MATEMÁTICA BÁSICA I

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1.3.2 EL CONECTIVO DISYUNCIÓN ( ).- Se dice, que, dos o

más proposiciones forman una disyunción, si se les interponen la

letra “o”, con sentido incluyente. Ejemplo:

p : me compro zapatillas.

q : me compro una camisa.

p v q : me compro zapatillas o una camisa.

Principio del valor de verdad.- La relación de disyunción es

falsa, sí y sólo sí, ambas proposiciones son falsas.

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

V

V

V

F

V

V

V

V

F

F

F

F

MATEMÁTICA BÁSICA I

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La disyunción es falsa, sí y sólo sí, ambas proposiciones son

falsas.

1.3.3 DISYUNCIÓN EXCLUSIVA ( ).- Dos o más proposiciones

forman una disyunción exclusiva ( ) si se les interponen la letra

“o” y al final se agregan las palabras “pero no ambos” (as). Principio del valor de verdad

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F

El conectivo disyunción exclusiva; es verdadera sí y sólo sí, una

de las proposiciones es verdadera (V) y la otra es falsa (F).

1.3.4 EL CONECTIVO IMPLICACIÓN O CONDICIONAL ( ).- Con las proposiciones p y q; se denomina relación de implicación

o condicional (p q); cuando se le antepone a la primera

proposición la palabra “si” y se les interponen la palabra

“entonces”.

Ejemplo:

p : Estudio mis asignaturas.

q : Aprobaré mis exámenes.

p q : Sí, estudio entonces aprobaré mis exámenes.

p : Antecedente q : Consecuente

MATEMÁTICA BÁSICA I

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Principio del valor de verdad

Para demostrar el principio del valor de verdad, utilicemos un

ejemplo muy humano con un niño:

p : Juanito se porta bien.

q : Le regalaré un chocolate.

p q : Sí, Juanito te portas bien entonces te regalaré un

chocolate.

- Juanito se portó bien (V); se le regala el chocolate (V) es

verdadera (V).

- Juanito se portó bien (V); no se le regala el chocolate (F); es

injusto, luego es falsa (F).

- Juanito se portó mal (F); como se le quiere y engríe, se le

regala el chocolate (V); es verdadero (V).

- Juanito se portó mal; no se le regala el chocolate; es justo,

luego es verdadero (V).

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

La implicación o condicional, es falsa (F) sí y sólo sí; la primera

proposición (antecedente) es verdadera (V) y la segunda

(consecuente) es falsa (F).

MATEMÁTICA BÁSICA I

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1.3.5 EL CONECTIVO BICONDICIONAL O DOBLE

IMPLICACIÓN ( ).- Dadas las proposiciones p y q, se denomina

bicondicional o doble implicación a la proposición

(p q) (q p).

Principio del valor de verdad

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

La bicondicional o doble implicación es verdadera (V) sí y sólo sí,

ambas proposiciones son verdaderas (v) o falsas (F).

1.3.6 EL CONECTIVO CONJUNCIÓN NEGATIVA ( ).- Dadas las

proposiciones p y q; se dice que forman una conjunción negativa

sí y sólo sí; en el conectivo p q se niegan ambas proposiciones:

(~p ~q) (p q)

Principio del valor de verdad

p q p q ~p ~q ~p ~q p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

F

V

F

V

F

F

F

V

V

V

F

F

V

F

V

F

F

F

F

V

La conjunción negativa ( ) es verdadera (V) sí y sólo sí, ambas

proposiciones son falsas (F).

MATEMÁTICA BÁSICA I

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Dadas las siguientes proposiciones:

Si: p : Hace frío

q : La manzana es agradable

r : Juan es inteligente

s : Lorena es bonita

Representar con oraciones declarativas las proposiciones:

1. p q 7. ~p q

2. r s 8. s ~r

3. p s 9. ~p s

4. s q 10. s ~q

5. q s 11. ~q s

6. r q 12. r ~q

3. Indique (5) cinco ejemplos de proposiciones:

Niegue los (5) cinco ejemplos que propuso.

Con los ejemplos indicados represente con oraciones declarativas:

a) p q g) ~p q

b) t r h) ~r t

c) s p i) ~s ~p

d) q s j) q ~s

e) p q k) ~q p

f) s t r) ~s ~t

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1.4. PROPOSICIONES COMPUESTAS Si una proposición compuesta, se relaciona con otras

proposiciones simples o compuestas mediante signos de

colección: paréntesis ( ); llaves { }; corchetes [ ]; o barras / / se

les separan con punto y coma (;).

Ejemplos:

p : está lloviendo.

q : La fruta es deliciosa.

r : Juan es estudioso.

(p ~q) r

Si está lloviendo y la fruta no es deliciosa; entonces Juan es

estudioso.

p (q ~r)

Está lloviendo; o, la fruta es deliciosa sí y sólo sí Juan no es

estudioso.

EJERCICIOS PROPUESTOS p : está nevando.

q : Antonio es inteligente.

r : La rosa es bella.

Representar con oraciones declarativas:

1. p (q r)

2. (r ~q) v p

3. (p ~r) v (q p)

4. (p r) (q ~p)

MATEMÁTICA BÁSICA I

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TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIÓN, CONTINGENCIA Y LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL A. TAUTOLOGÍA.- Se dice que una proposición compuesta es

tautológica; sí y sólo sí; en sus tablas de verdad, todas son

verdaderas sin que interesen las tablas de verdad de las

proposiciones simples.

B. CONTRADICCIÓN.- Se dice que una proposición compuesta,

forma una contradicción, sí y sólo sí, sus tablas de verdades,

todas son falsas, sin que interesen las tablas de verdades de las

proposiciones simples.

C. CONTINGENCIA.- Se dice que una proposición compuesta, forma

una contingencia, sí y sólo sí, sus tablas de verdades, no son

tautológicas ni contradictorias.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Demostrar sus tablas de verdades, si son: tautológicas,

contradictorias o son una contingencia.

1. (~ p q) (p ~ q)

2. ~ (p q) (~p ~q)

3. ~ (p ~q) (p q)

4. [(p q) (p q)] p q

5. ~ [~ (p q)] (~p ~ q)

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1.4.1 LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL 1. Idempotencia

p p p

p p p

2. Involución

~ (~p) p

3. Asociativa

(p q) r p (q r)

(p q) r p (q r)

4. Conmutativa

p q q p

p q q p

5. Distributiva

(p q) r (p r) (q r)

(p q) r (p r) v (q r)

6. Identidad

6.1 p f f 6.2 p v p

6.3 p f p 6.4 p V v

7. Complemento

7.1 p ~p f 7.2 p ~ p v

7.3 ~ ~ p p 7.4 ~f v

7.5 ~ v f

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8. Leyes de Morgan

a) La negación de la conjunción es equivalente, sí y sólo sí, a

las negaciones de la disyunción

~ (p q) ~ p ~ q

b) La negación de la disyunción es equivalente, sí y sólo sí, a

las negaciones de la conjunción ~ (p q) ~ p ~ q

c) La negación de la implicación es equivalente, sí y sólo sí, a

la primera proposición y la segunda proposición negada.

~ (p q) p ~ q

9. Implicaciones asociadas

Directa p q

Recíproca q p

Contraria ~ p ~ q

Contra-recíproca ~ q ~ p

p q Recíproca q p

~ p ~ q Recíprocas ~ q ~ p

Se puede demostrar, mediante tablas de verdades que las contra-

recíprocas: son tautológicas.

Con

traria

s

Con

traria

s

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Demostrar:

1) (p q) (~ q ~ p)

2) (~ p ~ q) (q p)

Si la implicación directa es verdadera, no se puede asegurar

respecto a la verdad o falsedad de la implicación: recíproca o

contraria.

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO VÁLIDO Lo más importante en la matemática es el razonamiento

deductivo; los teoremas se enuncian mediante una implicación,

cuyo antecedente es la hipótesis y el consecuente la tesis; de

acuerdo con lo establecido al analizar las condicionales

conjugadas se puede afirmar la validez del teorema directo, el

contra recíproco también se cumple; nada se puede asegurar del

teorema recíproco y contrario.

El razonamiento es deductivo, sí y sólo sí las premisas son

evidentes para una conclusión evidente. No tiene sentido afirmar

que un razonamiento es verdadero o falso; debe expresarse que

es válido o no.

1.5. REGLA DE INFERENCIA Se denomina Regla de inferencia a todo esquema válido de

razonamiento independientemente de la interpretación de las

proposiciones simples; es decir, toda regla de inferencia es

tautológica; y son: