mat face fada_u3

Unidad 3: Expresiones algebraicas fraccionarias

1

Introducción En esta Unidad les proponemos repasar las operaciones combinadas de producto y cociente, suma algebraica y simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias.

Algunos ejemplos son: Al no estar determinada la división por cero el denominador de una expresión algebraica

fraccionaria o racional no puede ser igual a cero. Así sucede en el primer ejemplo, 73

x , y

en el segundo, xy 5 .

Puesto que las expresiones racionales son cocientes en donde las variables representan números reales, las propiedades de este conjunto numérico se aplican también a las expresiones racionales. Por esta razón, las operaciones con las expresiones fraccionarias se realizan de la misma manera que las operaciones con las fracciones aritméticas.

yxyxxy

xx

5324

7324 3


Se llaman expresiones algebraicas fraccionarias a los cocientes de polinomios.

Es importante tenerlo en cuenta para resolver ecuaciones fraccionarias de la Unidad 4.


2

En la simplificación de expresiones algebraicas factorizamos tanto el numerador como el denominador y utilizamos la siguiente propiedad de las fracciones: con lo cual podemos simplificar factores comunes del numerador y del denominador.

Ejemplo

Ejemplo de simplificación incorrecta : En lugar de esto, se escribe:

Ejemplo: Simplificar Solución:

0...

CBsiendoBA

CBCA

4,2

21

4.24.1

4.24.1

xxsiendoxx

xxxx

xxxx

xxx 71575

575

¡Incorrecto!

571

57

55

575 xxx

16

1.4)1243)

3432) 2

22

2

2

zzzc

xxxb

xxxxa

)1,3(

11

1.31.3

3432

)2

2

xxxx

xxxx

xxxxa

Tema 1: Simplificación

Se factorizan el numerador y el

denominador y se simplifican los

factores comunes.


3

2132

1232.12

1223.21

12443)

2

xx

xxx

xxx

xxxb

4,44

1.44.41.4

161.4

)2

2

2

zz

zzz

zzzz

zzz

c

Se rescribe el término 1-2 x en la forma equivalente

– (2 x – 1) y se simplifican los factores comunes.


4

a) Producto y cociente Las operaciones de producto y cociente de expresiones algebraicas fraccionarias se realizan igual que en el caso de fracciones aritméticas. Veamos la siguiente tabla que ejemplifica la resolución de estas operaciones:

Si P, Q, R y S son polinomios, entonces:

Operaciones Ejemplos

Ejemplo: Realizar las operaciones indicadas y simplificar Solución:

)0,,(.:

)0,(..

.

SRQRS

QP

SR

QP

SQSQRP

SR

QP

0,0.4

3.4

.34:3

1,01.1.2

11.2

222

xymmy

mxmx

ym

xm

ym

yyyyxx

yx

yx

xxx

xxxb

xxx

xxa

1869:

12396)

1644.

2)82(

)2

22

2

2

4,2,442.2

4.4.22.42

4.42.

2)4.(2

1644.

2)82()

2

2

2

2

xxxxx

xxxxx

xxx

xx

xxx

xxa

Tema 2: Operaciones combinadas

Se factorizan los numeradores y denominadores


5

b) Suma algebraica (suma y resta de expresiones algebraicas

fraccionarias)

Para denominadores iguales se tiene en cuenta que:

Si P, Q, R y S son polinomios, entonces:

Operaciones Ejemplos Para realizar la suma algebraica con denominadores diferentes, primero se determina un denominador común. Este se obtiene al factorizar cada denominador y tomar el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

)0(

)0(

QQ

RPQR

QP

QQ

RPQR

QP

22

32

422

4

11

5132

13

12

yy

yy

yyy

yy

y

xx

xx

xxx

xx

x

0,4,3,34

3.2

3.3.4.33.6.3

3.33.6

.4.3

3

9186.

12396

1869:

12396)

2

2

2

22

2

22

xxxxx

xx

xxxxxx

xxxx

xx

xxx

xxx

xxx

xxxb

Luego de factorear se simplifican los factores comunes


6

Ejemplo: Realizar las operaciones indicadas y simplificar Solución:

22 13

11)

123)

xxb

xx

xa

1,1

1.142

1.1331

1.11.31

13

1.11

13

11)

1,21.2

3

1.2233

1.22.1.3

123)

2

2

2

222

2

2

xxxx

x

xxxx

xxxx

xxxxxb

xxxx

xx

xxxxx

xxxxx

xx

xa

Escribir las fracciones

utilizando el común denominador.

Sumar las fracciones Sumar términos

semejantes en el numerador

Factorizar. Sumar las fracciones

utilizando el denominador común.

Propiedad distributiva en el numerador.

Sumar términos semejantes en el numerador.


7

c) Simplificación de una fracción compuesta

Ejemplo. Realizar las operaciones indicadas y simplificar Solución:

xy

yx

b

xx

xa

1

1)

41

11)

1,0,22.1

2.2.

12

4.

12

41

11

4.1

111.1

41

11)

2

2

xxxxx

x

xxx

xx

xx

xx

xxx

x

xxxx

xxx

xx

xa Se expresa el numerador y el

denominador como único cociente.

El denominador común en el numerador es x +1 y en denominador es x.

Se invierte la fracción del denominador y se efectúa el producto.

Factorizar los polinomios. Simplificar los factores comunes.


8

0,,0

.

.

.

1

1)

yyxxyxyyxx

yxx

yyx

xyx

yyx

xy

yx

b Sumar los términos en el

numerador para expresarlo en una única fracción. De igual manera se resuelve en el denominador.

A continuación se invierte la fracción del denominador y se efectúa el producto.


9

a) ¿Qué es la racionalización de un denominador?

Una expresión racional simplificada debería tener un denominador sin radicales; por

ejemplo, 7

2 indica un cociente con un número irracional en el denominador, mientras que

772

no tiene radicales en su denominador.

Está claro que la expresión del denominador aparece luego de multiplicar por 7 , ya que

7497.7 . Pero no se puede multiplicar el denominador de una fracción por un

número distinto de 1 sin alterar la misma. Así, la solución consiste en multiplicar el numerador y

el denominador de 7

2 por 7 . Es decir, se multiplica por

77

(que es igual a 1) y de esta

forma la expresión no se altera.

Ejemplo: Racionalizar el denominador

77.2

497.2

77.

72

72

5 2)

35)

52)

x

ycx

xba

Tema 3: Racionalización

Al procedimiento de eliminación del radical del denominador de una expresión algebraica se conoce como racionalizar el denominador


10

Solución:

Para racionalizar denominadores en una expresión como 31

2

en vez de multiplicar por

33

(lo cual no elimina el radical del denominador), se multiplica por 3131

para obtener:

3131

2)31(.2

31)31.(2

31

)31.(23131.

312

312

22

En general para racionalizar un denominador de la forma ba , se multiplica por

baba

. De manera análoga, para racionalizar un denominador de la forma ba , se

multiplica por baba

. Se dice que las expresiones ba y ba son conjugadas

entre sí.

0..

.)

)0(3

5.3

5

.3

5.

.35

35

)

552

55.2

2552

55.

52

52)

5 3

5 5

5 3

5 3

5 3

5 25 2

2

xxxy

x

xy

x

x

x

y

x

yc

xx

xxx

x

xxxx

xx

xx

b

a

En este paso se aplicó el resultado (a-b).(a+b) = a2 – b2 visto en unidad 2.

Se multiplicó el numerador y el

denominador por 5 3x para

obtener 5 5x , que es igual a x.

En general, para racionalizar un denominador que comprende una raíz n-ésima, se multiplican numerador y denominador por un factor que proporcione un producto en el denominador que comprenda una potencia n-


11

b) ¿Qué es la racionalización de un numerador? Considerando el método anterior de racionalizar denominadores utilizando la expresión conjugada, podemos utilizar este procedimiento para los numeradores.

Ejemplo

111

011.

11.11

11.1)1(

1111.1111

22

h

hhh

h

hhh

hhh

hh

hh

hh

Se multiplican el numerador y el denominador por la expresión conjugada.

Se resuelve el producto del

numerador aplicando la fórmula (a-b).(a+b) = a2 – b2

Se simplifican los factores

comunes según propiedades vistas en unidad 1.


12

Ejercicio 1: Racionalizar los denominadores de las siguientes

expresiones:

4332)

3)

2)

25)

23)

3)

1)

7251)

5 2

3

2

2

3

xxh

axxg

xyf

axxae

xxd

yyc

yyb

a

Respuestas:

a) )72()51(31

b) yy

y3

c) y3

)y3(y

d) x4

)x2(x3 2

e) 2

2

4)2(5

axaxax

f)

x)2y(x3 2

g) xaaxx 5 43)3(

h) 16x9

)4x3()3x2(


13

Ejercicio 2: Efectuar las operaciones indicadas y reducir a una expresión más simple, indicando las restricciones para su definición.

a)

b)

c)

d)

e)

11.11

11)

)

3332

331)

14122)

43222

2

2

aaa

aai

baba

baba

baba

baba

h

axaaxa

axag

aa

aaaaf93

1.4

.1

127 32

2

2

xx

xxx

xxx

161.

2245

2

2

3

2

xxx

xxx

1223.

1645

2

2

2

2

xxxx

xxx

13612:

5636 2

2

2

xxx

xxx

24:

1244

2

2

2

2

xxx

xxxx

Respuestas

a) 2x31 (x 1, -1, -3, -4) b)

8x21

(x -1,-4)

c) 4x2x

(x 1, 4) d)

5x6x6x

2 (x 1, -6)

e) 1x2x

(x 1, -2, 2) f)

aa 1 (a 1, a 0)

g) )1)(1(312

22

22

aaxxaxaaxxa

h) ab

ba2

22 (a b , a -b, a.b 0)

i) 1

4

a

(a 0 , a 1)


14

Ejercicio 3: Indicar si las siguientes expresiones son idénticas o no para todo valor de la variable y justificar la respuesta.

cb

cbbj

xx

xi

xxx

xxh

ba

bag

yx

yxf

xxxxe

ba

bad

yyxxc

xxb

aaa

1)

111)

111)

22.2)

11)

11

11)

)

11)

221

42)

161

1616)

2

2

2

2


15

Respuestas a) Sí

b) x4

2

(1) x2

21 (2) son expresiones distintas, puede verificarse reemplazando

por un valor real, por ejemplo x =1. Si x = 0 la expresión (2) no está definida. c) Las expresiones son distintas, puede verificarse reemplazando por un valor real las variables. d) Sí, siempre que b 0 e) No f) No g) No h) Sí, siempre que x 0

i) 1x1x

)1x()1x(1x1x 2

, siempre que x 1

j) No

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