mat1630 - soluciones - pita ruiz, claudio - cálculo vectorial

Respuestas a los ejercicios

Respuestas a los ejercicios del capítulo 1,

Capítulo 1, Sección 1 (página 12)

2. a. (O, O, O); b. (-·1, -2,3, -5); c. v; d. O E JRn; e. (4, 3, 3); g. (6,2, -2, 1); h. O E JR5;i. (6,3,3); j. (-5, -5, -5, -5,-5); l. (--8, - 16,28); m. (-2, -3, 1, O); n. (- 19, -24);o. (l9, 24); p. (15,15,44); q. (16, -75, 13); r. (O, 5,10, 10); s. (30, O, O, -6); t. (-2, - 1,2, 1);u. (10,8,12)

7. a. li; b. Ld.; c. Ld .. ; d. Ld .. ; e.ti15. a. Lí; b. Lí; c. Id.; d. ti; e. I.i ..17. a. Sí es subespacio; b. Sí es subespacio; c. No es subespacio; d. Sí es subespacio (solamente

contiene al vector cero de JR3); e. Sí es subespacio (es todo el espacio JR3); f. No essubespacio; g. Sí es subespacio; h. No es subespacio; i. No es subespacio (a menos quea = O).


6. Son vectores de la forma t(l, 3). Se encuentran sobre la recta y = 3x.8. a. (x, y) = t(l, 2); b. (x, y) = (0,1) + t(l, 1); c. (x, y) == (0,3) + t(l, -2);

d. (x, y) = (O, - 1) + t( I, - 1)18. Falso;19. Falso .. ;23. a. (52/29,130/29); b. (4, O); c. (2,1); d. (4/5,2/5, O); e. (8/7, 8/7, 8/7, 16/7)24. (21/13,14/13, O).

25. a. 19/2; b. 3112; c. 35/2; d. JTT/2


1. a. 4; b. .¡¡Q; c. J6; d. V29; e. J8; f. .¡¡s2. No es inyectiva Es sobreyectiva.9. No (atendiendo a la desigualdad triangular).10. Ilx + yll = Ilx - yll = j58.11. Ilx - yll = V33;12. Ilx + y!l = 20.16. a. arccos(7V2/IO); b. arccos(l/V14); c. arccos(l3V58/174)17. 7T;18. a. 6; b. .¡y¡; c. /13;19. 5.27. a. 4/2; b. .¡¡Q; c. 21328. En radianes: 1 107,1.107,0..927.29. En radianes: 066169,0 .. 66169, 18182131. a. (5,10); b. (3,9/2,1); c. (2, 2, 2, 2)

1001

1002 Respuestas

32. (4, S), (S /2, 11/2), (9/2, 13/2).33. Los vértices son A = (1, -3), B = (3, 1), e = (-S, 7)34. sh/2;36. a.2;b.3h/2;c.0;d.3v117/34


1. a. a = -10; b. a = S; c. a = O; d. a puede ser cualquier real2. (6, -7) = (-2)(3/S, 4/S) + (-9){ -4/S, 3/S)3. (3, 1, O) = J4/3)v¡ + (7/3)V2 + (5/3)V3'4. (2,4, 1,3) = SV¡ + V2 - 2V3 ..

5 [3/S -4/S] M 'd b' d b d [3' [3 pI. P = 4/S 3/S ' atnz e cam 10 e ase e a =,

[

2/3 2/3 1/3]6. p = -2/3 1/3 2/3, Matriz de cambio de base de [3' a [3 = pI

[//l lji/

3 ?jl 1/2]1/2 1/2 -1/2 -1/2 , , I I

7. p= 1/2 -1/2 1/2 -1/2 ,Matnzde cambIO de base de [3 a[3= P

1/2 -1/2 -1/2 1/28. [3 = {(2v's/S, v's/S), (-vis/s, 2v1s/S)}9. [3 = {(h/2, h/2), (-h/2, h/2)}10. [3 = {(2v's/S, vis/S), (v's/S, -2v's/S)}11. [3 = {(3VlO/1O, VIO/lO), (-VIO/lO, 3V1O/10)}12. [3 = {(V3/3, V3/3, V3/3), (V6/6, V6/6, -V6/3), (h/2, -h/2. O)}13. [3 = {(V6/6, V6/3, V6/6), (11 V2lO/21O.-4V2lO/lOS. V2lO/42),

(-3V35/3S, -V35/3S, V35/7)}14. [3 = {(O, h/2, h/2), (V6/3, V6/6, -V6/6), (13/3, -13/3, V3/3)}15. [3 = {(3yfíl/ll, yfíl/ll, yfíl/I1), ,

(7/336/330, -J336/66, -8V330/l6S), (V30/30, -V30/6, V30/IS)}

16. [3 = {(l/2, 1/2, 1/2, 1/2), (V3/6. V3/6, 13/6, -13/2), (V6/6. V6/6, -V6/3, O).(h/2, -h/2, O, O)}

17. (3 = {(V3/3,0, V3/3, -V3/3), (V51/SI, V51/17,4V51/S1, SV51/SI),(-SV51/1S3; 19V51/1S3, -vlsI/Sl, -8V51/1S3), (-4V3/9, -V3/9.13/3, -13/9)}

18. p=[7 ~1 ~],p-J=/o[~ !1 :]1 9 0, 1 -17 -3

19. p=[; ~1 ~],P-¡=[=: ~. =:]3 -2 1 1 -S 3

[O 2 1] [-3/S 2/S l/S]

20. p = 1 3 2 , p- J = 2 -1 °S ° ,-1 -3 2 °


1. uxv=(-2,-2.2)=-vxu2. u x v = (24, O, -16) = -v x u3. u x v = (0.0, O) = -v x u

Respuestas 1003

4. u x v = (O. -l. 1) = -v x u5. u x v = (O. O. O) = -,v x u6. u x (v x w) = (2S. -SO. -2), (u X v) x w = (-21. -91. 16)9. a. (O. -11, 11), b. (O, -11, 11), c. (O, O, O), d. -2(0. -11, 11), e. (O, 121, -121)14. 1/2,15. 15,16. 4V26,17. 4V26,18. 5629. No son coplanaJes.30. Son coplanares. Se encuentran en el plano -x + 6y - 4z = O31. Son coplanares, Se encuentran en el plano -x + 4y - z = O32. No son coplanares,33. 2x + 2y + z = 3,34. x + y + 2z = 4,35. x + y + z = I37. 12V2,38. /269,39. 5,40. 15,41. 103/242. 2051243. a. (vis, arctan(l /2), 1), b. (/10, - arctan 3,5) c. (1, O. O), d. (Vi3. arclan(3/2), -1)

44. a. (2. O. 1), b. (-l. 0,3), c. (3/2, -3V3/2. -2), d. (Sv2. SV2, O)45. z = r,46. r 2 + Z2 = 147. a. Z = r2

, b. z = r2(2 cos2 e+ 3 sen2 e)48. a. (1, O. 7T/2), b. (v'I1. arclan(l/3), arccos(-l/v'I1» c. (V2, 7T/2. 7T/4),

d. (.j38, arclan(3/2). arccos(-5/J38»

49. a. (O. 0.1), b. (O, 2. O), c. (v2/4. V6/4, -v2/2), d. (V30/2. -V30/2. 1)50. rsenep = 3,51. r = 2 sen ep cos e52. a. r = 2a sen '1> cos e, b. r = 2a sen ep sen e, c. r = 2a cos e53. ep = arclan a o ep = 7T - arctan a


1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.

x + y + z = O,x - 2 = O,2y + 3z = 233x + 2y + 6z = 4,-2x - 7y + 4z, = -14

2 77xox + YoY + zoz = Xo + Yo + Zoa. - 2x - 3Y + 2z = 7; b. 2x + 3 y - 2z = 1017x - 22Y - 6z = 57,x + 34y - 9z = 35p Yq pertenecen al plano,p pertenece al plano, q no pertenece al plano

1004 Respuestas

48.

39.

40.

44.45.46.47.

12. P y q pertenecen al plano.13. Ninguno de los dos puntos pertenecen al plano.14. P no pertenece al plano, q pertenece al plano.15. Pasa por puntos del tipo (t, s, 3 - 3t), t, s E lR Vector normal (3,0, 1)16. Pasa por puntos del tipo (t, 0, 5), t, 5 E R Vector normal (O, 1, O)17. Pasa por puntos del tipo (t, 5, t - s - 5), t, 5 E JR Vector normal (1, -1, -1)

(23 - 3t + 25)18. Pasa por puntos del tipo t, s, 23 ., t, 5 E R Vector normal (3, -2,7)

19. Ninguno de los dos ..20. Son paralelos.21. Son paralelos.22. Son perpendiculares .. ,23. Son paralelos ..24.3x-2y+z=7

25. 4x - y + z = °26. 2x - 13y + 7z = °27. 2y -- x = °28. 8x - 13y + 3z = 1829. 6x + 4y _. 9z = -5930. x / a + y/ b + z/ e = I35. d = 536. d = 13/V1637. d = 14/V17

38. d = 3/V24d = ID) - D11

J A~ + B~ + C~8v=--

14y1442. x+ y - 2z = 2 ± 2)6, 2x + z =.5 ± 2V5, x - 5y - 2z = -10 ± 2J3Q43. x - 4y + 7z = 0, x- 4y + 7z = 66, -3x + y + z = 0, -·3x + y + z = 11, x + 2y + z = 0,

x + 2y + z = 6..P = (19/6,0,0)PI = (O, -6/13, O), Pl = (0,6/7, O)P = (3,2,1)PI = (4.9705,0 ..99075, -0.46886), P2 = (42402,4 ..64224,0 ..99173),P3 = (1.39279,0.99075, -225772), P4 = (0.6625,4.64224, -0.79712),Ps = (-0.9705, 3.. 00925,2.46886), P6 = (2.6072,3.00925,4.25772),P7 = (-02402, -0.64224, 100827), Ps = (3.3375, -064224,2.79712)PI = (0,0, O), Pl = (1,2,1), P3 = (-3,1,1), P4 = (1, -4,7) Ps = (-2,3,2),P6 = (-1, -1,9), P7 = (-2, --3,8), P8 = (2, -2,8)

49. x = y = z50. x = 0, y = 1+ t, Z = O, t E JR51. x = 2 + 3t, y = -4 + t, Z = -7 + 2t, t E JR52. x = 2, Y = I - 4t, Z = I - 6t, t E JR53. x = 3 + 3t, y = 4 - 2t, Z = 7 + t, tE lR54. x = xot, y = yot, Z = zot, tE JR

ss. .x = 3 + 4t, y= 9 + 7t, Z = 7 + 2t, tE lR56. x = 2 + 4t, Y = 1 _. 2t, Z = 6 + 4t, t E lR57. x = 2t, Y = 6t, Z = 5t, t E lR58. L I : x = 2 - 2.9705t, y = 2 + 1..oo925t, Z = 1+ 1.46886t, t E lR

L2: x = 2 _. 2.2402t, Y = 2 - 2..64224t, Z = 1+ 0..o082t, t E lRL,: x = 2 + 0.6072lt, y = 2 + l00925t, Z = I + 325772t, tE lRL4 : x = 2 + 13375t, y = 2 - 2..64224t, Z = 1 + 17971t, tE lR

59. L 1:x=-t,y=-t,z=9t,tElRL2:X = -1/2 - 3t/2, Y = -1/2 - 5t/2, z = 9/2 +7t/2, tE lRL 3: x = -1/2 + 5t/2, y = -1/2 - 3t/2, z = 9/2 +7t/2, t E lRL4 : x = -1/2 - 3t/2, Y = -1/2 + 7t/2, z = 9/2- 5t/2, t E lRSe intersectan en (-1/2, -1/2, 9/2)

60. P pertenece a la recta, q no pertenece a la recta.61. p no pertenece a la recta, q pertenece a la recta62. p no pertenece a la recta, q pertenece a la recta63. x = 2 + 3t, y = 1+ 4t, z = 4 - t, tE lR64. x = 2t, Y = t, Z = O, t E lR65. Mediana por A: x = 2 _. 4t, Y = I + 8t, Z = 3 + t, tE lR

Mediana por B:x = -2 + 8t, y = 7 - IOt, Z. = 5- 5t, tE lRMediana por e: x = 2 - 2t, Y = 3 + t, Z = 2 + t, t E lRSe cortan en (2/3.11/3. 10/3)

66. Intersección con el plano xy: (19/5,6/5. O)Intersección con el plano xz: (5,0.-6)Intersección con el plano yz: (O. 5. 19)

67. P = (1, - 2.- 1)70. x = -4/7 + 2t, y = 12/7 + t, Z = 7t, tE lR71. x = 2/5 - t, Y = -6/5 + 23t, Z = 5t, tE lR72. x=5/2--t,y=-1/2,z=t,tElR73. x = y = O, z = t, t E lR

74. x - 2y + z = Ox-2 y·-I z+1

75. Son rectas del tipo -'- = -- = --, donde a - b + e = Oa b e

x-I y-3 z-276. Son rectas del tipo _.- = -- = --, donde a + b - 2e = O

a b e77. d = V54 .. No es la distancia entre los planos78. d = .[56/7. Sí es la distancia entre los planos

87. d = O88. d = J2l91O/35

89. d = vfl3594/14

90. d = 1/V591. d= 13J238/119

92. d = 7JTI4/ll4

Respuestas 1005

1006 Respuestas

93. b. x + y - z - u = O; c. y + u = 1; d. x + 3y - 6z + 5u + 2 = O; f. (1,2,3, -1);g. x - y - z + u = O; h. -6x + 11y + 6z + 2u - 3v = O; i. xl/al + X2/a2 +. + xn/an = 1

94. a. x = y = Z = u; b. x = 2 - t, Y = 1 + t, Z = 1 + 3t, u = 4 - 5t, t E IR; c. x = 1 + 3t,y = -1 - 2t, Z = 3 + 4t, u = -4 - 3t, t E IR; d. XI = X2 = = Xn; e. x = 2 + t,y = Z = 1, u = 3 + 3t, t E IR; f. xl = 1 + 3t, x2 = 4t, x, = -3t,X4 = t, x5 = 1 + 7t, t E IR;g. (23,21,0,3); i. (2, -1, 3, l);j. Mediana por A:x = 1 - 5t/2, Y = 1 + 2t, Z = 2 - t/2,u = 1 + t; Mediana por B: x = 3 - 3t/2, Y = 1 + 2t, Z = 3, u = -2 - t/2; Mediana porc: x = 4 - t, Y = -3, z = 2 - t/2, u = 2 + 3t/2. Punto común de las tres medianas:(6, -,3,3, -1) ..


1. Ker T = {(x, y)ly = -x}, 1m T = IR.2. KerT={(0,0)},lmT=IR2

.

3. KerT = {(x, y, z)lx = t, Y = -t, Z = 3t, t E IR}, 1m T = IR2

4. Ker T = {(x, y, z)lx = y = z}, 1m T = {(x, y, z)lx + y + z = O}5. Ker T = {(x, y, z, u)lx = -t, y = t, z = -s, u = s, t, s E IR}, 1m r = IR2

.

8. T(x, y) = (2x - 3y, 5x + 4y).9. T(x, y) = (x +2y, -5x +7y)10. El plano y = x18. [T] = [a], T-l(x) = a-Ix..

19. [T]= [~ ~1],T-I(X,y)=(X/2+Y/2,X/2-Y/2)

20. [T] = [\0 !3]' r-I(x, y) = (x/12 + y/6, x/36 -- 5x/18)

21. [T] = [~ ~ ~], T-l(x, y, z) = (x,-x + y, -y + z)1 1 1

22. [T]= [~ ~ ~],r--l(X'y,Z)=(y,Z'X)O 1 O

35. d. (-5,5,5, -5); e. x - y - z + u = O; f. (-6, 11,6,2, -3); g. -6x + 11 y + 6z +2u -- 3v = O


1. polinomio característico A2- 5A + 6, valores propios 2, 3; vectores propios t(1, 5), t(2, 5)

2. polinomio característico A2- 7A+ 6, valores propios 1, 6; vectores propios t(2, -1), t(3, 1)

3. polinomio caracteristico A2 _. 8A + 15, valores propios 3, 5; vectores propios t(1, 1), t(2, 1)4. polinomio caracteristico A2_ 3A - 4, valores propios -1, 4; vectores propios t(2, - 1),

t(1, -3)5. polinomio característico A2

- 12A + 27, valores propios 3, 9; vectores propios t(1, 5), t(7, 5)6. polinomio característico A2 + 2A - 3, valores propios 1, -3; vectores propios t(1, 1), t(1, -1)7. polinomio característico A2

- 12A + 35, valores propios 5, 7; vectores propios t(2, 1), t(4, 1)8. polinomio característico A2 + 7A+ 12, valores propios -3, -4; vectores propios t(1, -2),

t(1,-l)9. polinomio característico A2

- 4A + 3, valores propios 1,3; vectores propios t(O, 1), t(1, 1)10. polinomio característico A2

- 13A + 42, valores propios 6, 7; vectores propios t(1, O), t(O, 1)11. polinomio característico A2 - 5A + 4, valores propios 1,4; vectores propios t(1, O), t(l, 3)

12. polinomio característico A2 + 5A + 4, valores propios -1, -4; vectores propios t(l, 1),t(2, --1)

Respuestas 1007

13. polinomio característico _A3 + 6A2- llA + 6, valores propios 1,2,3; vectores propios

t(l, 1, -2), t(2, 1, --2), t(1, 1, O)

14. polinomio característico _A3 + 5A2- 2A -' 8, valores propios-l, 2, 4; vectores propios

t(5, 8, 6), t(20, 11, 15), t(20, 7, 9)15. polinomio característico - A3 + A2 + lOA + 8, valores propios -1, -·2, 4; vectores propios

t(1, -1, -4), t(1, -2, -5), t(4, 1,4)16. polinomio caracterfstico _A3+ 8A2 + 13A - 140, valores propios -4,5,7; vectores propios

t(2, -1,3), t(14, 11, -6), t(7, 2, -6)17. polinomio caracterfstico _A3 + l2A2 - 2lA + 18, valores propios 1, 10; vectores propios

t(27, -4, -24), t(27, 50,48)18. polinomio característico _A3 + 6,\2 - l2A + 8, valores propios 2; vectores propios

t(14, -15, -27)19. polinomio característico _A3 + 2,\2 + 3A, valores propios O, -1, 3; vectores propios

t(5, 6, 8), t( 1, 2, 2), t(5, 2, 2)20. polinomio característico _A3 - IOA2 - 31,\ - 30, valores propios -2, -3,-5; vectores

propios t(l, -7, -16), t(l, -6, -8), t(l, -10,8)21. polinomio característico _,\3 + 9,\2 - 26,\ + 24, valores propios 2, 3, 4; vectores propios

t(28, -3, -18), t(14, -3, -10), t(28, -9, -24)22. polinomio característico __ ,\3 + 5,\2 -- 2A -- 8, valores propios -1,2,4; vectores propios

t(l, 3, -1), t(2, - 3, 1), t(2, -9, - 7)

23. polinomio característico - A3 + 2,\2 + 3'\, valores propios O, -1, 3; vectores propiost(4, 2, -5), t(l, 1, -1), t(l, -1, 1)

24. polinomio característico (A - 1)3, valores propios 1; vectores propios 1(5, 8, 20)25. polinomio característico _,\3 - 3,\2 +,\ + 3, valores propios 1, -1, -3; vectores propios

t(7, 0, -1), t(7, 4, - 3), t(21, 24, - 23)26. polinomio característico _,\3 + 6,\2 - IIA + 6, valores propios 1,2,3; vectores propios

t(7, 18,42), t(35, 60,126), t(7, 6,14)27. valor propio vectores propios t E IR, t =J °

1 t(3, 1,0, O)-1 t(I,I,O,O)

2 t(IO, -5, -9, -3)-1 t(2, 3, -1, 1)

37. p= U ~] ;

38. p=[2 ~3 ]-1

39. p= [7 ~] ;

40. p= [ ~2 ~ 1]

p~ [~1l n41. -2

-4 -5

P ~ [i 1 ;]42. 22 2

100S Respuestas

43.


1. q(x, y) = 3x2 + S/ + 4xy2. q(x,y)=x2+2i3. q(x, y) = 4xy4. q(x, y, z) = 2x2 + .si + SZ2 + 2xy + 8xz + 6yz5. q(x, y, z) = x2 + l + Z2 + 2xy + 2xz + 2yz6. q(x, y, z) = 3x2 + S/ + 9z2 + 6xz + 6yz7. q(x, y, z) = 7x2 - 5/ + 2z2 - 2xy - 6xz8. q(x¡, X2, X), X4) = 3xi + Sx~ + 7x~ + 8x~ + 4X¡X2 - 2X¡X4 + SX2X} - 4X2X4 - 14x)x4

9. A = [~ ~];

10. A = [~ 1~]

[1 1/2 1/2]

11. A= 1/2 1 1/2;.1/2 1/2 1

12. A = [~ ~ 1~2]O 1/2 O

13. A = [~ ~ !S ] ;2 -S O

14. A ~ [1~2 Ir ~ 1~2]

15 A- [o~ o~ 1/2_12-~/2]

. - -1/2 O 3 OO -1/2 O 4

16. Ll, = 2, Ll2 = 5; la matriz es definida positiva17. Ll¡ = 3, Ll2 = 6; la matriz es definida positiva18. Ll ¡ = -1, Ll2 = -10; la matriz es indefinida19. Ll¡ = -3, Ll2 = 7; la matriz es definida negativa20. Ll] = 2, Ll2 = 8, Ll3 = 66; definida positiva21. Ll¡ = -2, Ll2 = 12, Ll) = -216; definida negativa22. Ll¡ = 2, Ll2 = 16, Ll) = -1; indefinida23. Ll¡ = -2, Ll2 = 4, Ll) = -8; definida negativa24. Ll¡ = 2, Ll2 = 1, Ll) = 8; definida positiva25. Ll¡ = 3, Ll2 = 6, Ll) = 12; definida positiva

Respuestas 1009

26. ~I = -5, ~2 = 3, ~3 = 256/5; indefinida27. ~I = -1, ~2 = -5, ~3 = -10; indefinida28. ~I = -3, ~2 = 8, ~3 = 4/3; indefinida29. ~ I = - 2, ~2 = 12, ~3 =-40; definida negativa30. ~I = -1, ~2 = 4, ~3 = -32; definida negativa31. ~I = 4, ~2 = 1, ~3 = 36; definida positiva32. ~I = 3, ~2 = -9, ~3 = -18; indefinida33. ~I = -1, ~2 = 9, ~3 = 72; indefinida34. ~I = -3, ~2 = -10, ~3 = -6; indefinida35. ~I = -3, ~2 = 36, ~3 = -33; definida negativa36. ~I = -3, ~2 = 320, ~3 = -2533; definida negativa37. ~I = 1, ~2 = 1, ~3 = 4; definida positiva38. ~I = 4, ~2 = --5, ~3 = 1; indefinida39. ~ I = -1, ~2 = 27, ~) = -53; definida negativa40. ~I = 8, ~2 = 128, ~3 = -578/9; indefinida41. ~I = -3, ~2 = 3, ~3 = 174; indefinida42. ~ I = -4, ~2 = 48, ~3 = -12; definida negativa43. ~ I = 1, ~2 = 4, ~3 = 1; definida positiva44. ~I = 1, ~2 = 1, ~3 = 5; definida positiva45. ~ I = -4, ~2 = 12, ~3 = -16; definida negativa46. ~I = -2, Li2 = -2, ~3 = -2; indefinida47. ~I = -5, ~2 = 16,.:i3 = -27; definida negativa48. ~ I = 4. ~2 = 24, ~3 = 168; definida positiva49. ~I = -2, ~2 = 5, ~3 = -12; definida negativa50. ~ I = - 2, ~2 = 16, .:i) = -14; definida negativa51. valores propios 5,10, definida positiva; 5(4x/5 - 3y/5)2 + 10(3x/5 + 4y/5)252. valores propios 5, 25, definida positiva; 5(4.x/5 - 3y/5)2 + 25(3x/5 + 4y/5)253. valores propios 13, 169, definida positiva; 13(-12x/13 + 5y/13i + 169(5x/13 + 12y/13)254. valores propios 13, 26, definida positiva; 13(- 12x/ 13 + 5y/13)2 + 26(5x /13 + 12y/13)255. valores propios 25, 125, definida positiva; 25(4x/5 - 3yj5)2 + 125(3x/5 + 4y/ 5)256. valores propios -5, -75, definida negativa; -5(4x/5 -- 3y/5)2 - 75(3x/5 + 4y/5)257. valores propios -13, -39, definida negativa; -13(-12x/ 13 +5y/13)2 -39(5x/ 13+ 12y/ 13)258. valores propios 1,4, definida positiva; (-12x/ 13 + 5y/13)2 + 4(5x/ 13 + 12y/13)259. valores propios 13, -13, indefinida; 13(-12x/13 + 5y/13)2 - 13(5x/13 + 12y/13)260. valores propios -50, -100, definida negativa; -50(4x/5 - 3y/5)2 - 100(3x/5 + 4y/5)261. valores propios 3, 6, 9, definida positiva

3(2x/3 - 2y/3 + Z/3)2 + 6(2x/3 + y/3 - 2z/3)2 + 9(x/3 + 2y/3 + 2z13i62. valores propios -9, -27, -18, definida negativa;

-9(2x/3 - 2y/3 + Z/3)2 - 27(2x/3 + y/3 - 2z/3)2 - 18(x/3 + 2y/3 + 2z/3)263. valores propios 7, 21, 49, definida positiva;

7(2x/7 - 3y/7 - 6z/7)2 + 21( -6x/7 + 2y/7 - 32/7)2 + 49(3x/7 + 6y/7 - 22/7)264. valores propios 7. 14, 21, definida positiva;

7(2x/7 - 3y/7 - 6z/7)2 + 14(-6x/7 + 2y/7 - 3z/7)2 + 21(3x/7 + 6y/7 - 22/7)265. valores propios 5,10,15. definida positiva; 5z2 + 10(4x/5 - 3y/5)2 + 15(3x/5 + 4y/?)266. valores propios 9. 18, 81, definida positiva;

9( -x/9 - 4y/9 - 8z/9)2 + 18(4x/9 + 7v/9 - 4z/9)2 + 81 (-8x/9 + 4)'/9 - 2/9)267. valores propios 5,25,50, definida positiva: 5,2 + 25(4x/5 - 3Y/5)2 + 50(3x/5 + 4y/5)2

1010 Respuestas

68. valores propios 6, 9, 12, definida positiva;6(2x/3 - 2y/3 + Z/3)2 + 9(2x/3 + y/3 - 2z/3)2 + 12(x/3 + 2y/3 + 2z/3)2

69. valores propios 1, 2, 3, definida positiva;(2x/7 - 3y/7 - 6z/7)2 + 2(-6x/7 + 2y/7 - 3z/7)2 + 3(3x/7 + 61'/7 - 2z/7)2

70. valores propios -1, -7, -14, definida negativa;-(2x/7 - 3y/7 - 6z/7)2 -7(-6x/7 + 2y/7 - 3z/7)2 - 14(3x/7 + 6y/7 - 2z/7)2

71. valores propios -6, -12, -18 definida negativa;-6(2x/3 - 2y/3 + Z/3)2 - 12(2x/3 + y/3 - 2z/3)2 + 18(x/7 + 2y/7 + 2z/7)2

72. valores propios 9, O, 18, semidefinida positiva;9(2x/3 - 2y/3 + Z/3)2 + 18(x/3 + 2y/3 + 2z/3)2

73. valores propios -5, -15, -20 definida negativa; -5z2-15(4x/5 - 31'/5)2 - 20(3x/5 +4y/5)274. valores propios 13,26,39, definida positiva; 13(-3x/13 -- 4y/13 - 12z/13)2 +

26(12x/13 + 3y/13 - 4z/13)2 + 39(4x/13 -- 12y/13 + 3z/13)275. valores propios 5, 7, 9, definida positiva; 5(-3x/13- 4y/13 - 12z/13)2 +

7(12x/13 + 3y/13 - 4z/13)2 + 9(4x/13 - 12y/13 - 3z/13)276. valores propios 15, 9, 30, definida positiva;

15(-2x/15 - y/3 - 14z/15)2+9(2x/3 + 2y/3 - Z/3)2+ 30(--llx/15 + 10y/15 -- 2<:/15)277. valores propios 27, 81, 162, definida positiva;

27(-x/9 - 4y/9 - 8z/9)2 + 81 (4x/9 + 7y/9 - 4z/9)2 + 162(-8x/9 + 41'/9 - z /9)278. valores propios 1, 2, 9, definida positiva;

(-x/9 - 4y/9 - 8z/9)2 + 2(4x/9 + 7y/9 - 4z/9)2 + 9( -8x/9 + 41'/9 - Z/9)279. valores propios 1,2,3, definida positiva; Z2 + 2(4x/5 - 3y/5)2 + 3(3x/5 + 4./5)280. valores propios 9, ! 8, -81, indefinida;

9(-x/9 - 4y/9-- 8z/9)2 + 18(4x/9 +7y/9 - 4z/9)2 + 81 (-8x/9 + 4y/9 - z/9)281. valores propios O, 13, 39, semidefinida positiva;

13(12x/13 + 3y/13 - 4z/13)2 + 39(4x/13 -- 12y/13 + 3z/13)282. valores propios -13, -39, --169, definida negativa;--13( -3x/13 - 4)'/13- 12z/ 13)2 -

39(12x/13 + 3y/13 - 4z/13)2 - 169(4x/13 - 12y/13 + 3z/13)283. valores propios 81, 162, O, semidefinida positiva;

81(-x/9 - 4y/9 - 8z/9)2 + 162(4x/9 + 7y/9 - 4z/9)284. valores propios -5, -15, 30, indefinida;

-5( -2x/15 - y/3 - 14z/15)2- 15(2x/3 + 2y/3 - Z/3)2 +30(-llx/ 15 + 1OY/ 15 - 2z/ 15)285. valores propios 7, 21, -49, indefinida;

7(2x/7 - 3y/7 - 6z/7)2 + 21 (-6x/7 + 2 y/7 - 3z/7)2 - 49(3x/7 + 6y/7 - 2z/7)2



1. f(l, O) = feO, 1) = 1, f(!, 1) = 2. f(x, y) = °sólo para (x, y) = (O, O) f(x, y) = 1 para lospuntos del círculo unitario x2 + l = l.

2. f(2, 3) = 5, f(x, 1) = x+ 1, j(l,y) = 1+ y, f(x- I, y-I) = .~ +!. f(x, k - x) = k. f

x y

3.

4.

manda alOa los puntos de la recta y = --.x1

f(2, 5) = 29/2, f{,r, y) = 2(x2 + /)

¡ '( ) x2(y+ 1)

x, y = y _ 1 Dominio = {(x, y)ly -1- I}

Respuestas 101 I

5. feO, O, O) = 1, f(±l, ±I, ±I) = e-3, f({x2 + l + Z2}) = e-l. Los valores de f(x, y, z)

tienden a Ocuando [[(x, y, z)[1 tiende a infinito6. a. {(x, y)lx > /}; b. {(x, y)[x = l}; c. {(x, y)lx < l}7. Dominio = R2

, rango = {O}8. Dominio = {(x, y)ly > -x - I}, rango = {-1, O, I}9. {(x, y)ly ?: -x}. Los puntos del plano xy que están por encima o coinciden con la recta

y = -x.10. {(x, y)[y > -x}. Los puntos del plano xy que están por encima de la recta y = -x

11. ,{(x, y)lx ?: o. y?: O}. Los puntos del plano xy que están en el primer cuadrante, incluyendolos ejes.

12. {(x, y)lx > O, y > O} Los puntos del plano xy que están en el primer cuadrante sin incluírlos ejes ..

13. {(x, y)[x :::; O, y:::; O} U {(x, y)lx ?: O, Y ?: O}. Los puntos del plano en el primer y tercercuadrantes incluyendo los ejes.

14. {(x, y)lx ?: O, Y ?: O} (ver ejercicio 11 )..15. {(x, y)ly ?: O, x ?: -.¡y} Los puntos del plano xy en el primer cuadrante junto con los

puntos que están por encima de la semiparábola x = -.¡y, incluyendo la frontera.16. {(x, y)lx2 + l < l}. Los puntos del plano xy que están dentro del círculo unitario, sin

incluir la frontera.17. ]R2

18. {(x, y)lx =1= O, Y =1= O} Todo el plano xy, excepto el origen ..19. {(x, )')Iy ?: -x} (Ver ejercicio 9)20. {(x, y)!y > O, x > -y} U {(x, y)ly < O, -y - 1 < x < -yr Los puntos del plano xy que

están por encima de la recta y =-x en el segundo cuadrante, junto con los puntos que estánentre las rectas y = -x, y = --x - 1en el tercero y cuarto cuadrantes, sin incluir las fronteras ..

21. ]R2

22. {(x, y)1 - 1 - x :::; y :::; 1 - x}. Los puntos del plano xy que están entre las rectasy = -x - 1, y = -x + 1, incluyéndolas.

23. {(x, y)1 - 1 - x 2 :::; Y :::; 1 - x 2} .. Los puntos del plano xy que están entre las parábolas

y = -1 - x2, y = 1 - x2

, incluyéndolas24. ]R2.

25. {(x, )')Iy ?: -2x}. Los puntos del plano xy que están por encima de la recta y = -2x,incluyéndola.

26. ]R2.

27. {(x, )')12k :::; x2 + / :::; 2k + 1, k = O, 1,2, l Los puntos del plano xy que están en losanillos circulares limitados por los círculos con centro en el origen de radios 2k (por adentro)y 2k + 1 (por afuera).

2k + 1 2k + 3 . 2k + 128. {(x, y)[y ?: O, -2-7T :::; x:::; -2-7T, k Impar} U {(x, y)ly :::; O, -2-7T :::;x :::;

2k + 3-2- 7T, k par }.

29. ]R3;

30. {(x, y, z)lx ?: O, Y ?: O, z ?: O}31. {(x,y,z)[z > l};32. ]R4.

33. {(X¡,X2' X3, x4)lx¡ + X2 + X3 + X4 > O}34. No.

1012 Respuestas

35. Sí.36. No.37. No38. Sí.39. Sí.40. Sí

41. (f + g)(x, y) = x2+l + 1, re; (jg)(x, y) = x2 + l + 1, R2; (~) (x, y) = x2 + l + 1, R2

.

. 2 2 2 2 (f) x + y42. (j + g)(x, y) = 2x, IR ; (fg)(x, y) = x - y , R; - (x, y) = --, {(x, y)[x =f: y}g .x - y

43. (f + g)(x, y) = JI + x + y + vx + -/y, {(x, y)[x 2': O, Y2': O};(jg)(x, y) = JI + x + y(vx + JY), {(x, y)[x 2': 0, y 2': O};

(f) ,j1+x+y- (x, y) =. Iv--.-' {(x, y)[x 2': 0, y 2': °(O, O)}.g yx+ VY

44. (f + g)(x, y, z) = sen(x + y + z) + 2cos(x + y + z), R3;

(/g)(x, y) = sen(2x + 2y + 2z), R3;

(1) 1 2k + Ig (x, y) = "2 tan (x + y + z), {(x, y, z)lx + y + z =f: -2-'ir, k E Z}

45. {e}46. No.47. Sí.


1. a. Dominio = U. Gráfica de g igual a gráfica de f, movida k unidades en el eje z; b. Dominio= {(x, y)i(x - Xo, y - Yo) E U}. Gráfica de g igual a gráfica de f, movida Xo unidades en eleje x y Yo unidades en el eje y; c. Dominio = {(x, y)[(-x, - y) E U} Gráfica de g igual agráfica de f, puesta simétricamente respecto del origen; d. Dominio = U. Gráfica de g es lareflexión de la gráfica de f en el plano xy

2. a. V = (3, -2, -1), P = (0,0,3); b. V = (-1, 1, -1), P = (0,0, -1); c. V = (1,0, -1),P = (O, O, O); d. V = (O, 1, -1), P = (O, O, O); e. V = (1,0, -1), P = (O, O, 7);f. V = (O, 0, -1), P = (O, O, 2)

fx si x < I

3. a. f(x) = x; b. f(x) = (x - 2)2; C. f(x) = I si I ::; x ::; 3x _. 2 si x> 3

d. f(x) = [x] - x + 1; e. f(x) = 1.4. Verdadero5. a. I(x, y) = x2 + l, e = O; b. I(x, y) = sgn(vx-/y), e = 1; c. I(x, y) = k, e = k ..6. Son líneas rectas paralelas al plano xy.

7. Son elipses con ecuación ax2 +bl = e.8. mín(-I, 1) = -1, mín(3, 'ir) = 3, mín(3, e) = e.9. máx(2 1/ 2, 23/ 2) = 23/ 2 , máx(r l / 2, r 3/

2) = r l/ 2 , z = mín(x, y).

10. a.lx[ = e, si Iyl 2': Ix[; Iyl = e, si [yl < Ixlb. Ixl = e, si Iy[ ::; Ixl; [yl = e, si Iyl > IxlC. x2 = c, si y 2': x2 ; y = e, si y < xl.

11. a. f(x, y) = sen x - y + 1; b. f(x, y) = Jx6 + In8 x - y - 7; c. f(x, y) = lx + x3y + 121;

f(x, y) = sgn (2 22 1 - 1) - 1x + y +

Respuestas 1013

12. f(x, y) = 4>(x) - y + e; U = 1 x R16. Y = Ixl- e17. Iyl =x-c18. y = x - e, e ~ °

c2

19. y = -, e ~ °xx

20. y = -

21. (x : ~)' + y' ~ G)'22. (y- ~y +x2

= (~y.e

23. y=--sgnx

24. y=senc-x,cE [--i.iJ25. a. f(x. y, z) = x2 + l + Z2, e = O; b. f(x, y, z) = (x _. y)2 + (x - d, e = O;c. f(x. y. z) = sgn(,¡x"(y,¡z), e = 1.26. Planos paralelos, con vector normal (a, b. e).27. a. f(x. y. z) = x 2 +l- z + 1; b. f(x. y. z) = ln2(sen4(x + i) + 7) -- 7 - z;

c. f(x. y. z) = xz3 + X2

y SZ2 - 23yz + 254; d. f(x. y, z) = sgn (2 22 2 1 - 1) - 1.

. x+y+z+28. f(x. y, z) = 4>(x. y) - z + e, Dominio = U x ]R ~ ]R331. e = 0, es el cono Z2 = x2 + l; e =f. 0, son hiperboloides de una hoja32. e = 0, es el cono l = x2 + Z2; e =f. 0, son hiperboloides de una hoja.33. e = 0, es el cono x2 = l + Z2; e =f. O. son hiperboloides de dos hojas ..34. e = O. es el origen; e > 0, son elipsoides ..35. e = 0, es el eje z menos el origen; e =f. Oson paraboloides.


1. a. {x E ]Rllx - 31 < O.5}; b. {(x, y) E ]R211I(x. y) - (2, -3)11 < l};c. {(x, y, Z) E ]R3111(x, y,z) - (1,1,4)11 < 2};d. {(XI. X2, X3. X4. XS) E ]RSIII(xI, x2. x3. X4, XS) - (2, -1. 9, 3, 5)11 < l}5. Verdadero.10. Abierto11. Abierto.12. Abierto.13. Cenado.14. Abierto ..15. Cenado16. Abierto y cerrado (es el conjunto vacío).17. Abierto.18. Cenado19. Abierto.20. Ni abierto ni cerrado21. Abierto.22. Cerrado

1014 Respuestas

23. Abierto y cerrado (es todo el espacio L~2)

24. Abierto.25. Abierto26. Abierto27. Abierto28. Abierto29. Cerrado.30. Cerrado.31. o::; 0.02532. o::; 0.01333333. o::; 0.028571435. a.iR.2-{(O,O)} ..36. a.IR2 -{(0,0)},37. a. IR2 - {(O, O)}38. a. IR2

-- {(O, O)}39. lím f(x, O) = 1 -=/= -1 = lím feO, y).

x-o· ~~

40. lím l(x, O) =°-=/= 1/2 = lím l(x, x)x-o x-o

41. lím l(x, O) = °-=/= 1/2 = lím f(l,y)x-o ,-o

42. lím l(x, O) = °-=/= 2/7 = lím f (x, x) ..x-o x-o

43. lím l(x, O) = °-=/= 1/2 = lím l(x4, x6

),-o x-o44. lím l(x, O) = 0-=/= 1/2 = lím f(x, x4

),-o x-o

45. lím f(x, O) = O -=/= 4 = lím f(x 3, x9

)x-o x-o

46. lím f(x, O) = O -=/= 1/2 = lím f(i, y)x-o ,-o

48. Dominio = {(x, y, z)ix + y -- z -=/= O}; lím l(x, 0, O) = 1, lím 1(0,0, z) = -1,-o ~-o

49. Dominio = {(x, y, z)llxl -=/= Iyl}; lím f(x, 0, O) = 2, lím feO, y, O) = -l.x-o ,-o

50. Dominio = {(x, y, z)lx3 + y3 + Z3 -=/= O}; lím l(x, 0, O) = 0, lím f(x, x, x) = 1/3x-o x-o

51. Dominio = {(x, y, z)lx2 + Z2 -=/= O}; lím f(x, 0, O) = O, lím f(x, x, x) = 1/2x-o x--o

54. 5/255. 656. 3/257. 2

58. °59. 660. -4/761. 263. Continua en IR2

64. Continua en IR2- {(O, O)}

65. Continua en {(x, y)ly -=/= ±x}66. Continua en IR2

67. Continua en IR2

68. Continua en {ex, y)1 sen y -=/= O}

Respuestas 1015

3.

1.

2.

5.

4.

69. Continua en R2

70. Continua en R2- {(O, O)}

71. Continua en R2 - {(O, O)}72. Continua en R2

73. No.74. feO, O) =°75. No.76. feO, O) = °77. No.

Capítulo 2, Sección 4 (página 152)a_ x4 )'5 = 4x3 y5.

axa 2 o 2 o o 2

- (3 y sen x- + tan x) = 6xy- cos x- + 2 tan x sec xax .

a(y x) 2_. In-+3In- =--.ay x y y

a ~.- JYSenz-vxysenz =ax' 2y'x

a (xv + Z2 ) 1/3- -'-- + Z cos5 Z4az zy

I (x y + Z2 .) -·2/3 (7 2- xy \

-3 - .. - + Z cos5Z4 -'"-0-.- + cos5

Z4 - 2024 cos4Z~ sen z~ ).

. Zy Z-} /

6. ~é<):)2 = 2xiz2e(,):)2

axa7. --(v sen xz) = xv cos xz..az J •

8. af = 3(4x2/- 3x2 + Sl)2(8xl- 6x); ~:L = 3(4x2l- 3x2 + Sy3)2(16x2l + 24/)ax ayaf y x af 1 x 2

9. ¡¡;; = - x(x2 _ y2)1/2 - y(x2 _ y2)1/2 ; ay = (x2 _ )2)1/2 + y2(x2_ y2)1/2"

af 2y(x - 1). af 2x(y - 1)10. ax (x - y)2 ' ay (x - y)2 .

a f x 2y + x 2y' + x2 - y' a f y'x + x2y2 - x2 + y'11. ax = x 2 )' ; ay = y2 x

af· af12. - = yx)-1 + y< Iny; - = XV Inx + xyx-I.ax ayaf .. af

13. -a. = xX(lnx + 1) + yx,-l y ' + x) y< In y; -a = y\(In y + 1) + X\xy'-1 + y'x\ In xx y

14. af = [ln(2X + 3y) + 2x ] (2x + 3y)' + 2y(2x + 3y)Y-l;ax 2x + 3y

af = 3x(2x + 3y)'-1 + [ln(2X + 3y) + 2 3y 3 ] (2x + 3y)\ay x+ y

af y/x) Iny, [ 1]15. -a' = + Xl yX In y Inx + - + (x\)'(y')'(In XV + y In y + y);x x .x

af '. [ 1] xxv' yX In x- = y' Xl Inylnx+ - + . + (x\)'(y')'(1ny' +xlnx+x)ay . )' y

1016 Respuestas

4y

(x2 + y2 + 1) ln\x2 + y2 + 1)

z(x2(y + z) + x(y2 + Z2) + yz(y + z))'

af

ayaf

az

ai 4x .af16. ax (x2 + y2 + 1) In3(x2 + y2 + 1)' ay

17. af = (2ytIn(2y); af = x(2yY +2Y ln2ux ay yaf y af x

18. -=Iny--;-=--Inx.ax x ay yaf x .af y

19. ax Jl-x2-y2Jx2+y2'ay Jl-x2 - y2Jx2 +y2'af y(3 cos x + 2)(3 sen x + 2x)Y ,a f In(3 sen x + 2x)(3 sen x + 2x)Y

20. ax (3 sen x + 2x)2y+1 + 3 sen x + 2x' ay (3 senx + 2x)2Y + 1ai 2x ai 2y

21. ax = Jx2+y2(x2+y2-1); ay = /x2+y2(x2+y2_1)

ai 2x ai 2y .22. ax /x2 + y2 + Z2(x2 + y2 + Z2 _ 1); ay Jx2 + y2 + Z2(X2 + y2 + Z2 - 1)'

af 2z

az Jx2 + y2 + Z2(x2 + y2-+ Z2 - 1)

23. af = yxy- 1 + zxz- l + l In y + ZX In z; af = xYInx + x/- l + Z/-I + zY In z;ax ay

af = XZ Inx +.l In y + xzx- 1 + YZY-laz

af 2yzxYZ24.- = ._- + 2zyrz In y + 2yzX} In z;

ax xaf 2xzyZ

= -- +2zxYZ Inx+2xzxY Inz;ay yaf 2xyzX}

- = _._- + 2yxYZ Inx+ 2xyxZ Iny,az z

25. af = 2x arctan JI + y + z; af = x2V1 + y + z + 2(2 + y + z);ax . ay 2(2+)'+z)(I+y+z)

af x2 y1T'y+z + 2(2 + y + z)

az 2(2 + y + z)(1 + y + z)

26. af = yztan2x+zcosy+ysenz+yz. af = ztanx-xzseny+xsenz;ax ayafaz = ytanx + xcosy + xycosz.

af27. ax = 2x2l Z4 tan4 z cos3 y sen x cos x + 2Xy'Z4 tan4 z cos3 y sen2 x;

~i = sen2 x(3x2lz4 tan4Z cos3 y - 3x2y'Z4 tan4 z sen ycos2y);

yafaz = cos3 y sen2 x(4x2lz4 tan3 z + 4x2 y3Z3 tan4 z + 4x2 y3 Z4 tan5 z).

af (y + z)(x2 -- yz) .28. ax = x3(y + z) + x2(y2 + Z2) + xyz(y + z)'

(l - xz)(x + z) .y(x2(y + z) + x(y2 + Z2) + yz(y + z)) ,

(Z2 - xy)(x + y)

Respuestas 1017

29. al = xy+z+uz'+.v+u (lnZ + y + z + 11);ax x

~~. = xY+z+uzx+v+u (In x + In z);

al _ y+z+u ..,+}'+u (1 x + y + 11)--x z· nz+---az z

al 1 al 1 Xi-l. al Xn -l30. -' = -; -. =.- - -2,1 =2, ... ,n -·1; -- = '--.-2'aXl X2 ax, Xi+l (Xi) aXn (x n )

a¡ a¡ al31. -(1,1,1) = -(1,1, 1) = -(1, 1, 1) = 2"

ax ay azal a¡· al

32.--(1, 1, 1) = -(1, 1, 1) = -(1,1, 1) = 2.ax ay azn al

33. :L -(1,1, .. ,1) = n.ax,i=1

38. a. 18; b. 12,al al

41. a. {(x, y)ly > x); b. {(x, y)ly < x}; c. La recta y = x; d.- = - g(x), - = g(y)"ax ayal al

42. a. {(x, y)llyl > Ixl}; b. {(x, y)llyl < Ixl}; c. Las rectas y = ±x; d. - = -g(x), - = g(y) .., 'ax ayal ai

43. - = yg(xy) - g(x); - = xg(xy)ax aya¡ DI

44. -- = g(x - y) - g(x + y); -=- = -g(.x + y) - g(x - y)ax dv

al ' jY al j'45. - = (x2 +/) [-yg(xy)] +2x g(t)dt; - = (x2 +1) [-xg(xy) + g(y)] +2y . g(t)dtax xy ay - 'Y

al . _ al·· ,_46. ax = - g(x')yx' 1 + g(y')/ In y; ay = - g(x')x' In x + g(y )xy' 1

a¡ (jY ) ai47. -- = -g . g(t)dt g(x); - = g(y),ax ., ay

48. ~~. = g (jY g(t)dt) g(x) + g (~' g(t)dt) g(x);

~~. = -g(jY g(t)dt)g(y) - g(i' g(t)dt)g(y)

49. al = g(x + y + z) - g(xyz)yz; ai = g(x + y + z) - g(xyz)xz;ax ayai = g(x + y + z) - g(xyz)xyaz

50. al = g(j. f .g(t)dl g(t)dt) [_g(x)g (jY g(t)dt) _ g(x + y + z)] - g(x +)1 + z);ax t+y+z ,

a~ = g(j 1.' g(t)dl g(t)dt) [g(y)g (jY g(t)dt) _ g(x + y + z)] - g(x + y + z);ay x+v+z .,

al =g(!L'g(lldlg(t)dt) [-g(x+y+z)] -g(x+y+z),az . x+y+z

al I al I51. - = g (x); - = 5h (y)

ax ély

1018 Respuestas

af I ( ) af I I 252. - = 2g (x) h(y) + g(x) ; - = 2g(x)h (y) + 2yh (y )ax ay

af h'(x) af l+h(x) ( ')53. ax = 1 + g2(y); ay = - (l + g2(y»2 2g(y)g (y)

af I I I af I I I54. - = g(h(y»h (x) + g(l')h (g(x»g (x); -;- = h(x)g (h(y»h (y) + h(g(x»g (y)ax dy

55. af = senh(g(y»g'(h(x»h'(x) - h(g(y»seng(h(x»g'(h(x»h'(x);ax

~~. = g(h(x» cos h(g(y»h'(g(y»g'(y) + cosg(h(x)W(g(y»g'(y)

af 2g(x)i(x) . af 4g3(x)g'(X) .

56. ax 1 + g2(x) + g4(y) + g6(Z)' ay 1 + g2(x) + g4(l') + g6(Z)'

af 6g5(z)g'(Z)

az 1+ g2(X) + g4(y) + g6(Z)af I I af I I57. -a. = g(z)g (g(x)g(y»g(y)g (x); a = g(z)g (g(x)g(y»g(x)g (y);

x yafaz = g(g(x)g(y»i(z).

af58. ax = gl(g(X)g(g(y)g(z»)g(g(y)g(Z»g'(X);

af I I Iay = g (g(x)g(g(y)g(z»)g (g(y)g(z»g(x)g(z)g (y);

af I I I-;-- = g (g(x)g(g(l')g(z»)g (g(y)g(z»g(x)g(y)g (z)dz

59. af = h(y)(g(x»h(y)-J g'(X)ax

~f = (g(x»h(})(In g(x»h'(y) + g(z)(h(y»g(zH h'(y)

af = h(y)g(z)(ln h(y»g'(Z)az

60. ~~. = (h(y»g(Z)(g(X»(h(y»g':}-J g\x);

af = (g(x»(h(}»"" (In g(x»g(z)(h(y»g(z)-I h' (y);ay

af = (g(x»(h(y)~'" (In(g(x»h(Y»l (z)az

61. a/ = (h(g(y»)g(h(Z»(g(h(x»)(h(g(y»)"he'))-1 g'(h(x»h'(x);ax

af = (g(h(x»)(h(g(y)))8'Irl'" (In g(h (x»)g(h(z»(h(g(y»)g(h(:»)- J h' (g(y»g' (y);ay

~L = (g(h(x)))(h(g(y)))gehf,)) (In(g(h(x»)h(g(Y»)g' (h (z»h ' (z)az

aF I aF I73. -- = yg (xy); - = xg (Xl')

ax ayaF I 2 ·2 aF I 2 ry74. - = 6xg (3x + 7y ); - = 14yg (3x + 7y-)ax ayaF éJF I

75. -;- = -. = 2g(x + y)g (x + y)rJ.x ay

Respuestas 1019

aF , ? '2 aF , 2 '276. ax = g (x + y-) + 2xg (x + y); ay = 2yg (x + y ) + g (x + y)

77. ~~ = 9x2g(3x3l)g'(3x3 + y4) + 9x2lg(3x3 + l)g'(3x3l);

~F = 4/g(3x3/)g'(3x3 + l) + 12x3lg(3x3+ y4)g'(3x3 y4)y

aF 4ag\ax + by + e) aF 4bg3(ax + by + e)

78. ax = 4+g4(ax+by+c); ay = 4+g4(ax+by+c)aF (cos g(x cos y + y senx))g'(x cos y + y senx)(cos y + y cos x)

79. = ----"------'----=-------'----'-----:~--'---

ax 1+(1+seng(xcosy+ysenx))2aF (cos g(x cos y + y sen x)g'(x cos y + y sen x)(-x sen y + sen x)

ay l+(l+seng(xcosy+ysenx))2

80. ~f = 7g6(g6(x5 + l)g\x2 + y»)g'(l(x5 + l)g\x2 + y))*

* [6xg6(x5 + l)g2(x2+ y)g'(x2 + y) + 30x4i(x5 + l)g'(x5 + l)g\x2+ y)];

~~ = 7l(l(x5 + l)g\x2 + y»g'(g6(x5 + l)g\x2 + y))*

* [3g6(x5 + /)g2(x2 + y)g'(x2 + y) + 24lg5(x5 + l)g'(x5 + l)g3(x2 + y)]


a .2 2xy + l (1 1)1. av (X) ) = ,,12·' v = vI2'v12

a IY\; = x - V3y v = (V3 ~)2. av("'X}) 4JXY' 2 '2 ..

3. ~(lnsen2(x4y» = 8x3ycot(x4 y).ax· .

4. aay(i cos3(xy)) = 2y cos\xy)- 3xi cos2(xy) sen(xy).

!... _, = 2yz + 2xz - xy v = (~ ~ __ ~)5. (xyJ 3 ' 3' 3' 3 ..av . ..

6. :v(X2yZ) = -V3x2

;-x2y

,v= (0,- ~,-~)af 1

7. dv J2al 1

8. a; = -V'i9. ~l.(0, O) = O.

avaf ?

10. a; = y- + 2xy.

af11. - = O.

av

12. af = sen y3 cos(x5 + tan y3)av· .af yz- 2xz-2xy

13.av 3af yzu - 2xzu - 2xyu

14.av 3

17.

16.

15.

a b c d e f g ha V V V V V V V F

--b F V F V F F F Fc F F V V F F F Fd F F F V F F F Fe F V V V V F F Ff F V V V F V F Fg F V V V V V V Fh V V V V V V V V

-

1020 Respuestas

aj~ =alCl'¡ +a2Cl'2+",+anCl'n

aj(p) = lím f(p + tv) - f(p) = lím f(p + tu/llull) - f(p) = s=~1I =av t~O t t~O t,f(p+su)-f(p) 1 af

lIm = --(p)s~O Ilulls Ilull auaj 22au - /38"


1. r(h ¡, h2) = O,2. r(h], h2) = O,3. r(h], h2) = O.4. r(h¡,h2)=05. r(h¡, h2) = 3hf + 9h~.

6. r(h¡, h2) = 4(3h~ + h~ + 6h¡h2+ 6h¡h~ + 2h]h~ + hf + 3hfh2 + 3hfh~ + hfh~)7. r(h¡. h2) = h] senh28. r(h], h2, h3) = 3hf + h¡ + 3h~ + h~9. r(h 1, h2, h3) = h ¡ ((h2 + 1)2(h3 + 1)3 - 1) + 2(h~(JJ3 + 1)3 + 2h 2((h3 + 1)3 - 1) + h~ + 3h~)

10. r(h], h2, h3) = exp(h¡ + h2 + h3) - h¡ - h2 - h3 - 1.16. Dominio = IR2

, diferenciable17. Dominio = IR2

, diferenciable"18. Dominio = IR2 , diferenciable,19. Dominio = IR2

, diferenciable20. Dominio = IR2 , diferenciable,27.

Capítulo 2, Sección 7 (página 191)af 1

2. -(xo, YO) = ' ,r;-;;(2a + 3b).au y 13

3. af (O, O) = O,au

4. ajeo, O) = o.au

5. afeo, O) = O,au

6. af (1, 71") = - ~.au y 13af

7. -(1,1,1)=0au

Respuestas 1021

af8. -(1,2, O) = O.au

af9. au (xo, Yo, zo) = Ja2 + b2 + e2

af10. _.(1,1, 1) = viau

2S 25 5 2511. a. - /13; b. - J2; c. J2; d. J2'12. 2)3,

14. En la dirección de v = ( ± ~,:¡: ~); En la dirección tangente al círculo unitario

29. a. Son elipses ..


10.

1.

2.

7.8.9.

3.

4.5.

6.

a. (6 - sen 1, 3 - sen 1); b. (4, 41n 2); c. (0,1); d. (1/2, -1/2,1)..20 6

a. fJ = arceas y'48T; b. fJ = arceas "7 ..196

a. fJ = 7T/2; b. fJ = arceas ~.y 161504

-6u + (10, -10) ..5u + (5, O).

27T u + (97T _67T)13 13' 13

Ou + (O, O)u + (0,0, O).

Ou + (2, 2, 2).

6 (2 4 24)19u + 19'19' --19

11. a. 4; b. O.12. a. En la dirección del vector (a, b), en donde 3a + 4b = 2.. b. En la dirección del vector (a, b),

en donde 3a +4b = O.


1. (0,0,1)2. (0,0, 1)3. (-1,0,1)4. (-1, 0, 1)5. (-Yo,-xo, 1)6. (-1, -1,1)7. (O,-e, 1)8. (-8,-IS,1)9. (- 1, -1, 2)10. (-1,0,1)11. (1,1,1)12. (1, 1, 1)13. (3,4, -S) en ambos puntos14. O, 1, 1)15. 0,3,2)20. (0,0, O)

26.

1022 Respuestas

21. en cualquier punto de la gráfica de z = f (x. y)

22. no existe punto alguno23. (8/31, -1/93, 35/279)24. no existe punto alguno25. en los puntos del conjunto {(x. y, f(x, v»ix2 + l = e7í2

• k =1= O}2 .¡;0O, 1, 1)

y3

27. (-k, 3k/4, k) en donde k = ±fK28. no existe punto alguno;29. (2,2.-·I)y(-2,0, 1/5)30. en los puntos (1 ± 5,,(2/6. 2 ± 2,,(2/3, -1 ± 7,,(2/6)


1. z = 3x + 8y - 10

2. z = O3. z = x + (21n 2)(y - 1)

4. z = y5. z = O9. -2x - 2y + 5z = 110. x = O11. x + 2y + 5z = 2012. 3x + 8y - 5z = 73/2014. z = -3. z = 5/316. Y + z = 117. 56x-112z+3=018. -4x + 2y - z = 119. x + y - z = ±V345/1521. l3x + l4y - 25z = -48 ± 3VlT622. 13x + 14y - 25z = 66 ± 18J3

Planos tangentes Planos tangentes Planos tangentesEjercicio paralelos al plano paralelos al plano paralelos al plano

x = Oen los puntos y = Oen los puntos 2 = Oen los puntos--------

23 (±v12, O, O) (O, ±J12/5, O) (O, 0, ± yI6f5)

24 (2 ± v12, 3, -1) (2,3 ± Vi275, -1) (2, 3, -1 ± J6f5)

25(-1,1,1)

(-2,1 ± J3/3, 1)(-2,1,0)

(-3,1,1) (-2,1,2)

(1±~3, (l ± 2v35/2l, (1 ± 2-138/57,26 2±5 ~9, 2 ± V35/3, 2±7~57,

-1 ± 2 26/39) -1 ± 2v35/15) -l± 38/3)

27. (±4V222/37, =f3V222/37, ±V222/37)28. 3x + 2y + 22 = ±34V30/l529. z = O, 2x + 2 y - 2z = 1

30.

31.

Respuestas 1023

3125v2/9 unidades cúbicas

(a2 b2 e2 )En los 8 puntos ± ,± ,±-¡=o:;==::::=;;,==.:<

Ja2 + b2 + e2 Ja2 + b2 + e2 Ja2 + b2 + e2

35. En el punto (2, -6,3). El otro plano tangente es 2x - 6y + 3z + 49 = O36. x + 4y + 5z = -64 ± 14V6637. 3x + 71' + 6z = 59, 3x + 7y + 6::: = -3538. 3x + 4y + 5;: = O, 3x + 41' + 5z = 10039. 3x2+ 3/ + 3;:2 + 2x - 41' - 4~ - 13 = O40. ax + by + ez = axo + byo + ezo ± nj'a:-2 -+-b-=-2-+-e2

41. a. y = O, Y = 4z/3. b. x = O, .X = 4z/3. c. x = O, Y = O


1. df(x) = 6x sen2 x2cos x2dx2. df(x, y) = tan ydx + x sec2 ydy3. df(x, y, z) = adx + bdy + ed:::

dz du4. df(x, y,;:, u) = cosxdx - senydy+~. .~

vI - Z2 vI - u-5. df(x, y, z, u, w) = (yz+zw)dx+(xz+uw)dy+(xy+xw+uw)dz+(yw+zw)du+(yu +zu)dw8. a¡h¡

) )

15. xii + Y6

Capítulo 2, Secci6n 12 (página 235)

~f ~I ~I1. ax2 = -y sen x, axay = cos x + cos y, ay2 = -x sen y

a2I a2I a2!2. -" = x y- 2(l- y), ._- = xy-1(ylnx + 1), - = xY ln2 xax2 .. axay ay2

a2I -2xy3 a2! 1 - x2i a2I -2x3 y3. ax2 = (1 +~y2)2' axay = (l + x2 y2)2' ay2 = (l + x2 y2)2

a2f a2! a2f 14. ax2 = axay = ay2 = - (x + y)2

~I ~I ~I5. ax2 = ay2 = - sen y sen x, axay = cos y cos x

6. Todas las parciales de segundo orden son iguales a cero

a2F _ {I('(X;) si j = i7. a. ax¡aXj - O si j =/- i

b. a2F . = { 2Uj(x;)!:' (x;) + Uf (X¡»2) s~ .~ = ~

ax¡aXj O SlJ=/-Z

a2F _ {¡¡/-l(X;)f:'(X;) + i(í-1)f/-2(x¡)U(X¡»2 si j = ic. ax¡aXj - O si j =J i

a2F" n a2 F ., ., l1n ,d. iJi" = f¡ (x¡) l1fk(Xk), ax.ax. = f;(x¡)f/xj)fk(xk)

XI 1~1 I } k~1k~ k#,j

2F n

e.~ = 2Ui(x¡)!/'(x¡) + U(X¡»2) TI fl(xk),ax¡ 1~1

t""í

1024 Respuestas

2F "al" ) TI f2-,- = 4f¡(Xi)fi (xi)/j(xj)f/Xj k (Xk)

aX,aXj k~lk=/ij

f. a2~ = (i f/- I

(Xi) f;" (x¡) + t(i - l)f/-2(x,)(f/ (xi)h f:r f{(Xk);

aXi k~lk;fi

2F "a _ "fi-I( )fl-I( )fl( )fl( ) TI fk( )-,- - II i Xi, j Xj" Xi j Xj , k Xk

aX,aXj k~lk::;li.)

a2F 1/, a2F 1/, a2F 1/

18. ax2 = 4g (2x + 3y), axay = 6g (2x + 3y), ay2 = 9g (2x + 3y)

a2

F 2 1/ ,a2

F 2 1/ ,a2F 3 1/19. ax2 = xy g (xy) + 2yg (xy), axay = x yg (xy) + 2xg (xy), a

y2 = x g (xy)

20. ~:~ = 4x2(X

2 + /)gl/(x2 + /) + 2(Sx2 + l)g'(x

2 + /) + 2g(x2 + /)

aa2

aF = 4xy(x2 + /)gl/(x2 + /) + 8xyg'(x2 + /)

x ya2 F-"2 = 4i(x

2 + /)g"(x2 + i) + 2(si + x2)g'(X2 + i) + 2g(x2 + i)

ay

21. a2

F2 = g' (g(x) + g(y»gl/ (x) + gl/ (g(x) + g(y»(g' (x»2ax

a2 F , , 1/

-aa = g (x)g (y)g (g(x) + g(y»x y

a2F, 1/ 1/) '2

ay

2 = g (g(x) + g(y»g (y) + g (g(x + g(y»(g (y»



1. a. g(u, v) = (u, v), b. F(u, v) = u2. a. g(u, v) = (u2v, uv), b. F(u, v) = sen(u2v) + sen(uv)3. a. g(u, v) = (u + v, u), b. F(u, v) = 3(u + v)2 + 8u 3

14. a. g(u, v) = (sen u, cos u), b. F(u, v) = 2(sen u + cos u)

5. a. g(u, v) = (u - v + 71/4, v - u), b. F(u, v) = 16. a. F(x, y) = a2x + b(a + l)y, b. F(x, y) = a(b + l)x + b2y,

c. F(x, y) = a2x + ab(x + y) + b2 y, d. F(x, y) = (a2 + b2)x + 2by;7. a. F(x, y) = x4 l, b. F(x, y) = x4 y, c. F(x, y) = x6 y3, d. F(x, y) = x 5l8. a. F(x, y) = sen(senx + sen y) + seny, b. F(x, y) = senx + sen(senx + seny),

c. F(x, y) = 2 sen(sen x + sen y), d. F(x, y) = 2 sen(sen x + seny)9. a. F(x, y) = In(l + 11 + In Ixll), b. F(x, y) = In(l + Ixl), c. F(x, y) = In(l + 11 + In ¡xii),

d. F(x, y) = In(l + 11 + In Ixli)10. a. F(x, y) = ar'ctan y, b. F(x, y) = arctan(arctan y), c. F(x, y) = arctan(arctan y),

d. F(x, y) = arctan(arctan x)

12. F(x¡, X2, '" x,,) = (XI, X2, ,,' . , x,,). Dominio: {(X], X2, . , X" )lxI X2' XI! =1- O} (todo elespacio IR" excepto los "planos coordenados"),

13. a. (f o g)(u, v) = 3u + 2v, b. (h o g)(u, v) = 3u + 4v, c. f o g o h no se puede

Respuestas 1025

14. a. (f o g)(u, v) = u3v3, b. (h o g)(u, v) = uv, c. f o g o h no se puede15. a. (f o g)(u, v) = 2(u2 + v2), b. h o g no se puede, c. (f ,o g o h)(t) = lOt2

16. a. f o g no se puede, b. h o g no se puede, c. f o g o h no se puede17. a. (f o g)(u) = 4u, b. h o g no se puede, c. (f o g o h)(t) = 4t2

18. (f o g)(u, v, w) = u2v2w2, b. (h o g)(u, v, w) = (u 2v2, u3w3, v4w4),c. (f o g o h)(r; s, t) = r4s6tS

19. (f o g)(u, v, w) = sen u, b. h o g no se puede, c. (f o g o h)(t) = sen t20. (f o g)(u, v, w) = 1, b. (h o g)(u, v, w) = (w2, uvw, u4vS ), c. (f o g o h)(r; s, t) = 121. (Las respuestas en este ejercicio no son únicas) a. f(x, y) = 3xy, g(u) = sen u

b. f(x, y) = x 3- sen y, g(u) = arctan2 u c. f(x, y) = 1 - x2 -l, g(u) = /U

d. f(x, y) = x - y, g(u) = lnu22. (Las respuestas en este ejercicio no son únicas) a. f(u, v) = sen u + cos v,

g(x, y) = (x + y, x - y) b. f(u, v) = arctan2 u + v, g(x, y) = (5x + l, 3x - 2y)c. f(u, v) = u3 + 4v4, g(x, y) = (3x - y, 2x + y) d. f(u, v) = In u + eV

, g(x, y) = (Ixyl, x)23. (Las respuestas en este ejercicio no son únicas) a. f(u, v, w) = u2 + v2 + w2,

g(x, y, z) = (x, y, z) b. f(u, v, w) = sen u +cos v+sen2 w, g(x, y, z) = (x+y, y - z, x+ y+z)c. f(u, v, w) = u2 + 5v4 - 10w, g(x, y, z) = (x + y + z, 3x - y, z)

d. f(u, v, w) = ln(l + u) + v, g(x, y, z) = (x2 + l + Z2, x + y + z, 1)24. f(x, y, z) = xyz, g¡ (t) = 12, g2(t) = t + 3, g3(t) = Vi, g4(t) = sen t, gs(t) = t4, g6(t) = 8t

g7(t) = t + 1, gs(t) = lnt, g9(t) = 12, glo(t) = t + 5, g¡¡(t) = Vi, gl2(t) = 5t, gl3(t) = t + 126. F(x, y) = (x, y)

27. F = f28. F(x, y, z) = (O, O, O)


aF 1 aF bl"1. F(x, y) = f(u), u = g(x, y) = ax + by, -;h(x, y) = al (u), ay (x, y) = (u)

aF l' aF 2 12. F(x, y) = xf(u), u = g(x, y) = xy, -;h(x, y) = xyf (u) + f(u), ay (x, y) = x f (u)

3. F(x, y) = x2 f(u) - yf(v), u = g¡ (x, y) = x sen y, v = .l?2(X, y) = 2xy,aF 21 2 1 aF 31 1 I-(x, y) = x sen yf (u) + 2xf(u) - 2y f (v), -(x, y) = x cos yf (u) - 2xy I (v) -, {v)ax ay

aF aj4. F(x, y) = f(u, v), u = g¡(x, y) = 2, v = g2(X, y) = xy, ax (x, y) = Ya;; (u, v),

aF af-(x, y) = x-(u, v)ay av

aF aj5. F(x, v) = f(u, v), u = g¡(x, y) = y, v = g2(X, y) = x, -(x, y) = -(u, v),. ,.. ox av

aF af-(x, y) = -(u, v)ay' au

6. F(x, Y) = f(x, y) + f(u, v), u = g¡(x, y) = l, v = g2(X, y) = x2,

aF af af aF af af-(x, y) = -(x, y) + 2x-(u, v), -(x, y) = -(x, y) + 2y-(u, v)ax ax av ay ay au

7. F(x. y) = f(u, v) + f(r; s), u = s = g¡(x, y) = x - y, v = r = g2(X, y) = x + yaF af af af af-(x, y) = -(u, v) + -(u, v) + -e,; s) + -e,; s),ax' au av ar asaF af af af af-(x, y) = --(u, v) + -(u, v) + -(r, s) - -e,; s),ay au av ar as

1026 Respuestas

8. F(x, y, z) = f(u, v), u = gl (x, y, z) = x + y, v = g2(X, y, z) = y - z,aF af aF af af aF af-(x, y, z) = -(u, v), -(x, y, z) = -(u, v) +-(u, v), -(x, y, z) = ---;-(u, v)ax au ay au av az av

9. F(x, y, z) = f(UI, U2, U3) + f(v¡, V2, v,J, U¡ = v, = gl(X, y, z) = x,U2 = V2 = g2(X, y, z) = xy, U3 = V¡ = g,(x, y, z) = .xyz,

aF af af ( af af )-(x, y, z) = -(UI, U2, u,) + -. (VI, V2, v,) + y -(UI, U2, u,) + -(VI, V2, v,) +ax au 1 av, aU2 aV2

yz (!L.. (UI, u2, U3) + !!.l(V¡, v2, V3»)aU3 aVI

aF (a f af ) ( af af )-. (x, y, z) = X -(U], U2, U3) + -(VI, V2, v,) + xz -(UI, U2, U3) + -(VI, v2, V3)ay aU2 aV2 al/3 av]

aF. (x, y, z) = xy (!L(l/l' l/2, U3) + !!.l (VI, V2, V3»)az au, aVI

10. F(x, y, z) = f(UI, U2, U3), UI = gl(X, y, z) = xlz3, U2 = g2(X, y, z) = x 3iz,U3 = g,(x, y, z) = x2 lz2

,

aF 2 3 af 2 2 af . J 2 af-(x, y, z) = y z -(U¡, l/2, U3) + 3x y Z-(UI, U2, U3) + 2xy-z -(Uj, U2, U3)uX aUI aU2 aU3aF 3 af 3 af 2 J al--(x, y, z) = 2xyz -(UI, U2, U3) + 2x yz-(u¡, U2, U3) + 2x yz--(u¡, l/2, U3)ay aUI aU2 al/3aF 2 2 af 3 2 af 2 J af-(x, y, z) = 3xy z --(u], U2, u,) + x y -(UI, l/2, u,) + 2x Y-Z-(UI, U2, U3)az . au¡ aU2 aU311. F(x, y, z) = f(ul, U2, u" U4), UI = gl(X, y, z) = x + 3y, U2 = g2(X, y, z) = 2y - 3z,

U3 = g3(X, y, z) = 2x + 7y - 6z, U4 = g4(X, y, z) = x - y- zaF af af af-(x, y, z) = -(u], U2, u" U4) + 2-(UI, U2, U3, U4) + -(UI, U2, U3, U4)uX aUI aU3 aU4aF af af af-(x, y, z) = 3-(u], U2, U3, U4) + 2--(UI, U2, u" U4) + 7-(u¡, U2, u" U4)-ay au I aU2 aU3af-(u], U2, U3, U4)aU4aF af af af-(x, y, z) = -3-(UI, U2, U3, U4) - 6-(UI, l/2, U3, U4) - -(UI, U2, u" U4)az aU2 aU3 - aU412. F(x, y, z) = f(UI, U2, U3), UI = gl (x, y, z) = 1 - x, U2 = g2(X, y, z) = 2 -- y,

U3 = g3(X, y, z) = 3 - z,aF af aF af-(x, y, z) = ---(UI, U2, U3), -(x, y, z) = --(UI, U2, U3),ax aUI ay aU2aF af-a (x, y, z) = --a(UI, U2, U3)

Z U313. F(x, y, z, u) = f(vj, V2, v" V4), Vj = gl(X, y, z, u) = -x, V2 = g2(X, y, z, u) = -y,

V3 = g3(X, y, z, u) = -z, V4 = g4(X, y, z, u) = -uaF af aF af-a(x, y, z, u) = --a(VI, V2, V3, V4), -a (x, y, z, u) = --a(VI, V2, V3, V4)

X VI Y V2aF af aF af-(x, y, z, u) = --(VI, V2, V3, V4), --(x, y, z, u) = --(VI, V2, V3, V4)az aV3 au aV4

14. F(x, y, z, u) = f(vI, V2, V3, V4), VI = gj(x, y, z, u) = senx,v2 = g2(X, y, z, u) = cos y,V3 = g,(x, y, Z, u) = tan Z, V4 = g4(X, y, z, u) = col u

aF af aF af-(x, y, Z, u) = COSX-(VI, V2, V3, V4), -(x, y, Z, u) = - sen y-(v¡, V2, v" V4)ax aVI ay aV2

Respuestas 1027

aF 2 af aF 2 af-(x, y, Z, u) = see z-(v¡, V2' v3, V4), ---(x, y, z, u) = - ese U-(VI, v2, V3, V4)az aV3 au aV4

15. F(x¡, X2, X3, X4) = f(v¡, V2, V3, V4, V5, V6), V¡ = X¡X2, V2 = X¡X3,

V3 = X¡X4, V4 = X2 X3, V5 = X2X4, V6 = X3X4aF af af ai-(X¡,X2, X3,X4) = X2-(V¡, ... , V6) + X3-(V¡, .... , V6) +X4-(V¡, ... , V6)ax¡ av¡ aV2 aV3aF af af af-(Xl, X2, X3, X4) = x¡-(v¡, '..... , V6) + X3-(V¡, .... , V6) + X4-(V¡, .. , V6)aX2 av¡ aV4 aV5aF af af . of-(Xl, X2, X3, X4) = X¡-(v¡, ... , V6) + X2-(V¡, ... , V6) + X4-(V¡, .... , V6)OX3 OV2 aV4 aV6oF . of of of--(XI, X2,X3,X4) = X¡--(V¡, .. .. , V6) + X2-(V¡, ..... , V6) +X3-(V¡"", V6)aX4 aV3 aV5 OV616. F(t) = f(u), u = g(t) = 8t2 + 13t - 1, F'(t) = (l6t + 13)f'(u)

17. F(t) = f(u, v), u = g, (t) = 3t + 2, v = g2(t) = St - 4, F'(t) = 3of (u, v) + S af (u, v)au av

18. F(t) = (t 3 + 2) f(u, v), u = g¡ (t) = 1, v = g2(t) = t, F ' (t) = (t 3 + 2) af (u, v) + 3t2 f(u, v)av19. F(t) = tf(u, v, w), u = v = W = g(t) = t,

I af ai o¡ .F (t) = t--(u, v, w) + -(u, v, w) + -(u, v, w) + j(u, v, w)

ou av ow20. F(t) = sen2 t3 eos f(u, v), u = g, (t) = sen t, v = g2(t) = eos t,

o¡ ofF'(t) = - sen2 t3 sen f(u, v) eos t--(u, v) - sen t-(u, v) + 3t2 sen(2t3) eos f(u, v) I

ou OV23. F'(O) = 424. grad(f o g)(O, O) = (9, -32)

25. gradF(l,1, .. ,1)= (~ai,~ai' .,an-1+an,an)

26. grad F(1, 1, .... ,1) = (~i, ~i,., 2n - 1, n)

28. 13//229. b(Sa¡ + 7al)

30. En la dirección del vector (22. 17)

31. ;: = 3x + 6,32. a. x - 2 \ + ;: = O

37. F(x, y) = f(u), 11 = g(x,)) = ax + b,a" F o" a2F" a2F 011-o(x,y)=a-f (lI),-,-(x,\)=abj (u),-;-:;-(x,\)=b-j (11)ax- dxay dY-

38. F(x, ,) = f(u, \).u = g¡(x, ,) = ax + b" 1= g,(x, \) = ex + d\,

a" F " 1 a2 f , a' f ..? a2 f-o(.\,,)=a ---:¡(u,\)-,-2ae-'-'-(1I,I)TC ---:-:;-(U,\)ax- al/- dl/d\ d\'

a" F a2f a2f a2f--(x, ,) = ab-o (u, \) + (ad + bc)--(u, v) + cd-o (u, 1)axa,'- au- aua\' a\-a2 F , a2f a2f o a2f _-.:-:;-(x, \) = b--o (u, v) + 2bd-,-(1I, \) + d- ~(u, \)d'- au- alld\' d\-

a2F a2f a2f a2f39. -.:-:;-(.\,,) = ,-o (x, x) + 2-,-(x, x) + -,-o (x, x)

rJX- ax' rJxa, d, ~

1028 Respuestas

aZF af af af a j-aa (x, y) = -a (x, x) + -a (x, x) + -a (y, y) + -a (y, y)

x y x y x yaZF aZf aZf aZj-a2 (x, y) = x-aZ(y, y) +2-

aa (y, y) + -az·(y, y)

y x x y Y

40. F(x, y) = (xz + l)f(u, v), u = g¡(x, y) = x, v = gz(x, y) = 2y,

aZF Z 2 aZf af .-2(x, y) = (x + y )-z(u, v) + 4x-(u, v) + 2f(u, v)ax au aua2F a2f af af--(x, y) = 2(x2 + i)--(u, v) + 2y-(u, v) + 4x-(u, v)axay auav· au av

a2F aZf af-2(x, y) = 4(x2 + l)-2 (u, v) + 8y-(u, v) + 2f(u, v)ay· av av41. F(x, y) = f(u, v, w), u = x, v = Xl', w = x + y

a2F. _ aZf aZf aZf ZaZf-2 (x, y) - -z(u, v, w) + 2y-(u, v, w) + 2--· (u, v, w) + y -z (u, v, w)ax au auav auaw av

aZf aZf+ 2y--(u, v, w) + -2 (u, v, w). avaw aw

a2 F a2 f aZf af ( aZf-. (x, y) = x-(u, v, w) + --(u, v, w) + -(u, v, w) + y x-z (u, v, w) +axay· auav auaw av av

a2j ) aZf a2 f--(u, v, w) + x--(u, v, w) + -z(u, v, w)

avaw avaw aw

aZF ? aZf aZf aZj~(x, y) = .:c-z (u, v, w) + 2x--(u, v, w) + -z(u, v, w)uy av avaw aw

aZF . aZf (a f )2/. /42. axz (x, y) = g(j(x, y)) axz (x, y) + ax (x, y) g (j(x, y)) - g (x)

aZF . aZf af af /.-(x, y) = g(j(x, y))-(x, y) + -(x, y)-(x, y)g (j(x, y))axay axay ax ay

a2F /. af-aZ (x, y) = g (f(x, Y))-a (x, y)

y Y43. Sean u = x + y, v = x - y

a2 F-Z (x, y)ax

aZf aZf a2 f af afg(f(u, v))-z (u, \1) + 2--(u, v) + -2 (u, v) + g/(f(u, v))-(u, v) + -(u, v)z -lg'(xy)

au auav av au ava2F . aZf aZf af af--(x, y) = g(f(u, v))-z (u, v)--z (u, v)+-(u, v)z_ -(u, v)zg'(f(u, v))-xyg/(xy)-g(xy)axay au av au av

a2 F~(x,y)

ya2 f aZf aZ f af a j

g(f(u, v))-z (u, v) - 2--(u, v) + -z(u, v) + g/(f(u, v))-(u, v) - -(u, v)z - xZg/(xy)au auav av au av

44. Sean u = senx, v = cos y, w = xy

¡p F ( aZf aZf-Z(x, y) = g'(x) - g(yf(u, v, w)) ycosZx-z (u, v, w) + 2l cosx--(u, v, w)ax au auaw

aZ

f ) ( af af ) Z+ y3_z (u, v, w) + y cos x- (u, V, w) + l- (u, v, w) g/ (y f(u, v, w))aw au aw

Respuestas 1029

a2F. [af (a2f--(x, y) = -g(yf(u, v, w)) eosx-(u, v, w) + yeosx - sen y--(u, v, w)

axay au . auav

a2

f ) ( a2f a

2f ) af ]+ x-aa (u, v, w) + i - sen y--(u, v, w) +x-2(u, v, w) + 2y-(u, v, w) +

u w avaw aw aw

(af 2 af ) l· [yeosx-(u, v, w) + y-(u, v, w) g (yJ(u, v, w)) f(u, v, w)au aw

(af af)]+ y -- sen y-(u, v, w) + x-(u, v, w)av aw

a2F (a f af afa

y2 (x, y) = -g(yf(u, v, w)) -2 sen y au (u, v, w) + 2x aw (u, v, w) - yeosy~(u, v, w) +

2 a2f a2 f 2 a2 f ) I (Y sen y-2(u, v, w) - 2xy sen y-- (u, v, w) + x Y-2 (u, v, w) - g (yf(u, v, w)) f(u, v, w) -av avaw aw

af af)yseny-(u, v, w) + xy-(u, v, w)2av aw

45. F(x, y, z) = f(u), u = g(x, y, z) = ax + by + ez,

a2 F 2 /1 a2F/I a2F 2/1-2(x, y, z) = a f (u), ---(x, y, z) = abf (u), -2 (x, y) = b f (u),ax axay ay

a2F 2f/l a2F ./1 a2F ./1-2(x, y, z) = e. (u), -(x, y, z) = acf (u), --(x, y, z) = bef (u)az axaz ayaz

46. F(x, y, z) = xf(u, v), u = g¡ (x, y, z) = xy, v = g2(X, y, z) = xz,

a2

F ( af af ) (' 2 a2f a

2f 1 a2

f )-2(x, y, z) = 2 y-(u, v) + z-(u, v) + x y -2 (u, v) + 2yz--(u, v) +r-2 (u, v)ax au av au auav ava2F a f 2 a2f 2 a2f--(x, y, z) = 2x-(u, v) + x y-2(u, v) + x z--(u, v)axay au au auav

a2 F . af 2 a2 f 2 a2J-(x, y, z) = 2x-(u, v) + x y--(u, v) + x Z-2 (u, v)axBz av auav av

a2 F a2 f a2 F . a2 fa

y2 (x, y, z) = x3au2(u, v), ayaz (x, y, z) = x3~av (u, v)

a2 F . a2 f-2 (x, y, z) = x 3 _

2(u, v)az av

47. F(x, y, z) = f(u, v, w), u = g¡(x, y, z) = xyz, v = g2(X, y, z) = xy,w = g3(X, y, z) = x,

a2 F a2 f a2 f a2 f a2f-2(x, y, z) = iZ2- 2(u, V, w) + 2iz-(u, v, w) + 2yz--(u, v, w) + l-a2 (u, v, w) +ax au auav auaw v

a2 f a2f2y--(u, v, w) + -2 (u, V, w). avaw awa2F a2f a2f af af--(x, y, z) = xYZ2_2 (u, v, w) + 2xyz--(u, v, w) + z-(u, v, w) + -a (u, v, w)axay au auav au v

~f ~f ~f+ xY-2(u, v, w) + xz--(u, v, w) + x--(u, v, w)av auaw avaw

a2 F a2 f a2 f af a2 J-(x, y, z) = xiZ-2 (u, v, w) + xl--(u, v, w) + y-(u, v, w) + xY-

aa (u, v, w)

axaz· au auav au u w

a2F. _ 2 2 a2 f27

a2 f 2 a2f2 (x, y, z) - x Z 2 (u, v, w) + 2x ~ (u, v, w) + x 2 (u, v, w)

ay au auav av

1030 Respuestas----------------------------

a2F _ _.2 a2f af .2 a2j~(x, y, z) - x YZ-2 (u, V, w) + x-(u, v, w) + x y~(u, v, w),ayaz au au auava2 F a2 j--ry(x. y, z) = x2l-2(u, V, w)az- au

aCF . af. a2

f (a j )2 a2j48. --;:-:;-(x, y, z) = -a (f(x, y, z), y, z)-a2 (x, y, z) + -:-(x, y, z) -2 (f(x, y, z), y, z)

dx~ x x dx· ax

a2F . af. a2f. af (a f a2j-a.a. (x. y, z) = -a (f(x, y. z), y, z)-aa (x, y, z) + -a (x, y, z) -a (x, y, z)-a2 (f(x, y, z), y, z) +

Xl' x xy x y x

a2j· )

axay (f(x, y, z), y, z)

a2F af a2f af (a f a2j-aa (x, y, z) = -a(f (x, y, z), y, z)~aa (x, y, z) + -a (x, y, z) ~ (x, y, z) -a2 (f(x, y, Z), y, z) +

x z x x Z x u~ X

a2f _..( ) ))axaz U x, y, z , y, z

a2F af . a2f a2f .-ar(x, y, z) = -a (f(x, y, Z), y, z)-a2 (x, y, z) + -ary (f(x, y, Z), y, z)

y x y y-

(af ) 2 a2f . af a2f .

+ ~(X, y, z) -a2 (f(x, y, Z), y, z) + 2-a

(x, y, z)-a~. (f(x, y, z), y, z)O) X yxuy

a2F af . é¡2 f a f ( a f a2f .:;--.a -(x. y. z) = -:;-. (f(x, y, Z), y. z)::--a (x, y, z) + -a (x, y, z) -a. (x, y. z)-:;-::;(f(x, y, Z), y. z) +uyz ux uyz y Z ux-

a2f . ) af a2 f . a2 f-=-a-(f(x. y, Z), y, z) + -a (x, y, z)::--a. (f(x. y, Z), y, z) + ::--.. ~ U(x, y, Z), y, z)ax z z uX y u yu Z

a2 F af . a2f (a f ) 2 a2j

~(x, y, z) = -:;-(f(x, y, z), y, Z)-a2 (x, y, z) + -a (x, y, z) -:;2(f(x, y, z), y, z)uZ" ux Z Z ux

af a2 f a2j+ 2-:;-(x. y, z)-;-:;-(f(x, y, z), y, z) + -a2 (j(x, y, z), y, z)

uZ uxuz z49. F(x, )') = f(ll, v), II = g¡ (x, y) = ax + by, v = g2(X, y) = ex + dy,

a3F (a a ) 3

iJx3(x,)')= aall+CaV f(u,V),

a3 F a3 f a3f . ry a3 f aJ j--2-(x, y) = a2b--

J(ll, v) +(a2d+2abe)--2-(u, v) +(2acd+be-)-2-(u, v)+c2d-

J(ll, v)

ax ay· au au av av au av·

a3F (;3 f aJf aJf a3j-.-2-(x, y) = ab'2-3(u, v)+(b2c+2abd)-2- (u, v) +(2bcd+ad2)-2-(u, V)+C(¡2-3 (ll, v)ay ax au au av av au av

a3

F (a a )3-(x, y) = b- +d-- f(u, v)ay3· au av


1. [O O]

2. [a b c]

3. [al h]a2 b2

r: O O]4. 1 O

II 1 1

Respuestas 103 1

7.

5.

8.

6.

29.

23.

22.

20.

21.

19.

18.

17.

16.

[~ ~J[~ ~ -4

1]

[1234 ]

m[~ ~ !~]

l21~2 ~]2e2 e2

e2 e2

2e2 e12. (14, -15)13. (l/2, -1/2)14. Y = f(O, O, O) + 3x

15. b. 10(x- xo) + 31(y - Yo) + 30(z - Zo) = O, en donde p = (xo, Yo, Zo), c. -140/v5

[~ ~J[~ n[~ ~][

27 10]5 2

[145 54]27 10

[.~ ~]

[~ ~]

[~ ~]24. [5 1]25. [O O]26. [3 - 1]27. [O 20]28. [O O]

[~ JJ

10.

9.

1032 Respuestas

30. [~ ~I]

31. [i ~2]

32. [~~ ~11]2 10

33. [~ ~]34. g(x, y) = (f2(X, y), fl(x, y))35. g(x, y) = (2f¡ (x, y), 3 fz(x, y))36. g(x, y) = (x. fl(x, y))

37. g(x, y) = (4x + 5y, 8h(x. y))38. g(x, y) = (f¡ (x, y) +3 fz(x, y), h.(x, y) - fl (x, y))

39. g(x, y) = (4 f¡(x, y) + 5x - 12y, fl(x, y) + h(x, y) + 3x - lOy)40. g(x, y) = (0.5 ff(x, y), 05fi(x. y))41. g = f o f o. . o f (k veces)


1. l(x) = -4/52. l(x) = --2y/(2x + 1)

3. l(x) = --(9x2 + 2x + 8x3 )/24x/4. l(x) = 5ex -

y - e-Y

5. l(x)=4(4x3 +4x2 +3lx-17x+3l+ 1)/81/6. y'(p) = 8/57. l(p) =--18. y'(p) = 19. y'(p)=--110. y'(p)=-1

11. af (p) = --J, af (p) = 3ax ay

12. ~~. (p) = o, ~~(p) = o

13. af(p) = -1, af (p) = 8ax ay

14. af (p)= __ 1/3, af (p)=_1/6ax ayaf af

15. -(p) = 3/e, -(p) = -3/eax ay

aF aF-(y, x) - -(x, y)

19. f'(x) = ;~ ;;. .

ay(x. y) -- ax (y, x)

Respuestas 1033

aF aF'-a (x, cp(x), y) + -a (x, cp(x), y)cp'(x)

, _ x y20. f (x) - - ----:a"F..---"'----

~(x, cp(x), y)

aaF

(cp(x), lf¡(x),i)cp'(x) + aaF

(cp(x), lf¡(x), y3)",'(x)

21. f' (x) = - x aF y3l~(cp(x), "'(x), y3)

aF aG aF aG-a(x, Y)-a (F(x, y), F(y, x» + -a (y, x)-a (F(x, y), F(y, x)

, _ x x y y22. f (x) - -'aF aG - aF aG .

ay (x, y) ax (F(x, y), F(y, x») + ax (y, x)a;(F(x, y), F(y, x»

23. a. Sí es posible verla como una función del tipo u = u(x, y, z). Sus derivadas parciales sonau au au-(1, 1, 1) = --(1,1,1) = -(1, 1, 1) =-1ax ay az

b. Sí es posible verla como una función del tipo Z = z(x, y, u) Sus derivadas parciales sonaz az az-(1, 1, 1) = -(1,1,1) = -(1, 1, 1) = -1.ax ay auc. Sí es posible verla como una función del tipo y = y(x, z, u) .. Sus derivadas parciales sonay ay ay-(1, 1, 1) = -(1,1, 1) = -(1, 1, 1) = -1.ax az aud. Sí es posible verla como una función del tipo x = x(y, z, u).. Sus derivadas parciales sonax ax ax-(1,1, 1) = -(1, 1, 1) = --(1,1,1) = -1.ay az au24. a. Sí es posible verla como una función del tipo u = u(x, y, z). Sus derivadas parciales son

au au au-(0,0,1) = 0, -(0,0,1) = .5/8, --(0,0,1) = 1ax ay az

b. Sí es posible verla como una función del tipo z = z(x, y, u) Sus derivadas parciales sonaz az az-(0,0,1) = 0, -(0,0,1) = -5/8, --(0,0, 1) = 1ax ay auc. Sí es posible verla como una función del tipo y = y(x, z, u) Sus derivadas parciales son

ay (0,0,1) = 0, ay (0,0,1) = -8/.5, ay (0,0,1) = 8/5 d. No es posible verla como una funciónax az audel tipo x = x(y, z, u).25. a. Sí es posible verla como una función del tipo u = u(x, y, z). Sus derivadas parciales son

au au au-(0,0, O) = 0, -(0,0, O) = 8, -(0,0, O) = 3/8ax ay az

b. Sí es posible verla como una función del tipo z = z(x, y, u). Sus derivadas parciales sonaz az az-(0,0, O) = 0, -(0,0, O) = 0, -(0,0, O) = 8/3ax ay auc. No es posible verla como una función del tipo y = y(x, z, u).

d. No es posible verla como una función del tipo x = x(y, z, u).26. No es posible verla como ninguna de las funciones u = u(x, y, z), z = z(x, y, u),

y = y(x, z, u), x = x(y, z, u)27. 2/V528. v'329. En la dirección del vector (-1, -1)30. En cualquier punto de la superficie distinto del (16, 8, O)31. En cualquier punto de la superficie distinto del (1, 3, -4)

1034 Respuestas

a2f. 2y(32x2lz + 3(8yz2 - 1)2)32. ax2 ex, y) = 9(1 _ 8yz2)1

a2f 2x(16x2y2z + 128lz4- 24yz1+ 3)

--(x y) = ------'-------=----O-~--=---axay , 9(1 - 8yz2)1

a2f. 16z(x2y +z(3 - 16yz2))(x2 + 8z3)

ay2 (x, y) = 9(1 - 8yz2)3

a2f. ) y2(sen z cos2(xy) + sen(xy)(1 + cos zh33. -(x y = -----,.----;:------

ax2 ' (1 + cos Z)l

a2f xysenzcos2(xy) - (cosz + l)2(xysen(xy) - cos(xy))--(x, y) = -=------axay . (1 + cos Z)l

a2f x2(sen Zcos2(xy) + sen(xy)(1 + cos Z)2)-(x, y) = ---------;:---.ay2 (1 + cos Z)3

a2f a2f a2f34. ax2 (1,1) = al(1, 1) = -2, axay(1, 1) = -3/2

a¡ D2F(y, x, z) a¡ D¡ F(y, x, z) ..37. -(x, y) = - D ( )' -(x, y) = - F( ) en donde D¡F es la derIvada parcial

ax 3 F y, x, z ay D3 y, x, zde F respecto de su i-ésima variable.,

38. a¡ (x y) =_ D3F(z, y, x) af(x y) = _ D2F(z, y, x)ax' D¡ F(z, y, x)' ay' D¡ F(z, y, x)

39. af(x, y) = _ D¡F(x, y, z) + D¡F(x, z, y) + D2F(z, x, y)ax D3F(X, y, z) + D2F(x, z, y) + D¡ F(z, x, y)

af D2F(x, y, z) + D3 F(x, z, y) + D3F(z, x, y)-(x, y) =-ay D1F(x, y, z) + D2F(x, z, y) + D¡ F(z, x, y)

aj a¡D¡(u, v, w) + a2D2(U, v, w) + a3D3(U, v, w)40. -(x y) =------'----=------'-----=-=..:.....--"-----':..----"-'----'-

ax' c¡D¡(u, v, W)+C2D2(U,V,W)+ C3D1(U, v,w)aj .) b¡D¡(u, v, w) + b2D2(U, v, w) + b3D3(U, v, w) d d b--(x, y = - - --- en on e u = ajX + ¡y + e¡z,ay' c¡D¡(u, v, w) + C2D2(U, v, w) + c1D1(U, v, w)V = a2X + b2Y + C2Z, w = alX + blY + C3Z

af41. ax (x, y) =

F(y, y, z) + y(D¡ F(x, x, z) + D2F(x, x, z)) + z(D¡ F(t', x, x) + D2F(X, x, x) + D3F(x, x, x))

xD1F(y, y, z) + yD1F(x, x, z) + F(x, x, x)aj xD¡ F(y, y, z) + xD2F(y, y, z) + F(x, x, z)- (x, y) = - -"--:.:.......:.-------==---:::.-..:...----'---'---ay xD1F(y, y, z) + yD1F(x, x, z) + F(x, x, x)

af42. -(x, y) =

ax.- sen ycoszD¡F(u, v, w) + zcos t'cosyD3F(u, v, w).--_'

-x sen y sen zD¡ F(u, v, w) + y cos z coSyD2F(U, v, w) + sen xcos yD1F(1I, v, w)af +x cos ycos zD¡ F(u, y, w) + (sen z cos y - y sen Z sen y)D2F(1I, v, w)-(x,y)=- enay -xsenysenzD¡F(u, v, w) + ycoszcOSyD2F(lIi v, w) + senxcosyD1F(u, v, w)

donde u = x sen y cos z, v = y sen z cos y, w = z sen x cos y

43. af (x, y) =_ y-: D¡ F(u, v, w) - z[~D3F(1I, v, w)ax .x- D1F(u, v, w) - yc D2F(u, v, w)

af ( .) C I D2F(u,v,w)-xy-2D¡F(u,v,w) . -¡ -¡ -¡- x, y = - en donde u = xy , v = yz , w = zxay x-1D1F(u, v, w) - yc2D2F(u, v, w)

Respuestas 1035

(aF ) 2 a2F aF aF a2F aF 2 a2F

44.a2 ~("\" ,) = _ ~ au 2 - 2a;;~ auav + (a;;) av2

" -"--~------~3---~--- en donde u = x + z, v = x,

ax- - (~~)

todas las derivadas de F evaluadas en (u, v).

a2f a2f-.-.- (x, y) = -7 (x, }) = °(observe que la función f no depende de y).rJxd\ ay-45.' af(x,\)=_ 3h(3x+y)+zg(xz)

ax" g(~ + z) - .xg(xz) + 2zh(Z2)aj (x, v) = _ g(y + z) - 11(3x + y)a}" g(y + z) - xg(xz) + 2zh(Z2)


au av I au av2.-(1, 1) = 2 - e, -(1, 1) = 1 - e- ,-(1,1) = e, -(1, 1) = °

éJx éJx ay ay3. Plano tangente a u = u(x,» en (1,1,1): 7x -.5y - 4z + 2 =°Plano tangente a v = .'(x, y) en (1, 1, 1): 5x - 3y - 4z + 2 = °

éJu av éJu av8. -(0,1) = 1, -(O, 1) = 0,-(0,1) = 0, ~(O, 1) = 1

éJx éJx ay ay9. Si u = D¡ f(u, V)D2g(U, v) -- Dd(u, v)D¡g(u, v) =1= 0, se tieneau 1ar(x,}) = -:i(Dlg(X, y)D2g(u, v) - D2 j(u, v)D¡f(x, }»10. Si u = Dlg(u, v)D¡g(v,u) - D2g(U, v)D2g(V, u) =1= O, se tieneav 1, .D:~ (x, y) = -;s. (DI f (x, y)D2g(V, u)- DI g(u, v)D2f (y, x»

11. Si u = DI f(u,x)D2g(y, v) - Dd(x,u)D¡g(v, y) =1= O, se tienei'Ju 1-:-) (x, y) = -;(D2g(v, y)D2g(y, v) - D¡g(y, v)D¡g(v, y»ey u

12. Si u = DI f(u, v)D2g(U, v) - Dd(u, v)D¡g(u, v) =1= 0, se tiene

au 1 D f'( f' D )ay (x, y) = '-;5.( 2. x, y)D2g(u, v) - D2. (u, v) 2g(X, y)

13. Si u = g(u, u)g(v, v) - uv(D¡g(v, v) + D2g(v, v»(D¡g(u, u) + D2g(u, u» =1= °au 1 . .i'Jx (x, y) = -;s. (yg(u, u)(D¡f(x, x) + D2f(x, x» - uf(y, y)(D¡g(v, v) + D2g(v, v»)

14. Si u = (xf(l', v) - D¡g(u, v»(yg(x, u) - Dd(u, v» - xuDd(y, v)D2g(U, v»(yvD2g(x, u) - D¡ f(u, v» =1= o, se tiene

::(x, y) = ~(Uf(y, v)(yvD2g(x, u) - D¡f(u, v» - yvD¡g(x, u)(xf(y, v) - D¡g(u, v»)

15. Si u = (xD¡ f(xu, yv) - D¡g(u, v»(xDd(yu, xv) - D2g(U, v»- (yDd(xu, yv) - D2g(u, v»(yD¡ f(yu, xv) - D¡g(u, v» =1= 0, se tiene

au 1-(x, y) = -;(vDd(yu, xv)(yDd(xu, yv) - D2g(U, v»i'Jx u- UD¡ f(xu, yv)(xDd(yu, xv) - D2g(u, v»)

a2u a2v16. -(O, O) = 0, -(O, O) = °

éJxay axayau av au av

17. -(1,1) = O, -(1,1) = -1/2, -(1, 1) = O, -(1, 1) = 1/2ax ax ay ayau av au av

18. -(1,1,1) = 7, -(1, 1, 1) = -1, -(1, 1, 1) = 3, -(1, 1, 1) = Oax ax ay ay

1036 Respuestas

au av-(1, 1, 1) = 7, -(1, 1, 1) =-1az az

9 au _ 3 av _ 2 aw - O1. -, -, -ax ay az

20. aw =2 av =2/3 au = 1/3 ~~ = 1/3 ay =2/3 ~ =0ax ' ay , az ' au ' av . , aw


1. JF-1(P(p» = [~~; ~~;]

2. JP-I(F(p» = [~ ~]

3. Jp-I(p(p» = [~ ~]

4 JF-1(P(» = [(2Sen 1)-1 -(2sen 1)-1]. P (2eos 1)-1 (2eos 1)-1

5 Jp-I(p(p» = [4/3, -2/3]'-2/3 4/3

6. F-1(x, y) = (x/a, y/b), det JF(x, y) = ab, det Jp-l(p(X, y» = (ab)-I

10. JP-I(3, 2) = [!1 ~I], x = x(u, v) = ~(u + Vu 2 - 4v),

y = y(u, v) = ~(u -- ju 2 -·4v)

11. gradx(O, O) = (2/7, -1/7), grad y(O, O) = 0/7,3/7)

12. JF-I(O, O) = [-~1 =~]13. p-l(X, y, z) = (x - y, y - z, z)17. p-I = F


1. Con A = 3: (±0.9233145, O 1214456,03643368);eon A = 1: (±08570399, 03643368, 03643368);eon A = 0.391226858: (±0..0000574, 0.9312673, 03643368)

2. (12686457013, -0.7313542987,0.2686457013).3. (01994413116,0.1655761846),4. Pl = (±0,8931356229, 0.4497874598); P2 = (0.4497874598, ±0.8931356229).5. PI = (116690991,0.9094460719); P2 = (-·0.1319809628,0.7355746769);

P3 = (-14602034134, 15182494323).6. PI = (14314539066, 1, 10490602866); P2 = (-0..6039125638, -1, -06352896152);

P3 = (-0.9314539066,1, -01323936199); P4 = (1 1039125638, -1,0.2186229486)7. (0539178639,0.1247533122,0.6639319512).8. PI = (23470626915,2.2597489385,0.7541801719);

P2 = (0..9656150103, -43566402185, -0.950833089);P3 = (-0.9287753817, -4.4779445557,0.9617685776).

9. (2.8280781933, -2.754658272, -Ll972866953)10. PI = (0.1739078762, 1.7574393849,0.6991035281);

P2 = (00461893325, 19158101415,0.9116254496)

Respuestas 1037



28. (4, .3/2)29. (--1/2, O)30. (-1,2)31. No hay puntos críticos32. (1,1),(2,1)33. (5/2, O)34. No hay puntos críticos35. (0,71'/2 +br), k E 71,36. No hay puntos críticos37. (O, O, O)38. (O, O, O)39. (-1/2, -1/2, -1/2)40. (1,2, t), (1, t, .3), (t, 2, .3), t E IR41. (2, -1, t), t E IR


1. f«xo, Yo) + (x, y) = 52. f«xo, Yo) + (x, y)) = 5xo + 5x3. f«xo, Yo) + (x, y)) = 5xo + 8yo + 4 + 5x + 8y4. f«xo, Yo) + (x, y)) = 10Y6 + 20yoY + 1O15. f«xo, Yo) + (x, y) = .3xoYo + 3yox + 3xoY + 3xy6. f{(xo, Yo) + (x, y» = 2x6 + 7xoYo +5Y6 - 2+ (4xo + 7yo)x+ (7xo + 10yo)Y+ 2x2+ 7xy+5i7. f«xo, yo)+(x, y» = x5+Y5+3x5x+3Y6y+3xox2+3Yol+r(x, y)en donde r(x, y) = x3+l8. f«xo, Yo) + (x, y)) = 3xo - 2yo + 15zo - 23 + .3x - 2y + 15z9. f«xo, Yo) + (x, y» = 2x6- 5Y6 + .3z6 + XoYo - 6xozo + 2yozo + 1 + (4xo + Yo - 6zo)x +

(-10yo + Xo + 2zo)Y + (6zo - 6xo + 2yo)z + 2x2 - 5i + 3z2 +xy - 6xz + 2yz14. a. 3x2+ 4/- 8xy + 5 = 8 - 10(x - 1) + 8(y - 2) +3(x - 1)2 - 8(x - l)(y - 2) + 4(y - 2)2b. 5x2 - 10l + 14 = -31- .30(x + 3) - 60(y - 3) + 5(x + 3)2 - IO(y - 3)2C. x2+ l = 169 + lO(x- 5) + 24(y - 12) + (x - 5)2 + (y - 12)215. a. x 2 + l + Z2 = 14 + 2(x - 1) + 4(y - 2) + 6(y - 3) + (x- 1)2 + (y - 2)2 + (z. - .3)2b. 2x2+ 3l-5z2+ .3xy+.3 = 1-.3x -6(y+ 1) -10(z -1)+2x2+ 3x(y+ 1)+ .3(y+ 1)2 -- 5(z - 1)2C. x2 - 2l + 4z2 + xy + xz - yz + 1 =-1 + (x - 1) + 5(y + 1) + 2z + (x - 1)2 - 2(y + 1)2 - 4z2 + (x - 1)(y + 1) + (x - l)z- (y + l)z20. x 3 + l = r(x, y)

121. = 1 - x - y + x2 + l + 2xy + r(x, y)

l+x+y1 2?

22. = 1 - x - y- + r(x, y)1 + x2+ y2 .

23. InO - x) + 1nO - y) = -x - y - x2-l + r(x, y)24. eX sen y = y + xy + r(x, y)

1 125. eXcosy= 1+x+ 2x2 - 21 +r(x,y)

26. arctan(x + y) = x + y + r(x, y).3 39 2 39 ) 2( 1)227. z ~ 1 - 2(x - 1) - (y - 1) - 8 (x - 1) - 4 (x - 1)(y - 1 - Y -

1038 Respuestas

f(1.!, 0.9) ~ 0.. 97875, f(0 .. 912, 1087) ~ 1.066756


1. Mínimo local2. Punto de ensilladura3. No se puede concluir nada4. Punto de ensilladura5. Máximo local6. Mínimo local7. Punto de ensilladura8. Punto de ensilladura9. Punto de ensilladura10. Mínimo local

.1 2 211. a. f(x, y) = 2(x +y), P = (O, O),

b. f(x, y) = x 2 + l + 4xy, P = (O, O);1 2 2 212. a. f(x, y, z) = 2(x + y + z ), P = (O, o, O),

1.2 2 . 1 2b. f(x, y, z) = 2X - y + 3xy + 2z , P = (O, O, O)

15. Mínimo locaL16. Mínimo local.17. Mínimo local18. Máximo local19. Máximo locaL20. Punto de ensilladura.21. Máximo locaL22. Máximo locaL23. Punto de ensilladura.24. No se puede concluir nada ..25. Mínimo local26. Mínimo local en P = (-11/7, -5/7), f(p) = -15/7.27. Punto de ensilladura en p = (O, O), f(p) = O.28. Punto de ensilladura en p = (-9/32, --5/32), f(p) = -175/64.29. Punto de ensilladura en p = (-1, -1), f(p) = -4..30. Puntos de ensilladura en PI = (1, 1) y P2 = (-1, -1), [(PI) = [(P2) = -1; Mínimo local

en P3 = (1, -1), f(P3) = -5; Máximo local en P4 = (-·1, 1), !(P4) = 3.31. Puntos de ensilladura en PI = (2- 1

/2,5/2) YP2 = (_T I

/2

, 5/2), !(PI) = f(Pí) = 4;Máximo local en P3 = (0,5/2), f(P3) = 17/4.

32. Punto de ensilladura en P = (O, l/e), f(p) = O.33. Punto de ensilladura en P = (O, O), [(p) = O.34. Máximo local en p = (O, O), f(p) = In 3.35. Mínimo local en p = (-1, -1, -2), f(p) = -53.36. Máximo local en p = (1, 1, 1), f(p) = 10.37. Punto de ensilladura en P = (_(5/2)1/3, _(3/2)1/3, (9/4)1/3),

f(p) = 27(18)1/3/8- 15(20)1/3/4 - 9(12)1/3 /2 ~ -1163649.38. Punto de ensilladura en PI = (1, 1, 1), [(PI) = 10/3; Máximo local en P2 = (-1, 1, 1),

f(P2) = 14/3..

Respuestas 1039

39. No hay extremos locales.

40. Punto de ensilladura en PI = (O, 1,3/2), f(PI) = 17/2; Máximo local en P2 = (-2, 1, 3/2),f(P2) = 25/2.

41. No hay extremos locales

42. Punto de ensilladura en PI = (-1/3, -1/4, 1), f(p d = -481/72; Mínimo localen P2 = (1/15, -·1/4, -1), f(P2) = -12889/1800.

43. Puntos de ensilladura en PI = (1, -2, -1) Y P2 = (-1,0, -3), f(p¡) = -8, f(P2) = -4.44. Punto de ensilladura en PI = (-1/7, 10/49, - 26/49), f(p¡) = -433/343; Mínimo local

en P2 = 0/3, O, -2/3), f(P2) = -37/27.45. Puntos de ensilladura en PI = (O, 0, O) YP2 = (-4/3, -16/3, 8), f(p 1) = O, f(P2) = 64/27.46. Mínimo local en P = (-1/4, -1/4, -1/4), f(p) == 13/8.47. Máximo local en p = (6/7, 10/7, 1/2), f(p) = 85/2848. Mínimo local en p = (3/37, -17/37, -52/37), f(p) = -187/37.49. Mínimo local en p = (O, O, O), f(p) = O..50. Mínimo local en p = (O, -1/2, O), f(p) = 3/2.51. Máximo local en p = (O, -1/2, O), f(p) = -3/252. Mínimo local en p = (O, -1/5, -2/5), f(p) = 1/5..53. Máximo local en P = (0,1/2, O), f(p) = 1/454. Máximo local en p = (1/3, 1/3,2/3), f(p) = 8/355. Punto de ensilladura en P = (1/62, -21/62, -21/62), f(p) = -83/124 ..56. Punto de ensilladura en P = (-11/96, -53/96, -95/96), f(p) = 365/6457. 3. La función tiene un punto de ensilladura en (xo, xo), en donde vale Ob. La función tiene un punto de ensilladura en (-XQ, xo), en donde vale Oc. La función tiene un punto de ensilladura en (xo, -xo), en donde vale O.d. La función tiene un punto de ensilladura en (-xQ, -xo), en donde vale O.58. 3. La función tiene un mínimo local en (1, 1), que vale f(1, 1) = Ob. La función tiene un máximo local en (1,1), que vale f(l, 1) = O59. 3. La función tiene un mínimo local en (1, 1), que vale f(1, 1) = Ob. La función tiene un máximo local en (1,1), que vale f(l, 1) = O60. 3. No se puede concluír nada sobre la naturaleza del punto crítico ..

b. La función tiene un punto de ensilladura en (1, 1), en donde vale f(1, 1) = ¡2 g(t) dt

61. La función tiene un punto de ensilladura en el origen, en donde es igual a cero.64. Mínimo local en el punto PI = (-0.5586983-783,07120680454), en donde f vale

-29164986198. Puntos de ensilladura en P2 = (0.4801231603,10705634765), en donde fvale -1..34662560689, y en P3 = (-1.3428853954, -0467782692) en donde f vale-1 .50796628444.

65. Máximo local en el punto PI = (59967428306,44780411506) en donde f vale-0.6050360514. Punto de ensilladura en P2 = (19037042778, 160950402) en donde f vale-O .8133257086.

66. Mínimo local en P = (0.1994413116, O 1655761846) en donde f vale 0.657974873 ..67. Máximos locales en PI = (1.2608355088, 1135866801),

P2 = (0.1739459925, -2.1288488911), P3 = (-1 1632403062,2 .. 7896045616), en donde fvale f(PI) = 2.020997077, f(P2) = 1857469209875, f(P3) = 35862955307983

Mínimos locales en q¡ = (25324568988, -0.9988585036),q2 = (-08427981441,00605444921), q3 = (-25.575868237, -25430563921), en donde f valef(q¡) = -33407267097, f(q2) = -056435863, f(q3) = -4.9110970201

1040 Respuestas

Puntos de ensilladura en "1 = (04348247405, -0..375200907),"1 = (-- L26878597, -05280065436), "3 = (0..3355947528, L6186551184),"4 = (25576923509,21716122186), "s = (0 .. 6223373491, -25762182087), en donde f valef(,,¡) = 0.2774452357, f("l) = -04217113823, f("3) = L5963410717, /("4) = 0.1981248059,f("s) = 17681559234.68. Máximo local en P = (6.. 6525296152,8.0164195703) en donde f vale 151896384702.Mínimos locales en ql = (9.5162348028, lO.995 1360308), q1 = (3.3609598633,4 .. 7053427186),q3 = (9.6439219351,47099382543), q4 = (3.2330565938, 10.9942841151), en donde f vale!(q¡) = 9.470378082, f(q1) = 32494444691, f(q3) = 95325755249, f(q4) = 3.1871945514.Puntos de ensilladura en T¡ = (2.2054618601, L7262761895),T1 = (5.6312029328,4.5288431674), "3 = (9.2960600817,7,8548678895),"4 = (3,0129061499,78567147757), "5 = (6.,0103229102, 10,8138528073), en donde f valef(,,¡) = 2.7684246123, f(r1) = 0.881913883075, fh) = 9.3607702, f("4) = 3,0775925026,f("s) = 5.. 8346869025,69. Mínimo local en (0.427756813 , 0.3258051706 , -0.0201042087) en donde f vale

-00012075324.


1. Mínimo local en P = (36/23, -29/23), f(p) = -798/26.2. Punto de ensilladura en p = (-1, -1), f(p) = O.3. Punto de ensilladura en p = (-1, -1), f(p) = -2.,4. Puntos de ensilladura en PI = (1, -1) YP2 = (-1, 1), f(PI) = !(P1) = -2; Mínimo local

en P3 = (1, 1), f(P3) =-6; Máximo local en P4 = (-1, -1), ! (P4) = 2.5. Puntos de ensilladura en PI = (O, 1/)3), P1 = (1,-1/vI3), P3 = (-1, -1/J3),

f(PI) = -2/-13 - 1, f(P1) = f(P3) = 2/)3 - 2; Mínimos locales en P4 = (1, l/vI3) YPs = (-1, 1/-13), f(P4) = !(Ps) = -2/-13 - 2; Máximo local en P6 = (O, -1/-13),f(P6) = 2/v13 - 1

6. Punto de ensilladura en PI = (O, O), f(p¡) = O; Máximo local en P2 = (1/3, 1/3),f(P2) = 1/27.

7. Mínimo local en PI = (-I/h, O), f(p» = -(2e)-1/2; Máximo local en P2 = (1/h, O),f(P2) = (2e)-1/2

8. Mínimo local en PI = (O, -1/h), f(PI) =-(2e)-1/2; Máximo local en P2 = (O, l/h),f(P1) = (2e)-1/2

9. Punto de ensilladura en P = (O, 1), f(p) = O.10. Punto de ensilladura en P = (O, e), f(p) = O.11. Punto de ensilladura en P = (1,4/3), f(p) = -2.,

12. Puntos de ensilladura en Pu = (1, ±h), f(pu) = -l.13. Mínimo local en p = (O, O), f(p) = O.14. Punto de ensilladura en P = (tan 1, 2 sec1 1) .. f(p) = 1 -, 2 tan 1,15. Mínimo local en p = (O, O), f(p) = 2.16. Puntos de ensilladura en puntos del tipo «2k l - 1)7T, 2k27T) Y(2kl7T, (2k1 - 1)7T), k¡, k1 E Z,

en donde la función vale O; Máximos locales en puntos del tipo (2kl7T, 2k27T), kl, k1 E Z, endonde la función vale 2; Mínimos locales en puntos del tipo «2k¡ - 1)7T),(2k1 - 1)7T),k¡, k2 E Z, en donde la función vale -2.

17. Máximos locales en puntos del tipo (~ + 2k l 7T), 2k27T) Y (3; + 2kl7T), (2k1 - 1)7T).

k¡, k2 E Z en donde la función vale l.

Respuestas 1041

Mínimos locales en puntos del tipo (i + 2k¡7T), (2k2 - 1)7T) Y (3; + 2k¡7T), 2k27T). k¡,

k2 E Z en donde la función vale -1.

Puntos de ensilladura en puntos del tipo (k¡7T, (i + k27T))' k¡, k2 E Z en donde la función vale O.

18. Punto de ensilladura en P = (-1, 1), f(p) = -119. Punto de ensilladura en P = (1, 1), f(p) = 3/220. Mínimo local en P = (O, O), f(p) = - L21. Punto de ensilladura en p = (O, -In 1), f(p) = -1 + In 1.22. Mínimo local en p = (O, O), f(p) = O.23. Máximo local en p = (O, O), f(p) = 2.24. Máximo local en p = (O, O), f(p) = 2.25. Mínimo local en p = (O, O), f(p) = In 2.26. Máximo local en p = (O, O), f(p) = In 2 ..27. Mínimo local en p = (O, O), f(p) = 1/ In 3.28. Puntos de ensilladura en PI = (-1, -17/2,5) YP2 = (1, 15/2, -7)29. Puntos de ensilladura en PI = (-1/3. -7/9, 1) YP2 = (1/3,7/9, -1).30. Máximo local en PI = (5/2. -3. -7/2); Mínimo local en P2 = (-3.3,4)..31. Máximo local en PI = (-1/3. -2/3, 1/3); Mínimo local en P2 = (1, 2, -5)32. Máximo local en PI = (-7/6, -1/6,53/6); Mínimo local en P2 = - PI.33. Máximo local en PI = (-1/2, -1/2, O); Mínimo local en P2 = (-3/8, ;-5/16, -3/4)34. Mínimo local en PI = (0.9.5); Máximo local en P2 = (O, 15,9).35. Puntos de ensilladura en PI = (2. -5/2. 1/2) YP2 = (2. -5, -2)36. Puntos de ensilladura en PI = (1, -9, -16) YP2 = (-1, 11, 18).37. a. La función tiene un mínimo local en (xo, XI), en donde f vale a + bbl. La función tiene un mínimo local en (:<0, XI), en donde f vale abb2. La función tiene un punto de ensilladura en (Xo, Xl), en donde f vale abb3. La función tiene un punto de ensilladura en (xo. Xl), en donde f vale abb4. La función tiene un máximo local en (xo, XI), en donde f vale ab.el. La función tiene un mínimo local en (xo, XI), en donde f vale a2 + b2

e2. La función tiene un punto de ensilladura en (xo, ,XI), en donde f es a2 + b2

e3. La función tiene un punto de ensilladura en (xo, XI), en donde fes a2 + b2

e4. La función tiene un máximo local en (xo, x¡), en donde f vale a2 + b2

40. Y= 0.9610796x + 0 .. 098123441. Y = 3.136oo8x - 1.311279142. Y = 24983099x + 2.881607344. a. z = x + y + 1; b. z = 0.7070738x - 12599703y + 1.5196239

e. z = OA909552~ - O.5024791 Y + 15317031;d. z = -0.924926lx + 3,0492042y - 1 1221165;e. z = -1.2847011x + 04687284y - 14559002

45. a. y = 2.0090909x2- 1.0054545x +2.. 9727273 b. Y = -2 .0035714x2 + 8995x - 0.9928571

e. y = 0,9756l58x2- 2.9392857x + 4.0722906

46. a. y = 3x¡ + 2X2 - X3 - 4b. Y = 2738478xl - 4286662x2 + 12002445x3 -7342877x4 - 1700978


1. Máx en p = (2, -3/2), f(p) = 11/2 Mín en q = (-2,3/2) f(q) = -11/2

1042 Respuestas

2. Máx. en p = (l, 6), f(p) = 19. Mín .. en q = (-1. -6), f(q) = -193. Máx. en p = (3, -28/3), f(p) = 223/3. Mín. en q = (-3,28/3). f(q) =-223/34. Máx en p = (-2, -15). f(p) = 79 .. Mín en q = (2, 15). f(q) = -795. Máx. en p = (1,2), f(p) = 5 Mín en q = (-1, -2), f(q) = -56. Máximo = S2 /4. para x = .\ = 5/27. Máximo = 53/27. para x = y = :: = 5/3

8. Máximo en los puntos Pl 23. = (±I/V2, ± 1/V2), f(Pl 2}A) = 1/4 Mínimos en los puntosPs 6 = (± 1, O). P78 = (O, ± 1), f(ps 678) = O

9. Máx en P12 = (±I,l), f(PI2) = 1 Mín. en PH = (±1, -1), f(PH) =-1.

10. Máx. en Pl 2 = (±I, 1). f(PI 2) = 9. Mín. en P3 = (O. -V5/2), f(p,,) = -4V511. Máx. en p = (3, O), f(p) = 27 ~1ín. en (l, 2), f(q) = 1512. Mín. en p = (7/12, -5/12), f(p) = 23/2413. Máx en p = (--4/3,10/3). f(p) = 32/27 Mín en q = (0,2), f(q) = O

14. Máx en p = (-15.20), f(p) = 2375. Mín. en q = (5/3,10/3), f(q) = J~~~.15. Máx en p = (-3,9), f(p) = 540. Mín. en q = (1, 5), f(q) = 15616. Máx. en p = (2,4,4), f(p) = 20 Mín en q = (-2, --4, -4) f(q) = -2017. Máx. en p = (-1, -20,25), f(p) = 206. "1\1ín en q = (1, 20, -25) f(q) = -20618. Máx .. en p = (2V5, -V5, --2V5), f(p) = 5V5 Mín en q = (-2V5, vj, 2V5).

f(q) = -5JS19. Máx en p = (4, -24,8). f(p) = 88 Mín en q = (-4,24, -8). f(q) = -8820. Máx en p = (5, O, 2). f(p) = 7 Mín en q = (-5,0, -2) f(q) =- 725. Los semiejes son a = 4 (distancia máxima al origen en los puntos PI 2 = (±2v2 =2/2). v

h = 2 (distancia mínima al origen en los puntos P3.• = (±vl2, ::;:y/2)26. Área = 121T. (Los semiejes son 4 y 3)

27. Los puntos más cercanos son Pl2 = (±2/viJ, ±2/vIJ). a una distancia d = J873 Los más

alejados son P3. = (±2, ::;:2). a una distancia d = /828. El más alejado es el punto p = (1 + V2, 1 + V2) a una distancia d = 2 + V2 El más

- ! r:::cercano es el punto q = (1 - V2, 1 - y' 2) a una distancia d = 2 - \/2

29. Distancia mínima = 1 en el punto (-2/3, -1/3, -2/3); distancia máxima = 7 en el punto(l4/3, 7/3. 14/3)

30. Distancia mínima = 1.693 en el punto (9/ v'Í3, 4/ v'Í3); distancia máxima = 67921 en el

punto (-9/vIí3, -4/vIí3)

31. Los dos puntos (±3/v's, ±1/v's)

32. El punto mas cercano, a una distancia de 11 .-. v'2I/3, es

p = (2 - 2/v'2I, 3 - 8/v'2I. 1 - l/v'2I) Yel mas alejado. a una distancia de 11 + v'2Ij3.

es q = (2 + 2/V'2l, 3 + 8/v'2I, l + 1//2f)33. El punto p = (3/2, 1.25/4), que se encuentra a una distancia de 35 vIJ/12

34. Los puntos p = (/3597/3597,2 /3597/3597, -60/3597/1199). a una distancia de398879, y q = (- ';3597/3597, - 2V3597 /3597, 60/3597/1199) a una distancia de1.. 99376

35. En el punto p = (1. 3. j6 + 2) se tiene el mínimo que vale O. y en el puntoq = (1, l 2 - .¡¡s/2) se tiene el máximo que vale 4.¡¡s /5

36. Los puntos de la elipse en donde se tiene el máximo son (l/V2, 1/',/2, -2//2) Y(-1//2, -1/ V2. 2/ V2). el cual vale 3; los puntos de la elipse en donde se tiene el mínimo

Respuestas 1043

son (1/.../2, -1/.../2, O) Y(-1/.../2, 1/.../2, O), el cual vale 1 Entonces el semieje mayor es vI3y el semieje menor es l.

37. El valor máximo es J6/18 cuando dos de los números son-J6/6, y el otro es J6/3. Elvalor mínimo es -J6/18, cuando dos de los números son J6/6, y el otro es -J6/3

38. Distancia = V966/14, en el punto (6/7,11/14, -15/14).

39. Distancia = V258/3, en el punto (-1/3, 1/3, -7/3) ..

40. Distancia = '1"930/18, en el punto (-43/54, -11/54,40/27).41. Distancia = 1, en el punto (O, O, O).42. Distancia = 4J6/3, en el punto 0/3,1/3,1/3).43. Distancia = 3, entre los puntos (2. 1, .,...7) de L I y (3, -1, -5) de Lz.44. Distancia = 6J6, entre los puntos (-15, -5, -20) de L¡ y (-9, -17, -14) de Lz45. Distancia = Oentre los puntos (-·7,-7. -7) de ambas rectas ..46. Distancia = 32/31 entre los puntos (-1/31, -1/31, --1/31) de L I y

(-5/31.23/31,-21/31) de L z.49. El cubo..SO. El cubo.SI. El cubo.52. El cubo.53. La recta tangente debe ser trazada en el punto (al.../2, b1.../2). El área del triángulo así

formado es Amín = ab. .56. Los puntos más alejados al origen son PI,2 = (=t=0.9883185681, ±2.3080244246)

a una distancia dmáx = 2.5107270533, Ylos más cercanos del origen sonP3,4 = (± 1.3787853648, ±0.2386561623) a una distancia duún = 13999287609..

57. Los puntos más cercanos al origen son Pl,Z = (Jve=-T - 1, Jve=-T - 1)

a una distancia drrún = 0..2751602091. Los puntos más alejados del origen sonP3 = (-1.3271627913,-2.2064246412), P4 = (-2.2064246412,-1.3271627913) a unadistancia d máx = 25748147063. .- - -

58. El punto más cercano al origen es PI = (-0.6614107536,2.0558251672)a una distancia d mín = 2.1596021168. El punto más alejado del origen espz = (- 13694675764,3.9338314094) a una distancia dmáx = 4.1653896577 ..

59. El punto más cercano al origen es PI = (13156359355,2.2152338968) auna distancia d mín = 2.57646252297. El punto más alejado delorigen espz = (2.927575446,3 ..6158007145) a una distancia d máx = 4 .. 6523878599.

60. El punto más cercano al origen es PI = (0.9552371645,1.6742874885) auna distancia d mín = 1.9276194216. El punto más alejado del origen espz = (2.9606605249,44412196064) a una distancia dmáx = 5.33759705635

61. Los puntos más cercanos al origen son PI,2 = (±0.1239828153. ±ü9870815682) auna distancia dmín = 0.994837554965. Los puntos más alejados del origen sonP3.4 = (=t=L0877380882, ±0663635712) a una distancia d máx = 127420034012.

62. Los puntos más cercanos al origen son PI,Z = (=t=0 .. 0916861692, ±0.6546442858)a una distancia d mín = 066103365614. Los puntos más alejados del origen sonP3,4 = (±1 .9005850981, 0.2661863407) a una distancia dmáx = 1.91913493092.

63. El punto más cercano al origen es PI = (0..1840669756,0.5457821672, -D.3909518065)a una distancia dmín = 0.6961337089. El punto más alejado del origen es

1044 Respuestas

Pl = (2.120577774389,3..818818116028, -0451654350256) a una distanciadmáx = 4391379458968

64. La distancia mínima es 3.409021745487, que se alcanza en el puntoPI = (0.0442901647,0 .. 9990187092, -L0433088739) de la intersección de lassuperficies, y el punto q] = (06973602624,43026397376, -0.5131986878) dela recta La distancia máxima es 5.046582971062, que se alcanza en el puntoPl = (-0.1472675754, -0.9890966895, 1 1363642649) de la intersección de las superficies,y el punto ql = (1 1675426088,3..8324573912,1.8377130442) de la recta ..

65. La distancia mínima es 1.14493921, alcanzada en el puntoP = (06645447099,0.1529546074, -0..5115901037). La distancia máxima es 3..775987249,alcanzada en el punto q = (-1.6645447099,0.3470453925,2.011590103).

66. La distancia mínima es 5.69974, alcanzada en el punto (del elipsoide)P = (0814598245,0.13294487,0..5487085034).. La distancia máxima es 7.668338327,alcanzada en el punto (del elipsoide) q = (-0.807033138, --0.120913845, -0.565205448) ..

67. Los puntos Pl = (1.97972585,0.1420260158) de la curva xl + 4/- 4 = OYq¡ = (2 .. 80603385,0.379144166) de la curva xl + l + 4x + 2y - 20 = Osonlos que se encuentran más cercanos, a una distancia dmfn = 0.859656866. Lospuntos Pl = (L97972585, 0.1420260158) de la curva xl + 4/ - 4 = O Yql = (-6.8060338502, -23791441661) de la curva xl + / + 4x +2y - 20 = Oson los quese encuentran más alejados, a una distancia dmáx = 9.1403431333.

68. Máximo absoluto en (1, O) en donde f vale 11/6 Mínimo absoluto en (0,1) en donde f valeO.

69. Máximo absoluto en (1, i) en donde f vale 2. Mínimo absoluto en (--1, -1) en donde f vale-2.

70. Máximo absoluto en (1, 1) en donde f vale 8.. Mínimo absoluto en (O, O) en donde f vale O.71. Máximo absoluto en (/2/2, /2/2) en donde f vale 1+ /2. Mínimo absoluto en (-112,-1/2),

en donde f vale -1/2.72. Máximo absoluto en P = (O, O) en donde f vale 2.. Mínimos absolutos en ql,l,3,4 = (±7T, ±7T)

en donde f vale --2 ..73. Máximo absoluto en (7T/2, O) en donde f vale 2.. Mínimos absolutos en (-7T/2, ±7T) en

donde f vale -2.74. Máximo absoluto en (-2, -2, --2) en donde f vale 27. Mínimo absoluto en (1,1,1) (punto

crítico) en donde f vale O.


1. HF(±2, ~3/2) = ±132.2. HF (±l, ±6) = ±152.3. HF (±3, ~28/3) = ±3568.4. HF(±2, ±15) = ~948.

5. HF(±l, ±2) = ±20.6. HF(±l//2, ±1//2) = HF(~l//2; ~1//2) = 8. HF(±l, O) = FiF(O, ±1) = -8.7. H F(±2, ±4, ±4) = -240, ~3(±2, ±4, ±4) = ±768.8. HF(±l, ±20, ~25) = --824, ~3(±1. ±20, ~25) = ~1620.

9. HF(±2,J5. ~,J5. ~2,J5) = -20, ~3(±2v'5. ~,J5, ~2,J5) = ±24V510. HF(±4. ~24, ±8) = -176, ~3(±4, ~24, ±8) = ± 1280.11. HF(±5, O. ±2) = -112, ~3(±5, O, ±2) = ± 160.

Respuestas 1045


1. a. (1, 2, -1), b. (5. 3, 19), c. (0.5. - 2, - 15), d. O, e. (V77, 2vn. -V77), f. (-1 O. 2, -6),g.16

2. /1 n /2 n, ,nh

3. IR

4. {t E IRlt ~ O}

5. {t E IRlt ~ 1}

6. {tEIRlt>O}

7. IR

8. IR

9. {t E IRIO < t ~ 1}

10. {t E IRI·- 1/4 ~ t ~ 1/4}

11. o~ E/.J213. Cualquier o> O

14. (2, 1)

15. (2,0)

16. (1, O)

17. (1/2,2)

18. (2,3,4)

19. (2x, 3x2, 4x3

)

20. (2/3, 1, O)

21. Discontinua en t = 1

22. Discontinua en t = O

23. Discontinua en t = 1 Yt = -1

24. Continua en IR

25. Continua en IR


1. Traza def = {(a, b)}

4. No es simple pues f( -1) = fO) = (2, O)

6. No es simple pues f(-1) = fO) = (O, O)

7. Es un camino cenado simple

8. La rama derecha de la hipérbola x2- l = 1

1046 Respuestas


2. (O,7TCOS7T2/4)

3. (3/2, O)

4. (O, O, O)

5. (-e-' 1/ 2,-I, 4/3)

6. Es diferenciable y regular

7. Es diferenciable; no es regular, pues f' (O) = (O, O, O)

8. Es diferenciable y regular

9. No es diferenciable

10. Es diferenciable; no es regular, pues f' (O) = (O, O)

11. Cierto

12. Falso, por ejemplo fU) = U, t)

13. Falso, por ejemplo f(t) = (cos t, sen t)

14. Cierto

16. t =-3/2

17. a. t = 37T/2, b. t = 7T/2, c. t = OY t = 27T,d. t = 7T, e. t = arctan(-b/a),f. t = arctan( -b/a) + 7T

19. La recta es f(t), el plano es x + 3y + 2z = 14to- 12

20. La recta es x = / - 1, Y = 2 + 2/, Z = 3, el plano es x + 2y = 3

21. La recta es x = 1, Y = 3/, Z = 3t , el plano es y + z = O

22. La recta es x = 1 - 2t, Y = l - t, Z = /, el plano es Z - 2x - y = -3

23. La recta es x = t, Y = 1 + t, Z = 5/, el plano es x + y + 5z = l

24. La recta es x = -7T - t, Y = 1, z = -2t, el plano es z = O

25. La recta es x' = -2, Y = 5, Z = 10 - 5t, el plano es Z = 10

26. En los puntos f(2) = (-2, 12,14) Y f(-I) = (-2,3, -4)

27. En el punto f(I/2) = (3/2, -1/2, O).


1. Sí

2. Sí

3. No

4. No

5. No

6. (2,15/2)

7. <pes) = 1 - S2/2, f no es una reparametrización de f

8. <pes) = 27T(1 - s2), g no es una reparametrización de f

9. f: [O, 1] -> JR3, fes) = (sen(Ss), cos(Ss), 5s)

10. f: [O, 5]-+ JR3, fes) = (1- s/5, 1 - s/5, 1 - s/5)

11. f: [0,1] -> JR3, fes) = (6s + 2, 8s3 + 3)

12. f: [-2,2] --> JR3, fes) = (3 cos(s/2),3 sen(s/2))

13. f: [0,1/4] -> JR3, fes) = (16s2- 28s + 12, 11 - 16s)

14. f: [0, 3] -> JR3, fes) = «3 - s)e3- s, eS-

3, 3 - s)

15. f: [1,4 + 7T] -> JR3, fes) = (3S + 7T, 2(3s + 7T), 3(3s + 7T))3+7T 3+7T 3+7T

16. f: JR -> JR2, f(t) = (t, O)

17. f:JR -> JR2, f(t) = (O, -t)

18. f: JR -> JR2, f(t) = (t,2t)

19. f: [7T/2, 7T] -> JR2, f(t) = (J3 cos t, J3 sen t)

{

(1 - t, t) si t E [O, 1)

20 f:[04]->JR2 f(t)= (1-t,2-t) s~tE[l,2). , , (t - 3,2 - t) SI t E [2,3)

(t-3,t-4) sitE[3,4]

{

(t, t/3) si t E [0,3)21. f:[0,5]-->JR2,f(t)= (6-t,4t-11) sitE[3,4)

(10 - 2t, 25 - 5t) si t E [4,5]

{

(t,-l-t) sitE[-2,-1)

22 f:[-22]->JR2 f(t)= (t,l+t) s~tE[-l,O). , , (t,l-t) sltE[O,l)

(t, t - 1) si t E [1, 2]

23. f: [-2, 2] -> JR2,f(t}= {(t,t2

- 21) sit E [-2,-1)U[1,2](r, 1 - t) si t E [- 1, 1)

24. f: JR -> JR3, f(t) = (t, 0, O)

25. f: JR -> JR3, f(t) = (O, -t, O)

26. f: JR-+ JR3, f(t) = (0,0, -t)

27. f: [O, (0) -> JR3, f(t) = (t/2, t, t/3)

28. f: [0, (0) -> JRJ , f(t) = (- t, 8t/9, 7t/9)

29. f: [7T/2, 57T/2] -> JR3, f(t) = (2 cos r, 2 sen t, 4)


Respuestas 1047

1048 Respuestas

1. 3V26

2. V26 - v"i -In(v"i - V26 +2m - 1) + In5

3. (l3m - 8)/27

4. 3 senh(2/3)

5. In(2 + )3)

6. 3V26

7. 24

8. 4 + 23/2 In(l + v"i)

9. v"isenh2 1

10. v"isenhl

12. c. v"ie-Io

14. o

15. ({3 _ a)(t afY/217. Tomando como t = Oel momento del despegue, se tiene: ZONA 1: entrada a las

13.6749 horas, salida a las 17..8192 horas, distancia recorrida = 5466..72 km. ZONA 2:entrada a las 36.0051 horas, salida a las 40.4315 horas, distancia reconida = 5838.83 km.ZONA 3: entrada a las 52.1323 horas, salida a las 605113 horas, distancia recorrida =110526 km. Si k ::; 70/9, la nave del capitán Marcello no entraría a la zona de ondasexpansivas de la explosión.


1. r"(s) = -r-I(cos(s/r), sen(s/r», i¡rt'(s)11 = r- I

2. r"(s) = (S2 + 1)3/2(_s, 1), 1¡rt'(s)!1 = 1/(s2 + 1)

3. r"(s) = - 2 a {32 (cos S ,sen s ,o), I¡rt'(s) 11 = iai/(a2 + {32)a + J a2 + {32 Ja 2 + {32


1. 1/5

2. v"ij3

3. 2v"i/27

4. Jl4/12

5. v'38/18

6. k(t) = -2v"ie31 (1 + e41 )-3/2

67. k(t) = 1tIC4 + 9t2)3/2

Respuestas 1049

68. k(t) = -lt\(4 + 9t2)3/2

2(3t2 - 3t - 1)9 kU) -

• - - (9t4 + 12t3 + 8t2 - 4t + 1)3/2

10. k(t) = 2e31 (1 + e41 )-3/2;

V211. k(t) = - 4)1 _ cos t

12. k(t) = «b2 2) ab2 2)3/2' kmáx = ab-2, para t = 0, 7T, 27T, kmro = ba-2

, para- a cos t + a

t = 7T/2, 37T/2..

13. k(x) = 2 2 3/2' kmáx = 2 para x = O.. No hay mínimo ..(1 + 4x )

14. k(x) = 6x 2 3/2' Para x = -(1125)1/4/15 hay un mínimo local que vale(1 + 9x )

kmro = -5(20)1/4/6, para x = (1125)1/4/15 hay un máximo local que vale kmáx = 5(20)1/4/6

n(n - l)xn ¡xl15. k(x) = 2 2 2 3/2

(n x n + x )

16. x2 + (y - 1/2i = 1/4

17. x2 + l = 1

18. En (1, 1): (x + 4)2 + (y - 8/W = 250/9. En (-1, -1): (x - 4)2 + (y + 8/3)2 = 250/9 ..

19. x2 + (y - 1/2)2 = 1/4

20. x2 + (y - 1/2)2 = 1/4

22. f: ]R ---. ]R2, fU) = (_4t 3, 3t2 + 1/2)

23. f:]R - {O} ---.]R2, fU) = (U - 9t5)/2, (15t4 + 1)/6t)

Capítulo 5, Sección 9 (página 525)Ejercicio 1 2 3 4 5

rectax=t X = 1 x=t+l x=t+l x = 3t + 1

tangente y=O y = t y=l-t y=t Y = 2t + 1z=3 z = t Z = t z=2t+1 z = t + 1x=O x = 1 - 2t x = 3t + 1 x = 1 - 3t x = 18t + 1

rectay = 2t y=O y = 3t + 1 y = -9t Y= 1 -- 16t

normalz=2t+3 z=O z=O z = 6t + 1 z = 1 - 22t

x=O.

x=1 x = 1- t X = 4t + 1 x = 1 - 2trecta

y= -2t y=l+t Y= -2t Y = 6t + 1binormal

y= -tz = 2t + 3 z = t Z = 2t z = 1 - t Z = 1 - 6t

plano z-y=3 z-y=O -x + y +2z = O 4x- 2y - z = 3 x - 3y + 3z = 1oscu1adorplano

x=O y+z=O x-y+z=O x + y +2z = 3 3x +2y+ z = 6normalplano y+z=3 x = 1 x+y=2 x + 3y - 2z = -1 9x-8y-llz=-10rectificante

1050 Respuestas

[

X - C¡ y - C2 Z -- C3 ]

6. det al a2 a3 = Ob¡ b2 b3

8. Plano osculador: 128x + 8ly - 5z = 750, plano normal: -3x + 4y - 12z = -12, planorectificante: 952x - 1551y -- 755z = -1600

9. Plano osculador: z = 1, plano normal: y = x, plano rectificante: x + y = 2

10. Recta tangente: x = 1 + l, y = 1 + l, Z = I + 2t recta normal: x = I - t, Y = 1 - t,Z = 1+ 1 recta binormal: x = 1 + l, y = 1 - t, Z = 1

11. 32/3


1. x - 4Y + 2z = -1

2. f(t) = CI sen al + C2 cos al + C3, donde CI, C2 YC3 son constantes arbitrarias ..

1 ..3. El valor común de la curvatura y de la torsión es 3(t2 + 1)2


1. r"(t) = (O, O) = (O) T(t) + (O)N(t)

2. r"(1) = (0,6) = 9~T(1) + 3~N(1)

11 9VIo 3VIO3. r (-1) = (0,-6) = --5-T(-I) + S-N(-l)

4. r"(O) = (-- 2, O) = (O)T(O) + (2)N(O)

5. r"(l) = (2,6) = 22~T(1) +6:N(I)

6. f' (O) = (O, 2), f" (O) = (1, O)

9. V2eo /2, la cual tiende a infinito cuando (J tiende a infinito.

10 e2 + 2 1 l' d d (J' d . fi .. -2-~/2' a cua Den e a cero cuan o tlen e a In mto.(e + 1)

11. 4/3..


2. 20 3. O

4. 16 5. O

6. 21 7. 8

8. 20 9. 16

10. 29 11. -4

12. 35 13. 1214. 128


1. 6

2. -4

3. -4

4. -1/2

5. 40

6. 48672

7. (sen 17 + sen 26 - sen 29 - sen 14)/4

8. (2senl-2cos2-2cos1-sen2+4)/4

9. e5_o e4

- e2 + e

10. e(1-cosl)+cos1-1

11. 3 - e

12. 1/80


t r(4-Y)/3 t/3 t-3x

1. Jo dx Jo f(x, y)dy = Jo dy Jo f(x, y)dx

2. t dx t x

f(x, y)dy = t 6dy t f(x, y)dx

Jo Jo Jo J y/ 4

3. j5 dx j(5X-1)/4 f(x, y)dy = j6 dy r5f(x, y)dx

1 1 1 J(4;+I)/5

¡6 18-(2Y/3)4. dy f(x, y)dx

3 2y/3

J «(1_<')/2)'/2 2- 1/' (I_2y')'/2

5. J dx J f(x, y)dy = J dy J f(x, y) dx-1 -«(I-x')/2)'/2 _2- 1/' -(1-2y')I/'

6. t dx ¡Vi f(x, y) dy = t dy r,v'Y f(x, y) dxJo x' Jo Jy-

2 2+(I-(x-1)')'/' 3 1+(I-(y-2)')lf'

7. r dx r f(x, y)dy = j dyj f(x, y)dxJo J2-(l_(X-1)2)1/' 1 1-(l-(y-2)')1/2

8. J2 dx ¡<+2 f(x, y)dy_1 x2

1 I-y'

9. J dy r f(x, y)dx_1 JY'-I

105(1+-/5) JY+3

10. dy f(x, y)dx05(}- -/5) )'+2

Respuestas 1051

1052 Respuestas

11. a. JO dx jX+1 f(x, y)dy + t dx11

-

x

f(x, y)dy-1 ·-x-I Jo x-I

b. JO dy jY+I f(x, y)dx + t dy JI-Y f(x, y)dx-1 -y-I Jo }-I

j

o j6+3X/2 ¡2 16-3X/212. a. dx f(x, y)dy + dx f(x, y)dy

-2 -3x/2 O 3x/2

b. (3 dy j2)'/3 f(x, y)dx + (6 dy t-2y/3

f(X, y)dxJo -2)'/3 J3 J2>/3-4

j3 15(X-I)/2 17 15 ¡lO 1(-4X+43)/313. a. dx f(x, y)dy + dx f(x, y)dy + dx f(x, y)dy

I . (x-I)/9 3 (x-I)/9 7 (x--I)/9

¡I 19Y+I j5 1(43-3Y)/4b. dy f(x, y)dx + dy f(x, y)dx

O (2y+5)/5 I (2}+5)/5

j 2 12X ¡5 1(X+18)/5 /7 ¡(X+18)/514. a. dx f(x, y)dy + dx f(x, y)dy + dx f(x, y)dy

1 x/5 2 x/5 5 2x-9

¡ I 15)' j4 j(V+9)/2 15 /(}+9)/2b. dy f(x, y)dx + dy f(x, y)dx + dy f(x, y)dx

O y/2 I '/2 4 5}--18

15. a. (3 dx j4. f(x, y)dy + (6 dx j4 f (x, y)dyJo -x J3 x-6

b. JO. dy j)'+6 f(x, y)dx + t dy (6 f(x, y)dx-3 -y Jo Jo

16. t dy j,fi f(x, y)dxJo Y'

I 2(1 +,2)l i2

17. ¡ dy1 f(x, y)dxO 2(1_>2)li2

I (I_l)l i2

18. 1dy1 f(x, y)dx

¡I 11O-9Y19. O dy y f(x, y) dx

¡4 Jfi+220. dy f(x, y)dxO fi-2

21. 640/27

22. 36

23. ln2

24. O

25. 1/6

Respuestas 1053

26. 139/70

27. 15862/6

28. (2/3)(e2 - e - e- I + e-2)

29. 5e3 - ISe + 6e- 2 -·2

30. (9/4)sen2 - (3/8)eos2 -- 2sen 1 - 2eos 1+ 5/8

31. (2/3)7Tab

32. O

33. -2/3

34. 8/3


1. hf f(x,y)dxdy= l f3du iD f«bv-du)/(bc-da),(av-cu)/ad-bc»jl/(ad-bc)\dv

2. hf f(x, y) dx dy = l f3du iD f«uv)I/2, (u/v)I/2)i(l/2v)! dv

3. R' = {(r; 8)!0 ::; r ::; 2, O ::; 8 ::; 7T}

4. R' = {(r; 8)¡0 ::; r ::; 2, -7T ::; 8 ::; O}

5. R' = {(r; 8)11 ::; r ::; 3, -71/2 ::; 8 ::; 7T/2}

6. R' = {(r, 8)[0::; r::; 2eos8, -7T/2::; 8::; 7T/2}

7. R' = {(r; 8)!0::; r::; 4sen8, O::; e::; 7T}

8. R' = {(r; 8) lo ::; r ::; -4 cos 8, 7T/2 ::; e ::; 37T/2}

9. R' = {(r, 8)[0::; r::; -6 sen 8, -7T::; 8::; O}

10. R' = {(r; 8)!2 1/2

::; r ::; 31/2

, 7T/4 ::; 8::; metan 2}

11. R' = {(r; 8)jl ::; r::; 3 1/2, 57T/4::; 8::; 7T + aretan3}

12. R' = {(r; e)!2 1/2

::; r ::; 2, 37T/ 4 ::; e ::; 7T}

13. O

14. 50

15. 3/4

16. 87T

17. 7T(e9- 1)

18. In(4/3)"

19. 247T

20. 77T2/ 192

1054 Respuestas

21. 409607T/3

22. 9/32

23. O

24. O

25. r 1/ 2 In(4/3)7T


1. 7T/2

2. 15

3. 37T/2 - 2/3

4. 91n2 3 - 27 In 3 + 18

5. 2/3

6. 7T(l -- e- 1)

7. 127T

8. 87T/3

9. 7T(4V6 -- 22/3)

10. 167T

11. 97Th/4

12. 27T

13. 7T(4 - 23/ 2)

14. 77T/12

15. 9/4

16. 1/3

17. 173/2/6

18. 20)5/3

19. 2

20. 3-e

21. 23/ 2

22. (37T - 2)/6

23. 7T/8

24. 57T/32 + 1/12

25. 1/60

26. 7T/4+ 1/2

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

36.

37.

38.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

Respuestas 1055

13/216

257v3/3456 + 1/48

.5

In 3

Va2 _. b2aJ a2 _. b2 - ab arctan ---

b

Las dos áreas "laterales" son iguales a 271'/3 + 2- 1/ 2 In(v3 - V2), El área "central" es igual

a 871'/3 - V2ln(v3 - V2)

El área superior es 2~0(2577' + 8) - ~ arctan(3/4) El área inferior es

9 94: arctan(3/4) + 200 (2571' - 8)

71'a2 ab b2 - a2 a.- - - + --- arctan -844 b

El área "central" es igual a 271'ab - 4ab arctan ~. Las dos áreas "laterales" son iguales ab

a 71'ab a2 - b22ab arctan - - .- = ab mctan--

b 2 2ab .

71'b2 • a2 - b2 V-ab(a + b)2.- + o mctan j -b/a-8 4 4(a - b)

l ¡;:,6a2(271' +3v 3)

~71'a22

9-71'2

1 2-71'a8

ka2/3

/3a2k (In 3 + ~)

443

Si los vértices del triángulo son (O, O), (h, O) Y(h /2, h), el centro de masa se encuentra en elpunto (b /2, h/3)

. . 4 sen(8/2)El centro de masa se encuentra sobre la bisectri7 f1p] ángulo 8, a una dtstancIa de - R---

3 8del centro

(0,3/5)

(5/2,32/5)

(371'/16,1/5)

1056 Respuestas

51. ab3 /3

52. 1TR4/853. 4/9

54. 51TR4 /4

55. bh 3/12

56. 1/4

57. 1/3

58. e

59. 15/6

60. 1 - e- I

61. 1/4

62. 1/3


1. a.jl dzj~ dy jy'l-y2

-Z

2

f(x,y,z)dx-1 -~ -y'I-r-z2

1 ~ jy'1=Y2- Z2

b. j dy j dz _ f(x, y, z)dx_1 - y'1_y2 _y'I_y2_ Z2

1 jy'I-Z2 jy'I-X2.-Z

2

c. j dz dx f(x, y, z)dy-1 --~ --y'I-x2_Z2

JI j~ j';I-X2

_Z2

d. dx _ dz f(x, y, z)dy-1 _y'Í_.x2 _y'I_X2_Z2

1 j~ jy'I_X2

_Y2

e. j dy dx f(x, y, z)dz-1 -~ _y'I_X2_ y2 •..

JI j~ jy'I_X2__

y2

f. dx dy f(x, y, z)dz-1 -·~-~-r .

¡

e ¡b(1--Z/C) ¡a(1-Y/b-Z/C)2. a. dz dy f(x, y, z)dx

O O O

¡

b ¡CO-Y/b) ¡aO-Y/b-Z/C)b. dy dz f(x, y, z)dx

O O O

¡

c ¡ao-z/c) ¡bO-x/a-z/c)c. dz dx ¡(x, y, z)dy

O O O

¡a ¡C(l-x/a). ¡bO-x/a-z/c)d. dx dz f(x, y, z)dy

O O O

¡

b ¡aO-Y/b) ¡Co---x/a-Y/b)e. dy dx ¡(x, y, z)dz

O O O

¡a ¡bO-x/a). ¡c(1-x/a-Y/b)f. dx dy f(x, y, z)dz

O O O

Respuestas 1057

3. JI dxJ~ dy JI f(x, y, z) dz, JI dy jVI-y2

dx JI f(x, y, z) dz-1 -VI-x2 -1 -1 -¡I:Y2-1

JI JI j~ JI JI j~dx dz _ f(x, y, z) dy, dz dx f(x, y, z) dy-1 -1 _~2 -1 -1 -VI-x2

JI dyjl dZj,¡l=Yl f(x,y,z)dx, JI dzjl dyjv'i"=? f(x,y,z)dx-1 -1 -yí=Y2 -1 -1 -VI-y2

4. j2 dy j2 dXjV

4-X2

f(x, y, z)dz, J2 dXj2 dyjV4-X.~ f(x, y, z)dz.-2 -2 -V4-x2 -2 -2 -v'4=-x2

j2 dy j2 dz jV4-Z2 [(x, Y. z)dx, j2 dz j2 dy jV4-Z2 f(x. y, z) dx

-2 -2 -~ -2 -2 -V4-Z2

¡2 dx JV4-X.2 dz j2 f(x, Y. Z) dy, j2 dz jV4-Z2 dx J2 f(x, y, Z) dyJ-2 -V4-x2 -·2 -2 -)4-z2 -2

5. (La respuesta no es única)¡I dx ¡I-X dy ¡I-X-Y f(x. y, z)dz +¡1 ~x ¡O dy ¡I-X+Y f(x, y. z)dz

j o ° ¡I+~ jl+~~~-I JO ° JO x-I j~~:;:+ dx dy f(x. y. z)dz + dx .. dy f(x, y, z)dz

-1 ° -x+y-I -1 -x-I -x-y--j

6. 1/8

7. 3/2

8. 1/24

9. 43/720

10. (ln2)/2-5/16

11. e3 - 3e + 3e- 1 - e-3

12. 7e/6-8/3

13. 1T2abe/ 4


1. f},= {(r;e.z)jO.<::;;r<::;; 1,0<::;; e<::;; 1T/2,-1 <::;;z<::;; 1}

2. f}, = {(r. e. z)\O <::;; r <::;; 1, -1T/2 <::;; e <::;; O. -1 <::;; z <::;; l}

3. f}, = {(r; e. z) \1 <::;; r <::;; 2. o <::;; e <::;; 277. o <::;; Z <::;; l}

4. f},= {e,; e,z)ll <::;; r <::;; 2,1T/4 <::;; e <::;; 1T/3,0 <::;; z <::;; 2}

5. f}, = {(r;8,z)10 <::;; r <::;; 2cos8, -1T/2 <::;; 8 <::;; 1T/2, 1 <::;; z <::;; 4}

6. f}, = {e,; 8, z)IO <::;; r <::;; 1, 0<::;; 8 <::;; 21T. 0<::;; Z <::;; 2r2}

7. f}, = {(r. 8, z)ll <::;; r <::;; 3, o <::;; 8 <::;; 21T,r2 <::;; Z <::;; 3r2}

8. f}, = {(r. 8, (MIO <::;; r <::;; 1, o <::;; e <::;; 21T, 0<::;; cP <::;; 1T/2}

1058 Respuestas

9. n = {(r; 8, c,b)10::; r::; 1, O::; 8::; 27r, 7r/2::; c,b::; 7r}

10. n = {(r~ 8, c,b)10::; r::; 2, 7r/2::; 8::; 7r, O::; c,b::; 7r/2}

11. n = {(r, 8, c,b)ll ::; r::; 2, -7r/2::; e::; O, 7r/2::; c,b::; 7r}

12. n = {(r; 8, c,b)ll ::; r::; 3, O::; e::; 27r, 7r/2::; c,b::; 7r}

13. n = {(r~ 8, c,b)¡0 ::; r ::; 2, O::; e ::; 27r, O::; c,b ::; 7r/4}

14. n = {(r; e, c,b)10 ::; r ::; 2, O::; e ::; 27r, 7r/2 ::; c,b 5, 37r/4}

15. n = {(r; 8, c,b)ll ::; r::; 3, 7r/4::; e::; 7r/3,0::; c,b::; 7r}

16. 7r/4

17. O

18. (7r/3)(cos 1 - cos4)

19. 327r/105

20. 9767r/3

21. 47r/5

22. 87r/15

23. 27r - 7r2/2

24. -407r

25. 57r/24


1. 16/3

2. 77r/2

3. 7r

4. 167r

5. -47r/3

6. 1/2

7. 7r{l4/3-7v2/3)

8. abc7r2/4

9. abC7r2 /(4v2)

10. 7ra2bc/3

11. El volumen es igual a ~7ra2(b - a)2 y el área es igual a 7ra(b - a)(b + 3a).3b b

12. O

13. 7r

Respuestas 1059

14. (1/4,1/4,1/4)

15. (0,0,3/8)

16. (0,3/8,3/8)

17. 0/8,3/8,3/8)

18. (0,0,3/5)

19. (0,0,157/(20(9arctan(V2/2)+3V2-1)))

20. (O, 0, 1+ V2)

21. (0,0,7/16)

22. Ix = Poabc(b2 + c2 )/3, Iy = Poabc(a2 + c2 )/3, Iz = Poabc(b2 + a2 )/3

23. Id = PoTr2 R3 /2, Itan = 128PoR3 /75

24. Ir = 8Poabc(b2 + c2 )/3, ly = 8Poabc(a2 + c2 )/3, lz = 8Poabc(b2 + a2 )/3

25. 1/2

26. °27. 1/2

28. 5/6

29. 62/35

30. °31. 3/4

32. 1/2

33. °Capítulo 6, Sección 9 (página 668)

2. 1/2

3. 1/16

4. 2

5. 1/36

6. 1/24

7. 1/38L

8. 1/48

9. Tr9

11. 1/6

12. 5/21

1060 Respuestas



10. grad f(x, y) = (1, 1)11. grad f(x, y) = (y, x)12. grad f(x. y) = (2x, 2y)13. grad f(x, y) = (4x, -2y)14. grad f(x, y) = (2x, -4y)15. Otros campos que tienen la misma propiedad son, por ejemplo, G I (x, y, z) = (y, -x, O),

G2(X, y, z) = (-z, O, x)16. FcCr; e, z) = rer + zeZ, Fe(r; e, cP) = rer17. FcCr; e, z) = r 2 cos eer + zezoFe(r; e, cP) = (r2 cos e sen3 cP + r cos2 cP )er + (r2 cos e sen2 cP cos cP - r sen cP cos cP )e<f¡18. Fe (r; e, z) = (r sen e cos e + r 2 sen3 e)er + (r2 sen2 e cos e - r sen2 e)eo + rz sen ecos eezFe(r; e, cP) =(r sen e cos e sen2 cP + r 2 sen3 e sen3 cP + r 3 sen e cos e sen2 cP cos2 cP)er + (r2 sen2 e cos e sen2 cP r sen2 e sen <p)eo + (r sen e cos e sen <p cos <p + r 2 sen3 8 sen2 <p cos cP - r 3 sen2 e cos e sen2 <p cos <p )e<f¡19. Fe(r; e, z) = (r + r sen 8 cos e + z sen e)er + (-r sen2 e + z cos e)eo + zezFe(r; e, <p) = Fr(r; 8, cP )er + Fo(r; e, cP )eo + F<f¡(r; 8, <p)e<f¡,en dondeFr(r; e, cP) = r sen2 <p( 1 + sen ecos 8) + r sen e sen <p cos cP + r cos2 <pFo(r; e, cP) = -1 sen e sen <p(cos e + sen e) + reos e(sen 8 sen cP + cos <p) F<f¡(r; e, <p) = reos <p20. Fc(r; 8, z) = (r2 sen e cos2 e + rz sen ecos e)er + (rz cos2 8 - r 2 sen2 8 cos e)eo + TZ sen eezFe(r; e, <p) = FAr; e, <p)er + Fe(r. e, cP)eo + F<f¡(r; 8, <p)c"" en dondeFr(r; e, cP) = r 2 sen e sen <p(cos2 8 sen2 <p + cos e sen <p cos <p + cos2 cP)Fe(r; 8, <p) = r 2 cos e sen <p( - sen2 e sen <p + cos ecos cP)F", (r; e, <p) = r 2 sen e sen <p cos <p(cos2 8 sen cP + cos ecos <p - sen <p)


1. 12. O3. O4. O5. 54/56. 2

17 1 17 - - - sen 2 + - sen 4

. 24 4 328. O9. 5/2410. 5211. -2012. 5/313. a. 1/6, b. O, c. 3/10, d. -1/2, e. 1/214. a.4,b.4,c.4,d.4,e.415. a. O, b. O16. a.O,b.O17. a.2,b.2,c.218. O19. tI. 1, t2. 68 + 841, t3. O, t4. O, tS. 6 + 2i, u1. (l + 1)/3,

Respuestas 1061

u2. (1 + i)/3, u3. (1 + i)/3, vIl. -7Ti/2, v12. -7Ti/2, vl3. -7Ti/2, v21. -i, v22. -1/6 - 4i/3,v23. -·1 - 3i, wl) 27Ti, w2. 27Ti, w3. 0, xl. 27Ti, x2. 4i, x3. 5i


1. b. 4, c. f(x, y) = x2 y + x +2l2. b. 6, c. f(x, y) = 3xi + xy + 2x3. b. 9, c. f(x, y) = x2i + xy + 5x + 2y4. b. 10, c. f(x, y) = x2 y3+ xy + x + 7y5. b. 4, c. f(x, y) = x3+ x2 y2 + xy + y36. b. 9, c. f(x, y) = 3x5 + 2x3y' + xy + 3l7. b. e2 + 2, c. f(x, y) = leX+Y + x + y8. b.3 + sen2 1, c. f(x, y) = 2x2 +xsen2 y + y9. b. 2 sen 1 + 2, c. f(x, y) = y sen x + x sen y + x + y10. b.2 + e sen 1, c. f(x, y) = ¿ sen y +.x + y16. b. 7T + e + etr

, c. f(x, y, z) = 7TX + ey + etrZ

17. b. l ,c. f(x, y, z) = x2 y3Z

18. b. e3, c. f(x, y, z) = xe y+2z

19. b. 5, c. f(x, y, z) = 3xy + 2xz2

20. b.4 , c. f(x, y, z) = xz2 + x + 2yz21. A lo largo de A es igual a e; a lo largo de J.L es igual a O22. La integral es igual a O; la función potencial es f(x, y, z, u) = 2x2 yu + 3xyz + Z3 u2


Ejercicio ¿convexo? . nex? I¿conexo por I¿simplemente¿co o. caminos? conexo')

1 sí sí sí I sí2 no no no I noI

3 no sí sí ¡- síI

4 no no no I noI

15 no sí sí sí6 sí sí I sí ! sí7 no sí sí ¡ no8 no sí I sí ¡ no9 sí sí sí ! sí

10 no no no I no


1. x2 y + x + 2l = e2. xy + x + y = e3. x6l' + 7x + 9y = e4. x2i + xy + 5x + 2l' = e5. 2x2i + 5xl + 4x + 8l' = e6. x2i + xl' + x + 7l' = e7. 3xy' + xl' + 2x = e8. 12x2y' + x2 + i = e9. x2 l + x2 + l'3 = e10. 2x2 + .x sen2 y + y = e

1062 Respuestas

11. 6x/ + 5xy + y= c12. 2xl + lOxy + 2x + 3y = c13. 2x3 + 10x2y + 20xy + l = c14. lex+

y+x+ y = c15. x sen(x + y) + y + x = c16. ysen(x + y) + xcos(x - y) = c17. j.L(x) = ¿, (x- 2y)y¿ = c18. j.L(y) = y, xl(x2 + y) = c19. j.L(x) = x3, 3x5y + x4 l + 12x4i = c20. j.L(xy) = xy, (3x + 7y + 6)x2 l = c21. j.L(x2 + i) = e

x2+/, (6x2 + y)¿2+/ = c

22. j.L(x5 + /) = (x5 + i)2, (3y + 1)(x5 + y5)3 = e23. j.L(x + i) = (x + l)-I, (3x + 4y) In(x + l) - 3l = c24. y = (sen x + cosx)/2 + ce--x

25. y = e3x /5 + ce-2x

26. y=x2/3+c/x27. y = O..5x + 0..5(1 + x2)-1/2(c + In(x + (1 + x2)1/2)

28. y= 1/6--(3/26)cos2x-(1/13)sen2x+ce-3x

30. a. y-I :::= 1 + c¿, b. y-I = eX /2 + ce3X, c. y-I = (1 + C¿2) 1/2

31. dI x = c(u - 1)3 - (3u - 2)5/3-3/4, en donde u = y/x,

d2 6x2 + 2xy +7l = c, d3 x + (x2 + i)'/2 = c,d4 (y - x)2(2y + x) = c

Capítulo 7, Secci6n 7 (página 768)

1. 2V22. lOv'lO3. 'Tr4. O5. 2'Tr6. -70/16-17In(2+ 0)/327. senh2 + (1/3)senh3 28. 78V29. 2'Tr2 V2

!2:(l + 'T(2 )(2 + 'T(

2)1/2 + ~ In..filQ 4 2

'Tr + (2 + 'T(2)1/2 + (2 + 'T(2)3/2 _ 23/2

11. a. k, b. k, c. k, d. k, e. 2k, f. 4k, g. 2k12. a. kl + k2, b. 12kl - 4k2, c. 8k l -- 24k213. (l/3)(1 + e2)3/2 - 23/ 2

14. 2V2/315. (O, O)16. (0,1/2)17. (O, (4senh l)-1(2+ senh2»

(h(1 + h2)1/2 )

18. 1, 2(1 + (1 + h2)1/2)

19. 'TrR/4

21. 41TrJR2 - r 2

22. 4a2

23. a. 2a2, b. 0.51Ta3

24. aL


1. O2. O3. a. 4V2, b. 4V2, c. 4V24. a. 2, b. 2, c. 2;5. a. 3/2, b. 3/2;6. 4


6. -,81T7. -751T/28. 2a2

12. -'3/S13. 1Tab14. 2a2

15. (3/8)1Ta2

19. Sí, por ejemplo, un círculo de radio 2,


1. 22. 2/33. O4. l-x2

6. Sí es conservativo


5. O6. 16/37. O8. 29. 201T/V310. 451T/211. 7/212. 513. 31T/2 - 1/314. 2z + l/r15. 4r28 + 2rz16. 3/2

17. 4+V2+1T/418. 3(1 + V2)/219. 3 cos 8 cos cf> + cot cf> - sen cf>20. 4r + 2r - 1 cos cf> - r - 1 cos 8 csc cf> + 2r - 1 cos cf>

Respuestas 1063

1064 Respuestas---_._-----------------------



1. a. J: S -7 IR3, S = {(u, v)iu 2 + v2 :=:; 3/4},

f(u, v) = (u, v, (1 - u2 - v2)1/2)

v'3 V3 1b. A: [0, 217] -7 IR3

, A(t) = (2 cos t, 2 sen t, 2)1

c. Int(K) = {(x, y, z)ix2 + l + Z2 = 1, 2 < z :=:; 1}

2. a. f: S -7 IR3, S = {(u, v)lu2 + v2 :=:; 3/2},

1f(u, v) = (.;2(2 - u2 _ v2)1/2, u, v)

b. A: [0,'21T]-> IR3, A(t) = (~, (3/2)1/2 cos t, (3/2)1/2 sen t)

1c. Int(K) = {(x, y, z)i2x2 + l + Z2 = 2, 2 < x:=:; 1}

3. a. f: S -7 IR3, S = {(u, v)lu2 + v2 :=:; 8/3}, f(u, v) = (u, - ~(3 - U,2 - 3v2)1/2, v)

b. A: [O, 21T] -7 IR3, A(t) = «8/3)1/2 cos t, -1/3, (8/3)1/2 sen t)

c. int (K) = {(x, y, z)lx2 + 3i + 3z2 = 3, -1 :=:; Y < -1/3}4. a. f: S -7 IR3

, S = {(u, v)13u 2 + v2 :=:; 4}, f(lI, v) = {u, v, 3u2 + v2}

b. A: [O, 21T] -7 IR3, A(t) = «2/ V3) cos t, 2 sen t, 4)

c. int (K) = {(x, y, z)iz = 3x2 + l, 3x2 + l < 4}5. a. f: S -7 IR3

, S = {(u, v)iu 2 + v2 :=:; 4u},f(u, v) = (u, v, u2 + v2

)

b. A: [O, 21T] -7 IR3, A(t) = (2 cos t + 2, 2 sen t, 8(cos t + 1)

c. int (K) = {(x, y, z)lz = x 2 + l,x2 + l < 4x}6. a. f: S-> IR3

, S = {(u, v)lu 2 + v2 :=:; 1},f(u, v) = (u, v, e-<u

2+v

2»

b. A: [O, 21T] -7 IR3, A(t) = (cost, sent, e- l)

c. int (K) = {(x, y, z)lz = e-<x'+/), x 2 + l < 1}7. a. f: S -7 IR3

, S = {(u, v)lu2 + 1'2 :=:; 3v},f(u, v) = (u, v, u2 + v2 + 3u - 8v + 1)

11))3- 3 3 3 9 15 13b. A: [O, 21T] -7 m. , A(t) = (2 cost, 2sent + 2':2 cost - 2 sent - 2)c. int (K) = {(x, y, z)iz = x2 + l + 3x - 8y + 1, x2 + l < 3y}8. a. f: S -7 IR3

, S = {(u, v)I0:=:; u:=:; 1, O:=:; v:=:; u}, f(u, v) = (u, v,-u2- v2

)

b. A = Al + A2 + A3, Al, A2, A3: [0,1] -7 IR3, Al(t) = (t, 0, _t2), A2(t) = (1, t, -1 - t2),A3(t) = (l - t, 1 - t, -2(1 - t)2)

c. int (K) = {(x, y, z)lz = _x2 -l,°< x < 1, O< y < x}9. a. f: S -7 IR3

, S = {(u, v)iu2 + v2 :=:; 4}, f(u, v) = (1 + u2 + v2, u, v)b. A: [O, 21T] -7 IR3

, A(t) = (5,2 cos t, 2 sen t)c. int (K) = {(x, y, z)lx -l- Z2 = 1, l + Z2 < 4}10. a. f: S -7 IR3

, S = {(u, v)iO ::; u :=:; 1, °::; v :=:; 1 - u} f(u, v) = (u, u2 + v2 + 2u + 2v + 8, v)b. A = Al + A2 + A3, Al, A2, A3: [0,1] -7 IR?, Al(t) = (t, t2 + 2t + 8, O), A2(t) = (1 - t, 2t2 + 11, t),A3(t) = (O, t2 - 6t + 13, 1 - t)

c. int (K) = {(x, y, z)ly = x2 + Z2 + 2x + 4z + 8, 0< x < 1, 0< Z < 1 - x}

Respuestas 1065


1. Sí se puede obtener una reparametIización,2. Sí se puede obtener una reparamelrización,3. Sí se puede obtener una reparametrización4. No se puede obtener una reparametrización (la función cp no es sobreyectiva).5. Sí se puede obtener una reparametrización"

6. Sí se puede obtener una reparametrización,7. Sí se puede obtener una reparametrización8. No se puede obtener, en general, una reparametrización; a menos que a = -'Y, b = 'Y,

e = -'Y, d = 'Y, para algún 'Y > O(es decir, que S sea un cuadrado con centro en el origen)9. No se puede obtener, en general, una reparametrización; a menos que a = -'Y, b = 'Y,

e = -'Y, d = 'Y, para algún 'Y > O(es decir, que S seil un cuadrado con centro en el origen)10. Sí se puede obtener una reparametrización11. No se puede obtener una reparametrización (la función cp no es biyectiva)..12. Sí se puede obtener una reparametrización.


Ejercicio Espacio tangente Plano tangente3 z = 2x + 8y z = 2x + 8y - 54 Y = 6(x + z) 6x - y + 6z = 195 4x + 20y + 3z = O 4x+20y+3z = -166 x + 2y + 3z = O x + 2y + 3z = 147 x=O x=l8 z = 6x z = 6x - 39 Y = 6z y = 6z - 810 z=-4e-¿x z = e -¿(5 - 4x)

11. a. Espacio tangente: z = O; Plano tangente: z = cp(xo, Yo)b. Espacio tangente: y = O; Plano tangente: y = Yoc. Espacio tangente: x = O; Plano tangente: x = Xo


1. Sean SI = {(u, v)l(u - uO)2 + (v - vO)2 :s 1}, S2 = {(u, v)ju2 + v2 :s 1}, tomando Uo y Votales que SI n S2 = 0 Una parametrización de K está dada pOI f: SI U S2 -t JR3,

f(u v) = { (u - uo, v - Yo, (u - UO)2 + (v - Yo) - 1) si (u, v) E SI, (u, v, (1 - u2 - v2)1/2) si (u, v) E S2

Plano tangente a K en q¡: z = -1; Plano tangente a K en q2: z = 1 No es posible trazar unplano tangente a K en (1, O, O). ..

2. Sean SI = {(u, v)j(u - uO)2 + (v - vO)2 :s 1}, S2 = [0,27T] X [-1, e- I ], tomando Uo y Votales que SI n S2 = 0. Una parametrización de K está dada por f: SI U S2 -t JR3

f( ) = {(U -,uo, v - Yo, exp[-(u - uO)2 - (v - vO)2]) si (u, v) E SIu, V (cas u, sen u, v) si (u, v) E S2

Plano tangente a K en q¡: z = 1; Plano tangente a K en q2: y = -x + v'2 No es posibletrazar un plano tangente a K en (1, O, e- 1

).

1066 Respuestas

3. Sean SI = [0,27T] X [-2, O], S2 = {(u, v)11 ::; (u - UO)2 + (v - vO)2 ::; 4},S3 = {(u, v)l(u - UI)2 + (v - vd ::; 1} tomando un, Yo, UI, VI tales que SI n S2 n S3 = 0Una parametrizaeión de K está dada por f: SI U S2 U S3 --> ]R3,

{

(eos u, sen u, v) si (u, v) E SI[(u,:v) = (u - UD, v -, VD, 4 - (u - uO)2 - (v - vO)2) si (u, v) E S2

I (u _ UI, V - vI, 3.+ (1- (u - Ul)2 - (v - vd)I/2) si (u, v) E S3

Capítulo 8, Sec4;ión 6 (página 871)

1. ~Ja2b2+a2e2·+b2e2

2. 4a2 aI'esen ~a

3. 2a2 (7T - 2)4. V27T5. 16a2

6. 47T(3 + 2V3)a2

8. 27T «1 +a2)3/2 - 1)3



2. 7T/23. O4. 7T/25. -37T/26. O7. -7T8. -/3/129. V38/2160010. 8[(b - a)(d - e) + (b -, a)(f - e) + (d - c)Cf~ e)]

11. 5-/312. O13. La integral vale 27T(b - a). El valor medio es 114. La integral vale 47Te4

. El valor medio es e2

16. °17. O19. 1/6020. 3/221. 1/222. 7TRH2

23. (0,0, 1/2)


2. 23. O4. 1/2

Respuestas 1067

5. 4

6. °7. °8. °9. °10. 1/8

11. °12. -5/432


6. 127T/510. a. 37T2/4 , b.47T11. a. 47T/3, b. 27T12. a. 7T/4, b. 27T/313. a. 47T, b. 7T


1.2.3.4.5.

6.

7.

8.9.10.11.12.13.14.15.

(0,0,0)(0,0,0)(xz - 3, -yz, O)

(2z. -·3z, 1 - x2)

(O, O. -xeX)

17ez

8-ezr(1 + r- J)sen8ezr- 1 eos 8(e, + ez)r- I sen(2t)e, + (r- I sen(2t) + 4r2)ezr- l eot1>er -r-1eq,+r-1eor- I (4)eot4> - esc4> + l)er - r- l 4>eq, + r-Ieee

esc 4>(2 eos2 4> - 1)e, + (ese 4> eos 8 - 2 eos 4>)ecf>(cos 8 eos24> esc 4> - r- I eos 8 cot 4> - cos 8 sen 4>)e, - 2 cos 8 cos 4>ecf> + r- I sen eeos 4>ee

-r- I seneecf> + (4 sen 4> - ,.-1 cos8cos4»ee



1. Es una O-forma en]R2. Es una O-forma en ]R33. Es una l-forma en ]R24. Es una 2-forma en ]R25. Es una 3-forma en ]R46. Es una S-forma en]Rs7. Es una 3-forma definida en el conjunto abierto U de]R6 dado por

1068 Respuestas

8. Es una 3-forma en JR49. Es una 4-forma en JR710. Es una 4-forma en JR¡211. WTJ = x] sen X¡12. WTJ = -(xf + x~)dx¡dx2

13. WTJ = O14. WTJ = X¡X2X3X4X7dx¡dx2dx3dx4dxsdx6 - X2X4X7(3x¡ - x2)dx¡dx2dx3dx4dx6dx')15. WTJ = O16. WTJ = TJW = x¡(x] + x2)dx¡dx3 - X3(XI + X2)dx2dx317. WTJ = TJW = 18x¡x~dx¡dx2dx3 + 3XIX2dx¡dx3dx4 - 2XIX4dxldx2dx418. WTJ = TJW = 2X3dx¡dx2dx3dx4dxs + X¡X2X3dx¡dx2dx3dx4dxs19. WTJ = TJW = -2dx¡dx2dx3dxsdx7 - dx¡dx2dx3dx4dxg + dX2dx3dxsdx7dxg20. WTJ =TJW =

4x¡xsdx¡dx2dx3dxs - 2X4dx¡dx4dxsdx7 + 2X7Xgdxldxsdx7dxg + 16dxldx2dx4dxs +4X7Xgdx2dx4dx')dxg - 4X2X4Xgdx¡dx2dx4dxg + 4xldxldx3dxsdxg + xlx4dx3dx4dx7dxg 2x¡ xsx7xgdx2dx3dx7dxg + 4x¡ X3 X7dx¡ dX2dxsdx7 + XI X2X3x4X7Xgdx I dX2dx7dxg

21. a. XIX2(X2X3 + XIX3 - l)dx¡ -- (x~x~ - X¡)dX2 + X2X3(X3 - X2)dx3b. X¡X3(X~- 0+ 3X2X3»dx¡dx3-- xlx2(3 + X30 + 3X2X3»dxldx2+ +X3(XªX3 + 3)dx2dx3c. el negativo del resultado del inciso anterior


1. dw = O2. dw = -X¡X3dx¡dx2 - Xlx2dx¡dx33. dw = O4. dw = -xfdx¡dx2dx4S. dw = senx2dx¡dx2dx4 + XSdX2dx3dxs + x3dx¡dx4dxs + _x4xsdx2dx4dxs + +XldX3dx4dxs6. dw = X~dXldx2dx3dx4

7. dw = O8. dw = -X2 sen X3 sen x4dx2dx3dx4dxs9. dw = x3x~dx2dx3dxsdx610. dw = [XI X2X3X4 sen(2x¡x2)-X3X4 COS2(XI x2)]dxI dX2dxsdx7 - X2X4 coS2(X¡X2)dxl dX3dxsdx7-

X2X3 COS2(XIX2)dx¡dx4dxsdx7 + [X3 X6sen2(x¡ +X3X6)+X¡X3X6 sen(2x] +2X3X6)]dx¡dx3dx6dx7


1. cp' W = Y¡ dy¡ + Y2dY22. cp* W = YI y~y~dYI + (yfY2Y~ + Y2y~)dY2 + (ybb3 + yb3)dY33. cp'w = (yb2 - YiY2)dy ldY24. cp'w = 2yfY~Y~Y4dYldY3dY4 + 2yfY2yjY4dy¡dY2dY4 + 2yfY2yb~dYldY2dY3S. cp'w = [Y¡Y2Y3 sen(YI + Y2 + Y3) +Y3 + Y2Y3 COS(YI - Y2 - Y3)]dy ldY3 + [YIY2Y3 sen(YI +

Y2 + Y3) - Y3 + YI Y3 COS(YI - Y2 -- Y3)]dY2 dY36. cp'w = O7. cp*w = 16yfAyb~dy¡dY2dY3dY48. cp'w = dyldY29. cp' W = yfY2 sen(y~y~)dY2dY3dY4 + [yfAsen(yb~) - YI Y2Y4 ]dYI dY3 dY410 • 2 2 2 2d d d d• cp W = YI Y2Y3Y4 YI Y2 Y3 Y411. a. cp' W = (yfY2 + Yiy~ + y~)dYI dY2b. rjI'(cp'w) = (zfZªZ3Z4 + zIz2dd + dd)(ZIZ3dz2dz4 + ZIZ4dZ2dZ3 + Z2Z3 dZ¡dz4 + Z2Z4 dZ,dz3)


2. 3/23. 17/24. 3/25. O6. 4/97. -7/28. 1/489. -1/4810. O


2. -123. -384. -51/25. -63/56. -19/27. -113/68. -182/39. 1115/1210. 133/2

Respuestas 1069

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