Multiplicación y división de polinomiosSemana 7

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Multiplicación y divisiónde polinomiosSemana 7

7x 7cm illustracion¡Seguimos trabajando! A partir de esta semana falta por “recorrer” la mitad del curso, así que ¡mucho ánimo! En este en-cuentro continuamos abordando las ope-raciones de polinomios; ahora es el turno de la multiplicación y división.

Para facilitarte el aprendizaje de esta unidad, debes revisar la semana Nº 5 del ma-terial de 7mo semestre y tener muy claros los conceptos que trabajamos la semana anterior. En principio, queremos que recuerdes muy bien cómo se resuelve la división de números. Te colocamos un ejemplo resuelto. Este procedimiento te será de gran utilidad para dividir polinomios.

Dividendo 72´22 23 Divisor -69 314 Cociente 032 -23 092 92 (0) Residuo o resto

Multiplicación de polinomios

De manera similar que en los números, se busca obtener un nuevo polinomio, cu-yos términos dependan del producto de los términos de los polinomios dados. La regla básica es que los coefi cientes se multiplican entre ellos, considerando los signos, y las variables siguen la regla del producto de potencias de igual base. Veamos un ejemplo:

Vamos a considerar el producto de los polinomios R(x) = 7x3 + 4x2 -9 y S(x) = 3x4 + 5x3

- 2x - 3 (nótese que los polinomios están ordenados). En la Tabla 4, tomaremos al poli-nomio R(x) como operador, esto es, el que multiplicará a S(x) (polinomio multiplica-do). Colocamos en cada fi la del operador los términos de R(x) y a su lado colocamos a S(x). De esta manera, garantizamos que se multipliquen todos los términos, como se indica en la primera fi la, mediante colores y líneas para ilustrar el procedimiento. En la columna del producto vemos la operación que se realiza término a término; estos re-sultados se colocan en la cuarta columna como un polinomio ordenado. Finalmente, se realiza la suma de los resultados de cada fi la para obtener el producto R(x)• S(x).

Semana 7Multiplicación y división de polinomios

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Tabla 4

Si analizamos mejor la tabla, podremos “intuir” que se presenten varios casos:

1. Tanto el operador como el polinomio multiplicado son monomios: multiplicamos los coeficientes con sus signos y las variables. Sería el caso de los números en rojo en el cuadro. Si P(x) = 7x3 y Q(x) = 3x4, P(x)•Q(x) = 7x3(3x4) = 21x7

2. El operador es un monomio y el polinomio multiplicado es un polinomio: se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio (propiedad distributiva). Este es el caso de cada una de las filas de la Tabla 4 consideradas separadamente. Si N(x) = 4x2 y S(x) = 3x4 + 5x3- 2x-3, N(x)•S(x) = 4x2 (3x4) +4x2 (5x3) +4x2 (-2x) +4x2 (-3) = 12x6 +20x5 -8x3 -12x2

3. Tanto el operador como el polinomio multiplicado son polinomios: se sigue todo el procedimiento presentado en la Tabla 4.

División de polinomios

Es importante recordar la relación entre los términos de la división:

Dividendo = divisor x cociente + residuo

En los polinomios esta relación se mantiene, por lo que el propósito de esta opera-ción es, dado un polinomio dividendo y un polinomio divisor, conocer el cociente y residuo que verifica la igualdad anterior. Para ello, se sigue un procedimiento similar al aplicado para dividir números, teniendo en cuenta, además, el trabajo con los signos y las potencias.

Ten en cuenta los signos:

(+) ÷ (+) = +

(–) ÷ (–) = +

(+) ÷ (–) = –

(–) ÷ (+) = –

Operador Polinomio multiplicado Producto Suma de términos

7x3 3x4 + 5x3 -2x - 3 7x3(3x4) + 7x3(5x3) + 7x3(-2x) + 7x3(-3) 21x7 +35x6 -14x4 -21x3

+4x2 3x4 + 5x3 -2x - 3 4x2(3x4) + 4x2(5x3) + 4x2(-2x) + 4x2(-3) 12x6 +20x5 -8x3 -12x2

-9 3x4 + 5x3 -2x - 3 -9(3x4) - 9(5x3) - 9 (-2x) - 9(-3) -27x4 -45x3 +18x +27

21x7 +47x6 +20x5 -41x4 -74x3 -12x2 +18x +27

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En la división de polinomios podemos considerar los siguientes casos:

Caso 1. Dividendo y divisor son monomios

Veamos algunos ejemplos:

Hallar si P(x) = 12x7 y Q(x) 4x5 entonces

Se dividen los coeficientes con sus signos = 3

Se divide la variable teniendo en cuenta la = 3x7-5 = 3x2

división de potencias de igual base. (xm ÷ xn = xm-n)

Así = = 3x7-5 = 3x2 donde 3x2 es el cociente.

Sigamos ejercitando, para que desarrolles habilidades en las operaciones de polino-mios. Halla el cociente de los siguientes monomios:

a) b) c) d)

Comenta con tus compañeros el resultado del problema d) y consulta con tu facili-tador sobre cualquier duda.

Caso 2. División de un polinomio entre un monomio

Se sigue un procedimiento similar al caso anterior, con la diferencia de que se divide cada término del polinomio entre el monomio. En el ejemplo, queremos dividir T(x) = 4x6-3x4+2x entre H(x) = 2x. Tenemos:

= - + = 2x6-1 - x4-1 + x1-1 = 2x5 - x3 + 1

P(x)Q(x)

12

4

12x7

4x5

P(x)Q(x)

12x7

4x5

-16x8

2x3

180x6

-30x2

-21x8

5x7

15x5

5x7

a) = x8-3= -8x5 b) = x6-2= -6x4 c) = x8-7= - x d) ¡Hazlo!-16x8

2x3

-162

180x6

-30x2

180-30

-21x8

5x7

-215

-215

4x6 - 3x4 + 2x2x

4x6

2x3x4

2x2x2x

32

22

32

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Sigamos ejercitando, con las siguientes divisiones:

Caso 3. División de polinomios

Ilustremos este caso con un ejercicio:

Dados P(x) = 2x5 - x - 8 + 2x3 y Q(x) = 3x2 - 2x + 1. Hallar P(x) ÷ Q(x)

1. Ordenamos P(x) en forma decreciente: P(x) = 2x5 + 2x3- x - 8 (Q(x) ya lo está). A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no está completo, lo completamos con 0xn en los lugares que corresponda.

x5 + 0x4 + 2x3 + 0x2 - x - 8 x2 - 2x + 1 Divisor

2. Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor; esto

nos va a dar el primer término del cociente = x3, que debe ser multiplicado

por todo el divisor y el resultado se coloca debajo del dividendo, con signo contrario; luego se realiza una suma algebraica:

x5 + 0x4 + 2x3 + 0x2 - x - 8 x2 - 2x + 1-x5 + 2x4 - x3 x3

2x4 + x3 - x - 8

3. Colocamos el resultado y “bajamos” los términos que quedan en el dividendo.

Volvemos a dividir el primer término del resto parcial entre el primer término del

divisor, obteniéndose así el segundo término del cociente = 2x2 y repetimos el proceso del paso 2.

x5 + 0x4 + 2x3 + 0x2 - x - 8 x2 - 2x + 1

-x5 + 2x4 - x3 x3 + 2x2

2x4 + x3 - x - 8

-2x4 + 4x3 - 2x2

5x3 - 2x2 - x - 8

a) (5x13 - 10x15 - 3x10 - 50x12) ÷ 5x5 Luego de ordenar el polinomio, tenemos:

= - + - =2x10 - 10x7 + x8 - x5

b) (x6 + 3x5 - x4 + 5x3) ÷ 3x3

= + - + = x3 + x2 - x + x0

-10x15 - 50x12 + 5x13 - 3x10

5x5

-10x15

5x5

50x12

5x5

5x13

5x5

3x10

5x5

35

x6 + 3x5 - x4+5x3

3x3

x6

3x3

3x5

3x3

x4

3x3

5x3

3x3

53

13

13

x5

x2

2x4

x2

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4. Procedemos igual que en los pasos anteriores, ahora con = 5x

x5 + 0x4 + 2x3 + 0x2 - x - 8 x2 - 2x + 1

-x5 + 2x4 - x3 x3 + 2x2 + 5x 2x4 + x3 - x - 8

-2x4 + 4x3 - 2x2

5x3 - 2x2 - x - 8

-5x3 + 10x2 - 5x

8x2 - 6x - 8

5. Volvemos a hacer las mismas operaciones. Tomando como nuevo término del

cociente a = 8

x5 + 0x4 + 2x3 + 0x2 - x - 8 x2 - 2x + 1

-x5 + 2x4 - x3 x3 + 2x2 + 5x + 8 2x4 + x3

-2x4 + 4x3 - 2x2

5x3 - 2x2 - x

-5x3 + 10x2 - 5x

8x2 - 6x - 8

- 8x2 +16x - 8

1 0x - 16

10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo, y x3+2x2 +5x+8 es el cociente.

Observa como es el resto en cada ejercicio. En el primer caso, se dice que la división de polinomio es exacta, si el resto de la división es igual al polinomio nulo; mientras que en el otro caso, la división es inexacta, pues el resto de la división no es el polino-mio nulo (es distinto de cero).

5x3

x2

8x2

x2

a) (m2 - 11m + 30) ÷ (m - 6 )

m2 - 11m + 30 m - 6 -m2 + 6m m - 5 -5m + 30 5m - 30 0

b) (x3 - 5x2 + x) ÷ (x2 - 1 )

x3 - 5x2 + x x2 - 1 -x3 + x x - 5 C(x) -5x2 + 2x -5x2 -5 2x - 5 R(x)

Semana 7Multiplicación y división de polinomios

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Saber más

Sobre división de polinomios, te recomendamos ver el video que puedes en-contrar en el CD multimedia del IRFA de este semestre y en la siguiente dirección web: http://matematicasies.com/spip.php?article1523:

Y para ver otros ejercicios, te recomendamos consultar la siguiente dirección web: http://www.escribeyloedito.com/parasaber/polino3.htm

1. Calcula el producto de monomios:

a) P(x)= 4x5 y Q(x) = 6x3 b) R(x)= -5x2 y S(x)= 2x

c) W(x)= x y N(x)= x3 d) T(x)= x3 y U(x) = 4x13

2. Halla el producto del monomio por el polinomio:

a) M(x)= 4x2 - 1 y Q(x)= -6x3 y b) T(x)= 5x3 - 7x5 +8x2 +2x y U(x)= x3

3. Halla el producto de polinomios:

a) p(x)= 4x5 - 3x7 - 8x2 y q(x)= 3x2 - 6x

b) t(x)= 9x3 + 7x6 - 3x3 + x y u(x)= x3 - 2x + 3

4. Halla el cociente de monomios:

a) b) c) d) 32x9 ÷ 18x9

5. Halla el cociente de un polinomio entre un monomio:

a) b) c)

6. Halla el cociente y resto de cada división; señala además si es exacta o inexacta:

a) (5x3 + 3x4 - x6 +1) ÷ (x + 1) b) (3x2 - 10x3 + 6 - x + 4x5) ÷ (x 3+ 1 -2x2)

c) (x5 + 32) ÷ (x - 2) d) (x4 + 2x3 + 3x2 + x + 1) ÷ (x 3+ 2x +1)

1. Calcula el producto de monomios:

-43

34

-54

15

15

8x3

4x120x15

15x11

-624x7

3x3

5x4 + 2x2 - x2x

2a10 - 4a8 + 5a6

a5

3x7 - 5x4 + 3x8 - 7x15x

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x2

2x3

3·2xn

n!

Figura 9

21t + 8

4t

2t

3t - 4

Una aplicación importante de las funciones polinómicas radica en su utilidad para el cálculo aproximado, usando sólo sumas, productos y potencias enteras de números. De hecho, las calculadoras usan las funciones polinómicas para hacer aproximaciones. Por ejemplo, para calcular valores aproximados del número e = 2,71828182..., usado en los logaritmos neperianos, se considera la función polinómica:

pn(x)= 1 + x + + +...+ n!= 1 · 2 · 3 .... · n

La aproximación que se obtiene es mejor a medida que n aumenta:

n 1 2 3 4 5 ... 10

pn(1) 2 2,5 2,66... 2,7083... 2,7166... ... 2,718281801...

Continúa esta lectura en la siguiente dirección web: http://www.slideshare.net/guest783f32/funciones-polinomiales-1480586

Encuentra una expresión para el área de la región sombreada en la Figura 9.

Recuerda que el área de un rectángulo es igual a base x altura