mate y computadoras

Matemáticas y computadorasEugenio Jacobo Hernández Valdelamar

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2003

Jacobo Hernández Valdelamar - Fundación Arturo Rosenblueth - 2003

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Objetivos

Establecer el contexto del área de las matemáticas y su enseñanza.

Plantear el uso de computadoras para la enseñanza de las matemáticas desde una perspectiva aproximativa.


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Contenido

1. El área de las Matemáticas

2. La didáctica de las matemáticas

3. Matemáticas y computadoras

4. Enseñanza de matemáticas con computadoras

5. Conclusiones

El área de las Matemáticas


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El área de conocimiento de las Matemáticas Las Matemáticas son el estudio de las

relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.

En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra).


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Concepto deNumero

Simbología

Sistemas de numeración

Sistema de numeración jeroglífico (Egipto)

Sistema de numeración posicional sexagesimal (Mesopotamia) Sistema de numeración

decimal jeroglífico (China)

Sistema de numeraciónposicional decimal (India)


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Aritmética

Sistemas de numeración

Geometría Análisis

Álgebra Geometría analítica

Cálculo


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Aritmética

Aritmética, literalmente, arte de contar. La palabra deriva del griego arithmetike, que combina dos palabras: arithmos, que significa ‘número’, y techne, que se refiere a un arte o habilidad.

La aritmética se ocupa del modo en que los números se pueden combinar mediante adición, sustracción, multiplicación y división.

Aquí la palabra número se refiere también a los números negativos, irracionales y fracciones.


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Geometría

Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio.

En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos.

Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclidiana.


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Álgebra

Álgebra, rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas.

Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces.


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Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias.

Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica —ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.

La didáctica de las matemáticas


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El problema como fundamento y medio de aprendizaje

El profesor debe organizar situaciones con las que el alumno confronte sus ideas propias acerca de algún fenómeno.

Este contexto es propicio para presentar "situaciones problema", es decir , circunstancias que obliguen a la reflexión acerca del conocimiento con el que se cuenta hasta el momento.

También se deben dar "situaciones de entrenamiento y familiarización", donde el conocimiento nuevo interviene como herramienta para resolver dichas situaciones fuera del contexto habitual en el que se desenvolvía el alumno.


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Existe además una parte de "síntesis" donde se comparte con el alumno la parte convencional del conocimiento con el objetivo de completar su aprendizaje.

Una cuarta situación se refiere a la utilización de problemas que le permitan al alumno reutilizar un conjunto de conocimientos nuevos, a manera de evaluación o diagnostico.


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Demostraciones

En los libros de matemáticas especializados se presentan las demostraciones usando los métodos antes expuestos y otros más, pero nunca se explica porqué o cómo el matemático los escogió y usó para obtener una demostración.

Esto no se considera parte de la prueba sino mas bien de la sagacidad del matemático quien guarda para si la ruta que lo llevó a su solución.

Además, en las demostraciones no hay rastros de los intentos fallidos para obtener la prueba.

Cualquiera que haya probado teoremas bien sabe que al hacer una demostración es muy común intentar varios caminos antes de encontrar el exitoso.


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Algunos autores consideran que hacer demostraciones es como construir un rompecabezas:

“No hay reglas acerca de como deben ser resueltos los rompecabezas. La única regla concierne el producto final: todas las piezas deben estar en su lugar y el dibujo debe aparecer correctamente”.

De esta forma se hace una clara distinción entre “la explicación de los procesos del pensamiento para construir una prueba y la justificación de la conclusión”.


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Como se puede observar, este proceso se aplica una y otra vez conforme se vayan presentando nuevos requisitos hasta que el problema es resuelto en su totalidad.


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El método de las tres R implica que en primer lugar establezcamos el REQUERIMIENTO definiendo claramente qué es lo que ESTÁ PREGUNTANDO el problema.

Acto seguido, es necesario contestar a dicho requerimiento a través de una RESPUESTA formulando una estrategia o plan para realizarlo.


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Al ejecutar el plan se obtiene un RESULTADO que puede contestar el REQUERIMIENTO ya sea de manera total o parcial.

De ser necesario, este procedimiento se tiene que aplicar nuevamente pero partiendo desde el nuevo requerimiento obtenido por el paso anterior. A esto se le llama aplicar de manera recurrente el procedimiento, es decir, se comienza nuevamente pero desde un punto más interno del análisis del problema.


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Condiciones básicas para lograr un aprendizaje efectivo

a) una actividad propuesta que sirva para plantear problemas a los alumnos, los cuales deben ser posibles de ser resueltos pero que a la vez impliquen un reto.

b) los problemas deben incluir en su solución conocimientos con los que ya cuente el alumno, que les sirvan como una base introductoria .

c) La validación no debe ser dada por el profesor, sino mas bien por los mismos alumnos.

Matemáticas y computadoras


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Un poco de historia

La prehistoria (5000 a.c. - 1650). Los primeros dispositivos de cálculo desarrollados por

el hombre consistieron de cuentas y huesos usados para la contabilización (numeración) de objetos de uso cotidiano (animales, personas, utensilios, etcétera).

El desarrollo de la aritmética y las actividades del ser humano (científicas, comerciales y de navegación) obligaron al desarrollo de métodos de conteo, cálculo y registro más rápidos y permanentes como las tablillas de arcilla y el ábaco.

Los primeros algoritmos comienzan a desarrollarse y a escribirse.

Para finales de esta era las primeras reglas de cálculo comienzan a aparecer.


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Matemáticas y tecnología

Si bien es cierto que el desarrollo de tecnología estaba ligado a la capacidad de realizar mediciones cada vez más precisas, tales cálculos no se hubieran realizado de no haber sido por un fundamento matemático.

La invención de la geometría analítica de Descartes revolucionó el pensamiento de las matemáticas en tanto que una ecuación pudo plasmarse en una gráfica y toda gráfica corresponde a una ecuación o estudio analítico.


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Modelos matemáticos

Es cualquier conjunto de ecuaciones o estructuras matemáticas, completo y consistente, que es elaborado para corresponder a alguna otra entidad.

Puede ser una entidad: física, biológica, social, psicológica o conceptual, incluso otro modelo matemático. La construcción de un modelo matemático cumple con un mínimo de objetivos:


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Objetivos

1. Obtener respuestas sobre lo que sucederá en el mundo físico

2. Influir en la experimentación u observaciones posteriores

3. Promover el progreso y la comprensión conceptuales

4. Auxiliar a la axiomatización de la situación física


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Modelos matemáticos y computadoras Las matemáticas ofrecen una metodología para el

modelado de problemas bioquímicos, físicos y financieros mediante modelos matemáticos.

Para implementarlos en la computadora se requiere del cálculo diferencial e integral y tópicos avanzados de probabilidad y estadística, y un poco de ingenio para programar los métodos numéricos (algoritmos matemáticos) en una computadora con un procesador lo suficientemente veloz para realizar los cálculos con exactitud.


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Matemáticas para todos

En efecto, las matemáticas se han traducido gracias al desarrollo de las computadoras en una herramienta útil para cualquier persona.

Desde juegos de estrategia y destreza mental hasta menús para autoaprendizaje, que para implementarse requieren del manejo de un lenguaje de programación e interfaz gráfica de usuario, y la intervención de profesionales del diseño gráfico y pedagogía; también de un sistema experto que simule un área del conocimiento humano y permita, a partir de una serie de información introducida y procesada en la computadora, la consecuente toma de decisiones.


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Relación entre las matemáticas y la informática La informática es «la ciencia del tratamiento

automático y racional de la información, considerada como soporte de los conocimientos y las comunicaciones».

El concepto de tratamiento automático nos remite al de computo o cálculo.

La necesidad de precisar este concepto origino la teoría matemática de la computación.

En las matemáticas se pueden percibir dos aspectos fundamentales: el lógico y el computacional.


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Matemáticas

Programación de computadoras

Desarrollo de software de base

Desarrollo de software de aplicación

Desarrollo de hardware/nuevas computadoras

Áreas de investigación

Arquitectura de computadorasProgramación de sistemasInteligencia artificialTelecomunicaciones y RedesSistemas de cómputoIngeniería de softwareBases de datosInterfaces hombre-máquinaRobótica

Esquema de los conocimientos de un científico en computación

Base del programa de Maestríaen Ciencias de la Computación (FAR)

Enseñanza de matemáticas con computadoras


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La computación y la informática en la educación

La informática como tema propio de enseñanza en todos los niveles del sistema educativo, debido a su importancia en la cultura actual; se le denomina también "Educación Informática".

La informática como herramienta para resolver problemas en la enseñanza práctica de muchas materias; es un nuevo medio para impartir enseñanza y opera como factor que modifica en mayor o menor grado el contenido de cualquier currícula educativa; se la conoce como "Informática Educativa".


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Profesores de asignatura + computadoras (1) Soporte a los programas de asignatura

Incrementar la productividad y fomentar la creatividad del alumno mediante el uso de herramientas tecnológicas

Usar apropiadamente recursos multimedia (libros interactivos, enciclopedias electrónicas, software educativo)

Practicar y reforzar habilidades de las asignaturas de base


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Profesores de asignatura + computadoras (2) Investigación/interpretación de la

información Usar la computadora para encontrar

información, graficar datos y registrar observaciones.

Usar recursos de información en CD-ROM o en línea para localizar, evaluar y recolectar información de diversos tópicos

Evaluar la exactitud, relevancia y comprensión de la información electrónica


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Estudiantes

Instructor en tecnología

Instructor de asignatura

Recursos TI

Administra

Enseña/asesora

Enseña/asesora

Aprovecha

Asesora/Colabora

Relaciones entre TI, profesores y alumnos

Aprende/aprovecha


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Conclusiones


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El propósito

Darle un sentido de realidad a las matemáticas.

Mejorar la motivación, la participación, el rendimiento y el interés por las clases de matemáticas y por ende, una mayor retención de estudiantes en nuestros cursos.


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Metáforas para la enseñanza-aprendizaje Aprendemos mejor con ejemplos del

mundo real Transportar las abstracciones

matemáticas a objetos reales generalmente sirve (peras y manzanas)

La computadora es un medio para implementar metáforas interactivas.


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Computadora = herramienta

Para exponer/demostrar Para resolver problemas

Para experimentar Para colaborar

Preguntas y comentarios


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Referencias

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/

La Frontera entre las Matemáticas y la Informática http://www.lania.mx/spanish/actividades/newsletters/1994-verano/art2.html

HEURÍSTICA, HIPÓTESIS Y DEMOSTRACIÓN EN MATEMÁTICAS http://www.filosoficas.unam.mx/~Tdl/atocha.htm

http://www.itchihuahuaii.edu.mx/carreras/li/T4L2.asp COMPUTADORAS Y EDUCACIÓN: UNA PROPUESTA DIDÁCTICA

http://informaticaeducativa.com/recursos/tesis.html Los supersabios http://azul.cicese.mx/supersabios/index.jsp HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS http

://caminantes.metropoliglobal.com/web/matematicas/historia.htm http://www.itcr.ac.cr/revistamate/HistoriaMatematica/Principal.htm http://enciclopedia.us.es/wiki.phtml?title=Matem%E1ticas http://dns.zac.sep.gob.mx/fresnillo/sec2/desarrollo.htm


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El paraíso de la matemáticas http://www.matematicas.net/ Las matemáticas de Mario

http://www.terra.es/personal/jftjft/Home.htm http://www.monografias.com/Matematicas/index.shtml LAS MATEMATICAS APLICADAS EN EL SIGLO XX

http://morgan.iia.unam.mx/usr/humanidades/199/ARTICULOS/MARTINEZ.html

La tecnología informática y la escuela http://www.ciberhabitat.gob.mx/escuela/maestros/tiyescuela/ti_2.htm

http://www.jornada.unam.mx/2001/ago01/010820/048n1con.html http://reema.lce.org/Reema1.htm http://support.serc.org/whatmimesp.htm Libros y Documentos Electrónicos del Departamento de

Matemática Educativa http://www.matedu.cinvestav.mx/e-librosydoc/e-librosydoc.html

http://sprott.physics.wisc.edu/fractals.htm


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http://www.geocentral.net/geometria/ http://www.sapiens.ya.com/geolay/pagehtm/

aritmetica.htm http://www.sosmath.com/algebra/algebra.html http://www.hawaii.edu/suremath/intro_algebra.html http://www.hawaii.edu/suremath/essential.html Request-Response-Result Hierarchical Organization of

Knowledge and Hierarchical Use of knowledge for problem solving http://www.hawaii.edu/suremath/essentialRRR.html

http://www.microsoft.com/latam/educacion/tecnologia/guias/productividad/default.asp

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