Aplicación de la Teoría Markowitz

Método Para dos activos

John Alejandro Bedoya Villegas

Estudiante de Ingeniería Administrativa

Universidad Nacional de Colombia sede Medellín

Marzo de 2011

En este documento se explica de manera sencilla, la teoría de Markowitz para dos

activos, no obstante requiere que el lector tenga un conocimiento previo de algunos

conceptos básicos de estadística como son:

Variable aleatoria Rendimiento logarítmico Media o esperanza Desviación estándar (ó volatilidad) Covarianza entre variables aleatorias Correlaciones entre variables aleatorias

Aplicación de la Teoría Markowitz

Definicion

Método Para dos activos

Markowitz en su modelo de gestión de carteras, muestra cómo lograr una inversión

óptima, que no es más que la correcta distribución del capital entre las diferentes

opciones de activos, a esto Markowitz le llama cartera eficiente, que se define como,

una cartera que proporciona la máxima rentabilidad con un mínimo de riesgo.

Objetivo de este modelo es calcular una cartera eficiente, o en otras palabras

maximizar la rentabilidad, reduciendo el riesgo.

El modelo asume un comportamiento racional del inversionista, es decir el

inversionista desea rentabilidad y rechaza el riesgo.

Supuestos del modelo

• Para cada activo se expresa un el rendimiento logarítmico así:

�� � �� ��� ��� � Ecuación 1

Donde �es el precio del activo al día de hoy y �� es el precio del activo al día

de ayer. La conveniencia de usar estos rendimientos es en primer lugar

aprovechar las propiedades de la función Ln y en segundo lugar supone que

existes muchos precios entre �� y �, en otras palabras, el rendimiento es

continuo.

• La rentabilidad ���� de cualquier titulo es una variable aleatoria, que se define

así,: ��~���

• Parámetro media o esperanza ���, se acepta como la media de rentabilidad �� y

se denota asi:

� � ����� Ecuación 2

• Se acepta como media de riesgo, la dispersión, medida por la desviación

estándar, denotada así

� � ������� Ecuación 3 • La varianza y la media se mantienen constantes por un periodo Δ", ósea que no

dependerán del tiempo t, así se acumulan los datos de la historia y se estimar la

distribución asociada a dichas variables.

Modelo para dos activos de Markowitz

Suponga que se cuenta con un capital k que se desea invertir en n activos financieros,

que tienen precios históricos.

El objetivo será determinar el porcentaje que deberá invertirse en cada activo, esto se

reduce a hallar un #$ “optimo” que minimiza la varianza del portafolio.

Desarrollo del problema

Con los datos históricos, se puede calcular � � %���� y &' � ()���� . Además es

necesario estimar la covarianza y la las correlaciones entre los diferentes activos.

La covarianza entre dos variables aleatorias se expresa como:

*+,��, �.� � �. Ecuación 4

La correlación entre dos variables aleatorias se expresa como:

/. � �.�$�. Ecuación 5

Markowitz para dos activos se define, el rendimiento, la media y la varianza del

portafolio.

Rendimiento del portafolio viene dado por:

�0 � 1 $ � 2 � 3 1� $ �. Ecuación 6

Donde: �4 Es la rentabilidad del portafolio. # Es porcentaje de inversión, # 5 �0,1 ��, �' Es la rentabilidad del activo 1 y 2 respectivamente.

Rendimiento medio del portafolio viene dado por: �0 � 1 $ � 2 � 3 1� $ �. Ecuación 7

Donde: �4 Es el rendimiento medio del portafolio. # Es porcentaje de inversión, # 5 �0,1 ��, �' Es la rentabilidad media del activo 1 y 2 respectivamente.

Varianza del portafolio viene dada por:

&4' � ()�8�49 � ()��# $ �� 2 �1 3 #� $ �'�

�0. � 1. $ �. 2 � 3 1�. $ �.. 3 . $ 1 $ � 3 1� $ �. Ecuación 8

Donde: # Es porcentaje de inversión, # 5 �0,1 &�', &'' Es la desviación estándar del activo 1 y 2 respectivamente. �4 Es el rendimiento medio del portafolio.

Desviación estándar (ó volatilidad) viene dada por:

�0 � :���8�09 Ecuación 9

Ahora se puede encontrar el porcentaje de capital �#$� a invertir en cada activo, para

esto, se deriva la función de la varianza con respecto a # y se iguala a cero.

;<=>?8?@9A;B � 0 ó DE�#� � 0

Operando y despejando a # se tiene que el omega óptimo será:

1$ � �..�.�.F�...$�. Ecuación 10

Podemos reescribir a #$ en términos de la volatilidad y la correlación así:

De la ecuación 5

/. $ � $ �. � �. Ecuación 11

Luego reemplazando la ecuación 11 en 10 se tiene que:

1$ � �..�$�.$/.�.F�...$�$�.$/. Ecuación 12

La varianza optima del portafolio &4$', se define como:

�0$. � ���8�0$ 9 � 1$. $ �. 2 � 3 1$�. $ �.. 2 . $ 1 $ � 3 1$� $ �. Ecuación 13

Podemos reescribir la varianza óptima del portafolio en términos de la correlación y de

la varianza así, reemplazando la ecuación 12 en la ecuación 13 y simplificando, se

tiene:

�0$. � 8/.. 9$�.$�..�.F�...$�$�.$/. Ecuación 14

La rentabilidad óptima �4$ del portafolio se define como:

�0$ � 1$ $ � 2 � 3 1$� $ �. Ecuación 15

Rendimiento medio óptimo �?@$ del portafolio se obtiene así:

��0$ � 1$ $ � 2 � 3 1$� $ �. Ecuación 16

Desviación estándar (ó volatilidad) &4$ optima:

�0$ � :���8�0$ 9 Ecuación 17

Nota: para este caso en particular lo que buscamos es que los dos activos que tengan

una correlación �G�'���, �'��, negativa o cercana a cero así garantizaremos que �4$ H ���, �'

Ejemplo de Markowitz con dos activos en Microsoft Excel

Lo primero en lo que se debe hacer claridad, es en el intervalo de tiempo que se desea

trabajar, días, semanas, meses o años. Con base en este de tiempo, calculamos las

volatilidades, que pueden ser, diarias, mensuales o anuales. Una de las metodologías

más sencilla y más cuestionada, es multiplicar la volatilidad ó desviación estándar por

la raíz de del periodo en días que se desea trabajar. Por ejemplo, si la volatilidad &� es

diaria, y la queremos anual solo bastara con multiplicar a &� por la raíz del periodo en

días, así: &� $ √255 y obtendremos una volatilidad anual. Esta volatilidad, también

depende del intervalo de tiempo en que se tomen los datos de los activos. Para este

ejemplo en particular los datos son diarios, así que la volatilidad es diaria y por tanto el

modelo es válido por un día, que sería el día " 2 1.

Para este caso analizamos dos activos de la Bolsa de Valores Colombiana el índice

ColCap y las acciones de HelmBank (P). Para este análisis tomamos el intervalo de

tiempo desde 04/01/2010 hasta el 28/02/2011, teniendo un total de 285 precios de

cierre históricos que los podemos encontrar en la página del Grupo Aval (link al inicio).

Luego de hacer los cálculos previamente descritos y ayudados con la herramienta

“análisis de datos” incorporada en Microsoft Excel obtenemos los diferentes

coeficientes de media, varianza y los coeficiente de covarianza y correlación entre los

activos, estos últimos con la herramienta “análisis de datos”. Obtenemos.

Recuerde que los análisis para obtener los coeficientes se realizan sobre los

rendimientos logarítmicos.

Indice-Accion Media Varianza Desv. Estandar

(1) COLCAP 0,00085 0,000095 0,009737

(2) HelmBank (P) -0,00023 0,0001 0,012202

Tabla 1 Coeficientes de variables aleatorias

Ln(ri) COLCAP Ln(ri) HelmBank (P)

(1) Ln(ri) COLCAP 9,44834E-05 3,1245E-05

(2) Ln(ri) HelmBank (P) 3,1245E-05 0,000148364

Tabla 2 Matriz de Covarianza

Ln(ri) COLCAP Ln(ri) HelmBank (P)

(1) Ln(ri) COLCAP 1 0,263899222

(2) Ln(ri) HelmBank (P) 0,263899222 1

Tabla 3 Matriz de Correlación

Con estos datos y usando la ecuación 10 se puede calcular el omega óptimo �#$� así:

#$ � 0,0001 3 3,1245E 3 050,000095 2 0,0001 3 2 $ 3,1245E 3 05 � 0,649190231

De el anterior resultado, podemos concluir que #�$ � 65% y que #'$ � �1 3 #�$� �35%, lo que quiere decir esto es que un 65% del capital será invertido en el activo uno

y el otro 35% en el activo dos, que para este ejemplo son, el Índice ColCap y la acción

del HelmBank (P) respectiva mente.

Luego la varianza del portafolio optimo �&4$'�, de la ecuación 13 será:

&4$' � 7,3E 3 05 Y la medida de riesgo, la volatilidad �&4$� del portafolio óptima de la ecuación 17 será:

&4$ � �7,3E 3 05 � 8,5E-03

Por último, rentabilidad media del portafolio óptimo ��?@$ �, en la ecuación 16 será:

�?@$ � 0,000473 Análisis

Observe que la solución de la solución de Marcowitz pretende disminuir, la desviación

estándar de la cartera total o portafolio, para esto se busco la combinación adecuada

de capital a invertir en los diferentes activos, es a esto lo que Marcowitz llama

“Portafolio Optimo” �#�$ , #'$�. Ahora, las desviaciones típicas deben cumplir que &� S &'. Entonces si un portafolio es optimo, por la solución de Marcowitz se cumple

que &4$ S &� S &'.

8,5E 3 03 S 0,009737 S 0,012202

Veamos cuanto se reduce la medida de riesgo (desviación estándar):

0,009737 3 �8,5E 3 03�8,5E 3 03 � 0,125476086 U 13%

Recuerde que: “a mayor riesgo, mayor rentabilidad”, las soluciones de Markowitz lo

que pretenden es reducir el riesgo. Ahora si se invirtiera todo el capital en el activo

uno (índice ColCap), se obtendría una rentabilidad esperada de 0,00085, lo que a

simple vista es mucho mayor que la rentabilidad esperada obtenida con el Portafolio

Optimo que es de 0,000473.

Veamos en cuanto se reduce la media de la rentabilidad:

0,00085 3 0,0004730,00085 � 0,445144 U 45%

Lo que quiere decir que as imple vista estamos sacrificando un 45% de rentabilidad por

una reducción en el riesgo de un 13%, sin embargo de acuerdo con Markowitz, la

solución es coherente, porque este es el máximo nivel de rentabilidad que puede

alcanzar a un menor riesgo.

Veamos esto de manera grafica

Análisis de la grafica

Desde Markowitz a la línea entre los puntos A y B se les llama “Frontera Eficiente”, por

tanto los portafolios ubicados sobre la frontera, son portafolios eficientes. Si miramos

el portafolio C ofrecería menos rentabilidad que el portafolio B, es decir %��V S %��W ,

aunque ambos portafolios estarían expuestos al mismo nivel de riesgo (misma

volatilidad). Es por esta razón que solo se consideran los portafolios ubicados en la

parte superior de la frontera. Observe que en los portafolios obtenidos desde A hasta

B, a medida que aumenta la exposición al riesgo, aumenta la rentabilidad esperada y

viceversa.

El portafolio óptimo para este caso en particular es el portafolio A, que de acuerdo con

la solución tiene, 0,000473 de rendimiento medio y 8,5E 3 03 de volatilidad, esto se

puede apreciar de manera grafica, por que como vemos no existe ningún otro

portafolio que cumpla con estas condiciones.

Bibliografía

Prigent, J-L. (2007). Portfolio Optimization and Perfomance Analysis; Chapman &

Hall/ CRC Financial Mathematics Series: ed 7, United states of America. ISBN‑‑‑‑13:

978‑‑‑‑1‑‑‑‑58488‑‑‑‑578‑‑‑‑8

B

A

C

D