mason y lind capitulo 2

2Resumen de datos:

distribuciones de frecuenciasy representaciones gráficas

OBJETIVOS

Al terminar de estudiar este capítulo, podrá:

1. Organizar datos originales en una distribución defrecuencias.

2. Representar la distribución de frecuencias en unhistograma, un polígono de frecuencias y un polígonode frecuencias acumuladas.

3. Desarrollar una representación de "tallo y hoja".4. Presentar datos utilizando representaciones usuales

como las gráficas de líneas, de barras y de sectores(circulares).

28 Estadística para Administración y Economía Resumen de datos: distribuciones de frecuencias 29

En el capítulo 1 se observó que la rama de la Estadística denominada Estadísticadescriptiva implica las técnicas empleadas para organizar y resumir un conjunto

de datos originales, en bruto, en forma significativa. Este capítulo se inicia con elestudio de dos de estas valiosas técnicas. Primero se analizará la forma de organizarun conjunto de datos sin procesar en una distribución de frecuencias y cómorepresentar esa distribución de manera gráfica en un histograma, un polígono defrecuencias y un polígono de frecuencias acumuladas. Luego se resumirán y pre-sentarán otros tipos de información numérica en forma de gráfica de línea, de barras,o de algún otro tipo.

ELABORACION DE UNA DISTRIBUCIONDE FRECUENCIAS

Una distribución de frecuencias es un método estadístico muy útil para organizarun conjunto de observaciones en forma significativa.

Distribución de frecuencias Agrupamiento de datos en categorías que muestren elnúmero de observaciones de cada categoría mutuamente excluyente.

Una distribución de frecuencias indica el número de veces que ocurre cadavalor o dato en cada clase. Los pasos para elaborar una distribución de frecuenciasse explican mejor utilizando un ejemplo.

2 EjemploLa gerencia de ventas de una gran empresa de construcción y renta especializadaen condominios vacacionales en el área de Sarasota y Bradenton, Florida, desealos lineamientos disponibles en lo que se refiere a rentas mensuales para enviarlosa posibles vacacionistas. Como primer paso, seleccionó una muestra de 120 ofer-tas de arrendamiento. Estas se muestran en la tabla 2-1. Por lo general a tales cifrasse les denomina datos originales (o sin procesar). Es posible localizar las rentasmensuales más baja y más alta, pero eso es casi todo lo que se puede obtener detal conjunto desorganizado de datos "en bruto". ¿Cómo pueden reorganizarse lasrentas para describir mejor la información?

Antes de reorganizar las rentas mensuales, se debe mencionar que los datosoriginales con frecuencia se denominan datos no agrupados. Es decir, los datos decondominios de la tabla 2-1 no están agrupados de ningún modo en una distribuciónde frecuencias. Los datos que sí se organizan en dicha distribución, se designanpor datos agrupados.

Cl SoluciónExisten dos métodos para organizar los datos originales (o sin procesar) de la tabla2-1 en una distribución de frecuencias. En el primero se necesita establecer unaordenación.

Ordenación Disposición ordenada de observaciones, desde la menor hasta la mayor, oviceversa.

TABLA 2-1

Rentas mensuales (en dólares) de condominios

$1170 $1207 $1 581 $1277 $1 305 $1 472 $1 077 $1 319 $1 537 $1 849

1 332 1 418 1 949 1 403 1 744 1 532 1 219 896 1 500 1 671

1 471 1 399 1 041 1 379 821 1 558 1 118 1 533 1 510 1 760

1 826 1 309 1 426 1 288 1 394 1 545 1 032 1 289 695 803

1 440 1 421 1 329 1 407 718 1 457 1 449 1 455 2 051 1 677

1 119 1 020 1 400 1 442 1 593 1 962 1 263 1 788 1 501 1 668

1 352 1 340 1 459 1 823 1 451 1 138 1 592 982 1 981 1 091

1 428 1 603 1 699 1 237 1 325 1 590 1 142 1 425 1 550 913

1 470 1 783 1 618 1 431 1 557 896 1 662 1 591 1 551 1 612

1 249 1 419 2162 1 373 1 542 1 631 1 567 1 221 1 972 1 714

949 1 539 1 634 1 637 1 649 1 607 1 640 1 739 1 540 2 187

1 752 1 648 1 978 640 1 736 1 222 1 790 1 188 2091 1 829

Más Baja Más alta

A partir de la tabla 2-1, las rentas (en dólares) se revisan para encontrar la másbaja ($640) y la más alta ($2 187). Luego se disponen los valores desde el menorhasta el mayor. (Véase la tabla 2-2.)

TABLA 2-2

Arreglo ordenado de las 120 rentas

$ 640 $1 041 $1 222 $1 332 $1 421 $1 470 $1 545 $1 607 $1 677 $1 826

695 1 077 1 237 1 340 1 425 1 471 1 550 1 612 1 699 1 829

718 1 091 1 249 1 352 1 426 1 472 1 551 1 618 1 714 1 849

803 1 118 1 263 1 373 1 428 1 500 1 557 1 631 1 736 1 949

821 1 119 1 277 1 379 1 431 1 501 1 558 1 634 1 739 1 962

896 1 138 1 288 1 394 1 440 1 510 1 567 1 637 1 744 1 972

896 1 142 1 289 1 399 1 442 1 532 1 581 1 640 1 752 1 978

913 1 170 1 305 1 400 1 449 1 533 1 590 1 648 1 760 1 981

949 1 188 1 309 1 403 1 451 1 537 1 591 1 649 1 783 2051

982 1 207 1 319 1 407 1 455 1 539 1 592 1 662 1 788 2 091

1 020 1 219 1 325 1 418 1 457 1 540 1 593 1 668 1 790 2162

1 032 1 221 1 329 1 419 1 459 1 542 1 603 1 671 1 823 2 187

El arreglo ordenado tiene algunas ventajas. Los valores más bajo ($640) y másalto ($2 187) pueden apreciarse con facilidad, y parece haber un gran número devalores entre $1 400 y $1 700. Sin embargo, la ordenación es un proceso tedioso,

Resumen de datos: distribuciones de frecuencias 3130 Estadística para Administración y Economía

aunque sólo existan 120 valores. Una segunda y mejor forma de resumir las rentasconsiste en organizarlas directamente en una distribución de frecuencias.

Los pasos usuales para obtener una distribución de frecuencias son:

1. Establecer un conjunto de agrupamientos que se denominan clases. Unaclase puede contener todas las rentas desde $600 hasta $799, inclusive. La siguien-te clase podría ser desde $800 hasta $999 inclusive, y así sucesivamente.

$600-$799 una clase

$800-$999 una clase

Cada categoría (clase) tiene dos límites: un límite inferior declarado y un límitesuperior declarado. Es práctica común hacer que el límite inferior de la primera clasesea uno ligeramente menor que la primera o más baja observación, y hacer que todaslas clases tengan el mismo ancho o amplitud. En este ejemplo se decidió que el límiteinferior de la primera clase fuera $600 (un poco menor que $640) y que el límite superiorde esta clase fuera $799. La siguiente clase se expresa como $800—$999, e incluyelos valores de $800, $801, $802.....$999. En otras palabras, en esa clase se incluyentanto el límite superior como el inferior.

Recuérdese de la definición de distribución de frecuencias que las clases debenser mutuamente excluyentes. Esto significa que tales agrupaciones se formulan demodo que un valor particular pueda ocurrir sólo en una clase. Por tanto, no existetraslape de clases. Por ejemplo, si las clases son $600—$799, $800—$999, etc., elvalor $799 está en la primera clase ($600—$799), y el valor $800 en la segunda.

Utilizando $200 como la distancia entre los límites inferiores las clases quedaríancomo:

$ 600-$ 799

Distancia 800- 999

entre los $200

límites de 1 000- 1 199

clase 1 200- 1 399inferiores 1 400- 1 599

declarados 1 600- 1 799

1 800- 1 999

2000- 2199

2. Llevarla cuenta de los valores en las clases. La práctica común es utilizaruna marca de cuenta (/) para señalar un valor. La renta de $1 170 de la esquina

superior izquierda de la tabla que contiene los datos originales (tabla 2-1) se mar-ca para la cuenta en la clase de $1 000—$1 199. El siguiente número de esa columna($1 332) se marca en la clase $1 200—$1 399. y así sucesivamente.

Al terminar, las marcas de conteo deben quedar como sigue:

$ 600-$ 799 !//800- 999 II

1 000- 1 199 7`/, ( ¡yL,L( /

1 200- 1 399 (jy.(7 ( / /1 400- 1 599 7 7 ( ( ( ( ) &( N, L1 600- 1 799 ( h-,&( 7-,' .L / / / 11 800- 1 999 r/L,&( llll2000- 2199 1

3. Contar el número de marcasen cada clase. Obsérvese que hay tres marcas,o frecuencias de clase, en la de $600—$799, siete de éstas en la de $800—$999,y así sucesivamente. En la tabla 2-3 se muestran las clases y las frecuencias declase en forma de distribución de frecuencias.

TABLA 2-3

Distribución de las rentas de 120 condominios

Rentas mensuales Número de unidades

$ 600-$ 799 3800- 999 7

1 000- 1 199 111 200-1399 221 400- 1 599 401 600- 1 799 241 800- 1 999 92000-2199 4

Total 120

¿Qué observaciones puede formular ahora el gerente de ventas con respectca las rentas mensuales? 1) La menor es aproximadamente $600; la mayor seaproxima a $2 200. 2) La mayoría de las rentas está entre $1 000 y $1 800 men-suales. 3) La mayor concentración está entre $1 400 y $1 600.

Debe observarse que forzar las rentas a quedar en una distribución de frecuen-cias ha originado cierta pérdida de información. Es decir, al organizar los datosoriginales en clases, ya no es posible señalar con exactitud valores como $692 c$1 218. Sin embargo, las ventajas de resumir los datos en forma comprensiblecompensan en alto grado tal desventaja.

En resumen, organizar los datos originales o sin procesar en una distribuciónde frecuencias permite determinar con rapidez los valores más bajo y más alto aproxi-

AUTOEXAMEN 2-1

Las respuestas se dan al final del capítulo.

Los ingresos mensuales (en dólares) de así sucesivamente, organice los ingre-una pequeña muestra de nuevos operado- sos mensuales en una distribución deres de computadora en el área metropolita- frecuencias.na de Clevelandson: $1650, $1475, $1 760, 3. ¿Cómo se llaman los números en la co-$1 540, $1 495, $1 590, $1 625 y $1 510. lumna derecha de la distribución de fre-

cuencias?1. ¿Cómo se denominan los números no 4. Describa la distribución de ingresos men-

agrupados ($1 650, $1 475, etc.)? suales.2. Utilizando como primera clase, $1 400-

$1499, como segunda $1 500-$1599, y

LIMITES DE CLASE DECLARADOSY VERDADEROS

Las clases en la distribución de frecuencias de 120 rentas mensuales (en dólares)son $600-$799, $800-$999, etc. A éstas se les denomina clases declaradas, y suslímites inferior y superior se conocen como límites de clase declarados.

Las rentas se redondearon al dólar cercano. Por ejemplo, una renta de $799.50se redondeó "hacia arriba "a $800 y se contó en la segunda clase. Cualquier cantidadsuperior a $799, pero inferior a $799.50 se redondeó "hacia abajo" a $799 y seincluyó en la primera clase. De esta forma, la clase $600-$799 en realidad abarcatodas las rentas que van desde $599.50 inclusive hasta $799.50, pero sin incluireste valor. Asimismo la siguiente clase declarada, $800-$999, incluye las rentasentre $799.50 y $999.50. A estos límites de clase se les llama límites de clase ver-daderos. Los límites verdaderos son tales que el límite superior verdadero de unaclase es igual al límite inferior verdadero de la siguiente.

En la tabla 2-4 se presentan los límites de clase declarados y los límites declase verdaderos para su comparación.


mados, un valor cerca dei centro de la distribución y la variabilidad (la forma en quelos datos se concentran y dispersan) con respecto a ese valor.

De nuevo se desea llamar la atención de/lector hacia los problemas deautoexamen. Estos aparecen en cada capítulo después del análisis de un temaprincipal. Al resolver cada uno de ellos es posible comprobar de inmediato la com-prensión del material precedente en el texto. Las respuestas están al final delcapítulo.

TABLA 2-4

Límites de clase declarados y verdaderosNúmero

Límites declarados Límites verdaderos de unidades

$ 600-$ 799 $ 599.50 hasta, pero sin incluir $ 799.50 3800- 999 799.50 hasta, pero sin incluir 999.50 7

1 000- 1 199 999.50 hasta, pero sin incluir 1 199.50 111 200- 1 399 1 199.50 hasta, pero sin incluir 1 399.50 221 400- 1 599 1 399.50 hasta, pero sin incluir 1 599.50 40

1 600- 1 799 1 599.50 hasta, pero sin incluir 1 799.50 24

1 800- 1 999 1 799.50 hasta, pero sin incluir 1 999.50 9

2 000- 2 199 1 999.50 hasta, pero s in incluir 2199.50 4

Puntos medios

El punto medio de una clase, denominado a menudo marca de clase, se determinalocalizando la mitad entre los límites de clase declarados o los límites de claseverdaderos. Se evalúa sumando los límites inferior y superior, y dividiendo el totalentre dos. Por ejemplo, el punto medio entre los límites declarados de $600 y $799es $699.50, que se obtiene con ($600 + $799)/2. El punto medio representa mejor,o es característico de los valores de esa clase. Los puntos medios de clase seutilizarán para elaborar un polígono de frecuencias en la sección que sigue.

Intervalo de clase

Un intervalo de clase se determina restando el límite declarado inferior del límitedeclarado inferior de la clase mayor siguiente. Para el ejemplo de rentas mensuales,las dos primeras clases son:

Límiteinferior

Intervalo $600- $799

de clase

$200 $800- $999

Si todas las clases de una distribución tienen el mismo ancho o tamaño, elintervalo de clase también puede obtenerse determinando la distancia entre dos pun-tos medios sucesivos cualesquiera. En el ejemplo de rentas, los primeros dos puntosmedios son $699.50 y $899.50 (calculados a partir de los límites verdaderos de latabla 2-4). Al restar $699.50 de $899.50 se obtiene $200.00, el intervalo de clasede la distribución.

$ 2187 —$640 $1 547 = $193.375

8Intervalo de clase sugerido =


SUGERENCIAS PARA ELABORARUNA DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

1. Siempre que sea posible, los intervalos de clase utilizados en una distribuciónde frecuencias deben ser iguales. Los intervalos de clase desiguales ofrecenproblemas al representarse en forma gráfica. Sin embargo, en algunos casos puedenser necesarios intervalos desiguales de clase para evitar un gran número de clasesvacías, o casi vacías. Esto sucede en el ejemplo que sigue. El Interna¡ RevenueService utilizó intervalos de clase de tamaño desigual para asignar la distribuciónde ingresos brutos ajustados personales (véase la tabla 2-5). ¡Si el IRS utilizara unintervalo de clase de igual tamaño de $1 000, se habrían necesitado más de 1 000clases para abarcar todos los ingresos! Desde luego, resultaría casi imposibleanalizar una distribución de frecuencias tan grande.

TABLA 2-5

Ingreso bruto ajustado para declaraciones de impuestos

Número de declaracionesClase de ingreso bruto ajustado (en miles de dólares)

Menos de $ 2 000 1 35

$ 2000- 2 999 3 3993000- 4 999 81755000- 9 999 19 740

10000- 14 999 15 53915000- 24 999 14 94425000- 49 999 4 45150 000- 99 999 699

100000- 499 999 162500 000- 999 999 3

$1 000 000 y más 1

Resultaría muy incómodo trabajar con un intervalo de clase de $193.375. Envez de esto, sería mucho más fácil colocar las rentas en una distribución defrecuencias si el intervalo se redondeara a un valor de, por ejemplo, $200.1

3. En general, el juicio personal puede influir en el número de clases. Sinembargo, demasiadas o muy pocas clases podrían no revelar la forma básica de ladistribución. Por ejemplo, en el problema de las rentas un intervalo de clase de $900no revela mucho acerca del patrón de las rentas (véase la tabla 2-6). Casi todo loque se podría decir es que aproximadamente la mitad de las rentas son inferioresa $1 499.50, y la mitad son superiores a $1 499.50. Como regla general, no debenutilizarse menos de 5 ni más de 15 clases en la elaboración de una distribución defrecuencias.

TABLA 2-6

Ejemplo de muy pocas clases

Rentas mensuales Número de unidades

$ 600-$1 499 631 500-2399 57

Total 120

Una pauta a seguir que puede usarse para determinar el número de clasessugerido, k, se da a continuación. Es el entero más pequeño tal que 2 k >_ n, donden es el número total de observaciones. Utilizando las 120 rentas mensuales de loscondominios como ilustración, ensáyese con el entero 6. Por tanto, 2 6 = 64, lo queno es igual a o mayor que 120. Intentando con 7 clases, 2 7 = 128, que es igual a omayor que una n de 120. Por lo que el número recomendado de clases es por lomenos 7. (Se usó 8 en la tabla 2-3.) Con base en esta pauta, la siguiente tablamuestra el número de clases recomendado para un número especificado de obser-

2. Supóngase que se tiene un grupo de datos originales que se van a organizaren una distribución de frecuencias y desea utilizarse el mismo intervalo para cadaclase. ¿Qué intervalo debe usarse? La siguiente fórmula presenta un intervalocomún sugerido. Observe la marca numérica (2-1) que está a la derecha de lafórmula. En el texto nos referiremos a estas marcas de fórmula en descripcionesfuturas.

Valor más alto — Valor más bajo (2-1) de clase sugerido =Número de clases ( }

Considere que se desea resumir en 8 clases los datos originales de las rentasde la tabla 2-1. La menor es $640 y la mayor es $2 187. ¿Cuál es el intervalo declase sugerido?

vaciones.

1 Si no se está seguro acerca del número de clases que deban utilizarse. la fórmula que sigue daráun intervalo de clase sugerido.

Intervalo de clase sugerido = Máximo valor observado - Mínimo valor observado (2-2)

1 + 3.322 (logaritmo del total de frecuencias)

Para los valores de las rentas:

$2 187 - $640 Sl 547 $1 547 = $185.65

1 + 3.322 (log de 120) 1 t 3.322 (2.0792) 7.9071024

Para obtener el logaritmo de 120 utilizando una calculadora científica, se oprime 120 después Izó .En pantalla aparecerá 2.079181246.

' Ligera discrepancia debida al redondeo. Debe ser 1.000

AUTOEXAMEN 2-3


Resumen de datos: distribuciones de frecuencias '36 Estadística para Administración y Economía

NúmeroNúmero total de recomendado deobservaciones clases

9-16 417-32 533-64 665-128 7

129-256 8257-512 9513-1 024 10

4. Como guía, el límite inferior de la primera clase debe ser un múltiplo par deiintervalo de clase. En el problema de las rentas se seleccionó un intervalo de clasede $200. Multiplicando esta cantidad por 3.0 (múltiplo par) se obtiene $600, límiteinferior de la primera clase. Como otro ejemplo, supóngase que ciertos datos sobreprecios varían de $23 (bajo) a $69 (alto) y se desea que el intervalo de clase seade $10. El límite inferior de la primera clase sería de $20, que se obtiene multiplicando2.0 (múltiplo par) por $10, el intervalo de clase.

5. Evite que se superpongan los límites de clase declarados como $1 300-$1400,$1 400-$1 500, y $1 500-$1 600. Las clases establecidas en esta forma no sonmutuamente excluyentes; por lo tanto se infringe la definición de una distribuciónde frecuencias. Por ejemplo, empleando clases con traslape no estaría claro dóndemarcar $1 400. ¿Pertenece a la clase $1 300-$1 400, o ala $1 400-$1 500?Establezca las clases como $1 300-$1 399, $1 400-$1 499, y $1 500-$1 599 yevite este problema. Se podría establecer una clase como "$1 300 o mayor, pero

sin incluir $1 400".6. No trate de tener clases de extremo abierto. Las clases "menor que $2 000"

y "$1 000 000 y mayor" empleadas por el IRS en la tabla 2-5 son ejemplos de clasesde extremo abierto. Causan problemas al graficar, según se describe en la sección

AUTOEXAMEN 2-2

Las respuestas se dan af final del capítulo.

siguiente, y al usar ciertas medidas de tendencia central y de dispersión, como sPdescribe en los capítulos 3 y 4.

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS RELATIVAS

Puede resultar conveniente convertir las frecuencias de clase a frecuencias declase relativas para mostrar el porcentaje del número total de observaciones er.cada clase. En el ejemplo de las rentas se podría desear saber qué porcentaje delas rentas están en la clase $600—$799. En otro estudio se desearía determinar quéporcentaje de empleados están ausentes por enfermedad entre uno y tres días alaño.

Para convertir una distribución de frecuencias a una distribución de frecuen-cias relativas, cada una de las frecuencias de clase se divide entre el número totalde frecuencias. Utilizando de nuevo la distribución de las rentas mensuales, lafrecuencia relativa para la clase $ 600—$799 se calcula como: 3 = 120 = 0.025.Esto es, 2.5% de las unidades arrendadas rentan entre $600 y $799. De manerasemejante, 3.3% de las unidades se rentan en $2 000 o más, lo que se obtiene de4 = 120. Las frecuencias relativas deben dar un total de 1,000 o 100%. (Véase latabla 2-7.)

TABLA 2-7

Rentas mensuales, frecuencias de clase y frecuencias relativasRentas Frecuencias Frecuencias Obtenidas

mensuales de clase relativas. or me diode$ 600-$ 799 3 0.025 3 + 120$ 800- 999 7 0.058 1 7 + 120$1 000- 1 199 11 0.092 11 + 120$1 200- 1 399 22 0.183 22 + 120$1 400- 1 599 40 0,333 40 + 120$1 600- 1 799 24 0.200 24 + 120$1 800- 1 999 9 0.075 9 - 120$ 2 000- 2 199 4 0.033 4 = 120

120 0.999*

Los salarios mensuales (en dólares) deuna muestra de 87 empleados de unaempresa fueron redondeados al dólarmás cercano. Van desde $1 041 hasta$2 548.

a. Supóngase que se desea resumir losdatos en siete clases. Utilizando el mis-mo intervalo para cada clase, deter-mine el intervalo de clase sugerido.

b. ¿Con qué intervalo de clase sería másfácil trabajar?

c. ¿Cuáles son los límites de clase de-clarados para la primera clase? ¿Ypara la siguiente?

Supóngase que las clases se expresancomo:

40-6060-9090-150

150 y mayoresEstas clases ilustran tres prácticas quedeben evitarse. ¿Cuáles son?

Consulte la tabla 2-7.1. ¿Cuántas rentas están entre $1 600 y

$1 799?2. ¿Qué porcentaje de las unidades se ren-

tan con un costo entre $1 600 y $1 799?

3. ¿Ap roximadamente cuál es el porcenta-

je de las unidades de condominio quese rentan en $1 800 o más?

.1

r)38 Estadística para Administración y Economía Resumen de datos: distribuciones de frecuencias 39

ti

EJERCICIOS 8. Una agencia de viajes de alcance nacional ofrece tarifas especiales de ciertas travesíasen el Caribe, para personas mayores. El presidente de esta empresa desea información

Las respuestas a los ejercicios de número impar se dan al final del libro.pa a adicional acerca de las edades de las personas que participan en tales viajes. Una1. ¿Qué es una ordenación o arreglo ordenado? muestra al azar de 40 clientes que fueron a una travesía el año pasado, indicó las siguien-

[ 2. ¿Qué se entiende por distribución de frecuencias? tes edades.3. En una distribución de frecuencias las clases deben ser mutuamente excluyentes.

4.Explique.Un de datos

77 18 63 84 38 54 50 59 54 56 36 26 50 34 44conjunto originales contiene 53 observaciones. El valor más bajo es $42 41 58 58 53 51 62 43 52 53 63 62 62 65 61 52

(dólares) y e! más alto, $142. Los datos han de ser organizados en una distribución de 60 60 45 66 83 71 63 58 61 71frecuencias. Comenzando con 40, ¿cuántas clases sugeriría usted?

5. El director del programa de reconocimiento de una universidad tiene 16 solicitudes para a. Organice los datos en una distribución de frecuencias. utilizando siete clases y 15 como

ladmisión próxima. Las puntuaciones especiales (ACT) de los solicitantes son: el límite inferior de la primera clase. ¿Qué intervalo de clase seleccionaría usted?

b. ¿Dónde tienden los datos a acumularse?27 27 27 28 27 25 25 28 c. Describa la distribución.26 28 26 28 31 30 26 26 d. Convierta la distribución en una distribución de frecuencias relativas.

Tales puntuaciones han de ser organizadas en una distribución de frecuencias.a. ¿Cuántas clases recomendaría? REPRESENTACIONES DE TALLO Y HOJAb. ¿Qué intervalo de clases sugeriría usted?c. ¿Qué límite inferior recomendaría para la primera clase?

Organice las puntuaciones en una distribución de frecuencias. 14 En las secciones anteriores, se mostró cómo organizar datos en una distribución de

lCd.e. Comente acerca de la forma de la distribución, frecuencias a fin de resumir los datos originales en forma significativa. Una desven-

6. Una empresa de servicio de lubricación para autos tiene un cierto número de sitios de taja de ese enfoque hacia la investigación de datos, es la pérdida de información alatención en un área metropolitana. No se requieren reservaciones. El número de cambios efectuar los conteos. Por ejemplo, no está clara, a partir de la siguiente distribuciónde aceite en un sitio determinado durante los últimos 20 días son: de las edades de los nuevos empleados de una empresa la forma en que se distribuyen

dichas edades en el grupo 20-29. ¿Están agrupadas muy cerca de los 20 años o65 98 55 62 79 59 51 90 72 56 se distribuyen de manera más o menos uniforme a través de toda la clase?70 62 66 80 94 79 63 73 71 85

Los datos han de organizarse en una distribución de frecuencias. Edades de los Marcas

a. ¿Cuántas clases recomendaría?empleados nuevos de conteo Frecuencias

b. ¿Qué intervalo de clase sugeriría usted? 20-29 77I1 11 730-39 (Í7^J 7 1 i ^M( l 21

c. ¿Qué límite inferior sería recomendable para la primera clase?

d. Organice el número de cambios de aceite en una distribución de frecuencias.40-49 llll 4

5

50-550-59 II 2e. Comente acerca de la forma de la distribución de frecuencias. 1 1

7. La gerente local de un centro comercial está interesada en el número de veces quecompra un cliente en la tienda durante un periodo de dos semanas. Las respuestas de51 clientes fueron En años recientes ha adquirido extenso uso una técnica que compensa la

pérdida de información que ocurre al resumir datos originales. Se denomina repre-3 3 3 1 4 4 5 6 4 2 6 6 6 7 1 sentación de tallo y hoja. Para elaborar tal representación se utilizan las edades

1 14 1 2 4 4 4 5 6 3 5 3 4 5 6 de los nuevos empleados de !a compañía en cuestión, se reemplaza una marca por8 4 7 6 5 9 11 3 12 4 7 6 5 15 1 el último dígito de la edad de un empleado. Las edades de los siete empleados de1 10 8 9 2 12 la primera clase, aparecen entonces como:

a. Iniciando con 0 como el límite inferior de la primera clase y utilizando un intervalo de 2 3 4 5 5 7 8 9clase de 3, organice los datos en una distribución de frecuencias.

b. Describa la distribución . ¿Dónde tienden los datos a acumularse?1 Por tanto, puede verse que las edades se presentan de manera más o menos

c. Convierta la distribuci(5n en una distribución de frecuencias relativas, uniforme a !o largo de la clase de edad 20-29. Obsérvese que los valores en una

sTallo

89

1112131415

El tallo "9" y sushojas

8 93 4 4 5 6 6 73 3 4 6 7 81. 2 2 3 3 7 7 8 90 0 4 5 5 5 7 72 4 5 6 8 9 92 3 85 5 6


clase están ordenados desde el mínimo hasta el máximo. El primer valor es 23, elsegundo 24, y así sucesivamente.

El siguiente ejemplo muestra los pasos necesarios para elaborar una represen-tación de tallo y hoja.

M Ejemplo

Los precios de venta de 45 casas unifamiliares de 2 recámaras en un cierto sitio,se presentan en la tabla 2-8. ¿En qué forma se organizan los datos de precios enuna representación de tallo y hoja?

TABLA 2-8

Precios de venta de casas unifamiliares de dos recámaras( miles de dólares)

$ 96 $ 93 $ 88 $117 $12795 113 96 108 94

148 156 139 142 94107 125 155 155 103112 127 117 120 112135 132 111 125 104106 139 134 119 9789 118 136 125 143

120 1 03 11 3 124 138

Q Solución

rallo

9 65

14 8

Organizando todos los precios de venta se tiene:

Tallo l

8 9 89 6 5 3 6 4 4 7

10 7 6 3 8 3 411 2 3 8 7 1 3 7 9 212 0 5 7 0 5 5 4 713 5 2 9 9 4 6 814 8 2 315 6 5 5

Los dígitos finales de cada renglón están en orden por categoría para formaruna representación de tallo y hoja. El primer renglón quedaría:

TalloR 1 A q

Las hojas para cada renglón una vez clasificadas de menor a mayor son:

El tallo es el dígito (o dígitos) que encabeza(n) la fila (a la izquierda). La hoja es eldígito que termina la fila (a la derecha). El tallo se coloca ala izquierda de una líneavertical y la hoja (último dígito) a la derecha de la misma. Por ejemplo, obsérveseque en la tabla 2-8 el primer precio de venta en la esquina superior izquierda es$96 000. El tallo es 9 y la hoja 6. La línea vertical simplemente separa las dos partesde cada número.

Tallo Hoja(dígito inicial) (dígito final)

9 1 6

Los dígitos encabezadores o iniciales para los datos de la tabla 2-8 son 9, 10,11, ... , 15. El dígito final para cada precio de venta se registra en la misma líneao renglón que su dígito inicial (tallo). Los tres primeros precios en la columna de laizquierda de la tabla 2-8 se presentarían como:

Cada renglón de esta representación tiene un tallo y una hoja. El tallo "9" tiene sietehojas y podría ilustrarse como se muestra en la figura anterior.

El enfoque de tallo y hoja es muy flexible. Por ejemplo. supóngase que losnúmeros que siguen representan la cantidad de paquetes especiales de comidarápida vendidos durante un periodo de cuatro semanas: 2 463, 2 412, 2 543, y 2 488.La representación de tallo y hoja sería entonces:

il


()Tallo

1

valor de este renglón. Por tanto, dicho valor, o mediana, como se denomina, es 118, que24 1 6 8 se determina contando más de 8 valores en el renglón 110. Después de/renglón de la25 4

mediana, los valores disminuyen. Estos valores representan los totales acumulados"más de". Esto es, existen 21 observaciones de 120 o más, 13 de 130 o más, etc.

El tallo tiene los dígitos de las centenas y los millares. El dígito de las unidades se El siguiente resultado de MINITAB también utiliza los datos de la tabla 2-8 con

elimina. Por tanto, la hoja es el dígito de las decenas. respecto a los precios de venta de casas de dos recámaras. Sin embargo, obsérvese

La salida del sistema MINITAB para el procedimiento designado "stem" (tallo) que los incrementos son de 5 en vez de 10 que se utilizaron antes. La mediana, o

se muestra a continuación. Los datos son los de la tabla 2-8. En este libro el material valor central, sigue siendo 118, determinada considerando que 20 observaciones

a introducir por el usuario de computadora se señala en gris, y la salida de com- son de 114 o menos, y que hay 4 observaciones entre 115 119. Se busca la terceray yputadora, en negro. El sistema MINITAB presenta el aviso MTB>. Cuando se vea observación, que es 118.

este aviso, MINITAB pregunta qué procedimiento prefiere el usuario. En este caso,el procedimiento deseado se llama "stem" y el subcomando es "increment". Aquí el MTB > stem cl

incremento deseado es 10. Los datos se localizan en una columna, designada porCl. La variable se llama "price". La salida es como sigue: Stem-and-1 eaf of pri ce N = 45

Leaf unit = 1.0

( MTB > stem cl; 2 8 89SUBC > increment = 10. 5 9 344

Stem-and-leaf of Price N = 45 9 9 5667 IndicaLeaf Unit = 1.0 12 1 10 334 100-104

- Valores—IValoresi 15 10 678 105-109

2 8 89 de tallo 20 11 12233

9 9 3445667 Valor (4) 11 71 9 Valor15 10 334678 1

mediano 21 12 00 mediano

(9) 11 122337789 Valores 18 12 55577

21 12 00455577 de hoja 13 13 24

13 13 2456899 11 13 56899

6 14 238 6 14 23

3 15 556 4 14 8

C 3 15

3 15 556Obsérvese que la solución MINITAB proporciona cierta información adicional

en la columna ubicada a la izquierda de los valores de tallo. Los valores 2, 9, 15,etc. son los totales acumulados. Por ejemplo, el número 15 indica que ha ocurrido untotal de 15 observaciones antes del valor 110. Aproximadamente en la mitad haciaabajo de esa columna, aparece el número 9 entre paréntesis. Los paréntesis indicanla ubicación de la observación central. Esto es, el valor por abajo del cual ocurren lamitad de las

observaciones, se encuentra en ese renglón. Hay un total de 45observaciones, de manera que e! valor de enmedio, si los datos se colocaran en unarreglo ordenad

o, sería el valor 23°. En este ejemplo, 15 observaciones quedan porabajo de 110. El valor 9 entre paréntesis indica que hay nueve observaciones en elrenglón con un tallo de 110. El valor de enmedio sería la observación 23°, o el 84

AUTOEXAMEN 2-4


Las relaciones precio-ganancia para 20 ac- 1. Diseñe una representación de tallo y hoja.ciones seleccionadas son: 2. Explique tal representación.

8.3, 9.6, 9.5, 9.1, 8.8, 11.2, 7.7, 10.1, 9.9,10.8, 10.2, 8.0. 8.4, 8.1, 11.6, 9.6, 8.8, 8.0,10.4, 9.8.

zando diagramas o gráficas. Tres diagramas que representan de manera adecuada,una distribución de frecuencias son el histograma, el polígono de frecuencias y elpolígono de frecuencias acumuladas.


EJERCICIOS

Las respuestas a los ejercicios de número impar se dan al final del libro.9. El primer renglón de un diagrama de tallo y hoja aparece como 62 I 1 3 3 7 9. Explique.

10. El siguiente diagrama de tallo y hoja representa una producción diaria de videograba-doras (VCR).

HistogramaStem-and-leaf of production N 6 80

Leaf unit ° 1

Stem Leaf5 8 12334

15 8 556666789930 9 011111233333344

(10) 9 5556667777777888888889999925 10 0011122333444411 10 5566678

4 11 2334

El histograma es uno de los medios gráficos más ampliamente empleados y unode los más fáciles de comprender. Un histograma describe una distribución defrecuencias utilizando una gráfica de barras (rectángulos verticales adyacentes),en la que la altura de cada barra es proporcional a la frecuencia de la clase querepresenta. Su elaboración se ilustra en seguida utilizando de nuevo el ejemplo delas rentas mensuales de condominios para vacacionar (tablas 2-1 y 2-3.)

M Ejemplo

a. ¿Cuál es el menor número de VCR producido durante un día?b. ¿Cuántas observaciones están en la primera clase?c. ¿Cuál es el valor central de los datos de producción?d. ¿Durante cuántos días fue la producción menor de 95 VCR?e. ¿Durante cuántos días fueron producidas 105 o más VCR?

11. Una encuesta del número de llamadas recibidas por una muestra de suscriptores deuna compañía telefónica la semana pasada, dio los datos siguientes. Elabore un dia-grama de tallo y hoja.

52 43 30 38 30 42 12 46 39 3734 46 32 18 41 5

12. Un sistema bancario estudia el número de veces que uno de sus cajeros automáticosse usa diariamente. Se indica en seguida el número de veces que dicha máquina fueutilizada durante los últimos 30 días. Elabore un diagrama de tallo y hoja.

3 64 84 76 84 54 75 59 70 6163 80 84 73 68 52 65 90 52 7795 36 78 61 59 84 95 47 87 60

REPRESENTACION GRAFICA DE UNADISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

Los gerentes de ventas, analistas de valores, directores de hospital y otros ejecutivoscon frecuencia necesitan tener una noción rápida de la tendencia en ventas, preciosde acciones o costos de administración. Estas tendencias pueden mostrarse utili-

NúmeroRentas mensuales de unidades

$ 600-$ 799 3800- 999 7

1 000- 1 199 111 200- 1 399 221 400- 1 599 401 600- 1 799 241 800- 1 999 92000-2199 4

¿Cómo se elabora el histograma para esta distribución de frecuencias?

Q SoluciónPara elaborar un histograma, las frecuencias de clase se marcan en la escala deun eje vertical (eje Y), y en uno horizontal (eje X), los límites declarados, los límitesverdaderos o los puntos medios. Se utilizarán los límites declarados y se mostrarásólo el límite inferior de cada clase en el eje X.

Obsérvese a partir de la distribución de frecuencias que hay tres unidades enrenta en la clase de $600—$799. Por tanto, la altura de la columna para esa clasees 3. Existen siete unidades en la siguiente clase ($800—$999), y lógicamente laaltura de la columna es 7. (Véase el diagrama 2-1.) Por tanto, la altura de cada barrarepresenta el número de observaciones en dicha clase.

Este procedimiento continúa para todas las clases hasta terminar el histograma,según se muestra en el diagrama 2-2.

DIAGRAMA 2-1

Elaboración de un histograma

0 ^ 15

'c y• N

00 10^^ 7Úl^

roc 5 3y U

^^ o xZ 600 800 1 000

Rentas mensuales(en dólares)

DIAGRAMA 2-2

Histograma que muestra las rentas de 120 condominios

600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800 2 000 2 200

Rentas mensuales (en dólares)

y

40

35

a0O

25o

•0O20

e00

15

Zi

5

n x


Las características que siguen son evidentes en el histograma: 1) la rentamensual más baja es aproximadamente $600; 2) la más elevada es aproximada-mente $2 200; 3) la mayoría de las rentas están entre $1 200 y $1 800; 4) la mayor

concentración está entre $1 400 y $1 600. De esta forma, el histograma proporcionauna imagen o noción visual de fácil interpretación de las rentas. Si se hubierangraficado las frecuencias relativas (en vez de las frecuencias de clase), la formageneral de la distribución sería muy parecida.

MINITAB cuenta con varios procedimientos que producen representacionesgráficas. A continuación se muestran los llamados dotplot e histogram. Ambasrepresentaciones están estrechamente relacionadas con una distribución de fre-cuencias. Los datos originales de la tabla 2-1 y la distribución de frecuencias de latabla 2-3 respecto a las rentas mensuales de 120 unidades de condominios, seutilizan para ilustrar un diagrama de puntos dotplot y un histograma.

MTB > dotplot cl

t • • • • • ♦ • • • • • • • • Y Y • • • • i 1 • • f í • i i . i i • • i 0 i • • i

-+ ---------+ - - - - - - - - - - ---------+ - - _ - - _ _ _ _ -. _ _ - _ - _ _ _ _ 1 _ _ _ _ _ Rentals

600 900 1200 1500 1800 2100

MTB > hist cl;SUBC > increment = 200;SUBC > start = 700.

Histogram of rentas N = 120

Midpoint Count700 3 ***

900 7 *******

1100 11 ***********

1300 22 **********************

1500 40 **********:F****************************

1700 24 ************************

1900 9 *********

2100 4 ****

Polígono de frecuencias

Un polígono de frecuencias está estrechamente relacionado con un histograma. Elpolígono de frecuencias consiste en una línea poligonal formada por segmentosde recta que unen los puntos determinados por la intersección de la vertical delpunto medio de clase, y la horizontal de la frecuencia de clase. Las clases vacíasgeneralmente se incluyen en cada extremo, de modo que la curva se "ancle" en eleje horizontal (eje X).

DIAGRAMA 2-3

Polígono de frecuencias que muestra las rentas mensuales de 120 condominios

50

499.50 899.50 1 299.50 1 699.50 2 099.50

699.50 1 099.501 499.50 1899.50 2 299,50


DIAGRAMA 2-4

Distribución de rentas mensuales en las áreas de Sarasota -Bradenton y Jackson

50

40

Rentas en Rentas enJackson Sarasota-

1 Bradentonc 30

0m 20Ez

iI

99.50 499.50 899.50 1 299.50 1699.50 2 099.50



El trazo o elaboración de un polígono de frecuencias se ilustra utilizando de nuevolas rentas mensuales de condominios. Se necesitan los puntos medios de claseque están en la escala del eje X, y las frecuencias de clase, que están en el eje Y.Recuerde que el punto medio de clase es el valor que representa a la clase, y quese determina por la ubicación central entre los dos límites declarados.

40

Límites declarados Puntos medios Frecuencias de clase$ 600-$ 799 $ 699.50 3 30

800- 999 899.50 7 91 000- 1 199 1 099.50 11 m1 200- 1 399 1 299.50 22 201 400- 1 599 1 499.50 401 600- 1 799 1 699.50 24

LL

1 800- 1 999 1 899.50 92000- 2199 2099.50 4

10 299.50y0

t- $699.50 y 3

Como se observa, la clase $600—$799 está representada por su punto medio,$699.50. Para localizar el primer punto, es necesario trasladarse horizontalmentea $699.50, punto medio, y después verticalmente hasta 3, la frecuencia de clase, ycolocar un punto. Los valores Xy Yque determinan la ubicación del punto son suscoordenadas. Las coordenadas del siguiente punto son X = $899.50, Y = 7. Esteproceso continúa hasta considerar todas las clases. Después los puntos se unenen orden con segmentos. El punto que representa la primera clase se une con elque representa la segunda, y así sucesivamente.

Obsérvese en el diagrama 2-3 que para completar el polígono de frecuencias,se agregaron puntos medios de $499.50 y $2 299.50 a los dos extremos, y el po-lígono se "ancló" al eje horizontal en la frecuencia cero. Estos dos valores, $499.50y $2 299.50, se obtuvieron restando el intervalo de clase de $200 a partir del puntomedio más bajo de la distribución ($699.50) y sumando $200 al punto medio másalto ($2 099.50). Al anclar los dos extremos del polígono de frecuencias al eje X, elárea total bajo el polígono es ahora igual al total de las frecuencias (120).

Tanto el histograma como el polígono de frecuencias permiten obtener unaimagen rápida de las principales características de los datos (máximos, mínimos,punto de concentración, etc.). Aunque el objetivo de las dos representaciones essimilar, el histograma tiene la ventaja de indicar cada clase como un rectángulo,representando el área de cada barra rectangular el número total de frecuencias enla clase. El polígono de frecuencias tiene una ventaja notable con respecto alhistograma, ya que permite comparar dos o más distribuciones de frecuencias. Porejemplo, supóngase que las rentas de los condominios en el área Sarasota-Bra-denton se van a comparar con las del área de Jackson, Mississippi. Ambas distri-buciones de frecuencias se tienen en el diagrama 2-4. Es obvio, a partir de dichafigura, que las rentas en el área Sarasota-Bradenton por lo general son más elevadasque en el área Jackson.


El número de frecuencias de clase en el diagrama 2-4 es aproximadamenteigual entre las dos áreas. Si la diferencia en el número de frecuencias de clasefuera muy grande, por ejemplo, 40 unidades en Sarasota-Bradenton y 500 enJackson, permitiría una mejor comparación cambiar las frecuencias de clase a fre-cuencias relativas y graficar después los datos. Esta situación ocurre en los ejer-cicios 15y 16.

AUTOEXAMEN 2-5


Las exportaciones anuales de un grupo de 1. Represente las exportaciones en un his-pequeñas empresas farmacéuticas son: tograma.

2. ¿Cuáles son los puntos medios?Exportaciones Número 3. Represente las exportaciones en un po-

(millones de dólares) de empresas lígono de frecuencias.$ 2-$ 4 6 4. Interprete las gráficas.

5- 7 138- 10 20

11- 13 1014- 16 3

EJERCICIOSLas respuestas a los ejercicios de número impar se dan al final del libro.

f. Interprete la tasa de ausentismo de empleados y obreros utilizando los dos dia-gramas.

14. Un comerciante al mayoreo estudia el tiempo de surtido (el que transcurre entre cuandose coloca un pedido y cuando se lleva a cabo) por una muestra de pedidos recientes.Los tiempos de surtido se expresan en días.

Tiempo de surtido (días) Frecuencia

0-4 65-9 7

10-14 1215-19 820-24 7Total 40

a. ¿Cuántos pedidos fueron estudiados? b. ¿Cuál es el punto medio de la primera clase? ( 11c. ¿Cuáles son las coordenadas de la primera clase?d. Trace un histograma.e. Trace un polígono de frecuencias.f. Interprete los tiempos de surtido utilizando los dos diagramas.

15. Se está realizando un estudio acerca del tiempo que se necesita para ensamblar unaparato eléctrico de enchufe utilizando un método 0 en comparación con un método G.Los tiempos donde se utilizó el método Q se almacenaron en la computadora y fue untrabajo sencillo organizarlos en una distribución de frecuencias. Sin embargo. se hizoun gran esfuerzo para determinar los tiempos de ensamble utilizando el método G, demanera que sólo se eligieron 50. Las dos distribuciones son:

13. La siguiente distribución de frecuencias representa el número de días durante un año, Número estudiadoque los empleados y obreros de una compañía manufacturera estuvieron ausentes deltrabajo debido a enfermedad. Tiempo en

minutos Método Q Método G

5- 7 120 4

Número de Número de 8-10 426 11

inasistencias empleados 11-13 1 060 25

0-2 5 14-16 286 7

3-5 12 17-19 108 3

6-8 239-11 8

12-14 2A fin de comparar los dos métodos, utilizando polígonos de frecuencias, primero es ne-

Total 50 cesario convertir las frecuencias de clase a frecuencias relativas (debido a que el númeroestudiado para el método Q es mucho mayor que para el método G).a. Convierta a frecuencias relativas las frecuencias de clase para ambas distribu-

a. Suponiendo que ésta es una muestra, ¿cuál es el tamaño de la misma? ciones.

b. ¿Cuál es el punto medio de la primera clase? b. En un mismo diagrama trace los dos polígonos que representan los tiempos de

c. Trace un histograma. ensamble.

d. Se ha de trazar un polígono de frecuencias. ¿Cuáles son las coordenadas en la C. Obtenga conclusiones en lo referente a los tiempos de ensamble.gráfica para la primera clase? 16. Una compañía aseguradora de autos está estudiando las reclamaciones (en dólares)

e. Trace un polígono de frecuencias, por daños a automóviles de cinco años de antigüedad o más, y para automóviles con


menos de cinco años. Los datos originales se tabularon en las siguientes distribucionesde frecuencias:

Número de reclamaciones

Monto de la Autos de cinco Autos de menosreclamación años o más de cinco años

$ 200-$ 499 30 86500- 799 129 212800- 1 099 20 368

1 100- 1 399 10 4801 400- 1 699 6 18061 700- 1 999 2 8982000- 2 299 3 150

Las distribuciones se van a representar en una misma gráfica para facilitar la compa-ración.a. Convierta a frecuencias relativas las frecuencias de clase para cada distribución.b. Represente en una gráfica las frecuencias relativas para ambas distribuciones.c. Interprete la gráfica.

POLIGONOS DE FRECUENCIAS ACUMULADAS

Regresaremos al ejemplo anterior de las rentas de condominios (véase tabla 2-3).¿Cuántos se rentan en más de $950 mensuales? ¿Qué porcentaje se renta enmenos de $1 900 mensuales? Las respuestas a estas preguntas pueden aproxi-marse desarrollando una distribución de frecuencias acumuladas y trazando unpolígono de frecuencias acumuladas, a veces denominado ojiva. Un polígono defrecuencias acumuladas se utiliza cuando se desea determinar cuántas observa-ciones se encuentran por encima o por abajo de ciertos valores.

Un polígono de frecuencias acumuladas "menos de" puede utilizarse pararesponder preguntas como, "¿qué porcentaje de las rentas es menor que $1 700?"y "¿cuántas de las rentas son menores que $900 mensuales?" Una distribución defrecuencias acumuladas "menos de" indica cuántos elementos de la distribuciónti enen un valor igual o menor que el límite superior de la primera clase, de la segunda,de la tercera clase, etc.

De manera semejante, un polígono de frecuencias acumuladas "más de"puedecontestar preguntas como éstas: "¿qué porcentaje de las rentas es de más de $1 000mensuales?" y "¿cuántas rentas mensuales del estudio son iguales o superioresa $2 000 o más?". Una distribución de frecuencias acumuladas "más de" indica cuántoselementos de la distribución tienen un valor mayor que o igual al valor del límite inferiorde la primera clase, mayor que o igual al valor del límite inferior de la segunda clase,mayor que o igual al valor del límite inferior de la tercera clase, etc. A continuación seconstruye un polígono de frecuencias acumuladas "menos de'.

Polígono de frecuencias acumuladas "menos de"

12 Ejemplo

Se repite la distribución de frecuencias para las rentas en el caso de la tabla 2-3

Rentas Número de rentasmensuales (frecuencias de clase)

$ 600-$ 799 3800- 999 7

1 000- 1 199 111 200- 1 399 221 400- 1 599 401 600- 1 799 241 800- 1 999 92000-2199 4

Total 120

Construya un polígono de frecuencias acumuladas "menos de". Luego contestea estas preguntas: ¿50% de las rentas de condominio son iguales a o menores quecuál cantidad?, ¿75% de las rentas son iguales a o menores que cuál cantidad?

0 Solución

Recurriendo a la tabla anterior, obsérvese que tres de las rentas están en la clase$600—$799. Sin embargo, se sabe que el verdadero límite superior de esa clase esen realidad $799.50, ya que incluye todas las rentas hasta $799.50. Esas tres ren-tas además de las 7 en la siguiente clase más baja, un total de 10 rentas, son me-nores que $999.50. El número acumulado de frecuencias para la siguiente clase es21, que se obtiene de 3 + 7 + 11. Este proceso para determinar las frecuenciasacumuladas continúa para todas las clases.

Rentas Frecuencias Frecuenciasmensuales de clase acumuladas Obtenido por

Menos de $ 599.50 0 Sumar 0Menos de 799.50 3 hacia 3Menos de 999.50 7 abajo 10 3 + 7Menos de 1 199.50 11 21 3 + 7,+ 11Menos de 1 399.50 22 43 3 + 7 + 11 + 22Menos de 1 599.50 40 83Menos de 1 799.50 24 107Menos de 1 999.50 9 116Menos de 2199.50 4 120

X = $999.50Y= 10

120

u)

90

EU

Ñ 60

UCN3 30

12C

N

ID

9(EUmo 6(CD

UCe

á 3{


^I.

Los límites superiores verdaderos y las frecuencias acumuladas se graficanpara obtener polígonos de frecuencias acumuladas "menos ae" (véase el diagrama2-5). El pnrler punto es X = $599.50, Y = 0. Las coordenadas del siguiente puntoson $799.50 y 3; las siguientes son $999.50 y 10; y así sucesivamente. (Observacióntécnica: si no se sabe cómo se redondearon los datos, o si los valores fueran númerosenteros --como un número de niños, por ejemplo 0, 1, 2, 3, ... - en este proble-ma se podrían utilizar $600, $800, $1 000, etc., para el eje X.) Obsérvese que el"porcentaje del total" se marca en el eje Y.

DIAGRAMA 2-5

Polígono de frecuencias acumuladas "menos de" para las rentas

1 00

50 •

25 s

IL

0 -*-.---- 0

599.50 999.50 1 399.50 1 799.50 2199.50799.50 1 199.50 1 599,50 1 999.50


A continuación se mencionan algunas cifras aproximadas a partir de la gráfica.Se tiene que 50% de las rentas son iguales a o menores que $1 500 mensuales. Aesta conclusión se llega trazando una línea punteada desde 50% hasta la curva dedistribución, y bajando verticalmente al eje X. Tres de cada cuatro rentas (75%) sonigua es a o menores que, aproximadamente, $1 675 mensuales.

Polígono de frecuencias acumuladas "más de"

Una distribución de frecuencias acumuladas "más de", se traza iniciando con laclase más alta y "laborando" hacia atrás. sumando las frecuencias hasta llegar ala clase más baja . Para trazar un polígono de frecuencias acumuladas "más de", seutilizan los límites verdaderos inferiores y sus frecuencias acumuladas correspon-d ientes. De nuevo se utiliza el límite verdadero. Se sabe que el límite inferior de la

clase $800-$999 en realidad no es $800 porque incluye todas las rentas desde$799.50. Por tanto, $799.50 y 117 son las coordenadas del punto para esa clase(véase el diagrama 2-6).

Frecuencias FrecuenciasRentas de clase acumuladas Obtenido con

Más de $ 599.50 3 120Más de 799.50 7 117Más de 999.50 11 110Más de 1 199.50 22 99Más de 1 399.50 40 77Más de 1 599.50 24 Sumar 37 4 + 9 + 24Más de 1 799.50 9 hacia 13 4 + 9Más de 1 999.50 4 arriba 4

Más de 2199.50 0 0

D!AGRAM,A 2 -6

Polígono de frecuencias acumuladas "más de" para las rentas

o#me

75 CD

X = $1 599.50U)

Y = 37 50 fcNUO

25 a-

0 1 I ^ 0599.50 999.50 1 399.50 1 799.50 2199.50

799.50 1 199.50 1 599.50 1 999.50


Si se desea determinar cuántas rentas son iguales o mayores que $1 500, setrazaría una línea verticalmente desde $1 500, según se muestra, hacia el polígo-no y después hacia la izquierda al eje Y. El número correspondiente en el eje Yesaproximadamente 57, lo cual significa que 57 rentas son iguales o mayores que$1500 mensuales.

56 Estadística para Administración y EconomíaResumen de datos: distribuciones de frecuencias 57

AUTOEXAMEN 2-6


Una empresa comercial organizó en una 2. Desarrolle una distribución de frecuen-tabla los salarios (por hora) de 80 emplea- cias acumuladas "menos de" y repre-dos de medio tiempo y de tiempo comple- séntela en un polígono de frecuenciasto. Por ejemplo, incluyó un salario de $4.49 acumuladas "menos de".en la clase $2-$4 pero uno de $4.50, en la 3. Desarrolle una distribución acumuladasiguiente clase superior ($5-$7). He aquí "más de" y trace el polígono con acumu-la tabla. lación adecuada.

4. Con base en los dos polígonos de acu-Sueldos por hora Número de sueldos mulación, ¿cuántos empleados ganan

$ 2-$ 4 18 $6 o menos la hora? ¿La mitad de los5-7 36 empleados ganan un salario de, o más?8-10 20 ¿Cuántos empleados ganan $10 o más?11-13 6 ¿Cuánto ganan veinte empleados o

1. ¿Cómo se denomina la tabla? más?

EJERCICIOS

Las respuestas a los ejercicios de número impar se dan al final de/libro.17. La distribución de frecuencias que representa el número de días que anualmente los

empleados y obreros de una empresa manufacturera estuvieron ausentes del trabajopor enfermedad, se repite del ejercicio 13.

Número deinasistencias Frecuencia

0-2 5

3-5 12

6-8 23

9-11 8

12-14 2Total 50

a. ¿Cuántos trabajadores estuvieron ausentes menos de tres días al año? ¿Cuántosestuvieron ausentes menos de seis días por enfermedad?

b. Convierta la distribución de frecuencias a una distribución de frecuencias acumuladas"menos de".

c. Presente la distribución acumulativa en la forma de un polígono de frecuenciasacumuladas "menos de". Puesto que las frecuencias son números enteros puedenutilizarse límites declarados o verdaderos.

d. ¿Por cuántos días, aproximadamente, tres de cuatro empleados estuvieron ausentesdebido a enfermedad?

18. La distribución de frecuencias con respecto al tiempo de surtido que se requiere paracompletar un pedido, dei ejercicio 14, se repite a continuación:

Tiempo de surtidodías Frecuencia

0-4 6

S-^J 7

10-14 1215-19 820-24 7Total 40

a. ¿Cuántos pedidos fueron surtidos en menos de 10 días? ¿Yen menos de 15 días?b. Convierta la distribución de frecuencias a una distribución de frecuencias acumuladas

" menos de".c. Desarrolle un polígono de frecuencias acumuladas "menos de". Utilice límites decla-

rados o verdaderos.d. ¿En menos de cuántos días fueron despachados aproximadamente 60% de los

pedidos?19. Con relación al ejercicio 17, convierta la distribución de frecuencias a una distribución

de frecuencias acumuladas "más de".a. ¿Cuántos trabajadores no asistieron más de cinco días?b. Trace un polígono de frecuencias acumuladas "más de". Utilice límites declarados o

verdaderos.c. Interprete el diagrama.

20. Con relación al ejercicio 18, convierta la distribución de frecuencias en una distribuciónde frecuencias acumuladas "más de".a. ¿Cuántos pedidos tuvieron un tiempo de surtido de 15 días o más?b. Trace un polígono de frecuencias acumuladas "más de". Utilice límites declarados o

verdaderos.c. Interprete el diagrama.

REPRESENTACION GRAFICA DE LOS DATOS

El polígono de frecuencias, el histograma, y los polígonos de frecuencias acumu-ladas "menos de" y "más de", dan una conveniente apreciación visual. Ademásexisten otras gráficas. El diagrama 2-7 es un ejemplo. Se utilizan extensamente enreportes o informes de gobierno y de investigación, y en periódicos y revistas. Variosde ésos se presentan en esta sección. Otros, como el diagrama de dispersión, se-verán más adelante.

El diagrama 2-7 es un ejemplo del uso de tales gráficas. El objeto es mostrarel incremento continuo en la expectativa de vida de personas no blancas y blancasdesde 1900. Se interpreta la línea marcada "no blanca, masculino" indicando quesólo la mitad de un gran grupo de estas personas nacidas en 1900 vivieron hasta laedad de 33. Actualmente la mitad de hombres pueden esperar vivir hasta la edad de70 años. También, obsérvese que desde 1900 la esperanza de vida de las mujeresde raza no blanca se ha incrementado con más rapidez que para las blancas.

DIAGRAMA 2 -7

Esperanza de vida al nacer por raza y sexo: 1900 -1990

80

f

Bianca,femenino

Blanca, ^,d'masculino

Negra y otras razas, femenino

Negra y otras razas, masculino

^l

tm

50

30

40

CuadranteXnegativaY positiva

CuadranteXnegativaYnegativa

cuadrante 1X positivaYpositiva

X (abscisa)

cuadrante IVX positiva/negativa

óo-(1)o

-o ..^ 0.00

o

-2.5

2.5

1b86 1987 1988 1989 1990

Años

Fuente: Abbey-Green. inc., Annual Report, 1990, pág. 6.


01 1 1 1 1 11 900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990

Fuente: National Center for Health Statistics, U.S. Department of Health and Human Services.

Y (ordenada)

li

Gráficas simples de líneas y de barras

Las gráficas simples de líneas son ideales para representar tendencias de ventas,importaciones y otras series de valores durante un cierto periodo. El diagrama 2-8muestra las utilidades por participación en acciones comunes para la compañíaAbbey-Green, Inc. Obsérvese que en 1989 esta empresa sufrió una pérdida, y portanto las utilidades por participación son negativas. En este caso se requieren loscuadrantes 1 y IV.

DIAGRAMA 2-8

Abbey-Green, Inc. Dividendos por Acción, 1986 a 1990

Igualmente, datos como las ventas de la compañía NCR desde 1970 y lasimportaciones de Honda Civics desde 1984, pueden representarse gráficamenteen un diagrama. Una gráfica bien trazada tiene la ventaja de atraer la atención dellector y mostrar con prontitud tendencias y otras características importantes de losdatos.

Ahora se indicará cómo representar datos en forma de gráficas de líneas, de ba-rras y de sectores.

Recuérdese que en álgebra se considera un plano coordenado con cuatrocuadrantes. Obsérvese en la ilustración siguiente, que tanto los valores X como los Yson positivos en el cuadrante I. Puesto que la mayoría de los datos de administracióno negocios son positivos, es el que se usa con más frecuencia.

Considérese también que las divisiones en el eje Y (eje vertical) son equidis-tantes. Igual sucede con las divisiones en el eje X (eje horizontal). Al papel impresocon estas características se le denomina papel cuadriculado para gráficas.

1986 1987 1988 1989 1990

Años

60 Estadística para Administración y Economía

A continuación se dan otros dos ejemplos de gráficas de líneas. El diagrama2-9 muestra el incremento notable en las ventas de teléfonos celulares desde 1986.Las ventas, en miles de unidades, aumentó desde 280.0 en 1986, hasta 1 190.0 en1990. ¡Este es aproximadamente un aumento al cuádruplo en sólo cuatro años!

DIAGRAMA 2-9

Ventas de teléfonos celulares de 1986 a 1900 (Miles de unidades)

1200

f!1lN

ece> c 600

a

300

Resumen de datos: distribuciones de frecuencias 61

DIAGRAMA 2 - 10

Mediana de los precios de venta de casas existentes en California y los Estados Unidos

$200 ^ ,

1 60

1 20

80

40

01970 75 80 85 89 90

Años

Fuente: U.S. News & World Report, abril 8, 1991. pág. 56.

DIAGRAMA 2-11

Cantidades gastadas en máquinas expendedoras, 1985 a 1989(miles de millones)

$25

1985 86 87 88 89

Años

v 20

Fuente: The Universal Almanac,1991, pág. 242.15

El diagrama 2-10 ilustra una forma excelente de describir el cambio en dos o0

€ 10más series de datos para un cierto periodo. Este diagrama permite compararrápidamente la mediana de los precios de casas existentes en California y el restode Estados Unidos. Obsérvese que en 1970 el precio de venta de una casa en 5California y en el resto de EUA era aproximadamente el mismo —ligeramente inferiora $40 000 dólares. Sin embargo, desde 1970 la mediana de los precios de las casas oen California se incrementó aproximadamente hasta $200 000 dólares. En el restode Estados Unidos, el precio se elevó a sólo unos $100 000 dólares.

E' drirrrca 2-11 f d b t' J C-+,- +,.- d'g es una y !cae LJQfí as ver IcC2 es. LLe ipo Ue iagrama e C Fuente: Toledo Blade, marzo 10, 1991, pág. 15apropiado para mostrar una sola serie para un periodo. Es muy similar a una gráficade líneas, excepto que se usan barras en lugar de puntos unidos con segmentos de Una gráfica de líneas y una de barras pueden combinarse para una mejorrecta. Esta gráfica muestra cantidades gastadas en miles de millones de dólares, en il ustración. La siguiente figura combina el diagrama 2-9 y una gráfica de barrasmáquinas expendedoras en Estados Unidos, de 1985 a 1989. especial.

c

t

Gráfica de barras seccionadas

Una cadena de tiendas de descuento está organizada en tres grupos para ventas ycompras. Cada grupo está dirigido por un gerente general. El cambio en ventastotales para los años de 1989, 1990 y 1991, y el cambio para cada grupo en relacióncon el total se ha de representar con una gráfica de barras seccionadas. (En muchosde los nuevos paquetes computacionales para graficación, como el CHARTMAS-TER, se denomina gráfica de barras apiladas stacked).

Las ventas de cada grupo son:

GRopaMedicinas y artículos domésticosAutomóviles y artículos deportivos

Total

Ventas (en millones de dólares)

1989 1990 1991

$2 $3 $2

10 8 3

4 8 18

$16 $19 $23

Para elaborar una gráfica de barras seccionadas, primero se representan lasventas de ropa por $2 millones (de dólares) del año 1989 (paso 1).

Paso 3Ventas deautomóviles yartículos deportivospor $4 millones

1 5 5

1 0

5 5

15

10

5

01989 1989

0 01 989

Paso 1 Paso 2Ventas de ropa Ventas de medicinas ypor $2 millones artículos domésticos por

$10 millones, arriba delas ventas de ropa (total$12 millones) La parte superior

representa ventas totalespor $16 millones

Ventas de automóvilesy artículos deportivospor $4 millones

Ventas de medicinasy artículos domésticospor $10 millones

Ventas de ropapor $2 millones

V


f

1200

0Ñ 9000O

6000w)a

300

0

86 87 88 89 90

El Bureau of Labor Statistics, de Estados Unidos, ha estimado el incrementoporcentual en ocupaciones seleccionadas, de 1988 a 2000. Estos incrementos pro-yectados se muestran en el diagrama 2-12, en la forma de gráfica de barras hori-zontales. Nótese que tal organismo estima que el número de analistas de computaciónaumentará 53%, de 1988 al año 2000.

DIAGRAMA 2-12

Incrementos porcentuales en trabajos de orden civilpara ocupaciones seleccionadas, 1988 a 2000

Incremento porcentual

0 20 40 60 80

Ayudantesde médico 7

Agentes —de viajes 54

Analistas de _computación 53

Enfermerasregistradas 39

Profesores desecundaria 19

Super/isores \en fábricas

Las ventas para los tres años se presentan en el diagrama 2-13. ObsérveseFuente: The Universal Almanac,1991 , pág, 223 que para cada año, primero se marcaron las ventas de ropa en la parte inferior de

Automóviles y articulosdeportivos

Medicinas y domésticos

® Ropa

1989 1990 1991

25

20U)

-0

coi 150N

o•E

10N

5

0


la barra, en la parte superior siguiente se marcaron las ventas de medicinas yartículos domésticos, y el último componente o sección que se marcó fue el de lasventas de automóviles y artículos deportivos. La parte superior de cada barra re-presenta las ventas totales del año. La interpretación de la gráfica de barras sec-cionadas es:

DIAGRAMA 2-13

Gráfica de barras seccionadas

1. Las ventas totales aumentaron durante los tres años.2. Las ventas de ropa permanecieron relativamente constantes durante el

periodo de tres años.3. Las ventas de medicinas y artículos domésticos disminuyeron como un

componente del total.4. Las ventas de automóviles y artículos deportivos aumentaron con rapidez

como un componente del total.

tuales de un periodo a otro. Para ilustrar esto, supóngase que las ventas de apara-tos electrónicos de casetes, tocadiscos compactos, etc., en un establecimiento durantelos primeros seis meses de 1992 se han de comparar con las de los primeros seismeses de 1991. En este problema el objetivo es mostrar los cambios porcentuales enventas, no el cambio en cantidades de dinero. Los datos de las ventas (en dólares)son:

Ventas durante losprimeros seis meses

Cambio porcentual de1991 1992 1991 a 1992

Portacasetes $ 4 000 $ 3 000 -25Tocadiscos compactos 1 000 1 500 50Radios 10 000 5 000 -50Televisores 100 000 110 000 10Videograbadoras 25 000 50 000 100

Obsérvese que las ventas de aparatos electrónicos disminuyeron 25% de 1991a 1992: [($3 000 - $4 000)/$4 000](100). Las ventas de tocadiscos compactosaumentaron 50% durante el mismo periodo: [($1 500 - $1 000)/$1 0001(100).

Los cambios en tanto por ciento se dividen en dos grupos. Por lo general losincrementos porcentuales se disponen en orden descendente, y los decrementosporcentuales, en orden ascendente.

Incrementos porcentuales Decrementos porcentuales

100 Videograbadoras -25 Portacasetes50 Tocadiscos compactos -50 Radios10 Televisores

Para elaborar una gráfica de barras bidireccional, los cambios porcentuales porlo general se grafican en el mismo orden ascendente o descendente (diagrama 2-14).La línea central es el origen de cada barra. El método más común consiste en gra-ficar los incrementos porcentuales a la derecha del origen y los decrementos por-centuales a la izquierda, según se ilustra.

Gráfica de barras bidireccional

A una gráfica bidireccional, se le denomina también de dos direcciones, de dossentidos o bilateral. Una gráfica bidireccional puede utilizarse para mostrar pérdidasy ganancias, actividades por encima y por debajo de lo normal, y cambios porcen-

Gráfica de sectores (o circular)

Una gráfica de sectores, también denominada gráfica circular, resulta muy útilpara representar una distribución de frecuencias relativas. El procedimie nto que sesigue al elaborar una gráfica de sectores se describirá utilizando los datos de latabla 2-9, proporcionados por el FBI, en Estados Unidos.

DIAGRAMA 2 -14

Gráfica de barras bidireccionai

-100 -75 -50 -25 0 25 50 75 100

Cambio porcentual

Videocaseteras

actos

TABLA 2-9

Arrestos, por edad

Número FrecuenciasEdad de arrestos refr tivac

26.3%40.420.4

7.65.3

100.0

19 y menos20-2930-3940-4950 y más

Total

2 734 7564 201 9502 122 973

790 535541 963

10 392177

Fuente: Federal Bureau of Investigation, Unifcrm Crime Reports for theUnited States.

AUTOEXAfu1EN 2-7

Una autoridad urbana desea diseñar unagráfica que muestre a los causantes queasistan a una próxima reunión, lo que suce-de con el dinero que pagan por impuestos.E! monto total recolectado es $2 millones(de dólares). Los gastos fueron: $440 000para escuelas, $1 160 000 para caminos,$320 000 para administración y $80 000

para suministros. Una gráfica de sectoresparece ideal para mostrar la fracción decada dólar de impuestos que se dedica aescuetas, caminos, administración y sumi-nistros. Convierta las cantidades totales aporcentajes del total general y representelos porcentajes en una gráfica de sectores.


1 %

94.680

Una forma más fácil y comprensible de representar las frecuencias relativas enuna gráfica de sectores consiste en considerar sólo los porcentajes. Según semuestra en el diagrama 2-15, los porcentajes 0, 5,10.15, etc., se marcan con unaescala uniforme sobre la circunferencia del círculo. Para ubicar el 26.3% para elgrupo de edad "19 y menos", se traza una línea desde 0 hasta el centro del círculo,y otra línea similar desde 26.3%. Después, si se suma 26.3% a 40.4% para el grupode edad 20-29, se obtiene 66.7%. Se traza así una línea (radio) desde el centro delcírculo hasta el punto 66.7%. De esta forma el área del círculo entre 26.3% y 66.7%representa el porcentaje del número total de arrestos atribuidos al grupo de 20-29.Continuando, se suma 20.4% a 66.7%, lo cual da 87.1 %. Se traza una línea desdeel centro hasta 87.1. El área entre 66.7 y 87.1, o sea 20.4%, muestra el porcentajedel número total de arrestos atribuidos al grupo de 30-39. Este procedimientocontinúa hasta terminar con todos los grupos de edad. (Véase el diagrama 2-15.)

En el diagrama 2-15 se ilustra una ventaja notable de la gráfica de sectores.Puesto que las áreas en el círculo corresponden directamente a las frecuenciasrelativas, es muy fácil apreciar qué área es la mayor (en este caso, 40.4%, que


Para trazar una gráfica de sectores, el primer paso consiste obviamente entrazar un círculo, y hay 360 grados en el mismo. Para graficar el 26.3% para el grupode edad "19 y menos" en la distribución de frecuencias relativas, este porcentaje seconvierte a grados. La respuesta es 94.68 grados, que se obtiene de 26.3% x 360.D

espués, utiliz¿indo un transportador, se localiza el punto de 94.68 grados en la

Circunferencia. Las líneas trazadas desde las marcas de 0 y 94.68 grados hacia el

centro dei círculo abarcan el porcentaje de arrestos totales (26.3%) atribuidos alg rupo de edad , 19 y menos", según se muestra a continuación.


representa el grupo de 20-29), y qué sector es el más pequeño (5.3% para el grupo

de "50 y más").

DIAGRAMA 2-15

Arrestos por grupos de edad

55% 50% yD-m

8

80%

75%

70%

66

20%

25%

26.3

30%

EJERCICIOS

Las respuestas a los ejercicios de número impar se dan al final de/libro.21. Los ingresos netos de una corporación (NCR) para los años 1980-1990, son:

Ingreso neto Ingreso neto

Año (millones de dólares) Año (millones de dólares)

1990 $369 1985 $315

1989 412 1984 343

1988 439 1983 288

1987 419 1982 234

1986 337 1981 2081980 255

Fuente: NCR Corporation, Annual Report, 1990, pág. 26-27.

1Resumen de datos: distribuciones de frecuencias 69

ÍRepresente tales ingresos mediante una gráfica de líneas.

22. Durante 1991, el gobierno federal de Estados Unidos dedicó 25% de su ingrese paracubrir gastos de defensa, 43% para pagos a personal, 14% a pagos de intereses, 12%a aportaciones a gobiernos estatales y locales, y el restante 6% a otras operacionesfederales. Trace un diagrama de sectores para ilustrar gráficamente tal reparticiónporcentual. (Fuente: Office of Management and Budget, Budget of the Federal Govern-ment, año fiscal 1991.)

23. Dicho gobierno informó acerca de los siguientes ingresos semanales promedio de tra-bajadores de producción por industria principal, para 1966 y 1990:

. 1

Transporte yobras Comercio al

Minería Construcción Manufactura públicas mayoreo

1966 $130.34 $146.26 $112.19 $128.13 $111.111990 580.32 528.61 442.56 501.43 409.85

Fuente: Bureau of Labor Statistics.

Reordene los datos y muestre, mediante una gráfica de barras, el cambio porcentual eningresos semanales por industria de 1960 a 1990, o bien el cambio monetario en los ingresospor industria entre estos dos periodos.

24. Se ha de redactar un informe para la administración de una empresa acerca del volumenen ventas de productos para la construcción seleccionados, correspondientes a los añosde 1980 a 1990. El informe anual de la compañía da las siguientes cifras (en millones dedólares):

1980 1990

Madera terciada ("triplay") (pies cuadrados) 1 256 1 682Madera común aserrada (pies de tabla) 670 782Material aglomerado (pies cuadrados) 108 179Distribución de mate riales en construcción (ventas en dól a res) $ 552 $ 289

Fuente: Boise Cascade Corp., Annual Report, 1990, pág. 43.

Represente los cambios porcentuales de 1980 a 1990 mediante una gráfica de barrasbidireccional.

RESUMEN DEL CAPITULO

I. Distribuciones de frecuencias.A. Una distribución de frecuencias es un agrupamiento de datos dentro de categorías

mutuamente excluyentes que muestran el número de observaciones o datos en cadacategoría. Su objetivo es mostrar los datos en una forma significativa.

70 .Estadística para Administración y Economía Resumen de datos: distribuciones de frecuencias 71

B. Pasos para efectuar una distribución de frecuencias.1. Realizar una ordenación —un listado de los datos originales desde el más bajo

hasta el más alto, o viceversa.2. Decidir el tamaño del intervalo de clase. Si se ha establecido el número de clases,

un intervalo sugerido puede determinarse por medio de

Va lor más alto - Valor más bajoNúmero de clases

Si no se tiene la seguridad del número de clases que se van a utilizar, el intervalode clase sugerido puede determinarse utilizando la fórmula:

Valor más alto - Valor más bajo2-2)

1 + 3.322 (logaritmo del total de frecuencias)

3. Determinar las clases.4. Colocar los datos originales en las clases para llegar a la distribución de frecuencias.5. Elaborar una ordenación es un trabajo tedioso y puede omitirse. En su lugar, los

datos pueden ser colocados directamente dentro de las clases apropiadas.C. Criterios para la elaboración de una distribución de frecuencias.

1. Evítese el tener menos de 5 clases o más de 15 clases.2. No se consideren clases de extremos abiertos.3. Manténganse del mismo tamaño los intervalos de clase.4. No se tengan clases traslapadas.

Distribución de frecuencias relativas: Es similar a la distribución de frecuencias, peroen vez de dar el número de datos u observaciones en cada clase, proporciona elporcentaje del número total de datos.Presentaciones de tallo y hoja.

A. El objetivo de una representación de "tallo y hoja" es organizar datos no agrupados(originales) en forma significativa.

B. Los datos se separan en la disposición de tallo y hoja. El primer dígito (o dígitos) ala izquierda de un número (serie de guarismos) es el tallo. El dígito (o dígitos) finaleses la hoja (u hojas).

IV. Representación gráfica de una distribución de frecuencias.A. Un histograma representa el número de frecuencias de cada clase en forma de barras.B. Un polígono de frecuencias y un polígono de frecuencias relativas tienen las clases

colocadas en el eje X y las frecuencias de clase en el eje Y. El punto medio de unaclase y su frecuencia correspondiente se ubican en un punto representativo. Los puntosse unen para formar el polígono. El área bajo el polígono, como en el histograma, esigual al número total de frecuencias.

V. Polígonos de frecuencias acumuladas.A. Un polígono de frecuencias acumuladas "menos de" permite determinar cuántas o

qué porcentaje de las observaciones son iguales o menores que cierto valor.8. Un polígono de frecuencias acumuladas "más de" se elabora acumulando las fre-

cuencias de clase empezando con la más elevada. Se grafican luego los límites

verdaderos inferiores y las frecuencias acumuladas. A partir del polígono es posible

determinar cuántos, o qué porcentaje, de los valores son iguales o mayores que unacantidad seleccionada.

VI. Otras gráficas.A. Las gráficas de líneas son ideales para representar la tendencia de datos durante

un intervalo de tiempo.B. Las gráficas de barras también se emplean para mostrar la tendencia a largo plazo

de ventas, producción y otras series de datos en administración y economía.C. Las gráficas bidireccionales son ideales para representar las ganancias o pérdidas

en un grupo de empresas, el incremento o decremento en el precio de un númeroseleccionado de acciones comunes, etc.

D. Las gráficas de sectores pueden utilizarse de manera efectiva para representar loscomponentes de un total.

EJERCICIOS

Las respuestas a los ejercicios de número impar se dan al final del libro.

25. Una cadena de tiendas de artículos para deportes, que busca especializarse en serviciospara esquiadores principiantes, planea efectuar un estudio acerca de cuánto gasta unapersona esquiadora principiante en la compra inicial de equipo y suministros. Con baseen estas cifras, desea explorar la posibilidad de ofrecer combinaciones —como un par debotas o un par de esquís— a fin de inducir a los clientes a comprar más. Una muestrade sus ingresos registrados de compras al contado indicó las siguientes compras ini-ciales:

$140 $ 82 $265 $168 $ 90 $114 $172 $230 $14286 125 235 212 171 149 156 162 118

139 149 132 105 162 126 216 195 127

161 135 172 220 229 129 87 128 126175 127 149 126 121 118 172 126

a. Desarrolle un intervalo de clase a sugerir. Utilice cinco cases, y sea $80 (dólares) ellímite inferior de la primera clase.

b. ¿Cuál sería un mejor intervalo ue clase?c. Organice los datos en una distribución de frecuencias.d. Interprete sus resultados.

26. Un hospital de 100 camas en Rome, Georgia (Estados Unidos) tuvo 1 820 pacientesdurante el año con una tasa anual de movimiento de 18.2 pacientes por cama (18201100=18.2). El director del hospital considera que la tasa de movimiento es demasiado baja,es decir, que los pacientes ocupan las camas del hospital durante demasiado tiempo.Otros integrantes del persona! consideran que la tasa de movimiento es aproximada-mente igual al promedio en comparación con las de otros hospitales. Para comparar latasa de movimiento de 18.2 pacientes por cama con la experiencia en otros estados, sedeben utilizar los datos que siguen, proporcionados por la American Hospital Associa-tion.

(2-1)

Número deaccionistas (miles) Empresa

144 Northeast Utilities177 Standard Oil (Indiana)266 Atlantic Richfield133 Detroit Edison209 Eastman Kodak264 Dow Chemical160 Pennsylvania Power143 American Electric Power246 Ohio Edison151 Transamerica Corporation239 Columbia Gas System204 International Telephone &204 Telegraph195 Union E!ectric176 Virginia Electric and Power175 Public Service Electric & Gas

Consumers Power

Número deaccionistas (miles)

200173195220251137150282158162165

223158162225161

Empresa

Pan American World AirwaysGeneral Public UtilitiesOccidental PetroleumMiddle South UtilitiesChrysler CorporationStandard Oil of CaliforniaBethlehem SteelLong Island LightingRCAGreyhound CorporationPacific Gas & ElectricNiagara Mohawk PowerE I. du Pont de NemoursWestinghouse ElectricUnion CarbideBankAmerica


Estado Tasa de movimiento Estado Tasa de movimiento

Alabama 29 Maryland 22Arizona 33 Mississippi 27Arkansas 31 Missouri 29Carolina del Norte 26 Nebraska 26Carolina del Sur 28 Nuevo México 28Distrito de Columbia 22 Oklahoma 29Florida 29 Tennessee 29Georgia 30 Texas 31Kentucky 34 Virginia 24Louisiana 30 Virginia Occidental 27

Considérese que las tasas de movimiento de pacientes por cama se han redondeado,utilizando las reglas usuales (31.5 se redondea a 32, pero 31.49 lo hace a 31).a. Utilizando la fórmula (2-2), determine el tamaño del intervalo de clase.b. Realice el conteo para las tasas de movimiento a fin de obtener una distribución de

frecuencias.c. Trace un histograma.d. Construya un polígono de frecuencias acumuladas "menos de".e. Resuma lo descubierto y obtenga conclusiones para el administrador del hospital.

27. El número de accionistas se incluyó en un estudio para un grupo selecto de grandesempresas (en miles), como sigue:

El número de accionistas debe organizarse en una distribución de frecuencias y trazarvarias gráficas para representar esa distribución.a. Utilizando siete clases y un límite inferior de 130, elabore una distribución de frecuen-

cias.b. Represente la distribución en un polígono de frecuencias.c. Represente la distribución en un polígono de frecuencias acumuladas "menos de".

d. Con base en el polígono acumulativo, ¿tres de cada cuatro (75%) de las empresas

tienen menos de qué cantidad de accionistas?e. Realice un breve análisis sobre el número de accionistas, con base en la distribución

de frecuencias y las gráficas.28. Las puntuaciones en una prueba de aptitud mecánica se organizaron en la siguiente

distribución.

Puntuaciones Número deen la prueba puntuaciones

100-119 6120-139 17140-159 38160-179 15180-199 4

a. Represente la distribución mediante un histograma.b. Represente la distribución por medio de un polígono de frecuencias.

c. Utilizando los dos diagramas, interprete la distribución de las puntuaciones de prueba.29. El peso de 75 mazorcas de Growfast, un maíz comestible, se registraron y condensaron

en la distribución siguiente.

Pesoen onzas

Número demazorcas

16-17 1218-19 3620-21 1422-23 824-25 426-27 1

a. Presente los pesos en un histograma.b. Presente los pesos en un polígono de frecuencias.

c. Con base en los diagramas, interprete la distribución de pesos.30. De acuerdo con el Bureau of Justice, de Estados Unidos, las cantidades de reclusos

con sentencia de muerte, por grupos de edad, es:

Edad Cantidad

Menos de 20 años 13

20-24 años 212

25-34 años 80435-54 años 531

55 años o más 31

a. Seleccione un diagrama apropiado para presentar los datos gráficamente.

b. Utilizando la distribución de las edades y el diagrama en cuestión. interprete los c s.

31. Una encuesta reciente mostró que el propietario típico de auto en Estados Unidos destina$2 950 (dólares) al año en gastos de operación. A continuación se muestra una clasifi-


cación de los diversos conceptos de gastos. Trace un diagrama apropiado para presentar Reservas (enlos datos. millones de

Países onzas troy)

Estados Unidos 261.93Gastos por concepto Importe Canadá 16.10

Combustible $ 603 Japón 24.23

Interés sobre préstamo 279 Francia 81.85

Reparaciones 930 Italia 66.67

Seguro y licencia 646 Suiza 83. 2 6

Depreciación 492 Fuente: International Financial Statistics.Total $ 2 950

32. Una institución bancaria seleccionó una muestra de 40 cuentas de cheques de estu- Organice los valores de las reservas y grafíquelas en un diagrama de barras horizon-

diantes. Enseguida se presentan los saldos de fin de mes. tales.36. De acuerdo con una encuesta de ventas, para la primera mitad del año modelo de 1991,

el vehículo de mayor venta en Estados Unidos fue el Honda Accord, seguido por dos$ 404 $ 74 $ 234 $149 $ 279 $ 215 $123 $ 55 $ 43 $ 321 camiones de servicio ligero. Los cinco automotores más vendidos se muestran a cont i-

87 234 68 489 57 185 141 758 72 863 nuación. Trace una gráfica que ilustre los resultados en cuestión.703 125 350 440 37 252 27 521 302 127968 712 503 498 327 608 358 425 303 203

a. Coloque los datos en una distribución de frecuencias usando 100 (dólares) como Unidades

intervalo de clase, y 0 como el punto de partida. Modelo vendidas

b. Trace un polígono de frecuencias acumuladas "menos de". Honda Accord 192 268

c. El banco considera como "cliente preferido" a un estudiante con un saldo final de Ford Serie F, camión 187 270

$400 dólares o más en su cuenta. Estime el porcentaje de clientes preferidos. Chevrolet CK, camión 181 176

d. Ese banco también está considerando un cargo por servicio al 10% más bajo de los Chevrolet Cavalier 148 022

saldos finales. ¿Qué recomendaría usted como punto de corte entre los que tienenForo Taurus 147 468

que pagar un cargo por servicio y los que no están en tal caso? Fuente: USA Today, abril 5, 1991. pág. 82.

33. Los siguientes son los números de juegos ganados por cada uno de los 26 equipos debeisbol de liga mayor (en Estados Unidos), durante la temporada de 1990.

37. Los sueldos (en miles de dólares) de los jugadores de beisbol en la temporada de 199195-.--91--85- -7 .Z7 — 70- -91 86 85.. de los Indios de Cleveland fueron:

-75 75 -65- -88-- 86 :7g - 6 74—.

67 .103 94 -83 -8 . 7... ...75 4

$2500 $100 $ 410 $2050 $1 450 $115 $ 125 $175 $ 900

Trace un diagrama de tallo y hoja. 2 025 345 550 100 165 800 100 575 1 750

34. Con relación a los números de juegos ganados del problema anterior: 1 150 110 102 100 155 100 1 368 100 750

a. Organice los datos en una distribución de frecuencias. Use un intervalo de clase de Fuente: USA today, abril 5. 1991. pág. C5.5, y sea 65 el límite inferior de la primera c!ase.

b. ¿Cuántos juegos ganó un equipo típico?c. Desarrolle una distribución de frecuencias acumuladas "menos de". a. Organice los datos de salario en una distribución de frecuencias.

¿Cuántos juegos ganari ) n la mitad o más de los equipos? b. Comente sobre la forma de la distribución.d. Estime el número de equipos que ganó 80 juegos o menos. c. Aproximadamente 10% de los jugadores ganan, ¿qué cantidad o más?e. 25% de los equipos, ¿ cuántos juegos ganó o menos? 38. Un economista quiere mostrar gráficamente los cambios porcentuales en inversiones

35. Se desea graficar las reservas de oro actuales de gobiernos y bancos centrales, en el directas de Estados Unidos en el extranjero, desde 1988 hasta un cierto año del deceniocaso de países seleccionados . de 1990, en países seleccionados.


Inversión directa(millones de dólares)

1988 Año en estudio

Sudáfrica $ 1 269 $ 714India 436 549Taiwán 1 622 1 949Canadá 62 610 66 856Grecia 195 265Ecuador 431 395Bermudas 19 040 17 849Países restantes 333 501 373 436

Fuente: Bureau of Economic Analysis,U.S. Department of Commerce.

Organice los datos e indique los cambios porcentuales de 1988 al año en estudio enuna gráfica o diagrama bidireccional.

39. Los ingresos por impuestos anuales para el estado de Georgia (EUA), según el tipo deimpuesto son como sigue:

Cantidad (milesTipo de impuesto de dólares)

Ventas $2812473Licencias 185 198Ingresos (personales) 2 732 045Corporativos 525 015Propiedades 22 647Defunción y donativos 37 326Total $6314704

a. Trace una gráfica que muestre la relación de cada tipo de impuesto con el total.b. ¿Qué porcentaje del ingreso total por impuestos se atribuye al impuesto por ventas

en Georgia?40. Un fabricante de camiones de servicio ligero tiene cuatro plantas ensambladoras. Se

ll evan registros cuidadosos respecto del número de vehículos ensamblados durante unturno de ocho horas. (Nota: En varias de las plantas existen dos o tres turnos.) Unamuestra de las producciones por turno en las cuatro plantas, reveló lo siguiente:

348 371 360 369 376 397 368 361 374410 374 377 335 356 322 344 399 362384 365 380 349 358 343 432 376 347385 399 400 359 329 370 398 352 396366 392 375 379 389 390 386 341 351

41. Las cifras de población para Canadá, por década en el periodo de 1901 a 1991, son

Población Población

1901 5 371 000 1951 14009 0001911 7207000 1961 18 238 0001921 8 788 000 1971 21 568 0001931 10 377 000 1981 24343 0001941 11 507 000 1991 27 000 000'

*EstimadoFuente: Canadian Almanac & Directory, 1991, págs. 6-77 y ediciones anteriores.

Represente la población de Canadá desde 1901 hasta 1991 mediante una gráfica delíneas o una de barras verticales.

42. Las cifras de mortalidad infantil (tasas por 1 000 nacimientos con vida) para Canadá yotros países seleccionados (en 1990) eran:

Mortalidad infantil Mortalidad infantil

Canadá 8 Pakistán 111Brasil 65 Uganda 105China 35 Estados Unidos 10Grecia 12 URSS 29India 86 Vietnam 47

Fuente: Banco Mundial, World Development Repon, 1990.

Ordene las tasas de mortalidad infantil y represente los datos en una gráfica de barrashorizontales.

43. Las importaciones anuales desde algunos países socios comerciales de Canadá (en1991) fueron:

Importaciones anualesSocio (en millones de dólares)

Japón $ 9 550Reino Unido 4 556Corea del Sur 2 441China 1 182Australia 618

Fuente: Canadian Almanac & Directory, 1991, págs6-80.

354 395 338 390 333 Muestre los datos de la importación canadiense en una gráfica circular.44. La mayor parte de las exportaciones desde Canadá a la Comunidad Británica —prefe-

a. Trace una distribución de frecuencias. Utilice un intervalo de clase de 20 unidades. renciales—, y a otros países extranjeros sumaron menos de 70 millones de dólares porb. Elabore una representación de tallo y hoja. país anualmente. Se tiene interés en organizar sus montos en una distribución dec. Comente acerca de la forma de la distribución. frecuencias y mostrarlas en un polígono de frecuencias y en un histograma. Los países


que compran exportaciones a Canadá por menos de 70 millones de dólares y los montosde las mercancías (en millones de dólares) son:

Exportaciones Exportaciones Exportaciones

Bahamas $ 29 Benin $ 1 Liberia $ 4Bahrain 6 Bolivia 1 Libia 62Bangladesh 65 Bulgaria 12 Luxemburgo 4

Barbados 47 Camerún 38 Madagascar 1

Belice 5 Costa Rica 23 Mozambique 10Bermudas 39 Checoslovaquia 13 Nepal 1

Chipre 5 Rep. Domin. 62 Ant. Holandesas 12Fiji 2 Ecuador 34 Nicaragua 23Gibraltar 1 Egipto 61 Omán 4

Ghana 33 El Salvador 11 Panamá 19Kenia 6 Etiopía 25 Paraguay 1

Malawi 5 Africa Fran. 43 Perú 58Malta 3 Oceanía Fran. 2 Polonia 37Mauricio 1 Gabón 6 Rumania 41Nigeria 33 Grecia 60 Senegal 18Pakistán 69 Groenlandia 10 Somalia 3Papúa, Nva. G. 31 Guatemala 21 St. Pierre 29Katar 5 Guinea 4 Sudán 9Sri Lanka 11 Haití 19 Surinam 1

Tanzania 21 Honduras 14 Synan 5Trinidad 58 Hungría 6 Togo 4

Uganda 5 Islandia 11 Túnez 40

Zambia 19 Costa de Marfil 11 Emira. Arabes 33Zimbabwe 17 Corea, RDP 1 Islas Vírgenes 4

Albania 1 Kuwait 26 Uruguay 26Angola 11 Camboya 1 Vietnam 2Argentina 39 Líbano 6

Fuente: Canadian Almanac & Directory, 1991, págs. 6-80

a. Organice los montos de las exportaciones de Canadá en una distribución de frecuen-cias. (Se sugiere que utilice las clases 0 .9,10-19, etc.).

b. Represente la distribución de frecuencias en un polígono de frecuencias.c. Trace un histograma.d. Muestre la distribución en un polígono de frecuencias "menos de".e. Con base en las gráficas, ¿aproximadamente la mitad de los países que compraron

mercancías valuadas en menos de 70 millones de dólares pagaron qué cantidad ennúmeros redondos?

f. Analice las exportaciones que van a estos 80 países.45. Ha existido un incremento sustancial en la inscripción en la Universidad de Toledo (EUA)

en los últimos 12 años. El rector general ha pedido al doctor Patsy Scott, director deInvestigación Institucional que le proporcione las cifras de inscripción de los estudiantes.

Los de tiempo completo y tiempo parcial se muestran en la siguiente tabla. ¿Quétendencias a largo plazo —si existen— están indicadas? ¿Cuál grupo origina el au-mento? Trace diagramas y gráficas apropiados para describir los datos de la inscripción.

Tiempo TiempoAño completo ppjI Total

1979 10127 8112 18 2391980 11 684 8 586 20 2701981 12 173 8 944 21 1171982 12 540 8 846 21 3861983 12 748 8 841 21 5891984 12 612 8 427 21 0391985 12 725 8 513 21 2381986 12 826 8 350 21 1761987 13 341 8 399 21 7401988 14 433 8 373 22 8061989 15 430 8 498 23 9281990 16 227 8 554 24 781

Fuente: Universidad de Toledo, Departamento deInvestigación Institucional, Resource & ConsumptionReport, enero 1990, pág. 9.

46. Continuación del ejercicio 45. Al doctor Scott también le solicitó el rector estudiar laetnicidad de los estudiantes. Se obtuvo la siguiente información.

Inscripción InscripciónGrupo étnico 1986 1990

Desconocido 441 392Nativo norteamericano (i d. Alaska) 109 172Asiático o de islas del Pacífico 195 251Afro (no hispano) 1 253 1 684Hispánico 260 365Blanco (no hispano) 8 313 9 843Extranjero no residente 1 297 1 070

Fuente: Universidad de Toledo. Departamento de InvestigaciónInstituciona!, Resource & Consumption Report, enero 1990.pág. 24.

a. Trace un diagrama apropiado que grafique los cambios porcentuales en las diversascategorías. ¿Qué grupos han cambiado más?

b. ¿Ha existido algún cambio en la configuración del cuerpo de estudiantes de 1986 a1990? Compare el porcentaje de cada grupo étnico para los dos años.

47. El número de personas con sida por población de 100 000 habitantes en áreas metro-politanas seleccionadas, hasta julio de 1990 fueron:


Personas con sida(por cada 100 000)

Atlanta. Ga. 922Austin, Tex. 245Dalias, Tex. 711Houston, Tex. 1 245Nueva York, N.Y. 6 565San Francisco, Calif. 1 935Washington, D.C. 1 059West Palm Beach, Fla 353

Fuente: Departamento de Salud y Servicios

Humanos, HIV/AIDS Survellance Report.

Ordene los datos de afección de sida e ilústrelos en un diagrama de barras horizontaleso verticales.

EJERCICIOS PARA COMPUTADORA

48. Considere el conjunto de datos 1, que da información acerca de casas vendidas en Flo-rida durante 1990.a. Seleccione un intervalo de clase apropiado y organice los precios de venta en una

distribución de frecuencias.b. ¿Cuál es el precio de venta típico de una casa?c. Trace una distribución de frecuencias acumuladas "menos de". ¿Un 20% de las casas

fueron vendidas por menos de qué cantidad? Aproximadamente, ¿qué porcentajede las casas se vendieron por más de 100 000 dólares?

d. Comente acerca de la forma de la distribución de los precios de venta.e. Trace una gráfica que describa el número de casas vendidas en cada uno de los

poblados.49. Considere el conjunto de datos 2, que informa acerca de 200 compañías en Estados

Unidos.a. Organice la información sobre valor de mercado, en una distribución de frecuencias,

seleccionando un intervalo de clase apropiado.b. ¿Cuál es el típico valor de mercado para estas 200 empresas o corporaciones?c. Elabore una distribución de frecuencias acumuladas "menos de". ¿Un 8% de los

valores de mercado son menores que, cuál cantidad? Aproximadamente, ¿quéporcentaje de los valores de mercado son mayores que 20 000 millones de dólares?

d. Comente acerca de la forma de la distribución.50. Considere el conjunto de datos 3, que informa acerca de los 26 equipos de beisboi de

li ga mayor en la temporada de 1991.a. Organice la información sobre los sueldos totales de jugadores en los 26 equipos,

en una distribución de frecuencias. Seleccione un intervalo de clase apropiado.b. ¿Cuál es el pago "típico" de equipo en sueldo total?c. Elabore una distribución de frecuencias acumuladas "menos de". ¿Un 40% de los

equipos pagan menos de qué cantidad en sueldos totales? Aproximadamente, ¿quéporcentaje de equipos pagan menos de $25 millones de dólares en sueldos?

d. Comente acerca de la * forma de la distribución. ¿Se aprecia que algunos equiposestán "fuera de línea" en los lados alto o bajo?

e. Elabore una gráfica que presente la fracción de juegos ganados en el eje X, y lossueldos de jugadores en el eje Y. Comente acerca de la gráfica.

EXAMEN CAPITULO 2

Las respuestas se dan al final del capítulo.Para las preguntas 1-10, indique si el enunciado es verdadero o falso.

1. Una ordenación o arreglo es un listado de todos los valores desde el más bajo hasta elmás alto o viceversa.

2. El número de observaciones en cada clase de una distribución de frecuencias sedenomina frecuencia de clase.

3. Se ha de organizar una muestra de 85 observaciones en una distribución de frecuencias.El número sugerido de clases es 7.

4. En general, debe elaborarse una distribución de frecuencias de manera que haya almenos 20 clases.

5. Un histograma es una gráfica que representa la correspondiente distribución de frecuen-cias.

6. El punto medio de una clase se obtiene sumando los límites de clase inferior y superior,y dividiendo luego la suma entre 2.

7. Para trazar un polígono de frecuencias, se necesitan los puntos medios de clase y lasfrecuencias de clase.

8. Un polígono de frecuencias y una distribución de frecuencias relativas se parecen enque ambos se basan en una distribución de frecuencias.

9. El intervalo de clase se obtiene restando el límite inferior declarado de una clase, dellímite inferior declarado de la siguiente clase superior.

10. Las distribuciones de frecuencias relativas se obtienen dividiendo cada frecuencia declase entre el número total de observaciones.

Para las preguntas 11-25 señale la letra que indique la respuesta correcta.11. Se elaboró lo siguiente al efectuar el conteo de las edades de asistentes a clases.

Número deEdades edades

20-29 1630-39 2540-49 5150-59 8060-69 2070-79 8

A este arreglo se le denomina:a. Histograma.b. Polígono de frecuencias.c. Ojiva.d. Distribución de frecuencias.e. Ninguno de los anteriores.


12. Considerando la pregunta 11, ¿cuál es el intervalo de clase?a. 50, obtenido de 70 — 20b. 59, obtenido de 79 — 20c. 10, obtenido de 30 — 20d. 9, obtenido de 29 — 20e. Ninguno de los anteriores.

13. Considerando la pregunta 11, ¿cuáles son los límites inferiores declarados?a. 20, 30, 40, etc.b. 19.5, 29.5, 39.5, etc.c. 29, 39, 49, etc.d. 24.5, 34.5, 44.5, etc.e. Ninguno de los anteriores.

14. Considerando la pregunta 11, ¿cuá! es la frecuencia relativa de clase para la clase másbaja (20-29)?a. 16.b. 0.08, u 8%c. 100%d. 200e. Ninguno de los anteriores.

15. Considerando la pregunta 11, ¿cuál(es) son los verdaderos límites para la primera clase?a. 19.5 y 29.5.b. 16.c. 20y29d. Menos de 20 y más de 30.e. Ninguno de los anteriores.

16. Utilizando los datos de la pregunta 11, se trazó la siguiente gráfica.A la misma se le denomina:a. Histograma.b. Polígono de frecuencias.c. Polígono de frecuencias acumuladas "menos de"d. Polígono de frecuencias acumuladas "más de"e. Ninguna de las anteriores.

200

175

150

125

100

É 751z 50

25

0 .^_1 1 ^ 1 ^

19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5Edades

17. Considerando la gráfica de la pregunta 16, aproximadamente la mitad de los empleadostienen las edades:a. 79 o más.b. 20 o menos.c. 51 o menos.d. 40 o menos.e. Ninguna de las anteriores.

18. Considerando la gráfica de la pregunta 16, ¿aproximadamente 25% de las personastienen menos de qué edad?a. 20b. 80c. 41d. 52e. Ninguna de las anteriores.

19. En la gráfica que sigue se representan dos distribuciones. ¿Cómo se les denomina?a. Polígonos de frecuencias.b. Polígonos de frecuencias relativas.c. Ojivas.d. Histogramas.e. Ninguna de las anteriores.

600

ó 450 P ri sión de Attica

1

Um300 -

0

EZ 150 Prisión de Ocala / /

03 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36

Tiempo de reclusión (en meses)

20. Considerando la pregunta 19, en general, ¿el tiempo de reclusión es mayor en la prisiónAttica o en la de Ocala?a. Prisión de Attica.b. Prisión de Ocala.c. No se puede decir con base en la gráfica.d. Ninguna de las anteriores.

21. Al tipo de gráfica que sigue se le denomina:a. Gráfica de barras.b. Gráfica de sectores.c. Gráfica de barras bidireccional.d. Gráfica de barras seccionadas.e. Ninguna de las anteriores.

1 990 1 991 1 992

50

U)25E

N

c

0

ciones citadas se distribuyen en for-ma más bien uniforme.

3 6 9 12 15

Exportaciones (milis. de dóls.)

2. $3, $6, $9, $12, $15 millones dedólares.

3. 201 lt

0 3 6 9 12 15 18

Exportaciones (milis, de dóls.)

115

ti) 10maómE

z

2-5 1.20

N

15

E

10

2

°' 5E.^z

n


RESPUESTAS

Novelas

Revistas AutoexámenesDiarios

22. Considerando la pregunta 21, con respecto a las ventas totales de 1990 a 1992:a. El total de ventas aumentó.b. El total de ventas disminuyó.c. El total de ventas permaneció más o menos estable.d. Ninguno de los anteriores.

23. Considerando la pregunta 21, y con respecto a las ventas de diarios de 1990 a 1992:a. Las ventas de diarios disminuyeron, pero en 1992 fueron una mayor proporción del

total, en comparación con 1990.b. Las ventas de diarios disminuyeron y en 1992 fueron una proporción menor del total,

en comparación con 1990.c. Las ventas de diarios aumentaron de 1990 a 1992.d. Ningún caso de los anteriores.

24. Considerando la pregunta 21, con respecto a las ventas de novelas:a. Las ventas aumentaron como una proporción de las ventas totales de 1990 a 1992.b. Las ventas disminuyeron como una proporción de las ventas totales de 1990 a 1992.c. Las ventas permanecieron más o menos estables de 1990 a 1992.d. Ningún caso de los anteriores.

25. Los porcentajes de las ventas totales anuales de camisas, corbatas, calcetines y batasde cierta marca para 1992 se muestran en la gráfica de sectores que sigue. ¿Cuál delas prendas tiene una venta anual mayor? Camisasa. Camisas.h flnrhatac

2-1 1. Datos originales.

2. Ingresosmensuales Conteo Número

$1 400—$1 499 II 21 500-1599 111 31600— 1 699 // . 21 700-1799 1 1

Total 8

3. Frecuencias de clase.4. El menor ingreso mensual es aproxi-

madamente $1400; el mayor, $1799.La mayor concentración del ingre-so se encuentra en la clase $1 500-$1599.

2-2 1. a. $215.29, obtenido de ($2 548— $1 041)/7.

b. $200.C. $1 000—$1 199.

$1 200—$1399.2. Intervalos de clase de tamaño de-

sigual.Clase de extremos abiertos.Clases que se traslapan.

2-3 1. 24.


80

W

ro 60

E40

X= 7.50

20 Y = 54

0 .I

1.50 4.50 7.50 10.50 13.50

Salarios por hora (en dólares)

3.

RESPUESTAS

Examen capítulo 2

80

N

m 60E

40rn

20

ur

NúmeroSalarios por hora acumulado

Más de$ 1.50 80Más de$ 4.50 62Más de $ 7.50 26Más de $10.50 6Más de $13.50 0

X=7.50^Y=26

01.50 4.50 7.50 10.50 13.50

Salarios por hora (en dólares)

4. Aproximadamente 36, que se obtie-ne utilizando el polígono "menos de"y trazando .una línea vertical desde$6 hasta la' urva y luego yendo ho-rizontalmente hasta el eje Y.

Aproximadamente $6.30, que seobtiene al ir horizontalmente desde40 sobre el eje Y hasta la curva yluego verticalmente hacia abajo has-ta el eje X.

Aproximadamente 9, que se ob-tiene al localizar $10 en el eje X deipolígono "más de", luego ir vertical-mente hasta la curva y después ho-rizontalmente hasta el eje Y.

Aproximadamente $8, obtenidolocalizando 20 en el polígono "másde", yendo luego horizontalmentehasta la curva; se va luego vertical-mente hasta el eje X.

2-74%

95% u ro 5%

90°,,0 10 %

8 / ^: 5 .r 15

%

16% ri..

Administración ^; y '80

r ^.

75%

70%58%

Caminos ^`ü ' 30 %65%

35%,

40%55%

_ ... 50% 45%

1. Verdadero 14. b.2. Falso 15. a.3. Verdadero 16. c.4. Falso 17. c.5. Verdadero 18. c.

6. Verdadero 19. a.7. Verdadero 20. b.8. Verdadero 21. d.

9. Verdadero 22. b.10. Verdadero 23. b.11. d. 24. a.12. c. 25. b.13. a.

1Í-3 Lb TECA

87

mason y lind capitulo 2

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