manzano, maría: teoría de modelos

7/22/2019 Manzano, Mara: Teora de Modelos

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40 CAPTULO 2. TEORA DE MODELOS

bilidad y alcance a la teora de modelos.El gran impulsor de las investigaciones en este rea fue Tarski1 , que habiendo

precisado y definido los conceptos semnticos de verdad y consecuencia, posi-bilit esta modernizacin y generalizacin de la semntica que es la teora demodelos. Aunque las races estaban echadas ya y algunos de los teoremas queahora incluimos en ella como el de Lwenheim-Skolem haban sido demos-trados tiempo ha, no se consolid como disciplina independiente hasta los aoscincuenta. El propio nombre deTeora de Modelosfue utilizado por primera vezpor Tarski en 1954. Los pioneros en el estudio de esta disciplina, aparte de losmencionados ya, fueron Gdel, Henkin, A. Robinson, Vaught, Craig y Addison,integrantes casi todos ellos con excepcin de Gdel y Robinson del recincreadoGroup in Logic and Methodology of Science de Berkeley.

Comentario 50 En un curso elemental de licenciatura nos ocuparemos exclusi-

vamente de la teora de modelos de la lgica de primer orden, pero compararemoslos resultados obtenidos con los que se conseguiran cambiando dicho lenguajepor otro ms potente, como el de segundo orden, o el de teora de tipos queforman parte de cursos distintos. Tambin abordaremos temas de teora demodelos en los cursos dedicados a las lgicas no clsicas tales como la modal,la dinmica o la multivariada. Por razones pedaggicas he dejado fuera muchostemas que slo podran tener cabida en cursos de doctorado.

2.2. Sistemas o estructuras y lenguaje

Empezaremos introduciendo la nocin de sistema, definiendo a estos comoun triplete formado por un conjunto no vaco llamado universo y una serie

de individuos destacados, de funciones y de relaciones definidas sobre el universodel sistema2

A= hA, hc1,..., cri , hf1,..., fni , hR1,...,Rmii

Algunos de estos tienen estructuras conocidas y estudiadas en matemticas; porejemplo, son grupos, anillos, rdenes o sistemas de Peano.

Una vez introducidos los sistemas, podemos, si as lo deseamos, estudiarlossin utilizar el lenguaje formal de primer orden; entraremos entonces en el reaconocida comolgebra Universal. Aqu se estudia tanto a ellos mismos, comoa ciertas relaciones de similitud entre ellos, tales como la de subsistema, ex-tensin, homomorfismo y todas sus especificaciones entre ellas, isomorfismo einmersin.

De ahora en adelante, mientras no se diga lo contrario, los sistemas que

consideremos sernA=

DA, hfiiiI, hRjijJ

E (2.1)

1 Enhttp ://logicae.usal.es

tenemos una traduccin del artculo de Tarski: La concepcin semntica de la verdad y losfund amentos de la semntica.

2 Las definiciones de estos conceptos estn en la seccin 5.2.


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2.2. SISTEMAS O ESTRUCTURAS Y LENGUAJE 41

B=DB, hgiiiI, hSjijJ

E (2.2)

y ambos de tipo o signatura h, i esto es, con el mismo nmero y grado defunciones y de relaciones, ordenadas y clasificadas por las funciones y

Definicin 51 Decimos que A es un subsistemade B syss

1. A B2. Para cada iI: cada funcin fi es la restriccin de gi al dominio

de A, fi= gi| A(i). Esto es, para cada x1,...,x(i)A

fi(x1,...,x(i)

) = gi(x1,...,x(i)

)

en especial, los individuos destacados, que son aqu funciones cero-arias,coinciden

3. Para cada j J: cada relacin, Rj = Sj A(j)

Definicin 52 Una funcin H de A en B es un homomorfismo deA en B syss

1. Para cada i I y cada x1,...,x(i)A

Hfi(x1, ...,x

(i))

= gi(H(x1) , ...,Hx(i)

)

en especial, para los individuos destacados,

H(fi) = gi

2. Para cada j J y cada x1, ...,x(j)A

SiDx1,...,x(j)

E Rj entonces

-H(x1) ,...,H

x(j)

Sj

En la figura 2.2 se ve claramente cmo las operaciones de los sistemas seacoplan en un homomorfismo; da lo mismo operar a los elementos originalesx e y en el sistema A, con las funciones de ste, que operar sus imgenesmediante el homomorfismo H(x) y H(y) en el sistema B, con las suyas.

Definicin 53 Una funcin H de A en B es una inmersin deA enB syss

1. H es inyectiva


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Signos lgicos: ,,,,, y e igualdad =

Variables: x,y,z,...

Constantes individuales: a,b, c, d,... cFunctores:f1,...,fn f (pueden ser de diferentes ariedades)Relatores:R1,...,Rm R (pueden ser de distintos grados)

De forma simplificada indicamos que nuestro lenguaje de primer orden es:

L (R ,f ,c)

o sencillamente, L.Junto a los signos del lenguaje formal tendremos que explicitar cules son las

combinaciones lcitas de signos: cmo se forman los trminos y frmulas del len-

guaje. Las reglas de formacin de estas expresiones sern de naturaleza recursivay proporcionarn un procedimiento de decisin para saber si una determinadasucesin de signos del alfabeto, es o no una frmula o un trmino.

Definicin 57 El conjunto TERM(L),de los trminos de L es el menorconjunto que se puede generar mediante las reglas:T1. Las variables individuales son trminos.T2. Las constantes individuales son trminos.T3. Si 1,..., n son trminos, fn1...n es un trmino.

Definicin 58 El conjunto FORM(L), de las frmulas de L es el menorconjunto que se puede generar a partir de las reglas siguientes:F1. Si 1,..., n son trminos, Rn1...n es una frmula (denominada

atmica).F2. Si 1 y 2 son trminos, 1 =2 es una frmula (caso particular defrmula atmica).F3. Si A y B son frmulas, tambin lo son: A,(AB),(AB),(A B) y(A B)F4. Si A es una frmula, tambin lo son:x A y x A.Definicin 59 Llamamos expresiones de L al conjunto formado por lostrminos y las frmulas de L; es decir,

EXPR(L) = T ERM(L) FORM(L)Llamamos sentencias SENT(L) al conjunto formado por las frmulas que nocontienen variables libres; esto es, no afectadas por ningn cuantificador.

Comentario 60 Advirtase que tal y como hemos definido el conjunto de frmu-las, como el menor conjunto que cumple las reglasF1 aF4, si un conjunto Qlas cumple, entonces FORM(L) Q, lo que significa que todas las frmulasestn en dicho conjunto. De manera similar para trminos. En realidad, nuestradefinicin de trminos y frmulas, como el menor conjunto de expresiones ge-neradas mediante las reglas T1-T3(resp. F1-F4), lleva incluido un principiode induccin para trminos (y frmulas)


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2.3. SEMNTICA 45

Demostraciones por induccin semitica para todos los trminos

Si queremos demostrar que todos los trminos tienen una cierta propiedadT, tenemos que demostrarlo en dos pasos:

Bsico: (1) Todas las variables individuales y todas las constantes tienenla propiedad T.

Inductivo: (2) Si 1,..., n tienen la propiedad T, entonces fn1...n

tiene la propiedad T.

Demostraciones por induccin semitica para todas las frmulas

Si queremos demostrar que todas las frmulas tienen la propiedad P, tene-mos que demostrarlo en dos pasos:

Bsico: (1) Todas las frmulas atmicas tienen la propiedad P.

Inductivo: (2) Si A y B tienen la propiedad P, entonces: A, (A B),(A B), (A B) , (A B),x A yx A tienen la propiedad P.

Como he dicho, los objetos de nuestro lenguaje formal son signos y filas designos. Por otra parte los sistemas que son los objetos matemticos de los quehablamos estn formados por conjuntos, relaciones y funciones. En semnticaconectamos estos dos tipos de realidades (ver figura: 2.1).

2.3. Semntica

Siguiendo a Tarski, diremos que una sentencia C es verdadera en unsistema A o lo que es lo mismo, que A es modelo de C (notacin:

A

C) si es realmente el caso que se d C en A.La explicacin tpica y el ejemplo paradigmtico es:La sentencia La nieve es blanca es verdadera si realmente la nieve es

blanca.Naturalmente, no lo diremos as, sino que precisaremos qu queremos decir

al afirmar que se d realmente el caso. Para definir el valor de verdad deuna frmula fijamos previamente la interpretacin de los signos bsicos queaparecen en ella. Sobre dicha interpretacin nos fundamentamos para hacer quetodos los trminos del lenguaje denoten individuos del sistema, y que todas lasfrmulas del lenguaje sean verdaderas o falsas en el mismo. Por supuesto, parapoder asignar valores de verdad a las frmulas sin variables libres necesitamosatribuirles elementos del universo: De esta forma una interpretacin se definecomo un par ordenado,

== hA, Hi

siendoH :V ar A

La definicin inductiva del valor de verdad de una frmula la propuso Tarski,aunque ya era entendida y usada la nocin antes de ser precisada por l, segndice Mostowski. La gestacin del concepto de verdad en un sistema fue larga,


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segn nos hace notar Hodges3. En un primer momento se entenda bien el sig-nificado de

la frmula x(Rx Rx) es verdaderapero se tard mucho ms en entender y, sobre todo en definir4 y precisar, elsignificado de

la frmula xyx(fxfyz= ff xyz) es verdadera en un grupoEsto es, distinguimos entre:

1. ser vlida, y escribimos x(Rx Rx)

que quiere decir, que para cada sistema A la sentencia es verdaderaen l, formalmente: A x(Rx Rx), para cada A

2. ser verdadera en un cierto grupo G

G xyx(fxfyz= ff xyz)

Esto es, validez es verdad en todo sistema posible.

Resumen 61 Para interpretar frmulas necesitamos especificar:

1. dominio de cuantificacin

2. cmo interpretamos las constantes, los functores y los relatores del len-guaje

3. Concepto fundamental: verdad en una estructura. (A partir de l se define

el de consecuencia.)

Estructuras de primer orden adecuadas a un lenguaje

Sea nuestro lenguaje de primer orden, L(R ,f ,c)

Definicin 62 A es una estructura adecuada para L(R ,f ,c) syss

A =DA,RA,

fA,c A

Edonde:

1. A 6= es el universo o dominio de la estructura.

2. Para cada relator n-ario R R su interpretacin es:RA

An3. Para cada functor n-ario f f su interpretacin es: fA : An A4. Para cada c c su interpretacin es: cA A

3 Vase el precioso artculo de Hodges, Truth in a structure4 No aparece hasta el artculo de Tarki y Vaugth de 1957, Arithmetical extensions of

relational systems, publicado en el J SL


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2.3. SEMNTICA 47

2.3.1. Interpretacin de L

Las frmulas de L(R ,f ,c) se interpretan en una estructura

A=DA,RA,

fA,c A

ELos designadores de L denotan individuos de A

Las sentencias son verdaderas o falsas en A

Pero para establecer el valor de verdad de una frmula cualquiera necesita-mos previamente asignar valores a las variables.

Definicin 63 Unaasignacines una funcin F que otorga un elementodel universo a cada variable; es decir,

F :V AR ADefinicin 64 Dada una asignacin cualquiera F una variable x y unindividuo del universo de la estructura x definimos Fxx de la siguiente manera:

Fxx = (F {hx, F(x)i}) {hx,xi}

esto es, asigna a todas las variables lo que F les asignara, pero a x lamanda a x, independientemente de su valor en F

Definicin 65 Una interpretacin == hA, Fi es una funcin tal que

=: EXPR(L) A{F, V}donde

=[TERM(L)] Ay

=[FORM(L)] = {V, F}

Para trminos

1. T1. Para cada variable individual x: =(x) = F(x)

2. T2. Para cada constante individual a: =(a) = aA

3. T3.Para cada trmino functorial f 1...n

=(f 1...n) = f A(=(1), ..., =(n))

Para frmulas


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4. F1. Para cada frmula atmica R1...n

=(R1...n) =V syss h=(1), ..., =(n)i RA

5. F2. En especial, cuando es una igualdad,

=(1= 2) = V syss =(1) = =(2)

6. F3. Los conectores reciben la interpretacin habitual

7. F4. Las frmulas cuantificadas reciben la siguiente interpretacin:Una generalizacin es verdadera cuando lo es para cada elemento del uni-verso

=(x C) = V syss para cada a A :=ax(C) = V

Una particularizacin es verdadera cuando lo es para algn miembro deluniverso

(x C) =V syss existe un a A tal que =ax(C) = V

2.3.2. Conceptos clave

Definicin 66 Dada una interpretacin = tal que =(C) = V decimos que= satisface a la frmula C; o tambin, que = es modelo de la frmula C.Usamos la notacin = C

Definicin 67 Un conjunto de frmulas es satisfacible syss hay unainterpretacin = tal que =(G) = V para cada frmula G

de igual

forma cuando haya una sola frmula

Definicin 68 Una frmula C esinsatisfacible syss no es satisfacible; esdecir, no hay ninguna interpretacin = tal que =(C) = VDe manera seme-jante, definimos es insatisfacible

Definicin 69 Una frmula C es consecuenciade un conjunto de frmulas y escribimos |=C syss todo modelo de lo es tambin de C; es decir,toda interpretacin que hace verdadera a cada frmula de , hace verdadera aC

Definicin 70 Una frmula C esvliday escribimos |=C syss |=C;es decir, toda interpretacin hace verdadera a C

Definicin 71 Una frmula C esindependientede un conjunto de frmulas y escribimos 2 C syss C no es consecuencia de ; es decir, haymodelos de que no lo son de C

Definicin 72 Dos frmulas C y D sonlgicamente equivalentes si yslo si

C|=D y D|=C


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2.3. SEMNTICA 49

Definicin 73 Dado un conjunto de sentencias al de sus consecuencias lodenotamos CON()

CON() = {C SENT(L)| C}Dado un conjunto de sentencias la clase de sus modelos la denotamosMod()

Mod() ={A | A C, para cada C }Comentario 74 Un ejercicio muy fcil, pero interesante para tomar concienciade la dificultad de una caracterizacin categrica de un sistema, es plantear unjuego bidireccional entre sistemas y lenguaje: en un sentido, dado un A encontrarsentencias verdaderas en A; en el otro, desde esas sentencias verdaderas enA hallar modelos B y comparar con A.

2.3.3. Definibilidad

Tambin se introduce el concepto de relacin y funcin definible en un sis-tema A con un lenguaje L

Definicin 75 Sea R una relacinnaria sobre el universo A del sistemaA esto es, R An. Decimos que R es definible en A con L sysshay una frmula C de L con a lo sumo x1,...,xn libres, tal que:

R ={hx1,...,xni An| A [x1/x1...xn/xn] C}Notacin 76 Cuando sabemos que las variables libres de una frmula estnen el conjunto {x1,...,xn} y tomamos una interpretacin H en la que les

asignamos los valores x1, ...,xnA entonces en vez de== hA, Hi

escribimosA[x1/x1...xn/xn]

En verdad el valor que H asigne a las variables ligadas es irrelevante, esto sesuele demostrar en primer orden como metateorema sintctico5 .

Las relaciones definibles en un sistema A con un lenguaje L estn amedio camino entre las relaciones R1,...,Rm presentes en la estructura

A= hA, hc1,..., cri , hf1, ..., fni , hR1,...,Rmii

que tienen nombre propio en el lenguaje L y las que simplemente existen envirtud de la propiedad escasamente descriptiva de ser un subconjunto de A6 .

5 Se le suele denominar principio de coincidencia; la demostracin detallada de dicho me-tateorema puede consultarse en [21], pgina 94.

6 Este hecho, tiene enormes repercusiones en la lgica de segundo orden: cuando restrin-gimos el universo de cuantificacin a los subconjuntos y relaciones definibles del universo deindividuos, obtenemos un teorema de completud, como veremos con detalle en la seccin 10.6.


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Est claro que con un lenguaje numerable en una estructura de universoinfinito numerable; por ejemplo, en la de los nmeros naturales,

N =hN, 0, s, +, ,ila mayora de los subconjuntos de N no son definibles ya que (N) es super-numerable su cardinalidad es 1 y slo tenemos un conjunto numerablede frmulas para definirlos esto es, el conjunto de frmulas es de cardinali-dad 0. Esto hace que pese a que la induccin aritmtica sea un esquemaaxiomtico en primer orden; esto es, una coleccin infinita de axiomas de laforma

B c

x

x(B B

xx

) x B

tenga menos poder expresivo que la frmula de segundo orden correspondiente

X(Xc

x(Xx

Xx)

x Xx)

porque en el primer caso slo podemos referirnos a los subconjuntos definiblesmediante frmulas y en el segundo a todos. La verdad es que esto no presentaramayor problema si el conjunto que nos interesara fuera definible en cualquiermodelo M de la teora de los naturales, pero no es as. La razn es que elconjunto de los denominadosnmeros estndar

N(M) = {M(c), M(c), M(c),...}

no es definible en una estructura cualquiera, como se ver luego, pudindoseincluso demostrar el siguiente teorema:

Teorema 77 Sea A un modelo de primer orden de AP1. Entonces A esestndar syss el conjunto de los nmeros estndar N(A) es definible en A.

Donde

AP1 =

x c6=xxy(x = y x= y)

x x + c= xxy x + y = (x + y)

x x c= cxy x y = (x y) + x

{Induc(B)| B FORM(L)}

SiendoInduc(B) := B (c) x(B(x) B(x)) x Bx

Se podra pensar que, pese a lo dicho, la mayor parte de las relaciones quenos interesan son definibles porque nuestra descripcin intuitiva de las mismaspuede fcilmente convertirse en definicin. Adems, es un hecho que todas las

relaciones decidibles son definibles. Sin embargo, no es as: hay descripcionesque no se pueden plasmar en definiciones.

Un ejemplo de conjunto no definible es el de los nmeros de Gdel de lassentencias verdaderas en N7 .

Otro ejemplo ms simple de relacin no definible, que pasamos a exponer acontinuacin, nos lo sugiere la prueba diagonal de Cantor.

7 Se ver con detalle en la seccin 3.7 del prximo captulo.


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Corolario 80 Si H es un automorfismo sobre A y R es definible en A,entonces, para cada x

1,...,x

nA

hx1,...,xni R syss hH(x1),...,H(xn)i R

(Se ve de forma ms grfica en lafigura 2.4.)

Corolario 81 El conjunto de los nmeros naturales N no es definible en

R


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2.4. COMPLETUD Y ALGUNAS DE SUS CONSECUENCIAS 53

Definicin 84 Si A y B son del mismo tipo y L es el lenguaje adecuadopara hablar de ambos, decimos que H es unainmersin elementalde A enB syss:

1. H es una inmersin de A en B

2. Para cada cada frmula Chx1,...,xni y cada x1,...,xnAA [x1, ...,xn] C syss B[x1, ...,xn] C

Comentario 85 De manera que para relacionar sistemas existen fundamental-mente dos modos:

1. Al margen del lenguaje formal

2. A travs de lComo idea general vale la siguiente: las relaciones entre sistemas a vecesno pueden ser captadas en toda su profundidad por el lenguaje de primerorden. Por ejemplo, mientras que si dos sistemas son isomorfos, tambinson elementalmente equivalentes, no vale el recproco. Es decir, hay siste-mas indistinguibles en el lenguaje de primer orden esto es, que satisfacenlas mismas sentencias que no son iguales, ni tan siquiera isomorfos. Ladependencia entre ellas es la marcada en el esquema siguiente.

Notacin 86 Usamos: para equivalencia elemental, para subsistemaelemental ye para inmersin elemental.

AeB% &

A =B A BA B

La demostracin de que isomorfa implica equivalencia elemental es sencilla,pero son isomorfos todos los sistemas elementalmente equivalentes? Demos-traremos que no en el teorema 106, al definir un sistema no isomorfo peroelementalmente equivalente a N.

Qu teoremas demostramos en teora de modelos?Los teoremas de completud, compacidad y Lwenheim-Skolem son bastante

caractersticos y de ellos se derivan consecuencias de mucho calado, como acontinuacin veremos.

2.4. Completud y algunas de sus consecuencias

2.4.1. Completud del clculo

Hemos visto que para hablar de un sistema o estructura o de una clasede ellos es conveniente introducir un lenguaje lgico adecuado, cuyas frmu-las nos sirvan para describir a las entidades matemticas que estudiamos. Cada


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8. Regla de introduccin del particularizador en la conclusin (IPC)

aA x

a x A9. Regla de reflexividad de la identidad (RI)

a =

10. Regla de sustitucin de iguales (SI)

aAy

= aA

y

Estas reglas estn definidas para un lenguaje que tiene tan slo disyuncin,

negacin y particularizacin como conectores bsicos y particularizacin comocuantificador, puede extenderse con reglas derivadas14 de manera que las hayapara cada conector y cuantificador, o convertir las frmulas a las que utilizaneste lenguaje econmico.

Al crear un clculo deductivo lo que se pretende es que sus reglas sean capacesde generar a todas las frmulas lgicamente vlidas(V AL), pero slo a ellas. Losteoremas de completud (V AL T EO) y de correccin (T EO V AL) nosaseguran que el objetivo se ha cubierto, y que el conjunto de los teoremas lgicoscoincide con el de las frmulas lgicamente vlidas.

De hecho, nosotros demostraremos algo ms fuerte el denominado teoremade completud fuerte, o teorema de completud para consecuencia que establece

que siempre que una frmula sea consecuencia de un conjunto de frmulas conjunto que puede ser infinito, tambin ser demostrable a partir de ellascon las reglas del clculo.

Teorema 87 (completud fuerte) A = ÀTeorema 88 (correccin) A = ÀTeorema 89 (equivalencia) A ÀTeorema 90 (completud dbil) A = ÀTeorema 91 (correccin) A =ÀTeorema 92 (equivalencia) A À

Son parte importante de la demostracin los siguientes resultados:

Teorema 93 (de Henkin): Si F ORM(L) es consistente, entonces tieneun modelo de universo numerable.

14 Puede consultarse [21], pginas 110 a 114.


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Lema 94 (de Lindenbaum): Si FORM(L) es consistente y tiene slo unconjunto finito de variables libres, entonces hay un mximamente consis-tente y ejemplificado tal que FORM(L)Lema 95 (Henkin): Si es mximamente consistente y ejemplificado, en-tonces tiene un modelo de universo numerable.

Corolario 96 Si FORM(L) es consistente y tiene slo un conjuntofinitode variables libres, entonces tiene un modelo de universo numerable.

Lema 97 Si FORM(L) es consistente y si es un conjunto de sen-tencias que resulta de sustituir en las frmulas de las variables libres porconstantes nuevas y si tiene un modelo de universo numerable, entonces tambin.

Antes de demostrar el teorema de completud es importante entender la es-trategia de demostracin (ver esquema), cmo se articulan los diversos lemasque lo componen. Lo primero que hacemos es comprobar que el teorema deHenkin es condicin suficiente del de completud de Gdel, evidencindose quelo realmente importante es demostrar que si un conjunto es consistente, enton-ces tiene un modelo y consecuentemente, centrar el inters en la construccindel mismo. Visto esto, no es difcil entender el resto del entramado de la pruebaya que el teorema de Henkin se sigue del corolario en cuanto encontremos lamanera de prescindir de la condicin de que las variables libres constituyan unconjunto finito15 . A su vez, el corolario se sigue de los lemas de Lindenbaum ydel de Henkin de forma obvia.

Teorema de Henkin

Teorema de Gdel

Corolario Lema de LindenbaumLema de Henkin

CorolarioLema

Teorema de compacidadTeorema de Lwnheim-Skolem

Teorema 98 Teorema de Henkin =

Teorema de GdelDemostracin. Si A entonces {A} es insatisfacible. Entonces {A} es inconsistente, por el teorema de Henkin. En este caso es fcildemostrar que ` A pues sabemos que {A} `A; usaremos las reglasde IH y de PC

15 Esta complicacin es necesaria cuando se quiere que el teorema valga no slo para senten-cias, sino tambin para frmulas abiertas. As lo demuestro en mi libro de Teora de Modelos,pginas 120 a 137.


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Para demostrar el lema de Lindenbaum lo que hago es ordenar la frmu-las del lenguaje y construir inductivamente una cadena infinita de conjuntosconsistentes y ejemplificados; algo fundamental, pues sobre dicha ordenacin sebasa la construccin de la cadena cuya gran unin es mximamente consistente;estn todos los posibles, los que no lo convierten en contradictorio y el test deconsistencia se va haciendo frmula a frmula.

Teorema 99 (Lindenbaum). Todo conjunto consistente cuyo conjunto devariables libres seafinito, puede extenderse a uno mximamente consistente yejemplificado Demostracin. Sea un conjunto consistente y sea B1,...,Bn,... unaenumeracin de FORM(L)Definimos:0=

n+1=

n, si n {Bn} es contradictorion Bn si es consistente y Bn no es una particularizacin

n

Bn, Cyx

,si es consistente, pero una particularizacin

y la variable es nueva

Hagamos =S

n0n

Utilizando la construccin vemos que:

1. 2. n es consistente, para cada n 03. es mximamente consistente; esto es, para cada B

FORM(L) :B

o B (no ambos)4. es ejemplificado

A continuacin se demuestra el lema de Henkin, que dice que todo conjuntomximamente consistente tiene un modelo. La idea es justamente la de cons-truir el que las frmulas estn describiendo y el quid de la cuestin est enque los conjuntos mximamente consistentes lo hacen con grandsimo detalle,proporcionndonos algo as como las tablas de las funciones y relaciones delmodelo.

Qu individuos constituyen el universo?Sabemos que la naturaleza de los objetos que forman el universo de una

estructura es irrelevante esta filosofa se desprende del teorema de isomorfa,pero en un sentido ms general es lo que caracteriza a la lgica, que se ocupa delaforma, no tanto del contenido, por lo que no planteamos ninguna objecina tomar como individuos a los propios trminos del lenguaje. En una primeraaproximacin construimos

B=D

TERM(L), hgiiiI, hSjijJ

Edonde:


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1. Su universo es el conjunto de los trminos del lenguaje

2. Para cada functor del lenguaje fi : gi(1,...,(i)) = fi1...(i), paracada 1,...,(i) TERM(L)

3. Para cada relator del lenguaje Rj :

-1,...,(i)

Sj syss Rj1...(i) para cada 1,...,(i) TERM(L).

Este sistema servira para un lenguaje sin igualdad, pero si la hubiera, habraque hacerla coincidir con lo que al respecto estipule nuestro orculo . Paraello se establece una relacin de equivalencia la de ser iguales a los ojos de y en vez de tomar como universo el de los trminos, tomamos el cociente;esto es, los elementos no son trminos sino clases de trminos.

Lo que queda por ver de esta prueba sonpequeascomprobaciones, normal-mente nada cortas e inductivas.

Comentario 100 Puesto que el clculo es de naturalezafinita es decir , esuna sucesinfinita de lneas obtenidas conforme a ciertas reglas, la completudfuerte nos informa de que el problema es siempre reducible a un conjunto finitode hiptesis las que de hecho se han usado. Esta simple observacin esten la base de la demostracin del teorema de compacidad como corolario decompletud.

2.4.2. Teoremas de Lwenheim-Skolem

Estos teoremas hablan del tamao de los modelos. El ms antiguo es elde Lwenheim (1915) que dice que si una sentencia tiene un modelo infinito,entonces tendr uno numerable.

Teorema 101 Si B tiene un modelo, entonces B tiene un modelo numerable

Nosotros podemos obtener versiones ms potentes de este teorema; a saber,su extensin a conjuntos cualesquiera de frmulas

Teorema 102 Si tiene un modelo, entonces tiene un modelo numerable

y tambin las versionesupward ydownward

Teorema 103 (downward)Si escrita en un lenguaje de cardinalidad tieneun modelo , entonces tiene un modelo de cardinalidad

Teorema 104 (upward)Si escrita en un lenguaje de cardinalidad tieneun modelo infinito, entonces tiene un modelo de cardinalidad , paracada


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Paradoja de Skolem

Todos estos teoremas nos informan de la incapacidad de la lgica de primerorden para distinguir entre cardinalidades infinitas; por ejemplo la de los natu-rales y la de los reales. Al considerar este hecho surge de inmediato la llamadaparadoja de Skolem: Utilizando un lenguaje numerable se puede formalizar unateora, que incluye a los nmeros reales, en la que la sentencia que afirma que losreales no son numerables es un teorema. Un modelo cualquiera de dicha teorasatisfar la mencionada sentencia. No obstante, por Lwenheim-Skolem sabemosque si dicha teora tiene un modelo de cualquier cardinalidad, tendr tambinuno numerable. Aqu est lo sorprendente: que la sentencia que afirma que losreales no son numerables pueda ser verdadera en un modelo de universo nume-rable. La paradoja no llega a ser contradiccin porque, aunque la sentencia queafirma que los reales no son numerables sea verdadera en un modelo numerable,

lo nico que implica es que en dicho modelo no hay ninguna funcin biyectivade los reales en los naturales pues esto es lo que significaser numerable.Los elementos del modelo que representen a los reales pueden ser numerables;la funcin biyectiva estar fuera del modelo.

2.4.3. Teorema de compacidad

Utilizando la condicin de finitud de la deducibilidad, a partir del teoremade completud demostramos el de compacidad como un corolario sencillo. Enverdad, algo ms es cierto

Completud fuerte

Completud Dbil+

Compacidad

El teorema de compacidad afirma que un conjunto de sentencias tieneun modelo si y slo si cada subconjunto finito de lo tiene.

Teorema 105 tiene un modelo syss para cada tal que esfinito,entonces tiene un modelo.

Fue inicialmente demostrado por Gdel (1930) como corolario del teoremade completud. Cabe destacar que el enunciado del teorema de compacidad esde naturaleza puramente semntica, y uno tiene la intuicin de que puede serresuelto sin apelar a la nocin de deducibilidad: combinando de algn modolos modelos de los conjuntos finitos para construir el modelo del infinito. Esta

intuicin es correcta y, de hecho, se puede demostrar compacidad utilizando lanocin booleana de ultrafiltro filtro maximal, y construyendo como modelodel conjunto infinito el ultraproducto.

Nosotros demostramos primero el teorema de completud siguiendo la pruebade Henkin es decir, construyendo un modelo a partir de constantes y de-mostraremos compacidad como corolario de completud. Tambin, para fami-liarizarnos con otras construcciones de modelos, de un carcter genuinamente


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2.5. TEORAS 63

algebraico, demostraremos el teorema de Los y lo utilizaremos para demostrarnuevamente compacidad. De hecho, hay muchos caminos para llegar al teoremade compacidad16 .

No hay muchas formas distintas de construir modelos, aparte de las mencio-nadas, y a veces por ejemplo, en el libro de Chang-Keisler, se ha utilizado elprocedimiento de construccin como criterio unificador para ordenar y exponerla variedad de resultados conocidos en teora de modelos. Esta es tambin laidea que aglutina el libro de Hodges [16], en el que para la creacin de modelosse usa lateora de juegos.

He comentado algunos de los teoremas ms famosos y antiguos de nuestradisciplina, todos formulados y demostrados antes de los aos 50. Qu se hizodespus?

2.5. TeorasTal vez el cambio ms importante se produce cuando nuestro inters se centra

en ciertos conjuntos de sentencias que constituyen una teora. Esto es, conjuntoscerrados bajo la relacin de deducibilidad o, lo que es lo mismo en primer orden,cerrados bajo la relacin semntica de consecuencia.

Con las teoras tenemos de salida un problema de dimensin ya que el con-junto de sus sentencias es siempre infinito pues todos los teoremas lgicos sonsentencias de cualquier teora.

Cmo presentar pues una teora, cmo describir un conjunto infinito?Hay casos en los que la teora que nos interesa es lo que veces se denomina

teora de un sistema, o de una clase de sistemas.

Teora de un sistema

Es decir, tenemos un sistema por ejemplo N el de los nmeros naturalescon las operaciones aritmticas usuales y queremos estudiar el conjunto detodas las sentencias verdaderas en N. En estos casos, la descripcin que hace-mos de la teora es sencillamente esa, sentencias de primer orden verdaderas ennuestro sistema.

T h(N) = {C SENT(L)| N C}De forma semejante, cuando se trata de una clase de sistemas.

Teora axiomtica

En otras ocasiones, ms felices, para describir una teora podemos utilizarun conjunto decidible de sentencias, a las que llamamos axiomas, y considerarque las sentencias de nuestra teora son sus consecuencias lgicas. La primerapregunta que se nos plantea es, se pueden representar axiomticamente todaslas teoras? La respuesta es que no. Hay teoras que no pueden ser generadas

16 Hodges cree que empieces por donde empieces, si te afanas con tesn, lo demostrars.


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por ningn conjunto decidible de axiomas, aunque se admitan conjuntos infinitos(pero decidibles) de axiomas.

Teoras axiomatizables

Veamos algunos ejemplos: las teoras de grupos, anillos, cuerpos, retculos,y lgebras de Boole son axiomatizables, y lo que es ms, lo son mediante unconjunto finito de axiomas. Las teoras de los cuerpos de caracterstica cero,o la aritmtica de Peano de primer orden es decir, las consecuencias de losaxiomas de Peano de primer orden son axiomatizables, pero no finitamente.

Teoras no axiomatizables

Sin embargo, la teora de los nmeros naturales es decir, las sentencias deprimer orden verdaderas en el sistema N no es axiomatizable.

Qu es lo que sucede entonces con los nmeros naturales?

Sencillamente, que la aritmtica de Peano17 es un subconjunto propio de la

teora de los nmeros naturales; es decir,

{C SENT(L)| AP1 `C} T h(N)

Hay una gran diferencia entre probar que una teora es axiomatizable ydemostrar que no lo es. En el primer caso basta con dar sus axiomas, mientrasque en el segundo tenemos que demostrar que no puede haberlos; para haceresto ltimo usamos frecuentemente el teorema de compacidad. Dedico en milibro [21] un captulo completo a demostrar las consecuencias del teorema decompacidad, siguiendo este esquema:

17 Los axiomas los dimos en el teorema 77


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2.5. TEORAS 65

COMPACIDAD

tiene un modelo sysscada subconjunto finito suyo lo tiene

LEMA

tiene modelos finitos arbitrariamente grandes,entonces tiene uno infinito

COROLARIO {La finitud no es axiomatizable

LEMA

K=M od() finitamente axiomatizable,lo es por , finito

LEMA

K finitamente axiomatizable syssK y M K axiomatizables

COROLARIO {Lainfinitud es axiomatizable, no finitamente

TEOREMA

Aritmtica no estndar: Hay modelos de T h(N)no isomorfos a N

TEOREMA {Las inmersiones elementales son amalgamables

TEOREMA

Si T admite eliminacin de cuantificadores,entonces la clase K de todos los subsistemasde modelos de T es amalgamable

En particular, vemos que no es axiomatizable la propiedad de finitud, y

que la infinitud slo es axiomatizable con infinitos axiomas. Esta caractersticadistingue a la lgica de primer orden de otras ms potentes expresivamente,como la de segundo orden o la de tipos: de hecho un test de compacidad consisteen ver si la infinitud es finitamente axiomatizable.

2.5.1. Modelos no estndar

Como consecuencia directa del teorema de compacidad obtenemos el si-guiente resultado:

Teorema 106 Sea N =hN, 0, s, +, ,i el sistema de los naturales, tal y comolo conocemos intuitivamente. Hay un sistema M que es modelo de T h(N) peroque no es isomorfo a N.Demostracin. Sea L el lenguaje adecuado para hablar de N y aadmosleuna nueva constante k. Y sea

=T h(N) n

Cn| Cn:= k= ...(nc, para cada n

oSe demuestra que cada subconjunto finito de tiene un modelo y por compaci-dad que tambin lo tendr el total. De este modelo se extrae el M mencionado. El


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2.5. TEORAS 67

para desarrollar el clculo diferencial e integral por medio de nmeros infini-tamente grandes e infinitamente pequeos. Este clculo haba sido descrito enesos mismos trminos en el siglo XVII por Leibniz y Newton, usando cantidadesinfinitamente pequeas pero distintas de cero. Durante el siglo XVIII se desarro-ll la tcnica del clculo y se consolid en el XIX, ya sin infinitesimales. Pero,como dije, en el ao 1960 se cre el anlisis no estndar en el que reaparecenlos infinitesimales, ahora con todo el rigor y precisin exigido por los estndaresmodernos. La idea clave es la de poder aprovechar los modelos no estndar delos reales.

Tiene alguna ventaja el anlisis no estndar frente al estndar, aparte delhistrico-sentimental de resucitar los infinitesimales de Leibniz?

Hay que decir que el anlisis no estndar, a diferencia de la aritmtica no es-tndar se utiliza no slo en metamatemtica, sino tambin en matemticas.Concretamente Robinson y Berstein lo usaron para solucionar un problema

abierto sobre espacios de Hilbert. No obstante, toda prueba realizada en anlisisno estndar puede sustituirse por una estndar, aunque las primeras son msintuitivas y menos artificiosas, dicen los expertos. Por consiguiente, el elegiranlisis no estndar o no hacerlo es cuestin de gusto, no de necesidad.

Quien se puso decididamente a favor de l fue Gdel, pronosticando que serael anlisis del futuro. Dijo tambin que los historiadores de la matemtica quenos sucedan considerarn una gran estupidez el no haber sabido dar, 300 aosantes el salto de los reales a los infinitesimales, siendo as que es tan naturalcomo el dado para pasar de los naturales a los enteros, o de stos a los racionaleso de los racionales a los reales. Aunque Gdel exageraba, nadie duda hoy enconsiderar que el anlisis no estndar es uno de los mayores inventos de la lgicamatemtica en la segunda mitad del siglo XX y una agradable consecuencia de

los teoremas de compacidad y Lwenheim-Skolem.

2.5.2. Teoras completas

Otra importante propiedad relacionada con la de axiomatizabilidad, que notodas las teoras comparten, es la de completud. Una teora es completa si paracada sentencia B del lenguaje, o ella, o su negacin es deducible en la teora.

Definicin 107 es completa syss para cada B : `B o ` B

Por supuesto, si definimos a una teora semnticamente, como el conjuntode las sentencias verdaderas en un cierto sistema, no tiene sentido preguntarsesi dicha teora es completa: Naturalmente que s!, en un sistema una sentencia

cualquiera es o verdadera, o falsa. Sin embargo, no todas las teoras se presentande este modo, y nos interesa poder caracterizar a una teora completa medianteprocedimiento no sintcticos. La primera cuestin que se puede demostrar esque la completud de una teora equivale a que sean elementalmente equivalentestodos sus modelos; es decir, que satisfagan simultneamente las mismas senten-cias. Sabemos que equivalencia elemental e isomorfa estn relacionados pues losegundo implica lo primero.


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Completud de una lgica versus completud de una teora

El concepto de completud de una teora est muy estrechamente vinculadoal de equivalencia elemental y al de decisin. En particular, si es unateora completa la clase de sus modelos est bastante bien definida ya que doscualesquiera son elementalmente equivalentes. Tal y como se ha definido esteconcepto, es una propiedad sintctica, relacionada con el clculo y sus reglas;la de ser maximal, estar al completo. Por otra parte, la completud del clculosignifica la equivalencia entre la nocin sintctica y semntica de consecuencia.Hay quienes prefieren reservar la palabra completud para teoras y usar en losclculossuficiencia. Yo prefiero mantener el vocablo completud en ambos casos,porque son formulaciones de un mismo problema, al menos en su gnesis. Meexplicar mejor.

Normalmente estamos interesados en un sistema o en una clase de sistemas

por ejemplo,N o G y en un lenguaje apropiado proponemos un conjunto deaxiomas que cifre las caractersticas del sistema o de la clase. Por descontado,en ponemos slo sentencias verdaderas en los sistemas considerados, peroestn todas las precisas?

En el primer caso,se cumple que si N B entonces `B?En el segundo, se verifica que si B B para cada B G entonces

`B?Cuando la respuesta es afirmativa podemos decir que es completo respecto

del modelo N en el primer caso, o que lo es respecto de la clase G en elsegundo.

Suponed que nuestra clase de sistemas es tan amplia que incluye a todoslos de un cierto tipo h, i . Una sentencia verdadera en todos ellos es lo quellamamos frmula vlida y preguntarnos si el conjunto de frmulas es com-pleto en la clase de todos los sistemas es justamente preguntarse si el clculoes completo en sentido dbil. La completud fuerte significa que todo conjunto es completo respecto de la clase formada por todos sus modelos.

2.5.3. Teoras categricas

Cmo relacionar el resultado anterior con la completud de una teora?Introduciremos el concepto de categoricidad que establece que una teora

consistente es categrica, si todos sus modelos son isomorfos.

Definicin 108 Sea una teora consistente: es categrica syss paracada A, B: Si A y B entonces A

=B

Ahora contamos con tres procedimientos para saber si una teora es com-pleta:

1. el sintctico

2. utilizando equivalencia elemental


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2.6. OTRAS PROPIEDADES 69

3. utilizando categoricidad porque si T es categrica, todos sus modelosson elementalmente equivalentes y, por tanto, es completa

No obstante, los resultados obtenidos son de poca aplicabilidad pues porel teorema de Lwenheim-Skolem, toda teora con modelos infinitos posee mo-delos no isomorfos pues los modelos de distinta cardinalidad no pueden serisomorfos.

Demostraremos tambin que toda teora completa, con un modelo finito, escategrica. Pero aqu terminan las teoras categricas.

Teoras categricasEs por esto por lo que es necesario introducir una nocin ms amplia, menos

exigente que la de categoricidad. Dicha nocin es la de-categoricidad; es decir,

que teniendo un modelo de cardinalidad, todos los de dicha cardinalidad seanisomorfos. El concepto de -categoricidad nos permite establecer otro test decompletud de teoras, el llamado test de Vaught.

Teorema 109 (Test de Vaught)Sea una teora de cardinalidad queno tiene modelos finitos. Si es categrica para un k siendo infinito, entonces es completa.

En las teoras con modelos finitos, categoricidad y completud son propiedadesque se dan (o dejan de darse) simultneamente.

Pasa lo mismo con la -categoricidad en las teoras en las que todos susmodelos son infinitos?

No, veremos que hay teoras completas que no son

categricas para ningn

infinito. Por consiguiente, hemos de desarrollar otras tcnicas para caracteri-zar a las teoras completas que escapan a la categoricidad.

2.6. Otras propiedades

Las teoras completas son interesantes por varios motivos. Veamos uno: Su-pongamos que A y B son dos modelos de una teora completa T. Si Bes una sentencia verdadera en A, tambin lo ser en B. Por consiguiente, laspropiedades conocidas, y expresables en primer orden, de un sistema que nossea familiar A pueden tambin aplicarse a otro menos familiar, siempre queambos sean modelo de la misma teora completa.

Por otra parte, toda teora axiomatizable y completa es decidible; es decir,

existe un procedimiento efectivo que, dada una sentencia nos dice si est en lateora o n.

Para ver cmo podemos demostrar decidibilidad utilizando axiomatizabili-dad y completud, obsrvese que los teoremas de una teora axiomatizable formanun conjunto recursivamente enumerable, al igual que las sentencias refutablesen la teora (negacin de los teoremas). Pero, si una teora es completa, cadasentencia es: o un teorema, o una sentencia refutable. Por consiguiente, tanto el


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2.6. OTRAS PROPIEDADES 71

El analizar estos resultados, en cierto modelo sorprendentes, es tambin mi-sin de la teora de modelos.

Por qu T h(R) es decidible yfinitamente axiomatizable y T h(N)no esninguna de estas cosas?

Despus de todo, los nmeros naturales estn includos entre los reales. In-cluso en el lgebra elemental podemos construir nombres para cada nmeronatural. Aunque esto es evidentemente cierto, en el lgebra elemental no pode-mos referirnos de manera alguna al conjunto de todos los nmeros naturales. Nohay ninguna frmula B con una variable libre en el lenguaje de R que seasatisfecha por un nmero real si y slo si es un natural; es decir, los naturalesno son definibles en R. Este hecho bloquea la transferencia de los resultadosde Gdel y Church, sobre los naturales, a los reales.

Se puede describir a la matemtica moderna como a la ciencia de losobjetosabstractos, sean nmeros reales, estructuras algebraicas, o lo que sea. La lgica

matemtica le aade a esta ciencia la preocupacin acerca del lenguaje en el quepuede ser formulada, su capacidad de caracterizar a dichos objetos, la posibilidadde definir ob jetos nuevos, etc.


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