matematica aplicada a la administracion

7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion

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MATEMATICA APLICADA A LA ADMINISTRACION

TEMA: MATRICES

Definición.- Una matriz de orden mxn es un arreglo rectangular de

números ( reales o complejos) aij , llamados elemento dispuestos en m

lineas horizontales , llamadas fila y en n lineas verticales llamadas

col!mna ; de la forma :

Las matrices se nomran con letras mayúsculas ! , " , # , $ % &n forma

areviada la matriz anterior puede escriirse en la forma A " # aij $ m%n

con i ' , , * , $, m ; j ' ,,*, ,$ n , o !mxn % Los su+ndices indican la

posicin del elemento dentro de la matriz , el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ) % -or

ejemplo el elemento a . se uica en la segunda fila y /uinta columna de la matriz %

La dimenión de una matriz es el n0mero mxn de elementos /ue tiene la matriz %

MATRICES I&'ALES%12os matrices son iguales cuando tienen

la misma dimensin y cuando los elementos /ue ocupan los

mismos lugares son iguales %, 3i ! '( a ij ) mxn y " ' ( ij ) mxn ,

entonces ! ' " si y solo si a ij ' ij para cada valor de i , j

La i(!iente matrice no on i(!ale

AL&'NOS TIPOS DE MATRICES :

).MATRI* C'ADRADA.- es a/uella /ue tiene el mismo n0mero de filas /ue de columnas , es decir m ' n , y

se dice /ue la matriz cuadrada es de orden n %

La Dia(onal Princi+al de una matriz cuadrada es el conjunto formado por los elementos a , a , a ** , a 44

,$$ a n n y la tra,a de la matriz cuadrada es el número dado por la suma de los elementos de la diagonal

principal , es decir :

5raza ( ! ) ' a 6 a 6 a ** 6 a 44 6$$6 a n n

. MATRI* RECTAN&'LAR .- es toda matriz en la /ue m n

.MATRI* /ILA - es una matriz de orden x n :



4. MATRI* COL'MNA .- es una matriz de orden m x :

0. MATRI* N'LA- es la matriz /ue tiene todos sus elementos nulos

7 '

0 0 0

0 0 0

÷ ÷ ÷ ÷

1. MATRI* DIA&ONAL es una matriz cuadrada en la /ue todos los elementos /ue no pertenecen a la

diagonal principal son nulos

2"

22

33

0 0 0

0 0 0

...........................

............................

a

a

÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

L

L

&jemplo % " '

0 2 0 ÷− ÷

÷

3. MATRI* ESCALAR.- es una matriz diagonal en la /ue todos los elementos de la diagonal principal son

iguales a una constante

2"

0 0 0

0 0 0

...........................

............................

k

k

÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

L

L

4. MATRI* 'NIDAD O IDENTIDAD.- es la matriz escalar en la /ue 8 '



2"

0 1 0 0

0 0 1 0

............................

÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

L

L

" I n

5. MATRI* TRIAN&'LAR S'PERIOR .- es la matriz cuadrada /ue tiene todos sus elementos /ue se

encuentran por deajo de la diagonal principal nulos, es decir a ij ' 7 , para todo i 9 j %

! '

22 23 24

33 34

0

0 0

a a a

a a

÷

÷ ÷ ÷÷

)6. MATRI* TRIAN&'LAR IN/ERIOR.- es la matriz cuadrada /ue tiene todos sus elementos /ue se

encuentran por encima de la diagonal principal nulos, es decir a ij ' 7 , para todo i 9 j %

! '

21 22

31 32 33

0 0

0

a a

a a a

÷ ÷ ÷ ÷÷

)). MATRI* TRASP'ESTA .- es la matriz /ue se otiene de la matriz ! ' ( aij )mxn intercamiando las filas por

columnas se denota ! t ' (a ji )nxm

! '

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

÷ ÷ ÷ ÷÷

!t '

11 1 1 1

12 22 32 42a a a a

÷ ÷ ÷



&jemplo 3i

1 3 2 entonces A 3 6

5 6 7

t A

− ÷= = − ÷ ÷− ÷−

). MATRI* SIMETRICA .- es toda matriz tal /ue ! ' !t

! '

0 2 4 , 0 2 4t

A ÷ ÷= ÷ ÷

÷ ÷

). MATRI* ANTISIMETRICA .- es toda matriz tal /ue ! ' 1 !t

t t A A A A= ⇒ = ⇒ − = = ÷ ÷ ÷

). OPERACIONES CON MATRICES

S'MA DE MATRICES

3i ! ' ( aij )mxn y " ' ( ij )mxn son dos matrices del mismo orden , entonces se define la suma ! 6 " como la

matriz de orden mxn , # ' ( cij )mxn tal /ue

cij ' aij 6 ij %

&jemplo * 3i

entonces A+B= A y B= = ÷ ÷ ÷

PROPIEDADES

3i ! , " y # son matrices de orden mxn , se cumple :

% ! 6 " ' " 6 !

% ! 6 ( " 6 # ) ' ( ! 6 " ) 6 #

*% ! 6 7 ' 7 6 !



4% &xiste la matriz opuesta de la matriz ! , denotada por ! , /ue se otiene camiando los signos detodos los elementos de ! , tal /ue ! 6 ( 1 ! ) ' 7

DI/ERENCIA DE MATRICES La diferencia de las matrices ! y " , de orden mxn, se define como la matriz 2

' ! 6 ( 1 " ) % es decir 2 ' ( d ij ) mxn tal /ue

d ij ' a ij 1 ij

PROD'CTO DE 'N ESCALAR POR 'NA MATRI* . 2ado el n0mero real 8 y la matriz ! mxn , el producto 8%!

es otra matriz del mismo orden , /ue resulta de multiplicar cada elemento de ! por 8 %

21 22 2

31 32 3

....

.............................

.........................

n

n

n

ka ka ka

ka ka ka

÷ ÷

÷= ÷ ÷ ÷ ÷

21 22 2

31 32 3

....

..... ..........................

.........................

n

n

n

a a a

a a ak A K

÷ ÷

÷= ÷ ÷ ÷ ÷

PROPIEDADES:

= = , se cumple :

% ( ) ! '

.

.



7.

PROD'CTO DE MATRICES .- 2adas dos matrices ellas son compatiles para la multiplicacin

de ! por ", si el n0mero de columnas de ! es igual al n0mero de filas de " %

&L producto !% " es la matriz # de orden m x p , tal /ue los elementos cij de # es

cij '

ik k j

para cada i , j

&jemplo 4 2adas las matrices ! y ", hallar !"

1 6 31 3

5 10 75 2

Solc!on

"l n#me$o %e colmn&s %e A , n = 2 , es !'&l n#me$o %e !l&s %e B entonces ex!ste AB, &%ems*

6 1 4 5 6 6 4 ( 10) 6 3 4 ( 7)AB=

( 1) 1 3 5 ( 1) 6 3 ( 10) 5 3

A B

x x x x x x

x x x x x

÷= − ∧ = ÷ ÷ − − ÷−

+ + − + −− + − + −

3 3

26 4 8

( 2) ( 7) 14 36 29

26 4 8

x x

AB

− − = ÷ ÷+ − − −

− − ∴ = ÷

PROPIEDADES

% !% ( " % # ) ' ( !% " ) % #

E8ERCICIOS DE APLICACI9N

%1 <tener la matriz /ue resulta de cada una de las siguientes operaciones:



1.

2 −3 6

5 4 5

0 −1 −9

−

1 −3 4

0 −2 5

1 0 −1

2.

6 −1 0

4 2 1

+

5 0 2

0 −1 3

+

−2 −1 −3

−4 1 −1

3.

1

3

4

−

2

0

2

+

3

1

−2

4.

2 1

1 2

+ −1 0

0 −1

− 2 2

2 2

5. 1 , 3 , +1 , 2[ ]− 0 , 1 , −2 , 3[ ] 6. −1 , 2[ ]− 3 , 4[ ]+ 1 , −2[ ]− 6 , 5[ ]

%1 2adas las matrices

−

−−=

−

=

−−=

−

= 11,12

31,11,

21

01 DC B A

t t t t t

. 2adas las matrices

−=

−−

= 023,012 B A

calcula⋅⋅



. 2adas las matrices

−=

−= 21,

021

312 B A

2e las siguientes operaciones, algunas no se

pueden realizar; razona por /u=% &fectúa las /ue se puedan realizar%

t

7.2adas las matrices

−=

−−

=

=

01

11,22,

112

321C B A

hallar:

.% 3ean las matrices

2 32 3 7 1 2 0 4

5 25 0 6 9 1 3 5

2 1

A B C

÷− ÷ ÷= = = − ÷ ÷ ÷ ÷− ÷

&ncontrar a/uellas matrices /ue se encuentren definidas

a) !" ) #! c) "t !t d) "# e) #t"

III Sean las matrices:

Efectuar las siguientes operaciones:



(A + B) 2; (A − B)2; (B)3; A · B t · C

2Sean las matrices:

!ustificar si son posi"les los siguientes pro#uctos:

1 (A t · B ) · C

2 (B · C t ) · A t

3 $eterminar la #imensi%n #e & para 'ue pue#a efectuarse el pro#ucto A · & · C

3 $etermina la #imensi%n #e & para 'ue C t · & sea una matri cua#ra#a

CONCEPTO DE DETERMINANTE ! cada matr iz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A,

denotado por A o por det #A$%

! '

Determinante de orden !no

>a > ' a

>.> ' .

Determinante de orden do

' a )) a - a ) a )



Determinante de orden tre

#onsideremos una matriz * x * aritraria ! ' (a ij )% &l determinante de ! se define como sigue:

'a)) a a ; a) a a ) ; a) a) a <

- a ) a a) - a) a) a - a)) a a .

' = = 7 ; = #-0$ = #-$ ; ) = 6 = ) - - ) = = #-$ - = 6 = 7 - =#-0$ = )

" 7 ; 6 ; 6 - #-7$ - 6 - #-)0$" 77 ; 7 ; )0 " 1

<s=rvese /ue hay ei +rod!cto, cada uno de e llos formado por t res e lementos de lamatriz% Tre de los productos aparecen con i(no +oiti>o (conservan su signo) y tre con i(no

ne(ati>o (camian su signo)%

RE&LA DE SARR'S

Los t=rminos con i(no ; est?n formados por los elementos de la dia(onal +rinci+al y los delas dia(onale +aralela con su correspondiente >?rtice o+!eto%

Los t=rminos con i(no - est?n formados por los elementos de la dia(onal ec!ndaria y los delas dia(onale +aralela con su correspondiente >?rtice o+!eto%

Ejemplo



PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

% 3i todos los elementos de una columna o de un rengln son cero, entonces el determinante es cero%% &l determinante de la matriz ! es igual al determinante de la matriz !5

*% 3i cada elemento de un rengln o una columna es multiplicado por un escalar 8 , el determinante es tami=nmultiplicado por 8 %

RE&LA DE CRAMER



La regla de Cramer es aplicale para a/uellos sistemas /ue tienen igual número de ecuaciones /ue de incgnitas (n ' m) yel determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero% &s decir, para sistemas de /ue tienen siempre una solucinúnica (compatiles determinados)%

@&3<LA&@ -<@ B&5<2< 2& 2&5&@BC!C5&3 @&DL! 2& #@!B&@

resolver los siguientes sistemas

=++−

=+−

−=−+−

6.

1-0

7.

z y x

z y x

z y x

=++−

−=+−

−=−+

0

-7.

.-7

z y x

z y x

z y x

=+−

=+

.-1-

07

z y x

y x



L<D!@5B<3

CONCEPTO

3e denomina logaritmo de un número real

positivo, al exponente a /ue se dee elevar una ase

positiva y distinta de la unidad, para otener una

potencia igual al número propuesto%

&ntonces:

LogC ' α C '

DEFINICIÓN

α ' Logaritmo

α ∈ @

' ase

9 7 ; ≠

C ' número al cual se le toma logaritmo%

C 9 7

Ejemplos:

Log.. ' ; por /ue: . ' .

LogE*F ' 1 ; por /ue: F ' (E*)1

Log* ' 7 ; por /ue: ' *G

IDENTIDAD FUNDAMENTAL

2e la definicin tenemos: α ' LogC $$$$()

5enemos /ue:

' C $$$$$$()

@eemplazando: () en ()

=

dentidad Hundamental

∀ x 9 7 ∧ a ∈ @6 1 IJ

Ejemplos:

).

.

.

2

x ∈ @



searitmoslogdetipoEste

=

Ejemplos:

). Log77

=

7 ' 7

x

Log777 =

7* ' 7

x

conocesearitmologdetipoEste

e

Ejemplos:

). Ln e

=

e ' e

x , x '

. Lne

.

' .

. LneK ' K

2eemos saer:

Log 7%* Log7 '

Log* 7%4 Log. 7%KF

PROPIEDADES

=

EjemploLog* ' 7

a$=

EjemploLog** ' ; log.. '

@$ Logxa ' Logxa 6 Logx (a, , x ∈ @6)

Ejemplo

Log7K ' Log7 6 Log7*

' 7,* 6 7,4 ' 7,

Logx(aE) ' Logxa 1 Logx (a, , x ∈ @6)

Ejemplo

Log7 ' Log7* 1 Log7

' 7,4 1 7,* ' 7,

c$

oo =

(n ∈ @; m ∈ @; C 9 7)

-ropiedad del 3omrero

Ejemplo

)$

oo =

$

oo =

Este sistema

fue

implementad



$

=

7$

ogog =

d$

oga

-ropiedad nversa

Ejemplo

)$

og3

$

og6



OQUE IOQUE I

% 2etermina los siguientes logaritmos%

a) Log7 ') Log*7 '

c) Log '

d) Log4 '

e) Log*F '

f) Log*K '

% !plicando la identidad fundamental determinar el valor de las siguientes expresiones:

a) '

) '

c) '

d) '

e) '

f) '

g) '*% 2eterminar el valor de:

& ' Log7 6 Log777 6 a) * ) c) 4d) . e) K

4% 2eterminar el valor de:

! ' Log74 6 Logee. 6 ne

a) ) c) .

d) * e) 7

.% Mallar NxO en cada uno de los siguienteslogaritmos:

a) Log*F ' x

) Log.K. ' x

c) Log*4* ' x

d) Logx ' *

e) Log.x '

f) Logx. '

g) Logx*K '

h) Logx. '

K% Mallar: N& O

3i:

E

=

a) 7 ) c) d) * e) 4

% ndicar el valor de:

= ooo

a) ) c) 7d) 1 e) 4

P% 3i: Log ' 7,*Log* ' 7,4



Mallar el valor de: & ' Log*F 6 Log4 6 LogK

a) ,4 ) 4,* c) 4,d) 4,F e) .,*

F% ndicar el valor de:

a) Log* '

) '

c) '

d) '

7% Mallar NxO en:

a) ) c) *d) 4 e) .

BLOQUE IIBLOQUE II

% #alcular:

o

a) ) c) *d) 7 e) 4

% 3i: L ' Log(Log.K)

Mallar:

a) ) c) *d) 4 e) .

*% 3implificar:

=

ooo

a) ) c) *d) 4 e) .

4% #alcular:

2og

a) ) c) *d) 4 e) .

.% @educir: (Log* 6 Log.) % Log.

a) ) c) *d) 4 e) .

K% #alcular:

=

% #alcular:

=

P% ndicar el valor de:

ogog

a) 4E* ) .E c) Ed) *E e) 4E.

F% @educir:

a) ) c) *d) 4 e) .

UNMSM - 87UNMSM - 877% &l valor de NxO en la ecuacin:

ooxo

es:

a) P ) 7 c) 7d) *7 e) .

% #alcular: *Log(x) 6 Logx ' LogE4

a) 7,. ) c) 1.d) e) 1E

% #alcular:

a) 1E4 ) 4 c) 14d) E e) 1P



BLOQUE IIIBLOQUE III

% #alcular:

LoLoLo

a) 4 ) c) d) . e) 7

% ndicar si es verdadero (A) o falso (H):

) LogC ' (LogC7)1

$$$$$$$$$$%% ( )) Ln7 ' $$$$$$$$$$$$$$$$$$% ( )

) Log '

$$$$$$$$$$$$$$$$% ( )

*% @educir:

23Log

=

a) E* ) *E c) Ed) e)

4% Luego de reducir:

aab

baa bLogaLog&

=

3e otiene:

a) 1

) 1a

c) 1

d) aa e) aa1

.% #alcular:

3

5Log

1Lo

15'

a) ) c) 1d) P e) 7

K% #alcular:

& ' lne 6 lne 6 lne* 6 $$ 6 lnex6

a) (x 6 )(x 6 ) d)

) e)

c)

% #alcular:

Lo50Lo

a) .EK ) E* c) Ed) EK e) .E*

P% @educir:

5

Log

2Log

25

Log

=

a) ) c) *d) 4 e) .

F% 3i: Log*. ' a; Log* '

Mallar: NLog*(,)O en funcin de NaO y NO

a) ) * 6 a c)d) * a e) a 1 *

%



% #alcular lossiguientes logaritmos:

a) LogPK4 '

) Log* '

c) LogF '

d) Log.. '

e) '

f)

1

'

% Mallar NxO en:

=

a) . ) . c) .d) E. e)

*% @educir:

oo

a) * ) F c)

d) *

e)

4% @educir:

ooo

a) 7 ) c) d) 1 e) *

.% Mallar: N&O

oo

a) ) c) *d) F e) P

K% @educir:

oo

a) ) c) *

d) 1 e) 7

% 3implificar:

a) P ) 4* c) F

d) E* e) *K

P% Mallar NxO en:

=

a) EP ) *EP c) KE.d) .EP e) PE.

F% Mallar NxO en:=

a) ) * c) 4d) e) P

7% #alcular el logaritmo de 4* en ase %

a) . ) c) *Ed) .E* e) E.

% Mallar:=

a) ) 4. c) .d) . e) F

% &l logaritmo de 7,7K. en ase es:

a) 7,7. ) 7,. c) .d) 14 e) 1

*% Mallar NxO de: Logx(x 6 *7) '

a) 4 ) . c) Kd) e) K y .

4% Malle NxO de:=

a) 4 ) * c) d) . e) 4 y .

ttp:!!p""reati#anet$%lo&spot$"om! '(&ina )*



.% @esolver:Log(x 1 ) 6

Log(x 1 ) '

a) ) 7 c) *d) 1 e) 1*

ttp:!!p""reati#anet$%lo&spot$"om! '(&ina )+



PROPIEDADES

e$

aLog xb =

Ejemplo ,

3Log8

Ejemplo

3og 2

3

328=

o=

f$f$ Re(la de CadenaRe(la de CadenaLoga % Logc % Logdc ' Logda

Ejemplo

Log*. % Log* % Log. ' Log.. '

'

o =

($($ Colo(aritmoColo(aritmo3e define cologaritmo de un número al logaritmodel inverso multiplicativo de dicho número esdecir:

#ologC ' Log(EC) ' 1LogC

Ejemplo

3Lo3LoLo3loo

=

=

'

A$A$ Antilo(aritmoAntilo(aritmo

=

Ejemplo !ntilog*P ' *

P

!dem?s:

Ejemplo ,

=

BLOQUE IBLOQUE I

% ndicar el producto de logaritmos:h) Log* % Log* '



i) Log. % Log.'

% Mallar:

3iendo (m, n ∈ Q6

9 7)

a) m 6 n ) c)

d) e)

*% &valuar: ! ' Log.* % Log.

a) ) c) *d) 4 e) .

4% Mallar NxO en: Logx ' Log. % Log.

a) ) 7 c) 7d) 77 e) 777

.% Mallar NxO si:=

a) E. ) . c) *E.d) .E e) E*

K% &valuar: ! ' Logmx % Logpn

3i: x ' *7

' p, m ' n

a) 7 ) c) d) * e) 4

% ndicar el valor de: & ' Log.* % Log*4 Log4

a) Log* ) Log4 c) Log.

d) e) C%!%

P% Mallar: B ' Log.* % Log4 % Log*K % LogK4

a) Log* ) Log* c) Log.

d) Log. e) Log.*

F% 2eterminar las siguientes expresiones:

a) !ntilog '

) !ntilog.* '

c) !ntilog*log*F '

d) LogK !ntilogKP '

e) #ologKK '

f) #olog* ( ) '

BLOQUE IIBLOQUE II

*% #alcular: & ' (LogF.) (Log.)

a) EF ) E* c) *E4d) 4EF e) EF

4% 3implificar:

x3

a) E ) E* c) EKd) E e) E4

.% Mallar: & ' Lognm % Logp/ % logmp

3iendo (m, n, p, / ∈ Q6 9 *7)

!dem?s: n ' /

a) ) c) Ed) 4 e) E*

K% 3iendo: & ' Log.* % log*.

Mallar:

=

a) ) c) *d) 4 e) .

% Luego de resolver: 6 Logx Log(x 6 ) ' 7ndicar sus soluciones:

a) 1E.; E ) E7 c) Ed) 1E.; e) 1*E.

P% @esolver:Log(x 6 ) Log(x 1 ) ' Log* *Log

a) ,. ) P c) P,.d) F e)

F% &fectuar:



5aLogbaLog1

a) P ) * c) Kd) e) E

7% 3i: Ix, y, z, RJ ⊂ @6 1 IJ

S adem?s:

25=

#alcular:

a) E ) 7 c) d) 1E e) 1

% 3i: 7x ' P; 7y '

&ntonces el valor de: LogK es:

a) ) c)

d) e)

BLOQUE IIIBLOQUE III7% #alcular:

2Log 3

Log 35Log 52

Log11Log

4Log

=

a) 4 ) * c) d) e) 7

% 3i:

Mallar:

% Mallar el valor de:

= 3og!nti3Logog!ntiLog'

a) ) P c) d) 4 e) K

*% &fectuar:

5aLogbaLog1

a) P ) * c) Kd) e) E

4% #alcular:

64

a) * ) c) 1E

d) E e) 1EF

.% !l reducir:

oonoooo

3e otiene:

a) ) 1 c) E

d) 1E e) 7

K% Mallar el valor de:

= oo!ntiooooo!ntio

a) K ) P c) 7d) e) 4

% Mallar el valor de NxO en:

a% Logx4 ' E*% !ntilogx ' *

c% Log7,Kx ' *



d% Log. ' x

P% Mallar NxO

3i: Log4(x 6 ) 6 Log(4x 6 ) '

F% @esolver: x y '

Logx Logy '

a) 17E*; E* ) 7E*; E* c) ; E*d) E*; 7E* e) .E*; E*

7% Mallar NxO en:

x =

a) E ) E* c) E4d) E. e) *

% 3aiendo /ue:

! =

Mallar: & ' ! 6 Log

a) ) 7 c) *d) 4 e) .

2eterminar el valor de: & ' Log.* % Log*.

a) 7 ) c) *

d) 4 e) .

K% 2eterminar: N&O

3i: & ' Log* % Log7 % Log*

a) ) 4 c) Kd) F e) .

% Mallar: NBO

3i:

3Log4Log$

=

a) . ) .E4 c) .E*d) . e)

ndicar el valor de los siguientes enunciados:

P% #olog.* '

F% !ntilog*4 '

7% !ntilog*Log*. '

% #olog4 % Log4 '

% Mallar NxO en: Logx 6 Log(x 6 ) ' #ologK1

a) ) c) *d) 4 e) .

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