MATEMÁTICA

FINANCIERA

RAZONES Y PROPORCIONES

RAZÓN Se llama razón a la comparación de dos

cantidades. Esta comparación se puede

hacer de dos maneras:

Razón Aritmética (r):

Es la comparación entre dos cantidades por

medio de una diferencia.

. a – b . a : Antecedente

b: Consecuente

Razón Geométrica (k):

Es la comparación entre dos cantidades por

medio de un cociente.

.b

a. a : Antecedente

b: Consecuente

PROPORCIÓN Dado cuatro números diferentes de cero, en

un cierto orden, formarán, una proporción, si

la razón de los primeros es igual a la razón

de los últimos. Esta proporción puede ser:

aritmética, geométrico armónico

Proporción Aritmética o Equidiferencia

Si a – b = r y c – d = r, entonces:

. a – b = c – d . . a + b = c + d .

CLASES

Discreta Cuando todos los términos son diferentes

entre sí donde:

. a – b = c – d . . d: 4ta diferencial .

Continua Cuando los términos medios son iguales:

. a – b = b – c . .2

cab

.

.encialera. difer3c:

ritmética o media aiferencialb: media d

Proporción Geométrica o Equicociente:

Si: b

a = k y

d

c = k entonces

NOTA: . a . d = b . c .

.d

c

b

a .

Extremos:d,a

Medios:c,b

CLASES Discreta Cuando los términos son diferentes sí donde:

.d

c

b

a . . d: 4ta proporcional .

Continua Cuando los términos medios son iguales

.c

b

b

a .

NOTA:

. a . c = b2. . c.ab .

rcionalera. propo3c:

geométrical o media roporcionab: media p

SESIÓN N° 07

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES

Se denomina así al conjunto de más de dos

razones que tiene el mismo valor

. kb.....bbb

a.....aaa

n321

n321

.

.n

n321

n321 kb............bbb

a.............aaa

.

Ejemplo: 1 / 2 = 2 / 4 = 3/ 6 = 4 / 8 = 0,5

En general definimos la serie:

. kb

a...............

b

a

b

a

a

a

n

n

3

3

2

2

2

1 .

donde:

a1, a2, a3, ......... an : Antecedentes

b1, b2, b3, ......... bn: Consecuentes

k : Constantes de

1. Hallar la 3ra diferencial de 17 y 12

Rpta. 7

2. Hallar la 4ta diferencial de 10,7 y 5

Rpta. 2

3. Dos números están en relación de 3 a 7

(o forman una razón de 3/7) y su suma

es 400. Hallar el mayor de los números.

Rpta. 280

4. Halla “b” Si: 8c

5b

7a

Además: a + 2b + 3c = 205

Rpta. 35

5. La diferencia de 2 números es 244 y

están en relación de 7 a 3. ¿Cuál es el

mayor de los números?

Rpta. 427

6. Si Juan le da a Pedro 10m de ventaja

para una carrera de 100m; y Pedro le da

a Carlos una ventaja de 20m para una

carrera de 180m. ¿Cuántos metros de

ventaja debe de dar Juan a Carlos para

una carrera de 200m?

Rpta. 40 m

7. Lo que cobra y lo que gasta diariamente

un individuo suman S/. 60, lo que gasta

y lo que cobra está en relación de 2 a 3.

¿En cuánto tiene que disminuir el gasto

diario para que dicha relación sea de 3 a

5?

Rpta. S/. 2, 4

8. Un cilindro de 60lit. de capacidad, fue

llenado completamente por 4 recipientes

donde el volumen del primero es al

segundo como el tercero es al cuarto

como 2 es a 1. Hallar la suma de los

volúmenes del segundo y cuarto

recipiente.

Rpta. 20 lit.

9. La relación entre 2 números es de 11 a

14. Si a uno de ellos se le suma 33

unidades y al otro se le suma 60

entoncesambos resultados serían

iguales. Hallar dichos números

Rpta. 99 y 126

10. Dos números están entre sí como 7 es a

12. si al menor se le suma 70, para que el

valor de la razón no se altere, entonces el

valor del otro número debe triplicarse.

Hallar el mayor de los 2 números

Rpta. 60

11. Determine la tercia proporcional entre la

media proporcional de 9, 16 y la cuarta

proporcional de 10, 15 y 14

Rpta. 36, 75

12. En una asamblea estudiantil de 2970

estudiantes se presentó una moción. En

una primera votación por cada 4 votos a

favor habían 5 en contra Pedida la

reconsideración se vio que por cada 8

votos a favor habían 3 en contra.

¿Cuántas personas cambiaron de

opinión?. No hubo abstenciones. Rpta. 840

13. La suma de dos números es 640 y su

razón geométrica es 17/23. Calcula el

mayor de ellos.

Rpta. 368

14. En una proporción geométrica continua

el producto de los 4 términos es 1296 y

el producto de los antecedentes es 24.

hallar la tercia proporcional.

Rpta. 9

15. La suma, diferencia y el producto de 2

números están en la misma relación que

los números 5, 3 y 16. hallar estos

números.

Rpta. 4 y 16.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Hallar la 3ra diferencial de 19 y 11

a) 1 b) 2

c) 3 d) 5

e) 7

2. Hallar la 4ta diferencial de 18, 15 y 12

a) 6 b) 8

c) 9 d) 12

e) 15

3. Si: 4

3

ba

. Hallar “b”;

Si: a + b = 140

a) 60 b) 80

c) 100 d) 120

e) 140

4. Si:

653

zyx

, x + y + z = 56

Hallar “z”

a) 12 b) 20

c) 24 d) 26

e) 30

5. Si: 243

zyx ; x . y . z = 192

Hallar “x + y + z”

a) 6 b) 8

c) 12 d) 18

e) 20

6. Si: cba152

; a + b + c = 96

Hallar “c”

a) 60 b) 12

c) 24 d) 14

e) 20

7. Si: 4

3

ba

. Si b – a = 15

Hallar “a + b”

a) 45 b) 60

c) 105 d) 120

e) 150

8. Si: 352

cba y a

2+ b

2+ c

2=152

Hallar “a + b + c”

a) 20 b) 21

c) 22 d) 23

e) 24

9. Si: 635

cba y a + c= 66.

hallar “b”

a) 30 b) 36

c) 18 d) 16

e) 18

10. Si: 3

2

2

1

ba,además,a + b + 3 = 20

Hallar “a”

a) 5 b) 7

c) 9 d) 10

e) 12

CLAVES

1. C

2. C

3. B

4. C

5. D

6. B

7. C

8. A

9. C

10. B

PROMEDIOS

Cantidades representativas de un conjunto

de valores (medidas de tendencia central)

dado:

a1 a2 a3 ……...... an

MENOR VALOR PROMEDIO

MAYOR VALOR

TIPOS DE PROMEDIO

Promedio Aritmético o Media Aritmética

(MA ) o simplemente promedio

.datosdeNúmero

datosdeSumaMA .

Dar la MA de: 7; 13 y 4

Resolución

3

4137 = 8

OJO:

SEA “n” NÚMEROS Y “s” SUMA DE LOS NÚMEROS

. S = n . MA (“n” números) .

Promedios Geométricos o Media

Geométrica (MG )

. n datoslosdeoductoPrMG .

n: número de datos

Dar la MG de: 5; 15 y 45

Resolución

1545.15.53

Promedio Armónico o Media Armónica

(MH )

.datoslosdeInversadeSuma

datosdeNúmeroMH .

Dar la MH de: 6; 2 y 3

Resolución

3

3

1

2

1

6

13

Consideraciones importantes

Para 2 cantidades “a” y “b”

. 2

baMA

. . abMG .

. ba

ab2

b

1

a

12

MH

.

Dado:

0 < a1 a2 a3 ……….…. an

Se verifica que:

.

PROMEDIOOPROMEDI

MENORMAYOR

0MHMGMAan

.

Si todos los valores son iguales

MHMGMA

Para cantidades “a” y “b”

. MH.MAMG2 .

. )MGMA(4

)ba(MGMA

2

.

LA ALTERACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA Sean los números: 3, 5 y 10

63

1053MA

Si aumentamos 7 unidades al 5 y

disminuimos 4 al 10:

omedioPr

Nuevo=

VARIACIÓN

INICIALPROMEDIO

3

47

3

1053

= 7

SESIÓN N° 08

IMPORTANTE

promedio

deliaciónvar

inical

promedio

promedio

nuevo

Donde:

promedio

deliaciónvar = datosdeNúmero

uyemindis

sequetotal

aumenta

sequetotal

Promedio ponderado ( PP ) (Promedio de

Promedios)

Al dar 3 exámenes, obtengo 11, 17 y 13;

siendo los pesos de cada examen 2, 1 y 3

¿Cuál será mi nota promedio?

Resolución:

NOTAS PESOS TOTAL

11 2 11 x 2

17 1 17 x 1

13 3 13 x 3

6 78

La nota promedio será:

136

78

312

3.131.172.11

En general:

. n321

nn332211

P..........PPP

Pa..........PaPaPaPP

.

Donde:

an : enésimo de las notas, precios, …

etc

Pn : enésimo de los promedios, peso

frecuencias, créditos, ...... etc

PROBLEMAS PARA RESOLVER 1. Si el promedio de los siguientes números es

20,5. Hallar el valor de “a”.

(2a +1); (2a +2); (2a+3); ....; (5a - 2)

Rpta. 6

2. El promedio geométrico de dos números es

12 y su promedio armónico es 4. hallar su

promedio aritmético.

Rpta. 36

3. Hallar el valor de “x”; si el promedio

geométrico de los números: 2x; 4

x y 8

x es 64.

Rpta. 3

4. De 500 alumnos de un colegio, cuya estatura

promedio es de 1,67m; 150 son mujeres. Si la

estatura promedio de las mujeres es 1,60m.

Calcular la estatura promedios de los varones.

Rpta. 1,70m

5. Si la media geométrica de dos números

es 4 y la media armónica es 32/17.

¿Cuál es el menor de dichos números?

Rpta. 1

6. El promedio de 40 números es “n” y el

promedio de otros 20 números es (n - 9).

Calcular el valor de “n”; si el promedio

aritmético de los 60 números es 12.

Rpta. 15

7. En un reunión asistieron 200 personas

asistieron 3 varones por cada mujer. Si

el promedio de las edades de todos los

presentes es 19 años y además el

promedio de las edades de los varones

es 20. hallar el promedio de las edades

de las mujeres.

Rpta. 3

8. Hallar dos números sabiendo que el

mayor y el menor de sus promedios son:

13,5 y 13 1/13 respectivamente. Indicar

su diferencia.

Rpta. 3

9. Hallar la medida geométrica de dos

números, sabiendo que la tercera parte

de su producto, por su MA: por su MG y

por su MH se obtiene 81.

Rpta. 3

10. Hallar el promedio de:

eces""""

....;..........;;;;........;;;;vmn

nnnnmmmm

Rpta. nm

mn

2

11. El mayor promedio de dos números es 8,

mientras que su menor promedio es. 6

hallar la diferencia de dichos números.

Rpt. 8

+ +

12. Hallar la MH de:

1; 1/2; 1/3; 1/4; ..........; 1/1981

Rpt. 1/991

13. La MG de tres números pares diferentes

es 6. entonces, la MA de ellos será:

Rpta. 26/3

14. La media armónica de 10 números es

3/2; el de otros 2 números es 9/5.

calcular la MH de los 30 números.

Rpta. 27/16

15. Si la media geométrica y la media

aritmética de dos números; a y b son

números enteros consecutivos. Hallar (

ba )

Rpta. 2

PROBLEMAS PROPUESTOS PARA RESOLVER

1. Hallar la media geométrica de los

números: 3; 4; y 18

a) 3,5 b) 4

c) 5 d) 6

e) 3 18

2. Hallar la media armónica de los

números: 1; 2; 3 y 6

a) 1,8 b) 2

c) 2,1 d) 3

e) 4

3. Hallar el promedio de los siguientes

números:

1; 2; 3; 4; ..........; 17; 18; 19; 20

a) 8 b) 10

c) 10,5 d) 7

e) 11

4. Hallar el promedio de:

2; 4; 6; 8; ......; 38; 40; 42

a) 21 b) 18

c) 26 d) 22

e) 27

5. El promedio de cinco números pares

consecutivos es 16. hallar el promedio

del mayor y el tercero.

a) 14 b) 16

c) 18 d) 20

e) 30

6. ¿Qué nota se obtuvo en un cuarto

examen, si en los tres anteriores se

obtuvo: 14; 10 y 18 respectivamente; y

su promedio final fue de 15?

a) 20 b) 19

c) 18 d) 16

e) 17

7. La media aritmética de tres números es

6. y de otros dos números es 16. hallar la

media aritmética de los cinco números.

a) 9 b) 10

c) 11 d) 12

e) 13

8. Si tenemos: A; 10; B; 35; C y 15. el

promedio de los dos primeros números

es 15; el promedio de los dos últimos 10

y el promedio de todos los números es

20. Hallar “A + B + C”

a) 50 b) 60

c) 40 d) 45

e) 55

9. Calcular la media armónica de dos

números. Si: MA = 45 y

MG = 15

a) 8 b) 10

c) 12 d) 5

e) 6

10. El promedio de las edades en un salón

de clases es de 18. Si el promedio de 20

de ellos es 15. Hallar el promedio de los

restantes sabiendo que hay 50 alumnos.

a) 25 b) 24

c) 32 d) 30

e) 20

CLAVES

1. D

2. B

3. C

4. D

5. C

6. C

7. B

8. B

9. D

10. E

MAGNITUDES PROPORCIONALES

MAGNITUD Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser percibido por algún medio. Una característica de las magnitudes es el poder aumentar o disminuir. A un niño se le podría medir: su peso, estatura, presión arterial, .....etc.

CANTIDAD (Valor):

Resultado de medir el cambio o variación

que experimenta la magnitud.

MAGNITUD CANTIDAD

Longitud 2km

Tiempo 7 días

# de obreros 12 obreros

RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES Dos magnitudes son proporcionales, cuando

al variar el valor de una de ellas, el valor

correspondiente de la otra magnitud cambia

en la misma proporción. Se pueden

relacionar de 2 maneras.

Magnitudes Directamente Proporcionales

(DP)

Ejemplo Ilustrativo:

Si compramos libros cada uno a S/. 2 (Precio constante); al analizar como varía el valor de costo total, cuando el número de libros varía, se tendrá:

(Costo total) DP (# de libros)

Se observo:

En General:

Decimos que las magnitudes “A” y “B” son

directamente proporcionales; si al aumentar

o disminuir los valores de la magnitud de “A”,

el valor de “B” también aumenta o disminuye

(en ese orden) en la misma proporción.

La condición necesaria y suficiente para que

dos magnitudes sean D.P. es que el cociente

de cada par de sus valores

correspondientes, sea una constante.

OJO:

DEBEMOS CONSIDERAR QUE AL RELACIONAR 2

MAGNITUDES, LAS DEMÁS NO DEBEN VARIAR. DEL

EJEMPLO ANTERIOR, EL PRECIO DE CADA LIBRO,

NO VARÍA (PERMANECE CONSTANTE)

SI:

. “A” DP “B”

tetanconskBdevalor

Adevalor .

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

IMPORTANTE:

LA GRÁFICA DE 2 MAGNITUDES D.P ES UNA RECTA

QUE PASA POR EL ORIGEN DE COORDENADAS

EN CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA (EXCEPTO

EL ORIGEN DE COORDENADAS) EL CONCIENTE DE

CADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTES

RESULTA UNA CONSTANTE.

SI TENEMOS QUE “A” DP “B”

VALORES

CORRESPONDIENTES

MAGNITUD A a1 a2 a3 ....... an

MAGNITUD B b1 b2 b3 …… bn

SE VERIFICA:

kb

a

b

a

b

a

b

a

n

n ...3

3

2

2

1

1

SI TENEMOS QUE “A” DP “B”

. F(x) = mx .

m: pendiente (constante)

SESIÓN N° 09

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P)

Ejemplo ilustrativo:

Para pintar las 60 habitaciones idénticas de

un edificio se desea contratar obreros que

pinten una habitación. Al analizar cómo

varía el tiempo según el número de pintores

contratados, se tendrá:

X 2 X 3 X 5

N° DE PINTORES 1 2 6 30 12

N° DE DÍAS 60 30 10 2 5

2 3 5

Se Observa: (# de pintores) IP (# días)

Se Observa:

(# de pintores) (# días) = 1 . 60 = 2 . 30 = 6 .

10 = 30 . 2 = 60

Constante

En general:

Se dice que “A” y “B” son inversamente

proporcionales, si al aumentar o disminuir el

valor de A, el respectivo valor de “B”

disminuye o aumenta en la mismas

proporción respectivamente.

La condición necesaria y suficiente para que

dos magnitudes sean IP es que el producto

de cada par de sus valores correspondientes

sea una constante.

. A I.P.B (valor de A)(valor de B) = cte.

Interpretación Geométrica

IMPORTANTE:

LA GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES IP ES UNA RAMA DE

HIPÉRBOLA EQUILÁTERA.

EN CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA EL PRODUCTO

DE CADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTES

RESULTA UNA CONSTANTE.

LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA SERÁ:

. x

mxF .

m: CONSTANTE

curvalabajo

gulotanrecdelárea

SI TENEMOS QUE “A” I.P “B”

VALORES

CORRESPONDIENTES

MAGNITUD A a1 a2 a3 ....... an

MAGNITUD B b1 b2 b3 …… bn

SE VERIFICA:

a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = . . . = an .bn = k

PROPIEDADES DE LAS MAGNITUDES

Para 2 magnitudes A y B se cumple:

A.P.IBB.P.IA*

A.P.DBB.P.DA*

nn

nn

B.P.IAB.P.IA*

B.P.DAB.P.DA*

B

1.P.DAB.P.IA*

B

1.P.IA.B.P.DA*

Para 3 magnitudes A, B y C se cumple:

Si: A D. P. B (C es constante)

A D. P. C (B es constante)

A D. P. (B . C)

C.B

A = cte

Luego en los problemas. Sean las

magnitudes: A, B, C, D y E

CteE.D.B

C.A

OJO:

CUANDO RELACIONAMOS LOS VALORES DE 2

MAGNITUDES, ENTONCES LOS VALORES DE LAS

OTRAS MAGNITUDES PERMANECEN CONSTANTES.

Aplicaciones comunes: (N° de obreros) DP (obra) (N° de obreros) IP (eficiencia) (N° de obreros) IP (N° de días) (N° de obreros) IP (horas diarias) (Nº velocidades) IP (Tiempo) (N° de obreros) D P (Dificultad) (N° de dientes) I P (N° de vueltas)

Kdificultadobra

ientorendías

de

díapor

Horas

obreros

de

))((

)dim(##

PROBLEMAS PARA RESOLVER EN

CLASE

2. Las magnitudes de a y b son D. P.

Cuando a = 20, b = 5. Calcular b cuando

a = 12

Rpta. 3

3. Si a2 y b son D. P., cuando a vale 10, b

es 7. ¿Qué valor toma a cuando b vale

28?

Rpta. 20

4. Si a y b son I.P. Cuando a vale 8, b vale

6. ¿Qué valor tomará a cuando b es 4?

Rpta. 12

5. Si a y b son I. P,. Cuando

a = 100, b = 3. calcular b cuando a = 9

Rpta. 10

5. Si “a” es I.P. a “b2 - 1”, siendo “a” igual a

24 cuando “b” es igual a 10. hallar “a”

cuando “b” es igual a 5.

Rpta. 99

1. Si las magnitudes A y B son D. P.

Calcular: a + b + c

24181612

18

B

cbaA

Rpta. 87

2. Sean las magnitudes A y B. Donde A es

D.P a(B2 + 1). Si cuando A = 8, B = 3,

¿Qué valor tomara A cuando B = 7?

Rpta. 40

3. “a” es D.P a “ b ” e I.P a “c2”. Cuando a

= 10; b = 25; c = 4. hallar “a” cuando b =

64, c = 8

Rpta. 4

4. De la gráfica. Hallar “a + b”

Rpta. 15

5. De la gráfica. Hallar “a + b”

Rpta. 30

6. Si las magnitudes son D.P. Calcular “a +

b + c”

caB

bA

249

54010

Rpta. 24

7. Si: P.V = k. Hallar “P” cuando v = 6, si P

= 12 cuando v = 4

Rpta. 8

8. Si: ba

= k. Hallar “a” cuando b = 12; si

a = 18 cuando b = 9

Rpta. 24

9. Si: a es D.P. con b. Hallar “a” cuando

b = 4, si a = 4 cuando b = 2

Rpta. 16

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si “a” es D.Pa ”b”. Hallar “b” cuando “a”

es igual a 7, si a = 5 cuando b =15

a) 18 b) 20

c) 21 d) 22

e) 25

2. “a” es I.P. a “b”. Cuando a = 8, b = 3.

Hallar “b” cuando a = 2

a) 10 b) 12

c) 14 d) 18

e) 16

3. “a” es D. P. a “b” . cuando a = 6, b =

8. calcular “a” cuando: b = 12

a) 6 b) 7

c) 8 d) 9

e) 10

4. “a” es I.P a “b” cuando a = 4,

b = 3. Calcular el valor que toma “b”

cuando “a” toma el valor de 6.

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) 5

5. “a” es D.P. a “b2”. Cuando “a” es igual a

20 “b” es igual a 6. ¿Qué valor tomará

“a” cuando “b” es igual a 3?

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) 5

6. Si: “a” es I.P a “ 3 b ”, además cuando “a”

es 35, “b” vale 27. ¿Cuánto vale “a”

cuando “b” valga 343?

a) 5 b) 10

c) 15 d) 20

e) 25

7. Si A y B son IP. Calcular m + n + a

11015

30 2

nB

amnA

a) 60 b) 64

c) 68 d) 70

e) 74

8. La gráfica nos muestra la

proporcionalidad entre las magnitudes A

y B. Hallar

a + b + c

a) 40 b) 44

c) 48 d) 50

e) 52

9. “a” es D.P a “b” e I.P a “c”. Hallar el

valor de “c” cuando “a” es 10 y “b” es 8,

si cuando “a” es 8, “b” es 6 y “c” es 30

a) 28 b) 29

c) 30 d) 31

e) 32

10. Si A y B son IP. Calcular m + n + a

a) 10 b) 15

c) 20 d) 25

e) 30

CLAVES

1. C

2. B

3. D

4. B

5. E

6. C

7. C

8. B

9. E

10. C

1. REPARTO PROPORCIONAL

CLASES:

a) REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE

Cuando los valores que intervienen

corresponden a dos magnitudes

directamente proporcionales.

Se caracteriza por que “a mayor numero

proporcional le corresponde mayor

cantidad”.

A = xk

S B = yk

C = zk

A + B + C = S

(x + y + z) k = S

b) REPARTO PROPORCIONAL

INVERSO

Cuando los valores que intervienen

corresponden a dos magnitudes

inversamente proporcionales.

Se caracteriza por que “ a mayor número

proporcional le corresponde menor

cantidad”.

A =

x

k

S B = y

k

C = z

k

A + B + C = S

Sk

zyx

111

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Repartir 1250 en 3 partes directamente

proporcional a los números 2;3;5 .

Solución:

1250 se reparte en A;B;C partes, tales

que:

A = 2 k

B = 3 k

C = 5 k

10 k luego 10k = 1250

Por lo tanto:

A = 2 ( 125 ) = 250

B = 3 ( 125 ) = 375

C = 5 ( 125 ) = 625

2.- La herencia de tres hermanos asciende a

45 millones de soles, si dichas herencias

están en la relación con los números

4;12;14 ¿ Cuántos millones recibe el

mayor ?

Solución:

4k + 12k + 14k = 45

30k = 45

k = 1,5

por lo tanto el mayor recibe:

14 x 1,5 = 21 millones

3.- Dos personas invirtieron en un negocio

S/. 1000 y S/. 2000 respectivamente,

obteniendo una ganancia de S/.1500.

¿Cuánto le corresponde a cada una?

Solución:

Persona A = k

Persona B = 2k

3k

luego 3 k = 1500

k = 500

Cada persona recibirá:

Persona A = k= 500

Persona B = 2k = 1000

4.- Divide 261 en tres partes proporcionales

a los números 12;27; 48 respectivamente.

Solución:

12 k + 27 k + 48 k = 261

87 k = 261

k = 3

Por lo tanto:

Los números serán:

12 ( 3 ) = 36

27 ( 3 ) = 81

48 ( 3 ) = 144

5.- Repartir 42 entre A; B; y C de modo que

la parte de A sea el doble de la parte de B

y la de C la suma de las partes de A y B.

Luego calcula el producto de A.B.C

Solución:

De acuerdo al enunciado tenemos :

A = 2 k

B = k

C = A + B = 2k + k = 3k

Entonces:

A + B + C = 42

2k + k + 3 k = 42

k = 7

Luego : * A = 2(7) = 14

K = 125

* B = 7

* C = 3(7) = 21

Por último:

14 x 7 x 21 = 2058

6.- Repartir 36 en tres partes inversamente

proporcional a los números 6; 3; y 4 ( en

éste orden) obteniéndose a; b; y c. Halla

: a.b.c

Solución: a =

6

k a = 2k

b = 3

k b = 4k

c = 4

k c = 3k

9k = 36

k = 4

Por lo tanto:

a = 2(4) = 8

b = 4(4) = 16

c = 3(4) = 12

Finalmente: 8.16.12 = 1536

PROBLEMAS PROPUESTOS

1). Reparte 1250 en 3 partes directamente

proporcional a los números 2;3;5, e indica

la suma de las cifras del mayor número.

a) 10 b) 14 c) 9

d) 13

2). Reparte 56 en partes proporcionales a

los números 3; 5; 6. Indica la mayor parte.

a) 22 b) 18 c) 25

d) 16 e) 24

3). Reparte 3270 en partes DP a 7; 20; 82.

Da como respuesta la mayor parte.

a) 2460 b) 2420 c) 2640

d) 3240 e) 840

4). Reparte 400 DP a los números 10; 15;

25. Indica la parte menor.

a) 150 b) 80 c) 106

d) 140 e) 102

5). Se reparten S/. 7500 entre 3 personas en

forma D.P. a los números 15; 6; 4. ¿

Cuánto recibe el mayor?

a) 2400 b) 2500 c) 3200

d) 4500 e) 2300

6). Reparte 750 DP a 6; 7; 12. Da la parte

intermedia.

a) 210 b) 240 c) 36

d) 150 e) 120

7). Reparte 135 dólares entre 5 personas

proporcionalmente a los números 2; 3; 4; 8

y 13 respectivamente, indica ¿ cuánto le

toca al último?.

a) 58.5 b) 35 c) 80

d) 180 e) 81

8). Reparte 594 en I.P a 2; 3; 6 y 10. Indica

la mayor parte.

a) 270 b) 406 c) 180

d) 300 e) 240

9). Reparte 12240 en 3 partes

proporcionales a 2/3; 1/5 y 5/6. Indica la

menor parte.

a) 2900 b) 1440 c) 1800

d) 2160 e) 2880

10). Reparte 50 caramelos en forma

proporcional a 162; 243; 405. Halla la

parte que no es mayor ni menor.

a) 28 b) 20 c) 15

d) 10 e) 22

11). Descompón el número 162 en tres

partes que sean D.P a 13; 19 y 22. Halla la

parte menor.

a) 36 b) 26 c) 39

d) 38 e) 13

12). Reparte 882 I.P a 6; 12; 10.

a) 252;150;480 b) 210;420;172

c) 189;378;315 d) 140;142;600

e) 420;210;252

13). Reparte 309 I.P a 9; 15; 33. Indica la

mayor parte.

a) 165;132;30 b) 165;123;39

c) 123;145;55 d) 150;165;12

e) 165;99;45

14). Reparte 280 D.P a 1/5; 2/3; 3/10. Da

como respuesta la parte mayor.

a) 160 b) 100 c)

180

d) 140 e) N.A.

15). Juan tiene 8 panes y Pedro 4; deben

compartirlos equitativamente con dos

amigos. Para recompensarlos éstos

entregan 180 soles a Juan y Pedro.

¿Cuánto le tocará a Juan?

a) 120 b) 140 c) 75

d) 150 e) 90

16). Reparte 648 en forma D.P a 5 y 7

Indica la mayor parte.

a) 378 b) 102 c) 270

d) 300 e) 100

17). Reparte 648 en forma I.P a 5 y 7 Indica

la mayor parte.

a) 480 b) 270 c) 164

d) 378 e) 382

CLAVES DE RESPUESTAS

1) d 2) e 3) a

4) b 5) d 6) a

7) a 8) a 9) b

10)c 11)c 12)e

13)e 14)a 15)a

16)a 17)d

REGLA DE TRES

1. CONCEPTOS PREVIOS

a) Cantidades Directamente

Proporcionales

Dos cantidades son D.P si al aumentar o

disminuir una de ellas, la otra también

aumenta o disminuye en ese mismo orden.

kb

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 Constante de Proporcionalidad.

b) Cantidades Inversamente

Proporcionales (I.P)

Dos cantidades son IP si al aumentar o

disminuir una de ellas, la otra disminuye o

aumenta en ese mismo orden. Ejem :

k

q

1

P

q

1

P

q

1

P

3

3

2

2

1

1

2. DEFINICIÓN DE REGLA DE TRES

SIMPLE

Dadas tres cantidades y una incógnita

pertenecientes a dos magnitudes diferentes

determinar la incógnita.

a) Directa .- Si las cantidades son D.P.

(directamente proporcionales)

Ejemplo 1 :

- Si un móvil recorre 120 km en 8 horas.

Determina en cuantas horas recorrerá

30km.

Solución :

Distancia(km) Tiempo (H)

120 8

30 x

Son magnitudes D.P

Luego : x = 120

8x30 = 2 horas

b) Inversa.- Si las cantidades son I.P.

(inversamente proporcionales)

SESIÓN N° 10

Ejemplo 1 :

- Si 209 alumnos tardan 30 días en pintar

su salón de clase ¿Cuanto tiempo

tardarían 60 alumnos?

Solución :

Tiempo N° alumnos

30 20

x 60

Son magnitudes I.P.

Luego x = 60

20x30= 10 días

3. DEFINICIÓN DE REGLA DE TRES

COMPUESTA

Dadas varias cantidades y una incógnita

perteneciente a diversas magnitudes,

determinar la incógnita.

Consiste en resolver en forma simultánea

dos o más reglas de tres simple:

Método de los signos

DP DP IP D IP

A B C D E

- - + + +

a1 b1 c1 d1 e1

a2 b2 c2 x e2

+ + -

Luego : x = 2211

11122

ecba

decba

)(PRODUCTO

)(PRODUCTO

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Si tres patas ponen tres huevos en tres

días, doce patas, ¿En cuántos días

podrán poner doce huevos?

Solución :

+ - +

Patas Huevos Días

3 3 3

12 12 x

- + -

x = 3x12

3x3x12 = 3días

2).- En una competencia de glotones 40 de

ellos puede comer 300 panes en 2 días.

Si fueran 50 en 3 días. ¿Cuántos panes

podrán comer?

Solución :

+ - +

Panes Glotones Días

3000 40 2

x 50 3

+ +

Luego :

x =40x2

3x50x3000= 3625 panes

3).- Una cuadrilla de 12 hombres

encargados de la conservación de un

tramo de la línea férrea Arequipa –Cusco,

construyen 4/5 de una alcantarilla en 6

días. Si se quiere concluir la obra en 5

días, ¿cuántos hombres serán necesario

aumentar?

Solución :

Hombres Obra Tiempo

+ - +

12 4/5 6

5 5/5 5

+ -

x = 185x4

6x5x12

Debe aumentarse 18 – 12 = 6 hombres

4).- Si 60 obreros trabajando 8 horas

diarias construyen 320 metros de una

obra en 20 días. ¿ En cuántos días 50

obreros trabajando 6 horas diarias

construyen 300 metros de la misma obra?

Solución :

Obreros H/D Metros

Tiempo

+ + - +

60 8 320 20

50 6 300 x

- - +

X = 320x6x50

20x300x8x60 = 30 días

5).- 10 campesinos siembran un terreno de

50m2 en 15 días, en jornadas de 7 horas.

Si las jornadas fueran de 8 horas.

¿Cuántos días demorarán en sembrara

otro terreno de 80m2, 15 campesinos

doblemente hábiles?

Solución :

Camp. Días Horas Habilid.

Área

+ + + + -

10 15 7 1 50

15 x 8 2 80

X = 50x2x8x15

80x1x7x15x10 = 7 días

PROBLEMAS PROPUESTOS

1).- Viajando con una velocidad de 90 Km/h.

Un auto demora 8 horas. ¿A que velocidad

debe viajar si desea demorar 6 horas?

a)160 b) 140

c) 130 d) 150 e) 120

2).- Si una obra tiene una dificultad del 60%

y se puede realizar en 24 días. ¿En

cuántas días se podrá hacer la misma obra

si tiene una dificultad de 80%?

a) 16 b) 34

c) 33 d) 18 e) 32

3).- Con un rendimiento del 50% se puede

hacer una obra en 30 días. ¿Cuál es el

rendimiento si se demora 15 días?

a) 60% b) 80%

c) 90% d) 100%

e) 70%

4).- Si 10 carpinteros hacen 25 mesas.

¿Cuántas mesas harán 4 carpinteros?

a) 20 b) 8

c) 13 d) 10 e) 12

5).- Con una habilidad del 70% se puede

hacer un trabajo en 27 minutos. ¿Cuánto

demorará con una habilidad del 90%?

a) 18 b) 24

c) 12 d) 20 e) 21

6).- 8 conejos tienen alimento para 18 días.

Si hay 6 conejos. ¿Cuánto duran los

alimentos?

a) 16 b) 24

c) 21 d) 20 e) 12

7).- En una semana, José gasta S/.48 en

comprar gasolina, en 42 días gastará:

a) 168 b) 48

c) 336 d) 288 e) 208

8).- Si en dos días 20 niños comen 80 panes,

en una semana, ¿Cuántos panes

comerán?

a) 160 b) 240

c) 320 d) 250 e) 280

9).- 20 mineros tienen víveres para 15 días.

Si desisten trabajar 5 de ellos, ¿Para

cuántos días tendrá víveres el resto?

a) 20 b) 25

c) 15 d) 18 e) 23

10).- Si 8 obreros hacen una obra en 15

días, 12 obreros harán la obra de igual

característica en:

a) 16 b) 7

c) 20 d) 15 e) 10

11).- ¿Cuántos panes darán por S/.38, si por

S/.2 dan 18 panes?

a) 242 b) 148 c) 230

d) 150 e) 342

12).- Cinco Obreros trabajando 8 horas

diarias hacen una obra en 15 días; 10

obreros trabajando 6 horas diarias, ¿En

cuántos días harán otra obra de igual

característica?

a) 9 b) 6 c) 5

d) 8 e) 10

13).- Un hombre caminando 8 h/d ha

empleado 4 días para recorrer 160 km.

¿Cuántas horas diarias debe caminar otro

hombre para recorrer 300 km en 10 días?

a) 9 b) 6 c) 5

d) 8 e) 3

14).- Doce hombres trabajando 8 horas

diarias pueden hacer un muro en 15 días.

¿En cuántos días harán otro muro igual 15

hombres trabajando 6 horas diarias?

a) 14 b) 15 c) 16

d) 17 e) 18

15).- Doce hombres tardan 10 días en cavar

una zanja de 2 m de profundidad.

¿Cuántos hombres serán necesarios para

cavar otra zanja de 3 m de profundidad en

20 días?

a) 10 b) 11 c) 12

d) 9 e) 8

16).- Una familia de 5 personas tomó una

pensión durante 6 días y pagó S/. 60.

¿Cuánto pagó otra familia de 4 personas

que estuvo alojada en la misma pensión

durante dos semanas?

a) 112 b) 120

c)114

d)115 e) N.A.

17).- Caminando 6 horas diarias, un hombre

ha empleado 4 días para ir de un pueblo a

otro distantes entre sí 96 km. Si

continuando su viaje debe ir a otro pueblo

distante 192 km de este último, ¿cuántos

días empleará caminando 8 horas diarias?

a) 6 b) 3 c) 5

d) 8 e) 7

18).- 120 soldados tienen provisiones para

20 días a razón de 3 raciones diarias.

¿Para cuántos días tendrán provisiones si

se aumentan 30 soldados y el número de

raciones diarias se reduce a 2 por día.

a) 18 b) 20 c) 22

d) 24 e) N.A

19).- Doce hombres trabajando 8 horas

diarias construyen 24 m de una pared en

10 días. ¿Cuántos hombres serán

necesarios para construir 20 m de pared

continuada en 5 días trabajando 10 horas

diarias?

a) 16 b) 15 c)14

d) 13 e) N.A

20).- Ocho hombres cavan una zanja de 24

m de largo por 2 de ancho y 2m de

profundidad, en 12 días. ¿Cuántos

trabajadores con la misma habilidad serán

necesarios para cavar otra zanja de 18 m

de largo por 3 m de ancho y 4 m de

profundidad en 8 días?

a) 18 b) 12 c) 27

d) 30 e) N.A

CLAVES DE RESPUESTAS

1) e 2) d 3) d

4) d 5) b 6) b

7) d 8) e 9) a

10)e 11)e 12)e

13)b 14)c 15)d

16)a 17)a 18)d

19)a 20)c

REGLA DE COMPAÑÍA

Concepto.-

Es un caso particular del reparto

proporcional donde se reparten las

ganancias o pérdidas de las transacciones,

según el capital invertido por cada socio en

un periodo fijo de tiempo; dentro de una

sociedad mercantil.

En la Regla de Compañía se considera al capital

y al tiempo como directamente proporcionales a

la ganancia o a la pérdida de una transacción

comercial.

KTC

Clases.-

1) Regla de Compañía Simple, cuando existe un capital únicos para cada socio presentar 2 casos:

i. Capital Constante: La variación de la ganancia o pérdida es DP al tiempo.

ii. Tiempo constante: La variación de la ganancia o perdida es DP al capital a derecho (de cada socio)

T

C

Donde: () : Ganancia o pérdida

(C) : Capital de cada socio

(T) : Tiempo de inversión del

capital (meses)

2) Regla de Compañía Compuesta, cuando existen distintos capitales en distintos tiempos presenta 2 casos:

i. Capital Constante en tiempo variable: la ganancia o pérdida es DP al capital multiplicándose con el tiempo de cada socio.

ii. Capital Variable: Ganancia o pérdida es dp al producto del capital único por el tiempo total.

OBS:

1) Capital Único: es a suma de todos los capitales (expresados en una misma unidad de tiempo).

2) La Ganancia neta (Gn): es la ganancia, beneficio y/o utilidad Real, después de la inversión del capital, que indica la cantidad recuperada respecto al capital inicial.

Ganancia neta = Inical

Ganancia -

Invertido

Capital

PROBLEMAS PARA LA CLASE

01) Juan y Pedro ganaron en 1966 y 1967, 1200 soles cada año en un negocio que tienen. En 1966, Juan era dueño de los ¾ del negocio y su socio, del resto, y en 1967, Juan García fue dueño de los 2/5 del negocio y su socio del resto, por que el primero vendió al segundo una parte. Hallar la ganancia total de cada socio en los 2 años. Rpta.:

02) A; B; C emprenden un negocio imponiendo A = S/. 900; B = S/. 800 y C = S/. 750. al cabo de un año, A recibe como ganancia S/. 180. ¿Cuánto ha ganado B y C? Rpta.:

03) Tres socios que habían interesado S/. 25000 el primero; S/. 24000, el segundo y S/. 16000 el tercero, tienen que repartirse una perdida de S/. 19500. ¿Cuántos quedan a cada uno? Rpta.:

04) Cuatro socios han ganado en los 3 años que explotaron una industria, lo siguiente: el primero, S/. 5000; el segundo, los 2/5 de lo que gano el primero; el tercero, los ¾ de lo que gano el segundo, y el cuarto, los 5/8 de lo que gano el tercero. Si el capital social era de S/. 44000; ¿Con cuanto contribuyo cada uno? Rpta.:

05) Tres comerciantes reunieron S/. 90000 para la explotación de un negocio y ganaron: el 1° 1000; el 2° 600 y 800 el 3°. ¿Cuánto impuso cada uno? Rpta.:

06) En una industria que trabajo durante 4 años y medio, cuatro socios impusieron: el primero S/. 500 mas que el segundo, el segundo, S/. 600 menos que el tercero; el tercero, la mitad de lo que puso el cuarto y este impulso S/. 3000. si hay que afrontar una perdida de S/. 3400. ¿Cuánto perderá cada uno? Rpta.:

07) Tres amigos se asocian para emprender un negocio e imponen: S/. 2500; el segundo, la mitad de lo que puso el primero mas 600; el tercero, 400 menos que los anteriores juntos. Al cabo de 3 años se reparte un beneficio de 16600. ¿Cuánto toca a cada uno? Rpta.:

08) A emprende un negocio con S/. 3000 y a los 3 meses mas tarde entra de socio C con S/. 3000. si hay un beneficio de S/. 2700 al cabo del año de emprender A el negocio. ¿Cuánto recibe cada uno? Rpta.:

09) A emprende un negocio de S/. 2000. Al cabo de 6 meses entra como socio B con S/. 2000 y 11 meses mas tarde entra como socio C con S/. 2000. si a los 2 años de comenzar A su negocio hay un beneficio de S/. 630. ¿Cuánto recibe como ganancia cada uno? Rpta.:

10) A; B; C impusieron S/. 300 cada uno para la explotación de un negocio. A, permaneció en el mismo un año, B, cuatro meses menos que A y C; 4 meses menos que B. Si hay una pérdida que asciende al 20% del capital social. ¿Cuánto pierde cada socio? Rpta.:

11) Reuniendo un capital de 10 000 soles por partes iguales, tres socios emprenden un negocio por 2 años. El primero se retira a los 3 meses; el segundo, a los 8 meses y 20 días y el tercero estuvo todo el tiempo. Si hay una pérdida de 3210 soles. ¿Cuánto pierde cada uno? Rpta.:

12) Dos individuos reúnen 8500 soles para explotar un negocio. El primero impone S/. 6000 soles para 2 años y el segundo lo restante por 3 años. ¿Cuánto corresponde perder a cada uno si hay una pérdida de S/. 1365? Rpta.:

13) En una sociedad formada por tres individuos se han hecho las siguientes imposiciones: el primero S/. 500 por 2 años; el segundo S/. 400 por 4 años y el tercero, S/. 300 por 5 años. ¿Cuántos corresponde a cada uno si hay una ganancia de S/. 1230? Rpta.:

14) Para explotar una industria 3 socios imponen el primero S/. 300; el segundo S/. 200 mas que el primero; y el tercero S/. 100 menos que los 2 anteriores juntos. El primero ha permanecido en el negocio por 3 años. El 2° por 4 y el 3° por 5 años. ¿Cuánto toca a cada uno de un beneficio de S/. 448? Rpta.:

15) Tres individuos reúnen 25 000 bolívares, de los cuales el primero ha impuesto 8000; el 2°; 3000 mas que el primero y el 3° lo restante. El primero ha permanecido en el negocio por 8 meses y el tercero por 5 meses. Si hay que afrontar una perdida de 1143. ¿Cuánto debe perder cada uno? Rpta.:

16) En una industria 3 socios han impuesto: el 1° con 6000 soles mas que el segundo; el segundo con 3000 mas que el tercero y este 8000. El primero permaneció en la industria por un año, el segundo por año y medio y el tercero por 2 ½ años. ¿Cuánto corresponde a cada uno de beneficio de 5585 soles?

Rpta.:

17) ¿Cuánto ganará cada uno de los 3 socios que, en la explotación de una industria, impusieron: el primero 300 más que el segundo, este, 850 y el tercero, 200 menos que el segundo; sabiendo que el primero; y el tercero, meses más que el primer; si el beneficio total es de 338? Rpta.:

18) Cuatro comerciantes asociados en una industria han impuesto: el primero 300 mas que el tercero; el segundo mas que el cuarto en 400; el tercero, 500 mas que el segundo; el cuarto S/. 2000. el primero permaneció en la industria durante año y medio; el segundo, por 1 ¾ años; el 3° por 2 ½ años y el 4° por 2 ¾ años. Si hay que repartir una ganancia de 4350. ¿Cuánto corresponde a cada uno? Rpta.:

19) Dos individuos emprenden un negocio por 1 año. El primero empieza con S/. 500 y 7 meses después añade S/. 200; el segundo empieza con S/. 600 y, 3 meses después añade S/. 300; ¿Cuánto corresponde a cada uno de un beneficio de S/. 338? Rpta.:

20) En un negocio, que ha durado 3 años, un socio impuso 4000 bolívares y; a los 8 meses, retiro la mitad; el segundo impuso 6000 y al año añadió 3000; y el tercero, que empezó con 6000; a los 2 años retiro 1500. ¿Cuándo corresponde a cada uno en beneficio de 5740?

Rpta.:

21) Dos hermanos forman un negocio, aportando cada uno un mismo capital, A un mes de iniciado el negocio, el primero aumenta en sus 2/3 de capital; 4 meses más tarde, el segundo reduce a sus 2/3 de su capital. Si el negocio duro 6 meses y al final se obtuvo una ganancia waaw; ¿Cuál es la diferencia de las ganancias, si estas son cantidades enteras?

a) 2661 b) 1331

c) 1221 d) 2112

e) 3113

22) En la imprenta Willy´s se observa el siguiente aviso:

# de tarjetas

impresas Medida Costo

500

1000

5 x 8 cm2

5 x 8 cm2

S/. 7,50

S/. 14,00

Si hay 20% de descuento en la producción de

tarjetas. ¿Cuánto se pagaría por 1000 tarjetas

de impresión de 8 x 18 cm2; si el material para

hacerlas viene en planchas de 1,5 x 2,4 m2?

a) 39,5 b) 40,8

c) 41 d) 41,3

e) 41,5

23) Andrade, Fujimori y Toledo forman una sociedad. El capital de Andrade es al capital de Fujimori como 1 es a 2 y el capital de Fujimori es al de Toledo como 3 es a 2. a los 5 meses de iniciado el negocio, Andrade tuvo que viajar y se retiro del negocio; 3 meses después Fujimori también se retiro del negocio 4 meses después, Toledo liquidaría su negocio repartiendo las utilidades. Si Andrade hubiese permanecido un mes en el negocio habría recibido S/. 64 más. ¿Cuál fue la utilidad total obtenida en el negocio?

a) 2536 b) 2812

c) 2182 d) 2218

e) 2128

24) Tres socios imponen S/. 60 000 por partes iguales en un negocio que dura 2 años. El primero, al terminar el primer año añadió unos S/. 1500 y 4 meses después, retiro S/. 5000; el segundo a los 8 meses añadió S/. 4000 y, 5 meses después otros S/. 2000; el tercero, a los 14 meses retiro 5600 soles. Si hay una perdida total de 7240 soles. ¿Cuánto pierde cada uno? Indicar la suma de las cifras de cada valor.

a) 11; 9; 7 b) 8; 5; 9

c) 13; 13; 5 d) 5; 5; 13

e) 4; 13; 11

25) Se ha realizado un beneficio de 5610 soles en un negocio en el que han intervenido dos individuos. El negocio ha durado unos 3 años. El primero empieza con 8000 soles, a los 7 meses retira la mitad de su capital y 2 meses mas tarde, agrega 2000. El segundo, que empezó con 6000, al año doblo su capital y 5 meses mas tarde retiro S/. 4000. ¿Cuánto ganara cada uno? Indicar la suma de cifras del mayor.

a) 20 b) 10

c) 18 d) 9

e) 6

26) Tres individuos se asocian en un negocio que dura 2 años. El primero impone S/. 2000 y al cabo de 8 meses, S/. 1500 más. El segundo impone al principio S/. 5000 y después de un año saca la mitad. El tercero, que había impuesto al principio S/. 2500, saca a los 5 meses S/. 1000 y 2 meses mas tarde agrega S/. 500. si hay una perdida de S/. 500. ¿Cuánto corresponde perder a cada uno?

a) 170 11/12; 212 1/3; 117 3/38

b) 170 7/9; 212 ½; 117 15/17

c) 170 2/5; 212 34/35; 117 ¼

d) 170 1/6; 212 34/35; 117 2/3

e) 170 10/47; 212 36/47; 117 1/47

27) Cinco socios han impuesto: el primero S/. 2000 por 2 años, 4 meses; el segundo S/. 2500 por los 3/7 del tiempo anterior el tercero S/. 3000 por os 5/6 del tiempo del segundo; el cuarto S/.

4000 por un año y 8 meses y, el quinto, S/. 500 menos que el cuarto por ¾ de año. Habiendo S/. 9100 soles de utilidad. ¿Cuánto gana cada uno? Dar como respuesta la suma de la suma de las cifras de cada valor.

a) 25 b) 26

c) 27 d) 28

e) 29

28) De los tres individuos que contribuyeron una sociedad, el primero permaneció en la misma durante un año; el segundo, durante 7 meses más que el primero y el tercero durante 8 meses más que el segundo. El primero había impuesto S/. 800, el segundo, 400 menos que le segundo. Si hay una perdida de 224 soles. ¿Cuánto corresponde perder a cada uno, respectivamente?

a) 16; 30; 48 b) 12; 15; 23

c) 27; 39; 51 d) 48; 85; 81

e) 30; 87; 96

29) Tres individuos se asocian para iniciar una empresa. El primero impone S/. 2000 durante 3 años; el 2° S/. 1800 durante 4 años y el 3° S/. 3300 por 8 meses. ¿Cuánto corresponde a cada uno si hay un beneficio de 2500 soles? Dar la aproximación de la parte entera.

a) 799; 276; 402

b) 612; 400; 10

c) 900; 1200; 300

d) 986; 1184; 328

e) 578; 1207; 610

30) A emprende un negocio con capital de S/. 2000 a los 4 meses toma como socio a B, que aporta S/. 2000 y 3 meses mas tarde, admiten como socio a C, que aporta otros S/. 2000. Cuando se cumple un año a contar del día en que A emprendió el negocio hay una utilidad de S/. 1250. ¿Cuánto recibe cada socio? (respectivamente) a) 600; 400; 250

b) 300; 120

c) 460; 500; 300

d) 700; 600; 500

e) 250; 120; 212

31) Tres individuos emprenden un negocio imponiendo A = S/. 900; B = S/. 800 y C = S/. 750 al cabo de una año A recibe como ganancia S/. 180. ¿Cuánto han ganado B y C?

a) 120; 130 b) 130; 140

c) 140; 150 d) 170; 180

e) 160; 150

32) Se constituye entre 4 comerciantes una sociedad por 4 años, reuniendo 24 000 bolívares por partes iguales. El primero ha estado en el negocio 3 años; el segundo, 2 a los y 7 meses; el tercero 14 meses y el cuarto, año y medio. ¿Cuánto tocara a cada uno de una ganancia de 6930 bolívares, respectivamente?

f) 1999; 736; 456; 1879 g) 2750; 2000; 930; 712 h) 2520; 2170; 980; 1260 i) 2003; 1982; 727; 432 j) 602; 799; 1988; 1015

33) Luisa y Roxana inauguran un negocio, Luisa aporta S/. 5020 y permanece en el negocio durante 3 meses. Roxana aporto 700 soles y estuvo durante 5 meses. Si al finalizar el negocio hubo una ganancia de 5000; calcular la ganancia de Luisa y Roxana.

a) 100 b) 200

c) 300 d) 400

e) 500

34) Cinco colonos han emprendido un negocio imponiendo el primero S/. 500; el segundo; S/. 200 mas que el segundo y así sucesivamente los demás. Hay que hacer frente a una perdida de S/. 600. ¿Cuánto pierde cada uno? (respectivamente)

a) 70 1/2; 90 1/4; 200; 150; 188 1/9 b) 66 2/3; 93 1/3; 120; 146 2/3; 173 1/3 c) 70; 60; 50; 140; 208 d) 66 1/2; 92 1/5; 100; 107 2/3; 200 1/4 e) 70 1/5; 90 3/4; 208; 152; 188 7/9

35) Cuatro individuos explotan una industria por 4 años y reúnen 10 000 soles, de los cuales el primero pone 3500; el segundo 2500, el tercero, la mitad d lo que se puso el primero y, el cuarto, lo restante. Hay que repartir la ganancia de 5000. ¿Cuánto toca a cada uno? (respectivamente)

a) 1982; 2001; 1946; 875 b) 1750; 1250; 875; 1125 c) 1740; 1230; 825; 1105 d) 1800; 1180; 912; 1179 e) N.A.

TALLER DE REFORZAMIENTO:

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Las magnitudes A2 DP.B; cuando A vale

20 B es 18. ¿Qué valor toma A cuando B

vale 72?

Resolución:

* Como A2 DP. B

cte)B(Valor

)A(Valor2

* Luego:

40n4x20n18

72x20n

72

n

18

20 222

222

2).- Si A es DP. B2 además cuando A = 18;

B = 9. Calcula: B cuando A = 8.

Resolución:

* Si: A DP. tetanconsB

AB

2

2

* Luego:

6B36B189x8

BB

8

9

18 22

2

22

3).- Si la magnitud A es inversamente

proporcional a la magnitud B y cuando A =

15, B = 24, halla B cuando A es 120.

Resolución:

* Como “A” es IP a “B”, entonces:

AB = constante ó

.....BABxABxA 332211

Magnitud Valores

A 20

B 18

20

18

SESIÓN N° 11

* Luego reemplazamos los valores dados,

así: 3B120

24x15B24x15B120

PROBLEMAS PROPUESTOS

1).- Si “A” es DP. a B y cuando A = 12;

B=16, ¿cuánto valdrá “A”, cuando B = 18?

a) 28 b) 54 c) 36

d) 44 e) 64

2).- Si “A” es DP. “B2” y cuando “A” es 16;

B = 2; calcula “A”, cuando B = 8.

a) 64 b) 256 c) 8 d) 32 e)512

3).- Se sabe que “A” es D. P. a B2 cuando

A = 2; B = 5. ¿Cuál será el valor de “A”

cuando B = 20?

a) 16 b) 32 c) 18

d) 75 e) 25

4).- Si “A” es DP. “B2” y cuando “A” es 6; B =

2; calcula “A”, cuando B = 10.

a) 164 b) 150 c) 80

d) 200 e) 512

5).- Si “A” es IP. a “B” y cuando A = 24; B =

8; ¿cuánto valdrá “A”, cuando B = 16?

a) 14 b)12 c) 16 d)54 e)96

6).- Si “A” es DP. a B y cuando A = 6;

B = 4, ¿cuánto valdrá “A”, cuando B = 9?

a) 6 b) 9 c) 18

d) 18 e) 9/2

7).- Si 3 A es IP. a B2 y cuando A = 64;

B = 4; calcula el valor de “B”, cuando

A =64.

a) 2 b)8 c) 16

d)13 e)7

8).- Si “A” es DP. “B2” y cuando “A” es 24;

B = 4; calcula “A”, cuando B = 6.

a) 12 b) 28 c) 36

d) 54 e) 17

9).- Si “A” es IP. a “B” y cuando A = 48; B =

16; ¿cuánto valdrá “A”, cuando B = 32?

a) 22 b)24 c) 26

d)23 e)27

10).- A es D.P con B2 e I.P a C , cuando

A = 4; B = 8 y C = 16. Halla “A” cuando

B = 12 y C = 36.

a) 2 b) 6 c) 8 d) 4 e) 10

11).- Si 3 A es IP. a B y cuando A= 64; B = 4;

calcula el valor de “B”, cuando A= 8.

a) 2 b) 8 c) 16

d) 13 e) 7

12).- Si “A” es DP. a B4 y cuando A = 48; B =

2; calcula “A”, cuando B = 3.

a) 27 b) 9 c) 81

d) 162 e) 243

13).- “P” varía inversamente proporcional a

“T”, cuando P = 125, entonces T = 48.

Determina “T”, cuando P = 300.

a) 12 b) 20 c) 16

d) 13 e) 17

14).- Si la magnitud A es inversamente

proporcional a la magnitud B y cuando

A = 30, B = 48, halla B cuando A es 240.

a) 1 b)2 c) 6 d)3 e)5

15).- Las magnitudes A2 DP.B; cuando A

vale 20 B es 18. ¿Qué valor toma A

cuando B vale 72?

a) 92 b)68 c) 80

d)86 e)88

16).- Si “A” es DP. a B4 y cuando A = 6; B =

3; calcula “A”, cuando B = 6.

a) 78 b)98 c) 81 d)62 e)96

17).- Si “A” es DP. a B4 y cuando A = 18;

B = 4; calcula “A”, cuando B = 8.

a) 227 b) 229 c) 281

d) 262 e) 288

18).- Si la magnitud A es inversamente

proporcional a la magnitud B y cuando

A = 60, B = 96, halla B cuando A es 480.

a) 14 b) 22 c) 12

d) 13 e) 15

CLAVES DE RESPUESTAS

1) b 2) b 3) b

4) b 5) b 6) b

7) c 8) d 9) b

10)b 11)b 12)e

13)b 14)c 15)c

16)e 17)e 18)c

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Repartir el número 1000 en 3 partes que sena

D. P. a los números 2, 3 y 5. Hallar el menor

número

Rpta. 200

2. Un enunciado reparte 840 soles en partes

proporcionales a las edades de sus tres hijos,

siendo éstas de 24, 20 y 40 años. ¿Cuándo le

corresponderá al mayor?

Rpta. 400

3. Dividir el número 688 en partes D.P. a 8,15 y

20. Hallar la mayor parte

Rpta. 320

4. Tres sastres compran un lote de piezas

iguales de tela que valen 57680. El primero se

queda con 2 piezas, el segundo con 7 y el

tercero en 5. ¿Cuánto paga el segundo?

Rpta. 28840

5. Repartir 858 en partes directamente

proporcionales a los números:

5

4

6

5,

4

3y . Hallar la menor parte

Rpta. 270

6. Repartir 360 en 3 partes que sea

inversamente proporcionales a los

números 3, 4y 6. Hallar la mayor parte.

Rpta. 160

7. Repartir 735 en partes inversamente

proporcionales a 1/5, 3/5 y 3. hallar la

suma de cifras de la mayor parte.

Rpta. 12

8. Tres personas compran todos los boletos de

una rifa en forma directamente proporcional a

2, 3 y 7. Si el premio se reparte en forma

inversamente proporcional al número de rifas

comprado. ¿Cuánto dinero recibió el que

compró más boletos si en total se repartió

S/. 2542?

Rpta. 372

9. Divide 1600 en partes inversamente

proporcionales a 2/3, 1/5 y 6. Calcular la suma

de las partes mayor y menor

Rpta. 1240

10. Dividir en 170 en dos partes inversamente

proporcionales a los números 3/2 y 4/3. Hallar

el mayor

Rpta. 90

11. Repartir 1000 en partes directamente

proporcionales a 150y18,8 . Hallar el

menor

Rpta. 200

12. Tres personas compran todos los boletos de

una rifa en forma directamente proporcional a

2, 3 y 7. Si el premio se reparte en forma

inversamente proporcional al número de rifas

comprado. ¿Cuánto dinero recibió el que

compró más boletos si en total se repartió

S/. 2542?

Rpta. 372

13. Divide 1600 en partes inversamente

proporcionales a 2/3, 1/5 y 6. Calcular la suma

de las partes mayor y menor

Rpta. 1240

14. Dividir en 170 en dos partes inversamente

proporcionales a los números 3/2 y 4/3. Hallar

el mayor

Rpta. 90

15. Repartir 1000 en partes directamente

proporcionales a 150y18,8 . Hallar el

menor

Rpta. 200

PROBLEMAS PARA RESOLVER REPARTO PROPORCIONAL

1. Repartir S/. 5200 entre A, B y C partes

directamente proporcionales a 2; 3 y 1/5.

¿Cuánto recibe C?

a) 55 b) 176

c) 198 d) 200

e) 250

2. Un padre reparte 520 dólares

proporcionalmente al promedio que

obtienen sus hijos en Aritmética.

¿Cuánto reciben las notas obtenidas son

12; 13; 15?

Dar por respuesta lo que recibe el mayor

a) 156 b) 169

c) 195 d) 215

e) 179

3. Repartir 429 en partes proporcionales a

2/3; ¾ y 5/24. Dar por respuesta la

mayor parte.

a) 55 b) 176

c) 198 d) 200

e) 250

4. Repartir el número 1246 inversamente

proporcional a 5/2; 4 y 6/5. hallar la suma

de cifras del menor número.

a) 8 b) 9

c) 10 d) 12

e) 10

5. Repartir 1000 en forma inversamente

proporcional a 1/3, ½, 1/5. Hallar la

mayor parte.

a) 100 b) 200

c) 300 d) 400

e) 500

6. Se ha hecho un reparto en 3 partes

inversamente proporcional a 3; 13 1/6. la

segunda parte es 72 soles. ¿Cuál fue el

total repartido?

a) 1000 b) 3000

c) 4000 d) 6000

e) 8000

7. Repartir el número 1246 inversamente

proporcional a 5/2; 4 y 6/5. hallar la suma

de cifras del menor número.

a) 8 b) 9

c) 10 d) 11

e) 12

8. Repartir 1000 en forma inversamente

proporcional a 1/3, ½, 1/5. Hallar la

mayor parte.

a) 100 b) 200

c) 300 d) 400

e) 500

9. Se ha hecho un reparto en 3 partes

inversamente proporcional a 3; 13 1/6. la

segunda parte es 72 soles. ¿Cuál fue el

total repartido?

a) 1000 b) 3000

c) 4000 d) 6000

e) 8000

10. Repartir 348 en dos partes directamente

proporcionales a 3 y ¼, e inversamente

proporcionales a ½ y 1/5.

Hallar la suma de cifras de la mayor

parte.

a) 12 b) 14

c) 16 d) 18

e) 20

11. Se reparte 596000 en forma proporcional

a los números 2, 4, 6, 8 e inversamente

proporcional a los números 1, 3, 5, 7.

¿Cuánto le corresponde a la parte

menor?

a) 100000 b) 120000

c) 250000 d) 300000

e) 320000

CLAVES

1. D

2. C

3. C

4. E

5. E

6. D

7. D

8. A

9. D

10. B

TANTO POR CIENTO

REGLA DEL TANTO POR CIENTO:

Nos indica una relación entre una parte y la

unidad que ha sido dividida en 100 partes

iguales.

Es decir:

Unidad

100

1

100

1

100

1

100

1

100

1

100 partes iguales

Luego:

1 parte <>100

1 = 1% (uno por

ciento)

2 partes <>100

2 = 2% (dos por

ciento)

3 partes <>100

3= 3 % (tres por

ciento)

100 partes <>100

100= 100% (cien por ciento)

Observamos que:

1% = 100

1 a % =

100

a

. 100% = 100

100= 1 .

OBSERVACIÓN:

El 7 por 40 <>

40

7

El 35 por ciento <>100

35

El 20 por 45 <>45

20

El 90 por mil <>1000

90

El “a” por “b” <>ba

PORCENTAJE DE PORCENTAJE:

El 20% del 10% de 40% es:

100

10.

100

20 . 40% =

10

8% = 0,8%

El 50% del 30% de 60% es;:

100

30.

100

50x 60% = 9%

El a% del b% de c%

%10000

%.100

.100

abcc

ba

TANTO POR CIENTO DE UNA CANTIDAD:

El 20% de 30 = 100

20 . 30 = 6

El 60% del 10% de 500 es = 100

10.

100

60.

500 = 30

OPERACIONES CON PORCENTAJE

20%A + 30%A = 50% A

70%B – 30%B = 40%A

m + 10%m =

1

%100 m + 10% m =

110% m

N – 30%N = 70%N

2A + 10%A = 210%A

5% menos = 95%

RELACIÓN PARTE - TODO:

.TodoParte

. 100% .

Ejemplos:

¿Qué tanto por ciento es 12 de 40?

40

12 . 100% = 30%

SESIÓN N° 12

¿Qué porcentaje de 80 es 25?

80

25 . 100% = 31, 25%

¿Qué porcentaje de “A” es “B“?

A

B . 100%

En una reunión de 60 personas, el 20% son

hombres y el resto mujeres. ¿Qué

porcentaje de las mujeres son los hombres?

Resolución:

N° personas: 60 =

)(48

)(hom1260.100

20

mujeres

bres

Luego:

48

12 . 100% = 25%

OBSERVACIÓN:

PIERD

O

QUEDA PIERD

O

GANO

10% 90% 20% 120%

75% 25% 30% 130%

8% 92% 80% 180%

40% 60% 100% 200%

DESCUENTOS Y AUMENTOS

SUCESIVOS:

Ejemplo 1

¿A que descuento único equivale dos

descuentos sucesivos del 10% y 30% de una

cantidad?

Resolución:

Sea “N” la cantidad inicial:

N (90% N) 70%(90% N) = 63% (Queda)

- 10% -30%

Descuento = 100% - 63% 37%

Otra forma:

(–) (–)

10% y 30% de N

90% . 70%N = 63%N

Du = 100% - 63% = 37%

Ejemplo 2

¿A que aumento único equivalen tres

aumentos sucesivos del 10%; 20% y 50% de

una cantidad?

Resolución:

( + ) ( + ) ( + )

10%; 20% y 50%

100

120.

100

110.150% = 198%

Aumento único = 198% - 100% = 98%

VARIACIÓN PORCENTUAL

Ejemplo 1:

Si el lado de un cuadrado aumenta en 20%

¿En que porcentaje aumenta su área?

Resolución

El área:

A1 = a2 A

2 = (120% a)

2

A2 = 120%a . 120%a = 144% a

2

El área aumenta en 144% - 100% = 44%

Otra Forma:

Se asume al lado inicial diez

El área:

A1 = 102 A1 = 100

A2 = 122 A2 = 144

Aumento en 44%

Inicial

Final

120% a

a

a

A1

A2

+20%

Ejemplo 2:

Si el radio de circulo aumenta en 100%, ¿En

qué porcentaje aumentara su área?

El área:

A1 = (102) A2 = (20

2)

APLICACIÓN COMERCIAL

Ejemplo:

Aurelio compró una computadora en S/. 400

(precio de costo: PC) y decide ofrecerle en

$500(precio fijado: Pf) sin embargo, ala

momento de venderlo lo hace por S/.

420(precio de venta PV), se realiza un

descuento de (500 – 420 = 80 soles) y se

obtuvo una ganancia de 420 – 400 = 20

soles, (ganancia bruta: GB); pero esta

operación comercial genera gastos pos S/. 5

o sea se ganó realmente 20 - 5= 15 soles

(ganancia neta GN) veamos:

Luego del gráfico:

* . PV = PF – D . * . PV = PC + GB.GB

= GN + Gastos

Si hay pérdida:

. PV = PC – P .

Ejemplo:

Para fijar el precio de venta de una articulo se aumento su costo en un 80% pero al venderse se hizo una rebaja del 40%. ¿Qué tanto por ciento del costo se ha ganado?

Resolución:

Sea precio de costo S/. X

1° PF = x + 80%x PF = 180%x

2° D = 40% PF

3° PV = 60% (PF) = 60% (180%x) =

108%x

Luego:

PV = PC + G

108%x = x + G G = 8%x

ganancia es el 8% del costo

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. El radio de una esfera disminuye en 40%

con ellos el volumen disminuye en:

Rpta. 78, 4%

2. El precio de una refrigeradora es de S/.

1200 en tiendas sagafalabella y tiene los

siguientes descuentos:

40%, sólo por hoy.

20% más si paga con tarjeta CMR.

¿Cuál es el monto a pagar?

Rpta. S/. 576

3. Si la base de un rectángulo se

incremente en 20%. ¿En cuánto

disminuye la altura si el área no varia?

Rpta. 16 2/3%

4. El x% de 2057 es 187. Hallar “x”

Rpta. 100/11

5. El 25% de que número es el 35% de 770

Rpta. 1078

6. ¿De que número es 216 el 8% más?

Rpta. 200

7. El a% de 300 es b y b% de 30 es 27.

Hallar a.

Rpta. 30

8. El 18% de 990 es el n% de 198. Hallar n.

Rpta. 90

9. El a% de b es c el c% de a es e. Hallar a.

Rpta. 100 c/b

10. Se observo que en una granja el número

de patos, conejos y pavos en la relación

de los números 4, 5 y 6. ¿Qué

porcentaje del total son pavos?

Rpta. 40%

11. En una reunión el 40% del total de

personas son hombres. Si se retira la

mitad de éstos. ¿Cuál es el nuevo

porcentaje de hombres?

Rpta. 25%

12. El 20% menos de A es igual a 2% más

de B si A + B = 546. Hallar A - B

Rpta. 66

13. Si el 65% de “N” es igual al 106% de (N -

123). ¿Qué porcentaje de N representa

53?

Rpta. 16.6%

14. En una reunión el 70% del número

de mujeres es igual al 50% del

número de hombres. ¿Qué

porcentaje del total son mujeres?

Rpta. 41,6%

15. En una granja: el 30% de los

animales son pollos, el 45% son

patos y el resto son gallinas. Si se

venden la mitad de los pollos; 4/9 de

los patos y 3/5 de las gallinas. ¿Qué

porcentaje del nuevo total son

patos?

Rpta. 50%

16. ¿Qué porcentaje del cuádruplo de la

mitad del 60% de un número es el

30% del 20% de los 2/5 del número?

Rpta. 2%

PROBLEMAS PARA RESOLVER

1. La base de un triángulo aumenta en 50%

y su altura en 20%. ¿En qué porcentaje

varia en área?

a) 70% b) 80%

c) 60% d) 40%

e) 50%

2. Si al altura de un rectángulo disminuye

en 35% y la base aumenta en 10%. El

área

a) Aumenta en 28,5%

b) Aumenta en 25,8%

c) Disminuye en 28,5%

d) Disminución en 25,8

e) N.A.

3. De un depósito de agua se extrae

primero el 20% y luego el 25%. ¿Qué

porcentaje del total se extrajo?

a) 40% b) 44,%

c) 44% d) 45%

e) 39,7%

4. Si el lado de un cuadrado disminuye en

30%. ¿En qué porcentaje disminuye el

valor de su área?

a) 60% b) 30%

c) 39% d) 51%

e) 56%

5. Hallar el 36% de 2500

a) 693,3 b) 1000

c) 900 d) 368

e) N.A.

6. ¿De que número es 72 el 2.4%?

a) 3 b) 172,8

c) 300 d) 3000

e) N.A.

7. ¿Qué % de 38000 es 190?

a) 1/2 b) 50%

c) 1/200 d) 2%

e) N.A.

8. Hallar el 20% del 25% del 40% del 15

por 60 de 24000

a) 120 b) 100

c) 140 d) 125

e) 124

9. Hallar el 20% del 30% del 15% de

10000.

a) 50 b) 70

c) 90 d) 100

e) 110

10. ¿El 25% de 280 es el 40% más de que

número?

a) 40 b) 50

c) 35 d) 28

e) 48

CLAVES

1. B

2. C

3. A

4. D

5. C

6. D

7. A

8. A

9. C

10. B

REGLA DE INTERÉS

INTERÉS Es la ganancia o beneficio al prestar un

capital durante cierto tiempo y bajo una tasa

a considerarse. Si el interés es anual se le

llama renta.

Interés (I) : Crédito, renta (anual)

Capital (C) : Dinero, acciones,

propiedades, etc.

Tiempo (T) : Año, meses, días

OBSERVACIONES:

EL AÑO CONSIDERADO ES EL COMERCIAL, AQUEL

QUE TIENE 12 MESES DE 30 DÍAS CADA UNO

Tasa (r): Es el porcentaje anual, considerado

como tasa de interés.

OBSERVACIONES:

POR EJEMPLO, TENEMOS:

3 % MENSUAL 36% ANUAL

12% BIMENSUAL 72% ANUAL

10% QUINCENAL 240% ANUAL

Monto (M) : Viene a ser la suma del capital

con su interés Así:

. M = C + 1 .

Fórmulas para calcular el interés simple:

. 1 = 100

t.r.C, “t” en años .

. 1 = 1200

t.r.C, “t” meses .

. 1 = 1200

t.r.C , “t” en días. .

SESIÓN N° 13

Ejemplo:

Pedro deposita 4000 soles bajo una tasa de

12% semestral durante 15 meses. ¿Cuál es

el monto que obtiene?

Resolución:

C = S/. 4000

r = 12% semestral 24 % anual

t = 15 meses

I = 1200

t.r..C =

1200

15.24.4000 = 1200

Y como M = C + I

M = 4000 + 1200

M = 5200

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. ¿Cuál es el capital que al 5% de interés

simple anual se convierte en 3 años en

S/. 3174 ?

Rpta. S/. 2760

M = C + I

3174= C +

C = 2760

2. Determinar el interés generado al

depositar S/. 1200 al 10% trimestral

durante 6 meses

Rpta. S/. 240

3. Un capital estuvo al impuesto al 9% de

interés anual y después de 4 años se

obtuvo un monto S/. 10200. ¿Cuál es el

valor del capital?

Rpta. S/. 7500

4. Calcular el interés producido por un

capital de S/. 60000 impuesto durante 30

meses al 10% trimestral.

Rpta. S/. 60000

5. los 2/5 de un capital han sido impuesto al

30%, 1/3 al 35% y el resto al 40%. El

interés total es de 41200 soles anuales.

Calcular el capital

Rpta. S/. 120000

6. Un capital de 2100 soles impuesto al 6%

anual ha dado un monto de S/. 2400.

Calcular el tiempo.

Rpta. 2 años 4 meses 20 días

7. Un capital es colocado durante 2 años y

medio; entre capital e interés resultan

2728 nuevos soles. Si el interés ha sido

1/10 del capital. Calcular la tasa.

Rpta. 4%

8. Hallar el monto que produce un capital

de 10800 soles al ser colocado 5%

durante 2 años, 3 meses, 20 días

Rpta. S/. 12045

9. Durante cuanto tiempo estuvo

depositado un capital al 12% anual si el

interés producido alcanza el 60% del

capital

Rpta. 5 años

10. Un comerciante dispone de S/. 12000 y

coloca una parte al 3% y la otra al 5% tal

es así que acumula una renta anual de

S/. 430. ¿Cuáles son esas dos partes?

Rpta. S/. 8500 y S/. 3500

11. ¿A que tasa de interés cuatrimestral se

presto un capital de S/. 400 de tal

manera que al cabo de 8 meses produce

un monto de S/. 432?

Rpta. 4%

12. Un capital colocado a interés simple

produjo en 8 meses un monto de S/.

19300. si el mismo capital se hubiera

impuesto a la misma tasa de interés por

años, el monto hubiera sido S/. 38600.

¿Cuál es la tasa anual?

Rpta. 150%

13. Una persona tiene S/. 16000 que lo

presta al 5% trimestral y otra tiene S/.

20000 que lo presta al 5% cuatrimestral.

¿Dentro de cuántos años los monto

serán iguales?

Rpta. 20

14. ¿Qué capital es aquel colocado al 5%

anual durante 10 meses, produce S/.

3300 menos que si se impusiera al 5%

mensual durante el mismo tiempo?

Rpta. 7200

15. ¿A qué tasa debe colocarse un capital

para que al cabo de 5 años se produzca

un interés igual al 20% del monto?

Rpta. 5%

PROBLEMAS PARA RESOLVER

1. Calcular el interés producido por S/.

2000 impuesto durante 3 años

a) S/. 500 b) S/. 1000

c) S/. 2000 d) S/. 1200

e) S/. 2500

2. ¿A que tasa de interés, la suma de S/.

20000 llegaría aun monto de S/. 21200

colocada a interés simple en 9 meses?

a) 5% b) 6%

c) 7% d) 8%

e) 9%

3. Calcular el interés producido por un

capital de S/. 40000 durante 4 años al

30% semestral

a) S/. 48000 b) S/. 72000

c) S/. 48000 d) S/. 72000

e) S/. 54000

4. Cuál es el capital que se coloca al 30%

durante 2 años para obtener un interés

de S/. 120.

a) S/. 180 b) S/. 200

c) S/. 220 d) S/. 240

e) S/. 250

5. Un capital “C” produce al cabo de dos

años un beneficio de 1440. Hallar “c”, si

la tasa de interés es del 10% bimestral.

a) 1320 b) 1440

d) 1200 d) 1220

e) 1260

6. ¿Cuál fue el capital que impuesto al 30%

anual, durante 4 años ha producido un

monto de S/. 220?

a) 200 b) 100

c) 300 d) 400

e) 180

7. Durante cuántos años se deposito un

capital de S/.2500 en un banco que paga

el 9% trimestral para que se haya

convertido en S/. 5200

a) 2 b) 3

c) 4 d) 5

e) 6

8. ¿Cuánto tiempo debe ser prestado un

capital al 20% para que se triplique?

a) 8 años b) 9 años

c) 10 años d) 11 años

e) 12 años

9. ¿A que tasa fue impuesto un capital si

durante 4 años se obtuvo un interés igual

al 22% del capital?

a) 3% b) 3,5%

c) 5% d) 5,5%

6%

10. ¿Cuántos meses estuvo colocado un

capital al 3% cuatrimestral, si produjo un

interés igual al 6% del capital?

a) 4 meses

b) 6 meses

c) 8 meses d) 10 meses

e) 1 año

CLAVES

1. D

2. D

3. B

4. B

5. C

6. B

7. B

8. C

9. D

10. B

Se va a calcular el precio

de la mezcla conociendo las

cantidades y precios respectivos

de las sustancias que la

componen.

Se va a calcular las

cantidades o la proporción en los

que se deben mezclar varias

sustancias para que resulte un

precio dado de la mezcla.

Se van a observar

problemas sobre mezclas

homogéneas.

Es la unión de dos o más

sustancias. Llamadas

componentes o ingredientes,

donde al mezclarse cada uno de

ellos conservan su propia

naturaleza.

MEZCLA

Cuando en la mezcla se utiliza

agua su precio se considera S/. 0

(cero)

NOTA

REGLA DE MEZCLA

Ejemplo: Arroz tipo A con arroz tipo B al mezclarse se obtiene una mezcla tipo “C”; los granos de A y B no se alteran.

PRECIO: Es el costo por cada unidad de medida del componente.

VALOR: Es el costo total de cada componente, que resulta del producto del precio por el número de unidades.

PRECIO MEDIO (PM): Es el costo de una unidad de medida de la mezcla.

MEZCLA DIRECTA

Se dice que la mezcla es directa cuando el propósito es hallar el precio medio (valor medio de la mezcla).

n n1 1 2 2m

n1 2

P .C P .C .... P .CP

C C .... C

n

x 1

n

x 1

x x

m

x

P C

P

C

Ejemplo 1 Se mezclan 2 clases de cacao de 40 kg de S/. 4 el kg y 80 kg de S/. 8 el kg. Hallar el precio medio de la mezcla.

Resolución:

m

40 4 80 8P

40 80

m P S / . 6,6

Ejemplo 2 Se mezclan 3 tipos de vino: 30 litros de S/. 4 el litro, 60 litros de S/. 6 el litro y 20 litros de S/. 5 el litro. Hallar el precio medio de la mezcla.

Resolución:

m

30 4 60 6 20 5P

30 60 20

m580

P Pm= 110

S/. 5,27 Rpta.

MEZCLA INVERSÁ Una mezcla inversa se caracteriza por que se conocen el precio medio y los precios unitarios, pero no las cantidades.

Luego: m1 2

m12

C P P

C P P

Donde: 21 mP P P

SESIÓN N° 14

....

1C 2C 3C nC

1S / .P 2S / .P 3S / .P nS /.P

mCosto total

PCantidad total

2

1

m1 1

m2 2

P C P P

P C P P

mP

Ejemplos: Se han mezclado vinos de S/. 100 y

S/. 40 para vender la mezcla a S/. 75 el litro. En que relación debe hacerse la mezcla? Resolución:

Piden: 1

2

C 35

C 25

1

2

C 7

C 5 Rpta.

Se tiene café de S/. 13 y S/. 9 respectivamente. ¿Qué cantidad de cada uno de ellos se requiere para obtener una mezcla de 64 kg a S/. 12 el kilogramo?

Resolución Están en relación de: 3k y k

Dato: 3k k 64 4k 64 k= 16

1C 3(16) 48

2C 1(16) 16

MEZCLAS ALCOHÓLICAS Cuando se tiene como sustancias componentes al alcohol y agua generalmente.

Grado de pureza de Alcohol Porcentaje de alcohol puro en la mezcla

(volumen de alcohol puro).100%Grado

volumen total

Se expresa en porcentaje (%) o en grado ( º ).

Grado Medio (gm)

Es el grado de pureza de la mezcla.

volumen de alcohol puro gm .100%

volumen de la mezcla

2 n1 .. . n 1 2

n1 2 3

V g V g .... V g gm

V V V ..... V

Ejemplo 01 ¿Cuál deberá ser la pureza de alcohol que deberá añadirse a 80 litros de alcohol de 96% de pureza, para obtener un hectolitro de alcohol de 90% de pureza?

Resolución: Nota: 1 hectolitro=100 litros Para completar faltan 20 litros: luego: 80(96%) 20(x%)

90%80 20

7 680+ 20x= 9 000

De donde: x= 66% Rpta.

Ejemplo 02 Si 30 L de una solución contiene 12 L de alcohol. ¿Cuántos litros de agua debemos agregar para obtener una solución al 25%?

Resolución: Si agregamos “x” litros de agua, se tiene:

12gm 25%

30 x

12 1

30 x 4

Resolviendo

x 18 L Rpta.

ALEACIÓN

Aleación es la mezcla de dos o mas metales mediante el proceso de la fundición, conservando cada metal su propia naturaleza.

Metales finos o preciosos: oro, plata, platino

Metales ordinarios o de liga: cobre, fierro, zinc, etc.

LEY DE UNA ALEACIÓN: Se llama ley de una aleación de un metal fino con un metal ordinario (liga) a la relación que existe entre el peso de un metal fino, y el peso total de la aleación.

Peso del metal fino L

Peso total de la aleación

F

F O

W L

W W

1 1

22

100 C C = 75 40 35

40 C C 100 75 25

75

1 1

22

13 C C = 12 9 3

9 C C 13 12 1

12

Nota: Generalmente la ley de una aleación se representa en décimos o milésimos.

LIGA DE UNA ALEACIÓN:

Peso del metal ordinarioLiga

Peso total de la aleación

O

F O

W Liga

W W

Nota: L+Liga=1 Si un metal fino no contiene metal

ordinario o sea OW 0 L= 1

Si un metal ordinario no contiene metal fino o sea

FW 0 Liga= 1

LEY DE ORO: En el caso del oro su ley se puede expresar también en quilates. Al oro puro se le asigna una ley de 24 quilates, el número de quilates representa el número de décima cuarta parte de oro que contiene la aleación.

Ley de oro: k

L 24

k: # de quilates

Si el oro es de 24 quilates (oro puro) su ley es uno ( 1 ).

LEY MEDIA (lm)

1 1 2 2 3 3 n nm

1 2 3 n

W l W l W l ..... W l l

W W W .... W

Ejemplo 01: Se funden 280 g de oro puro con 200 g de cobre. Hallar el número de quilates de la aleación.

Resolución:

Del enunciado: 280 k

200 280 24

De donde: k= 14 Rpta.

Ejemplo 02: ¿Cuántos gramos de oro puro hay en un collar que pesa 15 g, cuya ley es 4 décimos fino? a) 6g b) 7g c) 8g d) 10g e) 12g

Resolución:

Se tiene que: FW0, 4

15

De donde: F W 6 g Rpta.

1 Sean mezcla do 200 litros de vino de a S/. 5.00 el litro con 30 litros de vino de mayor precio obteniendo una mezcla con un precio medio de 6.50 sólo por litro. ¿Cuál es el costo en soles por litro del mencionado vino de mayor precio? a) 16.5 b) 16.9 c) 16.8 d) 16.6 e) n.a.

Resolución: El total de litros vendidos es 200 30 230 , como su precio medio por litro es de 6.50 soles el valor total será. 230 6.50 1 495 soles Ahora bien sea el mayor precio por litro, luego el total será 200 5 30 p ó 1 000+ 30p

Como en ambos casos el valor total es el mismo tendremos. 1 000+ 30p= 1 495

1 495 1 000p 16,5

30

p 16,5 Rpta.

2 ¿Cuál será la ley media de la aleación resultante de fundir 3 bloques de aleación cuyos pesos son: 4; 5 y 6 kg, donde sus leyes respectivas son de 0,750 ; 0,850 y 0,900?

a) 0,483 b) 0,413 c) 0,843 d) 0,814 e) n.a.

1l 2l 3l nl

..........nW3W2W1W

Resolución: Ley de aleación:

4(0,750) 5(0,850) 6(0,900)Lm

4 5 6

12 650Lm

15 0,843 Rpta.

3 Un comerciante vende dos tipos de vinos de S/. 90 y S/. 75,60 soles el litro; los cuales los mezcla en la proporción de 5 partes del mas barato por 7 partes del más caro. Si quisiera ganar un 25% en la mezcla a como debe vender el litro. a) S/. 106 b) S/. 107 c) S/. 105 d) S/. 108 e) n.a.

Resolución: Supongamos que el total de la mezcla es 12 litros de vino. Del barato: 5 75,60 378 soles

Del caro: 7 90 630 soles

Total 1 008 soles S/.25% de 1 008 = 252

Luego el precio total de venta será: +S / . 1 008 S / . 252 = S / . 1 260

El precio por litro será: 1 260

12 S/. 105 Rpta.

4 Se tiene oro de 9 decimos fino (0,900) y oro de 18 quilates (0,750). ¿Cuántos gramos hay que tomar de cada clase para obtener 60 gr. de ley de 800 milésimos fino?

a) 20 y 10 b) 10 y 20 c) 20 y 40 d) 40 y 30 e) n.a.

Resolución: Dato:

1 2

3k

C C 60

3k 60 k= 20

Luego: 1 2C 20 y C 40

20 y 40 Rpta.

5 Un litro de leche pura pesa 1 030g. si se han comprado 161,4 litros de leche y estos pesan 165,420kg. ¿Cuántos litros de agua contiene esta leche? a) 26 litros b) 14 litros c) 28 litros

d) 19 litros e) n.a.

Resolución: Por cada litro de agua agregado se pierde: 1 030 1 000= 30g de peso 181,4 litros de leche pura pesarián 161,4 1 030= 166, 242kg

El peso de la leche comprada es 165, 920 g. y la diferencia de pesos da: 840g Luego de agua hay: 840

30 28 litros Rpta.

6 Si 80 litros de agua contiene 15% de sal. ¿Cuánto de agua se debe de evaporar para que la nueva solución contenga 20% de sal? a) 10 litros b) 5 litros c) 20 litros d) 19 litros e)n.a.

Resolución: 15

Sal (80) 12 litros100

Se evapora “x” litros de agua, la sal no se evapora.

Luego: 2012 (80 x)

100

60 80 x

x 20 litros Rpta.

7 Se ha mezclado de una sustancia con 70kg. De otra, las sustancias cuestan 3 soles y 5 soles el Kg. respectivamente. ¿Qué cantidad tendrá que entrar de una tercera sustancia de 4 soles el kg. Para que el precio medio de la mezcla resulte de 3,95 soles el Kg? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

Resolución: Sea “x” la cantidad buscada.

80 3 70 5 x 4Pr omedio 3,95

80 70 x

(150 x)240 350 4x 3,95

0,05x 2,5 x= 50 Rpta.

8 Que cantidad de carbón con 4% de humedad se debe mezclar con un carbón de 8% de humedad para obtener 164 kg de carbón con 7% de humedad. a) 43 b) 42 c) 40 d) 41 e) 50

Resolución: Proporción de la mezcla:

Total = 4kg. * Por una mezcla de 4kg. Se toma 1 kg con

4% de humedad * Para una mezcla de 165 kg se tomarán

164 1x 41Kg.

4

x 41 kg Rpta.

9 Si 1 litro de mezcla formado del 75% de alcohol y 25% de agua pesa 850 gramos ¿Cuánto pesara 1 litro de mezcla formado de 25% de alcohol y 75% de agua? a) 890g b) 950g c) 900g d) 980g e) 925g

Resolución: NOTA: 1 litro de agua 2H O

Pesa 1 Kg. ó 1000 gramos. Primera mezcla: Se deduce 0,75L de alcohol. Pesa: 850-250=600gr. Segunda mezcla:

Aplicando regla de 3 simple:

75y 25 600 y 200gr.

Peso=700 200 950gr.

Peso= 950gr. Rpta.

10 Una cierta cantidad de azúcar de 120 soles el kilo se mezcla con 100 kilos de azúcar de 180 soles el kilo, si el precio resultante era 142,5 soles. Hallar dicha cantidad. a) 133 b) 160 c) 166

d) 130 e) 2

1663

Resolución:

xKg 100Kg x 100 Kg

1P 120 , 2P 180 , mP 142,5

Sabemos:

1 1 2 2m

1 2

C P C PP

C C

Luego:

142,5= 120x 180 100

x 100

Resolviendo: 500 2x 166

3 3

2166

3Rpta.

11 Si 20 litros de agua contiene 15% de sal ¿Cuánto de agua se debe evaporar, para que la nueva solución contenga 20% de sal? a) 5 b) 10 c) 15 d) 3 e) 8

Sal=15%20 Se evapora “x” litros Sal=3L de agua (la sal no se Evapora)

3 20% 20 x

Luego: 20

3 20 x100

x 5 Rpta

8 % 1% ó 1kg

0,800

4 % 3% ó 3kg

2H O

OH

25%1L pesa 250gr.

75%1L pesa x gr.

850 gr.

2H O

OH

25%1L pesa 250gr.

75%1L pesa y gr.

Peso ? 750 y

ra

da

Alcohol Peso

0,75 600 1 mezcla

0, 25 y 2 mezcla

SAL

20L

SAL

20 x L

xL

12 A una solución de 2 litros de alcohol (en volumen) se le agrega 1 litro de agua y ½ litro de alcohol ¿Cuál seria el nuevo % de alcohol en la mezcla? a) 27,5% b) 25,7% c) 25% d) 20% e) 16,6%

Resolución:

Se agrega 1L de agua y 1

L2

de alcohol.

Entonces:

Luego el nuevo porcentaje de alcohol en la nueva mezcla es:

alcohol

Total

V 0,9 9

V 3,5 35

0, 257 25,7% Rpta.

13 Calcular el peso de un litro de mezcla conteniendo 70% de agua y 30% de alcohol, sabiendo que un litro de agua pesa un kilogramo y un litro de mezcla de 75% de alcohol y 25% de agua pesa 960gr. a) 988gr b) 984gr c) 1007,5gr d) 940gr e) 1000gr

Resolución: Mezcla I:

Alcoho l75% 1 0,75L 710gr1litro

agua 25% 1 0, 25L 250gr

Mezcla II:

Alcohol 30% 1 0, 30L 284gr1litro

agua 70% 1 0,70L 700gr

984gr Rpta.

14 Una solución de 15 litros de alcohol y agua contiene 75% de alcohol ¿Cuál es el máximo de litros de una solución al 67% de

alcohol que puede agregarse a la solución original a fin de que la solución final contenga como mínimo 72% de alcohol? a) 14 b) 5 c) 17 d) 9 e) 10

Resolución: “x” litros de solución al 67% volumen alcohol echado. Volumen de alcohol: 75 45

15 L 11, 25L100 4

Obtenga solución al 72%.

Al final habrá 15 x L de solución al 72%

72

15 x 0,67x 11, 25100

Resolviendo: 10,8 0,72x 0,67x 11, 25 0,05x 0,45

x 9 litros Rpta.

15 Dos clases diferentes de vino se han mezclado en los depósitos Ay B, en el deposito A la mezcla esta en proporción de 2 a 3 respectivamente y en el deposito B, la proporción de la mezcla es 1 a 5 ¿Qué cantidad de vino debe extraerse en cada deposito para formar una mezcla que contenga 7 litros de vino de la primera clase y 21 litros de la otra clase? a) 12 y 16 b) 13 y 15 c) 10 y 18 d) 15 y 13 e) 18 y 10

Resolución:

x e y clase de vino

Dato de x 7L 2a b 7............ (1) y 21L 3a 5b 21............ (2)

Operando: 5(1)-(2)

OH

2H O

Alcohol 20% 2 0, 4L

agua 80% 2 1, 6L

2 litros

OH

2H O

0, 4 0, 5 0, 9L

1, 6 1 2, 6L

3,5 litros

960gr

984gr

Alcohol

Agua

Peso ? 750 y

15L

75%

67%x 0,67x

2a

3a

A

x

y

1b

5b

B

x

y

7a 14 a 2 En (1) b 3

*Se saca de “A” 5a 5 2 10L

*Se saca de “B” 6b 6 3 18L Rpta.

1 Cual es el grado de una mezcla que contiene alcohol y agua, sabiendo que tiene 40 litros de los cuales 16 litros sonde agua? a) 60º b) 50º c) 70º d) 75º e) 55º

2 Se mezclan 15 litros de alcohol de 40º, con 35 litros de 30º y 40 litros de 60º. ¿De que grado es la mezcla resultante? a) 40º b) 48º c) 50º d) 45º e) 52º 3 Se alean 350 g de palta con 150 g de cobre. ¿Cuál es la ley de aleación? a) 0,700 b) 0,750 c) 0,800 d) 0,850 e) 0,900 4 Se mezclan tres metales de pesos: 200 g, 300 g y 800 g; cuyas leyes son respectivamente: 320 milésimas, 500 milésimas y 925 milésimas. ¿Cuál es la ley media? a) 0,820 b) 0,733 c) 0,720 d) 0,715 e) 0,723 5 Se mezclan dos sustancias cuyas densidades son 2 y 3 g/ l, en las cantidades de 8 litros y 10 litros respectivamente. ¿Cuál es la densidad de la mezcla resultante?

a) 2,40 b) 2,18 c) 2,31 d) 2,41 e) 2,55

6 Se mezclan 2 clases de maní: 30 kg de S/.4 el kg y 70 kg de S/. el kg. Hallar el precio medio de la mezcla. a) 5,4 b) 5,8 c) 4,8 d) 4,6 e) 5,2

7 Se mezclan tres tipos de vino: 20 litros de S/. 3 el litro, 50 litros de S/. 5 el litro para que resulte de S/. 40 el litro. Indicar la cantidad de agua que se debe añadir. a) 55 b) 50 c) 40 d) 70 e) 65

8 Se han mezclado 40 litros de vino de S/, 60 el litro, con 140 litros de S/. 50 el litro. ¿Qué cantidad de agua habrá que añadir para vender el litro a S/. 1,95 ganando un 30%? a) 110 b) 100 c) 120 d) 108 e) 105 9 Un comerciante pesa 1 030 g, un lechero entrega 55 litros de leche con un peso de 65,5 kg; le agregó en la leche, ¿En que volumen? a) 3 L b) 5 L c) 4 L d) 6 L e) 8 L 10 ¿A cuanto debe venderse el litro de vino que resulta de mezclar 20 litros de S/. 80 el litro con 50 y 30 litros de S/. 40 y S/. 69 el litro respectivamente, si no se debe ganar ni perder? a) 56,7 b) 58,4 c) 53,9 d) 55,9 e) 60 11 Se mezclan 30kg de café de S/. 39 el kilo con 48 kg y 52 kg de S/.26 y S/.13 respectivamente; se desea saber a como debe venderse cada kg de la mezcla si se debe ganar el 10%. a) 25,40 b) 25,70 c) 26,18 d) 28,4 e) 27

12 ¿A como se vendió cada kilogramo de la mezcla de 27,33 y 45 kg de arroz cuyos precios son respectivamente S/.10,6 ; S/.5,3 y S/.2,65 el kilogramo, si se perdió el 7%? a) 6,20 b) 4,9 c) 4,7 d) 5,8 e) 5,11

13 Se fundieron dos lingotes de plata de igual peso y cuyas leyes son de 0,920 y 0,950. ¿Cuál es la ley resultante? a) 0,924 b) 0,0905 c) 0,935 d) 0,912e) 0,918

14 Un vaso lleno de aceite pesa 1,69 kg y lleno de alcohol pesa 1,609kg sabiendo que a igualdad de volúmenes, el peso del aceite es los 9/10 del peso del agua y el alcohol los 21/25 del mismo. ¿Cuántos gramos pesa el vaso vacio? a) 425 b) 615 c) 608 d) 612 e) 475

15 Un adorno de oro de 16 quilates, contiene 60 g de oro puro. ¿Cuantos gramos de liga contiene el adorno? a) 18 b) 20 c) 30 d) 24 e) 26 16 Hallar la ley de una aleación de oro y cobre que tiene una densidad de 14, sabiendo que la densidad del oro es de 19 y la del cobre 9 ( aproximadamente) a) 0,678 b) 0,915 c) 0,583 d) 0,584 e) 0,832

17 Se mezclan 8 litros de aceite de S/.600 el litro y 12 litros de aceite de S/.800 el litro. ¿A cómo se debe vender cada litro de la mezcla resultante? a) S/.840 b) S/.710 c) S/.730 d) S/.805 e) S/.720 18 Un comerciante ha comprado 350 litros de aguardiente a S/.1.95 el litro. ¿Qué cantidad de agua habrá que añadir para vender el litro a S/.1,95 ganando un 30%? a) 104 b) 105 c) 102 d) 110 e) 108

19 En que proporción se deben mezclar dos tipos de vino, cuyo precios por litro son de S/.800 y S/.1 100 para obtener una mezcla cuyo precio medio sea de S/.920 a) 2/3 b) 3/4 c) 4/3 d) 4/5 e) 3/2 20 ¿Qué cantidades de vino de S/.35 ; S/.50 y S/.60 el litro han de mezclarse para conseguir a S/.43,5 cada litro, con la condición de que la segunda clase, entre el doble de cantidad de la tercera. Indicar la máxima diferencia de 2 de estas cantidades. a) 600 b) 800 c) 700 d) 900 e) 950

21 Un recipiente de 100 litros de capacidad esta lleno con alcohol de 80º. ¿Cuantos litros de dicho recipiente hay que sacar para que al ser reemplazado por agua se obtenga una mezcla de 60º? a) 40 L b) 60 L c) 50 L d) 75 L e) 65 L

22 Se mezclan alcohol puro, agua y vino cuyos volúmenes están e la misma relación que los números 3; 5 y 2. Hallar el porcentaje de alcohol en el vino, si al mezclar éste resulto de grado 37. a) 35º b) 30º c) 45º d) 37º e) 42º 23 Un anillo de 33 g de peso está hecho de oro de 17 quilates. ¿Cuántos gramos de oro puro se deberán agregar al fundirlo para obtener oro de 21 quilates? a) 40 g b) 42 g c) 44 g d) 45 g e) 43 g

24 ¿Qué cantidad de cobre habrá que mezclar a una barra de plata de 44 kg y de ley de 0,920 para que la ley disminuya en 0,04? a) 42 b) 46 c) 44 d) 45 e) 48

25 Al precio de S/. 2 200 el kilogramo se plata, se ha vendido en S/770 un vaso que pesaba 500 g. ¿Cuál es la ley de este vaso? a) 0,7 b) 0,6 c) 0,8 d) 0,9 e) 0,75

26 Se funden 50 g de oro puro con 450 g de una aleación, la ley de la aleación aumenta en 0,020. ¿Cuál es la ley de aleación de la primera? a) 0,6 b) 0,9 c) 0,36 d) 0,8 e) 0,39

27 Se tienen 60 litros de una mezcla de ácido sulfúrico al 40% de pureza. ¿Cuántos litros de agua se deben agregar para obtener una mezcla que sólo tenga el 10% de pureza? a) 160 b) 150 c) 180 d) 170 e) 190

Pv = Pc + g

Pv = Pc - p

28 Se tiene alcohol de 80% y 60% cuyo volumen del primero es el triple del segundo. ¿Cuántos litros de alcohol de 65% se debe agregar para obtener 96 litros de 69%? a) 56,3 b) 57,6 c) 58,1 d) 58,9 e) 60 29 Si se funden 50 g de oro con 450 g de una aleación, la ley de aleación aumenta 0,02. ¿Cuál es la ley de la aleación inicial? a) 0,70 b) 0,65 c) 0,91 d) 0,80 e) 0,85

1. 2. 3. 4 5. 6. 7. 8. 9.

a d a b e a d a c

10. 11. 12. 13 14. 15. 16. 17. 18.

a c e e c a b e b

19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

e b c a e b a d c

28. 29.

b d

Taller de Reforzamiento

ASUNTOS COMERCIALES:

PROBLEMAS PROPUESTOS FORMULAS: 1) Si Pv Pc

2) Si Pv Pc

Donde :

Pv = Precio de venta.

Pc = Precio de compra.

g = Ganancia.

p = Pérdida.

1.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $

35,si se quiere ganar el 20% del precio de costo?.

a) 56 b) 28 c) 36

d) 42 e) 35

2.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $

82,si se quiere ganar el 18% del precio de costo?.

a) 56 b) 28 c) 96.76

d) 94.78 e) 35.7

3.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $

3500,si se quiere ganar el 25% del precio de

costo?.

a) 4375 b) 2886 c) 4475

d) 4455 e) 3565

4.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $

1450,si se quiere ganar el 32% del precio de

costo?.

a) 1824 b) 1328 c) 1914

d) 1814 e) 1235

5.- ¿Cuál fue el precio de venta de un producto que

costó S/ 500, si se perdió el 14% del precio de

costo?

A) 464 B) 463 C) 430

D) 191 E) 514

6.- ¿Cuál fue el precio de venta de un televisor que

costó S/ 480, si se perdió el 30% del precio de

costo?

A) 464 B) 163 C) 284

D) 336 E) 214

7.- ¿ Cuál fue el precio de venta de un producto que

costó S/ 150, si se perdió el 10% del precio de

costo?

A) 164 B) 163 C) 184

D) 114 E) 135

8.- ¿ Cuál fue el precio de venta de un producto que

costó S/ 180, si se perdió el 10% del precio de

costo?.

A) 164 B) 163 C) 162

D) 114 E) 149

9.- ¿ Cuál fue el precio de venta de un producto que

costó S/ 1500, si se perdió el 32% del precio de

costo?.

A) 1064 B) 1020 C) 1284

D) 1914 E) 1014

SESIÓN N° 15

10.- ¿Cuál fue el precio de venta de un producto que

costó S/ 680, si se perdió el 25%?.

A) 464 B) 510 C) 584

D) 914 E) 414

11.- ¿Cuál es el precio de costo de un producto, si para

ganar el 20% del precio de costo tuvo que

venderse en S/.180 ?

A) 146 B) 151 C) 128

D) 150 E) 201

12.- ¿Cuál es el precio de costo de un producto, si para

ganar el 20% del precio de costo tuvo que

venderse en S/.480 ?

A) 400 B) 516 C) 284

D) 914 E) 260

13.- En cuánto se debe vender un artículo que costó $

240 y se quiere ganar el 15% del precio de costo?.

A) 464 B) 163 C) 128

D) 276 E) 114

14.- En cuánto se debe vender un artículo que costó $

1500 y se quiere ganar el 24% del precio de costo?.

A) 1864 B) 1630 C) 1284

D) 1860 E) 2014

15.- En cuánto se debe vender un artículo que costó $

750 y se quiere ganar el 22% del precio de costo?.

A) 146 B) 915 C) 1284

D) 191 E) 201

16.- En cuanto se vendió un artículo que costó S/. 120

y se perdió el 20% del precio de costo?

A) 87 B) 104 C) 96

D) 91 E) 86

17.-¿ Cuánto costó un producto si al venderlo en S/.

600, se gana el 20% del precio de costo?

A) 500 B) 516 C) 584

D) 914 E) 614

18.- Calcula el precio de costo de un producto si para

ganar el 10% del precio de costo se vendió en $

352.

A) 302 B) 306 C) 320

D) 191 E) N.A.

19.- A cómo debería venderse un automóvil que costó

$ 7500 , si se desea ganar el 24% del precio de

costo?

A) 9300 B) 5400 C) 8900

D) 1900 E) 9600

20.-El precio de costo de una refrigeradora es de $270.

¿ En cuánto deberá venderse si se desea ganar el

22% del precio de costo?

A) 464.5 B) 516.3 C) 329.5

D) 1914 E) 315.8

21.- A cómo debo vender lo que me costó S/. 180 para

ganar el 30% del costo?

A) 234 B) 415 C) 248

D) 214 E) 258

22.- A cómo debo vender lo que me costó S/. 360 para

ganar el 10% del precio de venta?

A) 345 B) 516 C) 395

D) 914 E) 396

23.- A cómo debo vender lo que me costó $150 para

ganar el 30% del costo.

A) 345 B) 316 C) 195

D) 145 E) 396

24.-¿ En cuánto debe venderse un Televisor que costó

$ 1450,si se quiere ganar el 32% del precio de

costo?.

A) 1464 B) 5163 C) 1284

D) 1914 E) 2014

25.- ¿En cuánto debe venderse un refrigerador que

costó $ 385, si se quiere ganar el 20% del precio de

costo?.

A) 464 B) 163 C) 462

D) 914 E) 514

26.- ¿En cuánto debe venderse una enciclopedia que

costó $ 135, si se quiere ganar el 22% del precio de

costo?.

A) 164.7 B) 163 C) 184

D) 191.6 E) 514.9

27.- ¿ En cuánto debe venderse lo que costó $ 350, si

se hace una rebaja del 35% del precio de costo?.

A) 1464 B) 516.3 C) 227.5

D) 191.4 E) 201.4

28.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $

350,si se quiere ganar el 35% del precio de costo?.

A) 464,5 B) 163 C) 472,5

D) 914,5 E) 514,5

29.- ¿Cuál fue el precio de venta de un producto que

costó S/ 80, si se perdió el 30% del precio de

costo?

A) 56 B) 63 C) 84

D) 91 E) 51

30.- ¿Cuál fue el precio de venta de un producto que

costó S/ 180, si se perdió el 10% del precio de

costo?.

A) 146 B) 156 C) 162

D) 191 E) 201

CLAVES DE RESPUESTAS 1) D 2) C 3) A

4) C 5) C 6) D

7) E 8) C 9) B

10)B 11)D 12)A

13)D 14)D 15)B

16)C 17)A 18)C

19)A 20)C 21)A

22)E 23)C 24)D

25)C 26)A 27)C

28)C 29)A 30)C

REGLA DE INTERÉS

1. ELEMENTOS: a) Capital(c) : Dinero que se presta.

b) Tiempo(t) : Período por el cual se presta el

dinero.

c) Tasa o rédito (r): Porcentaje de ganancia o

interés.

d) Interés o renta (I): Ganancia que produce el

capital.

e) Monto (M) : Es la suma del capital mas los

intereses producidos.

2. FORMULAS IMPORTANTES:

Observación:

En cada fórmula la tasa debe ser anual

Para t = años

Para t = meses

Para t = días

Nota: Si r y t no están en las mismas unidades,

podemos reemplazarlas por sus equivalencias.

Si la tasa es mensual: x = 12r%.

Si la tasa es bimestral: x = 6r%.

Si la tasa es semestral: x= 2r%

16% Bimestral.

24% Trimestral.

8% mensual <> 48% Semestral.

96% Anual.

4% quincenal.

El mes comercial es 30 días.

El año comercial es 360 días.

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Calcula el interés, si:

C = S/. 2 000

r = 2% anual

t = 3 años.

Solución:

I = 2 000x2x3

100

I = 120

2.- Calcula el interés, si:

C = S/. 2 000

r = 6% mensual

t = 3 años.

I = c . r . t

100 100

I = c . r . t 1200

I = c . r . t 36000

100

Esta fórmula

se utiliza solo

cuando r y t

tengan las

mismas

unidades.

Solución:

r = 6% x 12= 72% anual

I = 2 000x72x3

100

I = 4320

3.- ¿Cuál es el interés que produce S/.1100, colocados

al 38% anual durante 5 años?

Solución

I = ?

C = 1100

r = 38%

T = 5 años.

I = 1100x38x5 I = 2090

100

4.- ¿Cuál es el interés que prestado al 2,8% mensual

durante un año tres meses y diez días ha producido

S/. 1500 de interés?

Solución

C = ?

r = 2.8%x12= 33.6%

T = 1 A+4 M+ 10 D= 490 días.

I = 1500.

1500 = Cx33.6x490

3600

C = 328

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.- Un interés producido por S/. 4 800 impuestos al

30% anual durante 3 años es:

a) S/. 4 230 b) S/.3420 c) S/. 4 320

d) S/. 2340 e) S/. 2 430.

2.- ¿Qué interés produce un capital de S/. 3200

prestados al 30% anual durante 2 años?

a) 320 b) 192 c)1920

d) 169 e) 1320

3.- ¿Cuál es el interés de S/.8000 al 15% anual en 9

meses?

a)1080 b)10800 c)900

d)1200 e) N.A.

4.- El interés que produce S/.516 000 al 2,5% anual

durante 72 días es:

a) S/.2866.70 b) S/.2686

c) S/.2668 d) S/.2866.5 e) 2580

5.- Si un capital prestado al 3% mensual durante 20

meses ha producido un interés de S/. 225,

entonces dicho capital es:

a) S/. 375 b)S/. 5000 c) S/. 550

d) S/.510 e) S/. 735.

6.- A qué tanto por ciento se impone S/. 700 tal que en

90 días ha producido S/. 63 de interés, es:

a)18% b)30% c)34%

d)36% e)32%.

7.- Si se desea obtener una renta mensual de S/ 2000.

¿A qué tanto por ciento anual se debe prestar

S/.50 000?

a)38% b) 40% c)48%

d)25% e)18%.

8.- ¿A qué tanto por ciento mensual se prestó S/.208

000 si produjo S/.700 en 60 días? (aproximación al

centésimo)

a) 2% b) 2,2% c) 1,2%

d) 2,02% e) 0.17%

9.- El tiempo que estuvo impuesto un capital de

S/.8600 al 36% para producir un interés de S/.1548

es:

a) 2a b) 6m c) 120d

d) 4m e) 3a.

10.- Miguel recibe un préstamo por el cual tiene que

pagar S/. 1680 de interés al 32% anual durante un

año y dos meses, Miguel recibió:

a) 1200 b)3400 c)4500 d) 1900

e)N.A.

11.- Si un capital prestado al 2,5% mensual durante

año y medio ha producido un interés de S/.3240,

dicho capital es:

a) 8000 b)1400 c) 2600

d) 7200 e) N.A.

12.- El tiempo que estuvieron prestados S/.12 000 que

al 40% anual ha producido S/.14 400 de interés es:

a) 3 a b) 5a c) 4a

d) 6 a e) N.A.

13.- Elsa recibe un préstamo de S/.900 al 2% mensual

durante 40 días, el interés que pagará es:

a) 12 b) 34 c) 45

d) 24 e) N.A.

14.- ¿ Cuánto tiempo tardó un capital de S/.3200 para

producir al 3,3% mensual un interés de S/.880?

a) 120d b) 240m c) 250d

d) 190a e) N.A.

15.- ¿Cuál es el interés que produce S/. 500 colocados

al 20% anual durante 7 años?

a) 800 b) 800 c) 600

d) 500 e) 700

16.- ¿Cuál es el interés que genera $ 2400 colocados al

18% anual durante 3 meses?

a) 108 b) 180 c) 600

d) 160 e) 140

17.- Halla el interés que genera $ 720 colocados al 40%

anual durante 35 días?

a) 14 b) 28 c) 26

d) 50 e) 27

18.- Calcula el interés que produce un capital de S/. 2

000 en 2 años al 0.5% mensual?

a) 240 b) 280 c) 600

d) 210 e) 170

19.- Calcula el monto que genera un capital de S/. 400

durante 10 meses al 12% anual.

a) 880 b) 800 c) 660

d) 590 e) 730

20.- ¿ Cuál es el interés que produce S/.1100 colocados

al 12% anual durante 5 días? (con aproximación al

décimo)

a) 1.8 b) 8 c) 1.6

d) 2.3 e) 1.9

21).- ¿Qué tiempo estuvieron prestados S/.800 que al

30% anual ha producido S/.4800 de interés?

a) 12 b) 34 c) 45

d) 20 e) N.A.

22).- Se pagó S/.51,75 de interés después de 45 días

por un préstamo de S/.2300, ¿ A qué tanto por

ciento se prestó?

a) 2% b) 22% c) 12%

d) 20% e) 18%

23).- ¿ Cuál es el interés que genera $ 600, colocados

al 8% anual durante 1 año 4 meses?

a) 54 b) 64 c) 66

d) 50 e) 47

24).- ¿ Cuál es el interés que produce S/.1100,

colocados al 38% anual durante 5 años?

a) 2000 b)1400 c) 2600

d) 2090 e) N.A.

25).- Calcula el interés, si:

C = S/. 4 000

r = 4% anual

t = 6 años.

a) 960 b) 980 c) 600

d) 810 e) 870

26).- Calcula el interés, si:

C = S/. 2 000

r = 8% anual

t = 8 años.

a) 1280 b) 1380 c) 1600

d) 1210 e) 1170

27).- Calcula el interés, si:

C = S/. 3 000

r = 6% mensual

t = 2 años.

a) 3240 b) 4320 c) 4600

d) 3210 e) 4170

28).- ¿Cuál es el interés de S/.12000 al 12% anual en 9

meses?

a)1080 b)10800 c)900

d)1200 e) N.A.

29).- ¿Qué interés produce un capital de S/. 6400

prestados al 15% anual durante 2 años?

a) 320 b)192 c)1920 d) 169

e)1320

30).- El interés que produce S/.258 000 al 5% anual

durante 72 días es:

a) S/.2866.70 b) S/.2686

c) S/.2668 d) S/.2866.5

e) 2580

CLAVES DE RESPUESTAS

1) c 2) c 3) c

4) e 5) a 6) d

7) c 8) e 9) b

10)c 11)d 12)a

13)d 14)c 15)e

16)a 17)b 18)a

19)a 20)a 21)d

22)e 23)b 24)d

25)a 26)a 27)b

28)a 29)c 30)e

REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Si tres patas ponen tres huevos en tres días,

doce patas, ¿En cuántos días podrán poner doce

huevos?

Solución :

+ - +

Patas Huevos Días

3 3 3

12 12 x

- + -

x = 3x12

3x3x12 = 3días

2).- En una competencia de glotones 40 de ellos

puede comer 300 panes en 2 días. Si fueran 50 en

3 días. ¿Cuántos panes podrán comer?

Solución :

+ - +

Panes Glotones Días

3000 40 2

x 50 3

+ +

Luego :

x =40x2

3x50x3000= 3625 panes

3).- Una cuadrilla de 12 hombres encargados de la

conservación de un tramo de la línea férrea

Arequipa –Cusco, construyen 4/5 de una

alcantarilla en 6 días. Si se quiere concluir la obra

en 5 días, ¿cuántos hombres serán necesario

aumentar?

Solución :

Hombres Obra Tiempo

+ - +

12 4/5 6

5 5/5 5

+ -

x = 185x4

6x5x12

Debe aumentarse 18 – 12 = 6 hombres

4).- Si 60 obreros trabajando 8 horas diarias

construyen 320 metros de una obra en 20 días. ¿

En cuántos días 50 obreros trabajando 6 horas

diarias construyen 300 metros de la misma obra?

Solución :

Obreros H/D Metros Tiempo

+ + - +

60 8 320 20

50 6 300 x

- - +

X = 320x6x50

20x300x8x60 = 30 días

5).- 10 campesinos siembran un terreno de 50m2 en

15 días, en jornadas de 7 horas. Si las jornadas

fueran de 8 horas. ¿Cuántos días demorarán en

sembrara otro terreno de 80m2, 15 campesinos

doblemente hábiles?

Solución :

Camp. Días Horas Habilid. Área

+ + + + -

10 15 7 1 50

15 x 8 2 80

X = 50x2x8x15

80x1x7x15x10 = 7 días

PROBLEMAS PROPUESTOS

1).- Viajando con una velocidad de 90 Km/h. Un auto

demora 8 horas. ¿A que velocidad debe viajar si

desea demorar 6 horas?

a)160 b) 140

c) 130 d) 150 e) 120

2).- Si una obra tiene una dificultad del 60% y se puede

realizar en 24 días. ¿En cuántas días se podrá hacer

la misma obra si tiene una dificultad de 80%?

a) 16 b) 34

c) 33 d) 18 e) 32

3).- Con un rendimiento del 50% se puede hacer una

obra en 30 días. ¿Cuál es el rendimiento si se

demora 15 días?

a) 60% b) 80%

c) 90% d) 100% e) 70%

4).- Si 10 carpinteros hacen 25 mesas. ¿Cuántas mesas

harán 4 carpinteros?

a) 20 b) 8

c) 13 d) 10 e) 12

5).- Con una habilidad del 70% se puede hacer un

trabajo en 27 minutos. ¿Cuánto demorará con una

habilidad del 90%?

a) 18 b) 24

c) 12 d) 20 e) 21

6).- 8 conejos tienen alimento para 18 días. Si hay 6

conejos. ¿Cuánto duran los alimentos?

a) 16 b) 24

c) 21 d) 20 e) 12

7).- En una semana, José gasta S/.48 en comprar

gasolina, en 42 días gastará:

a) 168 b) 48

c) 336 d) 288 e) 208

8).- Si en dos días 20 niños comen 80 panes, en una

semana, ¿Cuántos panes comerán?

a) 160 b) 240

c) 320 d) 250 e) 280

9).- 20 mineros tienen víveres para 15 días. Si desisten

trabajar 5 de ellos, ¿Para cuántos días tendrá víveres

el resto?

a) 20 b) 25

c) 15 d) 18 e) 23

10).- Si 8 obreros hacen una obra en 15 días, 12

obreros harán la obra de igual característica en:

a) 16 b) 7

c) 20 d) 15 e) 10

11).- ¿Cuántos panes darán por S/.38, si por S/.2 dan

18 panes?

a) 242 b) 148 c) 230

d) 150 e) 342

12).- Cinco Obreros trabajando 8 horas diarias hacen

una obra en 15 días; 10 obreros trabajando 6 horas

diarias, ¿En cuántos días harán otra obra de igual

característica?

a) 9 b) 6 c) 5

d) 8 e) 10

13).- Un hombre caminando 8 h/d ha empleado 4 días

para recorrer 160 km. ¿Cuántas horas diarias debe

caminar otro hombre para recorrer 300 km en 10

días?

a) 9 b) 6 c) 5

d) 8 e) 3

14).- Doce hombres trabajando 8 horas diarias pueden

hacer un muro en 15 días. ¿En cuántos días harán

otro muro igual 15 hombres trabajando 6 horas

diarias?

a) 14 b) 15 c) 16

d) 17 e) 18

15).- Doce hombres tardan 10 días en cavar una zanja

de 2 m de profundidad. ¿Cuántos hombres serán

necesarios para cavar otra zanja de 3 m de

profundidad en 20 días?

a) 10 b) 11 c) 12

d) 9 e) 8

16).- Una familia de 5 personas tomó una pensión

durante 6 días y pagó S/. 60. ¿Cuánto pagó otra

familia de 4 personas que estuvo alojada en la

misma pensión durante dos semanas?

a) 112 b) 120 c)114

d)115 e) N.A.

17).- Caminando 6 horas diarias, un hombre ha

empleado 4 días para ir de un pueblo a otro

distantes entre sí 96 km. Si continuando su viaje

debe ir a otro pueblo distante 192 km de este

último, ¿cuántos días empleará caminando 8 horas

diarias?

a) 6 b) 3 c) 5

d) 8 e) 7

18).- 120 soldados tienen provisiones para 20 días a

razón de 3 raciones diarias. ¿Para cuántos días

tendrán provisiones si se aumentan 30 soldados y el

número de raciones diarias se reduce a 2 por día.

a) 18 b) 20 c) 22

d) 24 e) N.A

19).- Doce hombres trabajando 8 horas diarias

construyen 24 m de una pared en 10 días. ¿Cuántos

hombres serán necesarios para construir 20 m de

pared continuada en 5 días trabajando 10 horas

diarias?

a) 16 b) 15 c)14

d) 13 e) N.A

20).- Ocho hombres cavan una zanja de 24 m de largo

por 2 de ancho y 2m de profundidad, en 12 días.

¿Cuántos trabajadores con la misma habilidad serán

necesarios para cavar otra zanja de 18 m de largo

por 3 m de ancho y 4 m de profundidad en 8 días?

a) 18 b) 12 c) 27

d) 30 e) N.A

CLAVES DE RESPUESTAS 1) e 2) d 3) d

4) d 5) b 6) b

7) d 8) e 9) a

10)e 11)e 12)e

13)b 14)c 15)d

16)a 17)a 18)d

19)a 20)c

RECORDANDO PORCENTAJES

1. FORMULA : Halla el “n%” de “S”

100 n

S x

Ejem :

El 28% de 500

X = 140500x10028

NOTA: % se puede expresar como fracción donde el

denominador es 100

Así:

15% de A = xA100

15

36% de B = xB100

36

2. FORMULAS QUE SE UTILIZAN FRECUENTEMENTE EN LOS SIGUIENTES CASOS:

1).- Halla el n% de “N”

2) El n% de qué número es “N”

3) Qué porcentaje es “n” de “N”

4) ¿De qué número 4000 es el 8%?

5) El 48% de 550 es:

264550x100

48X

6) ¿Qué porcentaje de 500 es 140?

100.500

140

X

3. DESCUENTOS SUCESIVOS

S/.100

80

S/. 64

20

16

PRECIO

Nuevo precio

Segundo

Descuento

20% de 80

Primer

Descuento

20% de 100

X = 28%

500004000.8

100X

X = 100xN

n

X = Nxn

100

X = Nxn

100

X = Sx100

n

Descuento efectivo por cada 100 soles.

Descuento efectivo por cada 100 soles.

100 – 64 = 36 ó 36%

FORMULAS

Du= %

100

)D100)....(D100()D100(100

1n

n21

)D100.....(x100

D100x

100

D100100Du n

21

7).- Si de una botella de gaseosa me tomo

sucesivamente el 25%, 30%, 40% y 50%, siempre

de lo que me queda, ¿Cuál es el porcentaje que me

queda?

Du=

%

100

)50100)(40100)(30100)(25100(100

14

Du = 84,25%

Me queda 100 - 84,25 = 15,75

8).- A que descuento único equivale un descuento de

20, 30 , 40 y 15%

Du=

%

10

)15100)(40100)(30100)(20100(100

14

Du = 71,44%

4. AUMENTOS SUCESIVOS

Au= %100100

)A100).....(A100)(A100(

1nn21

ó

Au 100)A100.....(100

A100x

100

A100x

100

A100n

321

9).-A qué aumento único equivale un aumento

sucesivo de 20 y 30%

Au =

100

100

)30100)(20100(

12

Au = 56%

5. VARIACIONES PORCENTUALES

Nota:

Siempre al total se considera 100%.

Si una cantidad sufre un aumento del x% entonces

resultará al final

( 100 + x ) %.

Si una cantidad sufre un descuento del x%

entonces al final tendremos

( 100 - x ) %.

Ejm:

10).- Qué sucede si aumentamos 18% y 15%

Sol:

)%15100(x%18100

%7.135100

13570%115x

100

118

Luego

Aumenta: 135.7 – 100 = 35.7%

11).- Qué sucede si descontamos 40% y 20%

Sol:

%48%80x100

60

Descontamos 100 – 48 = 52%

12).- Qué sucede si aumentamos 20% y descontamos

15%.

Sol:

%102%85x100

120

102 – 100 = 2%

Aumenta en 2%

13).- Qué sucede si + 20% y – 25%

Sol:

%90%75x100

120

Descontamos 10%

PROBLEMAS PROPUESTOS

I.- Halla el n% de N

X = Nxn

100

1.- Halla el 30 % de 300.

A) 30 B) 60 C) 90 D) 70 E) 80

2.- Halla el 25 % de 400.

A) 100 B) 160 C) 120 D) 70 E) 80

3.- Calcula el 40% de 135.

A) 30 B) 54 C) 41 D) 57 E) 28

4,- Halla el 50% de 1600.

A) 530 B) 660 C) 190 D) 70 E) 800

5.- Calcula el 30% de 1300.

A) 330 B) 360 C) 390 D) 370 E) 380

6.- Halla el 20% de 370.

A) 36 B) 86 C) 79 D) 74 E) 60

7.- Halla el 65% de 420.

A) 273 B) 650 C) 490 D) 270 E) 380

8.-Calcula el 70% de 620

A) 430 B) 345 C) 434 D) 370 E) 568

9.- El 42 % de 550 es:

A) 231 B) 160 C) 182 D) 425 E) 180

10.- El 40 % de 200 es:

A) 231 B) 160 C) 80 D) 125 E) 90

11.- Calcula el 25% de 280.

A) 31 B) 60 C) 54 D) 125 E) 70

12.- Halla el 20% del 25% del 30% del 50% de 1600.

A) 31 B) 15 C) 12 D) 12 E) 17

II.- El n% de qué número es N

13.- El 15% de qué número es 36?

A) 310 B) 150 C) 120

D) 240 E) 170

14.-El 20% de qué número es 22?.

A) 207 B) 150 C) 120

D) 110 E) 170

15.- El 8% de qué número es 16?.

A) 310 B) 150 C) 200

D) 180 E) 210

16.- El 12% de que número es 60?.

A) 300 B) 500 C) 100

D) 120 E) 170

17.- El 8% de qué número es 24?.

A) 300 B) 150 C) 120

D) 250 E) 400

18.- El 10% de qué número es360?.

A) 360 B) 3600 C) 36

D) 420 E) 240

19.- El 75% de qué número es 3000?.

A) 4000 B) 1500 C) 2000

D) 600 E) 5000

20.- El 40% de qué número es 160?.

A) 300 B) 400 C) 500

D) 180 E) 340

III.- Que porcentaje de “N” es “n”

21.- ¿ Qué porcentaje de 240 es 12?

A) 3% B) 4% C) 5% D) 1% E) 34%

X = Nxn

100

X = 100xN

n

22.-¿ Qué porcentaje de 1200 es 12?

A) 3% B) 4% C) 1% D) 1% E) 34%

23.-¿ 396 qué % es de 1980?

A) 23% B) 24% C) 21%

D) 20% E) 34%

24.- Qué porcentaje de 160 es 40?

A) 23% B) 24% C) 21%

D) 20% E) 25%

25.- Que porcentaje de 80 es 20?

A) 23% B) 24% C) 21%

D) 20% E) 25%

26.- Si al venderte mi auto, te hago un descuento del

15% te lo vendería en $1700. ¿Cuánto me ha

costado?

A) 2000 B) 204 C) 2121

D) 200 E) 2650

27.- Hallar un descuento único que reemplace a dos

descuentos sucesivos de 20% y 10%?

A) 23% B) 24% C) 28%

D) 20% E) 25%

28.-Dos descuentos sucesivos del 20% y 30% equivalen

a un descuento único de:

A) 53% B) 44% C) 26%

D) 20% E) 45%

29.- Tres descuentos sucesivos del 20%,30% y 50%

equivalen a un descuento único de:

A) 53% B) 72% C) 62%

D) 45% E) 82%

30.- Se hace los descuentos sucesivos del

20%,60%,50% y 50%. Halla el descuento

equivalente?

A) 92% B) 24% C) 18%

D) 80% E) 75%

VARIACIONES PORCENTUALES

I.- Qué sucede si:

1.- Aumentamos el 40% y el 10%.

A) Aumentamos 54%

B) Aumentamos 24%

C) Descontamos 48%

D) Aumentamos 80%

E) Descontamos 75%

2.- Aumentamos el 40% y el 20%.

A) Aumentamos 68%

B) Aumentamos24%

C) Descontamos 48%

D) Aumentamos 80%

E) Descontamos 75%

3.- Aumentamos el 50% y el 10%.

A) Aumentamos 54%

B) Aumentamos 65%

C) Descontamos 48%

D) Aumentamos 80%

E) Descontamos 75%

4.- Aumentamos el 40% y el 40%.

A) Aumentamos 74%

B) Aumentamos 24%

C) Descontamos 48%

D) Aumentamos 96%

E) Descontamos 75%

5.- Aumentamos el 10% y el 70%.

A) Aumentamos 54%

B) Aumentamos 78%

C) Descontamos 48%

D) Aumentamos 80%

E) Aumentamos 87%

II.- Qué sucede si:

6.- Descontamos el 10% y el 20%.

A) Aumentamos 54%

B) Aumentamos 24%

C) Descontamos 28%

D) Aumentamos 80%

E) Descontamos 75%

7.- Descontamos el 50% y el 30%.

A) Aumentamos 54%

B) Aumentamos 24%

C) Descontamos 48%

D) Aumentamos 80%

E) Descontamos 65%

8.- Descontamos el 20% y el 20%.

A) Aumentamos 48%

B) Aumentamos 32%

C) Descontamos 36%

D) Aumentamos 80%

E) Descontamos 75%

9.- Descontamos el 30% y el 60%.

A) Aumentamos 54%

B) Aumentamos24%

C) Descontamos 48%

D)Descontamos 72%

E) Descontamos 75%

10.- Descontamos el 10% y el 50%.

A) Aumentamos 54%

B) Aumentamos24%

C) Descontamos 48%

D) Aumentamos 80%

E) Descontamos 55%

III.- Qué sucede si:

11.- Aumentamos el 40% y descontamos el 20%.

A) Aumentamos 12%

B) Aumentamos24%

C) Descontamos 48%

D) Aumentamos 80%

E) Descontamos 75%

12.- Aumentamos el 40% y descontamos el 40%.

A) Aumentamos 54%

B) Aumentamos24%

C) Descontamos 16%

D) Aumentamos 80%

E) Descontamos 75%

13.- Aumentamos el 15% y descontamos el 20%.

A) Aumentamos 54%

B) Aumentamos24%

C) Descontamos 48%

D) Aumentamos 80%

E) Descontamos 8%

14.- Aumentamos el 30% y descontamos el 30%.

A) Aumentamos 54%

B) Aumentamos24%

C) Descontamos 9%

D) Aumentamos 80%

E) Descontamos 75%

15.- Descontamos el 20% y aumentamos el 25%.

A) Aumentamos 54%

B) Aumentamos24%

C) Descontamos 48%

D) Aumentamos 80%

E) N.A.

Observaciones.

Si tenemos que:

Aumento ( + )

Descuento ( - )

16.-

+ 20% y + 60%

A) +92% B) –24% C) +18%

D) +80% E) –75%

17.-

+ 30% y - 10%

A) +92% B) –24% C) +18%

D) +17% E) –75%

18.-

- 40% y + 50%

A) +24% B) –24% C) –10%

D) +80% E) –75%

19.-

+ 10% y + 50%

A) +62% B) –24% C) +18%

D) +65% E) –72%

20.-

+ 10% y + 70%

A) +52% B) –24% C) +18%

D) +65% E) +87%

21.-

- 40% y + 80%

A) +15% B) –24% C) +8%

D) +65% E) –72%

CLAVES DE RESPUESTAS 1) c 2) a 3) b

4) e 5) c 6) d

7) a 8) c 9) a

10)c 11)e 12)d

13)d 14)d 15)c

16)b 17)a 18)b

19)a 20)b 21)c

22)c 23)d 24)e

25)e 26)a 27)c

28)b 29)b 30)a

VARIACIONES PORCENTUALES

1) a 2) a 3) b

4) d 5) e 6) c

7) e 8) c 9) d

10)e 11)a 12)c

13)e 14)c 15)e

16)a 17)d 18)c

19)d 20)e 21)c