matematica iii examen final calculo fiee uni
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H
R
a
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EXAMEN FINAL 2010-I1-Sea R una bola homogénea de masa M y radio R. Sea Aun punto a una distancia H del centro de la bola, H>R. Calcule , donde δ es la densidad y q es la distancia desde el punto P en R hasta A.
Solución: Para un diferencial de volumen:
Por teorema de cosenos:
2-Un campo eléctrico irradia potencia a razón de unidades por metro
cuadrado en el punto .Halle la potencia total que irradia a la superficie esférica .
Solución:
Sea:
Del dato: entonces
H
R
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3-Las áreas de las proyecciones de una pequeña región delgada de superficie regular sobre cada uno de los tres planos coordenados son 0.01, 0.02, 0.03 ¿Esta información es suficiente para hallar el área de la región?.Si es así determine el área; si no explique ¿por qué?.
Solución: Si se trata de una pequeña región entonces, la
proyecciones en los planos coordenados son , ,
, ,
Por propiedad de ángulo diedro se tiene que:
Entonces:
4-Calcule el área de una zona esférica de altura cuya longitud es H , en una superficie esférica de radio R.
Solución:
Parametrizando :
El área es
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Observando :
El área
5-Calcule el flujo del campo vectorial , a través de la superficie lateral del cono circular recto de altura H y radio de la base R.
Solución:
Sea un cono orientado como la figura :
Parametrizando:
entonces:
6-Considere un sistema de coordenadas esféricas .En determinado
punto, sean vectores unitarios que apuntan en la dirección del
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crecimiento de respectivamente. Sea la función definida en el espacio.
Calcule .
los vectores son:
Si la gradiente de una función es
En coordenadas esféricas:
7-Sea R una bola de radio a removida por una barra cilíndrica de diámetro a cuyo lado pasa por el centro de la esfera a) Bosqueje R b) Observe que R consta de 4 pedazos congruentes. Halle el volumen de uno de estos pedazos usando coordenadas cilíndricas.
c) El siguiente cálculo produce un valor para el volumen de R
Solución:
Las ecuaciones son: ,
La parte ©:
Este bloqueEsta bienoperado
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El error : si , , lo correcto es
=
8-Bosqueje una muestra de vectores para el campo vectorial dado .
9-Si , determine el flujo de hacia afuera de la superficie
entera del cilindro .Compruebe el resultado con el teorema de la divergencia.
Solución:
pasando : )
Flujo lateral:
=
Flujo cara abajo:
x
y
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Flujo cara arriba:
El flujo total:
Teorema de la divergencia:
en cilíndricas ,
10-¿Cuál es la integral de la función tomada sobre toda la superficie del
cilindro circular recto de altura H y base ?¿cual es la integral de la función dada tomada sobre todo el volumen del cilindro?
Nos piden:
En cilíndricas ,
=