OPTIMIZACIÓN

María Jesús de la Fuente Aparicio

Alberto Herrreros López

Optimización• Problemas de optimización:

– Como tomar la mejor opción entre varias posibles– Problemas de naturaleza muy diversa

• Diseño (p.e. dimensionamiento de un equipo con costo mínimo)

• Operación (p.e. punto de operación mas rentable)• Logística (p.e. ruta mas corta de distribución de un producto)

• Planificación (p.e. mejor lugar para construir una planta)• Control (p.e. acción de control que genera menos varianza en la variable controlada)

• Etc.

Optimización

• Se presentan en campos muy diversos– Procesos– Economía– Biología– Electrónica,….

• Pero todos tienen rasgos comunes:– Un objetivo u criterio a optimizar– Unas variables de decisión– Un  conjunto de ligaduras y restricciones sobre las variables de decisión

Optimización

• ¿Cómo tomar decisiones óptimas?

¿Por experiencia?

¿Experimentando todas las opciones?

Analizando el problema y formulándolo como un problema matemático 

Optimización• Metodología de trabajo.

0)y,x(g0)y,x(h

)y,x(Jminx

≤=

1 Analizar el problema

2 Formularlo en términos matemáticos

3 Resolverlo con los algoritmos y software adecuados

4 Interpretar y aplicar la solución

Optimización• Análisis / formulación (Modelado)

0)y,x(g0)y,x(h

)y,x(Jminx

≤=

1 Analizar el problema

2 Formularlo en términos matemáticos

1. Conocer el proceso, listar todas las variables de interés

2. Determinar el criterio de optimización y especificar el criterio de optimización en términos de las variables del problema

3. Especificar las relaciones entre las variables impuestas por balances de masa y energía, leyes físicas, etc.

4. Determinar el rango admisible de las variables

5. Identificar los grados de libertad respecto a los cuales optimizar

Optimización• Resolución y aplicación (Optimización)

0)y,x(g0)y,x(h

)y,x(Jminx

≤=

3 Resolverlo con los algoritmos y software adecuados

4 Interpretar y aplicar la solución

6. Formular el problema en términos de uno de los tipos de optimización conocidos

7. Estudiar la formulación y simplificarla / adecuarla

8. Aplicar un algoritmo adecuado usando un software de optimización

9. Analizar la solución, estudiar la sensibilidad de la solución a cambios en las hipótesis y los parámetros del problema 

EJEMPLOS

Diseño

1h

Encontrar las dimensiones de un tanque cilíndrico abierto de modo que tenga un volumen de 6 m3 y área mínima

d

h

Variables:

V volumen

d diámetro

h altura

A area

Función a minimizar:

A = πdh+¼πd^2

Relaciones entre variables:

V = ¼ πd^2h = 6

Límites:

d ≥ 0  ,  h ≥ 0  0h,0dV4hd

:a sujeto

d41dhmin

2

2

h,d

≥≥=π

π+π

Formulación:

Grados de libertad: número de variables – numero de ecuaciones independientes: 2‐1=1

Datos : V

Ejemplo de Planificación (I)

NORMAL

SUPER

Ventas por contrato

Ventas por contrato

Ventas en el mercado

Ventas en el mercado

Venta directa

Venta directa

Venta directa

Venta directa

Venta directa

1

2

3

4

5

Gasolina intermedia

Ejemplo de Planificación (II)• Función de coste: beneficio neto en el tiempo planificado.

• Variables independientes:– Para cada gasolina intermedia i:

• xi = cantidad usada para producir fuel normal• yi = cantidad usada para producir fuel super• zi = cantidad usada para vender en el mercado

– Para cada producto j:• uj = cantidad vendida por contrato• vj = cantidad vendida en el mercado

• Modelo: balances de materia para asegurar cantidad y calidad de los productos finales:– Balance de cada gasolina intermedia: xi + yi + zi≤ αi 

Ejemplo de Planificación (III)

– Balance de materia para cada producto

∑ +=i

i vux 11 ∑ +=i

i vuy 22

– Restricciones para la calidad del producto

∑ +≥i

ii vux )( 111γβ ∑ +≥i

ii vuy )( 222γβ

– Restricciones para la cantidad de producto

jju δ≥

Función de coste: beneficio neto .

)()( )()()()()(iiiiiiiiijjjj yxczyxczcvcuc +−++−++ ∑∑∑∑∑ 54321

Ejemplo de Planificación (IV)Gasolinas Intermedias

Disponiblidadαi

Calidadβi

PrecioCi(3)

CosteCi(4)

MezclaCi(5)

1 2 x 105 70 30 24 1

2 4 x 105 80 35 27 1

3 4 x 105 85 36 28.5 1

4 5 x 105 90 42 34.5 1

5 5 x 105 99 60 40 1.5

Producto Contratoδi

Calidadγi

Precio Contr.Cj(1)

Precio Merc.Cj(2)

1 5 x 105 85 40 46

2 4 x 105 95 55 60

Ejemplo de Planificación (V)

0,,,,,...,,,...,,,...,10.4

10.5

)(959990858070)(859990858070

10.5

10.5

10.4

10.4

10.2..

)(5.41)(5.35)(5.29)(28)(25205.75.78660465540max

2121515151

52

51

2254321

1154321

2254321

1154321

55515

5444

5333

5222

5111

5544332211

543212121

≥≥

≥

+≥+++++≥++++

+=+++++=++++

≤++

≤++

≤++

≤++

≤++

+−+−+−+−+−++++++++=

vvuuzzyyxxu

u

vuyyyyyvuxxxxx

vuyyyyyvuxxxxx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyxas

yxyxyxyxyxzzzzzvvuuf

CONSIDERACIONESFINALES

Optimización

• Estructura de un problema de optimización genérico:

( )

( )( )

Nixxx

JjxgKkxh

asxf

Uii

Li

j

k

,,1

,,10,,10

..min

K

K

K

=≤≤

=≥==

Optimización• Tipos de problemas de optimización:Si K=J=0  Optimización sin restricciones

Si K=J=0; i=1   Optimización escalar

K=J=0; i>1 Optimización vectorial

K≠ 0 y J ≠ 0  Problema de programación no lineal (NLP)

K≠ 0 y J ≠ 0  y  f, g y h son lineales (f (x) =ax+b; g(x)=cx+d; h(x)=ex+f) Problema de programación lineal (LP)

K≠ 0 y J ≠ 0  y  f es cuadrática y  g y h son lineales Problema de programación cuadrática  (QP)

K≠ 0 y J ≠ 0  y  x son enteras y reales  Problema de programación mixta‐entera 

Optimización

• Formas de resolver los problemas de optimización:– Métodos de resolución teóricos– Métodos de resolución estocásticos:

• Método de Monte Carlo• Algoritmos genéticos• Tabu Search• Simulated Annealing• Etc.