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AVALUO DE BIENES INMUEBLES

MATEMATICA FINANCIERA

Ing. Hector R. Tercero P.

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INFLACIÓN En una economía de mercado, es decir, en la cual los precios se establecen en el libre juego de la oferta y la demanda de bienes y servicios, estos no tienen una variación estable. Por el contrario, tienden a desbordarse, especialmente en las economías subdesarrolladas, en las cuales hay dificultades para el abastecimiento de productos a bajos niveles de eficiencia en la producción. Se convierte en un aumento constante y persistente a través del tiempo, del nivel general de precios, el cual produce una disminución del poder adquisitivo del dinero. La inflación es considerada como una plaga que devora el poder de compra del dinero. Este fenómeno tiene distintos origines: INFLACIÓN DE DEMANDA: Ocurre cuando la capacidad monetaria de la población y del gobierno resulta excesiva frente a una oferta insuficiente de productos y servicios en la economía. Una creciente demanda de alimentos, vestuario, vivienda, salud, educación, transporte o servicios públicos, que no es atendida por el sector público, que no es atendida por el sector productivo induce a un incremento de los precios porque como hay menos productos y más dinero estos pueden venderse más caros. INFLACIÓN DE COSTOS: Se origina por el lado de la oferta de productos y servicios, los cuales suben de precio en razón de un encarecimiento de las materias primas y de la mano de obra que se utilizó. EXPANCIÓN MONETARIA: En los países de America Latina. Uno de los factores que más ha influido en el proceso inflacionario y en consecuencia en el empobrecimiento de la población, es el déficit fiscal; para cubrir la diferencia entre bajos ingresos y altos gastos en el sector público, los gobiernos acuden a la emisión de dinero, la cual eleva la demanda de productos y servicios que el aparato productivo no alcanza atender. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO: Para entender este concepto, considerado el más importante en las matemáticas financieras, podemos hacer la siguiente pregunta. ¿Es lo mismo recibir $1,000.000 dentro de un año que recibirlos hoy? Lógicamente que no, por las siguientes razones:

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La inflación. Este fenómeno económico hace que el dinero día a día pierda poder adquisitivo, es decir que el dinero se desvalorice. Dentro de un año se recibirá el mismo $1,000.000 pero con un menor poder compra de bienes y servicios. Se pierde la oportunidad de invertir el $1,000,000 en alguna actividad, logrando que no solo se proteja de la inflación sino que también produzca una utilidad adicional. Este concepto es fundamental en fianzas y se conoce como costo de oportunidad. El costo de oportunidad es aquello que sacrificamos cuando tomamos una decisión. Existe, también, un costo de oportunidad asociado al costo de dinero. Lo define como el costo de la mejor alternativa que se desecha. Como todo recurso apreciable, el dinero tiene un costo de oportunidad. Este es el máximo interés que puede obtener una persona dentro del mercado en que se desenvuelve. En todas las actividades económicas en las que el hombre realiza inversiones esta implicado el riesgo. El dinero es un bien económico que tiene la capacidad intrínseca de generar más dinero. Este hecho lo puede constatar cualquier persona, por ejemplo, cuando deposita algún dinero en una cuenta de ahorros en una entidad financiera y después de algún tiempo al ir a retirarlo se encuentra con que sus ahorros han crecido, en forma mágica, al recibir una cantidad de dinero mayor. Por ese poder mágico de crecer que el tiempo le proporciona al dinero, debemos pensar permanentemente que el tiempo es dinero. Ahora, si la opción que se tiene es recibir el $1,000.000 dentro de un año, se aceptaría solamente si se entrega una cantidad adicional que compense las razones anteriores. Este cambio en la cantidad de dinero en un tiempo determinado es lo que se llama valor del dinero en el tiempo y se manifiesta a través del interés. Una cantidad de dinero en el presente vale más que la misma cantidad en el futuro. INTERÉS: Si aceptamos la opción de recibir $1,000.000 dentro de un año a no recibirlos en el día de hoy estamos aceptando que se use nuestro dinero, y por tal razón, se debe reconocer una cantidad adicional que llamamos valor del dinero en el tiempo. La medida de ese incremento del dinero en un tiempo determinando se llama interés. Interés es la medida o manifestación del valor del dinero en el tiempo.

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El interés es simplemente un arriendo pagado por un dinero tomado en préstamo durante un tiempo determinando. Si se presta hoy una cantidad de dinero (P) y después de un tiempo determinando se recibe una cantidad mayor (F), la variación del valor del dinero, de P a F se llana valor del dinero en el tiempo y la diferencia entre F y P es el interés (I). I= F - P Ejemplo: Si se depositan en una cuenta de ahorro $500,000 y después de 6 meses se tiene un saldo de $580,000 calcular el valor de los intereses. I= F - P I= $580,000 - $500,000 I= $80,000 El dinero depositado sufrió una variación al cabo de 6 meses de $80,000. La variación en el valor del dinero después de 6 meses se llama valor del dinero en el tiempo y su medida, ósea los $80,000 son los intereses. TASA DE INTERÉS: Porcentaje que mide el valor de los intereses. La palabra tasa se deriva del verbo tasar que significa medir. Como expresión matemática la tasa de interés (i) es la relación entre lo que se recibe de interés (I) y la cantidad prestada o invertida (P). i = I P Ejemplo: Se deposita en una entidad financiera la suma de $1,000,000 y al cabo del mes se retira $1,030.000 ¿Calcular el valor de los intereses y la tasa de interés ganada? P = $ 1,000.000 F = $ 1,030,000 La diferencia entre el valor futuro (F) y el valor presente (P) es el valor de los intereses (I) I = F – P I = 1,030.000 – 1,000.000 I = 30,000 La tasa de interés (i) es igual a la relación entre los intereses (I) y el valor depositado (P).

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i = I = 30,000 = 0.03 P 1,000.000 La tasa de interés obtenida esta expresada como decimal, por lo tanto, tenemos que convertirla en porcentaje multiplicando el resultado por 100. La tasa de interés es igual al 3% mensual. La tasa de interés expresada como porcentaje, debe estar siempre acompañada del periodo de liquidación de los intereses, ya que por sí solo no indica nada. DEFINICIÓN DE INTERES SIMPLE Los intereses devengados en un periodo no ganan intereses en los periodos siguientes, independientemente de que se paguen o no. Únicamente sobre el capital principal se liquidan los intereses sin tener en cuenta los intereses precedentes causados. La liquidación de los intereses se hace sobre el saldo insoluto, es decir, sobre el capital no pagado. CARACTERISTICAS DEL INTERES SIMPLE El capital inicial no varía durante todo el tiempo de la operación financiera ya que los intereses no se capitalizan. Esta condición se cumple siempre que no se haga abono al capital principal. En caso de pagos sobre el capital inicial, los intereses se calculan sobre el capital insoluto. CALCULO DEL INTERÉS I = Pin I = valor de los intereses P = capital n = tiempo i = tasa de interés, expresada como decimal Ejemplo: Juan David tiene un capital de $ 2,000.000. Invierte el 60% de este capital a una tasa de 36% simple y el capital restante al 2.0% mensual simple. Calcule el valor de los intereses mensuales simples. El 60% x 2,000,000 = $ 1,200,000 Juan David invierte su capital de la siguiente forma: $1,200,000 a una tasa del 36% anual simple $800,000 a una tasa del 2.0% mensual Calculo del interés mensual simple del $ 1,200,000 I = $1,200,000 x 0.36 x 1 = $36,000

12 Calcular del interés mensual simple de $ 800,000 I = 1,200.000 x 0.02 x 1 - $ 16.000

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El interés mensual simple de $800,000 1 – 800,000 x 0.02 x 1 = $ 16,000 El interés total recibido cada mes igual a la sima de los interese parciales: Interés total mensual: $ 36,000 + $ 16,000 = $52.000 VALOR FUTURO A INTERES SIMPLE Consiste en calcular el valor futuro F, equivalente a un valor presente P, después de n periodos a una tasa de interés simple i. El valor futuro es igual al capital prestado mas los intereses. F = P (1+ ni) Significa que si un capital P se presta en invierte durante un tiempo n, a una tasa de interés simple de i. entonces, el capital P se transforma en una cantidad F al final del tiempo. La tasa de interés y el número de periodos deben estar expresados en la misma unidad de tiempo. DESVENTAJAS DEL INTERES SIMPLE: Su aplicación en el mundo financiero es limitado. Desconoce el valor del dinero en el tiempo. No capitaliza los interés no pagados y, por lo tanto, estos pierden poder adquisitivo. Ejemplo: ¿Cuál será el valor a cancelar dentro de 10 meses por un préstamo de $5,000,000 recibidos en el día de hoy, si la tasa de interés es del 3.5% mensual simple. El siguiente es el flujo de caja. i=3.5% 5,000,000 ↑________________ 10 meses 0. ↓F=? Se identifica la información del problema: P = $5,000,000 i = 3.5% mensual simple n = 10 meses F = ?

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La tasa de interés como el número de periodos están en la misma unidad de tiempo. F = P(1 + ni) F = 5,000,000 (1+ 10 x 0.035) F = $ 6,750,000 El mismo resultado se obtiene al sumarle al capital inicial el valor de los 10 meses de intereses. VALOR PRESENTE A INTERES SIMPLE: Consiste en calcular un valor presente P equivalente a un valor futuro F ubicado n periodos adelante a una tasa de intereses simple de i. F P = ___ (1 + ni) Ejemplo: Un cliente, tiene que cancelar dentro de año y medio un valor de $ 2,500.000. Si la tasa de interés es del 3% mensual simple ¿Cuánto es el valor inicial de lo obligación? La tasa de interés esta en una unidad de tiempo diferente al número de periodos, por lo tanto, al aplicar la fórmula se convierten los años a meses. F P= ________ (1 + ni) 2,500,00 P = _________ (1 + 18 x 0.03) P = $ 1,623,376.62 La respuesta nos indica que $1,623,376.62 de hoy son equivalentes a $2.500.000 dentro de un año y medio, a una tasa de interés del 3% mensual simple. La diferencia entre $ 2.500.000 y $ 1.623.376.62 es igual a $876.623.38 que es el valor de los intereses que producen $ 2.500.000 durante año y medio a una tasa de interés del 3% mensual simple. CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS SIMPLE Consiste en calcular la tasa de interés simple (i) que arroja una inversión inicial (P) y después de (n) periodos se recibe una cantidad acumulada (F) F= P (I +ni)

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F = (1 + ni) P F – 1 = ni P i = 1 [ F – 1 ] n P Ejemplo: Un inversionista deposita el día de hoy en una corporación $1.000.000 y después de 6 meses retira $ 1,250,000. Calcular la tasa de interés simple ganada. El flujo de caja es el siguiente:

1,250,000 0 _________________________↑6 meses 1.000.000 ↓ i = 1 [1.250.000] -1 6 1.000.000 i= 0.0417 = 4.17% Al expresar en meses el número de periodos (n) en la ecuación, la tasa obtenida es mensual. Se conserva la condición que la tasa de interés y el número de periodos deben estar expresados en la misma unidad de tiempo. CALCULO DE TIEMPO DE NEGOCIACIÓN Consiste en determinar el número de periodos (n) que se requieren para que una inversión inicial (P) a una tasa de interés simple de (i) produzca un valor futuro (F). N = 1 [F/P - 1] i Ejemplo: ¿Cuánto tiempo se debe esperar para que un capital de $100 se convierta en $200 si la operación se realiza al 4% mensual simple? P= $100 F=$200 I = 4% mensual simple n = ?

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0 ____________________↑200 100↓ n n= 1 [200/100 -1 ]

0.04 n= 25 meses Sobre los $ 100 iniciales se aplica la tasa de interés del 4% mensual y se obtiene un valor de 100 x 0.04 = $ 4 mensuales de intereses. Si multiplicamos $ 4 por 25 meses de intereses se obtiene un valor acumulado de $100, que sumados al capital inicial de $ 100 arroja un valor futuro acumulado de $ 200. DEFINICIÓN DEL INTERÉS COMPUESTO Llamado también interés sobre interés. Es aquel que al final del periodo capitaliza los intereses causados en el período inmediatamente anterior. En el interés compuesto el capital cambia al final de cada periodo debido a que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital sobre el cual se calculan los intereses. CAPITALIZACIÓN Proceso mediante el cual los intereses que se van causando periódicamente se suman al capital anterior. PERIODO DE CAPITALIZACIÓN: Período pactado para convertir el interés en capital. VALOR FUTURO A INTERES COMPUESTO: F= valor acumulado o valor futuro P= Valor presente de la obligación i= tasa de interés periódica N= número de periodos F=P(1+i)n La expresión significa que es equivalente P en el día de hoy a F dentro de n periodos a una tasa de interés de i por periodo. Esta formula es conocida como la formula básica de las matemáticas financieras.

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El factor (1+i) n se conoce con el nombre de “Factor de capitalización de pago único”. CARACTERISTICAS DEL INTERÉS COMPUESTO El capital inicial cambia en cada periodo porque los intereses que se causan se capitalizan, o sea se convierten en capital. La tasa de interés siempre se aplica sobre un capital diferente. Los intereses periódicos siempre serán mayores. Ejemplo: se invierten $1,000.000 durante 6 meses en una corporación que reconoce una tasa de interés del 3% mensual. Se desea saber ¿Cuánto dinero se tendrá acumulado al final del sexto mes? F=P (1+i) n F=1,000,000 (1+ 0.03) 6 F= $1,194,052.29 Son equivalentes a un $1,000,000 en el día de hoy que $1,194,052.29 dentro de 6 meses a una tasa del 3% mensual, asumiendo que los intereses causados anualmente se van capitalizando o reinvirtiendo. ANALISIS DE LA FORMULA DE INTERES COMPUESTO Es la base para los cálculos financieros. Se basa en dos condiciones: 1. Los interés que se causan periodo a periodo se capitalizan, ósea no se pagan si no que se suman al capital anterior para formar un nuevo capital. 2. Los intereses se reinvierten a la misma tasa de interés. LA TASA NOMINAL Es la que se pacta a una operación financiera. Tasa efectiva es la que realmente se paga. Cuando se pacta una tasa de interés en una operación financiera (tasa nominal) y el periodo de liquidación de interés (periodo de capitalización) es menor que el tiempo en que esta expresada la tasa nominal, la tasa que realmente se paga (tasa efectiva) es mayor que la tasa nominal. Cuando el prestamista tiene la posibilidad de reinvertir los intereses recibidos del prestatario, obtiene un rendimiento mayor que la tasa pactada en el préstamo. Cuando el prestatario cancela interés en un tiempo menor al tiempo en que se expresa la tasa del préstamo, paga un costo mayor al costo mayor al costo de oportunidad.

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VALOR PRESENTE A INTERES COMPUESTO: Consiste en calcular el valor de P equivalente hoy a una cantidad futura F ubicada (n) periodos adelante (en el futuro) considerando una tasa de interés compuesta i. De la expresión F= P (1+i) n Se despeja P P = F/ (1+i) n Ejemplo: Un cliente, necesita disponer de $300,000 dentro de 6 meses para el pago de la matrícula de su hijo. Si una corporación le ofrece el 3.5% mensual ¿Cuánto deberá de depositar hoy para lograr su objetivo? F=$ 300,000 i=3.5% mensual n=6 meses P=? APLICANDO LA FORMULA NOTACION ALGEBRAICA: P= F (1+i) n P= 300.000 (1+0.035) 6 P= $244,050.19 P=300,000(PF3.5%6) TASA DE INTERÉS COMPUESTA EJEMPLO: Si en el día de hoy se invierten $100 después de año y medio se tienen acumulados $200 que tasa de interés arrojó la operación?

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P=$100 F=$200 n=5 años i=? El flujo de caja es el siguiente: 200 0 ______________i=?________ _______↑ 1.5 años ↓ 100 Aplicando logaritmos: F=P(1+i) n Log F=Log P+ n Log.(1+i) Log F- Log P=n Log (1+i) Log (1+i) = Log F- Log P n Log (1+i) = Log 200 – Log 100 18 Log (1+i) = 0.0167 (1+i) = Antilogaritmo 0.0167 (1+i) = 1.0393 i=1.0393 -1= 3.93% mensual NOTACION ALGEBRAICA

F=P (1+i) n 200 = 100 (1+i) 18 2=(1+i) 18 Sacándo raíz 18 a ambos miembros de la igualdad, esta subsiste: 18 √2.00 = (2.00) 1/18 que es la raíz de una potencia 18 √(1+i) 1/18 = (1+i) que es la raíz de una potencia. (2.00) 1/18 = 1+i 1.0393 = 1+i 1.0393 -1=i i= 0.0393 =3.93% mensual TIEMPO DE NEGOCIACION Una Inversión inicial a una conocida tasa de interés con el propósito de obtener una cantidad futura determinada, y se desea conocer en cuánto tiempo se obtendrá esta cantidad futura.

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Ejemplo: Si se realiza una operación financiera con una tasa de interés del 4% mensual ¿Cuánto tiempo se debe espera para que $500,000 de hoy se conviertan en $711,656?. F = $711,656 i = 4% mensual P = $ 500,000 n = ? i = 4% mensual 0 __________________________↑ 711.656 ↓ n 500,000 Notación algebraica F = P (1+i)n 711,656 = 500,000 (1+0.04) n 711,656 = (1+0.04) n 500,000 1.4233 – (1+0.04) n La anterior es una exponencial, que se resuelve aplicando logaritmos a ambos miembros de la igualdad. Log 1.4233 =n Log 1.04 n = Log 1.4232 Log. 1.04

n= 0.1533 0.0170 n= 9 meses TASA NOMINAL La tasa nominal, como su nombre lo indica, es una tasa de referencia que existe solo de nombre porque no nos determina la verdadera tasa de interés que se cobra en una operación financiera.

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TASA EFECTIVA Es la tasa que mide el costo efectivo de un crédito o la rentabilidad efectiva de una inversión, y resulta de capitalizar o reinvertir los intereses que se causan cada período. Cuando se habla de tasa efectiva se involucra el concepto del interés compuesto, ya que esta resulta de la reinversión periódica de los intereses.