Escuela de Contabilidad y Admon.Unidad Ensenada

Curso Tutorial de Matemticas Financieras

Temario Introduccin Inters Simple Inters Compuesto Anualidades Tablas de Amortizacin y de Fondos de Amortizacin 6. Exposiciones 1. 2. 3. 4. 5.

Universidad Autnoma de Baja California Escuela de Contabilidad y Administracin EnsenadaCarretera Tijuana-Ensenada Km. 103 Ensenada, Baja California, Mxico Tel.:01-61-74-40-01

Elaborado por : Armando Zapin Villavicencio

http://www.ens.uabc.mx/eca/azv/int00.htm

Un curso corto de matematicas financieraspor Armando Zapien Villavicencio

IntroduccinEn la vida diaria existen muchos ejemplos de situaciones financieras como las siguientes : se solicitan crditos, se toman decisiones de cmo invertir el dinero disponible, se sufren problemas inflacionarios y muchas personas fsicas y morales son afectados por las variaciones de las tasas de inters. Las matemticas Financieras ayudan comprender la problemtica anterior, por ello representan un rea indispensable para el progreso de los individuos y de las empresas. Se pretende que este curso sirva de apoyo cualquier curso de matemticas financieras que se imparta en las licenciaturas en administracin de empresas y en contadura pblica ,y que el estudiante adquiera la habilidad matemtica para determinar el valor del dinero en el tiempo. Se presentarn definiciones, deduccin de frmulas y ejemplos de aplicacin de tasas de inters simple y compuesto, anualidades, amortizacin y fondos de amortizacin.

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IntersLas personas fsicas o morales pueden tener dinero en exceso y estan dispuestas a prestarlo a quin se los solicite o bien estan dispuestas a invertirlo en alguna empresa o negocio. Siempre tienen el objetivo de hacer crecer su capital original, es decir desean ganar una utilidad o tener un rendimiento de su dinero. Las personas fsicas o morales que no disponen de suficiente de dinero para adquirir un bien solicitan comprar a crdito o bien piden prestado el dinero a un banco, a un prestamista o bien a un pariente o amigo. En la todos los casos se compromete a retornar el capital recibido y en la mayora de los casos una cantidad adicional como castigo por haber solicitado en prstamo el dinero. Puede afirmarse que inters es el dinero que produce un capital al invertirlo, al otorgarlo en prstamo o al pagarlo por la adquisicin de bienes y servicios en operaciones crediticias. Se concluye que Inters es el pago por el uso del dinero ajeno, y se expresar en este documento con la letra I. Es un costo para la persona que solicita dinero prestado y es una utilidad para el que presta. Comnmente se manejan dos clases de inters : el simple y el compuesto. Se denomina capital al dinero invertido o prestado. Se conoce tambin con el nombre de principal, valor presente, o valor actual. El capital invertido o prestado debe recuperarse despus de transcurrido un periodo de tiempo, denominado plazo. Al trmino de ese plazo se debe devolver la cantidad recibida en prstamo acompaada de un inters. A la suma del capital ms el inters se le denomina Monto Tambin son sinnimos valor futuro,valor acumulado o monto del capital. El plazo de representar con la letra n, el monto con la letra M y el capital con la letra C. Sirva de explicacin adicional el siguiente esquema : Se denomina tasa de inters a la razn entre el inters I y el capital C por unidad de tiempo, es decir :

Si se multiplica por 100 se expresa como porcentaje y se le denomina tipo de inters.

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Inters simpleEl Inters es simple cuando slo el capital gana intereses. Es decir, que si Ud. o cualquier inversionista invierte sus ahorros a una determinada tasa de inters simple por un perodo determinado ste recibira como inters el resultado de multiplicar la tasa de inters dividida entre 100 por el capital invertido (I = iC). Pero si al cabo de ese perodo no retira la inversin sta continuar produciendo el mismo inters por cada perodo que deje invertido el dinero. Despus de varios perodos el inversionista recuperar su capital invertido ms los intereses ganados durante varios perodos . Los intereses que devenga o produce un capital C ,con una tasa de inters simple I por perodo, durante n perodos, estn dados por : I = n i C Por ejemplo si se invierten $100 pesos por un perodo de un ao, a una tasa de inters simple del 15 % mensual, el inversionista recibir 100*0.15= 15 pesos cada mes y al trmino de los doce meses recibir 12* 15 = 180 pesos, y adems recuperar su inversin. Utilizando la frmula : I = 12 (0.15) (100) = 180. El monto o cantidad total que recibir el inversionista a cabo de un ao es $ 180 pesos, que se calculan con la frmula siguiente : M = C + I = 100 + 180 = 280. substituyendo I por la expresin I = niC : M = C + n i C = 100 + 12(0.15)(100) = 280. Factorizando se obtiene : M = C [ 1 + n i ] = 100 [ 1 + 12(0.15)] = 100 (2.80) = 280. Se acostumbra considerar la tasa de inters como simple anual, a menos que se especifique el perodo. Por ejemplo 26 % simple o 26 % se entender que el perodo de aplicacin es un ao 26 % semestral, el perodo ser un semestre 26 % mensual, el perodo ser un mes. Se puede convertir la tasa de inters simple anual en su equivalente a perodos menores. Para convertir una tasa simple anual a una peridica se puede utilizar la siguiente expresin : iper = i / p donde p es el nmero de perodos de tiempo que hay en un ao, y puede tomar los siguientes valores : p = 360 si se desea la tasa de inters diaria p = 52 semanal p = 24 quincenal p = 12 mensual

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p=6 p=4 p=3

bimestral trimestral cuatrimestral

Por ejemplo 26 % anual es equivalente a : 13 % semestral (26/2 = 13), 2.1667 % mensual (26/12=2.1667), 6.5 % trimestral (26 / 4 = 6.5). Existen cuatro formas distintas de considerar el clculo de los intereses con respecto al tiempo. El inters es Exacto si el ao se considera de 365 das, o 366 si es bisiesto, y Ordinario o aproximado si el ao es considerado de 360 das. Tambin el plazo puede ser medido de dos maneras distintas :

con tiempo real o exacto con tiempo aproximado

Tiempo ExactoEl nmero de das naturales que transcurren entre dos fechas, sin contar una de las dos, puede calcularse con un calendario a la vista, haciendo una lista de los meses y los das que a ellos corresponden o con la tabla de fechas. Retorno Caso No. 1.- Calcular el nmero de das naturales entre el 25 de marzo y el 15 de octubre en el mismo ao. 1.a) Utilizando los das de cada mes Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Total 6 (31- 25) 30 31 30 31 31 30 15 204 das

1.b) Utilizando la tabla de fechas Mes Consecutivo

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15/Oct. 288 25/Marzo 84 Diferencia 204 das

Caso No. 2 Calcular el nmero de das naturales entre el 25 de marzo de 1997 y el 15 de octubre de 1998. 2.b) Utilizando los das de cada mes Marzo 6 (31- 25) Enero 31 Abril 30 Febrero 28 Mayo 31 Marzo 31 Junio 30 Abril 30 Julio 31 Mayo 31 Agosto 31 Junio 30 Septiembre 30 Julio 31 Octubre 31 Agosto 31 Noviembre 30 Septiembre 30 Diciembre 31 Octubre 15 Total 1997 281 das Total 1998 das 288 das Das entre fechas 569 das 2.b) Utilizando la tabla de fechas Mes 31 Diciembre 25/Marzo Diferencia Consecutivo Mes Consecutivo 365 84 15-Octubre 288 281 das 1997 288 das 1998

Total 281 das en 1997 + 288 das de 1998 = 569 das.

Tiempo AproximadoCaso No. 1.- Calcular el nmero de das aproximados entre el 25 de marzo y el 15 de octubre en el mismo ao. 1.a) Considerando meses de 30 das y aos de 360 das Marzo 5 (30- 25) Abril 30 Mayo 30 Junio 30 Julio 30

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Agosto 30 Septiembre 30 Octubre 15 Total 200 das 1.b) Restando las fechas Mes Dia Mes Da 10 15 9 45 03 25 3 25 6 20 6 meses 20 das ====> 200 das Retorno Caso No. 2 Calcular el nmero de das aproximados entre el 25 de marzo de 1997 y el 15 de octubre de 1998. 2.a.- Considerando meses de 30 das y aos de 360 das Marzo 5 (30- 25) Enero 30 Abril 30 Febrero 30 Mayo 30 Marzo 30 Junio 30 Abril 30 Julio 30 Mayo 30 Agosto 30 Junio 30 Septiembre 30 Julio 30 Octubre 30 Agosto 30 Noviembre 30 Septiembre 30 Diciembre 30 Octubre 15 Total 1997 275 das Total 1998 das 285 das Das entre fechas 560 das 2.b).- Restando fechas Ao Mes Da Ao Mes Da 98 10 15 98 9 45 97 3 25 97 3 25 1 6 20 Un ao 6 meses y 20 das es igual a 560 das. Los bancos utilizan la norma bancaria para calcular los interes : tiempo real y aos de 360 das. Ejemplos de aplicacin Ecuaciones de Valor

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Ejemplos de aplicacin del inters simple 1. Determinar el inters simple y el monto que produce la inversin de un capital de $ 750 durante 2 meses al 7 %.($ 8.75, $ 758.75)

Ejemplo # 1 de inters simple1.- Determinar el inters simple y el monto que produce la inversin de un capital de $ 750 durante 2 meses al 7%. Utilizando I = niC Mtodo 1) I = (2/12)(0.07)(750) =$ 8.75 Mtodo 2) I = (2)(0.07/12)(750) = $ 8.75 El plazo y en inters se expresan en El plazo y el inters se expresan en aos. meses. Utilizando M= C+ I M = 750 + 8.75 = $ 758.75 Utilizando M = C[1 + ni] M = 750 [1 + (2/12)(0.07)]= 750(1.01166667) = $ 758.75

2. Obtener la tasa de inters simple mensual, si con $ 620 pesos al cabo de un semestre se cancela una deuda de $ 500 pesos.(4% mensual)

Ejemplo # 2 de inters simple2.- Obtener la tasa de inters simple mensual, si con $ 620 pesos al cabo de un semestre se cancela una deuda de $ 500 pesos. Inters = 620 - 500 = 120 Despejando i de I = niC se tiene i = I/nC. El plazo es un semestre = 0.5 aos = 6 /12 aos = 6 meses. Utilizando el plazo en meses y substituyendo en la frmula se tiene i = 120 / (6) (500) = 0.04 mensual ===> 4 % mensual si el plazo se expresa en meses. Multiplicando por 12 la tasa de 4 % mensual se obtiene 48 % anual. Si el plazo se expresa en aos se obtiene la tasa anual : i = 120 / (6/12)(500) = 0.48 anual ====> 48 % anual. 3. Roberto Snchez consigue un prstamo por $3,000 pesos a dos de plazo, con una tasa de inters simple bimestral del 3 %. Cunto pagar al final de los dos aos por el prstamo recibido?($4,080)

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Ejemplo # 3 de inters simple3.- Roberto Snchez consigue un prstamo por $ 3000 pesos a dos aos de plazo, con una tasa de inters simple bimestral del 3 %. Cunto pagar al final de los dos aos por el prstamo recibido? Se utilizar la frmula del monto : M = C[1 + ni]. Si el plazo se opera en bimestres, entonces 2 aos es igual a 12 bimestres. Substituyendo : M = 3000[1 + (12)(0.03)]= 4,080 Tambin se logra el mismo resultado si calcula primero el inters y luego se adiciona al valor del prstamo: M = 3000 + 12(0.03)(3000) = 3000 + 1080 = 4,080 4. Cunto debe invertirse ahora con un tipo de inters del 13 % simple semestral para disponer $ 2500 pesos dentro de tres aos?($ 1,404.495)

Ejemplo # 5 de inters simple5.- En cunto tiempo se triplica una inversin con un tipo de inters del 23 %? Suponiendo que se invierte un peso y se obtiene tres pesos, se puede resolver este problema despejando el valor de n (plazo) de las siguientes frmulas : M = C[ 1 + ni] I = niC.

De la frmula del monto : n = 8.695652 aos Pero 0.695652 (12) = 8.34786 meses y 0.34786 (30) = 10.4348 das Por lo tanto la inversin se triplica en 8 aos 8 meses y 10 das. De la frmula del inters : n = I / iC Dado que I = M - C el inters toma el valor de I = 3 - 1 = 2. Substituyendo : n = 2 / (0.23)(1) = 8.695652 aos.

5. En cunto tiempo se triplica una inversin con un tipo de inters del 23 %?(8 aos, 8 meses, 10 das)

Ejemplo # 6 de inters simple6. Cul es el valor actual de un televisor que se paga con un enganche o anticipo del 30 % y un documento a tres meses con valor nominal de $ 1,200 pesos e intereses del 22 %? El valor presente del documento se calcular con la frmula C = M / [1 + ni] ,el cual representa el 70 % del valor del televisor. De la informacin del problema se tiene que n = 3 meses = 3/12 de ao. Substituyendo : C = 1200 /[1 + (3/12)(0.22)] = 1,137.44

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El precio del televisor es p = 1,137.44 / 0.70 = 1,624.92 pesos. El enganche es igual a (1,624.92)(0.30) = 487.47 pesos

6. Cul es el valor actual de un televisor que se paga con un enganche o anticipo del 30 % y un documento a tres meses con valor nominal de $ 1,200 pesos e intereses del 22%?($1,624.91)

Ejemplo # 7 de inters simple7. Cunto pagar un comerciante por un crdito de la Cia. Cigarrera por $ $ 2,300 pesos a dos meses de la compra si le cargan intereses del 15 %? El plazo n = 2 meses se igual a 2/12 de ao. Substituyendo en la frmula M = C[1 + ni] = 2300[1 + (2/12)(0.15)]= 2,357.50 pesos. 7. Cunto pagar un comerciante por un crdito de la Cia. Cigarrera por $ $ 2,300 pesos a dos meses de la compra si le cargan intereses del 15 %?($2,357.50)

Ejemplo # 8 de inters simple8. Una deuda por $ 500 000 pesos se liquida con tres pagos iguales a 30, 60 y 90 das respectivamente, de cunto es cada uno de los abonos si se tienen intereses del 18%? Sea R el valor de cada uno de los pagos. Para resolver el problema es necesario calcular el valor presente de los tres pagos y despejar R, para determinar su valor.

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El valor de cada uno de los pagos iguales es $ 171,642.39 pesos

8. Una deuda por $ 500 000 pesos se liquida con tres pagos iguales a 30, 60 y 90 das respectivamente, de cunto es cada uno de los abonos si se tienen intereses del 18%?($171,642.39)

Ejemplo # 9 de inters simple9. Hace dos meses se consigui un prstamo suscribiendo un documento por $ 4,200, con vencimiento a 5 meses. Considerando recargos o intereses del 33 % simple anual, determinar: a) La cantidad de dinero con la que se liquida la deuda el da de hoy. El valor de M = 4,200. El plazo es de 3 meses.

b) Con cunto se liquida en 15 das a partir de hoy? El plazo es de 2.5 meses.

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9. Hace dos meses se consigui un prstamo suscribiendo un documento por $ 4,200, con vencimiento a 5 meses. Considerando recargos o intereses del 33 % simple anual, determinar: a) La cantidad de dinero con la que se liquida la deuda el da de hoy. b) Con cunto se liquida en 15 das a partir de hoy? c) Qu cantidad se recibi en prstamo?($ 3,879.91, 3,929.82, $ 3,692.31)

Ejemplo # 9 de inters simple9. Hace dos meses se consigui un prstamo suscribiendo un documento por $ 4,200, con vencimiento a 5 meses. Considerando recargos o intereses del 33 % simple anual, determinar: a) La cantidad de dinero con la que se liquida la deuda el da de hoy. El valor de M = 4,200. El plazo es de 3 meses.

b) Con cunto se liquida en 15 das a partir de hoy? El plazo es de 2.5 meses.

c) Qu cantidad se recibi en prstamo? El plazo es de 5 meses.

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10. Determine el inters ordinario y exacto cuando se tomen prestados $ 400 pesos por 80 das al 10 % de inters.($ 8.89,$ 8.77)

Ejemplo # 10 de inters simple10. Determine el inters ordinario y exacto cuando se tomen prestados $ 400 pesos por 80 das al 10 % de inters.

Redondeando se tiene Io = $ 8.89 e Ie = $ 8.77 11. Hallar el inters simple ordinario y exacto de : a) $ 1,000 pesos, del 6 de agosto de 1960 al 14 de diciembre de 1960, al 4 %. b) $ 2,000 pesos, del 18 de octubre de 1961 al 6 de febrero de 1962, al 5 1/4%. (a. Io = $ 14.444,Ie = 14.2466),b) (Io = 32.375, Ie = $ 31.931)

Ejemplo # 11 de inters simple11.- Hallar el inters simple ordinario y exacto de : a) $ 1,000 pesos, del 6 de agosto de 1960 al 14 de diciembre de 1960, al 4 %. b) $ 2,000 pesos, del 18 de octubre de 1961 al 6 de febrero de 1962, al 5 1/4%. a) De la tabla de fechas : Fecha Ago-6-60 Dic-14-60 Diferencia

Consecutivo 218 348 348- 218 = 130 das

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Redondeando a dos decimales Io = $ 14.44 e Ie = $ 14.25 Retorno b) De la tabla de fechas : Fecha Consecutivo Oct-18-61 291 Feb-6-62 37 Diferencia (365- 291)+37 = 111 das

Redondeando a dos decimales Io = $ 32.38 e Ie = $ 31.93

Ecuaciones de ValorEs usual que deudores y acreedores hagan un convenio para refinanciar sus deudas, es decir para reemplazar un conjunto de obligaciones que previamente contrajeron por otro conjunto de obligaciones que le sea equivalente, pero con otras cantidades y fechas. Tambin es frecuente que en las operaciones financieras hayan dos o ms transacciones diferentes que deban replantearse para expresarlas en una operacin nica. Para facilitar el planteamiento y resolucin de este tipo de situaciones, se utiliza una grfica conocida como diagrama de tiempo el cual consiste en una linea recta horizontal en la que generalmente se anotan las fechas y cantidades originales por un lado y las que las sustituyen, por el otro lado de la recta. Todas las cantidades que aparecen en el diagrama de tiempo,

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se transladan mediante las frmulas de inters simple, hasta una fecha comn que es conocida como fecha focal. En este punto se igualan los valores de la deuda original con los de la nueva estructura de las obligaciones. Al igualar las dos cantidades se obtendr la ecuacin de valor. La solucin de este tipo de problemas, se logra cuando se resuelva la ecuacin de valor para la variable que en ella aparece como incgnita. Esta solucin variar un poco de acuerdo a la ubicacin de la fecha focal.. Esto es cierto slo en el caso de inters simple. Ejercicios de ejemplo

Ejercicios de ejemplo de ecuaciones de Valor1.- Una persona debe pagar $ 2,500 pesos en tres meses, $ 8,500 en seis meses.Qu cantidad deber pagar hoy para saldar sus deudas si se considera una tasa de 62 % simple? ($ 8,653.05)

Ecuaciones de Valor Ejercicio # 11.- Una persona debe pagar $ 2,500 pesos en tres meses, $ 8,500 en seis meses.Qu cantidad deber pagar hoy para saldar sus deudas si se considera una tasa de 62 % simple? Se selecciona como fecha focal el da de hoy, pero se puede elegir cualquier otro punto de tiempo pero el resultado ser diferente en todos los casos.

La cantidad a pagar el da de hoy, equivalente a la deuda original, es igual a $ 8,653.05 2.- El Sr. Prez presta el 14 de julio $ 3,500 a cinco meses y medio al 40 % de inters simple. Tambin presta, cuatro meses despus , otros $ 2,000 con 54 % de inters y vencimiento a tres meses. Si se considerara para la equivalencia una tasa de 55%,qu cantidad recibida por el Sr. Prez el 14 de diciembre

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liquidara esos prstamos? ($ 6,221.06)?

Ecuaciones de Valor Ejercicio # 22.- El Sr. Prez presta el 14 de julio $ 3,500 a cinco meses y medio al 40 % de inters simple. Tambin presta, cuatro meses despus , otros $ 2,000 con 54 % de inters y vencimiento a tres meses. Si se considerara para la equivalencia una tasa de 55%,qu cantidad recibida por el Sr. Prez el 14 de diciembre liquidara esos prstamos? Los montos de la deuda original son los siguientes:

Estos mostos se debern llevar a la fecha focal seleccionada, que es el 14 de diciembre : La grfica queda como sigue :

Quedando la ecuacin de valor como sigue :

Este resultado tambin se puede obtener con la siguiente ecuacin de valor :

Redondeando el valor del pago que recibira el Sr. Prez es $ 6,221.06 pesos.

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3.- Una persona adeuda $ 500,000 que debe liquidar dentro de 8 meses,y que ya incluye los intereses, $ 400,000 contratados hoy al 51% para pagar dentro de seis meses. Si se decide saldar sus deudas con dos pagos iguales, uno dentro de 10 meses y el otro dentro de un ao,y la operacinse calcula al 55 %, cul ser el importe de esos dos pagos iguales si se usa como fecha focal: a) dentro de 10 meses? ($ 594,910.49)

Ecuaciones de Valor Ejercicio # 33.- Una persona adeuda $ 500,000 que debe liquidar dentro de 8 meses,y que ya incluye los intereses, $400,000 contratados hoy al 51% para pagar dentro de seis meses. Si se decide saldar sus deudas con dos pagos iguales, uno dentro de 10 meses y el otro dentro de un ao,y la operacinse calcula al 55 %, cul ser el importe de esos dos pagos iguales si se usa como fecha focal: a)dentro de 10 meses?

Despejando y resolviendo X = $ 594,910.49

b)dentro de un ao?($ 588,868.53) b)dentro de 12 meses?

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Despejando y resolviendo X = $ 588,868.53

4.- Cul sera el precio de contado de un automvil que se pag con un enganche de $ 10,850 pesos, un abono de $ 7,000 realizado seis meses despus de la compra y un pago final de $ 9,000 pesos, ocho meses despus de la compra, si el costo del prstamo fue de 5 % mensual simple? ($ 22,663.19)

Ecuaciones de Valor Ejercicio # 44.- Cul sera el precio de contado de un automvil que se pag con un enganche de $ 10,850 pesos, un abono de $7,000 realizado seis meses despus de la compra y un pago final de $ 9,000 pesos, ocho meses despus de la compra, si el costo del prstamo fue de 5 % mensual simple?

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Inters CompuestoEl inters es compuesto si, a intervalos de tiempo preestablecidos,el inters vencido es agregado al capital por lo que tambin gana intereses. Es decir, los intereses generados en cada perodo se integran al capital, y este monto gana intereses al siguiente perdo. Se dice que el inters se capitaliza y que se est en presencia de una operacin de inters compuesto. En estas operaciones, el capital no es constante a travs del tiempo, pues aumenta al final de cada perodo por la adicin de los intereses ganados de acuerdo a la tasa convenida. El tiempo que hay entre dos fechas sucesivas en las que los intereses son agregados al capital se denomina Perodo de Capitalizacin. El nmero de veces por ao en los que los intereses se capitalizan, se llama Frecuencia de Capitalizacin, el cual se denotar por p. Si el perodo de capitalizacin de intereses es, digamos mensual, entonces las expresiones siguientes son equivalentes: "el inters es capitalizable mensualmente", "es convertible mensualmente", "es compuesto mensualmente", "es inters nominal mensual" o "compuesto por mes". Todos significan que cada mes los intereses se capitalizan o se integran al capital. En este caso p = 12. Los valores ms comunes para el perodo de capitalizacin y su respectiva frecuencia son los siguientes: Perodo Frecuencia (p) anual 1 semestral 2 cuatrimestral 3 trimestral 4 bimestral 6 mensual 12 quincenal 24 26 semanal 54 48 diario 365 360 Supnga por ejemplo que Ud. deposita $ 100 pesos en una cuenta bancaria que le redita el 60% de inters anual,a cunto ascender el monto acumulado al final de cinco aos suponiendo que no retira la inversin? Al finalizar el 1er M1 = 100[1 + (1)(0.60)]=$160 El capital gan $60 ao Al finalizar el 2do M2 = 160[1+ (1)(0.60)] = $256 El capital gan $96 ao

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Al finalizar el 3er ao Al finalizar el 4to ao Al finalizar el 5to ao

M3 = 256[1 + (1)(0.60)] = $409.60 M4 = 409.60[1 + (1)(0.60)] = $655.36 M5 = 655.36[1 + (1)(0.60)] = $1048.576

El capital gan $153.60 El capital gan $245.76 El capital gan $393.216

El resultado final se puede lograr con la siguiente frmula : donde n es el nmero de perodos de capitalizacin e i es la tasa de inters por perodo. Sustituyendo valores en la frmula se obtiene el mismo resultado : Las dos variables deben ser definidas al mismo perodo, es decir si el perodo es en quincenas la tasa de inters debe ser expresada en quincenas. Supnga, por ejemplo, que los $ 100 pesos anteriores se invierten al 60% de inters capitalizable semestralmente entonces sustituyendo en la frmula : porque la tasa de inters es 0.60 / 2 = 0.30 semestral y 5 aos tienen 10 semestres.

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AnualidadesUna Anualidad es una serie de pagos, por lo general iguales, efectuados a intervalos iguales de tiempo.Son ejemplos de anualidad el pago mensual de la renta de la casa, los pagos mensuales hechos a la tarjeta de crdito, el pago mensual por el servicio del servicio de cable. El intervalo de tiempo entre dos pagos sucesivos se llama periodo de renta. Puede ser anual, semestral, mensual,etctera. El intervalo de tiempo que transcurre entre el comienzo del primer periodo de renta y el final del ltimo periodo se llama plazo de una anualidad. Las anualidades se clasifican en ciertas y contingentes. Las ciertas son aquellas en la cual los pagos comienzan y terminan en fechas determinadas. Por ejemplo, al comprar un mueble a crdito se establecen las fechas en que se deben realizar los pagos. Las contingentes son aquellas en las cuales el primer pago, el ltimo o cualquiera de los dos dependen de un suceso que se sabe ocurrir, pero cuya fecha de realizacin no se puede fijar. Por ejemplo, el Seguro Social especifica que se deben efectuar pagos a los beneficiarios al morir el asegurado, pero se desconoce la fecha en que ste va a fallecer. Tambin se pueden dividir en tres clases de acuerdo al tiempo en que el pago tiene lugar : Vencidas ( u Ordinarias) , Anticipadas y Diferidas. En las primeras los pagos se efectan al fin del periodo de renta. Las Anticipadas al principio del periodo y las diferidas son aquellas en la cual se aplazan los pagos por un cierto tiempo. Otra divisin pero en relacin a la capitalizacin : Anualidades Simples y Anualidades Generales. Las anualidades simples son aquellas cuyo periodo de renta coincide con el perido de capitalizacin.. En las otras el periodo de renta no coincide con el periodo de capitalizacin. Ejemplo de ste ltimo es cuando se realizan depsitos semanales en una cuenta cuyos intereses se capitalizan cada mes. Anualidades ciertas, simples y vencidas Anualidades ciertas, simples y anticipadas Anualidades ciertas, simples y diferidas.

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Anualidades Vencidas u OrdinariasConsidrese una anualidad ordinaria en donde R es el pago hecho al final de cada uno de los n periodos e i es la tasa de inters por periodo. El diagrama de tiempo es el siguiente :

Ya que el primer pago se realiza al final del primer periodo, ganar intereses por (n-1) periodos. El segundo pago ganar intereses por (n-2) periodos,etc. El pago final no genera intereses. Si la fecha focal se localiza en el periodo n, entonces el monto o valor futuro de la anualidad viene dado por :

Factorizando :

Los trminos dentro del parntesis representan la suma de la siguiente serie geomtrica :

donde el primer trmino es igual a 1 y la razn es r = (1 + i ) . La suma de n trminos de una progresin geomtrica se logra por medio de la siguiente frmula :

Substituyendo :

Por lo tanto , la ecuacin del monto queda :

La ecuacin del valor presente de una anualidad se obtiene como sigue :

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Ejemplos

Ejemplos de Anualidades Vencidas u Ordinarias1. Se depositan $ 150 pesos al final de cada mes en un banco que paga el 3 % mensual capitalizable cada mes,cul ser el monto al finalizar un ao? ($ 2,128.80)

Anualidades Vencidas Ejercicio # 11. Se depositan $ 150 pesos al final de cada mes en un banco que paga el 3 % mensual capitalizable cada mes,cul ser el monto al finalizar un ao? Utilizando la frmula :

Llevando al final de los doce meses cada uno de los pagos :

2. El pap de un nio de 10 aos empieza a ahorrar para que su hijo pueda estudiar una carrera universitaria. planea depositar $ 200 en una cuenta de ahorros al final de cada mes durante los prximos 8 aos. Si la tasa de inters es del 27 % capitalizable mensualmente cul ser el monto de la cuenta al cabo de 8 aos?,cunto se percibe por concepto de intereses? ($ 66,364.47)

Anualidades Vencidas Ejercicio # 22. El pap de un nio de 10 aos empieza a ahorrar para que su hijo pueda estudiar una carrera universitaria. planea depositar $ 200 en una cuenta de ahorros al final de cada mes durante los prximos 8 aos. Si la tasa de inters es del 27 % capitalizable mensualmente cul ser el monto de la cuenta al cabo de 8 aos?,cunto se percibe por concepto de intereses?

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3. Con referencia al ejemplo anterior, suponga que el depsito de $ 200 mesuales se efecta nicamente por 5 aos y el resto del tiempo se depositan $ 300 mensuales. Obtenga el monto final. ($ 71,821.44)

Anualidades Vencidas Ejercicio # 23. Con referencia al ejemplo anterior, suponga que el depsito de $ 200 mesuales se efecta nicamente por 5 aos y el resto del tiempo se depositan $ 300 mensuales. Obtenga el monto final.

4. Cul es el valor presente de $ 350 depositados en una cuenta al final de cada trimestre durante 4 aos, si la tasa de inters es del 28% capitalizable en forma trimestral? (3,306.33)

Anualidades Vencidas Ejercicio # 44. Cul es el valor presente de $ 350 depositados en una cuenta al final de cada trimestre durante 4 aos, si la tasa de inters es del 28% capitalizable en forma trimestral?

5. Raquel desea jubilarse en este ao, y cree que necesitar $ 5,000 cada mes durante los siguientes 15 aos. Su banco le paga el 22% compuesto mensualmente.Cunto dinero debe tener depositado para poder retirar la cantidad especificada cada mes? ($ 262,363.07)

Anualidades Vencidas Ejercicio # 55. Raquel desea jubilarse en este ao, y cree que necesitar $ 5,000 cada mes durante los siguientes 15 aos. Su banco le paga el 22% compuesto mensualmente.Cunto dinero debe tener depositado para poder retirar la cantidad especificada cada mes?

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6. Un distribuidor de automviles ofreci a un cliente un coche nuevo mediante un pago inicial de $8,000 y 30 pagos mensuales de $ 2,866.66 cada uno. Si se carga una tasa de inters del 30 % capitalizable mensualmente,encuentre el valor de contado del automvil. ($ 68,000)

Anualidades Vencidas Ejercicio # 66. Un distribuidor de automviles ofreci a un cliente un coche nuevo mediante un pago inicial de $8,000 y 30 pagos mensuales de $ 2,866.66 cada uno. Si se carga una tasa de inters del 30 % capitalizable mensualmente,encuentre el valor de contado del automvil.

7. El Sr. Jimenez recibi 3 ofertas para la compra de su propiedad, ubicada en Los Angeles,Cal.. La primera consista en $ 350,000 de contado. La segunda consista en $ 100,000 dlares al contado y 10,200 dlares al mes durante 30 meses. La tercera oferta era de 10,498 dlares al mes durante 3 aos, sin enganche. Tomando como base una tasa de inters del 0.6 % mensual convertible cada mes, cul de estas ofertas es la ms ventajosa para el Sr. Jimenez? (La segunda oferta es la mejor)

Anualidades Vencidas Ejercicio # 77. El Sr. Jimenez recibi 3 ofertas para la compra de su propiedad, ubicada en Los Angeles,Cal.. La primera consista en $ 350,000 de contado. La segunda consista en $ 100,000 dlares al contado y 10,200 dlares al mes durante 30 meses. La tercera oferta era de 10,498 dlares al mes durante 3 aos, sin enganche. Tomando como base una tasa de inters del 0.6 % mensual convertible cada mes, cul de estas ofertas es la ms ventajosa para el Sr. Jimenez? a) b)

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c)

La opcin b es la mejor. 8. Cunto se tiene que depositar cada mes en una inversin que gana el 19 %, capitalizable mensualmente, para tener $ 75,000 al final de 4 aos? ($ 1,055)

Anualidades Vencidas Ejercicio # 88. Cunto se tiene que depositar cada mes en una inversin que gana el 19 %, capitalizable mensualmente, para tener $ 75,000 al final de 4 aos?

I = 75,000 - 48(1,055) = $ 24,360.00 9. Una compaa necesitar reponer una mquina dentro de 6 aos, la cual,en ese momento tendr un valor de desecho de $ 1,000 dlares. De acuerdo a los estudios realizados, se espera que la mquina cueste alrededor de $ 20,000 dlares y se decide establecer un fondo de amortizacin para cubrir el costo. Si se puede obtener el 8% capitalizable cada semestre,cunto se tiene que depositar cada 6 meses para tener el dinero para reponer la mquina al final de su vida til? ($ 1,264.49)

Anualidades Vencidas Ejercicio # 99. Una compaa necesitar reponer una mquina dentro de 6 aos, la cual,en ese momento tendr un valor de desecho de $ 1,000 dlares. De acuerdo a los estudios realizados, se espera que la mquina cueste alrededor de $ 20,000 dlares y se decide establecer un fondo de amortizacin para cubrir el costo. Si se puede obtener el 8% capitalizable cada semestre,cunto se tiene que depositar cada 6 meses para tener el dinero para reponer la mquina al final de su vida til?

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Cantidad que se necesitar en fondo de amortizacin en 6 aos = 20,000 1,000 =$ 19,000

10. La Sra. Aguilar es la beneficiaria de un seguro de vida por 650 mil pesos. Ella escogi no tomar la cantidad de contado, sino recibir un ingreso mensual fijo durante los prximos 12 aos. Si el dinero se encuentra invertido al 22 % anual capitalizable cada mes, qu cantidad recibir cada mes la Sra. Aguilar? ($ 12,856.31)

Anualidades Vencidas Ejercicio # 1010. La Sra. Aguilar es la beneficiaria de un seguro de vida por 650 mil pesos. Ella escogi no tomar la cantidad de contado, sino recibir un ingreso mensual fijo durante los prximos 12 aos. Si el dinero se encuentra invertido al 22 % anual capitalizable cada mes, qu cantidad recibir cada mes la Sra. Aguilar?

11. Una familia compra un terreno que cuesta $ 80,000. Pagan un enganche del 10 % del precio de contado y obtienen una hipoteca a 5 aos para pagar el resto al 27% convertible mensualmente. Cul es el valor de los pagos mensuales? A cunto asciende el total de los intereses que pagarn? ($ 2,198.54, $ 59,912.40)

Anualidades Vencidas Ejercicio # 1111. Una familia compra un terreno que cuesta $ 80,000. Pagan un enganche del 10 % del precio de contado y obtienen una hipoteca a 5 aos para pagar el resto al 27% convertible mensualmente. Cul es el valor de los pagos mensuales? A cunto asciende el total de los intereses que pagarn? Precio = 80,000 Enganche = 8,000 ( 0.10) = 8,000

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Crdito = 80,000 - 8,000 = 72,000

I = 2,198.54 (60) - 72,000 = $ 59,912.40 12. Cuntos depsitos mensuales de $ 145 cada uno se deben hacer para acumular un total de $ 3,464 si se ganan intereses del 1.83% mensual capitalizable cada mes? (20 meses)

Anualidades Vencidas Ejercicio # 1212. Cuntos depsitos mensuales de $ 145 cada uno se deben hacer para acumular un total de $3,464 si se ganan intereses del 1.83% mensual capitalizable cada mes? Precio = 80,000 Enganche = 8,000 ( 0.10) = 8,000 Crdito = 80,000 - 8,000 = 72,000

13. Se desea formar un monto de $ 17,450.26 mediante depsitos cada dos meses vencidos de $ 430.23 cada uno. Calcular cuntos depsitos se deben hacer si se ganan intereses del 18.3% capitalizable cada bimestre. (26.79977199 bimestres)

Anualidades Vencidas Ejercicio # 1313. Se desea formar un monto de $ 17,450.26 mediante depsitos cada dos meses vencidos de $ 430.23 cada uno. Calcular cuntos depsitos se deben hacer si se ganan intereses del 18.3% capitalizable cada bimestre.

n = 26.8 bimestres a) Si n = 27, entonces

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Hacer 27 pagos de $ 425.59 . b) Si n = 26 bimestres, entonces

X =$ 239.83 Hace 26 pagos de $ 430.23 y un pago de $ 239.83. 14. Cuntos pagos quincenales de $ 391.95 debern hacerse para cancelar una deuda de $ 8,500, con el 27% de inters convertible cada quincena? (25 quincenas)

Anualidades Vencidas Ejercicio # 1414. Cuntos pagos quincenales de $ 391.95 debern hacerse para cancelar una deuda de $ 8,500, con el 27% de inters convertible cada quincena?

Por lo tanto n = 25 quincenas. 15. Cuntos pagos mensuales de $ 105 cada uno debemos realizar para amortizar una deuda por $ 830 si se pagan intereses al 2.15% mensual capitalizable cada mes? (8.7566295 meses)

Anualidades Vencidas Ejercicio # 1515. Cuntos pagos mensuales de $ 105 cada uno debemos realizar para amortizar una deuda por $ 830 si se pagan intereses al 2.15% mensual capitalizable cada mes?

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Por lo tanto n =8.75 meses. a) n = 9 , entonces

Hacer 9 pagos mensuales de $102.42 b) n= 8, entonces

X = $ 79.65 Hacer 8 pagos de $ 105 y uno de $ 79.65 16. Toms se gan $ 950,000 pesos en la lotera. Piensa depositar este dinero en una inversin bancaria que le da el 24% compuesto cada mes e ir retirando $ 16,000 mensuales, con el fin de vivir un tiempo sin trabajar, hasta que el dinero se agote.Cuntos retiros podr efectuar? (Se debe retirar una cantidad mayor de $ 19,000 pesos)

Anualidades Vencidas Ejercicio # 1616. Toms se gan $ 950,000 pesos en la lotera. Piensa depositar este dinero en una inversin bancaria que le da el 24% compuesto cada mes e ir retirando $ 16,000 mensuales, con el fin de vivir un tiempo sin trabajar, hasta que el dinero se agote.Cuntos retiros podr efectuar? La siguiente expresin marcar error , por lo tanto no tiene solucin.

El inters generado por los $ 950,000 al final del primer mes es : I = (1 mes) ( 0.24/12)(950,000) = $ 19,000 . Esto significa que al retirar $ 16,000 al mes se est retirando una cantidad menor que el inters generado por el capital. Por lo tanto el capital original nnca se terminar; al contrario ir creciendo. Si Toms desea agotar el fondo deber retirar ms de $19,000 mensuales.

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17. Laser Motors vende un automvil modelo 1995, cuyo precio de contado es de $ 67,000, mediante un pago inicial de $ 8,700 y 24 mensualidades de $ 3,411.65 cada una. Obtenga la tasa nominal de inters que Lase Motors est cobrando, as como el inters total cobrado. (2.916 % mensual)

Anualidades Vencidas Ejercicio # 1717. Laser Motors vende un automvil modelo 1995, cuyo precio de contado es de $ 67,000, mediante un pago inicial de $ 8,700 y 24 mensualidades de $ 3,411.65 cada una. Obtenga la tasa nominal de inters que Laser Motors est cobrando, as como el inters total cobrado. P = 67,000 Enganche = 8,700 Crdito = 67,000 - 8,700 = $58,300

Este problema se resuelve por medio del mtodo de prueba y errror :

El valor de i est entre 2 y 3 % quincenal. Utilizando interpolacin lineal se obtiene el verdadero valor de i.

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18. Roberto ha depositado al final de cada mes $ 250 en una cuenta de ahorros. Al cabo de 2 aos se tiene un monto de $ 7,801.84. Qu tasa nominal, capitalizable mensualmente, ha ganado? (2.21 % mensual)

Anualidades Vencidas Ejercicio # 1818. Roberto ha depositado al final de cada mes $ 250 en una cuenta de ahorros. Al cabo de 2 aos se tiene un monto de $ 7,801.84. Qu tasa nominal, capitalizable mensualmente, ha ganado?

Este problema se resuelve por medio del mtodo de prueba y errror :

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El valor de i est entre 2 y 3 % mensual. Utilizando interpolacin lineal se obtiene el verdadero valor de i.

19. Obtenga la tasa efectiva para el ejemplo anterior. (29.968 % anual)

Anualidades Vencidas Ejercicio # 1919. Obtenga la tasa efectiva para el ejemplo anterior.

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Anualidades AnticipadasConsidrese una anualidad ordinaria en donde R es el pago hecho al inicio de cada uno de los n periodos e i es la tasa de inters por periodo. El diagrama de tiempo es el siguiente :

Ya que el primer pago se realiza al inicio del primer periodo, ganar intereses por n periodos. El segundo pago ganar intereses por (n-1) periodos,etc. Si la fecha focal se localiza en el periodo n, entonces el monto o valor futuro de la anualidad viene dado por : Factorizando : Los trminos dentro del parntesis representan la suma de la siguiente serie geomtrica :

donde el primer trmino es igual a (1 + i ) y la razn es r = (1 + i ) . La suma de n trminos de una progresin geomtrica se logra por medio de la siguiente frmula :

Substituyendo :

Por lo tanto , la ecuacin del monto queda : La ecuacin del valor presente de una anualidad se obtiene como sigue :

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Ejemplos

Anualidades DiferidasUna anualidad diferida es aquella cuyo plazo comienza hasta despus de transcurrido un cierto intervalo de tiempo desde el momento en que la operacin qued formalizada. Este momento recibe el nombre de momento inicial. El intervalo de tiempo que transcurre entre el momento inicial y el inicio del periodo de pagos se llama periodo de gracia.

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Este periodo se mide utilizando como unidad de tiempo el corespondiente a los periodos de pago. Mientras transcurre el periodo de gracia se pueden verificar dos situaciones : 1. Que al final de cada periodo se paguen los intereses del capital original. En este caso se dice que hay servicio de intereses. El capital permanece constante durante todo el periodo de gracia; de tal manera que el capital al comienzo del plazo es igual al capital original. 2. Que los intereses generados se capitalicen en cada periodo, dentro del periodo de gracia. En este caso, el valor del capital al comienzo del plazo ser o igual al capital original ms los intereses capitalizados. Ejemplos

Ejemplos de Anualidades Diferidas1. Con el fin de construir un edificio, destinado a renta de oficinas, un inversionista obtiene un prstamo de $3,450,000 que se va a liquidar en 36 pagos mensuales vencidos, despus de un periodo de gracia de un ao. Obtenga el valor del pago mensual sabiendo que la tasa de inters es del 27 % capitalizable mensualmente. ($ 183,953.20)

Anualidades Diferidas Ejercicio # 11. Con el fin de construir un edificio, destinado a renta de oficinas, un inversionista obtiene un prstamo de $3,450,000 que se va a liquidar en 36 pagos mensuales vencidos, despus de un periodo de gracia de un ao. Obtenga el valor del pago mensual sabiendo que la tasa de inters es del 27 % capitalizable mensualmente. En este problema durante el periodo de gracia no se har ningn pago, pero cada periodo se generan intereses que se capitalizan.

Tomando como fecha focal el final del periodo de gracia, se produce la siguiente ecuacin de valor :

R=$ 183,953.20

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2. Resuelva el problema anterior si durante el periodo de gracia hay servicio de intereses. ($ 140,847)

Anualidades Diferidas Ejercicio # 22. Resuelva el problema anterior si durante el periodo de gracia hay servicio de intereses. En este caso se deben pagar los intereses, cada mes, durante todo el periodo de gracia. El inters mensual a pagar es : I = (1)(0.27/12)(3450,000) = $ 77,625 por mes. Durante 12 meses se deben pagar $ 77,625 cada mes. Al final del periodo de gracia se tendr una deuda de $ 3450,000 y el abono mensual necesario para amortizarla viene dado por :

3. Un padre de familia, en el da en que su hija cumpla 15 aos, quiere saber qu cantidad de dinero tiene que depositar en una cuenta que le paga intereses al 18.35 % compuesto cada ao, de tal forma que la hija reciba cada ao $ 100,000 cuando cumpla 21,22,23,24 y 25 aos , respectivamente. ($ 133,621.41)

Anualidades Diferidas Ejercicio # 33. Un padre de familia, en el da en que su hija cumpla 15 aos, quiere saber qu cantidad de dinero tiene que depositar en una cuenta que le paga intereses al 18.35 % compuesto cada ao, de tal forma que la hija reciba cada ao $ 100,000 cuando cumpla 21,22,23,24 y 25 aos , respectivamente.

Si se toma como fecha focal el fin del periodo de gracia, es decir cuando la hija cumpla 20 aos, se puede plantear la siguiente ecuacin :

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4. El precio de contado de una casa es de $ 400,000. Se puede comprar a crdito, sin enganche, pagando $18,000 cada fin de mes. Si se da un periodo de gracia de 3 meses y la tasa de inters es del 2.8% mensual, calcular el nmero de pagos que deben hacerse y ajustar la mensualidad a la parte entera del resultado. ($ 18,196.71)

Anualidades Diferidas Ejercicio # 44. El precio de contado de una casa es de $ 400,000. Se puede comprar a crdito, sin enganche, pagando $18,000 cada fin de mes. Si se da un periodo de gracia de 3 meses y la tasa de inters es del 2.8% mensual, calcular el nmero de pagos que deben hacerse y ajustar la mensualidad a la parte entera del resultado.

Tomando como fecha focal el inicio del tercer mes , se obtiene :

Aplicando logaritmos :

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Si se hacen 40 pagos mensuales es necesario recalcular el valor del abono mensual como sigue :

5. El Sr. Gonzlez tiene actualmente 50 aos de edad y una compaade seguros le presenta un plan de jubilacin. este consiste en que mediante un pago inmediato de $ 87,689.80, la compaa ofrece pagar transcurridos 10 aos, una renta de $ 10,000 al final de cada mes,, durante 15 aos. Hallar la tasa de inters capitalizable cada mes que paga la compaa. (1.6 % mensual)

Anualidades Diferidas Ejercicio # 55. El Sr. Gonzlez tiene actualmente 50 aos de edad y una compaade seguros le presenta un plan de jubilacin. este consiste en que mediante un pago inmediato de $ 87,689.80, la compaa ofrece pagar transcurridos 10 aos, una renta de $ 10,000 al final de cada mes,, durante 15 aos. Hallar la tasa de inters capitalizable cada mes que paga la compaa.

Tomando como fecha focal el inicio del primer periodo , se obtiene :

Despejando :

Resolviendo por el mtodo de prueba y error :

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El valor de la tasa de inters se encuentra entre 1% y 2%. Interpolando se encuentra que i = 0.016 mensual ====> i = 1.6 % mensual 6. Una escuela compr 20 microcomputadoras el 26 de diciembre y see acuerda saldar la deuda mediante 12 pagos mensuales de $ 10,830, haciendo el primer pago el 26 de julio del siguiente ao. Si despus de realizar el octavo pago se dejan de realizar los siguientes tres,qu pago nico se deber hacer al vencer el ltimo pago pactado originalmente para saldar completamente la deuda? La tasa de inters es del 30 % compuesto en forma mensual. ($ 44,971.75)

Anualidades Diferidas Ejercicio # 66. Una escuela compr 20 microcomputadoras el 26 de diciembre y see acuerda saldar la deuda mediante 12 pagos mensuales de $ 10,830, haciendo el primer pago el 26 de julio del siguiente ao. Si despus de realizar el octavo pago se dejan de realizar los siguientes tres,qu pago nico se deber hacer al vencer el ltimo pago pactado originalmente para saldar completamente la deuda? La tasa de inters es del 30 % compuesto en forma mensual. Si se toma como fecha focal el inicio del plazo de la anualidad (26 de junio), se puede escribir la siguiente ecuacin de valor :

X = 44,971.75

Tablas : Amortizacin y de Fondos de AmortizacinTablas de Amortizacin y de Fondos de Amortizacin.

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Amortizacin y Tablas de Amortizacin.En el rea financiera, amortizar significa saldar gradualmente una deuda por medio de una serie de pagos que, generalmente, son iguales y que se realizan tambin a intervalos de tiempo iguales. Aunque esta igualdad de pagos y periodicidad es lo ms comn, tambin se llevan a cabo operaciones con algunas variantes. Los pagos que se hacen para amortizar una deuda se aplican a cubrir los intereses y a reducir el importe de la deuda. Para visualizar este proceso conviene elaborar una tabla de amortizacin que muestre lo que sucede con los pagos, los intereses, la deuda, la amortizacin y el saldo. Esta se puede definir como un cuadro o tabla donde se muestra tanto la cantidad pagada de intereses com la cantidad pagada de capital. La amortizacin es una de las aplicaciones ms importantes de las anualidades. En efecto, cuando se amortiza una deuda efectuando pagos peridicos iguales, la deuda es el valor actual de una anualidad, y ste se calcula utilizando la frmula de valor presente correspondiente al tipo de anualidad utilizada, vencida o anticipada. Fondos y Tablas de Fondos de Amortizacin.- Una suma de dinero que se va acumulando con el fin de obtener un determinado monto se llama fondo de amortizacin. Este se distingue porque aqu la deuda que se va a amortizar se plantea a futuro y lo que se hace es constituir una reserva o fondo depositando determinadas cantidades (generalmente iguales y peridicas) en cuentas que devengan intereses, con el fin de acumular la cantidad o monto que permita pagar la deuda a su vencimiento. Esto significa que el valor del fondo, al final de un cierto tiempo, corresponde al monto de una anualidad ordinaria. Los fondos se establecen con el fin de pagar una deuda que vence en fecha futura, para la compra de equipo nuevo que sustituya al equipo depreciado u obsoleto, para los fondos de jubilacin, etctera. Ejemplos Tablas de Amortizacin Ejemplos Tablas de Fondos de Amortizacin

Ejemplos de Amortizacin y Tablas de Amortizacin1. Un prstamo de $ 4,000 se va a amortizar por medio de 8 pagos mensuales iguales. Hallar el valor del pago mensual si la tasa de inters es del 34 % capitalizable mensualmente, y elaborar una tabla de amortizacin. ($ 565)

Amortizacin y Tablas de Amortizacin Ejercicio # 11. Un prstamo de $ 4,000 se va a amortizar por medio de 8 pagos mensuales iguales. Hallar el valor del pago mensual si la tasa de inters es del 34 % capitalizable mensualmente, y elaborar una tabla de amortizacin.

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Se necesitan 8 pagos mensuales de $ 565.83 cada uno con el fin de amortizar la deuda de $ 4,000.

Comentarios en relacin a la construccin de la tabla : 1. Los intereses se calcularon multiplicando el saldo insoluto por la tasa por periodo . I = (1)(0.34/12) (4,000) = $ 113.33 I = (1)(0.34/12) (3,547.70) = $ 100.52 I = (1)(0.34/12) (3,082.59) = $ 87.34 2.- La amortizacin al capital se calcul restando el inters al abono. Amortizacin fin del periodo 1 = 585.63 - 113.33 = $ 452.30 Amortizacin fin del periodo 2 = 585.63 - 100.52 = $ 465.11 Amortizacin fin del periodo 3 = 585.63 - 87.34 = $ 478.29 3.- El saldo insoluto se puede calcular como sigue :

Periodo 4

Periodo 5

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Periodo 6 Cada una de las cantidades del saldo insoluto represnta el valor actual de los pagos mensuales por realizar. 2. Antonio compra de una casa valuada en $ 230,000 y paga $ 15,000 de enganche. Antonio obtiene un prstamo hipotecario a 20 aos por el saldo. Si se cobra un inters del 29% capitalizable cada mes,cul sera el valor del pago mensual? Elabreses una tabla de amortizacin para los primeros 10 meses. ($ 5,212.74)

Amortizacin y Tablas de Amortizacin Ejercicio # 22. Antonio compra de una casa valuada en $ 230,000 y paga $ 15,000 de enganche. Antonio obtiene un prstamo hipotecario a 20 aos por el saldo. Si se cobra un inters del 29% capitalizable cada mes,cul sera el valor del pago mensual? Elabrese una tabla de amortizacin para los primeros 10 meses.

3. Con respecto al ejemplo anterior, hacer la distribucin del pago nmero 7. Asimismo, encontrar el saldo insoluto que se tiene una vez efectuado dicho pago. ($ 214,892.13)

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Amortizacin y Tablas de Amortizacin Ejercicio # 23. Con respecto al ejemplo anterior, hacer la distribucin del pago nmero 7. Asimismo, encontrar el saldo insoluto que se tiene una vez efectuado dicho pago. Los intereses que se pagan al efectuar el pago nmero 7 son calculados en base al saldo insoluto que se tiene despus de hecho el pago nmero 6, y ste es igual al valor actual de los pagos que faltan.

El inters correspondiente al pago nmero 7 es : I = (1)(0.29/12)(214,892.13) = $ 5,193.23 Por lo tanto la amortizacin ser : 5,212.74 - 5,193.23 = $ 19.51 El saldo insoluto, una vez efectuado el pago ser : 214,892.13 - 19.51 = $ 214,872.62 Las diferencias que se observan se deben al redondeo. 4. Un laboratorio de anlisis qumicos compra una centrfuga en $ 2,890 dlares, que se va a pagar de la siguiente manera: 20 % de enganche, 4 pagos mensuales iguales, y 500 dlares que se entregarn junto con el ltimo pago. Si la tasa de inters es del 10% anual capitalizable cada mes, calclese el valor del pago mensual y formlese la tabla de amortizacin. ($ 466.64)

Amortizacin y Tablas de Amortizacin Ejercicio # 44. Un laboratorio de anlisis qumicos compra una centrfuga en $ 2,890 dlares, que se va a pagar de la siguiente manera: 20 % de enganche, 4 pagos mensuales iguales, y 500 dlares que se entregarn junto con el ltimo pago. Si la tasa de inters es del 10% anual capitalizable cada mes, calclese el valor del pago mensual y formlese la tabla de amortizacin. Precio = $ 2,890 Enganche = 0.20(2,890) = $ 578 Crdito = 2,890 - 578 = $ 2,312

R = $ 466.64

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5. Una institucin educativa lleva a cabo una rifa donde el primer premio consiste en $ 100,000. De acuerdo a las reglas establecidas para la entrega de los premios, el ganador del primer premio recibir de inmediato $ 10,000 y el resto se depositar en un fondo de inversin que paga el 21.8% capitalizable cada semestre, del cual se retirarn $ 20,000 al final de cada semestre. Cuntos retiros se posdrn hacer? Elabrese la tabla de amortizacin. ( 6.5178218 semestres)

Amortizacin y Tablas de Amortizacin Ejercicio # 55. Una institucin educativa lleva a cabo una rifa donde el primer premio consiste en $ 100,000. De acuerdo a las reglas establecidas para la entrega de los premios, el ganador del primer premio recibir de inmediato $ 10,000 y el resto se depositar en un fondo de inversin que paga el 21.8% capitalizable cada semestre, del cual se retirarn $ 20,000 al final de cada semestre. Cuntos retiros se posdrn hacer? Elabrese la tabla de amortizacin. Premio = 100,000 Pago inmediato = $ 10,000 Depositado = $ 100,000 - 10,000 = $ 900,000 Por lo tanto :

Utilizando logaritmos se obtiene : n = 6.5178218 semestres El ganador podr efectuar 6 retiros de $ 20,000 y un ltimo retiro de menos de $ 20,000, al final del sptimo semestre.

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6. Se liquida una deuda mediante cinco pagos mensuales de $ 1,965.19 cada uno, los cuales incluyen intereses del 36% anual capitalizable cada mes. Encuentre el valor original ded la deuda y elabore la tabla de amortizacin. ($ 9,000)

Amortizacin y Tablas de Amortizacin Ejercicio # 66. Se liquida una deuda mediante cinco pagos mensuales de $ 1,965.19 cada uno, los cuales incluyen intereses del 36% anual capitalizable cada mes. Encuentre el valor original de la deuda y elabore la tabla de amortizacin.

7. Resuelva el problema anterior mediante la amortizacin a inters simple. ($ 1,800)

Amortizacin y Tablas de Amortizacin Ejercicio # 77. Resuelva el problema anterior mediante la amortizacin a inters simple. La amortizacin del capital es : 9,000 / 5 = $ 1,800

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Ejemplos de Fondos de Amortizacin y Tablas de Capitalizacin1. La vida til de un cierto equipo industrial que acaba de ser adquirido por una compaa es de 5 aos. Con el fin de reemplazarlo al final de este tiempo, la compaa establece un fondo de amortizacin efectuando depsitos anuales en una cuenta bancaria que paga el 9.6% anual. Si se estima que el equipo costar $ 42,740 , halle el valor del depsito y elabore la tabla de capitalizacin (Fondo de Amortizacin). (Intereses generados $ 677.44)

Fondo de Amortizacin y Tablas de Capitalizacion Ejercicio # 11. La vida til de un cierto equipo industrial que acaba de ser adquirido por una compaa es de 5 aos. Con el fin de reemplazarlo al final de este tiempo, la compaa establece un fondo de amortizacin efectuando depsitos anuales en una cuenta bancaria que paga el 9.6% anual. Si se estima que el equipo costar $ 42,740 , halle el valor del depsito y elabore la tabla de capitalizacin (Fondo de Amortizacin).

2. ramn desea tener $ 12,000 para darlos de enganche para una casa. Si puede ahorrar $ 1,300 cada mes en un banco que le paga una tasa de inters del 2.24 % mensual,cunto tiempo tardar en acumular los $ 12,000? Constryase la tabla de capitalizacin. (n = 8.484106 meses)

Fondo de Amortizacin y Tablas de Capitalizacion Ejercicio # 22. Ramn desea tener $ 12,000 para darlos de enganche para una casa. Si puede ahorrar $ 1,300 cada mes en un banco que le paga una tasa de inters del 2.24 % mensual,cunto tiempo tardar en acumular los $ 12,000? Constryase la tabla de capitalizacin.

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n = 8.484106 meses Ramn debe hacer 8 depsitos mensuales de $ 1,300 ms un noveno por una cantidad menor de $ 1,300.

3. Una empresa debe pagar dentro de 6 meses la cantidad de $ 40,000. Para asegurar el pago, el contralor propone, dado que hay liquidez en la empresa, acumular un fondo mediante depsitos mensuales a una cuenta que paga el 30 % convertible mensualmente.De cunto deben ser los depsitos? Construya una tabla que muestre la forma en que se acumula el fondo. ($ 6,261.999 )

Fondo de Amortizacin y Tablas de Capitalizacion Ejercicio # 33. Una empresa debe pagar dentro de 6 meses la cantidad de $ 40,000. Para asegurar el pago, el contralor propone, dado que hay liquidez en la empresa, acumular un fondo mediante depsitos mensuales a una cuenta que paga el 30 % convertible mensualmente.De cunto deben ser los depsitos? Construya una tabla que muestre la forma en que se acumula el fondo.

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ExposicionesObligaciones y Bonos Introduccion e Inters Simple

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