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Prueba Libre Graduado en Secundaria

Ámbito Científico

Tecnológico.

2º Trimestre

Algebra. Ecuaciones

La medida. Geometría

Matemáticas.

2

1. EL ALGEBRA Expresiones algebraicas. Una expresión algebraica es una combinación de números y letras ligados entre sí por los signos aritméticos:

suma, resta, producto, división, potencia, igual y paréntesis.

Las expresiones algebraicas surgen de traducir al lenguaje matemático situaciones en las que aparecen datos

desconocidos que se representan por letras.

En las expresiones algebraicas, una letra cualquiera se llama variable ya que puede representar a más de un valor

numérico, es decir, puede tener cualquier valor que le adjudiquemos.

Ejemplos: ...1

32,23,54,,7,102 22

n

nxxmrxp son exp. algebraicas

Nota: si entre una letra y un número, entre dos letras, entre una letra y un paréntesis, o entre un número y un

paréntesis no hay ningún signo, se entiende que hay un signo de multiplicar. Por ejemplo, 4· (3· x + 5) se suele

escribir 4(3x + 5)

Hay expresiones algebraicas de diferentes tipos. Entre las más importantes citaremos los monomios, los polinomios,

las identidades y las ecuaciones.

Valor numérico de una expresión algebraica. Se llama valor numérico de una expresión algebraica al resultado de sustituir las variables de la expresión por los

números propuestos y realizar las operaciones.

Ejemplo 1: halla el valor numérico de 23 x para x = 0, para x = 2, para x = – 1

En x = – 1 el valor numérico es – 1 , en x = 0 el valor numérico es 2 y en x = 2 el valor numérico es 8

Ejemplo 2: halla el valor numérico de 1

32

x

x para x = 0, para x = 1, para x = – 2

1. Completa la siguiente frase:

“ una expresión …………… es una combinación de …………… y …………… ligados entre sí por los

……………………: suma, resta, producto, ……………, potencia, igual y ……………….

2. Traduce a lenguaje algebraico los siguientes enunciados:

a) El cuádruplo de un número n b) El doble de un número n, menos cuatro.

c) El número anterior a un número n d) El triple de un número n, menos su mitad

e) Un número n, más su mitad, más su tercera parte

3. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases:

a) El triple de un número y b) La mitad de un número z

c) El siguiente de m d) El doble de un número y

e) La cuarta parte de un número z f) El anterior de m

4. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases:

a) El cuadrado de un número x b) El triple de un número y

c) La mitad de un número z d) El siguiente de m

e) El cubo de un número x f) El doble de un número y

g) La cuarta parte de un número z h) El anterior de m

5. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases:

a) Un número disminuido en 7. b) Un número aumentado en 4.

c) El doble de un número más 10. d) Tres números consecutivos.

e) La suma de x e y. f) El cuadrado de m.

g) El doble del cuadrado de m. h) Diferencia entre x e y.

6. Escribe en el lenguaje cotidiano las frases que corresponden a estas expresiones algebraicas:

a) x + 2 b) 2x – 4 c) 3x – 2y d) x 2

e) x3

7. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases:

a) El precio de x lápices si se sabe que un lápiz cuesta 0.2 euros.

b) Un número aumentado en 27 unidades.

c) Un número b, aumentado en 14 unidades, es igual a la cuarta parte de otro número c.

d) El precio de x metros de tela si se sabe que un metro cuesta 3 euros.

e) El orden de los sumandos no altera la suma .

f) El orden de los factores no altera el producto.

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3

Transformaciones en una expresión algebraica. La transformación más frecuente que se suele aplicar en expresiones algebraicas es la eliminación adecuada de los

paréntesis.

Hay que considerar que el número situado delante del paréntesis multiplica a todos y cada uno de los términos que se

encuentren dentro del mismo, teniendo en cuenta además la regla de los signos. Por ejemplo:

: 44)1(4 xx 44)1(4 xx xx 44)1(4 xx 44)1(4

1)1( xx xx 1)1( 126)42(3 xx 612)24(3 xx

2. MONOMIOS. Un monomio es la expresión algebraica más sencilla, es un producto de números y letras, estando estas elevadas a

números naturales.

Ejemplos de monomios: 5x, 2ab, - 6xy, - 45m, 2a2, - 9xy

3

El número es el coeficiente y las letras la parte literal del monomio.

El grado de un monomio es la suma de los grados de sus letras :

Ejemplos: 5 x2 el grado es 2, 6 x z

3 el grado es 4, 9 x

6 z

3 el grado es 9,

Operaciones con monomios.

a) Suma y resta: la suma/resta de monomios semejantes es igual a otro monomio semejante cuyo coeficiente es la

suma/resta de los coeficientes. Si los monomios no son semejantes, la suma/resta hay que dejarla indicada.

2x + 8x + 4x = 14x 5x + 6y + 3x – 2y = 8x + 4y

4ab + 7ab – 5ab = 6ab 7ab – 9m + 12m – 3ab = 4ab + 3m

b) Producto: el producto de monomios es igual a otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y

cuyo grado es la suma de los grados.

Ej: 3x2 . 2x

3 = ( 3 . 2 ) . ( x

2 . x

3 ) = 6x

2 + 3 = 6x

5

1. Hallar el valor numérico de cada una de las expresiones algebraicas para el valor indicado:

a) 3x2 - 2x + 3 para x = 4 b) 4x + 5 para x = – 2

c) 3

1

x

x para x = 4, para x = 10, para x = – 2

2. Halla el valor numérico de estas expresiones para x = -1 e y = 2

a) 3x – 2y b) x2 + y c) 3 + 2x – y

d) 3x 2 - 4y + 5 e) x

2 + y 2 + 2 f) x - y + 10

4. Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones:

-2x2 – 3x + 1 para x = 1 Sol. -4

-2x2 – 3x + 1 para x = -1 Sol. 2

2ab – b2 para a = 1 ; b = 2 Sol. 8

x2 + 2x para x = 2 Sol. 8

2x2 + 2x – 1 para x = 2 Sol. 11

1. Transforma en expresiones algebraicas:

a) 5( x + 4) = b) -3( 5x – 2x + 4)= c) –( 2x + 4)=

1.Indica el grado de cada uno de los siguientes monomios:

a) 5x2 b) x c) –7xy d) a

5 e) a

2 b

4 f ) – a

2b

4

1. Realiza las siguientes sumas y restas de monomios:

a) 3x + 2x + x= b) 5x2 + 2x

2 =

c) 3x – 5 + 2x + 4= d) x2 + x + x

2 + x=

e) 3x2 – x

2 + 5 – 7= f ) 3x + x

2 – 2x – x

2 + 3

4

c) Cociente: el cociente de monomios es igual a otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes y

cuyo grado es la diferencia de los grados.

Ej: 8x2 : 2x = ( 8 : 2) . x

2 – 1 = 4x

Nota: tal vez nos resulte más fácil, si colocamos los monomios en forma de fracción:

Ej: 8x2 = 8 x x = 4x

2x 2 x

3. IGUALDAD, IDENTIDAD Y ECUACION Igualdad Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual.

Ej: 5x – 2x = 3 x + 7 = 11 2 + 4x = 12

Identidad

Es una expresión algebraica que se cumple siempre para cualesquier valor de sus letras.

Ej: (a + b)2 = a

2 + b

2 + 2ab

Si tomamos a = 2 b = 1 sustituimos y efectuamos operaciones resulta:

(2 + 1)2 = 2

2 + 1

2 + 2.2.1

32 = 2

2 + 1

2 + 2.2.1

9 = 4 + 1 + 4

9 = 9

4. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Una ecuación de primer grado con una incógnita es una expresión algebraica que sólo es cierta para algunos valores de

las letras.

Los miembros de una ecuación son las expresiones algebraicas que hay a ambos lados del signo igual.

Los términos de una ecuación son cada uno de los sumandos que la componen, pueden ser sólo números, sólo

letras o números y letras juntos.

Las incógnitas de una ecuación son las letras que aparecen en los términos.

La solución de la ecuación es cualquier número que sustituido en el lugar de la incógnita, verifica la igualdad

1. Realiza los siguientes productos de monomios:

a ) (2x3) · (5x

3) = b ) (12x

3) · (4x) =

c) 5· (2x2y

3z) = d ) (5x

2y

3z) · (2y

2z

2) =

e ) (18x3y

2z

5) · (6x

3yz

2) = f ) (−2x

3) · (−5x) · (−3x

2) =

1. Realiza las siguientes divisiones de monomios:

a) (12x3) : (4x) =

b) (18x6y

2z

5) : (6x

3yz

2) =

c ) (36x3y

7z

4) : (12x

2y

2) =

1. Comprueba si las siguientes expresiones son igualdades:

a) 3 + 4 + 1 -5 = 12 + 4 – 2 b) 3 . 2 + 6. 4 = 15 + 20 -5

c) 8 : 4 + 5 . 7 = 12 . 2 + 39 : 3 d) 8 + 9 – 12 = 5 – 3 + 4 . 2

1. Comprueba que (a-b)2 =a

2 + b

2 - 2ab es una identidad. Igual que antes le das un valor a “a” y otro a “b” y tiene

que salir igual en los dos lados de la identidad. Además tiene que servir para cualquier número, si no ya no sería

una identidad.

2. ¿Es una identidad la expresión 2 x + 1 = 3 ? ( dale diferentes valores a la letra x )

3. La expresión (a + b).(a – b) = a2 – b

2 ¿Es una identidad?. Razona la respuesta

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5

Ejemplo:

Primer miembro Segundo miembro

Ecuación: (2x –1) – 2x + 2 = x -1

Términos

Resolver una ecuación significa es hallar todas las soluciones posibles. En una ecuación de primer grado con una

incógnita puede ocurrir que:

tenga una sola solución,

no tenga ninguna solución,

tenga infinitas soluciones (en este caso, la ecuación es una identidad)

La ecuación 3x + 1 = x + 5 tiene una solución que es x = 2

La ecuación 3x + 1 = 3x + 5 no tiene solución

La ecuación 4x + 2 = 2· (2x+1) es en realidad una identidad (ambas expresiones son la misma)

Método de resolución de una ecuación de primer grado con una incógnita.

Paso 1: se resuelven adecuadamente los paréntesis

Paso 2: si hay denominadores, se pasan todas las fracciones a denominador común.

Paso 3: se agrupan los términos en x a un lado del signo igual y los números al lado contrario, teniendo en cuenta

que aquellos términos que pasen de un lado a otro del signo igual hay que cambiarlos de signo. Así mismo los que

están multiplicando en un término, pasan al otro dividiendo y viceversa.

Paso 4: se reducen los términos semejantes en cada lado del signo igual, llegándose finalmente a una situación del

tipo a· x = b, donde a y b son números reales.

Ej: Resolver la ecuación 3x – x + 2 = 7 – x + 5

Agrupando términos se obtiene: 2x + 2 = 12 – x

Transponiendo términos queda 2x + x = 12 – 2

Agrupando términos nuevamente, resulta 3x = 10

y despejando la incógnita resulta la solución x=10

3

1.. Contesta si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justificando la respuesta:

a) La solución de la ecuación 3 + 5x = 11 + x es x = 3

b) La solución de la ecuación 7x + 2 = 42 – x es x = 5

2. Averigua el valor de la letra m en cada uno de los siguientes casos:

a) (+ 2)· m = + 14 b) (+ 3)· m = – 12 c) (– 5)· m = + 15 d) (– 6)· m = – 12

3. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

a) x + 5 = 8 b) x + 8 = 3 c) x + 4x - 8 = 7

d) 5x = 10 e) 6x = 3 f) x + 4 = 5x – 24

4. Resolver las siguientes 30 ecuaciones de primer grado sin denominadores:

1. 2x – 34 = – 20 Sol: x = 7 2. 9x + 8 = 7x + 6 Sol: x = -1

3. 4x+3 = 3x+5 Sol: x = 2 4. 7x+9 = 3+9x Sol: x = 3

5. x – 8 = 2x – 11 Sol: x = 3 6. x+1 = 2x-7 Sol: x = 8

7. 6x+6 = 4+8x Sol: x = 1 8. 9+9x = 17+5x Sol: x = 2

9. 2x + 3 = 3x Sol: x = 3 10. 25 – 2x = 3x + 20 Sol: x = 1

11. 4x+1 = 3x+3 Sol: x = 2 12. 5x-3 = 10x-6 Sol: x = 3/5

13. 1 + 8x = -16x + 31 Sol: x = 5/4 14. 5x-11 = 15x-19 Sol: x = 4/5

15. 12x-48 = -15x–30 Sol: x = 2/3 16. 2x+17 = 3x+7 Sol: x = 10

17. 3·(-x-1) = x+1 Sol: x = -1 18. x-3(x+5) = 3x+10 Sol: x = -5

19. x-15 = 3(x-19) Sol: x = 21 20. 3(2-x) = 18x-1 Sol: x = 1/3

6

5. POLINOMIOS

Un polinomio es una expresión algebraica compuesta por la suma/resta indicada de dos o más monomios. Se representa

por p(x).

Cada uno de los monomios que forman un polinomio se llama término. El conjunto de los coeficientes de cada monomio

constituyen los coeficientes del polinomio.

Si en un polinomio existen monomios semejantes, hay que operar con ellos dejando un solo monomio de cada grado,

quedando el polinomio en su forma reducida. En su forma reducida, el grado de un polinomio es el mayor de los grados de

los monomios que lo componen.

Nota: el monomio de grado cero, que es un número, se llama término independiente del polinomio.

Ejemplos: 12

523 xxx es un polinomio de grado 3 con 4 términos.

xxx2

15 34 es un polinomio de grado 4 con 3 términos.

53 x es un polinomio de grado 1 con 2 términos.

Operaciones con polinomios. a) Suma de polinomios: se agrupan sus términos y se suman los monomios semejantes.

Ejemplo: Suma : (4x3 + 4x

2 – 2x) + (5x

2 – 6x – 7x

3) = -3 x

3 + 9x

2 – 8x

Si quieres puedes colocar los polinomios en vertical ordenándolos por el número de grado, poniendo los términos

semejantes de uno, debajo de los semejantes del otro polinomio y sumar o restar según corresponda. Si falta algún

grado intermedio pon cero. Por Ejemplo

(3x4 + 2x

2 – 5x –6) + (2x

4 – 3x

3 + 6x

2) 3x

4 + 0x

3 + 2x

2 – 5x – 6

+ 2x4 – 3x

3 + 6x

2 + 0x + 0

5x4- 3x

3 + 8x

2 – 5x – 6

b) Resta de polinomios: se suma al minuendo el opuesto del sustraendo, es decir,

P(x) - Q(x) = P(x) + (-Q(x))

(3x2 –5x + 2) – (2x

2 +3x – 4 ) = (3x

2 – 5x +2 ) + (-2x

2 – 3x + 4) = x

2 – 8x + 6

c) Producto de un polinomio por un monomio: se multiplican todos y cada uno de los términos del polinomio

por el monomio.

(3x4 – 5x

3 + 2x

2 –8x + 4 ) · 3x

2 = 9x

6 – 15x

5 + 6x

4 – 24x

3 +12x

2

21. 3(x+4) = 4x+1 Sol: x = 11 22. 10+5(x-3) = 3(x+1) Sol: x = 4

23. 2(3-4x) = 2x-9 Sol: x = 3/2 24. 10-9x = 4(x-4) Sol: x = 2

25. 2(3x+2) = 8x-20x+40 Sol: x = 2 26. 15x = 2(1+ 9x) – 3 Sol: x = 1/3

27. 3(12 – x) – 4x = 2(11 – x) + 9x Sol: x = 1 28. x+3 = 3(2x-4) Sol: x = 3

29. 3(1– x ) – 4x = 3(1 – x ) + 9x Sol : x = 0 30. 3(12 – x) – 4x = 29x Sol : x = 1

5. Resolver las siguientes 10 ecuaciones de primer grado con denominadores:

Indica el nombre y el grado de las siguientes expresiones algebraicas:

a2 +2ab + b

2 3x

4 + 5x

3- 5x

2 + 4x 5- xy

2 + xb - x

5

x3 – y

3 x

2- 1 2y

4 - 5xy

2 + 4x

2 + 5x

3y

6 - 7x

4

(5x5 + 4x

2 + 6x - 5) + (2x

4 - 3x

2 + 6x + 4) = (3x

3- 2x

4 + 5x - 8) + (2x

4 – 3x + 6x

3 + 4 ) =

(5x5 +3x – 6x

2 + 6) + (2x –5x

2 +8x

3 –4) =

(5x5 + 4x

2 + 6x - 5) - (2x

4 - 3x

2 + 6x + 4) = (3x

3- 2x

4 + 5x - 8) - (2x

4 – 3x + 6x

3 + 4 ) =

(5x5 +3x – 6x

2 + 6) - (2x –5x

2 +8x

3 –4) =

(5x5 + 4x

2 + 6x - 5) · 2x

4 = (3x

3- 2x

4 + 5x - 8) · 2x

4 = (5x

5 +3x – 6x

2 + 6) · 5x

2 =

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7

d) Producto de polinomios: se multiplica cada monomio de uno de los factores por todos y cada uno de los

monomios del otro factor y después se suman los monomios semejantes obtenidos.

(3x2 + 5x – 2) · ( 4x

3 –5x +3 ) =

= 12x5 – 15x

3 + 9x

2+ 20x

4 – 25x

2 + 15x – 8x

3+10x – 6 =

= 12x5 + 20x

4 – 23 x

3 – 16x

2 + 25x – 6

Nota: Se pueden multiplicar también en vertical, pero para hacerlo hay que completarlos poniendo ceros en los términos

que falten y ordenarlos.

(3x2 + 5x – 2) · ( 4x

3 –5x +3 ) =

Colocamos primero el de mayor grado y completamos:

4x3 + 0x

2 – 5x + 3

X 3x2 +5x - 2

8x3 + 0x

2 + 10x – 6

20x4 + 0x

3 – 25x

2 + 15x

12x5 + 0x

4 – 15x

3 + 9x

2

12x5 + 20x

4 –23x

3 –16x

2 + 25x – 6

6. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar de la forma

ax² + bx + c = 0 ,

siendo a , b y c números reales , y a 0

Ecuaciones de segundo grado completas Una ecuación de segundo grado es completa cuando todos sus coeficientes son distintos de cero.

Para obtener sus soluciones utilizamos la siguiente fórmula:

El doble signo indica que pueden existir dos soluciones:

Ecuaciones de segundo grado incompletas Una ecuación de segundo grado es incompleta si los coeficientes b, c ó ambos simultáneamente son cero.

Ecuación del tipo ax ² + bx = 0

Para resolver este tipo de ecuaciones seguimos estos pasos:

1º Sacamos factor común x al primer miembro x (ax + b) = 0

2º Se plantean dos soluciones:

Ecuación del tipo ax² + c = 0

Este caso se resuelve despejando la incógnita del

siguiente modo:

Si el radicando (o que está dentro de la raíz) es positivo hay dos soluciones

opuestas:

Si el radicando es negativo no hay solución real.

1. (5x5 + 4x

2 + 6x - 5) · (3x

2 + 6x + 4) = (3x

3- 2x

4 + 5x - 8) · (– 3x + 6x

3 + 4 ) =

a) x² - x - 6 = 0 b) x²- 5x + 4 = 0 c) 4x² + 12x + 9 = 0 d) x² + 3x + 2 = 0 e) x² - 6x + 5 = 0

f) x² - 5x + 6 = 0 g) 6x² - 5x + 1 = 0 h) x² + 4x + 3 = 0 i) 4x² - 4x + 1 = 0 j) x² - x + 1 = 0

1. Resuelve estas ecuaciones de segundo grado incompletas:

a) 5x² - 5 = 0 b) 5x² + 5 = 0 c) 7x² + 5 = 18 d) 5x² + 7x = 0

e) 4x² - 9 = 0 f) x² + 2x = 0 g) 2x²- 6x = 0 h) 2x2 – 4x = 0

2. Llamando n a un número cualquiera, traduce a lenguaje algebraico los siguientes enunciados:

a) La mitad de n. b) La mitad de n menos cuatro unidades.

c) La mitad del resultado de restarle cuatro unidades a n.

d) El doble del resultado de sumarle tres unidades a n.

3. Utiliza el lenguaje algebraico para expresar:

a) Un múltiplo cualquiera de cinco. b) Un múltiplo cualquiera de dos.

c) Cualquier número que no sea múltiplo de dos.

d) Cualquier número que deje un resto de tres unidades al dividirlo entre cinco.

8

4. Calcula el valor de la expresión algebraica – x3 + 2 x

2 – x + 1 para x = -2

5. Halla el valor de la expresión (x + 1)2 – 3 x para x = - 2

6. Halla el valor de la expresión 3ab2 + 2a para a = - 2 y b=3.

7. Halla el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:

a. 5 x4 –3 x

3 +8 x – 9 para x = 2 Resultado = 63

b. 3 x5- 4 x

4 – 2 x

2 + 6 para x = -1 Resultado = -3

c. 2 x4 – 3 x

3 +8 x – 5 para x = 3 Resultado = 100

d. x4 – 2 x

2 + 5 x + 1 para x = 5 Resultado = 601

e 2 x3 –6 x

2 + 5 x + 4 para x = - 2 Resultado = - 46

f. 3 x2 + 5 x – 6 para x = - 5 Resultado = 44

8. Dado el monomio: 2x3y:

¿Qué grado tiene la x? ¿Qué grado tiene el monomio? ¿Cuánto vale el coeficiente?

¿Cuánto vale la parte literal cuando x = 3 e y = 2?, ¿y el monomio?

9. En los siguientes monomios: decir el número de variables, el grado y el coeficiente de cada uno

4xyz4 3x

4y 4abcde

3

10. Dados los monomios 2ab2 y 3ab Hallar:

a) (2ab2) + (3ab) = b) (2ab

2).(3ab) = c) (2ab

2):(3ab) =

11. Operar y reducir los resultados

(2x2) • (2x

2) = Sol. 4x

4 (2ab) • (6ab

2) = Sol. 12a

2b

3

(10x2) : (5x

3) = Sol. 2/x (2a

2b) : (4a

2b) = Sol. 1/2

(-2x) • (3x2) = Sol. –6x

3 (-2x) • (-3x

2) = Sol. 6x

3

x2(-2x

2) = Sol. –2 x

4 x

3 : 2x

2 = Sol. x/2

12. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

10-5x = x-2 Sol: x = 2 70-3x = 4x Sol: x = 10

48-3x = 5x Sol: x = 6 – 4x + 30 = – 3x – 10 Sol: x = 40

10x-15 = 4x+27 Sol: x = 7 x – 3(x – 2) = 6x – 2 Sol: x = 1

3x+1 = 6x-8 Sol: x = 3 3x – 7 = 2(x +1) Sol: x = 9

47-3x = 5+11x Sol: x = 3 2(2 + 4x) = 3 + 12x Sol: x = ¼

30 – 9x = – 7x + 21 Sol: x = 9/2 5x = 7(5x-3)+3 Sol: x = 3/5

3x-10 = 2x+1 Sol: x = 11 2(x-5) = 3x-17 Sol: x = 7

25 – 2x = 3x – 35 Sol: x = 12 2 + 5(x – 13) = x – 3 Sol: x = 15

75-5x = 3x+3 Sol: x = 9 2x-1 = 3(2x-15) Sol: x = 11

5+8x = 2x+20 Sol: x = 5/2 2(x – 2) = – (4 – x ) Sol: x = 0

2x-3 = x+5 Sol: x = 8 2(3x-49) = -x+14 Sol: x = 16

2 – 6x = 3x – 1 Sol: x = 1/3 20 = 2x-(10-4x) Sol: x = 5

60x-1 = 3(1+12x) Sol: x = 1/6 5(x – 1)+10(x + 2) = 45 Sol: x=2

2x+3(2x-1) = x+67 Sol: x = 10 12x + 3(2x – 4) = 60 Sol: x = 4

3-10x = x-30 Sol: x = 3 3x-(x+1) = x-2 Sol: x = -1

13. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con denominadores:

11121

s

2

5

98

g

9

4

6

N 16

80

M

5

2

40

M

3

6

2

K 2

20

r

4

6

72

z

0

3

p 0

9

7

c

14. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

1) x2 + 8x +15 = 0 Sol: x = -3 ; x = -5 2) x

2 -6x + 9 = 0 Sol: x =3

3) 2x2

+ 10x – 48 = 0 Sol: x = 3; x = -8 4) 5x2 + 1 = 6x Sol: x =1 ; x = 1/5

5) x2 = 2x + 3 Sol: x = 3; x = -1 6) 3x

2 -16x + 5 = 0 Sol: x = 5 ; x = 1/3

7) x2 – x = 20 Sol: x = 5 ; x = -4 8) 4x

2 + 4x = 3 Sol: x =1/2 ; x = -3/2

9) x2-7x+12 = 0 Sol: x = 3; x = 4 10) x

2-9x+18 = 0 Sol: x = 3; x = 6

11) x2-5x+6 = 0 Sol: x = 2; x = 3 12) x

2+6x = -9 Sol: x = -3

13) x2-9x+14 = 0 Sol: x = 2; x = 7 14) x

2-6x+8 = 0 Sol: x = 4; x = 2

15) x2 = 5x+6 Sol: x = 6; x = -1 16) x

2+9 = 10x Sol: x = 1; x = 9

17) 3x2-39x+108 = 0 Sol: x = 4; x = 9 18) 2x

2 -2x– 24 = 0 Sol: x = 4; x = -3

15. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

a) 3x2-3=0 Sol : 1,-1 b) 2x

2-8=0 Sol : 2,-2

c) 3x2-27=0 Sol : 3, -3 d) 3x

2-6x=0 Sol : 0, 2

e) 5x2+15x=0 Sol : 0, -3 f) 2x

2-16x=0 Sol : 0, 8

g) 2x2+18x=0 Sol : 0, -9 h) 7x

2- 49x=0 Sol : 0, 7

Prueba Libre Título de Graduado en Secundaria Centro de Educación Permanente “Siete Villas” Ámbito Científico Tecnológico –Matemáticas - Segundo Trimestre

9

La medida 1.- La materia y sus propiedades. Materia es todo aquello que tiene masa y volumen, es decir todo aquello que ocupa un lugar en el espacio. Todo

aquello que se puede percibir a través de nuestros sentidos físicos, es materia.

¿Y qué son la masa y el volumen? Son propiedades generales de la materia, es decir, toda la materia tiene masa y

ocupa un volumen sino, no es materia.

La materia posee otras propiedades características que denominamos propiedades específicas, éstas nos

permiten distinguir una materia de otra. Un ejemplo es la densidad: el agua tiene una densidad determinada y la miel

tiene otra, a través de la densidad podemos distinguir una sustancia de otra.:

En resumen:

Materia es todo aquello que ocupa un lugar en el espacio.

Masa y volumen son propiedades generales de la materia.

La materia también tiene propiedades específicas gracias a las cuales distinguimos unas sustancias de otras

(un ejemplo es la densidad).

2.- Las magnitudes físicas. A todas aquellas propiedades de la materia que se pueden medir se denominan magnitudes físicas.

Medir es comparar una cantidad con otra que se toma como patrón de medida o unidad, para ello debemos de

escoger previamente la cantidad de esa magnitud que vamos a utilizar como patrón, a la cual llamaremos unidad.

El resultado de una medición es un número, que se llama cantidad y una unidad, que nos indica la magnitud medida.

En un principio, para medir se usaban diferentes unidades. Y se vió la necesidad de establecer unas unidades fijas y

estables, que todo el mundo pudiera usar de forma sencilla.

¿Qué condiciones debe cumplir una unidad para que sea fiable? :

1. Debe ser constante: es decir, la use quien la use, no debe cambiar su valor. Tampoco debe cambiar su valor a lo

largo del tiempo. Debe ser universal: es decir, no ha de cambiar de unos países a otros.

2. Ha de ser fácil de reproducir: es decir, tiene que ser fácil de usar por el individuo.

El Sistema Internacional de Unidades. Para facilitar su uso, las magnitudes y sus unidades están organizadas en un sistema de unidades, que recibe el nombre de

Sistema Internacional de unidades (S.I.), en el cual los científicos han elegido unas magnitudes y unas unidades como

fundamentales. Están elegidas por convenio, es decir, por acuerdo de la comunidad científica.

LAS SIETE MAGNITUDES

FUNDAMENTALES

Resumiendo:

Medir es comparar una cantidad con otra que

se toma como patrón (a la que denominamos

unidad).

Las magnitudes físicas son propiedades de la

materia que se pueden medir.

La comunidad científica escogió 7 magnitudes

fundamentales, estudiaremos 4 de ellas:

longitud, masa, tiempo y temperatura.

Al resto de magnitudes se les denomina derivadas. Un ejemplo es la densidad.

MAGNITUD UNIDAD (S.I.) SÍMBOLO

Longitud metro m

Masa kilogramo Kg

Tiempo segundo s

Temperatura Kelvin K

Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad de corriente eléctrica amperio A

Intensidad luminosa candela cd

1. Vamos a repasar el sistema internacional de unidades (SI). Para lo cual vamos a rellenar los siguientes huecos

con las palabras y símbolos que faltan.

Magitud Unidad Simbolo

m

Masa Kgr

Tiempo

Grado Kelvin K

Cantidad de sustancia mol mol

amperio

Intensidad luminosa cd

10

3.- La magnitudes derivadas. Ya hemos visto que se definieron siete magnitudes como fundamentales, pues bien, al resto de magnitudes se les

denomina magnitudes derivadas. Se les llama así porque “derivan” o “dependen” de alguna o algunas de las

magnitudes fundamentales.

Entre las magnitudes derivadas podemos citar, por ejemplo: la superficie, el volumen, la velocidad, la densidad…etc.

Las magnitudes derivadas pueden expresarse siempre empleando una combinación de las magnitudes fundamentales.

Ejemplo:

La velocidad se mide en km/h, es decir una unidad de longitud (km) y otra de tiempo (hora).

Así vemos que la velocidad depende de la longitud y el tiempo, que son magnitudes fundamentales.

4.- Algunas magnitudes fundamentales: longitud, masa y temperatura. a) MASA: Es la cantidad de materia que

posee un cuerpo. Su unidad fundamental del

SI es el kilogramo (kg), aunque el sistema

de múltiplos y submúltiplos se establece a

partir del gramo (g).

Este sistema de múltiplos y submúltiplos es

muy importante para su uso cotidiano y no

tan cotidiano. Por ejemplo, un cargamento de

trigo o maiz no la vamos a medir en gramos

o miligramos, necesitamos una unidad más

grande y que sea más cómoda de usar, como

la tonelada, por ejemplo.

Para pasar de una unidad a otra

multiplicamos o dividimos por 10. Resulta más fácil si nos lo imaginamos como una escalera por la que subimos o

bajamos.

¿Es lo mismo masa que peso? En el lenguaje cotidiano usamos estos dos términos por igual. Decimos “peso 60 kg”

cuando en realidad, deberíamos decir “tengo una masa de 60 kg”…sí, suena raro, pero es la forma correcta de expresar la

cantidad de materia que “tenemos”. Entonces, ¿qué es el peso? Es la fuerza con la que la Tierra nos atrae y depende

directamente de la masa, además se mide en Newtons… pero esa es otra historia que veremos más adelante. De momento,

nos quedaremos con la idea:

MASA = CANTIDAD DE MATERIA (Kg)

PESO = FUERZA CON LA QUE LA TIERRA NOS ATRAE (NEWTONS)

b) LONGITUD: es una magnitud a través de la cual medimos distancias. Su unidad en el sistema internacional es el

metro (m). Pero, al igual que la masa, también se utilizan los múltiplos y submúltiplos, de 10 en 10.

Kilómetro (km)

Hectómetro (hm)

Decámetro (dam)

Metro (m)

Decímetro (dm)

Centímetro (cm)

Milimetro (mm)

1. Expresa las siguientes medidas en su unidad correspondiente del SI:

0,04 cg = 34,5 g = 0,45 hg = 1255 dg =

34965 mg= 37,7dag= 200 hg= 450 g=

1. Hoy he comprado medio kilo de uvas, 100 g de laurel, una bolsita de azafrán de 50 mg y cuarto y mitad de

pimientos. Calcula los gramos totales de la compra.

2. Hoy Juan se ha pesado en una balanza un poco rara, le daba el peso de la siguiente forma: 7 kg, 700 hg,

350 dag y 10 000 mg., no sabe cual es su peso, ¿le ayudas?.

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11

c) TEMPERATURA: La temperatura mide lo caliente o lo frío que está un cuerpo. Desde un punto de vista más

estricto, la temperatura es el grado de agitación térmica de las partículas que componen un cuerpo.

La materia está constituida por partículas (átomos y moléculas) que se encuentran “vibrando” y moviéndose

ligeramente. Cuanto mayor es la temperatura de un cuerpo, mayores son estos movimientos de las partículas que lo

constituyen.

Habitualmente, medimos la temperatura en grados Celsius o centígrados ( ºC ). Sin embargo, su unidad en el sistema

internacional (S.I.) es el grado Kelvin (es la llamada escala de temperatura absoluta, se usa mucho para los cálculos

científicos). La equivalencia entre ambas unidades es:

O GRADO KELVIN = - 273 º C

Así que para pasar de grados centígrados a kelvin lo haremos:

T (kelvin) = t (º Celsius) + 273

Ejemplo: Si queremos expresar en la escala absoluta o Kelvin la siguiente temperatura

t= 25ºC tan sólo tenemos que sumarle 273

T = 25ºC + 273 = 298 K (se lee 298 kelvin)

Una curiosidad: en Gran Bretaña y Estados Unidos la temperatura se mide en otra escala, la escala Fahrenheit (ºF)

que también tiene su propia fórmula para pasar a grados Celsius y Kelvin. Para hacernos una idea, 100ºC equivalen

a 212 º F.

5.- Algunas magnitudes derivadas: volumen, superficie y densidad . a) VOLUMEN: Es el espacio que ocupa un cuerpo. Su unidad en el sistema internacional es el metro cúbico (m

3)

(Imagina un cubo de 1metro de largo, 1 metro de alto y 1 metro de ancho).

Ahora bien, cuando queremos medir volúmenes de líquidos (en estos casos es más correcto decir “Capacidad”) la unidad

de medida es el litro (l).

En la escalera de la izquierda vemos los múltiplos y submúltiplos del litro y en la de la derecha los múltiplos y

submúltiplos del metro cúbico.

Existe una equivalencia entre volumen y capacidad: 1 litro = 1 dm3

1. Expresa las siguientes medidas en su unidad correspondiente del SI.

234 cm= 26,89 hm= 0,453 dam= 33 mm=

3,4 km= 20 dm= 13,2 hm= 450 mm=

2. Un avión vuela a 5 400 m de altura. Un pasajero tiene mareos cuando la altura supera los 50 hm y 100 dam.

¿Tiene que preocuparse?

Si, porque ha superado los 5 100 m y es cuando aparecen los mareos.

No, porque el avión vuela a una altura inferior a los 6 000 m ( que es cuando se marea9.

3. Los héroes de Marcial Lafuente Estefanía, el autor de novelas del Oeste más leído durante los años 60 y 70,

medían siempre alturas superiores a los 6 pies y 7 pulgadas. Si cada pie mide 30,48 cm y cada pulgada es la

doceava parte de un pie. ¿Qué altura en metros tenían estos muchachos?

¿Serían buenos como pivots en un equipo de baloncesto?.

No llegaban a 1,75 m, por lo tanto no serían buenos pivots.

Pasan los 2 m, por supuesto que serían buenos pivots.

1. Completa los espacios en blanco de las siguientes cuestiones:

El agua hierve a ______ ºC, _______ ºK

El hielo se funde a ______ ºC, _______ ºK

2. Completa las siguientes igualdades:

50 ºC = ºK 50 ºK = ºC

1. Pasa las siguientes medidas de volumen a capacidad y al contrario:

0,73 litros a hm3

584 cm3 a litros 56 ml a dm

3

2. Calcula el volumen de un cubo de 10 m de lado. Expresa el resultado en litros.

12

C) SUPERFICIE Por superficie de un cuerpo entendemos la extensión de la parte de un cuerpo que está en contacto

con el exterior. La unidad de superficie en el S.I. es la de un cuadrado que tenga 1 metro de lado. Se llama metro

cuadrado y su símbolo es m².

Si queremos medir superficies mayores, como fincas rústicas, superficie de un bosque, extensión de un lago, etc, o

menores como un bolígrafo, un botón, un folio, etc. recurriremos a los múltiplosy submúltiplos.

Hectárea área centiárea

C) DENSIDAD: La densidad es una magnitud que nos relaciona la masa de un cuerpo con el espacio (volumen) que

ocupa. La calculamos usando la siguiente expresión: densidad = masa / volumen

que podemos expresar: d = m /V o ρ = m / V

La unidad de la densidad en el SI es el kg/m3 pero normalmente se usa el g/ml o el g/cm

3.

Esta expresión nos permite calcular la densidad de cualquier cuerpo, conociendo su masa y su volumen.

Ejemplo: Tenemos 200 ml de un líquido que pesa 250 g ¿cuál es su densidad?

d= 250g/200 ml = 1,25 g/ml

Un ejemplo de líquido muy denso es la miel y uno menos denso es el agua.

D) FUERZA Llamamos fuerza a toda acción ejercida sobre un objeto capaz de: moverlo (o detener su

movimiento, o de cambiar su forma de moverse, más rápido, más lento o en otra dirección) o deformarlo. Se

mide en una unidad llamada newton (N).

E) PRESIÓN es el cociente entre la fuerza aplicada (F) y la superficie (S) sobre la que se aplica y la unidad

fundamental de presión es el pascal (Pa). Un pascal es la presión que ejercer 1N sobre u m2 (de forma

perpendicular). P = F/S

F) VELOCIDAD: La velocidad es el espacio (longitud) que se recorre, entre el tiempo tardado en recorrerlo.

Se mide en m/s pero es más habitual en Km/h.

V = e / t

1. Expresa Las siguientes medidas en su unidad correspondiente del Sistema Internacional:

234 cm2

26,89 hm2

0,453 dam2 33 mm

2

3,4 km2 20 dm

2 13,2 hm

2 450 mm

2

2. Una habitación mide 5,5 m de largo y 380 cm de ancho. Calcula su superficie.

1. La densidad de un líquido que tiene un volumen de 2 litros y pesa 4 kg es…

0,5 l/kg 2 kg/l 0,02 kg/m3

2. Un trozo de poliespan ocupa una volumen de 800000 cm3 y pesa 4500 g. ¿Cuál es su densidad?. Recuerda las

unidades deben estar expresadas en el SI.

3. Si 2 litros de un liquido pesan 3,25 Kg ¿Cuál será su densidad ¿ Te recuerdo que las unidades de densidad son g/ml

o g/cm³.

1. ¿Cuánta presión soporta una superficie de 5 m2 sobre la que ejercemos una fuerza de 95 N?

2. ¿Cuánta presión soporta una superficie de 120 dm2 sobre la que actúa una fuerza de 15 N?

3. Si recorrió 100 m en 9,69 segundos. ¿Cuál fue su velocidad?

4. Calcula la velocidad de un vehículo que ha recorrido 35 km en media hora. Exprésalo en las unidades

del SI.

5. Un senderista quiere ir de un lugar A a otro B. El guía, bastante bromista, le ha dicho que A dista de B

una distancia de 4 km, 250 dam, 40 m, 60 dm y 400 cm. El hombre recorre andando 3,5 km en una

hora. Si sale a las 12 del mediodía y la "hora feliz" en el bar que hay en B es de 13h a 15 h, ¿Llegará a

tiempo de tomar dos cervezas por el precio de una?

a) 1º Debes calcular la distancia total que hay en metros de A a B.

b) 2º Calcular el tiempo que tardaría en recorrer esa distancia (sabemos lo que recorre en una hora)

c) 3º Ver si llega a tiempo, la "hora feliz" dura de las 12 a las 15 horas, es decir tiene 3 horas de margen

6. - Uso de la escala gráfica. La escala es la relación matemática que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo que representa la realidad

sobre un plano o un mapa. En los planos y mapas reales siempre aparece una escala que relaciona las medidas que se

muestran en ellos con las medidas reales.

Existen tres formas de representar la escala:

Escala gráfica: es la representación dibujada de la escala unidad por unidad, donde cada segmento muestra la

relación entre la longitud de la representación y el de la realidad. Un ejemplo de ello sería:

Escala numérica como un cociente de la unidad entre otro número. Un ejemplo sería 1:25 ó 1:50.000, lo cual

significa que 1 unidad del mapa equivale a 25 ó a 50.000 unidades en la realidad.

Escala unidad por unidad: es la igualdad entre dos longitudes: la del mapa (a la izquierda el signo "=") y la

de la realidad (a la derecha del signo "="). Un ejemplo de ello sería 1 cm = 4 km; 2cm = 500 m, etc.

Las escalas pueden ser:

Escalas de ampliación: 100:1, 50:1, 20:1, 10:1, 5:1, 2:1

Escala natural: 1:1

Escalas de reducción: 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50, 1:100, 1:200, 1:500, 1:1000, 1:2000, 1:5000, 1:20000

Por tanto, y resumiendo, la escala es un factor de conversión entre el plano y la realidad:

Si queremos pasar del plano a la realidad tenemos que aumentar el tamaño, por lo que multiplicaremos las medidas

por la escala.

Al revés, si queremos pasar de lo real al plano tendremos que reducir, dividir las medidas por la escala.

Lo primero que vamos a hacer en esta actividad es leer muy atentamente el siguiente texto, para después poder

contestar a las siguientes preguntas:

Aparatos de medición

Vamos a detenernos en tres aparatos de medición.

Un shegyscopio o manómetro es un instrumento de medición que sirve para medir

la presión de fluidos contenidos en recipientes cerrados. Existen, básicamente, dos

tipos: los de líquidos y los de gases. Los manómetros de líquidos emplean, por lo

general, como líquido manométrico el mercurio, que llena parcialmente un tubo en

forma de U. El tubo puede estar abierto por ambas ramas o abierto por una sola. En

ambos casos la presión se mide conectando el tubo al recipiente que contiene el

fluido por su rama inferior abierta y determinando el desnivel h de la columna de mercurio entre ambas

ramas. Si el manómetro es de tubo abierto es necesario tomar en cuenta la presión atmosférica. Hay

otro aparato llamado esfigmomanómetro que sirve para medir la presión o tensión arterial, es decir la

presión a la que está sometida las sangre dentro de las arterias de nuestro cuerpo.

Imagina que este plano pueda ser el tu próxima vivienda, y

cómo es natural quieres saber si podrás colocar los muebles

que ya tienes en tu otra casa.

Con una regla hemos obtenido estas medidas:

Las medidas del salón en el plano son: 10 cm de largo y 6

cm de ancho.

Las del dormitorio principal son:8 cm de largo por 8 cm

de ancho.

Las de la cocina son 6 cm x 6 cm.

Las del otro dormitorio son 8 cm por 6 cm.

El baño es pequeño mide 6 cm por 4 cm.

Y ahora teniendo en cuenta la escala (1:50) averiguar las

medidas reales.

Salón: Dormitorio principal:

Cocina: Otro dormitorio: Baño:

Conociendo estos datos vamos a ver si somos capaces de rellenar los espacios en blanco:

Creo que en el salón a lo mejor tendré problemas porque tiene _________m2 , y el sofá rinconera de 4 m por 2 m

puede que no quede bien, porque la pared más pequeña del salón mide __________m, y está la puerta a a terraza

Lo que tengo duda si el armario ropero del dormitorio principal cogerá en la pared del fondo, ya que mide 3,5 m, y la

puerta ocupa 1 m de esa pared que mide ________m. Aunque el dormitorio mide ________m2 voy a tener problemas.

La cocina la tengo que encargar, voy a poner todos los muebles en la única pared que no tiene ni puerta ni ventana,

como mide _________m esa pared, podré poner pocos muebles, y en la esquina pondré una mesa porque aunque sólo

tiene __________m2 es suficiente. Dónde no tengo dudas es en el otro dormitorio, es grande tiene __________m

2, y la

pared del fondo que mide __________m, se puede poner un armario de 2m sin que estorbe la puerta. Aunque el baño

tiene sólo __________m2 cabe en el fondo una bañera de ________m de larga, pues ocupa toda la pared

14/19

El termómetro es un instrumento de medición de temperatura. Desde su invención ha

evolucionado mucho, principalmente desde que se empezaron a fabricar los termómetros

electrónicos digitales. Los termómetros iniciales que se fabricaron se basaban

en el principio de la dilatación, por lo que se prefiere el uso de materiales con

un coeficiente de dilatación alto de modo que, al aumentar la temperatura, la

dilatación del material sea fácilmente visible. El metal base que se utilizaba en

este tipo de termómetros ha sido el mercurio encerrado en un tubo de cristal que incorporaba una

escala graduada. En el mes de julio de 2007 el Gobierno de España decretó la prohibición de

fabricar termómetros de mercurio por su efecto contaminante.

El creador del primer termoscopio fue Galileo Galilei; éste podría considerarse el predecesor del termómetro.

Consistía en un tubo de vidrio que terminaba con una esfera en su parte superior que se sumergía

dentro de un líquido mezcla de alcohol y agua. Al calentar el agua , ésta comenzaba a subir por el

tubo. Sanctorius incorporó una graduación numérica al instrumento de Galilei, con lo que surgió

el termómetro.

Por último, el densitómetro permite estudiar el calcio óseo. La densitometría

ósea es una prueba para determinar la densidad mineral ósea. Se puede hacer

con rayos x, ultrasonidos o isótopos radiactivos. Sirve para el diagnóstico de

osteoporosis. El test se realiza con el aparato que mide las imágenes y da una cifra de la cantidad

mineral ósea por superficie.

El test trabaja midiendo un hueso específico, o más, usualmente de la columna vertebral, cadera,

antebrazo. La densidad de esos huesos es comparada con un valor promedio basado en edad, sexo, tamaño. La

comparación de resultados se usa para determinar el riesgo de fracturas y el estado de osteoporosis en un individuo. Se

hace con el isótopo radiactivo Gadolinio 132, en forma de pastilla sólida dentro de un tubo. Este va montado sobre un

brazo que recorre la superficie del cuerpo del paciente. La radiación le atraviesa y es recogida por un detector

específico de radiación situado en la base del aparato. Es por tanto una técnica no invasiva.

El aparato mide las imágenes y da una cifra de la cantidad mineral ósea por superficie. Las cifras normales de

densidad mineral ósea (DMO) oscilan entre 0,97 y 1,28 mg/cm². Si es menor de 0,97 hay una DMO escasa y el 0,97 es

el llamado umbral de fractura (susceptible de sufrir una fractura patológica y de tratarlos con un tratamiento de

calcificación). El estudio de las densitometrías a lo largo de un periodo de tiempo determinado permite estudiar la

evolución de la pérdida de calcio, elaborar un pronóstico y por lo tanto hallar el umbral de fractura, permitiendo los

tratamientos preventivos correspondientes.

Ahora toca responder a estas preguntas

a) ¿De qué magnitudes trata este texto? b) ¿Qué aparato fue el predecesor del termómetro?

c) ¿Por qué se utilizaba mercurio en los termómetros?

d) ¿Qué ha ocurrido en España con los termómetros de mercurio?

e) ¿Qué es un manómetro? f) ¿De qué tipos de manómetros trata el texto?

g) ¿En qué consiste una densitometría ósea? h) ¿Qué elemento mide?

i) ¿Cuándo sabemos que corremos peligro de fractura ósea?

j) ¿Qué elemento químico se usa en la densitometría ósea?

1. Vamos a poner en práctica las fórmulas y unidades que hemos utilizado en el tema, para realizar algunos

cálculos, no te asustes, sólo hay que fijarse en las fórmulas que verás a continuación, y no confundirte con las

unidades a emplear. P = F /S ; D = M/V

Calcula (expresando el resultado en unidades del SI):

a) La densidad de un metal sabiendo que 2 kg ocupan 500 cm3.

b) La presión que ejerce una fuerza de 80 N sobre una superficie de 250

cm2.

2. Rellena las siguientes tablas.

5. Si para llenar una jarra de

medio litro necesitamos 540 g de

líquido ¿Qué densidad tiene?

6. Si ejercemos una fuerza de

100 N sobre el suelo de la

habitación (de forma

perpendicular) ¿qué presión hay

sobre dicho suelo?

Temperatura ºC

(Celsius) Kelvin

Corporal 36,5 º C

Casa 20º C

Calle 0º C

Agua

hirviendo 100º C

Congelador -18ºC

Magnitudes ¿Derivadas

fundamentales?

Cita las magnitudes de

las que deriva

Unidades

(SI)

Masa

Volumen

Temperatura

Densidad

Presión

Velocidad

Tiempo

Longitud

Superficie

Ámbito Científico – Tecnológico CEPer “Siete Villas” Matemáticas: Álgebra, La medida. Geometría.

15

Qué tipos de rectas son:

la a y la b ____________________

la c y la d ____________________

la m y la n ____________________

la f y la e ____________________

7. Escribe las fórmulas y después úsalas en las siguientes cuestiones.

Escribe las fórmulas matemáticas que relacionan las magnitudes siguientes

Presión, Fuerza y Superficie

Densidad, Masa y Capacidad (Volumen)

Velocidad, Espacio y Tiempo

a) El tiempo que tardas en recorrer 350 km viajando a una velocidad de 20 m/s

b) La fuerza que provocaría una presión de 2 Pa sobre la superficie de tu habitación

c) El peso (bueno, la masa) de 5 l de una sustancia cuya densidad es 8350 kg/m3.

d) El volumen que ocupan 80 g de mercurio, de una densidad de 13600 kg/m3

La Geometría. La geometría, es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en el plano

o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, paralelas, perpendiculares, curvas, superficies,

etc.

Una recta es una línea sin principio ni final, no tiene ni origen ni fin. Su longitud es infinita.

Cuando la línea tiene principio pero no tiene final se le denomina semirrecta

Y cuando la línea tiene principio y final se le denomina segmento.

Ángulo es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice. Esas dos

semirrectas que forman el ángulo se les llaman lados del ángulo. La semirrecta que parte del vértice y

divide al ángulo en dos partes iguales se llama bisectriz.

La abertura de un ángulo se mide en grados.

Según la abertura que tenga el ángulo pueden ser: recto si forma un ángulo de 90 grados, agudo si es menor de 90º y

obtuso si el ángulo que forma tiene más de 90 grados

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman un ángulo de 90º,

cuando se cortan y no son perpendiculares se dicen que son oblicuas.

Se dice que dos rectas son paralelas cuando están en el mismo plano y no se cortan por mucho que se les

prolongue.

Áreas o superficies de figuras planas CUADRADO: El cuadrado es un polígono que tiene los cuatro lados y los cuatro ángulos iguales.

Los cuatro ángulos son rectos. La suma de los cuatro ángulos es 360 grados.

Para hallar el área se utiliza la siguiente formula: A = l · l = L²

RECTÁNGULO: El rectángulo es un polígono de 4 lados, que son

iguales dos a dos.

Los ángulos de un rectángulo son todos iguales y rectos. Suman en total

360 grados.

Para hallar el área de un rectángulo se utiliza la siguiente formula: A = a · b

(Es decir, el área es igual a multiplicar el valor de la base (a) por el valor de la

altura (b).)

PARALELOGRAMO: El paralelogramo es un polígono que tiene 4 lados, que son

iguales y paralelos, de dos en dos.

Los ángulos son distintos de 90º. La suma de los 4 ángulos es de 360grados.

El área se halla con la formula siguiente. A = b · h

(Es decir, el área es igual al producto de la base (b) por la altura (h))

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TRIÁNGULO El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos.

La suma de sus tres ángulos siempre es 180 grados.

Para calcular el área se emplea la siguiente formula: A = (b · h)

2

(Es decir, la base (b) multiplicado por la altura (h) y dividido entre dos)

CLASES DE TRIÁNGULOS

Teorema de Pitágoras.

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama

hipotenusa y los lados que determinan el ángulo recto se llaman

catetos.

El teorema de Pitágoras afirma lo siguiente:

“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es

igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

a² = b² + c²

Para calcular cualquiera de los catetos, sólo tenemos que restarle

el otro cateto a la hipotenusa

b² = a² - c²

c² = a² + b²

ROMBO El rombo es un polígono que tiene los cuatro lados iguales y los ángulos son iguales

dos a dos. (Dos ángulos son agudos y los otros dos obtusos)

Para hallar el área se utiliza la formula siguiente: A = D . d

2

(Es decir, el área es igual al producto de la diagonal mayor (D) por la diagonal menor (d) y el

resultado se divide entre dos)

TRAPECIO El trapecio es un polígono que tiene 4 lados, de ellos, dos son

paralelos.

Los cuatro ángulos son distintos de 90º. La suma de los 4 ángulos es 360

grados.

El área se halla con la siguiente formula: A = B + b

2

(Es decir, el área es igual a la suma de las dos bases (B y b), multiplicado por la altura (h) y

dividido entre dos.)

POLÍGONO REGULAR: En este apartado están los polígonos regulares que tienen más de 4

lados iguales. Los ángulos también son iguales.

El de 5 lados se llama pentágono. El de 6 lados hexágono, etc.

Para calcular el área de estos polígonos se utiliza la siguiente formula: A = P . a

2

(Es decir, el área es igual al perímetro (P) multiplicado por la apotema (a) y dividido entre

dos.)

CÍRCULO

El círculo es la región delimitada por una circunferencia.

Para hallar el área del circulo se utiliza la siguiente formula:

A = . r2

multiplica (3,14) por el radio (r) elevado al cuadrado)

(Es decir, se

En cualquier figura plana también podemos calcular la medida de su contorno. A

esta medida se le llama perímetro y se obtiene sumando el valor de todos los

lados de dicha figura.

En el caso del círculo el perímetro recibe el nombre de circunferencia y se

calcula aplicando la siguiente fórmula:

Perímetro o longitud de la circunferencia = · diámetro = ·2 · r = 2 · · r

Según sus lados,

un triángulo puede ser

Según sus ángulos,

un triángulo puede ser

Equilátero,

si tiene los tres lados iguales

Acutángulo,

si tiene los tres ángulos agudos

Isósceles,

si sólo tiene dos lados iguales

Obtusángulo,

si tiene un ángulo obtuso

Escaleno,

si sus tres lados son desiguales

Rectángulo,

si tiene un ángulo recto

Ámbito Científico – Tecnológico CEPer “Siete Villas” Matemáticas: Álgebra, La medida. Geometría.

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Volumen de cuerpos geométricos. CUBO: El cubo es un cuerpo geométrico limitado por seis cuadrados iguales, también se le

conoce con el nombre de hexaedro.

Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:

Volumen del cubo = arista elevada al cubo V = a3

ORTOEDRO: El ortoedro es un cuerpo geométrico limitado por seis

rectángulos, paralelos e iguales dos a dos. V = a . b . c

PRISMA: El prisma regular es un cuerpo geométrico limitado por 2

polígonos regulares, llamados bases, y por tantos rectángulos como lados

tenga la base.

Se nombran diciendo PRISMA y el nombre del polígono de la base.

(Ejemplo: Prisma pentagonal, triangular…). V = Ab · h

(Es decir, el volumen es igual al área del polígono de la base multiplicado por la altura ( h ) del

prisma)

PIRAMIDE La pirámide regular es un cuerpo geométrico limitado por un polígono regular,

llamado base, y por tantos triángulos como lados tenga la base.

Se nombran diciendo PIRÁMIDE y el nombre del polígono de la base. (Ej: Pirámide cuadrangular).

V = Ab · h

3

(Es decir, el volumen es igual al área del polígono de la base multiplicado por la altura ( h ) de

la pirámide y dividido entre 3)

CILINDRO El cilindro es el cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo

al girar en torno a uno de sus lados.

V = Ab · h

(Es decir, el volumen es igual al área del círculo de la base multiplicado por la altura ( h ) del

cilindro)

CONO: El cono es un cuerpo geométrico engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno

a uno de sus catetos.

V = Ab · h/ 3

(Es decir, el volumen es igual al área del circulo de la base multiplicado por la altura ( h ) del cono

y dividido entre 3)

ESFERA: La esfera es un cuerpo geométrico engendrado al girar una semicircunferencia

alrededor de su diámetro.

V = 4/3 · · r

También se puede expresar con esta fórmula V = 4 · · r3

3

Es decir, el volumen es igual a 4 multiplicado por (pi), el resultado se multiplica por el cubo

del radio de la esfera y lo que resulta se divide entre 3).

ACTIVIDADES DE GEOMETRÍA

TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

1.- En un triángulo isósceles el ángulo desigual mide 40º. ¿Cuánto miden los otros dos ángulos?

a) 70º y 70º; b) 60º y 60º c) 60º y 80º

2.-En un triángulo rectángulo uno de los ángulos mide 32º. ¿Cuánto miden los otros dos ángulos?

a) 90º y 90º; b) 20º y 128º; c) 58º y 90º.

3. Calcula el área de un triángulo en el que una de sus bases mide 6 cm y su altura asociada mide 2 cm.

a) A = 7 cm2; b) A = 6 cm

2; c) A = 5 cm

2.

4.-Calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo en el que un cateto mide 8 cm y el otro cateto mide 6

cm.

a) 10 cm; b) 11 cm; c) 12 cm,

5.- Calcula el valor del cateto b en un triángulo de 12 cm de hipotenusa y de 9 cm el otro cateto.

a) b = 6,6 cm; b) b = 7,2 cm; c) b = 5,1cm.

6.-Calcula la diagonal del rectángulo de la figura sabiendo que los lados miden a = 9 cm, b = 10 cm.

a) Diagonal = 15,7 cm; b) Diagonal = 14 cm; c) Diagonal = 13,4 cm

7.-Los lados de dos triángulos son: A) a = 6 cm, b = 8 cm, c = 10 cm y B) a = 12 cm, b = 9 cm, c = 18 cm

Utilizando el teorema de Pitágoras, indica cuál de ellos es un triángulo rectángulo.

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8.- Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 25 cm y uno de sus catetos mide 15 cm. Calcula el otro cateto, el

área y el perímetro.

a) cateto = 30 cm, perímetro = 70 cm, área = 225 cm2.

b) cateto = 20 cm, perímetro = 60 cm, área = 150 cm2.

c) cateto = 10cm, perímetro = 50 cm, área = 75 cm2.

9.- Indica si las siguientes frases son verdadera o falsa:

- el rectángulo tiene las diagonales perpendiculares.

- el rombo tiene las diagonales iguales y perpendiculares.

10.- Un ángulo de un rombo mide 110º. Calcula el valor de los otros tres ángulos.

a) 110º, 70º y 70º; b) 80º, 90º y 100º; c) 110º, 60º y 60º.

11.- Un ángulo de un romboide mide 35º. Calcula el valor de los otros tres ángulos.

a) 15º, 15º y 35º; b) 90º, 90º y 35º; c) 145º, 145º y 35º

12.- Calcula el área de un cuadrado de 28 cm de perímetro.

a) A = 144 cm2; b) A = 49 cm

2; c) A = 169 cm

2

13.- Calcula el área y el perímetro de un rectángulo de base 5 cm y altura 3 cm.

A) A = 15 cm2, P= 16 cm; b) A = 25 cm

2, P = 8 cm, c) A = 9 cm

2, P = 14 cm.

14.-. Calcula el área y el perímetro de un rectángulo sabiendo que uno de sus lados mide 12 cm yuna de sus diagonales

mide 13 cm.

a) A = 50 cm2, P = 42 cm; b) A = 60 cm

2, P = 34 cm; c) A = 56 cm

2, P = 40 cm.

15.- Calcula la diagonal y el área de un campo de fútbol que tiene 100 metros de largo por 70 metros de ancho.

a) A = 7.000 m2, D = 122 m; b) A = 170 m

2, D = 122 m; c) A = 30 m

2, D = 170 m

16.- Calcula el área de un rombo cuyas diagonales miden 8 cm y 4 cm respectivamente.

a) A = 16 cm2; b) A = 12 cm

2; c) A = 32 cm

2

17.- Calcula el lado de un rombo, si su diagonales miden 24 cm y 10cm respectivamente.

a) 34 cm; b) 13 cm; c) 14 cm.

18.- Calcula el área de un trapecio de 4 cm de altura y cuyas bases miden 20 cm y 30 cm respectivamente

a) A = 100 cm2; b) A = 50 cm

2; c) A = 200 cm

2

19.- La base mayor de un trapecio isósceles mide 40 cm y la base menor mide 20 cm. La altura es igual a 10cm.

a) Halla el área del trapecio; b) Calcula los otros dos lados y halla el perímetro.

a) A = 300cm2, L = 14,1 cm y 14,1 cm, P = 88,2 cm

b) A = 125cm2, L = 12 cm y 14 cm, P = 86 cm,

c) A = 160cm2, L = 14 cm y 14 cm; P = 78 cm

AREAS Y VOLUMENES

20.-Expresa en dm2 el área de un triángulo de 2m de base y 120 cm de altura.

21.- El perímetro de un triángulo isósceles mide 17 cm, el lado desigual mide 3 cm. ¿Cuánto miden los otros dos

lados?

22.- Calcula el área de un trapecio de 34 mm de altura cuyas bases miden 0,05m y 7,1 cm.

23.- Calcula el área de un rombo cuyas diagonales miden 4,5 cm y 12 cm.

24.- Calcula el área de un polígono regular de 60 dm de perímetro y 8,5 dm de apotema. Expresa el resultado en

centímetros cuadrados.

25.- Calcula el área de un paralelogramo que mide 8 m de base y 2,4 m de altura.

26.- El perímetro de un rectángulo de 5,2 cm de base mide 57,2 cm. Calcula su área.

27.- Calcula el número de baldosas cuadradas que hay en un salón rectangular de 6 m de largo y 4,5 m de ancho, si

cada baldosa mide 30 cm de lado.

28.- Calcula cuál es el precio de un mantel cuadrado de 3,5 m de lado si el m2 de tela cuesta 7,20 €.

29.- El diámetro de una fuente pública es 2,5 m. Calcula su área.

30.- El lado de un decágono regular mide 16,5 mm, y la apotema, 25,4mm. Calcula su área en decímetros cuadrados.

31.- Calcula el volumen de un depósito en forma de prisma pentagonal regular cuya altura mide 2’5 cm y el área de la

base 80 cm2.

32.- Las pelotas de tenis se venden en latas de forma cilíndrica que contienen 3 pelotas cada una. Si el diámetro de la

lata es de 6’5 cm, calcular el volumen que queda libre en el interior de una lata.

33.- ¿Cuál es el área de un círculo de 5 cm de radio?

34.- Calcula el perímetro y el área de una plataforma circular de 20 m de diámetro.

34.- Halla el volumen de una esfera de radio 12 cm.

36.- La pirámide de Keops tiene base cuadrada de 230 m de lado y altura 146 m. Calcula su volumen.

37.- ¿Cuántos litros de agua hay que sacar de un depósito cilíndrico de 8 m de altura y 3’5 de radio básico para que el

nivel de agua descienda 3 m?

38.- Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm

de alto.

Ámbito Científico – Tecnológico CEPer “Siete Villas” Matemáticas: Álgebra, La medida. Geometría.

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CIRCUNSFERENCIA Y CÍRCULO

39.-Halla la longitud de una circunferencia de 20 cm de diámetro.

a) long = 70,1cm; b) long = 68 cm; c) long = 62,8 cm

40.- La longitud de una circunferencia es 50.26 m. Halla la longitud de su radio.

a) r = 8 m; b) r = 12 m; c) r = 14 m

41. Un árbol tiene 4 m de diámetro. ¿Cuántas personas con los brazos abiertos sobre el árbol hacen falta para rodearlo?

Considera 1.65 m por cada persona.

a) Entre 10 y 12 personas b) Entre 7 y 8 personas c) 5 personas.

42. El radio de las ruedas de una bicicleta es 0.5 m. ¿Cuántos metros avanza la bicicleta por cada vuelta completa de la

rueda? ¿Cuántas vueltas habrán dado cada rueda si la bicicleta ha recorrido 1 km?

a) Avanza 3,1 m por vuelta; Da 318,4 vueltas

b) Avanza 6,2 m por vuelta. Da 500,3 vueltas.

c) Avanza 7,1m por vuelta. Da 271,2 vueltas.

43.-Halla el área de un círculo de radio 10 cm y el área de un círculo de 20 cm de radio. Compara los resultados

obtenidos. ¿Es uno el doble que el otro?

a) A1 = 314 cm2, A2 = 1.256 cm

2. No es el doble sino el cuádruple.

b) A1 = 200 cm2, A2 = 400cm

2. Es el doble

c) A1 = 150cm2, A2= 450cm

2. Es el triple

44. Calcula la superficie de una moneda antigua de 25 pesetas, que mide 19 mm de

diámetro y tiene un agujero central de 5 mm de diámetro.

a) A = 189,6 mm2

b) A = 263,7 mm2

c) A = 310,1 mm2

45.- Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la

piscina a razón de 6 € el metro cuadrado.

a) Cuánto costará pintarla.

b) Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.

46.- En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de

alto. ¿Cuántas cajas podremos almacenar?

47.- Observa el plano y calcula: La superficie del chalet, de la piscina y del patio.