mat 129 cal culo 220131

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Calculo 2Primera Practica Calificada

(2013-1)

Indicaciones:

* No se permite el uso de apuntes de clase ni libros.* Explique detalladamente las soluciones* Duracion: 1 hora y 50 minutos.

1. Exprese el lımite

lımn→+∞

π

4n2

n∑k=1

(2n+ kπ) sen2

(kπ

2n

)como la integral definida de una funcion en el intervalo [0, π

2]. (3 pts)

2. Sea R la region limitada por las graficas de la funciones f(x) = x y h(x) =x2

4, para

y ≤ 1. Halle el area de la region R. (3 pts)

3. Calcule las siguientes integrales

a)

∫ 4

−4

(x(x4 − 5x2 + 1

)6+ e1−x + 3

)dx (2 pts)

b)

∫dx

2 sen2 x+ cos2 x(2 pts)

4. a) Demuestre que

2π

13≤∫ 2π

0

dx

10 + 3 cos(x)≤ 2π

7. (2 pts)

b) Sean f una funcion continua en [0, b] y g(x) =

∫ bx

0

f(t)

xdt. Demuestre que

g′(1) = bf(b)−∫ b

0

f(t)dt. (2 pts)

5. a) Sea R la region limitada por las hiperbolas

H1 : y2 − 2x2 = 1 y H2 : y2 − x2 = 9,

con y > 0. Calcule el volumen del solido de revolucion generado al rotar la regionR alrededor del eje X. (3 pts)

b) Un solido tiene por base a la region plana limitada por la grafica de la curvaC : y2 = x y la recta x = 4. Halle el volumen del solido sabiendo que sussecciones transversales perpendiculares al eje X son cuadrados, cuyos extremos desus lados pertenecen a la curva C. (3 pts)

Elton Barrantes RequejoSan Miguel, 20 de abril del 2013

Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.


Calculo 2Segunda Practica Calificada

(2013-1)

Indicaciones:


1. Calcule las siguientes integrales

a)

∫tan5(2x) sec4(2x)dx (2 pts)

b)

∫ −1

−3

x2

√x2 + 4x + 5

dx (2 pts)

c)

∫x(tan2(x) + ex

)dx (3 pts)

2. Halle el area de la region limitada por la grafica de la funcion f(x) = 2 cos(2x) sen(3x)y el eje x, para 0 ≤ x ≤ π

4. (3 pts)

3. Sea In =∫x4 lnn(x)dx, para todo n ∈ N.

a) Demuestre que

In =x5 lnn(x)

5− n

5In−1, ∀n ≥ 1. (2 pts)

b) Utilizando el item a), calcule∫x4 ln4(x)dx. (2 pts)

4. a) Sea R la region limitada por las curvas y = 1 + x3, y = 1− 2x3 y la recta x = −2.Halle el volumen del solido que se obtiene al girar la region R alrededor de la rectax = −3. (4 pts)

b) Sea R la region limitada por la grafica de la funcion continua y positiva y = f(x),el eje x y las rectas x = 1 y x = b, con b > 1. Si el volumen del solido que se generaal rotar la region R alrededor del eje y es b3− 1, halle una regla de correspondenciapara la funcion f . (2 pts)

Elton Barrantes RequejoSan Miguel, 04 de mayo del 2013



Calculo 2Tercera Practica Calificada

(2013-1)

Indicaciones:


1. Analice la convergencia de las siguientes integrales impropias

a)

∫ 4

−1

1√5 + 4x− x2

dx (2 pts)

b)

∫ +∞

1

√x

x4 + e2x + 2dx (2 pts)

2. Sea la curva C : y = sen(x), x ∈ [0, π].

a) Utilice la regla del trapecio con n = 6 para estimar la longitud de la curva C.(2 pts)

b) Determine una cota superior para el error en la aproximacion de la parte a).

(2 pts)

3. Considere la curvaC : x2y2 − 4x2 − 9y2 = 0, x > 0, y > 0.

Calcule el area de la region que se ubica entre la curva y sus asıntotas y = 2 y x = 3.

(4 pts)

4. Sea f una funcion definida por f(x) = esenx.

a) Encuentre el polinomio de Taylor de grado 2 para f alrededor de x0 = 0.

(1.5 pts)

b) Use el polinomio hallado en a) para aproximar esen(0.1). Aproxime el error cometidoen esta aproximacion. (1.5 pts)

c) Halle un valor aproximado de

∫ 12

0

esenxdx. (1 pts)

5. Considere la curva

C : y =x3

3+

1

4x, x 6= 0.

Halle el perımetro de la region limitada por la curva C, el eje x, las rectas x = 1 y x = 2.

(4 pts)

Elton Barrantes RequejoSan Miguel, 08 de junio del 2013



Calculo 2Cuarta Practica Calificada

(2013-1)

Indicaciones:


1. Sea C : r = 2− 4 cos(θ) una curva en coordenadas polares.

a) Grafique la curva C analizando intersecciones con el eje polar, eje normal y el polo,simetrıas con respecto al eje polar, eje normal y el polo. (3.5 pts)

b) Plantee una integral que permita calcular el perımetro de la curva C. (1.5 pts)

2. a) Halle el area de la region interior a la curva C1 : r = 1 y exterior a la curvaC2 : r = cos2

(θ − π

4

). (3 pts)

b) Plantee una integral que permita calcular el perımetro de la region dada en el itema). (2 pts)

3. Considere el lazo de la curva

C : 18y2 = x(6− x)2, x ∈ [0, 6].

Halle el area de la superficie generada cuando el lazo de la curva C gira alrededor del ejex. (5 pts)

4. Sea D la region limitada por las graficas de las ecuaciones

y = x2, x+ y = 2, x− y = 1 e y = 0.

a) Encuentre el centroide de la region D. (3 pts)

b) Usando el teorema de Pappus, encuentre el volumen del solido obtenido al rotar Dalrededor de la recta y = −x+ 2. (2 pts)

Elton Barrantes RequejoSan Miguel, 22 de junio del 2013


PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUEstudios Generales Ciencias

Calculo 2Examen Parcial

(2013-1)

Indicaciones:

No esta permitido el uso de apuntes de clases, calculadoras ni textos.

Resuelva solo cinco preguntas de acuerdo a la siguiente distribucion

Pregunta N◦ 1 2 3 4 5 6Paginas N◦ 1-2 3-4 5-6 7-8 9-10 11-12

Marque en su cuadernillo de examen la pregunta que no responde.

Cada pregunta vale cuatro puntos.

Explique detalladamente la solucion de cada pregunta.

Tiempo de duracion de la prueba: 3 horas.

1. Calcule

a)

∫(3x2 − 2x+ 5) ln(3x) dx (2 puntos)

b)

∫2x+ 1

x3 − x2 + x− 1dx. (2 puntos)

2. a) Determine el valor de (2 puntos)∫ 1

0

x2ex

(x+ 2)2dx

b) Halle el valor de b en la ecuacion (2 puntos)∫ b

√2

1

x√x2 − 1

dx =π

12

3. a) Sea f : ] − a, a[→ R una funcion continua y sea F la antiderivada de f tal queF (0) = 0. Demuestre que si f es par entonces F es impar. (2 puntos)

b) Sea In =∫ex tann(x)dx. Demuestre que para todo entero n ≥ 1, (2 puntos)

In = ex tann(x)− n [In+1 + In−1] .

Continua · · ·

1


4. a) La tangente a la grafica de la funcion y = f(x) en el punto cuya abscisa esx = a, forma un angulo de π

3con el eje de abscisas, mientras que en el punto

cuya abscisa es x = b forma un angulo de π4. Halle el valor de (2 puntos)∫ b

a

f ′(x)f ′′(x)dx

b) Un recipiente de forma semiesferica de radio a contiene agua hasta una alturah. Determine el volumen del agua en el recipiente. (2 puntos)

5. a) En la figura adjunta, V es el vertice de una parabola y a la region sombreadadenominamos arco parabolico de base AB con amplitud 2a y altura h. Demuestreque el area del arco parabolico de la figura esta dado por (2 puntos)

A =4

3ah.

h

A B x

y

2a

V

b) La base de un solido S es la region R limitada por la circunferencia x2 + y2 = 9.Las secciones transversales perpendiculares al eje y son arcos parabolicos dealtura fija h y bases contenidas en R. Halle el volumen de S. (2 puntos)

6. Demuestre la identidad (4 puntos)∫ sen2 x

0

arc sen√t dt+

∫ cos2 x

0

arc cos√t dt =

π

4

Prueba elaborado por los profesores del curso.Coordinador del curso: Profesor Roy Sanchez Gutierrez.

San Miguel, 16 de mayo de 2013

2


PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUEstudios Generales Ciencias

Calculo 2Examen Final

(2013-1)

Indicaciones:

No esta permitido el uso de apuntes de clases, calculadoras ni textos.

Resuelva solo cinco preguntas de acuerdo a la siguiente distribucion

Pregunta N◦ 1 2 3 4 5 6Paginas N◦ 1-2 3-4 5-6 7-8 9-10 11-12

Marque en su cuadernillo de examen la pregunta que no responde.

Cada pregunta vale cuatro puntos.

Explique detalladamente la solucion de cada pregunta.

Tiempo de duracion de la prueba: 3 horas.

1. a) Demuestre que (2 puntos)

lımt→∞

∫ t

−t

1 + x

1 + x2dx = π

b) Dada la funcion (2 puntos)

f (x) =√2x− 1, 1 ≤ x ≤ 16,

halle el area de la superficie de revolucion que se obtiene al girar el grafico de falrededor del eje X.

2. a) Sea la curva en coordendas polares (2 puntos)

C : r = 3 + 3 cos(θ).

Halle la longitud de C.b) Sea la curva (2 puntos)

C : f(x) =

∫ x

−π2

√cos(t)dt

Halle la longitud de C en el intervalo[−π

2, π2

].

3. Sea R la region acotada por el eje X y la grafica de la funcion f(x) = cos(x) en elintervalo

[−π

2, π2

]. Calcule el volumen del solido generado al rotar R alrededor de la

recta L, si L es tangente a la grafica de f en el punto P(π2, 0). (4 puntos)

Continua · · ·

1


4. a) Analice la convergencia de (2 puntos)∫ 1

0

1

e√x − 1

dx

b) Sean las curvas en coordenadas polares (2 puntos)

C1 : r2 = 4 sen(2θ) y C2 : r2 = 4 cos(2θ).

Halle el area de la region limitada por dichas curvas en el primer cuadrante.

5. Resuelva el problema de valores iniciales, (4 puntos){2y′′ + 6y = sen(

√3x)

y(0) = 1, y′(0) = 16.

6. Inicialmente un tanque contiene 100 litros de agua. Luego, ingresa al tanque agua consal a razon de 5 l/min, la solucion mezclada homogeneamente en el tanque fluye haciaafuera a la misma razon. La concentracion de sal en el agua que ingresa al tanquevarıa continuamente con el tiempo de acuerdo con la expresion

2 + 2t gr/l.

Encuentre la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante t. (4 puntos)

Prueba elaborado por los profesores del curso.

Coordinador del curso: Profesor Roy Sanchez Gutierrez.

San Miguel, 4 de julio de 2013

2


mat 129 cal culo 220131

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