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INSTRUCTOR NEIL VILLALOBS SUAZO

Pgina 2

Tabla de Contenido

Pg.

1. Operaciones Bsicas ............................................................................... 5 2. Fracciones y nmeros decimales. 12 3. Potencia y radical......................................................... 17 4. Razones Y Proporciones ......................................................................... 23 5. Regla de 3

Tanto Por Ciento ..................................................................................... 39 REGLA DE MEZCLA Y ALEACIN..

6. Teora De Ecuaciones ............................................................................. 48

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OPERACIONES CON NMEROS

ENTEROS

Adicin y Sustraccin 1) Cuando los nmeros enteros tienen el

mismo signo se suman y el resultado queda con el mismo signo que tienen los nmeros sumados.

Ejemplos:

4 + 5 + 8 = 17

4 5 8 = 17 2) Cuando los nmeros enteros tienen

distinto signo se resta al mayor (en valor absoluto) el menor (en valor absoluto) y a la diferencia obtenida se le coloca el signo del mayor.

Ejemplos:

8 + 6 = 2 8 6 = 2 Multiplicacin y Divisin de Nmeros Enteros Si multiplico o divido nmeros enteros

tengo que emplear la denominada Regla de Signos:

1) )()()(

)()(

)(

Ejemplos:

(18) (3) = 54

63

18

2) )()()(

)()(

)(

Ejemplos:

(18) (3) = 54

63

18

3) )()()(

)()(

)(

Ejemplos:

(18) (3) = 54

63

18

4) )()()(

)()(

)(

Ejemplos:

(18) (3) = 54

63

18

1.1 OPERACIONES BSICAS

Pgina 35

MATERIAL DE CLASE OPERACIONES CON NMEROS ENTEROS

1. Dibuja una recta numrica y ubica en ella, los siguientes nmeros enteros:

a) 4 b) 7 c) +2

d) 0 e) 5

2. . Escribe un conjunto de nmeros enteros

negativos que sean menores que 8 y mayores o iguales que 12

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIN La propiedad CONMUTATIVA nos dice que el orden de los factores no altera el producto. Se representa de forma general como:

abba Siendo a y b dos nmeros enteros

cualesquiera.

Por ejemplo: 142772

160325532

La propiedad ASOCIATIVA nos dice que no influyen las agrupaciones de factores a la hora de realizar un producto. De forma general se representa como:

cbacbacba Siendo a , b y c nmeros enteros

cualesquiera. Por ejemplo:

42314372

4221237242372

La propiedad DISTRIBUTIVA del

producto respecto de la suma relaciona ambas operaciones y nos permite sacar factor comn. De forma general se representa como:

dcbadacaba Siendo a ,b , c y d nmeros enteros

cualesquiera. Por ejemplo: Demuestra la propiedad distributiva:

Resuelve sacando factor comn:

6565

135201035

4275542575

521346434644434241612

El orden de resolucin de OPERACIONES COMBINADAS viene determinado por la prioridad de las operaciones. Es fcil ver que resolvemos las operaciones de mayor peso primero.

1 Se resuelven los PARNTESIS o CORCHETES.

3 Se resuelven los PRODUCTOS y DIVISIONES de izquierda a derecha.

4 Se resuelven las SUMAS y RESTAS de izquierda a derecha.

Por ejemplo:

71320

)1(491046

)562(4925432

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3. Completa segn la imagen:

La gaviota est volando a _________ m

_________ el nivel del mar.

El nio est buceando a _________ m

_________ el nivel del mar.

El pez est nadando a _________ m

El cangrejo se encuentra a ________m

El pelcano vuela a _________ m.

4. Con ayuda de la recta numrica

responden: Cul es la diferencia de

temperaturas extremas cada da?

5. Si se pintan las seis caras de un cubo grande, formado por 27 cubos ms pequeos cuntos de los cubos ms pequeos quedan con 3 caras pintadas, dos caras pintadas, una cara pintada, ninguna cara pintada?

6. En el siguiente cuadro, coloca en cada

espacio un nmero entero del 1 al 9, de manera que si sumas verticalmente, horizontalmente y en forma diagonal dar siempre el mismo resultado.

7. OBTN EL RESULTADO DE LAS SIGUIENTES SUMAS Y RESTAS:

a) 46812315129

b) 879538612

Temperatura Mnima

Temperatura Mxima

11 25

9,2 18,5

0 7,3

-1,5 4

-15 -2,8

Pgina 37

c) 2762612

d) 39510568125

e) 132576315655

f) 3121857129

8. OBTN EL RESULTADO DE LAS SIGUIENTES OPERACIONES:

PRODUCTOS

- 7395

- 124

- 14873

- 751

- 812

- 5167

- 59357

- 2315

- 9658

- 175 9. DIVISIONES

a) 12:36

b) 3:54

c) 3:39

d) 11:66

e) 311:4976

f) 439:3951

g) 11:7557

h) 26:5338

1) COMPLETA E INDICA LA PROPIEDAD APLICADA:

a) ______10150

b) __329232

c) __5751175

d) 5767__67

e) ______1527

f) 2__5235

Pgina 38

g) 42__4929

h) 36__3__2

i) ______7248

j) ______10130

2) RESUELVE SACANDO FACTOR COMN:

a) 9343

b) 67127

c) 105115

d) 21484

e) 1757512550

f) 181014

g) 542736

h) 1051209045

i) 145677

3) OBTN EL RESULTADO DE LAS SIGUIENTES OPERACIONES:

a) 2:814539127:286

b) 54:825

c) 138:837

d) 1586

e) 93725249

Pgina 39

f) 7352313:15

g) 721425439

h) 275241:521

i) 3526453749

52248:621323:922

Calcula los nmeros que faltan :

19 + 17 = ____ - 15 = ____

115 + ___ = 76 + ____ = 62

-135 + 51 - 67 = _____

( -58 + 16 - 84 ) ( -2 ) = _____ 6. Calcular a b + c si:

(1)( 2)( 3) ... (6) = abc a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

8. Calcular A + B + C si: A = (3) ( 5) ( 2) B = (7) (3 + 3) (1000)

C =

veces6

)2()2)(2(

a) +64 b) 64 c) 34 d) +34 e) 30

9. Calcular A B C si:

A = (4) + (3) (4) B = (+8) (+1) + (+4 4) C = (3) (2) (1) (2) (3) a) +728 b) +736 c) 756 d) +756 e) +512 10. Para que se cumpla la igualdad:

)1()2)(1()3)(4()5( x

El valor de x debe ser:

a) 10 b) 8 c) 9

d) 9 e) 10 d) 24 e) 18 16. Resolver:

88)23(246 a) 0 b) 1 c) 24 d) 4 e) 12

Pgina 40

NMEROS RACIONALES , Q

Los nmeros racionales son todos los nmeros posibles de ser expresado como fraccin.

La forma de un nmero racional

es

Una fraccin es el cociente de dos nmeros

enteros a y b, que representamos de la siguiente

forma:

b, denominador, indica el nmero de partes en que

se ha dividido la unidad.

a, numerador, indica el numero de unidades

fraccionarias elegidas.

Significado de la fraccin

La fraccin como partes de la unidad

Un todo se toma como unidad. La fraccin expresa

una parte de ese todo.

Un depsito contiene 2/3 de gasolina.

El todo: el depsito. La unidad equivale a 3/3, en

este caso; pero en general sera una fraccin con el

mismo nmero en el numerador y el denominador.

2/3 de gasolina expresa la relacin existente entre la

gasolina y la capacidad del depsito. De sus tres

partes dos estn ocupadas por gasolina.

La fraccin como cociente entre dos

nmeros. Representacin de repartos.

Ilustracin de Fracciones (rea achurada)

Ejemplo :

Determinar la fraccin correspondiente al rea achurada.

a)

1.2 FRACCIONES Y NMEROS

DECIMALES

Pgina 41

Si x es el rea achurada entonces :

Repartir 4 entre 5 amigos.

La fraccin como operador

Para calcular la fraccin de un nmero,

multiplicamos el numerador por el nmero y el

resultado lo dividimos por el denominador.

Calcular los 2/3 de 60 . 2 60= 120 120 : 3 = 40

OPERACIONES CON NMEROS FRACCIONARIOS NUMERO MIXTO Es una suma de un nmero entero y una fraccin propia, que posee el siguiente arreglo.

b

ab.n

b

an

b

an

Ejemplo:

8

723

Adicin y Sustraccin de Fracciones 1) Para sumar o restar fracciones

homogneas (con el mismo denominador), se suman o restan los numeradores (segn sea el caso) y se mantiene el denominador.

EJEMPLOS RESUELTOS

EJEMPLO 1

Calcular: 7

11

7

4

SOLUCIN:

7

12

7

15

7

114

7

11

7

4

EJEMPLO 2

Calcular: 5

3

5

11

SOLUCIN:

5

31

5

8

5

311

5

3

5

11

2) Para sumar o restar fracciones

heterogneas (con diferente denominador), tendremos que transformarlas en otras equivalentes con el mismo denominador.

EJEMPLOS RESUELTOS

Pgina 42

EJEMPLO 1

Calcular: 7

4

3

2

SOLUCIN:

26

51

21

26

73

4372

7

4

3

2

EJEMPLO 2

Calcular: 15

1

6

5

5

2

SOLUCIN:

10

13

30

39

30

)1(2)5(5)2(6

15

1

6

5

5

2

M.C.M. (5; 6; 15) = 2 3 5 = 30 Multiplicacin y Divisin de Fracciones

1) El producto de dos fracciones es otra fraccin cuyo numerador es el producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus denominadores.

En general:

qn

pm

q

p

n

m

2) La divisin de dos fracciones es la multiplicacin de la primera fraccin por la inversa de la segunda fraccin.

En general: pn

qm

q

p:

n

m

EJEMPLOS RESUELTOS EJEMPLO 1

Calcular: 12

9

8

3

SOLUCIN:

32

9

96

27

128

93

12

9

8

3

EJEMPLO 2

Calcular: 25

12:

5

3

SOLUCIN:

4

11

4

5

60

75

125

253

25

12:

5

3

Responder a las siguientes cuestiones con una fraccin o un nmero mixto. a) Deseo repartir cuatro tabletas de chocolate a tres nios, a cunto tocan? b) Tengo tres litros de agua y debo rellenar cinco recipientes iguales. Cunto hay que echar en cada uno? c) Con once metros de tela quiero hacer cuatro cortinas del mismo tamao, cunto mide cada cortina?

5 6 15 2

5 3 15 3

5 1 5 5

1 1 1

Pgina 43

d) Cmo distribuir 50 kilos de arena en 6 sacos?

OPERACIONES CON FRACCIONES ADICIN Y SUSTRACCIN

b)

c)

d)

Efectuar las siguientes operaciones:

01. 9

116

9

710

9

18

a) 33 b) 34 c) 35

d) 3

135 e)

9

135

02. 3

222

4

15

12

113

a) 40 b) 41 c) 42

d) 3

141 e)

12

1140

03. 4

123

12

754

a) 3

130 b)

3

131

c) 6

130

d) 6

131 e)

12

130

04.

8

1

4

32

8

53

a) 4

3 b)

4

1

c) 2

1

d) 8

3 e)

4

11

05. 40

38

4

110

5

113

8

125

a) 20 b) 19

c) 4

120

d) 40

120 e)

4

119

06. 33333

77777

3333

7777

333

777

Pgina 44

a) 3

7 b) 3

c) 3

14

d) 14 e) 7

07.

211

211

2

12

a) 3 b) 7

32

c) 7

62

d) 5

12 e) 4

MULTIPLICACIN Y DIVISIN

Efectuar las siguientes operaciones:

08. 2

14

3

13

5

42

7

12

a) 30 b) 36 c) 48 d) 60 e) 90

09. 21

32

83

11

9

29

a) 10 b) 12 c) 14 d) 20 e) 21

10.

3

11:

5

12

3

1

2

1

a) 20

3 b)

20

1

c) 9

20

d) 20

9 e)

3

20

11.

8

11

7

11

6

11

8

11

7

11

6

11

a) 18

5 b)

12

5

c) 5

2

d) 21

10 e)

16

5

12.

21

1:6

12

5

5

4

31

1:9

a) 9

1 b)

3

1

c) 3 d) 1 e) 9 OPERACIONES COMBINADAS

14.

n

11

4

11

3

11

2

11

a) 2

1 b)

2

n

c) n + 1

d) n e) 2

1n

Pgina 45

OPERACIONES CON FRACCIONES

16. 3

135

8

1

4

18

a) 12

1 b)

4

3

c) 24

1

d) 36

5 e)

12

11

17.

2

11

11

a) 2 b) 2

3

c) 3

5

d) 3

4 e) 3

23.

212

12

12

a) 8

32 b)

4

31

c) 2

1

d) 8

51 e)

8

1

24. 14

11:

7

36

a) 3 b) 6 c) 2

d) 2

13 e)

6

1

25. Simplificar:

16

130

8

160

a) 7

54 b) 4

c) 7

52

d) 3 e) 2

26.

6

5

156

5

3

20

:

3

56

115

18

25

3

2

6

1

8

9

35

31

313

5

a) 3 b) 12 c) 2 d) 6 e) 1

NUMEROS DECIMALES

Pgina 46

Un nmero decimal exacto o peridico puede

expresarse en forma de fraccin,

Pasar de decimal exacto a fraccin: Si la

fraccin es decimal exacta, la fraccin tiene

como numerador el nmero dado sin la coma,

y por denominador, la unidad seguida de

tantos ceros como cifras decimales tenga.

Pasar de peridico puro a fraccin generatriz: Si

la fraccin es peridica pura, la fraccin generatriz

tiene como numerador el nmero dado sin la

coma, menos la parte entera, y por denominador un

nmero formado por tantos nueves como cifras

tiene el perodo.

Pasar de peridico mixto a fraccin

generatriz

Si la fraccin es peridica mixta, la fraccin

generatriz tiene como numerador el nmero

dado sin la coma, menos la parte entera

seguida de las cifras decimales no peridicas,

y por denominador, un numero formado por

tantos nueves como cifras tenga el perodo,

seguidos de tantos ceros como cifras tenga la

parte decimal no peridica.

Representacin de nmeros racionales

Los nmeros racionales se representan en la

recta junto a los nmeros enteros.

Pg. 1

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4,8

Km

6

,5 K

m

Operaciones con nmeros decimales

SUMA DE NMEROS DECIMALES

Para sumar dos o ms nmeros decimales se colocan en columna haciendo coincidir

las comas; despus se suman como si fuesen nmeros naturales y se pone en el

resultado la coma bajo la columna de las comas.

Ejemplo: 2,42 + 3,7 + 4,128

2 , 4 2

3 , 7

+ 4 , 1 2 8

1 0 , 2 4 8

1 Calcula las siguientes sumas de nmeros decimales.

12,435 + 142,36 + 8,7 = 32,46 + 7,182 + 146,8 =

2 Un circuito A y un circuito B tienen la forma y las dimensiones que indica la figura.

CIRCUITO A

8,2 Km

Cul es la longitud en kilmetros de cada circuito? Circuito A

CIRCUITO B Circuito B

10,8 Km

Pg. 2


RESTA DE NMEROS DECIMALES

Para restar nmeros decimales se colocan en columna haciendo coincidir las comas.

Si los nmeros no tienen el mismo nmero de cifras decimales, se completan con

ceros las cifras que faltan. Despus, se restan como si fuesen nmeros naturales y

se pone en el resultado la coma bajo la columna de las comas.

Ejemplo:

9,1 - 3,82

9 , 1 0

- 3 , 8 2

5 , 2 8

1 Calcula las siguientes restas de nmeros decimales.

4,3 - 2,84 =

123,7 - 98,49 =

52,61 - 13,72= 214,8 - 96,72 =

49,8 - 31,96 = 416,7 - 392,18 =

2 Observa el ejemplo resuelto y calcula de ese modo los restantes.

4,21 - x = 2,8 x = 4,21 - 2,8 = 1,41

8,42 - x = 5,6 x =

9,7 - x = 4,21 x =

12,5 - x = 7,46 x =

28,7 - x = 14,92 x =

49,8 - x = 12,63 x =

58,6 - x = 21,42 x =

Pg. 3


MULTIPLICACIN DE NMEROS DECIMALES POR LA UNIDAD

SEGUIDA DE CEROS

Para multiplicar un nmero decimal por la unidad seguida de ceros: 10, 100,

1.000, ... se desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga

la unidad.

Ejemplos:

1 Calcula.

3,2 x 10 = 32

3,2 x 100 = 320

3,2 x 1.000 = 3.200

3,25x 10=

3,25 x 100 =

3,25 x 1.000 =

3,25 x 10.000 =

3,25 x 100.000 =

3,25 x 1.000.000 =

4,1 x 10 = 4,1 x 100 = 4,1 x 1.000 = 4,1 x 10.000 = 4,1 x 100.000 = 4,1 x 1.000.000 =

2 Primero, escribe cada fraccin decimal en forma de nmero decimal. Despus, resuelve.

3

10

3

100

3

x 100 = 0,3 x 100 =

x 100 =

x 100 =

21

10

21

100

21

x 10 =

x 10 =

x 10 =1.000 1.000

3 Averigua cules de las siguientes expresiones son ciertas. 4

100

25

10

x 10 = 0,4

x 10 = 2,5

31

100

82

10

x 10 = 3,1

x 100 = 8,2

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MULTIPLICACIN DE DOS NMEROS DECIMALES

Para multiplicar dos nmeros decimales se efecta la operacin como si fuesen

nmeros naturales y en el producto se separan tantas cifras decimales como cifras

decimales tengan entre los dos factores.

Ejemplos: 4,31 x 2,6 4 , 3 1 2 cifras decimales

x 2 , 6 1 cifra decimal

2 5 8 6

8 6 2

1 1 , 2 0 6 3 cifras decimales

1 Calcula las siguientes multiplicaciones de nmeros decimales.

32,43 x 2,4 = 4,131 x 3,2 =

431,4 x 3,5 = 25,49 x 31,3 =

289,1 x 2,13 = 49,63 x 2,14 =

2 Calcula.

(4,213 + 21,36) x 4,21 (32,46 - 18,213) x 21,5

Pg. 4


DIVISIN DE NMEROS DECIMALES POR LA UNIDAD

SEGUIDA DE CEROS

Para dividir un nmero decimal por la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1.000, ...

se desplaza la coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad.

Ejemplos:

1 Calcula.

24,2 : 10 = 2,42

24,2 : 100 = 0,242

24,2 : 1.000 = 0,0242

81,2 : 10 =

81,2 : 100 =

81,2 : 1.000 =

81,2 : 10.000 =

81,2 : 1 00.000 =

81,2 : 1.000.000 =

5,3 : 10 = 5,3 : 100 = 5,3 : 1.000 = 5,3 : 10.000 = 5,3 : 100.000 = 5,3 : 1.000.000 =

2 Calcula.

(4,32 + 71,6 + 18,1) : 10 (3,71 + 81,6 + 18,214 ) : 100

(321,2 - 216,48) : 1.000 (482,14 - 18,186) : 10.000

Pg. 5


DIVISIN DE UN NMERO DECIMAL POR UNO NATURAL

Para dividir un nmero decimal por un nmero natural se hace la divisin como si

fuesen nmeros naturales, pero se pone una coma en el cociente al bajar la primera

cifra decimal.

Ejemplos: 7,36 : 2 7 , 3 6

1 3

1 6

0

2

3 , 6 8

1 Calcula las siguientes divisiones.

4,326 : 3 = 32,156 : 4 =

267,05 : 5 = 39,120 : 6 =

412,16 : 7 = 52,632 : 8 =

2 Calcula.

(4,32 + 18,2 + 36,49) : 3 (731,25 - 49,138) : 4

Pg. 6

Pg. 7


DIVISIN DE UN NMERO NATURAL POR UNO DECIMAL

Para dividir un nmero natural por un nmero decimal se suprime la coma del

divisor y a la derecha del dividendo se ponen tantos ceros como cifras decimales

tenga el divisor. Despus se hace la divisin como si fuesen nmeros naturales.

Ejemplo: 1.176 :1,2 1 1 7 , 6 0 1 2

0 9 6 9 8 0

0 0 0


585 : 1,3 7.749 : 1,23

2.875 : 2,3 5.490 : 1,22

12.936 : 2,31 25.442 : 2,23

2 Calcula.

(427,18 + 381,23 + 191,59) : 2,5 (1.214,28 + 672,14 + 113,58) : 1,25

Pg. 8


DIVISIN DE DOS NMEROS DECIMALES

Para dividir dos nmeros decimales se suprime la coma del divisor y se desplaza

la coma del dividendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales tenga

el divisor; si es necesario, se aaden ceros.

Ejemplo: 21,66 : 3,8 2 1 6 , 6

2 6 6

0 0

3 8

5 , 7


12,25 : 0,7 29,095 : 2,3

799,46 : 1,42 958,5 : 21,3

20,88 : 2,4 4,340 : 3,5

2 Observa el ejemplo resuelto y calcula de este modo los restantes.

36,8 9,2 x =36,8 x = = 4

9,2

12,3 x = 73,8 x =

1,45 x = 17,4 x =

PROBLEMAS CON NMEROS DECIMALES

Pg. 9

1 Un agricultor ha recolectado 1.500 kg de trigo y 895 kg de cebada. Ha vendido el trigo a 22,35 ptas. el kilo y la cebada a 19,75 ptas. el kilo. Calcula:

a) El total recibido por la venta del trigo y la cebada.

Trigo

Cebada

b) La diferencia entre lo que ha recibido por la venta del trigo y lo que ha recibido

por la venta de la cebada.

2 Un coche A consume 7,5 litros de gasolina por cada 100 kilmetros y otro coche B consume 8,2 litros de gasolina por cada 100 kilmetros. Calcula:

a) La gasolina que consume cada coche en un kilmetro.

Coche A

Coche B

b) El importe de la gasolina que consume cada coche en un trayecto de 540

kilmetros, si el litro de gasolina cuesta 98 ptas.

3 Un litro de aceite pesa 0,92 kg. Calcula:

a) El peso de 8 bidones de aceite de 10 litros cada uno.

b) Los litros de aceite que contiene un bidn que pesa 23 kg.

Pg. 10

Monedas Pesetas

1 dlar

168,85

1 franco

francs

25,36

1 libra

esterlina

270,46

100 escudos

portugeses

83

4 En un colegio se han hecho grupos para participar en unas competiciones de salto de longitud y salto de altura. stos son los tres grupos clasificados.

Compo-

nentes

Ins

Grupo A

Salto de

longitud

5,25 m

Salto de

altura

1,25 m

Compo-

nentes

Pablo

Grupo B

Salto de

longitud

5,25 m

Salto de

altura

1,35 m

Compo-

nentes

Elena

Grupo C

Salto de

longitud

5,15 m

Salto de

altura

1,25 m

Jorge

Adela

Marcos

4,90 m 5,10 m 5,15 m

1,50 m 1,35 m 1,40 m

Mara

Rosa

Jos

4,85 m 5,20 m 4,95 m

1,20 m 1,25 m 1,10 m

Fernando

Pedro

Celia

4,95 m 4,85 m 5,15 m

1,35 m 1,10 m 1,20 m

Calcula.

a) La media en metros que ha conseguido cada grupo en salto de longitud.

Grupo A

Grupo B

Grupo C

b) La media en metros que ha conseguido cada grupo en salto de altura.

Grupo A

Grupo B

Grupo C

5 En el siguiente cuadro aparece la equivalencia de algunas monedas extranjeras con la peseta. Calcula:

a) El valor en pesetas que son 120 dlares.

b) El valor en pesetas que son 25 francos franceses y

10 libras esterlinas.

Pg. 11

6 Un camin transporta 3 bloques de mrmol de 1,3 toneladas cada uno y 2 vigas de hierro de 0,5 toneladas cada una. Calcula:

a) El total de toneladas que transporta el camin.

b) El total de kilos que transporta el camin, si 1 tonelada es igual a 1.000 kilos.

7 La yarda es una unidad de longitud inglesa que equivale a 0,914 metros. Calcula:

a) La longitud en metros de un trayecto A que mide 100 yardas y la longitud en

metros de un trayecto B que mide 180 yardas.

Trayecto A

Trayecto B

b) La longitud en yardas de un trayecto C que mide 18,28 metros y la longitud en

yardas de un trayecto D que mide 45,7 metros.

Trayecto C

Trayecto D

c) La diferencia en milmetros que hay entre un metro y una yarda.

Pg. 12

8 En el siguiente cuadro aparece el nmero de caloras que tiene aproximadamente 1 gramo de algunos alimentos.

Alimentos Pan Queso blanco Manzana Filete Esprragos

Caloras por gramo

3,3

1,2

0,52

3,75

0,32

Calcula.

a) El nmero de caloras que tienen una barra de pan de 125 gramos, una manzana

de 175 gramos y un filete de 150 gramos.

Barra de pan

Manzana

Filete

b) El nmero de caloras que tienen 125 gramos de queso blanco, un filete de

180 gramos y 250 gramos de esprragos.

Queso blanco

Filete

Esprragos

c) El peso en gramos de una manzana que tiene 41,6 caloras, de un filete que tiene

525 caloras y de una barra de pan que tiene 1.402,5 caloras.

Manzana

Filete

Barra de pan

Qu nmero multiplicado por 6,025 da como resultado un nmero cuatro

unidades menor que el nmero 40,15?

Pg. 34

POTENCIA DE BASE ENTERA Y EXPONENTE NATURAL

Caso 1

Base positiva (a>0), la potencia es siempre un entero positivo.

Ejemplo (+3)2 = (+3)(+3) = +9

(+3)3 = (+3)(+3)(+3) = +27

Caso 2

Base negativa (a

Pg. 35

Ejercicios:

1) Escribe el valor de cada potencia:

3 3 = 10 3 =

7 2 = 5 4 =

8 4 = 6 0 =

10 5 = 3 2 =

2 6 = 10 1=

Toda potencia elevada a cero es igual a 1 a 0 = 1

PROPIEDADES DE POTENCIA (Z)

Multiplicacin de potencias de igual base

am an = am+n

Divisin de potencias de igual base am : an = am-n

Potencia de exponente cero a0 = 1, a 0

POTENCIA BASE 10

Pg. 36

Ejemplo:

1. 670.000 = 6710.000 = 67104 1.300.000 = 13100.000 = 13105

94.000.000= 941.000.000 = 94106

0,00039 = 390,00001 = 3910-5

0,0075 = 750,0001 = 7510-4

POTENCIA CON BASE DECIMAL

Para resolver estos ejercicios se aplica la propiedad de potencia.

(ab)n = anbn (an)m = an m

Ejemplo: Calcular las siguientes potencias con decimales.

(0,002)5 = (210-3)5 = 25(10-3)5 = 3210-15

(0,0005)2 =

(0,00003)3 =

Ejemplos

a. a) 23 24 22 = 23+4+2 = 29

b) (-2)3 (-2)4 (-2)2 = -23 24 22 = -23+4+2 = -29

c)

Resolver

a) (-2)2 23 = b) (-2)2 - 23 =

c) (-2)2 (-4)2 (-8)0 = d) 125 : 1442 =

Pg. 35

e) [(-3)2] : [(-9)-3] =

f) (-1)3 - [(-1)2 2 - 20 (-1)3] =

Calcular:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

MS EJERCICIOS

(3 5)2 =

(3 5 6) 3 =

(1/4 4 6)4 =

(1/2) 2 =

(5/7) 2 =

(2/5) 4 =

(1/3)6 =

(2 1/3)3 =

(1 + 2)2 =

(12 + 15) 2 =

(1/2 + 1/3) 2 =

(5 + 1/5) 2 =

(1/3 - )2 =

(1/4 - 1/8) 2 =

(3/5 - 1/10) 2 =

RADICAL

Un radical es una expresin de

la forma , en la que n y

a ; con tal que

cuando a sea negativo, n ha de

ser impar.

La radicacin es la operacin inversa de la potenciacin.

Llamamos raiz n-sima de un nmero

dado a al nmero b que elevado a n nos

da a.

Pg. 36

Cuando no puedes simplificar un nmero para

quitar una raz cuadrada (o una raz cbica,

etc.) entonces es un radical.

Ejemplo: 2 (la raz cuadrada de 2)

no se puede simplificar ms as que es

un radical.

Pero 4 (la raz cuadrada de 4) s se puede

simplificar (queda 2), as que no es un

radical.

Fjate en estos:

Nmero Simplificado En decimal Radical

o no?

2 2 1.4142135(etc) Radical

3 3 1.7320508(etc) Radical

4 2 2 No es

radical

(1/4) 1/2 0.5 No es

radical

3(11) 3(11) 2.2239800(etc) Radical

3(27) 3 3 No es

radical

5(3) 5(3) 1.2457309(etc) Radical

Potencias y radicales

Se puede expresar

un radical en forma

de potencia:

1. Extrae las siguientes races:

3

33

3

64 25-

125

8 81 144

729

1

64

27 16

225

4 64

4126510

4436

4

3

6

433

3333

14641 4x 32

1296 625 27

1 81

216

16 125 512

729

729 343

216 216- 27

yb

b

b

53 3

5 1055

3125 8

243 32

b

a

64

1 1024

1024 243 1296

5

5 15105 154 8 xbbb

33366

4 1287 42143

6126

5 803 9393

6

001,0729

8

81 128 64

27

4

1

32 343 125

27

144

25-

36

16 17,

25

9 7,2

mb

mccmmxb

bbba

x

EJERCICIOS 17. Calcular:

2223 32:144427

a) 42 b) 31 c) 54 d) 21 e) 0

Pg. 37

18. Efectuar:

22

1)12(412

a) 2160 b) 1020 c) 2740 d) 2512 e) 1286 19. Efectuar:

23253 27323226

a) 5 b) 5 c) 10 d) 25 e) 35 20. Dadas las expresiones:

2

42A

)9(:1822:)2(B2

22

3)12:24(12:12C

El doble de A menos el cudruplo de B ms el

quntuplo de C es igual a:

a) 6 b) 5 c) 2

d) 30 e) 26 21. Calcular:

05345 )3()125164(:)3:182(4

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 9 22. Resolver:

3 3242)2(:)37(410)1(:)53(

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13. 3:

5

1

4

1

4

1

3

1

3

1

2

1

5

1

4

1

4

1

3

1

3

1

2

1

a) 6 b) 12 c) 3

d) 9 e) 8

15.

3 113

143 113

14

3 113

143 113

14

a) 1 b) 4 c) 2

d) 2

1 e)

RAZONES Y PROPORCIONES

RAZN: Es el resultado de comparar dos cantidades. Puede ser de 2 tipos:

1. Razn Aritmtica: Tiene la forma:

rba (1) 2. Razn Geomtrica: Tiene la forma:

rb

a (2)

En las expresiones (1) y (2), se tiene: a = Antecedente b = Consecuente En las expresiones (1) y (2), se tiene: a = Antecedente b = Consecuente

PROPORCIN. Es la igualdad de dos razo-nes. Puede ser: 1. Proporcin Aritmtica: Resulta de igualar 2

razones aritmticas. Tiene la forma:

dcba (3)

2.1 RAZONES Y

PROPORCIONES

Pg. 38

2. Proporcin Geomtrica: Resulta de igualar 2 razones geomtricas. Tiene la forma:

d

c

b

a (4)

En las expresiones (3) y (4), se tiene: a y c: Antecedentes b y d: Consecuentes b y c: Trminos Medios a y d: Trminos Extremos CLASES DE PROPORCIONES:

1. Proporcin Discreta. Es aquella donde todos los trminos son diferentes entre s. Tiene la forma:

dcba P.A.D donde: d = cuarta diferencial

d

c

b

a P.G.D donde: d = cuarta

proporcional

2. Proporcin Continua. Es aquella en la que los trminos medios son iguales.

Tiene la forma:

cbba P.A.C Donde: b = media diferencial c = tercera diferencial

c

b

b

a P.G.C.

Donde:

b = media proporcional c = tercera proporcional .1) MAGNITUDES DIRECTAMENTE

PROPORCIONALES.- Dos magnitudes

(propiedad fsica que puede ser medida) son directamente

proporcionales cuando al aumentar o disminuir el valor de

una de ellas, entonces el valor correspondiente a la otra

aumentar o disminuir respectivamente en la misma

proporcin.

Ejemplo: Una persona recorre 40 metros en 5 segundos.

(Espacio vs. Tiempo)

1.2) MAGNITUDES INVERSAMENTE

PROPORCIONALES.- Dos magnitudes son inversamente

proporcionales cuando al aumentar o disminuir el valor de

una de ellas entonces el valor de la otra disminuir o

aumentar respectivamente en la misma proporcin.

Ejemplo: Una persona recorre 160 km (Velocidad vs.

Tiempo)

Pg. 39

MATERIAL DE CLASE

RAZONES Y PROPORCIONES 01. Dos nmeros estn en la relacin de 2 es a 7, adems la suma de estos nmeros es 972. Determinar el

mayor. a) 676 b) 656 c) 76 d) 756 e) 856

02. La relacin de dos nmeros es 5

23 y la diferencia entre estos dos nmeros es 480. Determinar el

menor. a) 180 b) 200 c) 210 d) 160 e) 150 03. La suma del antecedente y el consecuente de una razn geomtrica es 7800. Cul es su diferencia si

su razn es 0,04? a) 6800 b) 6900 c) 7000 d) 7100 e) 7200 04. Dentro de cuntos aos la relacin entre las edades de dos personas ser igual a 7/6, si sus edades

actuales son 40 y 30 aos. a) 30 b) 25 c) 20 d) 15 e) 10 05. La suma de 3 nmeros es 1425, la razn del primero y segundo es 11/3 y la diferencia de los mismos

600. Cul es el tercero? a) 325 b) 335 c) 345 d) 365 e) 375 06. El valor de la cuarta proporcional de 4, 7 y 12 es: a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 28 07. Si: i) 2x = 3k ii) 8y = 5k La relacin x: y es: a) 3/20 b) 12/5 c) 18/5 d) 14/5 e) 10/3

08. Si: 7

c

8

b

2

a , adems a+b= 40.

Pg. 40

Hallar c. a) 28 b) 21 c) 35 d) 14 e) 42 09. La razn de dos nmeros es 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152. Hallar la suma de ellos. a) 84 b) 70 c) 63 d) 91 e) 77 10. Una persona A dispone de 180 soles ms que otra B. Si por cada 5 soles que tiene A, B tiene 3 soles,

Cunto tiene A? a) 500 b) 540 c) 450 d) 600 e) 480 11. Dos nmeros son entre s como 10 es a 9. Si la suma de la mitad del mayor y la tercera parte del

menor es 72. Hallar el nmero mayor. a) 45 b) 54 c) 63 d) 90 e) 72 1) Dos nmeros son entre s como 7 es a 13, si el menor se le suma 140, para que el valor de la razn no se altere, el valor del

otro nmero debe quintuplicarse. Hallar el valor de los 2 nmeros. Rpta.-

2) Dos nmeros son entre s como 5 a 8 ; si la suma de sus cuadrados es 712 y su diferencia es 26 Cul es el nmero menor?

Rpta.- 3) La suma, la diferencia y el producto de dos nmeros estn en la misma relacin con los nmeros 11; 3 y 560. Hallar el mayor

de los nmeros. Rpta.-

4) En una proporcin continua geomtrica los trminos extremos son entre s como 4 es a 9. si los trminos de la primera razn suman 40. Hallar la suma de los consecuentes de dicha proporcin. Rpta.-

5) En una proporcin geomtrica discreta la diferencia entre los medios es 14. Hallar uno de los trminos medios si se sabe que el producto de los 4 trminos de la proporcin es 2601. Rpta.-

6) En una reunin social por cada 5 hombres adultos que ingresan, ingresan 6 nios y por cada 3 mujeres adultas que entran, ingresan 8 nias. Si en total ingresaron unos 572 nios y el nmero de hombres es al nmero de mujeres como 7 es a 4Cuntos hombres asistieron a dicha reunin?

Rpta.- 7) Tenemos dos terrenos: 1 terreno rectangular y el otro en forma cuadrada. Si uno de los lados del primero es al lado del menor del

segundo es como 3 es a 2 En que relacin estn sus permetros, si sus reas son iguales? Rpta.-

8) Si a cada uno de los 4 trminos de una proporcin se le quita una cantidad misma, se obtiene 20; 28; 32; 44. Hallar la suma de los trminos de dicha proporcin. Rpta.-

9) Se tiene 3 nmeros enteros que son entre s como 4; 7; 9. Si el cuadrado de la suma de los 2 menores nmeros menos el cuadrado del mayor da 360. Hallar la suma de los 3 nmeros. Rpta.-

Pg. 41

10) Cul es el nmero entre el tercio proporcional y el tercio diferencial de 9 y 5? Rpta.-

11) Hallar la Razn de una proporcin geomtrica continua, sabiendo que la suma de sus trminos extremos es a su diferencia como 25 es a 24 Rpta.-

DEFINICIN Es un procedimiento aritmtico que permite calcular algn valor desconocido luego de comparar varias magnitudes CLASES: Puede ser de dos tipos:

Regla de tres simple directa Consiste en que dados 3 valores correspondientes a 2 dos magnitudes directamente proporcionales se debe encontrar un cuarto

valor.

Ejemplo: Un ciclista recorre 12 km en 16 minutos. Qu distancia recorrer en una hora?

Solucin: A mayor espacio recorrido emplear mayor tiempo, entonces el espacio y tiempo son magnitudes directamente

proporcionales

2.2 REGLA DE 3

Pg. 42

1) Por preparar un campo de 7 ha de superficie, un labrador cobra 21.315 Cunto cobrara si la superficie del campo midiera 12 ha?

Por 7 Ha. Cobra 21.315 .

Por 12 Ha. Cobrar X .

Pasos a dar:

a) A ms Ha. ,se cobra ms

1.Tipo de

proporcionalidad:

Directa

b)Al doble de Ha, doble paga

2.Clculo X

21315

12

7 . 540.36

7

2131512

xX

Regla de 3 simple inversa Consiste en que dados 3 valores correspondientes a 2 magnitudes inversamente proporcionales se debe encontrar un cuarto

valor.

Ejemplo: 3 obreros pueden hacer una obra en 24 das En cunto tiempo harn la misma obra 2 obreros?

Pg. 43

Solucin: Con menos obreros la obra se construir en ms das, entonces el nmero de obreros y el tiempo son magnitudes

inversamente proporcionales.

Regla de tres compuesta Es aquella en la que las magnitudes que se comparan son 3 o ms.

Mtodo de las Rayas: La regla de 3 compuesta tiene 3 partes:

a) Causa: Realizadores de la obra o accin y sus condiciones

b) Circunstancia: Magnitudes relacionadas con el tiempo

c) Efecto: Lo realizado, la obra, sus medidas, su dificultad

Ejemplo: Para hacer una zanja de 30 metros de largo por 10 de ancho, 15 obreros han trabajado 6 das a razn de 12 horas

diarias. Cuntos das trabajarn 18 obreros a 9 horas diarias en hacer una zanja de 45 metros de largo por 20 de ancho?

Pg. 44

Miscelnea de problemas Nota: Los problemas que se presentan a continuacin no han sido resueltos en el 100%, por lo que la solucin completa queda

como tarea para ustedes estimados lectores.

2.1) Bertha Ibujes, una ama de casa, lava por cada 32 minutos 10 pantalones. Cuntos pantalones lavar en 1h 20 minutos?

2.2) 10 obreros pueden hacer una obra en 24 das En cunto tiempo harn la misma obra 8 obreros?

Pg. 45

2.3) 6 caballos tienen racin para 15 das, si se aumentan 3 caballos ms. Para cuntos das alcanzar la racin anterior?

2.4) Mario Surez trabaja en un colegio de 700 estudiantes, en el cul reprobaron el ao el 5%. Cuntos estudiantes no fueron

promovidos en el colegio de Mario?

2.5) Dyanita Rivera le pregunta a su hijo Mathas Surez De qu cantidad es $ 920 el 20 %?. Cul es la respuesta?

2.6) En un engranaje, el pin mayor tiene 40 dientes y el menor tiene 25 dientes. Si el pin mayor da 200 vueltas. Cuntas

vueltas da el menor?

Pg. 46

2.7) Una guarnicin de 1300 hombres tienen vveres para 120 das. Si se desea que los vveres duren 10 das ms. Cuntos

hombres habra que retirar de la guarnicin?

1300 hombres 1200 hombres = 100 hombres

2.8) A un pen se le ofrece un sueldo de $ 1900 anuales y un caballo. Al cabo de 8 meses es despedido recibiendo un total de $

1200 y el caballo. Cul es el valor del caballo?

2.10) Mathas Surez contrata a 24 obreros, los cuales se comprometen a cavar una zanja de 50 m de largo, 8m de ancho y 2 m

de profundidad en 10 das. Mathas decide aumentar todas las dimensiones de la zanja en un 50%. Cuntos obreros se

necesitan para terminar el contrato en la mitad del plazo fijado si aumentan su eficiencia en un 50%?

2.9) Segundo Surez, un artesano, pens hacer 20 figuras de madera en 15 das, pero tard 6 das ms por trabajar 2 horas

menos cada da. Cuntas horas trabaj diariamente?

Pg. 47

MATERIAL DE CLASE 1. En un circo existen 24 leones para los cuales se tiene racin para 21 das. Cuntos leones tendr que

vender el circo si se quiere que las raciones duren 28 das? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 2. Un tonel contiene 108 litros de vino y 27 litros de agua. Si sacamos 30 litros de la mezcla, cuntos

litros de vino han sido extrados? a) 12 b) 16 c) 18 d) 20 e) 24 3. Se han empleado 8 das para cavar una zanja. Si la dificultad de otro terreno y la dificultad del anterior

estn en la relacin como 3 es a 4. Cuntos das llevara cavar otra zanja igual en el nuevo terreno? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 4. Se contratan 24 obreros para construir un tnel y faltando 15 das para terminarlo, 4 de ellos se retiran.

Cuntos das tardarn los obreros que quedan para culminar la obra? a) 16 b) 18 c) 20 d) 24 e) 27 5. Un obrero trabaja durante 15 das y hace 3/5 de una obra. En cuntos das ms terminar la obra? a) 5 b) 10 c) 12 d) 4 e) 9

Pg. 48

6. Dieciocho hombres pueden hacer una obra en 9 das. Con cuntos hombres deberan reforzarse para terminar la obra en 6 das?

a) 3 b) 6 c) 9 d) 5 e) 10 7. Una guarnicin de 2000 hombres tiene vveres para 7 meses, pero recibe un refuerzo de 1200 debido a

que murieron 400 en una batalla. Cuntos meses durarn los vveres si ningn otro soldado muere y todos reciben la misma racin?

a) 5 b) 4 c) 6 d) 2 e) 3 8. Cada soldado de un destacamento recibe 18 panes por semana, pero como a 40 soldados se deben

dar de baja, a cada uno de los restantes les toca 28 panes. Si semanalmente se reparte la misma cantidad de panes. Cuntos soldados quedan?

a) 112 b) 100 c) 84 d) 96 e) 72 9. Csar es el doble de rpido que Manuel pero la cuarta parte de Pedro. Si Manuel y Pedro hacen una

obra en 33 das. En cuntos das harn la misma obra los tres juntos? a) 30 b) 27 c) 24 d) 21 e) 18 10. Una guarnicin de 800 hombres tiene vveres para 3 meses. Si se quiere que los vveres duren 2

meses. Cuntos hombres ms se pueden admitir en la guarnicin? a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500 11. Si 40 obreros trabajando 8 h/d construyen 320 mt de una obra en 10 das. En cuntos das 55 obreros,

trabajando 6 h/d harn 330 mt de la misma obra? a) 12 b) 10 c) 15 d) 20 e) N.A. 12. En 12 das, 8 obreros han hecho 2/3 de una obra. Si se retiran 6 obreros, Cuntos das demorarn los

obreros restantes para terminar la obra? a) 15 b) 18 c) 24 d) 32 e) N.A. 13. Se tiene 500 kg. de arroz para alimentar 125 hombres durante 100 das. Si se presentan 25 hombres

ms, En cunto debe aumentar el arroz para alimentar a todos durante 130 das? a) 580 b) 780 c) 280 d) 380 e) N.A. 14. Quince albailes han hecho en 12 das, 3/4 de un puente; si entonces se retiran 7 albailes, En cunto

tiempo terminarn los restantes? a) 6 b) 8 c) 7,5 d) 9,5 e) N.A.

Pg. 49

15. Con 5 kg. de arena se forman 8 cubos de 8 cm. de lado. Cuntos cubos de 4 cm. de lado se podrn formar con 10 kg. de arena?

a) 8 b) 16 c) 32 d) 64 e) 128 16. Tres gallinas ponen tres huevos en tres das. Cuntos huevos pondrn 6 gallinas en 6 das? a) 6 b) 12 c) 24 d) 18 e) N.A. 17. Si 20 pelculas se proyectan en 30 cines durante 4 meses en 3 funciones diarias. Cuntas pelculas se

proyectaran en 120 cines durante 3 meses en 2 funciones diarias? a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) N.A. 18. Trabajando 10 horas diarias durante 15 das, 5 hornos consumen 50 toneladas de carbn. Cuntas

toneladas sern necesarias para mantener 3 hornos ms, trabajando todos 9 horas diarias durante 85 das?

a) 405 b) 408 c) 418 d) 458 e) N.A. 19. Diez obreros construyen una cerca perimetral de un terreno cuadrado de 100 m2 en 12 das. Cuntos

das demorarn 30 obreros si el terreno fuese de 400 m2? a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) N.A. 20. El rendimiento de un obrero es a 5 como el de una obrera es a 2. Si 4 obreros y 2 obreras realizan un

trabajo en 4 das. Cuntos das demorarn 2 obreros y 3 obreras para realizar los 2/3 del trabajo? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) N.A. 21. Se emplean 15 albailes de 80% de rendimiento trabajando 15 das a razn de 8 horas diarias para

hacer una zanja de 40m de largo, 3m de ancho y 1m de profundidad; en un terreno cuya resistencia es como 5. Cmo cunto ser la dureza o resistencia de otro terreno donde 18 albailes de 60% de rendimiento trabajando 18 das a razn de 10 horas diarias hicieron una zanja de 30m de largo, 2m de ancho y 1,5m de profundidad? a)6 b)8 c)7 d)9 e)3,6

2.3 TANTO POR CIENTO

Pg. 50

DEFINICIN: El tanto por ciento de una cantidad nos indica cuantas partes se consideran de la cantidad dividida en cien partes iguales. El a por ciento de N, que se denota as: a% de N, se calcula de la forma siguiente:

N100

a = N de % a

Grficamente:

Unidad < > 100 Partes iguales

1001 100

1 100

1 100

1 .........

1001

1001

%31003

CONSIDERACIONES IMPORTANTES a) Una cantidad total representa el 100% Si N es una cantidad total

N = 100% N b) Una cantidad aumentada en a% representa el %a100 de la cantidad inicial. Si N es una cantidad total y aumenta en 10%

N + 10% N = 110 % N c) Una cantidad disminuida en a% representa el %a100 de la cantidad inicial. Si N es una cantidad total y disminuye en 20%

N 20% N = 80 % N

Pg. 51

d) El porcentaje que representa una cantidad a respecto a otra cantidad b se calcula as:

100b

a%

e) El a% del b% del c% de N se calcula de la forma siguiente:

N100

c

100

b

100

aP

f) El a% de N, ms el b% de N, menos el c% de N se calcula as:

Nde%c%b%a DESCUENTOS SUCESIVOS: Es la operacin que consiste en hallar a qu descuento nico equivalen varios descuentos sucesivos que se han aplicado a una determinada cantidad. En el caso de dos descuentos sucesivos de a% y b% se tiene que:

%100

abba.U.D

AUMENTOS SUCESIVOS: Es la operacin que consiste en hallar a qu aumento nico equivalen varios aumentos sucesivos que se han aplicado a una determinada cantidad.

En el caso de dos aumentos sucesivos de a% y b% se tiene que:

%100

abba.U.A

APLICACIONES COMERCIALES DEL TANTO POR CIENTO: Sean:

PC = Precio de Costo o de Compra PV = Precio de Venta PL = Precio de Lista (Precio fijado para la venta) G = Ganancia o Utilidad

Pg. 52

P = Prdida D = Descuento (Rebaja)

Fcilmente, se pueden deducir las siguientes relaciones:

1. PV = PC +G

2. PV = PC P

3. PV = PL D NOTA: En general, la ganancia o la prdida es un % del precio de costo.

MATERIAL DE CLASE 1. Hallar el 18% de 72. a) 12,48 b) 12,96 c) 14,48 d) 14,96 e) 13,48 2. Hallar el 1/2 % de 18. a) 0,9 B) 0,09 c) 0,009 d) 9 e) 90 3. Hallar el 2/3 % de 54. a) 3,6 b) 0,36 c) 0,036 d) 0,0036 e) 36 4. Hallar el 2/9 % de 360. a) 8 b) 0,8 c) 0,08 d) 0,008 e) 80 5. De qu nmero es 84 el 7%? a) 1200 b) 12000 c) 120 d) 1,2 e) 12 6. Cul es el nmero cuyo 3/4 % es 21? a) 1600 b) 2600 c) 2800 d) 3200 e) 3800 7. El 20% de qu nmero es el 40% del 5% de 600?

Pg. 53

a) 600 b) 6000 c) 60 d) 6 e) 0,6 8. El 30% del 20% de los 2/5 de un nmero es equivalente al 24% del 0,01% de 1000. El nmero es: a) 700 b) 0,2 c) 1 d) 120 e) 2 9. Si un cuadrado de 80 cm2 de rea se reduce a uno de 45 cm, el permetro del nuevo cuadrado ser

el..... del anterior. a) 45% b) 25% c) 75% d) 40% e) 50% 10. Si los lados de un tringulo equiltero disminuyen un 30%, en cunto disminuye su rea? a) 30% b) 70% c) 49% d) 51% e) 35% 11. La base de un tringulo se incrementa en un 30%, mientras la altura disminuye en 10 %. Cul ser la

variacin porcentual del rea del tringulo?

a) 20% b) 17% c) 17%

d) 7% e) 7%

12. El 84% de N es igual al 105% de (N120). Qu % de N representa 192? a) 20% b) 16% c) 40% d) 32% e) 46% 13. Dos descuentos sucesivos del 40 % y 20 %, equivalen a un descuento nico de: a) 68% b) 52% c) 76% d) 60% e) 58% 14. Perdiendo el 20% del costo he vendido un terreno por $ 10000. Por cunto lo compr? a) 12000 b) 13000 c) 12600 d) 12500 e) 11000 15. Un objeto comprado en 350 soles se ha vendido en 301 soles. Qu porcentaje del precio de compra

se ha perdido? a) 49% b) 14% c) 7% d) 19% e) 18% 16. Ganando el 14% del costo se ha vendido una mercadera en 741 soles. Por cunto se compr? a) 630 b) 640 c) 600 d) 650 e) 500 17. Una casa comercial vende un televisor a $ 120 perdiendo en la venta $ 5. Qu tanto por ciento perdi? a) 2% b) 4% c) 8% d) 10% e) 5% 18. Vendiendo un artefacto por 1500 soles se gana el 20% del costo. Cunto cost el artefacto?

Pg. 54

a) 1000 b) 1200 c) 1250 d) 900 e) 1100 19. Un artculo que cost 150 soles se vendi ganando el 50% del precio de venta. Cul fue el precio de

venta? a) 200 b) 225 c) 300 e) 350 e) 250 20. Un traje que cuesta $ 60 es vendido en $ 80. Cul es el beneficio con respecto al precio de venta?

a) 3

133

% b) 25% c) 20% d) 23% e) 10% 21. El precio de un vestido que vala originalmente $ 100, fue reducido en un 30%. Ms tarde este nuevo

precio fue rebajado en un 20%. Cul fue el precio final? a) 70 b) 50 c) 56

d) 44 e) 34 22. Dos computadoras se han vendido en $ 2970 cada una. Si en la primera se gan el 10 % y en la

segunda se perdi el 10 %, entonces: a) Gan $ 60 b) Perdi $ 60 c) Perdi $ 20 d) Gan $ 20 e) No gan ni perdi

MATERIAL DE PRCTICA 1. Hallar el 0,05% de 4200 a) 0,12 b) 0,021 c) 2,1 d) 2,01 e) 0,21

2. El 20% del 30% del 0,001 de 41060 es:

a) 0,36 b) 3600 c) 3,6 d) 36 e) 360

Pg. 55

3. 36% de qu nmero es 144? a) 40 b) 400 c) 360 d) 1440 e) 300

4. El 30% de 2

3% de qu nmero es 16?

a) 0,08 b) 0,008 c) 8000 d) 800 e) 80 5. El 15% del 40% de los 5/8 de un nmero es equivalente al 25% del 0,02% de 2250. El nmero es: a) 3 b) 30 c) 300 d) 3000 e) N.A. 6. Si Luisa tuviera el 35% menos de la edad que tiene, tendra 13 aos. Cuntos aos tendr dentro de 8

aos? a) 20 b) 25 c) 28 d) 26 e) 24 7. Qu % del 15% del 8% de 600 es el 20% de 0,5% de 1440? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

8. Hallar el 40% de 360. Rpta.: .............................. 9. El 30% de un nmero es 12. Hallar dicho nmero. Rpta.: .............................. 10. Si la longitud de una circunferencia aumenta 10%, en qu porcentaje aumenta el rea de dicho

crculo? Rpta.: .............................. 11. Los descuentos sucesivos del 10% y 30%, es equivalente a qu descuento nico? Rpta.: .............................. 12. A qu aumento nico equivale los aumentos sucesivos del 20% y 40%? Rpta.: .............................. 13. En qu porcentaje se ha incrementado el rea de un cuadrado, si sus lados se incrementan en un

20%? Rpta.: .............................. 14. Una tela al lavarse se encoge 15% en el ancho y 25% en el largo. Si se sabe que la tela tiene 4m de

ancho, qu longitud debe comprimirse si se necesita 51 m2 de tela despus de lavada?

Pg. 56

Rpta.: .............................. 15. Una lavadora se ofrece en S/. 25 000 menos 2 descuentos sucesivos del 20% y 5%. Entonces el

precio de venta es: Rpta.: ..............................

REGLA DE MEZCLA Y ALEACIN

PRE

Saber, Saber Hacer, Saber Ser Pgina 57

Qu es una mezcla?

Es una reunin de 2 o ms sustancias (ingredientes) en cantidades arbitrarias conservando cada una de

ellas su propia naturaleza.

En qu consiste la regla de mezcla?

La regla de mezcla se origina por el deseo de los comerciantes en determinar el precio de venta de una

unidad de medida de la mezcla.

Para ello se vale de algunos procedimientos aritmticos, lo cual en su conjunto constituye la Regla de mezcla.

Ejemplo inductivo:

Un comerciantes hace el siguiente pedido a un distribuidor mayorista de caf:

Caf Cantidad

en Kg.

Precio

unitario

Extrae (E)

Superior (S)

Corriente (C)

50

20

15

S/. 7

S/. 5

S/. 4

Para venderlos a sus clientes el comerciante mezcla los tres tipos de caf. A cmo se debe vender el kg

para ganar el 20%?.

Para ello debe saber las siguientes frmulas:

* En general para K sustancias

Cantidades C1 C2 C3 C4 Ck Precios unitarios P1 P2 P3 P4 Pk

Se debe cumplir:

I. Precio medio = k

kk

CCCC

PCPCPCPC

...

...

321

332211

= totalpeso

totalCosto

II. mayor

precio

medio

precio

menor

precio

III. aparente

perdida

aparente

ganacia

IV. gananciamedio

precio

venta

precio

Mezcla alcohlica: Es aquella mezcla en la que interviene alcohol puro y agua.

Adems: 100

totalvolumen

alcoholdevolumen

mezcla

degrado

kVVV

GVGVGVGV

medio

gradokk

...321

...321 321

Siendo: V1,V2 ,V3VK volmenes G1, G2, G3, ... Gk grado

PRE

Pgina 58

Aleacin:

Definicin: Es la mezcla de 2 ms metales mediante el proceso de fundicin. En las aleaciones por

convencionalismo los metales se clasifican en:

a) Finos oro, plata, platino.

b) Ordinarios Cobre, hierro, zinc.

La pureza de una aleacin se determina mediante la relacin entre el peso del metal fino empleado y el

peso total de la aleacin, a dicha relacin se le conoce como la ley de la aleacin.

En general:

Para la aleacin:

Peso metal

fino

Peso metal

ordinario

I. Ley = 24

kilatesdeN

totalpeso

finometalpeso

II. Liga = totalpeso

ordinariometalpeso

III. 0 aleacion

ladeLey 1

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1) Un comerciante tiene n litros de aceite compuesto y m de aceite vegetal, los cuales lo mezcla para vender el litro en m soles. Cunto cuesta el litro de aceite vegetal?. Si el litro de aceite compuesto 25% menos que el aceite vegetal?

Rpta.: ...............

2) Se tiene n ingredientes, cuyos pesos estn en la relacin de 1, 2, 3,... y de los precios S/.2, S/.3, S/.4........, respectivamente, la mezcla de estos ingredientes tiene un precio medio de S/.14. Calcule

n.

Rpta.: ...............

3) Se tiene 3 lingotes de oro, con leyes: 0,960; 0,760 y 0,93375 respectivamente. Se desea obtener un lingote de 2,45kg, con ley 0,900. Qu peso (gramos) es necesario tomar del segundo lingote si se

impone la condicin de emplear 800 gramos del tercero?.

Rpta.: ...............

4) Se ha mezclado 3 sustancias de densidades 2,6g/cm3; 1,8g/cm3 y 2,00g/cm3 y cuyos pesos fueron 169g, 144g, 170g respectivamente. Qu densidad tiene la mezcla obtenida?.

Rpta.: ...............

5) Una persona tena que preparar 300 litros de una bebida mezclando vino y agua en la proporcin de 15 es a 1; pero por error emple vino y agua en la proporcin de 5 es a 1. Cuntos litros de vino

deber agregar a la mezcla anterior para obtener la proporcin deseada?

PRE

Pgina 59

Rpta.: ...............

6) Cuntos litros de alcohol de 72 se debe aadir a 432 litros de alcohol de 36 para obtener cierta cantidad de alcohol de 45?

Rpta.: ...............

7) Se hace una mezcla de vino de S/.75 el litro; S/.60 el litro y agua; la mezcla tiene un precio de S/.50 el litro. Se sabe que la cantidad de agua es los 2/5 de la cantidad de vino de S/.60. En qu relacin

est la cantidad de vino de S/.75 a la cantidad de vino de S/.60?

Rpta.: ...............

8) Se han tomado 3 barras de plata de 0,900; 0,800 y 0,600 de ley y cuyos pesos respectivos son inversamente proporcionales a su ley. Obtenindose una aleacin de 1682 gramos. Calcular la ley de

la aleacin resultante.

Rpta.: ...............

9) Un recipiente contiene los lquidos A, B y C en la relacin de 2, 3 y 7: la mezcla en la intemperie se evapora, pero el primero es el ms voltil, los lquidos se pierden en la relacin de 8, 5 y 2. Luego

de un tiempo. En qu relacin se encuentra los lquidos, si se ha evaporado la veinticuatroava parte

del total?

Rpta.: ...............

10) Se ha mezclado 22 litros de alcohol de 38 grados con 28 litros de alcohol. De 42 grados, pretendiendo obtener alcohol de 40 grados; para conseguir el grado requerido se ha tenido que dejar

la mezcla al aire, para que se volatilice el alcohol. Si el alcohol se volatiliza a razn de 16ml por

minuto. Qu tiempo fue necesario exponer la mezcla al aire?

Rpta.: ...............

11) Un yacimiento polimetlico tiene 3 labores en produccin, con las siguientes leyes de Cu, Pb y Zn:

%Cu %Pb %Zn

1 Labor 4 60 20

2 labor 8 50 16

3 labor 6 45 18

La planta concentradora requiere 1500 toneladas diarias de mineral. Mediante pruebas metalrgicas

se ha estimado que la Ley de cabeza (Ley de mineral que entra en la planta). Es recomendable:

%Cu = 6,6% %Pb = 50,5% y

%Zn = 17,4%

Cuntas toneladas se debe extraer de cada labor?

Rpta.: ...............

PRE

Pgina 60

12) Se ha mezclado 240g de oro con 36g de Cu para bajar su ley a 800 milsimas. Qu peso de oro de 980 milsimas es necesario adicionar a esta mezcla, para que el otro retorne su ley primitiva?.

Rpta.: ...............

13) Don lingotes de 520g de un metal A y 960g de un metal B, han sido sumergidos, ambos, en un recipiente lleno de agua y han desalojado 500g de agua. Se toma 91g de metal A y 48g de B; se

mezclan y se obtiene una aleacin de 2,78g/cm3 de densidad. Se pide determinar la densidad de los

metales.

Rpta.: ...............

14) Al mezclar dos aleaciones de un mismo metal, de densidad 3,2 g/cm3 y 4,8g/cm3 en igualdad de volmenes, se ha obtenido una aleacin de 900 milsimas. De haber mezclado en igualdad de peso,

se habra obtenido una aleacin de 915 milsimas. Encontrar las leyes de las aleaciones.

Rpta.: ...............

15) Se desea obtener arcilla con 58% de Al2O3, mezclando 360T y 200T de arcilla con 52% y 61% de Al2O3 respectivamente para obtener el porcentaje de Al2O3 deseado, ha sido preciso adicionar arcilla

con 64% de Al2O3. Cuntas toneladas se han adicionado de la ltima clase?.

Rpta.: ...............

16) Se tiene un tanque con 100L de alcohol al 10%, se necesita una mezcla alcohlica al 80%, para lo cual se coloca un grifo que suministra alcohol de 90% a razn de 10L por minuto. Si el costo por

hora del suministro es de S/.138. Calcule cuanto ser el costo del suministro para obtener la mezcla

deseada.

Rpta.: ...............

17) Se mezclan caf de precios S/.4; S/.5 y S/.8 que pesan 2kg, 1kg, y a kg respectivamente. Hallar a si el precio medio es (a - 6) 13.

Rpta.: ...............

18) Un alumno del colegio pre-universitario Manuel Escorza Desea mezclar shampoo de S/.0.5 y de 3 por S/.1 de 200 ml y del 2do 150ml c/u. Hallar el Pm.

Rpta.: ...............

19) Al mezclar 4Kg de leche de S/.2 con 8Kg a m soles se obtuvo un

Pm = m. Hallar: mmm - 1

Rpta.: ...............

20) Se al mezclar un licor con 30 de alcohol a S/.12 c/litro, con otro licor con 36% de alcohol a S/.18 el litro y se obtiene una mezcla cuyo Pm = 16. Hallar el grado alcohlico de la mezcla.

Rpta.: ...............

PROBLEMAS PARA LA CASA

PRE

Pgina 61

1) Se hace una mezcla de vinos de S/.70 el litro y S/.60 el litro con agua, la mezcla tiene un precio de S/.50. Se sabe que la cantidad de agua es los 2/5 de la cantidad de vino de S/.60. En qu relacin

estn las cantidades de vinos de S/.40 respecto al de S/.60.

a) 0,4 b) 0,33 c) 0,5

d) 6,0

e) 0,45

2) Se tiene 20 litros de alcohol al 80%. Si se le agrega 5 litros de alcohol puro. Cul ser el porcentaje de alcohol de la mezcla?

a) 78% b) 81% c) 75%

d) 84% e) 60%

3) Se tienen 540L de alcohol al 90, se le agrega con 840L de un alcohol de 72 para que la mezcla sea de 60%, indicar la cantidad de agua que se debe adicionar a la mezcla.

a) 432 b) 498 c) 568

d) 512 e) 712

4) Una barra de oro de 14 kilates pesa 21 gramos. Qu peso de oro puro se le debe aadir para obtener una ley de 18 kilates.

a) 13 b) 17 c) 21 d) 10 e) 14

5) Un anillo de oro de 18 kilates pesa 9 gramos. Si el gramo de oro puro se paga a S/.18. Cul es el costo del anillo?

a) 125,1 b) 121,5 c) 134,5

d) 152,4 e) 174,5

6) En un bidn hay 40 litros de alcohol al 90% de pureza en otro hay 60L de alcohol al 70%. Cul es el grado medio?

a) 77,5 b) 68 c) 69,5

d) 77 e) 83

7) Una aleacin con un peso de 4Kg se funde con 5Kg de plata y resulta 0,9 de Ley. Cul es la ley primitiva?

a) 0,70 b) 0,67

c) 0,48 d) 0,65

e) N.A.

8) Un alumno del colegio Manuel Escorza hace un experimento con una sustancia que vara el color al echar un lquido x. Empieza con 400 litros al 75% del lquido x; si se le agrega 900 litros de

lquido x (puro) Cul sera su color si se le quita 80 litros?.

a) Morado y verde

b) Rojo y azul

c) Verde y rojo

d) Azul y amarillo

0 20 40 60 80 100 Morado Verde Rojo Azul Amarillo

PRE

Pgina 62

e) N.A.

9) Qu cantidad de cobre debe aadirse a una barra de plata que pesa 635g y tiene 0,920 de ley para que resulte una aleacin de 0,835 de ley?

a) 46,64 b) 64,64

c) 56,84 d) 63,64

e) 66,44

10) Una mezcla alcohlica de 85% de dureza contiene 420 litros mas de un ingrediente que el otro. Qu cantidad de alcohol puro contiene?

a) 510 b) 490 c) 560

d) 450 e) 360

11) Se venda por S/.7710 un tonel de vino de 220L que es una mezcla de otros dos que valen S/.41 y S/.29 el litro. Cuntos litros de la 1era clase contiene el tonel si se ha realizado en la venta un

beneficio de S/.1000.

a) 28,5 b) 26,5

c) 27 d) 27,5

e) 28

12) Si se funde 50 gramos de oro con 450g de una aleacin, la ley de aleacin aumenta 0,02. Cul es la ley de la aleacin primitiva?

a) 0,7 b) 0,55 c) 0,8

d) 0,6 e) 0,9

13) Qu cantidad de cobre habr de aadirse a una barra de plata a 4,4Kg, cuya ley es 0,92 para que esta disminuya a 0,88?.

a) 0,1kg b) 0,2kg

c) 0,18kg d) 0,3kg

e) 0,25kg

14) Cul es la ley de aleacin del que est echo un plato cuyo peso es 500g. Si se ha vendido a S/.770, al precio de S/.2200 por kilogramo de plata pura.

a) 0,6 b) 0,75 c) 0,65

d) 0,68 e) 0,7

15) Se tiene una barra de plata de 0,85 de ley. En qu relacin en peso, deben quitarse las cantidades de plata y Cu para que la ley se conserve?

a) 16/5 b) 8/5 c) 17/5

d) 17/3 e) 14/9

PRE

Pgina 63

ECUACIN LINEAL O DE PRIMER GRADO

De la ecuacin polinomial; si n = 1

P(x) = a0x1 + a1 = 0

Forma general: ax + b = 0; a 0

Raz: x = a

b

Anlisis de la ecuacin lineal

a) Si a 0; ax + b = o; se puede despejar x sea tiene solucin nica.

b) Si a = 0 b= 0; 0x + 0 = 0

Se observa que se verifica para cualquier valor de x (indeterminada)

c) Si a= 0 b 0; 0x + b = o; se observa que no cumple para ningn valor de x (incompatible)

Ecuacin fraccionaria

Llamada tambin racional fraccionaria de la forma:

)(

)(

x

x

F

P= 0; F(x) 0

Ecuacin irracional

Uno de los miembros tiene funcin irracional

Ejemplo:

)()(( xx FP ; P(x) 0 F(x) 0

3.2 TEORA DE ECUACIONES

PRE

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MATERIAL DE CLASE

ECUACIONES LINEALES:

1. Resolver: 2222

4)(x3)(x2)(x1)(x

a) 1/2 b) -1/2 c) 3/2

d) -3/2 e) -5/2

2. Resolver: 3x + (-5 + x) = 2x (2x - 3)

a) 0 b) 1 c) 2

d) -1 e) -2

3. Reduzca: 04

4x

3

3x

2

2x

a)

13

36 b)

36

13 c)

13

9

d)

9

13 e) {12}

4. Hallar el valor de x en:

9)2(x

1

9)4(x

1

x

1

a) 6 b) -1 c) 12

d) 15 e) 2

5. Resolver: 2)2)(a(a

15a

2a

3

2a

1

a) 6 b) 2 c) 12

d) 15 e) -1

6. Hallar el valor de x:

6

15x

3

12x

2

13x

a) 1/3 b) 1 c) 1/6

d) 2/3 e) Indeterminada

7. Resolver: 5

4x

4

3x

3

2x

2

1x

a) 1 b) 2 c) 3

d) -1 e) -2

8. Hallar el valor de x en la siguiente ecuacin: 4

316x4x

6

110x4

PRE

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a) 3/2 b) 11/4 c) 15/2

d) 11/3 e) Necesito calculadora

9. Resuelva:

0432x4

1

3

1

2

1

a) {150} b) {140} c) {200}

d) {120} e) {45}

10. Resuelva: 0345x3

1

3

1

3

1

a) 30 b) 27 c) 33

d) {30} e) {33}

11. Resolver: 10

3

317m10m

108m3m2

2

a) 109/29 b) 77/29 c) 66/29

d) 115/29 e) 1/2

12. Resolver: 65mm

2)7m(m

2m

5m

3m

12m2

a) -1 b) 5/2 c) 1/2

d) -11/2 e) 5/3

13. Hallar 2(x+1) en la ecuacin:

2199x5x

85x10x2

2

a) 2 b) 6 c) 8

d) 1/2 e) -2

14. Resolver:

10

1

5

32x

8

2x

3

45x

2

13x

a) -2 b) 1 c) 1/2

d) -1/2 e) -1

15. Resuelva en x; a b (x + a2)(x + b2) = (x + ab)2

a) -1/2 b) -1 c) 0

d) 1 e) 2

16. Hallar el valor de x:

2a

nx

n

ax

PRE

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a) a-n b) n-a c) a+n

d) a-n e) -2a-n

17. Sea la ecuacin en variable x:

13n

1x

2n

1x

Si se cumple para 5

23x , indique n.

a) -4 b) -2 c) 2

d) 4 e) 5

18. Resolver:

3c

cx

b

bx

a

ax

Sabiendo que: bc + ab + ac 0

a) 2 b) abc c) a+b+c

d) 1 e) 0

19. Hallar el valor de x en la siguiente ecuacin: 1ab

cx

ac

bx

bc

ax

a) ba

1ab

b)

ba

2ab

c)

ba

ab

d) ac

c2

e)

222cba

abc

20. Resuelva la ecuacin lineal: 222

xn3n1]x2mx1)[(m m,nR

a) 3 b) {3} c) 5

d) m e) n

21. En la ecuacin en x: (n2 - 7n + 10)x + 9n = n2 + 14

Determinar el valor de n para que la ecuacin tenga solucin.

a) R-{2,5} b) R-{-2} c) R-{-5}

d) R-{5} e) R-{-2,-5}

22. Resuelva:

20128x5x3x2

a) 2 b) -2 c) {2}

d) {-2} e) 1

PRE

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23. Resolver: 3

2

x3x3

x3x3

a) 26/11 b) 17/14 c) 36/13

d) 18/13 e) 12/7

24. Resolver: 02x21

a) 47 b) 48 c) 49

d) 50 e) 51

25. Resolver: 23x

52x

52x

3x

a) 1 b) 0 c) -2

d) 2 e) -1

ECUACIONES CUADRTICAS

1. Determinar el conjunto solucin de:

3(2x - 3)2 = 4x(2x - 9) + 43

a) {2} b) {2;-2} c) {-2}

d) {-1;1} e) {-1}

2. Resolver: x2-4x+1=0, indicar una de sus races.

a) 3-2- b) 2-2- c) 22-

d) -1 e) 32-

3. Calcular la discriminante de:

x2 + 3x 10 = 0

a) 49 b) 31 c) -31

d) -49 e) 7

4. Resolver: 5

4

5

xx

2 ; indicar la suma del producto de sus races con la suma de sus races.

a) -1 b) 1/5 c) 6/5

d) 5/6 e) 1

5. La suma de sus races de la ecuacin:

3x2+ax+a-6=0 es 4; hallar el producto.

a) -12 b) 12 c) 6

d) -6 e) 18

6. Si: m y n son las races de la ecuacin: x2-2x-1=0. Calcular:m2n + mn2

PRE

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a) 2 b) 4 c) -4

d) -2 e) 5

7. Determine el valor de k en: 3x2+41x+k=0, si el producto de las races es 7.

a) 10 b) 21 c) 41/3

d) 7/3 e) 3/7

manual pre

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