Matemática y geometría, con aroma de café Ramón Majé Floriano1

1 Institución Educativa Municipal Montessori, Secretaria de Educación Municipal Pitalito Huila, Colombia.

Introducción general Dialogar sobre la educación y su finalidad es un acto de experiencia. Este tipo de reflexiones, constituye una herramienta que contribuye a la reorientación y superación de las prácticas docentes, desde una postura crítica que permite elevar la calidad de desempeño, los resultados formativos en los estudiantes. Para muchos, pensar que el principal problema de la educación alude a la falta de motivación y predisposición para el aprendizaje por parte del estudiante, obliga a responder acerca del papel que cumple el docente para la formación del mismo. Al respecto, es indudable asumir que el rol como docentes está intrínsecamente relacionado con la preocupación por el otro, de ver como se requiere incansablemente educar a un individuo, de hacer libre y autónomo al hombre y, por tanto, ayudarlo a su transformación. En consecuencia, como lo afirma Armando Zambrano Leal los aprendizajes se constituyen en el punto de partida y el concepto fundamental es la búsqueda de dicha transformación. Si aceptamos la formación de la persona como aquel proceso de transformación, no hay mejor escenario para lograr este propósito que la escuela. En particular, para el profesor, lo esencial desde todo punto de vista consiste en preguntarse cómo aprende el estudiante, por encima de cómo enseña; es decir, reflexionar sobre los procesos metacognitivos de los estudiantes, entendiendo por metacognición como el conocimiento que uno tiene sobre los propios procesos y productos cognitivos. En términos del pedagogo Francés P. Meirieu, el profesor debe estar en la capacidad de reflexionar el proceso de cómo aprende el sujeto. Dicha reflexión gira en torno a la relación entre lo que aprende un sujeto y el cómo lo hace. El luchar contra el fracaso escolar de los estudiantes es el principal motor de los aprendizajes: “No nos podemos contentar con dar de beber a quienes ya tienen sed. También hay que dar sed a quienes no quieren beber”. Así reivindica Meirieu, pedagogo francés, el derecho de todos los niños a aprender y la responsabilidad de los educadores de garantizarlo. No basta con enseñar. No basta con dar respuestas. Hay que provocar y motivar a los alumnos el deseo de aprender y de formularse preguntas y, hacerlo codo a codo, acompañándolos a lo largo de toda la escolaridad y ayudándolos a encontrar tiempos de reflexión y concentración en una época en la que están sobre informados y sobre-excitados. Las afirmaciones anteriores obligan a cuestionarnos, ¿cuál es la función que debe afrontar el profesor en la escuela?, ¿acaso no se trataba de transmitir a otro un conocimiento como nos han enseñado tradicionalmente? o ¿acaso será algo más humano, profundo, más cercano al otro? De acuerdo con la perspectiva de Meirieu, aprender no es solo tarea del estudiante, es tarea misma del profesor, un profesor con un rol de investigador, que cuestiona su quehacer, se plantea interrogantes desde su propia práctica, relaciona los aprendizajes con la vida misma y, reflexiona sobre su actuar y sobre su influencia en la vida del otro. Phillipe Meirieu propone un profesor reflexivo, un ser que no se enmarca en el concepto facilista e instrumentalista de la educación, sino que día tras día asume su rol como un reto frente al otro, con el otro y por el otro. Una situación académica no es una transmisión de un saber en una única dirección. Es una interacción que permite el reconocimiento de un servicio que tiene tanto de práctico como de teórico, pero por encima de todo, humano; pues su labor no es simplemente dar a conocer un concepto, sino vivenciarlo, aplicarlo, entregarlo a tal punto que el estudiante sea capaz de asumirlo como una experiencia significativa para su vida. De nada valen los cambios que pretendan generarse en la educación, y de los discursos que se pretendan asumir, si el cambio no se da primero en el profesor, en la concepción que el mismo tenga de su oficio y de su condición.

En este sentido, es importante reconocer la necesidad de ideas claras que orienten el verdadero sentido de la formación humana, ideas que superen los fines inmediatos, utilitaristas e instrumentales para centrarse en la formación integral del sujeto que aprende. De esta manera, la forma de concebir tradicionalmente al sujeto que aprende es la que pone sobre el tapete la forma cómo los docentes, construyen la visión que tienen de sus estudiantes en cuanto sujetos del aprender. Igualmente, la forma de ver la educación, cuando ésta no va más allá de una simple instrumentalización, donde el único fin es el de proporcionar a los educandos las actitudes y las destrezas necesarias para tener éxito en una sociedad sin identidad propia. Este modelo tradicional de concebir al sujeto que se forma como un ser pasivo, receptivo, predecible y controlable, ajeno a su entorno sociocultural e histórico, va en contravía de la búsqueda incesante de la formación integral para la autonomía racional y la libertad intelectual del educando. De acuerdo a lo anterior, el proyecto denominado “Matemática y geometría, con aroma de café”, se convierte en una posibilidad de esa búsqueda de formación integral de nuestros estudiantes, través del acercamiento directo con la investigación en el aula y fuera de ella. De esta manera, el presente proyecto tiene como objetivo contribuir al desarrollo del pensamiento espacial y los niveles de la competencia matemática formular y resolver problemas en los estudiantes de educación básica secundaria y media. Es de aclarar, que, para el desarrollo de las actividades propuestas con los estudiantes, se tiene en cuenta el contexto donde se desenvuelven los estudiantes: el sembrado y la recolección del CAFÉ. De igual forma, las herramientas computacionales proporcionadas por el Ministerio de Educación Nacional en Colombia a través del proyecto computadores para educar, servirán como mediadoras en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática en general.

Descripción del problema

La comunidad de educadores matemáticos ha centrado su interés en la formación matemática de los estudiantes para contribuir a las metas y propósitos de la educación actual. En este sentido, el Ministerio de Educación Nacional, a partir de su propuesta de lineamientos curriculares, estándares básicos de competencias en matemáticas y los derechos básicos de aprendizaje, pretende responder a las nuevas demandas globales y nacionales relacionadas con una educación de calidad para todos y la formación integral de personas con las competencias necesarias para desenvolverse en situaciones de la vida cotidiana. (MEN, 1998, p.17; 2006, p.46). Este hecho se evidencia en particular, en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la geometría euclidiana, la cual, en los últimos años recuperaron importancia en las instituciones educativas, después de los inconvenientes en su concepción desde la matemática moderna en las décadas de los 60, 70 y 80 que propuso la enseñanza de las matemáticas a partir de la deducción y demostración de teoremas de la teoría de conjuntos, la lógica y las estructuras algebraicas, haciendo uso de axiomas, postulados, definiciones y otros teoremas señalados previamente.

Esta situación demostró que los conocimientos aprendidos por los estudiantes utilizando esta tendencia curricular había fracasado; al respecto Thom (citado por García, 2001), afirma que: “…abandonaron un campo ideal para el aprendizaje de la investigación: La geometría Euclídea, mina inagotable de ejercicios y la sustituyeron por las generalidades de los conjuntos y la lógica, materiales tan pobres, vacíos y frustrantes para la enseñanza…”, (p.2) de tal manera que permitió a esta ciencia retomar fuerza en la educación básica y considerar que el estudio de los sistemas geométricos, potencia el desarrollo del pensamiento espacial, que es transversal a los objetos matemáticos en por lo menos una de sus formas de representación. Desde esta perspectiva, al interior del sistema geométrico de las matemáticas escolares para el grado noveno de la educación básica secundaria, en el caso particular de

los cuadriláteros, diversas investigaciones han centrado su interés en la identificación y análisis de las dificultades asociadas a la enseñanza y el aprendizaje de este objeto matemático.

Renzulli y Scaglia (2006) en su investigación sobre clasificación de cuadriláteros en estudiantes de grados 7°, 8°, 9° y futuros profesores de nivel inicial, han identificado fenómenos asociados en los estudiantes, como la formación de esquemas mentales (prototipos) de las figuras geométricas que están fuertemente marcados por características irrelevantes desde el punto de vista conceptual (la posición de la figura en la hoja, por ejemplo); afirman además que estos prototipos se forman, entre otras razones por el uso casi exclusivo de representaciones gráficas estereotipadas durante la enseñanza de los conceptos geométricos. Se ha comprobado que algunos estudiantes, si bien son capaces de reconocer las características definitorias de algunos conceptos geométricos sencillos como el de rombo, cuadrado y rectángulo, incluyen en sus descripciones estas características irrelevantes. De otra parte, desde la mediación instrumental en el uso de nuevas tecnologías de la informática y la computación, Cardona (2006a; 2006b) afirma que las principales dificultades en el aprendizaje de los cuadriláteros están relacionadas con la identificación de las diversas clases, las nociones de paralelismo y perpendicularidad, el seguimiento de instrucciones y comunicación escrita de los procedimientos de construcción empleados.

Así mismo, la experiencia profesional docente, indica que la enseñanza de la geometría en general y de los cuadriláteros en particular, habitualmente consiste en la presentación formal de su definición, una clasificación esquemática de los mismos, realizar los dibujos usando la regla o la escuadra como herramientas convencionales, verificar algunas propiedades inherentes, para finalizar con la manipulación algorítmica, mecánica o de rutinas memorizadas en la solución de ejercicios sobre perímetros y/o áreas. Este tipo de enseñanza, limita las aspiraciones de toda construcción geométrica relacionadas con: asegurar el cumplimiento de propiedades geométricas buscando superar las limitaciones de la percepción necesariamente presentes en el dibujo y lograr una generalización, asegurando la reproductibilidad del dibujo, donde se tiene en cuenta (únicamente) las propiedades fundamentales del mismo. (MEN, 2004, p. 17)

Al considerar los resultados de evaluación externa nacionales, realizada por el ICFES (2010) sobre el componente geométrico – métrico, el análisis del año 2009 para los grados quinto y noveno, se evidenció que en esta área el desempeño relativo de los estudiantes de ambos grados es inferior al de lenguaje y ciencias. El 44% de los estudiantes no alcanza los desempeños mínimos establecidos en la evaluación al momento de culminar la básica primaria; además, la comparación entre los resultados alcanzados por los estudiantes de quinto y noveno grados en matemáticas muestra una situación muy preocupante en ambos casos, pues únicamente una proporción cercana a la cuarta parte (25% y 22%, respectivamente) logra o supera los desempeños esperados (p.10-12). Si bien la naturaleza de estas pruebas no permite evaluar la totalidad de los niveles de desarrollo que se espera desarrollen los estudiantes en la educación básica, sus resultados son un buen indicador de su capacidad para generar aprendizajes durante toda la vida y transferirlos a distintas situaciones, dentro y fuera del contexto escolar.

En el caso particular de una situación que indaga por las competencias matemáticas en lo geométrico – métrico, cuyo objeto matemático central son los cuadriláteros, específicamente trapecios y rectángulos, planteada en los años 2005 – 2006, se presenta un embalse que tiene dos de sus caras laterales en forma de trapecios isósceles, y las otras paredes y el fondo de forma rectangular; al realizar el análisis de la misma, se encontró que tan sólo el 31% de los estudiantes seleccionó la respuesta correcta, con un 69% de error en las respuestas, lo que demuestra dificultades en la identificación de los cuadriláteros en juego, la no identificación de las características de estos polígonos, como por ejemplo la altura del trapecio y cualidades de paralelismo y perpendicularidad entre otras.

Lo descrito anteriormente, conllevó a plantearnos la siguiente pregunta de investigación:

¿Cómo contribuir al desarrollo del pensamiento espacial y los niveles de la competencia matemática formular y resolver problemas en los estudiantes de la Institución educativa municipal Montessori?

Justificación.

Desde lo teórico:

El pensamiento espacial definido en los lineamientos curriculares como el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones o representaciones materiales (MEN, 1998, p.56) constituye un componente indispensable del pensamiento matemático, hace referencia a la percepción, intuitiva o racional, del entorno propio y de los objetos que hay en él. El desarrollo de este tipo de pensamiento, asociado a la interpretación y comprensión del mundo físico, permite mejorar estructuras conceptuales y destrezas numéricas. Este proceso de construcción del espacio está condicionado e influenciado tanto por las características individuales como por la influencia del entorno físico, cultural, social e histórico. Por tanto, el estudio de la geometría en la escuela debe favorecer estas interacciones. Se trata de actuar y argumentar sobre el espacio ayudándose con modelos y figuras, con palabras del lenguaje ordinario (MEN, 1998, p. 57)

Howard Gardner, (citado por MEN, 1998, p. 37) en su teoría de las inteligencias múltiples, considera como una de estas inteligencias la espacial, y plantea que el pensamiento espacial es esencial para el pensamiento científico, ya que es usado para representar y manipular información en el aprendizaje y en la resolución de problemas. El proceso del aprendizaje humano desde el niño hasta el adulto, es esencialmente una resolución de problemas a través de la cual el individuo se adapta al medio; además, este proceso de resolución de problemas se hace simultáneamente en los campos cognitivo, afectivo y psicomotor; proceso que es de carácter discontinuo e involucra la construcción y comprobación de hipótesis y en el cual se produce la adquisición de saberes y el desarrollo de la capacidad para dominar esos saberes de forma autónoma (García, 2001, p. 26-27). A partir de lo anterior, se concibe el proceso de enseñanza y aprendizaje como un sistema donde el estudiante es inducido constantemente al enfrentamiento de tareas que lo hacen pensar, explorar, contrastar, formular hipótesis y verificar los resultados.

Desde lo práctico:

Los Lineamientos Curriculares de Matemáticas, propuestos por el MEN constituyen la base para la orientación de la enseñanza y aprendizaje en las aulas escolares, los procesos generales que deben apropiar conscientemente los estudiantes y los cuales el maestro debe tener en cuenta para el diseño, planeación, gestión y desarrollo curricular son: formular y resolver problemas; modelar procesos y fenómenos de la realidad; comunicar; razonar, comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos. Estos procesos están asociados al nivel de competencia que deben fortalecer los educandos; es decir, ser matemáticamente competente requiere evolución en el nivel de los conocimientos básicos, que están compuestos por los pensamientos: numérico, espacial, métrico, aleatorio y el variacional, relacionados a su vez con los sistemas conceptuales y simbólicos en cuyo dominio ejercita y refina el tipo de pensamiento respectivo: sistemas numéricos, geométricos, de medidas, de datos, algebraicos y analíticos; por tanto, este proyecto tiene pertinencia en el pensamiento espacial y sistemas geométricos. Además, el proyecto asume al objeto matemático cuadriláteros como uno de sus intereses de estudio, por una razón particular: es un objeto de saber con pertinencia curricular,

dado que tanto los estándares como los lineamientos curriculares, lo ubican como un tema a enseñar en las aulas de matemáticas, en este caso se ubica el interés en los contenidos asociados al concepto en el nivel de educación básica.

Desde lo científico y social:

El profesor desde su rol como investigador, debe ofrecer a los estudiantes una visión dinámica y participativa de la geometría, para evitar su explicación monótona y tradicional, abriendo paso a la participación interactiva en la enseñanza, donde se analicen y adapten conjuntamente propuestas a situaciones, actividades y recursos, que permitan estructurar el aprendizaje de los educandos a partir de niveles de complejidad que él va alcanzando conforme va estructurando su conocimiento (Van Hiele, citado por Gutiérrez, 1998). De esta manera es importante reconocer la contribución de las tecnologías de la información y la comunicación al desarrollo de la educación, la ciencia y la cultura y a la construcción de una sociedad del conocimiento (UNESCO, 2002, p. 63); es decir, tener en cuenta que las herramientas computacionales son elementos que no se pueden desconocer en pleno siglo XXI, ya que pueden mediar en el proceso de enseñanza y aprendizaje. La ventaja que éstas ofrecen en el desarrollo de una clase radica en el interés que presta la mayoría de los educandos al uso del computador, la calculadora graficadora y el software de geometría dinámica, esto es algo que puede facilitar la solución a situaciones problémicas planteadas.

En ese sentido, los Lineamientos Curriculares de Matemáticas hacen referencia a la incorporación de las nuevas tecnologías al aula de clase, con este tipo de reflexiones acerca de la incidencia de las mismas en los procesos didácticos, se ha dado lugar a que la comunidad de educadores matemáticos esté explorando una nueva visión de las matemáticas escolares fundamentadas entre otras, en reconocer el impacto de las nuevas tecnologías, tanto en los énfasis curriculares como en sus aplicaciones. El hecho de incorporar las herramientas computacionales al desarrollo de las clases de geometría en la educación básica, motiva el diseño e implementación de nuevas estrategias didácticas que a nivel nacional se empezaron a implementar con el proyecto “Incorporación de nuevas tecnologías al currículo de matemáticas de la educación básica y media de Colombia” liderado por el MEN desde el año 2000.

Aunque es política de educación nacional, en el municipio de Pitalito Huila, han sido mínimos y de poca resonancia en el ámbito escolar, los proyectos didácticos y/o de investigación encaminados a la utilización de las herramientas computacionales y en particular del objeto matemático cuadriláteros como propiciadoras del aprendizaje de la geometría en los educandos, razones que dan validez al desarrollo de esta propuesta que permita dejar en evidencia que a partir de la resolución de problemas con la implementación de la geometría dinámica se logra una mejor comprensión, construcción y conceptualización del saber en esta ciencia, en comparación con el desarrollo de las clases orientadas utilizando el modelo educativo tradicional y las herramientas convencionales de la geometría.

Fundamentación teórica y metodológica de la buena práctica

El diseño de esta propuesta didáctica ha sido pensado de acuerdo con el contexto en el que se encuentra ubicada la Institución Educativa Montessori del municipio de Pitalito, corregimiento de San Francisco. Se asumen como referentes teóricos, el análisis de contenido de Gómez (2007), como una posibilidad que tiene el profesor en la planificación e implementación de actividades de tipo individual y grupal. En particular, el profesor aborda los diferentes significados del objeto matemático cuadriláteros atendiendo a tres dimensiones: sistemas de representación, estructura conceptual y fenomenología histórica y didáctica. El análisis de contenido se asume como referente por la consistencia teórica y la forma adecuada de articular tres dimensiones importantes para la planificación por parte del docente de

actividades sobre un objeto matemático en particular. Se tienen en cuenta además los aportes de Bishop (2005) en relación con la forma como la buena práctica asume los roles tanto del profesor como del estudiante y su relación, además como es entendida la clase de geometría. Lo anterior se puede visualizar a la luz del modelo sistémico de la didáctica fundamental, que en este caso resultaría de la siguiente manera:

Figura 1. Adaptación del triángulo didáctico de Chevallard

Fuente: Majé & Morales (2011). Competencia matemática y derrollo del pensamiento espacial. Una aproximación

desde la enseñanza de los cuadriláteros. (Tesis inédita de maestría), Univesidad de la Amazonia, Florencia.

Metodológicamente la propuesta didáctica se desarrolla teniendo en cuenta las fases de aprendizaje propuestas por los esposos Van Hiele en la interpretación que hace Corberán et al., (1994), quienes la reconocen como una alternativa para potenciar los niveles de razonamiento geométrico de los estudiantes. Luego de los hallazgos obtenidos en la fase diagnóstico (se aplicó una prueba de conocimientos previos sobre cuadriláteros a los estudiantes de grado noveno), se procede a diseñar y poner en marcha la buena práctica. La forma de entender la clase de geometría

La propuesta es entender la clase de manera distinta al modelo tradicional. Entonces, se debe concebir la clase como una comunidad de aprendizaje, que se ha desarrollado precisamente ante la necesidad de buscar espacios donde sea posible “hacer mundo con otros” o diseñar espacios sociales de manera consciente. La idea de comunidad de aprendizaje, implica que deben existir relaciones de cooperación, de trabajo individual y por equipos ante la necesidad de llevar a cabo alguna actividad que permita construir o consolidar los aprendizajes. Estos son espacios emancipatorios (Lleras, 2002), porque una comunicación de tipo vertical caracteriza un nivel de opresión del docente hacia los estudiantes y el cual se pretende suspender, al entender la especificidad del aula como el lugar donde profesores y estudiantes interactúan para construir y validar conocimiento, entregando a los estudiantes un papel de participación activa y al profesor un papel de organizador y dinamizador del aprendizaje. Esta forma de entender la clase ve la enseñanza de la geometría como el control de la organización y la dinámica de clase para los propósitos de compartir y desarrollar el significado matemático. En ese sentido, se recurren a tres aspectos de la propuesta de Bishop (2005), que considera permiten consolidar la clase como comunidad de aprendizaje: las actividades matemáticas, la comunicación y la negociación.

Las actividades matemáticas.

Estas actividades son entendidas como el “aspecto con el que se busca enfatizar el involucramiento del estudiante con las matemáticas y no la presentación del contenido por parte del profesor”. Bishop (2005, p.23). De esta manera, surge un primer deber del docente encaminado al diseño, desarrollo y evaluación de actividades matemáticas, entendidas como el conjunto de operaciones o tareas que deben ser ejecutadas por los estudiantes para alcanzar las metas de aprendizaje que le permitan encontrar y desarrollar significado matemático. En ese sentido, las actividades que el docente diseñe deben ser producto del previo análisis de contenido (Gómez, 2007) que realice sobre el objeto matemático a tratar, partir de la fase I de aprendizaje del modelo de Van Hiele denominada información, y así admitir implícitamente que el aprendizaje de un nuevo concepto, propiedad o relación geométrica estará inevitablemente confrontado con la intuición geométrica, el conocimiento y experiencias previas de los estudiantes. (Samper, Camargo & Leguizamón, 2010) Sólo mediante la aceptación de las posibilidades de los estudiantes de acuerdo con su desarrollo cognitivo, la identificación de las habilidades espaciales que tienen y su actitud hacia la geometría, pueden construirse ambientes de aprendizaje propicios para iniciar una conceptualización significativa de ésta. (Farrell citado por Samper et al., 2010, p.25). La comunicación

Esta propuesta asume la comunicación con el “aspecto con el que se busca enfatizar el proceso y el producto de compartir significados” Bishop (2005, p.23). En particular, la fase 3 del modelo de Van Hiele denominada explicitación da respuesta a este aspecto; sin embargo, en la propuesta de actividades este aspecto se asume no como una fase o momento dentro de la actividad sino como un proceso trasversal. Como afirma Bishop (2005), la comunicación en la clase de matemáticas es un factor determinante, el cual se ocupa de compartir significados y conexiones de índole de matemática, esto sólo es posible a partir del compartir ideas entre profesor – estudiantes, estudiantes –profesor y estudiantes – estudiantes. La negociación

Esta propuesta de aula asume la negociación en términos de Bishop (2005) como el “aspecto con el que se busca enfatizar la asimetría de la relación profesor/alumno en el desarrollo de significados compartidos” (p.23). Este elemento fundamental en el desarrollo de significado matemático por parte de los estudiantes, se ve reflejado en las actividades durante la fase 5 del modelo de Van Hiele denominada integración, donde profesor y estudiante institucionalizan la información; es decir, validan los conocimientos construidos por los estudiantes con los saberes reconocidos por una comunidad académica. Esta forma de entender la clase como una comunidad de aprendizaje que vincule elementos importantes como las actividades, la comunicación y la negoción, adquieren mayor validez si se tienen en cuenta que la incorporación de herramientas computacionales amplían el campo de indagación sobre el cual actúan las estructuras cognitivas que se tienen, enriquecen el currículo con las nuevas pragmáticas asociadas y lo llevan a evolucionar; por tanto, con la incorporación del software de geometría “conviene diseñar experiencias de construcción pues desarrollan la habilidad para hacer desconfiguraciones y reconfiguraciones de figuras, con el fin de determinar sus características esenciales, paso indispensable en la conceptualización de objetos geométricos que a la vez potencia el razonamiento” (Samper et al., 2010, p.25) Rol del profesor

Para el desarrollo de la propuesta, se considera importante realizar dos pasos fundamentales: El primero es la recolección y el análisis de la información que le es útil en la multiplicidad de significados del objeto matemático a estudiar. Para ello el profesor de matemáticas realiza un análisis de contenido en el que involucra la fenomenología histórica y didáctica, los sistemas

de representación empleados y la estructura conceptual de los cuadriláteros. En términos de Gómez (2007):

La multiplicidad de significados de un concepto matemático implica que, para efectos de planificar una hora de clase o una propuesta didáctica, el profesor debe: 1. Recabar la información necesaria que le permita identificar dichos significados; 2. Organizar esta información de tal forma que sea útil para la planificación; y 3. Seleccionar, a partir de esta información, aquellos significados que él considera relevantes para la instrucción. En los primeros dos pasos, el profesor debe asegurarse de la completitud y coherencia de la información recogida: por un lado, esta información debe incluir todos los significados que puedan ser relevantes para la reflexión sobre y la realización de la planificación y, por el otro, debe ser válida con respecto al conocimiento matemático establecido para las estructuras matemáticas involucradas. (p. 28)

En particular, las actividades propuestas durante las fases de aprendizaje en esta propuesta didáctica han sido elaboradas teniendo en cuenta el contexto donde se desenvuelve el estudiante de la Institución Educativa Montessori en la sede San Francisco, resaltando aspectos socioeconómicos importantes de la región como lo es la agricultura específicamente el sembrado de café. Así mismo se tiene en cuenta el desarrollo de los diversos sistemas de representación y sus diversas actividades como el tratamiento y la conversión entre registros semióticos. El segundo paso corresponde determinar cómo debe ser la relación profesor y estudiante durante el desarrollo de toda la propuesta didáctica. En ese sentido las actividades propuestas para la fase 5 de todos los niveles desarrollados permiten consolidar el papel importante que cumplen el discurso, la comunicación oral y escrita por parte del profesor y el estudiante en la negociación de significados de cualquier objeto matemático. Como afirma Bishop (2005): desarrollar el discurso en clase de matemáticas es una parte importante del papel del profesor. Él puede hacer preguntas y proponer tareas que faciliten, promuevan o desafíen el pensamiento de cada estudiante. Para ello, el profesor necesita saber abrir con atención las ideas de los alumnos y pedirles que las aclaren y justifiquen, oralmente o por escrito. (p. 14) De acuerdo con lo anterior, el profesor es el encargado de generar constantemente preguntas a los estudiantes, y convertirse en un negociador de significados. El profesor organiza los grupos de trabajo y plantea estrategias para la discusión grupal en torno a la lectura del informe presentado por los estudiantes (que denominamos protocolos). De esta manera, el profesor evalúa los niveles de desarrollo de los estudiantes a partir de la fase 1 de aprendizaje hasta la fase 5 donde consolida un protocolo final en el que se estipulan los acuerdos establecidos. Rol del estudiante

En el desarrollo de la presente propuesta didáctica el papel del estudiante es fundamental. Es el encargado de enfrentarse con las actividades planteadas por el profesor, de proporcionar estrategias para la resolución de situaciones problémicas y explicar el significado de sus diferentes construcciones mentales y físicas de los diferentes cuadriláteros previstos durante las fases de aprendizaje. En ese sentido, Bishop (citado por Ponte et al., 1997) afirma que:

Los estudiantes deben habituarse a emplear una gran variedad de herramientas para razonar y para comunicar, incluyendo la pizarra, el retroproyector, la calculadora, el ordenador y otros materiales y soportes. Realmente el trabajo con la calculadora y el ordenador, cuando se hace por medio de tareas interesantes o que suponen un reto, puede favorecer que los estudiantes formulen conjeturas, estimular en ellos una actitud investigadora y enriquecer el tipo de razonamientos y de argumentos que emplean. Para ello es fundamental que los alumnos adquieran destreza en el uso de tecnología y puedan emplearla con flexibilidad cuando sea útil y pertinente. (p. 16)

De acuerdo con lo anterior, el papel del estudiante es construir significados a partir de la conexión que establezca entre sus conocimientos previos y la construcción de nuevos, en el desarrollo de las actividades propuestas por el profesor y la interacción con el resto de la clase. En ese sentido, la interacción del estudiante con los demás compañeros y el profesor se hace de dos formas: en un registro de representación en lenguaje natural y el otro a partir de la expresión de las ideas matemáticas en lenguaje formal y/o gráfico, con el uso de los protocolos. Fases de aprendizaje del modelo de Van Hiele

Las actividades planteadas en la presente propuesta didáctica han sido elaboradas teniendo en cuenta las 5 fases de aprendizaje incluidas en el modelo propuesto por los Van Hiele. Fase 1. Información

En esta fase se aborda de manera inicial el estudio de los cuadriláteros como objeto matemático. El profesor debe identificar los conocimientos previos que pueden tener los estudiantes y su nivel de razonamiento en el mismo. En particular, se ha incluido una actividad en la fase de información para cada nivel de razonamiento, en la cual se pretende identificar misconcepciones en los estudiantes, las propiedades que reconocen en los diferentes cuadriláteros, así como las posibles relaciones o clasificaciones inclusivas que se puedan establecer. En particular, para determinar cuáles son los conocimientos previos de los estudiantes, se aplicó un instrumento que evaluó su nivel de razonamiento geométrico y la manera como resolvían algunos problemas tipo SABER. Fase 2. Orientación dirigida

Durante esta fase se plantean actividades en las que el estudiante aprende las diversas relaciones o componentes básicos de la red de relaciones que debe formar. Como afirma Jaime (1990), el profesor debe seleccionar los problemas donde la resolución promueva los conceptos, propiedades, definiciones y relaciones que los estudiantes aprenden para su nuevo nivel de desarrollo. Durante esta fase se han planteado actividades en las que se incluye el trabajo con el programa de geometría dinámica y preguntas de orientación que se responden y discuten a nivel grupal con la orientación del profesor. Fase 3. Explicitación

En esta fase los estudiantes expresan de forma oral o escrita los resultados que se han obtenido. A su vez intercambian experiencias y discuten sobre ellas con el profesor y los demás estudiantes, con el fin de afianzar el uso y dominio de los diversos sistemas de representación para el objeto matemático: en lenguaje natural, formal y sistema de representación gráfico. Como se afirmó anteriormente, en la propuesta de actividades este aspecto es asumido no como una fase o momento dentro de la actividad sino como un proceso trasversal. Para ello, durante todas las fases se tiene en cuenta como instrumento fundamental el protocolo realizado por los estudiantes en el desarrollo de las actividades matemáticas. Fase 4. Orientación libre

En esta fase los estudiantes emplean los conocimientos construidos durante las fases anteriores para resolver actividades diferentes a las precedentes. De esta manera el profesor propone a los estudiantes actividades que no sean de simple aplicación de un dato o algoritmo conocido, sino de situaciones con varias vías de resolución, con varias soluciones o con ninguna. En particular, las actividades planteadas durante esta fase han sido construidas teniendo en cuenta el contexto socioeconómico de la región donde se encuentran ubicados los estudiantes y en las que incluyen el uso del programa de geometría dinámica.

Fase 5. Integración

En esta fase se establece una visión global de todo lo aprendido sobre el objeto matemático cuadriláteros, como se mencionó anteriormente permite en el desarrollo de las actividades para cada nivel de razonamiento geométrico poner en juego la negociación de significados entre estudiantes – estudiantes – docente. En ese sentido se ha planteado de manera global las siguientes actividades:

• Lectura de los protocolos de los estudiantes.

• Discusiones sobre posibles contradicciones.

• Consolidación de las conclusiones: Profesor y estudiantes.

Evaluación.

Teniendo en cuenta los tres momentos de la evaluación que se describen en el plan de área de matemáticas, metodológicamente se realizan las siguientes actividades:

1. Evaluación inicial o diagnostica: en la que el profesor determina cuales son los conocimientos previos de los estudiantes en torno al fenómeno físico a investigar. Lo anterior se determina a partir de preguntas dirigidas. Asimismo, se determina el conocimiento previo que posee el estudiante frente al uso y dominio de la herramienta computacional.

2. Evaluación procesual o formativa: mediante la generación de preguntas abiertas antes, durante y después de la modelación física a través de la herramienta.

3.Evaluación final o sumativa: mediante la entrega de los informes de laboratorio, discusión grupal en torno a las simulaciones construidas. De igual forma, los estudiantes presentan de manera individual pruebas “tipo SABER”, preparándolos para enfrentarse a la dinámica evaluativa del Ministerio de Educación.

En conclusión, la comunicación en la clase de Física es un factor determinante, el cual se ocupa es el canal de comunicación que permite compartir significados y conexiones de índole científico. Lo anterior es posible a través del compartir ideas entre profesor – estudiantes, estudiantes –profesor y estudiantes – estudiantes. RECURSOS

Tablet: herramienta del programa colombiano: computadores para educar.

El programa de computadores para educar:

Es el Programa del Gobierno Nacional de mayor impacto social que genera equidad a través de las Tecnologías de la Información y las Comunicaciones, fomentando la calidad de la educación bajo un modelo sostenible. Es una asociación integrada por la Presidencia de la República, el Ministerio de Tecnologías de la Información y las comunicaciones, el Ministerio de Educación Nacional, el Fondo TIC y el Servicio Nacional de Aprendizaje SENA, para promover las TIC como un factor de desarrollo equitativo y sostenible en Colombia. Coloca las TIC al alcance de las comunidades educativas, especialmente en las sedes educativas públicas del país, mediante la entrega de equipos de cómputo y la formación a los docentes para su máximo aprovechamiento. Adelanta esta labor de forma ambientalmente responsable, siendo un referente de aprovechamiento de residuos electrónicos como sector público, a nivel Latinoamericano.

Geogebra.

GeoGebra es un Programa Dinámico para la Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas para educación en todos sus niveles. Combina dinámicamente, geometría, álgebra, análisis y estadística en un único conjunto tan sencillo a nivel operativo como potente. Geogebra se

convierte en una posibilidad real para modelizar y explicar matemáticamente un fenómeno físico.

Talento humano

El estudio se realiza en la Institución Educativa Montessori, específicamente en la vereda San Francisco, en el municipio de Pitalito en el Huila, al sur de Colombia. La sede San Francisco se encuentra ubicada en el sector rural del municipio, y su economía se sustenta en el sector agrícola, específicamente en el sembrado y recolección del café. En cuanto a la población estudiantil, no se excede de un total de 320 niños, cuyas edades oscilan entre los 11 y los 18 años de edad. Sus expectativas y proyectos de vida en un alto porcentaje no están ligadas a la etapa profesional; es decir, hay carencia de motivación en las diferentes disciplinas que se orientan. En cuanto al horario de clase, el tiempo de permanencia en la escuela es de seis horas, en las que se incluye media hora de descanso dirigido. En particular, y dado que el ingreso a la escuela es temprano en la mañana, todos los estudiantes del sector rural inician su movilización con dos horas de anticipación a la jornada escolar, agregando con ello dificultades en materia de alimentación y acceso a la escuela. Lo anterior se convierte en variables que de manera directa afectan el normal desarrollo de sus labores académicas y, por ende, el desarrollo de sus niveles de competencia.

SITUACIÓN DIDÁCTICA. Un ejemplo (en el libro de nuestra autoría, se abordan todas

las actividades) Objetivo Identificar las características de los diferentes elementos de un polígono y su clasificación.

Motivación

Por favor observar y analizar en grupo el video denominado: el pato Donald en el país de las matemáticas. ¿Cuál es la importancia de la matemática, específicamente de la geometría en la vida cotidiana?

Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=er0hcOBHC6Y

Estándares a desarrollar

• Representar objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistas.

• Identificar y describir figuras y cuerpos generados por cortes rectos y transversales de objetos tridimensionales.

• Clasificar polígonos en relación con sus propiedades.

• Predecir y comparar los resultados de aplicar transformaciones rígidas y homotecias sobre figuras bidimensionales en situaciones matemáticas y en el arte.

• Resolver y formular problemas que involucren relaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales.

• Resolver y formular problemas usando modelos geométricos.

• Identificar características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiana y geográfica.

Competencias a desarrollar

De acuerdo a las competencias propuestas por PISA:

Plantear y resolver problemas. Plantear, formular, definir y resolver diferentes tipos de problemas matemáticos utilizando una variedad de métodos.

Representar. Traducir, interpretar y distinguir entre diferentes tipos de representaciones de objetos y situaciones matemáticas, y las interrelaciones entre ellas; escoger entre diferentes formas de representación, de acuerdo con la situación y el propósito particulares.

Desde los estándares de competencias del MEN:

Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas entre fi guras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas.

Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.

Derechos básicos de aprendizaje:

Calcula el área de superficie y el volumen de pirámides, conos y esferas. Entiende que es posible determinar el volumen o área de superficie de un cuerpo a partir de la descomposición del mismo en sólidos conocidos.

Realiza demostraciones geométricas sencillas a partir de principios que conoce.

De manera particular, se tiene la siguiente tabla para el caso de los cuadriláteros (polígonos):

Tabla 1. Matriz por competencias para el caso particular: cuadriláteros.

Conocimientos Habilidades de pensamiento

Destrezas Actitudes

Cuadriláteros y su clasificación de acuerdo al nivel 1 de Van Hiele. Nivel 1: Visualización. El estudiante identifica, nombra, compara y opera sobre figuras geométricas de acuerdo con su apariencia global. Este es el nivel más elemental de razonamiento. Cuando los niños se dedican, bajo la guía del profesor, a manejar determinados tipos de figuras (por ejemplo, algunos cuadriláteros), aprenden sus nombres y practican actividades de reconocimiento en los dos sentidos: nombre ↔ figura. De esta manera, si se asignan un grupo de cuadriláteros, los estudiantes pueden seleccionar los rombos, los cuadrados, los rectángulos, etc. y si se toman, uno detrás de otro, varios de esos polígonos, los niños podrán decir sus nombres.

Profesor: Determinar misconcepciones y conversiones cuasi-instantáneas que realizan los estudiantes sobre algunos cuadriláteros. Propósito de formación para el estudiante: Reconocer y nombrar diversos cuadriláteros por su apariencia global en una situación práctica.

Geométricas y de representación; que suponen el dominio de los hechos y tienen significado para quien las utiliza y su ejecución debe darse al interior de una estructura conceptual. Razonamientos en matemáticas: Enunciados, procesos para fundamentar una idea a partir de datos o premisas y reglas de inferencia. Estrategias: Formas de responder a una determinada situación dentro de una estructura conceptual, como estimación, aproximación, construcción de tablas, simplificación de tareas difíciles, comprobación y establecimiento de conjeturas.

Expectativas, interés ante la geometría y el uso de cuadriláteros en el contexto socioeconómico en que se desenvuelven: café colombiano.

Si el docente pregunta a los educandos en qué se diferencian, por ejemplo, los rombos de los rectángulos, sus respuestas harán énfasis en las diferencias de forma, tamaño, tal vez color, de las figuras que tengan delante en ese momento (“el rectángulo es más largo”, “el rombo es más picudo”). En coherencia con este tipo de razonamiento, no es de extrañar que los estudiantes clasifiquen como figuras de tipos diferentes los cuadrados y los rectángulos (es decir que consideran que un cuadrado no es rectángulo), los cuadrados y los rombos o dos rectángulos.

Observación, descripción, comparación, clasificación, relación, conceptualización y solución de problemas.

Fuente: propia

Para iniciar, una pregunta orientadora a los estudiantes:

¿Cuáles son sus expectativas frente al tema a estudiar?

Actividad 1:

Plano de nueva infraestructura para jornada única (grupos de tres estudiantes)

Con el propósito de aumentar la jornada escolar en todas las instituciones del departamento del Huila, el Ministerio de Educación Nacional planteó la propuesta denominada “jornada única”. Para implementar esta propuesta, se requiere mejorar la infraestructura de la sede San Francisco de la Institución Montessori. A continuación, se presenta el plano de la planta física de la sede principal y que se mostrará a la alcaldía de Pitalito y a la gobernación del departamento:

Figura 2. Plano nueva infraestructura para jornada única

Fuente: Majé & Morales (2011). Competencia matemática y derrollo del pensamiento espacial. Una aproximación

desde la enseñanza de los cuadriláteros. (Tesis inédita de maestría), Univesidad de la Amazonia, Florencia.

Nivel de desempeño: desarrollo del pensamiento espacial y competencia matemática formular y resolver problemas.

Duración: 5 horas

Pregunta de orientación: Sobre la figura anterior identifique con un número cada cuadrilátero, luego, elabore un listado con los números que utilizó y frente a cada uno de estos, escriba el nombre del cuadrilátero.

Criterio Evaluativo: Una vez terminada la actividad, cada equipo de trabajo elabora un protocolo en el que consolidan las conclusiones y el cual es evaluado por el docente.

Actividad 2:

Las fincas cafeteras

Propósito de formación: Resolver situaciones problemáticas teniendo en cuenta el contexto sociocultural del estudiante en torno a la visualización de cuadriláteros.

Actividad grupal: máximo tres personas

El municipio de Pitalito, al igual que el sur del departamento del Huila, es una región que basa su economía en el sector agrícola, donde el café es el cultivo principal. De esta manera, los cafetales y su fruto sirven de sustento para los campesinos de la región y sus familias. Por lo general las fincas cafeteras tienen forma rectangular. En ellos, se distribuyen los cultivos como la granadilla, el lulo y hortalizas. En la finca, el agua es indispensable para el beneficio de los productos sembrados, por ello se deben construir sistemas de recolección de aguas lluvias. (Ver figura).

Figura 3. Cobertizo para aguas lluvia

Fuente: Bushmanblues, una economía de la naturaleza. Blog dedicado a ilustrar elementos propios de la

agricultura. Para este caso particular se aborda como aprovechar el agua lluvia en los sembrados. Recuperado el 06 de julio de 2017, de https://bushmanblues.files.wordpress.com/2012/08/dscf4924.jpg

Recordemos que en el sembrado del café uno de los aspectos más importantes es tener un buen germinador y un almácigo para la conservación de las chapolas. El germinador es el sitio en donde se colocan las semillas de café hasta cuando estén listas las chapolas para pasarlas al almácigo y se utiliza para:

• Facilitar la germinación de las semillas.

• Facilitar la selección de las mejores chapolas.

• Controlar más fácilmente los problemas fitosanitarios.

• Tener certeza del material que se va a sembrar y ahorrar costos.

De manera similar, el almácigo es el lugar donde se siembran las chapolas provenientes del germinador, en bolsas, agrupadas en y expuestas al sol, hasta cuando adquieren el desarrollo suficiente para su trasplante definitivo al campo. El almácigo pretende atender las plantas en su etapa más delicada, hacer una buena selección del colino que se llevará al campo y si se construye en la fincada certeza de variedad de café que se va a sembrar.

Figura 4. Almácigo

Fuente: centro nacional de investigaciones de Café, cenicafé. Es un centro dedicado a estudiar aspectos

fundamentales del café: producción, cosecha, beneficio y calidad del grano. Recuperado el 06 de julio de 2017, de http://www.cenicafe.org/images/circuito/galeria_fotos/almacigo_02.jpg

En la administración de una finca cafetera, don Juan Quinayas, mayordomo y conocedor de las 5 hectáreas (50.000 metros cuadrados) que tiene a cargo, decide levantar un croquis de la finca para obtener una mayor organización de los diferentes sembrados que le solicita el dueño de la propiedad. (Un croquis es la representación gráfica de la finca y de los lotes que la componen, incluyendo la localización de las construcciones y áreas baldías y de rastrojos). De esta manera el señor Quinayas realiza las siguientes construcciones y su respectiva distribución de bienes:

• Un cobertizo para aguas lluvias.

• Un germinador localizado cerca a la casa para cuidarlo y facilitar su administración. (La federación nacional de cafeteros recomienda que el germinador debe tener 1 metro de ancho y 1,5 metros de largo por cada kilogramo de semilla).

• Un almácigo cercano al germinador y bajo un sombrío regulado con tela polisombra.

• hectáreas se distribuyen para la siembra del café.

• 1 hectárea se utiliza en el sembrado de granadilla, lulo y hortalizas.

• 1 hectárea está destinada a la casa o vivienda.

(Recuerden que los lotes deben ser semejantes en cuanto a variedades cultivadas, área, distancia de siembra, luminosidad, número de plantas).

Nota: todas las divisiones requeridas anteriormente deben ser realizadas haciendo uso de diversos cuadriláteros.

Pregunta de orientación: con ayuda de un programa de geometría dinámica represente gráficamente el croquis de la finca cafetera junto a sus respectivas distribuciones. Realicen como mínimo dos croquis. (El docente se encarga de sensibilizar a los estudiantes en torno a la herramienta computacional)

Integración o criterios de evaluación conjunta

Propósitos de formación: negociación de significados en torno al reconocimiento y visualización de cuadriláteros apoyados en el programa de geometría dinámica.

Establecer una visión global de todo lo aprendido sobre el objeto matemático cuadriláteros.

Actividades de evaluación:

• Lectura de protocolos de los estudiantes.

• Discusiones sobre posibles contradicciones.

• De acuerdo a lo que realizaron, ¿de qué otra manera puedo realizarlo o representarlo?

• Argumenten y compartan el razonamiento que siguieron para resolver el problema con sus compañeros.

• ¿Qué hace diferente su manera de solucionar el problema al de sus compañeros?

• ¿Qué aprendí de mis compañeros?

Impactos generados de la propuesta

Una propuesta como la descrita, nos induce a pensar en un concepto de competencia matemática que prioriza el contexto donde se desenvuelve el estudiante. En particular, consideramos que el impacto ha sido positivo, en la medida que buscamos objetos matemáticos que son tangibles para la vida del niño; es decir, un proyecto en el que prevalecen los aprendizajes por encima de la enseñanza. A raíz de nuestra propuesta, la misma se ha establecido como parte activa del currículo de la Institución y cuenta con el aval de la rectoría para determinar en qué medida es empleada por los profesores y estudiantes de todas las sedes. De igual forma, el proyecto se consolida no como una propuesta de aula;

en particular, la secretaria de educación busca fortalecer la misma y convertirla en una propuesta guía para las instituciones del municipio, donde se tenga en cuenta el contexto donde se devuelve la región en general. En términos generales, consideramos que uno de los impactos de mayor envergadura, es la apropiación de los estudiantes en el tema del café y la estrecha relación que guarda con la matemática y geometría en general. De igual forma, el proyecto nos permitió contar con la participación activa de los padres de familia, familias campesinas del sector que con su experiencia en el sector agrícola permitieron consolidar las diferentes actividades. Todas las actividades permitieron diseñar y construir un libro didáctico para el estudio de los cuadriláteros con la mediación de herramientas computacionales. Se resalta el interés y la motivación de los estudiantes por aprender, por cuestionarse de manera permanente. Lo anterior nos convence cada día que los espacios investigativos son emancipatorios, puesto que permiten generar relaciones de cooperación, de trabajo individual y por equipos ante la necesidad de llevar a cabo alguna actividad que permita construir o consolidar los aprendizajes. En términos sencillos, nuestra propuesta es entender la clase de manera distinta al modelo tradicional; así, concebimos la clase como una comunidad de aprendizaje, que se ha desarrollado precisamente ante la necesidad de buscar espacios donde sea posible “hacer mundo con otros” o diseñar espacios sociales de manera consciente. La idea de comunidades de aprendizaje guarda una estrecha relación con la propuesta del Ministerio de Educación Nacional, específicamente en el programa para la excelencia DOCENTE Y ACADÉMICA TODOS A APRENDER 2.0, con el agregado de ampliar el campo de acción, ya que no solo se limita al análisis de los docentes y directivos docentes, sino que involucra el trabajo científico de los estudiantes. Gracias al diseño y puesta en marcha de esta propuesta, se empezaron a establecer alianzas estratégicas con la secretaria de educación municipal de Pitalito, para implementarla no como una actividad de aula, sino como un modelo transversal en la clase de matemáticas y geometría en las instituciones del municipio; de igual forma, se empezaron a realizar los primeros contactos con el estado de Veracruz en México, donde se desea conocer la experiencia y replicarla. Finalmente, el proyecto fue reconocido por el Ministerio de Educación Nacional en Colombia como una de las mejores prácticas en el área de matemáticas y física del país, en el evento denominado “la noche de la excelencia” en el año 2017.

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Anexos.

Ilustración 1. Prueba de conocimientos previos en torno a los cuadriláteros

Ilustración 2. Jornada de sensibilización a la herramienta computacional

Ilustración 3. Trabajo de GeoGebra.

Ilustración 4. Trabajo de campo. Beneficiadero en finca cafetera.

Ilustración 5. Construcción de beneficiadero ecológico en GeoGebra.