mat330_actividad_05

Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos

Subdirección de Servicios a Escuelas

1

ÁLGEBRA Y COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Considere las siguientes funciones )(xf y )(xg Entonces:

a. )()())(( xgxfxgf ±=±

b. )()())(( xgxfxgf ×=×

c. )()()(xgxfx

gf

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ; 0)( ≠xg

d. ))(())(( xgfxgf =

GUÍA DE PROBLEMAS N°5 Aplicaciones de las operaciones y composición de funciones

I Algebra de funciones.

1. Dadas las siguientes funciones

xxxhxxgxxxf

−=−=−= 2

2 2)(;1)(;3)(

Determine:

a) gf +

b) fg −

c) hf ×

d) hg

e) gf

f) gh



2

2. En la fabricación y venta de unas bicicletas, los ingresos en pesos al vender x

unidades son: xxI 056.12)( = .

Y el costo de de producción en $, de x unidades es: 800.2200.5)( +⋅= xxC Con esta información:

a) Escriba la función de utilidad.

b) ¿Cuál es la utilidad al vender 1.500 bicicletas?

c) Si en Diciembre del año pasado hubo utilidades de $123.460.048, ¿cuántas unidades se produjeron?

3. Se supone que cuando el precio de cierto artículo es p pesos por unidad,

entonces los consumidores compraran x unidades, donde:

000.2005,0)( +⋅−= xxp

El costo de producir x unidades es:

000.58302,0)( 2 +⋅+⋅= xxxC

a) Escriba la función ingreso en función de x .

b) ¿Cuánto es el ingreso al vender 100 unidades?

c) Determine la utilidad obtenida de la venta de x unidades como una función de x .

d) ¿Cuánto es la utilidad que se obtiene al producir 250 unidades? 4. El costo unitario de fabricación de motos para cross country, se describe con la

siguiente función:

120.1320.14)( 031,0 +⋅= − nenC

Donde =)(nC costo unitario de fabricación de las motos en dólares y =n número

de motos fabricadas en cada año, el cual no puede ser menor que 60 para validar la función. Además, el precio unitario de venta de las motos, depende del número de unidades que se ponen en el mercado en cada año. Su expresión es:



3

nnP ⋅−= 2,4100.3)(

Donde, =)(nP precio unitario de venta de las motos en dólares y =n número

de motos fabricadas en cada año.

a) ¿Cuál es el ingreso al vender 150 motos en un año?

b) Encuentre la función de utilidad total de la empresa de motos.

c) ¿Cuál es la utilidad total de producir y vender las motos de la pregunta (a)? 5. Para el libro “La casa de los espíritus” en su última edición, se determinó que la

función de oferta es 4709)( 2 +−= pppO y la función demanda está dada por

ppD 2500)( −= , donde p es el precio en dólares. Tenemos que DyO

representan el número de libros ofrecidos y demandados, respectivamente:

a) ¿Cuál es el precio de equilibrio? (Dato: )()( pDpO = )

b) Determine la cantidad de libros ofrecidos y demandados en el precio de

equilibrio.

II Composición de funciones.

6. Un fundo en el Sur de Santiago produce frutos para exportar, determina que la

cantidad de kilógramos embalados por día )(nu , es una función del número de

trabajadores ( n ), donde:

33520)(

3 ++=

nnnu

El ingreso total )(uI en pesos, que se recibe por la exportación de u kilógramos

de fruta embalados está dado por:

uuI ⋅= 570)(



4

a) ¿Cuál es el ingreso total si el embalaje de 120 trabajadores es vendido? b) En invierno se reduce la cantidad de trabajadores de la pregunta (a) en un

40%. ¿Cuántos kilógramos se embalan por día? c) ¿Cuál es el ingreso total para el exportador si el embalaje de n

trabajadores es vendido? 7. Un fabricante puede vender q unidades de un producto al precio p por unidad,

en donde 600320 =+ qp . Como una función de la cantidad q demandada en el

mercado, además se sabe, que el ingreso semanal está dado por 215,030 qqR −= . ¿En qué forma depende R del precio p ?

8. El número de viviendas construidas por año, N depende de la tasa de interés

hipotecaria r de acuerdo con la fórmula:

210050)(r

rN+

=

Donde N está en millones de viviendas. La tasa de interés actualmente está en 12% y se predice que disminuirá a 8% en los dos siguientes años de acuerdo con la fórmula:

24812)(+

−=tttr

Donde t es el tiempo medido en meses a partir de ahora.

a) Exprese el número de viviendas en función del tiempo. b) ¿Cuál es el número de viviendas en este instante? c) ¿Cuál es el número de viviendas transcurrido un año y 6 meses?



5

9. La velocidad a la cual un químico se produce en cierta reacción, depende de la

temperatura T de acuerdo con la fórmula TTR 35 += . Si T varía con el tiempo de acuerdo a )1(3 += tT , donde t representa el tiempo en segundos.

Exprese la velocidad de reacción en función del tiempo. 10. Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel diario

promedio de monóxido de carbono en el aire será 14,0)( += ppC partes por

millón cuando la población sea p miles. Se estima que en t años la población de

la comunidad será 22,08)( ptp += miles.

a) Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire en función del tiempo. b) ¿Cuál será el nivel de monóxido de carbono en 2 años, a partir de hoy? c) ¿Cuándo alcanzará el nivel de monóxido de carbono las 6,2 partes por

millón?



6

SOLUCIONES

1.

a) 12))(( 2 −−=+ xxxgf

b) 14))(( 2 −+−=− xxxfg

c) 162))( (

−

−=×xxxhf

d) 22)(

23 xxxxhg +−

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

e) 45))(( 2 +−= xxxgf

f) 23

2))(( 2 +−=

xxxgh

2.

a) 800.2856.6)()()( −⋅=−= xxCxIxU en pesos ($) b) 200.281.10$)500.1( =U c) 008.18=x bicicletas

3.

a) xxxI ⋅+⋅−= 000.2005,0)( 2

b) 500.999.1$)500.1( =I

c) 000.58997.1907,0)( 2 −⋅+⋅−= xxxU

d) 875.936.4$)250( =U 4.

a) 22,4100.3)( nnnI ⋅−⋅=



7

b) nennnnU 031,02 320.142,4980.1)( −⋅⋅−⋅−⋅=

c) 6791,961.181)150( =U dólares 5.

a) 10=p dólares

b) 480)10()10( == DO libros 6.

a) 201.520.11)120( =u ; 570.514.566.6)201.520.11( =I Respuesta: El ingreso total es de $6.566.514.570.

b) Trabajadores 726,0120 =⋅= ; 441.488.2)72( =u kg. embalados por día

c) 3

3520570))(())((3 ++

⋅==nnnuInuI

570950800.3))(( 3 ++= nnnuI

7. ppq320200

320600

−=−

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−⋅−−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅==

2

2

9400

3000.8000.4015,0200000.6

32020015,0

32020030))(())((

ppp

pppqRpqR

Respuesta: 2

320200))(( pppqR −=

8. 242884

24812)(

+

+=

+−=

tt

tttr ;

210050)(r

rN+

=



8

a) 2

242884100

50))(())((

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

++

==

tt

trNtrN

O bien desarrollado y reduciendo términos semejantes, quedaría como:

272.70552.358400.14200.125

544.140104.7116800.28400.250))(())(( 2

2

2

2

++

++=

++

++==

tttt

tttttrNtrN

b) ( )( )

204918,012225

24028804100

50)0)(( 2 ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+⋅+

=rN

Respuesta: El número de viviendas en este instante es de aprox. 204.918 viviendas.

c) Cuando han transcurrido un año y 6 meses, significa que 18=t meses.

( )( )

288235,017049

2418288184100

50)18)(( 2 ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+⋅+

=rN

Respuesta: El número de viviendas en un año y 6 meses es de aprox. 288.235 viviendas.

9. ( ) 33333))(())(( 5 +⋅++== tttTRtTR

10. 14,0)( += ppC ; 22,08)( ttp +=

a) ( ) 12,084,0))(())(( 2 ++== ttpCtpC

O bien desarrollado y reduciendo términos semejantes, quedaría como:

2,408,0))(())(( 2 +== ttpCtpC



9

b) 52,42,4208,0))2(()2)(( 2 =+⋅== pCpC Respuesta: El nivel de monóxido de carbono a los 2 años será de 4,52 partes por millón.

c) 2,408,02,6 2 += t .

5252508,02208,0 222 ±=⇒±=⇒=⇒=⇒= ttttt

Respuesta: A los 5 años se alcanzará un nivel de monóxido de carbono de 6,2 partes por millón.

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