matematica

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SESIÓN 12

problEmas DE ECuaCIoNEs E INECuaCIoNEs DE

prImEr graDo CoN uNa varIablE

Amenudo,enfrentamossituacionesqueexigentomardecisionescoherenteseinteligentesconresultadosfavorables.Porejemplo,enelcampodelosnegocios,los empresarios requieren maximizar sus utilidades empleando los recursos demaneramuyeficiente.Paraello, sehancreadomodelosmatemáticosquepueden ir desde simples ecuaciones de primer grado hasta cuestiones complejas con ecuaciones de orden superior.

Sin embargo, la relación que existe entre dos cantidades no siempre esde igualdad. En muchas ocasiones, encontramos, más bien, relaciones dedesigualdad, que dan origen a una inecuación. Resolver problemas condesigualdadespermite,endeterminadascircunstancias,optimizarlosrecursospara, posteriormente, tomar decisiones. Por ejemplo, si se cuenta con ciertocapital,nosepuedeinvertirmásdedichomonto.Esdecir,sitenemosS/.20000,loquesepuedeinvertiresmáximo20000.

Contenido a desarrollar Capacidad

• Ecuaciones e inecuaciones. • Resuelve problemas de ecuaciones e Aplicaciones inecuaciones de primer grado

Enestasesión,proponemosseriesdeejerciciossobreecuaciones(deaplicaciónypropuestos12-A)einecuaciones(deaplicaciónypropuestos12-B),afindequefortalezca sus habilidades sobre estos temas de vital importancia. Para recordar algunosconceptosbásicos,resuelvalossiguientesejercicios.

Ejercicios sobre ecuaciones

1. Exprese los siguientes enunciados verbales en el lenguaje algebraico:

• El doble de un número 2x• Un número aumentado en dos unidades x + 2• Un número disminuido en tres unidades x – 3• Un número par ............• Un número impar ............• El doble de un número ............• La mitad de un número ............• El cuádruplo de un número ............• La tercera parte de un número ............• Los tres cuartos de un número ............• La suma de tus ingresos aumentada en su mitad ............

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Universidad César Vallejo | Formación General | Habilidades Lógico-Matemáticas

Datos Planteamiento y desarrollo

Si x es la cantidad de radios que se compra, tenemos el siguiente cuadro:

Radio Reloj

Cantidad x 20 – x

Precio 50 80

Luego:

Gtotal = 50x + 80 (20 – x) 1 360 = 50x + 80 (20 – x) 240 = 30x 8 = x

Se compraron 8 radios.

Finalmente, el número de relojes que se compraron es: 20 – 8 = 12

Artículo = 20

Cradio = S/ . 50

Cradio = S/ . 80

2. Gabriel adquiere 20 artículos, entre radios y relojes. Si cada radio cuesta S/.50 y cada reloj cuesta S/. 80, y si en total gastó S/. 1 360, ¿cuántos artículos de cada tipo compró?

Re sP ue sta. Se compraron 8 radios y 12 relojes.

3. Un fabricante de pisco tiene costos fijos por S/. 9 000 mensuales y para producir cada botella de pisco invierte S/. 25. Si cada botella de pisco se vende a S/. 40,…

a) ¿Cuál es la cantidad de botellas de pisco que se puede producir con un capital de S/. 12 000?

b) Determine el punto de equilibrio del fabricante.

c) Determine la cantidad de botellas de pisco que se debe producir y vender para que la ganancia sea igual a S/. 3 000.

Para resolver este problema debemos conocer:

• Ingresos: I = (precio unitario) (cantidad)

• Costo total: CT = costo fijo + costo variable

• Costo variable: CV = (costo de fabricación unitario) (cantidad)

• Ganancia: G = (ingresos) – (costo total)

• Punto de equilibrio: PE = ingreso = costo total, o ganancia = 0


Botellas pisco = x CT = 9 000 + 25x

CF = 9 000 I = 40x

CV = 25x

I = 40x G = I – CT

G = 40x – (9 000 + 25x)

G = 15x – 9 000

a) Capital = 12 000 12 000 = 9 000 + 25x 120 = x

b) Punto de equilibrio G = 0 0 = 15x – 9 000 x = 600

c) G = 3 000 3 000 = 15x – 9 000 800 = x

Re sP ue sta. a) 120 botellas. b) 600 botellas. c) 800 botellas.

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Ejercicios sobre inecuaciones

1. Exprese enunciados del lenguaje verbal en el lenguaje algebraico.

• Diez más tres veces un número es menor que 30. 10 + 3x < 30 • Ocho menos cinco veces un número es mayor que 45. ........................• Dos veces un número, menos siete, es menor que 80. ........................• Cinco más cierto número es 20, por lo menos. ........................• El doble de lo que tiene Pedro no es más de S/ 30. ........................• El doble de un número es al menos 30. ........................• Hace 5 años, Milagros tenía más de 18. ........................

2. La empresa Cat elabora gorras cuyo precio unitario de venta es S/. 98 y cuyo costo unitario es S/. 83. Si los costos fijos ascienden a S/. 2 330, determine el número mínimo de gorras que debe producir y vender para que la empresa tenga utilidades de al menos S/. 3 670.


98x – (83x + 2 330) ≥ 3 670 15x – 2 330 ≥ 3 670 Número de gorras = x 15x ≥ 6 000 x ≥ 400

Re sP ue sta. Se debe producir y vender al menos 400 gorras.

12. Problemas de ecuaciones e inecuaciones de primer grado con una variable

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN 12-A

Instrucción: resuelva en su domicilio los siguientes problemas de ecuaciones de primer grado.

1. Un comerciante compra 120 botellas de vino y pisco pagando un total de S/. 3 000. Si cada botella de vino la compra a S/. 20 y cada botella de pisco a S/. 35, ¿cuántas botellas de cada licor compró?

Planteamiento y desarrollo

Re sP ue sta.


Re sP ue sta.


Re sP ue sta.


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2. En un comedor popular, para elaborar una chocolatada se ha comprado 77 latas de leche de dos capacidades distintas: unas tienen 8 onzas y las otras, 15. Si el contenido total es de 861 onzas, ¿cuántas latas de 8 y 15 onzas se compraron?

3. En el bazar Al-Adín se vende cada camisa en S/. 20 y cada pantalón en S/. 45. Si Rodolfo compró nueve prendas por S/. 255, ¿cuántas camisas compró?

4. En la combi de mi tío viajaron 150 pasajeros ayer. El pasaje para adulto cuesta S/. 1,50 y el universitario, S/. 1. Si la recaudación fue de S/. 187, ¿cuántos adultos viajaron?

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5. Una pequeña imprenta tiene costos fijos de S/. 13 500 mensuales y le cuesta S/. 3 producir cada ejemplar de una revista. Si la revista es vendida en los kioscos a S/. 8, ¿cuántas revistas se debe producir para que el costo total sea de S/. 16 500?


Re sP ue sta.


Re sP ue sta.


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6. En una boutique hay pantalones de dos tipos: los de seda, que cuestan S/. 80, y los de jean, que cuestan S/. 60. Una noche vendieron 50 pantalones y recaudaron S/. 3 400. ¿Cuántos vendieron de cada clase?

7. Helados Alasca tiene costos fijos por S/. 8 000 mensuales y le cuesta S/.8 producir cada litro de helado. Si la empresa vende cada litro a S/. 12,…

a) ¿Cuántos litros de helado debe producir para que el costo total sea de S/. 20 000?

b) Determine el punto de equilibrio de la empresa.

8. El parque zonal Sinchi Roca tiene las siguientes tarifas para el cobro de sus entradas: S/. 3 por niño y S/. 5 por adulto. Si el domingo pasado acudieron 220 personas, entre niños y adultos, y se recaudó en total S/. 860, ¿cuántos niños fueron a dicho parque?



Re sP ue sta.

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9. Una empresa que fabrica carteras tiene costos fijos de S/. 3 000 mensuales y el costo de producción de cada una es de S/. 35. Si la empresa vende cada cartera a S/. 50, entonces:

a) ¿Cuántas carteras se debe producir para que el costo total sea S/. 10 000?


c) Determine la cantidad de carteras que se debe producir y vender para obtener una ganancia de S/. 6 000.


Re sP ue sta.


Re sP ue sta.


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10. La cafetería Vallejito vende dos tipos de menú: económico y ejecutivo. Si el ejecutivo cuesta S/. 7 y el económico S/. 5, y el último día de clases se vendió 100 menús y se recaudó S/. 580, ¿cuántos se vendieron de cada tipo?

11. Perfumerías Pepe le Pew tiene costos fijos de S/. 2 000 mensuales y producir cada perfume le cuesta S/. 12. Si la empresa vende cada producto a S/. 20,…

a) ¿Cuántos perfumes se deben producir para que el costo total sea de S/. 5 000?


c) Determine la cantidad de perfumes que se debe producir y vender para obtener una ganancia de S/. 10 000.

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Re sP ue sta.

13. Una pequeña empresa dedicada a la fabricación de vinos tiene costos fijos por S/. 4 200 mensuales y le cuesta S/. 8 producir cada botella de vino. Si la empresa vende cada botella a S/.18,…

a) ¿Cuál es la cantidad de botellas que debe producir y vender en un mes para que el ingreso sea S/. 32 400?


c) Determine la cantidad de botellas de vino que se debe producir y vender para que la ganancia sea igual a S/. 10 000.


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EJERCICIOS PROPUESTOS 12-A

Instrucción: resuelva los siguientes problemas de ecuaciones de primer grado.

1. Un comerciante de maletines participa en una feria popular con la siguiente idea: “Si vendo mis maletines a $ 40 cada uno, podré comprar una motocicleta y tener $ 100 de sobra. Pero si vendo cada uno a $ 35, compraría la motocicleta pero me sobrarían $ 20”. ¿Cuál es el precio de la motocicleta?

2. Por aniversario del Club Ancash, se puso a la venta dos tipos de artículos: un gorro estampado con el Huascarán, cuyo precio es S/. 25, y un polo con la portada del Templo de Chavín, cuyo precio asciende a S/. 30. Luego de la actividad, se vendieron 100 souvenires y se recaudaron S/. 2 800. ¿Cuántos souvenires de cada tipo se vendió?

3. En la vulcanizadora La Rueda, fueron reparados durante este mes 120 vehículos, entre automóviles y motos. El número de ruedas de los vehículos reparados fue 336. ¿Cuántas motos se repararon?

4. Una empresa que produce skates tiene costos fijos de $ 2 200. Si el costo para producir cada skate es $ 64 y su precio de venta es $ 86,

a) ¿Cuál es la cantidad de skates que debe producir y vender para que el costo total sea igual a $ 24 600?

b) Determine el punto de equilibrio.

c) si la empresa obtuvo una ganancia de S/. 1012. ¿cuántos artículos debe producir y vende?

5. Una pequeña empresa artesanal de la localidad de Kuélap, en el departamento de Amazonas, fabrica adornos de arcilla cuyo costo unitario es de S/. 2,50. Los costos fijos mensuales de la empresa ascienden a S/. 1 200. Si la empresa vende cada adorno a S/. 4,…

a) ¿Cuál es la cantidad de adornos de arcilla que debería producir y vender para que el ingreso total sea de S/. 2 800?

b) ¿Cuántos adornos de arcilla se debe producir y vender para que la empresa alcance el punto de equilibrio?

c) Determine la cantidad de adornos de arcilla que debería producir y vender para obtener una ganancia de S/. 3 000.

6. La empresa RIM, encargada de la fabricación de los celulares Blackterry, tiene costos fijos de $ 1 400 mensuales y le cuesta $ 160 producir cada celular. Si la empresa vende cada uno a $ 300,…

a) ¿Cuál es la cantidad celulares que se debe producir y vender para que el costo total sea $ 3 320?


c) Determine la cantidad de celulares que se debe producir y vender para que la ganancia sea $ 28 000.

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN 12-B

Instrucción: resuelva en su domicilio los siguientes problemas de inecuaciones de primer grado.

1. Felipe tiene S/. 480 para ir al Circo Beat con sus hijos. Si compra entradas de S/. 40, le falta dinero, pero si compra las de S/. 36, le sobra dinero. Determine cuántos hijos tiene Felipe.


Re sP ue sta.


Re sP ue sta.


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2. En la fiesta de confraternidad por el Día del Maestro había cierto número de profesoras. Luego de un tiempo, se duplicó dicho número y se retiraron 27, quedando menos de 54. Pero si se triplicaba el número de profesoras que había al principio y se retiraban 78 quedaría más de 39. ¿Cuántas maestras había al principio?

3. Un pequeño empresario limeño dispone de S/. 800 para comprar canastas navideñas para todos sus trabajadores. Si compra canastas navideñas de S/. 100 cada una, le falta dinero, pero si compra canastas navideñas de S/. 80 le sobra dinero. Determine el número de trabajadores que tiene el pequeño empresario.


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4 Un comerciante tenía cierto número de calculadoras. Luego de vender 1 000, le queda más de la mitad de las que tenía originalmente. Si después logra vender otras 502, le quedan menos de 500. ¿Cuántas calculadoras tenía para vender?


Re sP ue sta.


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5. Omar gasta su gratificación de S/. 500 en un partido de fútbol con sus hijos. Si compra entradas a S/. 125 (en occidente), le falta dinero; pero si las adquiere a S/. 90 (tribuna sur), le sobra dinero como para comprarle algo a su esposa. ¿Cuántos hijos tiene Omar?

6 Un comerciante dedicado a la importación de computadoras, las compra a $ 400 y vende cada una a $ 600. ¿Cuántas computadoras debe importar para obtener una utilidad de, al menos, $ 6 000, teniendo en cuenta que sus costos fijos ascienden a $ 2 000?

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Re sP ue sta.


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7. El Fondo Editorial de la Universidad César Vallejo elabora un libro de ciencias cuyo precio unitario de venta es S/. 36 y cuyo costo unitario de producción es S/. 24. Si los costos fijos ascienden a S/. 30 000, determine el número mínimo de libros que debe elaborar y vender para que obtenga utilidades de, al menos, S/. 15 000.

8. Una empresa que elabora jabón líquido determina que el costo de producción es de S/. 7 el litro y el precio de venta es de S/. 12. Si los costos fijos son de S/. 1 000, determine la mínima cantidad de litros que se debe producir y vender para obtener ganancia alguna.

9. La textil Piel de Lobo produce ovillos de lana de oveja con un costo unitario de producción de S/. 12. Si sus costos fijos de operación ascienden a S/.18 000 y el precio unitario de venta es S/. 20, determine la cantidad de unidades que debe producir y vender para obtener a lo más una ganancia de S/. 20 000.


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10. Mandilsa elabora mandiles de laboratorio y vende cada uno a S/. 32. Si su costo de fabricación unitario es S/. 18 y los costos fijos de la empresa ascienden a S/. 2 500, ¿cuál es el número mínimo de mandiles de laboratorio que se debe confeccionar y vender para que se gane por lo menos S/. 5 060?


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EJERCICIOS PROPUESTOS 12-B

Instrucción: determine la solución de los siguientes problemas de inecuaciones lineales.

1 En el aula 602 de la EAP de Ciencias de comunicación, hay tantos estudiantes que si al triple se le aumenta 5, resulta una cantidad menor que 92. Pero si al doble se le disminuye 1, dicha cantidad resulta ser mayor que 61. ¿Cuántos estudiantes hay en dicho salón?

2. David desea contar el número de revistas Economía Hoy que tiene en su biblioteca personal. Si se sabe que el triple del número de dichas revistas más 8 es mayor que 80 y que el doble del número de revistas menos 12 es menor que 40, ¿cuántas revistas Economía Hoy tiene David en su biblioteca?

3. Pedro dispone de S/. 94 para ir al cine con sus hijos. Si compra entradas de S/. 18, le falta dinero, pero si adquiere las de S/. 15, le sobra dinero. Determine cuántos hijos tiene Pedro.

4. Mis amigos disponen de S/.1 300 para comprar sus entradas para el concierto de Tego Calderón. Si compran entradas de S/. 220, les faltaría dinero. Pero si compran entradas de S/. 180, les sobraría dinero. ¿Cuántos conforman el grupo de estos amigos míos?

5. La fábrica Heladino vende cada helado a S/. 3. Si tiene costos fijos por S/. 5 000 y el costo por producir cada helado es S/. 1, ¿cuántos helados se tiene que producir y vender para obtener una utilidad de, al menos, S/. 10 000?

6. Papagayo, empresa dedicada a la elaboración de cuadernos, tiene costos fijos por S/. 20 000. Si el costo de producción de cada uno es S/. 10 y el precio de venta es S/. 15, determine el número mínimo de cuadernos que debe fabricar y vender para que la empresa tenga utilidades de, al menos, S/. 5 000.


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