mate uni 09

MatemtSolucionario

2009 -IIExamen de admisin

Matemtica

3

TEMA P

Pregunta N. 1Tres socios A, B y C deberan repartirse una utilidad de M dlares proporcionalmente a sus edades, las cuales son x del socio A, (x 3) del socio B y (x 6) del socio C. Como el reparto se realiz un ao despus, calcule la cantidad que recibe el socio que ms se perjudica.

A) M xx

+( )

( )1

3 2 B) M x

x

( )+

21

C) M xx

+( )

31

D) M xx

( )

13

E) M xx

+( )

( )1

2 3

Tema

Magnitudes proporcionales

Referencias

Una aplicacin de las magnitudes proporcionales es el reparto proporcional, el cual consiste en repartir una cantidad con respecto a ciertos nmeros llamados ndices.

Anlisis y procedimiento

Por dato, se tiene que el total que a se repartir es M.

Reparto inicial

sera como

Reparto dentro de

un ao es como

Socio A x (x+1)

Socio B (x 3) (x 2)

Socio C (x 6) (x 5)El total

sera como( ): 3(x 3) 3(x 2)Como el total repartido ahora y el de dentro de un ao deben ser iguales, multiplicamos a uno por (x 2)k y al otro por (x 3)k, respectivamente.

Reparto inicialReparto dentro de un ao

Socio A x(x 2)k (x+1)(x 3)k

Socio B (x 3)(x 2)k (x 2)(x 3)k

Socio C (x 6)(x 2)k (x 5)(x 3)kTotal: 3(x 3)(x 2)k 3(x 2)(x 3)k

Del cuadro se observa que el socio A es el que ms se perjudica; adems, el total que se reparte es el siguiente:

M=3(x 2)(x 3)k

kM

x x=

3 2 3( )( )

Luego, el socio A recibe (x+1)(x 3)k=M xx( )( )

+

13 2

.

Respuesta

La cantidad que recibe el socio que ms se

perjudica es M xx( )( )

+

13 2

.Alternativa D

Pregunta N. 2Del grficoTasa de aprobacin en los cursos A, B, C, D y E de un grupo de estudiantes.

80%

60% 60%

50%

70%

A B C D E

curso

%

4unI 2009 -II Academia CSAR VALLEJO

Se afirma:I. El porcentaje promedio de desaprobacin

por curso es 36%.II. El porcentaje de aprobacin del curso D

es el 60% del porcentaje de aprobacin del curso B.

III. La tasa de desaprobacin del curso E es el 60% de la tasa de aprobacin en el curso C.

Cules de las afirmaciones son verdaderas?

A) solo I B) solo II C) solo IIID) solo I y II E) solo I y III

SolucinTema

Estadstica

Referencias

Los diagramas estadsticos son representaciones de un fenmeno estadstico por medio de figuras geomtricas. En este caso, tenemos un diagrama de barras que nos muestra a 5 cursos y el porcen-taje de aprobados en cada uno de ellos.


Sea N el total de estudiantes. Del grfico estads-tico, obtenemos lo siguiente:

Curso Aprobacin Desaprobacin

A 60%N 40%N

B 80%N 20%N

C 50%N 50%N

D 60%N 40%N

E 70%N 30%N

Analizando las proposiciones:I. El porcentaje promedio de desaprobacin

por curso es 36%. Calculando la MA del porcentaje de desapro-

bacin en cada curso.

MA=+ + + +40 20 50 40 30

5% % % % %N N N N N

MA=36%N

Por lo tanto, la proposicin es verdadera.

II. El porcentaje de aprobacin del curso D es el 60% del porcentaje de aprobacin del curso B.

De la tabla, tenemos lo siguiente:

60 80% % %N N

AprobacindeD

AprobacindeBupcurlybracketleftupcurlybracketmid upcurlybracketright upcurlybracketleftupcurlybracketmid upcurlybracketright

= ( )x 75%=x%

Por lo tanto, la proposicin es falsa.

III. La tasa de desaprobacin del curso E es el 60% de la tasa de aprobacin en el curso C

De la tabla, tenemos lo siguiente:

30 50% % %N N

AprobacindeE

AprobacindeCupcurlybracketleftupcurlybracketmid upcurlybracketright upcurlybracketleftupcurlybracketmid upcurlybracketright

= ( )x 60%=x%

Por lo tanto, la proposicin es verdadera.

Respuesta

Solo I y III son verdaderos.

Alternativa E

Pregunta N. 3Se tiene la siguiente igualdad.abba(3)+baab(3)=(2b)(2b)(0)(5) (0 es el cero)Halle el valor de b a.

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

SolucinTema

Numeracin

5unI 2009 -IISolucionario de Matemtica

Referencias

Cuando se quiere expresar un numeral que est representado en una base diferente de diez a base diez, se realiza una descomposicin polinmica.

EjemploRepresente 4718 en el sistema dcimal. 4718=48

2+781+1 4718=313


Se tiene que

abba(3)+baab(3)=(2b)(2b)0(5)Analizando las cifras en cada numeral, se puede indicar que

1 a 2 a Z+; 1 b 2 b Z+

Descomponiendo polinmicamente se obtiene lo siguiente:

40a+40b=60b 40a=20b b=2aDonde se concluye que a=1 b=2Luego, b a=2 1=1.

Respuesta

El valor de b a es 1.

Alternativa B

Pregunta N. 4Juan y Pedro pueden pintar un auditorio en 5 das, Juan y Carlos lo pueden hacer en 6 das, y Pedro con Carlos lo pueden hacer en 5 das. En cuntos das puede Pedro pintar el auditorio?

A) 847

B) 927

C) 937

D) 947

E) 957

SolucinTema

Fracciones

Referencias

Como nos indican en el problema que un grupo realiza el trabajo en un nmero de das diferente a otro grupo, lo que se recomienda es usar un mismo nmero de das como referencia, para ello, debemos hacer uso de las operaciones entre fracciones.Ejemplo: Si Ana realiza una obra en "3 das" y Luis realiza la misma obra en 2 das, se puede indicar lo siguiente: en un da, Ana realiza la 1/3 de la obra mientras que Luis, en un da, realiza la 1/2 de la obra.


Para determinar el tiempo que demora Pedro para pintar el auditorio, trabajaremos por reduccin a la unidad (fraccin de la obra que realizan en un da).

Sea J : nmero de das que emplea Juan.

P : nmero de das que emplea Pedro.

C : nmero de das que emplea Carlos.

Por dato, tenemos:

1 1 15

1 1 16

1 1 15

J P

J C

P C

+ =

+ =

+ =

2 1 1 115

16

15

1 1 1 1760

J C P

J C P

+ =

= + +

+ + =

+

16

1 1760

+ =P

Luego: P = =607

847

Respuesta

La cantidad de das en que Pedro puede pintar

el auditorio es 847

.

Alternativa A


Pregunta N. 5Una empresa promociona su juego de lotera que consiste en elegir cinco nmeros diferentes de un total de treinta. Para ganar algn premio se necesita acertar por lo menos en tres de los cinco nmeros que salieron sorteados.Calcule la probabilidad de ganar algn premio.

A) 5

142 506 B) 6

142 506 C) 10

142 506

D) 16

142 506 E)

20142 506

SolucinTema

Probabilidades

Referencias

La teora de probabilidades se relaciona con el tema de anlisis combinatorio, ya que este sirve de gran ayuda para obtener el total de formas en que puede realizarse un evento o experimento aleatorio.Las combinaciones se utilizan para obtener las diferentes agrupaciones que se pueden formar con una parte o con todos los elementos de un conjunto teniendo en cuenta lo siguiente:

Cn

K n KKn

=

!!( )!

CKn significa el total de maneras diferentes de

formar grupos de K elementos de un total de n elementos.

Definicin clsica de probabilidad

P AA

( ) =total de casos favorables de total de posibles resulttados al

realizar el experimento aleatorio

=

( )( )n A

n


Se tiene el siguiente experimento aleatorio.: elegir 5 nmeros diferentes de un total de 30. Como no interesa en qu orden se eligen los 5 nmeros:

total de manerasdiferentes de elegir 5

nmeros de un total de 30

= =C530 142 506

Por condicin, para ganar algn premio se necesi-ta acertar, por lo menos, en tres de los 5 nmeros que salieron sorteados. Entonces, se gana un premio cuando:

Acierta en3 n meros

No aciertaen n meros

o

Aciert

2

aa enn meros

No aciertaen n mero

oAcierta en

n4 1 5

meros

Entonces

Total de casos

favorables=

+ + =C C C C C3

5225

45

125

55 31226

P ganar algnpremio( ) =

3126142 506

Respuesta

Por lo tanto, no habra alternativa.

ObservacinPara el problema se ha considerado solo los aciertos

Acierta en

3n meroso Acierta en

n meroso

Acierta

4

een

n meros5

Entonces

Total decasos

favorables

acert 3 nmeros

=

( )+C3

5

acert 4 nmeros

acert 5 nmeros( )

+

( )=C C4

555 16

P ganar algnpremio( ) =

16142 506

Considerando de esta manera la alternativa sera D.

No hay Clave

Pregunta N. 6Calcule la siguiente suma.35+48+63+80+...+1599

A) 22 050 B) 22 055 C) 22 065D) 22 075 E) 22 140

SolucinTemaSucesiones


Referencias

Sumas notables

K nn n n

k

n2

1

2 2 2 21 2 3 1 2 16

=

= + + + + = +( ) +( )...

K nn n

k

n

=

= + + + + = +( )1

1 2 3 12

...

C C C C C C nk

n

=

= + + + + = 1

...


Por dato, se tiene35+48+63+80+...+1599Observamos que cada sumando tiene la siguiente forma62 1; 72 1; 82 1; 92 1; ...; 402 1Entonces:

S=(62 1)+(72 1)+(82 1)+(92 1)+...+ (402 1)

S=(62+72+82+92+...+402) 135

S =+ + + + + +( )

1 2 3 4 5 402 2 2 2 2 2

40 41 816

...

1 2 3 4 535

2 2 2 2 2

5 6 116

+ + + +( )

Por lo tanto; S=22 050

Respuesta

La suma pedida es 22 050Alternativa A

Pregunta N. 7Si a y b son nmeros naturales, halle la suma de todos los valores posibles de a de modo quea b9 5

3 06+ = ,

A) 7 B) 15 C) 24D) 30 E) 45

SolucinTema

Nmeros decimales

Referencias

Los nmeros decimales se clasifican en decimal exacto e inexacto dentro, de los cuales est el decimal inexacto peridico mixto, el cual tiene la siguiente fraccin generatriz.

099 9

, ... ...... ... ...

...ab cde f

ab cd f ab c

m nncifras cifras c

=

iifras cifras00 0...

m


Del dato tenemos

ab

b+ =5

3 06,

; a N; b N

Pasando el nmero decimal inexacto peridico puro a su fraccin generatriz obtenemos

a b9 5

3690

+ = +

5 945

27690

1 2

a b+=

Como nos piden los valores de a, aplicamos el mdulo 9 a cada trmino

5a+9b=138

5 9 9 3a + = +o o

5 9 3a = + +o

27

9o

a = +9 6o

de donde a puede ser: 6; 15; 24; 33; ...Pero, se tiene lo siguiente:

5a+9b=138

6 12 (cumple)15 7 (cumple)24 2 (cumple)33 3 (no cumple)

Entonces, los valores de a son 6; 15 y 24.

Respuesta

La suma de valores de a es 45.

Alternativa E


Pregunta N. 8

Si ab ba2 2

3168 = ; halle el menor valor de a+b.

A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 16

SolucinTema

Numeracin

Referencias

Diferencia de cuadrados

m2 n2=(m+n)(m n)

Descomposicin polinmica

abcn=an2+bn+c


Por dato, sabemos que

ab 2 ba 2=3168Aplicamos la diferencia de cuadrados obtenemos

(ab+ba)(ab ba)=3168descomponiendo polinmicamente cada factor, se tiene 11(a+b)9(a b)=3168

Luego de simplificar el factor 11 y 9, se obtiene

a b a b+( ) =168

24

32( )

Por lo tanto, el valor de a+b puede ser 8 16.

Respuesta

El menor valor de a+b es 8.

Alternativa D

Pregunta N. 9Sean los conjuntosA={x R/|x |x|| 1} yB={x A/|x |x| 1| 1}Entonces podemos decir que A/B es:

A) B)

12

12

; C)

12

0;

D)

12

0; E) 0;

SolucinTema

Desigualdades con valor absoluto

Referencias

Se utilizarn desigualdades con valor absoluto y operaciones con intervalos.


De A: |x |x|| 1 1 x |x| 1

I. Si x 0 1 x x 1 1 0 1

II. Si x < 0 1 x+x 1

12

x 12 x < 0 x

12

0;

De (I) y (II): x +

12;

A = + 12;

De B: x A |x |x| 1| 1

1 x |x| 1 1 0 x |x| 2

I. Si x 0 0 x x 2 x A

x x 0

12

x 0

II. Si x < 0 0 x+x 2

x < 0 0 x 1 x


Luego, B=[0; +

A B\ ;= 12

0

Respuesta

A B\ ;=

12

0

Alternativa D

Pregunta N. 10La suma de todas las soluciones positivas de la

ecuacin 10

16

22

+ +=

x xx x es:

A) +2 5 172

B) + +2 5 172

C) 2 5 172

+ +

D) + +3 5 172

E) 3 5 172

+ +

SolucinTema

Ecuaciones fraccionarias

Referencias

Resolucin de ecuaciones cuadrticas por el crite-

rio de factorizacin y por frmula general.


Cambiando la forma de la ecuacin convenien-

temente, obtenemos

10

17 1

22

+ += + +( )

x xx x

Hacemos cambio de variable (incgnita).Sea y=1+x+x2; luego, en la ecuacin tenemos que

107 7 10 02

yy y y= + =

(y 5)(y 2)=0

y=5 y=2

Volvemos a la incgnita inicial x2+x+1=5 x2+x+1=2 x2+x 4=0 x2+x 1=0

Utilizamos la frmula general para cada caso y obtenemos lo siguiente:

x x

x x

1 2

3 4

1 172

1 172

1 52

1 52

=

+ =

=

+ =

Entonces, la suma de las soluciones positivas es

x x1 3

2 5 172

+ = + +

Respuesta

La suma de las soluciones positivas es

+ +2 5 172

Alternativa B

Pregunta N. 11Sea f una funcin tal que

f x x x x( ) = ( )2 2 4 , x 4, entonces Dom( f ) Ran( f ) es igual a:

A) [0; B) [1; C) 0; D) [4; E) 1;

10

unI 2009 -II Academia CSAR VALLEJO

SolucinTema

Funciones reales

Referencias

Composicin de funciones Clculo del dominio y rango


f x x x x x( ) = ( ) 2 2 4 4;

= + ( ) = + ( )f x x x x2 1 1 2 4 4 4

= ( ) = ( ) f x x1 1 2 2 4

2 2

= ( ) = ( ) f x x1 1 2 1 1 4

2 2

La x a =1 y obtenemos

f a a2 21 2 1 4( ) = ( ) ( ) (*)Como

x x x a a a 4 2 1 1 1 1 1 02 2

x x x a a a 4 2 1 1 1 1 1 02 2 .

luego de (*) se tiene lo siguiente: Dom f=[0; +

Tambin a 1 (a 1)0 (a 1)2 0

( ) ( ) ( ) a a1 4 4 2 1 4 82 2

luego de (*) se tiene lo siguiente

Ran f=[ 8; +

Respuesta

Dom f Ran f=[0; +

Alternativa A

Pregunta N. 12Sea P(x)=x3 3ax2 a2x+3a3, donde a > 0 y Q(x)= P(x a). Diga cul de las siguientes afirmaciones es correcta:

A) Q(x) P(x), x < 0B) Q(x) P(x), x 0; aC) P(x) Q(x), x a; 2aD) Q(x) P(x), x 2a; 3aE) P(x) Q(x), x > 3a

SolucinTema

Inecuaciones polinomiales

Referencias

Factorizacin de polinomios y criterio de los puntos crticos.


P(x)=x3 3ax2 a2x+3a3

P(x)=(x a)3 4a2(x a); a > 0

Como Q(x)= P(x a)

Q(x)= [(x 2a)3 4a2(x 2a)]

Luego, si R(x)=P(x) Q(x), entonces

R(x)=(x a)3 4a2(x a)+(x 2a)3 4a2(x 2a)

R(x)=(2x 3a)(x2 3ax a2)

R(x)== ( )

+

2 3

3 132

3 132

x a x a x a.

= ( )

+

2 3

3 132

3 132

x a x a x a

Si resolvemos R(x) 0, obtenemos P(x) Q(x) 0 Q(x) P(x)

Luego

2 33 13

23 13

20x a x a x a( )

+

Los puntos crticos son

32

3 132

3 132

a a a; ;

+

11

unI 2009 -IISolucionario de Matemtica

+ +

133

2

aa3

2

133 +

2

a

2a 3a

Luego, x 2a; 3a, entonces, se cumple que Q(x) P(x).

Respuesta

Q(x) P(x); x 2a; 3a

Alternativa C

Pregunta N. 13Al resolver el sistema:

xz

x y

x y

x

z

=

+( ) =+( ) =

6

1000

100

El valor para y es

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

SolucinTemaSistema de ecuaciones

Referencias

Ecuaciones exponenciales Logaritmos


Se tiene el sistema siguiente:

174p

Notar que x, y, z > 0.

De () se obtiene: xlog(x+y)=log1000 xlog(x+y)=3 (1)

De () se obtiene: zlog(x+y)=log100 zlog(x+y)=2 (2)

Luego de (1) y (2):

134p , entonces x=3k; z=2k

Reemplazando en () tenemos:

6k2=6; k>0 k=1

entonces x=3; z=2

De () se obtiene:

(3+y)2=100

y=7

Respuesta

El valor de y es 7.

Alternativa C

Pregunta N. 14En un antiguo texto, se encuentra la matriz

Ax

yz

=

1 00 00 0

, y el producto A2A T la ltima

columna, la cual es

621

. Halle la matriz A.

A) 1 3 00 0 20 0 1

B) 1 2 00 0 30 0 1

C) 1 1 00 0 20 0 1

D) 1 1 00 0 30 0 2

E)

1 1 00 0 20 0 3

12


SolucinTema

Matrices

Referencias

Operaciones con matrices Transpuesta de una matriz


Hallamos A2 y A2 A T

Ax

yz

xyz

x xyyz

z

2

2

1 00 00 0

1 00 00 0

10 0

0 0

=

=

A Ax xy

yz

z

xy z

T2

2

10 0

0 0

1 0 00 0

0

=

A A

x xy xyz

y z yz

z y z

T2

2 2

2 2

2 3

1

0

0

=

+

( )

De la condicin dada tenemos lo siguiente

xyz

yz

z

2

3

621

=

z3= 1 yz2=2 xyz= 6

z= 1 y=2 x= 3

Respuesta

A =

1 3 00 0 20 0 1

Alternativa A

Pregunta N. 15Si (x0; y0) es la solucin del sistema

4 5

2

2

2

e e e e e

e e e e e

x y x y

x y x y

+ =

+ =

cul de las siguientes regiones sombreadas corresponde al conjunto solucin del sistema?

6 3 1

3 9 20 0

0 0

x u y w

x u y w

+ +

D) E)w

u

w

u00

SolucinTema

Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

Referencias

Resolucin de un sistema de ecuaciones

trascendentes, utilizando el mtodo de Gauss (eliminacin).

Resolucin de un sistema de inecuaciones

lineales, utilizando el mtodo grfico.


Del sistema AB

13


Restamos las ecuaciones (I) (II):

= + =+3 3 2 12e e x yx y III( )

Reemplazamos en (II):

e1+ex y=2e x y=1 (IV)

De las ecuaciones (III) y (IV) se obtiene:

x y= = 23

13

Luego, el sistema de ecuaciones es el siguiente:

623

313

1

323

913

2

+

+

u w

u w

w u

w u

+

4 123

23

Resolvemos grficamente

w

u

w=2

3u+

2

3

w u=4 1

Respuesta

La regin que representa el conjunto solucin es

w

u

Alternativa A

Pregunta N. 16Sea S la regin limitada por las siguientes inecuaciones

y x 4 yx

+ 2

6

x

y2

0 x y 2

al minimizar f(x, y), sobre S se afirma que

A) Si f(x, y)=x+y, entonces se tiene 2 soluciones.

B) Si f(x, y)=y x, entonces 413

163

; es solucin.

C) Si f(x, y)=x

y2

+ , entonces (2; 0) es solucin.

D) Si f(x, y)=x

y2 , entonces se tiene infinitas

soluciones.

E) Si f(x, y)=yx

2

, entonces (6; 3) es solucin.

SolucinTema

Programacin lineal

Referencias

Grfica de relaciones. Teorema fundamental de la programacin

lineal.


Graficando las relaciones, obtenemos lo siguiente

Intersecando las rectas se obtienen los puntos

A=( 1; 3) B =

43

23

;

C=(6; 3) D =

43

163

;

14


Analizando las alternativas, solo se cumple la proposicin E.

Veamos lo siguiente:

Para determinar mn f yx

x y( , ) = 2, evaluamos en

los vrtices de la regin convexa.

f fA( ) ( ; )= = + =1 3 3

12

52

f fB( );

= = =

43

23

23

23

0

f(C)=f(6; 3)=3 3=0

f fD( );

= = =

43

163

163

23

143

Como queremos el mnimo valor de f, este se encuentra en B y C, ya que f(B)=0 f(C)=0Entonces, se encuentran en todo el segmento BC y, como (6; 3) BC, entonces, es una solucin.

Respuesta

Se afirma que si f yx

x y( , ) = 2, entonces, (6; 3) es

una solucin.

Alternativa E

Pregunta N. 17

Dada la serie xk

k

n

=

0

, cuyas sumas parciales son

dadas por S x xnk

k

n( ) =

=

0

. Indique la secuencia

correcta despus de determinar si la proposicin

es verdadera (V) o falsa (F).

I. Sn(1) diverge cuando n tiende a .

II. Sn12

converge a 2 cuando n tiende a .

III. Sn1

100

converge a 0 cuando n tiende a .

A) VVF B) FVF C) FFFD) FVV E) FFV

SolucinTema

Series de nmeros reales

Referencias

Series geomtricas, convergentes y diver-gentes.

Lmites.


Se sabe que

x x x

xxK

K= + + + =

=

1 11 1 120 ... ; ;Entonces, se observa lo siguiente

I. Verdadero En efecto, tenemos

S nn

K

K

n( ) ...1 1 1 1 1 1

0= = + + + = +

=

Luego, si n , entonces, Sn(1)

de donde Sn(1) diverge si n tiende al infinito.

II. Verdadero

Pues Snn1

21

12

14

12

= + + + +

...

luego, si n , entonces

Sn12

1

112

2 =

=

III. Falso Pues

Sn

n1100

11

1001

1001

100

2

= + +

+ +

...

luego, si n , entonces

Sn1

1001

11

100

10099

=

=

Respuesta

Los valores de verdad son VVF, respectivamente.

Alternativa A

15


Pregunta N. 18La raz cbica del nmero complejo z= 2 de mayor argumento principal, es tambin raz 18-sima de otro complejo u=a+bi con a y b nmeros reales. Determine a+b.

A) 2 3 15 +( )B) 26

C) 2 3 17 +( )D) 28 E) 29

SolucinTema

Nmeros complejos

Referencias

Forma polar y radicacin de nmeros complejos.


z3 3 3 32 2 1= =

Pero

(mayor argumento principal)

=

+

+

+

13 3

53

53

3

cos

cos

cos

pi pi

pi pi

pi pi

i

i

i

sen

sen

sen

Entonces, la raz de z= 2 de mayor argumento es

2

53

53

3 cospi pi

+

isen

Por dato sabemos que

2

53

53

3 18cospi pi

+

= +i a bisen

26(cos30p+isen30p)=a+bi

26(1+i 0)=a+bi

26+0 i=a+bi

a=26 b=0 a+b=26

Respuesta

El valor de a+b es 26.

Alternativa B

Pregunta N. 19Indique la secuencia correcta despus de determinar si la proposicin es verdadera (V) o falsa (F).I. Si A es un matriz de orden mn y B es una

matriz de orden n, entonces A+B es de orden m.

II. Si A =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

es una matriz de orden

44, entonces existe un nmero natural k tal que Ak=0.

III. Si A es una matriz de orden nn, entonces A+AT=0.

A) VFV B) VFF C) FVFD) FFV E) FFF

SolucinTema

Matrices

Referencias

Operaciones con matrices.Matrices nilpotentes.Transpuesta de una matriz.


I. Falso En efecto, si A=(aij)mn y B=(bij)nl, enton-

ces, no est definida la suma A+B, pues A y B son de orden diferente.

16


II. Verdadero Hallemos las potencias de A.

A2

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

=

=

0 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

A A A3 2

0 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

= =

=

0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

A A A3 2

0 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

= =

=

0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

A A A4 3

0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

= =

=

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

A A A4 3

0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

= =

=

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

de donde existe k=4, tal que A4=0; se concluye que A es una matriz nilpotente.

III. Falso Veamos un contraejemplo: Dada la matriz

A =

2 34 5 2 2

, entonces, AT =

2 43 5

Luego,

A AT+ =

4 77 10

0 00 0

Respuesta

Los valores de verdad de las proposiciones son FVF, respectivamente.

Alternativa C

Pregunta N. 20La suma de la siguiente serie27+9+3+1+... es;

A) 38,5 B) 39,5 C) 40,5D) 41,5 E) 42,5

SolucinTema

Series - avales

Referencias

Descomposicin de un aval. Ejemplo

0 23

25

3

55 2

, = +

0 111

13

1

3

1

33 2 3

, ... ...= + + +

Fraccin generatriz de un aval peridico puro.

01 1

,abab

n nn

n

n

=

( )

( )

Ejemplo

0 5

567

,

=

0 232399

, =


Por dato tenemos

S=27+9+3+1+1

3+

1

32+

1

33

. . .+

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

40

0,131

2=

fraccin

generatriz

S = + =40

12

40 5,

Respuesta

La suma de la siguiente serie es 40,5.

Alternativa C

17


Pregunta N. 21En los sectores circulares AOB y COD. SiL a OC bAB

= =3 u, , calcule mAOB

b

2ssO

A

B

C

D

a 3

A) a5

B) ab

C) a

D) b E) ab

SolucinTema

rea de un sector circular

Referencias

Clculo del rea de un sector circular

S r=12

2

S =2

2

rad

A

B

O

r

r

Se sabe lo siguiente:S: rea del sector circularq: nmero de radianesr: radio del sector circular: longitud del arco de circunferencia


Piden mAOB.

rads 2s

B

A

3a

O

b

C

D

Dato

L a OC bAB = =3,

Sea

mAOB=qrad S b=12

2 (I)

Del grfico, se establece lo siguiente:

33

23

32

22

Sa

Sa

=

( ) =

(II)

Reemplazamos (I) en (II)

3

232

2 22

2

2

b a a

b

= =

Debido q > 0

Se deduce que = ab

.

Respuesta

La medida del ngulo AOB es ab

.

Alternativa B

18


Pregunta N. 22En un tringulo ABC se tiene AB=a, BC=b y mABC=120. Calcule la longitud de la bisectriz interna BF , F AC.

A) aba b+

B) 2aba b+

C) ab

D) aba b

3+

E) 2 3aba b+

SolucinTema

Resolucin de tringulos oblicungulos

Referencias

Clculo de la bisectriz interior de un tringulo.

B2

A C

B

b

c aB2

Vb

Va ca c

Bb =

+

22

cos

Vb: Representa la bisectriz interior relativa al

lado AC.


Piden la longitud de la bisectriz interna BF.

A F

B

ab

60 60

x

C

Datos: AB=a; BC=b y mABC=120.

Sea: BF=x x=2

60a ba b

+ cos

xa ba b

=

+

Respuesta

La longitud de la bisectriz interna BF esaba b+

Alternativa A

Pregunta N. 23En el tringulo rectngulo ABC (recto en B) con BC=h y mCAB=q, se tiene inscrita una semicircunferencia segn se muestra en la figura. Exprese el radio de la circunferencia en funcin de h y q.

A B

C

A) hcos

sen1+

B) h

senq C) h

cosq

D) hcos

sen cos

+ E)

hsensen cos

+

SolucinTema

Resolucin de tringulos rectngulos

Referencias

ncot

ncscn

Identidad por cociente: cotcossen

=

Identidad recproca: senqcscq=1

19



A B

C

M

r

rcsc rO

h

En el tringulo rectngulo OMA(recto en M) se cumple que OA=rcscq:En el tringulo rectngulo ABC observamos:

cot

csc cossen

csc

=

+ =

+( )r rh

rh

1

hcosq=r(senqcscq+senq)

hcosq=r(1+senq)

rh

=

+

cossen

1

Respuesta

Por lo tanto, el radio de la semicircunferencia es

igual a hcossen

1+

.

Alternativa A

Pregunta N. 24En la figura, los planos son perpendiculares. El segmento BH mide 2,5 cm y es la proyeccin ortogonal del segmento AB sobre el segmento BC. Determine el coseno del ngulo ABC .

A) 0,41

HC

2

2

21

2

A

B

B) 0,47C) 0,50D) 0,67E) 0,71

SolucinTema

ngulo diedro

Referencias

Para proyectar ortogonalmente un segmento sobre una recta, se traza desde los extremos del segmento rectas perpendiculares a la recta dada. Luego, el segmento que une los pies de los perpendiculares es la proyeccin ortogonal del segmento sobre la recta.

A

B

B

A

A

B

B

A

A' B' B'A'

B'A' A' B'

A'B': Es la proyeccin ortogonal de AB sobre .


2,5

5

H

2

2

B

C

D

21

E

A

2

Segn el dato y el grfico, AH debe ser perpen-dicular a BC.

Luego, en el BAH tenemos

cos = BH

AB

Como AE=DC=2 y mBEA=90

Utilizando el teorema de Pitgoras en el BEA, obtenemos

AB=5

20


Como BH=2,5 (dato) se cumple que

cos

,, = =2 5

50 50

Este problema es absurdo, pues el valor de q est determinado con los datos del problema; por lo tanto, la longitud de BH tambin est determinada y no le corresponde 2,5 cm.

Pues en el grfico AC=5 y BC=2 2.

Luego, en el BAC: BH=HC= 2.

cos , = =25

0 28

Por lo tanto, 0,28 sera la respuesta correcta.

Respuesta

0,50

Alternativa C

Pregunta N. 25En la circunferencia trigonomtrica, si mAMP = ,halle la abscisa del punto Q, donde R es punto medio de ON.

R

P

Q

O A

M

N

X

Y

A) cos

sen

1 2 B)

cossen

+

11 2

C) cos

sen

+

+

11

D) cossen

+ 2 E)

cossen

+ 3

SolucinTema

Circunferencia trigonomtrica

Referencias

Representacin geomtrica del seno de un arco.

Representacin geomtrica del coseno de un arco.

cos

C. T.

X

Y

sen


sen

X

M

N

O

( ; 0)n

p

nQ

R

cos

Y

1/2

1/2

Del grfico sabemos que tansencos

= =

+

12n n

n+cos=2nsen

n =

cossen

2 1

Q n Q( ; )

cossen

; =

0 1 2 0

Respuesta

Por lo tanto, la abscisa del punto Q es cos

sen

1 2.

Alternativa A

21


Pregunta N. 26Sean , , los ngulos de un tringulo, tal que tan+tan+tan=2007. Entonces podemos afirmar que el valor de 1+tantantan es

A) 2008 B) 2009 C) 2010D) 2011 E) 2012

Solucin

Tema

Identidades trigonomtricas de arcos compuestos

Referencias

si x+y+z=p, entonces

tanx+tany+tanz=tanxtanytanz


Piden 1+tantantan

Datos:

tan+tan+tan=2007 , , son los ngulos de un tringulo

Entonces, ++=p.

Luego tan+tan+tan=tantantan

Reemplazando tenemos tantantan=2007.

Por lo tanto

1+tantantan=2008

Respuesta

El valor de 1+tantantan es igual a 2008.

Alternativa A

Pregunta N. 27El conjunto

x x x[ ] >{ }0 0, sen( ) cos( ) 2 pi pies igual al

A) 12

; 32

B) 14

; 54

C) 0; 14

D) 52

; 2 E) 1; 2

SolucinTema

Inecuaciones trigonomtricas

Referencias

Circunferencia trigonomtrica


Datos sen(px) cos(px)>0; x [0; 2] sen(px)>cos(px); 0 x 2 0 px 2p

Y

X

4

5

4

x

C.T.

De la circunferencia trigonomtrica, se observa lo siguiente:

pipi

pi

454

<

22


Por lo tanto, x14

54

; .

Respuesta

El conjunto es igual a 14

54

; .

Alternativa B

Pregunta N. 28

Si un dimetro de la circunferencia

(x h)2+(y k)2=r2 tiene como extremos a los

puntos (2; 2) y (6; 5), entonces h kr

+ +

2

2

es igual a

A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11

Solucin

Tema

Cnicas

Referencias

Ecuacin de una circunferencia.

Coordenadas del punto medio de un segmento.


Graficamos la circunferencia:

B (6; 5)

A (2; 2)( ) +( ) =x h y k r

2 2 2

O h k( ; )

r

X

Y

Determinamos el centro de la circunferencia:

hx xA B

=

+

2

h =+

=

2 62

4 (I)

ky yA B

=

+

2

k =+

=

2 52

72

(II)

Determinamos el radio:

2 r=dAB

2 6 2 5 22 2r = ( ) + ( )

r = 52

(III)

De (I); (II) y (III) obtenemos:

h

k r+ + = + +

4 24

724

522

2

2

hk r

+ + =4 2

82

Respuesta

Entonces, hk r

+ +

4 2

2 es igual a 8.

Alternativa B

Pregunta N. 29En la figura mostrada, el rea de la superficie sombreada es

r

r

A) (7+12p)r2 B) (10+12p)r2 C) (12+7p)r2

D) (2+12p)r2 E) (12+2p)r2

23


SolucinTema

rea de un sector circular

Referencias

rea de un cuarto de crculo de radio r: pr 2

4


Observacin:El rea de la regin pedida (s) equivale a sumar 8 veces el rea de un cuarto de crculo y 12 veces el rea de una regin cuadrangular.

Sr

r=

+ ( )8 4 12

22pi

S=(12+2p)r2

r

r

Respuesta

El rea de la superficie pedida es (12+2p)r2.

Alternativa E

Pregunta N. 30Los dimetros de la base de un tronco de cono de

revolucin miden 22 y 4 unidades respectivamen-

te. Calcule la longitud del radio (en unidades) de

la base de un cilindro de revolucin que tiene la misma altura y el volumen equivalente al tronco del cono dado.

A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10,5

SolucinTema

Slidos geomtricos

Referencias

Dos slidos equivalentes son aquellos que tienen igual volumen, luego solo se requiere recordar las frmulas que permiten calcular el volumen del tronco de cono y del cilindro de revolucin.


h h

2

h

r

22

11

Sabemos que el volumen de un tronco de cilindro

de radios 2 y 11 con altura h es el siguiente:

V =h

h3

2 11 2 11 492 2pi pi pi pi( ) ( ) ( )( )+ +( ) = (I)

Adems:

Vcil=pr2h (II)

De (I) = (II): pr 2h=49ph r=7

Respuesta

r=7

Alternativa B

24


Pregunta N. 31Una semiesfera est inscrita en un paraleleppedo de base cuadrada. Si el paraleleppedo tiene una superficie de rea igual a 64 u2, entonces el volumen (en u3) de la semiesfera es

A) 163p B)

193p C)

233p

D) 293p E)

323p

SolucinTema

Esfera

Referencias

Recordemos que el paraleleppedo es un prisma recto, entonces, podemos aplicar los teoremas que se cumplen en un prisma recto.rea de la superficie lateral (ASL).

ASL=(2pbase)(aL)

Donde

2pbase: permetro de la base

aL: longitud de la arista lateral

rea de la superficie total (AST):

AST=ASL+2B

Donde: B: rea de la base

Tambin debemos recordar el clculo del volu-

men de una semiesfera.

Volumen de una semiesfera (VSE)

VSE R=23

3pi

R: radio de la semiesfera.


Como la semiesfera est inscrita en el paraleleppedo, entonces, el crculo mximo debe estar inscrito en una de las bases.

Entonces:

AST=(8R)(R)+2[(2R)2]

AST=8R2+8R2

AST=16R2 (I)

Por dato tenemos:

AST=64 (II)

(I)=(II):

16R2=64

R=2

Luego:

VSE R=23

3pi VSE = ( )23 23

pi

VSE =163

pi

Respuesta

El volumen de la semiesfera es 163p .

Alternativa A

Pregunta N. 32En un tringulo ABC se traza la mediana AM. Si mABC=105, mACB=30, entonces m MAC es

A) 12 B) 14 C) 15D) 16 E) 18

25


SolucinTema

Tringulos

Referencias

Recordemos que en los tringulos rectngulos notables la razn de sus lados es conocida.


105

45x 30

a

a

x

30

HA

B

C

M

a

a

a

Piden mMAC.

Como mBAH y mBCH son notables entonces,

se traza BH para formar los tringulos notables

ABH y BHC.

t BHA notable (45)

AH=BH

t BHC notable (30 y 60)

BC=2(BH)

En tBHC aplicamos teorema de la mediana

relativa a la hipotenusa.

HM=BC/2

Entonces, T HMC es issceles

mMHC=30

En T AMH, tenemos

x+x=30

x=15

mMAC=15

Respuesta

La mMAC es 15.

Alternativa C

Pregunta N. 33

En la figura, AC es el dimetro de la circunferencia

de centro O y radio de longitud R; P y Q puntos

de tangencia. Si mPBQ=90 y BH=h, entonces

AH HC es

A H C

Q

B

P

O

A) h2 R2 B) 2(h2 R2) C) 3(h2 R2)

D) 4R2 h2 E) 2(4R2 h2)

SolucinTema

Relaciones mtricas en el tringulo rectngulo

Referencias

El teorema de Pitgoras relaciona los catetos de un tringulo rectngulo y su hipotenusa, adems, podemos relacionar los puntos de tangencia P y Q en la circunferencia con el cuadrado OPBQ.


Piden ab

26


Notamos lo siguiente:

a+b=2R (I)

En el BHO teorema de Pitgoras

h

b aR2

2 2

22+

= ( )

a2+b2 2ab=8R2 4h2 (II)

De (I)2:

a2+b2+2ab=4R2 (III)

Luego (III) (II)

4 4 42 2ab h R=

ab=h2 R2

Respuesta

El producto de AH y HC es h2 R2.

Alternativa A

Pregunta N. 34

En la figura, BD es dimetro de la circunferencia

de centro O, MN tangente, BM secante. Si AB=5,

MN=12, calcule BM.

A) 13 B) 12 C) 11D) 10 E) 9

SolucinTema

Relaciones mtricas en tringulos oblicungulos

Referencias

Para el problema es necesario recordar el teorema de la tangente y el teorema de proyecciones; adems, como BD es dimetro, entonces, AL=LP.


Al asociar la incgnita BM al dato AB=5, se obtiene por el teorema de proyecciones lo siguiente:

(BM)2 52=b2 a2 (I)

Pero tambin se observa que a; b y 12 se

relacionan por el teorema de la tangente.

122=(b+a)(b a)

122=b2 a2 (II)

Luego, de (I) y (II) obtenemos

(BM)2 52=122

(BM)2=122+52

BM=13

Respuesta

La longitud del segmento BM es 13.

Alternativa A

27


Pregunta N. 35

Si en un tringulo rectngulo ABC, recto en B,

la altura BH (H AC y AH < HC) relativa a la

hipotunesa mide 12 cm, y la diferencia entre las

proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa

es 7 cm. Entonces, la longitud (en cm) del radio

de la circunferencia inscrita en el tringulo ABH es

A) 1,5 B) 2,0 C) 2,5

D) 3,0 E) 3,5

Solucin

Tema

Relaciones mtricas en el tringulo rectngulo.

Referencias

Debemos relacionar en un tringulo rectngulo

las longitudes de la altura y de las proyecciones

ortogonales de los catetos.


Nos piden hallar r

Por datos, se tiene

BH=12 cm y HC AH=7 cm

Por relaciones mtricas en el t ABC

(12)2=(+7)

144=(+7)

(9)(16)=(+7); =9

Luego AH=9 cm AHB: Notable 37 y 53 AB=15 cm

Por teorema de Poncelet en el AHB 5+12=15+2r r=3 cm

Respuesta

El radio de la circunferencia inscrita en el tringulo AHB es 3 cm.

Alternativa D

Pregunta N. 36En un ngulo triedro, dos caras miden 45 y el ngulo diedro entre ellas mide 90. Entonces la otra cara mide

A) 45 B) 60 C) 75D) 90 E) 120

SolucinTema

Geometra del espacio

Subtema: ngulo poliedro (triedro)

Referencias

Debemos recordar las siguientes notaciones utilizadas respecto a un ngulo triedro:

28


ngulo triedro O ABC:

vrtice: O

aristas: OA OB OC

, y

medidas de caras: a, b y c

medidas de diedros: , y q


Piden a.

Datos:

En el ngulo triedro O ABC, b=c=45.

Medida del diedro OA

es 90.

Sea P OA

. Luego, trazamos PM y PQ perpen-

diculares a OA

, entonces:

PO=PM=PQ=m

m MPQ=90

OQ=OM=MQ=m 2

OMQ: equiltero

a=60

Respuesta

La medida de la tercera cara es 60.

Alternativa E

Pregunta N. 37

Seale la alternativa que presenta la secuencia

correcta despus de determinar si la proposicin es

verdadera (V) o falsa (F).

I. Si una recta AB y un plano P son perpendi-

culares a una recta CD, entonces la recta AB

y el plano P son paralelas entre s.

II. La interseccin de cuatro planos no paralelos

entre s, siempre es un punto.

III. Si en todo plano P determinado por dos rec-

tas paralelas disjuntas, se cumple que dichas

rectas son paralelas a un segundo plano P1,

entonces P es paralelo a P1.

A) VFV B) VFF C) FFF

D) FFV E) VVF

Solucin

Tema

Geometra del espacio

Referencias

Posiciones relativas entre rectas y planos


Nos piden determinar el valor de verdad en cada

proposicin.

I. Falso

29


Del grfico se obtiene

P CD

AB CD

Pero la recta AB no es paralela al plano P

(AB

// P)

II. Falso

La interseccin de 4 planos no paralelos no

siempre ser un punto, puede ser tambin

una recta.

III. Falso

Sea L L1 2

//

Si AB

// L L1 2

//

L1

// P1 y L 2

// P1

Pero los planos P y P1 no son paralelos

( P P1)

Respuesta

FFF

Alternativa C

Pregunta N. 38

En la figura, se tiene un tronco de cilindro oblicuo.

Si UN2 CP2=30 y m NUP=15, entonces su

rea lateral (en u2) es

A) 174p B) 3 C) 4

D) 134p E)

154p

Solucin

Tema

Cilindro: tronco de cilindro

Referencias

Considerando que la seccin recta del cilindro

es circular, podramos calcular el rea de la

superficie lateral.


Piden el rea de la superficie lateral (ASL).

30


Sabemos

ASL ra b

r a b= ( ) +( ) = +( )22

pi pi (I)

CAP notable (15 y 75)

AB=b4

NAV notable (15 y 75)

AH=a4

HB=2r=a b

4

ra b

=

8 (II)

Reemplazando (II) en (I) obtenemos

ASL

a ba b=

( )+( )pi

8

ASL

a b=

( )pi

2 2

8

Del dato obtenemos a2 b2=30

=

( )=ASL pi pi

308

154

Respuesta

El rea de la superficie lateral es 154p .

Alternativa E

Pregunta N. 39

Seale la alternativa que presenta la secuencia

correcta despus de determinar si la proposicin

es verdadera (V) o falsa (F)

I. Los centros de las caras de un tetraedro

regular son los vrtices de un tetraedro.

II. Los centros de las caras de un octaedro

regular son los vrtices de un octaedro.

III. Los centros de las caras de un icosaedro

regular son los vrtices de un dodecaedro.

A) VVV B) VVF C) VFF

D) FFV E) VFV

Solucin

Tema

Poliedros regulares

Referencias

Los centros de las caras de un poliedro regular

son los vrtices de su poliedro conjugado inscrito.


Nos piden la secuencia del valor de verdad de

las proposiciones dadas, as tenemos lo siguiente:

I. Verdadero (V)

Un tetraedro regular tiene cuatro caras

regulares, por lo tanto, para cada cara existe

un centro. Luego, estos cuatro centros no son

coplanares y, por ende, sern vrtices de un

tetraedro.

31


II. Falso (F) Los centros de las caras de un octaedro

regular son los vrtices de su hexaedro regular conjugado e inscrito; por lo tanto, no son vrtices de un octaedro.

III. Verdadero (V) El poliedro conjugado de un icosaedro regular

es el dodecaedro regular. Luego, los centros de las caras del icosaedro

regular son vrtices de un dodecaedro.

Respuesta

VFV

Alternativa E

Pregunta N. 40Una pirmide regular triangular forma en su vrtice un triedro cuyas caras miden 60. La suma de las reas de las caras es 81 3 2m . Determine la altura (en m) de la pirmide

A) 3 2 B) 3 3 C) 4 2

D) 5 3 E) 6 2

SolucinTema

Pirmide regular

Referencias

Recordamos que una pirmide regular presenta dos caractersticas principales. La base est limitada por un polgono regular y el pie de su altura es el centro de su base.Asimismo, el rea de la superficie lateral (suma de caras) ASL es el siguiente:

ASL=Pbaseap

Donde: Pbase: semipermetro de la base. ap: apotema de la cara lateral.


Dado que en el vrtice se forma un triedro cuyas

caras son 60, ubicaremos dichas medidas.

Notamos que las caras laterales son regiones

equilteras de lado a y apotema a2

3 .

ASL

a a= =

81 3 32 2 3 De lo cual a = 6 3 En la pirmide, trazamos la altura VG, donde

G es baricentro de la base. Luego en el VGM por teorema de Pitgoras, tenemos

lo siguiente:

H

a aH

a22 2

23

63

63

= =

Reemplazando

H = 6 2

Respuesta

La longitud de la altura de la pirmide es 6 2.

Alternativa E

mate uni 09

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