matematica 2 numericacalculo de una raiz - algoritmos 1) determinación de intervalo de búsqueda,...

Universidad Nacional de TucumánFACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGIA

2

MAGISTER EN METODOS

NUMERICOS Y COMPUTACIONALES

EN INGENIERIA

MATEMATICA NUMERICA

Tema 2Resolución de ecuaciones no lineales

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TAC

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EN

IER

IA

OBJETIVOSFamiliarizarse con los métodos numéricos de búsqueda de raíces de ecuaciones no lineales

Aprender a usar Matlab para resolver problemas de ciencias e ingeniería que involucren el cálculo de raíces


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Planteo del problema. Característica de losalgoritmos: medida de la velocidad de convergen-cia, valores iniciales y criterio de aproximación.Iteración funcional. Aproximaciones sucesivas.Métodos de iteración de dos puntos: falsaposición, secante y bisección. Método deNewton-Raphson. Promoción de la convergencia,algoritmo de Aitken. Raíces de polinomios,deflación, métodos para raíces reales ycomplejas. Aplicación empleando Matlab.

TEMAS

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PLANTEO DEL PROBLEMA

Dada una función f(x) de una única variable x, encontrar la raíz de la ecuación

f(x) = 0significa encontrar el valor x*, tal que verifique esa igualdad

f(x*) = 0

Si f(x) es un polinomio de orden n

f(x) = an x n + an-1x n-1 +

1x + a0,

La ecuación f(x) = 0 tiene nraíces (reales o complejas)

Raíz

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IAPLANTEO DEL PROBLEMA

Si f(x) es una función trascendente, elproblema de la existencia y unicidad de lasolución de la ecuación es complejo.

No tiene solución

Tiene 1 raíz

Tiene 2 raíces

Tiene 3 raíces

Tiene infinitas raíces

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Gráficamente se ve distintas situaciones cuando se analiza a f(x) en un intervalo acotado.

No tiene solución

Tiene 1 raíz

Tiene 2 raíces

Tiene 3raíces

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IAPLANTEO DEL PROBLEMA

Puede haber situaciones en las que existan raíces múlti-ples. En ese caso, f(x) y la derivada se anulan parael valor de la raíz.

Raíz Doble

Raíz Triple

Esto es importante ya que puede condicionar la solución numérica

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La estrategia a emplear en diferente en cada caso

(A) Se necesita calcular una determinada raízreal de la función f(x)

(B) La función en cuestión es un polinomio P(x) y se necesita

evaluar todas sus raíces

Son dos las situaciones que pueden

surgir:

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IACALCULO DE UNA RAIZ - ALGORITMOS

1) Determinación de intervalo de búsqueda, esto es, los límites superior e inferior en el que la raíz puede estar. Esto en general se podrá conocer, cuando la ecuación se vincula al modelo de un sistema físico.

2) Selección y aplicación de un método numérico apropiado para determinar la raíz con la exactitud adecuada.

(A) Métodos de cómputo de una raíz real de la

función f(x).

Involucra dos pasos:

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IA

CALCULO DE UNA RAIZ - ALGORITMOS

(A) Métodos de cómputo de una raíz real de la función f(x).

Métodos CerradosBISECCION

REGULA FALSI

Métodos AbiertosSUSTITUCION SUCESIVA

NEWTON-RAPHSONSECANTE

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IAMETODO DE LA BISECCION

Paso 1: Elegir xL y xU los extremos del intervalo entre los que se encuentra la raíz, verficando que se cumpla que f(xL)*f(xU) < 0.

Paso 2: Estimar la raíz en la mitad del intervalo (bisección).

xM = 0.5*(xL + xU)Paso 3: Determinar el nuevo intervalo de búsqueda.

if f(xM)*f(xL) < 0xU = xM

eslexL = xM

endPaso 4: Repetir la iteración hasta lograr la presición

requerida

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METODO DE LA BISECCION

o x

f(x)

xU

xL

xM=0.5(xL+xU)

Nuevo intervalo de búsqueda

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(1)El algoritmo genera una sucesiónSn = x0, x1, x2, ..., xn que representa las sucesivas aproximaciones a la raíz real x*.

(2)Dos aspectos asociados a la sucesión Sn son importantes: convergencia y velocidad de convergencia.

(3)Hay que establecer algún criterio para decidir cuando una aproximación de la raíz real tiene la precisión adecuada.

El análisis del algoritmo permite mostrar las siguientes características, comunes a todos los métodos:

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IA

ALGORITMOS DE BUSQUEDA DE RAICESCONVERGENCIA

Una sucesión de las sucesivas aproximaciones Sn = x0, x1, x2, ..., xn es convergentea la raíz real x* si se cumple que: *Snlim

nx

El error ek que se comete en la iteración k es:

La sucesión converge con velocidad r si

existe el límite y C es una constante no nula

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IAALGORITMOS DE BUSQUEDA DE RAICES

CONVERGENCIA

r = 1 Convergencia lineal ( C < 1)

r > 1 Convergencia superlinear

r = 2 Convergencia cuadrática

Con convergencia lineal, se gana un dígito de precisión en cada iteración.

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IA

ALGORITMOS DE BUSQUEDA DE RAICESCONVERGENCIA

Las dos medidas de exactitud de la solución obtenida son:

El error en la ecuación f(x) = 0 debe ser menor que una cantidad

(tolerancia) especificada. 2Tolf(x)

El requisito de error de la variable independiente se expresa por medio

de la aproximación de dos iteraciones sucesivas en forma

relativa (tolerancia) o número de cifras significativas (m)

m

k

1kk

11kk

10x

xx

Tolxx

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IAALGORITMOS DE BUSQUEDA DE RAICES

CONDICION DEL SISTEMA

f(x) bien condicionada

f(x) mal condicionada

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METODO DE LA BISECCION

ab

x1

x2

ab

¿Cuándo se detiene el proceso? 11 xx kk 2)(xfo

Raíz, cuyo valor se

desconoce

x*

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EN

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(1)Es probablemente el método más simple y robusto, que asegura la obtención de la raíz con una precisión determinada en un número finito de iteraciones

(2)La velocidad de convergencia puede ser relativamente lenta (lineal).

Las características más relevantes del método son:

0.5logab

10log iter de Nro

m

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METODO DE LA REGULA FALSI

o x

y

(xM,0)xL

xU

)f(x)f(xxx)f(xxx

LU

LUUUM

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IAMETODO DE LA REGULA FALSI

Paso 1: Elegir xL y xU los extremos del intervalo entre los que se encuentra la raíz, verficando que se cumpla que f(xL)*f(xU) < 0.

Paso 2: Estimar la raíz usando una aproximación lineal (la recta que pasa por los puntos extremos).

Paso 3: Determinar el nuevo intervalo de búsqueda.if f(xM)*f(xL) < 0

xU = xMelse

xL = xMend

Paso 4: Repetir hasta lograr la precisión requerida

)f(x)f(xxx)f(xxx

LU

LUUUM

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METODO DE LA REGULA FALSI

ab

(a+b)/2

x*

(a, f (a))

(b, f (b))

abf(a)f(b)

f(a)ax

¿Es este método superior al de la

Bisección?

abf(a)f(b)

f(a)ax

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IAMETODO DE LA REGULA FALSI

(1)Método robusto, que asegura la obtención dela raíz con una precisión determinada en unnúmero finito de iteraciones.

(2)Requiere 2 puntos iniciales.

(3)Convergencia superlineal.

(4)Convergencia lentacon funcionesaltamente convexaso cóncavas.

Las características más relevantes son:M

AG

IST

ER

EN

ME

TOD

OS

NU

ME

RIC

OS

Y

CO

MP

UTA

CIO

NA

LES

EN

IN

GE

NIE

RIA

METODO DE SUSTITUCION SUCESIVA

Este método se conoce también como Método de las Iteraciones Funcionales o Método delPunto fijo.

0f(x)Si la ecuación a resolver es:

g(x)xSe la re-escribe como:

Se genera la ley de recurrencia

como: )g(xx k1k

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IAMETODO DE SUSTITUCION SUCESIVA

0f(x)

Si la ecuación a resolver es:

g(x)x

Se la re-escribe como:

f(x)y

g(x)y

xy

RAÍZ

Paso 1: Elegir una aproximación inicial x0 (guess).

Paso 2: Calcular la siguiente aproximación con:


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)g(xx k1k

X*

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Existen infinitas posibilidadespara elegir la función g(x). Podrían definirse

las funciones g(x):Para la función:

¿Con qué criterio se elige g(x)?

x

y y = x

x

y y = x

x

y y = x

x

y y = x

x* x*

x* x*

y=g(x)

y=g(x)

y=g(x) y=g(x)

x0

p0

x1

p1

x0

p0

x1

p1

x0

p0

x1

p1

x0

p0

x1

p1

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(1)La condición para que el método sea convergente es que (Teorema 2.3, Burden y Faires)

(2)Se puede probar que tiene convergencia lineal. (Teorema 2.7, Burden y Faires)

(3)Este método resulta particularmente útil cuando se debe resolver un conjunto de ecuaciones en secuencia, en el que en la primera se propone una aproximación inicial y con la última se verifica si es correcta.

b)(a,x 1 (x)g'

Paso 1: Elegir una aproximacion inicial x0 (guess).Paso 2: Calcular la siguiente aproxi-mación con:


METODO DE NEWTON RAPHSON

)(xf')f(xxx

k

kk1k

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IA

Desarrollando al expansión de Taylor hasta el término de orden cuadrático, con x0 x*

20000 )(

!2)())(()()( xxfxxxfxfxf pertenece a

(x,x0)Haciendo x = x* y despreciando el término cuadrático (x* x0)2

)*)(()(*)(0 000 xxxfxfxf)()(*

0

00 xf

xfxxLINEAL

x

y

x*x0

)(xf)f(xxx

i

ii1i

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IAMETODO DE NEWTON RAPHSON

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IA

METODO DE NEWTON RAPHSON

(1)Requiere un solo valor inicial y no espreciso encontrar un intervalo en el que seencuentre la raíz.

(2)Convergencia cuadrática. Esto indica que sise dan las condiciones, la convergencia esrápida.

(3)Tiene problemas de convergencia, porejemplo si = 0 en las proximidades dela raíz x* o cuando hay raíces múltiples.

(4)El algoritmo permite la estimación de raícescomplejas si el valor inicial es un complejo.

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IAMETODO

DE NEWTON RAPHSON

Tres casos en los que el Método falla

para encontrar la

raíz

adyacencias de x*

Con valores iníciales en la

proximidades de

Cuando la función oscila en las proximidades x*

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METODO DE NEWTON RAPHSONAciertos y fallos

x*x0x0 x0

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IAMETODO DE NEWTON RAPHSON

Regla de Fourier

SI en el intervalo [a,b] existe una raíz x* de laecuación f(x) = 0 y que y no se anulanen ningún punto del intervalo [a,b] (ambas deri-vadas tienen signo constante en dicho intervalo).

ENTONCES el método de Newton-Raphson esconvergente a la única raíz x* siempre que setome como valor inicial a:

Esta regla es una condición suficiente paragarantizar la convergencia, pero no es necesaria,

x0

x0

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IA

METODO DE NEWTON RAPHSONRegla de Fourier

La Regla de Fourier indica cómo elegir el punto inicial x0

Paso 1: Elegir una aproximación inicial x0 (guess).Paso 2: Calcular la siguiente aproxi-mación con:


METODO DE LA SECANTE

)f(x)f(x)x)(xf(xxx

k1k

k1kkk1k

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IA

Surge como variación del método de Newton Raphson.La pendiente de la recta (derivada) se estima por diferencias finitas entre dos puntos.

x0x1

TANGENTE

SECANTE

Pendiente TANGENTE Pendiente SECANTE

1

1 )()()(kk

kkk xx

xfxfxf)()())((

1

11

kk

kkkkk xfxf

xxxfxx

Método de Newton

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METODO DE LA SECANTE

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IAMETODO DE LA SECANTE

(1)Requiere dos valores iniciales. No es preciso acotar un intervalo en el que se encuentre la raíz x*.

(2)Convergencia superlineal. Se puede probar que el orden de convergencia es 1.62.

(3)Tiene problemas de convergencia similaresa los del método de Newton Raphson.

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IA

1ª Iter.

METODOS LA FALSA POSICION Y DE LA SECANTE - COMPARACION

2ª Iter.

f(x) = ln(x).

Regula Falsi Secante

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IA

COMPARACION ENTRE METODOSMétodo Ventajas Desventajas

BisectionFácil de implementar. RobustoGarantiza una reducción del eror de estimación del 50 % en cada iteración

Convergencia linear

Sustitución Suceciva

Puede ser muy eficiente dependiendo de la fórmula de recursión empleada.Requiere un solo punto para iniciar la iteración.

Puede diverger.La ecuación de recursión que garantiza convergencia puede no ser obvia.La performance depende de la ecuación de recursión.

Newton Raphson

Convergencia local cuadrática.Requiere un solo punto para iniciar la iteración.

Puede diverger cuando muy pequeña o muy grande.

Secante

Convergencia casi cuadrática (1.628).Fácil de implementar.

Puede diverger cuando el gradiente de la función es muy pequeño o muy grande.Sensible a la estimación inicial de la pendiente.

Regula falsiFácil de implementar.Robustez, con garantía de convergencia.

La velocidad de convergencia puede ser muy baja, especial-mente para funciones altamente cóncavas o convexas.

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COMPARACION ENTRE

METODOS

Velocidad de convergencia.

Caso de la ecuación:0xx)exp(f(x)

0.567...x*

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IARAICES MULTIPLES

37x5xxf(x)1)1)(x3)(x(xf(x)

23

310x12x6xxf(x)1)1)(x1)(x3)(x(xf(x)

234

PROBLEMASLas funciones no cambian de signo en la raíz cuando tienen multiplicidad par.

se aproxima a cero con muy baja velocidad de convergencia(la pendiente es nula en raíces múltiples).

Raíz Triple

Raíz Doble

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RAICES MULTIPLESExtensión del Método de Newton-Raphson

El método original de Newton-Raphson: )(xf'

)f(xxxk

kk1k

El Método de Newton para raíces

mútiples resulta: )(xu')u(xxx

k

kk1k

Introduciendo una nueva función u(x) que se anula cuando f(x)

se hace cero: (x)f'f(x)u(x)

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IA La fórmula de recurrencia

resulta:

RAICES MULTIPLES

Recupera la convergencia original del método de Newton (cuadrática)

La extensión del método de la secante para raíces múltiples resulta en forma análoga:

)u(x)u(x)x)(xu(xxx

k1k

k1kkk1k

)(x')f'f(x)(xf')(x)f'f(xxx

kk2

k

kkk1k

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IA

RAICES MULTIPLESOtra Extensión del Método de Newton-

Raphson

El método de Newton-Raphson: )(xf'

)f(xxxk

kk1k

Ralston y Rabinowitz proponen que seintroduzca un coeficiente mm que representa lamultiplicidad de la raíz. Se puede lograrconvergencia cuadrática.

El Método para raíces mútiples resulta: )(xf'

)f(xmxxk

kk1k

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IAPROMOCION DE LA CONVERGENCIA

Paso 1: Elegir una aproximacion inicial x0 (guess).Paso 2: Calcular dos aproximaciones:

Paso 3: Evaluar la raíz corregida con la expresión:

El método de sustitución sucesiva puede no converger. Yen caso se convergencia, en alguno casos puede hacerlo abaja velocidad. Para mejorar la convergencia existenmétodos. El más conocido es el Método de Aitken:

210

201

0 x2xx)x(xxx

)g(xx ; )g(xx 1201

Seguir empleando:k1k2k

22k1k

2k1k x2xx)x(xxx

x

y

y = xy = g(x)

x* x0

P(x0, x1)

x1 x2

x

P(x1, x2)

210

201

0 x2xx)x(xxx

PROMOCION DE LA CONVERGENCIA

Interpretación gráfica del

Método de Aitken

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TAC

ION

ALE

S E

N I

NG

EN

IER

IAPROMOCION DE LA CONVERGENCIA

Paso 1: Elegir una aproximacion inicial x0 (guess).Paso 2: Calcular dos aproximaciones:

Paso 3: Evaluar la raíz con la expresión:

Una variante menor en la forma de aplicar el algoritmode Delta de Aitken es el Método de Steffensen queproduce buenos resultados:

210

201

0 x2xx)x(xxx

)g(xx ; )g(xx 1201

Paso 4: Haga xx0

y vuelva al Paso 1

MA

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IA

PROMOCION DE LA CONVERGENCIA

La iteración funcional calcula de xk con:

Otra forma para expresar el algoritmo de Aitken seconoce como Método de Wegstein

)g(xx 1kk

El gradiente de g(x) se puede estimar en xk con:

Y esto mejora la estima-ción de la función para la próxima iteración:

Resultando:

sxx

xgxgdx

xdg

1kk

1kk

xk

111 kkkkk xxxsxgxg

1ssqqxxq)g(1x kk1k ;

RAICES DE POLINOMIOS

Los polinomios son funciones de relevancia enmodelos matemáticos en ciencias e ingeniería.El teorema fundamental del álgebra y suscorolarios siguen las siguientes reglas:

MA

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IA

Un polinomio de orden n tiene n raíces que pueden ser reales o complejas, simples o múltiples.Si los coeficientes del polinomio son reales, y el orden es impar, al menos hay una raíz real.Si los coeficientes del polinomio son reales, hay una raíz compleja, el conjugado también es raíz.


Para el polinomio:

MA

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IA

Si x* es una raíz encontrada por alguno de los procedimientos de búsqueda de raíces, entonces:

Las raíces de Q(x) son también raíces de P(x). Este procedimiento se denomina deflación polinomial.

0axaxaxaxP 011n

1nn

n

0bxbxbxb*xx Q(x) *xxxP

012n

2n1n

1n

0x*bx*xbb x*xbbx*xbbxbxP

010

2n2n3n

1n1n2n

n1n

RAICES DE POLINOMIOSM

AG

IST

ER

EN

ME

TOD

OS

NU

ME

RIC

OS

Y

CO

MP

UTA

CIO

NA

LES

EN

IN

GE

NIE

RIA

Así se obtienen los coeficientes del polinomiodeflacionado Q(x) al que se le puede aplicarde nuevo un algorimo de búsqueda de raíces.Este procedimiento se conoce como DivisiónSimétrica. (Regla de Ruffini)

Comparando coeficientes:

*xbab*xbab

*xbab*xbab

ab

110

221

2n2n3n

1n1n2n

n1n


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IA

La División Simétrica empleada en conjunción con unmétodo de búsqueda de raíz (por ej. Método deNewton, permite encontrar recursivamente las raícesde P(x).

)Q(x)(xP'(x))Q'x(xQ(x)(x)P'

kk

k

Derivando P(x)

RR))Q(xx(x)P(xR)Q(x)x(xP(x)

kkkk

k Teorema del resto

La derivada k), para aplicar el Método de Newtonse puede estimar con Q(xk).


AG

IST

ER

EN

ME

TOD

OS

NU

ME

RIC

OS

Y

CO

MP

UTA

CIO

NA

LES

EN

IN

GE

NIE

RIA

Notar: Se requiere una aproximación inicial de la raízen cada etapa. Una vez encontrada la primera, sesuele emplear ésta como aproximación de la siguiente.

El algoritmo (Newton-Hörner) parte de un valorinicial de raíz x0:

1.Se calcula P(xk)2.Se calculan los coeficientes de Q(x) usando

División Simétrica.3.Se estima k) = Q(xk)4.Se aplica la fórmula de Newton Raphson

xk+1 = xk- P(xk)/Q(xk)5.Se controla convergencia y se vuelve a 1 de

ser necesario


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IA

Para raíces complejas y polinomio de coeficientesreales, se debe trabajar con factores cuadráticos:

qpxxxx)xx(xx)x-)(xx-(x jbax , jbax

22121

221

21

Entonces, el polinomio P(x) original de orden n sedeflaciona en dos órdenes al dividirlo por el factorcuadrático.

Como antes, al multiplicar e igualar coeficientes seobtiene:

Bp)A(x)bxb...xbxq)(bpx(x

Residuoq)Q(x)px(xP(x)

013n

3n2n

2n2

2


AG

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NU

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NA

LES

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210

321

2n3n2n3n

2n1n3n

n2n

qbpbaBqbpbaA

qbpbabpbab

ab

Para que p y q correspondan a lasraíces de P(x), el residuo debe sernulo, es decir, se debe cumplir: 0q)B(p,

0q)A(p,

El Método de Bairstow, es uno de los algoritmos que emplea este esque-ma de deflación, calcu-lando las raíces de a pares.

El algoritmo de Bairstow resuelve este sistemano-lineal empleando el Método de Newton parados incógnitas.

FUNCIONES DE MATLAB

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IA

fzeroEncuentra la raíz de una función de una variable

Sintaxisx = fzero(fun,x0) x = fzero(fun,x0,options) x = fzero(fun,x0,options,P1,P2,...)

Algoritmofzero es un comando en un archivo M. El algoritmo se debe a T. Dekker, que usa una combinación de los métodos de la bisección, de la secante y de la interpolación inversa cuadrática. (Forsythe, G. E., M. A. Malcolm, and C. B. Moler, Computer Methods for Mathematical Computations, Prentice-Hall, 1976).

LimitacionesEncuentra raíces de funciones continuas que cambian de signo, cortando el eje de las abscisas.

FUNCIONES DE MATLABM

AG

IST

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EN

ME

TOD

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NU

ME

RIC

OS

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CO

MP

UTA

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NA

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RIA

rootsEncuentra todas las raíces de un polinomio con coeficientes reales.

Sintaxisr = roots(c)Con c el vector de los coeficientes del polinomio ordenados de mayor grado al término independiente.

AlgoritmoSe computan las raíces a partir de los autovalores de una matriz que tiene dicho polinomio característico.


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IA

Planteo del problema. Característica de losalgoritmos: medida de la velocidad de convergen-cia, valores iniciales y criterio de aproximación.Iteración funcional. Aproximaciones sucesivas.Métodos de iteración de dos puntos: falsaposición, secante y bisección. Método deNewton-Raphson. Promoción de la convergencia,algoritmo de Aitken. Raíces de polinomios,deflación, métodos para raíces reales ycomplejas. Aplicación empleando Matlab

TEMAS

matematica 2 numericacalculo de una raiz - algoritmos 1) determinación de intervalo de búsqueda,...

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