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MATEMÁTICA
MATERIAL PARA DIRECTIVOSEDuCACIón PRIMARIA
MATEMÁTICA
MATERIAL PARA DIRECTIVOSEDuCACIón PRIMARIA
Estos materiales han sido producidos por los especialistas del área de Matemática del IIPE-UNESCO Buenos Aires:
Equipo del área de Matemática
Autores Silvana Seoane | Betina Seoane Referentes María Mónica Becerril |Andrea Novembre | Beatriz Moreno | Mónica Urquiza | Alejandro Rossetti |Héctor Ponce | Inés Sancha | Horacio Itzcovich
Agradecemos el aporte de Ana Lía Crippa.
Equipo de desarrollo editorial
Coordinación general y ediciónRuth Schaposchnik | Nora Legorburu
CorrecciónPilar Flaster | Gladys Berisso
Diseño gráfico y diagramaciónEvelyn Muñoz y Matías Moauro - Imagodg
Material de distribución gratuita. Prohibida su venta
IIPE - UNESCO Buenos Aires Agüero 2071 (C1425EHS), Buenos Aires, Argentina Hecho el depósito que establece la Ley 11.723 Libro de edición argentina. 2011 Permitida la transcripción parcial de los textos incluidos en esta obra, hasta 1.000 palabras, según Ley 11.723, artículo 10, colocando el apartado consultado entre comillas y citando la fuente; si éste excediera la extensión mencionada deberá solicitarse autorización al Editor.
Seoane, SilvanaMatemática material para directivos educación primaria / Silvana Seoane y Betina Seoane. - 1a ed. - Ciudad Autónoma de Buenos Aires: Instituto Internacional de Planeamiento de la educación IIPE-Unesco, 2012.Internet.
ISBN 978-987-1836-90-1
1. Educación. 2. Matemática. 3. Gestión Educativa. I. Seoane, Betina II. Título
CDD 371.2
ÍNDICE
Carta al equipo directivo
Enfoque de nuestra propuesta en Matemática
El asesoramiento pedagógico del director en Matemática
Cómo está organizado el material para docentes
Ejemplo de mapa curricular de Primer Ciclo
Ejemplo de mapa curricular de Segundo Ciclo
Bibliografía y links recomendados
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ÍNDICE
La producción de este material ha sido posible gracias a los intercambios desarrollados entre los referentes locales, los capacitadores y los docentes, a lo largo de toda esta experiencia. Esperamos resulte un aporte a la compleja tarea de enseñar y aprender matemática que permita ofrecer mayor cantidad de oportunidades a los niños para aventurarse en el desafío intelectual que se propicia.
Equipo de Matemática
Tucumán: Cecilia Catuara, Nora Fagre, María Irene Flores, Marta Lopez de Arancibia, Alicia Viviana Moreno, Luciana Neme, Patricio Smitsaart Santa Cruz: Gabriela Rodríguez, Viviana Mata, Marta Sanduay, Lía Vazquez, Valentina González, Norma Gómez, Alfredo Salvatierra, Sandra Manzanal Corrientes: Mónica Miño, Zunilda Del Valle, Ana Benchoff Chaco: Laura Ochoa, Irma Bastiani, Viviana Benegas, Patricia Dellamea Virasoro: Elena Ayala, Andrea Paula Drews, José Pereyra, Irma Neves Benítez, Mónica Magdalena Rodríguez Carlos Casares: Daniela Zermoglio, Mario Martin, Analía Cortona, Nilda Martin, Laura Delgado, Daniela Pere Campana-Pilar-San nicolás: Teresita Chelle, Ana Barone, Gloria RobaloAna Felisa Espil, Miriam Cabral, Mirta Ricagno, Mónica Rinke, Graciela Borda Córdoba: Felisa Aguirre, Laura Sbolci, Ana García Ensenada: Cecilia Wall, Verónica Grimaldi, Mónica Escobar.
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MATEMÁTICA
Querido/a Director/a:
En este documento en especial, buscamos ofrecerle algunas orientaciones para fortalecer su rol como asesor del docente en el área de Matemática. Las siguientes páginas le permitirán conocer y analizar nuestras propuestas didácticas para la enseñanza de la Matemática. De este modo, intentamos colaborar con su tarea para: Sostener el proyecto institucional en el área. Orientar la planificación de los nuevos docentes que reciba la escuela. Supervisar la tarea en el aula de todos los docentes a su cargo. Orientar el proceso de evaluación de los aprendizajes de los alumnos. Profundizar en el proceso de capacitación docente, en las líneas de trabajo propuestas.
Para ello, hemos organizado este documento de la siguiente manera. En primer lugar, com-partimos nuestro enfoque sobre la enseñanza de la Matemática en la escuela. En segundo lu-gar, nos abocamos a dar lineamientos para el acompañamiento concreto del director en cada una de las instancias que hacen al proceso de enseñanza y aprendizaje, es decir, la planificación docente, la gestión de la clase y la evaluación de los aprendizajes de los alumnos. En tercer lugar, describimos el material que desde el área de Matemática hemos desarrollado para los maestros. Finalmente, en el Anexo hemos incluido un ejemplo de mapa curricular del área para Primero y Segundo Ciclo.
Esperamos que disfrute del recorrido de estas páginas y que pueda aprovechar su lectura para sostener en el tiempo el trabajo que hemos venido realizando durante estos años. Y, por qué no, para volar más lejos aún.
Equipo de Matemática
CArTA Al EQUIPO DIrECTIVO
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ENfOQUE DE NUEsTrA PrOPUEsTA EN MATEMÁTICA
Los conocimientos matemáticos que pueblan las aulas responden habitualmente a títulos reconocidos por los docentes: los números naturales y sus operaciones, los números ra-cionales y sus operaciones, el estudio de las figuras y de los cuerpos geométricos, de sus propiedades; y aquellos aspectos relacionados con las magnitudes, las medidas y las pro-porciones.
Ahora bien, con estos mismos “títulos” podrían desarrollarse en su escuela proyectos de enseñanza con características muy diferentes y, eventualmente, los aprendizajes de sus alumnos también serían distintos. ¿Por qué afirmamos esto?
Desde la perspectiva que adoptamos, hay muchas maneras de conocer un concepto matemático. Estas dependen de cuánto una persona (en este caso, sus alumnos) haya teni-do la oportunidad de realizar con relación a ese concepto. O sea, el conjunto de prácticas que despliega un alumno a propósito de un concepto matemático constituirá el sentido de ese concepto para ese alumno.
Y si los proyectos de enseñanza propician prácticas diferentes, las aproximaciones a los conocimientos matemáticos que tendrán sus alumnos serán también muy diferentes.
¿CóMO sE DETErMINAN EsTAs PrÁCTICAs?
Las prácticas que los alumnos desarrollen en la escuela van a estar configuradas, entre otras cosas, por:
Las elecciones que se realicen respecto de los tipos de problemas, su secuencia-ción, los modos de presentación que se propongan a los alumnos. Las interacciones que se promuevan entre los alumnos y las situaciones que se les propongan. Las modalidades de intervención docente a lo largo del proceso de enseñanza.
De allí que en este Proyecto, los contenidos de enseñanza esbozados para cada grado es-tán formados tanto por esos títulos fácilmente reconocibles (los números, las operaciones, etc.), como por las formas en que son producidos y las prácticas por medio de las cuales se elaboran. La intención es acercar a los alumnos a una porción de la cultura matemática identificada no solo por las relaciones establecidas (propiedades, definiciones, formas de representación, etc.), sino también por las características del trabajo matemático. Por eso, las prácticas también forman parte de los contenidos a enseñar y se encuentran estrecha-mente ligadas al sentido que estos contenidos adquieren al ser aprendidos.
¿CUÁlEs sON AlgUNAs DE lAs MArCAs QUE sE PUEDEN IDENTIfICAr COMO PArTE DE lAs PrÁCTICAs MATEMÁTICAs?
resolución de problemasEl avance de la Matemática está marcado por problemas externos e internos a esta discipli-na que han demandado la construcción de nuevos conocimientos. Una característica central, entonces, del trabajo matemático, es la resolución de diferentes tipos de problemas.
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Para que los alumnos también puedan involucrarse en la producción de conocimien-tos matemáticos, será necesario –aunque no suficiente– enfrentarlos a diversos tipos de problemas. Un problema es tal en tanto y en cuanto permite a los alumnos introducirse en el desafío de resolverlo a partir de los conocimientos disponibles y les demanda la pro-ducción de ciertas relaciones en la dirección de una solución posible, aunque esta, en un principio, resulte incompleta o incorrecta.
El trabajo exploratorioOtra característica de la actividad matemática es el despliegue de un trabajo de tipo ex-ploratorio: probar, ensayar, abandonar, representar para imaginar o entender, tomar deci-siones, conjeturar, etcétera. Algunas exploraciones han demandado años de trabajo a los matemáticos e, incluso, muchas preguntas y problemas elaborados hace mucho tiempo siguen en esta etapa de exploración porque aún no han sido resueltos.
Por lo tanto, en la escuela se deberá ofrecer a los alumnos –frente a la resolución de problemas– un espacio y un tiempo que autoricen los ensayos y errores, habiliten aproximaciones a la resolución que muchas veces serán correctas y otras tantas incorrectas, propicien la búsqueda de ejemplos que ayuden a seguir ensayando, y a probar con otros recursos, etcétera. Explorar, probar, ensayar, abandonar lo hecho y comenzar nuevamente la búsqueda es parte del trabajo matemático que este Proyecto propone desplegar en el aula.
Producción de modos de representación pertinentesOtro aspecto del trabajo matemático posible de identificar es la producción de un modo de representación pertinente para la situación que se pretende resolver. A lo largo de la historia, los modos de representar también han sido una preocupación para los matemá-ticos. Las diferentes formas de representación matemática forman parte del conocimiento en cuestión.
Será necesario entonces favorecer en la escuela, tanto la producción de representacio-nes propias por parte de los alumnos durante la exploración de ciertos problemas, como el análisis, el estudio y el uso de diversas formas de representación de la Matemática. El establecimiento de puentes entre las representaciones producidas por los alumnos y las que son reconocidas en la Matemática será también objeto de estudio.
Elaboración de conjeturas y validación de resultados y relaciones.Muchos problemas o preguntas que han surgido a lo largo de la historia de la Matemáti-ca han admitido respuestas que no podían ser probadas inmediatamente y otras aún no tienen demostración. Estas respuestas, hasta que adquieren carácter de verdad, son reco-nocidas con el nombre de conjeturas.
En las interacciones que se propicien en el aula, a raíz de la resolución y el análisis de diferentes problemas, se promoverá que los alumnos expliciten las ideas que van elabo-rando (las respuestas que encuentren, las relaciones que establezcan, etc.) aun cuando no sea claro para ellos, desde el principio, si son del todo ciertas. Estas ideas y las respuestas provisorias que producen los niños son conjeturas o hipótesis que demandarán más cono-cimientos para que dejen de serlo.
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El quehacer matemático involucra también determinar la validez de los resultados obtenidos y de las conjeturas producidas, es decir recurrir a los conocimientos matemáti-cos para decidir si una afirmación, una relación, un resultado son válidos o no y bajo qué condiciones.
Es necesario entonces que los alumnos puedan, progresivamente, “hacerse cargo” por sus propios medios –y usando diferentes tipos de conocimientos matemáticos– de dar cuenta de la verdad o falsedad de los resultados que se encuentran y de las relaciones que se establecen.
Determinar bajo qué condiciones una conjetura es cierta o no implica analizar si aque-llo que se estableció como válido para algún caso particular funciona para cualquier otro caso o no. A veces la validez de una conjetura será tal para todos los casos, y podrá ela-borarse entonces una generalización. Otras veces, la conjetura será válida solo para un conjunto de casos. Generalizar o determinar el dominio de validez es parte también del trabajo matemático.
reorganización y establecimiento de relaciones entre conceptos aprendidosUna última característica para destacar del trabajo matemático es la reorganización y el establecimiento de relaciones entre diferentes conceptos ya reconocidos. Reordenar y sis-tematizar genera nuevas relaciones, nuevos problemas y permite producir otros modelos matemáticos.
Comunicar los modos de producción –o las prácticas matemáticas– asociados a los “títulos” a los que se hacía referencia inicialmente tiene la intención de promover prác-ticas de enseñanza que favorezcan que los conocimientos de los alumnos se carguen de un cierto sentido. No se trata de enseñar en la escuela primaria algunos rudimentos y técnicas para que luego, más adelante, solo algunos alumnos accedan a las maneras de pensar y producir en Matemática, sino de intentar que, desde los primeros contactos con esta disciplina, el estudio de la Matemática sea una forma de acercarse a sus pro-pias maneras de producir. En este Proyecto, se adopta la idea de que enseñar Matemá-tica es también introducir a los alumnos en las prácticas y en el quehacer propio de esta disciplina.
Una cuestión que ha dado lugar a muchas discusiones en distintos momentos de la enseñanza de la Matemática se refiere al lugar que ocupa –sobre todo en los primeros grados– la utilización de material concreto para producir resultados o para comprobar-los. Hay distintas maneras de recurrir al uso de este tipo de materiales. Supongamos por ejemplo que, en 1.º grado, se les propone a los alumnos la siguiente situación: un niño pasa al frente y pone, a la vista de todos, 7 chapitas en una caja, después pasa otro niño y pone, también a la vista de todos, 8 chapitas. Se les pide a los niños que encuentren una manera de saber cuántas chapitas hay en la caja. Utilizando diversas estrategias, los niños arribarán a un resultado. Si, para constatarlo, los niños cuentan las chapitas de la caja, estarán haciendo una comprobación empírica. Si, en cambio, se excluye la posibilidad de acción efectiva sobre los objetos y se les pide a los chicos que muestren mediante argu-mentos que su resultado es correcto, sin corroborarlo empíricamente, estarán haciendo una validación de tipo argumentativo.
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Es necesario señalar que, cuando las comprobaciones son de tipo empírico, es imprescin-dible proponer la anticipación de los resultados que luego se leerán en la comprobación (en la situación de la caja, los niños primero anticipan y luego corroboran). De esta manera, en este juego de anticipación-validación argumentativa-corroboración empírica, los niños irán descu-briendo que los resultados que obtienen son una consecuencia necesaria de haber puesto en funcionamiento ciertas herramientas del aparato matemático. Sin esta anticipación, los niños manipulan material y los resultados que obtienen son producto de una contingencia (se obtu-vieron estos, pero podrían haberse obtenido otros). En otras palabras, si no hay articulación entre anticipación y comprobación empírica, esta última se plantea solo con relación a ella misma y sus resultados no se integran a ninguna organización de conocimiento específica.
Cuando la comprobación es empírica, esa relación de necesariedad entre las acciones rea-lizadas para anticipar y los resultados leídos en la corroboración no puede independizarse del contexto particular en el que se desarrolló. ¿Resulta esta afirmación un argumento para descartar las comprobaciones empíricas? De ninguna manera hacemos esa aseveración. Las comprobaciones de tipo experimental hacen posible una interacción entre los modelos ma-temáticos que los niños van elaborando y los aspectos de la realidad que son modelizables a través de las herramientas matemáticas. Sin esta interacción, los niños no tendrían posibilidad de hacer funcionar esos modelos, de ponerlos a prueba. Concluimos entonces que cuando las constataciones empíricas se plantean como una verificación de aquello que se ha anticipado, se empieza a hacer observable la potencia de la matemática como herramienta que permite anticipar los resultados de experiencias no realizadas.
Circula en algunos medios una concepción instrumentalista de la enseñanza de la Mate-mática que sostiene dos principios fundamentales: 1) la enseñanza de la Matemática se justifi-ca por la utilidad que tienen los saberes matemáticos para resolver problemas cotidianos; y 2) los problemas cotidianos son la única vía para que los niños encuentren el sentido de la Mate-mática. Esta concepción es, desde nuestra perspectiva, objeto de varios cuestionamientos.
Nos interesa que el niño comprenda que la Matemática es una disciplina que ofrece herramientas para resolver ciertos problemas de la realidad. Pero una concentración ex-clusiva en la utilidad hace perder de vista a la Matemática como producto cultural, como práctica, como forma de pensamiento, como modo de argumentación. Pensamos con Bkouche que “hay una motivación tanto o más fundamental que la utilidad: el desafío que plantea al alumno un problema en tanto tal. Lo que es importante para el alumno no es conocer la solución, es ser capaz de encontrarla él mismo y de construirse así, a través de su actividad matemática, una imagen de sí positiva, valorizante, frente a la Matemática.
La recompensa del problema resuelto no es la solución del problema, es el éxito de aquel que lo ha resuelto por sus propios medios, es la imagen que puede tener de sí mismo como alguien capaz de resolver problemas, de hacer matemática, de aprender (...)”.
Por otra parte, pensar en las aplicaciones como única fuente de sentido es renunciar a que el niño comprenda que el conocimiento matemático también se produce para dar respuestas a problemas que surgen del interior de la disciplina y esta renuncia reduce las posibilidades de comprender la lógica interna de la Matemática.
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Hay una tercera cuestión que es necesario señalar: el hecho de que el problema se plantee en un contexto extra matemático no siempre aporta a la comprensión o a la resolución de ese problema. Hacemos la opción de privilegiar los contextos de aplicación extra matemática cuando estos ofrecen al alumno elementos para pensar, abordar, resolver o validar los problemas que es-tán enfrentando. Volvemos a citar a Bkouche: “Ahora bien, lo que da profundamente sentido en la actividad matemática, no es que es curiosa, útil, entretenida, sino que se enraíza en la historia personal y social del sujeto. Toda situación de aprendizaje, más allá de aspectos específicamente didácticos, plantea dos preguntas ineludibles. ¿Cuál es el sentido de esta situación para aquel que aprende? ¿Cuál es la imagen de sí mismo, de sus capacidades, de sus oportunidades de éxi-to en esta situación? En términos más triviales: ¿qué hago acá? ¿soy capaz? ¿vale la pena? Esta relación con el saber pone en juego los deseos, el inconsciente, las normas sociales, los modelos de referencia, las identificaciones, las expectativas, los pareceres sobre el porvenir, los desafíos personales. (...) Es muy reductor invocar simplemente aquí palabras tan vagas como ‘curiosidad’ o incluso ‘motivación’. El problema no es suscitar la curiosidad, sino proponer a los jóvenes las actividades, las prácticas, los itinerarios de formación que toman sentido en una red compleja de deseos, de expectativas, de normas interiorizadas y que contribuyen a reestructurar esa red”.
Estos aspectos destacados en estos párrafos están considerados implícita o explícita-mente en la organización y distribución de contenidos que ofrecemos como ejemplo. En dicha selección, se han considerado, de alguna manera, no solo los títulos que constituyen los objetos de enseñanza, sino las marcas de prácticas matemáticas que, asociadas a ellos, se propicia desplegar en las aulas.
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El AsEsOrAMIENTO PEDAgógICO DEl DIrECTOr EN MATEMÁTICA
En las secciones que siguen, encontrará algunas pautas que pueden ayudarlo a acompañar al docente en su tarea. No apuntamos a que se constituyan en “asesores” de la enseñanza de la Matemática, pero sí, a que dispongan de algunos criterios didácticos generales que les permitan establecer, comunicar, sostener las orientaciones didácticas que instalen cier-ta coherencia institucional en la enseñanza de la Matemática.
PlANIfICACIóN DOCENTE
¿Qué puede realizar el director para acompañar, orientar y supervisar el proceso de plani-ficación docente? Verificar que no sea solo un mero formalismo y que se elabore a la luz de los conocimien-tos que los alumnos tienen disponibles.
Asegurarse que las planificaciones tengan explicitados los contenidos (todos los que figuran en el PEI)1, su secuenciación y organización, y los recursos que se podrían utilizar para abordar-los (libros de texto, carpetas de actividades, instrumentos de geometría, calculadoras, etc.).
Garantizar que un mismo contenido aparezca más de una vez en la planificación de un mismo grado de manera de permitir a los alumnos volver a visitar los mismos objetos de enseñanza más de una vez al año.
Propiciar intercambios entre docentes del mismo año de manera de unificar criterios y secuencias.
Propiciar intercambios entre docentes de grados consecutivos de manera de garantizar continuidades entre un grado y otro así como ciertas rupturas necesarias (por ejemplo, entre el trabajo con números naturales y el trabajo con números racionales).
Unificar criterios de selección y secuenciación por ciclo a la luz del avance en el estudio de contenidos que se reiteran, pero que demandan mayor profundidad en su tratamiento. Se trata de que se evidencie en la planificación qué aspectos nuevos aparecen en el tratamien-to de un contenido que ya fue abordado en años anteriores.
gEsTIóN DE lA ClAsE
Además del acompañamiento en la etapa de planificación, es importante que el director oriente y supervise al docente en aspectos clave de la gestión de la clase, como los textos con los cuales trabajar, el uso de los cuadernos de clase y el trabajo áulico. ¿Qué preguntas podría hacerse el director para guiarse en esta tarea? A continuación, detallamos algunas:
a) Acerca de la elección de textos para los alumnos: ¿Cuáles son los criterios con los que el docente elige el texto? ¿El diseño gráfico? ¿El costo? Es importante que el directivo
1- Sugerir que se apoyen en el Diseño Curricular de EP y en los NAPs.
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oriente en este aspecto al maestro y le transmita ciertos criterios tales como: coherencia con los contenidos prescriptos en el Diseño Curricular vigente; con las propuestas de enseñanza y de diferentes tipos de problemas que les hemos acercado y/o con las que figuran en los NAP; con la posibilidad de que los alumnos puedan realizar diferentes procedimientos para resolver al tener consignas abiertas que no dan pautas de lo que hay que hacer; etcétera.
b) Acerca del trabajo con los cuadernos/libros de texto de los alumnos: ¿Cuántas pági-nas están trabajadas? Si fueran pocas, ¿cuáles son las razones? ¿El maestro da pocas situa-ciones de enseñanza? O ¿el alumno falta mucho? O ¿el alumno no trabaja? En este caso, ¿se saben las razones de ese no hacer? Este es un problema importante, ya que se aprende en relación directa con la cantidad de oportunidades en las que se pudo interactuar con el objeto de conocimiento. Mientras más problemas vinculados a un contenido en particular se hayan resuelto, más se sabrá sobre él.
c) Acerca de la gestión de la clase por medio de observaciones2
Es importante que el directivo pueda tener en claro qué va a observar y a qué tipo de gestión de clase estamos apuntando. Los siguientes ítems intentan identificar algunos de esos observables:
Presentación del problema ¿Cómo se les proponen a los alumnos los problemas? ¿Se los hace interesantes, atracti-vos, diversos, desafiantes, se utilizan de manera permanente u ocasional, etcétera? ¿Quién lee el problema? ¿Cada alumno individualmente? ¿El maestro? ¿Un alumno? ¿Siempre se hace de la misma manera? ¿Por qué se decide una u otra modalidad?
Una vez leído, ¿el maestro pregunta cómo se resuelve? En ese caso, ¿quiénes contestan? Seguramente siempre los mismos dos o tres alumnos. El resto acata pasivamente el supuesto saber de los otros y, por esa razón, deja de aprender Matemática. Una de las condiciones para poder aprender es tomar decisiones, es decir, buscar dentro de todo lo que se sabe y seleccionar aquello que uno cree es la mejor herramienta para resolver el problema.
Cuando los alumnos dicen, por ejemplo, que no entienden la consigna, ¿cómo se intervie-ne? Habrá que cuidar algunos aspectos para determinar las causas: ¿Son siempre los mismos alumnos? ¿Se descartaron problemas de lectura? ¿Se les preguntó a esos alumnos si se sien-ten bien física y emocionalmente? ¿Se verificó que el texto del problema no contenga térmi-nos desconocidos? ¿Se indagó acerca de qué es específicamente lo que no se entiende?
Habrá que ayudar a los docentes para que elaboren estrategias que permitan superar esas dificultades: ¿Se los alienta a los que “no entienden” a reconocer lo que sí entienden para que, desde allí, vuelvan a intentarlo? ¿Se reconoce que un alumno que no produce es un alumno que no aprende? ¿Se los pone de a dos a discutir la consiga (dos cabezas piensan más que una), aunque el resto trabaje de manera individual? ¿El maestro lo ayuda a establecer y recuperar las relaciones y producciones que en resoluciones anteriores ha podido hacer y que son posibles de ser vinculadas con el problema actual? ¿Se establece
2- Sugerimos que el directivo acuerde con el docente qué situación de enseñanza se va a utilizar y realizar de
manera conjunta un análisis sobre dicha situación que permita anticipar algunos aspectos de la gestión de la clase.
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claramente que resolver problemas es una tarea compleja que requiere, como mínimo, leer varias veces la consigna? ¿El maestro lee la consigna a aquellos que no pueden? ¿Se les responde rápidamente frente a la demanda del “no entiendo”? ¿Dónde quedan las intenciones de formar alumnos autónomos? Etcétera.
Manejo de la variable tiempo: ¿Esta variable es tenida en cuenta como uno de los factores que incide en la cantidad y calidad de la enseñanza? Reflexionar con los maestros la canti-dad de tiempo real que se dedica al trabajo y la cantidad de tiempo que lleva que los alum-nos entren al aula, se sienten, saquen el cuaderno de Matemática, pongan el título... Como en general no hay recursos para fotocopias, los alumnos copian el problema del pizarrón. Los que son “lentos” es probable que, cuando terminen de copiar, no les quede tiempo para la resolución y nuevamente se queden sin hacer Matemática. Ofrecer estrategias: que no copien (la fecha, el título, el problema) hasta después de terminar la resolución.
Intervenciones del maestro mientras los alumnos resuelven ¿Qué hace el maestro mientras los alumnos resuelven? Algunos aprovechan el tiempo
para corregir. Sería interesante mostrar acá que de esa manera no se puede saber quiénes están produciendo y quiénes no, por lo tanto, es imposible poner en juego las estrategias para alentar a los demorados. Otros, sentados en su escritorio atienden una larga fila de alumnos que cuaderno en mano preguntan: “¿Seño, está bien?”. Varios fenómenos se producen por este modo de gestionar la clase: en primer lugar, es imposible ver a los que no están haciendo nada por estar “tapados” por los que sí hicieron. Corregir a cada uno dándole explicaciones acerca de su producción que permitan resignificar lo hecho es impo-sible cuando la fila es larga. Se termina por decir de manera más o menos explícita que está bien o mal y se deja al alumno fuera de toda posibilidad de cargar con sentido lo hecho.
Por otra parte, se homogenizan las producciones, todos terminan haciendo lo mismo, “no hay errores”, los cuadernos muestran una realidad inexistente, ya que seguramente esos alumnos puestos a resolver nuevamente lo mismo, cometerán los mismos viejos errores frente al desconcierto del maestro.
Otros maestros pueden caminar entre los bancos para verificar que todos estén trabajando, alentar a los demorados si los hubiera, y además, anticipar qué producciones serán las discutidas en la puesta en común. En ese caso, frente a la pregunta: “Seño, ¿está bien?”, ¿qué se contesta y que no? Tomar como criterios generales: Contestar todo lo relacionado con las condiciones del problema; con las estrategias destinadas a la comprensión de la consigna que vimos; no contestar nada que le diga al alumno lo que tiene que hacer o que encubra el error (haciendo correcciones del tipo “¿te parece que hay que sumar, mmmm?”, lo que produce que el alumno borre la suma sin tener idea del por qué y copie luego lo que es correcto también sin tener idea del por qué).
¿Qué hace el maestro con los detenidos? Tiene que averiguar cuáles son las causas. Es im-portante acá mostrarles a los maestros que es necesario saber cuáles son los conocimien-tos que se ponen en juego cuando dan un problema. Esto los asusta porque no tiene nada que ver con sus prácticas; habrá que tranquilizarlos mostrándoles que esa es una de las razones por las que el directivo va a acompañarlos en el análisis previo a la puesta en juego en la clase. Ya vimos lo concerniente al “no entiendo”. Si el problema es que el alumno no dispone del conocimiento del sistema de numeración, por ejemplo, la estrategia puede ser pedirle que lea el número, ya que la numeración hablada da mucha información acerca del valor posicional. Si es un problema de falta de dominio del cálculo, se les pueden ofrecer
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entonces estrategias que les permitan apoyarse en lo que saben para descubrir lo que no saben, del tipo: “¿sabés cuánto es 5 + 5? Fijate si te sirve para 50 + 50”, etcétera. Si el pro-blema es que no pueden identificar ningún conocimiento, se les puede ofrecer el contexto del dinero, primero, “si tuvieras tales billetes...” y si tampoco funcionara dándoles los bi-lletes para que operen por tanteo y error, se les puede dar algún portador numérico como los “cuadros de números” para que puedan apoyarse en esa información o, en los grados, bajos ofrecerles que utilicen material concreto, etcétera.
Puesta en común Luego de que los alumnos hayan resuelto, ¿el maestro realiza una puesta en común de los procedimientos realizados siempre que sean diferentes? ¿A qué llamamos puesta en común? Diferenciar entre “mostrar” y “demostrar”: se trata de enseñar al alumno a pensar “¿qué aprendí?” y no solamente “¿qué hice?”. Necesidad de la “neutralidad aparente” del maestro para que los alumnos se hagan cargo de la argumentación (nadie va a tener la ne-cesidad de usar todo su conocimiento para demostrar las razones matemáticas de por qué hizo lo que hizo si el maestro ya convalidó lo correcto o incorrecto de un procedimiento). Cuando decimos que solo se analiza lo diferente, ¿qué queremos decir? ¿Qué significa “diferente” en términos matemáticos? Si se trata por ejemplo de resolver un problema que demanda sumar 450 + 63, una cuestión a discutir es ¿cómo se dieron cuenta de que hay que sumar? Y al efectuar la operación, alguien puede hacer 400 + 50 + 50 + 10 + 3 y otro, 400 + 110 + 3; en ese caso, sería interesante discutir con los chicos de dónde salió el 10 del primer procedimiento y de dónde salió el 110 del segundo. En cambio, si alguien propusiera 450 + 50 + 10 + 3, se podría plantear a la clase si ese procedimiento cumple o no con la condición de “diferente” con respecto al primer caso. Si las producciones son muy parejas, no es necesario hacer la puesta en común. Evitar la banalización y la creación de rutinas vacías de sentido. Si esto no se anticipó, se puede salvar dando el maestro algún contraejemplo para ser analizado, por ejemplo, y siempre en el mis-mo problema, “para resolver 450 + 63, alguien hizo 45 + 6 + 3 = 54, ¿está bien? ¿Por qué?”
sistematización Se trata de orientar al maestro para que ayude a los chicos a hacer explícito aquello que pudo quedar implícito en la puesta en común y también para que todos lo tomen como ob-jeto de estudio acordado. Para esto, habrá que pensar junto con el maestro el rol que cum-ple el cuaderno/carpeta. Justificar que para nosotros debe ser la memoria cronológica de los aprendizajes, negociando hasta donde se pueda, un elemento de uso y estudio para el alumno. En este sentido, definir que cuando se los manda a estudiar nadie se hace cargo de qué significa eso ni de cómo se hace. Acá aparece nuevamente la necesidad de reconocer e identificar, por parte de los maestros, los conocimientos de base que subyacen a los conte-nidos. Es necesario que el maestro tenga anticipado el “listado” de los aspectos que quiere que queden connotados para ser estudiados. De este modo, en el momento de plantear (en el contexto del problema 450 + 63 por ejemplo): “¿Cómo hay que hacer para que los cálculos sean más fáciles?” puede no incluir aquellos que no sean pertinentes “con la cabeza”, por ejemplo, o aportar los aspectos que no hayan surgido desde los alumnos. Sugerimos, para este tipo de problemas, guiar la clase para que los alumnos elaboren el siguiente punteo, lo copien y lo estudien: “Leer los números da información valiosa; descomponer los números en función de los cálculos que ya me sé de memoria o que me resultan más fáciles de calcular; fijarme si en los cálculos que ya resolví hay información que me sirva para resolver este; etcétera”.
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EVAlUACIóN DEl APrENDIzAjE
Otro aspecto a considerar en el proceso de enseñanza y aprendizaje es la evaluación de los alumnos. En este sentido, creemos que el qué, el para qué y el cómo se evalúa deberían ser tópicos discutidos de manera conjunta entre los miembros de la institución escolar.
Para orientar el proceso de evaluación en el área de Matemática, compartimos algunos criterios que pueden resultar de utilidad, a través de un ejemplo:
Supongamos que el siguiente problema formara parte de una evaluación y se quieren acordar los criterios de evaluación: En la panadería, están preparando pancitos para poner en el horno. Amasaron 68 pancitos y en cada asadera entran 12. ¿Cuántas asaderas necesitan? ¿Por qué?
Como primer paso, se podría pensar en las posibles respuestas que pueden dar los alumnos:A. No resuelve nada, entrega la hoja en blanco. B. Utiliza los números, pero en un procedimiento distinto a la división (suma, resta, multiplicación).C. Realiza la operación correctamente, pero el resultado es el incorrecto o incompleto. La respuesta no está justificada.D. Realiza la operación correctamente, el resultado es el correcto, pero la respuesta no se justifica.E. Realiza la operación correctamente, el resultado es el correcto, y la respuesta está justificada.
Se podría acordar qué nomenclatura colocar a las posibles respuestas (si valor numérico o letras), en nuestro caso se resolvió colocar letras.
Se podrían confeccionar tablas que permitieran volcar los datos, como la siguiente:
I) Tabla con el listado de los alumnos
Nombre y apellido del alumno
PROBLEMA 1 PROBLEMA 2 PROBLEMA 3 CUENTA 4
A B C D E A B C D E F G A B C D A B C
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II) Tabla que indica la cantidad y (a modo de ejemplo) el porcentaje de alumnos que res-pondieron los distintos ítems
Alumnos ResoluciónCantidad
de alumnos
Porcentaje
A No resuelve nada, entrega la hoja en blanco. 1
BUtiliza los números, pero en un procedimiento dis-tinto a la división (suma, resta, multiplicación).
2
CRealiza la operación correctamente, pero el resultado es el incorrecto o incompleto. La respuesta no justifica.
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DRealiza la operación correctamente, el resultado es el correcto, pero la respuesta no justifica.
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ERealiza la operación correctamente, el resultado es el correcto, y la respuesta justifica.
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Ausentes 2
Total 30
III) Cálculo de los porcentajes
Alumnos de cada respuesta
Total de alumnosx 100
IV) Análisis de los datos obtenidos Suponiendo un curso de 30 alumnos y que el día de la evaluación hubo 2 alumnos ausentes, la planilla tendría esos números. ¿Mirando esos números, qué podemos decir de ese curso? ¿Cómo debo proceder luego de ver esos números? ¿Cuáles son los alumnos que requieren una atención más personalizada? ¿Por qué? Estas y otras preguntas podrían colaborar en el análisis de los resultados de la evaluación y en la reorientación de la planificación.
Otras cuestiones a considerar acerca del trabajo de los alumnosDentro del marco de trabajo que se plantea desde el área, hay algunas actitudes de los alumnos que pueden ayudar a identificar avances y dificultades.
Una primera cuestión es el grado de autonomía que van adquiriendo: cuánto trabajan solos, cuánto comparten con sus compañeros, cuánto esperan al docente para comenzar, cuánto solamente copian lo que hacen los otros o el docente. Esta actitud es evaluable y, a su vez, es posible desplegar algunas cuestiones para que puedan desenvolverse de manera más autónoma.
Otro aspecto involucra las preguntas que el alumno hace mientras está trabajando frente a una actividad que se le presenta. Hay preguntas que se vinculan con el caso ante-rior: ¿Qué tengo que hacer?, no entiendo, ¿por dónde empiezo? ¿Es de dividir?
Hay otras que marcan avances en relación con el conocimiento: ¿Puedo escribir en la hoja del cuaderno? ¿Hay que hacer todas las cuentas? ¿Pongo la respuesta abajo?
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Los diferentes tipos de preguntas dan indicios sobre el lugar en que está posicionado el alumno. Tenerlas en cuenta podría favorecer la intervención del docente con vistas a lograr mayor nivel de participación de ciertos alumnos.
Un tercer aspecto a considerar son las escrituras que produce en relación con la tarea que se les presenta. Hay escrituras que son incompletas, otras que resultan poco pertinentes, algunas son insuficientes para el docente, hay otras que son suficientes para el alumno pero no para el docente. Es tarea del docente interpretar las producciones de los alumnos y es-tablecer puentes entre dichas escrituras y las que ponen en evidencia más explícita lo que se está pensando.
Un nuevo aspecto a considerar tiene que ver con la relación entre lo que producen los alumnos y lo que están tratando de responder. Es esperable que los alumnos, frente a las diferentes situaciones, elaboren o usen recursos de resolución. No siempre estos recursos son pertinentes. Numerosas veces los recorridos que seleccionan (cálculos, cuentas, dibu-jos, etc.) no son adecuados para encontrar lo que están buscando. Este aspecto se vincula con el anterior, y nuevamente, es posible incidir desde la enseñanza para que los alumnos puedan hacerse cargo de buscar, elaborar o usar recursos coherentes con lo que se trata de resolver.
Un punto, quizá el más complejo, y que reúne todos los aspectos anteriores lo representa la posibilidad de que los alumnos vayan construyendo el hábito de dar cuenta, mediante argumentos, que lo que han hecho es correcto, así como que puedan identificar los erro-res que cometen, más allá de la intervención del docente. Validar sus propias producciones implica apelar a ciertos conocimientos matemáticos para tomar la decisión acerca de lo co-rrecto o incorrecto de lo producido. Este punto también corresponde a la enseñanza.
Esta información podría estar presente en un cuadro de doble entrada:
Nombre y apellido
Nivel deautonomía
Preguntas que hace
Escrituras que produce
Recursos que elabora o usa
Controla y valida
Todos estos aspectos podrían formar parte de la historia de cada alumno, y es probable que colabore en la toma de decisiones.
19
CóMO EsTÁ OrgANIzADO El MATErIAl PArA DOCENTEs
En la carpeta de trabajo que hemos preparado para ellos, los docentes encontrarán ma-teriales para pensar, planificar, revisar y volver a pensar sus clases de Matemática. Estos materiales se presentan dentro de un marco general para toda la escuela, que parte de la necesidad fundamental de acercar la cultura científica al aula, e incorpora los modos de conocer de la Matemática como objetivos centrales a la enseñanza, de la mano de los saberes conceptuales.
Para cada grado, los docentes podrán encontrar:
EjEMPlOs DE PlANIfICACIONEs ANUAlEsSe trata de ensayos de distribución de los contenidos de enseñanza a lo largo del año. Son ejemplos y, como tales, se podrán transformar en herramientas para que cada docente pue-da pensar su propio recorrido anual, con el grado asignado y en función de sus alumnos.
EjEMPlOs DE PlANIfICACIONEs MENsUAlEsSe trata de una primera “lupa” sobre la planificación de un mes determinado. Se ofrece en este caso una mirada ampliada al interior de uno de los meses, y se detalla el asunto que será prioritario en ese mes, ejemplos de problemas, adecuaciones semanales, indicadores de avance que podrán orientar la perspectiva adoptada.
EjEMPlOs DE PlANIfICACIONEs sEMANAlEsSe trata de un ejemplo del desarrollo del trabajo a lo largo de una semana de clases en el que se explicitan las actividades que se desarrollarán en cada clase, las discusiones que se propiciarán con los alumnos, la organización del trabajo en el aula, los tiempos que de-mandarán, las conclusiones a las que se pretende arribar y los aprendizajes esperables.
Se proponen, también, a la luz de los ejemplos de evaluaciones y a raíz de un problema, diferentes maneras de pensar la corrección de las pruebas o problemas que se les presen-tan a los alumnos. Se parte de la idea de que la corrección debe abonar a la enseñanza y al aprendizaje. De allí que parece insuficiente entregar los resultados de las pruebas y terminar la tarea, con la evaluación: ¿Qué se les dice a los alumnos? ¿Cómo se recuperan los resultados de las evaluaciones para que los alumnos sepan qué les pasó y por qué les pasó lo que les pasó? ¿Cómo reorientar la enseñanza para que los alumnos avancen? ¿Qué considerar para la promoción?
Estos aspectos se abren pero demandan debates particulares para cada alumno en particular y para cada etapa del año.
EjEMPlOs DE EVAlUACIONEs ANUAlEs, bIMEsTrAlEs O POr CONTENIDOs DE TrAbAjO y CrITErIOs DE COrrECCIóNSe trata, en este caso, de ofrecer a los docentes insumos para pensar las evaluaciones. Al ser ejemplos, brindan la posibilidad de tomar decisiones: alterar el orden de las actividades, modificar algunos datos de los problemas, considerar diferentes criterios para su correc-ción, incorporar otros problemas, quitar alguno, etcétera.
20
bIblIOgrAfÍA y lINks rECOMENDADOsSe presenta también una bibliografía que aborda diferentes aspectos relacionados con la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática, que está organizada según las temáticas. Se recomiendan estas herramientas a los docentes para que puedan profundizar sus conoci-mientos sobre la enseñanza y el aprendizaje de la disciplina.
A su vez, para cada material recomendando, se indica el link del cual puede ser “ba-jado” para su estudio, ser impreso o disponer de él de la manera en que cada docente y a cada escuela le resulte más conveniente. En dichos links, hay otros materiales que también podrán resultar de interés, aunque no aparezcan en la lista confeccionada.
Es nuestro deseo que este material se transforme en un insumo de consulta y uso que permita a los directivos y docentes sentirse acompañados. Todo lo publicado es suscepti-ble de ser fotocopiado e impreso, solo basta indicar que son materiales aportados por el Proyecto Escuelas del Bicentenario.
CUADErNIllOs DE ACTIVIDADEs PArA lOs AlUMNOsEn función de la planificación anual, se presentan cuadernillos con problemas para que los alumnos resuelvan, que contemplan esa planificación. Al tratarse de cuadernillos o carpetas independientes, el orden de uso será determinado por el docente, aunque cabe aclarar que ciertos contenidos son necesarios para abordar otros, y que algunos cuadernillos recuperan conocimientos tratados en otros. En ese sentido, el docente deberá cuidar que la propuesta conserve las relaciones entre los conocimientos y el avance en la profundidad del estudio.
Los cuadernillos están pensados para ser entregados a los alumnos para el estudio y trabajo en torno a cada tipo de problema. Son actividades y no presentan aspectos teóricos, que quedan en manos del docente. La intención es que, a medida que los alumnos resuelvan los problemas, el docente pueda gestionar debates sobre los procedimientos de resolución, buscar explicaciones que permitan interpretar errores, decidir si algo es correcto, analizar si un recurso puede ser vuelto a utilizar en otro problema, establecer generalidades, etcétera.
Lo que se busca con estos ejemplos es preservar el espíritu del trabajo elaborado en las planificaciones y en los cuadernillos de manera de forjar el mayor grado de coherencia entre lo que se planifica, lo que se enseña y lo que se evalúa, asumiendo que estos recursos no son los únicos modos de identificar los avances de los alumnos y de repensar la enseñanza.
ANExOs
A continuación se ofrece una selección, organización y secuenciación de contenidos de enseñanza que podrá servir como insumo para la planificación y el seguimiento de los procesos de enseñanza.
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ució
n de
pro
blem
as q
ue i
mpl
ique
n re
aliz
ar e
stim
a-ci
ones
y m
edic
ione
s, e
mpl
eand
o di
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ntes
ins
trum
ento
s de
m
edic
ión
y us
ando
uni
dade
s de
med
idas
con
venc
iona
les
y no
co
nven
cion
ales
usu
ales
.
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esol
ució
n de
pro
blem
as q
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pliq
uen
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tifica
r y
form
ular
al
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s car
acte
rístic
as y
ele
men
tos d
e la
s figu
ras g
eom
étric
as.
• Est
able
cim
ient
o de
rela
cion
es e
ntre
dist
inta
s fig
uras
geo
mét
ricas
(c
uadr
ados
, triá
ngul
os y
rect
ángu
los)
.
• Id
entifi
caci
ón d
e pr
opie
dade
s de
figu
ras
geom
étric
as p
ara
su
repr
oduc
ción
util
izand
o ho
jas l
isas,
regl
a y
escu
adra
.
• Pro
ducc
ión
e in
terp
reta
ción
de
text
os q
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escr
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las
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as a
tr
avés
de
un v
ocab
ular
io e
spec
ífico
.
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ntifi
caci
ón y
form
ulac
ión
de c
arac
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ticas
y e
lem
ento
s de
los
cuer
pos g
eom
étric
os.
• Es
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ecim
ient
o de
rel
acio
nes
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e di
stin
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figur
as g
eom
é-tr
icas
y
cuer
pos
(cua
drad
os/c
ubo,
tr
iáng
ulos
/pir
ámid
e,
rect
ángu
lo/p
rism
a y
círc
ulo/
cono
o c
ilind
ro).
• M
edic
ión
y co
mpa
raci
ón d
e lo
ngitu
des,
cap
acid
ades
y p
esos
us
ando
uni
dade
s co
nven
cion
ales
y n
o co
nven
cion
ales
, se
gún
lo
requ
iera
la si
tuac
ión.
Blo
ques
1.º
grad
o2.
º gr
ado
3.º
grad
o
Espa
cio,
ge
omet
ría
y m
edid
a
• Com
para
ción
de
long
itude
s en
form
a di
rect
a.
• Ide
ntifi
caci
ón d
e di
stin
tas
mag
nitu
des
y un
idad
es d
e m
edid
a a
part
ir de
la m
edic
ión
y co
mpa
raci
ón d
e lo
ngitu
des,
cap
aci-
dade
s y
peso
s, u
sand
o un
idad
es d
e m
edid
as c
onve
ncio
nale
s y
no c
onve
ncio
nale
s, s
egún
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era
la s
ituac
ión.
• Uso
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dist
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s in
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men
tos
de m
edic
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de lo
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d, c
a-pa
cida
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peso
.
• Exp
lora
ción
del
mod
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uso
de
dist
into
s in
stru
men
tos
de m
edi-
ción
de
long
itud,
cap
acid
ad y
pes
o.
• Est
imac
ión
de m
edid
as d
e lo
ngitu
d y
peso
.
• Ade
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ión
de la
uni
dad
de m
edid
a a
la c
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med
ir.
• Es
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o de
pr
imer
as
equi
vale
ncia
s en
tre
las
prin
cipa
les
unid
ades
de
med
ida
de lo
ngitu
des
y pe
sos
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m =
1.0
00 m
; 1 m
=
100
cm; 1
kg
= 1.
000
g).
• R
econ
ocim
ient
o y
uso
de l
as e
quiv
alen
cias
ent
re u
nida
des
de
tiem
po (1
hor
a =
60 m
inut
os, 1
min
uto
= 60
seg
undo
s, ½
hor
a =
30 m
inut
os, ¼
hor
a =
15 m
inut
os).
24
2. oBjETIVoS
Blo
ques
4.º
grad
o5.
º gr
ado
6.º
grad
o
Núm
eros
na
tura
les
y op
erac
ione
s
• Res
oluc
ión
de p
robl
emas
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com
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n de
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y
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para
ción
con
el s
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num
erac
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posi
cion
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ecim
al.
• Res
oluc
ión
de p
robl
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que
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en d
isti
ntos
se
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os d
e la
s op
erac
ione
s de
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a y
rest
a, u
tili-
zand
o, c
omun
ican
do y
com
para
ndo
dive
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est
ra-
tegi
as y
cál
culo
s po
sibl
es.
• Res
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ión
de p
robl
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que
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lucr
en d
iver
sos
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idos
de
la m
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n y
la d
ivis
ión
utili
zan-
do,
com
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rand
o di
vers
as e
stra
te-
gias
y c
álcu
los
posi
bles
.• C
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ión,
sel
ecci
ón y
uso
de
vari
adas
est
ra-
tegi
as d
e cá
lcul
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ra m
ulti
plic
ar y
div
idir
(m
en-
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algo
rítm
ico,
apr
oxim
ado
y co
n ca
lcul
ador
a)
de a
cuer
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on la
sit
uaci
ón y
con
los
núm
eros
invo
-lu
crad
os v
erifi
cand
o co
n un
a es
trat
egia
los
resu
lta-
dos
obte
nido
s po
r m
edio
de
otra
.
• R
esol
ució
n de
pro
blem
as q
ue im
pliq
uen
usar
, lee
r, es
-cr
ibir
y co
mpa
rar n
úmer
os s
in lí
mite
.•
Res
oluc
ión
de p
robl
emas
que
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jan
desc
ompo
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aditi
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mul
tiplic
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te lo
s nú
mer
os y
ana
lizar
el
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icio
nal.
• Ex
plor
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n de
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s si
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as d
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mer
ació
n po
si-
cion
ales
, no
posi
cion
ales
, adi
tivos
, mul
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ativ
os, d
eci-
mal
es. A
nális
is d
e su
evo
luci
ón h
istó
rica
y co
mpa
raci
ón
con
el s
iste
ma
deci
mal
pos
icio
nal.
• R
esol
ució
n de
pro
blem
as q
ue in
volu
cren
div
erso
s se
n-tid
os d
e la
mul
tiplic
ació
n y
la d
ivis
ión
utili
zand
o, c
omu-
nica
ndo
y co
mpa
rand
o di
vers
as e
stra
tegi
as, e
scrib
iend
o lo
s cá
lcul
os q
ue re
pres
enta
n la
ope
raci
ón re
aliz
ada.
• C
onst
rucc
ión,
sel
ecci
ón y
uso
de
var
iada
s es
trat
egia
s de
cál
culo
par
a m
ultip
licar
y d
ivid
ir (m
enta
l, al
gorít
mi-
co,
apro
xim
ado
y co
n ca
lcul
ador
a) d
e ac
uerd
o co
n la
si
tuac
ión
y co
n lo
s nú
mer
os i
nvol
ucra
dos
verifi
cand
o co
n un
a es
trat
egia
los
resu
ltado
s ob
teni
dos
por
med
io
de o
tra.
• R
esol
ució
n de
pro
blem
as q
ue in
volu
cren
las
noci
ones
de
múl
tiplo
y d
ivis
or.
Aná
lisis
de
las
rela
cion
es e
ntre
cá
lcul
os a
par
tir d
e la
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de
múl
tiplo
: de
scom
posi
-ci
ones
par
a us
ar r
esul
tado
s co
noci
dos
en la
bús
qued
a de
pro
duct
os o
div
isio
nes
desc
onoc
idas
.
- Res
oluc
ión
de p
robl
emas
que
impl
ique
n us
ar, l
eer,
escr
ibir
y co
mpa
rar n
úmer
os
sin
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.•
Res
oluc
ión
de p
robl
emas
que
exi
jan
des
com
pone
r adi
tiva
y m
ultip
licat
ivam
en-
te lo
s nú
mer
os y
ana
lizar
el v
alor
pos
icio
nal.
• A
ntic
ipac
ión
del r
esul
tado
de
cálc
ulos
a p
artir
de
la in
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ació
n qu
e br
inda
la
escr
itura
de
los
núm
eros
.•
Res
oluc
ión
de p
robl
emas
que
invo
lucr
en d
iver
sos
sent
idos
de
la m
ultip
licac
ión
y la
div
isió
n u
tiliz
ando
, com
unic
ando
y c
ompa
rand
o di
vers
as e
stra
tegi
as, e
scri-
bien
do lo
s cá
lcul
os q
ue re
pres
enta
n la
ope
raci
ón re
aliz
ada.
• C
onst
rucc
ión,
sel
ecci
ón y
uso
de
varia
das
estr
ateg
ias
de c
álcu
lo p
ara
mul
tipli-
car y
div
idir
(men
tal,
algo
rítm
ico,
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n ca
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n y
con
los
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eros
invo
lucr
ados
ver
ifica
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con
una
estr
ateg
ia lo
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sulta
dos
obte
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ra.
• U
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es d
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los,
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isor
es y
de
los
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olve
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es c
lase
s de
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blem
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naliz
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s en
tre
cálc
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y
antic
ipar
resu
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s de
mul
tiplic
acio
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y di
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ones
.
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eros
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cion
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en-
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las
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s de
pr
opor
cion
alid
ad d
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es
una
frac
ción
de
uso
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al)
utili
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o, c
omun
ican
do y
co
mpa
rand
o es
trat
egia
s po
sibl
es.
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oluc
ión
de p
robl
emas
que
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ande
n re
curr
ir a
las
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cion
es e
ntre
el e
nter
o y
las
part
es, a
sí co
mo
entr
e la
s pa
rtes
ent
re sí
.• A
nális
is d
el fu
ncio
nam
ient
o de
las
frac
cion
es (
com
-pa
raci
ón,
cálc
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men
tal,
frac
ción
de
un n
atur
al)
a pa
rtir
de lo
s pr
oble
mas
que
res
uelv
en.
• Exp
lora
ción
del
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soc
ial d
e lo
s nú
mer
os d
ecim
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s en
los
cont
exto
s de
l din
ero
y la
med
ida.
• R
esol
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n de
pro
blem
as q
ue i
nvol
ucra
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tos
sent
idos
de
las
frac
cion
es (
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rtos
, re
laci
ones
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re
part
es y
ent
ero
y vi
ceve
rsa,
rel
acio
nes
de p
ropo
rcio
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dire
cta
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s qu
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stan
te e
s un
núm
ero
frac
cion
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iliza
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com
unic
ando
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rand
o es
trat
egia
s po
sibl
es.
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s en
tre
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eros
que
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nen
en u
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sión
ent
era
con
la fr
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ón q
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xpre
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de u
n re
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o.•
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oluc
ión
de p
robl
emas
que
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curr
ir a
las
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ntre
el e
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o y
las
part
es, a
sí c
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en-
tre
las
part
es e
ntre
sí.
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ado
6.º
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orci
onal
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• R
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ida
conv
enci
onal
es.
27
bIblIOgrAfÍA y lINks rECOMENDADOs
A continuación, presentamos una colección de materiales editados en libros o accesible en páginas de Internet que podrían resultar interesantes para docentes y directivos .
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Sadovsky, P. (2005). Enseñar Matemática hoy. Buenos Aires: Libros del Zorzal.
II. PArA El TrATAMIENTO DE lOs NúMErOs NATUrAlEs y sUs OPErACIONEsGobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Ministerio de Educación. Dirección de Currícula (1992). “Los niños, los maestros y los números. Desarrollo curricular. Matemática para 1.o y 2.o grado” [en línea] http://estatico.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/docum/areas/matemat/lnlmyln.pdf.
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bIblIOgrAfÍA
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Provincia de Buenos Aires
GobernadorDn. Daniel Scioli
VicegobernadorDr. Alberto Balestrini
Director General de Cultura y EducaciónProf. Mario Oporto
Vicepresidente 1º del Consejo General de Cultura y Educación Prof. Daniel Lauría
Subsecretario AdministrativoDn. Gustavo Corradini
Subsecretario de EducaciónLic. Daniel Belinche
Directora Provincial de Educación PrimariaProf. María de las Mercedes González