Semana 9Nociones básicas sobre funciones

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¡Hola! Estimado participante, en esta uni-dad nos ocuparemos de exponer las formas más comunes en las que se especifi can las relaciones y funciones, podrás distinguir una función de una relación, indicar cuál es el dominio y rango de ésta, cuáles son las formas usuales de representarlas, así como también obtener valores numéricos a través de una función defi nida por una fórmula.

El Instituto Nacional de Nutrición creó el trompo alimenticio para orientar la dieta nacional, según los hábitos de consumo autóctonos, la producción del campo venezolano y la política agroalimentaria del Gobierno. La idea es utilizar las franjas para incorporar los grupos de alimentos según la importancia que de-ben tener en la mesa diaria.

Según la imagen del trompo, responde: ¿Cuáles ali-mentos aparecen en la franja verde?, ¿qué característi-cas tienen esos alimentos?, ¿puede pertenecer el pes-cado a la franja de color verde? Según la clasifi cación de estos alimentos, ¿puede pertenecer un alimento a dos franjas a la vez? Al realizar el listado de la franja verde, podemos decir que tenemos una colección o grupo de alimentos, donde cualquier alimento que se encuentre allí necesariamente debe ser fruta o verdura.

Con esta idea en mente, podemos defi nir los conjuntos:

Conjunto es una agrupación, colección o reunión de obje-tos de cualquier naturaleza o números, que se caracterizan por tener algo en común. Cada uno de los objetos o números que forman el conjunto se llaman elementos.

Un conjunto es una colección bien defi nida de objetos de cualquier clase.

Nociones básicas sobre funciones Semana 9

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1. Un auto se mueve con movimiento uniforme; este movimiento se representa en el plano cartesiano y se obtiene la gráfi ca velocidad- tiempo, mostrada en la Figura 17.

Figura 17

De esta gráfi ca se puede decir que, cuando ha transcurrido una hora, el auto tiene una velocidad de 30km por hora, y si transcurren 4 horas ¿qué velocidad lleva el auto? Podemos visualizar dos conjuntos: uno que corresponde al tiempo, que llamaremos conjunto de partida; y otro, el del valor de las velocidades, será el conjunto de llega-da. Notarás que, a través de la gráfi ca, se asocian las horas con la velocidad, es decir, se establece una correspondencia o relación entre los elementos de un primer conjunto (conjunto de partida o salida) con los elementos de un segundo conjunto (conjunto de llegada).

Una relación (R) es una asociación entre elementos de dos conjuntos.

Una relación R puede expresarse mediante pares ordenados, usando un diagrama sagital, tabla de valores o una gráfi ca. Teniendo una de las expresiones, se pueden obtener las demás.

Veamos las diferentes representaciones para el ejercicio anterior:

Tabla de valores

Tiempo Velocidad

1 30

2 60

3 90

4 120

5 150

Pares ordenadosR= {(1,30), (2,60),

(3,90), (4,120), (5,150)}

Diagrama sagital

A

12-34

B

306090

120

160

140

120

100

80

60

40

20

0

0 1 2 3 4 5 6

Velo

cida

d (k

m/h

)

Tiempo (horas)

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Visualicemos ahora otro ejemplo:

2. Sean los conjuntos A y B, que se muestran en el diagrama sagital, están asociados mediante la relación R: “aparatos que transforman la energía eléctrica en”. Expresémosla a través de pares ordenados y de una tabla.

Recuerda, el uso eficiente de nuestros elec-trodomésticos contribuye a minimizar el gas-to de petróleo, carbón y gas, que son alta-mente contaminantes.

Concepto de función

Observa que todas las representaciones del ejemplo 1, tienen la característica de que todos los elementos del conjunto de partida están relacionados y a su vez con un único elemento del conjunto de llegada. En este caso, en lugar de relación, hablamos de función.

Una función es una relación (correspondencia o regla) que cumple con las siguientes condiciones:

- Todos los elementos del conjunto de partida están relacionados.

- A cada elemento del conjunto de partida, le corresponde un único elemento del conjunto de llegada.

Una función representa la forma, regla o cri-terio de relacionar ambos conjuntos.

¿Es el ejemplo 2 un modelo de función? Justifica tu respuesta.

Observemos más ejemplos para afianzar los conocimientos:

Indica cuáles de las siguientes relaciones son funciones y explica por qué.

C

10121416

D

56789

C

579

11

D

579

1013

A

Perro

Avestruz

Serpiente

Ballena

B

Ovíparo

vivíparo

a) “es el doble de” b) “es igual que” c) “según su forma de nacer”

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a) Todos los elementos del conjunto de partida están relacionados y a su vez con un único elemento del conjunto de llegada, por tanto es función. Fíjate de que a pesar que el elemento 9 del conjunto de llegada no está relacionado, sigue siendo función. Las condiciones para que una relación sea una función deben verificarse sobre el conjunto de partida.

d) De la tabla de valores se deduce que a cada litro de gasolina le corresponde un único precio, por tanto decimos que es función.

g) No es función, puesto que el elemento 16 del conjunto de partida no está relacionado con ningún elemento del conjunto de llegada.

h) La relación no es una función, porque el elemento 4 del conjunto de partida está relacionado con dos elementos del conjunto de llegada, -2 y 2.

Dominio y rango de una función

Al conjunto de partida lo llamamos dominio y lo simbolizamos Domf ; los elementos del dominio los llamamos pre imagen. En el caso a) el dominio de la función es Domf = [10, 12, 14, 16].

d) e)

f ) g)

h) Sea R la relación definida por la “raíz cuadrada es”R = {(4, 2), (5, 2.24), (9 ,3), (4, -2)}

i) Sea R la relación definida por “es cuadrado de”R = {(1, 1), (-1, 1), (2 ,4), (3, 9)}

Litros de gasolina (x) 0 1 2 3

Precio (y) 0 0,97 1,94 2,91

Kilos de arroz (x) 1 3 5 6

Precio (y) 3 9 15 18

6

5

4

3

2

1

00 1 2 3 4

7,5

7

6,5

6

5,5

5

4,5

4

3,5

3

0 1 2 3 4

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Al conjunto de llegada se le denomina codominio y los elementos de éste que es-tán relacionados los llamamos imagen; al conjunto de todas las imágenes se le llama recorrido o rango y lo simbolizamos Rgf. En el mismo caso a) Rgf= [5, 6, 7, 8], observa que el elemento 9 no pertenece al rango, porque no está relacionado.

Función definida por una fórmula

En los ejemplos anteriores hemos visto que las funciones están representadas por diagramas sagitales, pares ordenados y tabla de valores. Veamos otra forma de definir una función, a través de una fórmula matemática.

Cuando una función está dada por una fórmula y se desea hallar la imagen de cualquier elemento, bastará con sustituir cada valor del dominio (x) en ella y realizar las operaciones indicadas.

Observemos el siguiente ejemplo:

Se encarga a una editorial cierto número de libros, cuyo precio es de 60 Bs. cada uno. La editorial cobra 30 Bs. por el envío, independientemente del número de libros pedido. La fórmula que relaciona precio (y) - números de libros (x) está dada por y= 30 + 60x .

Antes de continuar con el ejercicio, aclaremos dos términos importantes; fíjate que a medida que se incrementa el número de libros el precio también aumenta. Al número de libros se le llama variable independiente (por lo general, se representa con la letra x); cuando ésta es modificada, el precio (variable dependiente, y) se ve afectado o “depende” del valor que asuma la otra.

Si queremos saber cuánto es el costo para 10, 12, 15 y 18 libros ¿qué hacemos? Consideremos que los valores que toma el número de libros es nuestro dominio, Domf = {10, 12, 15, 18} y el precio de ellos (la imagen) representa nuestro rango. Vamos a hallar el rango de la función para los valores dados; para ello hacemos uso de la fórmula y= 30 + 60x. Procedemos:

Para x= 10 y= 30 + 60x = 30 + 60 · (10) = 30 + 600= 630

Para x= 12 y= 30 + 60x = 30 + 60 · (12) = 30 + 720= 750

A cada valor de x la función le asocia una única imagen y

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Sustituye los valores restantes, 15 y 18, en la fórmula y obtén las imágenes. ¡Hazlo! Para organizar estos datos, se recomienda utilizar la tabla de valores, a la que le anexa-remos una fi la que contiene los pares ordenados.

Tabla 6

Saber más

Complementa la información sobre funciones, consultando la siguiente direc-ción web: http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

Termina las actividades pendientes; indica cuáles son funciones, determina dominio y rango en cada una de ellas.

Los babilonios ya utilizaban cuadros que asociaban cada número natural con su cua-drado, aunque no parece posible que entendiesen el concepto de función. Ptolomeo utilizó las funciones, pero tampoco parece que estuviese cerca del concepto actual de función. Galileo si se acercó a este concepto cuando asoció los diámetros con sus correspondientes círculos. Pero fue Descartes quien introdujo el álgebra en la geome-tría, al afi rmar que una curva puede dibujarse al permitir que una línea tome sucesiva-mente un número infi nito de valores distintos.

El término función fue usado por primera vez por Leibniz en agosto de 1673. Y aho-ra, en el siglo XXI, no hay medio de comunicación que se resista a este concepto y a su representación gráfi ca. Podríamos decir que quien no sabe interpretar funciones, no sabe interpretar la información que nos rodea.

Puedes continuar esta lectura, visitando la siguiente dirección web: http://soniafun-ciones.blogspot.com/2009/02/leonhard-euler-1707-1783-nace-en.html

Domf X 10 12 15 18

Rgf y 630 750 930 1110

(x, y) (10, 630) (12, 750) (15,930) (18,1110)

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1. En tu salón de clases hay mucha matemática. Imaginemos esta situación: en tu aula puede ocurrir que, a) el número de participantes exceda al número de pupitres; b) el número de participantes sea menor que el número de pupitres. Defi namos la relación de la manera siguiente: R “a cada participante le corresponde un pupitre”.

A: conjunto formado por todos los participantes (partida).

B: conjunto formado por todos los pupitres (llegada).

Bajo estas condiciones ¿en cuál caso es función?

2. Andrés tiene un pequeño taller en el que se dedica a la fabricación de muebles con tejidos y diseños muy sofi sticados. En mantenimiento del taller y compra de material invierte 1500 Bs., y el precio de venta por juego de muebles es de 2500 Bs. La función que describe la ganancia (y), por número de muebles fabricados (x), es:

a) ¿Cuáles son las ganancias para uno, dos o seis juegos de muebles? Elabora una tabla de valores con estos datos.

b) Indica la variable independiente y dependiente.

c) Ayudándote con la tabla de valores elaborada, haz una representación gráfi ca de la función que relaciona muebles-ganancia.

Expresiones cómo las siguientes son rela-ciones, pero además dan la idea de función:

A cada persona le corresponde una edad.

A cada artículo del supermercado le corres-ponde un precio.

A cada venezolano le corresponde un nú-mero de cédula.