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INTRODUCCINEn nuestros boletines anteriores, he usado comoejemplo para la enseanza de las matemticas lasolucin de problemas y hechos relacionados con lavida cotidiana de nuestros alumnos o los docentes,pero este no es el nico medio para que nuestros

alumnos aprendan esta materia, existen otrosmuchos. Lo nico constante en los medios omtodos para la enseanza de las matemticas esque con ellos los alumnos deben entender de lo quese trata. !or ello en este nmero trataremos dostemas totalmente ajenos al planteamiento ysolucin de problemas para el aprendizaje de lasmatemticas. "stos son#

El estudio de las conjeturas matemticas Los cuadrados m$icos

LAS CONJETURAS UN BUEN MEDIO

PARA PENSAR Y APRENDERLo primero que debemos hacer es que nuestrosalumnos entiendan qu es una conjeturamatemtica, pues esta palabra puede serinterpretada y usada de di%erentes maneras y lamejor %orma de entenderla es por medio de susde%iniciones.&e$n el Diccionario de Real Academia.1. f. Juicio que se forma de las cosas o acontecimientos

por indicios y observaciones.2. f. Edc. Leccin no atestiguada en la tradicin textual

y que la edicin crtica reconstruye de acuerdo con

otros indicios.Diccionario Ilusrado de conce!os maem"icos,de E%ra'n &oto (polinar.Conetura! "firmacin de un resultado sin ofrecersuficiente evidencia que la demuestre o refute.La di%erencia sustantiva entre la primera de%inicindel )(E y la del diccionario de conceptosmatemticos, es que para las matemticas el juicio oa%irmacin, no ha sido demostrado o re%utado. Esto

implica que no se tiene la certeza de que seaverdadera o no y al hacer re%erencia a la vidacotidiana, cuando se dice que eso es una conjetura#se relaciona con que corresponde a una deduccin,pero ello no implica que sea verdad o %also.*stedes se pre$untarn en qu puede ayudar toda

esta retah'la de conceptos y palabrer'a en laenseanza de las matemticas. !ues resulta quemuchos de nuestros alumnos cuando comprendenque al$o l$ico no se puede comprobar, se enredano en$anchan con la re%lexin y ello, como se explicantes, es lo que $enera el aprendizaje. + aunque,como es muy probable, no se lo$re lacomprobacin o ne$acin de la conjetura, el simplehecho de buscar el por qu no se encuentra lasolucin a al$o me obli$a al uso del entendimientoy la l$ica y precisamente eso son#

#las maem"icas#

#magen obtenida de #nternet

LA CONJETURA DE $OLDBAC%*no de los problemas matemticos ms anti$uosque $eneran pasin e intri$a es ste. "sta %ueplanteada hristian -oldbach $1%&'(1)&*+ a Euleren el ao de 1)*2y ste no encontr nin$n mediopara demostrarla ni ne$arla. En la actualidad a /0aos de su primer planteamiento si$ue siendo unaconjetura. Esta belleza dice as'#

MATEMTICAS

PARA

TODOS

Ao 12, Nmero 131, junio de 2013

EN ESTE BOLET N:

Las conjeturas un buen mediopara aprender matemticas.

Conjetura de Goldbach.

Afirmaciones matemticas,buenas para pensar.Cuadrados MgicosLos problemas del calendario.

Educacin y Desarrollo

Junio de 2013 1

No basta saber, se debe tambin aplicar. No es suficiente querer, se debe tambin

hacerGoethe

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,odo n-mero par superior a 2 es factible representarlo

por la suma de dos primos.*n ejemplo con nmeros de este es#

* / 1 0 / 3 0 1'/ ) 0

1 / 3 0 12' / ) 0 12* / 11 0 1' / ) 0 21'' / 0 &)

1''' / 0 &&)1'''' / 1) 0 &&

(s' con estas simples sumas, la conjetura de-olbach se ha comprobado en ms de un billn denmeros pares 11'12. !ara evitar con%usiones conlos billones de Estados *nidos, esta cantidad esi$ual a un milln de millones.omo pueden observar queridos lectores, elproblema empieza por encontrar los nmerosprimos adecuados y para ello existen variastcnicas, pero la ms sencilla es hacer un conjuntode divisiones para detectar si los nmerosseleccionados son primos o no. En la actualidad conla hoja de clculo de cualquier paqueter'a de o%icinaesto puede hacerse sin problema. !or ejemploquiero saber si el 3/ es un nmero primo#

En la columna " repito el nmero &) de manera

continua, en la columna 4coloco la numeracin deuno en uno hasta lle$ar al nmero &). !or ltimo enla columna C1 ha$o la divisin de la columna "entre 4 $/"1541+y extiendo esa operacin hasta la%ila nmero &).omo ven ustedes el concepto de nmero primoqueda inmerso en el entendimiento de la conjeturay el conjunto de acciones que nos obli$an aencontrar los nmeros primos, hacen queentendamos su complejidad y $randeza.La verdadera di%icultad est en comprobar que esto

es verdad o mentira para todos los nmeros pares,mismos que son in%initos.4o debemos olvidar que los razonamientos paracomprobar pueden ser in%initos, pero estos debenplantearse respetando la l$ica y sin utilizar comosolucin el enunciado. Esto ltimo quiere decir queno podemos de%inir al$o en %uncin de sude%inicin como# )esponsabilidad se re%iere a serresponsable.

A&IRMACIONES MATEM'TICASELEMENTOS PARA PENSAR&i queremos obli$arnos a pensar, no hay como lautilizacin de al$unas a%irmaciones matemticas ytratar de comprobarlas o conocer cmo %ueroncomprobadas.*n ejemplo del in$enio para analizar lasa%irmaciones matemticas es la comprobacin deEuclides sobre la in%initud de los nmeros primos.Esta %ue presentada hace ms de 055 aos en ellibro 67, proposicin 5 de su obra 8LosElementos9, sta seala que#&i al producto de los nmeros primos le a$re$amosuno, tendremos un nmero mayor 162

$p1x p2x px7x pn+ 0 1 / 6Este nmero 6puede ser primo o compuesto. Encaso de que %uera primo, implica que yaencontramos un nmero primo ms. &i escompuesto, este debe ser divisible entre un nmeroprimo del producto y por lo tanto tambin deber'aser verdadero lo si$uiente#

=1

!ero resulta que no existe nin$n nmero primoque divida a uno. !or ello se lle$a a un absurdo y sededuce que los nmeros primos pueden ser

in%initos.

2 MATEMTICAS PARA TODOS

La sabidura consiste en saber cul es el siguiente paso; la virtud en llevarlo a cabo.David Starr Jordan

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(l$unas comprobaciones matemticas son simples

y otras muy complejas, pero casi siempre sonele$antes y nos obli$an a re%lexionar, por ejemplo lacomprobacin de la in%initud de los nmerosnaturales#:&i a el ltimo de los nmeros naturales se le a$re$auno, tendremos un nuevo nmero mayor. !or lotanto siempre habr un nmero ms $rande que elseleccionado como ltimo:.;tro razonamiento que acelera nuestro cerebro yenciende las neuronas es el si$uiente relacionadocon el B/>D>@A2, hecho que a$radecemos y queretomamos para invitar a nuestros ami$ospro%esores para que con sus alumnos estudien ese%ormidable cuadro y establezcan tcnicas paraelaborar sus propios cuadrados m$icos.

elancol'a 6 de (lberto =urero6ma$en obtenida de 6nterne

El cuadrado m$ico no se distin$ue en lareproduccin que incluimos, este se encuentra en la

esquina superior derecha bajo de la campana.

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63

65

9

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Los sabios son los que buscan la sabidura; los necios piensan a haberla encontrado

Napolen

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( continuacin se presenta la ampliacin.

omo pueden observar el total de las sumas de lascolumnas, ren$lones y dia$onales en el cuadradodan 0B. + esa es precisamente la caracter'stica de los

cuadrados m$icos. ;bserve el si$uiente.

&us columnas, ren$lones y dia$onales suman >>>.omo menciono arriba, lo interesante es quenuestros alumnos elaboren sus cuadrados m$icos.

on esto vamos a encontrar alumnos que con $ranentusiasmo iniciarn por medio de prueba y errorcolocando nmeros que tiendan a cumplir con lacaracter'stica de estos cuadrados.