineales de orden n).

A modo de ejemplo resolvemos el sistema X0 = A ·X+B(t) siendo

A =

⎛⎝ 1 −2 2−2 1 22 2 1

⎞⎠ y B(t) =

⎛⎝ −9t0

−18t

⎞⎠La solución general del sistema homogéneo X0 = A ·X viene dada por (calcúlese)

Xg(t) = C1e3t

⎛⎝ 101

⎞⎠+ C2e3t⎛⎝ −11

0

⎞⎠+ C3e−3t⎛⎝ −1−1

1

⎞⎠Puesto que B(t) = tc, siendo c = (−9, 0,−18)t, buscaremos una solución particular de la forma

Xp(t) = ta+ b

donde a y b son vectores contantes de R3 por determinar (a y b son los coeficientes indeterminados).Imponiendo que Xp(t) = ta+ b sea solución del sistema resulta que

a = A (ta+ b) + tc

es decir,

t (Aa+ c) + (Ab− a) = 0por lo que igualando “coeficientes” obtenemos

Aa = −c y Ab = a

Resolviendo el primer sistema se tiene que a = (5, 2, 4)t, sustituyendo este valor en el segundo sistemaobtenemos b = (1, 0, 2)t y por tanto, una solución particular del sistema no homogéneo es

Xp(t) = t

⎛⎝ 524

⎞⎠+⎛⎝ 102

⎞⎠Así, la solución general del sistema no homogéneo es

X(t) = C1e3t

⎛⎝ 101

⎞⎠+ C2e3t⎛⎝ −11

0

⎞⎠+ C3e−3t⎛⎝ −1−1

1

⎞⎠+ t⎛⎝ 524

⎞⎠+⎛⎝ 102

⎞⎠ .Señalamos que la solución particular propuesta debe modificarse si alguno de sus sumandos es solución

del sistema homogéneo asociado. Para los sistemas no explicaremos como modificar la solución propuesta.Esta modificación se ha desarrollado con todo detalle para las ecuaciones diferenciales lineales de ordenn y de coeficientes constantes en un tema anterior.

Tema 4.- LA TRANSFORMADA DE LAPLACEAmpliación de Matemáticas.


Índice General1 Transformada de Laplace 1

2 Trasformadas de algunas funciones elementales 3

3 Propiedades de la trasformada de Laplace 6

4 Traslaciones, cambios de escala 7

5 Funciones periódicas 8

6 Convolución. Teorema del producto de transformadas 8

7 Algunas técnicas de cálculo de transformadas inversas 8

8 Función delta 9

1 Transformada de LaplaceEn el modelo matemático lineal de un sistema físico, como el de una masa-resorte o de un circuito eléctricoen serie, el lado derecho de la ecuación diferencial

mx00 + bx0 + kx = f (t) ,

Lq00 +Rq0 + 1C q = V (t)

es una función forzada y puede representar a una fuerza externa f (t) o a un voltaje aplicado V (t). Yahemos resuelto problemas en los que estas funciones eran continuas. Sin embargo, no es raro encontrarsecon funciones continuas por tramos, en cuyo caso resolver la ecuación diferencial que describe el circuitono es fácil. La transformada de Laplace que estudiaremos en este tema es una valiosa herramienta pararesolver estos problemas.

Definition 1 Sea f : [0,+∞) → R. Se llama transformada de Laplace de f a la función F (s) definidapor la integral

F (s) =

Z ∞0

e−sxf(x)dx = limb→∞

Z b

0

e−sxf(x)dx, (1)

en todos los valores de s para los cuales la integral impropia sea convergente.

A la función f se la llama transformada inversa de Laplace de F . La función F suele representarsecon el símbolo L[f ], y con frecuencia se escribe también F (s) = L[f(x)]. Asimismo, la función f se suelerepresentar con el símbolo L−1[F ], escribiéndose f(x) = L−1[F (s)].Existen funciones para las cuales la integral impropia (1) no converge para ningún valor de s. Por

ejemplo, éste es el caso para la función f (t) = 1/t, que crece demasiado rápido cerca de cero. Delmismo modo, no existe la transformada de Laplace de la función f (t) = et

2

que crece muy rápidamentecuando t→∞. Consideraremos, en lo que sigue, algunas propiedades que asegurarán la existencia de latransformada de Laplace.

1

Tema 4. La transformada de Laplace. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 2

Definition 2 Se dice que una función f es continua por tramos, si en cada intervalo (a, b) existe unapartición {x0, x1, . . . , xn}a

x0 x1 x2 xn−1 xn

b

de modo que

a) La función es continua en cada subintervalo (xi−1, xi).

b) Los límites de f cuando x tiende a los extremos de cada subintervalo, son finitos.

Nota: Obsérvese que en la definición anterior se exige que f esté definida y sea continua en todos lospuntos del intervalo (a, b) salvo en los puntos de dicha partición. Pero, aunque la función no esté definidaen los puntos de la partición, en todos ellos deben existir los correspondientes límites laterales.

Para establecer las condiciones de existencia de la integral de Laplace, es preciso hacer algunas hi-pótesis acerca de la función f . Comenzaremos por suponer que f es continua por tramos en cualquierintervalo (a, b) ⊂ [0,+∞). Ello implica que la función e−sxf(x) es integrable en todo intervalo de laforma [0, b] con b > 0, así que la existencia de la integral de Laplace dependerá del comportamiento delintegrando para valores grandes de x .

Definition 3 Se dice que la función f (x) es de orden exponencial α si existen constantes positivas M yx0 tales que

e−αx |f(x)| < M para todo x ≥ x0.

Se puede probar que si f es de orden exponencial α, entonces limx→∞ e

−sxf(x) = 0, para todo s > α.

Las funciones que normalmente se encuentran al resolver ecuaciones diferenciales lineales son a la vezcontinuas por tramos y de orden exponencial. Las transformadas de dichas funciones existen para valoresde s suficientemente grandes.

Theorem 1 Si f (x) es una función continua por tramos en [0,+∞) y de orden exponencial α, entoncessu transformada de Laplace F (s) = L[f(x)] existe para todo s > α.

Una propiedad importante de la transformada de Laplace es su linealidad.

Proposition 2 Linealidad de la transformada.Si las funciones f : [0,+∞)→ R y g : [0,+∞)→ R admiten transformada de Laplace, entonces

L[αf(x) + βg(x)] = αL[f(x)] + βL[g(x)] para todos α,β ∈ R.La proposición anterior permite asegurar que

L−1[αF (s) + βG(s)] = αL−1[F (s)] + βL−1[G(s)] para todos α,β ∈ Res decir, que la transformada inversa también goza de la propiedad de linealidad.

2 Trasformadas de algunas funciones elementalesEl cálculo directo de la transformada de una función mediante su definición no es, en general, sencillo.No obstante, para algunas funciones elementales como las constantes, exponenciales, trigonométricas,hiperbólicas y potenciales, es factible, con sencillos cálculos, obtener sus transformadas. A continuaciónveremos algunos ejemplos.


• Transformada de la función constante

L [k] =Z ∞0

ke−sxdx = −ks

£e−sx

¤∞0= lim

x→+∞

∙−kse−sx

¸+k

s(s 6= 0)

pero limx→+∞

£−ks e−sx¤ = 0 para todo s > 0, y si s < 0, entonces este límite no es finito. En

consecuencia,

L[k] = k

spara todo s > 0

• Transformada de eax

L[eax] =Z ∞0

eaxe−sxdx =∙ex(a−s)

a− s¸∞0

= limx→+∞

ex(a−s)

a− s −1

a− s (s 6= a)

ahora bien, limx→+∞

ex(a−s)

a− s = 0 para todo s > a, y si s < a, entonces el límite anterior no es finito.

Por consiguiente,

L[eax] = 1

s− a para todo s > a

• Transformada de sen bx

L[sen bx] =

Z ∞0

sen bxe−sxdx =∙−1se−sxsen bx

¸∞0

+b

s

Z ∞0

cos bxe−sxdx (s 6= 0)

= limx→+∞

∙−1se−sx sen bx

¸+ limx→+∞

b

s

∙−1se−sx cos bx

¸+b

s2− b

2

s2

Z ∞0

sen bxe−sxdx

ahora bien,

limx→+∞

∙−1se−sxsen bx

¸= limx→+∞

b

s

∙−1se−sx cos bx

¸= 0 para todo s > 0,

y si s < 0, estos últimos límites no existen. Tenemos pues queZ ∞0

sen bxe−sxdx =b

s2− b

2

s2

Z ∞0

sen bxe−sxdx

con lo que resulta L[sen bx] = b

s2− b

2

s2L[sen bx], y de aquí

L[sen bx] = b

s2 + b2para todo s > 0

• Transformada de cos bxEn el proceso anterior, puede observarse que L[sen bx] = b

sL[cos bx], de donde se deduce

L[cos bx] = s

s2 + b2para todo s > 0


• Transformada de Sh bxSi usamos la propiedad de linealidad de la transformada, podemos escribir

L[Sh bx] = 1

2L[ebx]− 1

2L[e−bx] = 1

s− b −1

s+ b=

b

s2 − b2para todo s que verifique simultáneamente s > b y s > −b, es decir, para todo s > |b| . Porconsiguiente,

L[Sh bx] = b

s2 − b2 para todo s > |b|

• Transformada de Ch bxSi usamos de nuevo la propiedad de linealidad

L[Ch bx] = 1

2L[ebx] + 1

2L[e−bx] = 1

s− b +1

s+ b

igualdad que como en el caso anterior es válida para todo s > |b| , y de aquí

L[Ch bx] = s

s2 − b2 para todo s > |b|

En las Matemáticas, aparecen con alguna frecuencia, funciones a las que se denomina con ciertaambigüedad, especiales. El llamarlas así es para diferenciarlas de la no menos ambigua categoría de lasfunciones llamadas elementales como son las constantes, potenciales, exponenciales, trigonométricas, ylas que se obtienen a partir de éstas mediante inversión, composición, suma, producto y cociente unnúmero finito de veces.

Dentro de la amplia gama de funciones especiales, sólo nos vamos a interesar en una de ellas, y ademásde forma muy breve, lo justo para poderla emplear en el cálculo de las transformadas de las funcionespotenciales.

Definition 4 Se llama función gamma a la función Γ : (0,+∞)→ R definida mediante la integral

Γ(x) =

Z ∞0

tx−1e−tdt

la cual es convergente para todo x > 0.

Algunas propiedades de la función gamma son las siguientes:

1. Γ(1) = 1

2. Γ(x+ 1) = xΓ(x)

3. Γ(n+ 1) = n! para todo n ∈ N4. Γ(1/2) =

√π

Haciendo uso de esta función gamma, podemos calcular las trasformadas de las funciones potenciales.

• Transformada de xa.Para calcular la integral de Laplace de la función xa, hacemos el cambio de variable sx = t cons > 0:

L[xa] =Z ∞0

xae−sxdx =Z ∞0

µt

s

¶ae−t

dt

s=

1

sa+1

Z ∞0

tae−tdt =Γ(a+ 1)

sa+1


pero para que la última igualdad tenga sentido ha de ser a + 1 > 0, porque si no, la integral quedefine la función gamma, es divergente. Por otra parte, al hacer el cambio de variable, hemos

exigido que s > 0, ya que si s = 0, el cambio no tiene sentido, y si s < 0, la potenciaµt

s

¶ano

estaría bien definida para casi todos los valores de a. Por tanto,

L[xa] = Γ(a+ 1)sa+1

para todo a > −1 y para todo s > 0

Nota: Cuando −1 < a < 0, la función xa no es continua por tramos, ya que en cualquier semientornodel origen en el que x > 0, no está acotada, es decir tiene una discontinuidad de segunda especie. Elteorema 4, no garantiza la existencia de la integral de Laplace de esta función. No obstante puededemostrarse (aunque nosotros no lo haremos), que efectivamente hay convergencia y por lo tanto queexiste la transformada que hemos calculado.

3 Propiedades de la trasformada de LaplaceUna primera propiedad de la trasformada es su continuidad.

Proposition 3 Continuidad de la transformada.Sea f : [0,+∞) → R una función continua por tramos y de orden exponencial α, entonces su trans-

formada de Laplace es continua en (α,+∞).Existe una importante relación entre las transformadas de una función y de su derivada, cuya impor-

tancia radica en el amplio uso que puede hacerse de ella en la resolución de problemas de valores iniciales.De hecho, esta es una de las herramientas más potentes para este tipo de problemas.

Theorem 4 Sea f : [0,+∞)→ R continua y con derivada continua por tramos que es además de ordenexponencial, entonces

L[f 0(x)] = sL[f(x)]− f(0).

La igualdad del teorema 8 admite esta GENERALIZACIÓN: supongamos ahora que existe f 00 y queal igual que f 0 en el teorema, es continua por tramos y de orden exponencial, asimismo supongamos quef 0 es continua, entonces

L[f 00(x)] = sL[f 0(x)]− f 0(0)pero al sustituir L[f 0(x)] por su valor, resulta

L[f 00(x)] = s2L[f(x)]− sf(0)− f 0(0)

El razonamiento puede generalizarse, y admitiendo que fn) es continua por tramos, de orden expo-nencial y que fn−1) es continua, podemos escribir

L[fn)(x)] = snL[f(x)]− sn−1f(0)− sn−2f 0(0)− · · ·− sfn−2) (0)− fn−1) (0)igualdad que puede demostrarse usando el método de inducción.

Existe, también, una interesante relación entre las transformadas de una función y de sus primitivas

Theorem 5 Sea f : [0,+∞)→ R continua por tramos y de orden exponencial, entonces

L∙Z x

a

f(t)dt

¸=1

sL[f(x)]− 1

s

Z a

0

f(x)dx.


Dos propiedades relativas a la derivación e integración de transformadas de Laplace son las siguientes.

Theorem 6 Sea f : [0,+∞) → R una función continua por tramos, de orden exponencial α y tal que

existen L∙f (x)

x

¸yR∞sF (p)dp siendo F (s) = L[f(x)], entonces

Z ∞s

F (p)dp = L∙f (x)

x

¸Theorem 7 Sea f : [0,+∞)→ R una función continua por tramos y de orden exponencial α, entoncesL[f(x)] es derivable para todo s > α y se verifica que

F 0(s) = −L[xf(x)]

Los siguientes resultados establecen relaciones entre los comportamientos de una función y de sutransformada, para valores grandes o pequeños de las variables.

Proposition 8 Sea f : [0,+∞)→ R continua por tramos y de orden exponencial, entonces su transfor-mada verifica

lims→∞F (s) = 0

Theorem 9 Teorema del valor inicialSea f : [0,+∞)→ R continua y con derivada continua por tramos que además es de orden exponencial,

entonces

lims→∞ sL[f(x)] = f(0)

Theorem 10 Teorema del valor finalSea f : [0,+∞)→ R continua y con derivada continua por tramos que además es de orden exponencial

α siendo α negativa, entonces

lims→0

sL[f(x)] = limx→∞ f(x)

4 Traslaciones, cambios de escalaVeremos en esta sección cómo afecta a las transformadas de Laplace una traslación en las variables x ys, así como los cambios de escala. Previamente introducimos la siguiente definición.

Definition 5 Se llama escalón unidad a la función u : R→ R definida así

u(x) =

½1 si x ≥ 00 si x < 0

A partir de la definición es inmediato comprobar que L[u(x)] = 1

s.

Theorem 11 Primera fórmula de traslaciónSi a es un número real cualquiera, entonces

L[eaxf(x)] = F (s− a)Theorem 12 Segunda fórmula de traslaciónSi a > 0, entonces

L[f(x− a)u(x− a)] = e−saL[f(x)]


Theorem 13 Cambio de escalaSea f : [0,+∞)→ R una función continua por tramos y de orden exponencial α, entonces

F (ks) =1

kLhf³xk

´ipara todo k > 0 y para todo s >

α

k

y alternativamente

F³ sk

´= kL[f(kx)] para todo k > 0 y para todo s > αk

5 Funciones periódicasEn el caso de las funciones periódicas que tengan transformada de Laplace, el cálculo de la integral sereduce al de una integral ordinaria.

Theorem 14 Sea f : R→ R una función continua por tramos y periódica de período T , entonces

L[f(x)] = 1

1− e−TsZ T

0

e−sxf(x)dx para todo s > 0

6 Convolución. Teorema del producto de transformadasDefinition 6 Sean f : [0,+∞) → R y g : [0,+∞) → R funciones integrables en [0, x] para todo x > 0.Se llama convolución de f y g, a la función f ∗ g : [0,+∞)→ R definida así

(f ∗ g)(x) =Z x

0

f(x− t)g(t)dt

De la definición se deduce de forma inmediata que la convolución de dos funciones es conmutativa, esdecir que f ∗ g = g ∗ f .

Theorem 15 Teorema del producto de transformadasSi f : [0,+∞) → R y g : [0,+∞) → R son funciones continuas por tramos y de orden exponencial,

entonces

L[(f ∗ g)(x)] = L[f(x)]L[g(x)]

7 Algunas técnicas de cálculo de transformadas inversas

Se presenta con frecuencia el cálculo de la transformada inversa de una función racional del tipoP (s)

Q(s)donde P y Q son polinomios y el grado de Q mayor que el de P . Sabemos que en tal caso, la funciónadmite una descomposición en fracciones simples de algunas de estas formas

A

s− aA

(s− a)nAs+B

(s− a)2 + b2

que corresponden respectivamente a raíces reales simples, raíces reales múltiples y pares de raíces com-plejas conjugadas simples del denominador (no consideraremos el caso de raíces complejas múltiples).


Se puede comprobar que las transformadas inversas de cada una de estas fracciones, después de aplicarla linealidad de la antitransformada, son las siguientes:

L−1∙A

s− a¸= Aeax

L−1∙

A

(s− a)n¸= A

xn−1

(n− 1)!eax

L−1∙

As+B

(s− a)2 + b2¸= Aeax cos bx+

Aa+B

beaxsen bx

8 Función deltaAhora vamos a estudiar una función muy especial. Fue introducida en 1930 por P.A. M. Dirac, premioNobel de Física en 1933, en su libro “Principios de Mecánica Cuántica” (edición española, Ariel 1967) deesta manera tan informal:“... introducimos la cantidad δ(x) que depende de un parámetro x y satisface las condicionesZ ∞

−∞δ (x) dx = 1 δ(x) = 0 para todo x 6= 0

Si queremos tener una imagen de δ(x), consideremos una función de la variable real x que sea nula fuerade un pequeño dominio de amplitud alrededor del origen y que en el interior de ese dominio tomevalores grandes. No importa la forma exacta de la función dentro de ese dominio, con tal de que no sufraen él variaciones innecesariamente bruscas (por ejemplo, con tal de que la función sea siempre del ordende −1). Pasando al límite para → 0, esta función tenderá a confundirse con δ(x).

δ(x) no es una función de x según definición matemática ordinaria de función – que le exigiríatener un valor definido para cada punto de su dominio – sino algo más general que llamaremos funciónimpropia para destacar su diferencia con las funciones definidas de modo ordinario. Por tanto, δ(x)no es una cantidad que pueda usarse en análisis matemático con tanta generalidad como las funcionesordinarias, y su uso debe restringirse a ciertos tipos de expresiones sencillas para las que sea evidenteque no puede dar lugar a inconsecuencias lógicas.”

Posteriormente, y para justificar la función δ definida por Dirac de este modo heurístico, L. Schwarzintrodujo la teoría de las distribuciones, dentro de la cual queda definida con todo rigor.

Pero la citada teoría tiene un nivel muy superior al contexto en el que nos situamos en esta asignatura,por lo que para desarrollar algunas propiedades de la función δ, en especial las relacionadas con latransformada de Laplace, volvemos al punto de vista informal con que fue introducida.

Quede claro pues que en los razonamientos que siguen, seremos deliberadamente poco rigurosos, porlo que éstos no resistirán una crítica seria, pero a pesar de ello, optamos por este punto de vista pocoformal, para evitar así el tener que presentar los resultados sin ninguna clase de justificación, ofreciendoal menos unos argumentos plausibles aunque poco aptos para puristas.

De acuerdo con la representación anterior, si definimos la función

f (x) =

½1/ si 0 ≤ x ≤0 si < x

podremos escribir que f (x) ' δ(x) para valores pequeños de . Vamos a calcular entonces la transformadade Laplace de f

L[f (x)] =Z ∞0

e−sxf (x)dx =Z0

e−sx1dx = e−sc c ∈ [0, ]


En la ultima igualdad hemos empleado el primer teorema de la media para integrales.

Ahora bien, la igualdad aproximada f (x) ' δ(x) es tanto más exacta cuanto más pequeño sea , y lomismo le ocurre a la igualdad aproximada e−sc ' 1. De lo que podemos inferir que

L[δ(x)] = 1


Transformadas de Laplace

Fórmula General Nombre, comentarios

F (s) = L[f(x)] = R∞0 e−sxf(x)dx

f (x) = L−1 [F (s)]Definición detransformada

L[αf(x) + βg(x)] = αL[f(x)] + βL[g(x)] Linealidad

L[f 0(x)] = sL[f(x)]− f(0)L[f 00(x)] = s2L[f(x)]− sf(0)− f 0(0)L[fn)(x)] = snL[f(x)]− sn−1f(0)− · · ·− fn−1) (0)

Derivación deuna función

L £R xa f(t)dt¤ = 1

sL[f(x)]− 1

s

R a0 f(x)dx

Integración deuna función

L[xf(x)] = −F 0 (s) , L[xnf(x)] = (−1)n Fn) (s)

L∙f (x)

x

¸=R∞s F (p)dp

Derivación de la transformada

Integración de la transformada

L[eaxf(x)] = F (s− a)

L−1[F (s− a)] = eaxf(x)Traslación s

(Primera fórmula de traslación)

L[u(x− λ)f(x− λ)] = e−sλL[f(x)],

L−1 £e−sλF (s)¤ = u(x− λ)f(x− λ)

Traslación x(Segunda fórmula de traslación)

(f ∗ g)(x) = R x0 f(x− t)g(t)dtL[(f ∗ g)(x)] = L[f(x)]L[g(x)]

Convolución

L[f(x)] = 1

1− e−TsR T0 e−sxf(x)dx f periódica de periodo T


Transformadas de Laplace

f (x) F (s) = L[f(x)]

kk

s

x1

s2

xn (n = 1, 2, . . . )n!

sn+1

xa (a+ 1 > 0)Γ(a+ 1)

sa+1

eax1

s− a

sen bxb

s2 + b2

cos bxs

s2 + b2

Sh bxb

s2 − b2

Ch bxs

s2 − b2

u(x)1

s

δ(x) 1

F (s) = L[f(x)] f (x)

1√s

1√πx

1

(s− a)2 xeax

1

(s− a)k1

Γ (k)xk−1eax

1

(s− a) (s− b)1

a− b¡eax − ebx¢

1

(s− a)2 + b21

beaxsen bx

s− a(s− a)2 + b2 eax cos bx

s

(s2 + b2)2x

2bsen bx

e−as

su (x− a)

e−as δ(x− a)


Apéndice.- INTEGRALES IMPROPIAS

El significado dado en cursos anteriores a la integral de RiemannR baf (x) dx presupone que f es una

función acotada en el intervalo acotado [a, b]. Ahora bien, es posible extender el concepto de integralcuando se presentan al menos uno de los dos casos siguientes, hablándose, cuando esto sucede, de integralesimpropias:a) Uno al menos de los límites de integración no es finito (integral impropia de 1a especie)b) La función f no está acotada sobre el intervalo [a, b] (integral impropia de 2a especie)Pasamos a definir sólo el caso a) que es el que nos interesa.

Si f es una función real de variable real, definida al menos en un intervalo de la forma [a,∞), y f esintegrable Riemann en todo intervalo acotado [a, x] con x ≥ a, tiene sentido plantearse el límite

limx→∞

Z x

a

f (t) dt (*)

cuando el límite (*) existe y es finito, se designa porR∞af (t) dt y se dice que la integral impropiaR∞

af (t) dt es convergente. Si el límite (*) existe y no es finito o bien no existe, se dice que la integral

impropia es divergente.

Análogamente, si ahora f es una función real de variable real, definida al menos en un intervalo dela forma (−∞, a], y f es integrable Riemann en todo intervalo acotado [x, a] con x ≤ a, tiene sentidoplantearse el límite

limx→−∞

Z a

x

f (t) dt

y pondremosR a−∞ f(t)dt = lim

x→−∞R axf (t) dt cuando este límite exista y sea finito.

Por otra parte, cuando el dominio de f es R, y además f es integrable Riemann en cada intervaloacotado de la recta real, tiene sentido plantearse los dos límites anteriores. En este caso la integralR +∞−∞ f (t) dt se dice que es convergente cuando lo sean simultáneamente las integrales

R +∞a

f (t) dt yR a−∞ f (t) dt y pondremos Z +∞

−∞f (t) dt =

Z a

−∞f (t) dt+

Z +∞

a

f (t) dt

Conviene observar que si la integralR +∞−∞ f (t) dt es convergente su valor es igual a lim

x→∞R x−x f (t) dt, pero

puede ocurrir que este último límite exista y sea finito sin que dicha integral sea convergente; en cualquiercaso, el límite

limx→∞

Z x

−xf (t) dt

recibe el nombre de valor principal de la integral.

Tema 5.- SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS DEE.D.O. LINEALESAmpliación de Matemáticas.



2 Series numéricas 12.1 Series de términos no negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Series de potencias. Radio e intervalo de convergencia 43.1 Desarrollos en series de potencias. Series de Taylor y Mac-Laurin. Series binómicas . . . . 7

4 Soluciones en series de potencias de E.D.O. lineales 94.1 Soluciones en serie en torno a puntos ordinarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Soluciones en torno a puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1 IntroducciónHasta ahora hemos resuelto, principalmente, ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden o de ordensuperior, cuando las ecuaciones tenían coeficientes constantes. Sin embargo, en las aplicaciones, se puedeobservar que las ecuaciones lineales con coeficientes variables tienen la misma importancia, si no más, quelas de coeficientes constantes, y que ecuaciones sencillas de segundo orden, como por ejemplo y00+xy = 0,no tienen soluciones expresables en términos de funciones elementales. Por esta razón vamos a dedicareste tema a la búsqueda de soluciones linealmente independientes que vienen representadas por lo que sedenominan series de potencias.

Así, en la primera parte del tema introduciremos algunas nociones y propiedades de las series depotencias para posteriormente, observar una de sus aplicaciones importantes como es la obtención desoluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Previamente, antes de definir y estudiar las propiedadeselementales de las series de potencias, daremos algunos conceptos y resultados básicos relativos a lasseries numéricas que nos serán necesarios para abordar el estudio de las series de potencias.

2 Series numéricasSe llama serie de números reales a todo par ordenado ({an}, {Sn}) en el que {an} es una sucesión denúmeros reales arbitraria y {Sn} es la sucesión definida por:

S1 = a1Sn+1 = Sn + an+1 = a1 + · · ·+ an+1 para todo n ∈ N.

A {an} se le llama término general de la serie mientras que a la sucesión {Sn} se llamará sucesión desumas parciales de la serie. En adelante denotaremos por

∞Pn=1

an (o más brevementePan) a la serie de

término general {an}.

1

Tema 5. Soluciones en serie de potencias de EDOs. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 2

Se dice que la serie de números realesPan es convergente cuando su sucesión de sumas parciales es

convergente (esto es, cuando su sucesión de sumas parciales tiene límite finito), en cuyo caso el límite dela sucesión de sumas parciales recibe el nombre de suma de la serie y se le representa por

∞Xn=1

an = limn→∞Sn = lim

n→∞(a1 + · · ·+ an).

Cuando la sucesión de sumas parciales no es convergente (esto es, no tenga límite o bien el límite sea±∞), diremos que la serie es divergente, en cuyo caso no hablaremos de suma de la serie.Ejemplos:

1) Se denomina serie geométrica de razón r y primer término a, siendo a y r dos números reales nonulos, a la

∞Xn=1

arn−1 = a+ ar + ar2 + · · ·

Esta serie es convergente si y sólo si | r |< 1. En efecto, para r 6= 1, se tiene:

Sn = a+ ar + . . .+ arn−1 =

arn − ar − 1

y por tanto,

• a) Cuando | r |< 1, entonces lim Sn = a

1− r y la serie es convergente independientemente del

valor de a siendo su sumaa

1− r .b) Cuando | r |> 1, la serie es divergente ya que

limn→∞Sn = lim

n→∞ arn − 1r − 1 =

⎧⎨⎩ +∞ si r > 1 y a > 0−∞ si r > 1 y a < 0no existe si r < −1

c) Cuando r = −1, como la sucesión de sumas parciales es a, 0, a, 0, . . . y el número a es no nulo,entonces la serie es divergente.

d) En el caso r = 1, se tiene que Sn = a ·n y de ahí que la serie diverja para cualquier valor de a.

2) La serieP 1

nse denomina serie armónica. Dicha serie es divergente pues se verifica que lim Sn =

+∞, ya que, como se puede comprobar, la sucesión de sumas parciales {Sn} es estrictamentecreciente y no está acotada superiormente.

3) Para cada número real α, la serieP 1

nαrecibe el nombre de serie armónica de orden α. El estudio

de la convergencia de esta serie pone de manifiesto que, para α ≤ 1, dicha serie es divergente y paraα > 1, la serie es convergente.

Veremos ahora dos propiedades generales de las series numéricas.

Teorema 2.1 (Condición necesaria de convergencia) Una condición necesaria para que la seriePan sea convergente es que lim an = 0.

Teorema 2.2 (Propiedad de linealidad) Si las seriesPan y

Pbn son convergentes, entonces la

serieP(αan + βbn) con α,β ∈ R es convergente y se cumple:

∞Xn=1

(αan + βbn) = α∞Xn=1

an + β∞Xn=1

bn.

A continuación daremos algunos resultados importantes en el estudio de la convergencia de algunostipos de series.


2.1 Series de términos no negativos

Definición 2.1 Una seriePan tal que an ≥ 0 para todo n ∈ N, se denomina serie de términos no

negativos.

La sucesión de sumas parciales de una serie de este tipo es creciente, luego la serie es convergente si,y sólo si, la sucesión de sumas parciales está acotada superiormente. Este hecho hace que las series detérminos no negativos sean especialmente fáciles de tratar, y aunque se dispone de numerosos criteriosde convergencia para las mismas, únicamente veremos los criterios de comparación, de D’Alembert, deRaabe y de Pringsheim.

Teorema 2.3 (Criterio de comparación)Si, para las series de números reales no negativos

Pan y

Pbn, se cumple la desigualdad

an ≤ bn para todo n ≥ p,

entonces se verifica: si la seriePbn es convergente, la serie

Pan es convergente.

Y en consecuencia: si la seriePan es divergente, la serie

Pbn es divergente.

Teorema 2.4 (Criterio de D’Alembert o del cociente) SiPan es una serie de términos positivos

tal que existe

limn→∞

an+1an

= λ ∈ R

se verifica:

1) Si λ < 1, entonces la seriePan es convergente.

2) Si λ > 1, pudiendo ser λ = +∞, entonces la serie P an es divergente.

3) Si λ = 1 el criterio no afirma nada, salvo que seaan+1an

> 1 para todo n a partir de un cierto p ∈ Nen cuyo caso la serie

Pan es divergente.

Teorema 2.5 (Criterio de Raabe)Si para la serie de términos positivosPan existe el límite

limn→∞n

µ1− an+1

an

¶= λ

entonces:

1) Si 1 < λ ≤ ∞ , la serie converge.

2) Si −∞ ≤ λ < 1, la serie diverge.

3) Si λ = 1 el criterio no afirma nada, salvo que sea nµ1− an+1

an

¶< 1 para todo n ≥ p en cuyo caso

la serie diverge.

Teorema 2.6 (Criterio de Pringsheim)SiPan es una serie de términos no negativos, y existe un número real α tal que la sucesión

{nαan}converge a un número real positivo, entonces:Xan converge si, y sólo si, α > 1.


2.2 Series alternadas

Definición 2.2 Las series cuyos términos consecutivos alternan el signo se llaman alternadas. Así,suponiendo an > 0 para todo n ∈ N, las series alternadas aparecen de dos maneras:

P(−1)nan óP

(−1)n−1an.

Teorema 2.7 (Criterio de Leibnitz) Una condición suficiente para que converja la serie alternadaP(−1)nan es que lim an = 0 y la sucesión {an} sea decreciente.

2.3 Series absolutamente convergentes

Definición 2.3 Una serie de términos arbitrariosPan es absolutamente convergente (absolutamente

divergente) cuando la serie de términos no negativosP |an| es convergente (divergente).

Teorema 2.8 Toda serie absolutamente convergente, es convergente.

El recíproco del teorema anterior no es en general cierto. Por ejemplo, la serie de término general

an =(−1)nn

es convergente pero no absolutamente convergente.

Definición 2.4 Las series que son convergentes pero no absolutamente convergentes, se llaman seriescondicionalmente convergentes.

3 Series de potencias. Radio e intervalo de convergenciaUna serie de potencias centrada en un punto x0 ∈ R es una expresión de la forma

∞Xn=0

an(x− x0)n = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + · · ·

donde a0, a1, . . . son constantes reales. La serie anterior también se denomina serie de potencias de x−x0.Obsérvese que en las series de potencias adoptaremos el convenio de hacer variar el índice de la suma

desde cero, en lugar de comenzar con 1 como ha sido habitual hasta ahora, con el objeto de que elsubíndice de cada monomio coincida con el grado de éste.

Cuando se toma x0 = 0, se obtiene como caso particular una serie de potencias de x

∞Xn=0

anxn = a0 + a1x+ a2x

2 + · · ·

Puesto que un simple cambio de variables, tomando como nueva variable x−x0, permite reducir cualquierserie de potencias considerada a otra análoga con x0 = 0, en lo sucesivo sólo manejaremos este últimocaso particular, que abrevia la escritura, sin que ello suponga restricción a los resultados que obtengamos.

Asociada a dicha serie de potencias tenemos la sucesión de funciones {Sn(x)} definida así:

Sn(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anxn

que recibe el nombre de sucesión de sumas parciales.

Diremos que la seriePanx

n converge (diverge) en un punto c ∈ R cuando la serie numérica P ancn

sea convergente (divergente). Así pues, la serie de potencias es convergente en el punto c cuando existey es finito lim

n→∞Sn(c), cuyo valor se llama suma de la serie en el punto c.


El subconjunto D de R formado por los puntos en los que la serie de potencias es convergente sedenomina dominio de convergencia de la serie, en él es posible definir una función S : D→ R dada por

S(x) = limn→∞Sn(x)

que se denomina suma de la serie en el conjunto D.

Diremos que la seriePanx

n es absolutamente convergente (divergente) en un punto c ∈ R cuando laserie numérica

Panc

n sea absolutamente convergente (divergente).

Teorema 3.1 (Teorema de Abel)

1) Si una serie de potenciasPanx

n es convergente en un punto c ∈ R, c 6= 0, entonces es absoluta-mente convergente en todo punto del intervalo abierto (− |c| , |c|).

2) Si la serie diverge en un punto d, entonces diverge para todo valor de x tal que |x| > |d|.

Puesto que toda serie de potenciasPanx

n es convergente en el punto x = 0, el teorema anterior nospermite precisar aún más cómo es el dominio de convergencia de tales series. Así, para toda serie depotencias

Panx

n se presenta una, y sólo una, de las tres situaciones siguientes:

1. La serie sólo converge en el origen. Se dice entonces que el radio de convergencia es R = 0.

2. La serie converge absolutamente en todo R. Se dice que tiene radio de convergencia R =∞ y quesu intervalo de convergencia es I = (−∞,+∞)

3. Existe un número R∗ ∈ R+ tal que la serie es absolutamente convergente en el intervalo abierto(−R∗, R∗) y diverge en todo punto x ∈ R tal que | x |> R∗. En este caso el radio de convergenciaes R = R∗ y el intervalo de convergencia es I = (−R∗,+R∗).

En los ejemplos siguientes se comprueba que hay series de potencias con los tres tipos de radio deconvergencia (R = 0, R =∞ y R ∈ R+).Ejemplos:

1) La serie de potenciasPxn para cada valor de x da lugar a una serie geométrica de razón x. Por

ello es convergente si |x| < 1 y divergente si |x| ≥ 1. Se trata de una serie con radio de convergenciaR = 1. Su intervalo de convergencia es ]− 1, 1[ y en él su suma es 1/(1− x).

2) La serie de potenciasPn!xn sólo converge en el origen (R = 0), ya que para cualquier x ∈ R, x 6= 0,

la serie numéricaPn! |x|n es divergente (se puede comprobar aplicando el criterio de D’Alembert);

luego la serie dada no converge absolutamente en ningún x 6= 0, lo que asegura (¡justifíquese!) quela serie sólo converge en x = 0.

3) La serie de potencias∞Pn=1

xn

nnes absolutamente convergente para cualquier valor real de x y por

tanto su radio de convergencia es R =∞.

4) La serie de potencias∞Pn=1

xn

ntambién es absolutamente convergente para todo x con |x| < 1, y

divergente cuando |x| > 1. Así que su radio de convergencia es 1. Ahora la serie converge noabsolutamente para x = −1 y diverge para x = 1 (armónica). Su intervalo de convergencia es, portanto, el intervalo (−1, 1) y su dominio de convergencia es [−1, 1).


Cálculo del radio de convergencia

Dada una serie de potenciasPanx

n, se sabe que en el interior de su intervalo de convergencia la seriees absolutamente convergente. Por tanto, para averiguar el radio de convergencia consideraremos la serieP |an| |x|n y veremos en qué puntos x converge esta última. Para ello, podemos aplicar el criterio deD’Alembert, calculando

limn→∞

|an+1| |x|n+1|an| |x|n = L (x)

y deduciendo los valores de x que para los que L (x) < 1. Estos valores constituirán el intervalo deconvergencia de la serie.

Ejemplos:

1) El radio de convergencia de la seriePan

2

xn, con 0 < a < 1, es R = ∞. Si a fuera mayor que 1,entonces R = 0.

2) Las seriesPxn,

P xn

n+ 1,P xn

(n+ 1)2tienen radio de convergencia R = 1. Un estudio posterior

en los puntos 1 y −1 no lleva a decir que: la primera no es convergente en los puntos −1 y 1, lasegunda converge en −1 pero no en 1 y la tercera converge en ambos puntos.

PROPIEDADES DE LAS SERIES DE POTENCIAS

Como los términos de una serie de potencias∞Pn=0

anxn son funciones potenciales y éstas son continuas,

derivables e integrables, vamos a estudiar si su suma goza de las mismas propiedades. Ello nos llevaestudiar series de potencias de la forma:

∞Xn=1

nanxn−1,

∞Xn=0

ann+ 1

xn+1

que son series de potencias obtenidas al derivar o integrar término a término la serie dada.

Teorema 3.2 Las tres series de potencias∞Pn=0

anxn,∞Pn=1

nanxn−1,

∞Pn=0

ann+ 1

xn+1 tienen el mismo radio

de convergencia.

Observación. Puede ocurrir que el dominio de convergencia de una serie de potencias y el de la serieobtenida al derivar término a término no coincidan; aunque, según el teorema anterior, ambas tienen el

mismo radio de convergencia. Nótese que la serieP xn

n23nconverge en [−3, 3], mientras queP xn−1

n3nsólo

converge en [−3, 3[.

Teorema 3.3 Si∞Pn=0

anxn es una serie de potencias con radio de convergencia R 6= 0, intervalo de

convergencia I, y suma S(x) para cada x ∈ I, se verifica:La función suma es derivable en el intervalo I, y además S0(x) =

∞Pn=1

nanxn−1, es decir, la derivada

de la suma de una serie de potencias se puede obtener derivando término a término la serie de potenciasdada.


Corolario 3.1 La suma de una serie de potencias∞Pn=0

anxn con radio de convergencia no nulo, tiene

derivadas de todos los órdenes en los puntos del intervalo de convergencia de la serie dada, y sus derivadasse pueden obtener derivando sucesivamente término a término la serie dada.

Teorema 3.4 Si∞Pn=0

anxn es una serie de potencias con radio de convergencia R 6= 0, dominio de

convergencia D, y suma S(x) para cada x ∈ D, se verifica:

1) La suma S(x) =∞Pn=0

anxn es continua en D.

2) La suma S(x) =∞Pn=0

anxn es integrable en todo intervalo cerrado y acotado contenido en D, y su

integral se puede obtener integrando término a término la serie dada. Es decir:Z x

α

S(t)dt =∞Xn=0

Z x

α

antndt

para cualesquiera α, x de D.

3.1 Desarrollos en series de potencias. Series de Taylor y Mac-Laurin. Seriesbinómicas

En este apartado se trata de dar respuesta a una cuestión que, en cierto modo, es recíproca de la anterior:Dada una función f , ¿existe una serie de potencias con radio de convergencia no nulo cuya suma sea iguala f ? La respuesta a esta pregunta es negativa: no todas las funciones se pueden expresar como seriesde potencias. Aquellas funciones que se distinguen por poder representarse en dicha forma se llamananalíticas.

Definición 3.1 Se dice que una función f es analítica en x0 si, en un intervalo abierto que contenga a

x0, esta función es la suma de una serie de potencias∞Pn=0

an(x−x0)n que tiene un radio de convergenciapositivo.

Teorema 3.5 Si f es analítica en x0, entonces la representación

f (x) =∞Xn=0

fn)(x0)

n!(x− x0)n

es válida en cierto intervalo abierto centrado en x0.La serie anterior se llama serie de Taylor de f centrada en x0. Cuando x0 = 0, también se le

conoce como serie de Maclaurin de f.

Además de los resultados conocidos ya sobre series de potencias, éstas tienen también una propiedadde unicidad; esto es, si la ecuación

∞Xn=0

an(x− x0)n =∞Xn=0

bn(x− x0)n

es válida en algún intervalo abierto que contiene a x0, entonces an = bn para n = 0, 1, 2, . . . . Por tanto,si de alguna manera se puede obtener un desarrollo en serie de potencias para una función analítica,entonces esta serie de potencias debe ser su serie de Taylor.


El cálculo directo de los coeficientes de la serie de Taylor o Maclaurin por derivaciones sucesivaspuede resultar difícil. El método más práctico para hallar una serie de Taylor o Maclaurin consiste endesarrollar series de potencias para una lista básica de funciones elementales. De esta lista se podrándeducir series de potencias para otras funciones mediante suma, resta, producto, división, derivaciónintegración o composición con series conocidas. Antes de presentar esta lista básica desarrollaremos enserie la función f (x)= (1 + x)r con r ∈ R que produce lo que se llama la serie binómica.Las funciones de este tipo sólo son polinomios cuando r es natural o cero. Son indefinidamente

derivables en un entorno del cero, y se tiene:

fn)(x) = r(r − 1) · · · (r − n+ 1)(1 + x)r−n, fn)(0) = r(r − 1) · · · (r − n+ 1)

Por tanto, si cuando n ∈ N y r ∈ R utilizamos la notaciónµr

n

¶para indicar

µr

n

¶=r(r − 1) · · · (r − n+ 1)

n!y

µr

0

¶= 1

obtenemos como posible desarrollo en serie de Mac-Laurin de la función dada el siguiente:

∞Xn=0

µr

n

¶xn

Cuando r no es un número natural o cero, el radio de convergencia de la serie de la expresión anterior esR = 1. La serie, en consecuencia, es absolutamente convergente en ]− 1, 1[ y divergente cuando | x |> 1.Se puede probar también que la suma de dicha serie en ]−1, 1[ es precisamente la función f(x) = (1+x)r.

La serie∞Pn=0

µr

n

¶xn se denomina serie binomial o binómica puesto que cuando r es un número natural

sólo sus n+ 1 primeros términos son no nulos, y además su expresión es la conocida fórmula de Newtonpara la potencia del binomio (1 + x)r.

Como casos particulares de la serie binómica citamos los siguientes:

Para r = −11

1 + x= 1− x+ x2 − x3 + · · ·

Para r = 1/2

√1 + x = 1 +

x

2− 1

2 · 4x2 +

1 · 32 · 4 · 6x

3 − 1 · 3 · 52 · 4 · 6 · 8x

4 + · · ·

Para r = −1/21√1 + x

= 1−12x+

1 · 32 · 4x

2 − 1 · 3 · 52 · 4 · 6x

3 + · · ·

En la lista que sigue, ofrecemos las series de Maclaurin de otras funciones elementales junto con susintervalos de convergencia.


SERIES DE POTENCIAS PARA FUNCIONES ELEMENTALES

senx = x− x3

3!+x5

5!− · · ·+ (−1)n

(2n+ 1)!x2n+1 + · · · −∞ < x <∞

cosx = 1− x2

2!+x4

4!− · · ·+ (−1)

n

(2n)!x2n + · · · −∞ < x <∞

ex = 1 +x

1!+x2

2!+ · · ·+ x

n

n!+ · · · −∞ < x <∞

sh x = x+x3

3!+x5

5!+ · · ·+ 1

(2n+ 1)!x2n+1 + · · · −∞ < x <∞

ch x = 1 +x2

2!+x4

4!+ · · ·+ 1

(2n)!x2n + · · · −∞ < x <∞

arcsen x = x+1

2

x3

3+1 · 32 · 4

x5

5+ · · ·+ (2n)!

(2nn!)2x2n+1

(2n+ 1)+ · · · −1 < x < 1

ln (1 + x) = x−x2

2+x3

3− x

4

4+ · · ·+ (−1)

n−1

nxn + · · · −1 < x < 1

1

1 + x2= 1− x2 + x4 − x6 + · · ·+ (−1)nx2n + · · · −1 < x < 1

arctg x = x−x3

3+x5

5− x

7

7+ · · ·+ (−1)

nx2n+1

2n+ 1+ · · · −1 < x < 1

Entre las aplicaciones de los desarrollos en serie se encuentran:

— El cálculo de integrales definidas.

— El cálculo de la suma de series numéricas.

— La resolución de ecuaciones diferenciales.

4 Soluciones en series de potencias de E.D.O. linealesEn esta sección veremos un procedimiento para obtener soluciones en serie de potencias de una ecuacióndiferencial lineal. El método de series de potencias para resolver una ecuación diferencial consiste ensustituir la serie de potencias

∞Xn=0

an(x− x0)n

en la ecuación diferencial y después determinar cuáles deben ser los coeficientes a0, a1, a2, . . . para quela serie de potencias satisfaga la ecuación diferencial. Esto es muy semejante al método de coeficientesindeterminados, pero ahora tenemos un número infinito de coeficientes que de algún modo hemos deobtener.

Tema 5. Soluciones en serie de potencias de EDOs. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.10

Para ilustrar el método de la serie de potencias consideremos una ecuación diferencial lineal de primerorden sencilla.

Ejemplo: Encontrar una solución en serie de potencias en torno a x = 0 de la ecuación

y0 + 2xy = 0. (1)

Solución: Si suponemos que existe una solución en serie de potencias de la forma

y (x) =∞Xn=0

anxn,

nuestra tarea consistirá en determinar los coeficientes an. Para ello, sustituimos los desarrollos en seriede y (x) y y0 (x) en la ecuación (1), obteniendo

∞Xn=1

nanxn−1 + 2x

∞Xn=0

anxn = 0,

o equivalentemente

∞Xn=1

nanxn−1 +

∞Xn=0

2anxn+1 = 0. (2)

Si escribimos los primeros términos de estas series y sumamos los coeficientes de potencias iguales de x,se obtiene

a1 + (2a2 + 2a0)x+ (3a3 + 2a1)x2 + (4a4 + 2a2)x

3 + · · · = 0.

Para que la serie de potencias del primer miembro de la ecuación anterior sea idénticamente cero, se debeverificar que todos los coeficientes sean iguales a cero. De modo que

a1 = 0, 2a2 + 2a0 = 0,3a3 + 2a1 = 0, 4a4 + 2a2 = 0, . . .

Resolviendo el sistema anterior resulta

a1 = 0, a2 = −a0, a3 = −23a1 = 0, a4 = −1

2a2 =

1

2a0.

Por tanto, la serie de potencias adopta la forma

y (x) = a0 − a0x2 + 12a0x

4 + · · ·

Si bien el cálculo de estos primeros términos es útil, sería mejor disponer de una fórmula de términogeneral del desarrollo en serie de potencias de la solución. Para ello, volvemos a la expresión (2) y laescribimos de manera que las dos series presenten la misma potencia de x, esto es

∞Xk=0

(k + 1) ak+1xk +

∞Xk=1

2ak−1xk = 0,

y, puesto que la primera serie empieza en k = 0 y la segunda en k = 1, separamos el primer término dela primera y sumamos los coeficientes de igual potencia de x, obteniendo que

a1 +∞Xk=1

[(k + 1) ak+1 + 2ak−1]xk = 0.


Haciendo ahora todos los coeficientes iguales a cero, obtenemos una relación de recurrencia para loscoeficientes

a1 = 0

ak+1 = − 2

k + 1ak−1

Tomando k = 1, 2, . . . , 6 y teniendo en cuenta que a1 = 0, resulta que

a2 = −22a0 = −a0, (k = 1) a3 = −2

3a1 = 0, (k = 2)

a4 = −24a2 =

1

2!a0, (k = 3) a5 = −2

5a1 = 0, (k = 4)

a6 = −26a4 = − 1

3!a0, (k = 5) a7 = −2

7a1 = 0, (k = 6)

y de aquí, se observa que

a2n =(−1)nn!

a0 n = 1, 2, 3, . . .

a2n+1 = 0 n = 0, 1, 2, . . .

Puesto que el coeficiente a0 se deja indeterminado, sirve como constante arbitraria y, por tanto, propor-ciona la solución general de la ecuación

y (x) = a0 − a0x2 + 12a0x

4 + · · · = a0∞Xn=0

(−1)nn!

x2n.

Se puede comprobar que esta serie tiene radio de convergencia R = ∞. Además esta serie recuerda eldesarrollo de la función exponencial, verificándose que

y (x) = a0e−x2 ,

solución que se podía obtener fácilmente ya que se trataba de una ecuación de variables separables.

4.1 Soluciones en serie en torno a puntos ordinarios

Aunque el método de series de potencias puede usarse en ecuaciones lineales de cualquier orden, susaplicaciones más relevantes se refieren a ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden de la forma

a (x) y00 + b (x) y0 + c (x) y = 0, (3)

donde a (x) , b (x) y c (x) son funciones analíticas de x. En realidad, en la mayoría de las aplicaciones esasfunciones son polinomios. Por esta razón limitaremos el estudio a este tipo de ecuaciones.Para determinar cuándo el método de series de potencias será efectivo, reescribimos la ecuación

anterior en la forma

y00 + p (x) y0 + q (x) y = 0, (4)

con el coeficiente principal 1 y p (x) = b (x) /a (x) y q (x) = c (x) /a (x) .Nótese que p (x) y q (x) en general no tienen porqué ser analíticas en los puntos que a (x) se anula.

Por ejemplo, en la ecuación

xy00 + y0 + xy = 0

todos los coeficientes son funciones analíticas en todos los puntos pero si lo escribimos en la forma (4)

resulta que p (x) =1

xno es analítica en x = 0.


Definición 4.1 El punto x = x0 se denomina punto ordinario de la ecuación diferencial (3) si lasfunciones p (x) y q (x) son analíticas en x0. En caso contrario, el punto recibe el nombre de puntosingular.

Ejemplos:

1) El punto x = 0 es un punto ordinario de la ecuación

xy00 + (sen x) y0 + x2y = 0

pues

p (x) =sen xx

= 1− x2

3!+x4

5!+ · · · , q (x) = x

son ambas analíticas en x = 0.

2) El punto x = 0 no es un punto ordinario de la ecuación

y00 + x2y0 +√xy = 0

pues p (x) = x2 es analítica en el origen, pero q (x) =√x no lo es, ya que q (x) no es diferenciable

en x = 0.

Vamos a encontrar ahora soluciones en serie de potencias en torno a puntos ordinarios, para ecuacionesdiferenciales del tipo (3) en las que los coeficientes son polinomios. Para ello, se deberá, tal y como hemos

hecho en un ejemplo anterior, sustituir y (x) =∞Pn=0

an (x− x0)n en (3), agrupar términos semejantes eigualar a cero los coeficientes de la serie de potencias resultante, lo que conducirá a una relación derecurrencia para los coeficientes an. Para simplificar, supondremos que un punto ordinario de la ecuacióndiferencial está siempre localizado en x = 0, ya que si no lo está, la sustitución t = x − x0 traslada elvalor x = x0 a t = 0.

Establecemos ahora un resultado básico de existencia de soluciones en serie de potencias en torno aun punto ordinario de la ecuación (3) que justifica el método de series de potencias.

Teorema 4.1 Si x = 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial (3), entonces existen dos solu-ciones linealmente independientes en forma de series de potencias centradas en 0, es decir, cada una dela forma

y (x) =∞Xn=0

anxn,

cuyos radios de convergencia son por lo menos tan grandes como la distancia de x = 0 al punto singularmás próximo.

Ejemplo: Encontrar la solución de

2y00 + xy0 + y = 0

en forma de serie de potencias en torno al punto ordinario x = 0.

Solución: Consideramos

y (x) =∞Xn=0

anxn,


y los correspondientes desarrollos en serie para y0 (x) y y00 (x) dados por

y0 (x) =∞Xn=1

nanxn−1, y00 (x) =

∞Xn=2

n (n− 1) anxn−2.

Sustituimos estas series de potencias en nuestra ecuación∞Xn=2

2n (n− 1) anxn−2 +∞Xn=1

nanxn +

∞Xn=0

anxn = 0,

y escribimos las tres series de forma que el término general de cada una de ellas sea una constantemultiplicada por xk.

∞Xk=0

2 (k + 2) (k + 1) ak+2xk +

∞Xk=1

kakxk +

∞Xk=0

akxk = 0.

Separamos los términos correspondientes a x0 y agrupamos los coeficientes de xk obteniendo

4a2 + a0 +∞Xk=1

[2 (k + 2) (k + 1) ak+2 + kak + ak]xk = 0.

Igualando a cero los coeficientes de la serie de potencias, resulta que

4a2 + a0 = 0

ak+2 =−1

2 (k + 2)ak k ≥ 1.

De esta manera,

a2 =−122a0 a3 =

−12 · 3a1 (k = 1)

a4 =−12 · 4a2 =

1

22 · 2 · 4a0 (k = 2) a5 =−12 · 5a3 =

1

22 · 3 · 5a1 (k = 3)

a6 =−12 · 6a4 =

−126 · 3!a0 (k = 4) a7 =

−12 · 7a5 =

−123 · 3 · 5 · 7a1 (k = 5)

a8 =−12 · 8a6 =

1

28 · 4!a0 (k = 6)

Considerando a0 y a1 como constantes arbitrarias, se obtiene

a2n =(−1)n22n · n!a0 n ≥ 1,

a2n+1 =(−1)n

2n [1 · 3 · 5 · · · · · (2n+ 1)]a1 n ≥ 1.

De aquí resultan dos soluciones linealmente independientes

y1 (x) =∞Pn=0

(−1)n22n · n!x

2n y2 (x) =∞Pn=0

(−1)n2n [1 · 3 · 5 · · · · · (2n+ 1)]x

2n+1

y por consiguiente la solución general de nuestra ecuación viene dada por

y (x) = a0y1 (x) + a1y2 (x) .

Este método se puede utilizar también para resolver problemas de valores iniciales. Si se tienen losvalores de y (0) y y0 (0) , es fácil comprobar que se verifica que a0 = y (0) y a1 = y0 (0) , con lo cual sellega a una solución única del problema de valor inicial.


4.2 Soluciones en torno a puntos singulares

En la sección precedente vimos que no hay mucha dificultad en encontrar una solución en serie de potenciasde

a (x) y00 + b (x) y0 + c (x) y = 0,

en torno a un punto ordinario x = x0. Sin embargo, cuando x = x0 es un punto singular, no siempre es

posible encontrar una solución de la forma y (x) =∞Pn=0

an (x− x0)n .

Veremos que, en algunos casos, si podemos obtener una solución de la forma y (x) =∞Pn=0

an (x− x0)n+r

donde r es una constante a determinar.

Por ejemplo, si consideramos la ecuación diferencial 6x2y00+5xy0+¡x2 − 1¢ y = 0, que tiene un punto

singular en x = 0, esta ecuación no tienen ninguna solución de la forma y (x) =∞Pn=0

anxn. No obstante,

se puede demostrar que existen dos soluciones en serie de la forma

y (x) =∞Pn=0

anxn+1/2 y y (x) =

∞Pn=0

anxn−1/3.

Vamos, por tanto, a investigar la solución de la ecuación (3) cerca de un punto singular. Los puntossingulares se subdividen en regulares e irregulares. Para definir estos conceptos reescribimos la ecuaciónde la forma y00 + p (x) y0 + q (x) y = 0.

Definición 4.2 Un punto singular, x = x0, de la ecuación (3) es un punto singular regular si tanto(x− x0) p (x) como (x− x0)2 q (x) son analíticas en x0 y es un punto singular irregular en caso contrario.

Ejemplo Los puntos x = 0 y x = −1 son, ambos, puntos singulares de la ecuación diferencial

x2 (x+ 1)2y00 +

¡x2 − 1¢ y0 + 2y = 0.

Si examinamos

p (x) =x− 1

x2 (x+ 1)y q (x) =

2

x2 (x+ 1)2

podemos observar que x = 0 es un punto singular irregular, mientras que x = −1 es un punto singularregular.

Antes de establecer un resultado de existencia de soluciones en serie en torno a un punto singularregular, necesitamos la siguiente definición.

Definición 4.3 Si x0 es un punto singular regular de y00 + p (x) y0 + q (x) y = 0, entonces llamamosecuación indicial de ese punto a la ecuación

r (r − 1) + p0r + q0 = 0

donde

p0 = limx→x0

(x− x0) p (x) y q0 = limx→x0

(x− x0)2 q (x)

Las raíces de la ecuación indicial se llaman exponentes (índices) de la singularidad x0.


En general, si x0 es un punto singular regular de (3), entonces las funciones (x− x0) p (x) y (x− x0)2 q (x)son analíticas en x0; es decir, los desarrollos

(x− x0) p (x) = p0 + p1 (x− x0) + p2 (x− x0)2 + · · ·(x− x0)2 q (x) = q0 + q1 (x− x0) + q2 (x− x0)2 + · · ·

son válidos en intervalos que tengan radio de convergencia positivo. Después de sustituir y (x) =∞Pn=0

an (x− x0)n+r en la ecuación y simplificar, la ecuación indicial es la ecuación cuadrática en r queresulta de igualar a cero el coeficiente total de la menor potencia de (x− x0) .Para estudiar la existencia de soluciones en serie en torno a puntos singulares regulares, y al igual que

hicimos en la sección precedente, restringiremos nuestra atención al caso en el que x0 = 0 es un puntosingular regular de la ecuación.

El siguiente teorema nos garantiza la existencia de al menos una solución en serie de la forma anterior ala vez que proporciona, en algunos casos, la expresión de una segunda solución linealmente independiente.

Teorema 4.2 Soluciones en serie de FrobeniusSea x = 0 un punto singular regular de la ecuación y00+ p (x) y0+ q (x) y = 0 y sean r1 y r2 las raíces,

con r1 ≥ r2, de la ecuación indicial asociada. Entonces:

(a) Para x > 0, existe una solución de la forma

y1(x) =∞Xn=0

anxn+r1 , a0 6= 0

correspondiente a la raíz mayor r1.

(b) Si r1 − r2 no es cero ni un entero positivo, entonces existe una segunda solución linealmente inde-pendiente para x > 0 de la forma

y2(x) =∞Xn=0

bnxn+r2 , b0 6= 0

correspondiente a la raíz menor r2.

Ejemplo: Encontrar la solución de

3xy00 + y0 − y = 0

en forma de serie de potencias en torno al punto singular regular x = 0.

Solución: Ensayamos una solución de la forma

y(x) =∞Xn=0

anxn+r.

Puesto que

y0(x) =∞Xn=0

(n+ r) anxn+r−1, y00(x) =

∞Xn=0

(n+ r) (n+ r − 1) anxn+r−2


al sustituir en la ecuación, obtenemos

3∞Xn=0

(n+ r) (n+ r − 1) anxn+r−1 +∞Xn=0

(n+ r) anxn+r−1 −

∞Xn=0

anxn+r

=∞Xn=0

(n+ r) (3n+ 3r − 2) anxn+r−1 −∞Xn=0

anxn+r

= xr

"r (3r − 2) a0x−1 +

" ∞Xk=0

(k + r + 1) (3k + 3r + 1) ak+1 − ak#xk

#= 0

lo cual implica que

r (3r − 2) a0 = 0

ak+1 =1

(k + r + 1) (3k + 3r + 1)ak k = 0, 1, 2, . . . (5)

De la ecuación r (3r − 2) = 0 (ecuación indicial), tenemos que r1 = 2

3y r2 = 0. Al sustituir en (5) los

dos valores de r resultan dos relaciones de recurrencia diferentes

ak+1 =1

(3k + 5) (k + 1)ak ak+1 =

1

(k + 1) (3k + 1)ak

Iterando en ambas relaciones obtenemos

a1 =1

5 · 1a0 a1 =1

1 · 1a0

a2 =1

8 · 2a1 =1

2!5 · 8a0 a2 =1

2 · 4a1 =1

2!1 · 4a0

a3 =1

11 · 3a2 =1

3!5 · 8 · 11a0 a3 =1

3 · 7a1 =1

3!1 · 4 · 7a0

a4 =1

14 · 4a3 =1

4!5 · 8 · 11 · 14a0 a4 =1

4 · 10a1 =1

4!1 · 4 · 7 · 10a0

......

an =1

n!5 · 8 · 11 · · · (3n+ 2)a0 an =1

n!1 · 4 · 7 · · · (3n− 2)a0

Conseguimos así dos soluciones en serie

y1 (x) = a0x2/3

∞Pn=0

1

n!5 · 8 · 11 · · · (3n+ 2)xn

y2 (x) = a0x0∞Pn=0

1

n!1 · 4 · 7 · · · (3n− 2)xn

Se puede comprobar que el radio de convergencia de estas series es R = ∞. Además se puede ver queninguna es un múltiplo constante de la otra y por lo tanto, y1 (x) y y2 (x) son soluciones linealmenteindependientes. Luego,

y (x) = C1y1 (x) + C2y2 (x)

= C1

"x2/3

∞Xn=0

1

n!5 · 8 · 11 · · · (3n+ 2)xn

#+ C2

"x0∞Xn=0

1

n!1 · 4 · 7 · · · (3n− 2)xn

#


representa la solución general de la ecuación diferencial en cualquier intervalo que no contenga al origen.

En el caso en el que r1 = r2 sólo puede haber una solución en serie de Frobenius. Si r1−r2 es un enteropositivo, puede existir o no una segunda solución en serie de Frobenius correspondiente a la raíz menorr2. Los resultados correspondientes a la obtención de una segunda solución linealmente independiente enestas dos situaciones particulares los enunciamos en el siguiente teorema.

Teorema 4.3 Sea x = 0 un punto singular regular de la ecuación y00 + p (x) y0 + q (x) y = 0 y sean r1 yr2 las raíces, con r1 ≥ r2, de la ecuación indicial asociada. Entonces:

(a) Si r1 = r2, existen dos soluciones linealmente independientes para x > 0 de la forma

y1(x) =∞Xn=0

anxn+r1 a0 6= 0

y2(x) = y1(x) lnx+∞Xn=1

bnxn+r1

(b) Si r1 − r2 es un entero positivo, existen dos soluciones linealmente independientes para x > 0 de laforma

y1(x) =∞Xn=0

anxn+r1 a0 6= 0

y2(x) = Cy1(x) lnx+∞Xn=0

bnxn+r2 b0 6= 0

donde C es una constante que puede ser cero.

En el caso (b) del teorema b0 6= 0, pero C puede ser cero o no; de modo que el término logarítmicopuede estar presente o no en la segunda solución. Los coeficientes de estas series (y la constante C)pueden determinarse por sustitución directa de las series en la ecuación diferencial.

Observación: Puede ocurrir que al intentar encontrar la solución en serie de una ecuación diferencialde la forma (3), en torno a un punto singular regular, las raíces de la ecuación indicial resulten sernúmeros complejos. Cuando r1 y r2 son complejos, la suposición r1 > r2 carece de significado y debe serreemplazada por Re (r1) > Re (r2) , y, en este caso las soluciones serán complejas. Esta dificultad puedeser superada mediante el principio de superposición. Puesto que una combinación de soluciones tambiénes solución de la ecuación diferencial, podríamos formar combinaciones adecuadas de y1(x) y y2(x) paraobtener soluciones reales.

Por último, si x = 0 es un punto singular irregular, debe hacerse notar que puede ser posible no

encontrar ninguna solución de la forma y(x) =∞Pn=0

anxn+r.

Tema 6.- ESTABILIDAD EN SISTEMAS DE ECUACIONESDIFERENCIALESAmpliación de Matemáticas.



2 Sistemas autómonos. Plano de fases 2

3 Clasificación de los puntos de equilibrio en sistemas lineales 5

4 Estabilidad mediante linealización 12

5 Método directo de Liapunov 17

1 IntroducciónHasta ahora, en el estudio de las ecuaciones diferenciales, nos hemos centrado en el problema de ob-tener soluciones, exponiendo algunos métodos de resolución de ciertos tipos de ecuaciones y sistemasdiferenciales.

En este tema vamos a dar otro enfoque al estudio de las ecuaciones y sistemas diferenciales, planteán-donos ahora el obtener información cualitativa sobre el comportamiento de las soluciones. Este nuevoenfoque tiene un interés obvio debido a dos razones fundamentales: muchas ecuaciones diferenciales nolas sabemos resolver e incluso, aunque se pudieran calcular sus soluciones, a veces no es necesario de-terminarlas explícitamente pues sólo se pretende conocer el comportamiento de las mismas (y puede sercostosa la obtención de dichas soluciones para el estudio que se quiere realizar).

Vamos a ver un ejemplo en que se manifiestan estas ideas:Consideremos que x1(t) y x2(t) representan las poblaciones, a lo largo del tiempo, de dos especies quecompiten entre sí por el alimento y el espacio vital limitados en su microcosmos. Supongamos que lastasas de crecimiento de las poblaciones, x1(t) y x2(t), están gobernadas por un sistema de ecuacionesdiferenciales

X0(t) = f(t,X(t)) donde X(t) =µx1(t)x2(t)

¶En la mayoría de los casos este sistema será de tal forma que no sabremos calcular sus soluciones,

esto es, no podremos obtener x1(t) y x2(t), que nos dirían el número de individuos de cada especie enun tiempo t. Sin embargo, hay algunas propiedades de tipo cualitativo, que son interesantes y a lasque con frecuencia pueden darse respuestas satisfactorias sin necesidad de determinar explícitamente lassoluciones. Por ejemplo, consideremos las siguientes cuestiones:

1. ¿Hay valores para los cuales ambas especies coexisten en un regimen permanente? Es decir, ¿existennúmeros α,β tales que x1(t) = α y x2(t) = β son soluciones del sistema X0(t) = f(t,X(t))? Si talesvalores existen se les llama valores (soluciones) de equilibrio o puntos críticos.

2. Supongamos que las dos especies coexisten en equilibrio, e introducimos en un momento t, algunosmiembros de una de las especies presentes en el microcosmos donde conviven. ¿Permanecerán las

1

Tema 6. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.2

poblaciones cerca de los valores de equilibrio para todo tiempo futuro?, es decir, si φ(t) es unasolución de equilibrio del sistema X0(t) = f(t,X(t)), y ψ(t) es otra solución tal que φ(t0) estápróximo a ψ(t0), ¿se verificará que ψ(t)→ φ(t) cuando t→ +∞?.

3. Si conocemos el número de individuos de cada especie en un tiempo t0, ¿Cuál será la evolución delas especies cuando transcurre el tiempo? Si no tienden a valores de equilibrio, ¿triunfará una delas especies?

Veremos, en este tema, que para responder a estas cuestiones no necesitamos resolver el sistemaX0(t) = f(t,X(t)). Para ello, empezaremos en la siguiente sección definiendo los principales conceptos.

2 Sistemas autómonos. Plano de fasesUn sistema autónomo plano es un sistema de dos ecuaciones diferenciales de la forma⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

dx

dt= F (x, y)

dy

dt= G(x, y)

(1)

donde supondremos que F yG son funciones continuas y con derivadas parciales de primer orden continuasen todo el plano. En este caso, las funciones F y G se dicen de clase C1 en todo R2 (F,G ∈ R2). Estascondiciones sobre F y G garantizan la existencia y unicidad de solución, definida para todo t ∈ R, delproblema de valor inicial ½

x0 = F (x, y) x(t0) = x0y0 = G(x, y) y(t0) = y0

para cualquier t0 ∈ R y (x0, y0) ∈ R2.El sistema se denomina autónomo porque la variable independiente t no aparece explícitamente en

los segundos miembros de las ecuaciones dada.

Recordemos también que, si tenemos una ecuación diferencial de segundo orden, en este caso autóno-ma,

d2x

dt2= f

µx,dx

dt

¶

podemos convertirla en un sistema autónomo introduciendo una nueva variable y =dx

dt, y nos queda½

x0 = yy0 = f (x, y)

Las variables dependientes x(t) e y (t) se llaman a veces variables de estado del sistema. El planoformado por los pares de valores (x, y) se suele llamar plano de las fases.

Cada solución del sistema (1) es un par de funciones x(t) e y(t) que definen una curva C ≡ [x(t), y(t)]en el plano XY o plano de fases. Obsérvese que cada punto de la curva C nos determina el estado delsistema en un instante t correspondiente a una condiciones iniciales determinadas, y que por ello es degran interés el conocimiento de este tipo de curvas, que se suelen llamar trayectorias u órbitas. En cadapunto (x, y) de una órbita, el vector (F (x, y) , G (x, y)) es un vector tangente a dicha órbita, por eso elconjunto de vectores (F (x, y) , G (x, y)) se llama campo de direcciones del sistema.

Debe observarse que una solución en la que x(t) = x0 e y(t) = y0 para todo t ∈ R define únicamenteun punto (x0, y0) en el plano de fases y verifica que F (x0, y0) = G (x0, y0) = 0. Se dice entonces (x0, y0)


es un punto crítico o un equilibrio del sistema. Cada punto del plano de las fases o bien es un puntocrítico o bien por él pasa una única trayectoria.

Las propiedades cualitativas de las órbitas nos permiten obtener información sobre el comportamientode las soluciones.

1. Cada trayectoria del plano de fases representa infinitas soluciones del sistema autónomo: esto es, si(x (t) , y (t)) es una solución del sistema (1), entonces para cada c ∈ R se tiene que (x (t) , y (t)) =(x(t+ c), y(t+ c)) es otra solución de (1).

2. Dos trayectorias carecen de puntos comunes: es decir, si (x (t) , y (t)) y (x (t) , y (t)) son solucionesdel sistema (1), tales que la primera solución en t0 vale (x0, y0) y la segunda en t1 toma los mismosvalores (x0, y0), entonces existe un valor c ∈ R tal que (x (t) , y (t)) = (x(t+ c), y(t+ c)).

3. Las trayectorias cerradas corresponden a soluciones periódicas: si (x (t) , y (t)) es una solucióndel sistema (1) que en dos instantes t0 y t0 + T toma el mismo valor, entonces (x (t) , y (t)) =(x(t+ T ), y(t+ T )) para todo t, es decir (x (t) , y (t)) es periódica.

Muchas veces es posible obtener las trayectorias descritas por las soluciones de un sistema autónomo,sin necesidad de obtener explícitamente dichas soluciones. Supongamos que (x (t) , y (t)) es una solucióndel sistema (1) que no permanece constante en el tiempo (esto es, no se trata de una solución de equilibrio

o punto crítico), y la derivadadx

dtes distinta de cero en t = t1, entonces en un entorno del punto x1 = x(t1)

se verifica que

dy

dx=dy

dt· dtdx=G(x, y)

F (x, y).

Por tanto, la trayectoria de esa solución verifica la ecuación diferencial de primer ordendy

dx=G(x, y)

F (x, y).

Caso de ser la derivadadx

dtnula para todo t, se tendrá que verificar que

dy

dtno siempre sea nula, por lo que

la trayectoria de esa solución verifica, análogamente, la ecuación diferencialdx

dy=F (x, y)

G(x, y). En cualquier

caso, las trayectorias se podrán determinar resolviendo una ecuación diferencial de primer orden.

Veamos algunos ejemplos de determinación de trayectorias y puntos críticos.

Ejemplo 2.1 Considérese el sistema autónomo½x0 = 2xyy0 = y2 − x2

Su único punto crítico es el punto (0, 0). Las demás trayectorias se pueden obtener resolviendo la ecuaciónhomogénea

dy

dx=y2 − x22xy

y comprobando que las trayectorias son todas las circunferencias de centro (a, 0) y radio |a|, excluyendode ellas el punto (0, 0).

Ejemplo 2.2 Los puntos de equilibrio del sistema½x0 = 1− yy0 = x3 + y

son los puntos (x, y) que verifican 1− y = 0, x3 + y = 0. Por tanto, existe un único punto crítico quees (−1, 1). Es decir, (x(t), y(t)) = (−1, 1) es la única solución que permanece constante en el tiempo.


Ejemplo 2.3 Los puntos de equilibrio del sistema½x0 = (x− 1)(y − 1)y0 = (x+ 1)(y + 1)

son los puntos (1,−1) y (−1, 1) ya que son los únicos que verifican½(x− 1)(y − 1) = 0,(x+ 1)(y + 1) = 0.

Ejemplo 2.4 Los puntos de equilibrio del sistema diferencial½x0 = x(y − 1)y0 = x(y + 1)

son los puntos (x, y) que verifican el sistema½x(y − 1) = 0,x(y + 1) = 0.

Por tanto, hay infinitos puntos críticos, todos los puntos de la recta x = 0.

Ejemplo 2.5 Consideremos ahora un ejemplo físico: el péndulo matemático. La ecuación del movimientodel péndulo viene dada por

d2θ

dt2+g

lsen θ = 0

siendo l la longitud de la varilla del péndulo y θ el ángulo que forma la varilla con la vertical.El sistema diferencial de primer orden equivalente a la ecuación anterior es, llamando x1 = θ y

x2 =dθ

dt, el siguiente: ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

dx1dt

= x2

dx2dt

= −glsen x1

Este sistema tiene infinitas soluciones de equilibrio. Los puntos críticos son todos los de la forma (kπ, 0)con k ∈ Z.Los puntos (0, 0) y (π, 0) son puntos críticos. El primero de ellos tiene x1 = θ = 0, x2 =

dθ

dt= 0,

por tanto, estamos en la siguiente situación: no hay desplazamiento de la vertical, y la velocidad es

nula. El segundo punto crítico tiene x1 = θ = π, x2 =dθ

dt= 0, por tanto, estamos en la siguiente

situación: el ángulo de desplazamiento es π, y la velocidad es nula. En cualquiera de estas dos situacionesel péndulo continuará así indefinidamente. Sin embargo, estos dos puntos de equilibrio son diferentes.Cuando nos encontramos en la situación de equilibrio (0,0), ante cualquier pequeño cambio de la situación(cambio de posición o de velocidad), el sistema presentará pequeñas oscilaciones. Sin embargo, cuandonos encontramos en la situación de equilibrio (π, 0), estos pequeños cambios harán que el sistema presenteuna notable desviación.En estas situaciones diremos que el punto (0, 0) es estable, y el punto (π, 0) inestable (a continuación

definiremos formalmente el concepto de estabilidad)

Supondremos en lo que sigue que los puntos críticos de los sistemas autónomos que consideremosestán aislados, esto es, existe un entorno del punto crítico donde no hay otro punto crítico. Además,supondremos que el punto crítico aislado a estudiar es el (0, 0), lo cual no supone ningún tipo de restricción


pues de no ser así bastará hacer un cambio de coordenadas adecuado: Si (x0, y0) es un punto de equilibriodel sistema (1), el cambio de variable

X = x− x0, Y = y − y0 (2)

transforma dicho sistema en ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩dX

dt= F (X + x0, Y + y0)

dY

dt= G (X + x0, Y + y0)

(3)

y (0, 0) es un punto de equilibrio de (3).

En estas condiciones introducimos la noción de estabilidad del punto crítico.

Definición 2.1 i) Se dice que el punto crítico (0,0) del sistema (1) es estable si para todo númeroR > 0, existe algún r > 0, r ≤ R, tal que cada trayectoria que está dentro del círculo x2 + y2 = r2en algún momento t = t0, permanezca dentro del círculo x2 + y2 = R2 para todos los t > t0: estoes, si una trayectoria está cerca del punto de equilibrio, se mantendrá cerca a lo largo del tiempo.

ii) Se dice que el punto crítico (0,0) del sistema (1) es asintóticamente estable, cuando es establey existe algún número r0 > 0, tal que toda trayectoria que está dentro del círculo x2 + y2 = r20 enalgún momento t = t0, se aproxime al origen cuando t→ +∞. La expresión “se aproxime al origencuando t → +∞” se deberá entender de la siguiente forma: si C ≡ (x(t), y(t)) es una trayectoria,deberá verificarse que x(t)→ 0, e y(t)→ 0 cuando t→ +∞; es decir, las trayectorias cercanas nosólo se mantienen cerca, sino que se aproximan al punto de equilibrio a lo largo del tiempo.

iii) Se dice que el punto crítico (0,0) del sistema (1) es inestable cuando no es estable: las trayectoriasque empiezan cerca del punto de equilibrio se alejan de este punto a lo largo del tiempo.

En lo que sigue nos centraremos en el estudio de las dos cuestiones siguientes, las cuales constituyenuna parte esencial del plano de fases del sistema:

— La disposición de las trayectorias cerca del punto crítico (0,0).

— La estabilidad o inestabilidad del punto crítico (0,0).

3 Clasificación de los puntos de equilibrio en sistemas linealesVeremos seguidamente que, en el caso de los sistemas autónomos lineales, la naturaleza y estabilidad delpunto crítico queda caracterizada por los autovalores de la matriz del sistema. Consideremos un sistemaautónomo lineal ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

dx

dt= a1x+ b1y

dy

dt= a2x+ b2y

(4)

para el que (0, 0) es su único punto crítico. Esto equivale a que la matriz A =

µa1 b1a2 b2

¶del sistema

tenga determinante no nulo, y por ello que los autovalores λ1,λ2 sean diferentes de cero. En funcióndel comportamiento de las trayectorias en relación con el punto crítico aislado (0, 0), el punto crítico sedenominará: nodo, punto de silla, centro, o foco.

El punto crítico es un nodo.


Este caso se presenta cuando los autovalores λ1,λ2 son reales y del mismo signo. El diagrama de fasestiene las siguientes características:a) Todas las trayectorias se acercan al origen, lo cual se corresponde al caso de ser los autovaloresnegativos.b) Todas las trayectorias se alejan del origen, lo cual se corresponde al caso de ser los autovalores positivos.Por esta razón, en el caso que el punto crítico sea un nodo, éste será o bien asintóticamente estable

(autovalores negativos), o bien inestable (autovalores positivos).

Ejemplo 3.1 Consideremos el sistema autónomo lineal½x0 = xy0 = −x+ 2y

Sus soluciones son x (t) = C1et, y (t) = C1et + C2e

2t con C1, C2 ∈ R. Analicemos las trayectorias:Cuando C1 = 0 y C2 6= 0, se tiene x = 0, y = C2e

2t. Estas soluciones determinan dos únicastrayectorias. Si C2 > 0, la trayectoria es la parte positiva del eje OY, y si C2 < 0, la trayectoria esla parte negativa del eje OY . En ambos casos las trayectorias se recorren alejándose del punto críticocuando t→ +∞.Cuando C2 = 0 y C1 6= 0, tenemos x = C1e

t, y = C1et. Estas soluciones determinan dos nuevas

trayectorias. Una trayectoria es la semirrecta bisectriz del primer cuadrante, que corresponde al casoC1 > 0. La otra es la semirrecta bisectriz del tercer cuadrante, que corresponde al caso C1 < 0. En amboscasos, las trayectorias se recorren alejándose del punto crítico cuando t→ +∞.Si C1 y C2 son distintos de cero, entonces tenemos, eliminando el parámetro t, que las trayectorias

verifican la ecuación y = x+C2C21x2. En realidad, dicha ecuación corresponde a dos trayectorias (véase en

la Figura 1). Es fácil comprobar que en los puntos de dichas trayectorias, a medida que nos aproximamosal (0, 0), la pendiente de la recta tangente se va aproximando a 1.El punto crítico (0,0) de este sistema es un nodo y el diagrama de las fases se muestra en la Figura

1.

Figura~1: Nodo.

Obsérvese que los autovalores del sistema lineal considerado son reales, distintos y del mismo signo(positivo). En este caso, toda trayectoria sale del punto (0,0) cuando t → +∞, hay cuatro trayectorias


en forma de semirrecta que determinan dos rectas que pasan por el origen, y el resto de las trayectoriasse asemejan a porciones de parábolas. Es fácil entender que si los autovalores hubieran sido negativos,toda trayectoria entra al punto (0,0) cuando t→ +∞.

Cuando un sistema lineal tiene autovalores reales, del mismo signo, pero además iguales (λ el únicoautovalor de la matriz del sistema), las configuraciones de las trayectorias son algo diferentes, aunqueguardan cierta relación con las anteriores (véanse las Figuras 2 y 3). En este caso el punto crítico aisladodel sistema se sigue denominando nodo (aunque se suele llamar nodo impropio).

Figura~2: Nodo impropio con dim(V (λ)) = 2.

Figura~3: Nodo impropio con dim(V (λ)) = 1.


El punto crítico es un punto de silla.Este caso se presenta cuando los autovalores λ1,λ2 son reales y de distinto signo. Cuando t → +∞,

nos encontramos con dos trayectorias rectas que se acercan al origen y otras dos trayectorias rectas quese separan del origen. Esto nos permite concluir, que todo punto de silla es inestable.

Ejemplo 3.2 Consideremos el sistema lineal½x0 = xy0 = −3y

Sus soluciones son x(t) = C1et, y(t) = C2e−3t. Analicemos las trayectorias:Cuando C1 = 0 y C2 6= 0, se tiene x(t) = 0, y(t) = C2e

−3t. Todas estas soluciones determinan dosúnicas trayectorias que descansan sobre la recta x = 0. Cuando C2 > 0, la trayectoria es la semirrectax = 0 con y > 0. Cuando C2 < 0, la trayectoria es la semirrecta x = 0 con y < 0. Cuando t → +∞,ambas trayectorias “entran” en el origen.Cuando C1 y C2 son ambos no nulos, la trayectoria correspondiente a la solución x(t) = C1et, y(t) =

C2e−3t descansa sobre la curva de ecuación y =

C2

C−31x−3. Este tipo de curvas semejan hipérbolas, y

constan de dos ramas situadas en los cuadrantes primero y tercero cuandoC2

C−31> 0, o bien en los

cuadrantes segundo y cuarto cuandoC2

C−31< 0. Cada una de dichas ramas constituye una trayectoria.

Este punto crítico aislado (0, 0) es un punto de silla. Hay cuatro trayectorias en forma de semirrecta,que determinan dos rectas que pasan por el origen. Cuando t→ +∞, dos de esas trayectorias se recorrenhacia el origen; las otras dos,“salen” del origen. Entre estas semirrectas hay cuatro regiones, cada unade las cuales contiene trayectorias que se asemejan a ramas de hipérbolas. Cuando t → +∞, estastrayectorias no tienden hacia el punto crítico, sino que son asintóticas a algunas de las semirrectas queentran (véase la Figura 4).

Figura~4: Punto de silla.

El punto crítico es un centro.


Figura~5: Centro.

Este caso se presenta cuando los autovalores son imaginarios puros. Las trayectorias son curvascerradas que rodean al origen, que en general tienen forma de elipses, de modo que ninguna trayectoriatiende a él cuando t → +∞ o t → −∞. Por ello, el punto crítico es estable, pero no asintóticamenteestable.

Ejemplo 3.3 Consideremos el sistema autónomo lineal½x0 = −yy0 = x

Sus soluciones son x(t) = C1 cos t+ C2 sen t, y(t) = C sen t− C2 cos t.Las trayectorias las determinamos en este caso resolviendo la ecuación diferencial

ydy = −xdy

y así obtenemos que las trayectorias son todas las circunferencias centradas en el origen (véase la Figura5).

En este caso el punto crítico aislado (0, 0) se denominado centro, y las trayectorias se recorren, parat > 0, en sentido contrario al de las agujas del reloj.

El punto crítico es una espiral o foco.Este caso se presenta cuando los autovalores son complejos conjugados y tienen parte real no nula.

Las trayectorias son curvas en forma de espiral que, conforme t→ +∞, pueden presentar dos situaciones:a) Todas se acercan al origen, caso de ser la parte real de los autovalores negativa.b) Todas se separan del origen, caso de ser la parte real de los autovalores positiva.Así, pues, un punto crítico foco es o bien asintóticamente estable (autovalores con parte real negativa),

o bien es inestable (autovalores con parte real positiva).

Ejemplo 3.4 Consideremos el sistema autónomo lineal½x0 = 2x− yy0 = x+ 2y


Las soluciones son x(t) = e2t[C1 cos t+ C2sen t], y(t) = e2t[C1sen t− C2 cos t].Determinamos las trayectorias resolviendo la ecuación diferencial

dy

dx=x+ 2y

2x− yque es una ecuación homogénea cuyas soluciones son curvas en el plano de fases. Para ver cuál es laforma de estas órbitas hacemos un cambio a coordenadas polares en la solución obtenida resultando

r = Ce2θ

y aquí podemos reconocer a una familia de espirales logarítmicas que se muestran en la Figura 6.

Figura~6: Foco.

Obsérvese que los autovalores de este sistema son complejos conjugados a ± ib, pero no imaginariospuros (b 6= 0). En esta situación, el punto crítico se denominará foco o espiral. En este caso, lastrayectorias son espirales que se enrollan a su alrededor. Por otra parte, todas se comportan de la mismaforma: tienden al (0,0) cuando t→ +∞, caso de ser a < 0, o bien salen del (0,0), cuando a > 0.

El siguiente resultado resume los diferentes comportamientos de las trayectorias desde el punto devista de la estabilidad.

Teorema 3.1 El punto crítico (0,0) del sistema lineal (4) es estable si y sólo los autovalores tienen partereal no positiva; si existe un autovalor con parte real positiva, entonces el punto crítico (0,0) del sistemalineal (4) es inestable; el punto crítico (0,0) del sistema lineal (4) es asintóticamente estable si y sólo silos autovalores tienen parte real negativa.

Hemos visto que la naturaleza y la estabilidad del punto crítico de un sistema autónomo lineal sepueden describir atendiendo a sus autovalores. Pasaremos ahora a ver que, con la misma facilidad, estascaracterísticas se pueden describir en términos de la traza T = traza(A) y del determinante D = det(A)de la matriz A de coeficientes del sistema teniendo en cuenta que el polinomio característico de A vienedado por

pA(λ) = λ2 − Tλ+D.


En efecto, si λ1,λ2 son los autovalores de la matriz del sistema , T = λ1 + λ2 y D = λ1λ2, y además setiene

λ1,λ2 =T ±√T 2 − 4D

2

siendo D 6= 0, ya que el cero no puede ser autovalor.Ahora, atendiendo a los diferentes valores de T y D tenemos:

1. Si T 2 − 4D < 0, entonces los autovalores λ1,λ2 son complejos conjugados. Además, como tienenparte real igual a T/2, resulta:

- son imaginarios puros si y sólo si T = 0 (centro y estabilidad)

- tienen parte real negativa cuando T < 0 (foco y estabilidad asintótica)

- tienen parte real positiva cuando T > 0 (foco e inestabilidad)

Por ello, al considerar el plano TD, podremos asegurar que por encima de la parábola T 2− 4D = 0se tiene (véanse las Figuras):

- En el eje OD se presentan los centros y hay estabilidad.

- A la izquierda del eje OD se presentan los focos y hay estabilidad asintótica.

- A la derecha del eje OD también se presentan focos, pero hay inestabilidad.

2. Si D < 0, entonces se tiene T 2 − 4D > T 2. Por ello los autovalores son reales y de distinto signo.Se presentan puntos de silla e inestabilidad. Por ello, al considerar el plano TD, por debajo del ejeOT se presentan puntos de silla e inestabilidad (véanse las Figuras).

3. Si D > 0 y T 2− 4D ≥ 0, entonces los autovalores son reales y tienen el mismo signo que T . De ahíque:

a) Si T < 0, se tenga:

- Cuando T 2 − 4D = 0, entonces los autovalores son iguales y negativos (nodo impropio,estabilidad asintótica).

- Cuando T 2 − 4D > 0, entonces los autovalores son reales, distintos y negativos (nodo,estabilidad asintótica)

b) Si T > 0, se tenga:

- Cuando T 2 − 4D = 0, entonces los autovalores son iguales y positivos (nodo impropio,inestabilidad)

- Cuando T 2 − 4D > 0, entonces los autovalores son reales, distintos y positivos (nodo,inestabilidad)

Estos casos nos aseguran que en la parte izquierda de la parábola T 2−4D = 0 nos encontramos nodosy estabilidad asintótica. En la parte derecha de la dicha parábola también se presentan nodos, pero hayinestabilidad. Por otro lado, por debajo de la parábola T 2−4D = 0, y por encima del eje OT , se tiene: sepresentan nodos y estabilidad asintótica, en la región de la izquierda; se presentan nodos e inestabilidaden la región de la derecha. Véanse las Figuras.


ESTA

BIL

IDA

DINESTABILIDAD

INESTABILIDADESTABILIDADASINTÓTICA

T

D

ESTA

BIL

IDA

DINESTABILIDAD

INESTABILIDADESTABILIDADASINTÓTICA

T

D

Estabilidad del origen para el sistema lineal

NODOSCE

NTR

OS

PUNTOS DE SILLA

FOCOS FOCOS

NODOS NODOS IMPROPIOSNODOS IMPROPIOS

T

D

NODOSCE

NTR

OS

PUNTOS DE SILLA

FOCOS FOCOS

NODOS NODOS IMPROPIOSNODOS IMPROPIOS

T

D

Naturaleza del origen para el sistema lineal

4 Estabilidad mediante linealizaciónConsideremos el sistema autónomo (1), con un punto crítico en (x0, y0), tal que las funciones F (x, y)y G(x, y) sean de clase C1

¡R2¢. Entonces, aproximando z = F (x, y) y z = G(x, y) (cerca del punto

(x0, y0)) por sus respectivos planos tangentes en dicho punto,

F (x, y) ≈ ∂F

∂x(x0, y0) · (x− x0) + ∂F

∂y(x0, y0) · (y − y0)

G(x, y) ≈ ∂G

∂x(x0, y0) · (x− x0) + ∂G

∂y(x0, y0) · (y − y0)

podemos escribir µF (x, y)G(x, y)

¶≈ A

µx− x0y − y0

¶si (x, y) ' (x0, y0),


donde A es la matriz jacobiana del campo (F (x, y), G(x, y))t en el punto (x0, y0), es decir,

A =

⎛⎜⎜⎜⎝∂F

∂x(x0, y0)

∂F

∂y(x0, y0)

∂G

∂x(x0, y0)

∂G

∂y(x0, y0)

⎞⎟⎟⎟⎠ .De esta manera, podemos pensar que el sistema (1) se encuentra próximo al sistema linealµ

xy

¶= A

µx− x0y − y0

¶(5)

cuando (x, y) está cerca de (x0, y0), y por consiguiente, es natural esperar que el comportamiento de lastrayectorias del sistema (1) cerca del punto crítico (x0, y0) sea similar al de las trayectorias del sistemalinealizado (5).El proceso descrito con anterioridad se denomina linalización y nótese que el cambio de variable (2)

sobre el sistema (5) transforma éste en el sistema linealµxy

¶= A

µxy

¶(6)

que tiene al punto (0, 0) como punto de equilibrio.A continuación veremos que, en general, el punto de equilibrio (x0, y0) del sistema autónomo (1)

hereda la estabilidad, y en algunos casos la naturaleza, del punto de equilibrio (x0, y0) para el sistemalineal (5), es decir, la estabilidad del (0, 0) para el sistema lineal (6).En primer lugar caracterizamos la propiedad de punto crítico aislado para el sistema (1) a partir de

esta misma propiedad para el punto crítico (0, 0) del sistema lineal (6).

Proposición 4.1 Si el punto crítico (0, 0) del sistema lineal (6) es aislado (es decir, si det (A) 6= 0),entonces el punto crítico (x0, y0) del sistema (1) es aislado.

Teorema 4.1 Teorema de Linealización de Liapunov y Poincaré.

1. El punto crítico (x0, y0) del sistema (1 )es asintóticamente estable si y sólo si todos los autovaloresde la matriz A poseen parte real negativa (esto es, si el punto crítico (0, 0) del sistema (6) esasintóticamente estable).

2. El punto crítico (x0, y0) del sistema (1) es inestable si y sólo si la matriz A del sistema posee unautovalor con parte real positiva (es decir, el punto crítico (0, 0) es inestable para el sistema (6).

Más aún, si los autovalores de A son distintos entre sí y distintos de cero se puede decir lo siguiente:

1. Si λ1 < λ2 < 0, entonces (x0, y0) es un nodo asintóticamente estable.

2. Si λ1 > λ2 > 0, entonces (x0, y0) es un nodo inestable.

3. Si λ1 < 0 < λ2, entonces (x0, y0) es un punto de silla.

4. Si λ1 no es real y Re(λ1) < 0, entonces (x0, y0) es un foco asintóticamente estable.

5. Si λ1 no es real y Re(λ1) > 0, entonces (x0, y0) es un foco inestable.

Cuando el punto (0, 0) del sistema lineal (6) es estable, pero no asintóticamente estable, es decir,cuando la matriz jacobiana A posee un par de autovalores complejos conjugados con parte real nula, ocuando det(A) = 0 y A no posee un autovalor real positivo, el proceso de linealización no proporciona


información sobre la estabilidad del punto crítico (x0, y0) para el sistema (1). En efecto, consideremos elsistema ½

x0 = −y + µ ¡x2 + y2¢xy0 = x+ µ

¡x2 + y2

¢y

donde µ ∈ R. (7)

El punto (0, 0) es el único punto de equilibrio para el sistema (7) y el sistema linealizado en dicho puntoes ½

x0 = −yy0 = x (8)

de donde, (0, 0) es un punto de equilibrio estable para el sistema (8).Si estudiamos el sistema (7), introduciendo el cambio a coordenadas polares

x = r cos θ, y = r sen θ

tenemos

r2 = x2 + y2, θ = arctgy

x

por lo que

r0r = xx0 + yy0, θ0 =y0x− x0y

r2

y el sistema (7) se tranforma en ½r0 = µr3

θ0 = 1

Por consiguiente:

• Si µ < 0, entonces r es decreciente y tiende a cero cuando t → +∞, por lo que el punto (0, 0) esasintóticamente estable para el sistema (7).

• Si µ > 0, entonces r es creciente y tiende a +∞ cuando t → +∞. Por tanto, el punto (0, 0) es unpunto de equilibrio inestable para el sistema (7).

• Por último, si µ = 0, entonces (0, 0) es estable (centro) para el sistema (7), ya que este sistemacoincide con el sistema lineal (8).

El plano de fases del sistema (7) para los distintos valores de µ puede contemplarse en las Figuras9—11.

Ejemplo 4.1 Determinar la estabilidad del punto crítico (0, 0) para el sistema½x0 = −x− y − 3x2yy0 = −2x− 4y + y senx (9)

Solución: Puesto que el sistema linealizado correspondiente es½x0 = −x− yy0 = −2x− 4y (10)

entonces la traza y el determinante de la matriz de coeficientes vienen dados por T = −5 y D = 2. Estoasegura que el origen para el sistema linealizado es asintóticamente estable (T < 0,D > 0). Por tanto,podemos aplicar el Teorema 4.1, y concluir que el punto (0, 0) es, para el sistema no lineal, asintóticamenteestable. Los diagramas de fase para ambos sistemas se muestran en las Figuras 12 y 13.


Figura~7: Plano de fases del sistema (7) para µ < 0.

Figura~8: Plano de fases del sistema (7) para µ > 0.

Figura~9: Plano de fases del sistema (7) para µ = 0.


Figura~10: Retrato de fases del sistema no lineal (9).

Figura~11: Retrato de fases del sistema linealizado (10).


5 Método directo de LiapunovPara el estudio de la estabilidad de un punto crítico aislado de un sistema autónomo, se cuenta con unmétodo que se conoce como método directo de Liapunov, y que pasamos a exponer seguidamente. En loque sigue supondremos, sin pérdida de generalidad, que (0, 0) es el punto crítico aislado del sistema (1).En primer lugar necesitamos recordar algunos conceptos e introducir otros nuevos.

Definición 5.1 Se dice que la función real de dos variables E(x, y) es:

a) definida positiva cuando E(0, 0) = 0 y E(x, y) > 0 ∀(x, y) 6= (0, 0).Obsérvese que E(x, y) = ax2 + by2 con a > 0, b > 0 es definida positiva.

b) semidefinida positiva cuando E(0, 0) = 0 y E(x, y) ≥ 0 ∀(x, y) 6= (0, 0).Obsérvese que E(x, y) = ax2 con a > 0 y E(x, y) = by2 con b > 0, son semidefinidas positivas.

c) definida negativa cuando E(0, 0) = 0 y E(x, y) < 0 ∀(x, y) 6= (0, 0).Obsérvese que E(x, y) es definida negativa si, y sólo si, −E(x, y) es definida positiva.

d) semidefinida negativa cuando E(0, 0) = 0 y E(x, y) ≤ 0 ∀(x, y) 6= (0, 0).

Definición 5.2 Se dice que una función E(x, y), definida en alguna región que contiene al origen, con-tinua, y con derivadas parciales de primer orden continuas, es una función de Liapunov para el sistema(1) cuando verifica las dos condiciones siguientes:

a) E(x, y) es definida positiva.

b) La función E0(x, y) =∂E

∂x· F + ∂E

∂y·G es semidefinida negativa

Teorema 5.1 Para el sistema (1) se verifican las siguientes propiedades:

(A) Si existe una función de Liapunov E(x, y) para el sistema autónomo (1), entonces el punto crítico(0, 0) es estable. Además, si esa función verifica que

E0(x, y) =∂E

∂x· F + ∂E

∂y·G es definida negativa,

entonces el punto crítico (0, 0) es asintóticamente estable.

(B) Si existe una función E(x, y), con las siguientes propiedades:

(i) E(x, y) es continua y tiene derivadas parciales de primer orden en alguna región que contieneal origen.

(ii) E(0, 0) = 0, y cada círculo centrado en (0, 0) contiene al menos un punto en el que E(x, y) espositiva.

(iii)∂E

∂x· F + ∂E

∂y·G es definida positiva.

entonces el punto crítico (0,0) del sistema (1) es inestable.

Veamos en el siguiente ejemplo que, a veces, es posible determinar de manera relativamente sencillauna función de Liapunov.


Ejemplo 5.1 Demostremos, utilizando el método directo de Liapunov, que el punto crítico aislado delsiguiente sistema es asintóticamente estable½

x0 = −3x3 − yy0 = x5 − 2y3

Se comprueba fácilmente que dicho sistema tiene un único punto crítico que es el (0, 0). Nótese que lamatriz del sistema linealizado en (0, 0) es nula, por lo que el proceso de linealización no da información.Trataremos de buscar una función del tipo E(x, y) = ax2m + by2n con a > 0, b > 0, n,m números

naturales, que sea por tanto definida positiva, y tal que además verifique que la función∂E

∂x·F + ∂E

∂y·G

sea definida negativa. Puesto que

∂E

∂x· F + ∂E

∂y·G = 2ma x2m−1

¡−3x3 − y¢+ 2nby2n−1 ¡x5 − 2y3¢= − ¡6ma x2m+2 + 4nby2n+2¢+ ¡−2ma x2m−1y + 2nby2n−1x5¢

se habrá conseguido una función de este tipo si es posible que

2m− 1 = 5 2n− 1 = 1 2ma = 2nb con a > 0 y b > 0

lo que determina que m = 3, n = 1, y por ejemplo, tomemos a = 1 y b = 3.Así pues, la función de Liapunov E(x, y) = x6 + 3y2 nos permite asegurar que el punto crítico (0,0)

de este sistema es asintóticamente estable.

La idea de considerar una función de Liapunov para el estudio de la estabilidad de un punto críticosurge, de manera natural, cuando se piensa que “si la energía total de un sistema físico tiene un mínimolocal en cierto punto de equilibrio (crítico), entonces ese punto será estable”. Esta idea intuitiva la utilizóLiapunov para considerar el tipo de funciones que hemos descrito en el estudio de la estabilidad. Lasfunciones de Liapunov generalizan el concepto de energía total de un sistema físico.El siguiente ejemplo pone de manifiesto que la energía total de un cierto sistema físico es una función

de Liapunov que nos permite detectar la estabilidad del punto de equilibrio del sistema.

Ejemplo 5.2 Considérese la ecuación del movimiento de una masa m sujeta a un resorte,

md2x

dt2+ c

dx

dt+ kx = 0

donde c ≥ 0 es una constante que representa el amortiguamiento que ejerce el medio en que se muevela masa, y k > 0 es la constante de recuperación del resorte. El sistema autónomo equivalente a dichaecuación es (

x0 = y

y0 = − kmx− c

my

y su único punto crítico es (0, 0).Las energías cinética y potencial de la masa son

Ec = my2/2 Ep =

Z x

0

kxdx = kx2/2

Así, la energía total del sistema es

E(x, y) = my2/2 + kx2/2

y es fácil comprobar que esta función E(x, y) es una función de Liapunov para el sistema. Cumple losrequisitos a) y b) de la definición, aunque la función del requisito b) es semidefinida negativa. Por tanto,dicha función sólo nos permite detectar la estabilidad del punto de equilibrio, aunque nosotros ya hemosvisto que cuando c > 0, dicho punto es asintóticamente estable.

Tema 7.- SERIES DE FOURIERAmpliación de Matemáticas.


Índice1. Series trigonométricas y series de Fourier. Coeficientes de Fourier 1

2. Series de Fourier de funciones pares y de funciones impares 2

3. Convergencia puntual de las series de Fourier 3

4. Series de cosenos y series de senos 3

5. Otras formas de expresión de las series de Fourier. Forma exponencial. 4

6. Espectro de líneas y síntesis de formas de onda 6

1. Series trigonométricas y series de Fourier. Coeficientes deFourier

Toda serie funcional que se pueda expresar en la forma

a02+∞Xn=1

µan cos

2πn

Tx+ bn sen

2πn

Tx

¶donde T ∈ R+, a0, a1, a2, . . . , b1, b2, . . . son constantes reales, se denomina serie trigonométrica y losan, bn son los coeficientes de la misma.

Dado un número real x0, observemos que si en la serie se sustituye la variable x por cualquier númerode la forma x0 + kT con k ∈ Z, la serie numérica obtenida es la misma cualquiera que sea k, puesto que:

an cos2πn

T(x0 + kT ) + bn sen

2πn

T(x0 + kT ) =

= an cos

µ2πn

Tx0 + 2knπ

¶+ bn sen

µ2πn

Tx0 + 2knπ

¶= an cos

2πn

Tx0 + bn sen

2πn

Tx0

Por esta razón, se puede afirmar que si la serie trigonométrica converge en el punto x0, entonces tambiénconverge en todo punto de la forma x0 + kT, y que su suma es la misma en cualquiera de dichos puntos.En consecuencia, si la serie trigonométrica converge, su suma será una función periódica, de período T .

Definición 1.1 Sea f una función integrable en [0, T ]. Se llaman coeficientes de Fourier de f a losnúmeros

an =2

T

Z T

0

f(x) cos2πn

Txdx n = 0, 1, 2, 3, . . .

bn =2

T

Z T

0

f(x) sen2πn

Txdx n = 1, 2, 3, . . .

1

Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 2

La serie trigonométrica que tiene estos coeficientes se denomina serie de Fourier de f en [0, T ].Cuando la función f es además periódica de período T , la serie citada se denomina simplemente serie deFourier de f .

Para construir la serie de Fourier de una función sólo hay que calcular sus coeficientes, y para ello, deacuerdo con la Definición 1, basta con que f sea integrable. Pero hasta ahora no se ha expuesto ningúnargumento que permita decidir nada acerca de la convergencia de esta serie, ni tampoco, si la suma eso no la función f . Es decir, una cosa es obtener la serie de Fourier de una función, y otra muy distintadeterminar su convergencia y eventualmente su suma. Dejaremos para más tarde estas últimas cuestiones.

Obsérvese que, en el caso de ser f una función T -periódica, los integrandos serían funciones de períodoT , y entonces, de acuerdo con la Proposición A.2 del Apéndice, es posible reemplazar el intervalo deintegración por cualquier otro intervalo de longitud T (como por ejemplo, el intervalo [−T/2, T/2]), loque en ciertas circunstancias puede facilitar el cálculo de los coeficientes de Fourier.

2. Series de Fourier de funciones pares y de funciones impares

En el cálculo de la serie de Fourier correspondiente a una función f , es posible evitar trabajo innecesarioal determinar los coeficientes de la serie cuando la función f considerada sea o bien una función par obien una función impar, como veremos a continuación:

Si f es una función integrable en [0, T ], y además periódica de período T , su serie de Fourier es

a02+∞Xn=1

µan cos

2πn

Tx+ bn sen

2πn

Tx

¶y sus coeficientes se obtienen empleando las fórmulas

an =2

T

Z T

0

f(x) cos2πn

Txdx n = 0, 1, 2, 3, . . .

bn =2

T

Z T

0

f(x) sen2πn

Txdx n = 1, 2, 3, . . .

que también se pueden expresar (considerando la periodicidad de f) en la forma

an =2

T

Z T/2

−T/2f(x) cos

2πn

Txdx n = 0, 1, 2, 3, . . .

bn =2

T

Z T/2

−T/2f(x) sen

2πn

Txdx n = 1, 2, 3, . . .

Así, se tiene que:

i) Cuando f es par, al calcular los coeficientes an las funciones a integrar son funciones pares, ya quetanto f como los cosenos lo son; sin embargo, al calcular los bn las funciones a integrar son impares,porque f es par y los senos impares, de ahí que de acuerdo con la Proposición A.3 del Apéndiceresulte

an =4

T

Z T/2

0

f(x) cos2πn

Txdx n = 0, 1, 2, 3, . . .

bn = 0 n = 1, 2, 3, . . .

y por tanto la serie de Fourier obtenida es una serie cosenoidal, es decir, es de la forma

a02+∞Xn=1

an cos2πn

Tx


ii) Cuando f es impar, al calcular los coeficientes an las funciones a integrar son funciones impares,ya que f es impar y los cosenos pares; sin embargo, al calcular los bn las funciones a integrar sonpares, porque tanto f como los senos son impares, de ahí que de acuerdo con la Proposición A.3del Apéndice resulte

an = 0 n = 0, 1, 2, 3, . . .

bn =4

T

Z T/2

0

f(x) sen2πn

Txdx n = 1, 2, 3, . . .

y por tanto la serie de Fourier obtenida es una serie senoidal, es decir, es de la forma

∞Xn=1

bn sen2πn

Tx.

3. Convergencia puntual de las series de Fourier

Siendo f una función integrable en [0, T ], y además periódica de período T , podemos hablar de laserie de Fourier de f en [0, T ]. Sin embargo, como hemos aclarado antes, no hemos dicho que la serieconverja hacia la función f , ni siquiera que sea convergente.

Un teorema importante sobre la convergencia puntual de la serie de Fourier de una función f , quecubre la mayoría de las situaciones en las que se encuentran las funciones a considerar en las aplicaciones,es el que exponemos después de la siguiente definición.

Definición 3.1 Se dice que una función f es monótona por tramos en un intervalo [a, b], si existe unapartición {a = x0 < x1 < . . . < xn = b} del intervalo (a, b)a

x0 x1 x2 xn−1 xn

b

de modo que la función f es monótona en cada subintervalo (xi−1, xi).

Teorema 3.1 Si la función f es acotada y monótona a tramos en el intervalo [0, T ], y periódica deperíodo T , entonces la serie de Fourier de f es convergente en cada punto x de R, y su suma es

1

2

£f¡x+¢+ f

¡x−¢¤

donde f(x+) y f(x−) denotan respectivamente los límites por la derecha y por la izquierda de f en x, esdecir

f(x+) = lımh→0+

f(x+ h) y f(x−) = lımh→0+

f(x− h).

4. Series de cosenos y series de senos

A veces en las aplicaciones, surge la necesidad de representar mediante una serie de Fourier unafunción dada, que sólo está definida sobre cierto intervalo acotado de la recta real.

Supongamos que la función f está definida en el intervalo [0, ], y que se desea representar por unaserie de Fourier.

Puesto que toda serie de Fourier, cuando converge, representa una función periódica, resolveremos elproblema si consideramos una nueva función periódica, que coincida con la función f en el intervalo [0, ],y hallamos su serie de Fourier. Así si la serie de Fourier de la función construida a partir de f , representaa dicha función, también representará a f en el intervalo [0, ] en el que está definida. Con esta idea, sepodrían adoptar distintas formas de proceder, como las tres que se sugieren a continuación.


i) Construir una nueva función f∗, periódica de período , tal que en el intervalo (0, ) coincida conla función f . La serie de Fourier de f∗ representará a la función f en el intervalo (0, ), si estamosen las condiciones del teorema de convergencia.

ii) Construir una nueva función fp, periódica, de período 2 , que en el intervalo [− , ] se defina como

fp(x) =

½f (x) si x ∈ [0, ]f (−x) si x ∈ [− , 0)

La función fp así definida es una función periódica, de período 2 , y además es par. Por ello fptiene asociada una serie de Fourier cosenoidal. Dicha serie, que se denomina serie de cosenos def , representará a la función f en el intervalo [0, ], si estamos en las condiciones del teorema deconvergencia.

iii) Construir una nueva función fi, periódica, de período 2 , que en el intervalo [− , ] se defina como

fi(x) =

½f (x) si x ∈ [0, )−f (−x) si x ∈ (− , 0)

La función fi así definida es una función periódica, de período 2 , y además es impar. Por ellofi tiene asociada una serie de Fourier senoidal. Dicha serie, que se denomina serie de senos def , representará a la función f en el intervalo [0, ], si estamos en las condiciones del teorema deconvergencia.

5. Otras formas de expresión de las series de Fourier. Formaexponencial.

En términos de los coeficientes an y bn, las series de Fourier adoptan la forma

a02+∞Xn=1

µan cos

2πn

Tx+ bn sen

2πn

Tx

¶pero a veces se utilizan otros coeficientes A0, An,ψn relacionados con éstos mediante las igualdades

A0 = a0an = An cosψnbn = An senψn

⎫⎬⎭ n = 1, 2, 3, . . .

siendo An ≥ 0 y 0 ≤ ψn < 2π, lo que permite escribir

an cos2πn

Tx+ bn sen

2πn

Tx = An cosψn cos

2πn

Tx+An senψn sen

2πn

Tx

= An cos

µ2πn

Tx− ψn

¶,

así que la serie quedaA02+∞Xn=1

An cos

µ2πn

Tx− ψn

¶.

Si ahora introducimos el parámetro ω mediante la igualdad

ω =2π

T


las series de Fourier se pueden escribir

a02+∞Xn=1

(an cosnωx+ bn sennωx) o bienA02+∞Xn=1

An cos (nωx− ψn)

Ahora, usando una terminología muy común en Física, llamaremos

an cosnωx+ bn sennωxAn cos (nωx− ψn)

¾armónico de orden n

An amplitud del armóniconωx− ψn fase del armónico

nω pulsación o frecuencia angular del armónicoψn constante de fase del armóniconω

2πfrecuencia del armónico

FORMA EXPONENCIAL DE LAS SERIES DE FOURIER

La forma trigonométrica de la serie de Fourier de una función f , periódica de período T , dada por

a02+∞Xn=1

µan cos

2πn

Tx+ bn sen

2πn

Tx

¶donde los coeficientes son los de la Definición 1, puede adoptar otra expresión a menudo más cómoda entérmino de funciones exponenciales complejas como mostraremos seguidamente.

Si escribimos

cos2πn

Tx =

e2πinxT + e−

2πinxT

2

sen2πn

Tx =

e2πinxT − e− 2πinx

T

2i

tendremos

an cos2πn

Tx+ bn sen

2πn

Tx =

1

2

han

³e2πinxT + e−

2πinxT

´− ibn

³e2πinxT − e− 2πinx

T

´i=

1

2

h(an − ibn) e 2πinxT + (an + ibn) e

− 2πinxT

iDe modo que definiendo b0 = 0, cn =

1

2(an − ibn), y llamando cn a su conjugado, podremos expresar la

serie de Fourier en la forma

c0 +∞Xn=1

³cne

2πinxT + cne

− 2πinxT

´y si por último llamamos c−n = cn quedará la forma exponencial de la serie:

∞Xn=−∞

cne2πinxT

cuyos coeficientes complejos, utilizando las expresiones de an y bn dadas en la Definición 1, se puedenobtener utilizando la fórmula

cn =1

T

Z T

0

f(x)e−2πinxT dx para todo n ∈ Z


En términos de la pulsación ω, los coeficientes de Fourier quedarían

cn =ω

2π

Z 2π/ω

0

f(x)e−inωxdx para todo n ∈ Z

y la serie∞X

n=−∞cne

inωx

6. Espectro de líneas y síntesis de formas de onda

Existe un procedimiento gráfico para estudiar la contribución de cada armónico en una serie de Fourier.Consiste en un diagrama cartesiano en cuyo eje horizontal se representa la frecuencia de cada armónico,y en el vertical la amplitud del mismo. Ello da origen a un diagrama de segmentos verticales que seconoce con el nombre de espectro de líneas. Una simple inspección del mismo da una idea rápida dela velocidad de convergencia de la serie y de la contribución de cada armónico a la onda dada por laserie. Los armónicos que más contribuyen tienen mayores amplitudes, y en el espectro de líneas aparecenrepresentados por segmentos de mayor longitud.

En el epígrafe A.4 del Apéndice se muestran algunos desarrollos de Fourier y sus correspondientesespectros de línea.

Describimos a continuación otro concepto en relación con las aplicaciones de las series de Fourier. Laidea central de toda la teoría de series de Fourier es que en condiciones bastante generales, una funciónperiódica se puede expresar como una “suma” de infinitos armónicos. La convergencia de las series deFourier hace que los sucesivos armónicos tengan cada vez menor amplitud, por lo que la suma de unospocos de ellos basta para obtener una buena aproximaciónde la función. Supongamos que tenemos unafunción periódica y calculamos sus primeros armónicos. Podemos entonces reconstruir aproximadamentela función sumando tantos armónicos como se considere necesario para conseguir la precisión deseada.Este proceso se conoce con el nombre de síntesis de formas de onda y para ponerlo de manifiesto, loaplicaremos a algunos ejemplos que se describen en el epígrafe A.5 del Apéndice.

Obsérvese que en el ejemplo b) podemos conseguir una buena síntesis tomando pocos armónicos, adiferencia de lo que ocurre en los casos a) y c) en los que el número de armónicos necesario es mayor. Elloes debido a que la velocidad de convergencia de la serie de Fourier es tanto mayor (y en consecuencia tantomenor el número de armónicos que se necesitan para la síntesis) mientras más “suave” sea la función, esdecir, mientras más derivadas continuas tenga la función.


APÉNDICE.-

A.1. Proposición. Para todo n, p ∈ {0} ∪ N se cumple que:

a)

Z T

0

cos2πn

Tx cos

2πp

Txdx =

⎧⎨⎩ T si n = p = 0T/2 si n = p > 00 si n 6= p

b)

Z T

0

sen2πn

Tx sen

2πp

Txdx =

⎧⎨⎩ 0 si n = p = 0T/2 si n = p > 00 si n 6= p

c)

Z T

0

cos2πn

Tx sen

2πp

Txdx = 0

Demostración:a) Utilizando la relación cosα cosβ =

1

2[cos(α+ β) + cos(α− β)] resulta que:

TZ0

cos2πn

Tx cos

2πp

Txdx =

1

2

Z T

0

cos

µ2πn

T+2πp

T

¶xdx+

1

2

Z T

0

cos

µ2πn

T− 2πp

T

¶xdx

=

⎧⎨⎩ T/2 + T/2 si n = p = 00 + T/2 si n = p > 00 si n 6= p

b) Se demuestra de manera análoga utilizando la relación

senα senβ =1

2[cos(α− β)− cos(α+ β)]

c) Se demuestra de forma análoga utilizando la relación

cosα senβ =1

2[sen(α+ β)− sen(α− β)]

A.2. Proposición. Si g : R→ R es una función T -periódica e integrable en un intervalo de longitud T ,entonces se verifica: Z a+T

a

g (x) dx =

Z T

0

g(x)dx para todo a ∈ R

es decir, la integral en todo intervalo de longitud T toma siempre el mismo valor.

Demostración: Z a+T

a

g(x)dx−Z T

0

g(x)dx =

=

Z 0

a

g(x)dx+

Z T

0

g(x)dx+

Z a+T

T

g (x) dx−Z T

0

g(x)dx

=

Z 0

a

g(x)dx+

Z a+T

T

g(x)dx

y esta última suma es cero, ya que haciendo el cambio de variable x = t+ T en la integralZ a+T

T

g(x)dx,

resulta ser igual a −Z 0

a

g(x)dx.

A.3. Proposición. Si f : [−a, a]→ R es integrable, se puede asegurar que:


a) Si f es par, entoncesZ a

−af(x)dx = 2

Z a

0

f(x)dx.

b) Si f es impar, entoncesZ a

−af(x)dx = 0.

Demostración:

a) Z a

−af(x)dx =

Z 0

−af(x)dx+

Z a

0

f(x)dx =

Z 0

−af(−x)dx+

Z a

0

f(x)dx =

pero las dos últimas integrales quedan, después de hacer el cambio de variable t = −x en lapenúltima de ellas, así

=

Z 0

a

−f(t)dt+Z a

0

f(x)dx =

Z a

0

f(t)dt+

Z a

0

f(x)dx = 2

Z a

0

f(x)dx

b) Z a

−af(x)dx =

Z 0

−af(x)dx+

Z a

0

f(x)dx =

Z 0

−a−f(−x)dx+

Z a

0

f(x)dx =

pero las dos últimas integrales quedan, después de hacer el cambio de variable t = −x en lapenúltima de ellas, así

=

Z 0

a

f(t)dt+

Z a

0

f(x)dx = −Z a

0

f(t)dt+

Z a

0

f(x)dx = 0

A.4. Espectro de líneas.A continuación se describen algunas funciones periódicas, sus desarrollos de Fourier y las amplitudes

de los armónicos. También se representan los correspondientes espectros de líneas.

a) f(x) =½0 si − 5 < x < 03 si 0 < x < 5

y periódica de periodo T = 10

3

2+6

π

µsen

πx

5+1

3sen

3πx

5+1

5sen

5πx

5+ · · ·

¶An =

6

(2n− 1)π n = 1, 2, 3, . . .

2

1

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1


b) f(x) = sen x en [0,π] y periódica de periodo T = π

2

π− 4

π

µcos 2x

3+cos 4x

15+cos 6x

35+ · · ·

¶

An =4

(4n2 − 1)π n = 1, 2, 3, . . .

1/π 2/π 3/π 4/π 5/π

0.25

0.5

c) f(x) = x2 en (0, 2π) y periódica de periodo T = 2π

4π2

3+4

1cosx− 4π

1senx+

4

4cos 2x− 4π

2sen 2x+

4

9cos 3x− 4π

3sen 3x+ · · ·

An =4

n2

p1 + n2π2 n = 1, 2, 3, . . .

1/2π 2/2π 3/2π 4/2π 5/2π 6/2π

5

10

A.5. Síntesis de formas de onda.

En los ejemplos que siguen se muestran algunas funciones periódicas, la suma de sus primeros armóni-cos, y superpuestas en el mismo diagrama, las gráficas de la suma de armónicos y de la función, sobre unintervalo de longitud igual a un período. Debe observarse cómo la suma de los armónicos se adapta cadavez mejor a la función, mientras más sumandos tenga.

a) f(x) = x en (−π,π) y periódica de periodo T = 2π

S2(x) = 2 senx− sen 2xS5(x) = 2 senx− sen 2x+ 2

3sen 3x− 2

4sen 4x+

2

5sen 5x


-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

b) f(x) = x3 − x en [−1, 1] y periódica de periodo T = 2

S1(x) = −12π3

senπx

S2(x) = −12π3

senπx+3

2π3sen 2πx

-1 -0.5 0.5 1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

-1 -0.5 0.5 1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Obsérvese que bastan sólo dos armónicos para reproducir casi exactamente la función f . Ello esdebido, como se comentó en la Sección 6, a que f tiene (compruébese) derivada primera continua.

c) f(x) = u(x) =½0 si x < 01 si x 0

(función escalón unidad) definida en (−1, 1) y periódica de periodoT = 2

S2(x) =1

2+2

πsenπx

S4(x) =1

2+2

πsenπx+

2

3πsen 3πx

S7(x) =1

2+2

πsenπx+

2

3πsen 3πx+

2

5πsen 5πx+

2

7πsen 7πx

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1


d) f(x) = sen x en [0,π] y periódica de periodo T = π

S2(x) =2

π− 4

3πcos 2x− 4

15πcos 4x

S4(x) =2

π− 4

3πcos 2x− 4

15πcos 4x− 4

35πcos 6x− 4

63πcos 8x

S7(x) =2

π− 4

3πcos 2x− 4

15πcos 4x− 4

35πcos 6x− 4

63πcos 8x−

− 4

99πcos 10x− 4

143πcos 12x− 4

195πcos 14x

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

En este ejemplo, también la aproximación de la suma de armónicos a la función es bastante buena,debido a que f es continua, pero no tan buena como en el ejemplo b), porque ahora, en los extremos delintervalo, la derivada no es continua.

Tema 8.- INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES ENDERIVADAS PARCIALES

Ampliación de Matemáticas.Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Índice

1. Introducción 1

2. Ecuación del calor 3

3. Ecuación de onda 5

4. Ecuación de Laplace 7

1. Introducción

En los temas anteriores, nuestra atención se ha centrado en encontrar soluciones generales de ecua-ciones diferenciales ordinarias. Ahora, nos interesará el estudio de otra clase de ecuaciones diferenciales,las llamadas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Estas ecuaciones surgen en relación con variosproblemas físicos y geométricos cuando las funciones que intervienen dependen de dos o más variablesindependientes. Es importante señalar que sólo los sistemas físicos más sencillos pueden modelarse porecuaciones diferenciales ordinarias, mientras que la mayoría de los problemas de mecánica de fluidos ysólidos, transferencia de calor, teoría electromagnética, mecánica cuántica y otras áreas de la Física llevana ecuaciones en derivadas parciales.

Una ecuación diferencial en derivadas parciales es una ecuación en la que interviene una o másderivadas parciales de una función de dos o más variables independientes. El orden de la derivada másalta es llamado orden de la ecuación y una solución de una ecuación en derivadas parciales es una funciónque satisface la ecuación.

En este tema nos centraremos en el estudio de ecuaciones lineales de segundo orden en dos variables,esto es, ecuaciones de la forma

A∂2u

∂x2+B

∂2u

∂x∂y+ C

∂2u

∂y2+D

∂u

∂x+E

∂u

∂y+ Fu = G

donde A,B,C, . . . , G son funciones de x e y. Cuando G (x, y) = 0, se dice que la ecuación es homogénea;en caso contrario se dice que es no homogénea.

Algunos ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales lineales de segundo orden que desempeñan unpapel importante en Ingeniería son las siguientes.

1. Ecuación unidimensional del calor

∂u

∂t(x, t) = k

∂2u

∂x2(x, t) (1)

2. Ecuación unidimensional de onda

∂2u

∂t2(x, t) = a2

∂2u

∂x2(x, t) (2)

1

Tema 8. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.2

3. Ecuación bidimensional de Laplace

∂2u

∂x2(x, y) +

∂2u

∂y2(x, y) = 0 (3)

La ecuación (1) aparece en la teoría del flujo de calor en una varilla o en un alambre delgado donde lafunción u (x, t) representa la temperatura de la varilla. Los problemas de vibraciones mecánicas a menudoconducen a la ecuación de onda (2), en la que u (x, t) representa los pequeños desplazamientos de unacuerda vibrante. Por último, la solución u (x, y) de la ecuación de Laplace (3) puede ser interpretada comola distribución estacionaria (esto es, independiente del tiempo) de la temperatura en una placa plana ydelgada.

Aquí no veremos cómo se deducen estas ecuaciones sino que nos concentraremos en su resolución.Para la mayor parte de las ecuaciones lineales de segundo orden –aún con las que tienen coeficientesconstantes– no es fácil llegar a la solución general. Sin embargo, casi siempre es posible, y bastante sen-cillo, hallar soluciones particulares de las ecuaciones lineales anteriores ya que, generalmente, el objetivoque se persigue no es únicamente la resolución de una ecuación en derivadas parciales, sino que, en lamayoría de los casos, se está interesado en la determinación de una solución particular que cumpla ciertascondiciones adicionales que surgen del problema. Por ejemplo, la condición de que la solución u asumavalores dados en la frontera de la región considerada o, cuando el tiempo t es una de las variables, que uesté dada en t = 0. Así, distinguiremos condiciones adicionales de dos tipos:

Condiciones iniciales (asociadas a variables temporales).

Condiciones de contorno o de frontera (relativas a variables espaciales).

Hemos visto, en temas anteriores, que si una ecuación diferencial ordinaria es lineal y homogénea,entonces, a partir de soluciones conocidas, pueden obtenerse otras soluciones por superposición. Para unaecuación diferencial en derivadas parciales lineal y homogénea la situación es muy parecida. De hecho, severifica el siguiente teorema.

Teorema 1.1 (Principio de superposición)Si u1, u2, . . . , uk son soluciones cualesquiera de una ecuación en derivadas parciales lineal y homogénea

en alguna región R, entoncesu = c1u1 + c2u2 + · · · ckuk

donde c1,c2, . . . , ck son constantes cualesquiera, también es una solución de esa ecuación en R.

A continuación veremos un procedimiento general para obtener soluciones para las tres ecuacionesanteriores.

Método de separación de variablesEl método de separación de variables es una técnica clásica que resulta efectiva para resolver varios

tipos de ecuaciones en derivadas parciales. Para determinar una solución, se supone que ésta puedeescribirse con sus variables separadas; esto es, en la forma

u (x, y) = X (x)Y (y) .

Sustituyendo esta forma de solución en la ecuación y teniendo en cuenta que

∂u

∂x= X 0Y

∂u

∂y= XY 0

∂2u

∂x2= X 00Y

∂2u

∂y2= XY 00


se llega a dos ecuaciones diferenciales ordinarias de las funciones incógnitasX (x) y Y (y). De esta forma elproblema de resolver una ecuación en derivadas parciales se reduce al problema más conocido de resolverecuaciones diferenciales ordinarias. Ilustraremos esta técnica para la ecuación del calor, la ecuación deonda y la ecuación de Laplace cuando se verifican ciertas condiciones adicionales (iniciales y de contorno).

2. Ecuación del calor

La ecuación unidimensional del calor es el modelo de variación de la temperatura u según la posiciónx y el tiempo t en una varilla calentada de longitud L y de temperatura inicial f (x) que se extiende alo largo del eje x y cuyos extremos se mantienen a una temperatura constante de cero grados en todoinstante. Si

el flujo de calor se produce solamente en la dirección del eje x

no se pierde calor a través de la superficie lateral de la varilla

no se genera calor en la varilla

la varilla es homogénea, esto es, su densidad por unidad de longitud es constante

su calor específico y su conductividad térmica son constantes,

entonces la temperatura u (x, t) de la varilla está dada por la solución del problema con condicionesiniciales y de contorno

∂u

∂t(x, t) = k

∂2u

∂x2(x, t) , k > 0, 0 < x < L, t > 0, (4)

u (0, t) = 0, u (L, t) = 0, t > 0, (5)

u (x, 0) = f (x) , 0 < x < L. (6)

La constante k es proporcional a la conductividad térmica y se llama difusividad térmica.

Solución del problemaPara resolver este problema por el método de separación de variables, se empieza por suponer que la

ecuación (4) tiene una solución de la forma

u (x, t) = X (x)T (t) .

Para determinar X y T, primero se calculan las derivadas parciales de la función u

∂u

∂t(x, t) = X (x)T 0 (t)

∂2u

∂x2(x, t) = X 00 (x)T (t)

y se sustituyen estas expresiones en la ecuación resultando

X (x)T 0 (t) = kX 00 (x)T (t) ,

y separando las variablesT 0 (t)kT (t)

=X 00 (x)X (x)

.

Observamos ahora que las funciones del primer miembro dependen solamente de t, mientras que las delsegundo miembro dependen solamente de x y, puesto que x y t son variables independientes entre sí, losdos cocientes deben ser iguales a alguna constante λ. Por tanto,


T 0 (t)kT (t)

= λ yX 00 (x)X (x)

= λ

o bienX 00 (x)− λX (x) = 0 y T 0 (t)− λkT (t) = 0.

En consecuencia, para soluciones separables, el problema de resolver la ecuación en derivadas parcialesse ha reducido al problema de resolver las dos ecuaciones diferenciales ordinarias anteriores.Si consideramos ahora las condiciones de contorno (5) y, teniendo en cuenta que u (x, t) = X (x)T (t)

tenemos queX (0)T (t) = 0 y X (L)T (t) = 0, t > 0.

Por consiguiente, o bien T (t) = 0 para todo t > 0, lo cual implica que u (x, t) ≡ 0 o bienX (0) = X (L) = 0.

Ignorando la solución trivial, se combinan las condiciones de contorno con la ecuación diferencial en X yse obtiene el problema

X 00 (x)− λX (x) = 0 (7)

X (0) = X (L) = 0,

donde λ puede ser cualquier constante.Nótese que la función X (x) ≡ 0 es una solución para todo λ y, dependiendo de la elección de λ ésta

puede ser la única solución del problema. Así que si se busca una solución no trivial u (x, t) = X (x)T (t),primeramente se deben determinar aquellos valores de λ para los cuales el problema con condicionesiniciales y de contorno tiene una solución no trivial. Dichos valores especiales de λ se denominan valorespropios, y las soluciones no triviales correspondientes son las funciones propias.

Para resolver el problema, empezamos con la ecuación característica r2 − λ = 0 y consideramos trescasos.

Caso 1. λ > 0. En este caso, las raíces de la ecuación característica son ±√λ, de modo que la solucióngeneral de la ecuación diferencial (7) es

X (x) = C1e√λx + C2e

−√λx

Si recurrimos a las condiciones de contorno, X (0) = X (L) = 0, para determinar C1 y C2 obtenemosque la única solución es C1 = C2 = 0. Por consiguiente, no existe solución no trivial para λ > 0.

Caso 2. λ = 0. Ahora r = 0 es una raíz doble de la ecuación característica y la solución general de laecuación diferencial es

X (x) = C1 + C2x.

Las condiciones de contorno implican de nuevo que C1 = C2 = 0 y, consecuentemente, no existe soluciónno trivial.

Caso 3. λ < 0. En este caso las raíces de la ecuación característica son ±i√−λ y la solución general dela ecuación es

X (x) = C1 cos√−λx+ C2 sen

√−λxEn esta ocasión las condiciones de contorno dan lugar al sistema

C1 = 0C1 cos

√−λL+ C2 sen√−λL = 0

Como C1 = 0, el sistema se reduce a C2sen√−λL = 0. Por tanto, (7) tiene una solución no trivial cuando√−λL = nπ o lo que es lo mismo

λ = −³nπL

´2n = 1, 2, . . .


Además las soluciones no triviales Xn (x) correspondientes al valor λ = −¡nπL

¢2están dadas por

Xn (x) = an sennπx

L

donde los valores an son constantes arbitrarias distintas de cero.Una vez determinados los valores de λ consideramos las segunda ecuación

T 0 (t) + k³nπL

´2T (t) = 0.

Para cada n = 1, 2, . . . , la solución general de la ecuación lineal de primer orden es

Tn (t) = bne−k(nπ/L)2t.

Por tanto, combinando las dos soluciones anteriores obtenemos, para cada n = 1, 2, . . .

un (x, t) = Xn (x)Tn (t) = cne−k(nπ/L)2t sen

nπ

Lx

donde cn es una constante arbitraria.

Si consideramos una suma infinita de estas funciones, entonces aplicando el principio de superposición,la serie

u (x, t) =∞Xn=1

cne−k(nπ/L)2t sen

nπ

Lx

satisface tanto la ecuación del calor como las condiciones homogéneas (5).

Nos falta únicamente determinar los coeficientes constantes {cn}∞n=1 utilizando la condición inicialu (x, 0) = f (x) . Esto da lugar a

u (x, 0) =∞Xn=1

cn sennπ

Lx = f(x), 0 < x < L,

pero esta es la serie de Fourier de senos de f(x) sobre el intervalo [0, L] , lo cual nos permitirá calcularlos coeficientes a través de la expresión

cn =2

L

Z L

0

f (x) sen³nπLx´dx.

Concluimos entonces que la serie

u (x, t) =∞Xn=1

Ã2

L

Z L

0

f (x) sen³nπLx´dx

!e−k(nπ/L)

2tsennπ

Lx

es solución del problema con condiciones iniciales y de contorno descrito anteriormente. Esta soluciónen serie converge con bastante rapidez, a menos que t sea demasiado pequeño, debido a la presencia defactores exponenciales negativos. Por eso es muy práctica en cálculos numéricos.

3. Ecuación de onda

Consideraremos ahora las vibraciones transversales de una cuerda extendida entre dos puntos, x = 0y x = L. El movimiento se produce en el plano xy de manera tal que cada punto de la cuerda se mueveen dirección perpendicular al eje x. Si u (x, t) denota el desplazamiento de la cuerda para t > 0 medidosdesde el eje x, entonces u satisface la ecuación (2) en la cuál se asume que

La cuerda es perfectamente flexible


La cuerda es homogénea, esto es, su masa por unidad de longitud es constante

Los desplazamientos u son pequeños comparados con la longitud de la cuerda.

La tensión de la cuerda es constante

La tensión es grande en comparación con la fuerza de la gravedad.

No actúan otras fuerzas sobre la cuerda

Por consiguiente, un problema típico con condiciones iniciales y de contorno es

∂2u

∂t2(x, t) = a2

∂2u

∂x2(x, t) , 0 < x < L, t > 0, (8)

u (0, t) = 0, u (L, t) = 0, t ≥ 0, (9)

u (x, 0) = f (x) ,∂u

∂t(x, 0) = g (x) 0 ≤ x ≤ L (10)

La constante a2 es estrictamente positiva y depende de la densidad lineal y la tensión de la cuerda. Lascondiciones de contorno nos indican que los extremos de la cuerda permanecen fijos en todo instante. Ent = 0, las funciones f y g especifican la configuración inicial y la velocidad inicial de cada punto de lacuerda.

Solución del problemaEn este caso, la separación de variables u (x, t) = X (x)T (t) se realiza igual que en el caso de la

ecuación del calor. Se calculan las derivadas parciales segundas de la función u,

∂2u

∂t2(x, t) = X (x)T 00 (t)

∂2u

∂x2(x, t) = X 00 (x)T (t) ,

se sustituyen estas expresiones en la ecuación resultando

X (x)T 00 (t) = a2X 00 (x)T (t) ,

y separando las variablesT 0 (t)a2T (t)

=X 00 (x)X (x)

Como en el caso anterior estos cocientes deben ser iguales a alguna constante λ. Por tanto,

T 0 (t)a2T (t)

= λ yX 00 (x)X (x)

= λ

o equivalentemente

X 00 (x)− λX (x) = 0 y T 0 (t)− λa2T (t) = 0.

Si consideramos ahora las condiciones de contorno y, teniendo en cuenta que u (x, t) = X (x)T (t)tenemos que

X (0)T (t) = 0 y X (L)T (t) = 0, t > 0.

Por consiguiente, o bien T (t) = 0 para todo t > 0, lo cual implica que u (x, t) ≡ 0 o bienX (0) = X (L) = 0.

Ignorando la solución trivial, se combinan las condiciones de contorno con la ecuación diferencial en X yse obtiene el problema

X 00 (x)− λX (x) = 0

X (0) = X (L) = 0


donde λ puede ser cualquier constante.Este es el mismo problema que se encontró anteriormente al resolver la ecuación del calor, en la que

se obtuvo que los valores propios son

λ = −³nπL

´2n = 1, 2, . . .

con correspondientes funciones propias

Xn (x) = cn sennπ

Lx

donde los valores cn son constantes arbitrarias distintas de cero.Una vez determinados los valores de λ consideramos las segunda ecuación

T 00 (t) + a2³nπL

´2T (t) = 0.

Para cada n = 1, 2, . . . , la solución general de la ecuación lineal de segundo orden es

Tn (t) = cn1 cosnπa

Lt+ cn2sen

nπa

Lt.

Por tanto, combinando las dos soluciones anteriores obtenemos, para cada n = 1, 2, . . .

un (x, t) = Xn (x)Tn (t) =³an cos

nπa

Lt+ bnsen

nπa

Lt´sen

nπ

Lx

Aplicando el principio de superposición, la serie

u (x, t) =∞Xn=1

³an cos

nπa

Lt+ bnsen

nπa

Lt´sen

nπ

Lx

satisface tanto la ecuación del calor como las condiciones homogéneas (9).

Nos falta únicamente determinar los coeficientes constantes {an}∞n=1 y {bn}∞n=1 para que la soluciónverifique las condiciones iniciales, esto es

u (x, 0) =∞Xn=1

an sennπx

L= f(x), 0 ≤ x ≤ L,

∂u

∂t(x, 0) =

∞Xn=1

nπa

Lbn sen

nπ

Lx = g(x), 0 ≤ x ≤ L,

lo cual nos indica que resolver el problema de la cuerda vibrante se reduce a determinar los desarrollosen series senoidales de Fourier de f(x) y g (x) sobre el intervalo [0, L].

4. Ecuación de Laplace

Supongamos que queremos obtener la temperatura u (x, y) correspondiente al estado permanente enuna placa rectangular. Cuando no se pierde calor a través de las caras laterales de la placa, el problemaviene dado

∂2u

∂x2(x, y) +

∂2u

∂y2(x, y) = 0, 0 < x < a, 0 < y < b, (11)

∂u

∂x(0, y) = 0,

∂u

∂x(a, y) = 0, 0 < y < b, (12)

u (x, 0) = 0, u (x, b) = f (x) , 0 < x < a. (13)


Solución del problemaSeparando variables, primeramente hacemos u (x, y) = X (x)Y (y). Al sustituir en la ecuación se

obtieneX 00 (x)Y (y) +X (x)Y 00 (y) = 0,

lo cual se separa enX 00 (x)X (x)

= −Y00 (y)Y (y)

= λ.

Esto da lugar a las dos ecuaciones diferenciales ordinarias

X 00 (x)− λX (x) = 0 y Y 00 (y) + λY (y) = 0.

De las condiciones de contorno (12) se tiene además que X 0 (0) = X 0 (a) = 0.En esta ocasión, se puede comprobar que las condiciones de contorno dan lugar a los valores propios1

λ = −³nπa

´2n = 0, 1, 2, . . .

con las soluciones correspondientesXn (x) = cn cos

nπx

a(14)

donde los valores cn son constantes arbitrarias.

Si sustituimos λ en la segunda ecuación y calculamos Y (y) obtenemos 2

Y0(y) = D0 +E0y,

Yn(y) = Dn coshnπy

a+En senh

nπy

a, n = 1, 2, . . .

Ahora bien, la condición de contorno u(x, 0) = 0 se cumplirá si Y (0) = 0, con lo cual se obtienen lassoluciones

Y0(y) = D0y, (15)

Yn(y) = En senhnπy

a, n = 1, 2, . . .

Combinando las dos funciones (14) y (15) resultan soluciones del problema de la forma

u0(x, y) = A0y,

un(x, y) = An cosnπx

asenh

³nπay´, n = 1, 2, . . .

donde las An son constantes. Aplicando el principio de superposición, la serie

u (x, y) = A0y +∞Xn=1

Ansenh³nπay´cos

nπx

a(16)

es una solución de la ecuación que satisface las tres primeras condiciones. Finalmente, si consideramos lacondición de frontera no homogénea restante u (x, b) = f(x), sustituyendo y = b en la expresión anteriornos queda

u (x, b) = f(x) = A0b+∞Xn=1

An senhµnπb

a

¶cos³nπxa

´. (17)

1Observar que en este caso λ = 0 es un valor propio.2En otros problemas es más útil obtener soluciones en términos de la función exponencial real.


Esta es una serie cosenoidal de Fourier de f(x) en medio intervalo. Si hacemos la identificación

A0b =a02

An senhµnπb

a

¶= an n = 1, 2, . . .

los coeficientes están dados por

A0 =1

ba

aZ0

f (x) dx (18)

An =2

a senhµnπb

a

¶ aZ0

f (x) cos³nπxa

´dx, n = 1, 2, . . .

De modo que una solución del problema está dada por (17) con los coeficientes A0 y Andeterminados por(18).

RESUMENResolver un problema con condiciones iniciales y de contorno consiste en encontrar una fun-

ción que satisfaga una ecuación diferencial en derivadas parciales y además algunas condiciones adicionalesque pueden ser tanto condiciones de frontera como condiciones iniciales. A veces es posible obtener unasolución particular del problema (ecuación lineal en dos variables) suponiendo que tiene una solución enforma de producto u = XY. Este procedimiento, método de separación de variables, consiste encinco etapas básicas:

1. Separar las variables.

2. Resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias obtenidas de la separación y encontrar los valorespropios y las funciones propias del problema.

3. Formas los productos un.

4. Usar el principio de superposición para formar una serie infinita de las funciones un.

5. Después de usar una(s) condición(es) de frontera, o una(s) condición(es) inicial(es), los coeficientesde la serie se obtienen haciendo una indentificación apropiada con un desarrollo de Fourier en mediointervalo en senos o cosenos.

jiménez, n. - ampliación de matemáticas[1]

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