manual de teoría de máquinas y mecanismos ii - estática

7/23/2019 Manual de Teoría de Máquinas y Mecanismos II - Estática

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1

TEORÍA DE MÁQUINAS Y

MECANISMOStomo II

Estática

Jesús Benet Mancho

Vicente Yagüe Hoyos

Marta Hernández Toledo



2

ÍNDICE

Principios de la mecánica clásica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Estática del punto y de los sistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Estática del sólido rígido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Estática analítica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Estática de hilos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Rozamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Problemas de estática del sólido rígido.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Problemas de estática analítica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Problemas de estática de hilos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Problemas de rozamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272



principios de la mecánica clásica

3

PRINCIPIOS DE LA MECÁNICA CLÁSICA

1. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA

2. CONCEPTO DE FUERZA. CLASIFICACIÓN

3. CAMPOS DE FUERZAS

4. TRABAJO ELEMENTAL Y TRABAJO TOTAL. POTENCIA

5. CAMPOS CONSERVATIVOS. FUNCIÓN DE FUERZAS. POTENCIAL

6. ENERGÍA. ENERGÍA POTENCIAL Y ENERGÍA CINÉTICA




4

1. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA

La Mecánica es la ciencia que estudia las leyes generales del equilibrio o movimiento de los

cuerpos materiales y de las interacciones que se manifiestan entre los mismos en el transcurso de

este proceso.

En Mecánica, bajo el concepto de movimiento se sobreentiende movimiento mecánico, es decir,

un cambio de la disposición recíproca de los cuerpos en el espacio, que tiene lugar en el

transcurso del tiempo. La interacción mecánica tiene como resultado bien la variación del

movimiento o posición de los cuerpos (Mecánica del Sólido Rígido), bien la modificación de su

forma (Mecánica del Sólido Deformable). La magnitud que expresa de forma cuantitativa la

interacción mecánica se llama fuerza. El objeto de estudio de la asignatura Mecánica y Teoría de

Mecanismos I es la Mecánica del Sólido Rígido. El estudio de la Mecánica del Sólido Deformable

se contempla dentro de la materia conocida en ingeniería como Elasticidad y Resistencia de

Materiales.

Así pues, el objetivo fundamental de la Mecánica del Sólido Rígido es el estudio de las leyes del

movimiento y equilibrio de los cuerpos rígidos sometidos a la acción de las fuerzas, despreciando

las deformaciones y la posibilidad de rotura de los mismos. La Mecánica que desarrollaremos es

la denominada Newtoniana o Clásica, que proporciona resultados de gran precisión cuando se

aplica al estudio de problemas técnicos. La formulación de las leyes de la Mecánica Clásica, esta

basada en los principios de Newton-Galileo, estos principios carecen de demostración y resultan

de la observación de la naturaleza. Los enunciados de estos principios son los siguientes:

1) Principio de inercia: Todo punto material aislado (en ausencia de fuerzas actuantes) tiene

aceleración nula. En consecuencia, su estado será de reposo (velocidad nula) o de movimiento

rectilíneo y uniforme.

2. Principio de acción de fuerzas: La aceleración que adquiere un punto material es proporcional

a la fuerza que actúa sobre él, y de su misma dirección y sentido. La expresión matemática de este

principio constituye la ecuación fundamental de la Mecánica:




5

(1)

Figura 1. Interacción entre dos puntos.(2)

La constante de proporcionalidad entre las magnitudes de la fuerza y de la aceleración es la masa

del cuerpo m. Como puede apreciarse el principio de inercia es en realidad un caso particular del

principio de acción de fuerzas, ya que para F=0, resulta a=0, y por tanto la velocidad es nula o

constante.

3. Principio de acción y reacción: Cuando dos puntos

materiales interaccionan en ausencia de cualquier

otra acción exterior, aparecen sobre ellos fuerzas

iguales y opuestas, en la dirección de la fuerza que

los une.

2 1 1 221 12Siendo: F fuerza de la partícula P sobre P , F fuerza de la partícula P sobre P .

4. Principio de independencia de acción de fuerzas: La acción de una fuerza aplicada no depende

de la existencia de otras fuerzas actuantes, ni del estado de reposo o movimiento del cuerpo. Lo

cuál equivale a decir que el efecto de un sistema de fuerzas sobre una partícula es igual a la suma

de los efectos que producen cada una de las fuerzas actuando aisladamente.

5. Principio de la relatividad de Galileo: La aceleración y demás magnitudes que intervienen en

la formulación de la ley del movimiento del punto son iguales en cualquier sistema de referencia

inercial. Por consiguiente para el estudio de los diferentes problemas mecánicos utilizaremos

siempre un sistema de referencia inercial. Los sistemas fijos cumplen esta propiedad ya que las

aceleraciones, fuerzas, etc, son siempre las mismas en cualquier sistema fijo.




6

2. CONCEPTO DE FUERZA. CLASIFICACIÓN

Como hemos comentado, fuerza es la magnitud que expresa de forma cuantitativa las

interacciones que tienen lugar entre los cuerpos y se define como cualquier causa capaz de alterar

el movimiento de un cuerpo o de producir transformaciones en él. Las fuerzas que actúan sobre

un cuerpo pueden clasificarse como:

1. Fuerzas solicitantes o directamente aplicadas: producidas por un agente externo, como la

presión de un fluido sobre el recipiente que lo contiene, la acción del campo gravitatorio terrestre,

la acción de un campo magnético, etc.

2. Fuerzas de enlace: llamadas también reacciones, producidas por los enlaces o ligaduras a los

que está sometido el cuerpo, los cuales limitan sus posiciones o sus movimientos.

3. Fuerzas interiores: son las que produce cualquier parte del sistema material sobre otras partes

del mismo debido a las ligaduras internas. Por el principio de acción y reacción, las fuerzas

internas son parejas de fuerzas de igual módulo, dirección y línea de acción, pero de sentido

opuesto, por lo que constituyen un sistema nulo, esto es su resultante y momento resultante son

cero.

4. Fuerzas de inercia: son fuerzas sin existencia real pero que es preciso considerar cuando se

estudia el equilibrio o movimiento de un cuerpo. Las fuerzas de inercia son términos matemáticos

correspondientes a las masas y aceleraciones que aparecen en las ecuaciones dinámicas de los

cuerpos y que equivalen a una fuerza más. Así en la ecuación fundamental de la dinámica: F=m.a,

al término -m.a se le denomina también fuerza de inercia y la ecuación fundamental de la dinámica

se puede también escribir como F-m.a=0, esto equivale a decir que la suma de las fuerzas que

actúan sobre un punto ha de ser igual a cero, incluyendo la fuerza de inercia como una fuerza

actuante más.




7

Figura 2. Trabajo de una fuerza.

(3)

3. CAMPOS DE FUERZAS

Se dice que en una región del espacio existe un campo de fuerzas cuando, por el hecho de colocar

el cuerpo en dicha región, aparece instantáneamente sometido a una fuerza. La fuerza a la que se

encuentra sometida el cuerpo, puede ser constante o variar según su posición en el campo y suele

ser proporcional a lo que se conoce como magnitud activa del campo. La constante de

proporcionalidad suele ser una propiedad interna del cuerpo. En el caso del campo gravitatorio

terrestre, el campo ejerce una fuerza sobre los cuerpos dirigida hacia el centro de la tierra, de

valor: F = m.g, en donde g es la aceleración de la gravedad y representa la magnitud activa del

campo, el valor de g es constante para todos los cuerpos, mientras que la constante de

proporcionalidad m es la masa del cuerpo que varía para cada cuerpo.

En general las fuerzas de campo son función de la posición, velocidad y del tiempo: F=F(r,v,t),

en el caso particular de que la fuerza de campo sea función de la posición: F=F(r), el campo de

fuerzas es un campo vectorial.

4. TRABAJO ELEMENTAL Y TRABAJO TOTAL. POTENCIA

Sea F una fuerza cuyo punto de aplicación

experimenta un desplazamiento elemental dr, se

denomina trabajo elemental dW de la fuerza F

correspondiente al desplazamiento dr al producto

escalar de F por dr, esto es:

Teniendo en cuenta las componentes de F y dr,

tenemos:




8

(4)

(5)

Figura 3. Trabajo de rotación.

(6)

El trabajo total de una fuerza F correspondiente a un desplazamiento finito entre los puntos AB

de su punto de aplicación, a lo largo de una curva, viene dado por la integral de recorrido:

Si la fuerza se mantiene normal a la curva: F dr, el trabajo resulta nulo.

Supongamos que el punto de aplicación P de la fuerza

describe una trayectoria circular, como ocurre en el

caso de un sólido con movimiento de rotación. Sea

EE´el eje de rotación, O’ el centro de la circunferencia

de la trayectoria, y R=O’P el radio de la

circunferencia. En una rotación elemental dè, el punto

de aplicación de la fuerza experimenta un

desplazamiento dr cuyo módulo se puede considerar

equivalente a un arco elemental de circunferencia de

ángulo dè. El vector rotación elemental dè desliza

sobre el eje EE´, su sentido viene dado por la regla de

la mano derecha. El desplazamiento elemental dr se

puede expresar como:




9

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

Teniendo en cuenta las propiedades del producto mixto de vectores, el trabajo elemental de la

fuerza F es:

Considerando la expresión del momento de la fuerza F, respecto de O :

ETeniendo en cuenta además que el vector unitario de eje de rotación es u , el vector rotación

Eelemental se puede expresar: dè=dè.u , resultando:

ESiendo M (F) el momento axial de la fuerza F respecto del eje EE. El trabajo total

1 2correspondiente a una rotación finita entre los ángulos è y è :

Se define la potencia como el trabajo desarrollado por unidad de tiempo. Si el punto de aplicación

de una fuerza F experimenta un desplazamiento Är, desarrollando un trabajoÄW en un intervalo

mde tiempo Ät, la potencia media N desarrollada en ese intervalo es:

Al límite de la potencia media cuando Ät tiende a cero se denomina potencia instantánea, o




10

(12)

(13)

(14)

(15)

simplemente potencia:

Por lo tanto la potencia instantánea es la derivada del trabajo respecto del tiempo. Por otra parte,

dado que el trabajo elemental es dW=F.dr, se cumplirá:

Es decir la potencia instantánea de una fuerza móvil es igual al producto escalar de dicha fuerza

por la velocidad con la que se desplaza su punto de aplicación. En el caso de trabajo de rotación,

se tiene:

5. CAMPOS CONSERVATIVOS. FUNCIÓN DE FUERZAS. POTENCIAL

Se denominan campos de fuerzas conservativos o potenciales a aquellos en los que el trabajo

realizado por las fuerzas del campo en un desplazamiento cualquiera es independiente de la

trayectoria descrita por su punto de aplicación.

Para que un campo de fuerzas sea conservativo o potencial es condición necesaria y suficiente que

el trabajo elemental pueda expresarse como la diferencial total de una función uniforme

U=U(x,y,z) de las coordenadas de los puntos del campo. Dicho de otra forma, es necesario y

suficiente que exista una cierta función escalar de punto U=U(x,y,z) tal que verifique:




11

(16)

(17)

(18)

Ya que de este modo, resulta:

Es decir, el trabajo desarrollado por las fuerzas del campo sólo depende de las posiciones inicial

y final de sus puntos de aplicación, siendo independiente de las trayectorias descritas por los

mismos. Evidentemente, en los campos conservativos, el trabajo desarrollado por las fuerzas del

campo cuando sus puntos de aplicación recorren trayectorias cerradas es nulo.

La función escalar de punto U=U(x,y,z), de la cuál deriva el campo de fuerzas conservativo, se

denomina función de fuerzas. Teniendo en cuenta que:

Comparando esta ecuación con la (15):

Lo cual equivale a:




12

(19)

(20)

(21)

(22)

Es decir, el campo de fuerzas coincide con el campo de gradientes de la función de fuerzas. De

acuerdo con (18), se cumplirá también:

Y por el teorema de Schwartz de igualdad de las derivadas cruzadas:

Análogamente, se tiene que:

Las ecuaciones (21) y (22) son las condiciones necesarias y suficientes que deben de cumplir las

componentes de un campo de fuerzas para que éste sea conservativo.

A la función escalar de punto V(x,y,z)=-U(x,y,z) se le denomina función potencial del campo

conservativo. El valor de la función potencial en un punto cualquiera del espacio, se denomina

también energía potencial. El trabajo correspondiente a un desplazamiento finito entre dos puntos




13

(23)

(24)

(25)

(26)

A y B, se puede expresar por:

Las superficies V(x,y,z)=cte, lugar geométrico de los puntos del campo que tienen igual potencial,

se denominan superficies equipotenciales. El campo de fuerzas se puede expresar:

Es decir, las fuerzas del campo están dirigidas en el sentido de los potenciales decrecientes.

Como ejemplos importantes de campos de fuerzas conservativos, podemos citar:

a) Campo gravitatorio: todo cuerpo situado en el campo gravitatorio terrestre, experimenta una

fuerza hacia el centro de la tierra igual a su propio peso. Si tomamos el eje z en la dirección de

la vertical ascendente, tenemos que:

El trabajo realizado por las fuerzas del campo:

Resultando:




14

(27)

(28)

(29)

Figura 4. Fuerza y potencial elásticode un resorte.

(30)

(31)

Tomando el origen de potenciales en el plano z = 0, la función potencial resulta:

Si trabajamos en dos dimensiones, y tomamos el eje Oy como el de la dirección vertical

ascendente:

Las superficies equipotenciales son planos horizontales z = cte ó y = cte.

b) Campo de fuerzas elásticas producido por un

resorte. Un muelle atrae o repele a los puntos extremos

con una fuerza proporcional a su alargamiento o

acortamiento. Tomando como eje Ox el eje del muelle,

oque además tiene la dirección de la fuerza, sea x la

longitud muerta del resorte ( aquella para la que el

resorte no está deformado y por tanto no ejerce

ninguna fuerza ), se cumplirá:

El trabajo realizado por las fuerzas del campo:




15

(32)

(33)

(34)

Resultando:

oTomando el origen de potenciales la posición x = x , la función potencial resulta:

6. ENERGÍA. ENERGÍA POTENCIAL Y ENERGÍA CINÉTICA

Se define la energía como la capacidad de los cuerpos o de los sistemas físicos para producir

trabajo. La energía es, por tanto, una magnitud representativa del estado del sistema.

En general se utiliza como criterio para asignar el valor de la energía de un sistema, el trabajo

necesario para llevar el sistema al estado actual. Ello lleva implícito la elección de un estado del

sistema al que convencionalmente se le asigna energía nula.

CDesde el punto de vista mecánico existen dos tipos básicos de energía: cinética E y potencial

pE . La energía cinética es debida al estado del movimiento del cuerpo o sistema, la energía

potencial es debida a su posición en el sistema de referencia.

Entre las energías potenciales cabe distinguir la energía potencial de posición de un cuerpo o

p partícula en un campo de fuerzas conservativo, en este caso la energía potencial E se corresponde

como se ha comentado anteriormente, con la función potencial V para la posición del cuerpo, ya

que:




16

(35)

El signo negativo es debido a que la fuerza necesaria para transportar una partícula de O hasta

A es en todo instante igual y contraria a las fuerzas del campo.

En cuanto a la energía cinética de una partícula, su cálculo se realiza a partir del trabajo necesario

para dotar a la partícula de la velocidad que la anima:



estática del punto y de los sistemas

17

ESTÁTICA DEL PUNTO Y DE LOS SISTEMAS

1. CONCEPTO DE EQUILIBRIO

2. ENLACES O LIGADURAS

3. EQUILIBRIO DE UN PUNTO LIBRE

4. EQUILIBRIO DE LOS SISTEMAS DE PUNTOS

5. EQUILIBRIO DEL PUNTO Y DE LOS SISTEMAS SOMETIDOS A ENLACES:

PRINCIPIOS DE AISLAMIENTO Y DE LA FRAGMENTACIÓN




18

1. CONCEPTO DE EQUILIBRIO

Un punto material o un sistema material, inicialmente en reposo, se encuentra en equilibrio, bajo

la acción de un sistema de fuerzas, cuando se mantiene en reposo respecto de un sistema de

referencia inercial.

La Estática estudia las condiciones que deben cumplirse para que exista el mencionado equilibrio.

En Estática se presentan dos tipos de problemas:

1. Determinación de la posiciones de equilibrio, conocidas las fuerzas solicitantes.

2. Determinación de los valores de algunas fuerzas solicitantes, para que el sistema material esté

en equilibrio, en una determinada posición.

El equilibrio estático puede ser:

-Estable: si al introducir un pequeño desplazamiento en el sistema, las fuerzas lo llevan de nuevo

a la posición inicial de equilibrio.

- Inestable: si en el mismo supuesto las fuerzas separan aún más al sistema de su posición inicial.

- Indiferente: si cualquier posición próxima a la inicial es a su vez posición de equilibrio.

2. ENLACES O LIGADURAS

Todo punto o sistema de puntos al que se limitan las posiciones que puede ocupar en el espacio,

o se limitan los movimientos (posibilidades o maneras de moverse), se dice que está sometido a

enlaces o ligaduras.

Los enlaces que limitan las posiciones se denominan holónomos y se expresan analíticamente por

medio de igualdades o desigualdades entre las coordenadas de los puntos. Por ejemplo, si un

punto está obligado a permanecer sobre una superficie, las coordenadas del punto deben de

satisfacer la ecuación de la superficie (x,y,z)=0.




19

(1)

1 2,Si a un sistema formado por dos partículas o puntos materiales P y P se le impone la condición

de que se mantengan siempre separadas una distancia d, (como si estuvieran separadas por una

varilla), las coordenadas de los puntos deberán verificar la siguiente condición:

Los enlaces que restringen los movimientos se denominan no holónomos y vienen expresados por

ecuaciones diferenciales complejas. Son ejemplos de enlaces no holónomos: imponer la condición

a un punto que se mueve en el espacio, de que su velocidad sea de módulo constante, o de que

se mueva según una trayectoria curvilínea con un radio de curvatura mayor en un valor prefijado.

En lo sucesivo nos referiremos siempre a enlaces holónomos.

Físicamente, un enlace produce unas fuerzas, llamadas reacciones de enlace, que son las que

obligan al sistema a permanecer en una determinada posición. En el caso bastante habitual que

el enlace obligue al sistema (un sólido rígido) a permanecer sobre una superficie, la fuerza de

reacción tiene siempre una componente normal a la superficie de enlace pudiendo existir en

ocasiones una componente tangencial, contenida en el plano tangente común a la superficie de

enlace y el sólido. A la componente tangencial de la reacción se le denomina fuerza de rozamiento

y su sentido es tal que se opone siempre al movimiento relativo entre el sólido y la superficie. A

la componente normal se le denomina simplemente fuerza o reacción normal. En principio

consideraremos que las fuerzas de reacción no tienen rozamiento, si bien el problema del

rozamiento será estudiado en un tema posterior.

3. EQUILIBRIO DE UN PUNTO LIBRE

Un punto material está en equilibrio, en un determinado sistema de referencia, si las fuerzas que

actúan sobre él cumplen la condición de tener su resultante nula, F=0, ya que entonces según la

ecuación fundamental de la Mecánica, resulta:




20

(2)

(3)

(4)

(5)

Por tanto, la condición vectorial de equilibrio para un punto material o partícula, libre, es:

Esta ecuación vectorial, equivale a tres ecuaciones escalares, al proyectarla sobre los ejes,

obteniéndose sus componentes:

Conviene señalar que la condición de equilibrio no asegura que la partícula permanezca en reposo,

es decir es una condición necesaria para el reposo pero no suficiente, ya que desde el punto de

vista cinemático, la partícula en equilibrio presenta aceleración nula, lo cual implica que o bien

está en reposo o bien se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme.

En el caso especial de que las fuerzas que actúan sobre la partícula derivan de un potencial, la

resultante también derivará de un potencial que será igual a la suma de los potenciales parciales

de cada fuerza, la condición de equilibrio será:

iSiendo pues V=V , en este caso las ecuaciones escalares de equilibrio serán:




21

(6)

(7)

Estas condiciones constituyen la condición de valor extremo de la función potencial V, y por

tanto, puede expresarse que: “las condiciones de equilibrio se encuentran en los puntos que el

potencial tiene una valor extremo”, que constituye el teorema de Lejeune-Dirichlet. Debido al

convenio adoptado por el cual la fuerza va dirigida en sentido contrario al gradiente de potenciales

(F= - V), es decir hacia los potenciales decrecientes, resulta:

- En los mínimos de potencial, el equilibrio es estable.

- En los máximos de potencial, el equilibrio es inestable.

- En las zonas de potencial uniforme (superficies equipotenciales), el equilibrio es indiferente.

4. EQUILIBRIO DE LOS SISTEMAS DE PUNTOS

En general, un sistema de puntos materiales estará en equilibrio respecto de un sistema de

referencia, cuando lo esté cada uno de los puntos que lo integran. Como un punto está en

equilibrio cuando es nula la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él, resulta: un sistema

de puntos está en equilibrio cuando es nula la resultante de las fuerzas que actúan sobre cada

punto, resultando pues que la condición de equilibrio para un sistema de n puntos:

i iDenominando como F a la resultante de las fuerzas interiores sobre el punto i genérico, y a Fin ex

a la resultante de las fuerzas exteriores sobre el punto i. La condición de equilibrio para el sistema

se podrá expresar como:




22

(8)

(9)

Sumando las n ecuaciones, teniendo en cuenta que las fuerzas interiores, de acuerdo con el

principio de acción y reacción son parejas de fuerzas iguales y opuestas, se tiene:

Es decir si el sistema está en equilibrio, la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre

sobre el sistema ha de ser nula. Esta condición es una condición necesaria para que exista

equilibrio pero no es suficiente, ya que en general hace falta alguna condición más. Así, en el caso

de que el sistema sea un sólido rígido, como se comentará más adelante, las condiciones de

equilibrio, necesarias y suficientes, son que la resultante de las fuerzas exteriores sea nula y el

momento resultante de las fuerzas exteriores, sea también nulo.

5. EQUILIBRIO DEL PUNTO Y DE LOS SISTEMAS SOMETIDOS A ENLACES:

PRINCIPIOS DE AISLAMIENTO Y DE LA FRAGMENTACIÓN

El principio de aislamiento nos dice que todo punto material o sistema de puntos materiales

sometido a enlaces, puede considerarse como libre y suprimir los enlaces sin más que considerar

además de las fuerzas directamente aplicadas las acciones que los enlaces ejercen sobre él. De esta

manera, al estudiar el equilibrio de un punto o sistema sometido a enlaces, podemos considerar

dicho punto o sistema como libre considerando que sobre éste actuarán las fuerzas directamente

aplicadas y las fuerzas de reacción de los enlaces.

Para entender mejor esto, supongamos una partícula o punto material A de peso P, que está sujeto

1 2a dos puntos fijos O y O mediante cables, tal como se muestra en la figura. Los cables actuarán

como enlaces del punto impidiendo el movimiento de éste. Para analizar el equilibrio del punto,

consideraremos a éste como libre pero sometido a la fuerza directamente aplicada de su peso P

1 2y a las reacciones de los enlaces: T y T , las cuales son las tensiones en los cables respectivos,

la condición de equilibrio será:



estática del sólido rígido

23

(10)

(11)

Esta ecuación vectorial se desdobla en las ecuaciones escalares:

2

Resultando un sistema de dos ecuaciones con dos

incógnitas que nos permite determinar las tensiones en los

1 2cables T y T , estas tensiones son las reacciones de

enlace debidas al cable.

El principio de la fragmentación establece que: si un

sistema está en equilibrio y lo fragmentamos en varios

subsistemas, cada uno de ellos debe estar también en

equilibrio. Para ello las fuerzas exteriores que actúan

sobre cada subsistema deben de constituir un sistema

nulo, teniendo en cuenta que pasan a ser fuerzas exteriores del subsistema las fuerzas que, siendo

interiores en el sistema total, ejercen los fragmentos suprimidos sobre el considerado.




24

ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

1. POSTULADOS FUNDAMENTALES

2. EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO RÍGIDO LIBRE

3. EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO RÍGIDO SOMETIDO A ENLACES. EQUILIBRIO DE

SISTEMAS DE SÓLIDOS

4. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

4.1. Método de los nudos

4.2. Ejemplo

5. ENTRAMADOS Y MÁQUINAS

6. FUERZAS DISTRIBUIDAS

6.1. Fuerzas distribuidas en vigas

6.2. Fuerzas distribuidas en superficies por acción de fluidos




25

Figura 1. Principio de transmisibilidad.

1. POSTULADOS FUNDAMENTALES

Como sabemos un sólido rígido es un sistema material en el que la distancia entre dos puntos

cualesquiera permanece constante, ello equivale a aceptar que el sistema es indeformable. Aunque

los cuerpos reales se deforman bajo la acción de las fuerzas que le son aplicadas, tales

deformaciones son normalmente lo suficientemente pequeñas para no alterar el estado de reposo

o movimiento de los cuerpos.

La Estática del Sólido Rígido, se basa en los siguientes postulados, fundamentales:

1. Postulado de las dos fuerzas iguales y directamente opuestas: El estado de un sólido rígido no

se modifica si se aplican o se suprimen, dos fuerzas iguales y opuestas que tengan la misma línea

de acción.

De este postulado, consecuencia de la indeformabilidad del sólido rígido, se deduce el principio

de transmisibilidad: El efecto que una fuerza ejerce sobre un sólido rígido, no se modifica si se

traslada dicha fuerza a otro punto cualquiera de su línea de acción. En efecto, consideremos un

sólido rígido sobre el que actúa una fuerza F aplicada en el punto A. De acuerdo con el postulado

de las dos fuerzas iguales y directamente opuestas el estado del sólido no se modifica si




26

introducimos dos fuerzas F y -F aplicadas en el punto B. Teniendo en cuenta que la fuerza F

aplicada en A y -F aplicada en B son iguales y directamente opuestas, pueden suprimirse sin que

se altere el estado del sólido. El resultado es equivalente a haber trasladado la fuerza F al punto

B, de su misma línea de acción.

El principio de transmisibilidad equivale a considerar que las fuerzas aplicadas a un sólido rígido

se comportan como vectores deslizantes.

2. Postulado de las fuerzas concurrentes: El efecto que produce en un sólido rígido la aplicación

de un sistema de fuerzas concurrentes en un punto, es equivalente al de una sola fuerza aplicada

en dicho punto, siempre que ésta sea la resultante de aquel sistema de fuerzas.

Obsérvese que, de acuerdo con el principio de transmisibilidad, la aplicación del postulado de las

fuerzas concurrentes no requiere exactamente que las fuerzas estén actuando sobre el mismo

punto, sino simplemente que sus líneas de acción sean concurrentes en un punto.

2. EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO RÍGIDO LIBRE

Entendemos como grados de libertad (GDL) de un sistema a su capacidad de evolucionar o

moverse en el espacio. El concepto de grado de libertad del sistema está íntimamente relacionado

con el de coordenada generalizada (CG). Las coordenadas generalizadas de un sistema son una

serie de parámetros que nos permiten conocer la posición de éste en un determinado instante. El

número de grados de libertad de un sistema coincide con el número de coordenadas generalizadas

que necesitamos para conocer su posición. Se entiende siempre que este número es siempre el

mínimo necesario.

El sistema material más sencillo es el formado por una partícula o punto material. En el espacio

tridimensional, este sistema presenta tres grados de libertad (3 GDL), que corresponden al

movimiento en las tres dimensiones del espacio. Las coordenadas generalizadas que necesitamos

A A A para definir la posición una partícula A, son sus tres coordenadas A(x ,y ,z ).




27

Figura 2. Sistemas rígidos formados por una partícula, dos partículas y tres partículas.

(1)

A A A B B BSupongamos a continuación un sistema formado por dos partículas A(x ,y ,z ) y B(x ,y ,z ),

1separados por una varilla rígida de longitud d . Este sistema presenta 5 GDL correspondientes a

las seis coordenadas cartesianas que necesitamos en principio para conocer la posición de los

puntos, a las que tenemos que restarle una, correspondiente a la restricción impuesta por el enlace

1de la varilla que obliga a las partículas a mantener siempre una distancia constante d . Esta

restricción se puede expresar matemáticamente mediante la siguiente ecuación:

Necesitaremos por tanto 5 CG para fijar la posición del sistema en el espacio que serán cualquiera

de las cinco coordenadas cartesianas entre las seis totales que tienen los dos puntos, ya que la

ecuación (1) nos permitirá conocer la sexta CG conocidas cinco coordenadas cartesianas.

A A A B B BSupongamos a continuación un sistema formado por tres partículas A(x ,y ,z ), B(x ,y ,z ) y

C C C 1C(x ,y ,z ), A y B están separados por una varilla rígida de longitud d , B y C están separados

2 3 por otra varilla de longitud d y C y A están separados por otra varilla de longitud d . El sistema

tendrá 6 GDL correspondientes a las nueve coordenadas cartesianas de los puntos menos, menos




28

(2)

(3)

tres correspondientes a las restricciones impuestas por los enlaces de las varillas que obligan a las

partículas A, B y C a mantener siempre una distancia constante entre cualquier pareja de entre las

tres. Necesitaremos por tanto 6 CG para fijar la posición del sistema en el espacio que serán

cualquiera de las seis coordenadas cartesianas entre las nueve totales que tienen los tres puntos.

Para un número mayor de partículas, unidas rígidamente a las anteriores, el sistema presentará

siempre 6 GDL puesto que cada nueva partícula introduce tres nuevas coordenadas y 3 nuevas

restricciones o ecuaciones de enlace interno, pudiendo pues afirmar que un sólido rígido presenta

6 GDL, siendo necesario 6 CG para fijar su posición en el espacio.

Cinemáticamente hablando, los 6 GDL de un sólido rígido, pueden hacerse corresponder con tres

movimientos de traslación, según las direcciones de los tres ejes del sistema de referencia, y tres

movimientos de rotación, alrededor de los tres ejes. En consecuencia, las condiciones de equilibrio

del sólido rígido coinciden con la anulación de tales movimientos y vienen expresadas por:

x y zSiendo F , F y F las componentes de la resultante del sistema de fuerzas solicitantes que actúan

Ax Ay Azsobre el sólido y M , M y M las componentes del momento resultante del sistema respecto

de un punto cualquiera A.

Estas seis ecuaciones escalares de equilibrio, se pueden concentrar en dos ecuaciones vectoriales:

Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones universales del equilibrio del sólido rígido y nos

dicen pues que la condición necesaria y suficiente para que un sólido rígido libre esté en equilibrio




29

(4)

es que sean nulos la resultante y el momento resultante respecto de cualquier punto del espacio,

del sistema de fuerzas exteriores directamente aplicadas al sólido.

En el caso particular, pero bastante frecuente en la práctica, de trabajar en un sistema de ejes

bidimensional Oxy, las seis ecuaciones escalares de equilibrio se transforman en tres:

3. EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO RÍGIDO SOMETIDO A EN LACES. EQUILIBRIO DE

SISTEMAS DE SÓLIDOS

En el caso de sólido rígido con enlaces o ligaduras, podemos aplicar el principio de aislamiento,

suprimiendo los enlaces y considerando las acciones que estos ejercen sobre el sólido. Al estudiar

el equilibrio, aplicaremos las condiciones de equilibrio del sólido rígido libre, teniendo en cuenta

las fuerzas directamente aplicadas y las fuerzas de reacción producidas por los enlaces. En la

figura (3) se muestran las características de las fuerzas de reacción para algunos tipos de enlace

frecuentes en la práctica.

En general, las fuerzas directamente aplicadas son conocidas, siendo las incógnitas las fuerzas de

reacción, cuando las ecuaciones de equilibrio son suficientes para determinar las reacciones,

decimos que el problema es isostático o que está estáticamente determinado. Por el contrario si

el número de incógnitas o reacciones es superior al de ecuaciones de equilibrio, decimos que el

problema está estáticamente indeterminado o es hiperestático. El estudio de los problemas

hiperestáticos se efectúa a partir de las condiciones de deformación impuestas por el enlace y su

estudio está fuera del ámbito de la Estática Teórica contemplándose dentro de la materia conocida

en ingeniería como Elasticidad y Resistencia de Materiales.

Consideremos a continuación el caso de un sistema formado por varios sólidos rígidos unidos

entre sí mediante enlaces. A partir de los principios de aislamiento y fragmentación, este problema




30

Figura 3. reacciones en algunos tipos de enlace

se reduce a estudiar el equilibrio de cada uno de los sólidos que componen el sistema,

considerando que sobre cada uno de ellos actúan las fuerzas directamente aplicadas y las fuerzas

de reacción producidas por las acciones que el resto del sistema ejerce sobre cada sólido a través

de los enlaces.




31

Figura 4. Estructuras articuladas.

(5)

4. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

4.1. Método de los nudos

Muchas de las construcciones que nos rodean, tales como puentes, grúas, cubiertas, etc,

constituyen ejemplos de estructuras articuladas, las cuales están formadas por barras unidas en

sus extremos mediante articulaciones o nudos.

Las estructuras articuladas pueden ser planas o espaciales. Por ser mas sencillo su tratamiento,

nos ocuparemos sólo de estas últimas, también conocidas como cerchas. Una estructura

articulada, se puede formar a partir de tres barras unidas por pasadores en sus extremos formando

un triángulo y añadiendo dos nuevas barras por cada nudo nuevo, de manera que es posible

establecer una relación sencilla entre el número de nudos n y el número de barras b :

Las estructuras articuladas así formadas tienen la particularidad de poderse estudiar aplicando las




32

Figura 5. Fuerzas sobre un nudo.

ecuaciones de la estática, con objeto de determinar los esfuerzos en las barras y poder proceder

a su dimensionamiento, recibiendo el nombre de estructuras articuladas isostáticas.

Para el estudio de las estructuras articuladas isostáticas, supondremos que se cumplen las

siguientes condiciones:

1. Las barras están unidas en sus extremos mediante pasadores sin fricción.

2. Las cargas y reacciones están aplicadas en los nudos.

3. El eje de cada barra es recto, coincidiendo con la línea que une los centros de los nudos en cada

extremo de la barra. Las barras están en el plano que contienen las líneas de acción de todas las

cargas y reacciones.

El método de los nudos es un procedimiento para determinar las acciones que las barras ejercen

sobre los nudos, que serán iguales a las reacciones internas de los nudos sobre las barras pero de

sentido contrario, de acuerdo con el principio de acción y reacción.

Supongamos el nudo de la figura en el que concurren tres barras y hay una carga vertical exterior

1 2 3P, sean S , S y S , las fuerzas de reacción interna del nudo sobre las barras, el nudo estará en

1equilibrio sometido a la carga P y a las fuerzas o acciones de las barras sobre el nudo iguales a S ,




33

(6)

2 3S y S en módulo pero con sentido opuesto.

Como convenio se ha supuesto inicialmente que las barras trabajan a tracción, es decir que cada

barra está sometida a dos fuerzas iguales y opuestas, dirigidas según la dirección de la barra, y que

tienden a estirar la barra. Al representar las fuerza sobre el nudo, la flecha tenderá a alejarse del

nudo, posteriormente una vez efectuados los cálculos se determinará el valor de cada fuerza con

el signo correspondiente. Si el signo es positivo, la barra trabaja efectivamente a tracción y si es

negativo la barra trabaja a compresión, en este caso las fuerzas en los extremos de la barra tienden

a comprimir ésta.

Tanto las barras como los nudos han de estar en equilibrio, en lo que respecta a las barras esto

significa como se ha explicado que las fuerzas que actúan sobre los extremos de la barra son

iguales y opuestos y orientados según la dirección de la barra.

En lo que respecta a los nudos, se cumplirán las condiciones de equilibrio estático para todas las

fuerzas que actúan sobre él: acciones internas de las barras concurrentes y fuerzas exteriores. Para

1 2 3el nudo de la figura, las fuerzas actuantes en módulo serán: P, S , S y S , de manera que las

condiciones de equilibrio, serán:

Aplicando estas ecuaciones a los n nudos de la estructura, tendríamos 2.n ecuaciones, cuyas

incógnitas serían los esfuerzos de las b barras. Como la estructura es isostática, el número de

barras es: b=2.n-3, disponiendo pues de 3 ecuaciones más que incógnitas, que podemos utilizar

como comprobación de los resultados obtenidos. Es conveniente comenzar el análisis de acuerdo

con un orden, empezando siempre con un nudo en el que concurran dos barras de forma que

podamos resolver directamente el sistema de dos ecuaciones.




34

Figura 6. Estructura articulada. Diagramas de equilibrio de los nudos.

(7)

4.2. Ejemplo

Vamos a continuación a analizar la estructura de la figura. En primer lugar hay que determinar

las reacciones en los apoyos A y B. El apoyo A es articulado-fijo, de manera que existirá una

A Areacción con dos componentes H y V , mientras que el apoyo B es articulado móvil, existiendo

Búnicamente una reacción vertical V . Aplicando las ecuaciones de equilibrio:




35

(8)

(9)

(10)

(11)

De donde:

Para calcular el valor de los esfuerzos en cada una de las barras, podemos comenzar por el nudo

A o B, pues en ambos concurren dos barras. Comencemos por el nudo A:

A 1 2Como V es conocido, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (S ,S ),

resultando:

A continuación, podemos pasar al nudo D:

2Sustituyendo por el valor calculado de S , tenemos:




36

(12)

(13)

(14)

Nos queda finalmente por determinar el esfuerzo en la barra 4, considerando el equilibrio del nudo

C:

1Sustituyendo el valor de S calculado anteriormente, resulta:

yLa otra ecuación que podríamos aplicar al nudo C: (ÓF = 0) y las dos ecuaciones de equilibrio

para B, nos servirán de comprobación.

5. ENTRAMADOS Y MÁQUINAS

Al estudiar las estructuras articuladas, se consideraba que las cargas exteriores estaban aplicadas

en las articulaciones, las cuales estaban situadas en los extremos de las barras, de esta manera, las

barras estaban sometidas únicamente a esfuerzos de tracción o compresión en sus extremos, esto

es a fuerzas iguales y opuestas que tienen la dirección de la barra y que tienden a estirar o

comprimir ésta.

Sin embargo, es frecuente el caso de estructuras cuyas barras están sometidas a fuerzas en algún

punto intermedio de las mismas, pudiendo ser dicha fuerza, bien exterior, o bien producida por

la unión de otra barra o elemento de la estructura. Cuando esto sucede aparecen solicitaciones

de flexión, a este tipo de estructuras se les conoce como entramados. Los entramados son pues

estructuras que se proyectan para soportar cargas y son normalmente sistemas mecánicos fijos.




37

Figura 7. Análisis de un entramado. Diagramas de fuerzas de las diferentes piezas.

Las máquinas son sistemas mecánicos que se proyectan para transformar y modificar fuerzas,

presentando piezas móviles. Al igual que ocurre en los entramados, en las máquinas pueden

también aparecer piezas sometidas a fuerzas en puntos intermedios.

Para analizar estáticamente estos sistemas, el procedimiento que se emplea es aislar cada una de

las piezas o barras aplicando las condiciones de equilibrio estático.

Consideremos el caso del entramado de la figura. El conjunto forma un entramado rígido

sometido a una carga exterior directamente aplicada W y las fuerzas de reacción en los apoyos

o enlaces. En este caso el conjunto está apoyado mediante un empotramiento en la base de la

A A A barra AC , apareciendo una reacción horizontal H , una reacción vertical V y un momento M ,

pudiendo plantear las ecuaciones de equilibrio del conjunto del entramado, resultado un sistema

de tres ecuaciones con tres incógnitas, que son las reacciones en los apoyos.

Una vez determinadas las fuerzas de reacción, conocemos todas las acciones exteriores y

podemos pasar a analizar cada pieza por separado. Sobre la barra AC actuarán las fuerzas en el




38

Figura 8. Análisis de fuerzas de una máquina alternativa.

A A A x yapoyo: H , V y M ya conocidas, las reacciones en el pasador B: B y B y la reacción debida

Ca la tensión del cable T , desconocida en módulo, pero conocida en dirección, establecida por el

cable. Al plantear las ecuaciones de equilibrio, tendremos un sistema de tres ecuaciones con tres

x y C,incógnitas: B , B y T que podemos resolver.

A continuación, podemos pasar a estudiar el equilibrio de la barra BD. La barra BD estará

x ysometida a la carga directamente aplicada W conocida, a las reacciones en el pasador B: B y B

Dconocidas, iguales y opuestas a las reacciones en B sobre AC, la tensión del cable en D: T , igual

C,y opuesta a T siendo pues todas las fuerzas conocidas, no obstante se pueden emplear las

condiciones de equilibrio de BD para comprobar los valores ya calculados de las fuerzas.

Las máquinas, como se ha comentado, están formadas por medio de barras y piezas mecánicas,

unidas mediante articulaciones, presentando además movilidad. La máquina alternativa de la figura

está formada por el conjunto pistón-biela-manivela. La manivela AB puede efectuar un giro

completo alrededor de A, mientras que el pistón C describe un movimiento alternativo de vaivén.

Suponemos que sobre el pistón C actúa una fuerza horizontalP, deseamos determinar el momento

M que hay que aplicar en el eje de la manivela en A para que el sistema esté en equilibrio, así

como el resto de las fuerzas en los pasadores y articulaciones.




39

Si consideramos el equilibrio del conjunto, tendremos una fuerza directamente aplicada P sobre

C, conocida, un momento de giro M sobre la manivela AB, desconocido y las reacciones en la

x y yarticulación A: A , A desconocidas así como la reacción vertical sobre el pistón C: C , también

desconocida, de manera que si planteamos el equilibrio del conjunto tendremos un sistema de tres

ecuaciones con cuatro incógnitas, teniendo que pasar a estudiar cada pieza por separado.

Podemos comenzar estudiando el equilibrio del pasador C que une el pistón con la biela, sobre

yesta pieza actúa la fuerza exterior P conocida, la reacción vertical desconocida C del soporte y

BCla reacción de la barra F , desconocida en módulo pero que tiene la dirección de la barra, al no

estar ésta sometida a esfuerzos intermedios. Dado que se trata de una pieza puntual podemos

aplicar las ecuaciones de equilibrio de fuerzas, resultando un sistema de dos ecuaciones con dos

BC yincógnita: F y C , que podemos resolver fácilmente.

A continuación podemos pasar a estudiar el equilibrio de la barra BC, dado que se trata de una

barra articulada sin esfuerzos intermedios, estará sometida a dos fuerzas iguales y opuestas

aplicadas en las articulaciones cuya dirección será la de la barra. Así en C tendremos la fuerza

CB BC BCF igual y opuesta a F ya calculada y en B, tendremos la fuerza F .

A continuación podemos pasar a estudiar el equilibrio de la manivela AB: en B tendremos la

CB x yfuerza F , conocida, las reacciones en A: A y A , desconocidas y el momento M también

desconocido. Las tres condiciones de equilibrio estático, nos permitirán determinar estas fuerzas.




40

Figura 9. Carga o fuerza distribuida sobre una viga.

6. FUERZAS DISTRIBUIDAS

6.1. Fuerzas distribuidas en vigas

Las fuerzas que actúan sobre sólidos pueden ser concentradas (cuando se pueden representar

mediante un vector deslizante) o repartidas. Cuando la fuerza es concentrada o puntual, está

aplicada en un punto del sólido, o punto de aplicación de la fuerza, el cual se puede trasladar a

cualquier otro sobre la línea de acción de la fuerza sin alterar su efecto; sin embargo cuando la

fuerza es de tipo distribuido, se aplica sobre una superficie o a lo largo de una longitud. Un caso

típico lo constituye una fuerza o carga distribuida sobre una viga, como se muestra en la figura.

En este caso p=p(x), representa una carga distribuida según la longitud de la viga, esta carga

corresponde a una fuerza por unidad de longitud, cuyo valor va variando según el punto o sección

considerado de la viga, definido por la abscisa x, que representa la distancia del punto o sección

al extremo izquierdo de la viga. La carga distribuida puede estar originada por un peso, la acción

del viento, la presión de un fluido, etc.

Una carga distribuida equivale a un sistema de infinitos vectores fijos paralelos, siendo el módulo

de cada vector la fuerza puntual elemental: dP=p(x).dx, la carga total sobre la viga será la

resultante del sistema cuyo módulo vendrá dado por la integral de la expresión anterior:




41

(15)

(16)

Figura 10. Carga hidrostática sobre una superficie plana.

Esto equivale también a decir que la resultante o carga total equivale al área de la función de

distribución de presiones. Esta resultante estará aplicado en el cdg de la distribución de carga,

cuya posición viene dada por:

Las fuerzas distribuidas, no sólo pueden aparecer en el estudio de vigas, sino en otros muchos

casos, como superficies sumergidas en el interior de fluidos, tal como veremos en el subapartado

siguiente, o en el estudio de la mecánica de hilos, como veremos en un tema posterior.

6.2. Fuerzas distribuidas en superficies debidas a la acción de fluidos

Otra aplicación importante en mecánica de las fuerzas distribuidas son las originadas por la

presión hidrostática de un fluido sobre una superficie. De acuerdo con las leyes de la mecánica

de los fluidos, la presión hidrostática en un punto en el interior de un fluido, viene dada por la




42

expresión: p = ñ.g.h, siendo ñ la densidad del fluido, g la aceleración de la gravedad y h la

distancia del punto considerado a la superficie del fluido.

Consideremos la superficie plana rectangular AB sumergida en el interior del líquido, para mayor

comodidad, supondremos que la anchura de esta superficie (medida perpendicularmente al plano

del papel) es la unidad, de manera la presión del líquido sobre la superficie varía linealmente desde

A A B B p = ñ.g.h en el extremo superior A, a p = ñ.g.h en el extremo inferior B, si multiplicamos la

presión por la anchura de la superficie obtenemos una fuerza de tipo distribuido similar a la que

se obtiene en una viga, con una distribución de tipo trapezoidal. La carga total sobre la superficie,

P, será la resultante de la fuerza, correspondiente a un sistema de vectores fijos paralelos, aplicada

en el centro del sistema, en este caso el cdg G del trapecio, siendo pues aplicables las fórmulas

ya vistas para el caso de cargas distribuidas en vigas, al punto de aplicación de la carga, se

denomina también centro de presiones. Por comodidad, la carga distribuida trapezoidal se puede

sustituir por dos cargas: una uniforme o rectangular y otra triangular, equivalentes a dos cargas

puntuales aplicadas en los cdg de las distribuciones respectivas, tal como se muestra en la figura.

El estudio de las fuerzas hidrostáticas sobre una superficie curva, presenta en principio una mayor

dificultad, ya que la presión y por tanto la fuerza correspondiente actúa perpendicularmente a la

superficie, no siendo admisible en este caso la hipótesis de un sistema de vectores fijos paralelos,

como en el caso de una superficie plana. En este caso el problema se puede estudiar de acuerdo

con el siguiente procedimiento: supongamos la superficie curva de anchura unidad AB, podemos

considerar en nuestro estudio el volumen ACB, de manera que AC es una superficie plana

horizontal y CB es una superficie plana vertical, si aislamos el fluido contenido en dicho volumen

y consideramos las fuerzas que actúa en las diferentes caras, tendremos que el efecto de la presión

sobre AB es equivalente al efecto de la presión sobre AC, el cual corresponde a una distribución

Auniforme vertical p , mas el efecto de la presión sobre CB, el cual corresponde a una distribución

A Btrapezoidal o lineal, horizontal, variando de p a p , mas el peso del fluido contenido en el

volumen ACB, tal como se muestra en la figura.




43

Figura 11. Carga hidrostática sobre una superficie curva.



estática analítica

44

TEMA: ESTÁTICA ANALÍTICA

1. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

2. PRINCIPIO DE LAS POTENCIAS VIRTUALES

3. COORDENADAS GENERALIZADAS O LAGRANGIANAS

4. ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO




45

Figura 1. Desplazamiento virtual de un punto.

(1)

(2)

(3)

1. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

1,Consideremos un sistema de puntos materiales que en un instante dado ocupan las posiciones P

2 i nP , ..P ,....P , a todo posible desplazamiento del sistema a partir de la posición inicial, compatible

con los enlaces o ligaduras, se le denomina desplazamiento virtual del sistema. El desplazamiento

virtual es un desplazamiento hipotético y constituye simplemente una forma de razonar.

Un desplazamiento elemental virtual del sistema se obtiene dando a sus puntos desplazamientos

ielementales arbitrarios, que representaremos por är para distinguirlos de los desplazamientos

ielementales reales, representados por dr , si bien a efectos matemáticos el desplazamiento

i i i ielemental virtual equivale a un diferencial. Para el punto P (x ,y ,z ) el desplazamiento elemental

virtual viene dado por:

Consideremos un punto genérico del sistema

i iP y sea F la resultante de todas las fuerzas

que actúan sobre dicho punto. Si el sistema

iestá en equilibrio, dicha resultante, como sabemos será nula: F = 0 y en consecuencia el trabajo

i i producido por F en su correspondiente desplazamiento virtual är , denominado trabajo virtual

será:

La suma de los trabajos para todos los puntos del sistema será:




46

(4)

(5)

La ecuación anterior constituye el principio de los trabajos virtuales: la condición necesaria y

suficiente para que un sistema material esté en equilibrio en una determinada posición es que para

todo desplazamiento virtual del sistema compatible con los enlaces, la suma de los trabajos

virtuales de las fuerzas actuantes sea nula.

La condición dada por la ecuación (3) es necesaria, ya que si el sistema está en equilibrio se tiene

ique cumplir que F = 0, i=1..n, y en consecuencia la suma de los trabajos virtuales es nula: äW=0,

i para cualquier desplazamiento virtual är .

La condición es así mismo suficiente, es decir si se cumple äW=0, el sistema se encuentra en

iequilibrio y en consecuencia F = 0, i=1..n, ya que de no ser así el trabajo virtual de las fuerzas

actuantes sería igual, por el teorema de la energía cinética, a la variación de la energía cinética del

sistema cuyo valor es forzosamente positivo:

iEsta conclusión está en contradicción con la hipótesis inicial äW=0, salvo que v =0, i=1..n, es

decir salvo que el sistema esté en equilibrio.

Tratemos a continuación de obtener un enunciado más específico del principio de los trabajos

virtuales cuando el sistema es un sólido rígido sometido a enlaces holónomos sin rozamiento. Las

ifuerzas que actúan sobre un punto del sistema material son: 1) fuerzas exteriores F , 2) fuerzasex

iinteriores F . Las fuerzas exteriores pueden ser a su vez :1.1) fuerzas solicitantes o directamentein

iaplicadas F , y 1.2) fuerzas de reacción producidas por los enlaces de acuerdo con el principios

ide aislamiento F . De manera que si el sistema está en equilibrio:r

Resultando la ecuación del principio de los trabajos virtuales:




47

(6)

(7)

Si los enlaces son holónomos y sin rozamiento, el trabajo virtual de las fuerzas de reacción es

nulo, äW =0, puesto que las reacciones son normales a los desplazamientos virtuales contenidosr

en las superficie de enlace, si el sistema es un sólido rígido se tiene además que äW =0, puestoin

que para cualquier desplazamiento virtual las fuerzas internas producen producen parejas de

trabajos iguales y opuestos. Por tanto para sólidos rígidos sometidos a enlaces holónomos y sin

rozamiento el principio de los trabajos virtuales queda reducido a la siguiente ecuación:

Lo cual nos permite enunciar el principio de los trabajos virtuales para este caso en particular: la

condición necesaria y suficiente para que un sólido rígido (o sistema de sólidos rígidos) sometido

a enlaces holónomos y sin rozamiento esté en equilibrio en una determinada posición es que, para

cualquier desplazamiento virtual del sistema compatible con los enlaces, la suma de los trabajos

virtuales de las fuerzas solicitantes sea nula.

El principio de los trabajos virtuales nos permite determinar las posiciones de equilibrio de un

sólido rígido sin necesidad de tener que considerar las fuerzas de reacción, permitiendo una

aplicación en general más sencilla que mediante el método de las ecuaciones de equilibrio del

sólido, también denominado método de las reacciones.

2. PRINCIPIO DE LAS POTENCIAS VIRTUALES

El principio de las potencias virtuales, también denominado de las velocidades virtuales, es otra

forma de expresar el principio de los trabajos virtuales para un sólido rígido y presenta un especial

interés en el estudio dinámico de sistemas mecánicos. Supongamos que el sistema experimenta

un desplazamiento elemental virtual en un intervalo de tiempo elemental ät. Dividiendo por ät la

ecuación del principio de los trabajos virtuales:




48

(8)

(9)

(10)

iDenominando N a la potencia virtual del sistema yv * a la velocidad virtual de una partícula del*

sistema:

Resulta:

Esta expresión constituye el principio de las potencias virtuales, también llamado de las

velocidades virtuales: la condición necesaria y suficiente para que un sólido rígido (o sistema de

sólidos rígidos) esté en equilibrio en una posición determinada es que la potencia virtual de las

fuerzas solicitantes en dicha posición sea nula para todas las velocidades virtuales compatibles con

los enlaces.

3. COORDENADAS GENERALIZADAS O LAGRANGIANAS

La aplicación del principio de los trabajos virtuales se simplifica notablemente con el uso de las

denominadas coordenadas generalizadas o lagrangianas. Las coordenadas generalizadas son los

parámetros mínimos que nos permiten determinar la posición de un sistema material en el espacio.

El número de coordenadas generalizadas coincide con el número de grados de libertad del sistema

que nos indica las posibilidades de evolución del sistema en el espacio.

En el sistema de la figura, se presenta una varilla homogénea AB de peso P y longitud l, en donde

los extremos A y B deslizan sobre los planos de la figura, horizontal y vertical. La varilla está




49

colgando de un resorte vertical fijado al

extremo B, de manera que el resorte no

presenta deformación cuando la varilla está

completamente vertical. La varilla está sometida

a dos fuerzas directamente aplicadas: el peso P

By la fuerza F del resorte. Se trata de un sistema

de un grado de libertad en donde una elección

adecuada de la coordenada generalizada puede

ser el ángulo è que define la inclinación de la

varilla respecto de la vertical. Resultando de

acuerdo con el principio de los trabajos

virtuales, suponiendo el sistema de ejes fijo o

inercial de la figura:

Aplicando el principio de los trabajos virtuales, obtenemos las condiciones de equilibrio:

Al término entre paréntesis de la condición de equilibrio que aparece multiplicado por äè, se le

denomina fuerza generalizada. Teniendo en cuenta que la condición de equilibrio se obtiene para

cualquier valor de la variación elemental de la coordenada generalizada äè, resultando dos

posiciones de equilibrio:

Figura 2. Coordenadas generalizadas.

(11)

(12)

(13)




50

(14)

(15)

(16)

(17)

En un caso mas general de un sistema de m grados de libertad, tendremos m coordenadas

igeneralizadas, en este caso, las coordenadas generalizadas se suelen representar por q , i=1....m.

iDe acuerdo con esto el vector de posición de un punto P del sistema, se podrá expresar en

función de las coordenadas generalizadas:

El desplazamiento elemental virtual, teniendo en cuenta que equivale a un diferencial, se podrá

expresar:

Con lo que la ecuación del principio de los trabajos virtuales resulta:

A los coeficientes:

Se les denomina fuerzas generalizadas, con lo que el principio de los trabajos virtuales también

se puede expresar como:




51

(18)

(19)

(20)

(21)

k Al ser las variaciones elementales de las coordenadas generalizadas äq independientes entre sí,

pudiendo tomar cualquier valor infinitesimal, teniendo pues un sistema de m ecuaciones, obtenido

al igualar a cero las fuerzas generalizadas, con m incógnitas, que son las coordenadas

generalizadas, lo cual nos permitirá determinar la posición de equilibrio del sistema.

4. ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO

iSi la resultante F de las fuerzas que actúan sobre cada uno de los puntos del sistema deriva de

iun potencial V, podemos expresar dicho potencial en función de las coordenadas generalizadas:

Si el sistema se encuentra en equilibrio en una posición determinada y se consideran los

desplazamientos virtuales del sistema compatibles con las ligaduras, de acuerdo con los trabajos

virtuales, se tiene:

Al ser la variación del trabajo elemental igual a la variación del potencial con signo negativo;

isiendo ademas el potencial total la suma de los potenciales de las fuerzas V=V . Por otro lado,

la variación elemental del potencial se puede expresar a partir de los desplazamientos elementales

virtuales:

De manera que las condiciones de equilibrio se pueden expresar:




52

(22)

Teniendo en cuenta que estas ecuaciones son igualmente las condiciones de valor máximo,

mínimo o estacionario de la función potencial, se concluye el teorema de Lejeune-Dirichlet: Las

posiciones de equilibrio de un sistema sometido a fuerzas de tipo conservativo, corresponden a

los máximos, mínimos y valores estacionarios del potencial. Este teorema es igualmente válido

para un sólido rígido o sistema de sólidos rígidos en el que las fuerzas directamente aplicadas

derivan de un potencial.

iiPuesto que las fuerzas van dirigidas en el sentido de los potenciales decrecientes, F = - V , los

mínimos del potencial, corresponden a las posiciones de equilibrio estable, los máximos a las

posiciones de equilibrio inestable y los valores estacionarios (potencial constante) a posiciones

de equilibrio indiferente.

En el caso de sistemas con un sólo grado de libertad, la función potencial dependerá de un sólo

parámetro o coordenada generalizada q, resultando V=V(q) y las condiciones de equilibrio estable

serán los mínimos de V(q):

Para el ejemplo de la varilla AB, la función potencial y la condición de equilibrio:

En donde la condición de equilibrio coincide con la obtenida aplicando el método de los trabajos

(23)

(24)




53

(25)

1 2virtuales. Para sistemas con dos grados de libertad, la función potencial será de tipo: V=V(q ,q )

1 2y las posiciones de equilibrio estable corresponden a las parejas de valores (q ,q ) que satisfacen

simultáneamente las condiciones:



estática de hilos

54

ESTÁTICA DE HILOS

1. INTRODUCCIÓN: CONCEPTO DE HILO. PRINCIPIO DE SOLIDIFICACIÓN

2. HILO SOMETIDO A CARGAS CONCENTRADAS

3. HILO SOMETIDO A CARGA VERTICAL DISTRIBUIDA POR UNIDAD DE

LONGITUD

3.1. Ecuación de equilibrio

3.2. Propiedades

3.3. Estudio de diversos casos prácticos


ABSCISA


4.2. Propiedades



estática de hilos

55

(1)

Figura 1. Diagrama de sólido libre deun segmento de hilo

1. INTRODUCCIÓN: CONCEPTO DE HILO. PRINCIPIO DE SOLIDIFICACIÓN

Se denomina sólido funicular o hilo a todo sólido deformable cuya longitud es muy grande

comparada con las dimensiones de su sección transversal y tal que adopta configuraciones de

equilibrio en las cuales sus secciones transversales están sometidas únicamente a esfuerzos de

tracción, es decir su rigidez a flexión es prácticamente nula. En todo lo que sigue supondremos

que su rigidez a tracción es infinita, esto es que no experimentan alargamientos bajo solicitaciones

de tracción (son inextensibles). Responden a estas consideraciones los cables, cadenas, correas,

etc.

Para el estudio del equilibrio de los hilos estableceremos la hipótesis de que en la configuración

de equilibrio, se comportan como sólidos rígidos (principio de solidificación) y, en consecuencia,

deberán de satisfacer las condiciones de equilibrio de los sólidos rígidos:

Al analizar el equilibrio de un hilo es por tanto aplicable el

principio de fragmentación. Considerando una porción de

hilo de longitud s sometido a un sistema de fuerzas cuya

resultante sea F. Al aislar el elemento de hilo considerado,

1debemos introducir en sus extremos sendas fuerzas T y

2T de tracción que se denominan tensiones de hilo y son

tangentes a la curva de equilibrio del hilo en sus

correspondientes secciones. La ecuación de equilibrio de

fuerzas para un segmento de hilo de longitud s será:

(2)



estática de hilos

56

Figura 2. Diagrama de sólido libre de un hilo sometido a cargas concentradas

Figura 3. Diagrama de fuerzas de

un segmente de cable (3)

2. HILO SOMETIDO A CARGAS CONCENTRADAS

Consideremos un hilo de peso despreciable sujeto por sus

extremos a dos puntos A y B y sometido a un sistema de

1 2 3fuerzas concentradas coplanarias F , F y F . Planteando el

equilibrio de un segmento de hilo de comprendido entre los

puntos de aplicación i-j de dos cargas concentradas

consecutivas, se tiene:

Es decir que la tensión mecánica o esfuerzo de tracción en el segmento de cable comprendido

entre los puntos de aplicación de las cargas, también denominados nodos, es constante, de manera

que la curva de equilibrio del cable es una poligonal, tal como se muestra en la figura (2).

Las tensiones del hilo en los diferentes segmentos de la poligonal y la forma de la poligonal puede



estática de hilos

57

Figura 4. Configuración y diagrama de sólido libre de un hilo sometido a cargas concentradas

determinarse analíticamente a partir de las ecuaciones de equilibrio estático:

1, 2,...., nSea un hilo sujeto a dos puntos fijos A y B, cuya poligonal de equilibrio es A, P P P , B,

,1 2 nsometido a las cargas concentradas F F ,..., F , deseamos determinar la configuración de

1 2 3 nequilibrio, definida por los ángulos: á , á , á ,...., á , que forman los segmentos de la poligonal

,1 2 n n+1con la horizontal y la tensión mecánica en los segmentos de cable:T T ,..., T , T , resultando

un total de 2.n+1 parámetros a determinar o incógnitas.

1, 2,...., nComo existen n nodos intermedios: P P P , correspondientes a los puntos de aplicación de las

,1 2 ncargas puntuales: F F ,..., F , considerando la ecuación de equilibrio de fuerzas para cada nodo,

tendremos un sistema de 2.n ecuaciones, dado que es preciso determinar 2.n+1 incógnitas,

necesitamos una ecuación más, la cual se puede establecer si se conoce alguno de los siguientes

datos:

- Longitud total del hilo.

- Tensión mecánica en alguno de los tramos.

- Dirección de alguno de los tramos.

- Posición de equilibrio de algún punto del hilo.



estática de hilos

58

Figura 5. Hilo sometido a carga por unidad de longitud. Diagrama de sólido libre de una porción elemental.

(4)


LONGITUD


Consideremos un hilo suspendido entre dos puntos y sometido a una carga vertical uniforme por

unidad de longitud, esto equivale a decir que está sometido a la carga de su propio peso.

Tratemos en primer lugar de determinar la curva de equilibrio del hilo, para ello aislaremos un

segmento elemental de longitud ds, tal como se muestra en la figura, sea q la carga por unidad de

longitud de cable (o peso de cable por unidad de longitud). Las tensiones mecánicas en las

secciones extremas izquierda y derecha del segmento experimentarán una variación infinitesimal

valiendo T y T+dT, respectivamente, mientras que las tangentes respectivas a la curva formarán

un ángulo con la horizontal de è, y è+d è. Las ecuaciones de equilibrio serán:



estática de hilos

59

(5)

(6)

(7)

Tratemos de desarrollar las dos ecuaciones (4), para la primera ecuación, correspondiente al

balance de fuerzas horizontales, el término a la izquierda de la igualdad se puede expresar como:

En donde se ha efectuado la aproximación cos(dè)1, sen(dè)dè, habiéndose despreciado los

infinitésimos de segundo orden. La primera ecuación (4) correspondiente al equilibrio de fuerzas

horizontales, resulta:

Lo cual implica que la componente horizontal de la tensión mecánica en el cable es constante y

Osu valor lo designamos por T , este valor coincide con la tensión mecánica en el mínimo de la

curva. Consideremos a continuación la segunda ecuación (4), correspondiente al equilibrio de

fuerzas verticales. Los dos primeros términos a la izquierda de la igualdad, se puede expresar

como:



estática de hilos

60

(8)

Figura 6. Diferencial de arco decurva.

(9)

(10)

(11)

En donde hemos efectuado las mismas aproximaciones que en el desarrollo anterior, y además

Ohemos tenido en cuenta la ecuación (6): T.cosè=T , y que la derivada de la curva de equilibrio

es la pendiente de la tangente: y’= (dy/dx) = senè / cosè. Resultando la segunda ecuación (4)

correspondiente al equilibrio de fuerzas verticales:

Esta expresión, representa la ecuación diferencial de

equilibrio del cable, para proceder a la integración,

consideramos que el diferencial de arco ds, equivale a:

Resultando la ecuación de equilibrio del cable:

OHaciendo la constante T =q.a, siendo a una nueva constante, se tiene:

La ecuación diferencial (11) es del tipo de variables separadas, pudiendo integrarse directamente

cada lado de la igualdad de forma independiente:



estática de hilos

61

(12)

(13)

(14)

(15)

Que equivale a:

Volviendo a reagrupar la variables y volviendo a integrar:

Resultando:

Esta ecuación es conocida con el nombre de catenaria y corresponde a la ecuación de la curva que

forma un hilo colgado entre dos puntos y sometido a la acción del campo gravitatorio. A la

Oconstante a=T / q se le conoce como parámetro de catenaria, esta constante depende de la

tensión mecánica en el mínimo de la catenaria y es en principio desconocida, para su

determinación hace falta conocer algún dato adicional: tensión en algún punto del hilo, longitud

del hilo, etc.

1 2La determinación de las constantes de integración C y C se efectúa en base a las condiciones

de contorno. Con objeto de obtener una expresión lo más simplificada posible conviene elegir la

1 2 posición del sistema de referencia de forma que C = C = 0, para ello sea en principio Oxy el

1 1 1sistema de ejes general y O x y el nuevo sistema de ejes. En primer lugar situamos el nuevo



estática de hilos

62

Figura 7. Sistema de ejes para representar la catenaria.

(16)

(17)

(18)

1origen O a una distancia a del mínimo del punto mas bajo de la catenaria, de manera que se

cumplirán las siguientes condiciones:

1 1 1Con lo que la ecuación de la catenaria referida al sistema de ejes O x y será:

1 1 1En lo sucesivo expresaremos la catenaria en el sistema de ejes O x y que por brevedad

tomaremos como Oxy. Veamos a continuación algunas propiedades interesantes de la catenaria.



estática de hilos

63

Figura 8. Segmento de arco decatenaria.

(19)

(20)

(21)

3.2. Propiedades

a) Longitud del arco de catenaria: La longitud del

arco de catenaria comprendido entre el vértice C

(mínimo) y un punto cualquiera P(x,y), se obtiene

directamente integrando el elemento diferencial de

arco:

b) Relación entre el arco de catenaria y la ordenada del punto considerado: Teniendo en cuenta

la expresión obtenida del arco s y el valor de la ordenada para un punto genérico:

c) Tensión en un punto cualquiera del hilo: Consideremos el equilibrio de un arco de catenaria

comprendido entre el vértice y un punto P(x,y), podemos obtener una expresión la tensión T en

P a partir de las condiciones de equilibrio, de acuerdo con el polígono de fuerzas:



estática de hilos

64

Figura 9. Fuerzas sobre un arco de catenaria.

Figura 10. Fuerzas sobre un arco de catenaria. (22)

(23)

En este desarrollo hemos tenido en cuenta

Ola ecuación (20) y que T = q.a. De

acuerdo con la ecuación (21) cuanto mayor

sea la ordenada del punto P, mayor será la

tensión mecánica.

Dado que la determinación de la catenaria

que pasa por dos puntos requiere la

resolución de una ecuación transcendente,

estudiaremos a continuación la resolución

de dicha ecuación para una serie de casos

de especial utilidad práctica.

3.3. Estudio de diversos casos prácticos

a) Catenaria que pasa por dos puntos A y B

situados a la misma altura: datos luz l y

longitud de hilo L: De acuerdo con la

expresión de la longitud de arco de catenaria:

Esta ecuación permite obtener el parámetro a de la catenaria, dado que es una ecuación

trascendente hay que resolverla numéricamente, bien por algunos de los métodos conocidos:

Newton-Rapson, o mediante tanteos. Para proceder por tanteos, definimos la variable k=l / (2.a),

y la ecuación anterior se puede expresar:



estática de hilos

65

(24)

(25)

(26)

(27)

Esta ecuación se puede resolver por tanteos para el parámetro k, seguidamente se calcula

a=l/(2.k). Una vez conocido el parámetro a de la catenaria la curva está perfectamente definida.

La flecha máxima f, será:

b) Catenaria que pasa por dos puntos A y B situados a la misma altura: datos luz l y flecha

Amáxima f: De la relación entre la ordenada en el apoyo y y la flecha f, resulta:

Haciendo k=l / (2.a), la ecuación anterior se puede expresar como:

Ecuación que puede resolverse por tanteos para la variable k, posteriormente es posible

determinar el parámetro de la catenaria a=l / (2.k). La longitud total del hilo será:

c) Catenaria que pasa por dos puntos A y B a la misma altura: Datos luz l y la tensión máxima

maxT : Conocemos las siguientes relaciones:



estática de hilos

66

(28)

(29)

Figura 11. Fuerzas sobre un arco de catenaria. (30)

(31)

(32)

Siendo k=l / (2.a), resulta:

Resolviéndose por tanteos para la variable k, determinado después el parámetro a.

d) Catenaria que pasa por dos puntos A y B

situados a diferente altura: en este caso

conocemos el desnivel h entre los puntos A y

B así como su luz o distancia horizontal l: De

acuerdo con las ecuaciones de la catenaria:

Sumando y restando ambas expresiones, teniendo en cuenta que:

Resulta:



estática de hilos

67

(33)

(34)

Figura 12. Hilo sometido a carga por unidad de abscisa. Diagrama de sólido libre de una porción elemental.

Multiplicándose entre sí las dos ecuaciones:

Teniendo en cuenta que k=l / (2.a):

Ecuación que se resuelve por tanteos para la variable k.


ABSCISA




estática de hilos

68

(35)

(36)

(37)

(38)

Consideremos un hilo sujeto a dos puntos fijos A y B, cuyo peso es despreciable frente a una

carga vertical p uniformemente distribuida a lo largo de la proyección horizontal del hilo. Para

determinar la configuración del hilo en el equilibrio aislaremos una porción elemental de longitud

ds y estableceremos las condiciones de equilibrio. En este caso la situación es parecida al caso del

hilo sometido a la acción de su propio peso aunque la carga vertical sobre el cable es p.dx. Las

ecuaciones diferenciales correspondiente al las condiciones de equilibrio, son:

La primera ecuación (35) es idéntica a la primera ecuación (4) del caso anterior, resultando:

Es decir la proyección horizontal de la tensión del cable es siempre constante e igual a la tensión

absoluta en el mínimo. La segunda ecuación (35) es parecida a la segunda ecuación (4),

procediendo de forma similar:

OHaciendo T = p.a siendo a una constante, resultando:



estática de hilos

69

(39)

(40)

Figura 13. Hilo sometido a carga por unidadde abscisa. Diagrama de sólido libre de una

porción elemental.

(41)

Esta ecuación es muy fácil de integrar, resultando:

Esta ecuación corresponde a una parábola. Al parámetro a se le conoce como parámetro de la

1 2 parábola. La determinación de las constantes C y C se efectúa a partir de las condiciones de

contorno. Al igual que en el caso anterior consideremos una disposición del sistema de referencia

que nos permita obtener una expresión lo mas simplificada posible de la ecuación. Trasladando el

1 1 1origen del nuevo sistema de referencia O x y al mínimo de la parábola:

1La ecuación de la parábola referida al sistema O

1 1x y :

En lo sucesivo expresaremos la parábola en el

1 1 1sistema de ejes O x y que por brevedad

tomaremos como Oxy.

El presente caso es, con suficiente aproximación,

el de los cables de los puentes colgantes, líneas

eléctricas y, en general el de todos aquellos

problemas en que la luz es grade comparada con la flecha, en estos casos, el peso del cable se



estática de hilos

70

(42)

Figura 14. Fuerzas sobre un arco decatenaria.

(43)

puede aproximar con bastante exactitud a una carga uniforme por unidad de abscisa, pudiendo

considerarse la curva de equilibrio como una parábola, que resulta una ecuación más sencilla y

manejable desde el punto de vista matemático, si bien la catenaria siempre representará con más

fidelidad la configuración de equilibrio.

Lo anterior, se comprueba desarrollando en serie la ecuación de la catenaria, referida a un sistema

de ejes con el origen en el vértice:

Si x / a es un valor pequeño, se puede emplear únicamente el primer término del desarrollo, que

equivale a la ecuación de la parábola, de igual parámetro que la catenaria.

4.2. Propiedades

A continuación, estudiaremos algunas propiedades

importantes de la parábola:

a) Longitud de un arco de parábola:

La longitud s de un arco de parábola contada desde su

vértice O hasta un punto genérico P(x,y), se obtiene

integrado la expresión de la longitud elemental de arco

ds:

Aunque es posible integrar la anterior función, el proceso resulta algo farragoso, por esta razón



estática de hilos

71

(45)

Figura 15. Fuerzas sobre un arco de parábola.

(46)

(47)

es preferible efectuar la integración a partir del desarrollo en serie de la función, tomando los

primeros términos, resultando:

Esta expresión también puede escribirse, teniendo en cuenta que a=x / (2.y), en la forma:2

b) Tensión en un punto cualquiera del hilo:

considerando el equilibrio de la porción de

arco de parábola comprendido entre el

mínimo y un punto cualquiera P(x,y),

directamente del polígono de fuerzas de la

figura:

Es obvio que a mayor separación del punto P

del vértice de la parábola la tensión

aumentará de manera que:



estática de hilos

72

Nota: funciones hiperbólicas, propiedades: Las funciones hiperbólicas son funciones de tipo

exponencial y tienen unas características parecidas a las trigonometricas.

-Función seno y coseno hiperbólico:

Igualmente se pueden definir: función tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, etc..

-Derivadas de la función seno y coseno hiperbólico:

-Integrales función seno y coseno hiperbólico:

- Propiedad: es fácil de demostrar la siguiente propiedad:

- Existen también las funciones inversas: argsenhx, argcoshx, etc



estática de hilos

73

Figura 16. Representación gráfica función seno y cosenohiperbólico.



rozamiento

74

TEMA: ROZAMIENTO

1. INTRODUCCIÓN: TIPOS DE ROZAMIENTO

2. ROZAMIENTO AL DESLIZAMIENTO

3. ROZAMIENTO A LA RODADURA

4. ROZAMIENTO AL PIVOTAMIENTO

5. EFECTO DEL ROZAMIENTO EN ALGUNOS MECANISMOS

5.1. Planos inclinados

5.2. Cuñas

5.3. Cojinetes radiales

5.4. Correas de transmisión

5.5. Tornillos de potencia



rozamiento

75

Figura 1. Sólidos en contacto.

1.INTRODUCCIÓN: TIPOS DE ROZAMIENTO

Hasta ahora al establecer las ecuaciones de equilibrio de los sólidos se ha supuesto que las

reacciones de contacto entre sólidos eran normales a las superficies de contacto, sin embargo esto

no siempre es así, ya que en general las superficies no son lisas, presentando una cierta rugosidad

lo que supone la aparición de una nueva componente de la fuerza de reacción contenida en el plano

tangente común a las superficies conocida como fuerza o componente de rozamiento; esta fuerza

tiene la particularidad de oponerse siempre al deslizamiento entre las superficies.

Básicamente se distinguen tres tipos diferentes de rozamiento: rozamiento al deslizamiento,

rozamiento a la rodadura y rozamiento al pivotamiento. Para explicar estos tres tipos de

1 2rozamiento, consideremos los sólidos en contacto S y S , moviéndose entre sí, tal como se

1 2muestra en la figura (1); supongamos para simplificar que S permanece fijo y S se mueve sobre

1S . Sea P el punto de contacto entre ambos sólidos en un determinado instante, dicho punto en

1 1 2 2,realidad representa dos puntos superpuestos: P que pertenece a S y P y que pertenece a S el

2 1 2 2movimiento relativo de S respecto S se representa por el grupo cinemático de S en P :

- Velocidad de deslizamiento v .

- Velocidad de rotación o angular ù.



rozamiento

76

Figura 2. Rozamiento al deslizamiento.

La velocidad de rotación se puede descomponer a su vez en dos componentes:

r - Velocidad de rotación de rodadura ù contenida en el plano tangente común ð en P.

p-Velocidad de rotación de pivotamiento ù normal al plano tangente común.

2 1La fuerza de rozamiento que se opone al deslizamiento de S respecto de S se denomina

2rozamiento al deslizamiento, la fuerza de rozamiento que se opone a la rodadura de S respecto

1de S se denomina rozamiento a la rodadura, la fuerza de rozamiento que se opone al pivotamiento

2 1de S respecto de S se denomina rozamiento al pivotamiento.

2. ROZAMIENTO AL DESLIZAMIENTO

Para entender el rozamiento al deslizamiento supongamos el objeto de la figura que se apoya sobre

hun plano horizontal. El peso del cuerpo es P y está sometido a una fuerza horizontal F que tiende

a hacerlo deslizar sobre el plano. Como consecuencia de las acciones directamente aplicadas,

aparecerá una fuerza de reacción R igual y opuesta la resultante de las fuerzas directamente

haplicadas que representamos por F= P + F . La fuerza de reacción R tendrá una componente

normal al plano de apoyo N y otra componente tangencial contenida en el plano horizontal que

rserá la fuerza de rozamiento F . Mientras el cuerpo esté en reposo, se cumplirán las condiciones

de equilibrio estático y el sistema de fuerzas se reducirá a un sistema nulo, cumpliéndose:



rozamiento

77

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

De donde obtenemos los valores de las fuerzas de reacción:

Y la posición x del punto de aplicación C de la fuerza total de reacción R :

hVeamos que sucede si la fuerza horizontal F va aumentando progresivamente: la fuerza de

hrozamiento se opondrá siempre a F manteniendo el equilibrio, sin embargo la fuerza de

rrozamiento F no puede crecer indefinidamente ya que su módulo no puede sobrepasar un valor

máximo definido de la siguiente forma:

ì es un parámetro conocido como coeficiente de rozamiento que depende de la rugosidad y tipo

de material de los cuerpos en contacto. La ecuación anterior fue establecida por primera vez por

Coulomb.

hSi la fuerza aplicada F supera la fuerza de rozamiento máximo, el cuerpo comenzará a deslizar

resultando la condición de deslizamiento:



rozamiento

78

(6)

Figura 3. Cono de rozamiento.

(7)

La condición de x0 implica que el punto C de aplicación de la fuerza de reacción R sobre el

cuerpo (o la intersección de la línea de acción de F yR ) ha de estar evidentemente en la superficie

de contacto.

Cuando se cumpla la condición:

Decimos que el cuerpo está en equilibrio pero en una situación de deslizamiento inminente.

Todo lo anterior presenta una sencilla interpretación geométrica, podemos pensar que el

coeficiente de rozamiento ì representa la tangente de un ángulo denominado ángulo de

rozamiento. Este ángulo define el denominado cono de rozamiento, que es un cono de vértice en

C y semiángulo =artang ì. Sea á el ángulo que representa la inclinación de la resultante de las

hfuerzas directamente aplicadas sobre el cuerpo F= P+F respecto de la vertical. Si el cuerpo está

en reposo, admitiendo siempre que x0, se cumplirá:



rozamiento

79

(8)

Figura 4. Situación de vuelco inminente sin deslizamiento.

Es decir:

Lo cual equivale a decir que si la resultante F de las fuerzas directamente aplicadas está contenida

dentro del cono de rozamiento, el cuerpo estará en equilibrio, cuando esté sobre la superficie del

cono el cuerpo estará en una situación de deslizamiento inminente, y cuando esté fuera del cono

el cuerpo deslizará sobre el plano horizontal.

Existe además otra posibilidad de movimiento del cuerpo, diferente al deslizamiento: La fuerza

resultante de las acciones directamente aplicadas F ha de pasar siempre por G que es el punto de

h hconcurrencia de F y P, si F aumenta sin que la fuerza de rozamiento llegue a su valor máximo,

el ángulo de inclinación á de F aumenta existiendo la posibilidad de que el punto intersección de

la linea de acción de F esté fuera de la superficie de contacto entre el cuerpo y el plano, esto

equivale a decir que la posición de C esté a la derecha de B, sin embargo el punto de aplicación

de la fuerza de reacción R estará sobre la superficie común desplazándose lo más a la derecha

posible que será el punto B, esto equivale también a decir que la variable x dada por la ecuación

(3) es negativa. Cuando esto suceda no se podrán cumplir las condiciones de equilibrio puesto que



rozamiento

80

(9)

aunque R sea igual y opuesta a F sus lineas de acción serán diferentes no cumpliendose la

condición de equilibrio de momentos, existiendo pues un momento resultante diferente de cero

para el sistema de fuerzas que tiende a volcar el cuerpo alrededor de B. Al momento del par F,

R =- F, se denomina momento de vuelco. La condición de vuelco será pues:

En la situación de vuelco inminente x=0 y la linea de acción de F y R pasará por el punto C=B.

Cuando el cuerpo es cilíndrico o esférico el vuelco está relacionado con el movimiento de

rodadura, ya que en realidad éste consiste en un vuelco continuo como se explica en el apartado

siguiente.

Finalmente señalar que una vez el cuerpo ha comenzado a deslizar, el coeficiente de rozamiento

cdisminuye ligeramente, apareciendo el coeficiente de rozamiento cinético ì algo menor que el

coeficiente de rozamiento estático ì. Mientras no se especifique lo contrario se supondrá que nos

estamos refiriendo a rozamiento estático.

3. ROZAMIENTO A LA RODADURA

De acuerdo con lo explicado en el apartado anterior, el movimiento de rodadura es en realidad un

vuelco continuo del cuerpo cuando este presenta una simetría cilíndrica o esférica. La resistencia

o rozamiento a la rodadura se presenta como consecuencia de la deformación del cuerpo rodante

y de la superficie sobre la que rueda.

Consideremos el cilindro de la figura que soporta la carga vertical P aplicada a su eje de rotación,

esta carga puede representar bien el peso propio del cilindro o cualquier carga exterior aplicada

hsobre el eje, para que el cilindro gire aplicaremos una fuerza horizontal F , en una situación ideal

ni el cilindro ni el plano de rodadura se deformarán, y la resultante de las fuerzas directamente

h raplicadas F=P+F será contrarrestada por la fuerza de reacciónR =F +N pero ambas tendrán lineas



rozamiento

81

Figura 5. Rozamiento a la rodadura.

(10)

de acción diferentes, existiendo un momento de vuelco que es imposible de compensar para

hcualquier valor de F .

Sin embargo la situación cambia cuando se tienen en cuenta las deformaciones elásticas en el

cilindro y el plano de rodadura, en este caso existirá una superficie de contacto entre el cilindro y

el plano. Si el cilindro está inicialmente en equilibrio y vamos aumentando progresivamente la

hfuerza F y ésta se mantiene por debajo de la fuerza de rozamiento máxima, llegará un momento

en el que la línea de acción de F cortará el plano fuera de la superficie de contacto, en ese

momento el cuerpo comenzará a rodar. La dimensión de la superficie de contacto viene dada por

el parámetro “a”. Las condiciones de equilibrio estático cuando el cilindro está a punto de rodar,

son:



rozamiento

82

(11)

(12)

hEn la última ecuación (10) hemos supuesto que la distancia de la línea de acción de F al punto A

es prácticamente el radio r.

hAdmitiendo que no hay deslizamiento, si la fuerza F es pequeña, la linea de acción de las fuerzas

aplicadas F corta al plano de rodadura dentro de la superficie de contacto y el cilindro no se

hmueve, esto equivale a decir que el momento F .r es compensado por P.a en la ecuación de

equilibrio de momentos y el cilindro no rueda, sin embargo para un valor suficientemente grande

hde F el momento no puede compensarse y el cilindro comienza a rodar, en este caso la línea de

acción de F pasará a la derecha de A, mientras que la reacción R estará aplicada en A existiendo

hsiempre un momento F .r imposible de compensar totalmente.

La dimensión de la deformación cuando el cilindro está a punto de rodar viene dada por el

parámetro “a”, el cual depende de las propiedades elásticas del material. A este parámetro se le

r r denomina también coeficiente de rozamiento a la rodadura, y se le representa por ì ( ì =a). De

acuerdo con las ecuaciones de equilibrio, la condición de rodadura será:

El cilindro no deslizará, teniendose que cumplir además:

Las ecuaciones (11) y (12) representan las condiciones de rodadura sin deslizamiento.

4. ROZAMIENTO AL PIVOTAMIENTO

La resistencia o rozamiento al pivotamiento consiste en fuerzas tangenciales que se oponen al giro

relativo de cuerpos en contacto, produciendose dicho giro alrededor de un eje normal al plano

tangente común de los cuerpos en contacto. Al contrario que el rozamiento a la rodadura, este tipo



rozamiento

83

Figura 6. Cojinete de empuje.

(13)

de rozamiento presenta una naturaleza similar al rozamiento al deslizamiento, pudiendo

considerarse como un caso especial de este. Este tipo de rozamiento se presenta en embragues y

cojinetes de empuje o chumaceras.

Supongamos un cojinete de empuje situado en el extremo inferior de un eje verical que se apoya

sobre un plano horizontal. El eje presenta un hueco en su extremo inferior, de manera que la

1 2superficie de apoyo es una corona circular de radio menor r y radio mayor r que coincide con el

radio del eje. El eje se apoya sobre un plano horizontal soportando una fuerza axial P que lo

comprime contra el mismo y un momento torsor T que tiende a hacer girar al eje sobre si mismo.

Si el momento T es pequeño el eje no podrá girar debido a la existencia de fuerzas de rozamiento,

pero si vamos aumentando el valor de T, llegará un momento que las fuerzas de rozamiento

alcanzarán su valor máximo y el eje girará.

Para analizar el equilibrio del eje suponemos

que la fuerza axialP provocará una reacción del

plano sobre el eje caracterizada por una

distribución uniforme de presión en el área de

contacto que representamos por p, existiendo

además una fuerza de rozamiento asociada por

unidad de área ì.p. Como la reacción es una

fuerza distribuida sobre la superficie de

contacto, consideraremos un área elemental en

forma de corona circular de radio r y espesor

dr, las condiciones de equilibrio las

estableceremos integrando sobre este elemento:



rozamiento

84

(14)

(15)

De la primera ecuación podemos determinar la presión de contacto p:

Sustituyendo esta expresión de la presión de contacto p en la segunda ecuación (13), podemos

obtener a u vez el valor del momento torsor T necesario para hacer girar el eje:

Este momento T equivale también al momento resistente de pivotamiento cuando el eje está

girando.

5. EFECTO DEL ROZAMIENTO EN ALGUNOS MECANISMOS

5.1. Planos inclinados

Analicemos en primer lugar el equilibrio de un

cuerpo de peso W, situado sobre un plano

inclinado, con ángulo de inclinación á, y

sometido a una fuerza F que trata de subir el

cuerpo sobre el plano. Cuando el cuerpo está a

punto de deslizar hacia arriba, la fuerza de

r rozamiento será F = ì.N, orientada hacia abajo,

de acuerdo con la figura. Las ecuaciones de

equilibrio del cuerpo, serán: Figura 7. Cuerpo sometido a fuerzaascendente sobre un plano inclinado.



rozamiento

85

(16)

Despejando N de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera, se puede tener un expresión

de la fuerza F en función de parámetros conocidos: á, â, ì, W:

(17)

Supongamos a continuación que no actúa la fuerza F sobre el bloque, la única posibilidad der movimiento del bloque es deslizamiento hacia abajo, en este caso la fuerza de rozamiento F estará

orientada hacia arriba, en sentido contrario al de la figura. Cuando el bloque esté a punto de

r deslizar F = ì.N , las ecuaciones de equilibrio, serán:

(18)

Despejando la fuerza normal N de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera, obtendremos

la condición de deslizamiento inminente del cuerpo:

(19)



rozamiento

86

Figura 8. Mecanismo de cuña.

(20)

es el ángulo de rozamiento, de manera que cuando á el cuerpo no desliza y cuando á > ,

el cuerpo desliza.

5.2. Cuñas

Las cuñas son cuerpos de forma generalmente triangular o trapezoidal que se utilizan para elevar

cuerpos pesados o realizar ajustes en la posición de los cuerpos. Su efecto está basado en el

rozamiento.

Supongamos que deseamos elevar un peso P

mediante el sistema de cuñas A-B, ejerciendo

una fuerza horizontal F sobre la cuña A.

Cuando la fuerza F es suficientemente

grande, el cuerpo A desliza entre el plano

horizontal y B y el cuerpo B desliza entre A

y el plano vertical. En todos los casos las

fuerzas de rozamiento se oponen al

movimiento.

Supongamos que deseamos conocer la fuerza

F para elevar el peso P, aplicando las

condiciones de equilibrio para el cuerpo B:



rozamiento

87

Figura 9. Diagramas de sólido libre para los elementos de cuña cuando se eleva la carga.

(21)

(22)

2 3Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: N y N , de la primera ecuación

3 2 podemos obtener una expresión de N en función de N y sustituir en la segunda ecuación,

2resolviendo para N , resultando:

En lo que respecta al cuerpo A:

1 2De la segunda ecuación, podemos despejar N en función de N y sustituir en la primera ecuación,

2 pudiendo obtener una expresión de F en función de N :



rozamiento

88

(23)

Figura 10. Diagrama de sólido libre para lacuña A cuando la carga P está a punto dedescender.

(24)

(25)

(26)

Una propiedad importante de los mecanismos

de cuña es la irreversibilidad: que consiste en

que si dejamos de ejercer la fuerza F en una

determinada posición el sistema permanece fijo

en esa posición. Cuando el sistema es reversible

tiene que estar actuando la fuerza F hacia la

derecha para que la carga P no descienda.

Supongamos que la carga P está a punto de

descender, las ecuaciones de equilibrio de A

serán:

De la segunda ecuación:

Sustituyendo en la primera ecuación (24):



rozamiento

89

(27)

(28)

Si el sistema es irreversible F0, es decir:

1 1 2 2Teniendo en cuenta que ì = tang y ì = tang , la condición de irreversibilidad será:

5.3. Cojinetes radiales

Los cojinetes son elementos mecánicos que se utilizan como soportes o apoyos de ejes giratorios.

Los cojinetes transmiten las cargas de reacción sobre el eje, permitiendo además el giro o rotación

de los mismos. Cuando los ejes giran a gran velocidad los cojinetes están lubricados en aceite y su

estudio se realiza a partir de las ecuaciones de la mecánica de los fluidos. Cuando la velocidad de

Figura 11. Elevación de carga. Sistema cojinete fijo, eje-polea giratorios.



rozamiento

90

(29)

(30)

(31)

giro no es muy elevada, la lubricación en aceite no es necesaria y el estudio puede realizarse a

partir de las ecuaciones de la estática y rozamiento.

Supongamos el sistema de la figura formado por un conjunto polea-eje en donde el eje puede rodar

sobre un cojinete fijo, el sistema trata de elevar la carga vertical P, mediante un momento torsor

gradual T. Conforme el par torsor va aumentando en magnitud, el eje rodará subiendo por la

superficie del cojinete sin deslizar hasta llegar un momento en que se produzca el deslizamiento.

oEl par torsor capaz de producir el giro con deslizamiento eje-cojinete lo representamos por T , el

o, punto A de contacto eje-cojinete se habrá desplazado del centro a la izquierda, una distancia r la

reacción R del cojinete sobre el eje, tendrá una componente normal a la superficie del cojinete en

A, N y una componente tangencial que será la fuerza de rozamiento máxima al haber

odeslizamiento, ìÍ . El valor del torsor T necesario para hacer girar al eje:

El ángulo que forma la componente normal N con R es el ángulo de rozamiento , este ángulo es

oen general muy pequeño, de manera que el desplazamiento horizontal r del punto de contacto A

respecto del centro del eje se puede expresar como:

oDe acuerdo la ecuación (29) el par torsor T necesario para hacer girar al eje tendrá de módulo:

Finalmente, señalar que en la práctica pueden darse dos disposiciones diferentes: sistema de

cojinete fijo con polea-eje giratorios y sistema de eje fijo con cojinete-polea giratorio. El esquema



rozamiento

91

Figura 13. Correa de transmisión.

visto antes se correspondería con la primer caso. Para el caso de eje fijo y cojinete-polea giratorios,

el análisis sería similar, si bien la disposición de las fuerzas sería como se muestra en la figura:

5.4. Correas de transmisión

El efecto del rozamiento de una correa sobre

una polea o tambor constituye la base del

funcionamiento de diferentes mecanismos

con múltiples aplicaciones en la industria:

correas de transmisión, frenos etc.

En la figura (11) se muestra una transmisión

m por correa activada por un par motor T en

la polea motriz la cual mueve a la polea

rarrastrada venciendo un par resistente T . El

par motor tiene el mismo sentido de giro que

el movimiento de la polea, mientras que el

Figura 12. Caso de eje fijo con cojinete-polea giratorios.



rozamiento

92

Figura 14. Fuerzas actuantes en ambos lados de la correa en una polea arrastrada con par resistente T.

(32)

par resistente presenta sentido de giro opuesto. Cuando la correa trabaje al máximo de su

capacidad estará a punto de deslizar sobre la superficie de la polea, de manera que cuanto mayor

sea el rozamiento, la capacidad de transmitir el par motor o vencer el par resistente será mayor.

Para analizar el efecto del rozamiento sobre una correa o banda de transmisión que conduce una

r polea con un par resistente T , supongamos que la polea de la figura (12) permanece inmovilizada,

1mientras un extremo se tensa con una fuerza F , en el otro extremo de la correa aparecerá un

2esfuerzo F , si la correa está apunto de deslizar hacia la izquierda, es posible encontrar la relación

1 2entre F y F . Considerando el equilibrio de una porción elemental de correa, el equilibrio de

fuerzas verticales y horizontales según el diagrama de sólido libre para una tira elemental de banda

representada en la figura:



rozamiento

93

(33)

(34)

(35)

En la ecuación anterior, se han efectuado las siguientes simplificaciones, al tratarse de ángulos

muy pequeños:

Eliminando dN del sistema de ecuaciones:

1 2La ecuación anterior nos permite determinar F a partir de F y al revés. Esta ecuación es conocida

como ecuación de Euler para correas planas. Conocidas las fuerzas en los extremos de la banda,

se puede determinar fácilmente el momento que se puede transmitir:

1En la práctica la fuerza mayor F puede estar limitada por las propiedades resistentes del material

1 2de la correa, de manera que fijada F podemos conocer F a partir de la ecuación (30). Para un

1valor conocido de F , si la polea motriz tiene un ángulo de abrazamiento menor que la arrastrada,

2,el deslizamiento se producirá antes en esta polea y el valor de la tensión en el lado flojo F se

calculará aplicando la ecuación (34) para el ángulo de abrazamiento de la polea motriz.

5.5. Tornillos de potencia

Los tornillos de potencia son mecanismos ampliamente utilizados en la industria que sirven para

transformar un movimiento de rotación en un movimiento de traslación, logrando esto mediante



rozamiento

94

Figura 15. Diagrama de fuerzas en el tornillo de potencia de rosca cuadrada.

(36)

la acción de la rosca. Los mecanismos de tornillo de potencia se emplean en gatos y sistemas de

elevación, prensas, mordazas, accionamientos de máquinas herramientas etc.

La rosca es una hendidura practicada sobre la superficie cilíndrica del tornillo describiendo una

curva de hélice que encaja dentro de otra rosca tallada en la pieza sobre la que está incrustada el

tornillo denominada tuerca. El sistema de rosca se utiliza también en tornillos de unión y sus

dimensiones están normalizadas. En tornillos de potencia se utilizan roscas cuadradas y

trapezoidales o ACME, aunque el presente estudio se centrará en la rosca cuadrada.

Los parámetros más importantes que definen los tornillos roscados son:

Paso p: distancia entro dos hilos de rosca consecutivos.

Número de hilos de roscas n tallados sobre el tornillo: pueder ser una rosca (tornillo de rosca

simple o sencilla), dos roscas (tornillo de rosca doble), tres roscas (rosca triple), etc..

Avance l: es la distancia axial recorrida por el tornillo cuando este gira una vuelta completa. El

avance está relacionado con el paso p y con el número de hilos de rosca:



rozamiento

95

(37)

(38)

(39)

Diámetro mayor o nominal d: diámetro del tornillo medido entre las crestas de rosca. Este

diámetro suele coincidir con el diámetro inicial del cuerpo cilíndrico del tornillo antes de tallar la

rosca.

r Diámetro menor d : diámetro menor del tornillo medido entre las hendiduras de rosca.

mDiámetro medio d : valor medio de los anteriores.

Ángulo de avance ë : es el ángulo de inclinación del hilo de rosca:

El problema básico que se presenta en el estudio de estos mecanismos es encontrar el par torsor

T que hay que aplicar al eje del tornillo capaz de hacer avanzar una carga que ejerce una fuerza

F sobre el tornillo. Existen además dos situaciones diferentes según el sentido de avance de la

carga, así en el caso de un sistema de elevación como el de la figura no es lo mismo que la carga

F suba que descienda.

Suponemos en principio que la carga F está subiendo con el tornillo. Aunque la carga F sobre el

extremo del tornillo se transformará en una carga uniforme sobre las roscas, por comodidad

supondremos que se concentra en un punto. Si ì es el coeficiente de rozamiento en los hilos de

la rosca y P la fuerza hipotética horizontal para subir la carga F:



rozamiento

96

(40)

(41)

(42)

(43)

Eliminando N de la segunda ecuación y despejando P de la primera:

El par necesario para elevar la carga se obtendrá multiplicando P por el radio medio del tornillo:

Para el caso en el que la carga desciende las ecuaciones de equilibrio estático:

Eliminando N y despejando P:

El par necesario para descender la carga se obtendrá multiplicando P por el radio medio del

tornillo:



rozamiento

97

(44)

(45)

(46)

(47)

En algunas ocasiones para el caso de descenso de la carga, puede suceder que el ángulo de avance

sea muy elevado o que la fricción sea muy pequeña, resultando que el par T aplicado al tornillo

es de signo negativo, cuando esto sucede significa que la carga desciende por si sola siendo

necesario aplicar un par en sentido contrario al supuesto para evitar el descenso de la carga, en

este caso decimos que el tornillo es de tipo reversible. Si el par T es positivo decimos que el

tornillo es irreversible (o autoblocante o autoasegurante). La condición de irreversibilidad es:

La presencia de rozamiento implica una cierta pérdida de potencia, siendo importante conocer el

rendimiento del mecanismo. Si suponemos que el coeficiente de rozamiento ì=0, el par necesario

para hacer subir la carga:

El rendimiento del mecanismo es la relación de pares (o potencias) para el caso en que el

rozamiento es cero o tiene su valor real:



problemas de estática del sólido rígido

98

PROBLEMAS DE ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO




99

1. Determinar las reacciones de la viga de

la figura.

Se trata de determinar las reacciones de la

viga en A y B. El apoyo en B es un rodillo, lo

que significa que su reacción tendrá

Vúnicamente una componente vertical, B ,

normal a la viga y al plano horizontal de

apoyo. El apoyo en A es una articulación, lo

que significa que su reacción tendrá una

Hcomponente horizontal, A , y una

Vcomponente vertical, A . Las fuerzas totales

que actúan sobre la viga, se representan en el

diagrama de sólido libre. Las condiciones de

equilibrio estático nos proporcionan un

V H Vsistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: B , A , A :

x HF = 0, A - 2000 . cos 60º + 3000. cos 45º -1500 . cos 80º = 0;

y v VF = 0, A + B -5000 - 2000 . sen 60º - 3000. sen 45º -1500 . sen 80º = 0;

A VM = 0, 5000 .2 + 2000 . sen 60º .6 +3000 . sen45º . 13 + 1500 . sen 80º .17 - B . 17 =

= 0

Resolviendo el sistema, nos sale:

H v VA = -860,8 N, A = 6031,6 N, B = 4298,9 N




100

2. Determinar las reacciones de la viga

biapoyada de la figura, sometida a una

carga uniforme distribuida de p = 3kN/m.

El efecto total de la carga distribuida, equivale

a una fuerza puntual de valor la carga total,

aplicada en el cdg de la carga; como se trata

de una distribución uniforme, el cdg estará en

el punto medio.

Las fuerzas totales que actúan sobre la viga,

se representan en el diagrama de sólido libre.

Las condiciones de equilibrio estático nos

proporcionan un sistema de dos ecuaciones

A Bcon dos incógnitas: R , R :

y A BF = 0, R + R -3.8 = 0;

A BM = 0, -24 .8 +14.R = 0;


B AR = 13,714 kN, R = 10,286 kN




101


empotrada-libre de la figura, sometida a

una carga triangular distribuida.



aplicada en el cdg de la carga; como se trata

de una distribución triangular, la carga total

será el área del triángulo y su cdg G estará a

un tercio de la base y dos tercios del vértice.

La carga total, será:

P = (½).p.4= (½).3.4 = 6 kN.

La posición del cdg G de la carga, estará

situado a unas distancias:

a = (2/3).4 = 2,667 m, b = (1/3).4= 1,333 m

A ALas reacciones en el apoyo A, serán una fuerza R y un momento M . Las condiciones de

A Aequilibrio estático nos proporcionan un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: R , M :

y AF = 0, R - 6 = 0;

A AM = 0, -6 .( 3 + 2,667) + M = 0;


A AR = 6 kN, M = 34 kN




102


biapoyada de la figura, sometida a la carga

Adistribuida trapezoidal, en donde p = 2

BkN/m, p = 5 kN/m.



aplicada en el cdg de la carga. En este caso

podemos aplicar momentos estáticos y

descomponer la carga total en dos cargas

parciales distribuidas, una de tipo uniforme, de

1valor p = 2 kN / m y otra triangular en donde

2la carga máxima sería p = 5-2 = 3 kN/m. Las

cargas totales serán:

1 1P = 4. p = 4.2 = 8 kN

2 2P = (½ ).4.p = (½).4.3 =6 kN.

Las distancias de los cdg de las cargas al apoyo izquierdo:

1 2x = (½).4= 2 m, x = (2/3).4=2,667 m.

Resultando, las condiciones de equilibrio:

y A BF = 0, R + R -8-6 = 0;

A BM = 0, 4.R - 8.2 - 6.2,667= 0;


B AR = 8 kN, R = 6 kN




103


biapoyada de la figura, sometida a la carga

distribuida de la figura.

Dado que la carga tiene forma de polígono

irregular, descomponemos la carga en cuatro

sub-cargas en forma de polígono regular, y

determinamos la carga parcial de cada una de

ellas y la distancia de su cdg al apoyo

izquierdo:

1Carga 1:P = (½ ).0,9. 1,2 = 0,54 kN,

1x = (2/3).0,9 = 0,6 m

2 2Carga 2: P = 0,9.1,2 = 1,08 kN, x = 0,9 +

(½).0,9= 1,35 m

3 3Carga 3: P = (½).(1,6-1,2).0,9 = 0,18 kN, x = 0,9 + (2/3).0,9 = 1,5 m

4 3Carga 4: P = (½).1,6.1,35 = 1,08 kN, x = 0,9+0,9 + (1/3).1,35 = 2,25 m

Resultando, las condiciones de equilibrio:

y A BF = 0, R + R - 0,54 -1,08-0,18-1,08 = 0;

A BM = 0, 1,8.R - 0,54.0,6-1,08.1,35-0,18.1,5-1,08.2,25 = 0;

B AResolviendo el sistema, nos sale: R = 2,49 kN, R = 0,39 kN




104

6. En la figura, se muestra la sección

transversal del muro de una presa de

hormigón, de 10 m de espesor, cuando la

presa está llena la presión del agua tiende

a volcar el muro mediante un giro en A, se

pide, determinar: a) La fuerza y momento

de reacción del suelo sobre el muro de la

presa en A, b) Momento de vuelco de las

fuerzas totales que actúan sobre el muro c)

Fuerza del agua sobre el muro. Densidad

del hormigón 2400 kg/m , densidad del agua 1000 kg/m .3 3

a) Consideramos en nuestro

análisis el, conjunto A-B-D-C-E,

formado por el muro de hormigón

y un volumen parabólico de agua,

y determinamos las fuerzas que

actúan sobre dicho conjunto,

considerando diferentes partes:

peso del hormigón, peso del agua y

fuerza lateral, como consecuencia

de la presión del agua sobre el

volumen parabólico, esta presión

presenta una dis t ribució n

triangular. Los valores de las

fuerzas y las posiciones de los puntos de aplicación, son:

Cuerpo 1: bloque triangular de hormigón. Peso y posición del cdg:

1 1P = (½).4,5.12.10.2400.9,8 = 6350,4 kN, x = (2/3) . 4,5 = 3 m

Cuerpo 2: bloque rectangular de hormigón. Peso y posición del cdg:




105

2 2P = 4.12.10.2400.9,8 = 11289,6 kN, x = 4,5+2 = 6,5 m

Cuerpo 3: bloque parabólico de hormigón de vértice C. Peso y posición del cdg:

3 3P = (1/3).5.12.10.2400.9,8 = 4704 kN, x = (3/10) .5+ 8,5 = 10 m

Cuerpo 4: bloque parabólico de agua de vértice C. Peso y posición del cdg:

4 4P = (2/3).5.12.10.1000.9,8 = 3920 kN, x = 4,5+4+3.5 /5 = 11,5 m

Fuerza 5: distribución triangular de presión lateral. Fuerza y posición del punto de aplicación (en

este caso es una ordenada):

5 5P = (½). 12.10.1000.9,8.12 = 7056 kN y = (1/3).12 = 4 m

La reacción del suelo sobre el muro en A, aplicando las ecuaciones de equilibrio del muro:

A b) El momento de vuelco sobre el muro es en realidad M = 156,329.10 N.m, mientras este valor 6

sea positivo el muro no volcará. Esto significa que las fuerzas debidas al peso del muro y columna

parabólica de agua, producen un momento resistente que se opone al momento debido al empuje

lateral de la presión del agua que intenta volcar al muro.

c) La fuerza del agua sobre el muro se obtendrá aislando el sólido 4. Esta fuerza Q será la

4resultante de la fuerza vertical correspondiente al peso del bloque 4, P y la fuerza lateral de

5empuje P . El punto de aplicación de esta fuerza será un punto F intersección de las lineas de

4 5acción de la fuerza vertical P y la horizontal P , resultando:




106

Para la fuerza:

x yQ = 3920 kN Q = 7056 kN

Su punto de aplicación:

F Fx = 11,5 m; y = 4 m

La fuerza Q de empuje del agua sobre

el muro, será un vector cuya línea de

acción pasa por F.




107

7. La compuerta de la figura tiene una

anchura b=0,5 m, está articulada en B y su

apertura se controla mediante el cable AC.

Determinar la fuerza T que es necesario

ejercer sobre el cable para mantener la

compuerta cerrada.

El problema se puede resolver por dos

procedimientos. Un primer método consiste

en aislar el volumen ABD, situado sobre la

compuerta, considerando las fuerzas actuantes.

Sobre la cara lateral AD actúa una

distribución de presión trapezoidal

horizontal, que se puede descomponer a su

vez en una distribución rectangular y una

distribución triangular, los valores de las

fuerzas y las distancias respectivas de las

líneas de acción a la articulación B:

Para la distribución rectangular sobre AD:

1P = 1000.9,8.1,2 0,5.0.6 = 3528 N

1y =0,3

Para la distribución triangular sobre AD:

2 2P = (½). 1000.9,8.0,6.0,6.0,5 = 882 N, y = 0,4 m

A continuación consideramos la fuerza debida a la presión del agua sobre la cara superior DB. En

este caso tendremos una distribución rectangular actuando verticalmente:

3 3P = 1000.9,8.1,2.0,45.0,5 = 2646 N, x = 0,225 m




108

Finalmente consideramos la fuerza correspondiente al peso del agua encerrado en el volumen

triangular ADB:

4 4P = (½). 1000.9,8.0,6.0,45.0,5 = 661,5 N, x = 0,3 m

Para determinar la fuerza T que hay que ejercer sobre el cable para mantener la compuerta

cerrada, considerando la ecuación de equilibrio de momentos de las fuerzas que actúan sobre la

compuerta, teniendo en cuenta que las fuerzas producidas por el fluido son equivalentes a las que

actúan sobre el volumen ADB:

Existe sin embargo en este caso un

procedimiento mas directo para calcular la

fuerza T: dado que la forma de la compuerta

es plana, la acción del fluido sobre ésta es una

distribución de presión trapezoidal a partir de

la cual se puede calcular fácilmente la fuerza

correspondiente. Descomponiendo la

distribución trapezoidal en una distribución

rectangular y en otra triangular, teniendo en

cuenta que la longitud de la compuerta es:

Las fuerzas ejercidas por el fluido sobre la compuerta, y la distancia de las lineas de acción a la




109

articulación B:

Distribución rectangular:

1 1P = 1000.9,8.1,2.0,5.0,75 = 4410 N, a = (½).0,75 = 0,375 m

Para la distribución triangular:

2 2P = (½). 1000.9,8.0,6.0,5.0,75 = 1102,5 N, a = (2/3).0.75 = 0,5 m

La ecuación de equilibrio de momentos de la compuerta AB:




110

8. Un cilindro de peso P=100 N y de diámetro

d=1 m está alojado entre las piezas cruzadas de

la figura, formando un ángulo de á = 60º entre sí.

Determinar la tensión en la cuerda horizontal

DE, suponiendo que el suelo es liso y las pinzas

están apoyadas en el suelo.

Para calcular la tensión T en la cuerda DE,

tendremos que plantear las tres ecuaciones de

equilibrio de una de las piezas cruzadas. Para

resolver estas ecuaciones, necesitamos expresarlas en función únicamente de tres incógnitas.

AConsideremos inicialmente el sistema en su conjunto, y determinemos las reacciones del suelo R ,

BR , en ausencia de rozamiento estas reacciones son verticales, resultando un sistema de dos

ecuaciones con dos incógnitas:




111

Resultado lógico que se podría haber obtenido directamente por simetría del conjunto.

1 2Considerando a continuación el equilibrio del cilindro por separado, siendo C y C las reacciones

de las piezas, normales al plano de apoyo, sobre el cilindro:

Sea a = CF, la distancia del punto de contacto del cilindro sobre la pieza izquierda, a la

articulación F, se cumplirá: a = 0'5 / tan 30º = 0'866 m.

Considerando a continuación el equilibrio de una de las piezas cruzadas, la izquierda por ejemplo,

la ecuación de equilibrio de momentos respecto de F, será:




112

9. Una varilla de peso P=100 N y longitud

l, está colocada sobre un ángulo recto liso,

uno de cuyos lados forma un ángulo con la

horizontal de á=30º. Determinar las

reacciones sobre la varilla y el ángulo

que forma la varilla con la horizontal en la

posición de equilibrio.

De acuerdo con el diagrama de sólido libre de la figura, se tiene:

Resultando un sistema de tres ecuaciones con tres

1 2 1incógnitas: R , R y . Despejando R de (1), y

sustituyendo en (2):

El valor de la tercera incógnita , lo determinaremos a partir de la tercera ecuación. Esta ecuación

es de tipo trascendente al estar la incógnita envuelta dentro de funciones trigonométricas, para

su resolución procedemos como sigue:




113




114

10. Dos cilindros homogéneos de pesos

1 2P y P , se apoyan en dos planos que

forman ángulos á y â con la horizontal.

En el supuesto de que no hay

rozamiento, determinar el ángulo que

forma la recta que une sus centros con la

horizontal.

En la figura se ilustran los diagramas de sólido libre del conjunto de los dos cilindros y de cada

cilindro por separado. Considerando el conjunto de los dos cilindros, las ecuaciones de equilibrio:

Considerando el conjunto de los dos cilindros, las ecuaciones de equilibrio:

1 2 1Esto es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: R y R . Despejando R de (1) y

sustituyendo en (2):




115

Considerando a continuación los cilindros de forma aislada, siendo F la fuerza de interacción entre

los dos cilindros, para el cilindro de la izquierda:

Resultado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: y F, despejando F de la ecuación

(3), sustituyendo en la (4) y despejando tan :

Idéntico resultado se obtendría considerando el equilibrio del cilindro de la derecha.




116

11. Una viga AB, homogénea de 8 m de

longitud y 10000 N de peso, está articulada en

A y sujeta en B por un cable BC, como indica

la figura. Calcular la tensión en el cable y las

reacciones en la articulación de la barra.

Antes de pasar a estudiar el equilibrio de la barra,

es conveniente conocer el ángulo que forma el

cable con la barra. De acuerdo con la figura:

è = 90º-30º- = 60 - .

Aplicando el teorema del seno al triángulo ABC:

Las ecuaciones de equilibrio para la barra, son:

xDe la ecuación (3) se tiene directamente: T = 6557,69 N, de la (1): A = 5196,288, finalmente,

yde la (3): A = 14000 N




117

12. Una barra uniforme de longitud 2.l y

peso P, se apoya en una semiesfera hueca

perfectamente lisa, de radio r, siendo 2.l >

2.r. Hallar el ángulo que forma la barra

con la horizontal en el equilibrio.

Antes de plantear la ecuaciones de equilibrio

es necesario efectuar un análisis geométrico.

El ángulo OCB = al ser el triángulo COB

isósceles, ya que tiene dos lados iguales: OC

=OB = r, y el ángulo OBC = OCB = .

1La reacción N es normal a la superficie de la

2semiesfera, está dirigida a O y forma un ángulo 2. con la horizontal. La reacción N es normal

a la barra. Las ecuaciones de equilibrio, serán:

Es necesario encontrar una expresión de DB y GB en función de , teniendo en cuenta que los

triángulos CAB y CBD son rectángulos, se cumple:

Quedando la tercera ecuación:




118

De la primera ecuación:

Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación:

Sustituyendo esta expresión en la tercera ecuación:

Se trata de una ecuación cuya incógnita , está dentro de funciones trascendentes

(trigonométricas) siendo imposible de resolver directamente. Intentemos expresar la ecuación

anterior en función de cos :




119

El denominador del término a la derecha de la igualdad, equivale a:

Resultando, finalmente la ecuación (3):

En donde se ha despreciado la solución correspondiente al radical negativo.




120

13. Una varilla de longitud L y peso P, está

mantenida en su lugar mediante un cable BC y

un pasador en A, que puede deslizar a lo largo

de una ranura lisa vertical. Determinar los

valores de los ángulos á yè, correspondientes a

la posición de equilibrio.

De acuerdo con el diagrama de sólido libre de la

figura, las ecuaciones de equilibrio, quedarán:

Tenemos en principio un sistema de tres ecuaciones

C Acon cuatro incógnitas: á, è, T , R . Necesitamos

una ecuación más. De acuerdo con la geometría de

la figura, es posible encontrar una relación directa

entre á y è:

Para despejar á y è, que son las incógnitas pedidas, procedemos de la siguiente forma: De la

ecuaciones (1) y (2):




121

sustituyendo esta expresión en la ecuación (3):

Recordando la identidad trigonométrica:

La ecuación (4), se puede poner, teniendo en cuenta la expresión anterior y la ecuación (3):

Esta ecuación tiene solución analítica, aunque el proceso puede resultar algo tedioso, siendo más

práctico resolverla mediante tanteos, resultando:

tanè=1,24 è = 51,2 º á = 68,1 º




122

14. Una varilla delgada de longitud l y peso

P, está alojada entre la pared y un apoyo C,

despreciando los efectos del rozamiento,

determinar el ángulo è entre la pared y la

varilla, en la posición de equilibrio.

La reacción de la pared sobre la varilla, será

normal a la pared y la reacción del apoyo sobre

la varilla, será normal a la varilla, tal como se

muestra en el diagrama de sólido libre:

Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres

A C Cincógnitas: R , R , y è. Queremos determinar el valor è: de la ecuación (2) despejamos R y

sustituimos en (3) para despejar è:




123

15. En la estructura articulada de la figura,

calcular los esfuerzos en cada barra.

Se trata de una estructura articulada

isostática, tanto por el número de coacciones

externas (un apoyo fijo y un apoyo móvil, con

tres reacciones en total) como por la relación

entre el número de barras y de nudos: nº de

barras: b = 5, nº de nudos: n = 4, se cumple

condición para que sea una estructura

articulada isostática: b+3 = 2.n.

Calculemos la reacciones sobre la estructura:

BX BYSe trata de n sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, de donde: R = -5000 N, R = -

C2500 N, R = 2500 N.

A continuación consideraremos el equilibrio de cada uno de los nudos de la estructura. Para el

nudo B:

Para el nudo C:




124

Para el nudo D:

La aplicación de las ecuaciones de equilibrio al nudo A, nos servirá de comprobación. Resumen

de esfuerzos:

1 2 3 4 5 N = 14,14 N; N = 5571,197 N; N = 4971,711 N; N = 5571,197 N; N = - 7051,065 N.




125

16. En la estructura de la figura,

sometida a las cargas indicadas,

determinar los esfuerzos en

todas las barras.

Se trata de una estructura articula

isostática, pues el cálculo de las

reacciones externas se puede

abordar a partir de las ecuaciones

de equilibrio, al igual que los esfuerzos en las barras, ya que se cumple: nº de barras: b = 13, nº

de nudos n = 8, verificándose: b + 3 = 2.n.

Procedamos en primer lugar al cálculo de las reacciones exteriores sobre el conjunto de la

estructura:

Pasando a continuación a estudiar el equilibrio de los nudos. Para el nudo A:

Para el nudo B:




126

Para el nudo C:

Para el nudo D:

Nudo E:




127

Nudo G:

12 Nudo F: Nos queda por determinar N , considerando únicamente una ecuación de equilibrio:

1 2 3 4 5Resultando los esfuerzos: N = - 80 kN, N = 113 kN, N = - 80 kN, N = 80 kN, N = 42 kN,

6 7 8 9 10 11 N = - 110 kN, N = - 50 kN, N = -110 kN, N = 2 8 kN, N = 90 kN, N = - 90 kN,

12 13 N = 120 kN, N = 127 kN.




128

17. Determinar el valor de las

solicitaciones de cada una de las

barras de la estructura articulada de

la figura.

Se trata de una estructura articulada

isostática, pues el cálculo de las

reacciones externas se puede abordar a

partir de las ecuaciones de equilibrio, al

igual que los esfuerzos en las barras, ya

que se cumple: nº de barras: b = 11, nº de nudos n = 7, verificándose: b + 3 = 2.n.

Procedamos en primer lugar al cálculo de las reacciones exteriores sobre el conjunto de la

estructura:

Siendo además: á= arctan (1,5/2) = 36,87º. Pasando a continuación a estudiar el equilibrio de los

nudos. Para el nudo A:

Para el nudo B:




129

Para el nudo C:

Para el nudo D:

Para el nudo E:




130

10 11Finalmente, en lo que respecta al nudo F, al no existir ninguna carga aplicad, N = N =0,

resultando:

1 2 3 4 5 6 7 N = - 166 kN, N = 133 kN, N = 0, N = 133 kN, N = - 83 kN, N = - 66 kN, N = 0,

8 9 10 11 N = 66 kN, N = 8,3 kN, N = 0, N = 0.




131

18. Determinar las fuerzas siguientes que actúan

sobre el marco de la figura:

1) Reacciones del suelo en A y E.

2) Reacciones del pasador C sobre CE.

3) Reacciones del pasador B sobre AC.

A E1) Las reacciones del suelo: R y R , son verticales

y las determinamos a partir de las condiciones de

equilibrio estático:

E AResolviendo el sistema, tenemos; R = 2230 N, R = 1770 N.

2. Las reacciones del pasador C sobre CE, las determinamos planteando el equilibrio de la barra

CE.

Es necesario conocer la longitud del segmento CE. Aplicando el teorema del seno al triángulo

ACE:

Planteando el equilibrio de CE, de acuerdo con el diagrama de sólido libre de la figura:




132

v v h hTenemos un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas: C , D , C , D , necesitamos

plantear además el equilibrio de la barra BD, para ello, necesitamos calcular previamente las

longitudes DF y BF:

Pasando a continuación a considerar el equilibrio de la barra BD:




133

v h v h v hTenemos pues, un sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas: C , C , D , D , B , B :

v v v hDe (6): B = 1473,6 N. De (5): D = -2526,4 N. De (2): C = 296,4 N. De (3): C = 565,8 N.

h hDe (1): D = - 565,8 N. De (4): B = - 565,8 N.

v hLa reacción de C sobre CE: C = 296,4 N, C = 565,8 N.

v h3) La reacción de B sobre AC: - B = - 1473,6 N, - B = 565,8 N.




134

19. El entramado de la figura se utiliza para

soportar un peso de 2000 N en F.

Determinar:

1. Reacción del pasador E sobre DE.

2. Reacción del pasador C sobre CF.

3. Reacción del suelo en B sobre AB.

Determinemos en primer lugar las reacciones en

A y B. Las condiciones de equilibrio:

H HTenemos pues un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, de donde: A = - 2400 N, B =

V2400 N, y B = 2000 N.




135

Pasemos a continuación a considerar el equilibrio de AB. El ángulo á que forma la barra DE con

la vertical: á =arctan (2/1) = 63,43º . Considerando la ecuaciones de equilibrio de AB:

Tenemos pues, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, de donde:

D H VF = - 6710 N, C = 6000 N, C = 1004,5 N, quedando:

E D1) Reacción de E sobre DE: en módulo: F =F = 6710 N, según la dirección de ED, orientado

de E a D.

H V2) Reacción de C sobre CF: - C = - 6000 N, - C = - 1004,5 N.

H V3) Reacción del suelo en B sobre AB, serán: B = 2400 N, B = 2000 N.




136

20. Calcular las reacciones en todas las

articulaciones del entramado.

Determinemos las reacciones en A y B. De

acuerdo con el diagrama de sólido libre del

conjunto:

x y yDe (1):A = 0, de (3): B = 45 kN, de (2): A = 75 kN.

Consideremos a continuación el equilibrio de

CD. La longitud de la barra CD, es, por

semejanza de triángulos: CD=3.8 / 6 = 4 m,

resultando:

y yDe (6): C = 30 kN, de (5) D = 90 kN.

Considerando finalmente la barra ACG:




137

x x y xDe (9), C = 0, de (7), G = 0, de (8) G = -45 kN, de (4) D = 0.




138

21. El peso W=5KN está colgando del entramado de

la figura. Calcular las fuerzas sobre el elemento

ABCD.

Si consideramos el equilibrio del conjunto, en A habrá una

x yreacción con dos componentes desconocidas A y A ,

mientras que en F, la reacción tendrá siempre la dirección

de la barra BF al no haber esfuerzos intermedios.

Suponiendo los sentidos supuestos de la figura, con BF

trabajando a tracción, las ecuaciones de equilibrio del

conjunto, serán:

De donde F = - 14144'27 N, con lo que BF trabaja a compresión y no a tracción como se había

x ysupuesto inicialmente, A = 10000 N, A = -5000 N,. Resultando además:




139

x yF = F . cos 45º = - 10000 N, F = F . sen 45º = - 10000 N.

A continuación consideramos el equilibrio de la barra ABCD, suponemos que las reacciones en

B y C tiene la dirección de las barras BF y CE. Suponemos además en el diagrama que las barras

BF y CE trabajan a tracción, si bien como BF trabaja en realidad a compresión estableceremos

el signo negativo en el valor total de la fuerza de reacción en B. Para la reacciones en A,

mantenemos la orientación positiva de las componentes de la reacción, pero con los valores y

signos calculados. Otra posibilidad sería suponer que la barra BF trabaja a realmente compresión

yy la reacción A tiene la orientación real hacia abajo en este caso los valores numéricos de las

fuerzas al establecer las ecuaciones de equilibrio serían positivos pero con las orientaciones reales,

obteniendo resultados análogos.

x x y yB = F = -10000 N, B = F = -10000 N.

x yC = C. cos 45º = 0'707.C, C = C. sin 45º = 0'707.C.

Las ecuaciones de equilibrio:

y xDe donde: C=-14144'27 N (la barra CE trabaja a compresión), D = 5000 N, D = 10000 N,

x ycumpliéndose además: C = C . cos 45º = -10000 N, C = C . sin 45º = -10000 N

Los valores de las fuerzas calculados, nos permiten conocer también las fuerzas sobre DEG. En

el caso de considerar el equilibrio de la barra DEG, la reacción en D tendría los valores ya

calculados pero con orientación opuesta a la supuesta al estudiar el equilibrio de ABCD. Se puede

suponer que la barra CE trabaja a tracción pero con el valor negativo calculado en su reacción,

o a compresión pero con signo positivo.




140

22. Se usa la armadura de la figura para un

mecanismo de elevación, con objeto de subir una

carga de W=4 KN. Determinar las fuerzas sobre las

barras ABC, CDE y BD.

Antes de considerar el equilibrio del conjunto del

entramado, consideremos el equilibrio de la polea.

Considerando que W =4 KN:

Se tiene que T = W = 4 KN , R = T+W = 8 KN.

Considerando el equilibrio de del conjunto. En este caso en C actuará la reacción R hacia abajo,

en A habrá una reacción con dos componentes y en E habrá una reacción horizontal :




141

x y xDe donde: E = 10,667 KN, A = 8KN, A = -10,667 KN

Se puede llegar al mismo resultando, planteando el equilibrio del conjunto, polea incluida. A

continuación, pasamos a considerar el equilibrio de las piezas de forma independiente. Para la

x y barra ABC, se tendrá que en el extremo A, actúan las reacciones A y A ya calculadas al estudiar

el equilibrio del conjunto con el sentido positivo supuesto y el valor y signo calculado. En

x particular en lo que respecta a la componente A , podemos también considerar el sentido real (en

xeste caso A estará orientado hacia la izquierda) pero con valor positivo. La reacción en B de la

barra BD tendrá la dirección de la barra, se ha supuesto inicialmente que dicha reacción

corresponde a un esfuerzo de tracción. En C te tendrá la acción de la barra EDC, representada

x y por C y C , y además la reacción R hacia abajo de 8 KN . Se tendrá:

y y xResultando: B = 16 KN, C = 16 KN, C = 10,667 KN.

A continuación se podría pasar a considerar el equilibrio de la barra EDC, sin embargo no se ha

estimado necesario, ya que todas las fuerzas están en realidad calculadas. En cualquier caso la

xreacción E tendrá la dirección y valor ya calculados al estudiar el conjunto, la reacción en D

tendrá la dirección de la barra BD a tracción, con el valor y signo ya calculado, mientras que las

reacciones en C tendrán sentidos opuestos al supuesto inicialmente para ABC con el valor y signo

calculado.




142

23. El peso de los libros que hay sobre un

estante equivale a una fuerza vertical de

375 N en D, según se indica en la figura.

Además del punto medio del brazo

inferior BC pende un peso de 250 N.

Hallar todas las fuerzas que se ejercen

sobre los tres miembros de este entramado

(fuerzas en las articulaciones A, B, C).

Considerando el equilibrio del conjunto, en A

habrá una reacción con dos componentes y en C una reacción horizontal:




143

x y xDe donde: A = -900 N, A = 625 N, C = 900 N.

Si consideramos a continuación el equilibrio de la barra ADB, la reacción en A tendrá las dos

x ycomponentes A y A ya calculadas a las que habrá que añadir la reacción F de la barra AC. Dicha

reacción tendrá la dirección de la barra, al no tener ésta esfuerzos intermedios, que en principio

supondremos de tracción, resultando:

y xDe donde: B = 250 N, F = 500 N, B = 900 N.

Con estos resultados, tenemos también las fuerzas sobre CB, no siendo necesario considerar elequilibrio de dicha barra, no obstante en caso de estudiar las fuerzas en CB, en C actuaría la

xreacción del apoyo C . Y la reacción F de la barra AC, que habíamos supuesto que trabajaba a

x ytracción, en B actuarán las reacciones B y B ya calculadas pero con la orientación contraria al

estudiar ADB.




144

24. El mecanismo de dos barras

representado en la figura se utiliza para

sostener un cuerpo W de 500 N. También

se aplica un par en F de M=1500 N.m, al

miembro CDE, según se indica en la

figura. Determinar el módulo de la fuerza

que ejerce el enlace del apoyo en A, para

mantener el mecanismo en equilibrio en la

posición que se indica en la figura.

Despreciar el peso de las barras.

La reacción en A será la tensión de tracción del cable T, y tendrá la dirección del cable. En este

caso no tiene sentido plantear el equilibrio del conjunto al haber demasiadas incógnitos: la tensión

x y , x yT y las reacciones en B: B , B y en D: D , D . Pasamos pues a considerar el equilibrio de cada

pieza por separado. Es necesario comenzar por la barra CDFE, ya que aparecen tres incógnitas:

x y xlas reacciones en D: D , D y la reacción en C: C , las cuales se pueden resolver a partir de las

ecuaciones de equilibrio. El enlace en C es del tipo guía-corredera y tendrá la dirección

perpendicular a la guía o ranura, en este caso dirección horizontal. Se ha supuesto, por convenio

xsentido positivo a las reacciones. En particular estamos interesados en calcular la reacción C ,

para pasar a continuación a estudiar el equilibrio de ABC, para ello será suficiente con la ecuación

de equilibrio de momentos respecto de D, no obstante se plantean a continuación las tres

ecuaciones de equilibrio:




145

xDe donde, de la tercera ecuación, se tiene directamente: C = 2753,51 N, del resto de las

x yecuaciones: D = -2753,51, D = 500 N.

Planteando a continuación las ecuaciones de equilibrio para la barra ABC, si bien para determinar

la tensión en el cable es suficiente con la ecuación de equilibrio de momentos respecto de B:

De la ecuación de equilibrio de momentos: T = 4130,27 N.

xDe la primera ecuación: B = 1376'76 N.




146

25. Para el entramado de la figura, determinar las

fuerzas ejercidas sobre el miembro BDF por los

pasadores en los puntos B y D.

En primer lugar comenzaremos planteando el equilibrio del conjunto, en particular nos interesa

calcular la reacción en E, así que con la ecuación de equilibrio de momentos respecto de A será

suficiente:

yDe donde: E = 700 N.

Estableciendo el equilibrio para BDF:




147

x y, x y ,Se tiene un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas: B , B D , D de donde:

y y x xD = 950 N, B = -50 N, B = -D

x xPara determinar B , y D , hay que considerar el equilibrio de CDE, en particular la ecuación de

y yequilibrio de momentos respecto de C, teniendo en cuenta que E = 700 N y D = 700 N :

x x xDe donde D = 700 N. De (2): B = -D = -700 N




148

26. El entramado de la figura, soporta la carga de

2000 N. Se desprecian los pesos de los miembros.

Calcular las reacciones en B, C y E

Antes de considerar el equilibrio del conjunto,

estudiemos el equilibrio de la polea, se tiene

directamente:

x yAl estudiar el equilibrio del conjunto en A habrá una reacción con dos componentes: A y A , y

xen D una reacción de componente horizontal D , habrá que considerar además las reacciones en

F de la polea y la tensión del cable en G, producida por la carga de 2000 N, resultando




149

x y xSe tiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: A , A , D . De donde:

x x yD = 2200 N, A = 2200 N, A = 2000 N.

A continuación consideramos el equilibrio de la barra BEF. Esta barra está conectada en E la barra EC, la cual transmitirá una reacción E según la dirección de la barra, al no estar sometida

a esfuerzos intermedios. Aunque EC no presente una forma esbelta, se considera que la dirección

de la barra es la definida por las articulaciones EC, por convenio supondremos que inicialmente

la barra EC trabaja a tracción. El ángulo á de inclinación de la reacción, será: á = artan(0'9/1'8)=

26'565, las ecuaciones de equilibrio, serán:

De la tercera ecuación, se tiene directamente: E = - 7453'57 N, al ser un valor negativo, la barra

trabajará a compresión, se tiene además:

x yE = - 7453,57 . cos 26,5 = - 6666'67 N. E = -745357 . sen 26,565 = - 3333,33 N .

Del resto de las ecuaciones:

x yB = -4670´45 N, B = -1333,33 N




150

27. En la grúa de la figura, determinar:

a) Fuerza en la barra CD

b) Fuerza en la barra CA

c) Fuerza de la articulación A sobre AB

a) De acuerdo con la figura:

x yConsideremos a continuación el equilibrio del conjunto de la estructura. A , A es la reacción




151

DCtotal en la articulación A y F la reacción en la articulación D, esta reacción tendrá la dirección

de CD:

DC x DCDe (3): F = - 228000 N, de (2) Ay = 318000 N, de (1) A = 0. LA fuerza en la barra CD es F .

b) Considerando a continuación el equilibrio del nudo D, teniendo en cuenta que la barra CD

DC CA BCtransmite la fuerza F , la barra CA, la fuerza F y el cable CB la fuerza F . Todas estas fuerzas

tienen direcciones conocidas:

AC BCResolviendo el sistema: F = -186630,671 N, F = 146413,898 N

c) La fuerza total de la articulación A sobre AC, será la suma vectorial de la reacción en A sobre

CA ACel conjunto de la estructura más la fuerza F = F . De acuerdo con el diagrama de la figura:




152

28. En la figura puede verse una

plataforma para cargar un camión situada

en la parte trasera del mismo. Su posición

la regula un cilindro hidráulico que le

aplica una fuerza P. Los barras giran

alrededor de ejes fijos al chasis del camión

en A, B y F. Determinar la fuerza P que

ejerce el cilindro para mantener la

plataforma en la posición indicada de la

figura. Puede despreciarse el peso de la

plataforma y de las barras frente al peso

W= 2500 N correspondiente al peso del objeto que se está elevando.

Si consideramos todo el sistema en su conjunto y planteamos las condiciones de equilibrio

estático, tendremos un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas: La fuerza P del cilindro

hidráulico, las dos componentes de la reacción en la articulación en A y la reacción en B, que

tendrá la dirección EB. Tendremos que proceder considerando el equilibrio de cada una de las

piezas que conforman el conjunto del sistema, planteando el equilibrio para cada una de ellas por

separado. Para la plataforma DE:

y yDe (3): D = 4583,33 N, de (2) E = -2083,33 N. Consideremos a continuación el equilibrio de

la barra BE, la condición de equilibrio de momentos respecto de B:




153

x xDirectamente de la ecuación (4): E = 1602,56 N, sustituyendo en (1): D = -1602,56 N. Hay que

hacer notar que la ecuación (4) equivale a suponer que los esfuerzos en las articulaciones E y B

están orientados según la recta EB, lo cual es lógico puesto que la barra BE no está sometida a

esfuerzos intermedios.

Consideremos a continuación el equilibrio de la barra DA. Tomando momentos respecto de A:




154

29. La figura muestra unas tijeras para cortar alambre. El mecanismo está diseñado para

que se aplique una fuerza de 400 N en los mangos. Determinar las fuerzas resultantes sobre

el alambre.

De acuerdo con las condiciones de equilibrio para AB:

De acuerdo con las condiciones de equilibrio para BC:




155

y yDe (6): C = 15200 N, de (5): B = 14800 N , de (3): P = 59200 N




156

30. En el sistema de engranajes planetario

indicado, el radio del engranaje central A

es a, el radio del engranaje planetario B

es b y el radio del engranaje interior E es

A(a+2.b). Se aplica un par de módulo M al

engranaje central A en sentido horario y

Aun par de módulo 5.M y de sentido

contario a la pieza BCD que soporta los

ejes de los engranajes. Si el sistema debe

de estar en equilibrio, determinar: a) La

Erelación b/a requerida. b) El par M que debe de aplicarse al engranaje interior E.

Considerando la ecuación de equilibrio de momentos para el engranaje A, este engranaje estará

t Asometido a tres fuerzas tangenciales F , producidas por los engranajes B, C y D y al par M :

Repitiendo lo mismo para la pieza BCD:

Considerando a continuación los engranajes planetarios, tomando momentos respecto del punto

de contacto E:

EFinalmente, si consideramos el equilibrio de todo el conjunto, tendremos un par M desconocido,

A Aun par M horario y otro 5.M , anti-horario, resultando:




157




158

31. Sobre el extremo D del

mecanismo de la figura, actúa una

xfuerza P , de componentes P =2000

yN y P =1000 N, y sobre B, una

fuerza vertical Q=4000 N, con los

sentidos indicados en la figura. La

longitud l=1 m. Determinar el

momento M necesario para

mantener en equilibrio el

mecanismo, suponiendo un ángulo è=30º.

Considerando el equilibrio de BC:

x y yDe donde: B = -2000 N, B = 5309,401 N, C = -309,401 N




159

Considerando a continuación el equilibrio de AB, en particular el balance de momentos respecto

de A ( en este caso la fuerza Q no hay que incluirla, ya que ya se ha tenido en cuenta en BC ):

De donde: M = 5598,0761 N.




160

32. Determinar e l momento M

correspondiente al par que hay que aplicar al

mecanismo pistón-biela-manivela de la figura.

Particularizar para è = 30º, a = 0,6 m, b = 0,4

m, P=100 N.

La relación entre los ángulos de inclinación de las barras è y á:

La biela BC no tiene esfuerzos intermedios, por tanto trabajará a tracción o compresión. Se ha

supuesto que inicialmente trabaja a compresión. El equilibrio de la articulación B:

Teniendo en cuenta, que de acuerdo con la figura, el ángulo â del triángulo ACD vale:




161

Considerando a continuación, la ecuación de equilibrio de momentos de la manivela AC, tenemos

directamente el momento M:




162

33. El cabestrante de la figura se compone de un mástil BE, una columna BD, vertical, y

tres cables AD, CD y DE. A, B y C, están en un plano horizontal. AC resulta cortado en su

punto medio por el plano vertical que contiene a: BD, BE y DE. Determinar las fuerzas en

AD, CD y BD. Se cumple:

DB = 5 m; AB =5 m; CB= 5 m; P =10000 N

Es posible estudiar inicialmente el equilibrio del conjunto BDE, y determinar la reacción total en

B y las reacciones en los cable CD y AD, sin embargo en esta ocasión, consideramos el equilibrio

de cada barra por separado. Supongamos en primer lugar la barra BE. La reacción del cable DE,

tendrá la dirección del cable y la reacción del apoyo B, la dirección de la barra, al no estar ésta

sometida a fuerzas en posiciones intermedias, las ecuaciones de equilibrio, prescindiendo de la

ecuación de equilibrio de momentos, ya que esta condición ya se tiene en cuenta al suponer que

la reacción en B tiene la dirección de la barra:

Pasemos a continuación a estudiar el equilibrio de BD, de acuerdo con la geometría de la figura,

se cumple:




163

á=â= 40º, =ã=45º, è=ë =50º

Las ecuaciones de equilibrio, son:




164

34. Un poste de 4m de altura, está apoyado

perpendicularmente sobre el centro de un

hexágono regular de 3 m de lado, situado sobre el

suelo. Del extremo superior del poste parten

tirantes sujetos a cada uno de los vértices del

hexágono. Las tensiones de cuatro de los tirantes

1 2 3consecutivos, son: T =10000 N, T = 25000 N, T

4= 30000 N y T = 35000 N. Calcular el valor de las

tensiones de los otros dos tirantes para que la

presión del poste sobre el suelo sea vertical.

Determinar la fuerza total de compresión sobre el

poste.

i ViLa tensión T en los cables se pueden descomponer en una componente T según la dirección del

Hi poste y en otra dirección T normal al poste. Para que la presión del poste sobre el suelo sea

vertical, debe de ser nula la resultante de las componentes horizontales de las tensiones de los

Hicables. Se cumplirá para un cable genérico i, que el módulo T :




165

Imponiendo la condición de que la resultante de las componentes horizontales sea nula:

Hi iTeniendo en cuenta que T = T . 3 / 5 :

Sustituyendo en el sistema anterior:

H5 H6 H5Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas T y T , de donde: T = 3000 N

H6y T = 30000 N. Las tensiones absolutas de los cables:

Lo compresión total sobre el poste será la suma aritmética de las componentes verticales de los

cables:




166




167

35. Una plataforma de 2,4 x 3 m y 2500 N, se

mantiene en posición horizontal mediante dos

bisagras en A y B y el cable CD, sujeto en D,

situado a 1,5 m por encima de B y en su

vertical. Determinar la tensión en el cable y las

componentes de las reacciones en las bisagras.

Se supondrá que la bisagra A presenta

componentes según Oy , y Oz, mientras que la

bisagra en B presenta componentes según Ox ,

Oy, Oz . A efectos de cálculo, las bisagras A y B

se supondrán coincidente con los vértices.

Los ángulos á y â definen la orientación del

cable CD, de acuerdo con la figura:

De acuerdo con el diagrama de sólido libre de la

figura, las ecuaciones correspondientes al equilibrio de fuerzas:




168

La ecuación correspondiente al equilibrio de momentos, siendo B el centro de momentos:

Siendo:

Resultando la ecuación de equilibrio de momentos:

Desarrollando los determinantes y ordenando términos:




169

z y xResultando, de (4): T = 4230,118 N; de (5) A = - 416,62 N; de (6) A = 0; de (1) B = 336,2 N;

y zde (2) B = 1996,674 N; de (3) B = 1250 N.




170

36. La varilla AB de 2,4 m y la varilla

BC de 1,8 m están articuladas en B y

sustentadas mediante el cable DE y

rótulas en A y C. Sabiendo que h=0,9

m, determinar la tensión en el cable

para la carga representada.

Si consideramos el equilibrio de las dos barras conjuntamente, tendremos un sistema de seis

ecuaciones con siete incógnitas: las seis componentes de las reacciones an A y C, y la tensión T

del cable. Por esta razón procederemos a analizar el equilibrio de cada barra por separado.

Comenzaremos estudiando la barra BC. de acuerdo con el diagrama de sólido libre, tendremos,

para las ecuaciones correspondientes al equilibrio de fuerzas:




171

La ecuación vectorial de equilibrio de momentos, siendo C el centro de momentos:

y y z zDirectamente, de (5): B = 0, de (2): C = 0, de (4) B = 420 N, de (3) C = 420 N. Necesitamos

considerar a continuación, el equilibrio de AB, para ello determinemos los ángulos á y â:

Las componentes de la tensión T del cable, serán:

Las condiciones de equilibrio estático para la barra AB, considerando en primer lugar la ecuación




172

de equilibrio de fuerzas :

Y la ecuación de equilibrio de momentos:

x x xDe (9): T = 1680 N, de (10): B = - 840 N, de (1): C = 840 N, de (6): A = 1948,8 N,

y zde (7): A = 1108,8 N, de (8) A = -134,4 N.




173

37. El eje de transmisión AE gira a velocidad constante, accionado por un motor eléctrico

conectado a la polea B mediante una correa plana. La polea D acciona un eje paralelo

B1 B2 D1 D2situado a la misma altura que AE. Sabiendo que T + T = 180 N, T = 180 N y T = 60

N, determinar: a) La tensión en cada tramo de la correa de transmisión de la polea B, b)

Las reacciones en los cojinetes A y E.

Consideremos el equilibrio del eje AE, sobre este cuerpo actuarán las fuerzas de las correas y las

reacciones en los cojinetes, dado que las fuerzas de las correas no presentan componentes según

Oy, las reacciones en los cojinetes A y E tampoco tendrán componentes en esa dirección,

resultando, para la ecuación de equilibrio de fuerzas:




174

Pasemos a continuación a plantear la ecuación de equilibrio de momentos. Considerando A como

centro de momentos:

Siendo, para los vectores de posición:




175

Para la fuerzas:

Resultando, la ecuación de equilibrio de momentos:

Operando y ordenando términos:

Además, tenemos la ecuación:




176

B1 B2Resultado un sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas. De (6): T = 180 -T , sustituyendo

B2 B1 z x xen (4), tenemos: T = 45 N; T = 135 N. De (3) E = 27,35 N. De (5) E = 187,5 N. De (1): A

z= - 20,92 N. De (2) A = 136,79 N.



problemas de estática analítica

177

ESTÁTICA ANALÍTICA




178

1. Una varilla de peso P=100 N y longitud l, está

colocada sobre un ángulo recto liso, uno de

cuyos lados forma un ángulo con la horizontal de

á=30º. Determinar el ángulo que forma la

varilla con la horizontal en la posición de

equilibrio.

El sistema de la varilla posee un sólo grado de

libertad en donde podemos tomar como coordenada

generalizada el ángulo que forma la varilla con la

horizontal. Únicamente existe una fuerza

directamente aplicada actuando sobre la varilla: el

peso P aplicado en su c.d.g. G, esta fuerza deriva

de un potencial gravitatorio, por lo que el problema

se podrá resolver también aplicando el método de

los potenciales.

Aplicando primeramente el principio de los trabajos virtuales:

Siendo:




179

Resultando unos desplazamientos virtuales:

Sustituyendo en la ecuación de los trabajos virtuales:

Como la fuerza directamente aplicada P deriva de un potencial de tipo gravitatorio, es posible

resolver el problema aplicando el método de los potenciales. La ecuación de equilibrio es

equivalente, ya que ésta se obtiene en realidad a partir del principio de los trabajos virtuales, si

bien el proceso resulta más directo:




180

2. Una viga AB, homogénea de 8 m de longitud

y 10000 N de peso, está articulada en A y sujeta

en B por un cable BC, como indica la figura.

Calcular la tensión en el cable.

Para resolver este problema mediante el método de

los trabajos virtuales, hay que suprimir el cable CB

y considerar su efecto, la tensión T, no como una

reacción sino como una fuerza directamente

aplicada. El sistema así considerado, será una

varilla con un grado de libertad en el que la

coordenada generalizada es el ángulo á, que en

principio será considerado como una variable. La

ecuación de los trabajos virtuales, resulta:

Resultando:

Teniendo en cuenta además, que para el valor particular de á=60º, el ángulo resultante, es:




181

Sustituyendo en la ecuación de los trabajos virtuales, despejando T y sustituyendo para los valores

particulares de á = 60º, = 37,589º:




182

3. Una barra uniforme de longitud 2.l y

peso P, se apoya en una semiesfera hueca

perfectamente lisa, de radio r, siendo 2.l >

2.r. Hallar el ángulo que forma la barra

con la horizontal en el equilibrio.

Se trata de un sistema de un grado de

libertad en donde se ha tomado como

coordenada generalizada el ángulo . Existe

una fuerza directamente aplicada: el peso P

en el c.d.g. Esta fuerza deriva de un

potencial gravitatorio, por lo que el

problema se puede también resolver

mediante el método de los potenciales.

Aplicando en primer lugar el principio de los trabajos virtuales, teniendo en cuenta la geometría

de la figura:

De acuerdo con la geometría de la figura, resulta:





183

En donde la solución válida corresponderá lógicamente al signo positivo del radical.

Es posible resolver también el problema, mediante el método de los potenciales:

Expresión que coincide lógicamente, con la obtenida mediante el principio de los trabajos

virtuales.




184

4. Una varilla delgada de longitud l y peso P está

situada entre la pared y un punto de apoyo C.

Despreciando el efecto del rozamiento, determinar

el ángulo è que forma la varilla con la pared en el

equilibrio.

Se trata de un sistema con un grado de libertad, en el

que la coordenada generalizada puede ser el ángulo è

que forma la varilla con la vertical. Existe una fuerza

solicitante o directamente aplicada sobre la varilla: su

peso P en el c.d.g. G, esta fuerza deriva además de un

potencial gravitatorio. Aplicando el principio de los

trabajos virtuales:

Resultando:





185

Aplicando el método de los potenciales:

La posición de equilibrio, vendrá dada por la condición:

Esta ecuación coincide con lo obtenida mediante el principio de los trabajos virtuales.




186

5. Un cilindro de 100 N de peso y de 1 m de

diámetro está alojado entre las piezas cruzadas

de la figura, formando un ángulo de 60º entre sí.

Determinar la tensión en la cuerda horizontal

DE, suponiendo que el suelo es liso y las pinzas

están apoyadas en el suelo.

Para poder abordar el problema mediante el método

de los trabajos virtuales, suprimimos el cable DE

por la acción equivalente: la tensión T, y

consideramos esta fuerza, no como una fuerza de

reacción, sino como una fuerza directamente

aplicada, el sistema así considerado tiene movilidad

ya que las piezas se pueden abrir o cerrar al no

existir cable, existiendo un grado de libertad.

Consideramos como coordenada generalizada el

semi-ángulo á que define la apertura de las piezas.

A continuación planteamos la ecuación de los

trabajos virtuales, que nos dará la condición de

equilibrio, particularizando posteriormente para el

ángulo á = 30º y resolviendo para la tensión T:

Resultando, para los vectores fuerzas aplicadas:




187

Para los vectores de posición de los puntos de aplicación:

Para los desplazamientos virtuales:

Sustituyendo en la ecuación de los trabajos virtuales, obtenemos la condición de equilibrio:

Despejando la tensión T del cable, y sustituyendo para á=30º y P=100 N:




188

6. Determinar el momento M correspondiente

al par que hay que aplicar al mecanismo

pistón-biela-manivela de la figura.

Particularizar para è = 30º, a = 0,6 m, b = 0,4

m, P=100 N.

Se trata de un problema en donde aparece el

concepto de trabajo de rotación. El sistema

presenta una grado de libertad, en donde el

ángulo de giro de la manivela è es la coordenada

generalizada, este ángulo nos permite definir un

vector rotación è cuyo módulo es el valor del

ángulo è, dirección perpendicular al plano de la

figura y sentido dado por la regla de la mano

derecha, en donde el sentido positivo del giro es

el contrario a las agujas del reloj. El vector momento M tendrá también una dirección normal al

plano de la figura, cuyo sentido vendrá definido por un criterio idéntico al vector rotación è.

Existirán dos acciones solicitantes o directamente aplicadas: el momento M y la fuerza sobre el

B pistón F , la ecuación de los trabajos virtuales, teniendo en cuenta el trabajo de rotación asociado

al momento M y la rotación è:

Siendo:




189

Es necesario encontrar una relación entre los ángulos è y á, con objeto de expresar la condición

de equilibrio en función de la coordenada generalizada è. Se cumplirá:

Resultando:

Resultando:




190

7. A la articulación B, se aplica una carga

vertical P. La constante del muelle es k y el

muelle no está sometido a ninguna tensión

cuando AB y BC están horizontales.

Despreciando el peso del sistema, obtener la

condición de equilibrio del sistema en función

del ángulo è que forman las barras con la

horizontal y de las características mecánicas

del sistema: k, P, l.

Se trata de un sistema de un grado de libertad, en

el que la coordenada generalizada es el ángulo è

que forman las barras con la horizontal. Además,

las fuerzas solicitantes que actúan sobre el sistema

derivan de un potencial: la carga P de un potencial

gravitatorio y la fuerza del muelle de un potencial

elástico, pudiendo resolverse el problema, bien por

el método de los trabajos virtuales, bien por el

método de los potenciales. Resolviendo por el método de los trabajos virtuales, resulta:

En donde:




191

Con objeto de poder sustituir las expresiones anteriores en la ecuación de los trabajos virtuales,

Ces necesario obtener una expresión del alargamiento del resorte Äs y la fuerza F en función del

ángulo è:

Resultando:

Se podría continuar y obtener una expresión explícita para tanè, a partir de la relación entre cosè

y tanè, aunque el proceso puede resultar largo. Si hubiésemos empleado el método de los

potenciales:

La condición de equilibrio, será:

Expresión que coincide con la obtenida mediante el método de los trabajos virtuales.




192

8. En el sistema de la figura, la constante

del muelle es k y el muelle no está

deformado cuando è = 0. Para un valor de

la carga P=2.k.l, determinar el ángulo è

correspondiente a la posición de equilibrio.

Se trata de un sistema de un grado de libertad

en el que la coordenada generalizada

considerada es el ángulo è que forma la barra

con la horizontal. Las fuerzas solicitantes que

actúan sobre el sistema de la barra: peso P y

fuerza del resorte en B derivan de un

potencial gravitatorio y de un potencial

elástico, pudiendo resolverse también el

problema mediante el método de los

potenciales. Resolviendo en primer lugar

mediante el método de los trabajos virtuales:

P R Siendo F y F las fuerzas gravitatorias y del resorte, respectivamente, cumpliéndose:





193

como P=2.k.l:

Planteando el problema mediante el método de los potenciales, expresando la función potencial

en función de la coordenada generalizada:

La posición de equilibrio vendrá dada por la condición:

Expresión que coincide con la obtenida por el método de los trabajos virtuales.




194

9. En la figura puede verse una plataforma para cargar un camión situada en la parte

trasera del mismo. Su posición la regula un cilindro hidráulico que le aplica una fuerza P.

Los barras giran alrededor de ejes fijos al chasis del camión en A, B y F. Determinar la

fuerza P que ejerce el cilindro para mantener la plataforma en la posición indicada de la

figura. Puede despreciarse el peso de la plataforma y de las barras frente al peso W= 2500

N correspondiente al peso del objeto que se está elevando.

Consideremos como coordenada generalizada el ángulo á que forma CA con la horizontal, de

acuerdo con la figura, tenemos:

Las fuerzas directamente aplicadas, son: el peso W del objeto y la fuerza P del cilindro. El

principio de los trabajos virtuales, será:




195

En donde, teniendo en cuenta, que para una pequeña variación del ángulo á, el ángulo

permanece prácticamente igual a cero:

Cumpliéndose también:

Y también:

OSustituyendo en la ecuación de los trabajos virtuales y particularizando para á=á =35º:




196




197

10. Un dispositivo de exploración espacial que se

despliega desde el cuerpo A de un vehículo espacial

no tripulado apoyado sobre una superficie lunar,

consta de un pantógrafo con resorte, dotado de una

cabeza detectora B. Se desea seleccionar un resorte

que limite a 150 N la fuerza vertical P de contacto

en la posición para la cual è = 120º. Si es

despreciable la masa de los brazos y de la cabeza,

especificar la constante k necesaria del resorte. El

resorte no está comprimido para è = 30º. La

distancia entre articulaciones de las barras FC =

300 mm.

Se trata de un sistema de un grado de libertad, en el

que la coordenada generalizada es el ángulo è de

abertura entre las barras. Las fuerzas solicitantes son:

la fuerza vertical de contacto P y la fuerza horizontal

del resorte Q que podemos suponer aplicada en C. La

ecuación de los trabajos virtuales:

Siendo:




198

Y también:

Sustituyendo en la ecuación de los trabajos virtuales, despejando k y particularizando para P=150

N y è = 120º:




199

11. Determinar el módulo del par M requerido para mantener el equilibrio del mecanismo

de la figura en la posición indicada de la izquierda, suponiendo que el rozamiento es nulo.

Estudiemos el mecanismo en una posición genérica. Se trata de un sistema de un grado de

libertad, sea á la coordenada generalizada, se cumplirá:

Aplicando el principio de los trabajos virtuales:

En donde:




200

Y también:

Sustituyendo en la ecuación de los trabajos virtuales, despejando M y sustituyendo para á=0:




201

12. Una varilla AB de peso P, está unida a dos

bloques A y B, los cuales pueden moverse

libremente por respectivas guías, como indica la

figura. La constante del muelle es k y el muelle

no está deformado cuando AB está en posición

horizontal. Determinar la condición de

equilibrio en función del ángulo è que forma la

varilla con la horizontal y de las características

mecánicas del sistema: k, P, l.

El sistema de la barra presenta un grado de

libertad, eligiendo como coordenada generalizada

el ángulo è que forma la barra con la horizontal.

Las fuerzas solicitantes que actúan sobre la barra:

peso P y fuerza del resorte, derivan ambas de un

potencial, pudiendo establecer la condición de

equilibrio, bien por el método de los trabajos

virtuales, bien por el método de los potenciales.

Aplicando el principio de los trabajos virtuales:

Siendo:




202

Y también:


Resolviendo el problema mediante el método de los potenciales:

La condición de equilibrio es una expresión que coincide con la obtenida anteriormente:




203

13. En el sistema de la figura, se pide,

determinar la condición de equilibrio, en

función del ángulo è y de las

características mecánicas y geométricas

del sistema: W, P, l. Determinar el ángulo

è cuando P = W.

Se trata de un sistema de un grado de

libertad, en donde se ha tomado como

coordenada generalizada el ángulo è que

forma la barra con la horizontal. Las fuerzas

que actúan sobre la barra: P y W derivan de

un potencial gravitatorio, pudiendo

resolverse el problema, bien por el método

de los trabajos virtuales, bien por el método

de los potenciales. Planteando la ecuación de

los trabajos virtuales:

Siendo:

BWEs necesario expresar F en función de la coordenada generalizada è, para ello, de acuerdo con

la geometría de la figura:




204

Resultando:

Continuando con el resto de los términos que aparecen en la ecuación de los trabajos virtuales:


Es posible obtener este mismo resultado, aplicando el método de los potenciales:




205

La condición de equilibrio, es:

Expresión, que coincide con la obtenida mediante el principio de los trabajos virtuales.

b) Si W = P, la ecuación anterior se convierte en:

Esta ecuación se puede resolver tanteando, mediante el método del ensayo y error. Después de

varios ensayos, encontramos una solución satisfactoria para cos è = 0,843 ó è = 32,5º.




206

14. Sobre el extremo D del mecanismo

de la figura, actúa una fuerza P , de

x ycomponentes P =2000 N y P =1000 N,

y sobre B, una fuerza vertical Q=4000

N, con los sentidos indicados en la

figura. La longitud l=1 m. Determinar

el momento M necesario para mantener

en equilibrio el mecanismo, suponiendo

un ángulo è=30º, aplicando el principio de los trabajos virtuales.

Se trata de un sistema de 1 grado de libertad,

donde la coordenada generalizada puede ser

el ángulo è que forma la barra AB con la

vertical. Suponiendo un sistema de referencia

inercial con origen en A, se tiene:

Resultando:

Los desplazamientos virtuales:




207

Resultando:




208

15. Una carga W de 800 N está aplicada en

el punto B del mecanismo indicado en la

figura. Despreciando el peso de éste,

obtener el valor del ángulo è,

correspondiente a la posición de equilibrio.

La constante del muelle es de k = 10 KN/m

y está libre de tensión cuando la barra AC

está horizontal.

Se trata de un mecanismo de un grado de

libertad en donde la coordenada generalizada

se ha tomado el ángulo è de inclinación de la

pieza CDE. Las fuerzas solicitantes son el

E peso W y la fuerza del resorte F aplicada en

E y de dirección tangente al arco de

circunferencia del mecanismo. De acuerdo con el principio de los trabajos virtuales:

Siendo

Con objeto de expresar la ecuación de equilibrio en función de è, establecemos la relación entre

á y è:




209

BResultando para los desplazamientos virtuales, teniendo en cuenta que en r interesa únicamente

la segunda componente:

Resultado la ecuación de equilibrio, sustituyendo en la ecuación de los trabajos virtuales:

Resolviendo por tanteos è = 32º

Como alternativa se puede resolver el problema mediante el método de los potenciales:




210

La ecuación de equilibrio será:

Ecuación que coincide con la obtenida mediante los trabajos virtuales




211

16. En la figura del problema: el peso P = 1000 N, la barra de longitud l = 300 mm, y la

constante de rigidez de cada muelle, k= 12000 N / m. Se pide:

a) Determinar la menor distancia d para la que es estable el equilibrio de la varilla AB en

la posición indicada ( è = 0 ). Cada muelle puede trabajar a tracción o compresión.

b) Si P = 2500 N, l = 400 mm y d =300 mm, determinar el menor valor de k para el que es

estable, en la posición indicada, el equilibrio de la varilla AB.

c) Si d=320 mm, l = 480 mm y k = 50000 N / m, determinar el mayor valor de P para el que

es estable, en la posición indicada, el equilibrio de la varilla AB.

a) Para el estudio del problema de la estabilidad, tenemos que aplicar el método de los

potenciales. Las fuerzas que actúan sobre el sistema de la varilla derivan de un potencial: el peso

P de un potencial gravitatorio, la fuerza de los resortes de un potencial elástico. El sistema

presenta un grado de libertad y la coordenada generalizada elegida es el ángulo è que forma la

varilla con la vertical. La función potencial:




212

La posición de equilibrio, vendrá dada por la condición:

Una de las soluciones de esta ecuación corresponde a sen è = 0 è = 0, que es la posición de

equilibrio relativa al enunciado del problema. La condición de estabilidad, será:

Para la posición de equilibrio pedida: è = 0, cos è = 1, quedando:

b) Partiendo de la misma condición de estabilidad:

c) Repitiendo el proceso:




213




214

17. De acuerdo con la figura del problema, se pide:

a) El mayor valor de la relación P / W para la que è = 0º

es una posición de equilibrio estable.

b) El menor valor de la relación P / W para la que è =

180º es una posición de equilibrio estable.

a) Se trata de un sistema de un grado de libertad en el que la

coordenada generalizada escogida es el ángulo è que forma

la barra con la horizontal. La longitud total del cable DAB es

Oconstante y se representa por l . Las fuerzas que actúan sobre

el sistema de la barra: el peso P y el peso W, derivan ambas

de un potencial gravitatorio, la función potencial, es:

O OSiendo l la longitud total del cable l = DAB. Las posiciones de equilibrio, vienen dadas por la

condición:

Esta condición se cumple para sen è = 0 è = 0, è = ð, que coincide con las posiciones de

equilibrio del enunciado. La condición de estabilidad, vendrá dada por:




215

Para è = 0, la condición de estabilidad:

b) Para è = ð, la condición de estabilidad:




216

18. La barra uniforme de la figura, presenta un peso W y

una longitud l. La longitud natural del resorte es l.

Determinar las posiciones de equilibrio posibles y la

estabilidad del equilibrio en cada una de ellas si W=100 N,

l=60 cm y k=467 N/m.

Aplicamos el método de los potenciales. Se toma como origen

de potenciales el punto A, la coordenada generalizada es el

ángulo è que mide la inclinación de la varilla respecto de la

vertical. El sistema presenta dos potenciales: el potencial

gravitatorio correspondiente al peso de la varilla uniforme y el

potencial elástico, correspondiente a la deformación del

resorte. Se cumplirá:

Siendo, por geometría:

Resultando para la función potencial:




217

Derivando sucesivamente esta expresión:

Las posiciones de equilibrio, se obtienen igualando a cero la primera derivada:

La estabilidad del equilibrio se estudia dando valores a la segunda derivada, de acuerdo con las

posiciones de equilibrio calculadas:




218

19. El resorte de la figura tiene una longitud

natural de 0,4 m. Hallar la constante k que ha de

tener el resorte para que haya equilibrio cuando

B Dè=30 º, si W =1500 N, W =2500 N y l=1,2 m. Los

pesos de las barras son despreciables. Estudiar la

estabilidad.

Aplicamos el método de los potenciales. Se toma

como origen de potenciales el punto A, la coordenada

generalizada es el ángulo è que mide la inclinación de

las varillas respecto de la horizontal. El sistema

presenta dos potenciales: el potencial gravitatorio

correspondiente los pesos suspendidos y el potencial

elástico, correspondiente a la deformación del resorte.

Se cumplirá:

Siendo, por geometría:

Resultando:




219

Derivando sucesivamente:

Las posiciones de equilibrio, se obtienen igualando a cero la primera derivada:

La primera condición de equilibrio se verifica para è = 90º, y es independiente del resto de los

valores del sistema. La segunda condición se ha particularizado para è = 30º y se ha obtenido el

valor de k para dicha condición. La estabilidad se estudia dando valores a la segunda derivada,

para è = 30º y k = 3281'25 N/m:




220

20. Determinar la posición de equilibrio de

un sistema articulado formado por dos

barras homogéneas de longitud l y peso P

= 500 N, sometido a una carga horizontal

Q = 1000 N aplicada en el extremo C.

Se trata de un sistema de dos grados de

libertad en el que las coordenadas

1 2generalizadas son los ángulos è y è que

forman las barras con la horizontal. Aplicando

el principio de los trabajos virtuales:

Siendo:

Y para los desplazamientos virtuales:




221


Reagrupando la ecuación anterior:

Esta ecuación se cumple para cualquier variación en las coordenadas generalizadas, teniendo en

consecuencia un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuya solución es inmediata:




222

21. Dos varillas de peso despreciable, están

sujetas a discos cilíndricos de radio r que están

conectados entre sí por una correa y un muelle

de constante k. El muelle está sin deformar

1 2cuando è = è = 0. Determinar el mayor valor

de la fuerza P para la que es estable la posición

1 2de equilibrio correspondiente a: è = è = 0.

Particularizar para k = 2000 N / m, r = 0,03 m,

l = 0,06 m, W = 1000 N.

Se trata pues de un sistema de dos grados de

libertad, el que las coordenadas generalizadas son

1 2los ángulos è , è . Para el estudio de la estabilidad

partiremos de la función potencial:

Las condiciones de estabilidad para una función potencial de dos variables, son:




223

Calculemos las derivadas parciales de la función potencial, para la posición pedida en el

enunciado:

Vemos pues que las condiciones (1) y (3), se cumplen inmediatamente. La condición (2):




224

22. Dos barras AB y BC, cada una de longitud l y peso

despreciable, están sujetas a dos muelles, ambos de

constante k. Los muelles están sin deformar y el sistema

1 2está en equilibrio cuando è = è = 0. Calcular el mayor

valor de la fuerza P para la que el sistema está en una

posición de equilibrio estable.

Se trata pues de un sistema de dos grados de libertad, el que

1 2las coordenadas generalizadas son los ángulos è , è . Para el

estudio de la estabilidad partiremos de la función potencial:

Las condiciones de estabilidad:

Calculemos las derivadas parciales:




225

1 2Para è = è = 0, se verifica:

Vemos pues, que la condición (1) se satisface automáticamente, la condición (3), exige que:

La condición (2), exige que:

Estudiemos la función F(P) = 0. Para esta condición:




226

Se verifica que :

La condición (5) no puede ser válida, ya que F(P) < 0 y el equilibrio no será nunca estable. La

condición (6) tampoco es válida ya que P es siempre superior a 2,62.k.l, lo cual va en contra de

la condición (3) que exige: P < 2.k.l ó P < k.l, luego la única solución válida es la indicada por (4),

siendo pues el valor máximo de P que garantiza el equilibrio estable: P=0,38.k.l.



problemas de estática de hilos

227

ESTÁTICA DE HILOS




228

1. Un cable de peso despreciable sujeto a dos

puntos fijos A y B, situados al mismo nivel, está

1sometido a dos cargas concentradas verticales P

2= 100000 N y P = 200000 N. Sabiendo que la

longitud total del cable es de L=12 m,

determinar:

a) Las flechas del cable en los puntos de

aplicación de las cargas.

b) Las tensiones en los diversos tramos.

1 2 3a) Sean á , á , á , los ángulos que forman con la

horizontal los tramos AC, CD y DB,

1respectivamente. Así mismo, designaremos por T ,

2 , 3T T a las tensiones del cable en dichos tramos, y

C D por f , y f a las flechas del cable en C y D.

Planteando el equilibrio de fuerzas en los nodos C y

D, resulta:

Nodo C:

Nodo D:




229

Por otra parte, proyectando sobre la vertical los tramos del cable, se obtiene:

Por último la longitud total del cable:

De (1) y (3), resulta:

Sustituyendo en (2) y (4):




230

1 2Siendo P = 100000 N, P =200000 N, resulta:

Puesto que a = b= 3 m y c = 4 m, la ecuación (5) es:

Y sumando (4) y (5), se obtiene:

De este modo, las ecuaciones (5) y (6), quedan:

De (6), resulta:




231

Y transformando (5) y sustituyendo el valor anterior, se obtiene:

1 2 No es válida la otra solución, cosá = 0,4487, ya que entonces de (6), resulta: cosá < 0. Entrando

con el valor obtenido en (6), resulta:

1 3 2Así pues: á =á =38,13º y á =14,67º

Las flechas del cable en los puntos C y D, resultan:

c 1 d 3f = a.taná = 3.0,7849=2,35 m f = c.taná = 4.0,7849 = 3,14 m

b) Las tensiones en los diversos tramos del cable, son:




232

2. Un cable de peso despreciable sujeto a dos

puntos fijos A y B, situados a distinto nivel, está

1sometido a dos cargas concentradas verticales P

2= 20000 N y P = 15000 N. Determinar:

a) Las flechas del cable en los puntos de

aplicación de las cargas.

b) Las tensiones en los diversos tramos.

Dato: la pendiente del cable en A es 30º.

1 2 3Sean á , á , á , los ángulos que forman con la

horizontal los tramos AC, CD y DB,

1respectivamente. Así mismo, designaremos por T ,

2 , 3T T a las tensiones del cable en dichos tramos, y

C D por f , y f a las flechas del cable en C y D respecto

de A.

Planteando el equilibrio de fuerzas en los nodos C y

D, resulta:

Nodo C:

Nodo D:




233

Por otra parte, proyectando sobre la vertical los tramos del cable, se obtiene:

Como puede observarse, las ecuaciones (1) a (4) resultan iguales a las obtenidas en el problema

anterior, por tanto, se verificará:

1 2 1Y sustituyendo los datos, P = 20000 N, P = 15000 N, á =30º, queda:

Sustituyendo los datos del problema, en la ecuación (5), resulta:

Resolviendo el sistema (4)-(5), se obtiene:

En consecuencia:

1 2 3á = 30º, á = - 17,72º, á = 44,78º

Las flechas de los puntos C y D respecto de A, son:




234

C 1f = a . tan á = 5. tan 30º = 2,88 m

D 3f = c . tan á - d = 4 . tan 44,78º- 3 = 0,97 m

b) Las tensiones en los distintos tramos del cable, aprovechando los resultados del problema

anterior, son:




235

3. Un cable pesado y homogéneo de longitud

L=120 m, está sujeto en dos puntos situados a la

misma altura y separados entre sí una distancia

d=80 m. Determinar:

a) La flecha del cable.

b) El peso del cable, sabiendo que la tensión

máxima es de 6500 N.

a) Al estar sometido a su propio peso, la curva de

equilibrio que adopta el cable es una catenaria de

A B B A B parámetro a. La longitud total del cable es: L = s + s = 2.s , ya que por simetría: s = s , y por

Btanto s = L / 2. Por otra parte, sabemos que:

Haciendo k = d/(2.a), la expresión anterior, se transforma en:

Resolviendo la anterior ecuación por el método del ensayo y error, obtenemos una buena

aproximación para k = 1,62, siendo: (senh k) / k = 1,4985. Tomamos este valor de k como

solución de la ecuación. Existen dos soluciones más k = 0, k = -1,62, pero no son válidas. El

parámetro “a” de la catenaria, será:

La flecha será:




236

max max b) La tensión máxima en el cable es: T = q . y .

max BSiendo: y = y = f+a = 40,13 +24,69 = 64,82 m,

max maxEn consecuencia el peso del cable es: q = T / y = 6500 / 64,82 = 100,3 N / m.




237

4. Una cadena de 34 N/m de peso está sujeta a dos

soportes fijos situados a la misma altura y

separados 15 m entre sí. Sabiendo que la flecha es

de 2 m. determinar:

a) La longitud total de la cadena.

b) La tensión máxima a la que está sometida la

cadena.

a) La cadena adopta como curva de equilibrio, la

catenaria de parámetro a. De la ecuación de la

catenaria, resulta:

Haciendo k = d / (2 . a), la ecuación anterior, se transforma:

Resolviendo la anterior ecuación por el procedimiento del ensayo y error, obtenemos una buena

aproximación para k=0,52, siendo (cosh k-1) / k = 0,2660. el parámetro “a” de la catenaria, es:

La longitud total de la catenaria será:




238

b) La tensión máxima de la cadena es:

max max BT = q . y = q . y = q . ( f+a )=34 . (2+14,42) = 558,3 N




239

5. Un conductor eléctrico de peso 3 N / m está

tendido entre dos aisladores situados a la misma

altura y separados entre sí 30 m. Si la máxima

tensión en el cable debe de ser 400 N,

determinar:

a) El menor valor de la flecha.

b) La longitud del conductor.

a) La tensión máxima en el conductor es:

max max BT = q . y = q .y .

Teniendo en cuenta la ecuación de la catenaria, resulta:

Haciendo k = d / (2.a), la anterior ecuación queda en la forma:

Resolviendo la ecuación anterior por el método del ensayo y error, encontramos una buena

aproximación para k = 0,114, resultando ch k / k = 8,829. En consecuencia, el parámetro “a” de

la catenaria, es:

Y la flecha, será:




240

b) La longitud del conductor, es:




241

6. Un conductor de cobre, de longitud L=130 m

y peso q=50 N/m, está sujeto a dos aisladores

situados a distinto nivel; siendo la distancia

horizontal entre los aisladores de 100 m y su

desnivel de 10 m. Determinar:

a) La curva de equilibrio del conductor.

b) Las tensiones máxima y mínima.

a) La curva de equilibrio que adopta el conductor es

la catenaria de parámetro a. La determinación de este parámetro se efectuará por tanteos (método

del ensayo y error), a partir de la expresión:

Donde k = l /(2.a), resultando una buena aproximación para k=1,28, sh k / k =1,296. en

consecuencia:

Por tanto, la ecuación de la catenaria es:

b) Las tensiones máxima y mínima son, respectivamente:

max max B min OT = q . y = q . y , T = T = q . a.




242

BEs preciso, por tanto, determinar y . Para ello procedemos del siguiente modo:

Resultando para la longitud total del cable:

Por tanto:

max B minT = q . y = 50 . 80,90 = 4045 N, T = q . a = 50 . 39,06 = 1953 N




243

7. Un hilo uniforme de longitud desconocida, L y

peso q por unidad de longitud, está en equilibrio

cuando se apoya en dos pequeñas poleas,

situadas a la misma altura y separadas una

distancia 2.b, como muestra la figura. La

componente horizontal de la tensión del hilo es

OT = 2.q.l. Determinar la longitud total del hilo,

siendo b=5 m.

La longitud L=2.(l+h). El tramo de hilo comprendido

entre las dos poleas A y B, adopta en el equilibrio la forma de catenaria al estar sometido

exclusivamente a su propio peso, en consecuencia la componente horizontal de la tensión del hilo

Oes T = q.a, por tanto:

O OT = q . a, T = 2 . q . l 2 . q . l = q . a a = 2 . l

Por otra parte, aplicando la relación entre el arco de catenaria contado desde el punto más bajo

y la ordenada del punto correspondiente:

B By = s +a y = s +a h = l +a2 2 2 2 2 2 2 2 2

Teniendo en cuenta además, el resultado anterior:

h = l +4.l = 5.l h = (5) .l2 2 2 2 ½

Considerando la ecuación de la catenaria:

Sustituyendo en las expresiones anteriores: h = (5) .l y a=2.l:½




244

Por tanto:

h = (5) .l = (5) .5,2 = 11,62 m½ ½

Y la longitud total del hilo:

L = 2.(l+h) = 2.(5,2+11,625) = 33,65 m




245

8. A un cable, de peso q = 25 N/m, en reposo

sobre un plano inclinado un ángulo á = 45º, se le

aplica en el extremo A una fuerza horizontal de

Ovalor T = 2500 N, que hace que el cable se

separe del plano en el punto C. El extremo B del

cable está sujeto al extremo superior del plano

inclinado y no existe rozamiento. Determinar:

a) Longitud total del cable.

b) Tensión del cable en el extremo B.

a) El tramo de cable AC separado del plano adopta forma de catenaria. La longitud total del cable

es: L=AC+CB.

Puesto que la fuerza aplicada en A es horizontal, éste es el punto más bajo de la catenaria y por

tanto por donde pasa el eje Oy.

El parámetro de la catenaria es:

Aplicando la relación entre el arco de catenaria y la

ordenada del punto correspondiente:

C CComo por otra parte, sabemos que T =q.y , se

tiene que:




246

En consecuencia:

La longitud del tramo CB es:

Y de la ecuación de la catenaria, se obtiene:

Por lo tanto, resulta:

Y la longitud total del cable, es: L = AC + CB = 100 +17 = 117 m.

B C b) La tensión del cable en el extremo B: T = T + q. CB . sená = 3535,53 + 25.17.sen45º =

3836,05 N.




247

9. El cable AB de L = 4 m de longitud y P = 100

N de peso, está sujeto a dos deslizaderas en A y

B que pueden moverse sin rozamiento sobre las

varillas, como está indicado en la figura.

Despreciando el peso de las deslizaderas,

determinar:

a) El valor de la fuerza F que haga h = d.

b) La tensión máxima en el cable.

a) El punto A presenta en el equilibrio la tensión

Ohorizontal T , ya que de no ser así, la deslizadera se movería verticalmente. En consecuencia A

es el punto más bajo de la catenaria y por él pasa el eje de simetría Oy.

La fuerza F, que a su vez es la componente horizontal de la tensión en B, debe ser:

OF = T = q . a

De la ecuación de la catenaria, se induce que:

Ya que h = d. Dividiendo los miembros de la

expresión anterior por “a” , haciendo k = d / a, y

resolviendo posteriormente por tanteos :




248

Por otra parte, de la longitud del cable:

En consecuencia:

max max B b) La tensión máxima en el cable se presenta en el punto B: T = q . y = q . y , siendo:

Resultando:




249

10. Un cable homogéneo de peso q=200 N/m pasa

por dos poleas, A y B, y se apoya, en parte, sobre

una superficie horizontal sin rozamiento,

quedando los extremos libres. Sabiendo que el

tramo de cable que adopta forma de catenaria

tiene una longitud de 4 m, determinar:

a) Tensión del cable en los puntos A y C.

b) Longitud total del cable.

a) Dado que la tangente en C es horizontal, éste es

el punto más bajo de la catenaria y, en consecuencia,

por él pasa el eje Oy.

De la relación entre la longitud del arco de catenaria

y la ordenada del punto correspondiente, resulta:

Las tensiones en los puntos A y C, son:

A AT = q . y = q . ( a+h ) = 200 . ( 3+2 ) = 1000 N.

C OT = T = q . a = q . a = 200 . 3 = 600 N.

b) La longitud total del cable es: L = BD + BC + CA+AE.

La longitud del tramo CA es un dato del problema: CA = 4 m.

A ALa longitud del tramo AE es: T = q . AE AE = T / q = 1000 / 200 = 5 m.

La longitud del tramo BC:




250

Resultado: BC = b - d = 6 - 3,3 =2,7 m.

B C O BBD: T = T = T = q.a, pero T = q.BD, luego BD = a = 3m

Y la longitud total del cable: L= BD + BC + AE = 3 + 2,7 + 4 + 5 = 14,7 m




251

11. La parte central del cable AB de peso q

= 30 N / m apoya sin rozamiento sobre una

superficie horizontal. Sabiendo que para

conseguir que sea b = 8 m es preciso

aplicar en el extremo libre de cable una

fuerza de valor F = 800 N, determinar:

a) El valor de la cota d.

b) La longitud total del cable entre A y B.

a) La tensión del cable en B debe de ser igual a la

fuerza aplicada F, por tanto:

Por otra parte, aplicando la ecuación de la catenaria:

Haciendo en la expresión anterior k=b/a, resulta:

Resolviendo la ecuación anterior, mediante el método del ensayo y error, después de varios

tanteos, obtenemos una buena aproximación para k = 0,315, por tanto:




252

b) Aplicando la relación entre la longitud del arco de catenaria y la ordenada del punto

correspondiente:

La longitud total del cable entre A y B:

BL = 2 . s + (24 - 2.b) = 16,2 + 8 =24,2 m.




253

12. Un gran globo tiene una fuerza ascensional de

450 N y se mantiene en el aire mediante un cable

de 45 m cuyo peso es de q = 7 N / m. Se pide: a) la

máxima tensión del cable. b) la altura h del globo

sobre el terreno cuando un viento estacionario le

hace adoptar la posición que se muestra en la

figura de la izquierda.

AyLa tensión vertical en A, es: T = 450 N.

La tensión vertical en B, es:

La tensión horizontal del cable:




254

La máxima tensión del cable se producirá en A, su valor:

b) La tensión absoluta en B:

La diferencia de alturas entre A y B, será la altura h buscada:




255

13. Un cable de una línea de conducción

eléctrica que pesa 42 N/m está sujeto a dos

torres situadas a uno y otro lado de un

valle, a una distancia de 600 m, según se

indica en la figura. Las especificaciones

del proyecto exigen que la máxima tensión

del cable sea de 60 kN, que la altura del

apoyo A sobre el suelo en la torre más alta

sea de 70 m y que la mínima distancia del cable al suelo sea de 22,5 m. Determinar la altura

h de la torre B.

La altura de la torre A en el sistema de referencia de la catenaria:

De acuerdo con la figura, la flecha en A y el parámetro de la catenaria:

La abscisa de A en el sistema de referencia de la catenaria:

Las coordenadas de B:




256

La flecha del cable medida desde B:

Finalmente la altura h en B, respecto del suelo:




257

14. Para estabilizar una torre de televisión de 300

m de altura, se utilizan tres pares de cables

flexibles separados cada uno 120º en planta. En la

figura se representan la torre y un par de cables. El

peso de los cables es de 50 N/m, la componente

horizontal de la fuerza que ejerce cada cable es de

30 kN. En el anclaje A, el ángulo que forma el

2cable AC con el suelo ha de ser è =40º.

Determinar:

a) Tensión máxima del cable AC.

b) Distancia horizontal d entre la torre y el anclaje A.

c) Longitud del cable AC.

d) Fuerza vertical ascendente total de los dos cables en A.

Aa) AC y AB son dos ramas diferentes de catenaria que pasan por A. La tensión T para

la catenaria de AC:

El parámetro de la catenaria:

La altura de A respecto del origen del sistema de referencia:




258

La altura de C y la tensión mecánica en C:

b) De acuerdo con la ecuación de la catenaria se cumple para AC:

Resultando la distancia horizontal d entre A y C:

c) De acuerdo con las propiedades de la catenaria, la longitud del arco AC:

d) La componente vertical de la tensión en A, originada por AC:

La catenaria correspondiente al ramal BA, tendrá el mismo parámetro a = 600 m que la del ramal




259

CA, al tener ambas el mismo peso y la misma tensión horizontal. Se cumplirá:

AResolviendo la ecuación anterior mediante tanteos, se tiene: x = 204 m.

La altura en A respecto del origen del sistema de referencia:

La tensión mecánica en A debida a AC:

La componente vertical de esta tensión:

La componente vertical en A debida a la acción de los dos cables:




260

15. Un cable ligero de peso q = 10 N /m, está

sujeto a un soporte A, pasa por una pequeña

polea B y sostiene una carga P. Sabiendo que

la flecha del cable es de 0,5 m, determinar:

a) El valor de la carga P.

b) La pendiente del cable en B.

c) La longitud total del cable entre A y B.

Nota: al ser la relación flecha / luz pequeña,

resolver el problema mediante la ecuación de

la parábola.

a) En primer lugar, determinaremos el parámetro de la parábola:

El valor de la carga P, debe de ser igual a la tensión

del cable en el punto B:

OSiendo: T = q . a = 10 . 400 = 4000 N

En consecuencia:

b) La pendiente del cable en B es:




261

El mismo resultado, se podría haber obtenido mediante:

c) Aplicando la fórmula de la teoría, correspondiente al desarrollo en serie de la longitud

elemental de arco, tomando los dos primeros términos:




262

16. Un cable que soporta una carga uniformente

distribuida a lo largo de la horizontal de valor

p=4000 N/m, se halla suspendido entre dos

puntos fijos, tal como se indica en la figura.

Determinar:

a) Las tensiones del cable en A y B.

b) La longitud total del cable.

a) Dado que el cable está sometido a una carga constante distribuida a lo largo de la horizontal,

adoptará como curva de equilibrio la parábola de parámetro “a”:

Para obtener el parámetro de la parábola, particularicemos la ecuación anterior para los puntos

A y B:

BConsideramos únicamente la segunda solución: x

A B= 25 m, resultando: x = 40 - x = 40 - 25 = 15 m,

quedando el parámetro de la parábola:




263

La componente horizontal de la tensión en cualquier punto del cable:

Las tensiones en los puntos A y B:

b) Para la longitud total del cable, como las relaciones x / a, y / x no son pequeñas, no es posible

A Baplicar los desarrollos en serie para obtener los valores de s y s , salvo tomando un a gran

cantidad de términos. Sin embargo si es posible obtener una expresión analítica exacta, para ello

consideramos en primer lugar el cambio de variable:

La expresión genérica para la longitud de un segmento de catenaria comprendido entre el mínimo

y un punto P(x,y):

Procediendo a integrar por partes, considerando el cambio de variables:

Resulta:




264

De donde:

Deshaciendo el cambio resulta:

Particularizando para los datos del problema:

Siendo la longitud total del cable:

A BL = s + s = 18,13 + 36,86 = 55 m.




265

17. Dos cables del mismo peso q=50 N / m están

sujetos a una torre B. Determinar:

a) La flecha necesaria h en el cable AB para que

las tensiones en B en ambos cables sean iguales.

b) Si h=8 m, la resultante de la fuerzas ejercidas

por los cables en B. Resolver estos apartados

aproximando el parámetro de la catenaria

mediante el de la parábola pero empleando

después las ecuaciones de la catenaria.

c) Resolver el apartado a) mediante la ecuación de la parábola.

a) Los cables al estar sometidos exclusivamente a su propio peso adoptan como curva de

equilibrio la catenaria, no obstante el parámetro de la misma lo aproximamos mediante la ecuación

de la parábola.

Para el segmento BC, resulta:

La tensión en B del segmento BC:

Para el segmento AB, resulta:




266

La tensión en B del segmento AB:

B1 B2Como se debe cumplir que T = T , se tiene:

Tomando como valor definitivo h= 4,62 m.

b) Si h = 8 m, el parámetro de la catenaria AB, es:

B1Y la tensión en B, T , será:

B1 B2Descomponiendo las tensiones T y T , resulta:




267

c) resolviendo aplicando la ecuación de la parábola:

Igualando las tensiones a ambos lados:

Obteniendo pues, un resultado similar.




268

18. El cable AB está sometido a una carga uniforme

de 200 N/m. Si el peso del cable es ignorado y los

ángulos de inclinación en los puntos A y B son de 30º

y 60º, respectivamente, determinar:

a)Tensión máxima y mínima del cable AB.

b)Componentes de la reacción en A y B (horizontal y

vertical).

c) Distancia vertical h entre A y B.

a) La tensión máxima se producirá en B y la mínima en A. Las ecuaciones de equilibrio

correspondientes al balance de fuerzas del segmento de cable:

De donde:




269

b) La componente horizontal de la tensión del cable:

Las componentes verticales en A y B:

c) La ecuación correspondiente al equilibrio de momentos del segmento de cable respecto de A,

nos proporciona la distancia h:

Forma alternativa: también es posible calcular la distancia h mediante la ecuación de la parábola.

Partiendo del valor de la tensión vertical del cable en A y B, las abscisas de A y B, y la distancia

h, serán:




270

19. La barra uniforme CB y el cable

flexible AB soportan un bloque que pesa

W=2,5 kN, según se indica en la figura. La

barra tiene un peso de P=1,25 kN y el peso

del cable se puede considerar como una

carga de p=42 N/m. Determinar: a) la

tensión máxima del cable, b) la flecha h en

su punto medio y c) su longitud.

Supóngase que el peso del cable se puede

suponer distribuido uniformemente por

unidad de longitud horizontal, si bien para el cálculo de la longitud del cable se recomienda

emplear la hipótesis más exacta de cable de carga uniforme por unidad de longitud.

a) Equilibrio del cable AB: es fácil de ver que el peso total del cable AB, se reparte por igual entre

los apoyos A y B, de forma que la reacción vertical en A y B, será:




271

Equilibrio de la barra CB: considerando el balance de momentos de CB respecto de C, es posible

O xdeterminar la tensión horizontal del cable T = B :

La tensión máxima del cable se producirá en A y B, su valor, será:

b) La flecha h del cable AB en el punto medio:

c) Para calcular la longitud total del cable, lo más sencillo y preciso es a partir de la ecuación de

la catenaria:



problemas de rozamiento

272

ROZAMIENTO




273

1. Determinar el menor valor del ángulo è para que

permanezca en equilibrio la escalera homogénea de longitud

l. El coeficiente de rozamiento en todas sus partes es ì y el

peso de la escalera W.

De acuerdo con el diagrama de sólido libre de la figura,

planteamos las ecuaciones de equilibrio:

Tenemos pues un sistema de tres ecuaciones

1 2con tres incógnitas: N , N , è. De la ecuación

(1):

Sustituyendo en la ecuación (2):

Sustituyendo este valor en la ecuación (3) resulta:




274

Dividiendo por W.l.cosè:

De manera que el deslizamiento se producirá para:




275

2. Determinar el valor de F necesario

mover el bloque de P=1000 N de la figura.

El coeficiente de rozamiento estático entre

el bloque y la superficie horizontal es de

0,25. El bloque se supone homogéneo de

manera que su centro de gravedad coincide

con su centro geométrico.

Existen dos posibilidades para el movimiento

del bloque: deslizamiento y vuelco.

Supongamos primeramente que el cuerpo

desliza, en este caso, de acuerdo con el

diagrama de sólido libre de la figura la fuerza

de reacción del suelo estará aplicada dentro

de la superficie de contacto con x>0,

alcanzando la fuerza de rozamiento su valor

máximo. Las ecuaciones de equilibrio serán:

De donde N=916 (N), F=243,81 N, x=0,637 m > 0, luego el cuerpo no volcará siendo correcta

la hipótesis de que el cuerpo desliza para una fuerza F=243,81 N,




276

3. El freno de tambor de la figura está

accionado por un cilindro hidráulico. Si

se aplica al tambor un par en sentido

anti-horario de 9 N.m, determinar la

fuerza que ha de ejercer el cilindro

hidráulico para que no gire el tambor.

El coeficiente de rozamiento zapata-

tambor es de ì=0,4.

Considerando el equilibrio del tambor en

una situación de deslizamiento inminente,

la ecuación de equilibrio de momentos nos

da:

BDe donde N =90 (N).

Por otro lado considerando el equilibrio de la

palanca:

BTeniendo en cuenta que N =90 (N), es

A A posible resolver para F , resultando: F =

306 N.




277

4. Las dos cajas A y B de 50 N pueden

sujetarse a la palanca por medio de uno o

dos eslabones horizontales. El coeficiente

de rozamiento entre todas las superficies

es de 0,3. Determinar el valor de la fuerza

P necesaria para mover la palanca,

suponiendo:

a) Se utiliza sólo el eslabón EF.

b) Se utiliza sólo el eslabón CD.

c) Se utilizan los dos eslabones EF y CD.

a) De los diagramas de sólido libre para las cajas y palanca, planteamos las ecuaciones de

equilibrio para el conjunto de las cajas y para la palanca. Para las cajas, la ecuación de equilibrio

de fuerzas:

De la primera ecuación: N=100

(N), de la segunda ecuación:

T = ì N = 0 , 3 . 1 0 0 = 3 0 ( N ) .

Considerando a continuación la

ecuación de equilibrio de

momentos para la palanca:

b) Cuando se utiliza el eslabón CD hay que considerar las diferentes posibilidades de movimiento




278

para las cajas: Puede ocurrir que deslice la A sobre la B, permaneciendo quieta esta última o bien

que deslicen ambas conjuntamente, veamos cual de estas dos posibilidades ocurrirá realmente:

1) La caja A desliza y la caja B permanece

inmóvil, del diagrama de sólido libre para la

caja A tenemos las ecuaciones de equilibrio:

De la primera ecuación: N=50 (N).

c1Sustituyendo en la segunda: T =ì.N

=0,3.50=15 N.

2. Las cajas A y B deslizan conjuntamente.

En este caso las condiciones de equilibrio

serán:

De la primera ecuación: N=100 (N),

c2sustituyendo en la segunda: T =ì.N

C1 C2=0,3.100=30 N. Como T =15 N < T =30 N el caso (1) ocurrirá antes de manera que para el

C1valor de T =15 N calculamos la fuerza P de accionamiento de la palanca:




279

De donde P=9 N.

c) En este caso deslizarán las dos

cajas. El análisis del equilibrio para las

dos cajas deslizando y la palanca, será,

para la caja A:

ADe donde: N = 50 N,

C AT = ì.N = 0,3.50 = 15 N

Para la caja B:

A B ADe donde sustituyendo el valor de N = 50 N: N = N + 50 = 50 + 50 =100 N

E B AT = ì.N - ì.N = 0,3.100-0,3.50 = 15 N

En lo que respecta a la palanca:




280

5. Dos barras de peso despreciable están unidas por

medio de una articulación entre sí y también a dos

correderas de peso 100 N en A y C las cuales en

principio pueden deslizar sobre un plano vertical y

horizontal respectivamente. El coeficiente de

rozamiento entre las correderas y los planos es de

0,3. Si queremos que los bloques no deslicen,

calcular el intervalo de valores de P para que esto

se cumpla.

Existen en principio tres posibilidades para el movimiento del sistema: Bloque A deslizando hacia

arriba, bloque A deslizando hacia abajo y bloque C deslizando hacia la izquierda. Una cuarta

posibilidad sería el bloque C deslizando hacia la derecha, sin embargo esta situación no parece

tener sentido para P actuando hacia la izquierda, de manera que esta posibilidad no será

contemplada.

1. Comencemos nuestro análisis suponiendo el bloque A

deslizando hacia arriba. Para una situación de deslizamiento

inminente tendremos el diagrama de sólido libre de la figura.

Las condiciones de equilibrio de fuerzas serán:

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de

BA1donde: F =872,755 N. Es decir para que el bloque A no

BAdeslice hacia arriba F 872,755 N

2. Supongamos a continuación que el bloque A desliza hacia




281

abajo. En este caso la fuerza de rozamiento cambiará de orientación, resultando:

BA2 BADe donde F =149,951 N. Es decir , para que el bloque A no deslice hacia abajo F 149,951

N

BADe manera que para que el bloque A no deslice: 149,95 N F 872,755 N.

3. Bloque C deslizando hacia la izquierda: En este caso las

condiciones de equilibrio son:

BCDe donde F = 261,826 N

BCLa condición para que el bloque C no deslice hacia la izquierda es: F 261,826 N .

BC , BAA continuación consideremos la relación entre F F y P. Para ello consideremos el equilibrio

en el pasador o articulación B:

BA BCDe donde podemos expresar F y F en función de P,

BA BCresultando: F =0,92.P, F =0,39.P de manera que las




282

condiciones para que los bloques no deslicen serán:

Bloque A: 149,95 N 0,92.P 872,755 N;

O bien: 162,98 N P 948,646 N.

bloque C: 0,39.P 261,826 N;

O bien: P 671,34 N

De manera que el intervalo de valores de P para que los bloques no deslicen será:

162,98 N P 671,34 N.

Es posible resolver alternativamente el problema anterior a partir de los polígonos de fuerzas de

los bloques y nudos. En la figura se muestran, los polígonos de fuerzas para el bloque A, a punto

de deslizar hacia arriba y hacia abajo, siendo = arctan(0'3) = 872,755 el ángulo de rozamiento

A1 A2y siendo R , y R , las reacciones totales (normal y de rozamiento) del suelo sobre el bloque.

Cuando el bloque A está a punto de deslizar hacia arriba, de acuerdo con el teorema del seno:




283

Repitiendo el cálculo cuando el bloque A está a punto de deslizar hacia abajo:

En la siguiente figura se muestran los polígonos de fuerzas cuando el bloque B está apunto de

deslizar hacia la izquierda, así como el polígono de fuerzas del nudo B:

Cuando el bloque C está a punto de deslizar hacia la izquierda:

Finalmente para el equilibrio del nudo B, teniendo en cuenta que el polígono de fuerzas es un

triángulo rectángulo:




284

Resultados que coinciden con los calculados anteriormente, aplicando el método de los nudos

analíticamente.




285

6. Las barras articuladas AB, BC de la

figura, tienen pesos despreciables y los

pasadores están exentos de rozamiento. El

coeficiente de rozamiento entre la corredera

de 400 N y el suelo es de 0,4.

a) Supóngase que en principio la fuerza P

es horizontal (è=0), determinar la máxima

fuerza P que mantenga el equilibrio del

sistema.

b) Determinar el ángulo è que da el valor

mínimo de la fuerza P capaz de mover el sistema.

a) Las ángulos á y â, serán:

La barras AB y BC no están sometidas a esfuerzos intermedios, supondremos inicialmente que

trabajan a tracción. Considerando el equilibrio de la articulación C:




286

Considerando el equilibrio de la articulación B:

Si è=0, se tiene que: P = 1199,9 / 5,918= 202,75 N. Por encima de este valor el sistema perderá

el equilibrio.

b) El valor del ángulo è que da el mínimo de la fuerza de P, se obtendrá derivando la función P

= P(è):

Es fácil de comprobar que el valor de è=9,59º, corresponde a un mínimo de la función P=P(è),

correspondiente a la fuerza que hace mover el sistema.




287

7. La varilla uniforme AB de peso P

está conectada a dos collarines de

peso despreciable en A y C mediante

un pasador o articulación en A y la

cuerda BC de peso también

despreciable conectada al pasador

de C. El coeficiente de rozamiento

entre cada collarín y la varilla en

que puede desliar se representa por

ì. Se pide:

a) Valores del coeficiente de rozamiento ì para que la varilla permanezca horizontal para

un determinado valor del ángulo è.

b) Si ì=0,15, determinar los valores del ángulo è para los que la varilla estará en posición

horizontal.

Existen dos posibilidades para el movimiento de la varilla AB a partir de su posición horizontal:

deslizamiento en el collarín A y deslizamiento en el collarín C. Consideremos por separado estas

posibilidades:

1. Deslizamiento en A: cuando el collarín A esté a punto de deslizar permaneciendo C fijo, las

fuerzas de rozamiento alcanzarán su valor máximo, resultando unas condiciones de equilibrio:

Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres

Aincógnitas ì, F, N , teniendo que resolver el

problema para el coeficiente de rozamiento ì. De




288

A(3) podemos despejar F y de (1) podemos despejar N :

Sustituyendo estas expresiones en la segunda ecuación:

De donde: ì=1 / tangè, de manera que la condición para que el collarín A no deslice es:

ì 1 / tangè.

2. Otra posibilidad es que deslice el collarín C y A permanezca quieto. En este caso el equilibrio

en el pasador de C cuando el collarín está a punto de deslizar:

En principio esto es un sistema de dos ecuaciones conCtres incógnitas: F, ì y N , necesitando una ecuación

más para resolver el sistema para ì. Para ello la barra

AB estará en equilibrio, aunque el collarín A no esté en

una situación de deslizamiento inminente, pero sin embargo la ecuación (3) seguirá cumpliéndose,

resultando:




289

Sustituyendo en (4) y (5):

CDespejando N de la ecuación (5), sustituyendo en (4) y resolviendo para ì:

De manera que la condición para que el collarín de C no deslice es ì tangè. Las condiciones

generales para que el sistema no deslice en A y C será: ì tangè ì 1/tangè , para que esta

condición tenga sentido se tiene que cumplir necesariamente que tangè 1 y por tanto ì 1.

b) Si ì=1,5, el intervalo de valores de è para que la varilla esté en equilibrio en posición

horizontal será: de ì tangè ì 1 / tangè; podemos poner : ì tangè 1 / ì.

Particularizando para ì=1,5: 1,5 tangè 1 / 1,5 , es decir 56,3º è 33,69ª.




290

8. Una grúa arrastra un bloque de peso

P=10000 N a velocidad constante, tal como se

indica en la figura. El coeficiente de

rozamiento entre el bloque y el suelo es 0,577

la altura del bloque es b=1 m el ángulo á que

forma la vertical con la tangente en el extremo

inferior del cable es de 60º determinar: a) La

tensión en el extremo superior del cable b)

Altura sobre el suelo a que se encuentra dicho

extremo c) Para la altura del caso anterior y

un cable del mismo peso por unidad de longitud, se va aumentando la longitud del cable

hasta que á=90º, determinar en este caso la distancia x que separa la grúa del bloque.

Se supondrá que el cable de arrastre tiene una longitud L=4 m y peso un total de Q=2000

N.

a) Las ecuaciones de equilibrio del bloque:

x AF = 0 T .sen 60º - ì.N=0

y AF = 0 -10000 + N + T .cos 60º = 0

ADe donde: T = 5000 N

Considerando el equilibrio para la porción

AB. Del polígono de fuerzas:




291

B A b) La altura sobre el suelo del extremo B, será: h = y - y +b

B AEn donde y y y están referidos al sistema de referencia de la catenaria del cable. Como:

A Aq=Q / L = 2000 /4 =500 N/m, y = T / q , se cumplirá:

c) En este caso, las ecuaciones de equilibrio, son:

x AF = 0 T - ì.N=0

yF = 0 -10000 + N = 0

ADe donde T = 5770 N

Resultando el parámetro de la catenaria:

Aa = T / q =5770 / 500 = 11,54

De acuerdo con la ecuación de la catenaria:




292

9. Como se indica en la figura, se ha apilado un

gran número de chapas de acero sobre el suelo

de una fábrica. Los coeficientes de rozamiento

entre las chapas es de 0,35 y entre chapa y

suelo 0,25. Todas las chapas han de moverse

hacia la derecha, sin volcar ni deslizar unas

respecto de otras mediante la aplicación de una

fuerza horizontal P. Determinar la altura

permitida a la que puede aplicarse P.

Supongamos en principio que todo el conjunto

está apunto de deslizar hacia la derecha., si Q es el peso total del bloque, las condiciones de

equilibrio, serán:

x 2ÓF = 0 P- ì .N = 0

yÓF = 0 Q - N = 0

AÓM = 0 P.h-Q.50+N.x = 0

De la segunda ecuación N = Q, que

sustituyendo este valor en la primera, se tiene:

2P = ì .Q.

Determinemos a continuación el valor de h

para el que no existe el vuelco. Si x 0, de la

tercera ecuación, sustituyendo las expresiones

anteriores:

De donde h < 200 mm.




293

Veamos a continuación el valor de h por encima del cual las chapas deslizan unas sobre otras.

Cuando esto ocurra el bloque superior de chapas que está situado por encima de la línea de ación

de P deslizará sobre el bloque inferior. El equilibrio para el bloque superior, considerando una

situación de deslizamiento inminente, será:

En donde Q es el peso total del bloque y

Q.(H-h) / H representa el peso del bloque

superior. De la segunda ecuación:

Sustituyendo en la primera:

Por otro lado, si el bloque en su conjunto no desliza, se cumplirá de acuerdo con la primera

2hipótesis: P ì .Q, es decir:

De donde: 71,429 mm h 200 mm para que no deslice ni vuelque el bloque.




294

10. Sea el sistema formado por los pesos

P y Q de la figura unidos por un cable.

Sabiendo que el coeficiente de

rozamiento entre las masas y los planos

inclinados es ì=0,25, determinar el

intervalo de valores del peso Q para el

que el sistema estará en equilibrio

suponiendo que el peso P es de 10000 N .

En la figura se representan los diagramas de sólido libre del sistema para las situaciones de

deslizamiento inminente hacia la izquierda y hacia la derecha

Para un deslizamiento inminente hacia la izquierda, las condiciones de equilibrio de fuerzas para

el cuerpo de peso P, suponiendo un sistema de ejes x-y orientados según el plano inclinado:




295

PDe la segunda ecuación: N = 10000.cos 30º.

Sustituyendo en la primera ecuación: T=10000.sen30º - 0,25.10000.cos30º = 2834'934 N

Las condiciones de equilibrio para el cuerpo de peso Q:

QDe la segunda ecuación: N = Q.cos 60º.

Sustituyendo en la primera ecuación:

La condición para que el sistema no deslice hacia la izquierda es: Q2860,606 N.

Consideremos a continuación la situación en la que el sistema está a punto de deslizar hacia la

derecha. Para el equilibrio de P:

PDe la segunda ecuación: N = 10000.cos 30º.

Sustituyendo en la primera ecuación: T=10000.sen30º + 0,25.10000.cos30º = 7165,063 N

Las condiciones de equilibrio para el cuerpo de peso Q:




296

QDe la segunda ecuación: N = Q.cos 60º.

Sustituyendo en la primera ecuación:

La condición para que el sistema no deslice hacia la izquierda es: Q 9669,12 N..El intervalo de valores de Q para que el sistema no deslice, será:

2860,606 N Q 9669,12 N.




297

11. Determinar el valor mínimo

necesario de la fuerza P para que el

sistema se desplace hacia la derecha.

Suponer un coeficiente de rozamiento

de ì=0,2. Los pesos de los cuerpos son:

A: 1500 N

B:1000 N

Consideremos pues una situación de deslizamiento inminente hacia la derecha, y planteemos las

condiciones de equilibrio de fuerzas para los bloques A y B, supondremos además un sistema de

ejes alineado según la dirección de los planos. Para el bloque A:

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de donde:




298

A N = 750 N, T=1449,038 N

Considerando a continuación el bloque B:

BDe la segunda ecuación N = 1000-P.senè, sustituyendo en la primera ecuación y despejando P

en función del ángulo è:

La expresión anterior nos proporciona el valor de la fuerza P, en función del ángulo è, para

desplazar el sistema hacia la derecha. P será máximo cunado la función senè+0,2.cosè sea

máxima, lo cual ocurrirá para:

Cuya solución es tang è=0,2; è=arctang 0,2=11,31º. Sustituyendo en la expresión de P, se tiene:




299

12. Una partícula de peso P está en

reposo sobre un plano inclinado que

está inclinado un ángulo á respecto de

la horizontal, si el coeficiente de

rozamiento entre la partícula y el plano

lo representamos por ì, determinar la

máxima fuerza horizontal F paralela al

plano que puede soportar la partícula

sin deslizar.

En la figura se representa el diagrama de sólido libre, se ha supuesto un sistema de ejes tal como

se muestra en la figura. La reacción normal tendrá necesariamente la dirección perpendicular al

plano, mientras que la fuerza de rozamiento estará contenida en el plano pero de dirección

desconocida, formando un ángulo â con el eje Oy:

Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: F, N y â. Hemos de determinar F:

De la ecuación (3):

Sustituyendo en las dos primera ecuaciones:




300

De la ecuación (4):

Sustituyendo en (5) y despejando F:




301

Figura 189. Mecanismo de cuña.

13. La cuña A de la figura se utiliza para

levantar la masa de 2000 N que descansa

sobre el bloque B. Determinar la fuerza

horizontal necesaria F si el coeficiente de

rozamiento en todas las superficies es de

0,2.

Directamente, aplicamos la fórmula de la

teoría:

1 2En donde ì = ì = 0,2, á=15º, P=2000 N. Sustituyendo en la fórmula: F=1541,31 N




302

14. Una cuña A de peso despreciable, ha de

introducirse entre dos placas B y C de 400 N

de peso. El coeficiente de rozamiento en todas

las superficies es de ì = 0,35. Calcular el

módulo de la fuerza P necesaria para iniciar

el movimiento de la cuña a) si las placas

pueden moverse libremente. b) Si la placa C

se sujeta con pernos a la superficie.

Aunque es posible establecer las ecuaciones de equilibrio de fuerzas de los sólidos A y B de forma

completamente analítica, efectuaremos una interpretación gráfica de estas ecuaciones a partir del

1 3 polígono de fuerzas. El ángulo de rozamiento es . Por simetría las reacciones R y R sobre A

son similares en módulo manteniendo la misma inclinación +19,3º sobre la horizontal, tal como

se muestra en la figura. Para que la resultante de las fuerzas sobre A y B sea cero, los polígonos

de fuerzas han de ser cerrados, obteniendo los triángulos de la figura en donde los ángulos son:




303

Aplicando el teorema del seno al polígono de fuerzas de B , se tiene:

1 3Directamente del polígono de fuerzas de A, teniendo en cuenta que R = R y que el triángulo es

isósceles:

b) En el caso de que el sólido C esté fijo la situación es idéntica a la anterior, resultando:

P=251,09 N.




304

15. Determinar que fuerza horizontal

F es necesaria ejercer sobre las cuñas

B y C para elevar el peso de 200 KN

que se apoya en A. Suponer que el

coeficiente de rozamiento entre las

1cuñas y el suelo es ì =0,25 y entre las

2cuñas y el peso ì =0,2. El ángulo de

inclinación de las cuñas es á=6º.

Consideremos en primer lugar el equilibrio del conjunto. Existirán unas reacciones normales y de

rozamiento en B y C, directamente, por simetría las reacciones normales serán:

B C N =N =100 kN

Consideremos a continuación el equilibrio de B:

.

Tenemos pues un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la segunda ecuación:

A N =102,709 kN, sustituyendo en la primera F= 56,165 Kn.




305

16. Una cuña de 5º se introduce bajo la

base de una viga en A. Sabiendo que el

coeficiente de rozamiento es de 0'15 en

todas las superficies, se pide:

a) La fuerza P necesaria para mover la

cuña.

b) Indicar si la viga se moverá.

Para estudiar el equilibrio del sistema hay que

considerar dos posible hipótesis de movimiento: 1)

cuando actúa la fuerza P se mueven conjuntamente

la cuña y la viga, 2) la viga permanece quieta pero

la cuña desliza hacia la derecha. En la primera

hipótesis se plantean las ecuaciones de equilibrio

como si viga y cuña fueran un mismo sólido, dado

que las dimensiones de la cuña son muy pequeñas,

suponemos que la viga se mantiene prácticamente

horizontal. Las reacciones normales en A y B, serán

verticales, resultando un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

y yDe donde: A = 1750 N, B = 750 N, P=375 N.

La segunda posibilidad es que la cuña deslice entre el suelo y la viga, permaneciendo la viga

estática. En este caso hay que plantear el equilibrio de la viga y de la cuña por separado. El

ydiagrama de equilibrio de la viga, presentará una reacción normal en B, B y una reacción




306

tangencial debida al rozamiento inferior a la fuerza de rozamiento máxima, al no haber

xdeslizamiento en B y que representamos por B . Por otro lado en A existirá deslizamiento de

manera que habrá una reacción con una componente normal, perpendicular a la superficie de la

A Acuña N y una componente de deslizamiento ì.N , por simplicidad, supondremos estas reacciones

vertical y horizontal. Estas mismas fuerzas cambiadas de signo actuarán sobre la cuña, de acuerdo

con el diagrama mostrado.

Para la viga:

A y xDe donde N = 1750 N, B = 750 N, B = 262'5 N.

APara la cuña, teniendo en cuenta el valor ya calculado de N :




307

yDe donde: A = 1720,46 N, P = 672'5 N > 375 N

De acuerdo con los resultados, se tomará el menor valor de P = 375 N, calculado en la primera

hipótesis, como el valor necesario para mover la cuña, moviéndose cuña y viga al mismo tiempo.




308

17. La mordaza indicada se compone de

dos elementos unidos por dos tornillos de

potencia de doble rosca, diámetro medio

10 mm y paso de 1mm. Las piezas de la

mordaza están roscadas en A y B, situadas

en la mordaza inferior, con un coeficiente

de rozamiento de ì=0,2, sin embargo la

mordaza superior no está roscada. Se

desea aplicar dos fuerzas iguales y opuestas

de 500 N sobre los bloques que están en las

garras. Se pide a) Determinar el tornillo

que deberá ajustarse primero b) Par

máximo aplicado para apretar el segundo tornillo.

a) considerando el equilibrio de la primera mordaza

BDe la segunda ecuación: F = 500 N, sustituyendo en la

A primera: F = 1000 N.

Al ajustar los tornillos para apretar la mordaza, el esfuerzo se realiza sobre el último tornillo quese ajusta, por tanto ajustaremos primero el A y luego el B.

b) de acuerdo con la teoría:




309

B mSiendo: F =500 N, d =0,01 m, y también:

BResultando: T =0,796 N.m




310

18. Se utiliza una correa plana para

transmitir un par torsor de una polea A a

otra B. el radio de las poleas es de 60 mm

y el coeficiente de rozamiento es de ì=0,2.

Hallar el par torsor mayor que puede

transmitirse si la tensión máxima

permisible es de 8000 N. Repetir el

problema suponiendo que la correa está

cruzada. suponer una distancia entre ejes de 240 mm.

Al ser la polea A, la polea motriz, el sentido del momento o par torsor M coincide con el de la

1velocidad angularù, mientras que en la polea arrastrada B ocurre lo contrario, cumpliéndose F

2>F . Suponiendo una situación de deslizamiento inminente, se cumplirá:

Teniendo en cuenta además:

1F = 8000 N (tensión máxima permisible en la correa), ì=0,2, è=ð, resultando:

El momento máximo a transmitir:

Para el caso de correa cruzada, de acuerdo con el esquema de montaje de la figura:




311

El ángulo de abrazamiento de la correa es:

La tensión máxima en la correa:

El momento máximo a transmitir:




312

19. La figura muestra un tambor de freno

de 625 mm de diámetro que esta envuelto

por una banda, apretada por medio de

una palanca que se acciona mediante una

fuerza vertical de P=178 N sobre la

palanca AC. El coeficiente de rozamiento

entre el tambor y la banda es de 1/3,

determinar el momento de frenado sobre el

tambor cuando éste está girando en el

sentido de las agujas del reloj.

Se cumplirá:

FE = 625 / 2 . sen60º=270,63 mm

FC = (FE-FH).tang60º=(270'63-100).tang 60º=

=295,54 mm

DC=FC+FD = FC+DE.cos 60=295,54+312,5.cos 60º=

=451,79 mm

De manera que:

El ángulo de abrazamiento è y el ángulo de

inclinación de la correa â será :

è=360º-(46,24º+60º)=253,76º

â=90-á=90-46,25=43,76º




313

BTenemos que calcular F , para ello a partir del diagrama de sólido libre de la figura, considerando

la ecuación de equilibrio de momentos de la palanca respecto de C:

C BÓM = 0, F .100 . cos 30º - 178.(60+100)=0

BDe donde: F = 1562 N. Este valor corresponde a la tensión en el lado flojo de la banda, la tensión

en el lado más tenso, será:

C BF = F . e = 1562 .e = 6836,55 Nìè 1/3.253,76.ð/180

El momento de frenado, será:

C BM = ( F - F ) . D/2 = (68365,55-1562) . 0,3125 = 1648,29688 N.m




314

20. Una viga sin peso de longitud 2.l está

soportada por una cuerda que pasa por

encima de dos tambores fijos como se ve en

la figura. Determinar el intervalo de

distancias a las que puede alejarse un peso

W del centro sin alterar el equilibrio. El

coeficiente de rozamiento entre la cuerda y

el tambor se representa por ì.

Si el peso P se desplaza hacia la derecha de B, llegará un momento en el que la cuerda llegará a

deslizar sobre los tambores. El ángulo de abrazamiento cuerda-tambor es è = ð/2. En una

situación de deslizamiento inminente, se cumplirán las siguientes relaciones:

C D D D AF = F . e = F . e y también: F = F . eìè ìð/2 ìð/2

C A AEs decir: F = F . e . e = F . eìð/2 ìð/2 ìð

Por otro lado, considerando el equilibrio de la

barra AC, teniendo en cuenta la anterior

relación:

y A AF = 0, F + F . e - P = 0 (1)ìð

B A AM = 0, F .l- F . e .l + P.x = 0 (2)ìð

De la ecuación (1), se tiene:

sustituyendo en (2) y resolviendo para x:




315

De manera que el intervalo de valores de x para los que el eso P no deslizará será:




316

21. La cuerda ABCD se coloca por encima de dos

cilindros empotrados en la pared, tal como se

indica en la figura. En un extremo de la cuerda

cuelga un peso de 1000 N, mientras que en el otro

extremo cuelga otro peso P de valor desconocido.

Si el coeficiente de rozamiento entre las cuerdas y

cilindros es ì=0,3, determinar: a) El intervalo de

valores de P para que la cuerda se mantenga en

equilibrio b) El ángulo á de inclinación de la

cuerda para que la tensión en el tramo centra BC

sea de 500 N.

a) Si el peso P está apunto de deslizar hacia arriba:

A BC BC DF = F .e , F = F .e ,ì.èB ì.èC

A D D Aresultando: F = F .e , o bien: F = F .eì.(èB+èC) -ì .(èB+èC)

B C APara los valores del enunciado: è + è = ð rad, ì=0,3, F =1000 N, resultando:

DF = 1000 .e = 389,66 N-0,3 .ð

D ASi el peso P está apunto de deslizar hacia abajo: F = F .e = 1000 .e = 2566,332 Nì .(èB+èC) 0,3 .ð

El intervalo de valores de P para los que no existirá deslizamiento:

389,66 N P 2566,332 N

b) Cuando la tensión en la parte central de la cuerda sea de 500 N, se cumplirá:

A BC BF = F .e 1000 = 500 .e è = ln2 .1 / 0,3 = 2,31 rad =132,38º.ì.èB 0,3.èB

Resultando:

B Bè = 90º + á á=è - 90º=132,38º-90º =42,38º




317

22. Se coloca un cable alrededor de tres

tubos cada uno de ellos de 100 mm de

diámetro exterior, situados en un

mismo plano horizontal. Dos de los

tubos están fijos y no giran, el tercer

tubo está girando lentamente al

aplicarle un momento en el sentido de

movimiento. Sabiendo que ì=0,3 para

cada tubo, determinar el mayor peso P que puede elevarse.

Determinemos en primer lugar el ángulo á. De acuerdo

con la figura:

cos á=50/100=0,5, á=60º

Los ángulos de abrazamiento, serán:

Aè =180º-60º=120º=120.ð/180=0,67.ð rad

Cè =180º-60º=120º=120.ð/180=0,67.ð rad

Bè =180º-2.60º=60º=60.ð/180=0,33.ð rad

a) Cuando gira A, se cumplirá, en una situación de deslizamiento inminente:

1 1 2T > 500 N, T > T > P, resultando:

1T = 500. e ;èA . ì

1 2T = T . e ;èB . ì

2T = P . e ;èC . ì

A partir de las ecuaciones anteriores, podemos despejar fácilmente P:

P=500. e = 500. e = 366,3 N(èA - èC -èB). ì ð.(0,67 - 0,67 -0,33). 0,3

b) Si el cilindro que gira es el B, en una situación de deslizamiento inminente, se cumplirá:

2 1, 2 1T > T T > P, 500 N > T , resultando:




318

1500 = T .e ;èA . ì

2 1T =T .e ;èB . ì

2T = P . e ;èC . ì


P=500. e = 500. e = 193'00 N(èB - èA -èC). ì ð(0,33 - 0,67 -0,67). 0,3

c) Si el cilindro que gira es el C, en una situación de deslizamiento inminente, se cumplirá:

1 2, 1 2T > T 500 N > T , P > T ,, resultando:

1500 = T .e ;èA . ì

1 2T = T . e ;èB . ì

2P = T . e ;èC . ì


P=500. e = 500. e = 366'30 N(èC - èA -èB). ì ð(0,67 - 0,67 -0,33). 0,3




319

23. Un motor eléctrico impulsa la polea B a

velocidad constante, la cual está conectada

a la polea A mediante una correa. La polea

A está conectada a un compresor que

requiere un momento de 700 N.m para

Afuncionar a una velocidad constanteù . El

conjunto se mantiene en tensión por una

fuerza F que tiende a separar las poleas. Si

el coeficiente de rozamiento entre la correa y las poleas vale 0,4 ¿Cual es el valor mínimo

que se requiere para la fuerza F de forma que no se produzca deslizamiento en ninguna

polea?

NOTA: La potencia entregada por el motor es igual a la consumida por el compresor, esto

B B A A B B A A B A B A .equivale a decir que: M . ù = M .ù y en consecuencia: M /r = M /r , ó M = M .r / r

Vamos a determinar el ángulo de abrazamiento de las correas sobre las poleas. De acuerdo con

la figura:




320

Resultando para los ángulos de abrazamiento:

Las ecuaciones de equilibrio para la polea A:

2 1 . 1 2De (3): T = T 3'8, sustituyendo en (1): T = 500 N y T = 1900 N, y de (2) F = 2388 N .

BRepitamos el proceso para la polea B, para ello necesitamos conocer el par M , teniendo en

cuenta que la potencia en los ejes de las poleas motriz y resistente ha de ser la misma:




321

1 2Procediendo de forma similar a la polea A: T = 624' 6 N , T = 1998'76 N , F = 2610'20 N.

1 2Sin embargo los valores de las tensiones en la correa T , T y de la fuerza de tensado F han de ser

igual para los dos correas. Como el deslizamiento se producirá antes en la polea arrastrada B, al

Bser el ángulo de abrazamiento menor y en consecuencia el par resistente M menor, se tomarán

los valores obtenidos para esta polea como definitivos, en consecuencia:

1 2T = 624' 6 N , T = 1998'76 N , F = 2610'20 N.




322

24. Una cuerda rodea dos cilindros iguales, tal como

se muestra en la figura. Sabiendo que el coeficiente

de rozamiento entre la cuerda y los cilindros es de

0,25. a) determinar el mayor valor del peso P que

puede elevarse, si el cilindro B está girando

lentamente y el cilindro A está estático. b) repetir el

problema si ambos cilindros permanecen estáticos y

empotrados en la pared

a) Suponemos los puntos 1,2,3,4 distribuidos a lo largo

de la correa. Si el cilindro B comienza a girar para

3 2elevar el peso P, se cumplirá: T > T :

1 2 3 4Para el cilindro A: T = 5000 N > T , y T > T =P.

Multiplicando entre sí las ecuaciones anteriores y alterando a conveniencia el orden de las

fracciones:




323

2 3 b) En este caso todos los cilindros están fijos, cumpliéndose para el cilindro B: T > T :

1Mientras que para el cilindro A, las relaciones anteriores continúan verificándose: T = 5000 N

2 3 4> T , y T > T =P.

Combinando las anteriores ecuaciones:

En este caso interesa determinar el ángulo á. Se tiene por geometría:




324

25. Se utiliza un torno de 120 mm de diámetro para elevar una carga de 500 N. Su eje está

apoyado en dos cojinetes de 40 mm de diámetro con lubricación defectuosa. Hallar el

módulo de la fuerza P necesaria para elevar la carga en cada una de las posiciones

indicadas (ì=0,4).

a) Para el primer caso, tenemos el diagrama de sólido libre

de la figura. El radio de la circunferencia de rozamiento:

or =ì.r=0,4.20=8 mm

De la ecuación de equilibrio de momentos respecto de A:

AÓM = 0, P.(100-8)-500.(60+8)=0

De donde P=369,56 N




325

a) Para el segundo caso, la ecuación de equilibrio de

omomentos respecto de A, teniendo en cuenta que r = 8 mm:

AÓM = 0, P.(100+8)-500.(60+8)=0

De donde P= 314,815 N




326

26. Para elevar a velocidad constante un peso de 1000

N se precisa un momento de 254 N.m, se pide: a)

Determinar el coeficiente de rozamiento entre las

superficies del eje y cojinete si el diámetro del eje es de

50 mm, el de la polea 500 mm y la polea pesa 500 N. b)

Si el coeficiente de rozamiento es de 0,15, determinar

el valor mínimo del momento que impide que la polea

gire en sentido horario.

a) Cuando el peso P comience a elevarse, el conjunto eje-

polea rodará hacia la izquierda y la fuerza de reacción R

aparecerá desplazada a la izquierda un valor igual al radio

ode rozamiento r . La ecuación de equilibrio de momentos

respecto de A:

A o oÓM = 0; 1000.( 0,250 + r ) + 500. r -254 =0

oDe donde: r = 0,00333 m=3,33 mm

oPor otro lado ì= r / r = 3,33 / 25 = 0,1332

b) Para evitar que el peso P caiga el conjunto eje-polea

rodará hacia la derecha y la fuerza de reacción R se

desplazará a la derecha. En este caso el radio de

rozamiento será:

or =ì.r=0,15.25=3,75 mm

La ecuación de equilibrio de momentos respecto de B:

BÓM =0, 1000.( 0,25 - 0,00375 ) - 0,00375.500 - M = 0;

De donde: M = 244,375 N.m




327

27. La polea de la figura tiene 100 mm de diámetro y

puede girar alrededor del eje de 50 mm de diámetro. El

coeficiente de rozamiento entre las superficies de la

polea y eje es de 0,25. Determinar la menor fuerza

horizontal que se necesita para elevar una carga de 5000

N.

En este caso se trata de una polea hueca, en donde el hueco

es el cojinete, que gira con la polea sobre un eje fijo. La

forma más directa de resolver el problema es considerar que

el conjunto de fuerzas que actúan sobre la polea: el peso P, la fuerza F y la fuerza de reacción R ,

son concurrentes en el punto A de la figura, esto equivale a suponer que la suma de momentos

de las fuerzas que actúan sobre la polea es cero. En una situación inicial de equilibrio P y F son

iguales y la reacción R pasa por el centro de la polea y concurre con las fuerzas P y F en A.

Para subir el peso P, aumentamos el valor de F hasta

que el cojinete deslice sobre el eje, en ese instante, la

reacción R se desplazará del centro de la polea el radio

ode rozamiento r , tal como se muestra en la figura pero

seguirá pasando por A. El radio de rozamiento es:

or = ì.r = 0,25.25 = 6,25 mm

El ángulo de la figura, será:

Considerando las condiciones de equilibrio de fuerzas:




328

xF =0, -R . cos (45º-5'07) + F = 0;

yF =0, R . sen (45º-5'07) - 5000 = 0;

De la segunda ecuación, se tiene directamente R=7789,96 N, sustituyendo en la primera ecuación:

F=5973,4741 N.

Sin embargo puede resultar más cómodo resolver el

problema a partir del polígono de fuerzas de la polea, lo

cual nos permite determinar directamente la reacción R

y la fuerza F, sin tener que resolver un sistema de

ecuaciones. Para el caso más general de un triángulo

cualquiera (rectángulo o no), el polígono se resuelve

aplicando el teorema del seno:




329

28. Una carga de 750 N ha de elevarse mediante

el aparejo indicado. Cada una de las poleas de

diámetro D=60 mm gira sobre un eje de diámetro

d=10 mm. Sabiendo que el coeficiente de

rozamiento entre la polea y el eje vale ì=0,2.

Calcular la tensión en cada porción de la cuerda

cuando se está elevando la carga y la reacción

sobre el eje en la polea DE.

En general de acuerdo con los problemas vistos anteriormente, en los problemas de cojinetes

pueden considerarse dos tipos diferentes de montajes: conjunto eje-polea, en donde el cojinete

está fijo al soporte o conjunto polea hueca-cojinete en donde el eje está fijo al soporte y la polea

hueca gira sobre el eje. Este problema se trata de una polea hueca que gira sobre un eje fijo. En

este caso, el cojinete está en la polea.. En general el resultado final siempre suele ser el mismo

para los dos tipos de montaje.




330

Consideremos a continuación el equilibrio de la polea BC. El valor del radio de rozamiento para

las dos poleas es:

or = ì.d / 2 = 0,2.10 / 2 =1 mm

Las ecuaciones de equilibrio para la polea BC:

y BA CDÓ F = 0, T +T -750 = 0

C BAÓ M = 0, T .60-750.(30-1) = 0

BA CDDe donde T = 362,5 N, T = 387,5 N

Las ecuaciones de equilibrio para la polea DE:

y EFÓ F = 0, 387,5 + T -R = 0

EÓ M = 0, 387,5.60-R.(30-1) = 0

EFDe donde R= 801,724 N, T =414,224 N




331

29. Una barra uniforme de 240 mm de longitud cuelga

holgadamente de un eje horizontal de 10 mm de diámetro el cual

se hace girar lentamente, se pide : a)Si la distancia x del eje al

extremo superior de la barra es de 20 mm, determinar el ángulo

á de inclinación de la barra a partir del cual la barra iniciará su

deslizamiento. b) Determinar el valor mínimo de x para el que no

deslizará la barra cuando se haga girar lentamente al eje una

vuelta completa. El coeficiente de rozamiento entre la barra y el

eje es de 0,1.

a) Supongamos que hacemos girar lentamente la barra en el sentido

de las agujas del reloj. Consideremos una situación de deslizamiento inminente, como la barra está

en equilibrio, las lineas de acción del peso P de la barra, aplicado en el cdg G, que coincide con

el centro geométrico, y de la reacción R del eje sobre el hueco de la barra, han de coincidir . El

oradio de rozamiento r será:

or = ì.r = 0,1. 5 =0,5 mm

Por otro lado, se cumplirá también, al ser x = 20

mm:

or = GO . sen á

Siendo:

GO = 120 -x = 120-20 = 100 mm

Es decir:

0,5 = 100 . sen á, á = arcsen (0,5/100) = 0,286º

b) En este caso se cumplirá para que no exista deslizamiento entre el eje y la barra

o or GO . sen á, r (120-x) . sená,




332

El valor máximo de senè= sen(ð/2)=1, resultando en la situación más crítica:

0,5 120-x, x 120-0,5=119,5 mm




333

30. Las dos poleas de la figura, tienen diámetros

de D=200 mm y están montadas rígidamente

sobre ejes de d=50 mm de diámetro, soportados

por cojinetes de deslizamiento. La tensión en el

resorte es de 200 N. El coeficiente de rozamiento

entre los ejes y cojinetes es de ì = 0,3.

Determinar el par M requerido para hacer girar

la polea a velocidad constante.

Se trata de un conjunto de dos poleas-eje, girando dentro de cojinetes fijados al soporte. Cuando

la polea izquierda comienza a deslizar girando dentro del cojinete, el punto de contacto B se habrá

desplazado hacia abajo, en cambio en la polea derecha, el punto de contacto A se desplazará hacia

arriba, de acuerdo con el esquema de la figura. El valor del desplazamiento en ambos casos,

vendrá dado por radio de rozamiento:

Las ecuaciones de equilibrio para la polea de la derecha serán:




334

OSiendo: F =2 00 N, d = 0,05 m, D = 0,2 m. r = (d/2).ì = (0'05/2).0'3 =0,0075 m.

Resultado, de las ecuaciones anteriores:

Para la polea de la izquierda:

De acuerdo con los resultados conocidos de las tensiones en las correas, se tiene de la ecuación

(4):




335

31. Una palanca de peso despreciable, encaja

holgadamente en el eje fijo de 60 mm de diámetro

como se indica. Se observa que una fuerza F=350 N

inicia el giro de la palanca en sentido horario.

Determinar a) El coeficiente de rozamiento entre el

eje y la palanca b) Para el coeficiente de rozamiento

anterior, menor fuerza F que impide el giro de la

palanca en sentido anti-horario.

a) Se trata de un cojinete giratorio sobre un eje fijo. Cuando la palanca esté a punto de deslizar

en sentido horario, el punto de contacto eje-cojinete A, se habrá desplazado hacia la derecha. La

ecuación de equilibrio de momentos (figura de la derecha) con F = 350 N :

b) Cuando la palanca está a punto de girar hacia la izquierda, el punto de contacto B se desplaza

Ohacia la derecha. La ecuación de equilibrio de momentos para r = 7'05 mm:




336

32. En la figura se muestra un cajón de 3000 N que

descansa sobre un carrito, el cual tiene cuatro ruedas

de 130 mm de diámetro. Si los coeficientes de

s dfricción estático y dinámico son ì = 0,12 y ì = 0,08,

determinar la magnitud de la fuerza P requerida

para:

a) Iniciar el movimiento.

b) Mantener el movimiento del carrito a velocidad constante.

Supongamos un sistema de rueda-eje giratorio

sobre cojinete situado en el carrito. La distribución

de fuerzas en el instante que se inicia el movimiento

con deslizamiento en el eje-cojinete, es como se

muestra en la figura: el punto de contacto A está en

la parte superior del eje y se desplaza ligeramente

hacia la izquierda como consecuencia de la fuerza

de empuje P sobre el carrito. La fuerza de contacto

xF tendrá una componente horizontal F

ycorrespondiente a la parte proporcional del empuje P, y una componente vertical F ,

correspondiente a la parte del peso del cajón. Se puede suponer con suficiente aproximación que

estas componentes equivalen a las componentes normal y tangencial, resultando para la fuerza P

necesaria para iniciar el movimiento.

Una vez iniciado el movimiento, la fuerza P necesaria para mover el bloque, se obtendrá de forma

dsimilar pero empleando el coeficiente de rozamiento dinámico ì = 0,08, resultando:




337

Es posible resolver el problema suponiendo un sistema de rueda-cojinete giratorio sobre girando

eje fijo sobre el bloque. En este caso el punto de contacto a estará en la parte inferior de la rueda

desplazado a la derecha y la distribución de fuerzas es la que se indica en la figura, obteniendo

resultados similares al caso anterior:




338

33. Cuatro muelles iguales de constante k=6000 N

/ m, se utilizan para mantener apretada la placa

AB contra la cabeza de una varilla vertical. En la

posición indica, cada muelle está comprimido 50

mm, la chapa puede moverse verticalmente pero su

rotación está impedida por pernos que pasan a

través de orificios taladrados en ella.

a) Sabiendo que ì=0,3 y P=0, hallar el valor del

momento M que es necesario aplicar para hacer

girar la varilla.

b) Para que valor de P girará la varilla cuando se aplique un momento de valor M=22,5

N.m.

a) Determinemos en primer lugar la fuerza total de compresión contra la cabeza de la varilla. Esta

fuerza está ejercida por los resortes, su valor será:

Cuando gire la varilla, existirá una superficie de rozamiento circular en la cara inferior de radio

2 2r = 50 mm y otra superficie en forma de corona circular en la cara superior de radios r = 50 mm

1y r = 25 mm, de manera que el momento M necesario:

b) En este caso si existe una fuerza axial P sobre la varilla, la fuerza normal en la cara inferior de




339

la cabeza seguirá siendo de 1200 N, mientras que la fuerza en la cara superior será 1200-P, de

manera que el momento necesario para hacer girar el eje, será:

Es decir:

Es decir:

22,5 = 0,01166.(1200-P)+12

De donde P=300 N




340

34. Suponiendo que la presión entre las

superficies de contacto es uniforme,

determinar una expresión para el momento

torsor necesario M que hay que aplicar al eje

giratorio para vencer la resistencia debida al

rozamiento, en función del coeficiente de

rozamiento ì y de las características

geométricas del eje.

Determinemos en primer lugar la presión de

contacto p. Considerando el equilibrio de fuerzas

verticales, admitiendo una presión uniforme en toda la superficie de contacto:

Resultando:

2 1-P+p.2.ð.(r - r ) = 0 , de donde:2 2

Por otro lado la ecuación de equilibrio de momentos:




341

Resultando:

Sustituyendo el valor de la presión p ya calculado:




342

35. Un cilindro de peso P=6000 N, está

apoyado sobre un plano inclinado.

1 2Determinar los ángulos á y á del plano

que hacen inminente la rodadura y el

deslizamiento del cilindro. Particularizar

para un radio del cilindro de 100 mm,

coeficiente de rozamiento al deslizamiento

ì=0,6, coeficiente de rozamiento a la

rrodadura ì = 8 mm.

Considerando las ecuaciones de equilibrio del

cilindro para un sistema de ejes Oxy, orientado

según el plano inclinado:

x r ÓF = 0, F - P.sen á = 0 (1)

yÓF = 0, N - P.cos á = 0 (2)

AÓM = 0, P.sen á.r - P.cos á . a = 0 (3)

Supongamos que el cilindro está apunto de

r moverse por rodadura, a = ì , resultando de la

ecuación (3), dividiendo por cosá:

1 r 1 r 1P.tang á . r - P . ì = 0, tang á = ì / r =8 /100 =0,08; á = arctang 0,08 =4,57 º

Si el cilindro está a punto de moverse por deslizamiento, la fuerza de rozamiento alcanzará su

r valor máximo: F = ì.N.

De la ecuación (2), N = P.cos á

Sustituyendo estas dos últimas expresiones en la ecuación (1):

2 2 2 2 2ì . N. - P.sen á = 0, ì . P. cos á . - P. sen á = 0, tang á = ì = 0,6; á = artang 0,6 =30,96º

> 4,57º, iniciando el movimiento el cilindro por rodadura.




343

36. Una carretilla se desplaza por medio de

dos ruedas de 500 mm de diámetro

trasportando una carga de 1000 N sobre

una superficie irregular. Las ruedas están

motadas con holgura sobre un eje fijo A de

15 mm de diámetro. El coeficiente de

rozamiento al deslizamiento entre la rueda

y eje es de 0,25 y el coeficiente de

rozamiento a la rodadura entre la rueda y

el suelo es de 1,3 mm. Determinar la fuerza

(componentes horizontal y vertical) que hay que aplicar en el extremo B de la carretilla,

para arrastrarla con velocidad constante.

Se trata de un sistema de dos sólidos rígidos: el carro y la rueda acoplados mediante un conjunto

eje-cojinete en A.. El eje de radio r, está fijo al carro y el cojinete gira con la rueda, cuando el

ocarro se esté desplazando, el punto de contacto C se desplazará hacia la derecha un distancia r

A= ì.r, provocando un momento resistente M , que se podrá expresar en función de la reacción

yvertical en A, A que en principio es desconocida, resultando:

manual de teoría de máquinas y mecanismos ii - estática

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