maría dhelma rendón saldívar - tec
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Universidad Virtual
Escuela de Graduados en Educación
“La modelación matemática como estrategia de enseñanza para el desarrollo de competencias matemáticas en el tema relación funcional”
Tesis que para obtener el grado de:
Maestría en Educación
Presenta:
Diana Paola Medina Cañas
Asesor tutor:
María Dhelma Rendón Saldívar
Asesor titular:
Dr. Ruth Rodríguez Gallegos.
Tultitlán, México, México. Marzo, 2011
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Dedicatorias
∗ A mis papás por su amor y comprensión.
∗ A mis hermanos por todo su apoyo.
∗ A Martín por su paciencia, tolerancia y cariño.
∗ A Dios por darme salud y vida.
iii
Agradecimientos
∗ A las doctoras Ruth Rodríguez Gallegos y María Dhelma Rendón por su apoyo y
orientación en la elaboración de esta tesis.
∗ Al Tecnológico de Monterrey por aportarme los recursos necesarios para realizar
este proyecto de investigación.
∗ A las autoridades de la Escuela Secundaria 225 por permitirme aplicar mi estudio
de campo, brindándome las facilidades necesarias para el mismo.
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Tabla de contenidos
Resumen….………………………………...……………………………...….......... 1
Capítulo 1. Planteamiento del Problema………………………..……………..…… 2
Marco contextual….………..………………….……………….…………...... 2
Antecedentes del problema………………...………………………………… 4
Antecedente institucional…………………………..………………… 4
Antecedentes teóricos………………...……………………………… 6
Planteamiento del problema………….………………………………………. 7
Objetivos de la investigación….…………………..……………….………… 8
Justificación de la investigación………………………………………...…… 9
Limitaciones……………...………………………..…………………………. 10
Delimitaciones……………….………..…………..………………………..... 11
Definición de términos……………………………………………………….. 12
Conclusión capítulo 1……………………………………………..………….. 13
Capítulo 2. Marco Teórico………...………………...……………………………...
14
La modelación matemática……..………………………………….…….…... 14
La modelación matemática y el desarrollo de competencias matemáticas 14
La necesidad de construir modelos matemáticos……………………… 18
Fases del proceso cíclico de la modelación ………………………...… 19
Modelación y tecnologías para la información y la comunicación.….... 25
El proceso de modelación y su relación con las teorías del aprendizaje. 28
El uso de la modelación para fines educativos.……………………….. 29
La relación funcional como contenido matemático…..……………………… 31
El conocimiento matemático……………..…………………………… 31
El razonamiento proporcional……………………………………..…... 33
La relación funcional…………………………….………………...…. 36
La modelación matemática como estrategia de enseñanza para el desarrollo
de competencias matemáticas de los contenidos curriculares………………..
39
v
Conclusión capítulo 2………………………………………………………… 44
Capítulo 3. Metodología……………………...…………………………..…………
46
Método de investigación………………………………………...………….... 46
Población y muestra……………...…………………………………….…….. 50
Tema, categorías e indicadores de estudio…..………………………..……… 51
Fuentes de información…………….……………………...………….……… 56
Alumnos……………………………………………………………….. 56
Profesor………………………………………………………………… 57
Observador externo…………………………………………………… 57
Técnicas de recolección de datos…..……………...…...…………………….. 57
Aplicación de instrumentos…….……………………………………..……… 59
Prueba piloto……………...…………….………………...…………... 59
Secuencia de aplicación de instrumentos……………………………... 60
Captura y análisis de datos…………………………………………………… 66
Conclusión del capítulo 3…………………………………………………….. 68
Capítulo 4. Análisis de Resultados……………….……….…………………...…...
70
Presentación y Análisis de Resultados………….………………………….... 70
Resultados sobre la categoría del desarrollo de competencias a través de la
modelación matemática como estrategia de enseñanza…...………………..
72
Interacción con el asunto ………….…….....…………….……............. 72
Construcción matemática…………….…….……….………..……….. 75
Modelo matemático……...…………..…….………………..………… 88
Resultados sobre la categoría: Competencias matemáticas desarrolladas con
el tema relación funcional……………………………………………………
92
Aprendizaje del contenido matemático……….……………………….. 92
Implicación de conocimientos matemáticos……...…………………..... 96
Desarrollo de competencias matemáticas……...………………...…….. 102
Conclusión del capítulo 4……………………………………..……………… 104
vi
Capítulo 5. Conclusiones.…………......…………………….………………..…….. 106
Sobre las preguntas de investigación……………….…...………………….... 106
Alcances e implicaciones del estudio……………..………………………..… 112
Recomendaciones……………………………………..……………………… 112
Referencias………………………….…………………………..………………….. 114
Currículum vitae……………………………………………….…………….……... 120
Apéndices……………………………………………………….………………….. 121
Apéndice A. Formato de ejercicio de evaluación.………….………………... 122
Apéndice B. Formato de diario de Campo………….……………………….. 125
Apéndice C. Formato de guión de observación………….…………………... 126
Apéndice D. Formato de rúbrica para evaluar competencias de modelación
matemática y competencias matemáticas………….…………………………
128
Apéndice E. Formato de entrevistas………….……………………………… 132
Apéndice F. Plan de clase del profesor 134
Apéndice G. Cuadro de triple entrada para la triangulación de datos 136
vii
Índice de figuras
Figura 1. Ejercicio 53 de la prueba de ENLACE 2009……………………............ 5
Figura 2. Proceso de modelación matemática en el aula según Biembengut y Hein
(1997)…………………………………………………………………………. 22
Figura 3. La vinculación de los ejes, manejo de la información y pensamiento
algebraico, para la enseñanza de la relación funcional……………………………... 37
Figura 4. Fases de la ingeniería didáctica (Artigue, 1995)………………………... 48
Figura 5. Proceso metodológico: fases y sub-fases de la investigación basada en la
ingeniería didáctica de Artigue……..…………………………………………… 49
Figura 6. Diseño del proceso de modelación matemática en el aula……………... 61
Figura 7. Proceso de modelación que debe seguir los alumnos………………….. 61
Figura 8. Proceso de modelación para la enseñanza de “la relación funcional”… 66
Figura 9. Ejemplo de formato para la triangulación de datos…………………….. 68
Figura 10. Conceptos del alumno E6K escritos en su reporte…………………….. 79
Figura 11. Construcción de la fórmula del equipo E5……………………………... 83
Figura 12. Intento del equipo E7 por encontrar la fórmula en Excel……………… 83
Figura 13. Trabajo terminado en la Hoja de cálculo Equipo E5………………….. 85
Figura 14. Trabajo terminado en la Hoja de cálculo Equipo E4…………………... 86
Figura15. Problema del equipo…………………………………………………… 90
Figura16. Problema planteado por el E1 ..………………………………………… 90
Figura 17. Gráfica poligonal lineal…….…………………………………………… 95
Figura 18. Respuestas de los alumnos sobre el C.A – P5…………………………... 97
Figura 19. Gráfico de barras de tres tipos………………………………………… 99
Figura 20. Demostración de los modelos construidos por los alumnos…………... 101
Figura 21. Tipos de modelos matemáticos………………………………………... 103
viii
Índice de Tablas
Tabla 1. Categoría 1 “El desarrollo de competencias a través de la modelación
matemática como estrategia de enseñanza”………………………………………… 53
Tabla 2. Categoría 2. “Competencias matemáticas desarrolladas durante la
enseñanza de la relación funcional”………………………………………………... 55
Tabla 3. Cronograma sobre la aplicación de los instrumentos……………………... 61
Tabla 4. Comprensión del problema (Entrevista, pregunta 2)…………………….. 73
Tabla 5. Descripción de la situación matemática………………………………….. 73
Tabla 6. Descripción sobre proceso de búsqueda de información…………………. 76
Tabla 7. Manejo de los conceptos clave…………………………………………... 78
Tabla 8. Comprensión de términos……………..………………………………… 81
Tabla 9. Respuestas de los alumnos sobre la relación entre los datos del problema
y los términos matemáticos que permitieron plantear la hipótesis………………… 82
Tabla 10. Reportes de los alumnos, equipos E6, E5 y E4. ……………………..….. 87
Tabla 11. Argumentación sobre las soluciones de la situación extra-matemática…. 89
Tabla 12. Aplicación de la fórmula y= kx……………….………………................. 91
Tabla 13. Aprendizaje adquirido por los alumnos…………………………………. 93
Tabla 14. Respuesta a la pregunta 3 y pregunta 12 de la entrevista para los
alumnos…………………………………………………………………………… 94
Tabla 15. Tipo de relación funcional que establecen los alumnos con la situación
planteada en el C.A…………………………………………………………………. 95
Tabla 16. Competencias matemáticas identificadas en la enseñanza del tema
relación funcional”…………………………………………………………………. 112
1
Resumen
El objetivo de esta investigación fue identificar aquellas competencias matemáticas que
los alumnos de primer grado de secundaria desarrollan durante el proceso de modelación
matemática en la enseñanza del tema “relación funcional”. El estudio surge de la
necesidad de desarrollar competencias matemáticas en alumnos de secundaria, para lo
cual se estudia en el marco teórico emplear la modelación matemática como estrategia de
enseñanza que permita cumplir con el objetivo arriba planteado. Por lo tanto, la pregunta
de investigación fue la siguiente: ¿Qué competencias matemáticas desarrollaron los
alumnos de primer grado de secundaria durante la enseñanza de la “relación funcional”,
mediante el proceso de modelación matemática? La metodología de estudio utilizada fue
la ingeniería didáctica pero desde un enfoque meramente cualitativo, para lo cual se usó
el método de estudio de tipo exploratorio.
Los resultados arrojados de la investigación permiten identificar competencias
matemáticas como: el razonamiento y la interpretación, la representación, la
comunicación, el uso del lenguaje simbólico, la construcción de modelos matemáticos, la
colaboración y el aprendizaje permanente y el uso de herramientas y materiales de apoyo
para el aprendizaje. Sobre ésta última, se reconoce la utilidad del uso de la hoja
electrónica de cálculo para favorecer el desarrollo de las competencias arriba
mencionadas, pero especialmente de la que tiene que ver con la construcción de modelos
matemáticos.
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Capítulo 1. Planteamiento del problema.
El presente capítulo tiene la finalidad de describir los antecedentes que originaron
la investigación acerca del uso de la modelación matemática como estrategia de
enseñanza para aprender el tema de la relación funcional como contenido matemático y
desarrollar las competencias matemáticas que requieren los alumnos de primer grado de
secundaria. En este mismo apartado se describen los objetivos y la justificación del
estudio realizado, así como las limitaciones y delimitaciones del mismo. Por último, se
muestran las definiciones de los conceptos que se trabajaron durante este proyecto de
investigación.
1.1. Marco contextual
Tras los avances y las grandes trasformaciones que han dejado a su paso la
inclusión de la ciencia y la tecnología en el mundo actual, la necesidad de la escuela por
satisfacer las exigencias de la sociedad se vuelve una prioridad para la misma. Sin
embargo, en países en desarrollo como México, la tarea de estar al nivel competitivo de
otras naciones no es una situación fácil de sobrellevar, mucho menos cuando el contexto
sociocultural impide el avance educativo de las instituciones.
Este es el caso de la escuela secundaria en donde se llevó a cabo esta
investigación, la cual está ubicada en una de las colonias con un nivel socioeconómico
bajo del municipio de Cuautitlán Izcalli, en el Estado de México. Esta institución es de
carácter público, por lo que esta subsidiada por la Secretaria de Educación Pública (SEP)
del Gobierno del Estado de México.
Dentro del campo administrativo, cuenta con una organización completa -una
directora, un subdirector, una secretaria escolar, seis orientadores y veinticinco profesores
horas clase-, y una matrícula de 350 alumnos inscritos (ciento treinta en primero, ciento
quince en segundo y ciento cinco en tercero), con un promedio de 30 a 35 alumnos por
grupo.
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Académicamente, la escuela y por consiguiente los docentes, han tenido que
esforzarse no sólo por mejorar el bajo nivel educativo de los alumnos, sino también por
evitar que los problemas socioculturales como la pobreza -en la mayoría de casos-, el
pandillerismo, el abandono, la desintegración familiar, los abusos sexuales, el
alcoholismo y la drogadicción, sigan afectando el desempeño de los estudiantes y la
dinámica de la escuela. Por lo que a pesar de la escasez de recursos económicos, las
autoridades buscan estrategias para la recaudación de fondos económicos que permitan ir
mejorando la infraestructura de la escuela con recursos educativos tecnológicos. Es así
como en el ciclo escolar 2009-2010 se implementó, en los dos talleres educativos, la
modalidad de “educación tecnológica” como un camino para que el alumno aprenda los
conocimientos básicos de los sistemas computacionales.
Actualmente, cada taller cuenta con nueve computadoras -dieciocho en toda la
escuela- para trabajar con los alumnos; sin embargo, no se les ha dado el uso adecuado
debido a que, de los cuatro docentes que imparten el taller, solamente dos cuentan con los
conocimientos básicos sobre la programación de los ordenadores. Además es de
considerar que el uso de estas computadoras es exclusivo de las clases de estas materias,
por lo que los únicos recursos tecnológicos que existen, y que los docentes pueden
utilizar en la escuela, son un proyector y una computadora portátil, que son usados para
ver películas en materias como biología, educación estatal, química e inglés. Aunque ese
uso únicamente es para la trasmisión de videos, sin considerarse que el uso de la
tecnología es un medio que favorece el aprendizaje en los alumnos si se usa de manera
adecuada (McFarlane, 2003).
En el campo del estudio de las matemáticas, se ha de mencionar que los maestros
encargados de impartir la asignatura, nunca han usado la tecnología para tales fines, e
incluso las formas de enseñanza se siguen caracterizando por ser meramente conductistas.
Y aunque a raíz de las nuevas reformas educativas implementadas desde el 2006 se
pretendió modificar los métodos de enseñanza de esta área, aun no se logra cubrir las
necesidades educativas de la institución.
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1.2. Antecedentes del problema.
1.2.1 Antecedente institucional
Como se había mencionado en el apartado anterior, la secundaria electa para este
estudio, se ha caracterizado por el bajo nivel académico que tienen los alumnos, el cual se
ve reflejado en los resultados de las pruebas nacionales e internacionales como la
Evaluación Nacional del Logro Académico de los Centros Escolares (ENLACE) y el
Proyecto Internacional para la Producción de Indicadores de Rendimiento de los
Alumnos (PISA).
Ambas pruebas tiene un objetivo en común: medir, de manera objetiva y
estandarizada, los conocimientos y habilidades adquiridas en el nivel básico
(Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos, OCDE, 2006; SEP,
2009). Por una parte, ENLACE permite identificar las fortalezas y debilidades de las
áreas básicas de la educación, como español y matemáticas, con la finalidad de mejorar y
buscar áreas de oportunidades de mejora en la calidad educativa de nuestro país. Mientras
que la prueba PISA, sirve como una herramienta para que los gobiernos fortalezcan sus
sistemas educativos, ya que su sistema de evaluación está enfocado a valorar el desarrollo
de competencias –principalmente la lectora y la matemática- (OCDE, 2006). De esta
manera, ambas pruebas se han convertido en el medidor de los avances educativos de las
instituciones de niveles básicos como primaria y secundaria de nuestro país, lo que a su
vez ha permitido que la comunidad educativa de cada plantel pueda construir proyectos
educativos para la mejora académica institucional.
En los últimos cinco años, esta secundaria llegó a ocupar los últimos lugares a
nivel estado en las pruebas de ENLACE, obteniendo un desempeño de “insuficiente”,
sobre todo en el área de matemáticas. Los resultados obtenidos de las pruebas en el 2009,
primer año en el que la prueba se aplica a los tres grados, muestran que uno de los
contenidos que los alumnos menos dominan tiene que ver con los temas de “manejo de la
información” y “significado y uso de las literales”.
5
El ejercicio que se muestra en la figura 1, es un ejemplo de cómo los alumnos
presentan dificultades para resolver problemas de cálculos proporcionales directos,
especialmente para establecer la relación funcional que se da entre los datos. Este
ejercicio fue propuesto en la evaluación de ENLACE 2009, la idea era que el alumno
pudiera relacionar ambas variables para obtener de manera proporcional el dato faltante -
los kilos de azúcar-.
53. Para preparar una clase de chocolate hay que
comprar 3 kg de azúcar por cada 8 kg de cacao. ¿Cuánta azúcar hay que comprar para 6, 15 y 27 kg de cacao respectivamente?
A) 1.33 kg, 1.875 kg y 3.375 kg
B) 2.5 kg, 4.0 kg y 7.2 kg
C) 2.25 kg, 5.625 kg y 10.125 kg
D) 4.0 kg, 1.6 kg y 0.888 kg
Figura 1. Ejercicio 53 de la prueba de ENLACE 2009.
Según el análisis de los datos que arrojó la prueba, más del 70% de los alumnos
no pudieron resolver este tipo de problemas relacionados a la proporcionalidad directa
(SEP, 2009). En el reciente ciclo escolar (2009 – 2010), la titular encargada de la
asignatura de matemáticas en primer grado, realizó un examen bimestral donde retomó el
mismo ejercicio de ENLACE para valorar los conocimientos adquiriros en este período,
resulta que éste problema no fue resuelto de forma adecuada por la mayoría de los
alumnos, ya que más del 60% de estos ni siquiera pudieron establecer la relación
funcional entre los kilos de azúcar y los kilos de cacao.
López (2007), en su investigación sobre la diferencia entre ecuaciones y
funciones, afirma que uno de los mayores conflictos que tiene el alumno para la
comprensión de la proporcionalidad se debe a que éstos no logran identificar y relacionar
las variables que se presentan en alguna situación. Asimismo el autor señala que uno de
los temas que más trabajo les cuesta comprender a los estudiantes -incluso en el nivel
superior- es el de funciones, un tema que en educación secundaria se encuentra inmerso
6
en el eje temático de “manejo de información” y que en el currículo de primer grado, se
vincula con el subtema relación funcional, en donde uno de los objetivos principales es:
Analizar en situaciones problemáticas la presencia de cantidades relacionadas, y representar esta relación mediante una tabla y una expresión algebraica. En particular la expresión de la relación de proporcionalidad y=kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación. (SEP, 2006, p. 52).
De acuerdo con Bagni (2004) la relación funcional es el antecedente de la
función, donde el sujeto debe relacionar las variables dependientes e independientes de
manera unívoca. Es así como se visualiza la necesidad de emplear estrategias que
permitan al alumno empezar a comprender el tema de función partiendo de la relación
funcional, específicamente en la relación proporcional.
1.2.2 Antecedentes teóricos
Bruner (2005) considera que las personas reflexivas siempre han estado
preocupadas por el enigma de cómo aplicar el conocimiento teórico a los problemas
prácticos. Esto muestra una relación importante con las investigaciones que presentan
Niss y Blum (2007b) quienes enfatizan la necesidad de aplicar las matemáticas en la
realidad, una realidad llamada extra-matemática. Su análisis parte de la idea de hacer ver
la aplicación de los modelos matemáticos en la vida real. Es así como se plantea una
nueva forma de adquirir y desarrollar el conocimiento matemático: a través de la
construcción de modelos que permitan representar diversas situaciones reales.
A partir de estas afirmaciones, se han propuesto diversas investigaciones en donde
se pueda aplicar la modelación matemática en el salón de clases (Biembengut y Hein,
1997, Biembengut y Hein, 2004; Niss y Blum, 2007a; Blomhoj, 2004; Cordero, 2009;
Henning H. y Keune M, 2009), ya que la consideran como un medio que puede permitir a
los alumnos no sólo comprender los contenidos de la asignatura, sino construir nuevos
aprendizajes y desarrollar competencias matemáticas.
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Por lo anterior, en este trabajo se plantea la necesidad de definir una competencia
matemática e identificar aquellas que son importantes que el alumno desarrolle para
poder satisfacer sus necesidades dentro de su mundo (PISA; 2006). Así, mientras que en
los planes y programas de estudio que promueve el Sistema Educativo Mexicano (SEM)
se identifican cuatro competencias básicas; por su parte PISA promueve y evalúa el
desarrollo de ocho sub-competencias indispensables para que el alumno pueda ser un
individuo competente en su medio. Por lo que éstas últimas fueron retomadas para la
realización de este trabajo de investigación.
1.3. Planteamiento del problema.
Aunque dentro del campo pedagógico existen diversas metodologías que orientan
la práctica del docente, es difícil encontrar estrategias que permitan al profesor cumplir
con los fines educativos que la sociedad actual demanda, que es el desarrollo de
competencias. En la escuela secundaria en donde se realizó el estudio, esta situación se
torna más difícil, específicamente en la enseñanza de las matemáticas, pues a pesar de las
nuevas reformas y orientaciones didácticas que se promueven en los programas de
estudio en educación matemática (SEP, 2006a), los docentes aún no logran desarrollar las
competencias matemáticas básicas en los alumnos, lo cual, se ve reflejado en
evaluaciones nacionales e internacionales.
Según Méndez y Cordero (2009) una de las causas del bajo rendimiento es que
sigue habiendo una gran separación entre la escuela y el entorno del individuo. Villa y
Ruiz (2009) consideran que esta situación se da debido a que los docentes no aplican el
enfoque resolutivo funcional de manera adecuada, dejando que los alumnos resuelvan
problemas descontextualizados a su entorno. Por consiguiente se siguen llevando a cabo
prácticas educativas que hacen que el estudiante aprenda los contendidos matemáticos de
forma fragmentada y sin conexión. Lo que implica que conceptos como el de “función”,
sean difíciles de aprender.
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Bajo este análisis, Biembengut y Hein (1997) consideran que un medio para
lograr de forma eficiente la enseñanza de las matemáticas, es llevar a cabo el proceso de
modelación matemática como método de enseñanza en las escuelas formales. Sin
embargo, aunque la modelación matemática es un tema de investigación que ha tenido
relevancia desde décadas atrás, en México prácticamente es nulo su conocimiento en las
escuelas secundarias.
Así mismo, aunque internacionalmente existen investigaciones que hablan sobre
el uso de la modelación matemática en el aula (Blomhoj, 2009; Niss y Blum, 2007;
Biembengut y Hein, 2004; Villa, 2007, Villa y Ruiz, 2009), se desconoce alguna que
permita orientar al docente de secundaria en la aplicación de este proceso como estrategia
de enseñanza para lograr el aprendizaje del tema “Relación funcional”, así como las
aportaciones de estudios que permitan identificar las competencias matemáticas que se
desarrollan durante este proceso.
Por esta razón el presente estudio intentó responder a la pregunta: ¿Cuáles fueron
las competencias matemáticas que desarrollaron los alumnos de primer grado de
secundaria durante la enseñanza de la “relación funcional”, mediante el proceso de
modelación matemática?
1.4. Objetivos de la investigación
El objetivo de este estudio fue identificar las competencias matemáticas que los
alumnos de primer grado de secundaria lograron desarrollar a través de la enseñanza del
tema “relación funcional” mediante la modelación matemática como estrategia de
enseñanza.
Específicamente este proyecto de investigación pretendió:
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a) Conocer las competencias matemáticas que los alumnos de primer grado de
secundaria desarrollaron en cada paso de la modelación matemática como
estrategia de enseñanza.
b) Conocer las competencias matemáticas que los alumnos de primer grado de
secundaria desarrollaron durante la enseñanza de la relación funcional
1.5 Justificación de la investigación
Esta investigación como ya se había mencionado pretendió conocer la influencia
que tiene el desarrollo de la modelación matemática en las aulas como estrategia de
enseñanza para adquirir aprendizajes de contenidos matemáticos y desarrollar
competencias matemáticas durante el proceso. Por lo tanto estuvo basada en las
investigaciones realizadas por Bambiengut y Hein (2004) sobre el proceso de modelación
matemática como estrategia de enseñanza. Las competencias a observar fueron tomadas
de aquellas que propone PISA (OCDE, 2006), debido a que son las que el Sistema
Educativo Mexicano (SEM) promueve dentro de los planes de estudio de la educación
básica. Se aclara que el interés surge debido a que el escenario para el desarrollo de dicha
investigación fue una escuela secundaria.
La investigación fue realizada en una escuela secundaria pública de México, en la
que se observó la necesidad de mejorar la calidad educativa de la institución -
específicamente del área de matemáticas-, la cual es evaluada a través de pruebas
estandarizadas a nivel nacional e internacional en las cuales se mide el desarrollo de
competencias adquiridas por los alumnos en cada grado escolar.
En la asignatura de Matemáticas, los últimos resultados arrojados de la prueba
nacional ENLACE, confirmaron que los estudiantes de la escuela secundaria en donde se
realizó el estudio, necesitan la adquisición de los contenidos básicos en los tres ejes que
maneja el currículo de este nivel educativo: sentido numérico y pensamiento algebraico
10
(SN y PA); forma espacio y medida (FE y M); y, manejo de la información (MI). De
éstos, se hizo énfasis en el análisis del tercer eje, manejo de información, debido a que a
un porcentaje elevado de los alumnos de primero de secundaria se les dificulta resolver
problemas de proporcionalidad directa.
Esto generó una necesidad pedagógica de modificar las prácticas de enseñanza
implementando estrategias que permitan alcanzar los objetivos educativos de la materia
(matemáticas), los cuales están encaminados al desarrollo de competencias matemáticas.
Por lo tanto, al investigar ¿cuáles fueron las competencias matemáticas que desarrollaron
los alumnos de primer grado de secundaria durante la enseñanza de la “relación
funcional”, mediante el proceso de modelación matemática?, se pretendió que la
comunidad docente - principalmente- conociera una metodología innovadora y eficiente
que le permitiera mejorar el desempeño académico de los alumnos, generando con ello no
sólo el logro de aprendizajes significativos y el desarrollo de competencias –
matemáticas-, sino también la mejora en la calidad educativa que ofrece la institución a
la comunidad.
El desarrollo de esta investigación también pretendió ampliar el conocimiento
acerca de las competencias matemáticas que los alumnos pueden desarrollar a través del
tratamiento del tema “relación funcional” mediante la modelación matemática como
estrategia de enseñanza. Ya que, aunque se sabe que la modelación matemática permite el
logro de competencias matemáticas, no se especifica cuáles de estas se pueden desarrollar
a través de la enseñanza del tema de relación funcional.
1.7 Limitaciones y delimitaciones
1.7.1 Limitaciones
Las limitaciones de este proyecto de investigación fueron dos. La primera fue el
tiempo para llevar a cabo el trabajo en el campo, ya que el número de sesiones
11
disponibles para realizar el estudio fueron seis. La segunda limitación fue con respecto a
la metodología, pues al ser una investigación de observación participativa, el tiempo
necesario para el análisis tanto durante y después del proceso de enseñanza se realizó
después de cada sesión.
1.7.2 Delimitaciones
Para lograr un estudio más sistematizado y delimitado, este trabajo se abordó en
dos temáticas principales, por un lado la modelación matemática como estrategia de
enseñanza para el desarrollo de competencias matemáticas; y por el otro, la relación
funcional como contenido matemático a través del cual el alumno puede desarrollar
competencias matemáticas.
Por otra parte, como proyecto de investigación a realizar en el aula, se contempló
que el tema abordado para el desarrollo del estudio -que es relación funcional-, de
acuerdo con los planes y programas de estudio de la Secretaria de Educación Pública
(SEP), requiere un determinado número de sesiones para su enseñanza por lo que la
investigación en el campo de estudio se limitará a diez sesiones. Así mismo, se aclara que
debido a que el contenido matemático a estudiar sólo se encuentra en el currículo
matemático de primer grado de secundaria, la selección de la muestra de población se
delimitó a alumnos de secundaria que estuvieran cursando este grado.
Por último, se aclara que debido a que se pretendió que este estudio profundizará
en la identificación de competencias matemáticas desarrolladas por los alumnos, la
investigación se desarrolló a través de una metodología de enfoque cualitativo. Así, el
estudio contempló la planeación docente a través del proceso de modelación matemática,
el planteamiento de la situación problemática con la que el grupo trabajará para iniciar
con el proceso de modelación matemática, la obtención de resultados, y la verificación de
los aprendizajes adquiridos y de las competencias desarrolladas.
12
1.8 Definición de Términos
Competencia matemática: capacidad de los alumnos para analizar, razonar y comunicarse
eficazmente cuando plantean, formulan, resuelven e interpretan problemas matemáticos
en diversas situaciones” (OCDE, 2006, p. 74).
Competencia de modelación matemática: es el conjunto de capacidades, habilidades,
actitudes que el individuo utiliza para realizar el proceso de modelado (Henning H. y
Estrategia: operación particular, práctica o intelectual, de la actividad del profesor o de
los alumnos, que complementa la forma de asimilación de los conocimientos que
presupone determinado método (Pimienta, 2007, p. 24).
Estrategia de enseñanza: son procedimientos o recursos utilizados por el agente de
enseñanza para promover aprendizajes significativos. (Díaz, 1999, p.70)
Expresiones matemáticas: producto de modelos que permiten al ser humano comprender
y explicar el comportamiento de determinada situación (Biembengut y Hein, 2004).
Keune M., 2009). Es la capacidad de realizar los procesos que intervienen en el
interpretación y la investigación de modelos matemáticos (Niss y Blum, 2007).
Modelo: conjunto de representaciones, símbolos y relaciones matemáticas que traducen,
de alguna manera, un fenómeno en cuestión o un problema realista (Biembengut y Hein,
2004; Trigueros, 2006).
Modelación matemática: método de enseñanza. Proceso involucrado en la obtención de
un modelo matemático (Biembengut y Hein, 2004, p. 106)
Modelaje matemático: “el proceso involucrado en la obtención de un modelo…que
permite conjugar las matemáticas con la realidad” (Biembengut y Hein, 1997, p. 2). Se
distingue de modelación debido a que esta última es el método que utiliza la esencia del
modelaje en cursos regulares, con programa, (Biembengut y Hein, 1997, p. 6).
13
Razonamiento proporcional: habilidad del pensamiento desarrollado en la etapa de las
operaciones formales, según Piaget (Ormrod, 2005) y que contempla el conocimiento de
las relaciones que se dan entre dos cantidades.
1.9 Conclusión del capítulo 1
Este capítulo abordó la necesidad de estudiar el desarrollo de competencias
matemáticas a través de la modelación matemática como estrategia de enseñanza para la
adquisición de contenidos matemáticos, especialmente de la “relación funcional” como
subtema que antecede al concepto de “función”. En este apartado, se especificó que de
acuerdo con el currículo educativo, el tema de “relación funcional” fue abordado a través
de casos de proporcionalidad directa, por esta razón el planteamiento del problema surgió
porque los alumnos presentaron dificultades en comprender la relación funcional que
existen entre dos variables.
La justificación de la realización de este estudio se dio porque los docentes en las
escuelas secundarias desconocían la aplicación de la modelación matemática como un
medio para favorecer aprendizajes de los contenidos matemáticos. Además, se consideró
que el estudio podría lograr aportar al campo de investigación educativa una forma de
saber cómo se desarrolla la modelación matemática para comprender la relación
funcional matemática. Así mismo se dio a conocer cuáles fueron los alcances educativos
esperados de esta aplicación identificando las competencias matemáticas que pueden
desarrollarse a través de este proceso. El sustento teórico de dicha investigación se
muestra en el siguiente capítulo.
14
Capítulo 2. Marco Teórico
El presente capítulo tiene como objetivo analizar las diversas teorías inmersas en
el campo de la educación y que se enfocaron al estudio del tema central de esta
investigación que es: “La modelación matemática como estrategia de enseñanza para el
desarrollo de competencias matemáticas en el tema relación funcional”. Para el desarrollo
de este capítulo fue necesario abordar el tema en dos partes, la primera considerando la
modelación matemática como una estrategia de enseñanza que permite desarrollar
competencias matemáticas. Y la segunda, analizar la relación funcional como un
contenido matemático que permite el desarrollo de competencias matemáticas.
Así, en un primer momento, se describen aquellos estudios o investigaciones que
permitieron realizar un análisis sistemático sobre las teorías y perspectivas más relevantes
acerca de los dos constructos: a) la modelación matemática, y b) la relación funcional
como contenido matemático. Por último, en un segundo momento se aborda en forma de
ensayo la importancia de la modelación matemática como estrategia de enseñanza para
desarrollar competencias matemáticas, especialmente las que tienen que ver con el tema
relación funcional como contenido matemático.
2.1. La modelación matemática
2.1.1 la modelación matemática y el desarrollo de competencias matemáticas
Una característica de las matemáticas es que son utilizadas en diversas áreas del
quehacer humano. Por esta razón nos vemos en la necesidad de adquirir todos los
conocimientos matemáticos necesarios que permitan desenvolvernos dentro de nuestro
entorno. Al respecto, Niss y Blum (2007) mencionan que la principal razón por la que se
enseñan matemáticas en los niveles básicos de educación, es porque los alumnos deben
ser capaces de utilizarlas en diversos contextos y situaciones fuera del aula.
Bajo esta perspectiva, en la escuela secundaria se pretende que el alumno adquiera
los conocimientos, habilidades y actitudes necesarias que le permitan comprender su
entorno y resolver problemas de la vida real (Secretaria de Educación Pública (SEP),
15
1999), ya que se parte de la idea de que el aprendizaje de los contenidos matemáticos se
adquiere a través de un enfoque resolutivo – funcional, a través del cual el alumno utilice
“reglas, algoritmos, fórmulas y definiciones para solucionar problemas” (SEP; 2006b,
11). La finalidad es que los estudiantes se involucren con las matemáticas y puedan
comprender la importancia que éstas tienen para la humanidad (SEP, 1999).
En México, de acuerdo con la SEP (1999), que es la institución encargada del
sistema educativo nacional, la conceptualización sobre la enseñanza de las matemáticas y
la aplicación del enfoque se ha modificado para adaptarse a las nuevas exigencias de la
sociedad. Así, a partir de las nuevas evaluaciones realizadas por PISA, el Sistema
Educativo Mexicano (SEM) tuvo que renovar sus métodos de enseñanza, que hasta
entonces -en la práctica- seguían siendo meramente conductistas. Es así como en el año
2006 una nueva reforma educativa en la educación secundaria (RES) se puso en marcha,
la cual, también contemplaba para la enseñanza de las matemáticas un enfoque resolutivo
funcional, sólo que en esta ocasión se adhería otro aspecto a considerar: el desarrollo de
competencias matemáticas.
Según Frade (2008a) países miembros de la Organización de las Naciones Unidas
para la Educación, la Ciencia y la Cultura (abreviado internacionalmente como
UNESCO) analizaron y discutieron el tipo de educación que se recibía en las escuelas de
nivel básico concluyendo que la educación debía ser más eficaz y eficiente; y que la
educación debía estar orientada a aprender a aprender, lo cual sólo se puede lograr
mediante el desarrollo de competencias (Delors, 1996).
Por tal razón, en México, la RES 2006 contempla una educación basada en
competencias para la vida, definidas como las “capacidades adaptativas, cognitivas y
conductuales que permiten responder adecuadamente a las demandas que se presentan en
el entorno” (Frade, 2008b; López y Zariñán, 2007; y Garragori, 2006). Así, el desarrollo
de competencias en el aula implica que el alumno se vuelva el actor principal del proceso
educativo, dejando a un lado su rol de receptor pasivo para participar activamente dentro
16
de su aprendizaje. Mientras que el papel del docente es orientar y enseñarles a los
estudiantes a lograr “aprender a aprender” (Monereo, 1998; Delors, 1996).
Bajo este análisis, una primera cuestión a analizar sería ¿Qué hay que enseñar? En
el caso de las matemáticas, según PISA (OCDE, 2006; OCDE; 2000; SEP, 2006b), se
pretende enseñar a desarrollar habilidades y actitudes matemáticas que junto con la
adquisición de conocimientos le permitan a los sujetos enfrentar y responder a
determinados problemas reales de la vida cotidiana (SEP, 2006b). Por tal razón la
enseñanza matemática se centra en desarrollar competencias matemáticas.
PISA define una competencia matemática como:
La capacidad del individuo para identificar y entender la función que desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse con las matemáticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de los individuos como ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos (OCDE, 2006, p. 74).
Lo que significa que lo que se busca dentro de la educación es desarrollar
habilidades de pensamiento con el fin de otorgarle un valor funcional al conocimiento
matemático de tal forma que éste pueda ser aplicarlo en diferentes situaciones y
contextos. Así, para poder desarrollar la competencia matemática, hay que desarrollar
otras capacidades, las cuales PISA reconoce como sub-competencias, y que considera son
fundamentales que el sujeto adquiera (OCDE, 2006). Estas son:
− Pensamiento y razonamiento. Comprender y saber manejar el alcance y los límites
de los conceptos matemáticos que hagan al caso.
− Argumentación. Crear y expresar demostraciones matemáticas.
− Comunicación. Expresar de diversas maneras el contenido matemático, así como
comprender las afirmaciones orales o escritas expresadas por otras personas sobre
esas mismas materias.
17
− Construcción de modelos. Trabajar con modelos matemáticos; validar un modelo; y
supervisar y controlar el proceso de construcción de modelos matemáticos.
− Planteamiento y solución de problemas. Consiste en plantear y formular problemas
matemáticos, así como la capacidad de resolver diversos tipos de problemas
matemáticos de distintas maneras.
− Representación. Tener la capacidad de descodificar, codificar, traducir, interpretar y
distinguir distintas formas de representación de objetos y situaciones matemáticos.
− Utilización de operaciones y lenguaje técnico, formal y simbólico. Descodificar e
interpretar el lenguaje formal y simbólico; hacer uso de expresiones y afirmaciones
que contengan símbolos y fórmulas; emplear variables, resolver ecuaciones y
realizar cálculos.
− Empleo de material y herramientas de apoyo. Conocer y saber emplear toda una
serie de materiales y herramientas de apoyo que pueden contribuir a la realización
de la actividad matemática. (OCDE, 2006, p. 101-102).
Según PISA (OCDE, 2006) el desarrollo de todas estas competencias permite a
los alumnos tener el conocimiento matemático necesario, y utilizarlo para resolver
problemas en diversos contextos sociales y científicos. Por tal razón, los planes y
programas de estudio contemplan dentro de su currículo la enseñanza y aprendizaje de los
términos, los hechos, signos, símbolos, procedimientos y habilidades matemáticas
necesarias para este fin. En los planes y programas de estudio de la RES 2006 -en campo
de la asignatura de matemáticas-, se retoma la necesidad de desarrollar principalmente
cuatro de las ocho sub-competencias básicas que propone PISA en su informe para la
OCDE (2006). Estas son: resolución de problemas, argumentación, manejo de técnicas y
comunicación (SEP, 2006b).
Sin embargo, lo que se busca es lograr el fin educativo de toda institución que es
que el alumno se vuelva una persona competente ante las necesidades del mundo actual,
por lo que la mejor manera de educarlo es contemplando el desarrollo de todas las
18
capacidades cognitivas que favorezca su desarrollo integral; de esta manera no sólo se
busca el desarrollo de unas cuantas competencias, sino de todas las capacidades
necesarias que le permitan estructurar y utilizar eficientemente sus aprendizajes
adquiridos, tal y como lo promueve PISA en sus informes de evaluación (OCDE, 2006).
De acuerdo con PISA la mejor forma de lograr que el alumno haga funcional sus
aprendizajes matemáticos es a través de la aplicación de éstos en su vida diaria (OCDE,
2006). Por esta razón uno de los objetivos de la enseñanza de las matemáticas es que los
sujetos puedan expresar a través de fórmulas matemáticas situaciones reales que les
permita comprender la naturaleza de esta ciencia (SEP, 1999), lo cual se puede dar a
través de la construcción de modelos matemáticos.
2.1.2. La necesidad de construir modelos matemáticos
Para Biembengut y Hein (2004, p. 4): “la matemática, con su arquitectura, permite
la elaboración de modelos matemáticos, lo que posibilita una mejor compresión,
simulación y previsión del fenómeno estudiado”. De acuerdo con estos autores, los
modelos matemáticos permiten al ser humano comprender y explicar el comportamiento
de determinada situación. Para PISA construir modelos matemáticos es tener la capacidad
y habilidad para reflexionar, analizar, estructurar, criticar y comunicar un modelo y sus
resultados (OCDE, 2006). Por esta razón, algunos teóricos consideran que la construcción
de modelos matemáticos son una competencia matemática que todo individuo debe
adquirir (Cordero, 2009; Henning y Keune, 2009).
Para definir mejor el concepto de modelo se hizo un análisis a las diversas
acepciones que ésta palabra tiene. Por un lado, el término modelo dentro del lenguaje
común, se refiere a las representaciones de objetos, conductas o esquemas que se pueden
imitar (Real Academia Española, 2009). Sin embargo, dentro del campo matemático
dicha conceptualización engloba más que la simple imitación de algo. Dentro de las
definiciones más certeras del concepto de modelo es la que da Niss y Blum (2007)
definiendo un modelo –matemático- como un proceso que parte de situaciones reales o
19
extra matemáticas para construir modelos matemáticos que permitan representar
determinados contextos.
De forma general podemos definir un modelo matemático como un “conjunto de
representaciones, símbolos y relaciones matemáticas que traducen, de alguna manera, un
fenómeno en cuestión o un problema realista” (Niss y Blum, 2007b; Blomhoj, 2009;
Biembengut y Hein, 2004; Trigueros, 2006). Los modelos matemáticos pueden ser
representados mediante expresiones numéricas o fórmulas, diagramas, gráficos o
representaciones geométricas, ecuaciones algebraicas, tablas o programas
computacionales; siempre y cuando lleve una secuencia de pasos que le permitan al
individuo expresarlo de manera adecuada (Biembengut y Hein, 2004). Esto es lo que Niss
y Blum (2007b) expresan de la siguiente forma: “realidad → matemáticas”.
Bajo esta lógica no sólo se habla de la construcción de un modelo, sino de un
método sistematizado que permite obtener un producto (un modelo). A este proceso se le
conoce como modelación matemática la cual es concebida como un proceso cognoscitivo
que tiene que ser realizado para construir un modelo matemático partiendo de un
problema o situación del contexto (Biembengut y Hein, 2004a; Biembengut y Hein, 1997,
Niss y Blum 2007a; Villa, 2007; Camarena, 2009). Dicho proceso se desarrolla a partir
de una serie de sub-procesos, los cuales teóricamente varían dependiendo el fin de la
modelación. En este sentido hablamos de un proceso que involucra una secuencia cíclica
de pasos (Villa, 2007; Blomhoj, 2004), la cual explicaremos en el siguiente apartado.
2.1.3 Fases del proceso cíclico de la modelación
Actualmente existen diferencias teóricas sobre los pasos que se deben seguir para
la construcción de un modelo matemático partiendo de una situación extra-matemática
(Biembengut y Hein, 2004; Niss y Blum, 2007a; Camarena, 2009, Rodríguez G., 2007;
Villa, 2009, Blomhoj, 2004). Sin embargo quienes hacen una distinción entre el proceso
de modelaje matemático y modelación matemática, enfatizando esta última como un
proceso que puede aplicarse en el aula, son Biembengut y Hein (1997).
20
Esta autora considera que el modelaje matemático es “el proceso involucrado en
la obtención de un modelo,…que permite conjugar las matemáticas con la realidad”
(Biembengut y Hein, 1997, p. 2). Dicho proceso se da en tres etapas, cada una con
determinadas sub-etapas:
1. Interacción con el asunto
a) Reconocimiento de la situación problema
b) Familiarización con el asunto que va a ser modelo-investigación.
2. Construcción matemática
a) Formulación del problema-hipótesis
b) Resolución del problema en términos del modelo.
3. Modelo matemático
a) Interpretación de la solución-convalidación.
Dentro de la primera etapa (interacción con el asunto), se debe plantear la
situación a analizar y hacer una investigación sobre la misma. En la segunda etapa
(construcción matemática) se plantea la situación desde un enfoque matemático, es la
“traducción de la situación real a lo abstracto” (Biembengut y Hein, 1997, p. 3), es en
este espacio donde se construye el modelo que servirá para representar la situación
planteada, para lo cual es necesario que los sujetos realicen las siguientes acciones:
− Clasificar las informaciones (relevantes y no relevantes) identificando los
hechos involucrados.
− Decidir cuáles son los factores a ser perseguidos, planteando la hipótesis.
− Generalizar y seleccionar variables relevantes.
− Seleccionar símbolos apropiados para dichas variables.
− Describir las relaciones que se establezcan, en términos matemáticos
(Biembengut y Hein, 1997, p. 5).
Una vez que ya se construyó el modelo matemático, en la tercera etapa (modelo
matemático), los individuos van a comprobar y validar dicho modelo. Y posteriormente
publicar sus resultados.
21
Ahora, para que el modelaje matemático tenga el éxito esperado, además de
desarrollarse bajo estas tres etapas, se debe tomar en cuenta a la persona que realizará
este proceso, llamado modelador. De acuerdo con Biembengut y Hein (1997), éste debe
ser experto en la construcción de modelos, y por ende, su experiencia sobre ello debe ser
basta. El debe estar consciente, entre otras cosas, sobre la elección del tema a tratar y la
situación que se desea modelar, así mismo de los tiempos a ocupar para la realización del
proceso. En la educación, la persona experta en la construcción de modelos es el docente.
En el caso de las escuelas regulares, como la educación secundaria, la
accesibilidad de tiempos y elección de temas no es algo tan fácil de realizar debido a que
dentro de la educación básica se enseña con base en un currículo ya establecido, es así
como Biembengut y Hein (1997) han propuesto algunas modificaciones al proceso de
modelaje matemático con el fin de adaptarlo a la enseñanza en el aula. Así al método que
utiliza la esencia del modelaje en cursos regulares, con programa, se denomina
modelación matemática. En el cual, el docente, para llevarlo a cabo, debe considerar:
…el grado de escolaridad de los alumnos; el tiempo disponible que tendrán para el trabajo extra-clase; el programa a cumplir; la situación en que el profesor se encuentra, tanto en relación al conocimiento del modelaje, como al apoyo por parte de la comunidad escolar para implantar cambios. (Biembengut y Hein, 2004, p. 6).
Estas consideraciones coinciden con lo que Niss y Bum (2007) dicen sobre la
tarea del modelador -que en este caso es el docente- en el proceso de modelación
matemática. Según estos investigadores, el aplicar la modelación matemática para el
aprendizaje en el aula, implica que los alumnos cumplan con sus deberes y el docente
realiza una planificación adecuada de las actividades que se desarrollarán.
Es importante aclarar que la modelación cumple con la misma finalidad del
modelaje, su diferencia estriba en la forma en cómo se desarrolla el proceso, ya que de
acuerdo con Villa (2007, p. 71-72):
La modelación matemática, más que una herramienta para construir conceptos, se convierte en una estrategia que posibilita el entendimiento de un concepto matemático inmerso en un “micromundo” (contexto dotado de relaciones y
22
significados) que prepara al estudiante para ir desarrollando una actitud diferente de preguntarse y abordar los problemas de un contexto real.
Biembengut y Hein (2004) consideran que para poder utilizar la modelación
matemática como una estrategia de enseñanza, el docente debe realizar el proceso en dos
partes. Primero abordando los contenidos matemáticos a partir de modelos matemáticos
que son aplicados a las diversas áreas del conocimiento. Segundo, orientando a los
alumnos para que realicen de manera autónoma su proceso de modelación, el cual consta
de la siguiente secuencia de pasos: justificación de proceso, elección del tema,
formulación del problema, desarrollo de contenido programático, ejemplos análogos -
fijación de conceptos; formulación de un modelo matemático y evaluación y
convalidación de los resultados (Biembengut y Hein, 2004, p. 7). Este proceso puede
visualizarse en el esquema de la figura 2.
Figura 2. Proceso de modelación matemática en el aula según Biembengut y Hein (1997)
23
A continuación se describe de manera breve lo que, de acuerdo con Biembengut y
Hein (2004), el docente y los alumnos deben desarrollar en cada una de estas fases de la
modelación matemática.
1) Justificación de proceso: el docente explica a los alumnos los contenidos
matemáticos necesarios para el análisis de la situación a resolver.
2) Elección del tema: el docente junto con los estudiantes van a enlistar aquellos
temas cotidianos que se relacionen a los contenidos a aprender. En esta fase, es
importante considerar la función mediadora y guía del docente para que los
alumnos puedan lograr el aprendizaje deseado.
3) Formulación del problema: el docente plantea una situación en la que los alumnos
requieran desarrollar el contenido matemático.
4) Desarrollo de contenido programático: el docente a través de preguntas sobre el
tema electo, es quien guía a los alumnos al estudio del contenido a aprender. Y si
es posible inicia el proceso dejando que los alumnos investiguen sobre los
contenidos a abordar sobre el tema.
5) Ejemplos análogos - fijación de conceptos: el docente debe hacer ver a través de
ejemplos análogos, que los contenidos a aprender no sólo se utilizan para un
determinado caso, sino en diversas áreas del quehacer y humano.
6) Formulación de un modelo matemático: haciendo del conocimiento de los
alumnos la relevancia de los contenidos y conceptualizando éstos para su mejor
comprensión, propone a los alumnos la construcción de un modelo matemático
que permita resolver la problemática planteada.
Cabe mencionar que en este apartado Biembengut, y Hein (2004) hace énfasis en
el uso de la tecnología como recurso para la construcción del modelo. Este
24
análisis se hará en el apartado “modelación y tecnologías para la información y la
comunicación”.
7) Evaluación y convalidación de los resultados: construido el modelo, hacer ver la
importancia de validar el modelo, evaluando el resultado y aplicándolo en otras
situaciones parecidas a la situación resuelta (Biembengut, y Hein, 1997, p. 109).
Sobre este proceso matemático, es importante considerar que aunque no se
menciona explícitamente, la modelación matemática no es lineal, sino cíclica; es decir,
que dentro del proceso de validación del modelo los sujetos al confrontar resultados y no
ser los esperados, pueden volver a empezar el proceso de construcción del modelo
(Rodríguez G., 2007; Blomhoj, 2009; Niss y Blum (2007a).
Por otra parte, como se analizó anteriormente, el proceso de modelación permite
el desarrollo de determinadas competencias matemáticas como las propuestas por PISA o
la SEP, y también el desarrollo de competencias que le permitan al sujeto realizar de
manera eficiente el proceso de modelación. Así que al conjunto de capacidades,
habilidades, actitudes que el individuo utiliza para realizar el proceso de modelado se le
denomina como “competencia de modelación” (Cordero, 2009; Henning y Keune M.,
2009; Niss y Blum 2007), que de acuerdo con Niss y Blum (2007b, p. 12), implica –
entre otras cosas- que el sujeto pueda:
…identificar las cuestiones pertinentes, las variables, las relaciones o supuestos en un dada la situación del mundo real, para concretarlas en la matemática y de interpretar y validar la solución del problema matemático que resulta en relación a la situación dada, así como la capacidad de analizar y comparar dado modelos de investigación de los supuestos realizados, control de las propiedades de y el alcance de un determinado modelo….
Aunque también es necesario desarrollar otro tipo de competencias que
favorezcan el proceso de modelación, como: la de representar los objetos matemáticos
involucrados en una manera adecuada, el argumentar y justificar lo que se hace en la
aplicación de las matemáticas, la ejecución de algoritmos matemáticos y la realización
adecuada de los procedimientos (Niss y Blum, 2007).
25
Para finalizar, es importante considerar que dentro del desarrollo de competencias
matemáticas implicadas en el proceso de modelación, también se encuentra la capacidad
de usar adecuadamente tecnología que permita realizar correctamente este proceso, lo
cual se explica en el siguiente apartado.
2.1.4. Modelación y tecnologías para la información y la comunicación.
La necesidad de utilizar tecnología educativa para la enseñanza de las
matemáticas estriba en el hecho de que éstas actualmente son parte de la dinámica de la
sociedad del conocimiento (Tejeda, 2000; McFarlane, 2003). Su uso es universal y aplica
a todas las ciencias de la humanidad. Por eso el discurso acerca del uso de las tecnologías
educativas en el sistema educativo ha sido de gran relevancia desde las últimas décadas
hasta la actualidad, aunque eso implique cuestionarse ¿qué es la tecnología educativa?,
¿cuál es su relevancia en el aprendizaje de los alumnos?, y ¿cómo el docente puede
apoyarse de las tecnología para fomentar el interés y desarrollar competencias en los
estudiantes?
Actualmente la tecnología educativa es definida como “la planeación sistemática
en la que se diseña, desarrolla y evalúa el proceso de enseñanza-aprendizaje a través del
uso adecuado de un conjunto de recursos humanos y tecnológicos que conduzcan a una
educación más eficaz” (De la Puente, 2007, p. 113). Su utilidad varía según la tarea que
se pretende realizar, ya que pueden ser usadas como instrumentos para adquirir el
conocimiento, aunque también como herramientas para la búsqueda y selección de
información, sistematización de la información encontrada, representaciones gráficas y
textuales de la información obtenida y realización de tareas cada vez con mayor grado de
complejidad (Coll, 2008). Por esta razón las tecnologías educativas son consideradas
como parte de las nuevas tecnologías de la información y la comunicación (TIC).
Las TIC dentro del campo educativo pueden utilizarse como auxiliares para la
tarea del profesor o del alumno, como instrumentos de seguimiento del trabajo de los
alumnos; o como instrumentos que permitan crear contextos educativos, ya sea de manera
26
individual o colectiva. Así, la necesidad de implementar las tecnologías educativas en el
salón de clases se ha hecho presente desde décadas atrás, esta necesidad se ve reflejada en
la publicación de libros y páginas web con gran cantidad de actividades que integran el
uso de las TIC en el aula (Ávila, 2001). Esto conlleva al docente a replantear su práctica
educativa, utilizando las tecnologías educativas de acuerdo a lo que pretende enseñar.
Por otra parte, la Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de
Educación Superior (ANUIES, 2004) da cuatro razones principales por las que se exige
la introducción de tecnologías en el campo educativo. La primera es que éstas permiten
enriquecer los procesos de enseñanza-aprendizaje; en segunda instancia, las tecnologías
de la información y la comunicación constituyen una gran fuente de información y
facilitan el acercamiento de los alumnos con la realidad. La tercera razón tiene que ver
con la tendencia actual, en donde la cultura juvenil tiene más acceso al uso de estos
medios; y por último, tienen una gran influencia en la transformación de los individuos y
la sociedad.
Con respecto a la asignatura de matemáticas el uso de la tecnología ha permitido
trabajar temas como la geometría, el álgebra, la aritmética, la probabilidad y la
estadística. Las investigaciones en esta área demuestran que el trabajo con las TIC
favorece la visualización, estática y dinámica, de objetos matemáticos y la realización de
cálculos complejos o tediosos son algunas de las ventajas que ofrecen los programas
informáticos para las clases de matemáticas (Rosadilla, 2007; Raviolo, 2002; De la
Puente, 2007).
No obstante hay que tomar en cuenta que el software, como cualquier otro
recurso, por sí mismo no desarrolla la competencia matemática, sino es el docente el
encargado de utilizar este recurso de manera efectiva en función de las actividades y
objetivos propuestos en clase. Dentro de los recursos que han favorecido la enseñanza de
contenisdo matemáticos se encuentra la hoja electrónica de cálculo.
27
La hoja de cálculo, es un software de aplicación de tareas potencializador para la
enseñanza de las matemáticas (Gándara, 1999) porque permite que a través de la
representación de problemas (proceso de modelación matemática), se emplee el uso de
fórmulas en cálculos matemáticos y la solución de diversos problemas (Raviolo, 2002).
Dichos problemas deben ser realistas o contextualizados al entorno en el que vive el
sujeto (Niss y Blum, 2007a; Biembengut y Hein, 2004; Trigueros, 2006); es decir, que
pueden provenir de campos como los negocios, la ciencia, las matemáticas, las ciencias
sociales, la ingeniería, la arquitectura y de otras disciplinas académicas.
Raviolo describe la hoja de cálculo como:
… un programa que al abrirlo muestra un formato de tabla, una matriz de celdas identificadas por una letra para cada columna (vertical) y por un número para cada fila (horizontal). Las dimensiones de las celdas son variables y pueden contener: números, letras o almacenar fórmulas matemáticas y mostrar su resultado numérico. También permiten visualizar la información en forma gráfica. En ellas se realizan secuencias de operaciones donde los datos pueden ser cambiados o estar enlazados a otros. Actúan como verdaderos programas sin necesidad que el usuario domine un lenguaje de programación. (2002, p. 100).
Aunque se ha hablado de que actualmente la incorporación colectiva de diversos
medios tecnológicos tiene una mayor probabilidad de generar conocimientos en los
alumnos (Gutiérrez, 2002), no se debe perder de vista que los recursos utilizándolos
adecuadamente -bajo una planeación bien estructurada- permiten también el logro de tal
objetivo educativo. En el caso del uso de la hoja electrónica de cálculo, su función
principal es la de organizar información para la resolución de problemas reales. Además
permite el desarrollo de competencias como: la organización de información, la
representación gráfica de la información, el uso de gráficas para la resolución de
problemas, la identificación e interpretación de un conjunto de datos y la construcción de
modelos matemáticos para la resolución de problemas (Raviolo, 2002).
Con respecto a su uso en el proceso de modelación, siendo una de sus funciones la
organización de la información, la interpretación de datos y la construcción de modelos
matemáticos, la hoja de cálculo sirve como apoyo en la realización de las primeras fases
de dicho proceso como en la conceptualización de la situación problemática, en la
28
estructuración del problema, y en la construcción del modelo matemático (Niss y Blum,
2007, Rodríguez G., 2007, Houston, 2007). Especialmente este último que es la fase más
importante del proceso de modelación, pues es en donde se realiza la construcción del
modelo matemático, el proceso más relevante del aprendizaje del alumno. Lo que
pedagógicamente y psicológicamente significa que es la parte en donde el alumno
construye su propio conocimiento. Este tema se aborda en el siguiente apartado.
2.1.5. El proceso de modelación y su relación con las teorías del aprendizaje.
Ormrod (2005) define el aprendizaje como el cambio de conducta o de
asociaciones mentales relativamente permanente, resultado de la experiencia adquirida
por la vivencia de acontecimientos en la vida del sujeto; por su parte, García (2000) hace
un análisis sobre la teoría de Piaget quien, consideraba que la mente humana era un
complejo cognoscitivo, que como organismo biológico, se desarrolla dentro de dominios
físicos, químicos, biológicos, sociales y económicos. Así todo lo que el sujeto adquiere a
través de la interacción con los objetos de estos dominios le permiten estructurar
cualquier información dentro de sus sistemas y subsistemas, propiciando un desequilibrio
mental que origina una reestructuración de los esquemas mentales del sujeto, adquiriendo
con este proceso nuevos conocimientos.
Dentro de la perspectiva cognitiva y educativa -de acuerdo a Blomhoj (2009)-, la
modelación matemática conlleva a que el sujeto, transforme, organice y reorganice sus
conocimientos previos para introducir nuevos elementos en sus esquemas mentales y
construir nuevos saberes una vez que se validó el modelo. La realización de este proceso
puede llevarse a cabo cognitivamente ya que, de acuerdo con Piaget (1965, citado por
García, 2000), el conocimiento mantiene una estructura organizada y esquematizada
mediante un proceso llamado equilibración, a través del cual se acomodan los nuevos
elementos (saberes) cognitivos en la estructura ya creada (Ormrod, 2005). Sin embargo,
para que exista un proceso de equilibración el sistema mental del sujeto debe sufrir una
reorganización causada por desestabilizaciones en su estructura mental. Este proceso
surge cuando el sujeto, al momento de interactuar con su entorno adquiere nuevos
29
elementos observables y producidos por la “acción del sujeto” (García, 2000; Ormrod,
2005).
Ahora, la modelación matemática al ser considerada un ejercicio intelectual, se
relaciona con la teoría piagetiana de sistemas porque dicho proceso parte de la idea de
que el sujeto ya tiene elementos cognitivos (conocimientos matemáticos) para analizar y
tratar de construir su modelo (Biembengut y Hein 2004). Así, durante la modelación, el
individuo tendrá que interactuar con su entorno (medio físico) para construir y validar su
modelo matemático que le permita solucionar un problema real. Además, al ser un
proceso cíclico, le brinda la oportunidad de ir estructurando sus esquemas mentales,
propiciando un desarrollo cognoscitivo que culminará nuevamente en un proceso de
equilibración, esto será, una vez que el modelo es validado y publicado.
Es importante mencionar que el análisis cognitivo que se realiza dentro de este
marco teórico, es con la intención de dirigir esta investigación hacia el uso de la
modelación dentro del proceso de aprendizaje de las matemáticas, enfocado a una
perspectiva educativa en la que la modelación se puede considerar un “medio para
desafiar y desarrollar la comprensión matemática de los estudiantes y sobre todo sus
creencias básicas de matemáticas” (Blomhoj, 2009, p. 4). Por esta razón en el siguiente
apartado se resalta la relevancia de utilizar la modelación como un medio para que los
alumnos adquieran y comprendan los contenidos matemáticos.
2.1.6. El uso de la modelación para fines educativos.
En los últimos años la difusión del uso de la modelación matemática en el campo
educativo ha generado importantes investigaciones que conciben este proceso como una
gran oportunidad para que los alumnos resuelvan problemas mediante la construcción de
modelos matemáticos y logren con ello, desarrollar habilidades y actitudes, y a su vez,
adquieran los conocimientos necesarios para poder ser competentes en su medio
ambiente. Según Houston (2007) desde los años 80´s se enfatizó la preocupación de
implementar la modelación como una forma de hacer que los alumnos puedan aplicar
modelos matemáticos partiendo de situaciones reales. Esta necesidad se ha hecho
30
presente en todas partes del mundo, incluso en países latinoamericanos ya hay planes y
programas de estudio que incluyen dentro de su currículo el aprendizaje de la modelación
matemática (Villa y Ruiz, 2009).
De la misma forma, organizaciones internacionales han enfatizado la relevancia
de la modelación como proceso para desarrollar competencias matemáticas (OCDE,
2000; OCDE, 2006). Así, a partir del año 2000 se creó la organización PISA, el cual se
encarga de evaluar el rendimiento académico de estudiantes de 15 años de edad con
respecto a 3 competencias claves: comprensión lectora, matemáticas y ciencias. Este
proyecto considera relevante la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas porque estas
permiten el desarrollo científico y tecnológico de un país. Por lo tanto, sus estudios se
enfocan a saber qué tanto los alumnos aplican lo aprendido en contextos reales, para lo
cual contempla que el alumno, dentro de sus aprendizajes, haya desarrollado la
competencia de resolución de problemas y construcción de modelos (OCDE, 2000,
OCDE, 2006).
Como hemos visto la resolución de problemas reales a través de la construcción
de modelos para el aprendizaje de las matemáticas, implica practicar la modelación en el
aula. De esta manera, la modelación matemática es concebida como una estrategia de
enseñanza de las matemáticas (Biembengut, 2004), la cual cumple con una doble función.
Por un lado proporciona a los estudiantes una mejor comprensión de los conceptos
matemáticos (Blomhoj, 2004), demostrando a los estudiantes la aplicación de las
matemáticas fuera del salón de clases, enriqueciendo y reforzando el papel que juegan
las matemáticas en nuestra vida; ayudando a darle significado a las actividades
curriculares de la materia, y logrando que los alumnos desarrollen competencias para
interpretar y resolver situaciones problemáticas usando contendidos matemáticos (Niss y
Blum, 2007a).
Por otro lado, la modelación matemática también influye en las actitudes y
creencias de los estudiantes, motivándolos e interesándolos en el estudio de las
matemáticas (Villa, 2007; Niss y Blum 2007a), y favoreciendo la construcción de un
31
ambiente donde los estudiantes puedan desarrollar competencias claves (Delors, 1996).
Por lo tanto, la aplicación de la modelación como estrategia de enseñanza favorece de
distintas formas el desarrollo adecuado del proceso de enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas, de las cuales, que no se han mencionado, destaca el desarrollo de la
habilidad para el manejo de tecnología en la construcción de modelos matemáticos
(Biembengut y Hein, 2004).
Con base en lo anterior, Raviolo (2002) considera importante el uso de la hoja de
cálculo como una herramienta tecnológica que permite realizar representaciones y
comparaciones cuantitativas, es así como este software puede utilizarse para la enseñanza
de contenidos relacionados al concepto de función, el cual se ha de recordar que dentro
del currículo educativo de secundaria su base se halla en el tema “relación funcional”.
Siendo este último el constructo a desarrollar en el siguiente apartado.
2.2. La relación funcional como contenido matemático
2.2.1. El conocimiento matemático.
En la actualidad el tema sobre el conocimiento no sólo es motivo de estudio de la
filosofía, sino también de las ciencias cognitivas. Epistemológicamente y con base en la
Teoría de los sistemas complejos de Piaget (1965, citado por García, 2000), podríamos
definir el conocimiento como un sistema complejo basado en el desarrollo de los
procesos cognitivos como la equilibración, abstracción y generalización que permiten
construir estructuras organizadas de los hechos observables como resultado de la
interacción del sujeto con su medio (llamado por Piaget, material empírico).
De acuerdo con esta teoría, el desarrollo del conocimiento implica un proceso
cognitivo que parte de la interacción del sujeto hacia con su medio ambiente, en donde
adquiere material empírico -hechos observables- el cual es acomodado dentro de las
estructuras mentales del sistema cognitivo del sujeto mediante los procesos de
equilibración y reestructuración (García, 2000).
32
Aplicado a la educación, el desarrollo del conocimiento surge cuando el alumno
realiza diversas tareas que implican interactuar con determinados objetos (físicos o
simbólicos) que le permitirán reestructurar sus conceptualizaciones que tenía sobre los
mismos, construyendo nuevas teorías mentales (García, 2000; Meece, 2000). Este
proceso se visualiza dentro del quehacer matemático cuando se invita a los estudiantes a
construir sus propios saberes partiendo del análisis de una situación conflictiva que
genere una inestabilidad en los esquemas mentales del sujeto, propiciando que éste
busque los elementos necesarios para lograr realizar el proceso de equilibración y
reestructuración de su sistema cognitivo.
Lo anterior visualiza la relación epistemológica y cognitiva que se da durante el
proceso de enseñanza y aprendizaje dentro del aula. Sin embargo, el mismo Piaget (1965,
citado por García, 2000) menciona, que el desarrollo de los procesos cognitivos de
nuestros sistemas surge de manera gradual conforme la interacción y el desarrollo del
sistema biológico del sujeto así lo permita. Este proceso de interacción, genera
modificaciones importantes en el sistema complejo del sujeto, propiciando que se
distingan cuatro etapas de modificaciones estructurales en la mente del mismo (Meece,
2000; García, 2000, Ormrod; 2005). Esta explicación fue desarrollada en la Teoría del
desarrollo cognoscitivo de Piaget, en la que se expone la forma en la que se desarrolla el
conocimiento en los niños a través de cuatro etapas: sensorio-motora, preoperacional, de
operación concretas y la de las opresiones formales.
Así, la construcción de conocimientos por parte del sujeto inicia desde que éste
viene al mundo en la cual el individuo empieza a percibir los objetos que puede observar;
a esta etapa se le conoce como sensorio-motora. Posteriormente sigue la etapa pre-
operacional, en la que el sujeto desarrolla las capacidades lingüísticas que permiten la
reestructuración de sus esquemas mentales, sin embargo su pensamiento aun no está
maduro, por el contrario, se caracteriza como ilógico.
El desarrollo cognoscitivo en la etapa tres, que corresponde a las operaciones
concretas, permite al sujeto ir formalizando sus procesos mentales, a través del
33
pensamiento lógico, aunque éste solo lo aplica en casos concretos y observables. Por
último, la cuarta etapa que plantea Piaget, es la etapa de las operaciones formales, que se
caracteriza por que a partir de los once años de edad, el individuo ya ha desarrollado su
pensamiento formal, logrando un avance en su capacidad para razonar de manera
abstracta, hacer inferencias de forma inductiva y deductiva, y desarrollar la habilidad para
plantear y comprobar hipótesis, que lo conllevan a la elaboración de sus propias
conclusiones (Ormrod, 2005, Meece, 2000).
Es en esta etapa en donde se desarrollan diversas habilidades cognitivas como la
abstracción, la deducción, la inducción, la resolución de problema, formulación de
hipótesis, construcción de modelos matemáticos y el razonamiento proporcional. De
todas estas, este trabajo hizo énfasis en las investigaciones realizadas acerca del
razonamiento proporcional pues es la base para el aprendizaje de los temas relacionados
al estudio de las relaciones funcionales.
2.2.2. El razonamiento proporcional
Anteriormente se había dicho que Piaget al formular su teoría sobre el desarrollo
cognoscitivo del sujeto, dividió su estudio en cuatro etapas de desarrollo: la sensorio-
motriz, la preoperacional, la concreta y la de operaciones formales. De acuerdo con esta
teoría, los estudiantes de secundaria se encuentran en la cuarta etapa, de la operaciones
formales, en el cual se conjuga una serie de acontecimientos (biológicos, cognitivos y
emocionales) que le permiten al sujeto reestructurar sus esquemas cognitivos y ampliarlos
con base a la información obtenida del exterior (Puente, 2003). Es así como el niño
comienza a desarrollar un “sistema coherente de lógica formal” (Meece, 2000, p. 115), el
cual está caracterizado por cuatro tipos de pensamiento: la lógica proposicional, el
razonamiento científico, el razonamiento combinatorio y el razonamiento sobre
probabilidades y proporciones (Meece, 2000). Este último estrechamente relacionado a
las matemáticas.
Diez-Palomar (2007, p.156) define el razonamiento proporcional como “un
procedimiento cognitivo que todas las personas utilizamos para comparar cosas a nuestro
34
alrededor “...es un proceso en el que intervienen diversos elementos como la creación de
unidades nuevas, relación entre dos cantidades y la regla de tres”. El razonamiento
proporcional es tan relevante dentro del desarrollo cognitivo del sujeto, que Piaget e
Inhelder realizaron diversos estudios para explicar y analizar la forma en cómo se
desarrolla el razonamiento proporcional en los sujetos (Ruiz y Lupiáñez, 2009; Ruiz y
Valdemoros, 2006; Rodríguez y Pérez.; 2003). Con estos estudios, Piaget logró
identificar dos tipos de pensamiento: el cuantitativo y el cualitativo (Meece, 2000),
concluyendo que el sujeto desde temprana edad, adquiere la identidad cualitativa antes
que la cuantitativa, debido a que “la noción de proporción empieza siempre de una forma
cualitativa y lógica antes de estructurarse cuantitativamente” (Ruiz y Valdemoros, 2006,
p. 3).
Retomando los estudios hechos por Piaget e Inhelder, Ruiz y Valdemoros (2006)
hacen una distinción entre el pensamiento proporcional cualitativo y cuantitativo de los
sujetos. Considera que el desarrollo del razonamiento proporcional se da de manera
gradual y de manera lógica, el cual inicia con el proceso cualitativo a través de dos
categorías: comparaciones e intuiciones empíricas, que son expresadas de forma verbal.
Después, expone que hay una etapa de transición entre el pensamiento cualitativo y
cuantitativo, en el cual la acción del sujeto se enfoca al “orden” de forma comparativa,
pero sin llegar a hacerlo en cantidad (de manera simbólica). Por último, cuando el sujeto
comienza a hacer reflexiones y abstracciones al momento de comparar dos o más
cantidades y es capaz de expresar esta relación entre cantidades, hablamos de que el
sujeto empezó a desarrollar el razonamiento cuantitativo proporcional. Es por esta razón
que Piaget e Inhelder consideran que el razonamiento proporcional se desarrolla en forma
dentro de la etapa de las operaciones formales, logrando a través de éste la producción de
hipótesis (Ruiz y Lupiáñez, 2009) y la expresión simbólica de la relación existente entre
una comparación de cantidades inmersas en una determinada situación. Lo que
actualmente se denomina razón matemática.
Por su parte, Rodríguez y Pérez (2003), mencionan que el desarrollo del
razonamiento proporcional (de lo cualitativo a lo cuantitativo) depende de la etapa en la
que se encuentre el sujeto. Por lo que, en las etapas sensorio-motora y preoperacional, los
35
sujetos usan su razonamiento proporcional para hacer comparaciones generales como
“mayor que” o “menor que”. En la etapa de operaciones concretas, el sujeto comienza a
hacer comparaciones aditivas e inicia con el uso de la razón. Mientras que en la etapa de
las operaciones formales el sujeto ya es capaz de establecer relaciones entre cantidades y
expresarlas de forma abstracta. Sin embargo, la investigación (Ruiz y Valdemoros, 2009;
Díaz De León, J.; Soto, M., Martínez A., 2007; García, 2007) ha mostrado que son pocos
los alumnos que tienen la habilidad para usar el razonamiento proporcional de manera
adecuada, tanto en situaciones cotidianas como en situaciones de aprendizaje escolar.
En la enseñanza, el razonamiento proporcional es una habilidad cognitiva que se
utiliza para la enseñanza-aprendizaje de contenidos vinculados con relaciones y
comparaciones cuantitativas, tales como la razón, la proporción y la función. Según
García M. (2007) y Díaz de León (2007) uno de los mayores problemas que presentan
los alumnos al aprender y resolver problemas relacionados al razonamiento proporcional
es el de comparar y relacionar dos cantidades estudiadas en una determinada situación,
sobre todo cuando se pretende expresar la relación existente entre dos variables para
analizar o predecir un determinado fenómeno o situación real.
Esto coincide con el análisis que realiza la SEP (1999) sobre el área de
tratamiento de la información, donde menciona que la mayor dificultad que se presenta al
momento de enseñar proporcionalidad es el que los sujetos logren “establecer relaciones
entre las distintas cantidades que intervienen en determinada situación. Y en el algebra,
lograr que esa relación entre variables sea expresada a través de una fórmula” (modelo
matemático) (SEP, 1999, p. 351).
Dicho lo anterior, se considera que uno de los conceptos con mayores dificultades
para su enseñanza y aprendizaje es el concepto de función (SEP, 1999). Es por eso que
desde los planes de estudio de 1993, se ha pretendido que los alumnos se comuniquen y
se familiaricen con el concepto de función como una relación entre dos cantidades (SEP,
1993, p. 40). Así mismo que identifiquen las diversas formas en las que se puede
representar una función. Este objetivo se sigue contemplando dentro de los planes de
36
estudio del 2006, la diferencia estriba en la forma en cómo se abordan los contenidos
matemáticos (SEP, 2006b).
De lo anterior, se puede concluir que el concepto de función es pieza clave dentro
de la enseñanza de los contenidos matemáticos; el estudio del mismo, en las escuelas
secundarias de México, se inicia desde el primer grado con el tema “relación funcional”,
a través de cual el alumno debe establecer relaciones entre dos variables y modelar dicha
relación (fórmula matemática o ecuación lineal). Este análisis se desarrolla en el siguiente
apartado.
2.2.3. La relación funcional.
Pedagógicamente, la relación funcional es un contenido que forma parte del
currículo de los planes de estudio de la asignatura de matemáticas de la SEP (2006b), este
tema mantiene una estrecha relación con dos de los tres ejes que este programa
promueve: manejo de la información (MI) y, sentido numérico y pensamiento algebraico
(SN y PA).
Se relaciona con el eje MI porque la relación funcional hace referencia al
conocimiento del concepto de función, mientras que con el segundo -SN y PA- porque
toda función puede y debe ser expresada a través de una ecuación algebraica. El sentido
de vincular ambos ejes se debe a que mediante este tema se pretende que el alumno
analice en situaciones reales la relación entre cantidades proporcionalmente directas,
expresándola mediante una expresión algebraica (y=kx) (SEP, 2006b, p. 52). Donde “x” y
“y” representan las variables (independiente y dependiente) y k la constante.
Los temas que le anteceden son el de proporcionalidad directa y la iniciación al
lenguaje algebraico, ya que de acuerdo con los planes de estudio (SEP, 2006), la
proporcionalidad directa es un caso particular de las funciones lineales y constituye una
base necesaria para acceder a la comprensión del álgebra (Ruiz y Valdemoros, 2009).
Para una mejor comprensión de esta relación temática, se ha construido el esquema de la
figura 3, donde se muestra la vinculación que existe entre el tema relación funcional con
37
los ejes Manejo de la Información (MI), y Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico
(SN y PA), así como la relación con los temas derivados de estos ejes.
Figura 3. La vinculación de los ejes, manejo de la información y pensamiento algebraico, para la enseñanza de la relación funcional.
Por otra parte, vista desde un enfoque matemático, la relación funcional, según
Diez-Palomar (2007), es entendida como la dependencia que existe de una variable con
respecto a otra, es por eso que se puede considerar este término como la base para el
aprendizaje del concepto de función. Siendo esta última considerada como “una regla de
correspondencia entre dos cantidades” (Del Castillo y Montiel, 2007, p. 572) que puede
ser representada de diversas formas, dentro de las cuales, destaca por su uso frecuente: las
gráficas, las tablas, y las fórmulas (Bagni G., 2004).
Sastre (2008) hace una reseña sobre la evolución del concepto de función,
explicando que desde la época antigua las civilizaciones ya establecían relaciones
funcionales entre cantidades. Concluye su investigación, dando la definición actual del
concepto de función como una correspondencia entre dos conjuntos, en donde dado el
conjunto X y el conjunto Y, se da una relación unívoca entre un elemento del primer
38
conjunto y un elemento del segundo conjunto obteniendo como resultado una relación
funcional. Por ende se considera la función como la operación que asocia a cada elemento
del conjunto “x” con cada elemento del conjunto “y”. (Sastre, 2008, p. 12).
Si se analiza la definición anterior, se puede ver como la función depende de las
relaciones funcionales de cada conjunto, es así como surge una vinculación entre el
concepto de función y la relación funcional.
En la escuela secundaria, se realiza el estudio de dos tipos de funciones
principalmente, la función lineal (el caso particular de la proporción directa) y la función
cuadrática. Al respecto, Bagni (2004) menciona que en la secundaria la introducción al
concepto de función inicia con la comprensión de la relación funcional de los conjuntos
“x” y “y”. De la misma manera, López y Zariñán (2007) coinciden con esta afirmación
diciendo que en el campo educativo, una función debe ser enseñada en el siguiente
orden: “primero como una relación entre conjuntos, después como una expresión
algebraica y luego se representan funciones en el plano coordenado” (López y Zariñán,
2007, p. 166).
La enseñanza gradual del concepto sigue la misma lógica planteada por López y
Zariñán (2007), en el caso de primer grado en secundaria, el currículo especifica la
enseñanza de la función, primero a través de la relación funcional de las variables,
posteriormente se trabaja con la construcción de modelos que expresen la
correspondencia de dichas variables (ya sea a través de una expresión algebraica o una
tabla de datos) y por último se le enseñan al estudiante a representar las funciones en el
plano cartesiano (SEP, 2006b).
El proceso de enseñanza aprendizaje de la relación funcional como contenido
matemático, se enfoca especialmente al estudio de la relación proporcional que se da
entre las variables. Bagni (2004) coincide con esta afirmación explicando que los libros
en la secundaria enfocan el análisis hacia el estudio de la función y=kx correspondiente a
la forma de representar una función continua en la que se observa la relación
proporcional de las variables estudiadas.
39
Lo importante en este proceso es que el sujeto no sólo comprenda las
correspondencias que se dan entre dos conjuntos, sino que aprendan a expresar
algebraicamente dicha relación. De acuerdo con Kieran y Filloy (1989) la importancia de
que el sujeto aprenda a expresar algebraicamente una situación es que le permite resolver
problemas de la vida cotidiana.
2.3. La modelación matemática como estrategia de enseñanza para el desarrollo de
competencias matemáticas de los contenidos curriculares.
Una característica de las matemáticas es que son utilizadas en diversas áreas del
quehacer humano, por esta razón nos vemos en la necesidad de adquirir todos los
conocimientos matemáticos necesarios que nos permitan desenvolvernos dentro de
nuestro entorno. La razón por la que su aprendizaje se vuelve tan indispensable, es
porque éstas, en el campo cognitivo, permiten el desarrollo del conocimiento y por ende
del pensamiento humano (García, 2000; Nickerson, 1998).
Bajo esta perspectiva, en la escuela secundaria se pretende que el alumno
desarrolle las nociones y conceptos útiles que le permitan resolver problemas de la vida
real, basándose en una enseñanza enfocada a la resolución de problemas cotidianos con el
fin de que los alumnos se involucren con esta ciencia y puedan comprender la
importancia que ésta tiene para la humanidad (SEP, 1999). Esta aplicación va más allá
del aprendizaje memorístico y el uso de conceptos matemáticos para la resolución de
determinadas situaciones; más bien se refiere a la creación de modelos matemáticos que
expliquen las causas de dichas situaciones, lo que genera un conflicto en los alumnos de
nivel básico (especialmente de educación secundaria) debido a la complejidad de su
abstracción.
En el caso de secundarias, uno de los temas que más conflictos cognitivos traen
al alumno es el de “Proporcionalidad directa”, debido a que los alumnos no logran
comprender la relación que existe entre las dos variables; y segundo, porque desconocen
los procedimientos matemáticos que permiten observar dicha relación.
40
Considerando entonces que la necesidad parte de que los alumnos deben
encontrara herramientas cognitivas que les permita generar un conocimiento. Diversos
investigadores han promovido la modelación matemática como herramienta que los
docentes pueden utilizar para lograr que los alumnos construyan sus propios saberes a
través de la creación de modelos matemáticos (Niss y Blum, 2007b; Blomhoj, 2009;
Rodríguez, 2007; Biembengut y Hein, 2004), facilitándoles a su vez, la comprensión de
temas como es el de la relación funcional de la proporcionalidad.
Esta estrategia de enseñanza favorece no solo la adquisición de conocimientos
matemáticos, sino además permite al docente ejercer su práctica basada en el enfoque de
la asignatura que es el resolutivo funcional. Aspecto que permite que los alumnos
adquieran los contenidos y las herramientas cognitivas necesarias a través de la
resolución de problemas cotidianos (López y Zariñán, 2007).
El énfasis sobre la aplicación de dicho enfoque se debe a que la resolución de
problemas es la habilidad cognitiva más compleja dentro del aprendizaje (Nickerson,
1998), esto se debe a que mediante el proceso de la resolución de problemas los sujetos
pueden construir conceptos, conocer y aplicar reglas, técnicas, o algoritmos. Es por eso
que hablar de problemas es hablar del desarrollo de un conjunto de habilidades del
pensamiento, que de acuerdo con Nickerson (1998) son tres: la creatividad, la resolución
de problemas y la metacognición, haciendo uso de las dos primeras para desarrollar el
tercero.
Para Rosa María Torres (1998), solucionar problemas es plantearse situaciones
abiertas y dar sugerencias de alternativas que exijan a los sujetos mantener una actitud
activa, autónoma y responsable sobre el uso y construcción de sus conocimientos. De
acuerdo con lo anterior, enseñar a resolver problemas fomenta en los alumnos la
capacidad de aprender a aprender (Monereo, 1998)
Haciendo un análisis de cómo se ha aplicado el enfoque matemático en dicha
asignatura, he de comentar que con los planes y programas de estudio de 1993 se
pretendía que los alumnos aprendieran a resolver problemas una vez que habían
41
adquirido el conocimiento suficiente para hallar su solución (SEP, 2006). Posterior a eso,
y a partir de las nuevas evaluaciones realizadas por PISA (OCDE; 2003) el sistema
educativo tuvo que renovar sus métodos de enseñanza, que hasta entonces (en la práctica)
seguían siendo meramente conductistas. Fue hasta el 2006 cuando una nueva reforma
educativa en la educación secundaria se puso en marcha, dicha reforma también
contemplaba para la enseñanza de las matemáticas un enfoque resolutivo funcional, sólo
que en esta ocasión se adhería otro aspecto a considerar: las competencias.
Según Frade (2008) países miembros de la UNESCO analizaron y discutieron el
tipo de educación que se recibía en las escuelas de nivel básico, concluyendo que la
educación debía ser más eficaz y eficiente; así a través de diversos estudios se concluyó
que la educación debía estar orientada a aprender a aprender, lo cual sólo se logra
mediante el desarrollo de competencias (Delors, 1996). Por tal razón, en México, la
reforma educativa 2006 contempla una educación basada en competencias para la vida,
definidas como las capacidades adaptativas, cognitivas y conductuales que permiten
responder adecuadamente a las demandas que se presentan en el entorno (Frade, 2009);
López y Zariñán, 2007; y Garragori, 2009). Así, el desarrollo de competencias en el aula
implica que el alumno se vuelva el actor principal del proceso educativo, dejando a un
lado su rol de receptor pasivo para participar activamente dentro de su aprendizaje, y es
así como el fin de la educación nos orienta como docentes a enseñarles a los estudiantes a
lograr “aprendiendo a aprender” (Monereo, 1998; Delors, 1996).
Con respecto al análisis anterior, una primera cuestión a analizar sería ¿qué hay
que enseñar? En el caso de las matemáticas, según PISA (OCDE, 2006) ,se pretende
enseñar a desarrollar habilidades y actitudes matemáticas que junto con la adquisición de
conocimientos le permitan a los sujetos enfrentar y responder a determinados problemas
reales de la vida cotidiana (SEP, 2006); por tal razón la enseñanza matemática se centra
en desarrollar la competencia matemática, la cual es definida como “… la capacidad de
los alumnos para analizar, razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean, formulan,
resuelven e interpretan problemas matemáticos en diversas situaciones” (OCDE, 2006, p.
74).
42
Así, aunque los planes y programas de estudio 2006 (en campo de la asignatura de
matemáticas), proponen que al sujeto se le enseñe a adquirir cuatro competencias
matemáticas: resolución de problemas, argumentación, manejo de técnicas y
comunicación (SEP, 2006), es necesario que se contemple una enseñanza basada en las
ocho sub-competencia que PISA promueve y evalúa, estas son: Pensamiento y
razonamiento, argumentación, comunicación, construcción de modelos, planteamiento y
solución de problemas; representación; utilización de operaciones y lenguaje técnico,
formal y simbólico; y empleo de material y herramientas de apoyo.
Tomando en cuenta lo anterior, surge una nueva pregunta ¿cómo lograr que el
sujeto adquiera estas ocho competencias? Desde un punto de vista pedagógico, dentro del
campo educativo, existen diversas corrientes pedagógicas y psicológicas que explican
cómo es que una persona puede aprender a aprender, tal es el caso del constructivismo
(Pimienta, 2007); dentro del cual se pretende que los estudiantes apliquen una infinidad
de estrategias de aprendizaje que le permitan desarrollar las competencias matemáticas
necesarias para desenvolverse en su medio; sin embargo, de todas las que aplica el
alumno, ¿cuáles realmente son eficientes para que éstos puedan aprendan a aprender?.
Bajo este análisis, diversos investigadores (Niss y Blum, 2007a; Blomhoj, 2009,
Biembengut y Hein, 2004; Rodríguez, 2007; Henning, 2008; Villa, 2007) y
organizaciones internacionales han enfatizado la relevancia de la modelación como
proceso para desarrollar competencias matemáticas (OCDE, 2001; OCDE, 2006). Este
proceso desde un punto de vista pedagógico es considerado estrategia de enseñanza que
favorece lo anterior, la aplicación de esta estrategia implica el uso de recursos que
favorezcan el fin de la misma (que es el desarrollo de competencias matemáticas).
Dentro de las grandes transformaciones que ha sufrido la sociedad durante los
últimos cincuenta años, podemos mencionar el auge científico encaminado al desarrollo
tecnológico en diversas esferas de la población. El uso más frecuente de estas tecnologías
se ha enfocado a los ordenadores comunes (McFarlane, 2003), los cuales son utilizados
cada vez más por una parte importante de la población mundial. Esto ha generado
incertidumbre dentro del área educativa en donde se visualiza la necesidad de insertar el
43
uso de las nuevas tecnologías al proceso de enseñanza aprendizaje, es así como se ha
venido introduciendo el uso de las “Tecnologías de la Información y la Comunicación”
(TIC) al campo educativo; el cual, ha tenido la necesidad de hacer modificaciones e
innovaciones para adaptarse a este nuevo sistema de vida (Tejeda, 2000; Organización de
las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura, UNESCO, 2004).
De acuerdo con Rosadilla (2007) la integración a las aulas educativas del uso de
las computadoras se dio desde los años sesenta, y actualmente la inserción de este medio
junto con otros recursos tecnológicos educativos, han hecho de la tecnología un medio
eficaz para la enseñanza de cualquier contenido académico (Rosadilla, 2007, Ávila,
2002). El cual, permite al alumno: buscar, localizar, evaluar y recuperar información;
aprender a trabajar en equipo en entornos de trabajo colaborativo, mejorar actitudes para
realizar ejercicios, manejar de tecnología para representar gráficamente determinada
información (McFarlane, 2003, Gándara, 1999) resolver problemas y comprender textos
(Reyes, 2008).
Esto a su vez, exige que el docente replantee su práctica educativa (De la Puente,
2006), lo que implica: proporcionar los servicios educativos a los individuos con el fin de
brindarles una educación continua donde puedan adquirir saberes científicos y
tecnológicos para desenvolverse en su vida cotidiana (Trigueros, 2006; ANUIES, 2004),
y desarrollar competencias que les permita utilizar de manera adecuada los medios
tecnológicos (Trigueros, 2006, McFarlane, 2003).
Por otra parte, Barrio de la Puente (2007) considera que pese a su importancia
como recursos didáctico y motivador dentro del aula, las tecnologías no deben suplantar
el papel que juega la escuela dentro del desarrollo integral del sujeto, así la
implementación de las TIC es considerada buena, siempre y cuando se le dé el uso
adecuado al recurso a utilizar (Del Puerto y Minnarrd, 2006; Goldenberg, 2003).
Lo anterior conlleva a que el docente, dentro de sus labores pedagógicas, conozca,
se capacite, programe y utilice los recursos tecnológicos a los que en los centros escolares
se tiene acceso. Y es que de acuerdo con Paul Goldenberg (2003), los profesores deben
44
tener muy claro el propósito del contenido a enseñar para poder decidir qué tipo de
tecnología van a usar. Así, en el caso de la enseñanza de las matemáticas, una de las
herramientas tecnológicas que es fácil de aplicar, genera climas motivadores en el aula, y
que permite a los alumnos interactuar con sus compañeros y profesor para adquirir los
aprendizajes esperados, es el ordenador, el cual está constitudo por diversos software que
pueden ser utilizados para la realización de diversas tareas (De la Puente, 2006;
McFarlane, 2003).
El uso de estos software dentro de las actividades académicas depende del
objetivo de aprendizaje que se desea alcanzar (Goldenberg, 2006; Ávila, 2001). Así, en el
caso de la investigación matemática a realizar, ésta se enfoca hacia un aprendizaje
basado en la modelación matemática, que le permita al sujeto construir modelos
matemáticos para solucionar problemas reales y construir nuevos conocimientos. Los
software como la Hoja de Cálculo, dan la posibilidad de construir conocimientos a través
de la aplicación de fórmulas y representaciones graficas, logrando que los sujetos
adquieran una mayor comprensión que quienes lo hacen de manera tradicional (Raviolo,
2002).
Para concluir se debe dejar en claro que lo que se busca actualmente no son
sujetos que procesen información, sino que la utilicen y la apliquen en su vida cotidiana,
es por eso la importancia de que el sujeto conozca la modelación matemática y la sepa
aplicar dentro de sus proceso de aprendizaje, ya que le permite desarrollar competencias
matemáticas favoreciendo con esto no sólo la adquisición de conocimientos, sino también
el desarrollo de habilidades cognitivas que le permitirán ser eficiente dentro de su
entorno.
2.4. Conclusión del capítulo 2
En este capítulo se dan a conocer algunas investigaciones sobresalientes sobre el
tema a abordar en este proyecto de investigación denominado “la modelación
matemática como estrategia para la enseñanza de la relación funcional en el aula”, del
45
cual se desprenden dos constructos: modelación matemática y la relación funcional como
contenido matemático a enseñar en primer grado de secundaria.
Es así como el estudio de ambos se desglosa en este apartado en donde se analiza
la modelación matemática desde una perspectiva pedagógica, describiendo la necesidad
de enseñar a los alumnos a construir modelos matemáticos, así como el proceso para la
realización de la modelación matemática en el aula, y el uso de las TIC en este proceso.
Dentro del desarrollo del primer constructo también se aborda la modelación como un
medio para el logro de fines educativos relacionados a la enseñanza de las matemáticas,
especialmente el logro de desarrollo de competencias a través de la modelación
matemática.
En un segundo momento, se desglosan las investigaciones teóricas relacionadas al
contenido matemático denominado “relación funcional”, en este se describe el origen del
conocimiento matemático, especialmente del razonamiento proporcional en los sujetos,
para relacionarlo al área de la matemática educativa, en donde se analiza la relación entre
el concepto función y la relación funcional.
Para finalizar se hace una revisión de la literatura leída, en la que se contrastan las
diversas investigaciones encontradas para la construcción de este capítulo, enfatizando la
necesidad de emplear la modelación para la enseñanza de la relación funcional,
apoyándose de la hoja de cálculo como recursos tecnológico, que a su vez permita el
desarrollo de competencias matemáticas.
46
Capítulo 3. Metodología de la investigación
En el presente capítulo se describen las cuatro fases de la ingeniería didáctica
como metodología electa para la realización de este estudio: análisis preliminares,
concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas; experimentación y análisis a
posteriori y evaluación. Así mismo se especifica que el enfoque a seguir en el estudio
debido a los objetivos a perseguir es de corte cualitativo, usando como estrategia el
estudio exploratorio y el descriptivo. En un segundo momento se desarrolla el proceso de
categorización para sistematizar la información recaba en el campo de estudio. Además
se enuncian las dos grandes categorías en las que se dividió el tema de estudio, que son:
el desarrollo de competencias a través de la modelación matemática como estrategia de
enseñanza; y las competencias matemáticas desarrolladas a través de la enseñanza del
tema “relación funcional”.
En otro apartado, se especifican las características del muestreo poblacional
homogéneo que fue seleccionado, así como las tres fuentes de información (el docente, el
observador externo y los alumnos) y los respectivos instrumentos de recolección de datos
que fueron aplicados en el campo de investigación. Por último, se hace una descripción
sobre la aplicación de la prueba piloto y de los instrumentos de recolección de datos, así
como del método para su respectivo análisis después de la aplicación.
3.1 Método de investigación
Una de las cualidades del ser humano es su necesidad de tratar de comprender el
mundo en el que vive. Por lo que desde siglos pasados, el hombre ha desarrollado
diversas investigaciones intentando buscar explicaciones a diversos fenómenos físicos o
sociales que ocurren en nuestro entorno, utilizando para ello distintos métodos o técnicas
de estudio (Taylor, 1987). En el campo educativo la investigación es utilizada para
conocer a fondo los procesos particulares que ocurren dentro y fuera del aula a partir de
las prácticas sociales e históricas que surgen en el contexto escolar (Strauss, 2002). Por
47
tal motivo, sus métodos de investigación tienen un enfoque cualitativo, cuya intención es
buscar resolver los problemas sociales que afectan el campo educativo a través del
análisis profundo de situaciones cotidianas que se viven en la escuela.
En el caso de la problemática que se planteó en este proyecto de investigación, en
el capítulo 2 se muestra la vasta investigación que surge del tema sobre modelación
matemática y su relación con el desarrollo de competencias. Sin embargo, como se
mencionó en el capítulo 1, se carecía de alguna que indicara cuáles son las competencias
matemáticas que utilizaban los alumnos de primer grado de secundaria para favorecer el
aprendizaje del tema “relación funcional” mediante el proceso de modelación
matemática.
Este desconocimiento generó la necesidad de emplear un método de estudio de
tipo cualitativo, que permitiera entre otras cosas: 1) identificar las competencias
matemáticas que los sujetos desarrollan a través de la aplicación de la modelación
matemática como estrategia de enseñanza; 2) identificar las competencias matemáticas
que los alumnos desarrollaron durante la enseñanza del contenido matemático “la
relación funcional”.
Así, el estudio realizado fue de tipo experimental, en el que por medio de la
planeación y aplicación de propuestas didácticas en el aula, el docente/investigador logró
obtener información sobre los fenómenos ocurridos en el salón de clases. Esta
metodología es conocida como “ingeniería didáctica”, la cual fue creada por Michelle
Artigue (1995), una investigadora francesa que relacionó los proyectos de construcción
de ingenieros para aplicarlo a la didáctica de la enseñanza de las matemáticas. Dicha
metodología por sus componentes de estudio está orientada a tener un enfoque de estudio
tipo mixto; sin embargo, para este estudio se consideró necesario enfocarla a obtener un
análisis de tipo cualitativo.
Las fases de la ingeniería didáctica se basan en la concepción, la realización, la
observación y el análisis de secuencias de enseñanza, validando su información a través
de la contrastación entre un análisis a priori y a posteriori de los estudios de caso a
48
analizar (Artigue, 1995; De Faria, 2006). La secuencia de pasos a seguir para el
desarrollo de la ingeniería didáctica es la que se muestra en la figura 4.
Figura 4. Fases de la ingeniería didáctica (Artigue, 1995). Primera fase: análisis preliminares. Hace referencia al análisis del cuadro teórico
entre lo que se sabe y no del tema a estudiar relacionando dicho análisis a los objetivos de
investigación (Artigue, 1995; De Faria, 2006). En este caso, nos referimos al marco
teórico de la investigación, a través del cual, se realizó una exhaustiva revisión de
literatura relacionada a los constructos abordados: modelación matemática y relación
funcional.
Segunda fase: concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas. En esta
etapa se hizo énfasis en el análisis contextual del problema abordado (Artigue, 1995), en
donde, de acuerdo con De Faria (2006), se identificó la problemática a estudiar y sus
variables de comando, denominados constructos, a través de las cuales se definió el tema
de investigación, se desarrollaron las preguntas y objetivos de investigación, se determinó
la hipótesis y se seleccionó el enfoque del estudio.
Tercera fase: experimentación. En esta fase, se realizó la planeación e
implementación de una secuencia didáctica que permitiera la obtención de datos
significativos referentes al problema de investigación. En primera instancia se preparó el
escenario (el espacio áulico) en donde se llevó a cabo el estudio. Y como segunda fase,
una vez que se desarrolló el proyecto, y apoyado de las técnicas e instrumentos de
49
recogida de datos, se recolectó la información necesaria sobre el proyecto de estudio
(Artigue, 1995, De Faria, 2006).
Cuarta fase: análisis a posteriori y evaluación. Una vez realizada la
experimentación y aplicados los instrumentos de recolección de datos, se prosiguió al
proceso de sistematización, validación, evaluación de la información obtenida a través del
método de triangulación de tipo metodológica, pretendiendo validar y contrastar los datos
obtenidos de los instrumentos de recogida de datos, que en este caso fueron: el registro de
observación, entrevistas, rúbricas y diarios del profesor (Artigue, 1995, De Faria, 2006).
El esquema de la figura 5 muestra la metodología que se realizó con base al diseño de
ingeniería didáctica.
Figura 5. Proceso metodológico: fases y sub-fases de la investigación basada en
la ingeniería didáctica de Artigue (1995).
50
3.2 Población y muestra
Considerando que el objetivo de esta investigación era identificar cuáles son las
competencias matemáticas que los alumnos de primer grado de secundaria desarrollan a
través de la modelación matemática como estrategia de enseñanza. Se tomó en
consideración como población del estudio todos aquellos alumnos de primer grado de
secundaria inscritos en una escuela pública del Estado de México. Sin embargo, tal como
lo menciona Hernández (2006), no es posible hacer una investigación considerando el
total de la población arriba mencionada, de tal manera que se tuvo que seleccionar el
subgrupo representativo de la población que nos permita obtener información de la
misma (Hernández, 2006, p. 236).
Para la selección de la muestra se optó por tener una muestra no probabilística
porque permite seleccionar sujetos con características especificas, además porque las
características del estudio a realizar así lo requería (Hernández, 2006). Los factores que
determinaron la selección de la muestra fueron los recursos tecnológicos disponibles para
la aplicación de la propuesta didáctica – en total 14 computadoras- y la disponibilidad de
tiempo de los alumnos, debido a que por características de la escuela, las computadoras a
utilizar sólo podrían ocuparse después de la jornada escolar.
Otros factores que influyeron en forma individual para la selección de los
alumnos fueron el grado escolar, la escuela en donde estaban inscritos, el turno de la
escuela, las edades, el escaso desarrollo de competencias, y el grado académico de éstos.
El número total de sujetos a participar estuvo determinado por las limitantes del contexto
institucional, pues únicamente se cuentan con 14 computadoras, por ende el total de
alumnos electos para la muestra fue de 14.
Cabe señalar que inicialmente la selección de 14 alumnos estaba determinada por
el numero de computadoras disponibles para la realización de la actividad; sin embargo,
al momento de la aplicación solamente servían la mitad de las mismas, por lo que se tuvo
que organizar a los alumnos muestra en parejas para la realización de algunas –no todas-
51
las etapas del proceso de modelación. Aunque en el momento de aplicación, el análisis
de trabajo se siguió contemplando en forma individual. De esta manera, en los próximos
capítulos se observará que el análisis fue en su mayoría de tipo individual; es decir por
alumno, no por equipo. La única parte que se retomó por equipo fue la construcción de
los modelos en la computadora.
3.3 Tema, categorías e indicadores de estudio
Según Osses (2006) la categorización es una herramienta que permite sistematizar
la información obtenida del estudio realizado, en donde el investigador es el encargado de
clasificar el estudio en variables (o constructos) que tengan algún significado o se refieran
a situaciones, actividades, métodos, procesos y estrategias relacionadas al tema de
estudio.
En este caso, se ha de recordar que el tema de investigación es “La modelación
matemática como estrategia de enseñanza, que se apoya del uso de la hoja de cálculo,
para la enseñanza del tema Relación Funcional en el aula”. El cual fue dividido para su
estudio en dos grandes áreas, que son los constructos que hemos venido manejando tanto
en el marco contextual, como en el marco teórico, estos son:
− El desarrollo de competencias matemáticas a través de la modelación matemática
como estrategia de enseñanza.
− Las competencias matemáticas desarrolladas durante la enseñanza de la relación
funcional.
Con respecto a la categoría “el desarrollo de competencias a través de la
modelación matemática como estrategia de enseñanza”, ésta se dividió en tres sub-
categorías, que de acuerdo con Biembengut y Hein (1997) son las etapas en las que se
realiza en el proceso de modelación:
52
a) Interacción con el asunto. Con este indicador se pretendió identificar si el alumno
podía analizar y comprender los problemas, para saberlo se plantearon dos
preguntas:
− ¿El alumno comprendió el problema real y pudo explicarlo con sus propias
palabras?
− ¿Identificó los datos necesarios que le permitieron comprender el
problema?
b) Construcción matemática. Siendo este la fase más relevante de la modelación
básicamente, en ella se pretendió saber si el alumno era capaz de construir
modelos matemáticos, tomando en cuenta las siguientes cuestiones:
− ¿Clasificó la información (en relevante y no relevante) identificando los
hechos involucrados?
− ¿Decidió cuáles eran los factores a ser perseguidos, planteando la
hipótesis?
− ¿Generalizó y seleccionó variables relevantes?
− ¿Seleccionó símbolos apropiados para dichas variables?
− ¿Describió las relaciones establecidas, en términos matemáticos?
c) Modelo matemático. En esta tercer sub-categoría se pretendió saber si el alumno
pudo representar, argumentar y comunicar sus resultados con respecto al modelo
creado. Por ello las preguntas a considerar fueron:
− ¿Demuestra a través de una serie de pasos con fundamentos matemáticos
cómo surge el modelo de la relación funcional?
− ¿Aplicó sus conocimientos y habilidades matemáticas para comprobar la
aplicación de modelo?
− ¿Interpretó y validó la solución del problema matemático que resulta en
relación a la situación dada?
53
− ¿Analizó y comparó los modelos de investigación?
− ¿Comunicó a los demás sus resultados?
La tabla 1 muestra los aspectos considerados en la primera categoría, en este se
toma de base las competencias matemáticas que se desarrollan por el simple hecho de
realizar el proceso de modelación matemática.
Tabla 1. Categoría 1 “El desarrollo de competencias a través de la modelación matemática como estrategia de enseñanza”.
(Sub-
categoría) Indicador Preguntas
Interacción con el asunto
Comprensión del problema real: identificación de los datos necesarios que permitan comprender el problema.
¿El alumno comprendió el problema real y pudo explicarlo con sus propias palabras? ¿Identificó los datos necesarios que le permitieron comprender el problema?
Construcción matemática
Clasificación de la información (en relevante y no relevante) e identificando los hechos involucrados.
¿Clasificó la información (en relevante y no relevante) identificando los hechos involucrados?
Selección de los factores a ser perseguidos y planteamiento de la hipótesis.
¿Decidió cuáles eran los factores a ser perseguidos, planteando la hipótesis?
Generalización y selección de las variables relevantes
¿Generalizó y seleccionó variables relevantes?
Selección de los símbolos apropiados para dichas variables
¿Seleccionó símbolos apropiados para dichas variables?
Descripción de las relaciones que se establezcan, en términos matemáticos.
¿Describió las relaciones establecidas, en términos matemáticos?
Modelo matemático
Aplicación de conocimientos y habilidades matemáticas para comprobar la aplicación de modelo.
¿Demuestra a través de una serie de pasos con fundamentos matemáticos cómo surge el modelo de la relación funcional? ¿Aplicó sus conocimientos y habilidades matemáticas para comprobar la aplicación de modelo?
Interpretación y validación de la solución del problema matemático que resulta en relación a la situación dada.
¿Interpretó y validó la solución del problema matemático que resulta en relación a la situación dada?
Análisis y comparación de los modelos de investigación.
¿Analizó y comparó los modelos de investigación?
Comunicación y argumentación de sus resultados. ¿Comunicó a los demás sus resultados?
54
Sobre la segunda categoría “competencias matemáticas desarrolladas durante la
enseñanza de la relación funcional”, esta hace referencia aquellos conocimientos,
habilidades y actitudes que se espera los alumnos de educación secundaria desarrollen a
través de los contenidos matemáticos enseñados en clase las cuales de acuerdo de con la
OCDE (2003; OCDE, 2006). Por lo anterior, esta categoría se dividió en tres sub-
categorías:
a) Aprendizaje del contenido matemático. A través de la cual se pretendió saber qué
contenidos matemáticos adquirió el sujeto durante la enseñanza del tema relación
funcional, específicamente si:
− ¿Conoció el término relación funcional y lo aplicó a su contexto?
− ¿Comprendió la relación funcional que existe entre dos variables?
b) Implicación de conocimientos matemáticos. Mediante esta sub-categoría se quiso
conocer si el sujeto:
− ¿Utilizó el lenguaje algebraico para relacionar dos variables y su
crecimiento proporcional?
− ¿Realizó algún gráfico que muestre la relación entre dichas variables?
− ¿Realizó los procedimientos adecuados para demostrar la relación
funcional de dos variables?
c) Desarrollo de competencias matemáticas. Tomando en cuenta lo que menciona
Niss y Blum (2007a) con respecto al desarrollo de competencias que se da a
través del proceso de modelación, en esta categoría se deseo saber si el sujeto:
− ¿Construyó modelos matemáticos que le permitieran explicar la
relación funcional entre dos variables?
− ¿Representó e interpretó la relación funcional a través de diversos
modelos (de una gráfica, tabla de datos y ecuación algebraica)?
55
− ¿Utilizó la hoja de cálculo Excel como herramienta de apoyo para la
construcción del modelo matemático?
La esquematización del proceso de categorización para la realización de este
estudio se muestra en la tabla 2. En esta se abordan los indicadores que permitieron
conocer sobre las competencias matemáticas desarrolladas durante la enseñanza del
contenido matemático mediante la modelación matemática como estrategia de enseñanza.
Tabla 2.
Categoría 2. “Competencias matemáticas desarrolladas durante la enseñanza de la relación funcional”.
(Sub-categoría) Indicador Preguntas
Aprendizaje del contenido
matemático.
Dominio del tema relación funcional y su aplicación en el contexto.
¿Conoció el término relación funcional y lo aplicó a su contexto? ¿Comprendió la relación funcional que existe entre dos variables?
Implicación de conocimientos matemáticos.
Uso del lenguaje algebraico para representar el modelo de una relación funcional.
¿Utilizó el lenguaje algebraico para relacionar dos variables y su crecimiento proporcional?
Representación gráfica de una relación funcional
¿Realizó algún gráfico que muestre la relación entre dichas variables?
Realización de procedimientos matemáticos que permitan demostrar la relación funcional de dos variables
¿Realizó los procedimientos adecuados para demostrar la relación funcional de dos variables?
Desarrollo de competencias matemáticas.
Construcción de modelos matemáticos que permitan explicar la relación funcional entre dos variables
¿Construyó modelos matemáticos que le permitieran explicar la relación funcional entre dos variables?
Representación e interpretación de la relación funcional a través de diversos modelos (gráfica, tabla de datos y ecuación algebraica)
¿Representó e interpretó la relación funcional a través de diversos modelos (de una gráfica, tabla de datos y ecuación algebraica)?
Uso de recursos tecnológicos para la construcción del modelo matemático
¿Utilizó la hoja de cálculo Excel como herramienta de apoyo para la construcción del modelo matemático?
56
3.4 Fuentes de información
Una vez que se que se determinaron las categorías y sus respectivos indicadores,
se seleccionaron las fuentes de información que permitieron recopilar los datos necesarios
de la investigación. Estas fueron: los alumnos, el profesor y un observador externo.
3.4.1. Los alumnos
Esta fuente fue la más importante porque los alumnos fueron los que vivieron el
estudio de modo más directo. Éstos aportaron información acerca de cómo se llevó a cabo
el proceso, qué conocimientos aprendieron y que habilidades desarrollaron. Así mismo,
fueron los que a través de su trabajo pudieron dar información sobre su desempeño al
momento de aplicar la modelación para construir modelos utilizando la hoja electrónica
de cálculo.
Otra fuente inmersa en este rubro fueron los trabajos de los alumnos, ya que a
través de ellos se logró valorar el desarrollo, los avances, las dificultades, los
conocimientos y las actitudes de los sujetos durante el proceso de la modelación
matemática. Así mismo permitieron responder a preguntas sobre el tipo de conocimientos
adquiridos, las habilidades desarrolladas durante el proceso, la secuencia de pasos
aplicados en la modelación y el desempeño de cada uno de ellos.
Cabe mencionar, que dentro de este material se incluyó un ejercicio de evaluación
que comprendió problemas parecidos a los que la prueba de ENLACE maneja en sus
evaluaciones. La intención fue conocer la forma en que el alumno desarrolla el proceso
de modelación para resolver un problema que le permitiera medir sus conocimientos y
habilidades matemáticas, comprobando el grado de desarrollo de sus competencias para
la resolución del mismo (Véase apéndice A).
57
3.4.2. El profesor
El docente fue otra fuente importante para la obtención de datos, sobre todo
porque tomó el rol de observador participante (Hernández, 2006), ya que fue él quien
observó directamente el trabajo de los alumnos, y quien valoró de manera cualitativa y
cuantitativa el desempeño obtenido en cada sesión. Así mismo, el docente titular fue la
persona encargada de la investigación, ya que su rol le permitió conocer los avances y
retrocesos de cada uno de sus alumnos, por lo que es de considerarse las aportaciones que
este otorgó al estudio realizado.
3.4.3. Observador externo
El observador externo de acuerdo con Hernández (2006) es un observador no
participante que permite tener una perspectiva distinta de lo que se viven antes, durante y
después del proceso de investigación. El observador externo fue un docente con
conocimientos matemáticos, que durante la enseñanza del contenido de “relación
funcional” detectó en los alumnos aquellas competencias que pudieran haber
desarrollado, tanto de la modelación matemática como de las matemáticas, plasmando sus
observaciones en los formatos de registro de observación (Véase Apéndice B).
Es importante decir, que el observador externo, además de tener dominio de
contenidos matemáticos, conocía cómo se debía llevar a cabo el proceso de observación y
qué tipo de competencias matemáticas se pretendía desarrollar en los estudiantes durante
la modelación matemática.
3.5 Técnicas de recolección de datos
Los instrumentos de apoyo que se utilizaron para la recogida de datos, y que en la
tercera fase ayudaron a realizar la triangulación metodológica que se requiere en el
análisis de la problemática planteada al inicio de este documento, fueron:
58
− Entrevistas
− Rúbricas
− Registro de observación
− Diario de campo del investigador (diario pedagógico)
Estos instrumentos, de acuerdo con Pérez Gómez (1996), se conocen como
registros; de los cuales se usaron tres:
El primero fue el diario de campo, en donde se registraron los acontecimientos e
impresiones que el investigador observo, vivió, recibió y experimentó durante su estancia
en el campo de estudio (Véase apéndice B). El objetivo de usar este instrumento fue
recolectar la información del observador enseguida de transcurrido el suceso (Pérez,
2004). Este instrumento fue realizado y utilizado por el investigador quien tomó un rol de
observador participante (docente) en el proceso, y utilizó esta información para
desarrollar la categoría de “Modelación matemática”.
El “diario del investigador” fue el segundo instrumento utilizado, en donde el
observador, de manera ordenada y sistemática, organizó los datos obtenidos del estudio
para posteriormente hacer un análisis de ellos e identificar los datos significativos que
fueron útiles en el estudio del caso (Pérez, 1996). El instrumento que se manejó de éste
estilo fue el registro de observación, un cuadro de doble entrada en el que se registran los
hechos tal y como sucedieron, y en donde se hace una valoración subjetiva de dicho
acontecimiento. El registro fue muy importante debido a que la información que arrojó
permitió desarrollar los indicadores de la categorización, aunque, este registro se utilizó
únicamente por el observador externo como una fuente que permitió validar los hechos
observados en clase. (Ver apéndice C).
Otro registro de observación fueron las rúbricas, las cuales, a demás de ser un
instrumento de evaluación en clase, al observador le permitieron registrar de forma
gradual el desarrollo académico del sujeto asignándole un valor formativo o sumativo,
según el objetivo a alcanzar (Frade, 2008b). En este caso se valoró únicamente la
59
cuestión formativa debido al enfoque cualitativo del proyecto de investigación. De esta
manera los indicadores permitieron identificar las competencias matemáticas
desarrolladas por los estudiantes durante este proceso de investigación (Véase apéndice
D), logrando recabar información importante para el análisis de las dos categorías a las
que este estudio se enfoca. Cabe mencionar que los estándares manejados en las rúbricas
fue de bueno, considerando el desarrollo total de las competencias matemáticas
identificadas; regular, cuando el alumno desarrollo algunos aspectos de la competencia;
suficiente cuando el alumno desarrolló aspectos básicos de la competencia; e insuficiente
cuando no alcanzo a desarrollar el nivel requerido de la competencia.
Un tercer tipo de registros manejados fueron los “registros técnicos”, los cuales,
sirvieron para retener los reflejos de la realidad observada o de las representaciones
indagadas mediante instrumentos como la entrevista (Pérez Gómez, 1996), con el fin de
ampliar las observaciones y facilitar el proceso de análisis y sistematización basado en
una perspectiva más real y personal de los participantes (los alumnos) (Véase apéndice
E).
3.6 Aplicación de instrumentos
3.6.1. Prueba piloto
De acuerdo con Hernández (2006), la prueba piloto consiste en aplicar los
instrumentos de recolección de datos con la finalidad de demostrar la confiabilidad y
validez de éstos; y a partir de ahí, realizar las correcciones pertinentes. Para realizar esta
investigación se consideró como instrumento principal de recopilación de datos la
aplicación de una secuencia didáctica. Por lo que la prueba piloto se enfocó en la
planeación y validación de la misma. Cabe mencionar que dicha prueba, tal y como lo
sugiere Hernández (2006) sólo se aplicó a cuatro alumnos con características
representativas de la muestra. De ésta se lograron hacer modificaciones sobre todo en la
fase de la aplicación de la preguntas guía, pues debido a comentarios de los participantes,
60
las preguntas 7 y 8 no fueron muy claras para ellos. Así mismo se modificó el número de
sesiones de la secuencia, por lo que en vez de contemplar 10 sesiones, la aplicación de la
secuencia didáctica quedó reducida a 6 sesiones de sesenta minutos cada una. Así mismo,
aunque la secuencia didáctica fue el principal instrumento, también se realizaron
entrevistas y un ejercicio de evaluación, al cual también se le hicieron correcciones de
gramática y semántica. Sobre la aplicación real de estos en el proyecto de investigación,
se va a hablar en el siguiente apartado.
3.6.2. Secuencia de aplicación de instrumentos
En este apartado se describe la planeación por fases sobre la secuencia didáctica,
la cual estuvo basada en el proceso de modelación matemática en el que se enfocó este
proyecto de investigación. Así mismo se indica en qué momento se realizó la aplicación
de los cuestionarios evaluativos y de las entrevistas a los alumnos.
Sobre la secuencia didáctica, se ha de recordar que en el capítulo dos se había
hecho una distinción entre el proceso de modelado y el proceso de modelación, siendo el
primero utilizado por expertos en la creación de modelos, mientras que la modelación es
un proceso que es utilizado en el aula para la enseñanza de las matemáticas (Biembengut
y Hein, 2004). La Figura 6 muestra el proceso de modelación matemática que propone
Biembengut y Hein (1997), el cual se retomó como una estrategia didáctica de enseñanza.
En esta figura, se especificaron los pasos que el docente siguió para su aplicación en el
aula.
Así mismo, en la Figura 7 se visualiza el proceso que realizó el alumnado durante
la modelación matemática. Este esquema señala los pasos que debieron seguir los
alumnos para convertirse en expertos en la construcción de modelos matemáticos y que
son propuestos por Biembengut y Hein (2004).
61
Figura 6. Diseño del proceso de modelación matemática en el aula.
Figura 7. Proceso de modelación, pasos que debieron realizar los alumnos para
construir modelos matemáticos.
De la misma manera en el siguiente cronograma (Véase tabla 3) se observa de
manera general cómo se llevó a cabo la investigación, considerando las cinco sesiones,
las fases de la modelación y las actividades a realizar en cada una de las fases.
62
Tabla 3.
Cronograma sobre la aplicación de los instrumentos. No. de sesión
Fase de la modelación Actividades a realizar Objetivo de estudio
1
Fase 1 y 2. Justificación del proceso y Elección del tema
Introducción al tema por parte del docente
Observar la actitud del alumno ante la situación presentada
Fase 3. Formulación del problema.
Planteamiento de la situación real
Fase 4. Desarrollo del contenido pragmático.
Identificación de los contenidos matemáticos a utilizar. Tarea: Investigación de los conceptos a utilizar.
Registrar las capacidades del alumno para identificar los conceptos básicos e investigarlos.
2 Fase 5. Ejemplos análogos
Explicación de ejemplos análogos a través del uso de la hoja de cálculo Excel
Registrar las capacidades de los alumnos para utilizar herramientas de trabajo y analogías.
3 Fase 6. Formulación de un modelo matemático.
Construcción del modelo matemático que represente la situación planteada.
Registrar las capacidades que desarrollan los alumnos para construir modelos
4-5 Fase 7. Evaluación y convalidación de los resultados
Comprobación del modelo en la situación real. Validación del modelo en otras situaciones. Comunicación de resultados.
Registrar capacidades para aplicar, validar y comunicar modelo construido.
6 Ninguna Ninguna Aplicación de prueba evaluativa y entrevistas
Tomando en cuenta el rol del profesor y de los alumnos, y siguiendo los pasos
señalados en cada uno de los esquemas, a continuación se explica cómo se llevó a cabo el
proceso de modelación matemática en el aula:
a) Primer momento: interacción con el asunto.
Número de sesión: 1
› Fase 1 y 2:
Profesor: Justificación del proceso y Elección del tema
Introducción: Este apartado el profesor lo debió considerar como introducción al
tema a enseñar, en el explicó a los alumnos los contenidos a abordar en clase, que en este
caso ya se eligió, es el tema “relación funcional”
63
b) Segundo momento: Construcción matemática.
Número de sesión: 1
› Fases 3:
Profesor: Formulación del problema
Alumno: Reconocimiento de la situación problema
Actividad 1. (A1). Se les planteó a los alumnos esta situación: “La siguiente tabla
muestra lo que una persona va a pagar por usar una computadora por determinado tiempo
en un café internet” ¿Cómo puede expresarse algebraicamente la relación entre el costo
de uso y el tiempo utilizado?
Tarifa de costo por hora de uso del computador
hrs costo1 $5.002 $10.003 $15.004 $20.005 $25.00
› Fase 4:
› Número de sesión: 1
Profesor: Desarrollo del contenido pragmático
Alumno: Familiarización con el asunto que va a ser modelo-investigación.
Actividad 2. (A2). Se les pidió a los alumnos detectaran los datos que se le otorgó
dentro del problema, para lo cual, les dio unas preguntas guía que les permitió detectar
los conocimientos matemáticos que tenían que utilizar. Estas fueron:
1. ¿Los datos de la tabla son directamente proporcionales? ¿Por qué?
2. ¿Cuáles son los datos que se están relacionando en la proporcionalidad?
3. ¿Cuántas variables se consideran en el problema?
4. ¿Cuál es el patrón que se da entre las horas de uso y el costo?
5. ¿Cuál es la constante proporcional?
6. ¿El costo por usar el computador depende de las horas que lo use la persona?
64
7. Tomando en cuenta que el costo por usar el computador depende de las horas que
lo usen las personas, ¿Cuál consideras que es la variable dependiente y cuál es la
variable independiente?
8. Si “y” representa el costo de uso del computador y “x” las horas ocupadas ¿Cómo
expresarías la relación entre el costo por usar determinadas horas el computador?
(utiliza la hoja de cálculo para representar tal relación).
Actividad 3. (A3). Los alumnos investigaron los conceptos que tenían que utilizar
para poder responder las preguntas guías y encontrar la forma de resolver el problema
planteado, tales como: proporcionalidad directa, razón, constante proporcional, variable,
variable dependiente, variable independiente.
› Fase 5:
› Número de sesión: 2
Profesor: Ejemplos análogos.
Alumnos: Formulación del problema-hipótesis.
Actividad 4. (A4). Para la construcción del modelo matemático solicitado, el
docente les enseñó a los estudiantes algunas fórmulas de Excel como un apoyo para la
construcción de un modelo que representara una función directamente proporcional. Los
alumnos crearon una hipótesis acerca de cómo ellos podrían construir su modelo
matemático utilizando este software. Como apoyo a esta tarea, los participantes debieron
basarse en la interrogante 8 de sus preguntas guía.
1. Si “y” representa el costo de uso del computador y “x” las horas ocupadas ¿Cómo
expresarías la relación entre el costo por usar determinadas horas el computador?
(utiliza la hoja de cálculo para representar tal relación)
› Fase 6:
Número de sesión: 3
Profesor: Formulación de un modelo matemático.
65
Alumnos: Resolución del problema en términos del modelo.
Actividad 5. (A5). Los alumnos buscaron resolver el problema construyendo un
modelo algebraico que permitiera expresar la relación funcional de una proporción
directa (y=kx), donde “y” es la variable dependiente, “x” la variable independiente y “k”
la constante de proporcionalidad. En esta fase, los alumnos utilizaron como recurso de
apoyo la hoja de cálculo de Excel con el fin de obtener su modelo, el cual tenía que estar
expresado mediante una tabla en Excel, una ecuación algebraica y una gráfica.
c) Tercer momento: Modelo matemático.
› Fase 7:
Número de sesión: 4-5
Profesor: Evaluación y convalidación de los resultados
Alumnos: Interpretación de la solución-convalidación.
Actividad 6. (A6). Encontrado el modelo, los alumnos tuvieron que aplicarlo en la
tabla de tarifa del café internet, comprobando que con dicha fórmula podían obtener
cualquier precio dependiendo las hrs de uso de la computadora.
Actividad 7. (A7). El docente explicó a los alumnos que la fórmula encontrada
debía ser universal para cualquier caso de proporcionalidad directa, por lo que dicha
fórmula tuvo que aplicarse a otras situaciones, así el docente dio a elegir a los alumnos
alguna situación real donde éstos puedan verificar si su modelo podía aplicarse en otros
contextos.
Actividad 8. (A8). En una última fase, el alumno realizó un escrito para
comunicar sus resultados, argumentando sus procesos para la construcción de su modelo
matemático.
En la figura 8 se muestra el desarrollo de este proceso de modelación
especificando las fases en las que tanto el docente (recuadros en blanco) como el alumno
66
(recuadros en gris) realizaron para el logro de la construcción del modelo matemático.
Este proceso también puede visualizarse en la planeación correspondiente del profesor
titular de matemáticas (Véase Apéndice F).
Figura 8. Desarrollo del proceso de modelación para la enseñanza de “la relación funcional”.
Sobre la aplicación de las pruebas evaluativas y las entrevistas, éstas fueron
realizadas un después de la aplicación de la secuencia didáctica, se le aplicó a los catorce
alumnos muestra, primero se les pidió resolvieran el ejercicio de evaluación y
posteriormente se les hizo al entrevista de forma personal a cada uno de los estudiantes.
Las estrategias para analizar la información recabada se explican en el siguiente apartado.
3.8 Captura y análisis de datos
Una vez que se realizó la investigación en el aula (siendo ésta el campo de
investigación), y recabada la información suficiente sobre el tema de estudio; se prosiguió
a preparar la etapa tres del diseño metodológico: la etapa analítica (Rodríguez, 1999). En
67
esta etapa se analiza, contrasta y sistematiza la información, a través de diversos
métodos.
Aunque existe una gran variedad de métodos y técnicas para la recolección, Pérez
(1996) piensa que para comprender el caso de la integridad y complejidad de una
investigación, puede ser útil el empleo de tres procedimientos, de los cuales, para esta
investigación, se retomó “La triangulación, el contraste plural de fuentes, métodos,
informaciones, y recursos” (Pérez, 1996, p. 126-127), considerada por Rodríguez (2005),
como el uso de distintos enfoques en una investigación que le permiten al observador
centrarse en las respuestas buscadas. De esta manera, podemos decir que la triangulación
es una forma de comprobar la validez y la confiabilidad de los datos analizados, pues al
comparar diversas fuentes permite la contrastación de resultados, los cuales pueden o no
coincidir.
El propósito de utilizar la triangulación como estrategia de análisis de datos tuvo
doble intención, por un lado fue el de provocar el intercambio de pareceres
(específicamente el de los alumnos, el observador externo y el investigador) y la
contrastación de registros e informaciones; y por el otro, se buscó que el contraste de
información permitiera responder a las preguntas de investigación planteadas en el
capítulo uno, y a su vez, tal como lo menciona Hernández (2006), obtener información
específica para desarrollar las categorías del tema de estudio, que en este caso fueron dos:
el desarrollo de la competencia de modelación matemática, y los contenidos y
habilidades matemáticas desarrolladas con el tema relación funcional.
Cabe mencionar que el tipo de triangulación para la captura y análisis de los datos
recabados en este proyecto de investigación, fue la de “triangulación de datos”, ya que
admite el empleo de distintas estrategias para recabar información (Rodríguez, 2005).
Así, el uso de los registros de observación, el diario de campo (diario pedagógico del
docente), las entrevistas a los alumnos, y las rúbricas de evaluación sobre el desempeño
de los alumnos ayudaron a identificar las competencias matemáticas que los alumnos
desarrollaron durante el proceso de investigación en el aula.
68
Por otra parte, es importante especificar que la triangulación de datos se pretende
realizar en un nivel de “análisis agregado”, ya que sólo se pretende recopilar información
sobre las competencias que desarrollaron los alumnos durante el proceso de modelación
matemática, sin tomar en cuenta los vínculos sociales (tales como el contexto social o
problemas de la comunidad) (Rodríguez, 2005).
Por último, en el esquema de la figura 9, se expone el formato de triangulación
que se utilizó para recopilar la información.
Fuente de
información
Indicador en forma de pregunta
Registro de
observación
Diario de
campo
Entrevistas a
los alumnos
Conclusiones
¿El alumno
identifica los datos
necesarios que permitan
comprender el problema?
Datos Datos Datos Conclusiones
de los datos
Figura 9. Ejemplo de formato para la triangulación de datos.
3.9 Conclusión del capítulo 3
El fin de este apartado fue el de describir la metodología con la que se llevó a
cabo la investigación sobre las competencias matemáticas que los alumnos pueden
desarrollar durante la enseñanza del tema relación funcional a través del proceso de
modelación matemática en el aula. En un primer momento se describió y justificó el uso
de la metodología cualitativa para el estudio de una investigación social-educativa como
lo es este proyecto de investigación. En este mismo apartado, y tomando en cuenta el
enfoque cualitativo, se definió el diseño metodológico de la investigación, el cual fue de
tipo exploratorio. Esto a su vez implicó la elección de la muestra poblacional de tipo no
69
probabilística, eligiendo a un grupo de catorce alumnos con características similares, tales
como grado, edad y desempeño académico.
En apartados posteriores, se detallaron, las dos grandes categorías en las que se
divide el tema de estudio: modelación matemática como estrategia de enseñanza, y el
desarrollo de competencias matemáticas a través del tema “relación funcional”; con esta
información se logró definir las fuentes de información de donde se obtuvieron los datos
suficientes para comprobar la hipótesis del estudio, estos fueron: los alumnos, el profesor
(como agente participante), y el observador externo (como agente no participante). Los
instrumentos para la recolección de la información obtenida de las fuentes fueron la
entrevista, el diario de campo, el registro de observación, y las rúbricas. En el apartado de
aplicación de los documentos, se hace una descripción de cómo y cuándo se van a aplicar
cada uno de ellos.
Por último se enfatizó en el uso de la triangulación como recurso para hacer el
análisis de datos de forma sistematizada y eficaz, justificando su uso por la validez que
genera la contrastación de datos recabados por diversas fuentes de información. Cabe
señalar que el desarrollo de la metodología expuesta en este apartado, es la base para el
desarrollo de los capítulos cuatro y cinco, en donde se desglosa el análisis de datos y las
conclusiones obtenidas del mismo.
70
Capítulo 4. Análisis de Resultados
El capítulo 4 integra el análisis de los datos recabados a través de los registros de
observación, el diario del investigador, los reportes de los alumnos y las preguntas guía
que fueron los instrumentos que se aplicaron para recopilar los datos dentro del campo de
estudio; los cuales fueron analizados mediante la “triangulación de datos”, lo que
permitió en un primer momento, contrastar la diversa información recabada en el estudio
realizado en el campo de trabajo, para posteriormente analizarla, interpretarla y sacar
conclusiones del estudio realizado.
El análisis de este capítulo se realiza tomando como referencia las dos grandes
categorías que surgieron del tema a estudiar, estas son: a) El desarrollo de competencias
a través de la modelación matemática como estrategia de enseñanza. b) Competencias
matemáticas desarrolladas con el tema relación funcional.
4. Presentación y Análisis de Resultados
Como se leyó en el capítulo anterior, para poder recabar la información que
permitiera responder a la pregunta ¿qué competencias matemáticas utilizaron los alumnos
de primer grado de secundaria para favorecer el aprendizaje de la “relación funcional”,
mediante el proceso de modelación matemática?, se utilizaron los siguientes instrumentos
de recolección de datos:
− Actividades de los alumnos
− Registros de observación
− Diario del investigador
− Reportes de los alumnos
− Preguntas guía
71
Así mismo se aclaró que para tener un mejor estudio de la información de tal
manera que ésta pueda catalogarse como verdadera, se emplearía la técnica de
“triangulación de datos”, mediante la cual se iba a realizar un análisis sistemático sobre
las dos grandes categorías que fueron creadas para responder de manera concreta y
precisa a la pregunta de investigación arriba mencionada. Estas son:
− El desarrollo de competencias a través de la modelación matemática como estrategia de enseñanza.
− Competencias matemáticas desarrolladas con el tema relación funcional.
Y además, dentro del capítulo 3 (véase página 59) se especifica que por cuestiones
de recursos de la institución, se tuvo que organizar a dos alumnos por equipo de cómputo
debido a fallas en el sistema de las otras computadoras; así aunque los alumnos
estuvieron trabajando en parejas, el análisis el análisis del estudio siguió conservando su
línea de trabajo individual para cada alumno muestra. Para la presentación de resultados y
análisis de datos se decidió catalogar a los alumnos según el equipo de cómputo utilizado,
por lo que la codificación quedó de la siguiente manera:
− Equipo 1, alumnos A y B − Equipo 2, alumnos C y D − Equipo 3, alumnos E y F − Equipo 4, alumnos G y H − Equipo 5, alumnos I y J − Equipo 6, alumnos K y L − Equipo 7, alumnos M y N
Por último, cabe mencionar que el análisis de cada categoría estuvo basado en las
competencias que los alumnos lograron desarrollar (en menor o mayor grado) durante el
proceso de la modelación matemática. Por lo que la presentación de resultados estuvo
estructurada tomando en cuenta el modelo de Biembengut y Hein (1997) que fue el que
se utilizó para llevar a cabo este proyecto de investigación.
72
4.1. Resultados sobre la categoría: El desarrollo de competencias a través de la
modelación matemática como estrategia de enseñanza.
El uso de la modelación como estrategia de enseñanza se relaciona con el proceso
que siguen los alumnos para desarrollarla como una estrategia de aprendizaje; por lo tanto
(como ya se había explicado en el capítulo 3), mientras el profesor realiza la modelación
matemática como estrategia de enseñanza, tal como lo proponen Biembengut y Hein
(2004): 1) justificación del proceso, 2) elección del tema, 3) formulación del problema, 4)
desarrollo del contenido pragmático, 5) ejemplos análogos, 6) formulación de un modelo
matemático, 7) evaluación y validación de los resultados; los alumnos siguen el proceso
de modelación en tres tiempos: 1) Interacción con el asunto, 2) Construcción matemática
y3) Modelo matemático. Así, el análisis y la presentación de resultados de esta categoría
se dividió en tres sub-categorías referentes a las fases que el alumnado siguió durante la
implementación de la modelación matemática como estrategia de enseñanza.
4.1.1 Interacción con el asunto.
Como primera fase del proceso de modelación, a los alumnos se les planteó una
situación extra-matemática la cual consistía en construir un modelo (en fórmula) que le
permitiera al encargado de un café internet saber el costo por usar una computadora en
determinado número de horas. Los datos que permitieron verificar esta fase de
comprensión por parte de los alumnos sobre lo que se les estaba solicitando fueron
recabados mediante las entrevistas y los reportes de los alumnos.
En la pregunta 2 de las entrevistas realizadas a los alumnos, se les pidió que con
sus propias palabras explicaran el problema que tuvieron que resolver, las respuestas a
ésta se encuentran en la Tabla 4.
73
Tabla 4.
Comprensión del problema (entrevista, pregunta 2)
Pregunta Alumno Respuesta
¿Cuál fue el problema
que te pidieron
que resolvieras?
1A :“ ...Uno de cómputo donde una hora equivalía a cinco pesos, dos a diez, tres a quince, cuatro a veinte y cinco a veinticinco pesos y tenemos que buscar la variable y su proporcionalidad
4G “De cómo sacar la variable independiente, la variable dependiente y la constante”
4H “Este horas y costo… Que la x representa hrs y y costo”
5N “No me acuerdo”
6J “…sacar el costo de las horas del internet”
6I “Que un señor tenía un internet y queríamos saber cuánto debíamos de pagar dependiendo de las horas que íbamos a estar allí”
7N “Que buscara sobre las horas y el costo y sacara la constante”
Así mismo, en los reportes de los alumnos, se muestra como éstos describieron la
situación matemática con la que se inicia el proceso de modelación, enunciando con sus
propias palabras la necesidad de relacionar el número de horas usadas en la computadora
con el costo de las mismas. (Véase Tabla 5)
Tabla 5.
Descripción de la situación matemática
Alumno Respuesta / descripción
2C …sacar una fórmula para calcular cuales son las hrs en internet, sacar la variable independiente…
3E Teníamos que resolver un problema
4H Planteamos un problema de costos y horas, de cómo usar un computador …
5J Nos plantearon un problema sobre cómo sacar una fórmula para sacar los precios sobre las hrs de usar un computador …
6L Un problema sobre costos y horas, teníamos que decir cuánto costaba el uso de computador por determinadas hrs…
Como se puede observar, tanto en las entrevistas realizadas a los alumnos y en los
reportes de los mismos, las respuestas reflejan tres niveles distintos sobre la comprensión
del problema: el más alto, en el que el sujeto comprendió y describió correctamente el
74
problema; el regular, en donde el alumno comprendió el problema pero no lo comunicó
adecuadamente; y el deficiente, en el que el alumno no comprendió lo que se le solicitó
en el planteamiento de la situación extra-matemática.
Al respecto, se ha de recordar que el propósito de presentar la situación
matemática era que el alumno comprendiera el problema y que lo supiera interpretar, ya
que de acuerdo con Biembengut y Hein (1997) para iniciar el proceso de modelación el
sujeto debe tener claro qué es lo que se va a realizar y porque razón lo a hacer. La
competencias que se supone el alumno debió desarrollar fueron dos. 1) La competencia
de comprensión de la situación (inmersa en el proceso de modelación) y 2) la
competencia interpretativa (OCDE, 2006).
Sobre la competencia de comprensión de la situación, el alumno debió
conceptualizar la situación problemática, simplificando los datos para precisar la solución
a la misma. Es decir, que pueda comprender e interpretar el problema para darle una
posible solución matemática (Niss y Blum, 2007b). La competencia interpretativa está
relacionada a las competencias matemáticas que de acuerdo con la OCDE (2006) el
sujeto debió adquirir; a través de ella el alumno demuestra su capacidad para comprender
y entender una determinada situación o problema. Por lo anterior, se puede afirmar que
los alumnos lograron comprender el problema aunque su proceso de comunicación sobre
el mismo no fue del todo correcto. Por un lado, sabían que tenían que encontrar una
fórmula que les ayudara a relacionar los datos de la tabla (horas y costo), pero al
momento de expresarlo, se les dificultó enunciar dicha situación, comunicando
únicamente la necesidad de encontrar el valor de “y”, “el costo” o la “variable
dependiente”.
De acuerdo con el rango obtenido en las rúbricas (Rúbricas No. 1-7), el nivel de
desarrollo de estas competencias fue el de “regular” donde el alumno reconoce y
comprende el problema real pero no es capaz de expresarlo verbalmente. Así mismo,
otras competencias que los alumnos desarrollaron en esta fase fueron dos: la de
familiarizarse con el asunto que va a ser modelo-investigación y la de resolución de
75
problemas la cual implica identificar, analizar y definir los elementos significativos que
resultaran de la situación planteada con el fin de encontrarle soluciones adecuadas
(OCDE; 2006).
Para visualizar el desarrollo de esta competencia se tomó como referencia el rango
puesto en las rúbricas, cuyo nivel máximo era que el alumno lograra identificar los datos
necesarios que le permitieran comprender el problema (Véase apéndice D). Al respecto,
como se muestra en la tabla 5 y en los reportes de los alumnos, se observa cómo los
individuos lograron identificar los datos relevantes del problema: horas, costo, y la
relación entre ambos. En un segundo momento (correspondiente a la fase 2) el alumno
utilizó los datos identificados para la construcción del modelo matemático, tal como se
muestra en el siguiente apartado.
4.1.2. Construcción matemática.
La construcción matemática es la segunda fase del proceso de modelación
realizado por los alumnos, aunque como estrategia de enseñanza abarca las etapas 4,5, 6
(Véase capítulo 3). La finalidad de esta fase fue que el alumno lograra clasificar la
información del problema, identificara la información relevante del mismo, utilizara
conceptos matemáticos que le permitieran plantear una hipótesis, y basado en esto,
generara un modelo matemático (especialmente ecuación algebraica) en donde
estableciera la relación entre las variables que determinaron la situación.
La primera tarea de los alumnos en esta fase fue identificar y comprender los
conceptos relevantes del tema “relación funcional”, específicamente: qué era una relación
proporcional, una variable dependiente, una variable independiente, una constante, un
patrón y una ecuación. Debido a su nivel de desarrollo cognitivo -el de las operaciones
formales, en su fase de inicio-, los alumnos aun no tenían la habilidad para determinar
conceptos que jamás habían manejado. Sin embargo, el docente quien es mediador en el
aprendizaje de los alumnos (Ormrod, 2005), facilitó la conexión de estos conocimientos a
través de las preguntas guía que permitieron orientar al alumno en la construcción del
76
modelo. Lo que se rescata de esta intervención fueron dos cosas: la identificación de
términos desconocidos y la búsqueda de significado de los mismos (Véase Tabla 6).
Tabla 6.
Descripción sobre proceso de búsqueda de información
Equipo Reporte
Equi
po 2
…la maestra nos planteó unas preguntas y nos dijo que podíamos investigar lo que no entendíamos donde pusimos que eran la variable dependiente y la independiente donde también metimos a la proporcionalidad, después compartimos las palabras que no entendimos y al poco rato, la maestra nos dijo que le explicamos lo que entendimos, ya que entendimos todo, analizamos las preguntas y las respondimos para después trabajar con la computadora.
Equi
po 3
Continuación Tabla 5… …la maestra nos dio unas preguntas y una tabla donde venían el costo a pagar por el número de horas que se uso una computadora, se nos pidió respondiéramos las preguntas en equipos de tres y dos personas después de eso analizamos las preguntas en el equipo …la mayoría de las preguntas las logramos realizar solo nos faltaron 3 en las que no entendíamos algunas palabras de ahí, que eran la de la variable, la dependiente y la independiente, ni lo que era un patrón, y constante…luego como se acabo la clase, la maestra dijo que investigáramos que palabras no habíamos entendido para poder contestar todas las preguntas. Al otro día fue cuando seguimos analizando las preguntas y logramos responder todas porque la maestra nos ayudó a entender los conceptos que no sabíamos e investigamos.
Esta situación también se percibió en los registros de observación:
…los alumnos revisan las preguntas e identifican las palabras que
desconocen para investigar de tarea…algunos de los equipos se
distribuyen los conceptos, otros dan la oportunidad de que todos
investiguen todo…el equipo 1 es el más notorio…los alumnos A y B son
los que más reflexionan sobre lo que puede ser el concepto de variable
dependiente y variable independiente y la constante…Los alumnos D, J y
L leen cada pregunta de manera individual y después comparten lo que
77
saben y no saben, todas coinciden en que no saben lo que es una variable
dependiente, una variable independiente ni lo que es la constante… luego
se ponen de acuerdo sobre los conceptos que cada una traerá; …Los
alumnos C y E analizan y comparten dudas, las dos coinciden en que los
términos que no comprenden son los de las variables y la
constante…piensan que un patrón es una fórmula” (registro de
observación 2).
Y coincide con lo escrito en el diario de campo del investigador, quién expuso
que:
El alumno A ha conjeturado por el propio nombre de los términos a que
hacen referencia, él dice que una constante le suena a constancia y es que
siempre hace lo mismo, por lo que supone que la constante es un numero
que nunca cambia, el equipo donde se encuentran los alumnos D, J y L
leyeron las preguntas y después platicaron sobre las palabras que no
entendían, e hicieron un listado de ellas dentro de las cuales se encuentran:
variable dependiente, variable, variable independiente, constante,
proporcionalidad, patrón. Otro equipo que resaltó la identificación de los
mismos conceptos fue el conformado por los alumnos G y F, quienes
identificaron las palabras claves, a diferencia de los demás equipos, entre
ellos, a través de analogías personales intentaron definir los términos que
desconocían. La conversación que sostuve con el alumno F fue la
siguiente:
Alumno:-Maestra verdad que si es constante es porque permanece igual-
maestra- ¿Por qué lo dices?
Alumno: Porque en la pregunta 7 dice que cuál es la constante
Maestra: Bueno tú puedes relacionar el término con lo que nosotros
hacemos cotidianamente, pero ¿matemáticamente significará lo mismo?
Alumno: Pues yo creo que si porque constante es que es el mismo.
Maestra: Bueno, entonces si tienes duda anótala como palabra a investigar
78
Alumno: Si ya lo hice, solo quería ver si iba por buen camino. También
creo entender que es variable dependiente e independiente
Maestra: Bueno pues hora que realices tu investigación sabrás si estas en
lo correcto o no, ¿te parece?
Alumno: Si maestra” (diario del investigador, No. 2)
Identificados los términos, el alumno tenía que plantear una hipótesis que lo
llevará a encontrar una posible solución al problema. Sin embargo, esta fase no podía
desarrollarse si el alumno no lograba comprender adecuadamente los conceptos
necesarios que le ayudaran a relacionar los datos del problema. Para tal efecto, el docente
dentro de la estrategia de enseñanza les solicitó a los alumnos que investigarán los datos
identificados, pero la mayoría de los alumnos no cumplió con la tarea, por lo que, los
alumnos que la trajeron compartieron con sus compañeros su investigación, tratando de
socializar las ideas sobre la comprensión de lo escrito. Aunque tal acto no fue sufriente
para que los alumnos comprendieran los conceptos, ni la relación existente entre ellos.
Ante esta situación, como experto en el tema, el docente tuvo que intervenir
orientando a los alumnos en la construcción de cada concepto clave a través de preguntas
de orientación y de ejemplos análogos - tal como lo sugiere el modelo de Biembengut y
Hein (1997) –. El nivel de comprensión de los conceptos relevantes se visualiza en el
manejo de los términos en las entrevistas (Véase Tabla 7).
Tabla 7.
Manejo de los conceptos clave
Pregunta 7. ¿Cuáles eran los datos que necesitabas relacionar para comprender y resolver el problema?
E1A: “las horas y el costo y la constante” E1B: “la constante, las variables, dependiente e independiente, la variable dependiente era el costo y la independiente eran las horas” E2C: “la constante, la variable dependiente e independiente” E3E: “las horas y el costo”
79
E4G: “la variable independiente, la independiente y la constante” E4H: “horas y costo”E5J: “Las hrs y el costo con la constante” E5I: “El costo y las horas” E6K: “Las horas y el costo” E7M: “la constante con la variable independiente” E7N: “Sacar la variable dependiente e independiente y después con la constante” (entrevistas, No. 1A, 1B, 2C, 3E, 4G, 5I, 5J, 6K, 7M Y 7N)
Dicha comprensión también fue palpable en los reportes de algunos alumnos, la
figura 10 muestra la conceptualización del equipo conformado por los alumnos L, I y J.
Figura 10. Conceptos del alumno E6K escritos en su reporte durante la fase 1 del proceso de modelación matemática como estrategia de enseñanza (reportes de alumnos, no. 6).
Otra evidencia sobre el desarrollo de esta competencia matemática se observa en
los registros del diario del investigador-docente:
…así, el equipo que hizo más análisis dentro de su investigación fue el de
los alumnos F, G y H. Este equipo llegó a la conclusión de que la variable
dependiente “dependía” de la variable independiente y de la constante,
manejaron esta última como un número que se repite y permanece para
obtener la variable independiente (diario del investigador, no. 1).
80
Por su parte, el equipo conformado por los alumnos A, B, M y N
concluyeron que el costo dependía del número de horas que era utilizada
la computadora y bajo este razonamiento ellos relacionaron su
información investigada e indicaron que la variable dependiente era el
costo y la independiente las horas de internet, además en un segundo
análisis coincidieron que la constante era cinco, puesto que cada hora que
pasa se va aumentado cinco pesos (diario del investigador, no. 1).
Tomando como referencia las evidencias presentadas de los diarios del
investigador, reportes de alumnos y las entrevistas; se concluye que los alumnos logaron
identificar, analizar y comprender el concepto de variable dependiente, independiente,
constante y proporcionalidad. Estas habilidades tienen que ver con el desarrollo de la
competencia de resolución de problemas, en un nivel más complejo que en fase 1
(identificación del problema real), que de acuerdo con la OCDE (2006), se refiere a la
capacidad del alumno para clasificar la información identificando los hechos relevantes,
determinando los factores a ser perseguidos, y con base a ellos plantear una hipótesis que
permita darle una posible solución al problema.
A su vez, la práctica de dicha competencia permitió el desarrollo de otras como la
búsqueda de información (OCDE, 2006), en la que el alumno tuvo que ser capaz de
investigar en diversas fuentes (formales e informales) los conceptos que le ayudaron a
comprender y relacionar los datos del problema.
También resalta el desarrollo del aprendizaje permanente (Delors, 1996), en
donde el alumno mostró su capacidad para generar su propio aprendizaje de los
conceptos, como se muestra en los diario del investigador, en donde, algunos alumnos
llegaron a realizar analogías con sus compañeros para comprender mejor los conceptos, y
por lo tanto también se vinculó con la competencia del trabajo colaborativo (OCDE,
2006), permitiendo que los alumnos estuvieran trabajando en equipo, compartiendo ideas
y haciendo aportaciones para identificar y comprender los conceptos matemáticos
necesarios.
81
Por otra parte, continuando con la presentación y análisis de los resultados; se ha
de conocer que una vez que el sujeto fue capaz de identificar y comprender los términos,
debió de plantear una hipótesis en la que enunciara como iba a expresar la relación
proporcional de los datos. Para la construcción de esta, los alumnos se basaron en las
preguntas guía que el docente les planteó en un inicio, la forma en que los alumnos
relacionaron los datos se presenta en la Tabla 8.
Tabla 8.
Comprensión de términos (Preguntas guía).
Pregunta 9: ¿Cuál es el patrón que se da entre las horas de uso y el costo? - “…cada hora hay que multiplicarla por cinco que es el costo de cada hora…el costo depende de las horas (alumno A)”
- “…la relación proporcional es de cinco en cinco, por cada hora hay que aumentarle cinco…” (alumno C)
- “El aumento es de cinco en cinco ya que por cada hora se va aumentando esta cantidad….” (alumno E)
- “dependiendo de las horas es el costo que se pagará” (alumno G). - “La proporcionalidad va en aumento de cinco en cinco” - “…dependiendo del tiempo es lo que se va a gastar” (alumno H)
(preguntas guía, no. 1,3,4,5,7)
Así mismo, en las preguntas 8 y 9 de las entrevistas realizadas a los alumnos
también se observa la forma en cómo relacionaron los datos del problema (Véase Tabla
9). En las respuestas otorgadas a la pregunta 4 de las preguntas guía se observa que los
alumnos saben que el costo depende del número de horas, ya que si esta aumenta, el
precio también lo hará pero de manera proporcional a las horas aumentadas; además en
las entrevistas también se puede observar como algunos alumnos ya empezaron a
vincular los datos del problema con los factores que interviene en una relación
proporcional, que son variable dependiente, variable independiente y constante. Por lo
tanto, saben que el valor de la constante es fijo, aunque en algunos casos lo confunden
con la variable independiente pues toman a la constante como el valor unitario de la
relación horas–costo. La relación de datos es un inicio para la construcción del modelo a
fabricar.
82
Una vez que se identificaron los datos y se planteó una hipótesis con los mismos,
el sujeto debió seleccionar las variables relevantes y los símbolos apropiados para
representar la relación encontrada. Sobre la selección de variables los alumnos
reconocieron dos: variable dependiente (es el costo) y la variable independiente (horas)
así mismo reconocieron una constante que era 5, (Véase entrevistas no. 1A, 1B, 2C, 3E,
4G, 5J, 6K, 6L, 7M Y 7N).
Tabla 9.
Respuestas de los alumnos sobre la relación entre los datos del problema y los términos matemáticos que permitieron plantear la hipótesis.
Alumno
Preguntas de la entrevista P8: ¿Cuáles eran los datos que te
necesitabas relacionar para resolver el problema?
P9: ¿Cómo le hiciste para relacionar los datos que te dieron?
E7N
La constante con la variable independiente y la dependiente.
Usamos una formula en la que la constante se multiplica por la independiente para que nos diera la dependiente
E5J Las horas y el costo con la constante Multiplicando los dos, las hrs y el costo para sacer el resultado
E6L costo y las horas No me acuerdoA1B La constante y las variables
dependientes e independientes, la variable dependiente era el costo y la variable independiente eran las horas
No respondió
E7M La dependiente e independiente, con la constante proporcional.
Para saber cuánto íbamos a cobrar teníamos que multiplicar la constante por el número de horas a ocupar y así sacamos la variable dependiente que era el costo.
E4G Las horas y el costo multiplicamos las horas por la constante porque vimos que cada hora aumentaba el costo cinco pesos si aumentaban las horas
E3E la constante y las variables independiente y dependiente
los datos de las horas las multiplicamos por la constate para obtener el costo, porque cada hora aumentaba siempre cinco pesos que vimos que era la constante
E2C El número que es la constante proporcional con las horas y el costo
poniendo que las horas eran variable independiente y el costo era variable dependiente, dependiendo del número de horas es el costo que se iba a dar, pero como el aumento era de cinco en cinco pues dijimos que esa era la constante…porque no cambio nunca
E1A Las horas con el precio y de ahí sacamos la constante proporcional.
Usamos las horas con la constante y con ellas sacamos el costo del internet
E6K las horas y el costo Pues nada mas como decía que una hora, dos, tres y cada hora aumentaba cada que aumentaba era por cinco y esa era la constante que se multiplicaba por las hrs y eso nos daba el costo.
83
Con respecto a la selección de símbolos apropiados para la expresión del modelo,
los alumnos lo realizaron través de dos momentos: 1) usando la hoja de cálculo, y 2)
usando sus preguntas guía. El uso de la hoja de cálculo fue un tema nuevo y divertido
para los alumnos pues desconocían incluso el programa, por lo que “los alumnos fueron
orientados por el docente para que entendieran como realizar operaciones y fórmulas en
la hoja de cálculo” (registro de observación, no. 3).
Las instrucciones para la construcción del modelo en dicho software, era que los
alumnos construyeran su tabla (horas, costo) y que lograran encontrar una fórmula
matemática a través de una función en Excel que permitiera saber el costo de
determinado número de horas. Así los alumnos tenían que representar la función
matemática que al aplicarse a determinada celda (que sería la variable dependiente) diera
como resultado el costo por horas. Las figuras 11 y 12 se muestran los trabajos realizados
por los alumnos en la hoja de cálculo Excel, en donde se observa en un primer momento,
la dificultad de éstos para representar la constante y crear la fórmula en el programa.
Figura 11. Intento del equipo E5 por construir
la formula que relacione los datos del problema.
Figura 12. Intento del equipo E7 por
encontrar la fórmula en Excel
Ellos mismos lo expresan en sus reportes de trabajo:
lo que más se me dificultó fue encontrar la variable dependiente,
independiente y constante en Excel (alumno G)….se me complicó hacer la
84
fórmula en Excel porque no sabía cómo acomodar la constante (alumno
C)….., a mí se me hizo difícil poner la constante porque si sabía que era
cinco pero no era el cinco que venía en la parte de las horas que es la
variable independiente (alumno J)…pensábamos que multiplicando los
números de la variable independiente por la celda que tenía cinco el
resultado nos iba a salir y si nos salió, pero la maestra nos eliminó la celda
donde estaba 5 horas y ya no supimos como representar su valor ( alumno
N)
Esta problemática también se observó en los diarios del investigador:
…los alumnos del equipo 7 y 6 estaban consientes de que las horas tenían
que multiplicarse por cinco , sin embargo no sabían cómo expresar la
relación mediante una fórmula en Excel, ya que ellos multiplicaban la
celda que representaba la variable dependiente por otra de la variable
independiente que tenía el numero “5”….los alumnos de los equipos 2 y 4
tuvieron dificultades para relacionar las celdas con los factores del modelo
(variable dependiente, independiente y constante)…tanto a los alumnos A,
E, J, K, L, M y N; el docente intervino para que los alumnos lograran
(mediante preguntas de orientación) seleccionar un número fijo como la
constante de la relación proporcional (diario del investigador, No. 3).
Al final, los equipos 3, 4, 6 y 7 fueron los primeros en construir su fórmula, los
demás equipos fueron orientados por el docente y sus compañeros, con esta fórmula los
alumnos ahora tenían que representar la relación proporcional mediante una gráfica en
Excel; y posteriormente encontrar la ecuación algebraica que representara la misma
relación proporcional. Sobre la primer actividad, la construcción de una gráfica, los
alumnos retomaron conocimientos previos sobre la construcción de gráficas que les
enseñó su profesor de taller de tecnología educativa; así no fue tan difícil representar los
datos, aunque como se verá más adelante, no todos lograron realizar adecuadamente este
proceso.
85
Para la construcción de la ecuación, en los registros de observación se observa
como después de construir la fórmula en Excel, para los alumnos fue más fácil construir
la ecuación algebraica:
los alumnos del equipo 7, N y M, se fijaban en la relación que habían
formado con la fórmula de Excel y utilizaron las mismas operaciones para
expresar la fórmula, solo que en esta ocasión tenían que definir con un
signo la variable dependiente… lo mismo le sucedió a los alumnos de los
equipos 4, 5 y 6, (registros de observación. no. 4).
En las figuras 13 y 14 se percibe en el trabajo de los alumnos, no sólo la selección
de variables sino también la representación del modelo en sus tres formas (ecuación, tabla
y gráfica).
Figura 13. Trabajo terminado en la Hoja de cálculo Equipo E5, se observa la construcción de su tabla, la identificación de las variables con los símbolos
apropiados, la ecuación algebraica y la grafica en cuyo eje x se encuentran los datos de la variable dependiente y en y los de la variable independiente.
86
Figura 14. Trabajo terminado en la Hoja de cálculo del Equipo E4. En este se observa la construcción de la tabla, la ecuación algebraica y la gráfica en cuyo eje x se encuentran los datos de ambas variables (dependiente e independiente).
El tipo de competencias que se identificaron durante este proceso de construcción
del modelo, tienen que ver con las competencias que de acuerdo con la OCDE (2006) el
sujeto debe desarrollar durante el proceso de enseñanza y aprendizaje en la escuela. En
primera instancia, y como puede observarse en los trabajos de los alumnos, así como en
los registros de observación y en los diarios del investigador, el sujeto logró resolver el
problema al representar un modelo que expresara la relación funcional de los datos de la
situación trabajada. De esta manera, nuevamente se identificó la competencia de
resolución de problemas pero en un nivel más desarrollado, ya que el sujeto no sólo
comprendió y planteó el problema sino que además le dio solución (ODCE, 2006).
A través de estos instrumentos, también se logró reconocer el uso del lenguaje
técnico y simbólico a través del cual los alumnos lograron construir y explicar su propia
ecuación algebraica. Además esta competencia permitió que los alumnos lograran
conocer y utilizar la hoja de cálculo como un material de apoyo a su aprendizaje,
favoreciendo la construcción de su modelo matemático. Si bien, esta competencia no se
desarrolló del todo, debido a las dificultades que tuvieron los alumnos para aprender a
utilizar el programa, al menos permitió que el alumno la adquiriera.
87
Ahora, construido el modelo, el siguiente paso fue que el estudiante explicara en
términos matemáticos el proceso realizado. El desarrollo de esta competencia se observa
en los reportes de trabajo de los alumnos (véase Tabla 10). En estos reportes se puede
observar que los alumnos matemáticamente relacionan relacionar los datos por medio de
las variables y su representación simbólica (x,y).
Tabla 10.
Reportes de los alumnos, equipos 4, 5 y 6.
(Rep
-E6)
“Luego la maestra dijo que encontráramos una fórmula para saber cuánto tienes que pagar por usar una o varias horas la computadora. Cuando acabamos dijo que encontráramos una ecuación que relacionara los datos del problema, nosotros lo sustituimos con “x” y “y” y pusimos la constante 5 que multiplicaba a “x”
(Rep
-E5)
“en Excel buscamos una fórmula para saber la relación entre el costo y las horas, para la cual tuvimos que tomar en cuenta la constante que era cinco y después realizamos una gráfica en donde se observaba el incremento del costo según el número de horas, luego hicimos una fórmula simulando las horas y el costo en una ecuación , la cual las horas las representamos con “x” y el costo con “y” y nuestra constante con el número 5, al final nuestra fórmula quedó y=5x”
(Rep
-E4)
“…empezamos a buscar la constante que en este caso era cinco. También buscamos la relación entre las variables y su semejanza con la fórmula de Excel porque relacionaba los mismos datos, el patrón a seguir era multiplicar las horas que eran las “x” por la constante cinco y con eso teníamos el valor de “y”…”.
Esto también se visualiza en los registros del observador externo, en donde se
describe el desarrollo de la construcción de la ecuación:
“los alumnos C y D se les dificulta saber cómo realizar la fórmula
(ecuación)…la profesora tiene que ir guiando y retomando sus
conocimientos previos , no tienen claro el concepto de ecuación que les
permita dar respuesta a lo elaborado…el alumno M logró formular
rápidamente la ecuación en donde se expresan la relación entre los
datos…el alumno J comprende los conceptos y los elementos (variable
dependiente, independiente y constante) y logra relacionarlo mediante una
tabla y una gráfica, pero tiene que ser orientadas para la construcción del
problema” (registros de observación. 4)
88
Sobre esta fase, cabe rescatar la capacidad de los alumnos por utilizar el lenguaje
algebraico y expresar de forma correcta la fórmula; pues aunque estuvieron apoyados de
las preguntas guía, al final, su habilidad de relacionar la terminología de forma correcta
fue lo que favoreció la construcción del modelo matemático algébrico. Así mismo, se
toma en cuenta el nivel de comunicación y argumentación que empezaron a tener los
alumnos para explicar el origen de su modelo.
4.1.3. Modelo matemático
La tercera fase del proceso de modelación realizado por el docente como
estrategia de enseñanza es acerca del análisis del modelo matemático. En donde el
alumno tuvo que validar su modelo, evaluar los resultados y redactar un reporté de lo
realizado. Sobre la validación del modelo, el alumno debió demostrar a través de una
serie de pasos y con fundamentos matemáticos, cómo surgió su modelo matemático.
Dentro de los reportes de trabajo de los alumnos se muestra el del equipo 6:
… un problema sobre un café internet en donde teníamos que encontrar la
variable dependiente e independiente y relacionarla mediante una tabla en
donde se indicaba el cobro del internet según el número de horas que se
ocupara la computadora….para lo cual nos basamos y respondimos en
unas preguntas que la profesora nos dictó de donde sacamos los conceptos
que no entendíamos y los investigamos y los analizáramos con nuestro
equipo….copiamos la tabla en donde pusimos horas y costo para
relacionarlas indicando que por una hora se cobra cinco pesos, por dos
diez, por tres quince…después la maestra nos pidió que encontráramos la
fórmula que permitía obtener a través de las horas y la constante que era
cinco, el costo. Esta fue y=5x porque y era la variable dependiente que era
el costo y x las horas, y luego multiplicamos 5 por las horas para que nos
diera el costo, ya que el aumento era para cada hora de cinco en
cinco…creamos una gráfica y otra fórmula que representara la misma
relación y luego ocupamos la misma fórmula creada para representar otro
89
problema que era de cuanto costaba cierto número de chocolates pero
ahora la constante era dos pesos que era el costo de cada chocolate…
(Reporte de trabajo, no. 6).
Este reporte es evidencia del proceso de comunicación que tuvieron los alumnos
sobre la construcción del modelo matemático, que sirvió para expresar la relación
funcional de tipo proporcional de dos variables. En él también se pudo visualizar el nivel
de argumentación que tuvieron los integrantes del equipo para explicar cómo surgió su
fórmula; prueba de ello fueron las respuestas que dieron los alumnos a la pregunta tres de
las entrevistas (Véase Tabla 11), en estas también se demuestra la capacidad para
argumentar la relación que existe entre los datos del problema y los conceptos
matemáticos utilizados. Tabla 11.
Argumentación sobre las soluciones de la situación extra-matemática.
Alumno Pregunta 3: ¿Cómo le hiciste para resolver el problema (construcción de fórmula)?
E 1-A
…Fuimos viendo como se podía ir dando la proporcionalidad, vimos que las horas se relacionan con el precio y saque la proporcionalidad”-¿cómo le hiciste?- “pues por cada hora que pasaba aumentaba el costo cinco pesos porque esa es la contante, entonces si quería saber el costo de tres horas pues multiplicaba tres por cinco que era el precio por hora.
E2- C …poniendo que las hrs eran la variable independiente y el costo era la variable dependiente,- ¿y luego?- pues dependiendo del tiempo que se tardara en el internet era el costo que se iba a tener.
E3- E …usando los datos que nos daba la tabla de proporcionalidad- ¿cómo?- si, mmm si una hora cuesta cinco pesos, si son más horas ese cinco multiplica a las horas para saber el costo de determinado tiempo.
E4- H …multiplicar las hrs por el costo unitario que es 5, -¿por qué?- porque cada hora aumenta cinco pesos, entonces va de cinco en cinco, es una proporcionalidad.
E4-G …se relacionaba la variable dependiente e independiente. -¿cómo?-si era como una regla de tres pero como cada hora siempre aumentaba cinco pues entonces la variable dependiente salía de multiplicar las horas que son la variable independiente por cinco.
E5- J …multipliqué las hrs y el costo, que es la constante 5, para obtener el costo del café internet.- ¿por qué?- porque si una hora cuesta cinco pesos, para saber las demás horas hice una regla de tres, en donde al final solo multiplicaba las horas por el costo que era cinco pesos.
E7-N …se tenía que saber la variable dependiente e independiente, y después se multiplicaba el costo único que es la constante, por la variable independiente para obtener el costo.
E7- M …a través de una fórmula, tenía que multiplicar la constante por la variable independiente para obtener la variable dependiente.
90
Sobre la eficiencia del alumno para validar su modelo por medio de la
comparación con otros modelos, en las figuras 15 y 16 se muestra como los alumnos
desarrollaron sus propias situaciones con las cuales pudieran comprobar su modelo
matemático.
Figura 15. Problema del equipo 3 en donde los alumnos relacionaron el costo de
determinado número de plumas.
Figura 16. Problema planteado por el equipo 1 en donde relacionan el número de
helados que vende un camión.
91
Esto mismo se observa en las entrevistas en donde a los alumnos se les cuestiona
si la fórmula que ellos construyeron puede servir para plantear otras situaciones, a lo que
ellos respondieron en su mayoría que sí (Véase Tabla 12).
Tabla 12.
Aplicación de la fórmula y= kx
Pregunta Alumno Respuesta
¿La fórmula que construiste sirve para establecer cualquier relación entre dos cantidades?
5J …si porque el valor de x y y pueden variar aunque siguen representando a la variable dependiente e independiente…
1B …si porque necesitas dos variables y en datos donde ambos aumentan necesitas las variables y la constante…
4G …si porque así ya sabes cuando quieres saber un precio pues con la fórmula ya nada mas pones los datos…
3E …pues sí, porque permite saber cómo van aumentando las cosas de manera proporcional…
2D si porque como estableces relaciones entre las variables y cuando necesitas un dato más grande, pues con la formula se facilita el proceso
1A …es lo mismo porque en cualquier precio que se busque como este depende del número de cosas que compremos o se aumenten pues tenemos que relacionar los datos y su constante
6L …si porque puede ser cualquier cantidad la que represente la letra x que es la variable independiente y con eso se puede obtener los dato de la letra y que es la dependiente…
Se ha de comentar por lo datos presentados, que los estudiantes lograron crear sus
propias situaciones en donde establecieron la relación funcional que existe entre los datos
del nuevo problema. Para lo cual siguieron el mismo procedimiento, solo que empezaron
desde la creación de su situación problemática, y después con la identificación de las
variables para posteriormente construir el modelo, en donde utilizan la misma relación
entre los datos generados del problema.
92
4.2. Resultados sobre la categoría:
Competencias matemáticas desarrolladas con el tema relación funcional.
Los resultados de las evidencias para esta categoría enfatizan el hecho de conocer
cuáles son las competencias matemáticas que los alumnos desarrollaron al abordar el
tema relación funcional, independientemente de cómo lo hicieron. Por tal razón, se
presentan como evidencias principales las actividades 1 y 2 del trabajo hecho en la hoja
de cálculo, así como las dos pruebas de evaluación sobre los conocimientos y habilidades
desarrolladas por los alumnos, aplicadas después de la realización del proceso de
modelación, las cuales se han codificado de la siguiente manera: cuestionario A y
cuestionario B.
Para su análisis, esta categoría se dividió en tres sub-categorías: Aprendizaje del
contenido matemático, Implicación de conocimientos matemáticos y Desarrollo de
competencias matemáticas.
4.2.1 Aprendizaje del contenido matemático.
Mediante esta sub-categoría, se pretendió saber que logró conocer el alumno
acerca del término relación funcional. Por tal razón se tomó en cuenta la pregunta 2 de las
entrevistas (Véase Tabla 13).
Al respecto, como indican los datos de la tabla, la mayoría de los alumnos
comenta que aprendió a obtener la variable dependiente, independiente y la constante; sin
embargo no indican cuál fue el tema a bordar, así como tampoco que el mayor
aprendizaje que ellos adquirieron fue establecer la relación funcional de tipo proporcional
de los datos. Pese a esto, se ha de comentar que el aprendizaje adquirido fue implícito,
puesto que en su mayoría, los alumnos lograron establecer la relación que se da entre las
variables y la constante cuando se les presenta una situación directamente proporcional,
logrando desarrollar el razonamiento proporcional (que era el objetivo principal del
tema). Esto coincide con lo que Diez-Palomar (2007) indica sobre el desarrollo del
93
razonamiento proporcional, señalando que este tipo de razonamiento lo desarrollamos al
momento de comparar cantidades u objetos, en el que “intervienen diversos elementos
como la creación de unidades nuevas, relación entre dos cantidades y la regla de tres”
(Diez-Palomar, 2007, p. 156).
Tabla 13
Aprendizaje adquirido por los alumnos.
Pregunta: ¿Qué aprendiste?
Alumno Respuestas
1B “la proporcionalidad y su relación con la constante y las variables dependiente e independiente.”
2D “como sacar la variables y la constante a través de la proporcionalidad.”
3E “temas de proporcionalidad, la relación proporcional de los datos.”
4H “como sacar la variable dependiente la independiente y la constante.”
4G “como sacar la variable dependiente, variable independiente y la constante.”
5I “la constante, la variable independiente y la dependiente.”
5J “Como sacar las ecuaciones mediante una tabla con datos proporcionales.”
6K “aprendí como utilizar Excel, sacar fórmulas y cuáles son las variables y la constante.”
6L “como realizar problemas en programa de Excel.”
7M “proporcionalidad”
7N “fue una tabla de horas y constante teníamos que sacar la constante variable dependiente e independiente.”
Sobre la comprensión de la relación funcional que existe entre dos variables, se
retoman los resultados obtenidos de las entrevistas y el cuestionario A. Con respecto al
primero, se retoma la pregunta 3 y 12 con el fin de conocer cuál había sido el grado de
comprensión del alumno sobre la relación funcional que existe en cualquier situación, es
decir, si habían encontrado algún significado al establecer la relación entre los datos, por
lo escrito por ellos, se puede decir que pese a que a esta edad los alumnos aún presentan
dificultades para establecer relaciones entre cantidades (Diez Palomar, 2007), a través del
uso de la modelación, esta situación no se detectó en las respuestas otorgadas por los
94
alumnos, en donde generalizan la fórmula para todas aquellas relaciones proporcionales
que tienen un aumento directo en ambas cantidades de la situación. Por tal razón, los
alumnos explicaron que la fórmula construida si se puede aplicar para situaciones de esta
naturaleza (Véase tabla 14).
Tabla 14.
Respuesta a la pregunta 3 y pregunta 12 de la entrevista para los alumnos.
Pregunta Alumno Respuestas ¿Esta fórmula sirve para establecer cualquier relación entre dos cantidades? ¿Por qué?
E1B “Sí, porque necesitas las dos variables porque si solo tienes una variable no se establece ninguna relación.”
E2D “Sí, porque facilita la obtención de resultados de variables dependientes cuando hay una variable independiente y una constante.”
E3E “Sí, porque me permite utilizarlo en otras situaciones como en este caso si los dulces cuestan tres pesos puedes sacar el costo de varios dulces.”
E4G “Si, si nos ayuda en saber cuánto cuesta cierta cantidad de cosas árboles, casas, lápices, cuadernos o otras cantidades que se relacionen.”
E5I “Sí, porque podemos saber los resultados de cualquier situación establecida con proporcionalidad directa.”
E5J “Sí, porque el valor de x y y representan a las dos variables que puede ser cualquier cantidad relacionada.”
E6K
“Sí, porque puede ser cualquier número para establecer cualquier cantidad…por ejemplo x podía ser el número de aretes que vende una señora y y el costo por producto según la cantidad a comprar.”
E6L “Sí, porque ya nada más seria cambiar el cinco por el número principal que se relaciona con la variable independiente para obtener la dependiente”
E7M “Sí, porque sería lo mismo si me pusiera otro problema con la misma relación de datos.”
E7N “Si, a mi equipo y a mí nos ayudo a saber los costos, para lo cual se multiplico de cinco en cinco.”
La forma en cómo los alumnos lograron o no establecer la relación funcional de
los datos se percibe a través de las repuestas que dieron los alumnos en la pregunta tres
del cuestionario A la cual se visualiza en la figura 17.
95
› Observa la gráfica, ¿Cómo se relaciona el número de horas con el número de botellas lavadas por la máquina?
Figura 17. Gráfica poligonal lineal que permite establecer la relación entre las botellas lavadas en determinado número de horas.
Las respuestas a dicha cuestión se pueden observar en la Tabla 15, en donde los
alumnos establecen la relación de los datos de la situación extra-matemática presentada.
Tabla 15.
Tipo de relación funcional que establecen los alumnos con la situación planteada en el cuestionario A.
Pregunta: ¿Cómo se relaciona el número de horas con el número de botellas lavadas por la máquina?
Alumno Respuestas
E2D “…que por cada hora se la van 960 botellas así que mientras haya sumando la cantidad va aumentando el número de botellas proporcionalmente.”
E7N “…el de las horas es de pendiente y las botellas son independiente.”
E6K “…se relaciona porque es consecutiva las veces y la variable es igual.”
E1B “…que cada vez que pasa una hora la cifra de botellas aumenta.”
E3E “…que va siendo proporcionalmente…si una hora se lavan 960 botellas en dos son el doble, en tres horas el triple y así…”
E2C “…pues que dependiendo el tiempo, es el número de botellas que va a lavar.”
E5J “que cada hora se lavan 960 botellas y mientras aumentan las horas aumentan el número de botellas lavadas.”
96
Ruiz y Lupiáñez, (2009) y Díaz de León (2007) decían que uno de los mayores
problemas que presentan los alumnos al resolver problemas relacionados al razonamiento
proporcional, era el de comparar y relacionar dos cantidades en una determinada
situación; sobre todo cuando se pretende expresar la conexión existente entre dos
variables para analizar o predecir un determinado fenómeno o situación real. Sin
embargo, tal como se muestra en los datos arrojados de la pregunta 3 (tabla 4. 8), los
alumnos tuvieron la capacidad de relacionar los datos del problema, aunque en un nivel
de desarrollo del razonamiento proporcional cualitativo (Rodríguez y Pérez, 2003), en la
que el sujeto primero establece en forma verbal la conexión de los datos, pues si se
observa, ninguno de los alumnos logró establecer la relación de forma inmediata a través
de una representación simbólica (como una ecuación).
Lo anterior no significa que el alumno no haya logrado desarrollar competencias,
por el contrario, dentro del análisis de estos datos se pueden ubicar tres de ellas: la de
demostración, comunicación, y el uso de lenguaje simbólico (OCDE, 2006). Dichas
competencias se desarrollaron porque tienen algo en común: la codificación de los datos
presentados, esto es, la comprensión de lo que significa la gráfica y sus elementos. Sobre
la primer competencia, la demostración, se observa que el alumno fue capaz de
interpretar la representación gráfica que se le otorgó, además también pudo expresar la
relación que se establecía a través de las gráficas (habilidad inmersa en la competencia de
comunicación) y por último, en las respuestas se refleja el uso de lenguaje técnico
matemático, que tiene que ver con la competencia de utilización de operaciones y
lenguaje técnico, formal y simbólico.
4.2.2. Implicación de conocimientos matemáticos.
Sobre los resultados arrojados para analizar esta segunda sub-categoría, por medio
de la cual se pretendió saber si el alumno utilizó el lenguaje algebraico para relacionar
dos variables y su crecimiento proporcional; se ha de mencionar que se destacan los
resultados de los cuestionarios evaluativos realizados a los alumnos para visualizar el
97
desarrollo de esta competencia. En el ejercicio P5 del cuestionario A se le pidió al
alumno expresar a través de una fórmula la relación entre x y y (horas y botellas). El tipo
de modelos construidos por los alumnos se muestran en la figura 18.
Figura 18. Respuestas de los alumnos sobre el cuestionario A – P5, en el cual crearon su modelo matemático sobre la relación que existe entre el número de botellas que se lavan en determinado tiempo, son las mismas variables, pero expresado de diferentes maneras.
Sobre el cuestionario B a los alumnos se les planteó otra situación en la que tenían
que elegir la opción que la representara algebraicamente (Véase apéndice A, P2). Al
respecto, los alumnos J, M, G, D, E, B, y C, lograron relacionar a través del lenguaje
algebraico los datos del problema eligiendo la opción correcta, que era el inciso B, cuya
ecuación fue “y= (1/10) x”; los alumnos N, L y E escogieron la opción del inciso D cuya
ecuación era “y= 10x”.
Como se dijo en el apartado anterior, una de las competencias matemáticas
indispensables para el aprendizaje del alumno es la de hacer uso del lenguaje técnico,
formal y simbólico matemático, a través del cual, el sujeto pueda comunicar, argumentar,
representar y modelar diversas situaciones. Una forma de adquirir esta competencia tiene
que ver con el desarrollo del razonamiento proporcional de tipo cuantitativo, a través del
cual, el sujeto es capaz de establecer relaciones que representen determinada situación
(Díaz de León, 2007). Cuando el alumno es capaz de establecer dicha conexión entre los
datos se le facilita el poder crear un modelo que en términos matemáticos exprese la
98
situación extra-matemática analizada. Esta fue la idea que se tomó para evaluar al alumno
sobre su capacidad de establecer la relación entre el número de botellas que en una
fábrica se lavan por hora, y el de conocer el consumo en litros por el kilometraje
recorrido de un auto.
Sobre la primera situación, los cuatro modelos que se muestran en la figura 18
permitieron detectar la habilidad del alumno no sólo para establecer la relación funcional
de las botellas y el tiempo en que estas se lavan; sino también para representarla a través
del lenguaje algebraico.
Sobre la segunda situación (consumo de gasolina-kilometraje recorrido), se
percibe la forma en que el alumno nuevamente identifica los valores que se le otorgan a
la variable dependiente y a la independiente. En este ejercicio se visualiza más el
aprendizaje adquirido por los alumnos ya que si se observa en el ejercicio realizado
(Véase apéndice A), la respuesta no tiene ningún parecido a los modelos que los alumnos
construyeron cuando se empleó la modelación como estrategia para la enseñanza del
tema “relación funcional”, lo que implica un grado de avance en el desarrollo de esta
competencia, mostrando su capacidad para representar la relación funcional correcta de
la situación presentada, siendo una forma de comprobar que lo aprendido por los alumnos
no fue debido a la similitud de situaciones, sino por el proceso seguido para tal efecto.
Por otra parte, otro aspecto a contemplar fue la comprensión y la realización de un
gráfico que mostrara la relación entre las variables utilizadas en el análisis y construcción
del modelo matemático. Al respecto la figura 19 muestra el tipo de gráficos que los
alumnos realizaron en fase 2 de la modelación matemática, que tiene que ver con la
construcción del modelo.
Como se observa en la figura 4.10 son distintos los gráficos en donde el sujeto
establece el aumento proporcional que se da entre dos datos; sin embargo, el tipo de
gráfico realizado por los equipos 1, 2 y 4 son utilizados más por la estadística que por el
álgebra. El gráfico del equipo E3 es un gráfico poligonal de tipo lineal, aunque en él
99
visualmente no se establece la variable dependiente (eje y) que representa el costo a pagar
según el número de horas que se ocupó el computador.
Gráfica de barras de tipo cilindro E1
Gráfica de barras E4
Gráfica de barras de tipo cono E2
Gráfica poligonal lineal E3
Figura 19. Gráfico de barras de tres tipos: cilindro (E1), cono (E2), columna (E4) y gráfico poligonal de tipo lineal (E3) para representar la relación funcional existente entre las horas y costo del internet.
En un primer momento se pudiera concluir que los alumnos no fueron capaces de
desarrollar la competencia de construcción de modelos, la cual tiene que ver con la
capacidad del alumno para representar a través de símbolos matemáticos la situación
extra-matemática presentada (Biembengut y Hein, 1997; Niss y Blum, 2007). Sin
embargo, esta competencia no sólo se enfoca en la construcción de modelos gráficos
como los que se muestran en la figura 4.9, ya que un modelo matemático puede
expresarse en forma de ecuación, tabulación y/o graficación. Sólo es cuestión de que el
sujeto determine el tipo de modelo que se debe construir (Biembengut y Hein, 2004).
100
Otra competencia que se pretendía visualizar en este análisis fue la de
representación, a través de la cual se esperaba que el sujeto lograra codificar y/o
descodificar un modelo tipo tabla o gráfico. En el análisis de los resultados obtenidos en
el cuestionario B, mediante las preguntas 1 y 3, se pudo comprobar el desarrollo de esta
competencia tomando en cuenta la lectura y comprensión de los gráficos como modelos
matemáticos que establecen relaciones proporcionales de los elementos de un problema.
Sobre la pregunta 1, a los alumnos se les pedía identificar la tabla que representara
la cantidad de agua que proporciona una llave por el tiempo respectivo en que tarde en
hacerlo (Véase apéndice A). Los alumnos J, M, G, C, D, E, B, C, A, L y E optaron por la
respuesta correcta que era el inciso A, solo el alumno N seleccionó otra respuesta. En el
mismo cuestionario B, pregunta 3, el alumno tenía que escoger adecuadamente el gráfico
que representara correctamente la relación entre el número de compras realizadas y los
timbres de regalo, la opción correcta era el inciso A, respuesta electa por los alumnos J,
E, D, G y C. Se concluye entonces que los alumnos lograron relacionar los datos
mediante la tabulación de datos, pero les cuesta trabajo no solo construir modelos en
gráficas sino también decodificarlas e interpretarlas.
Con lo que respecta a los resultados de las evidencias que permiten saber si los
alumnos lograron demostrar la relación funcional de dos variables, en la figura 4.10 se
puede observar cómo los alumnos demostraron que la fórmula encontrada permitió
establecer la relación entre los valores de la variable independiente y la dependiente, así
como su constante; aunque dicha demostración fue a través de diferentes técnicas, por
ejemplo, los alumnos L, M, J, E y C, lo hicieron mediante operaciones básicas, por su
parte, K y N demostraron la relación a través de la comparación de resultados por medio
de una tabla y operaciones básicas; y por último, los alumnos D y G lograron demostrar
la relación otorgándole valores a la variable independiente en la ecuación (Véase figura
4.11).
101
La demostración es indispensable en todo proceso matemático, el nivel de
demostración depende del nivel cognitivo en el que se encuentren los sujetos, por esta
razón, como se observa en la figura 20, la forma en cómo los alumnos demuestran su
modelo es a través de operaciones básicas aunque todas van encaminadas al proceso de
sustitución de valores en el modelo.
Figura 20. En esta figura se muestran las formas en cómo los alumnos demostraron que su modelo servía para relacionar el número de botellas lavadas con respecto al tiempo (hrs)
102
4.2.3. Desarrollo de competencias matemáticas.
En esta última sub-categoría, se analizó si el alumno logró construir modelos
matemáticos que le permitieran explicar la relación funcional de dos variables, las
preguntas a responder mediante la información arrojada por las evidencias fueron dos: 1.
¿Construyó modelos matemáticos que le permitieran explicar la relación funcional entre
dos variables?, y 2. ¿Representó e interpretó la relación funcional a través de diversos
modelos (de una gráfica, tabla de datos y ecuación algebraica)? Al respecto, en el
cuestionario A se muestra la capacidad del alumno para construir tanto una tabla como
una ecuación algebraica que relacione la variable dependiente, independiente y la
constante (Véase figura 21).
En esta figura se visualiza la forma en cómo el alumno logró construir modelos
matemáticos a través de dos formas, mediante la tabla de datos y a través de la ecuación
algebraica, en el caso de la graficación, lo único que se tomó en cuenta en este
instrumento evaluativo fue la capacidad del alumno para comprender el gráfico, aunque
se tiene el antecedente de que la construcción de gráficos como modelos matemáticos,
fue una de las competencias que no se lograron desarrollar dentro de la enseñanza del
tema “relación funcional” a través del proceso de modelación.
Por último, se rescata el desarrollo de la competencia de construcción de modelos
utilizando como recurso de apoyo la hoja electrónica de cálculo en Excel, al respecto se
toma en cuenta los comentarios de los alumnos quienes indican que:
“fue buena porque pude aprender a hacer fórmulas (alumno G)…fue
bonito hacer gráficas y tablas sólo usando fórmulas y comprobar sin hacer
operaciones (alumno H)... el programa en Excel nos ayudo a construir
fórmulas y a aprender a hacer gráficos, aunque la ecuación nos costó
porque al principio no conocíamos el programa (alumno N)… fue
divertido a demás porque es una clase diferente a las que teníamos en
matemáticas en el salón (alumno C)”, (entrevistas, pregunta no. 2).
103
Modelos matemáticos realizados por los alumnos
Figura 21. El esquema muestra las partes en las que los alumnos relacionan los datos a través de dos modelos matemáticos (ecuación y tabla) así como la comprensión de gráficos que son otro tipo modelo matemático.
Al respecto, se concluye exponiendo la relevancia de utilizar recursos didácticos
diferentes que permitan al sujeto desarrollar competencias matemáticas y tecnológicas,
recordando que estamos en un mundo globalizado, en donde las TIC se han convertido en
104
pieza clave de la educación del sujeto (Coll, 2008). Además, tal como lo sostiene
Raviolo (2002), la hoja de cálculo permite la construcción de modelos a través de
fórmulas que permitan solucionar problemas matemáticos, así que mediante el uso de la
hoja de cálculo como recurso tecnológico se favoreció el desarrollo de otras
competencias ya antes expuestas, que son: la construcción de modelos matemáticos, la
argumentación, la resolución de problemas, el uso de lenguaje técnico y simbólico y el
uso de recursos tecnológicos como apoyo al aprendizaje de los sujetos.
4.3. Conclusión del capítulo 4
Como se pudo observar, en este capítulo se desglosó el proceso de modelación
matemática implementado como estrategia de aprendizaje, para lo cual se analizaron las
diversas fuentes e instrumentos de información a través de los cuales se pretendió
identificar las competencias matemáticas desarrolladas durante el proceso de modelación;
e identificar aquellas competencias matemáticas que se desarrollaron con el tema
matemático “relación funcional”.
Las acciones realizadas por los alumnos durante el proceso de modelación fueron
comprender el problema, identificar los conceptos claves, discutir esos elementos,
plantear una hipótesis donde se relacione los datos del problema, elaborar un modelo
matemático que la sustente, comprobar dicho modelo y comunicar los resultados. En todo
este proceso se lograron identificar competencias que los informes de PISA sugieren el
sujeto deba desarrollar. Así durante la modelación se logró identificar la competencia
interpretativa y la de resolución de problemas, que tienen que ver con la capacidad del
alumno para comprender el problema e identificar los datos más relevantes del mismo.
En un segundo momento, como se puede observar en los registros de observación
y reportes de trabajo de los alumnos; durante la construcción del modelo matemático los
alumnos lograron desarrollar la competencia del manejo del lenguaje técnico y simbólico
matemático, a través del cual lograron expresar la solución al problema en términos
matemáticos. De la misma manera, en los trabajos realizados en las hojas de cálculo, se
105
observó el nivel de desarrollo sobre la competencia de manejo de recursos tecnológicos
que favorecen su aprendizaje, aunque éste no fue del todo exitoso puesto que en un
principio su desconocimiento hacia el programa complicó la construcción de su modelo
matemático.
La competencia principal a desarrollar era la de construcción de modelos
matemáticos en sus tres formas: gráfica, ecuación y tabulación; sin embargo, el alumno
sólo la desarrolló en dos formas: mediante una expresión algébrica y por medio de una
tabla. Sobre la graficación se ha de mencionar que la construcción de este modelo no tuvo
el éxito adecuado debido a que los alumnos desconocían la forma de representar la
relación proporcional de los datos, empleando diversos modelos como la gráfica de barras
o la cilíndrica.
Sobre la segunda categoría, en la cual se analizó el desarrollo de competencias
matemáticas de los alumnos a través del tema de relación funcional, se tomó como
referencia los datos obtenidos de los cuestionarios A y B para lograr identificar las
siguientes competencias: la comunicación, la argumentación, el manejo de técnicas, la
construcción de modelos matemáticos, el uso de recursos tecnológicos para el aprendizaje
y el manejo técnico del lenguaje matemático. Con respecto a la competencia de
comunicación y la de argumentación, se pudo observar que, aunque se esperaba un
avance en el desarrollo de estas competencias, más de la mitad de los alumnos no
lograron desarrollarla en su totalidad. La muestra de ello son las explicaciones de los
alumnos en las preguntas de las entrevistas, así como en los argumentos otorgados al
docente durante el proceso de modelación, señalados en los registros de observación y en
los diarios de campo.
Así mismo, se logra determinar que no sólo se desarrollaron competencias
matemáticas, sino competencias para la vida, las cuales involucra el trabajo colaborativo,
el aprendizaje permanente, la búsqueda de información y la comprensión lectora, las
cuales, si bien no tuvieron un desarrollo completo, se empezaron a desarrollar en el
alumno.
106
Capitulo 5. Conclusiones
En este capítulo se plasman las respuestas a las preguntas de investigación de este
estudio. En un primer momento se enuncian aquellas competencias matemáticas que se
lograron desarrollar durante el proceso de modelación matemática implementado en el
aula como estrategia de enseñanza, enfatizando aquellas que fueron producto del uso de
la modelación como estrategia de enseñanza y aquellas que surgieron de la enseñanza del
tema relación funcional.
En un segundo momento se hace una reflexión sobre los alcances e implicaciones
que tuvo la investigación dentro del campo educativo, y por último se realizan
recomendaciones en las que se genera la necesidad de seguir estudiando sobre este tema.
5.1. Sobre las preguntas de investigación
Las conclusiones obtenidas de este proyecto de estudio responden a las preguntas
de investigación derivadas del problema planteado. La pregunta central va enfocada a
responder cuáles fueron las competencias matemáticas que desarrollaron los alumnos de
primer grado de secundaria durante la enseñanza de la “relación funcional”, mediante el
proceso de modelación matemática, de la cual se derivó la siguiente pregunta de
investigación:
− ¿Cuáles fueron las competencias matemáticas que se desarrollaron durante la
enseñanza del tema relación funcional mediante la modelación matemática como
estrategia de enseñanza?
Para responder a esta pregunta, se retomó el análisis realizado en el capítulo 4, el
cual se desarrolló contemplando las tres etapas que siguió el alumno para llevar a cabo el
proceso de la modelación matemática en el aula: 1) interacción con el asunto, 2)
construcción matemática, 3) modelo matemático. Dentro de la primera etapa, la
identificación de la problemática real, se comentó cómo los alumnos lograron identificar
107
los elementos del problema y lo que se pretendía resolver del mismo, así como las
dificultades que tuvieron para expresar en forma oral la comprensión del problema.
Las características del desarrollo de algunas competencias matemáticas que se
proponen en los informes de PISA, indican que los alumnos en esta fase lograron
desarrollar la competencia interpretativa y de resolución de problemas, no obstante (como
se analizó en las entrevistas y los registros se observación), debido a su poca capacidad
de expresar verbalmente la situación a resolver se considera que el grado de desarrollo de
dichas competencias, de acuerdo con las rúbricas evaluativas, fue de regular.
Con respecto a la etapa dos, que corresponde a la construcción matemática del
modelo, como se observa en los trabajos de los alumnos y en el registro de observación,
los sujetos lograron identificar los conceptos matemáticos requeridos para la actividad, y
buscaron información que les ayudara a comprender los conceptos. Sin embargo, esta
última acción no fue del todo exitosa debido a la escasa información que éstos
encontraron y que se verifica en las entrevistas y registros de observación. Aún así, el
docente intervino como mediador del aprendizaje, logrando esclarecer las dudas sobre los
términos matemáticos a estudiar que fueron proporcionalidad, variable dependiente,
variable independiente y constante. Con base en esto, se concluye que los alumnos
presentaron dificultades para desarrollar la competencia de búsqueda de información, la
cual implica no sólo la búsqueda de los conceptos, sino la comprensión de la información
encontrada. Sobre este último aspecto, se ha de mencionar que el alumno aunque no logró
desarrollar esta competencia de forma autónoma, si pudo definir los conceptos
matemáticos a utilizar.
El compartir ideas con los demás integrantes del equipo sobre el tema a estudiar
no sólo favoreció la comprensión de conceptos, sino también el proceso de la
construcción de la hipótesis generada para resolver el problema otorgado, y además
también influyó en el desarrollo de la competencia de el manejo del lenguaje matemático
a través de símbolos, y en la utilización de la hoja de cálculo de Excel como herramienta
de apoyo para la construcción del modelo matemático. Con respecto al planteamiento de
108
la hipótesis se determinó la capacidad del alumno para establecer relaciones matemáticas
sobre la situación, identificando los datos del problema y expresándolos en términos
matemáticos. Es así como en las entrevistas los alumnos expresaron la relación que existe
entre la variable dependiente, independiente y la constante en una relación directamente
proporcional. Esta competencia de lograr emplear el lenguaje técnico para establecer
relaciones matemáticas, a su vez generó otra competencia matemática propuesta por la
OCDE (2000), que es la de la construcción de modelos matemáticos, en donde el alumno
logró expresar en términos matemáticos la solución del problema relacionando los datos
obtenidos del mismo.
Al respecto, las observaciones realizadas en este proceso mostraron la capacidad
de los alumnos para relacionar las variables con la constante, pero la dificultad para
representar simbólicamente a la constante, sobre todo al momento de construir el modelo
matemático a través de la hoja de cálculo de Excel. Sobre la construcción del modelo
algebraico de la situación, se comentó que para los alumnos fue más fácil representar el
modelo algebraico (ecuación) una vez que ya habían ejercitado este proceso con la hoja
de cálculo de Excel, el modelo obtenido fue y=kx, en donde k es al constante, x la
variable dependiente y y la variable independiente.
Con respecto a la construcción del modelo matemático de la problemática
presentada, se determinó que los alumnos lograron representar la situación en forma de
ecuación y tabla, pero tuvieron dificultades en hacerlo a través de un gráfico, el problema
fue que los alumnos no lograron distinguir los gráficos ocupados para la construcción de
datos estadísticos como los de barras o circulares, con los utilizados para representar
datos proporcionales como las gráficas lineales (poligonales), tal y como pudo observarse
en los trabajos realizados por los alumnos en el programa Excel.
En la tercera etapa: el modelo matemático, el cual hace referencia a la validación
del modelo matemático; se lograron identificar las competencias de resolución de
problemas (en su nivel de solución), el uso del lenguaje matemático; la demostración, así
como también la competencia de argumentación. La competencia de resolución de
109
problemas se identificó en su totalidad cuando el alumno validó en la hoja de cálculo el
modelo construido, logrando resolver la situación problemática presentada al inicio. Esta
acción también permitió observar -a través de las evidencias presentadas en el capítulo
anterior- el desarrollo de la competencia de demostración, en donde el alumno no sólo
pudo validar el modelo, sino generar nuevas situaciones en donde su modelo pudiera
representarlas.
Respecto a la competencia de argumentación, a través de los reportes y la
respuestas otorgadas por los alumnos en las entrevistas, se pudo visualizar el nivel de
argumentación que tuvieron los integrantes del equipo para explicar cómo surgió su
fórmula, logrando argumentar la relación que existe entre los datos del problema y los
conceptos matemáticos utilizados.
Por otra parte, en este trabajo también se lograron identificar competencias
matemáticas que se desarrollaron en la enseñanza del tema relación funcional. Para
identificarlas se tomaron en cuenta los datos arrojados en los cuestionarios evaluativos de
los alumnos, así como las entrevistas realizadas a los mismos. Las competencias
desarrolladas fueron de dos tipos, aquellas que lograron desarrollar para el aprendizaje
matemático y las que les permitieron implicar los contenidos matemáticos.
Sobre las primeras, las implicadas en el aprendizaje del tema, se identificaron dos:
el razonamiento y la interpretación. La competencia de razonamiento se enfocó al
razonamiento proporcional y se desarrolló en el momento en que los alumnos
establecieron relaciones entre los datos del problema, logrando identificar la
funcionalidad de la relación entre la constante y las variables, en las mismas entrevistas
se muestra la forma en cómo los alumnos no sólo reconocieron la función del modelo
construido, sino que además argumentaron el uso de éste para explicar situaciones con
datos directamente proporcionales.
La competencia de interpretación, la cual hace referencia a la comprensión de la
situación problemática, se identificó cuando al alumno se le presentó un problema y tuvo
110
que encontrar los datos más significativos del problema para establecer una posible
solución al mismo. Esta situación se percibió no sólo en el problema planteado por el
docente, sino también en los cuestionarios A y B.
Otras competencias que se desarrollaron a beneficio del logro del aprendizaje de
los alumnos fueron las de representación, comunicación y el uso del lenguaje simbólico.
El desarrollo de las tres se dio por un punto en común: el de codificar los datos
presentados. Sobre la representación, en los cuestionarios se logró observar la capacidad
de los alumnos para representar la situación extra matemática, así como para interpretar
otras situaciones parecidas a éstas como las observadas en los cuestionarios de
evaluación. Sobre estos últimos, se ha de mencionar que a través de ellos se obtuvo
evidencia del uso de lenguaje técnico matemático de los alumnos en los ejercicios a
resolver, en donde utilizaron operaciones y lenguaje técnico, formal y simbólico para
construir y validar los modelos que se les estaba solicitando.
Con respecto a las competencias matemáticas que favorecieron la aplicación de
los contenidos matemáticos, en los cuestionarios que se tomaron como evidencia, se
identificó nuevamente el uso del lenguaje algebraico, derivado del desarrollo del
razonamiento proporcional de tipo cuantitativo, en donde el sujeto fue capaz de establecer
relaciones matemáticas de las situaciones extra matemáticas presentadas.
El empleo del lenguaje simbólico favoreció a su vez el desarrollo de la
construcción de modelos matemáticos que expresen las relación matemática de los datos
del problema planteado, al respecto, como el objetivo de la clase era la construcción de
un modelo matemático algebraico, es lo que tuvo más relevancia en los cuestionarios de
evaluación, en los cuales se observa la construcción de dos tipos de modelos: el
algebraico (ecuación) y el de tabulación (tabla de datos), en ambos casos realizados de
forma correcta, considerando nuevamente el modelo de una relación proporcional y=kx.
Otra competencia que les permitió a los alumnos aplicar sus conocimientos sobre
el tema relación funcional fue la de la demostración, en donde los alumnos emplearon
111
sus conocimientos y técnicas para demostrar que el modelo era el correcto. Sobre esta
competencia, en el capítulo anterior, se aclaró que no todos los alumnos la desarrollaron
por igual ya que esto depende del nivel cognitivo del alumno, por lo que la variación en
técnicas fue distinta para cada uno.
La tabla 16 describe aquellas competencias identificadas durante la enseñanza del
tema relación funcional.
Tabla 15. Competencias matemáticas identificadas en la enseñanza del tema relación funcional”.
Aspecto Acción Competencias identificadas
Aprendizaje del contenido
matemático.
Establecer relaciones entre los datos del problema Razonamiento
Comprensión del problema InterpretaciónRepresentación matemática del problema Representación
Expresar en términos matemáticos al equipo las soluciones para el problema planteado.
Comunicación
Implicación de conocimientos matemáticos.
Emplear técnicas y conocimientos para demostrar la relación funcional del problema.
Demostración
Usar expresiones matemáticas para construir y demostrar el modelo matemático.
Uso del lenguaje técnico
Por otra parte, aunque no era el tema central a abordar, se identificó el desarrollo
de las competencias matemáticas a través del uso de la hoja de cálculo de Excel. Estas
fueron principalmente dos: la construcción de modelos matemáticos y la interpretación de
dichos modelos. Aunque también, durante este proceso destacaron otras como la
colaboración y el aprendizaje permanente.
Sobre la construcción de modelos, pese a que en un inicio los alumnos
presentaron dificultades para utilizar el software y obtener el modelo por medio de una
fórmula en Excel; al final, los alumnos consideraron útil este recurso para la construcción
y validación de su modelo, favoreciendo de forma consciente el desarrollo de otras
competencias ya antes mencionadas como la demostración, el uso de lenguaje técnico y
112
simbólico y sobre todo el uso de recursos tecnológicos que favorecían su aprendizaje. De
esta forma, los alumnos conocieron una nueva forma de aprender matemáticas a través de
la hoja de cálculo.
5.2 Alcances e implicaciones del estudio.
Los alcances de este estudio tiene que ver con dos campos: el pedagógico y el
científico. Sobre el primero se ha de mencionar que esta investigación contribuyó al
campo educativo permitiendo conocer la influencia que tiene el desarrollo de la
modelación matemática en las aulas como estrategia de enseñanza para adquirir
aprendizajes de contenidos matemáticos y desarrollar competencias matemáticas. Como
puede verse, las aportaciones de este trabajo se enfocaron a la comunidad docente, para
que esta conociera una metodología innovadora y eficiente que le permita mejorar el
desempeño académico de los alumnos, favoreciendo no solo el logro de aprendizajes
significativos y el desarrollo de competencias (especialmente matemáticas), sino también
permitiendo que los integrantes de la comunidad escolar mejoren la calidad educativa que
ofrece la institución.
También permitió ampliar el conocimiento acerca de las competencias
matemáticas que los alumnos pueden desarrollar a través del tratamiento del tema
“relación funcional” mediante la modelación matemática como estrategia de enseñanza.
Y aunque diversos autores han evidenciado informes sobre el uso de la modelación
matemática para el desarrollo de competencias, se desconoce si alguno había especificado
cuáles de estas se podían desarrollar a través de la enseñanza del tema “relación
funcional”.
5.3 Recomendaciones.
Para concluir este trabajo de investigación, se enuncian una serie de
recomendaciones emanadas del análisis y reflexión del tema abordado:
113
1. En el proceso de modelación matemática para ser utilizado en el aula, se debe
ser claro sobre el papel que juega el docente y el alumno, diferenciando el
proceso que debe seguir el docente y el que el alumno debe desarrollar con el
fin de que cumpla con una doble función: como estrategia de enseñanza y en
un segundo momento como estrategia de aprendizaje.
2. El docente debe elegir un tema apropiado que permita la realización adecuada
de todas las fases del proceso de modelación para que éste pueda cumplir su
objetivo principal: la adquisición de conocimientos y desarrollo de
competencias.
3. Para la implementación de la modelación en el aula, el docente tal y como lo
propone Biembengut (1997) debe contemplarla dentro de su planeación,
considerando aspectos tan relevantes como el contexto social, áulico y sobre
todo las características particulares del alumno, con el fin de aplicar el proceso
acorde al nivel de los sujetos.
4. El proceso de modelación matemática permite el uso de diversos recursos
tecnológicos que favorecen no sólo la adquisición de contenidos matemáticos
sino también el desarrollo de competencias matemáticas. En el caso de la hoja
de cálculo de Excel, el docente debe asegurarse que el alumno tenga los
conocimientos necesarios para utilizar esta herramienta en la construcción de
modelos, de lo contrario podría perjudicar la fase más relevante de esta
estrategia que es la construcción del modelo matemático.
5. La aplicación de esta estrategia permite que el aprendizaje se adquiera en un
enfoque constructivista, en donde el alumno podrá aprender a aprender,
logrando favorecer su conocimiento metacognitivo (García, 2000). El
elemento clave para el desarrollo de este conocimiento es la función del
docente como mediador del conocimiento.
114
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121
Apéndices
122
Apéndice A
Formato de Ejercicio de evaluación.
Universidad Virtual
Escuela de Graduados en Educación.
Nombre del alumno: _________________________________________ Grado/ grupo: _______
Instrucciones: analiza las siguientes situaciones y construye un modelo matemático que permita resolver lo que se te pide.
1. Una llave proporciona 5 litros de agua cada 10 segundos, de manera constante. ¿Cuál
de las siguientes tablas representa la cantidad de agua que proporciona la llave por el tiempo respectivo?
2. El consumo promedio de gasolina de un coche es de 10km por litro. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas permite saber el consumo de gasolina que se necesita cuando se conoce el kilometraje recorrido? (considera Y=consumo de gasolina y X= kilometraje recorrido)
A. y= (1/100) x B. y= (1/10) x C. y=100x D. y=10x
123
3. Una tienda regala timbres por las compras que realizan sus clientes y después se los intercambia por artículos de regalo. La cantidad de timbres que regalan depende de las compras realizadas.
¿En cuál de las siguientes gráficas se representa correctamente la relación entre las compras realizadas y los timbres de regalo?
B) A)
C) D)
124
Apéndice A
Formato de Ejercicio de evaluación.
Universidad Virtual
Escuela de Graduados en Educación.
Nombre del alumno: ________________________________________ Grado/ grupo: _______
Instrucciones: analiza la siguiente situación y construye un modelo matemático que permita resolver lo que se te pide.
En una fábrica de refrescos, un empleado estaba realizando la siguiente tabla que expresa el tiempo que tarda una maquina en lavar determinado número de botellas.
› Observa la gráfica, ¿cuántas botellas lava la máquina en 2hrs?
› ¿Podrías expresar la relación entre el número de botellas que la va la máquina según el
tiempo en una tabla? (realiza la tabla).
› ¿Cómo se relaciona el número de horas con el número de botellas lavadas por la máquina?
› ¿Cuál es el patrón de aumento entre estas cantidades?
› Si denominamos con x el número de horas y por y el numero de botellas, ¿cómo expresarías
a través de una fórmula la relación entre x y y?
› Comprueba que esta ecuación es funcional para obtener cualquier dato de la tabla que
realizaste.
0
960
1920
2880
1 2 3 4
botellas
horas
125
Apéndice B
Formato de Diario de Campo
Universidad Virtual
Escuela de Graduados en Educación.
Fecha_____________ Docente - observador: Profra. Diana Paola Medina Cañas . Asignatura: MATEMATICAS Tema: _________________________________ Grado y grupo: _______________ Fase de la modelación:__________________________________________________________ Competencias a observar:________________________________________________________ Analizar por sesión las competencias que debe desarrollar el alumno según la fase en la que se está llevando a cabo la modelación matemática. Ej. Fase 1. El alumno:
a. ¿El alumno comprende el problema real y puede explicarlo con sus propias
palabras a sus compañeros y el profesor?
b. ¿Identifica los datos necesarios que le permitan comprender el problema?
c. ¿Propone algún proceso que le permita resolver el problema?
126
Apéndice C
Formato de Guión de observación
Universidad Virtual
Escuela de Graduados en Educación.
Fecha______________ Nombre del observador: _______________________________________________________ Asignatura: MATEMATICAS Tema: ___________________ Grado y grupo: _______________ Alumno: ___________________________________________________________________
Aspecto a observar: ___________________________________________________________
Observación Análisis
127
Aspectos a registrar en el Guion de observación
Competencias de modelación matemática
Identificación de la problemática real
− ¿El alumno comprende el problema real y puede explicarlo con sus propias palabras?
− ¿Identifica los datos necesarios que le permitan comprender el problema?
Construcción matemática
− ¿Clasifica la información (en relevante y no relevante) identificando los hechos involucrados?
− ¿Decide cuáles son los factores a ser perseguidos, planteando la hipótesis?
− ¿Generaliza y selecciona variables relevantes? − ¿Selecciona símbolos apropiados para dichas variables? − ¿Describe las relaciones que se establecen, en términos
matemáticos?
Modelo matemático
− ¿Aplica sus conocimientos y habilidades matemáticas para comprobar la aplicación de modelo?
− ¿Interpreta y valida la solución del problema matemático que resulta en relación a la situación dada?
− ¿Analiza y compara los modelos de investigación? − ¿Comunica a los demás sus resultados?
Competencias matemáticas
Aprendizaje del contenido matemático
¿Conoce el término relación funcional y lo aplica a su contexto? ¿Comprende la relación funcional que existe entre dos variables?
Implicación de conocimientos matemáticos
¿Logra relacionar dos variables y su crecimiento proporcional a través de la formula y= kx?
¿Cuáles son los conocimientos adquiridos a través de la modelación matemática y que están vinculados al tema relación funcional?
Desarrollo de habilidades matemáticas
Realiza demostraciones matemáticas de una relación funcional. Construye modelos matemáticos que le permitan explicar la relación
funcional entre dos variables. ¿Representa e interpreta la relación funcional a través de diversos
modelos (grafica, tabla de datos y ecuación algebraica)? ¿Utiliza la hoja de cálculo Excel como herramienta de apoyo para la
construcción del modelo matemático?
128
Apéndice D
Formato de rúbrica para evaluar Competencias de modelación matemática y competencias matemáticas
Universidad Virtual
Escuela de Graduados en Educación.
Asignatura: MATEMATICAS I Nombre del alumno: __________________________________________________ grado/grupo: ______ Fase desarrollada: Identificación de la problemática real.
Competencia de modelación a
evaluar
Nivel de desarrollo
Bueno Regular Suficiente Insuficiente
Comprensión del problema real
El alumno reconoce y comprende el problema real y puede explicarlo con sus propias palabras
El alumno reconoce y comprende el problema real pero no es capaz de expresarlo verbalmente
El alumno con ayuda del profesor o compañeros reconoce y comprende el problema real pero no es capaz de expresarlo verbalmente.
El alumno aun con ayuda del profesor o de sus compañeros no reconoce ni comprende el problema, ni puede explicarlo con sus propias palabras.
Familiarización con el asunto que va a ser modelo-
investigación
Identifica los datos necesarios que le permitan comprender el problema
Identifica algunos datos necesarios que le permitan comprender el problema
Identifica con ayuda del profesor o compañeros los datos necesarios que le permitan comprender el problema
No logra identificar aun con ayuda de sus compañeros o profesor los datos necesarios que le permitan comprender el problema
Fase desarrollada: Construcción matemática. Competencia
de modelación a
evaluar
Nivel de desarrollo
Bueno Regular Suficiente Insuficiente
Formulación del problema-
hipótesis
Clasifica la información identificando los hechos relevantes
Con ayuda del profesor o compañeros clasifica la información identificando los hechos relevantes
Con ayuda del profesor o compañeros clasifica la información identificando algunos hechos relevantes
Aun con ayuda del profesor y compañeros clasifica la información pero no identifica hechos relevantes
129
Decide cuáles son los factores a ser perseguidos, y con base a ellos plantea una hipótesis que permita darle una posible solución al problema.
Decide cuáles son los factores a ser perseguidos, pero no logra plantear una hipótesis que le permita darle una posible solución al problema.
Con ayuda del profesor o compañeros decide cuáles son los factores a ser perseguidos, logrando plantear una hipótesis que le permita darle una posible solución al problema.
Aun con ayuda del profesor o compañeros ni identifica los factores a ser perseguidos, ni logra formular una hipótesis que le permita darle una posible solución al problema.
Resolución del problema en términos del
modelo
Identifica y selecciona las variables relevantes del problema
Identifica y selecciona algunas variables relevantes del problema
Con ayuda del profesor o compañeros identifica y selecciona las variables relevantes del problema
Aun con ayuda del profesor o compañeros identifica y selecciona las variables relevantes del problema
Selecciona los símbolos apropiados para que traduzca las variables al lenguaje matemático
Selecciona los símbolos apropiados pero no los utiliza adecuadamente para traducir las variables al lenguaje matemático
Con ayuda del profesor o compañeros logra seleccionar los símbolos apropiados para que traduzca las variables al lenguaje matemático
Aun con ayuda del profesor o compañeros no selecciona adecuadamente los símbolos apropiados para que traduzca las variables al lenguaje matemático
Describe y establece una relación entre las variables y con base a ello crea un modelo matemático que exprese dicha relación
Describe y establece una relación entre las variables, pero presenta algunas dificultades para crear un modelo matemático que exprese dicha relación
Con ayuda del profesor o compañeros describe y establece una relación entre las variables y con base a ello intenta crear un modelo matemático que exprese dicha relación
Aun con ayuda del profesor o compañeros no puede describir y establecer una relación entre las variables, por lo que tampoco logra crear un modelo matemático que exprese dicha relación
Fase desarrollada: Modelo matemático
Competencia de modelación
a evaluar
Nivel de desarrollo
Bueno Regular Suficiente Insuficiente
Interpretación de la solución-convalidación
Aplica sus conocimientos y habilidades matemáticas necesarias para comprobar la aplicación del modelo, teniendo claro el significado de cada variable establecida en el modelo.
Utiliza algunos conocimientos y habilidades matemáticas para comprobar la aplicación del modelo, teniendo claro el significado de cada variable establecida en el modelo.
Utiliza algunos conocimientos y habilidades matemáticas para comprobar la aplicación del modelo, aunque no tiene claro el significado de cada variable establecida en el modelo.
Utiliza inadecuadamente algunos conocimientos y habilidades matemáticas para comprobar la aplicación del modelo, y no tiene claro el significado de cada variable establecida en el modelo.
130
Analiza los resultados arrojados tras la comprobación del modelo en la situación real, identifica alguna incongruencia en el modelo y retoma el proceso para corregir el error.
Analiza los resultados arrojados tras la comprobación del modelo en la situación real, identifica alguna incongruencia en el modelo, pero no corrige el error.
Analiza los resultados arrojados tras la comprobación del modelo en la situación real, pero no logra identificar alguna incongruencia en el modelo.
No sabe analizar los resultados arrojados de la comprobación del modelo en la situación real, no identifica alguna incongruencia en el modelo y no retoma el proceso para corregir el error.
Explica con argumentos sólidos los resultados del proceso, comunicando a través de un escrito el desarrollo de cada una de las facetas que realizó.
Explica con argumentos sólidos los resultados del proceso, pero no comunica adecuadamente en el escrito el desarrollo de cada una de las facetas que realizó.
Explica con algunos argumentos sólidos los resultados del proceso, y comunica de forma desorganizada a través de un escrito el desarrollo de cada una de las facetas que realizó.
Se le dificulta explicar con argumentos sólidos los resultados del proceso, tampoco puede comunicar a través de un escrito el desarrollo de cada una de las facetas que realizó.
Rúbrica para evaluar el desarrollo de competencias matemáticas
Competencia matemática
Nivel de desarrollo
Bueno Regular Suficiente Insuficiente
Argumentación
Explica, muestra o justifica el uso de procedimientos matemáticos utilizados para la resolución del problema
Explica, muestra o justifica el uso de algunos procedimientos matemáticos utilizados para la resolución del problema
Tiene dificultades para explicar, demostrar o justificar el uso de procedimientos matemáticos utilizados para la resolución del problema
No logra explicar, demostrar o justificar el uso de procedimientos matemáticos utilizados para la resolución del problema
Comunicación
Comprende y emplea diferentes formas de representar la información obtenida del problema a resolver.
Comprende y emplea sólo algunas formas de representar la información obtenida del problema a resolver.
Tiene dificultades para comprender y emplear diversas formas de representar la información obtenida del problema a resolver.
No logra comprender y emplear diferentes formas de representar la información obtenida del problema a resolver.
131
Manejo de técnicas
Emplea diversos métodos matemáticos para resolver matemáticamente cuestiones derivadas de la traducción de los problemas del mundo real.
Emplea algunos métodos matemáticos para resolver matemáticamente cuestiones derivadas de la traducción de los problemas del mundo real.
Tiene dificultad para emplear métodos matemáticos para resolver matemáticamente cuestiones derivadas de la traducción de los problemas del mundo real.
No emplea métodos matemáticos adecuados para resolver matemáticamente cuestiones derivadas de la traducción de los problemas del mundo real.
Búsqueda de información
Es capaz de realizar una investigación teórica y práctica para obtener información relevante que le permita resolver la situación planteada.
Es capaz de realizar una investigación teórica o práctica para obtener información relevante que le permita resolver la situación planteada.
Es capaz de realizar una investigación teórica o práctica para obtener información no tan relevante que le permita resolver la situación planteada.
No es capaz de realizar una investigación teórica y práctica para obtener información relevante que le permita resolver la situación planteada.
Resolución de problemas
Identifica, plantea y resuelve el problema matemático utilizando diversos métodos.
Identifica, plantea y resuelve el problema matemático utilizando solo un método.
Tiene dificultades para identificar, platear y resolver el problema matemático utilizando algún método.
No logra identificar, plantear ni resolver el problema matemático utilizando diversos métodos.
Trabajo colaborativo
Comparte y respeta las ideas de sus compañeros, y promueve con ellos estrategias para la resolución del problema.
Comparte y respeta las ideas de sus compañeros, y pero no promueve estrategias para la resolución del problema.
Tiene dificultades para compartir y respetar las ideas de sus compañeros, y casi no promueve estrategias para la resolución del problema.
No comparte, ni respeta las ideas de sus compañeros, ni promueve con ellos estrategias para la resolución del problema.
Manejo de herramientas de
apoyo
Utiliza adecuadamente la hoja de cálculo para construir un modelo que represente la situación planteada.
Intenta utilizar adecuadamente la hoja de cálculo para construir un modelo que represente la situación planteada.
Tiene dificultades para utilizar adecuadamente la hoja de cálculo y construir un modelo que represente la situación planteada.
No sabe utilizar adecuadamente la hoja de cálculo para construir un modelo que represente la situación planteada.
132
Apéndice E
Formato de entrevistas
Universidad Virtual
Escuela de Graduados en Educación.
Fecha: __________________ Hora: _____________ Lugar: __________________________
Entrevistador: Profra. Diana Paola Medina Cañas.
Datos del entrevistado:
Nombre del alumno: __________________________________________________________________
Edad: ________ Género: ________ Grado/grupo: ______________
Introducción
-el entrevistador se presenta ante el entrevistado para explicarle el propósito de la entrevista.
Desarrollo
Sobre el proceso de modelación:
1. ¿Cómo te pareció la actividad realizada en la clase matemáticas?
1) ¿Cuál fue el tema que aprendiste?
2) ¿Qué realizaste para aprender ese tema?
3) ¿Cuál fue el problema que te pidieron que resolvieras?
4) ¿Cómo lo resolviste? Describe tu proceso paso a paso.
5) ¿Te apoyaste de tu equipo para resolver el problema?
6) ¿Cuáles eran los datos que te necesitabas relacionar para resolver el problema?
7) ¿Cómo le hiciste para relacionar los datos que te dieron?
8) ¿La fórmula que creaste para qué sirve?
9) En la siguiente fórmula y= kx, ¿cuál es la variable dependiente y cual es al variable
independiente?
10) ¿Qué pasa si la “x” aumenta su valor?
11) ¿Qué pasa con la constante durante todo el proceso?
12) ¿Si sustituyo valores de x, y las aplico en la fórmula, que pasa con “y”?
133
13) ¿Esta fórmula sirve para establecer cualquier relación entre dos cantidades? ¿Por qué?
Sobre la actividad
1. ¿Cómo te pareció esta forma de trabajo de la clase de matemáticas?
2. ¿Qué te pareció el uso de la hoja de cálculo para crear tu propia fórmula?
3. ¿Qué fue lo que más se te dificultó realizar en la hoja de cálculo?
4. ¿Si presentaste alguna dificultad, quien o quienes te ayudaron?
5. ¿Cómo te aprecio su ayuda?
Conclusión
- El entrevistador agradece al entrevistado y explica el uso de la información para el estudio de
investigación.
134
Apéndice F
Plan de clase del profesor
*Este plan de clase es retomado del que propone Julio Herminio Pimienta Prieto (2007)
en su libro: “Metodología constructivista para la planeación docente”
Asignatura: Matemáticas Nivel: sec. Grado: 1° Grupo: A,B,C,D Periodo:
Clase No. 1-5 BLOQUE 1 Eje temático: SN y PA, MI TEMA: significado y uso de las literales
SUBTEMA: RELACION FUNCIONAL Nivel de asimilación: comprensión, reproducción y aplicación.
a) Conocimientos y habilidades: expresar de la relación de proporcionalidad y=kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación
Intenciones didácticas: Desglosar dos conjuntos de cantidades que son directamente proporcionales y encontrar la regla general que expresa la relación.
b) Objetivo actitudinal: desarrollar el trabajo en equipo y el compromiso individual.
Titulo de la clase: Construyendo modelos matemáticos
Método: explicativo-reproductivo
Estrategias: Modelación matemática, trabajo colaborativo.
Recursos: Hoja de cálculo Excel, libreta, cuaderno.
1.Reactivación de los conocimientos previos (Primer momento: interacción con el asunto)
El profesor da una introducción al tema a enseñar, en el explica a los alumnos los contenidos a abordar en clase, que en este caso ya están electo, es el tema “relación funcional”
SEGUNDO MOMENTO: CONSTRUCCIÓN MATEMÁTICA.
2. Situación problemática Construcción de significados
Actividad 1. Se les plantea a los alumnos la siguiente situación: “La siguiente tabla muestra lo que una persona va a pagar por usar una computadora por determinado tiempo en un café internet” ¿Cómo puede expresarse algebraicamente la relación entre el costo de uso y el tiempo utilizado?
Tarifa de costo por hora de uso del
computador hrs costo
1 $5.00
2 $10.00
3 $15.00
4 $20.00
5 $25.00
Actividad 2. (A2). Los alumnos van a detectar los datos que se le otorgan dentro del problema y que les pueden ayudar para la construcción del modelo matemático solicitado. El docente les dará unas preguntas guía que les permitirá a los alumnos detectar los conocimientos matemáticos que deberán utilizar. Estas son: 1. ¿Los datos de la tabla son directamente proporcionales? ¿Por qué? 2. ¿Cuáles son los datos que se están relacionando en la proporcionalidad? 3. ¿Cuántas variables se consideran en el problema? 4. ¿Cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente? 5. ¿Cuál es el patrón que se da entre las horas de uso y el costo? 6. ¿Cuál es la constante proporcional? 7. ¿El costo por usar el computador depende de las horas que lo use la persona? 8. Si y representa el costo de uso del computador y x las horas ocupadas ¿Cómo
expresarías la relación entre el costo por usar determinadas horas el computador? Actividad 3. (A3). Los alumnos van investigar los contenidos a utilizar para poder responder las preguntas guías y encontrar la forma de resolver el problema planteado, tales como: proporcionalidad directa, razón, constante proporcional, variable, variable dependiente, variable independiente. Actividad 4. (A4). Para la construcción del modelo matemático solicitado, el docente va a enseñar algunas fórmulas hechas en Excel para encontrar datos directamente proporcionales. Los alumnos crearan una hipótesis acerca de cómo ellos pudieran construir un modelo matemático algebraico y gráfico de cómo hacer una relación funcional entre dos variables y una constante
135
TERCER MOMENTO: MODELO MATEMÁTICO.
Aplicación del conocimiento Organización del conocimiento
Actividad 5. (A5). Los alumnos buscaran resolver el problema construyendo un modelo algebraico que permita expresar la relación funcional de una proporción directa (y=kx), donde y es a variable dependiente, x la variable independiente y k la constante de proporcionalidad. Para este proceso, los alumnos van a utilizar como recurso de apoyo la hoja de cálculo de Excel para obtener su fórmula matemática.
Actividad 6. (A6). Encontrado el modelo o la fórmula algebraica, los alumnos aplicaran dicha fórmula en la tabla de tarifa del café internet, comprobando que con dicha fórmula se puede obtener cualquier precio dependiendo las hrs de uso de la computadora.
Actividad 7. (A7). El docente explicara a los alumnos que la fórmula encontrada debe ser universal para cualquier caso de proporcionalidad directa, por lo que dicha fórmula tiene que aplicarse a otras situaciones, así el docente dará a elegir a los alumnos alguna situación real donde los sujetos puedan verificar si su modelo puede aplicarse en otros contextos.
Actividad 8. (A8). En una última
fase, el alumno va a comunicar
sus resultados a través de un
escrito, argumentando sus
procesos para la construcción de
su modelo matemático.
Evaluación del proceso
− Aplicación de rúbrica
− Ejercicio de evaluación
136
Apéndice G
CUADRO DE TRIPLE ENTRADA PARA LA TRIANGULACIÓN DE DATOS
Tema de investigación: “La modelación matemática como medio para la enseñanza de la relación funcional en el
aula”.
Pregunta de investigación: ¿Qué competencias matemáticas utilizan los alumnos de primer grado de secundaria para
favorecer el aprendizaje de la “relación funcional”, mediante el proceso de modelación matemática?
Preguntas subordinadas (si las hubiera):
a. ¿Cuáles son las competencias matemáticas que se desarrollan durante la implementación de la
modelación matemática en la enseñanza del tema relación funcional?
b. ¿De qué forma se debe desarrollar la modelación matemática como estrategia de enseñanza de
los contenidos matemáticos y el desarrollo de competencias?
c. ¿De qué forma los alumnos utilizan la hoja de cálculo para poder expresar algebraicamente la
relación funcional entre dos variables, a través de la realización del proceso de modelación en el
aula?
Objetivos de recolección de datos: identificar las competencias matemáticas que los alumnos pueden desarrollar a
través de la enseñanza del tema “relación funcional” mediante la modelación matemática como estrategia de
enseñanza.
Fuentes
Categorías e Instrumentos
indicadores
Pregunta Pregunta
Alumnos Profesor Observado externo
Teoría
entrevistas
Actividad
y cue
stionario
Repo
rte
Ejercicio
Excel
exam
en
Diario de campo Registro de observación
Marco teórico
PRIMERA CATEGORIA: El desarrollo de competencias a través de la modelación
matemática como estrategia de enseñanza.
137
A. Identificación de la problemática real.
1. ¿El alumno comprendió el problema real y pudo explicarlo con sus propias palabras?
E1‐E6 Ac. 1‐6
R1‐R6
18, 28, 39
2. ¿Identificó los datos necesarios que le permitieron comprender el problema?
E1‐E6 Ac. 1‐6
R1‐R6
H1‐H6
18, 28, 39
B. Construcción matemática
3. ¿Clasificó la información (en relevante y no relevante) identificando los hechos involucrados?
Ac. 1‐6
R1‐R6
Ex1‐Ex6
D2‐D5 Ro2‐Ro5 18, 28
4. ¿Decidió cuáles eran los factores a ser perseguidos, planteando la hipótesis?
Ac. 1‐6
R1‐R6
H1‐H6
Ex1‐Ex6
D2‐D5 Ro2‐Ro5 26, 28,
5. ¿Generalizó y seleccionó variables relevantes?
R1‐R6
H1‐H6
Ex1‐Ex6
D2‐D5 Ro2‐Ro5 26, 28,
6. ¿Seleccionó símbolos apropiados para dichas variables?
R1‐R6
H1‐H6
Ex1‐Ex6
D2‐D5 Ro2‐Ro5 26, 18
7. ¿Describió las relaciones establecidas, en términos matemáticos?
Ac. 1‐6
R1‐R6
H1‐H6
Ex1‐Ex6
D2‐D5 Ro2‐Ro5 26, 18
C. Modelo matemático
8. ¿Demuestra a través de una serie de pasos con fundamentos matemáticos cómo surge el modelo de la relación funcional?
R1‐R6
Ex1‐Ex6
D3‐D5 Ro3‐Ro5 25, 26, 28, 37,
9. ¿Aplicó sus conocimientos y habilidades matemáticas para comprobar la aplicación de modelo?
H1‐H6
Ex1‐Ex6
D3‐D5 Ro3‐Ro5 25, 26, 28
10. ¿Interpretó y validó la solución del problema matemático que resulta en relación a la situación dada?
H1‐H6
Ex1‐Ex6
D3‐D5 Ro3‐Ro5 25, 26, 28
11. ¿Analizó y comparó los modelos de investigación?
R1‐R6
D4 Ro4 28
12. ¿Comunicó a los demás sus resultados? R1‐R6
D4‐D5 Ro4 28
138
SEGUNDA CATEGORÍA “Competencias matemáticas desarrolladas con el tema
relación funcional”
D. Aprendizaje del contenido matemático.
13. ¿Conoció el término relación funcional y lo aplicó a su contexto?
E1‐E6 H1‐H6
D3‐D5 Ro4‐Ro5 18,28, 35, 39,40
14. ¿Comprendió la relación funcional que existe entre dos variables?
E1‐E6 H1‐H6
Ex1‐Ex6
D3‐D5 Ro4‐Ro5 28, 35, 39, 40
E. Implicación de conocimientos matemáticos.
15. ¿Utilizó el lenguaje algebraico para relacionar dos variables y su crecimiento proporcional?
R1‐R6
H1‐H6
Ex1‐Ex6
D1‐D5 Ro1‐Ro5 18,28, 40, 42
16. ¿Realizó algún gráfico que muestre la relación entre dichas variables?
H1‐H6
Ex1‐Ex6
D1‐D5 Ro1‐Ro5 18, 28, 40, 42
17. ¿Realizó los procedimientos adecuados para demostrar la relación funcional de dos variables?
H1‐H6
Ex1‐Ex6
D2‐D5 Ro2‐Ro5 18, 28
F. Desarrollo de competencias matemáticas.
18. ¿Construyó modelos matemáticos que le permitieran explicar la relación funcional entre dos variables?
E1‐E6 Ac. 1‐6
R1‐R6
H1‐H6
Ex1‐Ex6
D2‐D5 Ro2‐Ro5 18, 28, 35
19. ¿Representó e interpretó la relación funcional a través de diversos modelos (de una gráfica, tabla de datos y ecuación algebraica)?
H1‐H6
Ex1‐Ex6
D2‐D5 Ro2‐Ro5 18, 28,
20. ¿Utilizó la hoja de cálculo Excel como herramienta de apoyo para la construcción del modelo matemático?
R1‐R6
H1‐H6
D2‐D5 Ro2‐Ro5 18, 29, 30, 31