mate tres ejercicios resueltos combinatoria
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Matemticas
Combinatoria Ejercicios Resueltos
Doy la solucin al desarrollo propuesto la semana pasada: Recordando que y que tenemos que:
Binomio de Newton 2
1) Calcula el trmino de lugar 42 del desarrollo de ser
El primer trmino
El segundo trmino ser
As pues el y trmino de lugar 42 ser
En general un trmino de lugar k tiene la forma
2) Cual es el trmino que contiene
en el desarrollo de
Un
trmino
de
lugar
k
en
ese
desarrollo
tendr
la
forma:
El factor a es el que nos interesa y su exponente resultar: . Como buscamos el exponente 7 resolvemos la ecuacin 43-3k=7 cuya solucin es k= 12 3) Calcula el trmino central del desarrollo El trmino central es aquel que deja el mismo nmero de trminos a su izquierda que a su derecha. Como en este caso hay 7 trminos (impar) hay un nico trmino central que ser
Binomio de Newton 1 El binomio de Newton sirve para calcular potencias de binomios y su frmula es:
Si se trata de una diferencia la frmula es:
Veamos una par de ejemplos sencillos:
Calculando potencias y nmeros combinatorios (tringulo de Tartaglia-Pascal) nos queda:
Ejemplo de resta:
Calculando potencias y nmeros combinatorios:
El desarrollo del binomio de Newton puede complicarse si aparecen expresiones fraccionarias y hay que simplificarlas. Por ejemplo:
Intentad la Resolucin
Ecuaciones con nmeros combinatorios 6 Vamos a resolver un ltimo ejemplo de ecuacin con nmeros combinatorios. Se trata de ecuaciones con nmeros combinatorios a ambos lados de la igualdad .Se resuelven rebajando los factoriales y eliminando factores comunes en ambos miembros de la ecuacin
Mtodo 1:
Simplificamos factoriales y coeficientes numricos y nos queda:
Eliminamos los factores
Las soluciones son x= -2 (eliminada por ser negativa) y x=7 que es la buena.
Mtodo 2: Desarrollamos para buscar factores comunes a ambos lados de la igualdad:
Eliminamos factores comunes:
Multiplicando en cruz llegamos a la misma ecuacin de segundo grado y a la misma solucin.
Ecuaciones con nmeros combinatorios 5 Resolucin mediante la aplicacin de la frmula de Stifel:
Aplicamos la frmula de Stifel: La ecuacin queda as:
Volvemos a aplicar la frmula: La ecuacin queda as:
Aplicamos la frmula por tercera vez y obtenemos:
Estos nmeros combinatorios han de ser a la fuerza complementarios por lo que: y entonces a=11
Ecuaciones con nmeros combinatorios 4
Ecuaciones del tipo: Estos dos nmeros combinatorios o son idnticos o son complementarios:
Si son idnticos: a=b Si son complementarios: a=m-b m=a+b
Ejemplo: 1. Consideramos que son iguales: y p=14 por lo que tenemos
y la solucin es vlida 2. Consideramos que son complementarios: y p=8 por lo que tenemos
y la solucin tambin es vlida
Ecuaciones con nmeros combinatorios 3 Vamos a resolver la ecuacin mediante desarrollo de factoriales:
Aplicamos la definicin de nmero combinatorio y algunas de las propiedades que conocemos:
Rebajamos los factoriales:
Esto ya es una ecuacin algebraica parntesis:
normal. Eliminando
denominadores
y
Veremos ms ejemplos ms adelante
Ecuaciones con nmeros combinatorios 2 Propiedades de los nmeros combinatorios:
1. 2. 3.
4. Nmeros combinatorios complementarios:
5. Formula de Stifel:
rebajamos los factoriales mayores:
Sacamos factor comn:
sumando las fracciones entre parntesis:
Sumamos y nos queda
y
restamos
1
en
Con estas propiedades y lo que sabemos de expresiones factoriales podemos construir el tringulo de Tartaglia (Pascal) y resolver ya ecuaciones con nmeros combinatorios
Ecuaciones con nmeros combinatorios 1 El factorial de un nmero natural se escribe n! y su valor es
Con nmeros: Por convenio 0!=1 Hay que observar que el factorial de un nmero siempre se puede rebajar
En general:
Esta rebaja en los factoriales nos permite simplificar expresiones fraccionarias que incluyan factoriales
Una vez introducidos los factoriales definamos nmero combinatorio
con m Para calcular un nmero combinatorio siempre podemos rebajar los factoriales
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