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MATEMATICA1TRANSCRIPT
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1 Elaborado por: Aux. de Doc: Vedia Vasquez Jose Carlos Cel: 76272729 / e-mail: [email protected]
Ejercicios resueltos de logaritmos y ecuaciones
exponenciales Paso a paso:
1. Resolver la ecuacin logartmica:
Solucin: Note que LAS BASES DE LOS LOGARITMOS NO SON
LAS MISMAS, por lo que primero se deben igualar las
bases, aplicando la propiedad en la
expresin
Ordenando
Pero la expresin es la frmula DEL CAMBIO DE BASE
( )
Aplicando la propiedad de en el
lado izquierdo
Pero
Aplicando la propiedad
Aplicando la propiedad en el lado derecho
para luego pasar a multiplicar al lado izquierdo.
Aplicando la definicin:
2. Resolver:
Solucin: Como puede observar, es imposible igualar las
bases (3 y 7) por lo tanto simplemente, aplicamos logaritmo
a los dos lados de la ecuacin PARA PODER BAJAR LOS
EXPONENTES:
Recuerde que CUANDO EL LOGARITMO NO TIENE BASE, SE
SOBREENTIENDE QUE ESTA EN BASE 10 ( )
Ahora aplicamos la propiedad para
bajar los exponentes de los argumentos.
Distribuyendo el log7
Llegando los logaritmos con x al lado derecho para luego
hacer factor comn y finalmente despejar se tiene:
3. Resolver:
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2 Elaborado por: Aux. de Doc: Vedia Vasquez Jose Carlos Cel: 76272729 / e-mail: [email protected]
Solucin: Para comenzar Ud. debe tener clara la diferencia
entre y , como puede observar, en el
primer caso el 2 esta EN EL LOGARITMO, por lo que esa
expresin se debe entender de la siguiente manera
o lo que es igual a
(exactamente igual a entender ), mientras que en
el segundo caso, el 2 esta SOLO AFECTANDO AL
ARGUMENTO DEL LOGARITMO, por lo tanto podemos
escribir el ejercicio de la siguiente forma:
Ahora para simplificar el ejercicio hacemos UN CAMBIO DE
VARIABLE:
Reemplazando:
Con lo que se tiene una ecuacin cuadrtica que se puede
Factorizar:
Igualando cada factor a cero:
Volviendo al cambio de variable
Para
Aplicando la definicin de logaritmo se tiene:
Para
Aplicando la definicin de logaritmo se tiene:
4. Resolver:
Solucin: Note que el LOGARITMO NEPERIANO (Ln) NO es
un logaritmo nuevo ni mucho menos, cuando Ud. vea el Ln
en los ejercicios, Ud, solo debe entenderlo como un
logaritmo normal (que sigue todas las reglas conocidas),
PERO CON BASE e (que ya no se escribe) es decir:
(se sobre entiende que la base del logaritmo
neperiano es e)
Para resolver el ejercicio aplicaremos la propiedad:
, pero para esta propiedad NO DEBE EXISTIR UN
NUMERO DIFERENTE DE 1 MULTIPLICANDOLE AL
LOGARITMO, por lo que primero debemos subir el 3 como
exponente del argumento x
Aplicando la propiedad
Ahora llevamos el 8 al lado derecho y lo expresamos en una
base que este elevada al cubo para hacer la igualacin, como
ser
Finalmente aplicando la propiedad de si los exponentes son
iguales, entonces LAS BASES TAMBIEN TIENEN QUE SER
IGUALES
Por lo tanto IGUALANDO BASES se tiene que
5. Demostrar que:
Demostracin: Note que el ejercicio NOS PIDE LA
DEMOSTRACION, y no as, LA RESOLUCION, es decir que
cuando se debe DEMOSTRAR, se debe elegir UN SOLO LADO
DE LA ECUACION, (sea cual sea, pero por comodidad se
toma el lado ms grande, Ud, debe tomar en cuenta que si
ha elegido un lado, NO PUEDE HACER NADA en el otro lado
que no eligio, tampoco se pueden pasar al otro lado las
expresiones, SOLO SE TRABAJA EN UN LADO)
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3 Elaborado por: Aux. de Doc: Vedia Vasquez Jose Carlos Cel: 76272729 / e-mail: [email protected]
Trabajaremos en el lado izquierdo, primero aplicaremos la
formula en el exponente.
Ahora aplicamos la propiedad: (con la que solo
nos quedar el argumento del logaritmo neperiano)
En el numerador se tiene UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS
Simplificando el ejercicio queda demostrado.
6. Resolver la siguiente ecuacin:
Solucin:
Note que todo el ejercicio se puede llevar a BASE 3 de la
siguiente manera
Ahora aplicando la propiedad para la
expresin , luego llevando al lado derecho la
expresin y aplicando la propiedad
Aplicando la propiedad de teora de exponentes en el lado
derecho
Ahora aplicando la propiedad que dice SI LAS BASES SON
IGUALES, LOS EXPONENTES TAMBIEN TIENEN QUE SER
IGUALES
Igualando los exponentes se tiene (ya no escribimos las
bases)
Resolviendo la ecuacin:
7. Resolver la siguiente ecuacin logartmica:
Solucin: Como puede observar, el sistema es sumamente
sencillo, pero entr varias veces al examen de ingreso de
medicina, bastar con SUMAR LAS DOS ECUACIONES
MIEMBRO A MIEMBRO.
Sumando las ecuaciones (1) y (2)
Note que AUN no se puede aplicar la definicin de
logaritmos, YA QUE PARA ESTO EL LOGARITMO DEBE ESTAR
SOLO, por lo que primero pasamos a dividir el 2 al lado
derecho.
Aplicando la definicin de logaritmo
Reemplazando en (1) para hallar y
Pero
Aplicando la definicin:
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8. Resolver la siguiente ecuacin logartmica.
Solucin: Para empezar podemos bajar los exponentes de
cada argumento (del primer y segundo logaritmo que son
respectivamente ) con la propiedad
Ahora tratamos de igualar las bases aplicando la propiedad
en , por otra parte en la parte
de se reconoce la formula de cambio de base y se la
escribe como
Ahora aplicamos la formula de la cadena que es:
(tanto en el primer como en el segundo
trmino)
Ahora subimos el numero 2 para luego aplicar la formula
de suma de logaritmos
Finalmente con la definicin de logaritmos tenemos que:
9. Hallar el valor de x
Solucin: Lo que est dentro del parntesis no es nada ms
que la frmula del cambio de base.
Como se puede apreciar se tiene la misma expresin elevada
a la misma expresin (en los dos lados de la ecuacin) por lo
tanto por comparacin se tiene que tanto las bases como
los exponentes tienen que ser iguales para que se cumpla
la igualdad, de donde:
Finalmente por la definicin de logaritmo:
10. Resolver:
Solucin: Lo primero que debemos hacer es igualar las
bases, para esto utilizamos la propiedad ,
por otra parte podemos dividir el ejercicio entre 4
Haciendo operaciones:
Aplicando la propiedad de suma de dos logaritmos y
pasando la fraccin al otro lado de la ecuacin.
Finalmente con la definicin de logaritmo
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11. Sabiendo que:
Calcular:
Solucin: Trabajando en la condicin utilizando la propiedad
Haciendo un poco de algebra se tiene
Aplicando logaritmos a la ltima ecuacin se tiene:
Aplicando la propiedad de y tambin
Llevando a dividir el logaritmo se tiene que la expresin del
lado derecho es lo que queremos calcular
De donde se tiene que la respuesta es 2
12. Resolver para x
411 2
212ln2
x ex
x
Solucin:
Efectuando un cambio de variable: 12xu
Reemplazando:
4 4 422lnln2 u uu eu e uuu
uu
2uu 2u 4u 4
2
u
u
u
Por comparacin en la ltima expresin se tiene que u=2
Volviendo al cambio de variable
1 x 1 x 21 22x
13. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
.)2....(..........8
)1......(..........2loglog
xy
xy
yx
yx
Solucin: Trabajando en (1) con la propiedad de cambio de
base se tiene que:
2log
1log 2loglog
y
yx
xyx xy
Haciendo un cambio de variable xu ylog
Reemplazando en la ltima expresin:
1u 01)-(u
012u 21
2
2 uu
u
Volviendo al C.V.
)3.........( x y x 1log 1y yx
(3) en (2)
4y 82y 8 yyyy yy
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22yy Por comparacin se tiene que: xy 2
La solucin es: 2yx
14. Hallar el valor de:
si
Solucin: Reemplazando el valor de a
15. Hallar el valor de x en:
Solucin: Recordando la propiedad se
elimina el logaritmo del lado izquierdo por lo que
solo queda resolver una ecuacin algebraica.
:
16. Hallar el valor de x
Solucin: Recordando propiedades de exponentes
y desglosando el nmero 9 como 3
al cuadrado.
Ordenando se tiene una ecuacin cuadrtica en la
variable
Igualando cada factor a cero:
i)
ii)
De las dos opciones anteriores, solo se toma en cuenta la
segunda, ya que en la primera sabemos ningn numero
positivo (en este caso el 3) elevado a cualquier cosa, puede
dar de resultado un numero negativo (en este caso el -18)
Como las bases son iguales, los exponentes tambin tienen
que serlo:
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17. Resolver:
Solucin: Primero despejamos una variable de la ecuacin
(2) y la reemplazamos en la ecuacin (1), despus de esto,
aplicamos propiedades de logaritmos para llegar a una
ecuacin algebraica y eso ser todo.
(3) en la ecuacin (1)
Factorizando por el mtodo del aspa (no pierda de vista que
se tiene una ecuacin cuadrtica en la variable log x)
Igualando los dos factores a cero se tienen dos opciones:
i)
Para hallar y se reemplaza en (3)
ii)
..Resp
Para hallar y se reemplaza en (3)
18. Resolver el sistema de ecuaciones:
Solucin: Trabajando en la ecuacin (1)
recordando que para luego igualar
exponentes ya que las bases son iguales.
Reemplazando (3) en (2) y tomando en cuenta que 1=log 10
Se tiene una ecuacin cuadrtica en la variable ,
factorizando se tiene:
Igualando cada factor a cero se tiene dos opciones:
i)
Para hallar b se reemplaza en la ecuacin (3)
ii)
Para hallar b se reemplaza en la ecuacin (3)
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19. Hallar el valor de x en:
Solucin: Para resolver el problema recordemos la
siguiente propiedad: , haciendo este
artificio no se altera la igualdad ya que el cuadrado
se elimina con la raz, por lo tanto hacemos eso para
el numero 2 varias veces.
Ahora volvemos a hacer el artificio con el cuadrado
del exponente.
Volvemos a hacer el artificio una vez ms
Finalmente para que se cumpla la igualdad tenemos por
COMPARACION que:
20. Resolver:
)2......(..........25
)1.....(..........52
loglog
5log2log
yx
yx
Solucin: Trabajando en (1) Aplicando logaritmo en base 10
yx
yx
5log*5log2log*2log
5log2log5log2log
yx log5log*5loglog2log*2log
)1(..........log*5log5loglog*2log2log 22 yx
Trabajando en (2) (aplicando logaritmos en base 10)
2log*log5log*log 2log5log loglog yxyx
)2.(..........log*5log
2loglog yx
(2) en (1)
log*5log5loglog*5log
2log*2log2log 22 yy
log*5log5loglog*2log5log*2log 2322 yy
5log*2log5log log*5loglog*2log 2322 yy
5log2log*5log5log2log*log 2222y
1-
-1
5y
log5logy 5loglog y
En (2)
5log*5log
2log*1log
5log*5log
2loglog 1
x
x
1-
-1
2 x
log2logx 2log1log x
Las respuestas son:
5
1y
2
1x