MATEMÁTICA BÁSICA I

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a) Inferencia de la separación (modus ponens)

p q

p .

q

b) Principio de la inferencia negativa (modus tolens) p q

q

p

c) Principio del silogismo p q

q r

p r

MATEMÁTICA BÁSICA I

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EJERCICIOS PROPUESTOS

a) Utilizando las leyes del Álgebra Proposicional, simplificar las

siguientes proposiciones:

1. (p F) (p

2. (p V)

4. (p F) (p V)

5. p (p q)

6. p (

7. Es falso que, si Carlos es estudioso entonces Juana es

inteligente.

8. No es cierto que, la fruta es madura y el árbol es alto.

9. No es cierto que, el río es caudaloso o María no es bonita.

10. No es verdad que, si las aves vuelan entonces las flores no

son bellas.

11. No es verdad que, Carlos es buen estudiante y María no es

bonita.

12. Demostrar que si el siguiente Silogismo es Tautológico:

- Si Carlos es deportista y Ana es estudiosa; entonces las

flores son bellas; y,

- Si las flores no son bellas; entonces Carlos no es

deportista y Ana es estudiosa;

Entonces:

Si, Ana no es estudiosa ni Carlos es deportista; entonces

las flores son bellas.

MATEMÁTICA BÁSICA I

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13. - Si, está lloviendo; entonces hace frío o está nevando; y,

- Si, no está nevando o hace frío, pero no ambos,

entonces no está lloviendo.

Entonces:

Si, hace frío sí y sólo sí está nevando; entonces no está

lloviendo; y,

Si, no llueve ni hace frío; entonces está nevando.

14. Escriba la contrarrecíproca de la proposición:

Si, hace frío entonces está lloviendo.

Si, no está nevando entonces está lloviendo.

Si, las flores no son bellas entonces la fruta no es

agradable.

Antonio es deportista y Ana no es estudiosa.

15. Demostrar la validez de las inferencias:

15.1 [ (p q) p] ↔ p

15.2 [ (p q) ~p] ↔ ~q

15.3 [ { (p q) (q r) } { (~p q) r } ] ↔ ~p

15.4 [ {p (q ~r) } {q (r p) } ] ↔ ~ (p q)

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1.6. FUNCIONES PROPOSICIONALES Y CUANTIFICADORES Toda proposición expresa una cualidad o característica a un

sujeto particular. Una misma, cualidad, calidad o característica

puede predicarse para varios sujetos; en cada caso se obtendrá

una proposición. Si P es una cualidad, calidad o característica;

denotaremos con p(x) al conjunto de todas las proposiciones

singulares obtenidas al sustituir x por un sujeto; quedando definida

la función preposicional con una variable. p(x) no es una

proposición.

A partir de funciones preposicionales es posible obtener

proposiciones generales que se conocen como cuantificadores.

Una proposición queda cuantificada; sí y sólo sí, alguna cualidad o

característica se cumple para algunos o todos los sujetos.

1. Cuantificador Universal [ x : p(x)]

Cuando una cualidad o característica se cumple para todos

los sujetos:

x : p(x) Todos los hombres son mortales.

x : q(x) Todas las tortugas tienen caparazón.

2. Cuantificador Existencial [ x : p(x)]

Una proposición queda cuantificada existencialmente; sí y

sólo sí, alguna cualidad o característica se cumple para

algunos sujetos.

x : p(x) Algunas damas son virtuosas.

y : q(y) Algunos jóvenes son deportistas.

z : r(z) Algunos perros muerden.

MATEMÁTICA BÁSICA I

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1.7. NEGACIÓN DE CUANTIFICADORES

1. La negación del cuantificador universal es, sí y sólo sí,

existencial; y la proposición queda negada

~ [ x: p(x)] ↔ x : ~ p (x)

2. La negación del cuantificador existencial, es Universal y la

proposición queda negada.

~ [ x : p(x)] ↔ x: ~ p (x)

Ejemplos: 1. Negar todos los jóvenes son deportistas.

Rpta. Algunos jóvenes no son deportistas.

2. Algunas aves vuelan.

Rpta. Todas las aves no vuelan.

3. Si algunas damas son virtuosas entonces todos los días está

lloviendo.

~ [ x : p (x)] y: q(y)] x : p (x) y : ~ q (y)

Rpta. Algunas damas son virtuosas y algunos días no está

lloviendo.

4. Todos los jóvenes son deportistas y algunas aves tienen

plumas.

~ ( x: p(x) y: q(y)] ↔ x: ~ p(x) y: ~ q(y)

Rpta. Algunos jóvenes no son deportistas, o todas las aves

no tienen plumas.

MATEMÁTICA BÁSICA I

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EJERCICIOS PROPUESTOS

Enunciados

1. Indicar diez ejemplos de enunciados.

2. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes a la universidad.

3. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes al Perú.

4. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes al sistema solar.

5. Proposiciones

De los ejemplos indicados anteriormente, indique cuáles son

proposiciones y anteponga una letra: p; q; r ..................

6. Negación de proposiciones

Los ejercicios anteriormente citados, negar y anteponer: ~ p; ~ q;

~ r; ...................

7. Con los ejercicios del grupo II, relacionar mediante el conectivo

conjunción. Represente sus tablas de verdades.

8. Los ejercicios del grupo III relacionar, mediante el conectivo

disyunción. Representar las tablas de verdades.

9. Ponga ejemplos de proposiciones compuestas con los conectivos:

conjunción y disyunción. Demuestre sus tablas de verdades.

Ejemplo:

9.1. (p q) r

p (q r)

Responda con oraciones declarativas.

10. Indique ejemplos con oraciones declarativas de proposiciones

compuestas con los conectivos: conjunción, disyunción e

implicación.

MATEMÁTICA BÁSICA I

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Ejemplo:

10.1. (p q) (q r)

10.2. (p q) (p r)

Responda con oraciones declarativas. Demuestre sus tablas de

verdades.

11. Indique ejemplos de proposiciones compuestas con los

conectivos: conjunción, disyunción, implicación y doble

implicación.

Ejemplo:

11.1. (p q) (r ↔ q) } (p r)

11.2. { p ↔ ~(q r) } (r q)

Responda con oraciones declarativas. Demuestre sus tablas de

verdades.

12. Indique ejemplos de proposiciones compuestas con los

conectivos: conjunción, disyunción, implicación, doble implicación

y conjunción negativa, ejemplo:

Ejemplos:

12.1. { (p ↓ q) (q ~ r) } ↔ (p ~ q)

12.2. { (p ↔ q) ↓ (r ~ p) } ↔ (~ q p)

Responda sus ejemplos con oraciones declarativas. Demuestre

sus tablas de verdades.

13. Indique ejemplos de proposiciones compuestas con los

conectivos; conjunción, disyunción, implicación, doble implicación;

conjunción negativa y disyunción exclusiva.

Ejemplos:

{ (p q) ↓ (q r) } ↔ { (p ~ r) v (q ~ p)

{ (p ~q) v (r ~p) } ↓ { (r ~q) ↔ (q r) }

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CUANTIFICADORES 1. Cuantificar universalmente y existencialmente las proposiciones:

p : Las flores son bellas

q : Carlos es deportista

r : María es estudiosa

s : Antonio es libre

Representar con oraciones declarativas, utilizando las

proposiciones indicadas.

1.1 x : p(x) 1.2 x : p(x)

1.3 y : ~ q(y) 1.4 y : q(y)

1.5 z : r(z) 1.6 z : ~ r(z)

1.7 u : s (u) 1.8 u : ~ s (u)

Las proposiciones:

(1.1) y (1.3) relacionar mediante la conjunción.

(1.2) y (1.4) relacionar mediante la disyunción.

(1.5) y (1.4) relacionar mediante la implicación.

(1.6) y (1.8) relacionar mediante la doble

implicación.

(1.7) y (1.2) relacionar mediante la conjunción

negativa.

(1.5) y (1.1) relacionar mediante la disyunción

exclusiva.

Utilizar las Leyes de Morgan en las relaciones proposicionales

anteriores libremente.

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Representar con oraciones declarativas las proposiciones:

x : p(x) y : ~ q (y)

y : q (y) p z ~ r (<)

x ~ p (x) ↔ {q z: ~ r(2)}

{p y : q(y)} v { y: ~ q(y) ~ p}

{p u : ~ s(y) } ↔ {q ↓ z : ~ r(z) }

Con las proposiciones:

p : las flores son bellas.

q : El caballo es de paso.

r : Fernando es buen profesional.

s : Lizeth es bonita.

Negar las proposiciones compuestas y representar con oraciones

declarativas la respuesta:

x : p (x) y : ~ q (y)

x : ~ p(x) y : q (y)

x : p(x) ↔ z : ~ r (z)

z : r(z) y : ~ q (y)

u : s(u) z : ~ r (z)

u : ~ s(z) z : r (z)

z : ~ r(z) u : s (u)

Simplificar las proposiciones, utilizando las leyes del Álgebra

Proposicional.

1) ~ (p ~ q) 2) ~ (~ p q)

3) ~ (p ~ q) 4) ~ (~ p ~ q)

5) ~ (~ p ~ q) 6) ~ (~ p ~ q)

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Simplificar las siguientes proposiciones:

1. No es verdad que, si las rosas son rojas entonces las

violetas son azules.

2. No es verdad que, hace frío y está lloviendo.

3. No es verdad que, él es bajo o galán.

4. No es verdad que, hace frío está lloviendo.

5. No es verdad que, si está lloviendo entonces hace frío.

6. No es verdad que, si las rosas son rojas entonces las

violetas no son azules.

Con las leyes del Álgebra Proposicional simplificar:

1. (p q) ~ p

2. p (p q)

3. ~ (p q) (~p

Demostrar los siguientes silogismos:

1. Si, Carlos es inteligente o Lizeth es bonita; entonces Ana es

responsable; y

Ana no es responsable y Carlos es inteligente; sí y sólo sí,

Lizeth es bonita; entonces

Ana no es responsable ni Carlos es inteligente; sí y sólo sí,

Lizeth es bonita.

2. Está lloviendo o hace calor, pero no ambos; y hace frío; y

Si, no hace frío ni calor; entonces está lloviendo; entonces

hace calor o hace frío, pero no ambos; sí y sólo sí, no está

lloviendo.