matematica 1º2 b

51 52 COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er. Año Secundaria MATEMÁTICA 1er . Año Secundaria

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1. Entender la necesidad de extender el conjunto de los números naturales.2. Analizar y reconocer el conjunto de los números enteros y representarlos en la recta numérica.3. Reconocer números enteros opuestos.4. Determinar el valor absoluto de números enteros.5. Establecer las relaciones de orden entre números enteros.

PROCEDIMIENTOS

A. MOTIVACION

INTRODUCCION HISTORICALa primera consideración sobre el número entero negativo no llega en el mundo occidental sino hasta el siglo XVI como consecuencia de la solución de ecuaciones algebraicas. En oriente, en cambio, durante el siglo IV ya manipulaban números positivos y negativos en los ábacos usando bolas de diferentes colores.

El matemático alemán Kronecker afirmó: “El número natural lo creó Dios y todo lo demás es obra de los hombres”. Si nos remitimos a tiempos remotos podemos encontrar que nuestros antepasados utilizaban los números, según su necesidad, cuál era el contar los animales que poseían, la cantidad de grano que almacenaban, etc. para lo cual era suficiente el conjunto de los números naturales. Posteriormente el hombre ha ido ampliando sus necesidades en la utilización de los números y se ha visto en la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales, como veremos más adelante.

CONTENIDO TEORICO

1. JUSTIFICACION PARA LA EXTENSIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES

Por lo aprendido, en el módulo anterior: N = {0; 1; 2; 3; 4; 5;........}; cuya representación en la semirecta es:

0 1 2 3 4 5 6 .....

También, quedó establecido que las operaciones de adición y multiplicación siempre son posibles en N (definidas en N), esto es:

Propiedad de Clausura o cerradura:

∀ a; b ∈ N ⇒ (a + b) ∈ N∀ a; b ∈ N ⇒ (a . b) ∈ N

Sin embargo, la operación de sustracción existe solamente en una forma muy restringida, es decir sólo cuando el minuendo es mayor o igual que el sustraendo, y por lo tanto la sustracción no verifica la clausuratividad en N. Por ejemplo:

15 – 7 = 8; 8 ∈N ⇒ M > S12 – 12 = 0; 0 ∈ N ⇒ M = S21 – 36 = x; x ∉ N ⇒ M < S

Se concluye:

- Con el conjunto de los números naturales (N), no es suficiente para realizar todas las operaciones.

- Para que la sustracción siempre sea posible se hace necesario extender o ampliar el conjunto N a otro conjunto de números en el cual la sustracción sea clausurativa.

- Se construye un nuevo conjunto de números que incluye al conjunto N. Cumpliéndose en este nuevo conjunto las operaciones y propiedades de los naturales.Además en este conjunto se establecen otras propiedades con las que será posible ampliar el campo operatorio.

- Este nuevo conjunto de números se denomina conjunto de los números enteros, cuya notación es Z.

2. Conjunto de los números enterosVeamos los siguientes ejemplos:

37 – 29 = 8 ⇒ 37 = 8 + 2925 – 25 = 0 ⇒ 25 = 2512 – 56 = -44 ⇒ 12 = -44 + 56

2.1 Conjunto de los números enteros positivosAl conjunto de los números enteros positivos se denota por +Z , siendo sus elementos las

diferencias de números naturales (a-b), tales que a > b.

NOTACION POR COMPRENSION+Z = {a-b/a; b ∈ N ∧ a > b}

NOTACION POR EXTENSION+Z = { .......;5;4;3;2;1 +++++ }

NOTACION POR CONVENIO MATEMATICO

+Z = {1; 2; 3; 4; 5; ....}

S1MA32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S1MA32B “El nuevo símbolo de una buena educación....”

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS


2.2 Conjunto unitario, elemento cero.

Este conjunto tiene como elemento al número cero (0), que se obtiene de la diferencia de números naturales (a-b), tales que a = b.

{0} = {a-b/a; b ∈ N ∧ a = b}

El número entero cero no es positivo ni negativo, es decir:

0 ∉ +Z

0 ∉ −Z

2.3 Conjunto de los números enteros negativos

NOTACION POR COMPRENSION−Z = {a-b/a; b ∈ N ∧ a < b}

NOTACION POR EXTENSION−Z = { ...; ;1;2;3;4 −−−− }

2.4 Conjunto de los números enterosAl conjunto de los números enteros se denota por Z, siendo sus elementos todas las diferencias de números naturales, es decir, la reunión de los conjuntos antes mencionados, cuya notación son:

POR COMPRENSIONZ = Z- U {0} U +Z

POR EXTENSIONZ = { ..... ; ;3;2;1;0;1;2;3 +++−−− ; ......}

COROLARIOLos números naturales forman un subconjunto de los números enteros. Luego:

ZN ⊂

Todo número natural es entero, pero no todo número entero es natural.Ejemplo:

7 ∈ N ∧ 7 ∈ Z

-15 ∈ Z ∧ -15 ∉ N

REPRESENTACION GRAFICA DE Z

7

N

-15

Z

3. REPRESENTACION DE LOS NUMEROS ENTEROS EN LA RECTA NUMERICA

Se elige en la recta numérica un punto de origen, el que se le hace corresponder el número entero cero.

0

A la derecha de cero se ubican a distancias iguales, los números enteros positivos.

0 +1 +2 .....+3 +4

A la izquierda de cero se ubican a distancias iguales, los números enteros negativos.

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 .....+3 +4 .....

4. NUMEROS ENTEROS OPUESTOS

Establecida la correspondencia de cada número entero, con un punto de la recta, se observa que los

números enteros simétricos u opuestos ZyZ −+ , equidistan de cero (expresan igual

distancia al origen).

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 .....+3 +4 .....

ORIGEN

NUMEROS ENTEROS OPUESTOS



⇒ -2 y 2 son # Z opuestos.5. VALOR ABSOLUTO: | |

El valor absoluto de un número es la distancia de dicho número al origen.

|a| ⇒ se lee: valor absoluto de a.

Recuerda

|a| =a ; si: a > 0

0 ; si: a = 0

- a; si : a < 0

Ejemplos:|7| = 7; (7 > 0)|0| = 0|-7| = 7; (-7 < 0)

De los ejemplos se concluye:

|a| nunca es un número negativo.

|a| es mayor o igual que cero.

|a| ≥ 0

5.1 APLICACIONES

1) Si |x| = 3, a qué números enteros representa x ?

Solución:X es un número que dista 6 unidades del origen. Luego: X = {- 3; 3}

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 .....+3 +4 .....

| ||3| →|-3| ←→← |

2) Si |x| < 5, a qué números enteros representa X?

Solución:X representa a todos los números enteros cuyas distancias al origen son menores que cinco.

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 .....+3 +4 .....

ORIGEN

Del gráfico: X = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}3) Cuando afirmamos que |X| ≤ 5, a qué números enteros representa X?

Solución:

X representa a todos los números enteros cuyas distancias al origen son iguales o menores que 5.

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 .....+3 +4 .....

ORIGEN

Del gráfico: X = {-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}

4. Si |X| > 2, a qué números enteros representa X?

SoluciónX representa a todos los enteros cuyas distancias al origen son mayores que 2.

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 .....+3 +4 .....

ORIGEN

Del gráfico: X = {.....; -5; -4; -3; 3; 4; 5; .....}

5. Cuando afirmamos que |X| ≥ 2. ¿A qué números representa X?

SoluciónX representa a todos los enteros cuyas distancias al origen son mayores o iguales que 2.

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 .....+3 +4 .....

ORIGEN

Del gráfico: X = {.....; -4; -3; -2; 2; 3; 4; .....}

6. COMPARACION ENTRE NUMEROS ENTEROS

En la recta numérica para los números enteros:



-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 .....+3 +4 ..... -5 +5

De aquí se deducen las siguientes propiedades de comparación entre números enteros:

Propiedad 1: Cualquier número positivo es mayor que cero.

Propiedad 2: Cualquier número negativo es menor que cero.

Propiedad 3: Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo. Ejemplo: +1 > -1 000 000.

Propiedad 4: De dos números positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Ejemplo: +50 > +12

Propiedad 5: De dos números negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. Ejemplo: -16 > -58.

Escribe los símbolos <, = , > en el espacio que corresponde.

+127 ........ +132 +127 ........ +132

+19 ........ +7 |-7| ........ |7|

-11 ........ 0 -27 ........ -38

0 ........ -16 -124 ........ -178

8 ........ -26 -18 ........ 18

PRACTICA DE CLASE

A continuación proponemos una serie de ejercicios que te permitirán plasmar lo aprendido en la sesión. ADELANTE.

1. Colocar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

-3 ∈ N ........ ( ) 5 ∈ N ........ ( )

N ⊂ Z ........ ( )

-8 ⊂ Z ........ ( )

7 ∈ Z ........ ( ) 0 ∈ Z ........ ( )

2. Determine el valor absoluto de:

|-5| = .......................|+5| = .......................

|-7| = .......................|0| = .......................|-50| = .......................|-16| + |-5| = .......................|-233| + |+10| = .......................|-7| - |3| = .......................

3. Escribir 6 pares de números opuestos:

a) ...................................... b) ...................................... c) ......................................

d) ...................................... e) ...................................... f) ......................................

4. En la recta numérica:

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 .....+3 +4 ..... -5 +5

R Q P N M A B C D E

Suponiendo que cada espacio mide 1 centímetro, entonces la distancia del punto:

D a cero es ......................... R es acero es .........................

M a cero es ......................... B es acero es .........................

E a cero es ......................... Q a cero es .........................

5. Dado |X| = 5. ¿Qué números enteros representa X? ¿Por qué?

6. Si |X| < 4. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué?

7. Si |X| > 6. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué?

8. Escribe el signo >, = ó <. Según corresponda en los espacios punteados.

a) –15 ........ -7 g) |-5| ........ |5|

b) 20 ........ +20 h) |-12| ........ |-18|

c) 12 ........ -12 i) |-15| ........ |+12|



d) -32 ........ 20 j) 0 ........ -9

e) –1 ........ 0 k) -32 ........ -1

f) 0 ........ 11 l) |0| ........ |-3|

TAREA DOMICILIARIA

1. Ordenar de menor a mayor:

a) 10; -1; -8; +4; +7; -6; -9b) –104; -26; -5; 0; -1; +1; +3; +30; -60; -24c) –12; 13; +14; -7; -10; -1; 0

2. Ordenar en forma decreciente.

a) –4; -8; -13; 0; -7; +7; +16; -1b) –26; -32; -5; 0; -1; +1; +3; +30; +19

3. Si |X| ≥ 4. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué?

4. Si |X| ≤ 3. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué?

5. Si |X| = 6. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué?

6. Si |X| < 5. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué?

7. Si |X| > 4. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué?

8. Aplicando las propiedades de la Igualdad y Desigualdad, escribir la conclusión en cada proposición?

a) Si: a = b y b = c. Se concluye: .................................b) Si: -8 < -2 y -2 < 5. Se concluye: .................................c) Si: -1 > -2 y -2 > -3. Se concluye: .................................

9. Escribe los símbolos <, =, > en el espacio que corresponde:

a) 215− ......... 0 g) |15| ......... |-15|

b) 22 ......... 4 h) |-21| ......... |-8|

c) 5 ......... -60/-12 i) |-1| ......... |2|d) -32 ......... 23 j) 53 ......... -999

e) 30 ......... 081 k) -39 ......... 2

f) 0 ......... -58 l) |10| ......... |-31|

10. En la recta numérica:

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 .....+3 +4 ..... -5 +5

F G H I JA B C D E

Suponiendo que cada espacio mide 1 centímetro, entonces la distancia del punto:E a cero es ..................... H a cero es .....................

I a cero es ..................... B a cero es .....................

A a cero es ..................... J a cero es .....................

E al punto J ..................... C al punto F .....................

F al punto J ..................... A al punto J .....................

B al punto H ..................... C al punto I .....................



OBJETIVOS ESPECIFICOS:

1. Reconocer las propiedades de las operaciones entre números enteros.2. Realizar operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación en

Z.3. Realizar operaciones combinadas en Z teniendo en cuenta el orden operatorio, signos de agrupación

y propiedades.

PROCEDIMIENTOS

A. MOTIVACION:En el presente módulo abordaremos el estudio de las diferentes operaciones que se pueden realizar en el conjunto de los números enteros (Z), tales como: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.Cuando realizamos el estudio del conjunto de los números naturales (N), ya habíamos abordado el estudio de estas operaciones anteriormente mencionadas y como quiera que N está incluido en Z (N ⊂ Z), la noción general de las operaciones en N, así como las propiedades y principios; se cumplen exactamente en Z, sin embargo Z tiene otras propiedades que le son propias.

B. CONTENIDO TEORICO:

OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS

I. ADICION DE NUMEROS ENTEROS

SUMAR números enteros en álgebra, significa combinarías para obtener un solo número que represente el total de ellos o su efecto total.

Tratando de ser más objetivos en tu aprendizaje proponemos el siguiente ejemplo:Elena dirige un negocio y diariamente ejecuta ventas donde se le podrían presentar las siguientes situaciones: GANANCIAS y PÉRDIDAS.Lo ejecutado por Elena lo detallamos en el cuadro adjunto, advirtiendo que a las ganancias y pérdidas le asignamos números enteros positivos y negativos respectivamente.

DIA SITUACIONES SUMANDOALGEBRAICAMENTE

EFECTO

Lunes +15 +32 (+15) + (+32) = +47 GanóMartes -21 -10 (-21) + (-10) = -31 PerdióMiércoles +52 -75 (+52) + (-75) = -23 PerdióJueves +127 -46 (+127) + (-46) = +81 GanóViernes +89 -89 (+89) + (-89) = 0 Ni ganó Ni perdió

Del cuadro extraemos las siguientes reglas:

1. Para sumar números enteros que tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y el signo del resultado es el mismo que el de los sumandos.Ejemplos:

(+15) + (+32) = +15 + +32 = +47(-21) + (-10) = -21 + -10 = -31

2. Para sumar números enteros de distinto signo, se restan los valores absolutos de los números dados (el mayor menos el menor) y se coloca al resultado el signo del número del mayor valor absoluto.Ejemplos:

(+52) + (-75) = +52 + -75 = -23(+127) + (-46) = +127 + -46 = +81

De los ejemplos anteriores podemos extraer la siguiente conclusión:

a) Cuando sumamos enteros de igual signo, el resultado es otro número entero del mismo signo.

FORMA PRACTICA

(+ ð ) + (+ ð ) = + ð 1. (+15) + (+32)

Suprimimos el operador y paréntesis.

+15 + 32 = +47

(- ð ) + (- ð ) = - ð 2. (-25) + (-10)


-25 - 10 = -35

b) Cuando sumamos números enteros de distinto signo, el resultado lleva el signo del número de mayor valor absoluto.

FORMA PRACTICA


OPERACIONES CON


(+ ð ) + (- ð ) = ? ð 1. (+52) + (-75)


+52 - 75 = -23

(- ð ) + (+ ð ) = ? ð 2. +127 + -46

Suprimimos el operador.

127 - 46 = +81

c) Cuando sumamos números enteros, el resultado que se obtiene es otro número entero. (La adición es cerrada en Z).

Z)ba(Zb,a ∈+⇒∈∀

II. SUSTRACCION DE NUMEROS ENTEROS

Enunciemos la siguiente regla: para efectuar la sustracción de dos números enteros, basta sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

1) (-15) – (-7) 2) (+39) – (-58)

La sustracción convertida en adición: Transformando la sustracción en adición:(-15) + (+7) = -8 (+39) + (+58) = +97

Así, la sustracción queda transformada en una adición de números enteros y la regla para resolverla se dio anteriormente.

De los ejemplos expuestos podemos extraer las siguiente conclusión:

a) En la sustracción de números enteros, el resultado que se obtiene es otro número entero (la sustracción es cerrada en Z).

Z)ba(Zb,a ∈−⇒∈∀

b) En la sustracción de números enteros, no se cumple la propiedad conmutativa.Ejemplo:

(-15) – (-7) ≠ (-7) – (-15)

(-15) + (+7) ≠ (-7) + (+15)

- 8 ≠ +8c) Ampliamos afirmando que en la sustracción de números enteros, no se cumple la propiedad

asociativa:

Ejemplo:[ (+7) – (-11) ] – (-32) ≠ (+7) – [ (-11) – (-32) ]

[ (+7) + (+11) ] – (-32) ≠ (+7) – [ (-11) + (+32) ](+18) – (-32) ≠ (+7) – (+21)(+18) + (+32) ≠ (+7) + (-21)

50 ≠ -14

OPERACIONES COMBINADAS DE ADICION Y SUSTRACCION EN Z

Veamos los ejemplos:

1) Efectuar: (+15) + (-11) – (+17) + (+5) – (-21)

Solución:

Expresando las sustracciones como adiciones:

(+15) + (-11) + (-17) + (+5) + (+21)

(+4) + (-17)

(-13) + (+5)

(-8) + (+21)

(+13)

OTRA FORMA:(+15) + (-11) – (+17) + (+5) – (-21)

Expresando las sustracciones como adiciones:(+15) + (-11) + (-17) + (+5) + (21)

Suprimiendo los operadores y paréntesis:+15 – 11 – 17 + 5 + 21

Agrupamos los números positivos y negativos.

+15 + 5 + 21

+41

13

– 28

– 11-17+ 15 – 11 – 17 + 5 + 21

+4 – 17

-13

-8 + 21

13

+ 5

2) Efectuar: -15 + {7 – 29 – [-16 – (8 – 3 – 5 + 7)] – 4}



Solución:

Suprimimos el paréntesis (signo colector ubicado en la parte más interna); efectuando antes las operaciones del interior, lo mismo aplicamos con el corchete y llave.-15 + {7 – 29 – [-16 – (8 – 3 – 5 + 7) – 4}

- 15 + {7 – 29 – [-16 – (+7)] – 4}

-15 + {7 – 29 – [-23] – 4}

-15 + {7 – 29 + 23 – 4}

-3

7

-23

-15 – 3

-18

OTRA FORMA

Podemos ir suprimiendo los signos corchetes comenzando por la parte más interna y antes de operar los números que se encuentran en su interior, así:

a) Si delante del paréntesis está el signo +, se suprime el paréntesis y los números del interior no alteran su signo.

+ (+7 – 10 – 8) = +7 – 10 – 8

b) Si delante del paréntesis está el signo, se suprime el paréntesis y los números del interior se alteran en su signo.

- (+7 – 10 – 8) = -7 + 10 + 8

Luego tenemos:- 15 + {7 – 29 – [-16 – (8 – 3 – 5 + 7)] – 4}- 15 + {7 – 29 – [-16 – 8 + 3 + 5 - 7)] – 4}- 15 + {7 – 29 + 16 + 8 – 3 – 5 + 7 – 4}- 15 + 7 – 29 + 16 + 8 – 3 – 5 + 7 – 4

Operamos los positivos y negativos por separado. (no se observa opuestos).

-15 – 29 – 3 – 5 – 4 + 7 + 16 + 8 + 7

-56 + 38

-18

III. MULTIPLICACION DE NUMEROS ENTEROS

Veamos: 13 + 13 + 13 + 13 + 13 = 5 . 13 = 65

5 veces(-24) + (-24) + (-24) + (-24) + (-24) + .... + (-24) = 100 x (-24)

100 veces = (100) (-24)= - 2400

Se observa que la adición de sumandos iguales, se puede expresar como una multiplicación del sumando en referencia con las veces que éste se repite.

En la multiplicación de números enteros se pueden presentar distintas situaciones:

1. (+7) . (+8) = +56

(-11) . (-7) = +77

Si dos números enteros tienen el mismo signo, para multiplicarlos se multiplican sus valores absolutos y el resultado es un número entero positivo.

2. (-15) (+7) = -105

(+13) (-6) = -78

Para multiplicar dos números enteros que tienen distinto signo, se multiplican sus valores absolutos y el resultado es un número entero negativo.

En resumen:(+a)(+b) = +p

(-a)(-b) = +p

(-a)(+b) = -p

(+a)(-b) = -p

= Resultado con signo +

= Resultado con signo -

Observaciones: Cuando existen más de dos factores, contamos cuántos de ellos son negativos. Luego:

a) Si el resultado del conteo es impar, el resultado será negativo (-). Ejemplo:

(-2)(-3)(5)(- 4) = - 120

b) Si el resultado del conteo es un número par, el resultado será positivo (+). Ejemplo:

(-3)(3)(-4) = 60

IV. DIVISION DE NUMEROS ENTEROS

Veamos las divisiones:



15 ÷ -3 = -5; porque 15 = (-5)(-3) ⇒ 15 es múltiplo de - 311 760 ÷ 245 = 48; porque 11 760 = (245)(48) ⇒ 11 760 es múltiplo de 245.

72 ÷ 7 = x ∉ Z; porque no existe número entero que multiplicado por 7 nos de como producto 72. Por lo tanto 72 no es múltiplo de 7.

De los ejemplos anteriormente expuestos se concluye:

* La operación de división de números enteros no es clausurativa; no siempre se encuentra el entero que multiplicado por el divisor, dé el dividendo.

* La división en el conjunto de los números enteros sólo será posible cuando el dividendo (D) sea múltiplo del divisor (d) y éste diferente de CERO, con esta referencia se encontrará un número q (cociente) tal que multiplicado por d, nos dé por producto el número D.

Simbólicamente:

Si D, d, q ∈ Z; d

D = q ↔ D = dq

Los elementos de la división son:

Dividendo (D).- Es la cantidad a ser dividida.Divisor (d).- Indica el número de partes iguales en que debe dividirse el dividendo.Cociente (q).- Es el número de elementos que resultan para cada una de las partes indicadas por el divisor.

Además para indicar la operación de división se acostumbra usar:

bab/ab

a ÷==

__ ; / ; ÷ estos signos representan al operador de la división leyéndose como “entre”.

Los números enteros pueden ser positivos o negativos, a efectos de realizar correctamente una operación de división, es preciso tener en cuenta las siguientes reglas:

1. Para dividir dos números enteros del mismo signo se dividen sus valores absolutos del primero por el segundo, y se antepone al cociente el signo más (+).Ejemplos:

(+16) ÷ (+4) = +4(-54) ÷ (-3) = +18

2. Para dividir dos números enteros de distintos signos se dividen sus valores absolutos del primero por el segundo, y se antepone al cociente el signo menos (-).Ejemplos:

(+52) ÷ (-4) = -13(-16) ÷ (+2) = -8

Recordar:Al dividir dos números enteros:

- Del mismo signo, el cociente es positivo.- De distinto signo, el cociente es negativo.

Observaciones:

* El cero dividido por cualquier número entero distinto de cero es cero. Ejemplo:

032

0;

15

0 =−

* Un número entero (distinto de cero) dividido por cero es una operación que carece de sentido. Ejemplo:

0

17

Carecen de sentido

0

72−

Habiendo concluido el estudio de las operaciones básicas en Z, completa el siguiente cuadro escribe la palabra NO cuando la operación no sea posible en los números enteros.

Elementos Operaciones Básicasa b a + b a – b a . b a ÷ b

+72 +12 (+72)-(+12)=60-54 -3

+205 -41 (+205)+(-41)=164-72 +24+39 120 200 -58

+17 0 NO-5 +5 -25

Del cuadro anterior se concluye que la adición, sustracción y multiplicación son operaciones cerradas en Z (su resultado es otro número entero), cumpliendo las siguientes propiedades:



Propiedad de Clausura

∀ a ; b ∈ Z ⇒ (a + b) ∈ Z∀ a ; b ∈ Z ⇒ (a - b) ∈ Z∀ a ; b ∈ Z ⇒ (a . b) ∈ Z

Propiedad Conmutativa∀ a ; b ∈ Z ⇒ a + b = b + a∀ a ; b ∈ Z ⇒ a . b = b . a

Propiedad Asociativa∀ a ; b; c ∈ Z ⇒ (a + b) + c = a + (b + c)∀ a ; b; c ∈ Z ⇒ (a . b) . c = (a . b) . c

Propiedad Distributiva∀ a ; b; c ∈ Z ⇒ a . (b + c) = ab + ac, o también (b + c) . a = ba + ca

∀ a ; b; c ∈ Z ⇒ d

c

d

b

d

a

d

cba ++=++

Elemento Neutro∀ a ∈ Z ⇒ a + 0 = a, (El elemento neutro es CERO)∀ a ∈ Z ⇒ a . 1 = a, (El elemento neutro es UNO)

V. POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS

Es una operación que consiste en elevar un número entero “b” a un exponente natural “n”, el cual nos indica la calidad de veces que se repite la base entera como factor, hallando así el resultado llamado Potencia.

Exponente (Número natural)

Base (Número Entero)Potencia (resultado)

nb = P

Ejemplos:

2)7(+ = (+7)(+7) ⇒ 2)7(+ = +49

2 veces5)3(+ = (+3) (+3) (+3) (+3) (+3) ⇒ 5)3(+ = +243

5 veces6)2(− = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) ⇒ 6)2(− = +64

6 veces

3)3(− = (-3)(-3)(-3) ⇒ 3)3(− = -27

3 veces

Por lo mostrado en los grupos anteriores, es preciso tener en cuenta las siguientes reglas:

1) Si la base es positiva y el exponente cualquier número natural, el resultado es positivo:Ejemplo:

4)5(+ = + 625

3)6(+ = + 216

2) Si la base es negativa y el exponente un número natural par, el resultado es positivo:Ejemplo:

6)2(− = + 64

3) Si la base es negativa y el exponente un número natural impar, el resultado es negativo.Ejemplo:

3)5(− = - 125

7)2(− = - 128

LEYES EXPONENCIALES DE LA POTENCIACION EN EL CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS

No Descripción Estructura Campo numérico

01 Multiplicación de potencias de igual basenmanaxma += a ∈ Z

m, n ∈ N

02 División de potencia de igual basenmanama −=÷ a ∈ Z

m, n ∈ N

03 Potencias de un producto indicadonbxnan)axb( = a, b ∈ Zn ∈ N

04 Potencia de un cociente indicadonbnan)ba( ÷=÷ a, b ∈ Z

n ∈ N

05 Potencia de una potenciamxnan)ma( = a, b ∈ Z

m, n ∈ N06 Potencia con exponente cero 10a = A ∈ Z



a ≠ 0Ejemplos:

a) 125732)5(7)5(3)5(2)5( =+++=+++

b) 13313)3(9)3)(3(3)3( −=−=−−−

c) 16216)2(475)2(4)2(7)2(5)2( =−=++−=−−−

d) 9232)3(46)3(4)3(6)3( ==+=−+=+÷+

e) 4096484)8(57)8(3)8(7)8( ==−=−−=−÷−

f) 0001005)10(712)10(7)10(12)10( −=−=−−=−÷−

g) 0964646)4(2x3)4(2]3)4[( ==−=−=−

h) 144236x4)2(36]4)2[( == (queda indicado)

i) 5)10(5)5x2(5)5(3)2( −=−=− = -100 000

j) 2)42(2)7x2x3(2)7)(22(2)3( −=−=− = 1 764

Nota: La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y división.

VI. RADICACION DE NUMEROS ENTEROS

La radicación es la operación inversa a la potenciación que consiste en elevar un número entero “b” a un exponente natural “n”, el cual nos indica la cantidad de veces que se repite la base entera como factor, hallando así el resultado llamado potencia.

bn PPnb =⇒=

b : base b: raíz enésima (b ∈ Z)n : base n: índice (n ∈ N, n > 1)P : potencia P: radicando o cantidad subradical.

(P ∈ Z)

Nota:

- La potenciación es la operación que permite hallar la potencia conociendo la base y el exponente.- La radicación es la operación que permite hallar la raíz enésima, conociendo el radicando y el

índice.

La raíz enésima de un número P es otro número b que elevado al exponente “n” nos reproduce P.Simbólicamente:

Pnbbn P =⇒=

Ejemplos:

26

64 ±= ⇒ 646)2( =±

)3(3

27 ±= ⇒ 273)3( =+

55

3125 −=− ⇒ 31255)5( −=−

Por lo mostrado en los ejemplos anteriores, es preciso tener en cuenta las siguientes reglas:

1. Cuando el radicando es un número entero positivo y el índice es un número natural par, hay dos resultados que tienen el mismo valor absoluto y distinto signo. Ejemplos:

39 ±= Porque 92)3( =±

24

16 ±= Porque 164)2( =±

Recordar: Cuando el radicando es positivo y el índice par, se utiliza sólo la RAIZ POSITIVA (por conveniencia) que se le conoce con el nombre de RAIZ ARITMETICA.

Es decir:

39 = 24

16 =

2. Cuando el radicando es un número entero positivo y el índice es un número impar, el resultado o raíz hallada es positiva. Ejemplos:

33

27 += Porque 273)3( =+

25

32 += Porque 325)2( =+

3. Cuando el radicando es un número entero negativo y el índice es un número impar, el resultado es un número negativo. Ejemplos:

55

1253 −=− Porque 12535)5( −=−

23

8 −=− Porque 83)2( −=−

4. Cuando el radicando es un número entero negativo y el índice es un número par, no tiene

solución en el conjunto de los números enteros. Ejemplos: 64− , no tiene solución en Z, porque:

=− 64288 ⇒ = 64

- 8 ⇒ 2)8(− = 64⇒ 64 ≠ - 64



A continuación veamos algunas leyes o propiedades de la radicación en el conjunto de los números enteros.

1. RAIZ DE UN PRODUCTO INDICADO.- Se cumple la propiedad distributiva de la radicación con respecto al producto indicado.

nc.

nb.

na

nc.b.a =

Ejemplo:

38.

3512.1253n

38.512).125( −=− = -5 . 8 . 2 = -80

Recíprocamente:n

c.b.an

c.n

b.n

a =

Ejemplo:

34

814

)1).(27).(3(.4

1.4

27.4

3 ==−−=−−

2. RAIZ DE UN COCIENTE INDICADO.- Se cumple la propiedad distributiva de la radicación con respecto al cociente.

nb

nan ba ÷=÷

Ejemplo:

2243

83

643 864 −=−÷=−÷=−÷

Recíprocamente:n ba

nb

na ÷=÷

Ejemplo:

416232232 ==÷=÷

3. PASAJE DE EXPONENTE E INDICE DE UN MIEMBRO A OTRO.- La operación contraria a la potenciación. Si en una igualdad uno de los miembros tiene una raíz enésima, pasa al otro miembro con la operación contraria; es decir, como potencia indicada y viceversa.

a) bn

p = Por definición: pnb =

Ejemplo:

53

x = ⇒ x = 35 = 125

b) pnb = Por definición bn

p =

Ejemplo:5x = 32 ⇒ x = 5

32 = 2

RAIZ CUADRADA ENTERA

Hay muchos números enteros que no tienen raíz exacta, por que no existe ningún número entero que elevado al cuadrado dé por resultado dicho número. Tal es el caso de 84 273; pero a continuación se explica el modo práctico de conocer la raíz entera de él.

a) Separar el radicando en periodos de a dos cifras, comenzando por la derecha (no importa si en la izquierda queda una sola cifra).

8 42 73

b) Extraer la raíz cuadrada del primer periodo de la izquierda (puede ser qué dé una o dos cifras).

8 42 73 2

c) Elevar al cuadrado la raíz hallada y restar dicho valor al primer periodo.Escribir a continuación del resto el segundo periodo y separar las cifras de las unidades.

8 42 73 2

-44 42

2 = 42

d) Hallar el duplo de la raíz. Dividir por este valor el número que queda a la izquierda de la unidad separada.

8 42 73 2

-44 42

44:4 = 112.2 = 4

e) Escribir el valor del duplo de la raíz seguido del cociente hallado; multiplicando el número formado por dicho cociente. (valor adecuado).



8 42 73 2

-44 42

2.2 = 449:9 = 441

f) Restar el producto obtenido al número formado por el resto más el segundo periodo (si la resta no fuera posible, se disminuye en uno el cociente).Si la resta es posible, el cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz.

8 42 73 2

-44 42

2.2 = 449:9 = 441

-4 411

g) Escribir a continuación del nuevo resto el siguiente periodo, volviéndose a repetir el proceso.

8 42 73 290

-44 42

2.2 = 449:9 = 441

-4 411 73

1 730 00

2.29 = 58580.0

Siempre debemos verificar que:

84 273 = 2290 + 173

84 273 = 84 100 + 173

Comprueba tu aprendizaje hallando la raíz cuadrada de los siguientes números.

a) 15 6661 b) 127 487 c) 1 253 456

PRACTICA DE CLASE

A continuación proponemos una serie de ejercicios, donde aplicarás las técnicas y procedimientos para efectuar operaciones de adición y sustracción.

1. Halla el resultado de las siguientes operaciones:

a) + 8 + +9 = b) 6 + 18 = c) 25 + (-72) =

d) – 9 + (-7) = e) –16 + (-15) = f) –33 + (-28) =

g) 12 + (-9) = h) –27 + (+18) = i) –5 + 37 =2. Escribe en los espacios en blanco, los números que faltan:

a) 5 + ...... = 9 b) +9 + ....... = -3 c) ....... + -7 = -3

d) –8 + ...... = -13 e) –9 + ....... = 15 f) ....... + 6 = -12

g) 4 + ...... = 17 h) –13 + ....... = 16 i) ....... + (-7) = -20

3. Hallar el resultado de:

a) –40 + (-30) + -80 = b) (-5) + (+8) + (+1) + (+2) + (-6) =

c) +36 + (+74) + 208 = d) –4 + (+9) + (-5) + (+10) + (-9) =

e) .3 + (-5) + (+4) + (-1) + 6 = f) +5 + +2 + -5 + -7 + -4 + -6 =

g) –36 + -112 + 144 + 50 = h) –240 + -1260 + +1550 =

4. Sabiendo que a = 12; b = -13; c = -24; d = +37; e = -58. Hallar el valor numérico de:

a) (a + b) + c b) (a + e) + c c) d + (b + c)d) (c + e) + c e) (d + a) + b f) e + (d + c)

5. Sabiendo que: S = 36 + (-52) + (-7) C = -18 + (+16) + 5. Hallar el valor de :S + C + (-17).a) –37 b) –47 c) +5 d) –49 e) N.A.

6. Si A = 7 + (-49) + (+15) + (+18) + (-19) + (-25) + (+48) + (+2) yB = -32 + (-9 + 14) + (-7) + (+6) + (+1). Hallar el valor de: (A + B + 20)

a) +8 b) +12 c) -15 d) –10 e) N.A.

7. Si E = a + 8; F = b + (-13) y sabiendo que a = -15; b = 19, entonces el valor numérico de E + F + (-18) es:

a) –16 b) –19 c) 20 d) 3 e) N.A.

8. Completa el siguiente cuadro:

+ -15 +12 -51 -12 +15 24 -21 +37 -41 +42 -13+21-15+24-18-5422-170

9. Halla el resultado de las siguientes operaciones:



a) 8 + 15 = b) + 71 – (+38) = c) 94 – 36 =d) –4 - +8 = e) 6 - -9 = f) – 3 – (+7) =a) – 9 – (+12) = b) – 18 – (+17) = c) – 6 – (+18) =

PROBLEMAS PROPUESTOS

01.Si a = -17; b= 38; c = -81, entonces S = a – b + c. Hallar el valor de “x” en: x + S = -150.

a) –12 b) –14 c) 14 d) 12 e) N.A.

02.Q = (p + n) – m + 473, siendo p = -302; m = 78; n = -105. Hallar el valor de “X” en:Q – X = -96.

a) –108 b) 108 c) 104 d) -102 e) N.A.

03.(15 – M) – 32 = 64; (H + 5) – 62. Si A = M + H – 46. Hallar el valor de “A”.

a) 108 b) 104 c) 106 d) 102 e) N.A.

04. (z – 13) + 78 = -33 ; (-58 – y) + 98 = 27. Si B = z + y + 90, entonces el menor valor entero que puede tomar |x| < B es:

a) –5 b) –3 c) -7 d) -4 e) N.A.

05.(p – 9) + 5 = -98; (k + 57) + -83 = 31. Si sumas (p + 100) con el opuesto de k obtienes:

a) –96 b) 94 c) 98 d) -92 e) - 51

06. Si:

a ∇ b =a - 2b Si y sólo si a < ba – b Si y sólo si a > b

Calcular: E = (7 ∇ 3) ∇ 2.

a) 4 b) - 4 c) 8 d) - 8 e) N.A.

07. Si:

= ac + bc + ab; hallar

1

9 3

a

b c

a) 37 b) 38 c) 39 d) 40 e) N.A.

08. Si:

A = [ 2)4(− (5) + 3 – ( 32 -6)] ÷ 3)3(− - 5 y B = {[[ 4)6(− - ( 213 )(5)] +

337)2( −− ]÷ 2}37

Hallar el valor numérico de: 25 )56B()5A( −++ .

a) -1480 b) -1810 c) -1790 d) 2061 e) N.A.

09. Si: E = -3(2) 2243 )2213(]11)35[( −+÷− ; F = [[2(-3) +

)22)(3(5)23(52]8 −+− ] + 19.

Hallar el valor de 023 ])250(F2)5E3[( +− .

a) 1 b) -1 c) -2 d) 0 e) N.A.

10. Si: P = 5]213)3453[(2)1(932[ ÷−−+−+− ; Q = -13 +

2}4)2(11]10)4435{[( −+÷+−

Hallar “x” en: 4(x+45) = PQ.

a) -36 b) -24 c) -12 d) -9 e) N.A.

TAREA DOMICILIARIA

01. Efectuar las siguientes operaciones combinadas:

a) )55()6(2)5( +−−− + (-3) + (+) – (+3)(-2)

b) 2)5(3)2(2)3(3

27 −−−+−



c) (-81) ÷ (+27)-(-7)(-2)+ 4x3)3(−

d) 2)7(− + (5)(2)(-3) + 2)5(−

e) 1214)2(3)3(2)3( +−+−−

f) )13()10)(4(3)2(x5

32 −+−−+−−

g) )75(2)3(2)8(3

27 −+−−+−

h) 2)3(3 227 −÷ + [(-5)(-8) ÷ (-2) + 2)11(− - (-4)(-7)]

i) 2)5(5 33125 ÷ - [(-5)(-3) – (-7 + 9 – 4 – 8)]

j) 3)16(3)32( −÷− – {-11 + 7 – [(-8)(-3)(-1)-(-54)]}

02. Si a = -2; b = - 3; c = 16; d = -8; e = 4.

Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones:

a) ab – cd + 4c2e −

b) ab + cd – {2e + 3d + a – b}

c) cde + [a + b + c - 3d - (a-b-c)]

d) 2)eab( + + 3d – (abcd)

e) – b – [ae – cd + 2c2b2a ++ ]

f) )]2dbc4a(d[5

de3a −+−−−−

g) ]dcae5bc2[3

ec ÷−−−

h) 3d – 5a + 3d - 1

OBJETIVOS ESPECIFICOS

1. Descubrir la necesidad de extender el conjunto Z.2. Definir el conjunto Q de los números racionales y representarlos en la recta numérica, para un

posterior reconocimiento de las fracciones equivalentes y una comparación correcta entre dos números racionales.

3. Reconocer las propiedades comunes de las operaciones entre números racionales.

PROCEDIMIENTOSA. MOTIVACION

Hablar de números racionales es hablar de números fraccionarios o lo que se decía quebrados. El primer conocimiento acerca de las fracciones se produce hacia el año 2000 a.C., en Egipto. Los griegos, quince siglos después, elaboraron con acierto las teorías de egipcios y babilonios e hicieron de ella una verdadera ciencia.

B. CONTENIDO TEORICO

CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROSRecordando lo aprendido en el Módulo 2 tenemos:

Z = {...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}

Siendo su representación en la recta numérica:

.....-3 -2 -1 0 1 2 3 .....

En el conjunto de los números enteros, quedó establecido que las operaciones de Adición, Sustracción y Multiplicación siempre son posibles en Z (definidos en Z), es decir:

PROPIEDAD DE CLAUSURA O CERRADURA




∀ a; b ∈ Z ⇒ (a + b) ∈ Z

∀ a; b ∈ Z ⇒ (a - b) ∈ Z

∀ a; b ∈ Z ⇒ (a . b) ∈ Z

En el conjunto de los números enteros, la operación división existe solamente en una forma muy restringida; es decir, sólo será posible cuando el dividendo sea múltiplo del divisor y éste diferente de cero, y por lo tanto afirmamos que la división no verifica la clausuratividad en Z, por ejemplo:

1) 58 : 29 = 2 ∈ Z porque 29 x 2 = 582) (-36) : (+9) = -4 ∈ Z porque (+9) x (-4) = -363) (-17) : (-5) = x ∉ Z ¡SE PRESENTA OTRA DIFICULTAD!

En el ejemplo (3), en el Conjunto de los Números Enteros NO EXISTE un número que multiplicado por (-5) nos reproduzca como resultado (-17).

Ante esta nueva dificultad se concluye:

- El conjunto de los números enteros Z no es suficiente para operar con números.- Para que la división siempre sea posible se requiere extender el conjunto de los números enteros Z a

otro conjunto en el cual la división sea clausurativa.- Se construye un NUEVO CONJUNTO que incluye al conjunto de los números enteros Z.

Cumpliéndose en este nuevo conjunto las operaciones y propiedades de los enteros.- Además en este NUEVO CONJUNTO se establecen otras propiedades con las que será posible

ampliar el campo operatorio.- Este nuevo conjunto se denomina CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES y se denota

por “Q”.

CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES

El conjunto de los números racionales Q, tiene como elementos a todos los cocientes de números enteros (donde el divisor es distinto de cero).

Q = {x/x = a/b, ∀ a; b ∈ Z, b ≠ 0}

Al cociente indicado de números enteros: a/b, se le conoce con el nombre de FRACCION.

Donde:a

b

Numerador

Denominador

PRACTICA DE CLASE

1. Escribir 5 fracciones equivalentes de: 2

1;

5

3;

3

2 −

2. En cada caso, determine el valor de x, para obtener fracciones equivalentes:

a) 5

3

35

x = b) 35

10

7

x = c) 30

36

x

6 −=−d)

18

x

x

2 =

e) 9

0

7

x = f) 16

x

2

7 = g) 21

x

7

3 = h) 4

1x

10

5 +=

3. Simplificar las fracciones:

;40

18;

48

12;

36

24;

30

25−;

56

28;

160

400;

300

18;

40

4

1440

38;

360

64

4. Comparar las fracciones escribiendo el símbolo que corresponde:

a) 4

3...

8

3b)

4

5...

13

5 −c)

8

7...

11

15d)

15

11...

15

7

5. Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones:

a) 9

6;

7

4;

5

2b)

4

1;

3

1;

5

2−c)

4

1;

3

1;

5

2−

d) 4

7;

5

8;

3

5e)

7

5;

3

1;

2

5 −f)

4

2;

11

6;

15

13 −−

6. Establecer el valor de verdad:



a) Z ⊂ Q ........ ( ) b) N ⊂ Z ........ ( ) c) Q ⊂ N ........ ( )d) 8 ∉ Q ........ ( ) e) –2/5 ∈ Z ........ ( ) f) –6 ∈ N ........ ( )g) –16 ∈ Q ........ ( ) h) ∈ Q ........ ( )

7. Hallar el número de fracciones irreductibles de denominador 21 comprendidas entre 1/7 y 1/3.

8. Para que valor de “a”, la fracción 50a/a41 es propia e irreductible?

TAREA DOMICILIARIA

1. Ordenar las fracciones en forma creciente: 3/5; 4/7; 15/17; 10/21; 6/11.

2. ¿Cuántas fracciones irreductibles de denominador 12 existen entre 1/4 y 2/3 ?

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) N.A.

3. ¿Cuántas fracciones irreductibles de denominador 35 existen entre 3/5 y 6/7?

a) 2 b) 6 c) 5 d) 7 e) N.A.

4. El número de fracciones equivalentes a 22/36 que tiene por denominador un número de 3 cifras múltiplo de 5 es:

a) 26 b) 30 c) 40 d) 50 e) N.A.

5. El numerador por el denominador de una fracción es 52 514. ¿Cuál es dicha fracción, si al simplificarla se obtiene 14/31?

a) 98/2388 b) 97/156 c) 154/341 d) 217/242 e) 151/344

6. Si ba/ab es equivalente a 5/6. Hallar el valor de a x b.

a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) N.A.

7. ¿Cuál es el valor de “a” para que la fracción 498/a4a sea propia e irreductible?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8. Si se quiere que la fracción N/D esté comprendida entre 1/2 y 2/3 cuando N = 12. ¿Cuántos valores enteros puede tener D?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A.

9. Hallar (a + b + c), sabiendo que la fracción bca/aab es equivalente a 75.a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20



OPERACIONES CON NUMEROS RACIONALES

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

1. Ejecutar correctamente las operaciones básicas de adición, sustracción, multiplicación y división, trabajando con números racionales.Aplica las propiedades de los números racionales en la solución de ejercicios.

PROCEDIMIENTOS:

A. MOTIVACIONAsí como hemos podido calcular el resultado de sumar, restar, multiplicar y dividir números naturales o enteros, es posible realizar estas mismas operaciones cuando se trabaja en el campo de los números racionales o fraccionarios.El propósito del presente módulo es estudiar los procedimientos a seguir para operar con números racionales y comprender las propiedades que presentan las operaciones con dichos números.

CONTENIDO TEORICOOPERACIONES CON NUMEROS RACIONALES

Enfocaremos nuestro estudio a los números racionales representados como fracción.

ADICION DE FRACCIONESEn la adición de fracciones pueden presentarse las siguientes situaciones:

A. ADICION DE FRACCIONES DEL MISMO DENOMINADOR

Ejemplo:

1) Sumar: 9

5

9

1

9

3 ++

Solución: 19

9

9

513 ==++

2) Sumar: 13

8

13

2

13

7

13

3 +−+−+

Solución: 13

2

13

8273 =+−+−+

De los ejemplos, se concluye:

Al efectuar la adición de fracciones del mismo denominador (fracciones homogéneas), se suman los numeradores de las fracciones participantes y se coloca por denominador de esta suma, el denominador común.

B. ADICION DE FRACCIONES CON DIFERENTE DENOMINADOR.- Para que se obtenga mayor amplitud de criterio creemos conveniente exponerlo de la siguiente manera:

a) Fracciones con Denominadores que sean Primos entre síEjemplos:

1) Sumar: 7

2

5

3 +

35 : 5 x 3 = 21Solución: MCM(5; 7) = 35

35 : 7 x 2 = 10

Luego: 35

31

35

1021 =+

Observación: El ejemplo anterior por presentar fracciones cuyos denominadores son primos entre sí, se recomienda utilizar la forma práctica de los productos cruzados.

Veamos:

35

31

35

1021

7

2

5

3 =+=+

X

2) Efectuar: 3

2

2

1 −+

Solución: 3

2

2

1 −+ = 6

1

6

43

6

43 −=−=−+

3) Efectuar: 2

1

5

2

3

1 ++




Solución: Como 3; 5 y 2 son PESI, se procede:

2

1

5

2

3

1 ++ = 30

37

2x5x3

5x3x12x3x22x5x1 =++

b) Fracciones cuyos denominadores no son Primos entre sí.Ejemplos:

1) Sumar: 12

7

6

3 +

12 : 6 x 3 = 6MCM(6;12) = 12

12 : 12 x 7 = 7

Luego: 12

7

6

3 + = 12

13

12

76 =+

2) Sumar: 14

9

4

3

7

1 −+−+−

Solución:28 : 7 x -1 = -4

MCM(7; 4; 14) = 28 28 : 4 x –3 = -2128 : 14 x –9 = -18

Luego:

14

9

4

3

7

1 −+−+− =

28

43

28

18214 −=−−−

3) Sumar: 2

7

4

3

6

1

3

2 +−+−+

Solución: MCM(3; 6; 4; 2) = 12

2

7

4

3

6

1

3

2 +−+−+ = 4

13

12

39

12

42928

4

13

==+−−

C. ADICION DE NUMEROS MIXTOS

Número Mixto.- Se llama número mixto a la suma de un número entero y una fracción:En el número mixto está sobreentendido el signo, de la adición, razón por la cual se prescinde de él.

Ejemplo: 3

15 es un número mixto que indica:

3

15 +

Si se desea expresar un número mixto como fracción bastará con efectuar la suma que él indica.

3

15 =

3

15 + =

3

16

3

115 =+ FRACCION IMPROPIA

Recíprocamente, si a una fracción se lo quiere expresar como número mixto, bastará con dividir el

numerador por el denominador, así: 7

15, es posible expresarlo como número mixto porque es

una fracción impropia.

Numeradordel númeroracional

Denominador delnúmero racional

Número enteroResiduo

15 71 2

Luego: 7

15 =

7

12

¡Cuidado! Si la fracción impropia, es negativa, observa su transformación a número mixto.

9

58− , ⇒ 9

58− = -6

9

46

9

4 −−=58 94 6

Con la aclaración anterior ampliaremos la transformación de un número mixto expresado como una fracción común.


1) 5

37

5

27x5

5

27 =+=



2) 3

7

3

12x3

3

12

−=−+−=−

3) 4

27

4

36x4

4

36

−=−+−=−

Ejemplos: 1) Sumar: 8

1

4

32

8

53 ++

Solución: A continuación mostramos dos formas distintas de solución:

Se suman los enteros y las fracciones separadamente y luego se suman estos resultados

Transformando previamente el número mixto a fracción

3 + 2 + 8

1

4

3

8

5 ++

5 + 4

3

8

6 +

5 + 4

3

4

3 +

5 + 4

6

5 + 2

35

2

3 =

38

1

4

32

8

5 ++

8

1

4

11

8

29 ++

8

12229 ++

2

35

2

13

8

52 =

1) Sumar: 73

2

6

12

2

14 −+−++

Solución:

Primera Forma: Segunda Forma:

4 + 2 + -7 + 3

2

6

1

2

1 −++ 73

2

6

13

2

9 −+−++

-1 + 6

413 −+

-1 + 6

0 = -1

6

4241327 −−+

16

6 −=−

SUSTRACCION DE FRACCIONES

La sustracción de fracciones equivale a efectuar la adición del minuendo con el opuesto del sustraendo.

Ejemplos:

1) Efectuar: 3

1

7

2 −

Solución:

Por definición:

3

1

7

2 − = 3

1

7

2 −+

21

1

21

76 −=−+

Forma práctica:

3

1

7

2 − = 21

1

21

76 −=−

2) Efectuar: 4

12

3

15 −−

Solución:

Por definición:

4

12

3

15 −−

4

12

3

15 +

7 + 4

1

3

1 +

Forma práctica:

4

12

3

15 +

4

9

3

16+



7 + 12

7

7 12

7

12

77

12

91

12

2764 ==+

OPERACIONES COMBINADAS DE ADICION Y SUSTRACCION EN Q


1) Efectuar: 4 + 4

1

3

1

2

1 −−

Solución: 12

113

12

47

12

34648 ==−−+

2) Efectuar:

+−−+

2

1

3

1

7

5

2

1

5

3

Solución:

Suprimiendo los signos de colección:

2

1

3

1

7

5

2

1

5

3-+-+

opuestos

3

1

7

5

5

3 +− , denominadores primos entre sí.

3x7x5

7x5x13x5x53x7x3 +− ⇒

105

357563 +−

105

23 ⇒ Es fracción propia y no se puede expresar como un número mixto.

3) Efectuar: 3+ 6 3

12

5

14

7

1 +−

Solución:

Sumando algebraicamente los enteros y fracciones en forma separada.

3 + 6 – 4 + 2 + 3

1

5

1

7

1 +−

7 + 105

352115 +− = 7 +

105

29 = 7

105

29

4) Efectuar: A =

−−−−+ 2

4

3

7

52

7

5

2

1

Solución:

Eliminamos los paréntesis: A =

−−−−+ 2

4

3

7

52

7

5

2

1

Suprimimos los opuestos: A = 24

3

7

52

7

5

2

1 ++−−+

Anulamos los opuestos: A = 4

3

2

1 +

Operamos empleando el MCM: A = 4

11

4

5

4

32 ==+

MULTIPLICACION DE FRACCIONES

Veamos: ejemplo:



1) Efectuar: 105

16

3x5x7

1x8x2

3

1x

5

8x

7

2 ==

Se observa que al multiplicar fracciones se obtiene como resultado (producto) otra fracción, cuyo denominador es el resultado de multiplicar los numeradores y cuyo denominador es el resultado de multiplicar los denominador.

Es decir: f.d.b

e.c.a

f

e.

d

c.

b

a =

2) Efectuar: 6

5

21

4x

12

7x

15

3 −−

Solución:

Simplificando: 54

1

6

15

321

14

14

12

17

315

13 =

−−

Del ejemplo anterior, concluimos:

- Siempre que sea posible, conviene simplificar antes de multiplicar.

- Si hay racionales negativas en la multiplicación, es necesario multiplicar sus signos, aplicando correctamente la regla dada para los números enteros.

DIVISION DE FRACCIONES


1) Realizar: 11

18:

11

45

Solución:

Cambiamos el operador de la división por el operador de la multiplicación e invirtiendo la fracción divisor, así:

218

11x

11

545

, se ha simplificado, luego: 2

5

11

18

11

45 =÷

Generalizando: c

dx

b

a

d

c

b

a =÷

OTRA FORMA:

11

11:

11

45 , se escribe:

Medios Extremos

4511

1811

18x11

11x45 Producto de extremos

Producto de medios

5

2

→→

2

5

Generalizando: =÷d

c

b

a

cxb

dxa

d

cb

a

=

Efectuar:

6

1

3

12

1

5

3

+

−

Solución:



Efectuando el numerador y denominador: 5

1

13x

510

126x1

6

310

1

6

1210

56

===+

−

¡IMPORTANTE!

- En la división de números racionales se obtiene otro número racional, eso implica que la división en los racionales es clausurativa.

- Habiendo concluido el estudio de las operaciones básicas en Q, es necesario enunciar las siguientes propiedades.

PROPIEDAD DE CLAUSURA

Si: b

a ∈ Q y

d

c ∈ Q ⇒

b

a +

d

c ∈ Q

Si: b

a ∈ Q y

d

c ∈ Q ⇒

b

a -

d

c ∈ Q

Si: b

a ∈ Q y

d

c ∈ Q ⇒

b

a x

d

c ∈ Q

Si: b

a ∈ Q y

d

c ∈ Q ⇒

b

a ÷

d

c ∈ Q

PROPIEDAD CONMUTATIVA

b

a

d

c

d

c

b

a +=+

b

ax

d

c

d

cx

b

a =

PROPIEDAD ASOCIATIVA

++=+

+

f

e

d

c

b

a

f

e

d

c

b

a

=

f

ex

d

cx

b

a

f

ex

d

cx

b

a

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

f

ex

b

a

d

cx

b

a

f

e

d

cx

b

a+=

+

ELEMENTO NEUTRO

b

a

b

0

b

a =+

b

a1.

b

a =

ELEMENTO OPUESTO

0b

a

b

a=

−+

Nota:

Si: b

a es un número racional,

b

a− es su opuesto.

Si: b

a− es un número racional,

b

a es su opuesto.

ELEMENTO INVERSO

1a

bx

b

a =

Nota: Si: Si: b

a es un número racional diferente de cero,

a

b es su inverso.

PRACTICA DE CLASE



1. Efectuar las operaciones:

a) 6

5

5

1 + d) 3

1

6

5

5

1 ++ g) 5

2

5

4

5

1

5

6 −+++

b) 7

1

2

3 + e) 3

1

7

3 − h) 14

13

14

11

14

9 +−+

c) 2

3

8

1

4

3 ++ f) 8

1

2

3 − i)

50

41

50

37

50

21

50

13 −++

2. Efectuar las operaciones:

a)75

7

60

37

150

58

25

14 −−−+−+

b)10

9

26

15

5

7

4

3 −−−++

c)10

3

9

8

15

7 ++

d)90

61

36

7

54

13

9

8 ++−

3. Completar con fracciones según corresponda:

a) 3 + 4

1 = b) 6 +

5

3 = c) 1 -

5

3 = d) 1 -

3

4 =

4. Efectuar:

a) 4

13

3

15 + b)

20

16

13

49

10

32

5

16 +++

c) 3

148

4

316

4

521

2

134 −+−

5. Efectuar:

a) 3

10x

8

3x

5

4e)

4

3x

15

8x

2

5

b) 18

7x

10

9x

3

20f)

3

10

4

27x

9

40 ÷

c) 19

7x

73

2x

14

35x19

−g)

5

1x

22

14

11

8x

8

7 −÷

d) 7

42x

6

12x

9

51x

7

21 −− h)

42

3x

38

21

19

34x

17

2 −÷−

6. Halla los siguientes cocientes:

a) 28

9

7

3 ÷ b) 7

5

21

13 −÷ c) 45

1330

−÷ d) 3620

29 −÷

e) 46

25

23

15 −÷ f) 28

11

7

44 −÷−g)

4

21

2

13 ÷ h)

5

11

3

12 ÷

i) 28

18

5

33 ÷− j)

3

15

2

14 −÷−

7. Efectuar:

a) 34

1

4

12

3

+ b)

3

14

2

35

4−+ c)

4

13

49

4

+

d)

2

34

3

26 +

e)

2

32

1

+f) 2 +

34

1

2

3

+

g)

3

11

11

11

11

−+

++



TAREA DOMICILIARIA

1. Efectuar: 9:10

3x

8

5

a) 2/15 b) 1/16 c) 1/48 d) 5/24 e) N.A.

2. Efectuar:

7

44

7

4

28

53

94

12

5

13

1 ++−

a) 12

1b) 1

4

3c) 1

4

1d)

4

3e)

163

2

3. Reducir:

11

11

11

11

11

+−

++

+

a) 18/8 b) 11/8 c) 13/5 d) 11/5 e) N.A.

4. Simplificar:

17

4

2

37

3

5

21

42

5

4

32

12

3

8

−−

+−−

−+

+−

a) 12 b) 1245

38c) 11

45

38d)

45

38e) N.A.

5. Efectuar: 5

2

5

11

4

11

3

11

2

11

5

11

4

11

3

11

2

11

+

−

+

−

+

+

−

+

−

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/3 e) 1/4

6. Simplificar:

6

15

14

13

12

++

++

a) 972/423 b) 421/972 c) 972/421 d) 870/321 e) N.A.

7. Reducir: 67

22x

2

14

2

13

2

12 −

−

a) 55/67 b) 49/67 c) 2 d) 24/67 e) 1

8. Simplificar:

5

21

2

4

31

11

6

5

10

1

5

3

4

1

9

2x

4

3

2

11

−+

÷

−+−

a) 1 b) 49/4 c) 39/4 d) 5 e) N.A.



9. Hallar: E =

3

CBA +

.

Si: A =

−

−

−

4

11

3

11

2

11 B =

5/8

5/2 C = 1 +

2

1

a) 0 b) 1 c) 1/2 d) 2 e) N.A.

10. Efectuar:

2

11

6

12

5x

5

4x

3

11

9

÷

÷

a) 12 b) 3 c) 1/3 d) 1/12 e) N.A.

11. Efectuar:

2

14

13

11x

8

132

5

25

3

12

−−

−+

+

a) 1212

1b)

19

12c)

9

145d)

5

29e) N.A.

PROPLEMAS PROPUESTOS

1. Efectuar: 39394545

26261212

13133131

E ++=

a) 1 b) 0 c) 4 d) 1/ 2 e) 11/ 7

2. ¿Qué número continua en la secuencia? 2; 2; 23

; 1; 85

; .....

a)3/ 8 b) 1/ 8 c) 1/ 4 d) 4/ 5 e) 3/ 4

3. La mitad de una fracción "m" es igual a 1/5 y la tercera parte de la otra "n" es igual también a 1/s; entonces m + n = ?

a)2/ 5 b) 3/ 5 c) 1/ 2 d) 1 e) 2

4. ¿Qué número racional no corresponde a n, si: 21

n81 <<

a)3/ 8 b) 1/ 4 c) 5/ 16 d) 3/ 5 e) 1/ 3

5. Hallar:

652

51

1136

12013

81

241

52

A++

+++=

a) 489

3 b) 4813

c) 139

3 d) 21

e) 1

6. Simplificar:

+÷

−=

101

61

34

1000216

S 3

a) 21

b) 21− c)

41− d) 1 e)

43

7. Hallar: AB ,sabiendo que:

132

98

32

54

8A−−−

−

−

=

3

3 9

3B

−

=



a) 1 b) 2 c) 8 d) 9 e) 16

8. ¿Cuál es la fracción equivalente a 70/ 98, tal que el producto de sus términos sea 315?. Dar la diferencia de sus términos.

a) 18 b) 10 c) 12 d) 6 e) 8

9. Efectuar el producto:

−

−

−

−=

1001

1...161

191

141

1P

a) 21

b) 2011

c) 201111

d) 10199

e) 991

10. Una fracción se divide entre su inversa y da como resultado: 289/ 529. Halle la suma de los términos de la fracción:

a) 36 b) 38 c) 40 d) 42 e) 44

11. Reducir:

1

11

11

yx

yx−

−−

−−

+

a) x1

b) y1

c) xy1

d) yx

1− e)

991

12. Reducir:

21

1

13

13

1

−+

+

a) 21

b) 31

c) 41

d) 35

e) 51

13. ¿Cuánto le falta a 114

para ser iguales a los 32

de los 75

de 116

de 7?

a) 98

b) 5

11c)

38

d) 1116

e) 119

14. ¿Qué fracción de 65 hay que añadirle a los 31

2 de 74

5 para que pueda ser igual a 130?

a) 59

b) 54

c) 79

d) 2

76e)

94

15. Reducir:

( ) ( )131)5,0(

1215,01

271

5,01

25,012P

−−−−

−−−−

−+

−

−+=

a) 111

b) 111− c)

21− d)

21

e) N.a

16. Halla: 3

102

10...

23

32

32

31

21

M −+−+−+−=

a) 6

50b)

355

c) 2

17d)

350

e) 6

55

17. ¿Cuál es el número que tiene 14 de diferencia entre sus 3/ 4 y sus 2/ 5?

a) 10 b) 30 c) 40 d) 15 e) 18

18. ¿Cuánto es un tercio más un medio de un tercio más un medio de diez?

a) 21

4 b) 4 c) 5 d) 21

5 e) otro valor

19. Simplificar la expresión: 91919999

273273192192

919191191919

P ++=



a) 2 b) 9173

c) 3,1

d) 51,0 e) 9117

20. Calcular el valor de "S": ...811

271

91

31

1S +++++=

a) 1 b) 3 c) 2 d) 23

e) 32

SOLUCIONARIO

NºEJERCICIOS PROPUESTOS

01 02

01. C C

02. B A

03. E D

04. D D

05. E B

06. D C

07. C B

08. D D

09. A B

10. D C

11. E

12. E

13. D

14. A

15. B

16. E

17. C

18. D

19. A

20. D

GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL

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matematica 1º2 b

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