Rentas 1

Matemática Financiera

Teoría de Rentas

Lic. Armando Ramírez Guzmán

Lic. A. Ramírez Guzmán Interés Simple 2

Matemática Financiera

Teoría de Rentas

Objetivos de aprendizaje

• Definir el concepto de renta

• Identificar los elementos económicos de una renta

• Clasificar las rentas

• Graficar un flujo de caja

• Formular ecuaciones de valor equivalente.

• Resolver ecuaciones de valor equivalente para hallarVA, VF, R, i y n con tasa constante y tasa variable.

Rentas 3

TEORIA DE RENTAS

Definición• Rentas es una sucesión de cobros o pagos

(ingresos o egresos) dinerarios que ocurren cada periodo igual de tiempo (día, mes, trimestre, semestre, año; etc.) con un fin especifico. Por ejemplo:

• Cobrar una remuneración quincenal.• Pagar la cuota mensual de un crédito hipotecario.• Cobrar una pensión mensual de jubilación.• Pagar la cuota trimestral de un préstamo a L/P.• Pagar la pensión mensual de estudios en la universidad.• Cobrar los dividendos anuales.• Etc.

Rentas 4

TEORIA DE RENTASClasificación• Las rentas que son materia de estudio de la Matemática Financiera

son las rentas ciertas, aquellas cuyas condiciones se establecen en términos concretos.

• De acuerdo al periodo de cobro o pago de la renta:– Simple.– Generales.

• De acuerdo al importe periódico de renta:– Uniforme.– Variables.

• De acuerdo a su duración se clasifican:– Temporales– Perpetuas

• De acuerdo a la ocurrencia del cobro o pago puede ser:– Vencida.– Anticipada.– Diferida.

Rentas 5

RENTAS UNIFORMES

• Rentas Uniformes es un conjunto de dos o más flujos de igual importe monetario, equidistantes en el tiempo, es decir que los periodos de tiempo comprendido entre un flujo y el anterior son iguales.– Temporales

– Perpetua

Rentas 6

RENTAS UNIFORMES TEMPORALES

• RENTAS UNIFORMES TEMPORALES: Las rentas uniformes temporales son aquellas cuyo horizonte temporal es un plazo determinado de tiempo.

– Vencida.

– Anticipada.– Diferida.

Rentas 7

Rentas Uniformes Temporales Vencidas

• Cuando las rentas ocurren al final de cada periodo de renta.– Valor Actual VA

• Valor de la Renta R en función de VA

• Valor de n en función de VA y R

nn i

R

i

R

i

R

i

R

i

RVA

)1()1(.........

)1()1()1( )1(32 ++

+++

++

++

+=

−

nin

n

FASRVAii

iRVA ,)1(

1)1( ⋅=

+⋅−+⋅=

nin

n

FRCVARi

iiVAR ,1)1(

)1( ⋅=

−++⋅⋅=

)1(

1)1(1

iLog

R

iVALog

ni

iRVA

n

+

⋅−−=

+−⋅=−

Rentas 8

Rentas Uniformes Temporales Vencidas

• Calculo de i: La tasa (i) es la tasa de descuento.

– Valor Futuro VF

• Valor de la Renta R en función de VF

• Valor de n en función de VF y R

)1()2(32 )1()1(.........)1()1()1( −− +⋅++⋅+++⋅++⋅++⋅+= nn iRiRiRiRiRRVF

ni

n

FCSRVFi

iRVF ,

1)1( ⋅=

−+⋅=

ninFDFAVFR

i

iVFR ,1)1(

⋅=

−+⋅=

nn i

R

i

R

i

R

i

R

i

RVA

)1()1(.........

)1()1()1(0

)1(32 ++

+++

++

++

++−= −

+⋅−+⋅+−=

n

n

ii

iRVA

)1(

1)1(0

)1(

1

iLog

R

iVFLog

n+

+⋅

=

Rentas 9

Rentas Uniformes Temporales Anticipadas

• Cuando las rentas ocurren al inicio de cada periodo de renta.– Valor Actual VA

• Valor de la Renta R en función de VA

)1()2(32 )1()1(.........

)1()1()1( −− ++

+++

++

++

++=

nn i

R

i

R

i

R

i

R

i

RRVA

+⋅−+⋅+⋅=

n

n

ii

iiRVA

)1(

1)1()1(

−++⋅⋅

+=

1)1(

)1(

)1( n

n

i

ii

i

VAR

Rentas 10

Rentas Uniformes Temporales Anticipadas

• Calculo de i: La tasa (i) es la tasa de descuento.

– Valor Futuro VF

• Valor de la Renta R en función de VF

)1()2(32 )1()1(.........

)1()1()1(0 −− +

++

+++

++

++

++−=nn i

R

i

R

i

R

i

R

i

RRVA

+⋅−+⋅+⋅+−=

n

n

ii

iiRVA

)1(

1)1()1(0

nn iRiRiRiRiRVF )1()1(.........)1()1()1( )1(32 +⋅++⋅+++⋅++⋅++⋅= −

−+⋅+⋅=i

iiRVF

n 1)1()1(

−+⋅

+=

1)1()1( ni

i

i

VFR

Rentas 11

Rentas Uniformes Temporales Diferidas

• Cuando las rentas ocurren después de un determinado número de periodos de renta.Rentas Uniformes Temporales Diferidas Vencidas– Valor Actual VA

• Valor de la Renta R en función de VA

nnmmm i

R

i

R

i

R

i

R

i

RVA

)1()1(.........

)1()1()1( )1()3()2()1( ++

+++

++

++

+=

−+++

+⋅−+⋅

+= −

−

)(

)(

)1(

1)1(

)1( mn

mn

m ii

i

i

RVA

−++⋅⋅+⋅= −

−

1)1(

)1()1(

)(

)(

mn

mnm

i

iiiVAR

Rentas 12

Rentas Uniformes Temporales Diferidas

– Valor Futuro VF

• Valor de la Renta R en función de VF

)1()2(32 )1()1(.........)1()1()1( −−−− +⋅++⋅+++⋅++⋅++⋅+= mnmn iRiRiRiRiRRVF

−+⋅=−

i

iRVF

mn 1)1( )(

−+⋅= − 1)1( )( mni

iVFR

Rentas 13

Rentas Uniformes Temporales Diferidas

Rentas Uniformes Temporales Diferidas Anticipadas– Valor Actual VA

• Valor de la Renta R en función de VA

)1()2()2()1( )1()1(.........

)1()1()1( −−++ ++

+++

++

++

+=

nnmmm i

R

i

R

i

R

i

R

i

RVA

+⋅−+⋅

++⋅= −

−

)(

)(

)1(

1)1(

)1(

)1(mn

mn

m ii

i

i

iRVA

−++⋅⋅

++⋅= −

−

1)1(

)1(

)1(

)1()(

)(

mn

mnm

i

ii

i

iVAR

Rentas 14

Rentas Uniformes Temporales Diferidas

– Valor Futuro VF

• Valor de la Renta R en función de VF

)()1(32 )1()1(.........)1()1()1( mnmn iRiRiRiRiRVF −−− +⋅++⋅+++⋅++⋅++⋅=

−+⋅+⋅=−

i

iiRVF

mn 1)1()1(

)(

−+⋅

+= − 1)1()1( )( mni

i

i

VFR

Rentas 15

RENTAS UNIFORMES PERPETUAS

• RENTAS UNIFORMES PERPETUAS: Las rentas uniformes perpetuas son aquellas cuyo horizonte temporal no tiene termino y tienden al infinito.

– Vencida.

– Anticipada.– Diferida.

Rentas 16

Rentas Uniformes Perpetuas Vencidas

• Cuando las rentas ocurren al final de cada periodo de renta hasta el infinito– Valor Actual VA

• Valor de la Renta R en función de VA

• Valor de i en función de la Renta R y VA

∞++

++

++

++

++

++

= ........)1()1()1()1()1()1( 65432 i

R

i

R

i

R

i

R

i

R

i

RVA

i

RVA =

iVAR ⋅=

VA

Ri =

Rentas 17

Rentas Uniformes Perpetuas Anticipadas

• Cuando las rentas ocurren al inicio de cada periodo de renta hasta el infinito

– Valor Actual VA

• Valor de la Renta R en función de VA

• Valor de i en función de la Renta R y VA

∞++

++

++

++

++

++

+= ...................)1()1()1()1()1()1( 65432 i

R

i

R

i

R

i

R

i

R

i

RRVA

i

iRVA

)1( +⋅=

)1( i

iVAR

+⋅=

)( RVA

Ri

−=

Rentas 18

Rentas Uniformes Perpetuas Diferida

Rentas Uniformes Perpetuas Diferida Vencidas– Valor Actual VA

• Valor de la Renta R en función de VA

∞++

++

++

++

++

= +++++ ........)1()1()1()1()1( )5()4()3()2()1( mmmmm i

R

i

R

i

R

i

R

i

RVA

ii

RVA

m ⋅+=

)1(

miiVAR )1( +⋅⋅=

Rentas 19

Rentas Uniformes Perpetuas Diferida

Rentas Uniformes Perpetuas Diferida Anticipada– Valor Actual VA

• Valor de la Renta R en función de VA

∞++

++

++

++

++

++

= +++++ ........)1()1()1()1()1()1( )5()4()3()2()1( mmmmmm i

R

i

R

i

R

i

R

i

R

i

RVA

ii

iRVA

m)1(

)1(

++⋅=

)1(

)1(

i

iiVAR

m

++⋅⋅=

Rentas 20

Mapa Conceptual Rentas

Rentas

UniformesGenerales Variables

Temporal Perpetua

AnticipadaVencida Diferida

+⋅−+⋅=

n

n

ii

iRVA

)1(

1)1(

−+⋅=

i

iRVF

n 1)1(

+⋅−+⋅+⋅= n

n

ii

iiRVA

)1(1)1(

)1(

−+⋅+⋅=i

iiRVF

n 1)1()1(

i

RVA = i

iRVA

)1( +⋅=

+⋅−+⋅

+= −

−

)(

)(

)1(

1)1(

)1( mn

mn

m ii

i

i

RVA

−+⋅=−

i

iRVF

mn 1)1( )(

ii

RVA

m ⋅+=

)1(

Rentas 21

RENTAS VARIABLES

• Rentas Variables es una sucesión o flujo de cobros o pagos periódicos que aumentan o disminuyen de manera constante o no.

• Clasificación de las Rentas Variables• En este caso las rentas variables se clasifican

en:– De acuerdo a su variación:

• De desigual aumento o disminución, se resuelven bajo los conceptos de Interés Compuesto.

• De igual aumento o disminución, o en progresión constante, que es lo que tratara el presente capitulo.

Rentas 22

RENTAS VARIABLES EN PROGRESION CONSTANTE

• Sucede cuando los flujos de caja periódicos aumentan o disminuyen de una manera constante, llamándose gradiente a la variación uniforme entre un flujo de renta y el anterior.– De acuerdo a su duración se clasifican:

• Temporales• Perpetuas

– De acuerdo al momento de la ocurrencia del gradiente:• Convencional, el gradiente aparece en a partir de la 2da renta.• Desfasado, el gradiente aparece en un momento diferente a la 2da

renta.

– Con relación a su progresión constante o gradiente:• Rentas Variables en Gradiente Aritmético.• Rentas Variables en Gradiente Geométrico.

Rentas 23

RENTAS VARIABLES TEMPORAL CONVENCIONALEN PROGRESIÓN CONSTANTE

Rentas Variables Temporal ConvencionalVencida en Progresión Constante Aritmética

– Valor Actual VA

G>0 Gradiente Positivo; G<0 Gradiente Negativo

– Valor Actual VF

G>0 Gradiente Positivo; G<0 Gradiente Negativo

nn i

GnR

i

GnR

i

GR

i

GR

i

RVA

)1(

)1(

)1(

)2(.........

)1(

2

)1()1( )1(32 +⋅−++

+⋅−+++

+⋅++

+++

+= −

+−

+⋅−+⋅+

+⋅−+⋅=

nn

n

n

n

i

n

ii

i

i

G

ii

iRVA

)1()1(

1)1(

)1(

1)1(

[ ] [ ] )1()2()3( )1()1()()1()2(......)1()2()1( −−− +⋅++⋅+++⋅⋅++++⋅⋅−++⋅−+= nnn iRiGRiGRiGnRGnRVF

−−+⋅+

−+⋅= ni

i

i

G

i

iRVF

nn 1)1(1)1(

Rentas 24

RENTAS VARIABLES TEMPORAL CONVENCIONALEN PROGRESIÓN CONSTANTE

Rentas Variables Temporal ConvencionalVencida en Progresión Constante Geométrica

– Valor Actual VA

g>0 Gradiente Positivo; g<0 Gradiente Negativo

– Valor Actual VF

g>0 Gradiente Positivo; g<0 Gradiente Negativo

n

n

n

n

i

gR

i

gR

i

gR

i

gR

i

RVA

)1(

)1(

)1(

)1(.........

)1(

)1(

)1(

)1(

)1(

)1(

)1(

)2(

3

2

2 ++⋅+

++⋅++

++⋅+

++⋅+

+=

−

−

−

+−++−+⋅

+=

)1()1(

)1()1(

)1( gi

gi

i

RVA

nn

n

)1()2(2)3()2()1( )1()1()1(.........)1()1()1()1()1( −−−−− +⋅++⋅+⋅++++⋅++⋅+⋅++⋅= nnnnn iRigRigRigRgRVF

+−++−+⋅=

)1()1(

)1()1(

gi

giRVF

nn

Rentas 25

RENTAS VARIABLES PERPETUA CONVENCIONALEN PROGRESIÓN CONSTANTE

Rentas Variables Perpetua ConvencionalVencida en Progresión Constante Geométrica

– Valor Actual VA

– Valor de la Renta R en función de VA

– Valor de la Renta i en función de VA y R

∞+++⋅+

++⋅+

+= ..................

)1(

)1(

)1(

)1(

)1( 3

2

2 i

gR

i

gR

i

RVA

)( gi

RVA

−=

)( giVAR −⋅=

gVA

Ri +=

Rentas 26

RENTAS VARIABLES DESFASADOEN PROGRESIÓN CONSTANTE

• Se resuelven identificando en el horizonte temporal del flujo de renta, un subperiodoque corresponda a un gradiente convencional vencido y resolverlo como tal para obtener en esta parte su valor actual, al resultado obtenido seguidamente se termina de actualizar al momento 0.

Rentas 27

Mapa Conceptual Rentas

Rentas

UniformesGenerales Variables

Temporal Perpetua

DesfasadoConvencional

+−++−+⋅

+=

)1()1(

)1()1(

)1( gi

gi

i

RVA

nn

n

+−++−+⋅=

)1()1(

)1()1(

gi

giRVF

nn

)( gi

RVA

−=

g

G

+−

+⋅−+⋅+

+⋅−+⋅=

nn

n

n

n

i

n

ii

i

i

G

ii

iRVA

)1()1(

1)1(

)1(

1)1(

−−+⋅+

−+⋅= ni

i

i

G

i

iRVF

nn 1)1(1)1(

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Bibliografía

• Aliaga Valdez, Carlos. Matemáticas Financieras: Un enfoque practico. Prentice Hall – Pearson Educación. 1ª Edición, Colombia. 2002: Capítulo 7.

• Aliaga Valdez, Carlos. Manual de Matemática Financiera: Texto, Problemas y Casos. Universidad del Pacifico. 1ª Edición, Lima. 1994: Capítulo VI.

• Valera Moreno, Rafael. Matemática Financiera: conceptos, problemas y aplicaciones. Universidad de Piura. 2da Edición, Piura. 2001: Capítulo III.

• Vento Ortiz, Alfredo. Finanzas Aplicadas. Universidad del Pacifico. 6ta Edición, Lima. 2004: Capítulo IV.