matemÁtica - abc.gov.ar · ministro de educación de la nación prof. dr. hugo oscar juri...

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MATEMÁTICAMÓDULOS PARA DOCENTES

TERMINALIDAD DE

PRIMARIA PARA

ADULTOS A DISTANCIA

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INDICE

Introducción

Contenidos y actividades

* Eje: Números

Números naturales Números fraccionarios Expresiones decimales

* Eje: Operaciones

Adición y sustracción

* Eje: Medida

Tiempo histórico. Tiempo cotidiano * Actividades grupales

* Evaluación

* Bibliografía

Ministerio de Educación. Av Santa Fé 1548. Buenos Aires. Hecho el depósito que establece la Ley 11.723.Libro de Edición Argentina. ISBN 950-00-0372-4 Primera Edición. Primera Reimpresión.

Ministro de Educación de la NaciónProf. Dr. Hugo Oscar Juri

Secretario de Educación BásicaLic. Andrés Delich

Subsecretario de Educación BásicaLic. Gustavo Iaies

[email protected]

Material elaborado por losEquipos Técnicos del Programa de

Acciones Compensatorias en Educacióndel Ministerio de Educación.

ÍNDICE GENERAL

Módulo 1 7

Módulo 2 25

Módulo 3 51

Módulo 4 75

Módulo 5 101

Módulo 6 123

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MÓDULO 1

ÍNDICE

Introducción 11

Contenidos y actividades 12Eje Números 12Números naturales 12Números racionales 14Fracciones 14Expresiones decimales 15Eje Operaciones 16Adición y sustracción 16Eje Medida 19Tiempo histórico. Tiempo cotidiano 19

Actividades grupales 19

Evaluación 20

Bibliografía 23

INTRODUCCIÓN

El Módulo Inicial (diagnóstico), se caracterizó por la integración de todos loscontenidos en el contexto significativo de “Un día en la vida de los Costa”. Sepensó que era conveniente continuar en el Módulo 1 para alumnos con unalínea argumental integradora a partir de situaciones de la vida cotidiana. Setrabajan contenidos de los ejes: Números, Operaciones y Medida.

Del eje Números se sistematizan los contenidos: números naturales, racio-nales, fracciones (ordinarias y decimales) y expresiones decimales, a partir delconocimiento del sistema de numeración decimal.

Del eje Operaciones se plantean la adición y la sustracción* y se proponeconsiderar la estimación y el cálculo aproximado.

Respecto del eje Medida se hace un reconocimiento de las medidas de tiempousadas más frecuentemente.

Seguramente usted habrá registrado las dificultades de los alumnos, en elinstrumento diagnóstico del Módulo Inicial. Es probable que la mayoría hayapodido leer y escribir correctamente números naturales, como también operarmentalmente con dichos números y con las expresiones decimales. Sinembargo, es frecuente que los adultos tengan dificultades para simbolizar lasoperaciones (realizar las cuentas por escrito). Por tal motivo, en el Módulo 1para alumnos, se privilegiaron las actividades que tienden a la comprensión delsistema de numeración decimal (composición y descomposición de númerosnaturales y expresiones decimales), ya que este tema es fundamental para laconstrucción de los algoritmos de las operaciones.

Los objetivos proponen que el alumno:

◆ Aplique las reglas del sistema de numeración decimal a la construcción de los al-goritmos de suma y resta.

◆ Utilice los algoritmos de adición y sustracción entre números naturales y expresionesdecimales.

◆ Resuelva situaciones de adición y sustracción.

◆ Reconozca las fracciones como partes de un entero.

◆ Resuelva situaciones utilizando las medidas de tiempo de uso común.

* En realidad, suma y resta son los nombres para el resultado de la adición y de la sustrac-ción; pero en el Módulo 1 para alumnos, se usan suma y resta porque el adulto está más familiarizado con esos nombres.

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CONTENIDOS Y ACTIVIDADES

A continuación se presenta el esquema de contenidos del Módulo 1 paraalumnos.

Números Operaciones Medida

Adición Sustracción de tiempo

Racionales Naturales

Fracciones Expresiones decimales

Situaciones problemáticas

Eje Números

Números naturales

Los números que se utilizan para contar la cantidad de elementos de unconjunto, sin tener en cuenta la naturaleza de éstos ni el orden en que seencuentran, se llaman números naturales. Se designa con N el conjunto deestos números:

N= 0,1,2,3,4,5...

El 0 es un número natural porque indica la cantidad de elementos delconjunto vacío.

Además de contar, los números naturales permiten indicar un orden oposición: 1º, 2º, 3º... Es decir que el número natural surge como resultado deun proceso de coordinación entre la cardinalidad y la ordinalidad.

El numeral es la expresión gráfica del número. Actualmente se utiliza elsistema de numeración decimal para simbolizar los números.

Elementos Cardinal Numeral

Treinta y seis 36

En el Módulo 1 para alumnos, las actividades, desde la Nº1 hasta la Nº11,tienen como propósito la comprensión del sistema de numeración decimal através del reconocimiento de sus reglas o características:

12

13

Sistema de numeración decimal

Cada símbolo representa 10 distinta cantidad de uni-

símbolos dades, según el lugar que ocupa.

La regla de construcción del sistema decimal puede resumirse en: “no más de9 unidades sueltas cualquiera sea el orden de estas unidades”, ya que se vanagrupando 10 unidades en un conjunto de orden superior, de tal modo que enlas cifras del numeral 10 está representando el registro simbólico de 1 decena(10 unidades agrupadas) y 0 unidad (no hay unidades sueltas).

Es importante destacar el carácter posicional del sistema de numeracióndecimal. De la posición que ocupe una cifra en un numeral, depende el valorrelativo que ella represente, con independencia de su valor absoluto. Por ejem-plo, el numeral doscientos veintidós es el registro simbólico de:

2 2 2dos unidades, es decir, sueltas

dos decenas, es decir, 20 unidades agrupadas

dos centenas, es decir, 20 decenas agrupadas

Sin mencionar el calificativo absoluto o relativo en la actividad Nº4, sepropone el reconocimiento de esos valores.

Desde la actividad Nº5 y hasta la Nº11, inclusive, se trabaja el agrupamientode a 10, con material representativo: los cuadraditos que corresponden a lasunidades, las tiras de 10 cuadraditos a la decena y los cuadrados de 100cuadraditos a las centenas. Este material facilita el agrupamiento y el canje,razón por la cual se sugiere utilizarlo en las instancias presenciales con aquellosalumnos que presenten dificultades para comprender la composición y ladescomposición de números en el sistema de numeración decimal. Si elalumno comprende las reglas del sistema, posiblemente no tendrá dificultadespara entender los algoritmos de las operaciones.

Con el fin de comprobar el nivel de comprensión del sistema de numeracióndecimal, usted podrá sugerir a los alumnos que expresen de diferentes formasun numeral, por ejemplo:

1.478 • 1.478 unidades, o• 147 decenas + 8 unidades, o• 14 centenas + 7 decenas + 8 unidades, o• 1 u. de mil + 47 decenas + 8 unidades, o• 14 centenas + 78 unidades, etc.

Se agrupade a 10

unidades

Se consideró importante que el alumno pudiera comparar el sistema de nu-meración decimal, especialmente su carácter posicional, con otro sistema queno tiene esa característica. Por tal motivo se presentó el sistema de nume-ración romano, que no es posicional y sus símbolos están sujetos a otras reglas.

Números racionales

Fracciones

Seguramente, si usted tiene 4 hijos y en su casa sólo han quedado 2 alfajores,cortará cada uno de ellos en dos partes aproximadamente iguales y les entregaráuna mitad del alfajor a cada uno de sus niños. Esa mitad aproximada tiene unsímbolo que es 1 . A estas partes se las llama fracciones o quebrados.

Al conjunto de números formado por los números enteros y sus partesposibles, positivas o negativas, se lo llama conjunto de números racionales y selo designa con la letra Q.

Q= x/x es número racional

En la vida cotidiana, para nombrar los números racionales, usamos con másfrecuencia la forma decimal que la fraccionaria. Lo hacemos cuando decimosque compramos 1,500 kg. de mandarinas a $ 1,20 el kg. o que necesitamos1,75m. de tela para hacer un vestido.

Las expresiones fraccionarias equivalentes o familia de fracciones, representantodas una misma cantidad que llamamos número racional. Por ejemplo:

Fracción Fracciones Fracción Expresión irreducible ordinarias decimal decimal

Clase o familia de la mitad 1 2 3 4 5 0,5

2 4 6 8 10

En general, el alumno adulto no tiene dificultades para comprender elsignificado de las fracciones de uso común, especialmente si están relacionadascon las medidas, por ejemplo:

1 kg., 1 l. ó 3 m. 2 4 4

En la vida cotidiana se plantean permanentemente situaciones en las queaparecen las partes de un todo. El hecho de compartir una pizza con los amigos,requiere obtener trozos “aproximadamente iguales”. En el Módulo 1 paraalumnos, Rosa, Carlos, Berta y Jorge comen una pizza y esto da lugar a tresactividades de reconocimiento de fracciones, la Nº21, la Nº22 y la Nº23.

14

2

= = = = =

Se sugiere trabajar con los alumnos la relación de equivalencia con fraccionessimples, tales como:

1 2 2 1 3 62 4 6 3 4 8

fig. 1 fig. 2 fig. 3

Es conveniente partir de elementos concretos como, por ejemplo, una tabletade chocolate o un pan lactal cortado en rebanadas, insistiendo siempre en quelas partes son “aproximadamente iguales”. Para escribir cada fracción las partesdeberían ser “exactamente iguales”.

Posteriormente podrá utilizarse la representación gráfica (fig. 1, 2 y 3)considerando que las equivalencias son referidas a un mismo entero.

Finalmente se simbolizará:

1 2 2 1 3 6 2 4 6 3 4 8

Es importante que en cada caso el alumno pueda reconocer el entero como 2 , 4 , 6 , 3 , 4 y 82 4 6 3 4 8

Expresiones decimales

Las situaciones de todos los días, obligan a reconocer las expresiones decima-les y a operar con las mismas: en las vidrieras donde se destacan los precios delos productos, cuando se realizan las compras o cuando se viaja en colectivo seutilizan pesos y centavos. Coherentemente, con la fundamentación del área, esa partir del dinero (tema éste tan significativo para los adultos), que seintroduce el concepto de las expresiones decimales (actividad Nº25 en elMódulo 1 para alumnos).

El contenido se sistematiza a partir del conocimiento del sistema denumeración decimal. Para ello se utiliza el material representativo usado parafacilitar los canjes. Se optó por aumentar el tamaño del cuadrado que represen-ta la unidad con el fin de facilitar la división de la misma en diez y cien partesiguales y, también, con el objeto de que no se confunda la unidad con lacentena, se optó por representar la unidad agrandada en el dibujo.

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= = =

.

16

Se propone, además, la representación gráfica de fracciones tales como 1 y 10 , 3 y 3010 100 10 100

(actividades Nº26 y Nº27), para que el alumno compare fracciones decimalesy pueda establecer la relación de equivalencia entre 8 y 80 , por ejemplo.

10 100Al introducir los números fraccionarios, se amplió el universo de los números

ya que con los naturales no alcanza para expresar la cantidad de porciones depizza que comieron Carlos o Rosa (actividades Nº21, Nº22 y Nº23). Seríaconveniente que los participantes observaran, además, que cada vez que seexpresa una cantidad como 3 de pizza, se la está comparando con otra a la que

4se llama unidad (en este ejemplo, la pizza entera 4 ).

4Las expresiones decimales son otra forma de expresar los números fracciona-

rios. Tomando como base la regla del sistema de numeración decimal, trate deque los participantes hagan agrupamientos de a 10, para que ellos mismosanalicen qué ocurre hacia la derecha de las unidades en este gráfico:

x 10 x 10

1 centena 1 decena 1 unidado o o

10 decenas 10 unidades

Después de haber trabajado con los alumnos las actividades Nº27 y Nº28,sería productivo completarlas con este gráfico del siguiente modo:

x 10 x 10 x 10 10 10

1 unidad de mil 1 centena 1 decena 1 unidad 1 décimo 1 centésimo ó ó ó ó ó

10 centenas 10 decenas 10 unidades 0,1 unidad 0,01 unidadó

0,1 décimo

La comparación con los centavos ayuda a entender el valor de los centésimosy la diferencia entre 0,50 y 0,05, ya que evidentemente no es lo mismo tenercincuenta centavos que cinco centavos.

Eje Operaciones

Adición y sustracción

Resolver una operación significa poder transformar los elementos originales enotros, como consecuencia de las acciones ejercidas sobre los primeros. Si a una listade 47 invitados se le agregan otros 16, la lista presentará 63 invitados, como resultadode haber transformado los 47 primitivos, luego de sumarle los 16 posteriores.

. . . .

Como ya se explicitó en el Módulo Inicial para docentes, el planteamiento deproblemas debe preceder a la enseñanza de las operaciones básicas. Dicho deotra manera, las operaciones deben ser planteadas en forma contextualizada.

En el Módulo 1 para alumnos se plantean situaciones problemáticas aditivasrelacionándolas con los conceptos de agregar, reunir, juntar, hallar el total, ysituaciones de sustracción relacionadas con los conceptos de quitar, disminuir,complementar, hallar la diferencia. Posteriormente, se presentan los algoritmosde ambas operaciones.

¿Qué es un algoritmo? En principio, un algoritmo es un procedimiento.Cotidianamente se utilizan algoritmos, pero se los aplica sin necesidad de com-prender su fundamento. Cuando se usa el televisor, la computadora, el teléfonoy tantos otros elementos electrónicos modernos, se ponen en juego una serie depasos lógicos. Esa secuencia lineal de acciones que deben ser ejecutadas, consti-tuye un algoritmo. Utilizar el teléfono, por ejemplo, responde al siguiente es-quema: descolgar el auricular, esperar el tono, marcar, etc. Por lo tanto, elaprendizaje de un algoritmo no se reduce a las operaciones aritméticas elemen-tales sino que está presente en el accionar cotidiano. Generalmente, al ejecutarestos algoritmos no se los acompaña de una reflexión, ni de una comprensiónde su funcionamiento, ya que en determinados actos, un algoritmo es unaherramienta que permite resolver problemas, como el de la comunicación, enel ejemplo del teléfono. Para el usuario, entonces, basta con automatizar lasacciones, sin analizar el por qué de las mismas. En cambio, un técnico, necesitacomprender el funcionamiento del aparato electrónico a partir de conoci-mientos científicos relacionados con la construcción del mismo.

¿Se puede enseñar a los alumnos la adición y la sustracción simplementecomo una serie ordenada de pasos? Se ha demostrado que esto es posible. Bastacon recordar nuestros propios aprendizajes. Los algoritmos se pueden aprendercomo una simple secuencia de acciones que se deben ejercer sobre los númerosen juego. Podría intentar enunciarles: colocar el minuendo (número mayor)arriba del sustraendo (número menor), de manera que coincidan en columnalas unidades del mismo orden. A las unidades del minuendo se les resta las delsustraendo; si no fuera posible se le pide 1 al compañero (las decenas), y se lesuma a las unidades que se tenía; después se restan las unidades del sustraendo.

Ejemplo: 4 5 minuendo-

2 9 sustraendo

1 6

Sin embargo, esto es sólo el procedimiento. La naturaleza del algoritmomatemático no es sólo instrumental sino también un proceso de construcciónracional que se apoya en aprendizajes anteriores (el sistema de numeracióndecimal, los propios conceptos de adición y sustracción), a los que al mismotiempo favorece. La relación entre lo conceptual y lo procedimental (loinstrumental), en el aprendizaje de los algoritmos de las operaciones, se puedesintetizar así:

17

3

1

18

• Los distintos pasos del algoritmo se recuerdan mejor cuando existen más datos o claves para recuperarlo memorísticamente.

• Comprender su fundamento científico permite la reconstrucción del mismo, si se ha olvidado alguno de sus pasos.

Por eso, en el Módulo 1 se propone a los alumnos utilizar el material repre-sentativo para la construcción del algoritmo de la adición y del de la sustrac-ción. Sería conveniente que el adulto tratara de comprender el por qué de lasacciones que se van realizando secuencialmente; que pueda relacionar, porejemplo, “llevo 1” con el “con 10 unidades formo una decena que la agrego ala columna de las decenas”.

Reflexionar sobre la fundamentación de los algoritmos:

• Facilita la transferencia hacia otros aprendizajes.

• Posibilita la reducción del número de errores cometidos habitualmente.

• Favorece la reconstrucción cuando no se los recuerde.

• Permite la recreación de otros procedimientos por tener estrategias adquiridas.

Si se analiza el error conocido como “el mayor menos el menor dentro de laresta”, en él se resta el mayor menos el menor, independientemente de quepertenezca al minuendo o al sustraendo.

3 5 2-

2 7 81 2 6

El conocimiento conceptual indica que esta operación consiste en quitar auna cantidad, otra menor y establece que todas las cantidades del sustraendodeben ser restadas al minuendo. Si esto se comprende y se aplica, difícilmentese incurra en un error.

En el Módulo 1 se plantea que existen muchos caminos para llegar al mismoresultado y que, tal vez, el camino que se le propone al alumno (algoritmotradicional), no coincida con el utilizado por él. Si usted comprueba que estoes así, y que el adulto ha usado otro procedimiento, convendría insistir paraque lo explicitara; también ayudarlo a que relacione el procedimiento queutilizó con el concepto, para que la estrategia personal quede fundamentada.La resolución de las actividades Nº16, Nº17, Nº18, Nº19 y Nº20, le permitirána usted comprobar qué conocimientos conceptuales ha adquirido el alumno.

Eje Medida

Tiempo histórico. Tiempo cotidiano

El tiempo histórico y el tiempo cotidiano se miden con diferentes unidades:unidades mayores para períodos históricos más prolongados como la década yel siglo; unidades menores para el tiempo cotidiano, año, mes, semana, día,hora, minuto.

La actividad Nº14, tiene como objetivo recordar que cada siglo comienza apartir del año 1 de la centena exacta.

El tratamiento de este tema es de utilidad para aplicarlo en el área de lasciencias sociales, al aprendizaje de los períodos históricos y a la comprensión dela línea del tiempo.

Respecto del tiempo cotidiano, para la resolución de situaciones en las queintervienen horas y minutos (Ej.: actividades Nº39, Nº40, Nº41 y Nº42), sesugiere estimular el desarrollo de estrategias espontáneas para el cálculo. Paracomparar tiempos, se podrán utilizar noticias deportivas, estimar el tiempo quedemanda una tarea, calcular los tiempos de estudio por día, por semana, etc. Amodo de ejemplo, usted podrá presentar en una instancia presencial un proble-ma como éste:

Un avión recorre la distancia de la ciudad A hasta la ciudad B en 1 hora y 20minutos. El vuelo de retorno lo efectúa en 80 minutos. ¿Cómo explica esto?,teniendo en cuenta que en ambos viajes la situación climática y la ruta fueronsimilares.

Actividades grupales

Se proponen algunas actividades grupales cuyos objetivos son afianzar loscontenidos tratados, especialmente los referidos al sistema de numeracióndecimal y las operaciones, y para favorecer la integración grupal.

Adivinar el número

Propósito: trabajar serie numérica e intervalo numérico.

Usted piensa en un número y los alumnos deben descubrirlo; para ello, sólopueden preguntar (tantas veces como sea necesario): ¿es mayor que...? o ¿esmenor que...? Usted solamente puede responder sí o no.

¿Cuál es mi regla?

Propósito: afianzar la serie numérica y el cálculo mental.

Usted o un alumno, dicen varios números relacionados por una regla. Porejemplo: 114, 124, 134. Los alumnos deben descubrir qué regla se aplicó (eneste caso “+ 10”).

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¿Cómo obtener el número?

Propósito: ejercitar el cálculo mental.

Se escriben en el pizarrón varios números, por ejemplo: 5; 7; 8; 1; 3; 6; 4; 9.Después usted propone a los participantes que, empleando estos números,formulen cálculos con sumas y restas cuyo resultado sea: 25..., 37..., etc.

EVALUACIÓN

Se proponen algunas actividades de evaluación en función de los temastratados y considerando diferentes niveles de complejidad. Usted podráseleccionar las que crea convenientes, modificarlas o implementar otras, segúnlas características del grupo de alumnos a su cargo.

Actividad Nº1

El número representado es 195.

a) El número representado tiene cent.+ dec.+ unid.

b) El número representado tiene dec. + unid.

c) El número representado tiene unid. en total.

d) Agréguele al número anterior, 1 decena, ¿qué número obtuvo?

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Actividad Nº2

El número 386 está expresado de distintas maneras. Subraye las correctas.

3C + 8D + 6U 3C + 7D + 26U

2D + 18D + 6U

1C + 1D + 76U 2C + 17D + 16U

3C + 7D + 16U

Actividad Nº3

El kilo de queso sardo cuesta $ 12.

¿Cuánto cuesta?

1/2 kg.:

1/4 kg.:

Actividad Nº4

¿Qué es más barato: dos bolsitas de yerba de 1/2 kg. cada una que cuestan$0,90 cada una o una de 1 kg. que cuesta $1,90? ¿Por qué?

Actividad Nº5

Juan corre todas las mañanas 45 minutos antes de ir a trabajar. Si comienza acorrer a las 7, ¿a qué hora finalizará?

Juan mira su reloj y piensa “aún me faltan 10 minutos para dejar de correr”.¿A qué hora miró su reloj?

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BIBLIOGRAFÍA

Mialaret, Gastón: La matemática ¿cómo se aprende, cómo se enseña? Madrid,Visor, 1972.

Rico Romero, L., Castro Martínez, Encarnación, Castro Martínez, Enrique:Números y operaciones. Madrid, Síntesis, 1989.

Gabba, Pablo: Matemática para maestros. Buenos Aires, Marymar, 1978.

Perelman, Y.: Problemas y experimentos recreativos. Moscú, 1979.

Rey, María Esther: Didáctica de la matemática. Buenos Aires, Estrada, 1994.

Brindstein, M. y Hyanfling, M.: Matemática 1. Buenos Aires, Aique, 1993.

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MÓDULO 2

Índice

IntroducciónContenidos y actividadesGeometríaOperacionesLa multiplicaciónSu naturalezaLos problemas que se resuelven con la multiplicaciónPropiedades de la multiplicaciónPropiedad conmutativaPropiedad asociativaPropiedad distributivaLos errores más frecuentesTabla pitagóricaLa divisiónSu naturalezaLos problemas que se resuelven con la divisiónLa propiedad distributiva de la división con respecto a la sumaLos errores más frecuentesEstadísticaTablas de doble entradaPromedioEvaluaciónBibliografía

ÍNDICE

Introducción 29

Contenidos y actividades 30Geometría 30Operaciones 32La multiplicación 32Su naturaleza 32Los problemas que se resuelven con la multiplicación 33Propiedades de la multiplicación 34Propiedad conmutativa 34Propiedad asociativa 35Propiedad distributiva 35Los errores más frecuentes 36La división 39Su naturaleza 39Los problemas que se resuelven con la división 40La propiedad distributiva de la división respecto de la suma 41Los errores más frecuentes 41Estadística 44Tablas de doble entrada 44Promedio 44

Evaluación 46

Bibilografía 49

INTRODUCCIÓN

El mundo que nos rodea está constituido no sólo por gran cantidad de obje-tos de diferentes formas y diseño como por ejemplo, muebles (mesas cuadra-das, redondas, rectangulares), utensilios y herramientas (relojes prismáticos, es-féricos, cúbicos; ollas cilíndricas, prismáticas), sino también por las transforma-ciones propias de ciertos objetos o cuerpos, edificios en construcción, ensan-chamiento de una calle, cambio de dirección en una avenida, etc.

En la vida cotidiana está presente, cada vez más, la geometría, que junto conla aritmética forman un todo. ¿Cómo pensar en los conceptos geométricos deperímetro, superficie y volumen sin relacionarlos con el concepto de medida?¿Cómo resolver situaciones geométricas que tienen que ver con longitudes, pla-nos y escala sin el aporte de las operaciones y de los números? Sistemática ypaulatinamente, el hombre va tomando posesión del espacio, orientándose,analizando formas y buscando relaciones espaciales. Intuitivamente, va adqui-riendo el conocimiento de su entorno.

Por su experiencia, los alumnos adultos poseen algunas nociones intuitivas delconocimiento espacial; es importante capitalizar esos saberes prácticos del adul-to. Por eso, a partir de una propuesta, que se origina en la intuición para llegara la reflexión, se presenta la geometría en el Módulo 2 para alumnos. Intuicióny reflexión son dos formas del conocimiento geométrico que se relacionan y secomplementan. El hecho de adquirir conocimientos del espacio real a partir dela intuición, es lo que se llama la percepción espacial. En las actividades que seproponen a los alumnos, se destacan los temas de geometría que caracterizan lapercepción espacial: el reconocimiento de formas (actividad Nº6 b: Reconoci-miento de cuerpos), de propiedades geométricas (actividad Nº6 a: Paralelismoy perpendicularidad), transformaciones (actividad Nº2: Transformación delplano según desde donde se observe) y de relaciones espaciales (actividad Nº5c y actividad Nº8 a, b, c y d: Mayor, menor o igual distancia).

El Módulo 2 para alumnos, tiene como objetivos que el alumno:

◆ Se oriente en planos y croquis.

◆ Reconozca distancia entre dos puntos.

◆ Diferencie formas geométricas.

◆ Reconozca paralelismo y perpendicularidad.

◆ Reconozca ángulos: rectos, agudos, obtusos y llanos.

◆ Aplique los conocimientos del sistema de numeración decimal, y algunas propie-dades de la multiplicación y división en el uso de los algoritmos.

◆ Resuelva situaciones sencillas de promedio.

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Se trabajan contenidos de los ejes: Geometría, Operaciones y Estadística.

Orientación Cuerpos en planos geométricos Tablas dey mapas Multipli- División doble

cación entradaParalelismo y Promedioperpendicularidad

Ángulos Situaciones multiplicativas

Con respecto al eje Operaciones, a partir de situaciones significativas, setrabaja la multiplicación como suma reiterada entre números naturales yexpresiones decimales. Se plantea la propiedad conmutativa intuitivamenteaplicada y reconocida. La división se presenta como la operación inversa de lamultiplicación y como resta reiterada.

Del eje Estadística, los contenidos que se trabajan son la tabla de dobleentrada como recurso organizador de la información y el promedio.

Los contenidos del eje Geometría que se abordan son: orientación en planosy croquis, paralelismo, perpendicularidad, ángulos, cuerpos geométricos.

Geometría

Las experiencias visuales constituyen la base sobre la cual se fundamentan lasactividades y abstracciones posteriores.

Observar es ver, notar lo común que puede haber en situaciones distintas, lodiferente en objetos y acciones, y lo característico de cada cosa.

La observación de los alumnos puede orientarse por medio de preguntas querefieran a aspectos fundamentales. La actividad Nº1 propone observar uncroquis y orientarse en él teniendo en cuenta las indicaciones. En la actividadNº2 se presenta el mismo croquis, pero variando su orientación y omitiendo lasreferencias que tenía el anterior. En ambas, la observación se va guiando a travésde preguntas, para que el alumno pueda interpretar croquis y orientarse en elentorno espacial que ese croquis representa. Toda observación debe ir acompa-ñada de una acción posterior. Las actividades Nº1 y Nº2, por ejemplo, comien-zan con una observación, pero inmediatamente el alumno debe actuar: señalaro indicar lo que se le solicita.

30

Geometría Operaciones Estadística

31

La secuencia propuesta es: primero observar, luego actuar y reflexionar, peropara que se pueda construir el espacio geométrico es imprescindible llegar a laabstracción. Abstraer es, entre otras cosas y siempre refiriéndose a la geometría,reconocer lo que hay de común o de diferente en algunas situaciones, sim-plificar la situación real, esquematizándola como en la actividad Nº4 b, o deter-minar el campo de validez de una propiedad (actividad Nº6 a).

Con este plan se trabajan, en el Módulo 2 para alumnos, desplazamientos yrecorridos en planos y cuerpos, las nociones de distancia, paralelismo y perpen-dicularidad, ángulos y cuerpos.

Jean Piaget afirma que: "la representación del espacio se debe a las actividadesque realiza cada individuo, durante su experiencia diaria". En el módulo paraalumnos se trabaja desde lo intuitivo (que incluye la observación) a lo concep-tual o abstracto (que incluye la reflexión y la abstracción).

El trabajo con croquis y planos permite a los alumnos adultos ubicarse y loca-lizar referencias y calles, señalar recorridos, identificar distancias además delsentido y la dirección de las calles. Se pretende que el alumno pueda leer einterpretar un plano correctamente y al mismo tiempo, orientarse en el espaciocercano o cotidiano.

Una posible actividad para realizar con los alumnos en los encuentros presen-ciales podría ser la siguiente: a) formar tres subgrupos; b) cada subgrupo escri-be en un papel las indicaciones para ir de una casa a otra; c) se intercambianlos papeles; d) después de leer las indicaciones, cada subgrupo representa gráfi-camente ese recorrido en un croquis o plano; e) vuelven a intercambiar los pa-peles; f ) cada grupo interpreta el croquis o plano y, en forma verbal, es expre-sado por un representante de cada equipo. Lo que se expresa verbalmente, debecoincidir con las indicaciones primeras y esto ocurre cuando el croquis o planoresponde correctamente a esas indicaciones. Es frecuente que los alumnos seequivoquen al verbalizar los recorridos. Los errores más comunes son confundirsentido con dirección y derecha con izquierda.

En la actividad Nº3, a partir de la lectura del plano, se incorpora la noción decalles paralelas y calles perpendiculares. Usted podrá sugerir a los alumnosobservar el entorno para encontrar ejemplos de paralelismo y perpendicu-laridad (en paredes, puertas, ventanas, bancos, escritorios, etc.).

Respecto de la noción de ángulo y su clasificación, se recomienda:

a) recurrir al plegado de papeles para obtener ángulos rectos, ángulos que son la mitad de un recto y ángulos que son un cuarto de un recto;

b) obtener por plegado cuatro ángulos rectos y vincularlos con: la intersección de pares de rectas de direcciones vertical, horizontal; delante, atrás; izquierda, derecha; norte, sur; este, oeste;

c) realizar cambios de dirección en una marcha: giro completo; medio giro; cuarto de giro;

d) representar gráficamente los desplazamientos realizados.

La representación gráfica, permite que se puedan expresar ideas y conoci-mientos; es una forma de comunicación en la que se utilizan esquemas, cons-trucciones geométricas, figuras o dibujos. Es una descripción y ésta, ya sea ver-bal o gráfica, obliga a quien la hace a observar, ordenar, situar en el espacio, es-tablecer relaciones entre el objeto que se va a representar y su representacióngráfica. Por eso, describir no es tarea fácil, también es necesario tener presentela forma, las características y la ubicación en el espacio del objeto.

La representación gráfica también es una herramienta útil, ya que puedeayudar a encontrar estrategias para la resolución de problemas. En geometría,es importante tanto para expresar formas como para comprender razonamien-tos. Cuando se plantean situaciones problemáticas en las que se pide calcular elperímetro de una figura o el valor de un ángulo de la misma, es común que elalumno, para facilitar la resolución: a) represente gráficamente la figura, b) ubi-que en ella los datos que se le aportan. Esta estrategia facilita el razonamientocorrecto y la posterior resolución. Por tal motivo, en el Módulo 2 para alum-nos, se insiste en los recorridos, las distancias y la representación gráfica de lasmismas (actividad Nº4 d). En la actividad Nº6, el alumno debe encontrar el olos planos (representación gráfica) que corresponden al desarrollo del cubo.

Se sugiere que, de ser posible, los alumnos hagan en cartulina el plano deldesarrollo de un prisma (caja de zapatos) y luego lo armen.

Operaciones

Se analizarán las operaciones de multiplicación y división, teniendo encuenta:

• su naturaleza; • los tipos de problemas que se resuelven con ellas;• las propiedades elementales; • los errores algorítmicos más frecuentes que suelen cometer los alumnos.

La multiplicación

Su naturaleza

La multiplicación debe entenderse, en principio, como una operación aritmé-tica entre números naturales. El punto de partida de esta operación son dos nú-meros y el punto de llegada otro número distinto (o no) de los anteriores.

Ejemplos: 2 x 5 = 102 x 1 = 2

¿La multiplicación es una suma abreviada?

La interpretación de la multiplicación como una suma abreviada en todos loscasos, es un error, ya que la multiplicación no es un caso particular de la suma.

32

Es otra operación que puede definirse a partir de la suma pero no se reduce aella. La multiplicación es una operación aritmética que puede interpretarsecomo suma abreviada (sin ser lo mismo) cuando se trabaja con númerosnaturales, por lo menos, en uno de los dos factores. En cambio, no puedepensarse en suma abreviada cuando debe resolverse por ejemplo 0,2 x 0,3 (estecaso de multiplicación de dos expresiones decimales, será tratado en el Módulo 3).Otra interpretación de la multiplicación, es considerarla un producto carte-siano. Un ejemplo práctico de esta interpretación, es el portero eléctrico (paralas zonas urbanas), o un tablero de hotel como el que figura en la actividadNº18 (dibujo del tablero).

Hay 5 habitaciones por piso (P.B., 1º y 2º)

O sea que en la P.B. hay: (P.B.1), (P.B.2), (P.B.3), (P.B.4) y (P.B.5);en el 1º Piso: (1º1), (1º2), (1º3), (1º4) y (1º5); en el 2º Piso: (2º1), (2º2), (2º3), (2º4) y (2º5).

Estos pares ordenados son el producto de los elementos pisos (PB, 1º y 2º) porlos elementos habitaciones (1, 2, 3, 4 y 5).

Si se quiere averiguar cuántas habitaciones tiene el hotel en total, basta conmultiplicar: 3 (pisos) x 5 (habitaciones) = 15 habitaciones.

Los problemas que se resuelven con la multiplicación

Los solucionables por suma reiterada (actividades Nº11, Nº12, Nº13, Nº14 yNº15). Ejemplo:

Un café cuesta $ p1,30, ¿cuánto debe pagarse por 3 cafés?

$ 1,30+ $ 1,30

$ 1,30

$ 3,90 ó

$ 1,30 x 3 = $ 3,90

33

Los solucionables por producto cartesiano. En el punto a) se propuso comoejemplo el tablero del hotel.

Otro ejemplo:

Hay 6 estantes y en cada estante hay 5 latas de pintura. ¿Cuántas latas depintura hay en total?

6 estantes x 5 latas (por estante) = 30 latas

El planteo de las dos situaciones multiplicativas son de distinta naturaleza, sinembargo, ambas se resuelven empleando la multiplicación. Es conveniente tra-bajarlos conjuntamente.

Propiedades de la multiplicación

Las propiedades de la multiplicación que se trabajan en el Módulo 2 paraalumnos son: conmutativa, asociativa y distributiva respecto de la suma y de laresta. El alumno adulto probablemente las aplique intuitivamente. A continua-ción se le propone una forma de trabajarlas.

Propiedad conmutativa

Juan quiere saber cuántas latas de aguarrás le quedan después de una ventaimportante. Revisa primero las cajas y cuenta 6 latas en cada una. Luego cuentalas cajas y verifica que hay 5. Después calcula 6 x 5 = 30 latas

Un amigo que lo ayuda comienza contando las cajas (5) y luego continúa conlas latas que hay en cada caja (6). Entonces, calcula:

6 x 5 = 5 x 6

Cuando se piensa en situaciones en las que se puede intercambiar el orden delas cosas sin que se altere el resultado, se está pensando en operaciones conmu-tativas. La multiplicación es una operación conmutativa.

34

6 (6;5)estantes

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1 latas

Propiedad asociativa

¿De qué otra forma se puede expresar 5 x 8?

Como 8 = 2 x 4, entonces:5 x 8 = 5 x (2 x 4)

Sin enunciar la propiedad se puede proponer expresar de otra forma lasoperaciones:

6 x 4 = 2 x 3 x 49 x 7 = 3 x 3 x 7

10 x 8 = 5 x 2 x 4 x 25 x 6 = 5 x 3 x 2

Finalmente se puede solicitar a los alumnos que verbalicen los procedimien-tos, antes de enunciar la propiedad.

Propiedad distributiva

El planteamiento didáctico de esta actividad es muy similar al anterior; se hareservado el uso de esta propiedad para multiplicar números de dos dígitos.

Ejemplo:Hay 12 estantes y hay 15 libros en cada estante. ¿Cuántos libros hay en total?

La resolución es 15 x 12, pero como

12 = 10 + 2, entonces se puede expresar la operación anterior así:

15 x (10 + 2) que se resuelve:

15 x 10 + 15 x 2 150 + 30 = 180 ó

como 12 = 6 + 6

15 x 6 + 15 x 690 + 90 = 180 ó

como 12 = 8 + 4

15 x 8 + 15 x 4120 + 60 = 180

Esta propiedad está ligada a la suma abreviada, por ello su tratamiento puedeser anterior al de la propiedad asociativa, que implica realizar dos multiplicacio-nes consecutivas.

35

Los errores más frecuentes

Las equivocaciones están estrechamente relacionadas con dos aspectos; elprimero tiene que ver con el grado de claridad que se tenga del concepto demultiplicación, y el segundo con la dificultad para relacionar el concepto conel procedimiento. Esto último también tiene que ver con haber o no haberconstruido el algoritmo de la multiplicación.

Cuando los errores son tratados solamente como dificultad en el procedi-miento y la solución que se da, es la repetición infinita del algoritmo paralograr la mecanización; en realidad, los obstáculos no se superan. Es necesariotratar de comprender la naturaleza del error. Si el problema está, por ejemploen una incorrecta aplicación de la propiedad distributiva, se tratará dereplantear problemas que lleven al uso de esa propiedad, es decir, volver atrabajar los contenidos conceptuales, ya que seguramente allí se encuentra labase del error.

Manejar correctamente el algoritmo, significa comprender que, para resolver,por ejemplo:

2 6 x 4

Al multiplicar 4 x 6 unidades, se obtienen 24 unidades que son 2 decenas y 4 unidades sueltas.

C D U Se escriben las 4 u. sueltas en la columna de las unidades y se colocan

2 las 2 decenas en la columna de las2 6 decenasx 4

Al multiplicar 4 x 2 decenas se obtienen 8 decenas 1 0 4 a las que se suman las 2 decenas

correspondientes a las 24 unidades Se obtienen 10 decenas = 1 centena y 0decenas sueltas.


• Errores en la aplicación de la propiedad distributiva:

C D U

3 4 2 multiplicandox 3 multiplicador

3 4 6

Se realizó el producto del multiplicador por las unidades del multiplicando,pero, para las siguientes cifras, se optó por repetir sin multiplicar.

36

37

• Olvido de las decenas del multiplicador:

C D U

3 4 2 x 3 5

1.7 1 0

• Agregar de manera incorrecta las agrupaciones de a diez:

C D U

2 23 4 5

x 4

2. 0 4 0

Las decenas (2) y las centenas (2) son sumadas a las cifras correspondientes(4 y 3) antes de multiplicarla por el 4 (2+ 4 = 6 ; 4 x 6 = 24)(2 + 3 = 5 ; 4 x 5 = 20).

• Olvidar las decenas o centenas que deben sumarse:

C D U

1 4 7 x 8

8 2 6

Se omitió:

a) Al multiplicar 8 x 4 decenas = 32 decenas, sumar a este resultado las 5 decenascorrespondientes a las 56 unidades obtenidas al multiplicar 8 x 7 unidades.

b)Al multiplicar 8 x 1 centena, sumar a este resultado las 3 centenas corres-pondientes a las 37 decenas obtenidas al multiplicar 8 x 4 decenas = 32 decenas y 32 decenas + 5 decenas = 37 decenas = 3 centenas y 7 decenas sueltas

UM C D U

3 51 4 7

x 8

1.1 7 6

• Realizar el producto del multiplicador sólo por las decenas o centenas quedeben sumarse:

C D U1

3 6 2x 7

2. 1 7 4

Existen numerosas variantes de errores. Pueden provenir de algún paso,alguna acción, dentro del algoritmo que el alumno olvida o no ha llegado acomprender. El aprendizaje meramente instrumental tiene una rigidez queseguramente generará errores ante algún cambio en la situación original. Esnecesario que el alumno pueda relacionar conceptos y procedimientos, paraque cada uno de los pasos del algoritmo tenga sentido.

Se sugiere partir, entonces, de la revisión de algunos conceptos relacionadoscon la multiplicación que son:

Sistema de numeración decimal.Propiedad asociativa de la multiplicaciónPropiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.Interpretación de la multiplicación como suma abreviada.

Una estrategia que podría facilitar la comprensión de los algoritmos de lamultiplicación y de la división es la construcción de la tabla pitagórica. En elMódulo 2 para alumnos se trabaja con tablas de doble entrada, y la pitagóricaes un ejemplo que, además, puede ser utilizado como recurso cuando el alumnotenga dudas con respecto a las multiplicaciones básicas (tablas de multiplicar),consultándolas cuando fuere necesario.

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

38

¿Cómo trabajar esta tabla? En primer lugar, sería conveniente que se les dieraa los alumnos para completar. Una vez completada se les puede proponer quetracen la diagonal que va desde el 0 hasta el 100 y plantear por ejemplo:

• Observen los números a ambos lados de la diagonal. ¿A qué conclusiones se puede arribar?

• Observe los números de las columnas y las filas. ¿Qué diferencias y quésimilitudes encuentra?

• ¿Hay números repetidos? ¿Cuáles?

• Los números que están en la diagonal, ¿en qué se diferencian de los demás?

Y todas las preguntas que usted considere oportunas. También se podrá pediral alumno que registre todas sus observaciones para ser leídas y discutidas en lareunión presencial.

De las respuestas y reflexiones de los alumnos surgirán las propiedades de lamultiplicación:

• la conmutativa: simetría respecto de la diagonal;

• el cero "absorbe" cualquier número (la columna y la fila que lo contienen, tienen como resultado del producto, el cero). De aquí se concluye que cualquier número multiplicado por cero, da como resultado, cero;

• la fila y la columna correspondiente al producto de los números x 1, da por resultado el mismo número; de aquí se concluye que cualquier número multiplicado x 1, da ese mismo número; en matemática se dice que el 1 esel elemento neutro de la multiplicación;

• los números de la diagonal corresponden todos a cuadrados perfectos.

Ej.: 2 x 2 = 43 x 3 = 9

10 x 10 = 100

La división

Su naturaleza

En la división se dispone de dos números iniciales (dividendo y divisor) y apartir de ellos se obtiene otro que recibe el nombre de cociente. Cuando en ladivisión, el resto es cero, la división se llama exacta. Cuando el resto no es cero,la división se llama entera.

Se debe tener presente que no siempre el cociente entre dos númerosnaturales, es otro número natural. Por ejemplo: 3 : 2 = 1,50.

En este caso el cociente (1,50) es una expresión decimal (número racional).

39

...............................

Por otro lado:

• 10 : 5 es igual a 2 porque 2 x 5 = 10

• 3 : 2 = 1,50 porque 1,50 x 2 = 3

La división es la operación inversa de la multiplicación. La división no es uncaso especial de la sustracción. Es una operación que, sólo a veces, puederesolverse por restas reiteradas.

Los problemas que se resuelven con la división

Si bien la división tiene tres significados: como partición, como reparto ycomo búsqueda de número de elementos en un conjunto que da lugar a laformación de pares, en el Módulo 2 para alumnos y en éste se trabaja sólo enlos dos primeros sentidos, ya que en la vida cotidiana se utiliza la división ensituaciones asociadas a “repartir” y “partir”.

• Cada caja de chiclets cuesta $ 1,50. Tengo $ 6. ¿Cuántas cajas puedo comprar?

• Con $ 6, puedo comprar 4 cajas de chiclets. ¿Cuánto cuesta cada una?

El procedimiento multiplicativo correspondiente implica repetir $1,50 cuatroveces para obtener $ 6 en total.

$ 1,50 $ 1,50 $ 1,50 $ 1,50

1 caja 1 caja 1 caja 1 caja

Las cantidades desconocidas que se deben calcular son distintas para ambosproblemas: en el primero: 4 cajas; en el segundo: $ 1,50.

En el primer problema, se puede llegar a la solución por resta reiterada.

Tengo $ 6

Compro 1 caja $ 6 - $ 1,50 = $ 4,50 Compro la 2da caja $ 4,50 - $ 1,50 = $ 3 Compro la 3ra caja $ 3 - $ 1,50 = $ 1,50 Compro la 4ta caja $ 1,50 - $ 1,50 = $ 0

He comprado 4 cajas de chiclets.

Si quisiéramos resolver el segundo problema de la misma manera, seríaimposible ya que no se pueden restar 4 cajas de $ 6. La división puede resolverseen algunos casos como resta reiterada pero no siempre. El segundo problema es

40

un ejemplo. Este problema requiere realizar un reparto: los $6 los debo repartirentre las 4 cajas. Las actividades Nº24 y Nº25 del Módulo 2 para alumnosplantean situaciones de este tipo de división. En cambio en la actividad Nº26se plantean situaciones similares a las del primer problema, ya que se puedenresolver como resta reiterada e implican la idea de partición: se deben "partir"los $ 6 en x partes de $ 1,50 cada una.

La propiedad distributiva de la división respecto de la suma

El algoritmo clásico de la división resulta de una aplicación inicial de la pro-piedad distributiva a la derecha (ya que solamente en esa dirección es posible ladivisión respecto de la suma) y de la multiplicación sistemática de la descompo-sición de los números. Por ejemplo:

458 : 4 se realiza teniendo en cuenta que:

(400 + 50 + 8) : 4 = 400 : 4 + 50 : 4 + 8 : 4. Además al realizar 50 : 4 resultaun resto de 1 decena que debe ser convertida en unidades para continuar elalgoritmo (18 : 4).

400 : 4 = 10050 : 4 = 10 y sobra 1 decena = 10 unidades18 : 4 = 4 y sobran 2 unidades ( resto).

114 cociente


• Aplicación incorrecta del sistema de numeración decimal

En un campo hay 604 manzanos dispuestos en filas de 6 manzanos cada una.¿Cuántas filas completas tiene el campo?

El mayor problema suele presentarse cuando las centenas se agotan en elreparto y no hay decenas que repartir. El alumno, entonces, tiene en cuenta lasunidades y olvida las decenas (puesto que no las hay), tanto en el dividendocomo, lo que es peor, en el cociente. Lo expresa así:

6 0 4 60 0 4 1 0

En este caso, es conveniente utilizar el material que aparece al final delMódulo 1 para alumnos: recortar 6 centenas (cuadrados de 100 cuadraditos) y4 cuadraditos sueltos (unidades) y, realizando los canjes correspondientes,resolver la división construyendo el algoritmo.

41

Otro procedimiento válido, es la estimación previa a partir de sucesivasmultiplicaciones por la unidad seguida de ceros, por ejemplo:

6 x 10 = 60 < 6046 x 100 = 600 < 6046 x 1000 = 6000 > 604

Esto implica un importante trabajo de estimación de resultados, ya que lepermite al alumno saber que va a contar con centenas, decenas y unidades enel cociente, pues éste va a estar entre 100 y 1.000.

• Suele ocurrir que, llegado el momento de verificar el resultado con la calculadora, el alumno olvide colocar la coma decimal (en la calculadora, el pun-to), por ejemplo, si tiene que resolver: 12,5 : 4. Si previamente el alumnoestimó que el resultado de 12,5 : 4 tiene que ser un poco mayor que 3 (ya que 12 : 4 = 3), difícilmente podrá aceptar que 12,5 : 4 dé por resultado 31.

• La primera cifra del dividendo es de menor valor absoluto que la cifra deldivisor.

En la actividad Nº30 del Módulo 2 para alumnos, se plantea el algoritmo 376 : 5 en el que el valor absoluto de la cifra de las centenas es menor que 5 yesto suele ser motivo de errores por la dificultad que presenta.

Lo mismo que en el caso anterior se sugiere trabajar con el material que seadjunta al final del Módulo 1 para alumnos.

Como las 3 centenas no se pueden "partir" en 5 partes iguales, habrá quecanjearlas por decenas (30 tiritas) y sumarles las 7 decenas sueltas. De estamanera, hay que resolver 37 : 5. Se le puede sugerir al alumno que consulte latabla pitagórica o, como se le propone en la actividad mencionada, quecomplete la tabla del 5 para buscar el número que, multiplicado por 5 da unvalor que se aproxima a 37. Este procedimiento es equivalente al inverso delutilizado para buscar productos en la tabla pitagórica.

Se lee: "dos por tres, es seis".

x 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 6 8

42

Se lee: “seis dividido tres, es dos”

• Aplicación incorrecta de la propiedad distributiva a la derecha de la división respecto de la suma.

Rosa cobró este mes $ 405. Si le pagan $ 5 la hora. ¿Cuántas horas trabajó?

Es un ejemplo similar al mencionado en el caso del campo con las manzanas,ya que también éste tiene 0 en las decenas, pero aquí también se da la otradificultad: la cifra de las centenas es menor que 5.

4 0 5 50 5 8

No se tienen en cuenta las unidades en el momento de dividir. Si se aplicaracorrectamente la propiedad distributiva a la derecha, no podría cometerse eseerror ya que:

4 0 5 : 5 = 4 0 0 : 5 + 0 : 5 + 5 : 5= 80 + 0 + 1

Rosa trabajó 81 horas.

En general, los errores, obstáculos y dificultades de la división, tienen suorigen en la incorrecta aplicación de:

• las reglas del sistema de numeración decimal;• la propiedad distributiva a la derecha de la división respecto de la suma;• no recordar las tablas y tratar de buscar mentalmente los productos.

La actividad Nº27 del Módulo 2 para alumnos, propone el algoritmotradicional como procedimiento para resolver la operación 733 : 3. Teniendoen cuenta las dificultades que, en general, presenta la división, se utilizaroncomo recurso visual, tres tonalidades diferentes de un mismo color, con el finde establecer con facilidad la relación entre la explicación con palabras y lasimbolización numérica.

x 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 6 8

43

Como en el caso de la multiplicación, es importante detectar el origen delerror para evitar mecanizaciones tediosas que no solucionan el problema.

Estadística

Tablas de doble entrada

Las tablas de doble entrada son un recurso valioso para la organización de da-tos y el posterior análisis de los mismos. El adulto está familiarizado con ellas,ya que los medios de comunicación las utilizan como ordenadores de la infor-mación. Las actividades Nº19, Nº20 y Nº21, presentan diferentes tipos de ta-blas, desde un tablero de un hotel, donde los pisos están en la vertical y el nú-mero de habitación en la horizontal, hasta una tabla de posiciones de equiposde fútbol. La actividad Nº21, le propone al alumno buscar tablas de dobleentrada en diarios y revistas.

Se sugiere, de ser posible, trabajar con los alumnos los planos de las guías quese venden en quioscos y librerías o en folletos turísticos de las localidades. Conel propósito de facilitar la ubicación de zonas, barrios o calles, esos planos,hechos en escala, tienen en el borde horizontal, números y en el vertical, letras.Trabajar ubicaciones y recorridos implica no sólo continuar con la propuestainiciada en geometría, sino también ejercitar la lectura e interpretación de lastablas de doble entrada.

Promedio

Es importante favorecer en los alumnos, la comprensión de las informacionesque a diario reciben de los medios para interpretar, críticamente, algunos datoscuantitativos. A continuación se presentan algunas definiciones de conceptosque servirán para interpretar ese tipo de información. El propósito no es queusted los trabaje con los alumnos, sino que los utilice para aclarar dudas cuandola situación lo requiera.

Población: conjunto de individuos (de variada naturaleza) sobre el que seefectúan observaciones. Por ejemplo, los habitantes de la ciudad de La Riojaforman una población.

Muestra: parte de la población sobre la que se trabaja o se observa. Porejemplo, se toma una muestra de 100 habitantes de La Rioja.

Frecuencia: número de veces que se repite un suceso en la muestra observada.Podría ser la cantidad de mujeres, en la muestra tomada.

Promedio (o media aritmética): es el cociente entre la suma de todos losvalores obtenidos y el número de observaciones realizadas. Por ejemplo, sepodría obtener la edad promedio de la muestra, sumando todas las edades ydividiendo por el total de las personas de la muestra.

Moda: es el valor de mayor frecuencia de la muestra considerada.

44

Si en la muestra hay:

15 personas hasta 9 años de edad25 " de entre 10 y 20 " " " 20 " " " 21 y 29 " " " 30 " " " 30 y 40 " " " 10 " de más de 40 " " "

La moda de esa muestra, son las 30 personas de entre 30 y 40 años.

Algunas veces, el promedio no puede considerarse significativo porque estámuy influido por los valores extremos, como en la situación planteada en elMódulo 2 para alumnos, referida a las calificaciones. Es evidente que los valoresextremos 4 y 8, influyeron en el promedio.

Otro ejemplo de promedio no significativo sería el siguiente:

En abril, el equipo azul ganó 3 partidosEn mayo, " " " " 3 partidosEn junio, " " " " 4 partidos

¿Cuál fue el promedio de partidos ganados en esos tres meses?

3 + 3 + 4 10 3,33...3 3

Este resultado no es significativo. En este caso el promedio no es útil.

Se sugiere trabajar con ejemplos propuestos por los alumnos que pueden serel resultado de una tarea de búsqueda de información en diarios y revistas.

45

= =

EVALUACIÓN

Se presentan tres actividades de evaluación que usted podrá reformular omodificar según las dificultades y logros de los alumnos durante el desarrollodel módulo.

En caso de cambiar los valores de la actividad Nº3, tenga presente que la sumadebe tener como resultado un número entero, ya que en el Módulo 2 paraalumnos, no se trabajó la división con expresiones decimales.1.- El restaurante "La Moderna" ofrece comidas para enviar a domicilio. Éstas

son algunas de las ofertas:

MINUTAS

Milanesa $ 3,50Milanesa suiza $ 3,90Milanesa napolitana $ 5,00Suprema de pollo $ 4,00Suprema suiza $ 4,70Suprema napolitana $ 6,00Bife de chorizo $ 5,80Entrecot $ 4,40Ensalada de estación $ 3,00Papas fritas, naturales o puré $ 3,00Tortillas (papa o acelga) $ 3,00

SANDWICHERÍA

Hamburguesa sola $ 2,50Hamburguesa c/queso $ 3,00Hamburguesa c/jamón y queso $ 4,00Hamburguesa completa $ 4,50Lomito solo $ 4,50Lomito c/queso $ 5,00Lomito completo $ 6,00Arabesco simple (jamón y queso) $ 3,00Arabesco completo(jam.,queso,tomate y huevo) $ 4,00Sándwich de milanesa $ 3,00Sándwich de milanesa completo $ 4,50

Un grupo de ocho amigos decide hacer el siguiente pedido:

5 milanesas2 supremas de pollo3 hamburguesas completas4 porciones de papas fritas

Y deciden dividir el importe por partes iguales entre los ocho, ¿cuánto pagócada uno?

46

2.- Este es el plano de la zona de envío del restaurante "La Moderna".

a) Nombre dos calles que sean perpendiculares.

b) ¿Qué clase de ángulo es el que aparece en el plano, limitado por las calles Ri-vadavia y Belgrano?

c) ¿Y el que está limitado por las calles Independencia y San Martín?

d) ¿Roca e Independencia son paralelas? ¿Por qué?

3.- Éstos son los gastos diarios de Juan, durante una semana:

Lunes $ 8,75Martes $ 13,00Miércoles $ 9,25Jueves $ 19,00Viernes $ 11,50Sábado $ 14,50Domingo $ 15,00

¿Cuál fue el promedio de gastos esa semana?

47

Rivadavia

Roca

Inde

pend

encia

San Martín

Laprida

Alberdi

Bel

gran

o

BIBLIOGRAFÍA

Bindstein, Mirta y Hanfling, Mirta: Matemática 1. Buenos Aires, Aique, 1993,cap. 2, 7, 8.

Buenos Aires (Provincia). Dirección de Educación Primaria: Matemática paramaestros. Buenos Aires, 1991.

Catalá, Flamarich, Fortuny Aymemmi. Invitación a la didáctica de lageometría. Madrid, Síntesis, 1989.

Chemello, Graciela; Carozi de Rojo, Mónica y otros: “La matemática y sudidáctica.Nuevos y antiguos debates”, en Didácticas especiales. Buenos Aires,Aique, 1992.

Maza Gómez, Carlos: Enseñanza de la multiplicación y de la división.Madrid, Síntesis, 1991.

49

2 315 64

8 970 #*

12x5=60

MÓDULO 3

ÍNDICE

Introducción 55

Contenidos y actividades 56Noción de proporcionalidad 57Las mediciones 59La longitud 60Las escalas 60

Geometría 62Polígonos 62Clasificación de los polígonos 63La superficie de los polígonos 64Cálculo de superficies 66

Operaciones 67

Evaluación 70

Bibliografía 73

INTRODUCCIÓN

En el Módulo 3 para alumnos se desarrollan contenidos de los ejesOperaciones, Medida y Geometría. En el eje Operaciones, como ya se procediócon otros temas, se trabaja la noción de proporcionalidad a partir de situacio-nes cotidianas. El propósito es que los alumnos reconozcan si existe o no existerelación de proporcionalidad entre dos magnitudes; y que utilizando las propie-dades de la proporcionalidad, frente a una directa, puedan calcular valores noconocidos. Teniendo en cuenta que los adultos hacen este tipo de cálculos utili-zando el sentido común, convendría que analizaran que están utilizando talespropiedades.

En el eje Medida se comienza diferenciando las magnitudes escalares de las noescalares. Este concepto no siempre es tratado en forma correcta, generándoseconfusión entre qué cosas pueden ser medidas y cómo, y cuáles son las que nose pueden medir.

A partir de la noción de proporcionalidad y de magnitudes, se desarrolla elconcepto de escala, que también se trata en los módulos 2 y 5 de CienciasSociales.

Es conveniente que los alumnos comprendan no sólo el concepto de escala,sino que lo apliquen para calcular o representar distancias.

Dentrode las magnitudes escalares, se desarrollarán,principalmente, el concep-to de medir y el de dos de las magnitudes más utilizadas; longitud y superficie.

Al iniciar el tema de medidas de longitud se trabajará con unidades no con-vencionales hasta llegar a la necesidad de utilizar una unidad de medida con-vencional.

Con respecto a la superficie, al igual que en el caso anterior, se comienza conunidades no convencionales hasta llegar a las convencionales establecidas en elSIMELA.

En el eje Geometría, a partir de las curvas y los poliláteros se arriba al conceptode polígonos, su clasificación en regulares y no regulares, en el nombre quereciben según el número de lados y en el reconocimiento de sus elementos.

Trabajar con la superficie de los rectángulos, se considera propósito central yaque a partir de su fórmula y del concepto de la superficie se obtienen las fór-mulas de la mayoría de las restantes figuras planas.

Las actividades de cálculo de superficie, son ejemplos de cómo en una mismaactividad, se relacionan todos los ejes, ya que también se debe operar y medir.

En el Módulo 3 los objetivos tienden a que el alumno:

◆ Afiance la comprensión y la correcta utilización de los algoritmos de la multipli-cación y la división, especialmente con la unidad seguida de ceros.

55

◆ Conceptualice la noción de proporcionalidad.

◆ Comprenda los conceptos de medida: perímetro, superficie y volumen.

◆ Aplique adecuadamente las unidades convencionales de longitud y superficie.

◆ Reconozca los elementos de los polígonos.

◆ Utilice correctamente las fórmulas para calcular superficies y volúmenes.

◆ Emplee el concepto de escala para calcular longitudes o para hacer representaciones.


El siguiente esquema sintetiza los contenidos del Módulo 3 para alumnos.

56

Operaciones

Multiplicación de una expresióndecimal por unnúmero de dos

cifras

Multiplicación y división

de un decimal por la unidad

seguida de ceros

Noción deproporcionalidad

Formas planas

Polígonos

Escalas

Magnitudes escalares


Cálculo de la superficie de un rectángulo

Longitud Superficie

Unidades desuperficie

convencionales yno convencionales

Medida Geometría

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Noción de proporcionalidad

Si bien el desarrollo de la proporcionalidad directa e inversa son contenidosdel próximo módulo, en el Módulo 3 para alumnos se presenta la noción deproporcionalidad en situaciones cotidianas. En general los adultos, no tienenformalizado este concepto pero lo aplican cuando preparan recetas de cocina,mezclas de combustible o de albañilería, y realizan interpretación de planos,mapas u hojas de ruta, etc. En el módulo para alumnos, se han utilizado al-gunos de estos casos. Es apropiado en las instancias presenciales proponer otrassituaciones cotidianas para reconocer si existe o no existe proporcionalidaddirecta.

Respecto a la proporcionalidad, para que reconozcan cómo se relacionan dosmagnitudes en forma directamente proporcional, usted puede trabajar con losalumnos a partir del error. Es común que los adultos utilicen criterios para elreconocimiento de magnitudes directamente proporcionales que son inco-rrectos, por ejemplo, suele pensarse que: "Si al aumentar una magnitud, tam-bién aumenta la otra, entonces son directamente proporcionales". Esto no sóloconfunde, sino que origina errores en la resolución de problemas ya queutilizan las propiedades de proporcionalidad en situaciones en que nocorresponden porque no existe tal relación. Usted podrá dar algunos ejemploscomo las boletas de servicios (electricidad, gas, teléfono, etc.), para demostrarque esta condición es insuficiente. Es fácil comprobar en estos casos que aldoble de consumo no le corresponde el doble de importe.

Otro de los errores relacionados con proporcionalidad, es considerar la razóncomo sinónimo de fracción. Cuando se utiliza una razón, lo que se está hacien-do es indicar la relación que existe entre dos cantidades. Por ejemplo, si decimosque de cada 3 personas altas hay 5 bajas y escribimos la razón 3 , esta escritu-

5ra establece que la relación entre bajos y altos, indica, entre otras cosas:

Que hay más bajos que altos.Que la cantidad de personas bajas es "casi" el doble que la cantidad de

personas altas.Que en un grupo de 800 personas posiblemente 300 serán altas y 500

bajas, etc.

En las relaciones, decir 3 de cada 5 es igual a decir 6 de cada 10 ó 30 de cada50, ya que la relación es la misma.

Las fracciones 3 , 6 y 30 son equivalentes, pero no iguales. 5 10 50

Si se tiene en cuenta que se opera del mismo modo con las razones y con lasfracciones, no es necesario establecer esas diferencias ante los alumnos, perotampoco deben tratarse del mismo modo. En este sentido, es conveniente quese remarque la lectura correcta de una razón. Por ejemplo, si resulta 5 , debe

6leerse "cinco de cada seis" y no "cinco sextos". La lectura correcta permitemarcar la relación entre esas cantidades y no un número, como resulta de leer"cinco sextos".

En las razones, al igual que en las fracciones, se escribe la línea de separaciónen forma horizontal y no oblicua.

Sólo después de utilizar correctamente la escritura, la lectura y el concepto derazón, los alumnos están en condiciones de continuar con proporciones.

Para comprender qué representan, las proporciones también requieren serleídas correctamente.

3 6 =

4 8

En las proporciones al igual que en las razones, la lectura correcta permiteobservar la relación que existe entre las cantidades, de tal manera que, en casode conocer tres de las cuatro cantidades, al calcular la cuarta su resultado seinterprete como un resultado lógico y no simplemente como el resultado deuna cuenta.

En el Módulo 4 para alumnos se tratará nuevamente el tema de la proporcio-nalidad. En el Módulo 3 se trabaja la proporcionalidad directa porque resultamás sencillo para los alumnos.

Si se observaran dificultades con este concepto en algunos adultos, conven-dría continuar con más ejemplos tratando de que éstos estén de acuerdo con lasactividades cotidianas de los alumnos, como las que se enuncian a conti-nuación.

a) Si para preparar 4 porciones de gelatina se requieren 2 tazas de agua, ¿cuántastazas se necesitarán para 8 porciones?

b) Si se gastan 3 panes de jabón en 2 meses, ¿para cuántos meses alcanzarán 9 panes? (Gastando en forma regular el jabón.)

c) Si en 3 hectáreas se obtuvieron 5 toneladas de grano, ¿cuántas toneladas se obtendrán en 6 hectáreas? (Se entiende que el rendimiento por hectárea se considera aquí de manera constante.)

d) ¿Cuántos kilos de fruta se espera cosechar, si de los 4 primeros frutales se cosecharon 80 kilos y en total existen 400 frutales? (Se supone que los frutales tienen el mismo rendimiento.)

Las aclaraciones entre paréntesis, indican lo que permanece constante en cadaunode los problemas enunciados. Cuandoexiste una relación directamente pro-porcional, es conveniente indicar o buscar la constante de proporcionalidad.

Si no se lo explicita, nada garantiza que lo sea. Por ejemplo, en el problema b) es máslógico pensar que no gasta siempre la misma cantidad de jabón. Al señalar que se gasta

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"3 es a 4 como 6 es a 8" óSe lee: "Es igual 3 de cada 4 que 6 de cada 8"

La relación que existe entre 3 y 4 es la misma que entre 6 y 8

en forma constante queda claro que se supone una regularidad en el problema que seplantea. Esto permitirá decir que existe proporcionalidad directa.

Por intuición o por sentido común hallarán y justificarán las respuestas, loque no quita que se llegue también al resultado siguiendo el procedimiento ma-temático correspondiente, ya que no siempre el resultado será fácilmente calcu-lable sin utilizar la proporción escrita. En cuanto al procedimiento matemáticocorrespondiente, éste se planteará en el Módulo 4.

El cálculo aproximado del resultado, en forma mental o por intuición, debeser estimulado; pero es el procedimiento escrito el que permitirá calcular co-rrectamente en situaciones más complejas.

Otra de las formas de trabajar con proporciones es a través de tablas, éstastienen algunas ventajas, por ejemplo permiten interpretar los datos de unproblema en forma más ordenada, reconocer más fácilmente la constante ocalcular varias incógnitas a partir de un sólo enunciado.

Trabajar con el concepto de proporcionalidad es necesario para abordar uncaso particular de las proporciones que es la escala.

Las mediciones

En el mundo físico y sensible, la cantidad se manifiesta de dos modosdistintos, para diferenciarlas, se puede partir de las siguientes preguntas:

• ¿Cuántas hojas tiene este módulo?• ¿Cuánta agua hay en el vaso?

Para responder a la primera pregunta es suficiente contar y responder con unnúmero, pero no se puede contestar a la segunda del mismo modo. ¿Se puedecontar la cantidad de agua?

En el primer caso la respuesta es una cantidad discreta o discontinua, y paracuantificarla basta contar una por una las unidades que la integran.

En el segundo caso, la respuesta es una cantidad continua y para cuantificarlaes necesario utilizar una unidad de la misma especie y determinar cuántas vecescabe esta unidad en el objeto que se quiere cuantificar.

Las primeras cantidades se cuentan, porque se trata de cantidadesdiscontinuas; las segundas se miden, porque son cantidades continuas.

Es necesario tener presente este tipo de clasificación porque es común que setrabaje con ambas clases en forma simultánea.

La primera actividad que se propone a los alumnos, es reconocer qué cosaspueden ser o no ser medidas con precisión, sin diferenciar entre las cantidadescontinuas y discontinuas.

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La longitud

Para medir una cantidad es necesario establecer una unidad que puede o nopuede ser elegida arbitrariamente. Si se quiere medir una longitud, es lógicoque se piense en unidades tales como el metro o el kilómetro en lugar de pasos,una ramita o cualquier otro objeto, por ser las primeras de uso frecuente y ge-neralizado. Pero, para construir estas unidades convencionales, la humanidadtuvo que recorrer un largo camino. En la antigüedad, sólo se utilizaronunidades no convencionales (objetos, partes del cuerpo humano, etc.)

Transcurrieron muchos siglos hasta que se obtuvieron sistemas de unidadesconvencionales, universalmente aceptadas. Por eso para estudiar las medidas delongitud, como también las de superficie, el camino lógico es a través de lasunidades arbitrarias en una primera instancia, para llegar después a las conven-cionales establecidas en el SIMELA.

El uso de unidades no convencionales en una primera instancia, facilita quelos alumnos comprendan el concepto de medida. Comenzar con unidades co-mo el metro, que en muchos casos es frecuente, no permite ver por qué existenunidades convencionales.

El alumno tendrá que comprender la necesidad de utilizar unidades que resul-ten comunes a todos. Por ejemplo, sugerir que mida el ancho del aula o la altu-ra de la puerta, utilizando el largo del borrador o una tiza como unidad de me-dida de longitud; o bien que el mismo objeto sea medido con diferentesunidades, y que compare y analice los resultados.

En los sistemas como el SIMELA, la existencia de múltiplos y submúltiplos,tiene por finalidad disponer de unidades más grandes o más chicas que la uni-dad base, ya que ésta en muchas ocasiones resulta inapropiada. Por ejemplo,para medir la distancia que existe entre su ciudad y la ciudad de Roma, o paramedir el largo de una hormiga, ¿el metro es una unidad apropiada?

Una vez comenzado el trabajo con unidades convencionales, es importanteque se observe si los alumnos tienen la noción del tamaño de cada unidad; siusted detectara dificultades, podría proponer actividades como las Nº4, Nº5 yNº6 del módulo para alumnos, para que el adulto pueda expresar la equiva-lencia entre una unidad y sus múltiplos y submúltiplos.

De nada sirve correr la coma para uno u otro lado, si no se entiende la equiva-lencia entre las distintas unidades.

Las escalas

Posiblemente, los alumnos hayan interpretado un plano, un mapa, un moldede costura o el esquema de algún electrodoméstico, en estos casos han operadocon el concepto de escala, pero quizá no tienen formalizado dicho concepto.Estas experiencias de vida, resultan útiles para desarrollar el contenido de lasescalas. Por esta razón se utilizaron en el abordaje del tema, mapas, planos, etc.

La forma en que se indican las escalas es muy variada, en especial en geografía.Por eso se incorporaron varias formas de representar o escribir las escalas.

1 300 km 100.000

Posiblemente, algún alumno podrá preguntar por alguna de las no utilizadasen el módulo, en todos los casos, lo importante es remarcar que sólo sonmaneras diferentes de expresar lo mismo. El concepto de escala, como ya seexpresó, se trabaja también en los módulos 1, 2 y 5 de Ciencias Sociales.

Fundamentalmente, lo que debe quedar claro es que la escala es la relación(razón) entre la medida con que se representa una distancia y la medida real deesa distancia.

Por lo tanto:

1100.000

1 : 50.000 Indica que cada cm representa 50.000 cm.

En los ejemplos anteriores, no se indican unidades, sino que se podrá mediren cm, mm u otra unidad para obtener la correspondencia en la misma unidad.

300 kmEn Con la longitud del segmento dibujado se representa

300 km de la distancia real.

Esta representación es frecuente en mapas. Muchas veces el segmento está di-vidido en segmentos menores para establecer distancias reales más pequeñas.

El uso e interpretación correcta de la escala, permite comprender la relaciónentre magnitudes muy grandes o muy pequeñas.

Por ejemplo las dimensiones que tiene el sistema solar y los cuerpos que lointegran, que se estudian en el Módulo 3 de Ciencias y Tecnología, son impo-sibles de comprender si no es a través de una proporción o un gráfico en escala.

La ejercitación adicional se planteará de acuerdo con el tipo de dificultad quepresenten los alumnos. Si el problema radica en que no puede operar con elconcepto, será necesario proponer actividades como la Nº30 del Módulo 3para alumnos y trabajar con planos, mapas o esquemas, para calcular longitu-des utilizando la escala que se indique en cada caso.

Una actividad para proponer a los alumnos, podría ser dar la medida real deun objeto, y tomando la de su representación, hallar la escala utilizada.

Una actividad que integre todo lo anterior, sería representar algún objeto conuna escala previamente establecida por los alumnos, por ejemplo la represen-tación del aula, del patio, de un armario, etc.

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1 : 50.000

indica que por cada cm representado la distancia real es de 100.000 cm.

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Geometría

El edificio geométrico fue construido por los seres humanos a lo largo demuchos siglos. Sobre él se han escrito importantes tratados que generarondiscusiones entre matemáticos ilustres; transcurrieron siglos hasta llegar aalgunos acuerdos.

La enseñanza de la geometría también pasó por períodos críticos. Durantemucho tiempo se enseñó matemática y especialmente geometría, con unordenamiento, una sistematización y un rigor científico que poco tenía que vercon las posibilidades y los intereses personales de los alumnos para aprendermatemática.

El tratamiento de la geometría en el Módulo 3 para alumnos, va desde lageometría física (de las representaciones gráficas y materializadas), a la geome-tría abstracta (conceptualizaciones matemáticas).

No hay dudas, desde el punto de vista didáctico, de que la geometría delmundo físico es un modelo excelente para el desarrollo de la geometría mate-mática. Se comenzó el estudio de la geometría (en el Módulo 2) presentandoactividades que intentaron poner en contacto a los alumnos con algunos con-ceptos geométricos.

A partir del Módulo 3 para alumnos se incorpora el lenguaje de las represen-taciones geométricas.

Polígonos

La idea de poligonal surge al considerar segmentos consecutivos no alineados.Si los segmentos o lados de la poligonal no se cruzan, la poligonal recibe elnombre de simple. De lo contrario se llama poligonal cruzada. En ambos casospuede ser abierta o cerrada.

Simples

abierta cerrada

Dentro de las cuatro posibilidades que se presentan en las poligonales, lascerradas y simples son las que, matemáticamente, reúnen las propiedades másinteresantes.

Los alumnos deben notar que los puntos del plano quedan divididos en tresclases; los de la poligonal, los interiores a la poligonal y los exteriores a ella. Estaclasificación de los puntos, permite construir el concepto de polígono. Launión entre la poligonal cerrada y simple con su región interior determina unpolígono: es importante que se establezca con claridad que al polígono per-tenecen tanto los puntos del borde o frontera (poligonal), como también losinteriores.

Respecto de la actividad Nº31 es conveniente que sea el alumno quiencompare las dos figuras y establezca las diferencias. Una de las principales, esque la poligonal es una línea en cambio el polígono no. Por eso en la poligonalsólo existe una dimensión, la longitud. En un polígono son dos las dimensionesy, por lo tanto, tienen como propiedad específica la superficie. Esto es tratadopara facilitar al alumno la conceptualización de perímetro y de superficie.

Clasificación de los polígonos

Generalmente, la primera clasificación que se establece entre los polígonos es:convexos y no convexos (o cóncavos).

Esta clasificación no fue desarrollada en el Módulo 3 para alumnos, pero sien el grupo surgiera la necesidad de hacerlo, se sugiere la siguiente actividad:presentar dos polígonos, uno convexo y otro cóncavo, como los siguientes.

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Cruzadas

abiertacerrada

Solicitar que indiquen las diferencias que observan entre uno y otro. Muchasserán las diferencias que encuentren, y sin lugar a dudas una de ellas será lapropiedad de convexidad de uno de los polígonos. La forma cómo expresenesta condición podrá variar de un alumno a otro, pero el concepto será elmismo.

Una figura es cóncava (o no convexa) cuando con un par de puntos pertene-cientes a ella puede determinarse un segmento que no está incluido en dichafigura.

Es necesario hacer notar que con encontrar al menos un par de puntos quecumplan con este requisito, es suficiente para que la figura se clasifique encóncava. Por lo tanto, para ser convexa no debe existir ningún par de puntosque determine un segmento que no esté incluido en la figura.

La clasificación en cóncavo y convexo, no sólo se aplica a los polígonos. Porlo tanto es necesario verificar que el concepto sea general y no particular paralos polígonos. Por ejemplo con ángulos, con las lentes, etc.

Los polígonos, puden ser regulares o irregulares. Con respecto a esta clasifica-ción, es común que se interprete que para que un polígono sea regular "suslados deben ser iguales". Si bien es cierto que esta condición es necesaria, no essuficiente. Un polígono es regular si y, sólo sí, todos sus lados y todos susángulos son iguales.

La clasificación más utilizada, es la que divide a los polígonos según el núme-ro de lados. Algunos de estos figuran permanentemente en nuestro lenguaje,como el triángulo, el cuadrilátero, etc. En general, esta última clasificación nopresenta dificultades. Es conveniente remarcar que los triángulos y los cuadri-láteros son polígonos, por lo tanto tienen sus mismas propiedades.

La superficie de los polígonos

En ningún momento se ha hecho la diferenciación entre superficie y área,porque se considera innecesaria y sólo contribuiría a confundir a los alumnos,ya que la gran mayoría de los adultos utiliza el término superficie comosinónimo de área y no es necesario establecer su diferenciación.

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a

b

a y b determinan un segmento no incluidoen el polígono. Es cóncavo.

Algo semejante ocurre con los términos congruente e igual, los adultos engeneral desconocen la palabra congruente, pero utilizan permanentemente lapalabra igual, en algunos casos como sinónimo de congruente. De nada serviríainsistir en la diferencia.

Al igual que en la longitud, para llegar al cálculo de superficie y al uso deunidades convencionales, se creyó necesario incorporar el concepto de superficie yel uso de unidades no convencionales. Por eso en la actividad Nº40, se ha inten-tado diferenciar el perímetro de la superficie. A diferencia de las líneas cuyapropiedad es la longitud, la propiedad característica de los polígonos es la superficie.

Para medir una longitud se necesita otra longitud, es decir una magnitud dela misma especie, y, para medir una superficie, es necesario utilizar otra superfi-cie como unidad. Se pueden utilizar entonces, baldosas (si se trata de un piso),manzanas (en el caso de un sector de una ciudad), cerámicas o azulejos (en elcaso de una pared), etc. Además, el alumno podrá proponer otras unidades po-sibles para medir superficies y medir la misma superficie con distintas unidades(actividades Nº42 y Nº43).

Si bien se puede tomar cualquier superficie como unidad, es conveniente quelas últimas que se utilicen durante las actividades que se propongan sean cua-drados, ya que el metro cuadrado es una superficie cuadrada. También en estecaso el alumno debe ver la necesidad de utilizar unidades convencionalesincluidas en el SIMELA.

En el tratamiento de los múltiplos y submúltiplos hay dos aspectos centralesa tener en cuenta: la relación entre las unidades y la formación de la idea deltamaño de las unidades de superficie más usuales.

Estos dos aspectos se pueden trabajar simultáneamente como en las activi-dades Nº44, Nº45 y Nº46. Ante dificultades se puede llevar un metro y con tizao algún objeto que permita marcar, dibujar con los alumnos las unidadesapropiadas. Por ejemplo: medir la superficie del pizarrón, del patio o de unapared. Dibujar entonces cuadrados de 1m por 1m, o de 1dm por 1dm de 1cmpor 1cm y luego contar los m2, dm2 o cm2.

De esta actividad, que puede repetirse con distintos objetos y diferentes uni-dades, surgen varias situaciones adicionales: a) elegir la unidad apropiada; b) launidad elegida no está contenida un número exacto de veces; c) la equivalencia(si se eligen dos unidades distintas para medir la misma superficie).

En el caso a), se verifica si tienen noción del tamaño de las unidades para ele-gir la apropiada. De no ser así, al intentar resolver la actividad, se darán cuentade que es muy pequeña o muy grande la unidad elegida.

La situación b) se dará en casos como el siguiente.

1 m2 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

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Sobre el patio se han dibujado cuadrados de 1 m2 cada uno, en total hay 12,pero queda superficie del patio sin medir. ¿Cómo se determina la medida de lasuperficie restante?

Aquí los alumnos pueden proponer: 1) Estimar lo que quedó (más o menos4 m2 dando un total de 16m2). 2) Completar el resto de la medición con dm2

(en este caso se dibuja en lo que queda del patio, cuadrados de 1 dm por 1 dm).Finalmente, se podrán comparar las dos respuestas.

En c), se presenta una buena ocasión para mostrar equivalencias. Si porejemplo, la superficie de un pupitre es de 18 dm2, al medirla con cuadraditosde 1 cm por 1 cm, se obtendrán 1.800cm2.

Para medir superficies también se utilizan las unidades agrarias, fundamen-talmente, la hectárea. Generalmente los hombres y mujeres que trabajan o hantrabajado en el campo, tienen presente esta unidad de medida. Con ellos sóloserá necesario trabajar la equivalencia con el hectómetro cuadrado (1 hectárea).

Con los alumnos que no tengan una noción clara del tamaño de una hec-tárea, se la deberá relacionar con el hm2, establecer la manzana de algunas ciu-dades como una superficie similar (se debe tener presente la irregularidad delas manzanas).

Cálculo de superficies

En el Módulo 3 se trabajará sólo el cálculo (con fórmula) de la superficie derectángulos.

En muchas ocasiones, especialmente en geometría, se presentan las fórmulaspara calcular una superficie, un volumen o alguna medida de la figurageométrica como una imposición del maestro o el libro y que el alumno, sincomprenderla, debe aceptar. En tales casos, los alumnos tienen la sensación deque son el "mandato" de algún matemático que vivió hace mucho tiempo y quedeben ser utilizadas mecánicamente.

Las actividades Nº47, Nº48 y, especialmente, la Nº49, permiten que elalumno descubra la fórmula para calcular la superficie de los rectángulos. En elrectángulo de la actividad Nº49, la superficie la obtuvo multiplicando 10 cmpor 6 cm, que son las medidas de ese rectángulo, pero el procedimiento sepuede generalizar, ya que en todos los casos, el producto de la base por la alturapermite hallar la superficie de un rectángulo.

Si el alumno, es quien generaliza, podrá:

• Comprender y recordar fácilmente las fórmulas correspondientes y reconstruirlas si es necesario.

• Valorar la importancia de analizar situaciones particulares, ya que a partir de casos individuales se pueden obtener conclusiones generales.

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La obtención, comprensión y utilización de las fórmulas por parte de losalumnos, permite ir de lo concreto y particular a lo general, representativo yabstracto.

La fórmula para calcular superficies de rectángulos es fundamental, ya que lasfórmulas para el resto de las figuras (directa o indirectamente), están relaciona-das con ésta.

De ser necesario, se pueden proponer actividades similares a la Nº49. Si losalumnos comprenden el concepto de superficie y el de multiplicación, notendrán dificultades para aplicar o reconstruir la fórmula para calcular la super-ficie del rectángulo; de lo contrario, hay que verificar en cuál de estos dosconceptos está la dificultad, para poder superarla.

Otras actividades podrían ser las que los alumnos piensen en situacionescotidianas en donde necesiten calcular las superficies. Por ejemplo, calcular lasuperficie de un vidrio que debe ser reemplazado, la de una huerta que debe serabonada o sembrada, la de una pared que se quiere empapelar, etc.

Luego de haber hecho cálculos simples, se pueden proponer actividades comola Nº51, donde intervienen muchos de los temas desarrollados en el módulopara alumnos. Ejercicios semejantes, pueden realizarse no sólo a través del grá-fico de las paredes, sino tomando una habitación para graficar sus paredes,medirlas y luego resolver la actividad.

El aula siempre ofrece posibilidades muy buenas para generar actividades. Eneste sentido, es bueno llevar o pedir que los alumnos lleven instrumentos paramedir. En este tipo de actividades, la vivencia que se genera por tener queobtener los datos para resolver el problema, generalmente, hace que éstos seanordenados y utilizados correctamente.

Operaciones

Los algoritmos se olvidan fácilmente cuando no son comprendidos. La com-prensión del algoritmo tanto de la multiplicación como de la división, estábasada, principalmente, en un manejo apropiado del sistema de numeracióndecimal.

Los alumnos, en muchas ocasiones operan mal al querer aplicar un mecanis-mo que no comprenden o no lo recuerdan por haber sido incorporado sólo enforma mecánica.

Si en un grupo hay alumnos que cometen errores al multiplicar o dividir, enespecial con dos cifras, no es conveniente insistir con más cuentas, como máxi-mo se logrará que temporariamente obtengan algunos resultados correctos. Enestos casos, es necesario observar las cuentas realizadas por ellos. Se notará que,en general, los errores se relacionan con el sistema de numeración decimal, yasea porque encolumnan mal o porque transforman unidades de uno a otro or-den en forma incorrecta.

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Para superar estos errores, es necesario que usted plantee actividades que serefieran al sistema de numeración decimal y luego rehacer junto con losalumnos las operaciones resueltas incorrectamente, indicando por qué se operade esa manera, para que puedan reconocer la causa de sus errores.

En la historieta que introduce al tema multiplicación y en la actividad Nº12,se sugiere que en lugar de multiplicar por 12, se multiplique por 2 y por 10 yque se sumen los resultados, ya que en esto consiste el algoritmo de la mul-tiplicación por dos cifras.

Hasta que el algoritmo no esté comprendido, es conveniente que se utilicenlas columnas de C, D y U. Los alumnos solos sabrán cuándo no usarlas más.

El mismo tipo de dificultades, presenta la multiplicación de una expresióndecimal por un número natural. Por lo tanto, es necesario insistir en lasmultiplicaciones entre números naturales antes de pasar a agregar una mayordificultad al utilizar la coma decimal.

En las primeras multiplicaciones, es conveniente mencionar que se estámultiplicando y que se obtiene, por ejemplo, en la actividad Nº15: "2 por 4centésimos, es igual a 8 centésimos" y ubicarlo en la columna que corresponda.

Las primeras actividades de multiplicación (actividades Nº12 y Nº15) y dedivisión (actividades Nº23 y Nº24) por dos cifras, es conveniente explicarlasoralmente para facilitar su comprensión, ya que la secuencia indicada pararesolver las operaciones y sus justificaciones, pueden no ser comprendidas portodos los alumnos. No se puede agregar más texto a los ejercicios para que noresulten demasiado extensos.

La multiplicación y la división por la unidad seguida de ceros, permite hacercálculos aproximados del resultado de una cuenta sin necesidad de hacerla concalculadora o escribiéndola.

Hay que estimular a los alumnos para que antes de realizar una operación,estimen un posible resultado. De esta manera, si al hacer una cuenta por escritoel cálculo se realiza mal, notarán que el resultado no es correcto y revisarán lacuenta. Por ejemplo, si se tiene que multiplicar 154 por 13, se puede pensarque si se multiplica 154 por 10 y se obtiene 1540, entonces por 13 será algomás, tendrá que dar aproximadamente 2000; si al hacer la cuenta da muchomás o mucho menos, es evidente que hay un error. Es posible que muchosadultos utilicen estrategias semejantes, en estos casos conviene que las com-partan con el resto del grupo. Esto los estimulará y permitirá a los otros irconstruyendo sus propios procedimientos.

Las actividades Nº17, Nº20 y Nº22, permiten que los alumnos descubran lapropiedad referida a la multiplicación y la división por la unidad seguida deceros. Las tablas de equivalencias que se presentan, muestran que siempre ocu-rre lo mismo, descartando lo que en una sola cuenta podría parecer casualidad.

El algoritmo de la división por dos cifras no es distinto al de una cifra, perotiene sus particularidades. Por ejemplo:

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C D U 7 4 8 21 ¿Se puede dividir 7 centenas por 21?

Como la respuesta es no, generalmente se dice: "entonces se toma la cifra quesigue", esto no tiene la justificación correspondiente y comienza a convertirseen un mecanismo incomprensible. Lo correcto es utilizar el sistema de numera-ción y pensar, "Como no se puede dividir 7 centenas en 21 partes iguales setransforman las 7 centenas en decenas, o sea 70, más 4 que ya se tenían da 74decenas".

C D U 7 4 8 21 ¿Se puede dividir 74 decenas por 21?

La respuesta ahora es sí. El problema es cuánto se obtiene.En la actividad del módulo para alumnos, para poder hallar cada una de las

cifras del cociente, se agregaron todos los productos del dividendo por unacifra. Ésta es una de las técnicas posibles. Otra forma de hallar la primera cifradel cociente, es por tanteo. Éste es el procedimiento más utilizado, pero no esel mejor para iniciar el tema, porque implica muchos cálculos innecesarios quepueden evitarse si el alumno sabe las tablas, o utiliza la tabla pitagóricasabiendo lo que busca.

C D U 7 4 8 6 3 1 1 8

Generalmente se dice " se baja el 8". ¿Por qué?, ¿para qué?. Si no se cambia ojustifica este tipo de expresión, se cae en el mecanismo incomprensible.

A partir de este paso, el ciclo se repite, se busca el cociente entre 118 y 21 yse sigue...

C D U 7 4 8 216 3 35 Si el propósito es obtener un cociente decimal, sólo 1 1 8 se necesita mostrar que el 5 obtenido en el cociente1 0 5 corresponde a las unidades, por lo tanto, para con-1 3 tinuar, es necesario transformar 13 unidades en 130

décimos (generalmente se dice "se agrega un cero alresto"), obteniendo en el cociente como próxima cifra 6 décimos, por eso secoloca la coma decimal en el resultado.

Sintetizando, para los adultos que ya saben este tipo de procedimientos habráque justificarlos, mejorarlos y controlarlos. Para los que lo están aprendiendo,es necesario que justifiquen permanentemente. Esto ayudará a que compren-dan y no olviden los algoritmos.

Recuerde que la calculadora podrá ser utilizada para verificar los resultados.

213

69

11 decenas se transforman en 110 unidades, más las8 que ya había, da 118, por eso se escribe el 8 juntoal 11.

EVALUACIÓN

La siguiente es una actividad de integración propuesta para la evaluación. Esconveniente tener en cuenta que un error de medición o de cálculo, puedemotivar que las respuestas que dependan de éste no sean correctas, pero esto noimplica necesariamente que el alumno haya procedido mal.

Campo "La luz güena"

En el gráfico se ha hecho el esquema de un campo, el recuadro mayor corres-ponde a los límites del campo, el interior al sector destinado a la vivienda.

1) Mida y escriba cuántos cm tiene el ancho (base) del rectángulo,

2) Si la medida real del ancho del campo es de 900m, ¿cuál es la escala utilizada para la representación?

3) ¿Cuál es el perímetro del campo?

4) Si por cada 25m de alambre perimetral se quiere colocar un cartel, ¿cuántos carteles podrán ubicarse?

5) Calcule la superficie total del campo

6) ¿Cuál es la superficie del sector destinado a vivienda?

7) Si el resto del campo es utilizado para criar animales. ¿Cuál es la superficie destinada a esta finalidad?

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8) Exprese esta superficie en hm2, o sea, son hectáreas

Si por ejemplo en el punto 1) el alumno mide mal y en lugar de medir 9cmlee 10cm, la escala ya no será la dada, pero si usando lo que él midió (10cm),calcula como escala 10cm : 900m o 1cm 90m o como lo exprese,el punto 2) es correcto.

Este tipo de situaciones, pueden darse en cualquier punto de la evaluación, yel criterio a adoptar debe ser el mismo.

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BIBLIOGRAFÍA

Sobre aspectos didácticos

Bandet, J. y otros: Hacia el aprendizaje de las matemáticas. Buenos Aires,Kapelusz, 1965.

Castelnuovo, Emma: Didáctica de la matemática moderna. México, Trillas,1972.

Márquez, Cristina del Carmen: Enseñar a pensar. Buenos Aires, Kapelusz,1987, Cuaderno pedagógico Nº57.

Polya, G.: Cómo plantear y resolver problemas. México, Trillas, 1978.

Sobre contenidos

Proporcionalidad: Amadori, Liliana: Matemática 2. Buenos Aires, Aique, 1994, Capítulo 4.

Las mediciones:Rey, María Esther y otros: Aprendizaje y matemática. La medida. BuenosAires, Plus Ultra, 1982.

Trama, Eduardo y otros: Matemática 2. Buenos Aires, Santillana, 1994, cap. 6.

Tapia, Nelly: Matemática ll. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 6.

Polígonos:Trama, Eduardo y otros: Matemática 2. Buenos Aires, Santillana, 1994, cap. 4.


La superficie, cálculo: Trama, Eduardo y otros: Matemática 2. Buenos Aires, Santillana, 1994, cap. 8.


Operaciones, potenciación:Amadori, Liliana: Matemática 2. Buenos Aires, Aique, 1994, cap. 5 y 11.

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2 315 64

8 970 #*

12x5=60

MÓDULO 4

Índice

IntroducciónContenidos y actividadesOperacionesProporcionalidadLas posibles dificultades de los alumnosPorcentaje Multiplicación y división de expresiones decimalesMedidas de capacidad y pesoGeometría Medición de ángulosEvaluaciónAnexo I: ProblemasProporcionalidad PorcentajeBibliografíaAnexo II: Módulo 4 para alumnos

ÍNDICE

Introducción 79

Contenidos y actividades 80Operaciones 81Proporcionalidad 81Las posibles dificultades de los alumnos 86Porcentaje 88Multiplicación y división de expresiones decimales 90Medidas de capacidad y peso 90Geometría 91Medición de ángulos 91

Evaluación 92

Anexo I: Problemas 94Proporcionalidad 94Porcentaje 96

Bibliografía 99

INTRODUCCIÓN

La organización de este módulo destaca el concepto de proporcionalidad; selo considera un tema fundamental por su utilidad en la vida cotidiana y en laaplicación en otras disciplinas como, por ejemplo, la física. Además, de élderivan otros temas como los de escala, porcentaje y descuento.

La enseñanza de la matemática está estrechamente ligada a la resolución deproblemas. Por tal motivo, el objetivo central de este módulo es presentaralgunas herramientas que lo orienten a usted en:

• la selección de problemas de proporcionalidad para plantear a los alumnos;• la elección de procedimientos de resolución de problemas de regla de tres

y de formas de representación de planteos y soluciones;• la elección de estrategias para superar posibles errores conceptuales y/o de

aplicación de procedimientos por parte de los alumnos.

Un tema no se agota con la resolución de un solo tipo de problemas. Esconveniente enfrentar al alumno con situaciones que contemplen diferentesaspectos en relación con un contenido particular, de tal forma que nuevosproblemas den lugar a nuevas reflexiones y reformulaciones. Por tal motivo, seincorporó al final de este módulo el Anexo I con propuestas de problemas, paraser utilizado cuando usted lo crea oportuno.

En el eje Operaciones, es prioritario el concepto de proporcionalidad, cuyotratamiento se inició en el Módulo 3. Dicho concepto, se fue estructurando apartir de la formulación de una secuencia de problemas con nivel creciente decomplejidad. El propósito es que el alumno analice y confronte los posiblesprocedimientos de resolución de situaciones de proporcionalidad y utilice elque le resulte más conveniente1.

Derivado del concepto de proporcionalidad, se plantea el concepto deporcentaje, que está presente en el quehacer cotidiano del adulto, ensituaciones como: calcular el precio de un producto al que se le practica undescuento determinado (10%, 20%, etc.), comprender los descuentos que se lepractican en su recibo de sueldo, interpretar noticias periodísticas de actua-lidad (resultado de elecciones, aumento en los servicios, etc.). Su tratamientopermite integrar el eje Estadística a partir del análisis e interpretación dediagramas de barras, de torta y tablas de doble entrada.

Otro contenido del eje Operaciones es la multiplicación y división deexpresiones decimales. Se trabajan las operaciones mencionadas en situacionesproblemáticas, proponiendo, en primer lugar, la estimación del resultado y, ensegundo lugar, la resolución exacta, aplicando el algoritmo que corresponda;finalmente, la verificación del resultado con la calculadora.

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1En la segunda impresión del Módulo 4 para alumnos se suprimió la resolución de problemas de proporcio-nalidad por función, debido a las dificultades que la misma presentaba (según encuestas para docentes y alum-nos de varias jurisdicciones).Relacionado con la resolución por función sólo se aclara el significado del término en el lenguaje matemáticoy se plantea la representación gráfica de la función. Por tal motivo se mantienen las situaciones que se resuel-ven sólo con la observación de dicha representación.

En el eje Medida, se presentan las medidas de capacidad y peso en situacionesde la vida diaria. Esto permite hacer referencia a las unidades convencionalesestablecidas por el SIMELA, y plantear la resolución de problemas que integranlos contenidos del Módulo 4: proporcionalidad, porcentaje y operaciones conexpresiones decimales.

Respecto de la medición de ángulos, se comienza comparando las aberturasde los mismos, con un ángulo patrón (unidad no convencional), para llegar ala unidad convencional.

No se realizan operaciones con estas unidades, ya que el propósito es que elalumno conozca el sistema utilizado para medir ángulos, el instrumento que seutiliza (el transportador) y la forma en que se mide, integrando de esta formalos ejes Medida y Geometría.

Los objetivos del Módulo 4 para alumnos tienden a que el adulto:

◆ Reconozca problemas de proporcionalidad.◆ Diferencie la proporcionalidad directa e inversa.◆ Obtenga la constante de la proporcionalidad directa y de la inversa.◆ Resuelva problemas de proporcionalidad directa por el procedimiento que más le

convenga.◆ Resuelva situaciones de porcentaje y descuento, como casos particulares de pro-

porcionalidad.◆ Resuelva multiplicaciones y divisiones con expresiones decimales, estimando pre-

viamente el resultado, y verificándolo posteriormente con la calculadora.◆ Aplique sus conocimientos de medidas de peso y capacidad a situaciones de la

vida cotidiana.◆ Compare y mida ángulos.◆ Interprete y analice gráficos estadísticos.


Se trabajan contenidos de los cuatro ejes: Operaciones, Medida, Geometría yEstadística.

Operaciones Estadística Medida Geometría

- Multiplicación - Tablas Capacidad y división y peso con expresiones - Gráficos Medición decimales de ángulos

- Proporcionalidad - Porcentaje - Descuento


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81

Operaciones

Proporcionalidad

El término proporción y sus derivados (proporcionado, proporcional, despro-porción, proporcionalidad, etc.), son utilizados en el lenguaje cotidiano condiferentes significados. En general, no coinciden con el concepto matemático.Por esa razón, el Módulo 4 para alumnos, se inicia con tres viñetas que corres-ponden a tres situaciones en las que se emplean diferentes acepciones de algúnderivado de la palabra proporción. En las viñetas 1 y 2, se utilizan los términos“desproporcionada” y “proporcionada” con un sentido estético, que tiene quever con la armonía de formas. En la viñeta 3, la palabra “desproporción” remitea un desequilibrio entre lo que se ofrece en venta (artículo) y el precio que sele asigna. Las tres situaciones siguientes, si bien plantean situaciones en las quela palabra proporción y sus derivados tienen sentido matemático, sólo en lassituaciones 2 y 3 los términos se corresponden, estrictamente, con el conceptode proporcionalidad matemática.

Es probable que los alumnos descubran esto, una vez que hayan resuelto todala secuencia de actividades que se les propone, referida al concepto de propor-cionalidad directa e inversa.

Es importante tener en cuenta, al enseñar este contenido, que:

• La proporcionalidad se inscribe en el campo de lo multiplicativo.

Sería significativo comentar con los alumnos en las instancias presencialesque, en los módulos 2 y 3, ellos ya resolvieron situaciones multiplicativas deltipo de: "Un kilo de asado cuesta $2,50. Si compro 3 kilos. ¿Cuánto debopagar?" Éstos son problemas elementales de proporcionalidad. Las tablas demultiplicar también son un ejemplo de proporcionalidad, aunque pocas vecessean explícitamente consideradas como tales.

• El concepto de proporcionalidad se construye a partir de una serie de con-tenidos interrelacionados.

Las siguientes afirmaciones, remiten a la relación de proporcionalidad directa.Por ejemplo si se plantea que:

• un automóvil marcha a 120 km/h;• el plano está dibujado en escala 1:1000;• para 10 porciones de torta utilizo 200g de crema;• una cañería expulsó 50l de agua por minuto;• la perfumería rebaja sus artículos el 20%;• con 2kg de fruta se obtiene 1,50kg de dulce.

La variada complejidad de estas situaciones, está dada, entre otras, por los ti-pos de números utilizados (naturales, racionales), por la naturaleza de las mag-nitudes (peso, capacidad, longitud, velocidad, tiempo), por el concepto de me-dida y por los contenidos derivados (porcentaje, escala).

Todos estos aspectos se interrelacionan, y así la solución de un problema seráproducto de la integración de los mismos.

El Módulo 4 para alumnos plantea la secuencia de problemas propuestos yconsidera:

• los procedimientos o estrategias de resolución;• las diferentes formas de representación de las formulaciones y soluciones;• las posibles dificultades de los alumnos;• los contenidos derivados.

Con respecto a los procedimientos o estrategias de resolución, en el Módulo4 para alumnos se utilizó el ejemplo planteado en el Módulo 3: la proporciónpara la mezcla utilizada en la construcción es de "un balde de cal, por 3 baldesde arena". La actividad Nº4 propone al alumno que complete esta tabla:

arena cal

a) 3 1b) 6 2c) 9 3d) 18 6e) 45 15

Posiblemente, el alumno, completará en b) la relación 6-2 porque "si la arenaaumenta al doble, la cal también". Y en c) completará 9-3 porque en este casola arena aumenta el triple y en d) como es el doble de c) será 18-6 y en e) comoson los datos de c): 9-3 multiplicados por 5, resuelve 3x5 = 15 y 9x5 = 45.

Estas estrategias, dan cuenta de las propiedades de la proporcionalidad que eladulto conoce por su experiencia personal.

En la instancia presencial, se sugiere que los adultos analicen y confronten losdiferentes procedimientos que utilizan. Este espacio de reflexión e intercambio,es útil para despejar dudas y aclarar conceptos.

El primer procedimiento de resolución que se propone a los alumnos, pararesolver situaciones de proporcionalidad (directa e inversa), es el que surge dela propiedad fundamental de las proporciones y que permite calcular unextremo o un medio desconocidos. La ejercitación de este procedimiento,podría hacerse con aquellos alumnos que presenten dificultades, proponiendootras situaciones que tengan que ver con sus intereses o preferencias. Tambiénusted podría proponer a los alumnos que ubiquen la x (incógnita) en diferenteslugares (como medio o como extremo), ya que existe una tendenciageneralizada a colocar la x siempre a la derecha y como extremo de laproporción.

Éstos son algunos ejemplos similares a los presentados en el Módulo 3 paradocentes.

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a) Si en 2 meses gasté $30 en transporte, ¿para cuántos meses me alcanzarán$90? (Si gasto siempre lo mismo.)

2 x$30 $90

b) ¿Cuántos kilos de tomates se espera cosechar, si de las 6 primeras plantas se cosecharon 54 kilos y en total existen 300 plantas iguales? (Suponiendo que tendrán igual rendimiento.)

x 54300 6

Es probable que los alumnos puedan resolver los problemas intuitivamente oaproximadamente. Es importante fomentar esa modalidad, pero como ya seexpresó en el Módulo 3 para docentes, es el procedimiento el que permitirásiempre el cálculo exacto.

Otro procedimiento para resolver problemas de regla de tres, es el de laresolución por función2. Éste es un camino operatorio muy sintético, ya queuna vez determinada la característica de la proporcionalidad: directa o inversa,sólo es necesario hallar la constante de proporcionalidad que se obtiene porcociente ordenado entre y y x, en el caso de proporcionalidad directa:

entonces y = k x

o por producto de y x en el caso de proporcionalidad inversa:

k = y x entonces

Este camino o procedimiento, tan sintético, abstracto y formal, debe comple-tarse con la representación gráfica en el sistema de ejes. La ubicación de puntosen el sistema cartesiano resulta de gran utilidad para interpretar los gráficosestadísticos que se presentan en el Módulo 4 para alumnos.

Desde el Módulo 2, el alumno ha trabajado la tabla de doble entrada aplicadaa diferentes situaciones. Por tal motivo, es probable que la representacióncartesiana no ofrezca dificultad, pero si así fuere, se sugiere trabajar con el gru-po, el tipo de gráfico lineal que se presenta a continuación:

Es habitual ver este gráfico de temperatura en hospitales o sanatorios, al piede la cama del enfermo. Si bien no representa proporcionalidad directa será útilpara compararlo con los gráficos de proporcionalidad y determinar diferencias.

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=

=

k =

y = kx

yx

.

.

.

2Ver página 65.

84

Los alumnos podrían responder a estas preguntas:¿Cuál fue el día que el enfermo tuvo mayor temperatura?¿Qué día tuvo menos temperatura?¿Le parece que el gráfico indica una evolución favorable? ¿Por qué?

También se le podría sugerir al adulto que busque en diarios o revistas,gráficos similares para analizarlos con el grupo.

En el método por funciones, es conveniente el trabajo de representacióngráfica en el sistema de ejes para observar que a cada x le corresponde una y sólouna y.

Es función No es función Es función

Recuerde que como se dice en la nota 1 de pág. 65 la resolución de situaciones deproporcionalidad por función fue exlcuída del módulo para alumnos. Pero dependede su decisión que este tema sea tratado, ya que sólo usted conoce las característicasdel grupo a su cargo.

Es probable que los alumnos propongan como procedimiento de resoluciónde los problemas de regla de tres, el de reducción a la unidad. Este proce-dimiento es largo y tedioso, pero es el adulto quien debe optar por el que leresulte más conveniente. Se presenta un ejemplo de los ya trabajados y resueltospor proporciones:

Si en 2 meses gasté 3 panes de jabón, ¿para cuántos meses me alcanzarán 9panes? (Si gasto la misma cantidad de jabón.)

Cada perpendicularcorta a la gráfica en

un sólo punto

Corta a la gráfica eninfinitos puntos

Cada perpendicularcorta a la gráficaen un sólo punto

A

B

40

39

38

37

36

1 2 3 4 5 6 7

TEMPERATURA

DÍA DE INTERNACIÓN

40

39

38

37

36

y y

xx

Por el procedimiento de reducción a la unidad se plantea la situación de lasiguiente manera:

PlanteoSi 3 panes alcanzan para 2 meses

9 panes alcanzan para x meses

y se resuelve así:

SoluciónSi 3 panes alcanzan para 2 meses

1 pan alcanzará para 2 meses3 panes

9 panes alcanzarán para 2 meses x 9 panes 6 meses3 panes

¿Cómo se expresa verbalmente esta solución? En general, es expresada así: "si3 panes de jabón alcanzan para 2 meses, 1 pan alcanzará para 3 veces menos osea 2 ". Si bien no es incorrecto, es mejor decir "1 pan alcanzará para dos

3 tercios de mes “...y “9 panes alcanzarán para 2 de mes por 9".

3

Frecuentemente se verbaliza sin razonar, como consecuencia de la mecaniza-ción de los procedimientos.

En el caso de que algún alumno prefiera utilizar el procedimiento dereducción a la unidad, sería conveniente respetar su elección. En ese momentosu intervención será fundamental para verificar si aplica mecánicamente elprocedimiento. En este caso usted podría orientarlo para que el adulto encuen-tre la fundamentación a la estrategia utilizada.

En la formulación de los problemas y en su resolución, se han utilizadodiferentes formas de representación: verbal, por tablas, gráfica, por planteo, etc.Cada una de ellas resulta más o menos pertinente, según la información que seconsidere. Por ejemplo: el gráfico cartesiano permite visualizar globalmente elcomportamiento de la relación, y es útil también para comparar dos o másrelaciones (actividad Nº7). Las tablas de datos son apropiadas para elreconocimiento de las propiedades de la proporcionalidad (actividades Nº8a),Nº10, Nº11).

En general, el alumno relaciona cada forma de representación con determina-das tareas y procedimientos, por tal motivo, la utilización de diferentes formasde representación, facilita ciertos aspectos particulares de la conceptualización.Si el alumno es capaz de optar por una forma de representación que le resultesignificativa, se evitará que confunda el concepto con la representación. Éste esun objetivo fundamental en relación con la construcción del concepto de pro-porcionalidad.

85

=

86

Las posibles dificultades de los alumnos

Ya se planteó en el Módulo 3 para docentes, el error que, frecuentemente,cometen algunos alumnos al determinar que dos magnitudes son directamenteproporcionales cuando "a más, más y a menos, menos". Si esto fuera así, todaslas funciones crecientes, representarían una relación de proporcionalidaddirecta: el tamaño de los dientes de un ser humano en función de su edad, elpeso de una persona en relación con su altura, el área del cuadrado en funciónde la medida del lado, etc.

En el Módulo 4 para alumnos, a continuación de la actividad Nº4, sepresentó la tabla incompleta de evolución del peso del bebé Francisco. Sedestaca la imposibilidad de completarla porque no hay una constante; enconsecuencia, no hay proporcionalidad. También sería oportuno, plantear unejemplo como el siguiente: Si un bebé crece 3cm por mes durante los primerosmeses de su vida, ¿cuánto crecerá en 10 años?

Desde el sentido común, se llega a la conclusión de que ésta es una situacióndisparatada, ya que si la relación entre tiempo (meses) y talla (cm), fuera direc-tamente proporcional, en 2 meses aumentaría 6cm, en 4 meses 12cm y en 120meses (10 años), 360cm (más de 3 metros). Es evidente, que si bien aumentael tiempo y el bebé crece (aumenta su talla), las magnitudes tiempo y talla noson directamente proporcionales.

Sería interesante también que los alumnos propusieran otros ejemplos en loscuales, si bien aumenta o disminuye una magnitud, y la otra, aumenta o dismi-nuye, la proporcionalidad no existe.

El trabajo con las tablas -que implica completar datos, buscar la constante deproporcionalidad, aplicar propiedades de la proporcionalidad- favorece laconceptualizacion del tema y, es posible, que luego de resolver varias de estassituaciones, el alumno no reitere el error.

Es importante que usted realice una adecuada selección de los problemas deproporcionalidad para plantear a los alumnos, especialmente, los que relacio-nan magnitudes inversamente proporcionales. Un ejemplo simple, de fácilcomprensión, es la relación velocidad-tiempo (cuando la distancia esconstante). Pero, ¿qué pasa cuando se da como ejemplo de proporcionalidadinversa la relación "tiempo para finalizar un trabajo-cantidad de obreros"? Eneste caso, es necesario aclarar a los alumnos que el resultado de esa situación sedebe considerar estimativo, aunque la vía de resolución sea matemáticamentecorrecta. En esa relación (tiempo para finalizar un trabajo-cantidad de obreros),aparece una variable (el rendimiento individual), que no es posible considerarque sea el mismo en todos los casos (obreros). A propósito de este tema, setranscribe un cuento de Conrado Nalé Roxlo que, en una instancia presencial,podría ser leído y comentado por los alumnos.

Regla de tres

Como todo padre consciente, acostumbro a vigilar los estudios de mis hijos. Lohago desde cierta distancia y encerrado en lo que los grandes novelistas llaman unimpenetrable mutismo. Esta actitud mía no responde a exigencias de mi tempera-

mento que muy otras son ellas, sino a que mis hijos me lo pidieron con los ojos llenosde lágrimas y la libreta de clasificaciones llena de insuficientes; mi esposa con ame-nazas de divorcio en México y el Juez de menores con un exhorto u otro documentopor el estilo.

Confieso que esta situación no me contraría mucho, pues como no salgo de nochedesde que aumentaron los precios de las consumiciones en los cafés, ayudar a mishijitos a hacer sus deberes era para mí no sólo ocasión de grato esparcimiento, sinotambién un saludable ejercicio mental. Pero no quiero culpar a nadie: mis hijosestán influenciados por los malos sistemas pedagógicos en vigencia. Mi esposa por elcinematógrafo, donde se demuestra que los matrimonios no empiezan a llevarse bienhasta después del divorcio, y el juez debía estar influenciado por los códigos y latinesdel ramo.

Las cosas ocurrieron así.En los tiempos en que gozaba de libertad y podía ofrecer a los ángeles que sin duda

nos contemplaban enternecidos, el cuadro de una cabeza regada ya por venerableshebras de plata junto a dos cabecitas castañas y rizadas, que a la luz de la lámparay de la inteligencia buscaban la solución del mismo problema, se presentó éste: Siun albañil, trabajando seis horas, levanta una metro de pared, ¿cuántos metroslevantarán tres albañiles en el mismo tiempo?- ¡Tres metros! -gritó uno de mis hijos.

El otro se quedó chupando el lápiz a ver qué decía yo. Yo dije:- Eso es una perogrullada, Ponceanito.- ¿Cómo? -inquirió mi mujer, que siempre está ojo avizor y oído alerta.- Naturalmente, querida. Es absurdo suponer que el Estado gasta tantos millo-

nes en la instrucción pública, que el magisterio es considerado como unsacerdocio, que Domingo Faustino Sarmiento iba a la escuela en los días delluvia, que yo mismo trabajo horas extras para comprar libros y guardapolvos, quetú te desvelas planchándolos y que estos ángeles, en lugar de correr y brincar porla plaza, pasen toda la mañana amarrados al duro banco escolar para que se lespregunte semejante pavada que todo el mundo sabe. ¡No vamos a caer en latontería de responder de qué color era el caballo blanco de Napoleón!... Quizás larespuesta de Ponceanito estuviera bien en los tiempos del rey que rabió, pero hoyen día es necesario ahondar más, sutilizar más... No olvides que vivimos en lostiempos de Freud y de Einstein, ¡qué diablos!

- A ver cómo lo resolverías tú -dijo mi mujer poniéndose de codos en la mesa y fijando en mí la mirada de las cuentas de fin de mes.

- Razonemos. Un albañil que trabaja solo, en un lugar desagradable como es una casa en construcción, pronto es invadido por la tristeza; el desaliento depensar que tiene tanto trabajo para él solo por delante, lo vence. Su mano caefloja y sin vigor; se enturbian sus ojos por los recuerdos del pasado que asaltan alhombre que está solo. Es presumible que interrumpa su trabajo con frecuenciapara secarse una lágrima con el dorso de la mano y suspirar. Quizá el crup learrebató un hijo; quizá un golpe de mar a su tierna esposa, allá, en la bellaItalia... ¡Pero no lloren, que es un suponer!... Bien, en esas condiciones el trabajoes malo y poco. Pero imaginemos a tres albañiles jóvenes, robustos, llenos deoptimismo y de fundadas esperanzas de hacer la América. Se alientan con alegres

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canciones en que exaltan la dicha del trabajo honesto; se estimulan mutuamentecon gritos de ¡forza!, si son italianos; ¡duro y a la cabeza!, si son españoles; ¡hurra!,si pertenecen a la rubia Albión. En este último caso lo más seguro es que cambienapuestas a quién hace más pared. Además se pueden prestar ayuda alcanzándoseel balde, prestándose argamasa, dándose la mano gentilmente para subir alandamio. Tontos serían si no aprovecharan condiciones tan favorables parahacerse, por lo menos, dos metros de pared cada uno y aún les sobraría tiempopara jugar un partido de bochas.

Aquella noche vencieron la elocuencia y el buen sentido y mi hijo escribió: Si unalbañil hace un metro de pared por día llorando, tres albañiles harán seis metroscantando y jugando a las bochas.

Por poco tiempo pude ayudar a mis hijos de esa manera, pues intervino la incom-prensión de la directora, que arrastró a todos en su caída hacia la vulgaridad delmundo que cree más en la potencia de los números que en la del alma.

Comprenderá ahora, por qué, cuando se plantean problemas de proporciona-lidad referidos al rendimiento humano, al rendimiento de cosechas, etc. esnecesario explicitar que dichos rendimientos se mantienen constantes.

Cuando se seleccionan problemas de regla de tres simple directa, habrá quetener en cuenta los que relacionan artículos-precios, ya que esta relación,aparentemente de proporcionalidad directa, se desvirtúa en el caso de lasofertas. Es común ver estos carteles en las verdulerías y fruterías:

Uva 1kg $ 1 Papas 1kg $ 0,60 ¡Oferta! 2kg $ 1,50 ¡Oferta! 5kg $ 2,50

Es conveniente comentar estos ejemplos con los alumnos, lo que permitirá,en las instancias presenciales, discutir el tema proporcionalidad desde las dudasy los errores.

Porcentaje

El tratamiento de este tema, se realiza teniendo en cuenta un propósito delaprendizaje de la matemática: construir los conocimientos matemáticos apli-cándolos a situaciones de la vida diaria. Por esa razón, se trabajó el tema por-centaje en diferentes situaciones, que procuran integrar conocimientos de otrasáreas del diseño curricular: Ciencias y Tecnología, Ciencias Sociales y For-mación para el Trabajo.

Las actividades Nº17, Nº18 y Nº19, tienen por finalidad, la comprensión delconcepto de porcentaje, y de las representaciones estadísticas (diagramas debarras y de torta). Si algunos alumnos tienen dificultades para la comprensiónde estos conceptos, se sugiere plantear actividades de este tipo:

6 partidos jugados, 50% ganados. ¿Cuántos partidos se ganaron?

100 palabras dictadas, 97 bien escritas. ¿Cuál es el porcentaje de palabrasescritas correctamente?

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8 partidos de fútbol, 4 ganados. ¿Cuál es el porcentaje de partidos ganados?

30 obreros en total, se despidió al 100%. ¿A cuántos obreros se despidió?

O bien trabajar con una representación gráfica de este tipo, para relacionarporcentaje, fracción y expresión decimal.

Parcela sembrada con soja

1 del campo sembrado de soja4

0,25 del campo sembrado de soja25

100del campo sembrado de soja

25% del campo sembrado de soja

La proporción entre el sembrado de soja y eltotal del campo es de 25 a 100.

Si bien se presentó el tema porcentaje como un caso especial de proporcio-nalidad y, en consecuencia, la propuesta de resolución es por proporciónporque se la considera la más económica y adecuada para el aprendizaje de losadultos, recuerde que es fundamental respetar la elección del alumno en cuantoa los procedimientos de resolución. Con respecto al tema porcentaje, puedensurgir estrategias de resolución intuitivas. Por ejemplo, para calcular 10% de$500, generalmente se resuelve dividiendo 500 por 10 (50) o, lo que es igual,quitándole 1 cero a 500. Aquí su intervención es importante para valorar estasestrategias que facilitan el cálculo rápido con la subsiguiente economía detiempo y esfuerzo, y para posibilitar que el alumno pueda descubrir que esasimple división proviene de haber simplificado la expresión que resulta de:

10 x x 10 x 500100 500 100

En la actividad Nº22, se propone una situación en la que la incógnita es eltanto por ciento. Hasta ese momento, sólo se había trabajado el tanto por cien-to como dato del cual partir. Al tratar el tema proporcionalidad, se recomendóque en el procedimiento de resolución por proporciones, se trabajara colocan-do la x (incógnita) en cualquiera de los medios o extremos (en la forma correc-ta). Se tendrán en cuenta estas dos soluciones, ambas correctas.

a) 95 100 b) 20 x20 x 95 100

Que es conveniente verbalizar así:

a) Sobre 95 millones de personas, murieron 20 millones, sobre un total de 100 personas las muertas serán x:

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=

= =

=Multiplicar por 10 y dividirluego por 100 es lo mismoque dividir por 10

b) Si murieron 20 millones de personas sobre un total de 95 millones, habrán muerto x sobre un total de 100.

Si fuera necesario usted podría proponer actividades que figuran en el Anexo Iu otras que considere conveniente.

En las actividades Nº23 y Nº24, se integran los contenidos del eje Estadísticacon el tratamiento del porcentaje. Se han seleccionado informaciones apare-cidas en diarios y revistas, representadas mediante gráficos de barras y de torta.Sería oportuno trabajar grupalmente estas actividades, solicitando a los alum-nos que antes de poner en práctica procedimientos de resolución, estimen elresultado. La misma sugerencia vale para la actividad Nº25.

Multiplicación y división de expresiones decimales

En la actividad Nº27, del módulo para alumnos se presentan situacionesproblemáticas simples en las que se requiere multiplicar expresiones decimales.Se solicita al alumno que estime o calcule, aproximadamente el resultado. Elpropósito es que elija uno entre los dos factores (1,25 ó 2,90), aquel que másconvenga y lo aproxime al número natural que se presente más cercano. Si$2,90 lo convierte en $ 3, le resultará fácil calcular, aproximadamente el resul-tado. Posteriormente, se le solicita que averigüe el resultado exacto, para lo cualdebe resolver la operación. Al resolver este tipo de operaciones, es frecuenteolvidarse de colocar la coma decimal en el producto total, o colocarla mal. Portal motivo, se propone, en un primer momento, la estimación en relación conun problema. Es poco probable que el alumno estime que 1,25m de tela a$2,90 el metro, cueste, aproximadamente, $ 30.000. En cambio, cuando elalumno sólo se centra en la operación, este error es frecuente, y, al olvidarse dela coma decimal dé como resultado exacto: $ 36.250.

En el Módulo 3 para alumnos, se trabajaron los algoritmos de la multi-plicación y de la división por dos cifras. En estos casos, sólo se atendió a laubicación de la coma decimal. En el caso de la división se plantea la necesidadde convertir el divisor en número natural, y se resuelve aplicando la multi-plicación por la unidad seguida de ceros trabajada en el Módulo 3 para alum-nos. En este caso se aplica una propiedad de la división: "si se multiplican odividen dividendo y divisor por un mismo número, el cociente no se altera".Las actividades Nº30 y Nº31, requieren que el alumno estime, resuelva conexactitud y, finalmente, verifique el resultado con la calculadora.

Medidas de capacidad y de peso

En el Módulo 3 para alumnos, a partir de una serie de actividades, se llega alconcepto de medir y a la necesidad de utilizar unidades convencionales demedición.

En el Módulo 4, a partir de una situación cotidiana, conocida por todos, quese relaciona con la prevención del cólera, se introduce la unidad de las medidasde capacidad: el litro, las medidas mayores (múltiplos) y las menores (sub-múltiplos). Se trabaja de una manera similar para plantear las medidas de peso.

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Al respecto es conveniente aclarar que:Desde el punto de vista físico, masa y peso son magnitudes diferentes. La masa es

una magnitud escalar (para expresarla basta un número), mientras que el peso esuna fuerza con que la Tierra atrae a un objeto, y por tanto una magnitud vectorialen la que no basta con dar un número, hay que indicar además una dirección y unsentido. Así, objetos de la misma masa tienen un peso diferente en la Luna; sinembargo en un mismo lugar de la Tierra la atracción de ésta depende sólo de lamasa de los objetos. Dicho de otro modo, objetos de igual masa situados en unmismo lugar de la Tierra tienen el mismo peso.

La afirmación anterior permite sin cometer abuso o error tratar en los niveleselementales la masa-peso de forma indistinguible, pues no parece posible desde elpunto de vista didáctico hacer la separación, ya que los alumnos encontraríandificultades para diferenciar ambas magnitudes. El lugar más adecuado para haceresta distinción debe ser el Ciclo Superior de la EGB, cuando comienzan lasprimeras nociones de física.1

El tratamiento de las medidas, no tiene como propósito que los alumnosexpresen una cantidad en diferentes unidades de medida (lo que habitualmentese llama reducir a...), sino que pueda discriminar qué cosas medir con el l, elcl, el kg, el g o la t. Con este fin se plantean también las actividades Nº32a) yNº33a).

El concepto medida, facilita la integración de otros contenidos. Se planteansituaciones en las que el alumno aplicará nociones de división (actividad Nº32b),promedio (actividad Nº32c), proporcionalidad (actividad Nº33b).

También pueden plantearse situaciones que sólo requieran del pensamientológico y de la estrategia personal. Tal el caso de las actividades Nº32d) y Nº34.Una puesta en común de las soluciones a este problema, permitirá el intercam-bio, la discusión y la confrontación. Proponer a los alumnos ayudarse con gráfi-cos, contribuirá a facilitar la resolución. En la instancia presencial, recuerde lautilidad de la explicitación oral de las estrategias personales utilizadas.

Geometría

Medición de ángulos

Se sugiere destacar la semejanza entre la medición de ángulos y la mediciónde segmentos. Para medir ángulos, también pueden utilizarse unidades noconvencionales (ángulo "patrón") como se hizo en la medición de longitudes.Sin embargo, es importante que el alumno llegue a considerar necesaria lautilización de unidades convencionales. Por otra parte la comparación entre án-gulos, exige mayores consideraciones que entre segmentos, pues es imprescin-dible hacer coincidir los vértices y uno de los lados. Si esto está aprendido porlos alumnos, la adquisición de la habilidad para el uso del transportador, nodebe ser motivo de preocupación ni para usted ni para ellos. Lo importante esque los adultos reconozcan qué unidades se utilizan para medir ángulos, quecomprenda cómo se los miden y qué instrumento se utiliza para tal fin.

1 Chamorro, C. y Belmonte, J.: El problema de la medida. Didáctica de las magnitudes li-neales. Madrid, Síntesis, 1991, pág. 82.

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EVALUACIÓN

Las siguientes actividades de evaluación podrán ser modificadas si usted locree conveniente, teniendo en cuenta el proceso de aprendizaje de los alumnos,las estrategias que emplean para resolver situaciones y las dificultades que pre-sentaron.

La Sociedad de Fomento de Villa Real organizó un festival con motivo decumplirse el 50 aniversario de su fundación

De los 2.000 vecinos que habitan la Villa asistieron 800.

a) ¿Qué porcentaje de vecinos asistió al festival?

Se recaudó la suma de $ 6.000 para repartir entre los ganadores de lascompetencias deportivas. Éstos no serían más de 6. Podría ser un solo ganador,ó 2 ó... Para calcular qué cantidad de dinero le correspondería a cada uno, seconfeccionó una tabla.

b) Complete la tabla

Cantidad de Cantidad de $ganadores para cada uno

1 6.0002 3 4 5 6

c) Coloque una x en la respuesta correcta

En la tabla anterior:

a) Hay proporcionalidad directa.

b) No hay proporcionalidad.

c) Hay proporcionalidad inversa.

92

Fue elegida por votación de los presentes, la Reina de Villa Real entre 6jóvenes postulantes. Votaron 600 personas y el resultado obtenido, traducidoen porcentajes fue el siguiente:

Participante % de votos

Mónica 30Victoria 15María Elena 20Jimena 10Verónica

d) ¿Cuál fue el porcentaje de votos para Verónica?

e) Del total de votantes ¿cuántos votaron a Mónica? ¿A Victoria? ¿A Jimena?

Se resolvió entregar un banderín de tafeta, a los ganadores de las competenciasdeportivas, además del premio en dinero. El diseño del banderín es el siguiente:

Escala : 10cm : 1cm

f) ¿Cuántos cm2 de paño se utilizaron para confeccionar los 6 banderines?

g) Si la tafeta tiene 1m de ancho, ¿alcanza 1m de tafeta para hacer los 6 bande-rines? ¿Por qué?

93

10 cm10 cm

35 cm

Anexo I: Problemas

El propósito de este Anexo es ofrecer una variedad de problemas, de acuerdocon las dificultades y logros de cada uno de los alumnos, para que usted puedaelegir la secuencia apropiada.

Los problemas están agrupados en dos temas: proporcionalidad y porcentaje,aunque muchos de ellos integran otros contenidos como medidas de capacidady peso, división y multiplicación de expresiones decimales y estadística.

Proporcionalidad

1) Un motor consume 20 litros de combustible en 4 horas. Completar la tablaque relaciona tiempo de marcha del motor con cantidad de combustible queutiliza, suponiendo que el gasto de combustible por hora es siempre elmismo.

Tiempo de funcionamiento Combustible que consumehoras litros

24 208

10100120

2) Estas listas corresponden al precio del café de la misma marca que se vende sólo por kilo en cantidades enteras. Complete la columna "precio por kilo"

Lista "A"Kilos Precio de venta Precio por kilo

2 $ 11,60 $ 4 $ 23,20 $ 5 $ 29 $ 8 $ 46,40 $

10 $ 58 $

Lista "B"Kilos Precio de venta Precio por kilo

1 $ 6,20 $ 4 $ 22,80 $ 5 $ 27,50 $ 8 $ 47 $

10 $ 58 $

94

En una de estas dos listas, A y B las cantidades son proporcionales. ¿En cuál?

Represente gráficamente en un sistema de ejes cartesianos, la tabla en la quehay proporcionalidad.

3) El diagrama siguiente representa parte de una red de caminos.Escala 20km : 1cm

¿Hay proporcionalidad entre los tramos de las rutas 1 y 2? ¿Por qué?

4) Un camión que recorre la ruta 2, cubre el tramo Chascomús-Dolores de 88km, en 110 minutos. ¿Cuántos minutos tardará en recorrer los 64km queseparan Dolores de Maipú, suponiendo que la velocidad es constante?

95

110 km

170 km

34 km

22 km 1

2

C

ED

A

B

5) El trabajo de una planta industrial requiere un consumo de 12.000kg de combustible cada 32 horas. ¿Cuántas toneladas se consumen en 24 horas defuncionamiento?

6) 5 fotocopiadoras iguales, imprimen 2 resmas de papel en 20 minutos. ¿Enqué tiempo imprimirán 10 de esas máquinas la misma cantidad de papel?

Porcentaje

7) El gráfico representa una pared.a) ¿Qué fracción de la pared está hecha?b) ¿Qué porcentaje de la pared falta hacer?

8) El 44% de una población de 725 habitantes son adultos. ¿Cuántos adultos hay?

9) El 90% de la sangre del ser humano es agua. Un adulto tiene 5 litros de sangre en su cuerpo. ¿Cuánta agua contiene?

Un niño tiene 2,50 litros de sangre. ¿Cuánta agua contiene?

96

��

10) El gráfico siguiente indica los porcentajes de gastos de la familia Quiroga.

a) ¿Qué porcentaje corresponde a otros gastos?

b) ¿Si la familia tiene un ingreso de $600. Indique cuántos $ destina para:

vivienda $ alimentación $ transporte $ otros gastos $

11) Complete la tabla:

Precio Descuento Importe Precio dedescontar venta

$ 10 25% $ 2,50 $ 7,50$ 5 10% $ 0,50 $ $ 8 20% $ $ $ 12 15% $ $ $ 16 30% $ $ $ 50 $ 20 $ $ 50% $ $ 50

12) Juan dijo: trabajé 10 meses del año. ¿Qué porcentaje del año trabajó Juan?

97

��

Alimentación60%

Vivienda20%

Transporte15%

Otros gastos

BIBLIOGRAFÍA

Sobre aspectos didácticos

Castelnuovo, E.: Didáctica de la matemática. México, Trillas, 1990.

Polya, G.: Cómo plantear y resolver problemas. México, Trillas, 1978.

Sobre contenidos

Cardiello, N.: Elementos de física y química. 3˚ año. Buenos Aires, Kapelusz,1970, cap. 6.

Chamorro, C. y Belmonte, J.: El problema de la medida. Didáctica de lasmagnitudes lineales. Madrid, Síntesis, 1991.

Depau, C., Tonelli, L, y Cavalchino, A.: Elementos de física y química. 1˚ año.Buenos Aires, Plus Ultra, 1979, cap. 7.

Magnetti, R. C.: Fisico-química. 1˚ año. Buenos Aires, Huemul, 1979, cap. 4.

Sadovsky, P. y otros: La proporcionalidad. Buenos Aires, Flacso, 1992.

99

2 315 64

8 970 #*

12x5=60

MÓDULO 5

ÍNDICE

Introducción 105

Contenidos y actividades 106Superficie de las figuras 107Volumen de los cuerpos 110El volumen del cilindro 113Operaciones 114Potenciación 114Radicación 115Uso de paréntesis 116La circunferencia y el círculo 117Números negativos 117

Evaluación 119

Bibliografía 121

INTRODUCCIÓN

En este módulo, se profundizan los conceptos tratados en el Módulo 5 paraalumnos. Asimismo, se proponen algunas actividades y estrategias que comple-mentan las planteadas en el citado módulo. Se hace referencia, además, a erro-res que se observan con mayor frecuencia en los adultos.

La utilización de material concreto, siempre es aconsejable porque facilita elaprendizaje. Por eso, en este módulo encontrará algunas sugerencias sobrematerial concreto para agregar al tratamiento de algunos temas abordados en elMódulo 5 para alumnos.

En general, las actividades para desarrollar los contenidos del módulo, tien-den tanto a lo conceptual como a lo procedimental. A modo de ejemplo: si elcontenido es potenciación, son conceptos: potencia, exponente y base y sonprocedimientos, el reconocimiento de la base y el exponente, cálculos de 2da, 3ra,4ta... potencia. En la comparación de los volúmenes de dos cuerpos y la separa-ción en términos en un cálculo con varias operaciones, se priorizan contenidosprocedimentales. Ocurre lo contrario con las unidades de volumen, la fórmulapara calcular el volumen del cilindro, la potenciación, la diferencia entre cir-cunferencia y círculo y los números negativos, donde el énfasis está puesto enlos contenidos conceptuales.

La incorporación de los números negativos, se fundamenta en la necesidad desu utilización en situaciones tales como el ordenamiento de fechas, tempera-turas y otras donde, sólo utilizando números negativos, es posible representarsus cantidades.

Los objetivos del Módulo 5 proponen que el alumno:

◆ Comprenda la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro (el número π).

◆ Comprenda y utilice, según el problema, las fórmulas para calcular la longitud de una circunferencia y la superficie de un círculo.

◆ Compare el volumen de diferentes cuerpos.

◆ Utilice e interprete el uso de paréntesis, tanto para resolver un cálculo dado, como en la lectura de un problema cuya comprensión y resolución requiere el uso deparéntesis.

◆ Escriba y lea números de muchas cifras en su expresión científica.

◆ Comprenda y utilice las fórmulas para el cálculo de superficies de loscuadriláteros.

◆ Comprenda la necesidad de la existencia de los números negativos.

105


A continuación, se presenta el esquema de contenidos del Módulo 5 paraalumnos:

Número Operaciones Medida Geometría

El volumenPotenciación de los Circunferencia

cuerpos ycírculo

Uso de paréntesis

Longitud de la circunferencia

El volumen del Superficie cilindro del círculo


Respecto de la potenciación, se presenta con su definición general, pero elénfasis se pone en los cuadrados, los cubos y las potencias de base diez, ya queson las más útiles a los alumnos para la resolución de situaciones problemáticas,o para escribir de un modo abreviado (notación científica) números de muchascifras.

En la radicación, se trata sólo la raíz cuadrada pues, difícilmente, los alumnosdeban operar con una raíz de mayor índice. El nivel de complejidad que tieneesta operación hace que se tome, principalmente, en su aspecto de operacióninversa de la potenciación de números naturales. A modo de ejemplos puedenpresentarse:

¿Cuál es el lado de un cuadrado cuya superficie es 36m2?

En este ejemplo el alumno puede observar que no se trata de una división sinode una nueva operación, la radicación (en este caso de índice 2), cuya expresiónmatemática es: sup. del cuadrado = l2*.

36 m2 = l2*

√ 36 m2 = l*

6 m = l*

* Superficie del cuadrado: lado, l2. Se sugiere escribir con manuscrita para que no se confunda con 1.

106

Números negativos

107

De forma similar puede pensarse en la raíz cúbica: ¿Qué altura tiene un cubo cuyo volumen es de 8 m3?

Vol. del cubo = a3

8 m3 = a3

√ 8 m3 = a

2 m = a

Si bien la radicación se extiende hasta el índice n, se estima convenienteutilizar sólo el índice 2 y el índice 3 porque teniendo en cuenta la estimaciónse pueden relacionar: lado y superficie del cuadrado, arista y volumen de uncubo. Aquí nuevamente se cree conveniente el uso de la calculadora comoherramienta de trabajo habitual. En algunas aparece la tecla "√ " para calcularla raíz cuadrada.

Hay diferentes modelos de calculadoras científicas, pero en todas ellas existela posibilidad de calcular raíces de cualquier índice o potencias de cualquierexponente.

Se explica brevemente cómo se utiliza esta función en las calculadoras. Latecla que corresponde a potenciación tiene la inscripción x y y la que corres-ponde a radicación x1/y o x- y; en general la radicación es la segunda función dela misma tecla. Para calcular una potencia, por ejemplo 35, es suficiente conoprimir 3, luego la tecla x y y por último 5, al apretar el = en el visor apareceráel resultado, 243 (en algunas calculadoras no es necesario apretar el =).

Para calcular raíces el procedimiento es muy parecido, por ejemplo √286.Primero se escribe 286, luego se oprime la tecla x1/y , después 4 y por último =;en el visor se lee el resultado 4,1123...(la cantidad de cifras decimales depende dela calculadora); en muy pocos modelos, ante resultados de muchas cifras, apareceen el visor la leyenda "error"; la mayoría lo expresa en notación científica.

Superficie de las figuras

Antes de comenzar a desarrollar las actividades que tratan sobre algunas de laspropiedades de los cuadriláteros, usted puede recomendar a los alumnos queconsulten el Módulo 2, en lo referido a los conceptos tales como posiciones dedos rectas (paralelas, perpendiculares, oblicuas), y clases de ángulos (agudos,obtusos, rectos, llanos). Esta revisión será de gran utilidad para poder resolverlas actividades propuestas1.

1 Es común encontrar en algunos textos de matemática que los puntos están designados con letras minúsculas y las rectas o conjuntos de puntos con letras mayúsculas. En otros encambio, están exactamente al revés.¿En cuál de los dos casos está mal?.. En ninguno. Las dos formas son correctas, según laconvención que se adopte.En las décadas de 1960 y 1970, con el auge de la teoría de conjuntos, algunos autorescomenzaron a utilizar letras de imprenta mayúsculas para las rectas y minúsculas para lospuntos. Cambiaron la denominación tradicional por ésta, porque la teoría de conjuntosconsidera “elementos” a los puntos de la recta, y por convención establece que los elemen-tos se designan con minúsculas y los conjuntos con mayúsculas.

3

4

En las instancias presenciales, se sugiere trabajar con el geoplano para obtenersin dificultad y con rapidez toda clase de polígonos.

Para construir el geoplano se necesita una madera cuadrada de 30 cm por30cm y algunos clavos y banditas elásticas (si son de color, mejor).

Sobre la madera (de 30 cm por 30 cm) se marcan 36 cuadrados de 5cm delado a los que se les traza las diagonales. En el punto de intersección de lasdiagonales de cada cuadrado, se ubica un clavo, si es posible, con cabeza debronce. Utilizando banditas elásticas, apoyándolas en los clavos se pueden construirtriángulos, cuadriláteros y polígonos en general.

Cuando usted advierta dificultad en los alumnos para la construcción depolígonos (especialmente los cuadriláteros que son los que más se trabajan), serecomienda este recurso para ahorrar tiempo ya que la obtención de lospolígonos no ofrece dificultad, si el geoplano está bien construido. Además unavez obtenido el polígono, y siempre utilizando las banditas, pueden ubicarsediagonales y alturas. Esto permite comprobar propiedades y realizar transfor-maciones rápidamente.

Partiendo de los conceptos trabajados en el Módulo 3 para alumnos sobre lasuperficie del rectángulo y del cuadrado y la característica de los cuadriláteros,se va guiando al alumno para que arribe a la obtención de las fórmulas paracalcular la superficie de los triángulos, paralelogramos y rombos. El propósitoes que la resolución de situaciones que impliquen la aplicación de fórmulaspara calcular superficies de polígonos, no dependa de la memoria de los alum-nos, por eso, se recomienda trabajar el concepto de superficie con materialconcreto y representativo.

Se sugieren actividades que incluyen los contenidos: perímetro (Módulo 3),proporcionalidad (Módulo 4) y superficie (Módulo 5)

108

30 cm

30 cm

5 cm

5 cm

1) Complete esta tabla teniendo en cuenta que los datos corresponden a un cuadrado.

Lado Perímetro Superficie

2cm3cm4cm5cm

10cm

¿El perímetro del cuadrado es proporcional al lado?¿Por qué?

¿La superficie del cuadrado es proporcional al lado?¿Por qué?

2) Complete en la tabla las medidas de las bases y de las alturas posibles para diferentes rectángulos de 32m2 de superficie.

Base Altura Superficie

8 cm cm 32 cm2

cm 8 cm 32 cm2

cm 2 cm 32 cm2

2 cm cm 32 cm2

1 cm cm 32 cm2

cm 1 cm 32 cm2

Compare las medidas de la base con las de la altura y exprese cómo se relacio-nan en cada caso, señalando lo que corresponda.

a) En forma directamente proporcional.

b) En forma inversamente proporcional.

c) Sin proporcionalidad.

109

110

3) Calcule la superficie de las siguientes figuras.

Expréselas en ❑ y en cm2. ¿Qué relación observa entre las dos medidas? ¿A quése debe?

4) Un trabajador construye su casa en un terreno rectangular de 80m2 de super-ficie, que tiene 10 metros de frente. La casa ocupa el 50% del terreno. Construye también un galpón de 20m2.

a) ¿Cuánto mide el fondo del terreno?

b) ¿Cuántos m2 cubren la casa?

c) ¿Qué superficie queda para jardín?

5) Escriba la fórmula que permita hallar la superficie de un cuadrado conocien-do su perímetro.

6) Calcule la superficie de un cantero cuadrado del jardín cuyo perímetro es de 10m.

7) ¿Puede calcular la superficie de un triángulo cuyo perímetro es de 40m? ¿Por qué?

Volumen de los cuerpos

En el Módulo 3 para alumnos, al trabajar con magnitudes, se hizo mención,entre otras al volumen. Ésta es una de las magnitudes que junto con lalongitud, la superficie, la capacidad y el peso son de uso frecuente en las

1

3

2

4

actividades de todos los días. Si se pretende que los alumnos puedan comparary medir el volumen de un cuerpo, se recomienda que las primeras medicionesse hagan utilizando unidades no convencionales, del mismo modo que se hizocon las otras magnitudes. Para ello se podrían utilizar dados o cajas de formacúbica que permitan comparar y hallar cuántas veces está contenida la unidaden el cuerpo cuyo volumen se quiere medir.

En instancias presenciales, se pueden realizar experiencias que permitanmedir el volumen de distintos cuerpos (como cajas), los alumnos podránobservar que cuerpos de diferente forma pueden tener el mismo volumen. Estotambién se logra, apilando de diferente forma 6 paquetes de galletitas.

Se pueden comparar cuerpos en los que parezca que uno es de mayor volumenque el otro, pero al medirlos comprobar que no es así. Se podría preguntar:

¿Cuál de las pilas de paquetes o cajas ocupa mayor volumen?

111

Cuerpo 1 Cuerpo 2 Cuerpo 3

A B

112

Ante cuerpos como los de la figura A y B, algunos alumnos probablementedirán que A tiene mayor volumen por ser más alto que B. Ante esto surgirá lanecesidad de comprobar (contando las cajas o paquetes) que B tiene mayorvolumen.

Se ha hecho referencia a cuerpos con forma de prisma o que pueden subdivi-dirse en pequeños cubos o prismas. Pero también es posible que algunos alum-nos se pregunten cómo comparar el volumen de cuerpos cuya forma no permi-te hacer una subdivisión.

Si se quiere saber cuál de los dos tiene mayor volumen, sería necesario conocerel volumen de cada uno de ellos. Pero también es posible saberlo por compara-ción, sin utilizar la fórmula.

La experiencia para hacer esto último es sencilla, los pasos son:a) Llevar al aula un recipiente, si es graduado mejor (como los que se utilizan

para medir líquidos o polvos).b) Colocar agua hasta cierto nivel, marcar el recipiente a la altura del agua (o

anotar dicha altura si está graduado).c) Introducir uno de los dos cuerpos que se quiere comparar, si flota llenarlo

con arena o agua, y marcar el nuevo nivel alcanzado por el agua.d) Repetir la experiencia con el otro cuerpo y marcar el nuevo nivel.

El cuerpo que tenga mayor volumen, hará subir más el nivel del agua.Este tipo de experiencias se puede repetir cuando los alumnos hayan aprendi-

do a calcular el volumen de un cilindro. Se puede pedir, entonces, que determi-nen el volumen de cada uno y posteriormente los comparen.

El cilindro que se determina con los dos niveles del agua (antes y después deintroducir el cuerpo), tiene un volumen igual al del cuerpo sumergido.

Sólo después de comprobar que los alumnos adquirieron el concepto devolumen se podrá comenzar a medir con unidades convencionales. Se recurreal SIMELA para utilizar la unidad base, sus múltiplos y submúltiplos.

La unidad base para medir volúmenes es el metro cúbico. En general resultadifícil imaginar cuál es el volumen que corresponde a 1m3, no es suficienteenunciar que corresponde a un cubo de: 1m x 1m x 1m.

Para que los alumnos tengan noción de 1m3, se puede solicitar a los adultosque den ejemplos de objetos que tengan 1m3 de volumen (una caja de untelevisor de 28' tiene aproximadamente 1m3 de volumen).

Más sencillo resulta construir 1dm3 o 1cm3 y es conveniente que los alumnoslos construyan, o se encuentren en el aula para compararlos con objetos yestimar el volumen que éstos tienen; por ejemplo, armarios, cajas, etc.

La relación entre el volumen y la capacidad se pone de manifiesto en laactividad Nº30. Es común que los adultos comparen dos productos comer-ciales, que tengan diferentes envases y el contenido se indique con distintasunidades para decidir la compra de uno u otro.

Por ejemplo:

380 cm3 0,4 l

Considerando los envases presentados se podrá preguntar si ambos productoscuestan lo mismo y tienen la misma calidad. ¿Cuál de los dos le convendrácomprar?

Actividades de este tipo pueden presentarse a los alumnos, llevando losenvases vacíos al aula, para comparar por transvasamiento la capacidad de cadauno.

Hay que tener presente que no se podrán realizar todas las actividades, enconsecuencia es conveniente seleccionar aquellas que usted considere másadecuadas, según las dificultades de los alumnos.

Otra posibilidad sería plantear situaciones para que se resuelvan comoactividades complementarias de las que figuran en el módulo para alumnos.

El volumen del cilindro

El prisma y el cilindro son los cuerpos que con mayor frecuencia se presentanen los objetos que nos rodean.

Ante la necesidad de conocer o comparar volúmenes de tanques de agua,vasos, baldes, tanques australianos, etc., se presenta la fórmula para determinarel volumen de un cilindro.

Si los alumnos utilizan correctamente la fórmula para calcular el volumen deun prisma, es probable que no tengan dificultades en comprender y aplicar lafórmula para el volumen del cilindro ya que en ambos casos, es:

V = Sup. base x altura

De no ser así, se podrá trabajar con la fórmula para calcular el volumen delprisma y compararlo con la del cilindro; se observará que la diferencia está sóloen cómo se calcula la base de uno y de otro, y en ambos casos se multiplica porla altura.

113

Además se podrán presentar actividades como la de las monedas, que se plan-tea en el módulo para alumnos, pero utilizando otros elementos de menorespesor, como arandelas, fichas de papel, pastillas, etc.

Al comparar dos cilindros como las de la figura siguiente algunos alumnospodrán llegar a decir que B es de mayor volumen que A, otros podrán pensarlo contrario. Ante esto surgirá la necesidad de calcular el volumen de cada uno.

Para ello es necesario que usted escriba los datos requeridos, o los alumnosmidan la altura y el radio para calcular sus volúmenes.

A B

Operaciones

En este eje se presentan dos operaciones: la potenciación y la raíz cuadrada.

Potenciación

Es común que los adultos enuncien correctamente la definición de poten-ciación, pero al tener que calcular 32 muchos se confundan y respondan 6.

Para facilitar en los participantes, la comprensión del concepto de potencia yel procedimiento para hallar el resultado, es conveniente que las primeras po-tencias sean resueltas escribiendo la multiplicación reiterada. Ejemplo:

25= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

5 factores 2

Leer correctamente la operación a realizar, por ejemplo:

Tres al cuadrado igual ......32= Tres elevado a la segunda igual .....

El cuadrado de tres es ............

y no "tres a la dos" que a muchos hace pensar en tres por dos.

114

En el módulo para alumnos, si bien se trabaja la potenciación en general, seda prioridad a las potenciaciones de uso más frecuente: el cuadrado, el cubo yla potenciación de base diez. Las dos primeras, se relacionan con el cálculo dela superficie y el volumen respectivamente.

La base diez permite hacer la descomposición polinómica de números, e in-corporar la notación científica, lo que posibilita escribir números de muchascifras en forma aproximada. Un ejemplo de la notación científica es la actividadNº12 del módulo para alumnos. Por ejemplo: para abreviar la escritura de ladistancia Tierra-Sol (150 millones de km), es útil la potencia de base diez: d (Tierra-Sol)= 1,5 . 106 km.

Comúnmente, se piensa que el resultado de una potenciación siempre resultaser un número mayor que la base. Esto se debe a que, en general, se proponenactividades donde la base es un número mayor que 1. En la actividad Nº1 delMódulo 5 se observa cómo aumenta rápidamente el resultado a medida queaumenta el exponente. Esto no siempre es así, es aconsejable, entonces, pre-sentar alguna actividad donde la potencia sea menor que la base, por ejemplo:

¿Cuál es el volumen de un cubo cuyo lado mide 0,5m?

Para contestar esta pregunta habrá que resolver 0,53 = 0,125El resultado 0,125 es menor que la base 0,5. Si el exponente es aún mayor,

menor será el resultado:

Ejemplos: 0,55 = 0,03125; 0,58 = 0,003906; 0,512 = 0,000244

Esto se fundamenta en que si se eleva 1 décimo (0,1) al cuadrado, el resultadoes 1 centésimo

0,12=0,01 y 1 1 .10 100

En este caso, interesa conocer rápidamente el resultado, conviene usarcalculadora, porque el objetivo es ordenar los resultados, es decir, compararlos.

Radicación

Si se tiene en cuenta la definición de potenciación: a n=b, conocer a y n (basey exponente) permite hallar el número b. Pero ¿qué ocurre si b es un dato y loque no se conoce es a o n? Por ejemplo,

3n = 81 a5 = 32

En el primer ejemplo se conoce la base pero no el exponente. ¿3 elevado a quepotencia es igual a 81?

En el segundo ejemplo no se conoce la base, aquí la pregunta es ¿qué númeroelevado a la 5 es igual a 32?

En el primer caso la operación matemática que permite hallar n es el logarit-mo. En el ejemplo logaritmo en base 3.

En el segundo caso la operación que permite hallar a es la radicación. En elejemplo √32.

En general, √b = a.

115

5

n

En el módulo para alumnos se trabajó radicación en el conjunto de los núme-ros naturales y sólo con la raíz cuadrada, y en especial, en su condición de inver-sa de la potenciación de exponente dos.

Al igual que en la potenciación, es conveniente leer correctamente la escriturade una raíz, y verificar el resultado elevando al cuadrado dicho número, comoen la actividad Nº16.

Dado que la raíz cuadrada de muchos números no es exacta, la estimación enesta operación cobra importancia. Esto se observa en la actividad Nº11 del mó-dulo para alumnos, en la cual el resultado se busca por tanteo. Esta dificultadno existe si los alumnos usan calculadoras, y la búsqueda por tanteo es adecua-da para dar respuesta a lo que se busca. Si los alumnos disponen de unacalculadora, se pueden hacer ambas cosas, buscar la respuesta por tanteo yluego controlar el resultado obtenido, en este caso, se observará también la ven-taja y rapidez del uso de calculadoras tal como ya se ha dicho en la presentacióndel área y en este módulo.

Uso de paréntesis

Si se pregunta cuál es el resultado del siguiente cálculo:

3 + 5 x 2 = es común que los alumnos den como respuesta, 16.

Esto se debe a que en nuestro idioma se lee y se interpreta de izquierda aderecha, una a una, las palabras o los signos de la escritura. Pero no ocurre lomismo con las expresiones matemáticas.

Si se le pide a los alumnos que indiquen en orden las operaciones quehicieron dirán:

Tres más cinco, por dos

En lugar de

Tres más, cinco por dos

En el primer caso, Tres más cinco, por dos, primero se suma 3 + 5, y al resultadose lo multiplica por 2, se obtiene 16.

En el segundo, Tres más, cinco por dos, a 3 se le suma el resultado de 5 x 2. Eneste caso el resultado final es 13.

Cuando se escribe 3 + 5 x 2 = no se usan comas para indicar cuál de loscaminos es el que se debe seguir. Esto provoca que muchos alumnos errónea-mente contesten 16, eligiendo el primer camino. Pero en matemática hayoperaciones que tienen prioridad en un cálculo. Es necesario indicar que lasmultiplicaciones y las divisiones, se resuelven antes que las sumas y las restas, esdecir, que los signos + y - separan términos.

116

Por ejemplo:

1er t. 2do t. 3er término

4 + 6 x 2 - 8 : 4 =

4 + 12 - 2 = 14

Si se quiere modificar el orden en que se deben resolver las operaciones sedeben usar los paréntesis. Si por ejemplo se pretende realizar el cálculo Tres máscinco, por dos, se debe indicar ese orden usando paréntesis. Por ejemplo:

(3 + 5) x 2 =

8 x 2 = 16

En este caso por tener paréntesis, primero se resuelve la suma y luego semultiplica.

La prioridad de unas operaciones sobre otras y el uso de los paréntesis, convie-ne desarrollarlos simultáneamente.

La circunferencia y el círculo

La actividad Nº22 del módulo para alumnos, propone la búsqueda de larelación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Tal vez algunosalumnos realicen mal las mediciones necesarias para hallar aproximadamente π(3,14...). De ser necesario podrá repetirse la experiencia en una instanciapresencial, realizando la actividad en grupo.

Un error frecuente es confundir los términos circunferencia y círculo, usán-dolos como si fuesen sinónimos. Para aclarar estos conceptos, además de cono-cer la definición de cada uno de ellos, es necesario que el alumno use cada unode los términos de manera apropiada y así podrá relacionar la circunferenciacon su longitud y el círculo con su superficie.

En el módulo de alumnos, bajo el título "Superficie del círculo", se desarrollauna actividad que permite descubrir la fórmula para calcular la superficie de uncírculo. Esta actividad puede ser realizada en la instancia presencial en formaindividual o grupal. Sólo se necesita llevar algunos círculos de cartulina, útilesgeométricos y tijeras.

Números negativos

Existe una variedad de situaciones en las que, para cuantificarlas, se necesitaun número negativo. Las actividades Nº41 y Nº42 del módulo para alumnos,son un ejemplo de estas situaciones. Los alumnos podrán percibir de esta ma-nera que los números negativos son una necesidad, ya que no habría una formamatemática de indicar cantidades que son menores que cero.

117

Es suficiente que los alumnos conozcan la escritura y el ordenamiento de losnúmeros negativos. La operatoria con esta clase de números, no está incluidaen los contenidos de este Proyecto.

Respecto del ordenamiento de números negativos, la actividad Nº44 delmódulo para alumnos es un buen ejemplo que puede utilizarse con situacionessimilares, por ejemplo, con años o con profundidades.

Este tipo de ejercicios permite ordenar los números de un modo significativo, con un sentido lógico, de menor a mayor o de mayor a menor.

Para poder comparar los números negativos es conveniente en primer lugar,contextualizar los mismos. Por ejemplo: de 2 temperaturas bajo cero, indicarcuál es la más baja (o menor).

En Ushuaia se anotaron las temperaturas siguientes:A las 6 hs -15˚CA las 8 hs -10˚C¿A qué hora se registró la menor temperatura?Sin duda, el alumno responderá: "a las 6", porque -15˚C es menor que -10˚C.A modo de sugerencia, pueden tenerse en cuenta otros contextos como los

siguientes:

a) Juan debe $100 y José $120.¿Quién debe más? (Aquí se identifica "debe" con el signo -.)

b) Un buzo se halla a 500 metros de profundidad y otro a 600 metros. ¿Cuál está más alejado del nivel del mar? (Aquí se identifica "profundidad" con el signo -.)

Conviene identificar, entonces, ciertas palabras del contexto con el signo delnúmero negativo.

Es importante observar la existencia del cero para poder comparar númerosenteros, en particular los negativos.

Los alumnos deberán concluir que si se comparan dos números negativos, elmenor es el que está más alejado hacia la izquierda del cero.

Ejemplo:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

-3 < -1 ; -8 < -4

118

EVALUACIÓN

Las siguientes actividades de evaluación, integran algunos conceptos y proce-dimientos tratados en el módulo para alumnos. En la primera actividad, elgráfico es sólo un elemento auxiliar, en la segunda, en cambio reemplaza alenunciado. El alumno debe leer e interpretar la información que suministra elgráfico para dar respuesta a las preguntas de la actividad.

1) Un tanque de agua tiene forma cilíndrica. Sus medidas se indican en el dibujo.

d = 1m

Calcule:

a) ¿Cuál es la superficie de la tapa?

b) ¿Cuál es el volumen del tanque?

c) Si cada dm3 equivale a 1 litro de agua ¿Cuántas gotas de lavandina hacen falta para evitar el contagio del cólera? (Recuerde que por cada litro corresponden 2 gotas.)

d) Si la tapa hubiese tenido 5.024cm2 de superficie, ¿Cuál sería su diámetro?

Recuerde: superficie del círculo = π x r2 entoncesπ x r2 = 5.024cm2

Nuevamente aquí es conveniente usar la calculadora.

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h = 1,6m

2) Observe y resuelva

a) Complete colocando las alturas respectivas:

La cima de la montaña El barco El submarino El árbol

b) Marque en el dibujo otro árbol a 300 m y una ballena a -50m

c) Ordene las 6 alturas desde la más alta a la más baja.

d) Calcule la diferencia de altura entre:

La ballena y la casa La casa y la cima El barco y el árbol El submarino y la ballena

120

BIBLIOGRAFÍA

Referida a aspectos didácticos

Bandet y otros: Hacia el aprendizaje de las matemáticas. Buenos Aires, Kapelusz,1978.

Castelnuovo, E.: Didáctica de la matemática. México, Trillas, 1990.

Márquez, Cristina del Carmen: Enseñar a pensar. Cuadernos PedagógicosNº57. Buenos Aires, Kapelusz, 1980.

Polya G.: Cómo plantear y resolver problemas. México, Trillas, 1978.

Rey, María Esther y otros: Aprendizaje y matemática. Buenos Aires, Plus Ultra,1979.

Referida a contenidos

Potenciación y radicación

Amadori, Liliana: Matemática 2. Buenos Aires, Aique, 1994, cap. 5 y 11.

Bindstein, M., Hanflig, M.: Matemática 1. Buenos Aires, Aique, 1994, cap 11.

Tapia, Nelly: Matemática l. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 9.

Varela, L., Foncuberta, J.: Matemática dinámica 2. Buenos Aires, Kapelusz,1973, cap. 5.

Cuadriláteros

Amadori, Liliana: Matemática 2. Buenos Aires, Aique, 1994, cap. 4 y 8.

Tapia, Nelly: Matemática II. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 7.

Circunferencia y círculo

Tapia, Nelly: Matemática I. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 14.

Tapia, Nelly: Matemática I. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 9.

El volumen de los cuerpos

Amadori, Liliana: Matemática 2. Buenos Aires, Aique, 1994, cap. 5.

121

Números negativos

Bindstein M., Hanflig M.: Matemática 1. Buenos Aires, Aique, 1994, cap. 6.

Tapia, Nelly: Matemática l. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 13.

Uso de paréntesis

Bindstein, M., Hanflig, M.: Matemática 1. Buenos Aires, Aique, 1994, cap. 2.

122

2 315 64

8 970 #*

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MÓDULO 6

ÍNDICE

Introducción 127

Consideraciones sobre las actividades 128

INTRODUCCIÓN

El camino recorrido por el alumno adulto, desde el inicio del Proyecto apartir del Módulo 1 hasta la resolución de la actividades del Módulo 6, sepodría sintetizar como un proceso que, a partir de los conocimientos matemá-ticos intuitivos, incompletos y a veces erróneos, facilitó en el adulto la forma-lización de conceptos y procedimientos matemáticos que se convierten eninstrumento para leer la realidad, comprenderla y/o modificarla.

El Módulo 6 para alumnos tiene como propósito fundamental que el adultoaplique los conocimientos matemáticos en la resolución de problemas que lavida plantea cotidianamente.

Pero el interrogante o cuestión por resolver en todo problema no puede sersolucionado sólo con la aplicación de conocimientos o procedimientos aisla-dos, sino que requiere que el alumno realice un complejo proceso que implica:el análisis de la situación, la elaboración de hipótesis y la formulación deconjeturas (aquí la estimación adquiere singular importancia), la selección delas posibilidades y la toma de decisiones.

Al elaborar la estructura y los contenidos del Módulo 6 para alumnos, se tu-vieron en cuenta los objetivos generales para el área en el Proyecto de Termina-lidad del Nivel Primario para Adultos a Distancia:

◆ Conocer y valorar las propias habilidades matemáticas para afrontar situa-ciones de la vida cotidiana que requieren su empleo.

◆ Adquirir nuevos conceptos y nuevas estrategias para plantear y resolversituaciones matematizables vinculadas con lo personal, lo laboral y locomunitario.

◆ Valorar la precisión y la utilidad del lenguaje matemático para representar, comunicar o resolver situaciones.

◆ Utilizar las operaciones fundamentales en la resolución de problemas.

◆ Aplicar el conocimiento de los sistemas de medidas de longitud, peso, super-ficie, volumen y tiempo, respecto a problemas del entorno.

◆ Aplicar conceptos elementales de estadística para la interpretación de tablasy gráficos sencillos.

127

La resolución de las situaciones planteadas en las 18 actividades del Módulo 6 paraalumnos implica la aplicación de los siguientes contenidos trabajados enmódulos anteriores:

Números Operaciones Medida Geometría Estadística

CONSIDERACIONES SOBRE LAS ACTIVIDADES

Luego de una breve introducción, en la actividad Nº1 del Módulo 6 paraalumnos se solicita al adulto que enumere todos los gastos que él consideranecesarios para instalar un quiosco. Esta actividad junto con la Nº2, en la quedebe mencionar las condiciones exigidas por las inmobiliarias para alquilar unlocal, tienen como propósito la explicitación de los saberes previos de los adul-tos sobre el tema. Es importante que usted promueva el intercambio de infor-mación en las instancias presenciales, ya que en las actividades siguientes se lepropone al alumno que haga un análisis de la situación, lo que le permitirá,posteriormente, tomar decisiones.

Sería oportuno insistir en que la correcta evaluación de las posibilidades y laadecuada planificación de acciones influyen decisivamente en el éxito delnegocio. Esta temática se trata en el Módulo 3 de Formación para el Trabajo.

Por tal motivo, la actividad Nº3 propone analizar los locales que se ofrecenteniendo en cuenta la variable precio-superficie. Esta actividad requiere que elalumno aplique sus conocimientos sobre los siguientes contenidos:

◆ Multiplicación y división de números naturales y expresiones decimales. -Móds. 3 y 4

◆ Medidas de superficie -Mód. 3

◆ Superficie de rectángulo -Mód. 3

La actividad Nº4 del Módulo 6 facilita ese proceso, ya que requiere el análisisde las condiciones de cada local (alquiler, dimensiones, ubicación) y la selec-ción de una posibilidad para tomar una decisión. En consecuencia, tendrá queanalizar: dimensiones, ubicación, monto del alquiler, estado general del local,etc.

128

• Racionales• Naturales• Fracciona-

rios• Expresiones

decimales• Enteros

• Adición, sustrac-ción, multiplica-ción y división.

• Proporcionalidad• Escala• Porcentaje

• SIMELAMedidas de:LongitudCapacidadPesoSuperficie

• Ubicación en planos.

• Superficie de cuadriláteros

• Escalas

• Lectura, aná-lisis y elabora-ción de:

• Diagramas de barras

• Diagramas li-neales

• Porcentaje

129

Una vez elegido el local y resuelta la actividad Nº5, el alumno habrá llegadoa la conclusión de que con los $3.000 que tenía como capital no le alcanza, yentonces una alternativa para solucionar el problema es pedir un créditobancario.

El propósito de la actividad Nº6 es que el alumno elija el crédito que consideremás conveniente teniendo en cuenta los plazos y los intereses. Una vez que elalumno haya completado el gráfico lineal, sería importante plantearle si hay o nouna relación de proporcionalidad entre la cantidad de cuotas y el monto dedinero a devolver, recordándole que, si bien al aumentar la cantidad de cuotas, elmonto de dinero también aumenta, no existe una constante; por lo tanto, larelación no es de proporcionalidad porque no aumenta en la misma relación. Esfundamental que sean los alumnos quienes arriben a esta conclusión.

Los contenidos trabajados en esta actividad son:◆ Operaciones con números naturales

- Móds. 1 y 2

◆ Proporcionalidad - Mód. 4

◆ Gráfico estadístico - Mód. 4

El objetivo de la actividad Nº7 es que el alumno pueda simbolizar con unnúmero negativo (cuando el caso lo requiera) el estado de su economía. Elcontenido trabajado:

◆ Números enteros - Mód. 5

En la actividad Nº8 el alumno debe representar gráficamente en una escaladeterminada el local que él eligió. El contenido:◆ Escala

- Mód. 3

Al resolver las situaciones que se plantean en las actividades Nº9, Nº10, Nº11y Nº12, el alumno aplicará sus conocimientos acerca de los siguientescontenidos:◆ Adición, sustracción, multiplicación y división

- Móds. 1, 2 y 3◆ Medidas de longitud

- Mód. 3◆ Medidas de capacidad

- Mód. 4◆ Medidas de superficie

- Mód. 5◆ Proporcionalidad

- Mód. 4◆ Superficie de cuadriláteros

- Mód. 5

La actividad Nº13 requiere que el adulto interprete gráficos estadísticos yarribe a conclusiones. Es el momento oportuno para destacar el carácterinstrumental del área, ya que, de acuerdo con el análisis e interpretación de esosgráficos, se decidirá seguramente la cantidad de golosinas, chocolates y heladosque es conveniente comprar en determinadas épocas del año.

Es importante recordar con los alumnos lo tratado en el Módulo 3 de Forma-ción para el Trabajo, referido a la compra de mercadería:

- si se compran más mercaderías de las que se pueden vender, no se podrá recu-perar la inversión y habrá pérdidas;

- si se compran menos mercaderías de las que demandan los clientes, se pierde la oportunidad de obtener más ganancias y se corre el riesgo de perderclientela;

- la cantidad de mercadería que se puede vender en cierto tiempo determina en parte el plazo de recuperación de la inversión: cuánto tiempo hay que esperar para recuperar todo el capital colocado para que funcione el local.

Los contenidos matemáticos trabajados en esta actividad son:

◆ Análisis e interpretación de diagrama de barras y lineales - Mód. 4

La actividad Nº14 requiere que el alumno arribe a conclusiones a partir de lainterpretación que haya hecho de los gráficos estadísticos de la actividad Nº13.Además, se complementa con la actividad Nº15, en la que deberá:

• resolver situaciones sobre cantidad de artículos;• comparar precios;• estimar resultados;• realizar operaciones que le permitan calcular costos.

Todas estas acciones tienen como propósito poder responder a dos cuestionesbásicas en la planificación de una actividad comercial:

- A qué precio vender la mercadería.- Qué cantidad habrá que vender (traducida en $) para recuperar la inversión.

En la actividad Nº16 se trabaja el tema “porcentaje”. El desarrollo de estecontenido está en el Módulo 4.

La última actividad del Módulo 6 es la Nº18. Para poder responder a lapregunta que se le plantea, el alumno debe reflexionar sobre algunos temastratados en el Módulo 3 de Formación para el Trabajo.

Con respecto al tema central del Módulo 6: “instalar un quiosco”, será nece-sario recordar a los alumnos que el comienzo de cualquier emprendimientoresulta sumamente difícil y que suele pasar un tiempo antes de obtener ganan-cias. Al principio, todo será inversión y trabajo.

130

La planificación para instalar un quiosco requiere, tal como se explicó en elinicio de este módulo, el análisis de la situación (ventajas y desventajas), laelaboración de hipótesis y la formulación de conjeturas (calcular costos yobtención de posibles ganancias), la selección de posibilidades (obtener uncrédito, buscar un socio, un lugar, etc.), para poder tomar la decisión conrelativa posibilidad de no fracasar en el emprendimiento.

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