ndice general1. Corriente Continua 32. Medida de seales en el osciloscopio. 103. Corriente Alterna 194. Tratamiento de Errores 314.1. Error absoluto y error relativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2. Clasicacin de los errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3. Estimacin de errores en las medidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.1. Medida directa de una magnitud fsica.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.2. Medida indirecta de una magnitud fsica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4. Presentacin de resultados numricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.5. Recta de mnimos cuadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.6. Realizacin de grcas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.7. Memorias de las prcticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452Prctica 1Corriente ContinuaConceptos implicadosCorriente elctrica, diferencia de potencial, ley de Ohm, fuerza electromotriz, asociacin de resisten-cias, leyes de Kirchhoff.Principios fsicosCorriente elctrica. Es el movimientode cargas enunconductor debidoal empuje de uncampoelctrico aplicado. La corriente elctrica se mide por su intensidad,I , denida como la cargaqueatraviesa laseccindel conductorpor unidad detiempo.La unidad deI en el sistemainternacional es el amperio (A). La intensidad se mide con el ampermetro.Diferencia de potencial. El campo elctrico que da lugar al movimiento de cargas en un circui-to tiene asociado una diferencia de potencial. As, la diferencia de potencial entre dos puntoscualesquiera del circuito ser el trabajo por unidad de carga realizado por el campo entre esospuntos. La unidad del potencial en el sistema internacional es el voltio (V). La diferencia depotencial entre dos puntos, tambin llamada cada de potencial o tensin, se mide con el vol-tmetro.Ley de Ohm. Esta ley es bsica para el anlisis de circuitos. De acuerdo con dicha ley, la relacinque existe entre la diferencia de potencial,V , medida en los extremos de un conductor y laintensidad que pasa por l es lineal: V = I R, donde el parmetro R, denominado resistencia,indicala resistenciaqueofrece el conductor al pasode la corriente. La resistenciade unadeterminada muestra depende del tipo de material utilizado, de su geometra as como de latemperatura de trabajo. La unidad de la resistencia en el sistema internacional es el ohmio ().Batera (opila). Es un elemento capaz de transformar energaqumica en energa elctrica.Las bateras son capaces de mantener una diferencia de potencial constante entre sus bornesdando lugar as al campo que ha de mover las cargas a lo largo del circuito. La diferencia depotencial entre los bornes de una batera se denomina su fuerza electromotriz (fem) y se mideen voltios. Dicha fem ser pues la energa que la batera comunica a la unidad de carga para re-correr el circuito. Las bateras reales tiene ciertas prdidas en su interior que pueden modelarsemediante una resistencia interna.Leyes de Kirchhoff. Un circuito es una interconexin de distintos elementos. En esta prcticanos limitaremos a interconectar resistencias y bateras. Las corrientes y tensiones enuncircuito3Prctica1. CorrienteContinua 4pueden ser determinadas mediante las siguientes dos leyes de Kirchhoff:(1) Ley de las mallas: la suma de cadas de potencial a lo largo de cualquier camino cerrado(malla) del circuito es nula.(2) Ley de los nudos: la corriente total que entra en cualquier nudo (punto del circuito al cualllegan y salen varias intensidades) es igual a la que sale del mismo.Objetivos1. Vericacin de la ley de Ohm2. Vericacin de las reglas de asociacin de resistencias3. Comprobacin de las leyes de Kirchhoff4. (*) 1Medida de la curva caracterstica intensidad frente a tensin en un diodoMONTAJE Y REALIZACINI. Vericacin de la ley de OhmEn este apartado tomaremos varios valores de la tensin e intensidad en una resistencia y vericare-mos que se cumple la ley de Ohm. Calcularemos igualmente el valor experimental de la resistenciautilizada.1. De entre las resistencias que le han proporcionado elija una de 510. Para ello deduzca qucolores corresponden a dicha resistencia de acuerdo con el cdigo de colores. Una vez elegida,mdala con el polmetro para comprobar que no se ha equivocado.2. Monte el circuito mostrado en la Fig.1.1, donde se muestra la resistencia R =510 conectadaAVeRFigura 1.1: Montaje para medir la tensin e intensidad en una resistencia.a un fuente de tensin continua. El voltmetro medir la tensin, V , entre los extremos de laresistencia. Mediante un ampermetro conectado en serie se medrir la intensidad, I(en mA),que atraviesa la resistencia.3. Variando el control de amplitud del generador desde aproximadamente 7 V hasta valores cer-canos a 1 V (no use valores mayores de 7 V para evitar que se caliente en exceso la resistencia),tome nota en una tabla de 10 pares de valores de Ve I con sus correspondientes unidades.1Los objetivos sealados con un asterisco, tanto en esta como en las restantes prcticas, slo se realizarn si el tiempoasignado a cada sesin lo permite.Prctica1. CorrienteContinua 5Tratamiento de las medidas y resultados (A realizar fuera del laboratorio)(Aviso. La realizacin de los puntos que se detallan a continuacin para este primer objetivo, as como paralos siguientes,requieren cierto tiempo y por ello deben realizarse fuera del laboratorio. Todos estos puntosdebern formar parte de la memoria de prcticas que se debe presentar posteriormente.)1. Represente en una grca los puntos correspondientes a los valores experimentales de V(ejey) frente a los de I(eje x). No olvide indicar claramente las unidades en los ejes (Aviso: no unalos puntos experimentales mediante segmentos).2. Mediante la tcnica de mnimos cuadrados (regresinlineal, ver Seccin4.5) determine el valornumrico (junto con sus unidades) de la pendiente de la recta que se ajusta a la nube de puntos.Enla memoria de prcticas no presente los clculos intermedios que conducena este resultado.De hecho se puede usar cualquier software adecuado para ello.3. Calcule el valor del coeciente de correlacin, r , (ver Seccin 4.5) para vericar la bondad delajuste. Si dicho coeciente es prximo a la unidad, ello es indicativo de que existe una relacinlineal entre los valores de Ve I tal como indica la ley de Ohm. Comente sus propios resultados.4. Apartir del valordela pendientede larectadeajuste (juntoconsus unidades) obtenga elvalor experimental de la resistencia utilizada con sus unidades. Compare el valor experimentalobtenidoconel valornominaldelamisma,indicandoel porcentajedediferencia entre losmismos. Se espera que ambos valores sean similares. Comente sus propios resultados.Recuerde que los aparatos de medida siempre introducen imprecisiones y adems los valores nominales de f-brica se dansiempre con ciertomargende error. Por tanto, discrepancias de hasta un10%pueden considerarsenormales.II. Vericacin de la reglas de asociacin de resistenciasEn este punto calcularemos experimentalmente el valor de la resistencia equivalente a la asociacinde dos resistencia conectadas tantoen serie como enparalelo. Por denicin, el valor de la resistenciaequivalente, Requiv, de cualquier asociacin(serie, paralelo u otras) se dene como el cociente entre latensin, V , entre los extremos de la asociacin dividida por la intensidad, I , que circula por la misma:Requiv=VI.Una vez calculados dichos valores experimentales, los compararemos con los obtenidos tericamen-te mediante las reglas de asociacin de resistencias para cada caso.Prctica1. CorrienteContinua 61. ASOCIACINEN SERIETome una resistencia de 330 y otra de 510 , y anote sus valores.Monte el circuito serie de la Fig. 1.2. Fije un valor de aproximadamente 4 V o menor para latensin entre los extremos de la asociacin y anote el valor de dicha tensin indicado por elvoltmetro junto con su error asociado a la sensibilidad del voltmetro (ver Apartado 4.3). Anotetambin el valor de la intensidad, indicado por el ampermetro, junto con su error dado por susensibilidad. No es necesario tomar ms parejas de medidas.AVR1R2RequivFigura 1.2: Asociacin en serie de dos resistencias2. ASOCIACINEN PARALELOUtilizando las mismas resistencias del apartado anterior, monte el circuito paralelo de la Fig.1.3. Fije un valor de aproximadamente 4 V o menor para la tensin entre los extremos de la aso-ciaciny anote nuevamente la tensine intensidadconsus correspondientes errores asociados(como hizo en el apartado anterior). Recuerde que no son necesarias ms medidas.AVR1R2RequivFigura 1.3: Asociacin en paralelo de dos resistenciasPrctica1. CorrienteContinua 7Tratamiento de las medidas y resultados. (A realizar fuera del laboratorio)1. A partir de los valores experimentales de VeI , calcule el valor experimental de la resisten-cia equivalente, Requiv.=V /I , de ambas asociaciones junto con su correspondiente error. Paracalcular el error absoluto en el cociente V /I , parta del hecho de que el error relativo en el co-ciente es la suma de los errores relativos del numerador y denominador, segn se expuso enla ecuacin (4.22) de la Seccin 4.3.2. No olvide redondear adecuadamente los resultados deacuerdo con lo expuesto en Seccin 4.4.2. Para ambas asociaciones,calcule el valor tericodela resistenciaequivalenteutilizandolafrmula correspondiente y compare con el valor experimental sealando su porcentaje de di-ferencia. Ambos valores deben ser similares, lo que nos indicar que se verican las reglas parala asociacin de resistencias en serie y paralelo. Comente sus propios resultados.III. Comprobacin de las leyes de KirchhoffEn este punto comprobaremos que se cumplen las dos leyes de Kirchhoff midiendo las tensiones enuna malla y las intensidades en un nudo de un circuito.1. Monteel circuitodelaFig.1.4.Puedeusar otras resistenciasdiferentes sino disponedelasindicadas o si as se lo indicase el profesor. Los puntosA, Ey Fdeben unirse con el punto Nmediante el uso de tres cables (no usando las conexiones internas de la regleta), a n de facilitarla posterior colocacin del ampermetro, como veremos ms adelante.1kW510 W100 WI1ABCD A (= )I2INEFFigura 1.4: Circuito para vericar las leyes de Kirchhoff. Los puntos D y A son elctricamente equivalentes al estar unidospor un cable, esto es, VDA=0V.2. Mida las diferencias potencialVAB,VBCyVCDcon ayuda del voltmetro. Apunte las valoresobtenidos con su signo correspondiente. (Aviso: asegrese de conectar el voltmetro con la po-laridad adecuada de forma que mida las tensiones que se piden, en caso contrario obtendra elsigno de la tensin incorrectamente).3. Tome ahora nota de las intensidades. Para medir la intensidad Ique llega al nudo Nsustituyael cable A N por el ampermetro. Para medir I1, coloque de nuevo el cable A N y sustituyaahora el cable N E por el ampermetro. Finalmente, para medir I2 coloque de nuevo el cableN E y sustituya el cable N Fpor el ampermetro.Prctica1. CorrienteContinua 8Tratamiento de las medidas y resultados. (A realizar fuera del laboratorio)1. Compruebe la ley de las mallas vericando que la suma algebraica de las tensiones de la mallaes nula: VAB+VBC +VCD+VDA =0. (Tenga en cuenta que la tensin no medida, VDA, es nula,segn se explica en el pie de la gura).2. Compruebe la validez de la ley de los nudos vericando que la intensidad total entrante en elnudo N es igual a la intensidad total saliente del mismo: I = I1+I2.(*) IV. Curva caracterstica del diodoEn este punto estudiaremos la relacin existente entre la intensidad y la tensin en un diodo. Con-trariamente a las resistencias,losdiodos sonelementos nolineales,es decir, no hay una relacinde proporcionalidad entre la intensidad y la tensin, por tanto, el comportamiento de un diodo noresponde a la ley de Ohm.1. Monte el circuito mostrado en la Fig.1.5, donde se muestra un diodo en serie con una resisten-eA BIVARVdFigura 1.5: Montaje para medir la tensin e intensidad en un diodo en polarizacin directa.cia conectados a una fuente de tensin continua. La resistencia Rla elegiremos con un valorvalor entre 100 y 510 . El voltmetro medir la tensin entre los extremos del diodo, VAB =Vd,mientras que el ampermetro medir la intensidad, I (en mA), que circula por el mismo.2. Variando el control de amplitud del generador, tome nota en una tabla de al menos 10 paresde valores de I y Vd dentro de un rango de 0 a 0,8 V para la tensin en el diodo Vd (por ejemplo,para Vd = 0, 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,55, 0,6, 0,65, 0,7, 0,72, 0,74, 0,76, 0,78V; no es necesario que susvalores experimentales coincidan exactamente con los anteriores, es suciente con que seanaproximados). Las medidas realizadas corresponden a polarizacin directa del diodo.3. Invierta ahora las conexiones en el diodo respecto al caso anterior (diodo en polarizacin in-versa). En esta situacin de polarizacin inversa, anote en una tabla 6 pares de valores (I , Vd)en un rango de 0 a 2V para la tensin en el diodo.Prctica1. CorrienteContinua 9Tratamiento de las medidas y resultados. (A realizar fuera del laboratorio)1. Represente en una grca los puntos correspondientes a los valores experimentales de I (eje y)frente a los de Vd(ejexdesde 0,8V hasta 0,8V). Use papel milimetrado o un programa desoftware, segn indicacin del profesor. A mano alzada (o bien mediante software), una conve-nientemente los puntos mediante una curva.2. Compruebe que los valores de la intensidad en polarizacin inversa son muy inferiores a los depolarizacin directa. Indique el orden de magnitud de la diferencia.3. A la vista de lo anterior, deduzca cul podra ser el modelo aproximado ms sencillo para undiodo e indique cmo sera la caractersticaIfrente a Vden dicho modelo. Comente sus pro-pios resultados.Prctica 2Medida de seales en el osciloscopio.Conceptos ImplicadosSeales peridicas. Osciloscopio. Relaciones instantneas entre intensidad y tensin en un conden-sador y en una bobina. Impedancia. Caracterstica I /Ven un diodo.Principios fsicosSeales peridicas. Son aquellas que se repiten en el tiempo. Se denomina periodo al tiempoempleado en repetirse y frecuencia al nmero de veces que se repite en la unidad de tiempo.Transitorios. En circuitos de corriente continua que contengan, adems de resistencias, con-densadores o bobinas los valores nales de las magnitudes circuitales, intensidades y tensiones,no se establecen de forma instantnea al cerrar el circuito. Se produce un regimen transitoriodonde las corrientes y voltajes enel circuito varan hasta alcanzar los valores nales enel llama-do estado estacionario. La existencia de transitorios se debe a los procesos de carga o descargaen el caso de los condensadores o a la aparicin de una fuerza electromotriz inducida enel casode las bobinas.Recticacin. La recticacin consiste en aprovechar las caractersticas no lineales del diodopara conseguir seales continuas (o al menos tensiones no negativas) a partir de una seal detipo armnico. Los recticadores son esenciales pues partiendo de la tensin alterna suminis-trada por la red elctrica permiten disponer de seales de continua necesarias para multitudde aparatos de uso cotidiano.Objetivos1. Familiarizase con el uso del osciloscopio y del generador de seales midiendo distintas sealesperidicas.2. Visualizar en el osciloscopiolas curvas correspondientes a los procesos de carga y descargade un condensador en un circuitoRC serie. Determinacin de la constante de tiempo en eltransitorio de carga.3. Visualizar el recticado de una seal armnica mediante un circuito formado por un diodo yuna resistencia (recticador de media onda).10Prctica2. Medidadesealesenelosciloscopio. 114. (*)1Visualizar enel osciloscopiolas curvas correspondientes a los procesos instauracin/anulacinde la intensidad en un circuito RL serie. Medicin de la constante de tiempo en el proceso desubida (instauracin).MONTAJE y REALIZACINI. Medida de una seal armnica1. Conecte la salida de 50 del generador de seales peridicas al osciloscipio usando el cableadecuado. Seleccione en la fuente la forma de seal sinusoidal (armnica) y sintonice la fre-cuencia segn indicaciones del profesor. Tome nota de la frecuencia que indica el generador.2. Visualice la seal en la pantalla del osciloscopioy mida el voltaje pico a pico (Vpp, que es eldoble de la amplitud) y el periodo de la seal usando la cuadrcula de la pantalla y sabiendo losvoltios por divisin en el eje vertical y el tiempo por divisin en el eje horizontal. Tome nota delos valores medidos as como de sus errores absolutos.Nota. Lasmedidas realizadas mediantela cuadrcula estntodas afectadas porun error absoluto de0,1 divisiones(la mitad de la sensibilidad de la cuadrcula). Segn esto, una medida deVppque d3,3cuadros,siendolaescalaverticalde2V/cuadro,deber anotarsecomoVpp = 3,3(0,1) cuadros 2V/cuadro =6,6(0,2) V. .3. Repita nuevamente la medidas del periodo y del Vpp mediante el uso de los cursores verticalesy horizontales, respectivamente, que proporciona el menu de cursores del osciloscopio. Tomenota de los valores medidos. Apunte tambin el valor de la frecuencia, 1/t , que proporcionala informacin de los cursores verticales.4. Utilizando el botn de measure, apunte los valores que proporciona de forma automtica parala frecuencia, periodo y Vpp el osciloscopio5. Cambie en el generador el tipo se seal a cuadrada y luego a triangular con el n simplementede visualizarlas.Tratamiento de datos y resultados. (A realizar fuera del laboratorio)Presente adecuadamente (sin olvidar sus unidades y errores absolutos) las medidas para el Vpp,periodo y frecuencia obtenidas anteriormente mediante el uso de la cuadrcula y los cursores.Compare las anteriores medidas con las que tambin obtuvo de forma automtica mediante elbotn measure.1Los objetivos sealados con un asterisco slo se realizarn si el tiempo asignado a la sesin lo permite.Prctica2. Medidadesealesenelosciloscopio. 12II. Transitorios RC(se adjunta estudio terico al nal del documento)1. Siguiendo las indicaciones del profesor, monte el circuito serie RC de la Fig.2.1 usando el gene-rador en modo deseales cuadradas. Tome nota de los valores nominales de la R y C utilizadasy mdalos tambin usando el polmetro para conrmar dichos valores.e( ) tRCIt ( )V tC( )V tR( )Figura 2.1: Circuitoserie RC conectado a ungenerador de seales cuadradas para el estudio del proceso de carga y descargade un condensador.2. Calcule numricamente el valor de la constante de tiempo =RC usando los valores nomina-les de R y C.3. Visualize en el canal 1 del osiloscopiola seal del generador y en el canal 2 la tensin en elcondensador. Ajuste el periodo de la seal de forma que pueda ver en canal 2 el transitorio decarga y descarga completo.4. Tome nota del valor mximo (Vpp) de la seal del generador (canal 1) y calcule el 63% de suvalor (V = 0,63Vpp). De acuerdo con la teora, se tarda un tiempo = RCen alcanzar dichovalor.5. Para visualizar mejor la seal del canal 2, suprima el canal 1, ample en la pantalla el ancode subida de la seal del canal 2 y je el nivel ms bajo de la misma en la parte inferior de lapantalla. Usando ahora los cursores del osciloscopio, mida el tiempo que emplea su seal enalcanzar el valor V. Anote el valor experimental as obtenido para en el proceso de carga.Nota. Aunque no se realice en esta prctica, es interesante indicar que la medida de la constante detiempo puede llevarse a cabo tambin en el transitorio de descarga.Tratamiento de datos y resultados. (A realizar fuera del laboratorio)Evaluacin de la tensin en el transitorio de subida del condensador para t = y t =4.Sustituya t = en la expresin (2.3) para el transitorio de subida del estudio terico adjunto ydemuestre que para dicho valor de tiempo la tensin en el condensador ha alcanzado apro-ximadamente el 63% de su valor nal. De igual forma, compruebe que parat = 4 la sealalcanza aproximadamente el 98% de su valor nal.Comparacin de los valores experimentales y nominalesCompare el valor obtenido para en el proceso de carga con el que se obtuvo haciendo uso delos valores nominales de R y C. Indique el porcentaje de diferencia.Prctica2. Medidadesealesenelosciloscopio. 13III. Recticador de media ondaEn este apartado veremos cmo un sencillo circuito formado por una resistencia en serie y un dio-do es capaz de recticar una seal armnica eliminando las partes de voltaje negativa de la misma.Debido a ello se denomina recticador de media onda.1. Monte el circuito de la Fig.2.2 consistente en un diodo en serie con una resistencia conectadosa un generador de seales sinusoidales. Fije una seal de frecuencia entre 50 y 1000 Hz.V tR( )SFigura 2.2: Montaje para ver la recticacin de media onda.2. Conecte la tensin del generador al canal 1 y la tensin en la resistencia al canal 2. Elija la mis-ma escala vertical (voltios/divisin)para poder comparar ambas seales y superpngalas enla pantalla. Haga un dibujo aproximado de lo que ve en pantalla. Tenga en cuenta la peque-a diferencia entre los valores mximos de ambas seales y estime aproximadamente su valorusando la cuadrcula de pantalla.Nota. Aunque no lo estudiaremos en esta prctica, es interesante indicar que es posible una recticacinde onda completa mediante el uso de ms diodos e incluso hacer una seal prcticamente constantemediante el uso adems de condensadores.Tratamiento de datos y resultados. (A realizar fuera del laboratorio)Muestre un dibujo con las formas de las seales que obtuvo en el laboratorio.Utilizando lo que aprendi sobre el diodo en la primera prctica, explique la forma de la sealrecticada.Trate tambin de justicar la pequea diferencia entre los valores mximos antes medida.Prctica2. Medidadesealesenelosciloscopio. 14(*) IV. Transitorios RL(se adjunta estudio terico al nal del documento)1. Monte el circuito serie RL de la Fig.2.3 utilizando el generador de seales cuadradas. Tome notade los valores nominales de R y L.RLIt ( )V tL( )e( ) tV tR( )Figura 2.3: Circuito serieRLconectado a un generador de seales cuadradas para el estudio del transitorio de subida ybajada.2. Calcule numricamente el valor de la constante de tiempo = L/R usando los valores nomi-nales de R y L.3. Visualice en el canal 1 la seal del generador y en el canal 2 la tensin en la resistencia, que esproporcional a la intensidad en el circuito. Ajuste el periodo de la seal de forma que pueda verlos transitorios de subida y bajada completos.4. Tome nota del valor mximo (Vpp) de la seal del generador (canal 1) y calcule el 63% de suvalor (V = 0,63Vpp). De acuerdo con la teora, se tarda un tiempo = L/Ren alcanzar dichovalor.5. Para optimizar la visualizacin de la seal del canal 2, suprima el canal 1, ample en la pantallael anco de subida de la seal del canal 2 y je el nivel ms bajo de la misma en la parte inferiorde la pantalla. Usando ahora los cursores del osciloscopio, mida el tiempo que emplea su sealen alcanzar el valor V. Anote el valor experimental as obtenido para en el proceso de subida.Nota. Al igual que se indic al estudiar el circuito RC, la medida de la constante de tiempo puede llevarseigualmente a cabo en el transitorio de bajada, aunque no lo realizaremos en esta prctica.Tratamiento de datos y resultados. (A realizar fuera del laboratorio)Evaluacin de la expresin correspondiente al proceso subida para t =Utilizando la expresin (2.11), demuestre que para t = la intensidad ha alcanzado aproxima-damente el 63% de su valor nal.Comparacin de los valores para la constante de tiempoCompare el valor experimental obtenido para con el calculado haciendo uso de los valoresnominales de R y L. Indique el porcentaje de diferencia.Prctica2. Medidadesealesenelosciloscopio. 15APNDICE.Uso de seales cuadradas para la visualizacin de los transitoriosEn la prctica los cuatro transitorios antes descritos puede visualizarse en el osciloscopio utilizandouna seal periodica cuadrada conectada el circuito correspondiente. Cuando la seal pasa de ceroa un cierto valor V0 es como si en ese momento conectsemos una batera de fuerza electromotrizE =V0 y cuando la seal cae a 0 voltios es como si sustituysemos la fuente por un cortocircuito endicho instante.Transitorios de carga y descarga en un circuito RC serieTransitorio de cargaEnla Fig.2.4(a) se representa el circuitoempleadopara estudiar la carga del condensador a travs de laresistencia enserie R empleando una fuente de continua. Para estudiar la evolucindel circuito desdeeRCIt ( )V tC( )V tR( )RCIt ( )V tC( )V tR( )( ) a ( ) bFigura 2.4: (a) Circuito serie RCconectado a una fuente de continua en proceso de carga. (b) Circuito RCpara la descargade un condensador.t =0, momento en que conectamos la fuente, en adelante debemos resolver la siguiente ecuacin deKirchhoff para la malla:E =VR(t ) +VC(t ) (2.1)donde la tensin en la resistencia ser VR(t ) = RI (t ), siendo la intensidad a su vezI (t ) = dq(t )/dt(q(t ) es la carga en el condensador) ya que la intensidad representa la cantidad de carga por unidadde tiempo que est circulando y por tanto llegando al condensador. Teniendo en cuenta que la cargaen el condensador puede escribirse como q(t ) =CVC(t ), podemos expresar pues VR(t ) en funcin delVC(t ), quedando la ecuacin (2.1) como sigueE =RCdVC(t )dt+VC(t ) . (2.2)La solucin matemtica a la ecuacin (2.2) que cumple adems con el requerimiento de que el voltajeinicial en el condensador fuese nulo (ya que suponemos que estaba descargado en t =0) esVC(t ) =E(1et /) y por tanto q(t ) =CVC(t ) =Q(1et /) (2.3)donde = RCse denomina constante de tiempo y siendo Q = CE. Por su parte la intensidad en elcircuito la obtenemos sustituyendo en I (t ) =CdVC(t )/dt :I (t ) =ERet /. (2.4)Vemos pues que la tensin y la carga aumentan de acuerdo con una ley exponencial hasta sus valoresnales, E yQ =CE respectivamente, mientras que la intensidad disminuye desde unvalor inicial E/RPrctica2. Medidadesealesenelosciloscopio. 16hacia cero. Para una valor de t =4 puede comprobarse que la tensin y la carga en el condensadorhan alcanzado el 98% de sus valores nales y podemos considerar que se ha alcanzado el estaciona-rio. La intensidad, por su parte, disminuye en un 98% del valor inicial durante dicho intervalo.Transitorio de descargaEn la Fig.2.4(b) se representa el circuito empleado para estudiar la descarga del condensador inicial-mente cargado a travs de la resistencia en serie R. Eneste caso para estudiar la evolucin del circuitodesde t = 0, momento en que cerramos el circuito, en adelante debemos resolver la siguiente ecua-cin de Kirchhoff para la malla:0 =VR(t ) +VC(t ) (2.5)donde la tensin en la resistencia ser ahora VR(t ) =RI (t ), siendoI (t ) =dq(t )/dt . Dado que q(t ) =CVC(t ), podemos expresar VR(t ) en funcin del VC(t ) quedando la ecuacin (2.5) como sigue:0 =RCdVC(t )dt+VC(t ) . (2.6)La solucin matemtica a la ecuacin (2.6) que cumple con el requerimiento de que la carga inicialen el condensador fuese Q y, por tanto, el voltaje inicial V0=Q/C esVC(t ) =V0 et /y por tanto q(t ) =CVC(t ) =Q et /. (2.7)Por su parte la intensidad en el circuito la obtenemos sustituyendo en I (t ) =CdVC(t )/dt :I (t ) =V0Ret /. (2.8)El signo menos de la intensidad indica que va al contrario del dibujo, es decir, la carga pasa de la placapositiva hacia la negativa.Vemos pues que la tensin en el condensador, su carga y la intensidad en el circuito disminuyen deacuerdo con una ley exponencial hasta anularse nalmente. Nuevamente se puede comprobar quepara una valor de t =4 las citadas magnitudes han disminuido en un 98% desde sus correspondien-tes valores iniciales. Si partimos de un condensador inicialmente cargado con una fuente de fuerzaelectromotizEentonces V0=Een la ecuaciones (2.7) y (2.8).Grcas VC(t ) e I (t ) en los procesos carga y de descarga estudiadosFinalmente, en la Fig2.5(a) y (b) se muestran respectivamente las curvas para la tensin e intensidaden los procesos estudiados de carga y descarga correspondientes a los circuitos de las Fig.2.4(a) y (b).V tC( )It ( )teeRV tC( )It ( )tRV0V0(a) (b)Figura 2.5: (a) Grcas para la tensin en el condensador y la intensidad en el proceso de carga. (b) Grcas para la tensinen el condensador y la intensidad en el proceso de descarga.Prctica2. Medidadesealesenelosciloscopio. 17Transitorios en un circuito RL serieTransitorio de subidaEn la Fig.2.6(a) se muestra el circuito empleado para estudiar el transitorio de subida en un circuitoRL. Estudiaremos cmoevolucionalaintensidad al conectarla fuente decontinua. Para estudiareRLIt ( )V tL( )V tR( ) RLIt ( )( ) a ( ) bV tL( )V tR( )Figura 2.6: (a) Circuito RL conectado a una fuente de continua para estudio del transitorio de subida de la intensidad. (b)Circuito RL para estudio del transitorio de bajada de la intensidad.la evolucin del circuito desdet = 0, momento en que conectamos la fuente, debemos resolver laecuacin de Kirchhoff correspondiente a este caso:E =VL(t ) +VR(t ) , (2.9)donde VR(t ) = RI (t ) y siendo VL(t ) = LdI (t )/dtde acuerdo con la ley de Faraday. Empleando estasexpresiones para las tensiones en funcin de la intensidad, la ecuacin (2.9) queda como sigue:E =LdI (t )dt+RI (t ) . (2.10)La solucin matemtica de la ecuacin (2.10) que cumple adems con el requerimiento de que ini-cialmente la intensidad sea nula esI (t ) =ER(1et /) , (2.11)donde =L/R se denomina constante de tiempo. Por su parte, la tensin en la bobina la obtenemossustituyendo en VL(t ) =LdI (t )/dtVL(t ) =Eet /. (2.12)Vemos pues que la intensidad en el circuito aumenta de acuerdo con una ley exponencial hasta susvalor nal,E/R, mientras que la tensin inducida en la bobina disminuye desde una valor inicialEhasta hacerse nula. Para una valor det = 4 puede comprobarse que la intensidad ha alcanzado el98% de su valor nal y podemos considerar que se ha alcanzado el estado estacionario. La tensin enla bobina, por su parte, disminuye en un 98% de su valor inicial durante dicho intervalo.Prctica2. Medidadesealesenelosciloscopio. 18Transitorio de bajadaEn la Fig.2.6(b) se muestra el circuito empleado para estudiar el transitorio de bajada en un circuitoRL. Estudiaremos cmo disminuye la intensidad al desconectar la batera y sustituirla en el mismoinstante, t =0, por un cortocircuito. 2Para dicho estudio debemos resolver la ecuacin de la malla que en este caso sera0 =VL(t ) +VR(t ) , (2.13)donde nuevamente VR(t ) =RI (t ) y VL(t ) =LdI (t )/dt . Sustituyendo en la ecuacin (2.13) obtenemosla ecuacin para la intensidad0 =LdI (t )dt+RI (t ) . (2.14)La solucin matemtica a la ecuacin (2.14) que cumple con el requerimiento de que la intensidadfuese inicialmente I0 (se supone que I0 se estableci previamente mediante el proceso anterior des-crito en el transitorio de subida) esI (t ) = I0et /. (2.15)Por su parte la tensin en la bobina podemos obtenerla sustituyendo en VL(t ) = LdI (t )/dto bienconsiderando que VL(t ) =VR(t ) de acuerdo con (2.13), luegoVL(t ) =RI0et /. (2.16)El signo menos de la tensin en la bobina indica que el potencial a la salida de la misma es mayorque a laentrada (siguiendoel sentidodadopor la intensidad),es decir,que dichatensin tiendea reforzar a la intensidad intentando que sta no disminuya (de acuerdo con la ley de Faraday, seopone a la variacin de la intensidad, esto es, a su disminucin en este caso).Vemos pues que la intensidad en el circuito y la tensin inducida en la bobina disminuyen de acuerdocon una ley exponencial hasta anularse nalmente. Puede comprobarse que para t = 4 las citadasmagnitudes han disminuido en un 98% desde sus correspondientes valores iniciales.Grcas I (t ) y VL(t ) en los transitorios de subida y bajada estudiadosFinalmente, en la Fig2.7(a) y (b) se muestran respectivamente las curvas para intensidad y la tensininducida en la bobina en los procesos antes descritos correspondientes a los circuitos de la Fig.2.6(a)y (b).V tL( )It ( )teeRIt ( )tI0(a) (b)RI0V tL( )Figura 2.7: (a) Grcas para la intensidad y tensin en la bobina en el transitorio de subida. (b) Grcas para la intensidady tensin en la bobina el proceso de bajada.2Segn se indica al nal del estudio, veremos que dicha conmutacinpuede llevar a cabo fcilmente mediante el uso deuna seal cuadrada peridica.Prctica 3Corriente AlternaConceptos ImplicadosSeales alternas. Impedancia. Fasores . Resonancia.Principios fsicosLos circuitos en regimen de corriente alterna compuestos por elementos lineales (R,L y C) puedenanalizarse utilizando las reglas de Kirchhoff de forma similar a los circuitos de corriente continuacompuestos slo por resistencias gracias a la tcnica de fasores y al concepto de impedancia (vaseapndice terico que se adjunta al nal de la prctica).Objetivos1. Medida, a diferentes frecuencias, de la impedancia de una resistencia, de una bobina y de uncondensador mediante el uso de los polmetros.2. Medida experimental de la impedancia de una asociacinRCserie mediante el uso del osci-loscopio.Vericacinde las regla de asociacinde impedancias en serie. Realizacinde undiagrama de fasores mediante medidas realizadas con el voltmetro.3. Medida aproximada de la frecuencia de resonancia en un circuito RLC serie usando el oscilos-copio.19Prctica3. CorrienteAlterna 20MONTAJE Y REALIZACINI. Estudio de impedancias elementalesEn este apartado mediremos, usando los polmetros, el mdulo de la impedancia de una resistencia,un condensador y una bobina a dos frecuencias diferentes. Veremos cmo vara con la frecuencia ydeterminaremos experimentalmente los valores de R, Cy L usados.1. Monte el circuito de la Fig.3.1 colocando una resistencia en el lugar indicado porZy je unaseal sinusoidal de 1 kHz en el generador. Anote el valor nominal de R.AIef.VVef.ZFigura 3.1: Circuito para determinar el modulo de la impedancia de un elemento.2. Variando el mando de amplitud del generador tome nota de 2 parejas de valores ecaces VeeIe (con sus respectivas unidades) mediante los polmetros. Usando dichas medidas, calculeel mdulo de la impedancia |Z| =Ve/Ie para cada pareja. Compruebe que los dos valores ob-tenidos son similares y asigne la media como valor experimental de |Z| a dicha frecuencia (noolvide sus unidades).3. Cambie ahora a una frecuencia de 2 kHz y repita el proceso descrito en el apartado anteriorpara obtener |Z| a esta nueva frecuencia.4. Sustituya ahora la resistencia por un condensador, anote su valor nominal y repita todo el pro-ceso anterior a n de determinar experimentalmente |Z| en un condensador para las dos mis-mas frecuencias (1 kHz y 2 kHz).5. Finalmente, sustituya el condensador por una bobina, anote su valor nominal y repita nueva-mente el proceso anterior.Tratamiento de datos y resultados. (A realizar fuera del laboratorio)1. Compruebe en cada uno de los casos anteriores (R, Cy L) si el valor experimental de |Z| varacon la frecuencia y justique dicha variacin a la vista de la expresin terica correspondiente.2. Partiendo de los valores experimentales de |Z| para 1 kHz, determine los valores de R, Cy L.Calcule el porcentaje de diferencia de dichos valores experimentales respecto de los valoresnominales correspondientes.Prctica3. CorrienteAlterna 21II. Estudio de un circuito RC serieEn este punto obtendremos el valor experimental para la impedancia de un circuito serie RC usandoel osciloscopio y vericaremos que el resultado obtenido coincide con lo que predice la ley de aso-ciacin de impedancias. Completaremos el estudio con el diagrama de fasores obtenido mediantemedidas realizadas con el voltmetro.1. Monte el circuito RCserie de la Fig.3.2 utilizando R =1 k y C = 100 nF y je en el generadoruna seal sinusoidal de 1 kHz (el profesor puede indicarle otros valores diferentes para R, Cyla frecuencia).RCFigura 3.2: Circuito RC serie.2. Conecte el canal 1 del osciloscopio para medir la tensin total entre los extremos de la asocia-cin RC y el canal 2 para medir la tensin en R.3. Mediante el botn measure del osciloscopio mida la tensin pico a pico (Vpp) de ambas sealesy tome nota de dichos valores con sus unidades.4. Calcule el valor pico a pico de la intensidad en el circuito dividiendo Vpp en la resistencia (canal2) entre el valor nominal de R (ley de Ohm) y anote el valor obtenido con sus unidades.5. Utilizando los cursores verticales (para medir tiempos) mida el retraso temporal, t , del ca-nal 2 respecto del canal 1 y apntelo con sus unidades (caso de que el canal 2 se adelante alcanal 1 asigne signo negativo a dicho retraso).1De esta forma obtenemos tambin el retraso (oadelanto) de la intensidad respecto de la tensin total, t , ya que la intensidad est en fase conla tensin en la resistencia (ley de Ohm).6. Retire del circuito las sondas del osciloscopio y mida con el voltmetro la tensin ecaz entrelos extremos de la asociacin RC, Ve, y las tensiones ecaces en R (VR,e) y y C (VC,e).1Un retraso temporal negativo indica realmente un adelanto en tiempo.Prctica3. CorrienteAlterna 22Tratamiento de datos y resultados. (A realizar fuera del laboratorio)Obtencin del valor experimental de la impedancia1. Calcule el mdulo de la impedancia, |Z|, como el cociente entre los valores pico a pico dela tensin total y de la intensidad.2. Calcule el ngulo de la impedancia, Z, como la diferencia de fase entre la tensin totaly la intensidad, Z = V I(note que Zes el retraso en radianes de la intensidad res-pecto de la tensin). Para ello utilice la igualdad V I =t , donde tes el retraso (oadelanto) en tiempo de la intensidad respecto de la tensin antes medido.3. Finalmente exprese la impedancia como unnmero complejo escrito enforma binmica:Z = |Z| cos(Z) + j |Z| sen(Z) (no olvideel signo en el retraso angular caso de que seanegativo).Comparacin con el valor terico de la impedancia de la asociacin1. Calcule el valor terico de la impedancia serie, Z =R j /(C), usando los valores nomi-nales de los elementos anotados anteriormente.2. Compare los valores de la parte real e imaginaria de Z obtenidos experimentalmente conlos calculados tericamente e indique los porcentajes de diferencia respecto de los valorestericos. Si son similares, ello es un indicativo de que se verica la ley de asociacin deimpedancias. Comente sus propios resultados.Diagrama de fasores1. Represente los fasores VR y VCusando como mdulos los valores ecaces medidos VR,e yVC,e respectivamente y suponiendo (como predice la teora) que enC hay un adelanto de90ode la intensidad respecto de la tensin y en R igualdad de fase.NOTA: El uso de los valores ecaces en vez de los valores mximos como mdulo de los fasoressimplemente escala el dibujo en un factor

2.Dibuje el fasor para la tensin total, V , como suma de los anteriores (regla del paralelo-gramo) y calcule matemticamente su mdulo.Compare el valor medido para Ve con el valor calculado indicando el porcentaje de dife-rencia.2. A la vista del diagrama de fasores, explique por qu los valores ecaces medidos para lastensiones NO verican la ecuacin de la malla; esto es, por qu Ve=VR,e+VC,e.Prctica3. CorrienteAlterna 23III. Resonancia en un circuito RLC serieEn este punto mediremos mediante el osciloscopio la frecuencia de resonancia de un circuitoRLCserie y lo comparemos con el valor que predice la teora. Adems llevaremos a cabo el estudio de lacurva de resonancia.1. Calcule el valor terico de la frecuencia de resonancia del circuito RLCserie representado enla Fig. 3.3 conR = 100,L = 1mH y C = 1nF (el profesor puede indicarle otros valores si loconsidera oportuno). Para ello utilice la expresinfr=1/(2

LC).Tome nota del valor calculado.2. Sintonice en el generador una seal sinusoidal de frecuencia algo menor a la frecuencia cal-culada (unos 20kHz menor si ha usado los valores indicados antes para los elementos) y de15V pico a pico (use el osciloscopio para medir dicha tensin). No vare la amplitud jada en elgenerador durante el resto de la prctica.Figura 3.3: Circuito RLC serie para el estudio de la resonancia.3. Monte ahora el circuito RLCde la Fig.3.3 utilizando los citados valores R = 100,L = 1mH yC =1nF (o, en su caso, los que le indic el profesor).4. Conecte el canal 1 del osciloscopio para medir la tensin en R y vare la frecuencia del genera-dor hasta que observe un mximo para el valor pico a pico, Vpp (utilice el botn measure paraobservar el valor de Vpp en canal 1).Anote la frecuencia indicada por el generador a la que observa dicho mximo (fr) y el corres-pondiente valor de Vpp.(Note que la frecuencia anterior ser la de resonancia dado que un mximo en la tensin en laresistencia se corresponde con un mximo de la intensidad en el circuito pues son proporcio-nales como indica la ley de Ohm).5. En una tabla de dos columnas, tome nota de los valores de la tensin pico a pico en la resisten-cia para las siguientes frecuencias (en kHz): 60, 80, 100, 120, 140, 145, 150, 155, 160, 165, 170,175, 180, 200, 220, 240, 260, 280 y 300.Prctica3. CorrienteAlterna 24Tratamiento de datos y resultados. (A realizar fuera del laboratorio)Comparacin entre los valores experimental y terico de la frecuencia de resonancia1. Compare los valores terico y experimental para la frecuencia de resonancia indicando elporcentaje de diferencia del valor experimental respecto del terico.Representacin grca de la curva de resonancia(Aviso. Salvo indicacin del profesor, para llevar a cabo este punto se recomienda usar un pro-grama para representacin de funciones, por ejemplo el Zgrapher que es de libre distribucin.)1. Represente en una grca mediante puntos los valores de la tabla del voltaje pico a picoen la resistencia (Vppen el ejeY ) frente a los valores de la frecuencia (en kHz) (f en eleje X) (no una los puntos representados entre s mediante segmentos rectos).2. Demuestre que la expresin terica para el valor de la tensin pico a pico en la resistenciaen funcin de la frecuencia puede escribirse comoVpp(f ) =VgR_(R +Rg)2+_2f L 12f C_2donde Vges la tensin proporcionada por el generador y Rg es la resistencia interna delmismo.3. Enla grca del punto1, superponga la curva terica correspondiente a la representacinde la anterior funcinVpp(f ), tomandoVg = 15V (la tensin que debi ser jada en elgenerador),Rg = 50 y los valores deR, Ly Cusados en el laboratorio (se recomiendausar los valores de las variables en el S.I.).Prctica3. CorrienteAlterna 25APNDICE.Nociones bsicas sobre corriente alternaEn circuitos formados por resistencias, bobinas y condensadores conectados a un generador de co-rriente alterna, las diferentes tensiones e intensidades en el circuito son sinusoidales (o armnicas),es decir, de la forma V (t ) =V0cos(t +v) e I (t ) = I0cos(t +i) respectivamente, siendo =2f lafrecuencia angular (radianes/segundo) y f la frecuencia (Hz). En otras palabras, cualquier seal en elcircuito es de la forma genricaA(t ) = A0cos(t +) ,y, dado que es la misma para todas las seales, cada seal quedar completamente descrita por dosparmetros: su amplitudA0 y su fase . CONCEPTO de FASORLa tcnica de los fasores se basa en asignar un nmero complejo a cada seal armnica. Tiene porobjeto facilitar el estudio de sistemas fsicosdonde las magnitudes varen de forma armnica. Enesencia, consiste en asignar a cada seal un nmero complejo (con su parte real e imaginaria) quecontenga la doble informacin, amplitud y fase, que describe a la seal. Es importante sealar quepreviamente a asignar los fasores escribiremos siempre las seales usando el coseno (de seno a cosenose pasa fcilmente restando /2 al ngulo: sen() =cos(/2)).En la Fig.3.4 se muestra en el plano complejo cmo se lleva a cabo la asignacin del fasor a la sealarmnica genrica antes mencionada:fRealImagA0A a jb =+abAFigura 3.4: Asignacin del nmero complejo o fasor, A, asociado a la seal A(t) = A0cos(t +).El fasor A asociado a A(t ), puede describirse dando su mdulo y fase:A = A0 ,denominndose representacin mduloargumento def fasor (en el campo complejo los ngulos sedenominan argumentos), o bien se puede expresar en la formaA =a + j b ,denominada forma binmica. Ambas formas contienen idntica informacin pudindose pasar f-cilmente de una a la otra segn se deduce fcilmente en la Fig.3.4:a = A0cos() b = A0sen()A0=_a2+b2=arctan(b/a) .Existe una tercera representacin denominada exponencial y que se basa en el uso de la identidad deEuler para la exponencial compleja, segn la cual: ej =cos+ j sen. Utilizando las expresiones yaPrctica3. CorrienteAlterna 26vistas junto con la identidad de Euler se tiene queA =a +b j= A0cos+ j A0sen() = A0(cos+ j sen)= A0ej .La expresin obtenida A0ej es la representacin exponencial del fasor A.Tras llevar a cabo un anlisis que permitiera obtener los fasores en un circuito en rgimen de alterna,la determinacin de las correspondientes seales instantneas (en funcin del tiempo) sera inme-diata, pues la amplitud y fase determinan totalmente a cualquier seal armnicaA(t ), segn vimosanteriormente.Es usual llevar a cabo las derivadas de seales armnicas. El resultado es tambin una seal armnica y tendr su corres-pondiente fasor asociado. As, si A(t) = A0cos(t +), entoncesdA(t)dt=A0sen(t +) =A0cos(t ++/2) =B0cos(t +)por tanto, el fasor Basociado a la derivada tiene como mduloB0 = A0y como fase = +/2. Utilizando ahora larepresentacin exponencial es inmediato demostrar la relacin siguiente:B = j A . IMPEDANCIAEn el anlisisde circuitosdecorriente alterna quecontengan resistencias(R), bobinas (L)ycon-densadores (C) se debe partir de las relaciones entre la tensin, V (t ), y la intensidad, I (t ), en dichoselementos:V (t ) =RI (t ) ResistenciaV (t ) =LddtI (t ) BobinaI (t ) =CddtV (t ) CondensadorLa relacin anterior enlas resistencia no es ms que la Ley de Ohm; por su parte, en la bobina pone demaniesto el fenmeno de autoinduccinde acuerdo conla Ley de Faraday; por ltimo, la relacinenel condensador surge de la expresin para la carga en el mismo Q(t ) =CV (t ) junto con la denicingeneral de intensidad instantnea, I (t ) =dQ(t )/dt .Enregimen armnico, tanto las funciones como las derivadas que aparecenen las relaciones anterio-res sern funciones armnicas. Si tomamos fasores en dichas expresiones y utilizamos la expresinya vista para el fasor asociado a la derivada, las relaciones temporales entre tensin e intensidad setransforman en sus correspondientes relaciones fasoriales V /I :V =R I ResistenciaV = j LI BobinaV =j1CI Condensador.A la vista de lo anterior, de forma general la relacin entre el fasor tensin e intensidad puede escri-birse comoV = Z I ,Prctica3. CorrienteAlterna 27donde Zes, en general, un nmero complejo (NO un fasor) denominadoimpedancia que relacionalos fasores tensin, V , e intensidad, I , en un elemento R, L o C. Las unidades de la impedancia en elS.I. sern voltio/amperio=ohmio, .La denicin de impedancia Z = V /Ise generaliza tambin para cualquier asociacin que contengaR,Ly C, siendo Ve I los fasores asociados a la tensin entre los extremos de la asociaciny a laintensidad que la circula, respectivamente. Finalmente, es interesante relacionar los mdulos y fasesde los fasores Ve Icon el mdulo y fase de la impedancia. As, teniendo en cuenta la propiedad delcociente entre nmeros complejos segn la cual el mdulo de un cociente es el cociente de los mdulosy el argumento del cociente es la diferencia de argumentos (fases) entre numerador y denominador, setiene queZ =VI|Z| =V0I0y Z =V I,donde |Z| es el mdulo de Z, Vy Ison las fases de los fasores tensin e intensidad, respectivamen-te, y Zel argumento de la impedancia. Esta propiedad se emplear en los ejemplos que se detallanms adelante.Como comentario nal, cabe resaltar que la similitudformal existente entre la ley de Ohm (vlidaslo para resistencias) y la ecuacin V = ZI (vlida para R, L y C y sus asociaciones) en el dominio fa-sorial para circuitos de alterna, reducir el anlisis de estos ltimos a trminos formalmente idnticosa los correspondientes al anlisis de circuitos en corriente continua con resistencias y bateras me-diante las reglas de Kirchhoff, salvo el hecho de que las magnitudes sern ahora, en general, nmeroscomplejos. ORIGEN DE FASESLas seales de tensin e intensidad en un circuito de corriente alterna tienen todas la misma fre-cuencia que la marcada por el generador, diferencindose tan slo en la amplitud y fase. Siempre esposible elegir fase 0 radianes en una de la seales del circuito, lo que equivale a elegir el origen detiempos, t =0, cuando dicha seal est en un mximo (de esta forma la seal de fase cero ser de laformaA(t ) =A0cos(t +0) =A0cos(t ), que en t = 0 se encuentra en un mximo). La fase del res-to de las seales queda entonces condicionada a la eleccin realizada ya que depender del retrasoo adelanto respecto a la elegida como origen de fase. En la prctica, lo normal es elegir fase 0 en laseal suministrada por el generador que ser pues de la forma V (t ) =V0cos(t ). VALORES EFICACESAl medir mediante polmetros seales de intensidad o tensin en rgimen alterno (posicin AC en elaparato), la lectura del polmetro proporciona la denominada magnitud ecaz de la seal. En concre-to, si la seal instantnea (de tensin o intensidad) es de la forma A(t ) = A0cos(t +), su valor ecazseraAe= A0/

2 .Note que el valor ecaz no da informacin sobre la fase de la seal medida. Los valores ecaces tie-nen especialmente signicado cuando se estudia la potencia en CA, apareciendo el factor 1/

2 trasrealizar determinados promedios de potencia. EJEMPLO de ANLISIS de CIRCUITOS UTILIZANDO TCNICA FASORIALComo se mencion anteriormente, el anlisis de circuitos en rgimen de corriente alterna se puedellevar a cabo de forma muy simple utilizando la tcnica de fasores. A continuacin, se analizarn doscircuitos utilizando la tcnica de fasores. El anlisis pondr de maniesto cmo dicha tcnica permitePrctica3. CorrienteAlterna 28en gran medida trasladar el formalismo de corriente continua para resolver las ecuaciones circuitalesque resultan de aplicar las reglas de Kirchhoff en circuitos en rgimen armnico.Anlisis de un circuito serieEn el dominio fasorial, la ley de Kirchhoff para el circuito serie de la Fig.3.5 se escribe como sigue:Z2V2V1VZ1IFigura 3.5:V =V1+V2= Z1I +Z2I (3.1)V = (Z1+Z2)I = Z Isiendo, por tanto, Z = Z1+Z2 la impedancia total del circuito. Conocido el fasorVdel generador, elfasorI puede calcularse comoI =VZ,y consecuentemente determinar tambinV1=I Z1 yV2= I Z2 a partir del valor deI antes obtenido.Si se desea la relacin entre los valores ecaces de la tensin del generador y la intensidad, bastarecordar que dichos valores ecaces son los mdulos de los fasores divididos por

2. As, partiendode la igualdad vista ms arriba V0=|Z|I0, dividiendo ambos miembros por

2 se obtieneVe =|Z|Ie ,donde |Z| =|Z1+Z2| es el mdulo de la impedancia total de la asociacin serie.En la Fig.3.6 se ha representado el diagrama fasorial correspondiente a los fasores tensinV ,V1 yV2. Ala vista de este diagrama puede concluirse tambin la siguiente relacin para los valores ecacesde las tensiones representadas:Ve=_V2e,1+V2e,2+2Ve,1Ve,2cos(12) .(ntese que esta expresin sera vlida tambin con los valores mximos V0,i, ya que son proporcio-nales a los ecaces). Como nota nal de inters, cabe indicar que en el anterior diagrama fasorialpuede verse cmo se verica la ecuacin de Kirchhoff:V =V1+V2 (regla del paralelogramo para lasuma de vectores vlida tambin para la suma de fasores).En el caso particular de que los elementos del circuito serie fuesen una resistencia (R) y un condensador (C),la impedancia total de la asociacin seraZ =R +jC, siendo su mdulo: |Z| =_R2+12C2.por tanto, se tiene (vase ms arriba el apartado relativo la impedancia)Ve=Ie|Z| =Ie_R2+12C2, y V I =Z =arctan_1RC_.Prctica3. CorrienteAlterna 29V~V~1V~2f1f2fFigura 3.6: Diagrama fasorial de tensionesZ2 Z1 VI1I2 IFigura 3.7: Anlisis de un circuito paraleloUtilizando la tcnica fasorial en el circuito paralelo de la Fig.3.7,la ley de Kirchhoff para los nudos conduce aI = I1+ I2 .Al estar en paralelo, las tensiones en los dos dispositivos sern idnticasV1=V2=V.En este caso, conocido el fasorVdel generador, puede calcularseI como sigue:I = I1+ I2=VZ1+VZ2=V_1Z1+1Z2_=VZ,donde Z1= Z11+Z12, siendo Zla impedancia total de la asociacin paralelo. Ntese que la expre-sin obtenida es formalmente igual a la correspondiente a la asociacin en serie de resistencias vistaen corriente continua.Para los valores ecaces se tendra nuevamente la siguiente relacin:Ve=|Z|Ie ,y del diagrama fasorial para intensidades, Fig.3.8, se obtiene adems la relacinIe=_I2e,1+I2e,2+2Ie,1Ie,2cos(12)En el caso particular de que los elementos del circuito paralelo fuesen una resistencia (R) y un condensador(C), la impedancia total de la asociacin vericara:1Z=1R+ j C ,Prctica3. CorrienteAlterna 30II1I2f1f2fFigura 3.8: Diagrama fasorial de intensidadesy por tanto, operando se obtiene queZ =R1+ j RC, siendo su mdulo: |Z| =R_1+(RC)2.por tanto, en este casoVe=|Z| Ie=R Ie_1+(RC)2, y V I =Z =arctan(RC) .Prctica 4Tratamiento de ErroresLas medidas de las diferentes magnitudes fsicas que intervienen en una experiencia dada, yase hayan obtenido de forma directa o a travs de su relacin mediante una frmula con otras mag-nitudes medidas directamente, nunca pueden ser exactas. Debido a la precisin limitada que todoinstrumento de medida tiene, as como a otros factores de distinta naturaleza que ms adelante con-sideraremos, debe aceptarse el hecho de que no es posible conocer el valor exacto de ninguna magni-tud. Por tanto, cualquier resultado numrico obtenido experimentalmente debe presentarse siempreacompaado de un nmero que indique cunto puede alejarse este resultado del valor exacto.4.1. Error absoluto y error relativoEn general, se dene como error absoluto de una medida a la diferencia existente entre el valorexacto de la magnitud y el valor obtenido experimentalmente. Ahora bien, como no podemos saberel valor exacto, tampoco podemos conocer el error absoluto as denido. El objetivo de la teora deerrores es la estimacin de la incertidumbre asociada a un resultado dado. A esta incertidumbre se ledenomina tambin error absoluto, y es esta segunda denicin la que nosotros utilizaremos.El resultado experimental para una magnitud m lo expresaremos como sigue:m(m) (4.1)siendo m el error absoluto. El doble signo se coloca porque el error puede producirse por exceso opor defecto. No obstante, el error absoluto de una medida no nos informa por s solo de la bondad dela misma. Es evidente, que no es igual de grave tener unerror absoluto de 1 cm. al medir la longitud deuna carretera que al medir la longitud de un folio. Por ello, se dene como error relativo al cociente:mm(4.2)que a veces se multiplica por cien, cualicando la incertidumbre en porcentaje de la medida realiza-da.4.2. Clasicacin de los erroresFundamentalmente, los errores se clasican en dos grandes grupos: errores sistemticos y erro-res casuales.31Prctica4. TratamientodeErrores 321. Errores sistemticos. Son errores que se repiten constantemente en el transcurso de unexperi-mento, y que afectan a los resultados nales siempre en el mismo sentido. Se pueden distinguirvarias fuentes de errores sistemticos:Errores de calibracin (o errores de cero) de los aparatos de medida. Es el caso, por ejem-plo, del error que se comete cuando la aguja de un aparato analgico de medida (ampe-rmetro, balanza, ...) no marca cero en la posicin de reposo. Este tipo de errores tambinpueden aparecer en los aparatos electrnicos digitales como consecuencia de una malacalibracin interna.Condiciones experimentales no apropiadas. Ocurren cuando se utilizan los instrumentosde medida bajo condiciones de trabajo (presin, temperatura, humedad, frecuencia de lared, etc.) diferentes de las recomendadas.Frmulas o modelos aproximados.Este tipo de error aparece al pretender obtener de-masadas cifras signicativas en los resultados extrados de un modelo o de una frmulaaproximados. Por ejemplo, si se quiere medir la aceleracin de la gravedad con ms detres cifras signicativas no se puede usar la frmula g = 42L/T2(pndulo simple) por-que sta es una aproximacin que supone una serie de condiciones ideales, a saber: La cuerda no tiene masa (en la prctica s la tiene, entrando en juego el momento deinercia del hilo y cambiando la longitud efectiva del pndulo). El extremo de suspensin del hilo es puntiforme (en realidad el pndulo oscila alre-dedor de un eje de grosor nito). El roce con el aire es nulo (nunca puede reducirse a cero el rozamiento con el aire, yesto ocasiona que las oscilaciones vayan decreciendo en amplitud y que el periodode oscilacin no sea constante). Las oscilaciones tienen lugar sobre un plano jo (por mucho cuidado que se ponga,existen siempre pequeas oscilaciones laterales y rotaciones adicionales de la masaen suspensin. La amplitud de oscilacin debe ser pequea (la frmula anterior es tanto mejor cuan-to mas prxima a cero sea la amplitud de oscilacin).Por denicin, una medida es tanto ms exacta cuanto menores son los errores sistemticos.2. Errores casuales o aleatorios. Como el propio nombre indica, no existe una causa predeter-minada para este tipo de errores. Son imposibles de controlar y alteran, tanto en un sentidocomo en otro (por exceso y por defecto), la medida realizada. Este tipo de errores se someten aestudios estadsticos. Existen varias fuentes de errores casuales:El cambio durante el experimento de las condiciones en el entorno, provoca errores cuyaevaluacin es slo posible a partir de un estudio estadstico hecho con medidas repetiti-vas.Falta de denicin en la cantidad a medir, lo que provoca valores diferentes en las dis-tintas medidas realizadas. Por ejemplo, el dimetro de una esfera metlica real no es unacantidad denida exactamente porque la esfera no es perfecta; si uno mide el valor devarios dimetros encontrar valores numricos diferentes.Errores de precisin, debidos a que el aparato de medida tiene una sensibilidad dada. Sedene la sensibilidad como la unidad ms pequea que puede detectar un aparato demedida.Errores de apreciacin, debidos a posibles defectos (visuales, auditivos, etc.) del observa-dor, o tambin a la estimacin a ojo que se hace de una cierta fraccin de la ms pequeadivisin de la escala de lectura de los aparatos de medida.Prctica4. TratamientodeErrores 33Por denicin, una medida es tanto ms precisa cuanto ms pequeos son los errores casuales.4.3. Estimacin de errores en las medidasLa teora de los errores casuales proporciona un mtodo matemtico para calcular con buenaaproximacin cunto puede alejarse del valor verdadero, el valor medido experimentalmente parauna magnitud fsica dada. Debido al carcter aleatorio de los errores casuales, distribuyndose stosal azar por exceso o por defecto, se puede estudiar su inuencia mediante tcnicas estadsticas. Noocurre as con los errores sistemticos, los cuales afectan en un sentido dado al resultado, sin tener,por tanto, carcter aleatorio. Las normas para estimar errores absolutos que a continuacin expon-dremos slo sirven para errores casuales, y presuponen que los errores sistemticos han sido cuida-dosamente evitados. Hablaremos de una medida muy precisa cuando, una vez eliminados gran partede los errores sistemticos, consigamos errores casuales muy pequeos, y esto permitir escribir elresultado nal con bastantes cifras signicativas.El objetivo de este apartado es establecer lo que nosotros vamos a denir como resultado expe-rimental m de una medida y como error absoluto m de la misma. Distinguiremos dos situaciones:medida directa y medida indirecta.4.3.1. Medida directa de una magnitud fsica.-El procedimiento no ser el mismo si se hace una sola medida de la magnitud fsica que si sehacen varias.Una sola medidaEn principio, cualquier medida experimental debe ser repetida varias veces. Cuando se observeque el resultado obtenido es siempre idnticamente el mismo, y slo en ese caso, estar justicado elquedarse con una sola medida. Dicha medida m1 ser el valor experimental obtenido para m. Comoerror absoluto, m, se adoptar la mitad de la sensibilidad (S/2) del aparato de medida si ste esanalgico, y la propia sensibilidad (S), si es digital (Sensibilidad (S): es la unidad ms pequea queel aparato puede apreciar en la escala utilizada). En cuanto al resultado medidom1hay que decirque en el caso de aparatos analgicos (con aguja, con diales, con niveles de mercurio, ...) existe laposibilidad de que la aguja (o cualquier otro mecanismo de medida) quede en el espacio intermedioentre dos marcas de la escala de medida. En este caso, puede adoptarse como valor de la medida elde la marca ms cercana a la posicin de la aguja, o bien, si se preere, cuanticar a ojo esa fraccinde unidad que no aparece ya en la escala. Con los aparatos digitales no puede darse esta posibilidad.Resumiendo, en los casos en que se realice una sola medida de valor m1, nuestro resultado ser:m1(S/2) analgicos (4.3)m1(S) digitales (4.4)Ejemplos: Supongamosque un ampermetro analgico(medidor de intensidadde corriente)tiene unaescala de lectura que aprecia hasta dcimas de amperio (sensibilidad:S =0,1A), y al hacer una medidalaagujase quedaalamitaddecaminoentre0.6Ay0.7A.Enesecaso,sepodrtomar comovalorexperimental m1=0,65Aycomoerrorabsoluto0,1/2 =0,05A.Sedirquelaintensidaddecorrienteesde0,65(0,05)A.. Supongamosqueuncronmetrodigital quemidehastamilsimasdesegundoPrctica4. TratamientodeErrores 34(sensibilidad:S =1 ms.) estima el perodode oscilacindeun pnduloen882 milisegundos;entoncesm1=882ms.yelerrorabsoluto1ms.,yel resultadosedarcomo 882(1)ms.Varias medidasAnalicemos ahora la situacin ms habitual que corresponde al caso en que se realizan variasmedidas de una magnitud fsica. La caracterizacin de los errores casuales se hace en este caso me-diante la ayuda de la Estadstica. La losofa del mtodo parte del hecho de que el valor exacto de lamagnitudes inaccesible, y el proceso de medida es unproceso aleatorio que viene gobernado por unadistribucin de probabilidad normal o gaussiana cuya representacin grca (campana de Gauss) esLa forma funcional de esta distribucin esP(x) =1

2exp_(x )222_(4.5)Obsrvese quex = es el valor ms probable al realizar una medida ya que para ese valor la distri-bucin de probabilidad presenta un mximo. El parmetro nos da una medida de la anchura de lacampana. La probabilidad de que al realizar una medida obtengamos un valor comprendido en unintervalo cualquiera viene dada por el rea que hay bajo la curva gaussiana en ese intervalo. As, porejemplo, la probabilidad de que el valor de una medida caiga dentro del intervalo es del 68,30%,dentro del intervalo 2 es del 95,45%, y dentro del intervalo 3es del 99,73%. El rea total bajola campana es lgicamente 1, ya que la probabilidad de encontrar el valor de una medida entre y +es del 100%. La justicacin del estudio estadstico radica en la suposicin de que el valor msprobable del proceso aleatorio coincide precisamente con el valor verdadero de la magnitud fsica,y por ello nuestro objetivo ser determinar con la mayor precisin posible el valor de , y asimismodar una expresin para el margen de error en nuestra estimacin de . Obsrvese que si los erroressistemticos (de carcter no aleatorio) no hubiesen sido previamente eliminados, no coincidiran yel valor verdadero de la magnitud fsica.Para determinar con exactitud habra que hacer innitas medidas. Sin embargo, en el labora-torio realizaremos unnmero nito n de medidas que nos darnlos valores m1, m2, m3, . . . , mn. Sobreese conjunto nito de medidas, la Estadstica nos permite denir y calcular una serie de estadsticos(ciertas cantidades de inters estadstico), a saber:Valor medio o media aritmtica de los n valores mi(i =1, . . . , n):m=1nn

i =1mi(4.6)Prctica4. TratamientodeErrores 35Desviacin de la medida mirespecto de la media:hi =mim (4.7)Tambin se puede hacer una extensin del concepto a desviacin respecto de un parmetro acualquiera:hi ,a=mia (4.8)Una propiedad interesante que tiene el valor medio que lo hace ser muy representativo de unconjunto de medidas es precisamente el ser el parmetro respecto del cual es mnima la sumade los cuadrados de las desviaciones, es decir, matemticamentedda_n

i =1(hi ,a)2_a=m=0 ;d2da2_n

i =1(hi ,a)2_a=m>0 (4.9)Error cuadrtico medio o desviacin tpica de las n medidas:s =_

ni =1h2in 1(4.10)El valor de s nos da una idea de la dispersin de las medidas mirespecto de la media m.Error cuadrtico de la media o desviacin estndar de las n medidas:sm=s

n=_

ni =1h2in(n 1)(4.11)El valor de sm es muy importante porque nos informa de cmo de parecido es el valor medio mde nuestras n medidas al valor mas probable del proceso aleatorio global (recurdese nuestrahiptesis de partida de que es a todos los efectos el valor verdadero de la magnitud fsica). Dehecho, puede demostrarse que la probabilidad de que mest dentro del intervalo 3smesdel 99,73% (distribucin gaussiana de los valores medios).Como conclusin podemos decir que m nos da una estimacin de , y que cuanto menor sea ladesviacin estndar sm tanto ms se parece realmente m a . Evidentemente, la desviacin estndardecrece a medida que el nmero n de medidas es mayor. Hay que sealar que muchas de las con-sideraciones estadsticas que se han hecho slo son estrictamente ciertas cuando n es grande (porejemplo, n >30). No obstante, nosotros nos conformaremos con un nmero inferior de medidas, porejemplo, 10.Como consecuencia de todo esto, nuestra forma de proceder ser la siguiente: se realizar uncierto nmero (por ejemplo, 10) de medidas de una magnitud fsica, se calcular el valor medio yla desviacin estndar de todas ellas mediante las ecuaciones (6) y (11), se considerar como valorexperimental m el valor medio y como error absoluto el triple de la desviacinestndar. Es decir,daremos como resultado nal:m(3sm) (4.12)Ejemplo:Supongamosquesedeseamedirconuncronmetrodigital quemidehastamilisegundoselperododeunpndulo.Serealizan10medidasdedichoperodo,yseobtienenlossiguientesvaloresenmilisegundos(ms): 902,850,915,930,888,875,889,902,902y 890.Acontinuacin,seprocedea calcularel valor medio mediante (6) obtenindose 894,3 ms, y la desviacinestndarmediante (11)Prctica4. TratamientodeErrores 36obtenindose 6,9 ms. Tomamos como valor experimental el valor medio y como error absoluto el tripledeladesviacinestndar. El resultadoseexpresaracomo894(21)ms,dondesehanhechociertosredondeosdeacuerdoconlasnormasquedaremosmsadelanteenloqueconcierneapresentacinderesultados.En algunas ocasiones puede ocurrir que una medida suelta est especialmente alejada de todaslas dems, en ese caso puede descartarse dicha medida y sustituirse por una nueva, ya que lo msprobable es que se haya tomado mal esa lectura concreta. Estas medidas incorrectas dan lugar a losdenominados puntos experimentales errneos, los cuales deben ser indicados en las representacio-nes grcas. Como norma, si la desviacin de una medida dudosa, hi =mim, es mayor o igual quecuatro veces la desviacin promedio, se puede rechazar la medida dudosa.Cuando se observa una fuerte dispersin en las medidas tomadas para una magnitud dada, sepuede aumentar el nmero de medidas para as reducir la desviacin estndar.4.3.2. Medida indirecta de una magnitud fsicaCuando se utiliza una frmula para calcular el valor de una magnitud fsica a partir de otrasmagnitudes que se han medido directamente y de constantes fsicas, decimos que estamos haciendouna medida indirecta. Es de suma importancia para este caso saber cmo sepropagan los erroresde las magnitudes medidas directamente hacia la que se est obteniendo indirectamente. Dicho deotra forma, hay que ser capaces de dar una expresin para el error absoluto de la magnitud medi-da indirectamente en funcin de los errores absolutos de las magnitudes medidas directamente. Eltratamiento riguroso de la teora de propagacin de errores se fundamenta en el clculo diferencial.En algunas ocasiones, una magnitud fsica es medida indirectamente a partir de otra nica magnitud(funcin de una sola variable), pero, en general, es medida a partir de varias magnitudes cada una delas cuales viene afectada por un margen de error (funcin de varias variables).Funcin de una sola variableLa primera situacin que nos podemos encontrar es el casode una magnitudyque va a sermedida indirectamente mediante una frmula a partir de otra nica magnitud x que ha sido medidadirectamente y que tiene un error absoluto x:y = f (x) (4.13)Como valor experimental de y adoptaremos el que resulta de evaluar (4.13) para el valor experimentaldex. Por otra parte, el clculo diferencial nos asegura que siempre que el error no sea demasiadogrande y podamos aproximar x dx, podemos obtener de forma aproximada el error absoluto eny como sigue:y =d f (x)dxx (4.14)donde se supone supone quey dyy estando la derivada que aparece evaluada en el valor ex-perimental de x. Hay que destacar que (4.14) es vlida tanto si el valor experimental de x y su errorabsoluto x fueron calculados por procedimientos estadsticos (ecuacin (4.12)) como si fueron cal-culados por procedimientos no estadsticos (ecuaciones (4.3) y (4.4)). En consecuencia, el resultadopara y con su error vendr dado pory y = f (x) d f (x)dxx . (4.15)Prctica4. TratamientodeErrores 37Como caso particular de inters, el estudio anterior conduce a que el error relativo en una mag-nitud indirecta es el mismo que el de la magnitud medida directamente en el caso en que ambasmagnitudes sean directa o inversamente proporcionales. As siy = ax o bieny = a/x, siendoa unaconstante (sinerror), partiendo de (4.14) tras realizar la correspondiente derivada y dividiendo ambosmiembros por y, se tiene queyy=xx. (4.16)Un problema que puede surgir (en casos excepcionales) cuando se utiliza (4.14) para el clculodel error absoluto de una medida indirecta es que d f /dxsea cero para el valor experimental dex.Aparentemente, esto nos llevara a quey = 0, pero esto no es cierto. Hay que tener en cuenta que(4.14)es lo que se denomina una aproximacinde primer orden del error. En el casocomentadohabra que recurrir a la aproximacin de segundo orden: y =|d2f /dx2|x2que evidentemente nosdara un error muy pequeo pero distinto de cero.Funcin de varias variablesConsideremos ahora el caso de que en la frmula de la magnitud indirectayaparezcan variasmagnitudes medidas directamente, por ejemplo:y = f (x, z, t ) (4.17)De nuevo, se toma como valor experimental de y el que resulte de evaluar (4.17) para los valores expe-rimentales de x, z y t . En cuanto al error absoluto de y, hay que distinguir ahora entre la posibilidadde que todas las magnitudes medidas directamente lo hayan sido mediante procedimientos estads-ticos y la posibilidad de que una o varias de ellas hayan sido medidas mediante procedimientos noestadsticos.Todas las variables obtenidas por procedimientos estadsticosEn el supuesto de que todas las variables hayan sido medidas mediante procedimientos esta-dsticos (ecuacin(4.12) orectas de mnimos cuadrados), se puede demostrar que la desviacinestndar asociada a y viene dada en funcin de las desviaciones estndar de sus variables por:sy =__fx_2s2x+_fz_2s2z+_ft_2s2t(4.18)donde f /x es la derivada parcial de la funcinf con respecto a x, y as sucesivamente. Todaslas derivadas parciales se evalan en los valores experimentales de x, z y t .Por tanto, en esta situacin particular escribiremos como resultado:f (x, z, t )(3sy) (4.19)Alguna (o todas) las variables procedentes de una sola medidaEnestos casos usaremos como error absoluto enlas variables que proceden de una sola medidael relacionado con la sensibilidad S del aparato utilizado, de acuerdo con (4.3) y (4.4), y comoerror absoluto para las variables estadsticas el triple de su desviacin estndar, de acuerdo con(4.12). Una vez asignados los errores absolutos, nuevamente el clculo diferencial (de funcionesde varias variables en este caso) nos permite obtener la siguiente aproximacin para el errorabsoluto y en funcin de los errores absolutos de las variables directas:y =fxx +fzz +ftt (4.20)Prctica4. TratamientodeErrores 38y como resultado escribiremosf (x, z, t ) (y) . (4.21)En el supuesto de que aparezcan constantes fsicas en la frmula, se elegirn con un nmerosuciente de decimales para que su precisin sea tal que podamos suponer que su error abso-luto sea cero.Como ejemplo de especial inters, el estudio anterior conduce a que el error relativo en unamagnitudindirecta, z, obtenida como cociente o producto de dos magnitudes de medida directa(noestadsticas), xez,tiene comoerror relativo lasuma delos errores relativos delas dosvariables directas. As si y = axz o y = ax/z, donde a es una constante sin error, tras realizar laderivadas parciales y dividiendo ambos miembros por y en (4.20) se tieneyy=xx+zz. (4.22)Finalmente, como caso ms trivial pero de inters, si la magnitud indirecta se obtiene comosuma de las magnitudes directas, y =x+z+t , la ecuacin (4.20) nos indica que el error absolutoser la suma de los errores absolutos, y =x +z +t .En denitiva, para medidas indirectas de una magnitud se tomar como valor experimental dela misma el que resulte de evaluar la frmula para los valores experimentales previamente obtenidosde cada una de sus variables, y como error absoluto el que corresponda segn los casos de (4.14),(4.18) o (4.20).Ejemplo: Supongamosquesehamedidounamagnitudfsicaxobtenindoseunvalorexperimental0,442(0,003) y que tenemos inters en medir indirectamente otra magnitud fsica que es precisamentey = x2.Enprimerlugar, el valorexperimental deyesy =(0,442)2=0,195. El errorabsolutodeysecalculadeacuerdocon(15): y = |2x|x =2 0,442 0,003 =0,003. Portanto, el valorexperimentaldeyes0,195(0,003).Ejemplo: Supongamosquesehamedidodeformadirectalatensineintensidadenunaresistenciaobtenindose V = 10,0(0,1) Ve I = 2,50(0,05) A. Determinaremos el valor de R = V /I (leydeOhm) con su error. Dado que se trata de un cociente, el error relativo en Rser la suma de los erroresrelativosenVeI (vase(4.22).LuegoRR=0,110 +0,052,50 =0,03 (4.23)portantoR =10,02,50_0,0310,02,50_=4,00(0,12) (4.24)Ejemplo:SehanmedidomedianteprocedimientosestadsticoslalongitudLdeunpnduloobtenin-dose1,453(0,001)myparael periodoTdel mismo2,42(0,01)s, ysedeseacalcularlaaceleracinPrctica4. TratamientodeErrores 39delagravedadgapartirdelafrmulaaproximadag =42LT2. (4.25)Enprimer lugar, seestimael valor experimental indirectode g sustituyendoen(4.25) los valoresexperimentalesdeLyT:g =4 (3,1416)2 1,453(2,42)2=9,79ms2. (4.26)Acontinuacin, hayqueevaluar el errorabsolutodeg. DadoqueLyTfueronobtenidasporprocedimientosestadsticosusaremos(4.18). Losvaloresdelasdesviacionesestndarsonconocidosyestnimplcitosenloserroresabsolutosquesehandado(recurdesequem=3sm),portanto:sL=L3=0,0013=0,0003m sT =T3=0,013=0,003s. (4.27)yaplicando(4.18):sg =__42T2_2(0,0003)2+_42L2T3_2(0,003)2(4.28)y sustituyendo los valores de L y Tse obtienesg =0,024ms2. En consecuencia,g =3sg =0,07ms2,yel resultadodelamedidaindirectadeges9,79(0,07)ms2.Comonotanal, puedecomprobarsequenoesnecesariotomar mscifrasdelaconstanteparapoderconsiderarlacomounaconstantesinerror, yaquesi setomasenmscifrasel resultadonal degsloseveraafectadoencifrasnosignicativas(pordebajodel margendeerror).Ejemplo: Supongamos quenuevamente deseamos obtener el valor delagravedaddeacuerdocon(4.25), habiendo sidoeneste casoL y/o T obtenidas mediante unasolamedida. Eneste caso,trasasignarloserroresabsolutos,segncorresponda(apartirdelasensibilidadSodeladesviacinestndar,dependiendodecmoseobtuvolamedida),aplicando(4.20)seobtiene:g =gLL +gTT =42T2L +42L2T3T (4.29)ysustituyendolosvaloresdeL, T, LyT del ejemploanterior, seobtiene g = 0,09ms2. Portanto,el resultadodelamedidaindirectadegenestesegundocasoes9,79(0,09)ms2.4.4. Presentacin de resultados numricosCualquier valor experimental m de una magnitud fsica debe expresarse con un determinadonmero de cifras, que viene limitado por el valor del error absoluto. El nmero de cifras que hay desdela primera cifra distinta de cero empezando por la izquierda hasta la primera cifra que venga afectadapor el error absoluto, ambas inclusive,es el nmero de cifras signicativas (Ns) del resultado. Esevidente que no tiene sentido escribir cifras no signicativas de un resultado. Adems, el convenio deslo escribir las cifras signicativas de un resultado nos hace tener informacin inmediata sobre suerror absoluto por el mero hecho de verlo escrito.Prctica4. TratamientodeErrores 40Ejemplo:Si nosdicenquelalongituddeuncuerpoesde14,7msabemosquesehamedidoconunaprecisindedecmetrosyque, por ello, nosdan3cifrassignicativas. Si laprecisindelamedidahubiesesidodecentmetros,entoncesnoshabrandicho14,70m(4cifrassignicativas).El expresar un resultado en una u otra unidad no cambia su nmero de cifras signicativas. Poreso, los ceros a la izquierda de un nmero no son cifras signicativas y slo se utilizan para situar ellugar decimal. Los ceros a la izquierda pueden evitarse usando notacin cientca (potencias de 10).Ejemplo: Decirqueunamasaesde2,342godecirqueesde0,002342kg, nocambiael nmerodecifrassignicativasqueenambos casosesNs=4.En notacincientcase escribira 2,342103kgLos ceros al nal de una medida pueden ser o no ser cifras signicativas.Ejemplo: Si nosdicenqueenEspaahay40000000depersonaspuedequeloshayaexactamente,encuyocasoel cuatroytodosloscerossoncifrassignicativas, opuedequesehayaredondeadoaunnmeroenterodemillones, encuyocasosloel cuatroyel primercerosoncifrassignicativas.Paraestaltimasituacin,lomsaconsejableparaevitarambigedadesseraentonceshaberescrito40106o40millones.Cuando se hace una medida tanto directa como indirectamente puede que se obtenga el resul-tado con ms cifras de las signicativas. De acuerdo a los antes expuesto, ser el error absoluto dela medida el que nos determine las cifras signicativas con que debemos presentar el resultado. As,tras obtener el error absoluto, ser necesario llevar a cabo un redondeo en el valor de la medida paraconservar slo cifras signicativas. A este n, utilizaremos la tcnica de redondeo. En concreto, su-pongamos que el error nos indica que debemos conservar cifras hasta una dada; si la cifra siguiente aella es cinco o mayor que cinco, entonces debemos aumentarla en una unidad, pero si es menor quecinco, entonces no se modica la ltima cifra conservada.Finalmente, hay que especicar cmo se aplica el redondeo a la propia expresin del error ab-soluto. Debido al signicado de incertidumbre en el resultado que se asocia al error absoluto, stemismo no debe expresarse nunca con ms de dos cifras. Por convenio, el error absoluto se expresarcon dos cifras si la primera de ellas es un 1, o, si siendo un 2, no llega a 5 la segunda. En los demscasos, el error absoluto deber expresarse con una sola cifra obtenida mediante redondeo.Ejemplos:Veamosalgunoscasosderesultadosexpresadoscorrectaeincorrectamente.INCORRECTO CORRECTO5,619(0,126) 5,62(0,13)8,4(0,06) 8,40(0,06)345,233(0,18) 345,23(0,18)2,023(0,0261) 2,02(0,03)Prctica4. TratamientodeErrores 41Aunque la determinacin precisa del error y, por tanto, del nmero de cifras signicativas enunamagnitud calculada a partir de otras magnitudes debe llevarse a cabo mediante la tcnica de trans-misin de errores 4.3.2, podemos no obstante estimar el nmero de cifras signicativas en algunoscasos sin necesidad de obtener previamente el error. As, en clculos que implican multiplicacin,divisin y extraccin de races de nmeros, el resultado nal no puede tener ms cifras signicativasque los datos con menor nmero de ellas. En clculos de sumas y restas de nmeros, el resultadonal no tiene ms cifras signicativas despus de la coma decimal que las de los datos con menornmero de ellas despus de la coma decimal. En el caso de restas entre nmeros muy parecidos sueleocurrir que el resultado tiene muchas menos cifras signicativas que cada uno de ellos.Ejemplo: Trasmedir lostreslados deunparaleleppedosehanobtenidolos siguientes resultados:a =12,3 (0,1)cm,b =8,5 (0,1)cm yc =0,3 (0,1)cm. Deseamos estimar el nmero de cifras signi-cativas para su volumen obtenido como V =abc. De acuerdo con lo expuesto, el resultado nal del vo-lumen tendr slo una cifra signicativa, ya que la medida con menos cifras signicativas, c, posee unasola.Podemosvericarqueloanterioresciertocalculandoelposiblevalormximoymnimoparaelvolumen:Vmn.=(12,2)(8,4)(0,2) =20,496cm3yVmx=(12,4)(8,6)(0,4) =42,656cm3.Comoesposiblecomprobar, la primera cifra del volumen es distinta en cada caso, luego est afectada de error (es incier-ta),yporlotantoel resultadodeberredondearseaunasolacifra:V =(12,3)(8,5)(0,3) =31, 365cm3quetrasel redondeoresultaaunacifraquedaV =0,00003m3oV =3105m3.Cuando aparezcan constantes en las expresiones a evaluar, tomaremos dichas constantes conun nmero mayor o, al menos, igual de cifras signicativas que el que corresponda a la medida conms cifras signicativas. De esta forma evitamos que las constantes introduzcan errores adicionales(podemos entonces considerarlas como exactas).Ejemplo: Se quiere calcularel volumende un cilindrorecto de radior y alturah, siendor =4,5(0,1)cmyh = 55,7(0,1) cm. El volumenes r2h. Laconstantedebetomarsecomomnimocon3cifras signicativas paranoser causadeerrores adicionales. El volumenseobtienecondos cifrassignicativas,al igual quelamedidaconmenoscifrassignicativas, r .La importancia de conocer los errores absolutos de las medidas de las magnitudes fsicas a lahora de obtener conclusiones cientcas queda de maniesto con el siguiente ejemplo.Ejemplo:Supongamosquesedeseadeterminarsi latemperaturaTtienealgnefectosobrelaresis-tencia elctricade unabobinade alambredecobre. Semiden dosvaloresde la resistenciaRparadostemperaturasdistintasyseobtiene:T1=20oC R1=4,024 T2=30oC R2=4,030 Sin los errores absolutos para cada valor de la resistencia no podemos sacar conclusiones cientcas. Sielerrordecadamedidaesde0.002,entoncespodemosconcluirquelaresistenciaelctricaaumentaconlatemperaturaT.Encambio,siel errorfuesede0,008entoncesnotenemosbasesparallegaralamismaconclusin.Prctica4. TratamientodeErrores 424.5. Recta de mnimos cuadradosEl problema de la ciencia experimental no se reduce a medir ciertas magnitudes con la mxi-ma precisin posible, sino que es, fundamentalmente, buscar una ley cuantitativa entre dos o msmagnitudes que estn variando en manera correlacionada.Supongamos que el fenmeno que se quiere estudiar dependa de dos magnitudes x ey. La leyque gobierna el fenmeno relaciona una magnitudxcon la otrayde tal manera que durante unaserie de experiencias se determinan los valores de una de ellas (y) que corresponden a los distintosvalores de la otra (x). Si se han hecho n pares de medidas:(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), (4.30)nos preguntamos si es posible conocer la relacinfuncional entre las magnitudes x e y. Dicha relacinpuede ser formulada, diciendo que una de ellas es funcin de la otra, comoy = y(x) . (4.31)En otros trminos, se pretende encontrar la curva de mejor ajuste para el conjunto de valoresexperimentales (4.30). El problema as formulado es muy complicado debido al hecho de que existeninnitas funciones a las que pertenecen los n puntos dados en (4.30). No obstante, en la prctica, elproblema al que nos enfrentamos es de naturaleza ms simple, ya que la forma de la funciny(x)es casi siempre conocida de antemano, de acuerdo con una determinada teora o modelo. Por tanto,en primer lugar, elegiramos el tipo de comportamiento funcional que convenga a nuestro problema.Por ejemplo, podra ser alguno de los siguientes, dependiendo del fenmeno estudiado:y =ax +b , y =b +a/x , y =ax2+bx +c , y =a exp(bx) , . . . (4.32)Una vez elegida la forma dey(x) adecuada, slo quedara determinar los valores de los parmetrosa, b, c, etc. que aparezcan en y(x), de forma que la funcin se ajuste lo mejor posible con la nube depuntos experimentales.Aunque el concepto de mejor ajuste no es unvoco, esto es, pude haber diferentes criterios so-bre qu considerar como mejor ajuste, elegiremos el denominado ajuste de acuerdo al mtodo de losmnimos cuadrados. A continuacin, explicaremos esta tcnica para el caso de dependencia lineal,y(x) =ax +b. Es decir, vamos a denir la recta de mejor ajuste en el sentido de mnimos cuadrados,tambin denominadarecta de regresin. Las ideas bsicas de la tcnica que desarrollaremos pue-den ser utilizadas para ajustar por mnimos cuadrados cualquier otro tipo de funcin. En cualquiercaso, el ajuste tipo recta de mnimos cuadrados ser el nico que empleemos en las prcticas quellevaremos a cabo durante el curso.Supongamos, pues, que la funcin elegida para el ajuste sea la siguiente recta:y =ax +b , (4.33)donde a sera la pendiente y b la ordenada en el origen. El objetivo ser determinar a y b para que(4.33) sea la recta que mejor se ajuste a la coleccin de datos experimentales (4.30) segn el crite-rio que veremos a continuacin. Comenzaremos por denir el residuo de cada punto de (4.30) conrespecto a la recta (4.33) como la siguiente cantidad:ri = yiy(xi) = yi(axi+b) (i =1, . . . , n) , (4.34)cantidad que puede ser positiva o negativa segn el punto experimental (xi, yi) en cuestin est porencima o por debajo, respectivamente, de la recta. En el caso particular de que el punto estuviesesobre la propia recta su residuo sera nulo.Prctica4. TratamientodeErrores 43En principio el valor de los residuos depender de la recta elegida (determinada por los valoresconcretos elegidos para a y b). El criterio de ajuste por mnimos cuadrados que utilizaremos consisti-r en elegir la recta de forma que la suma de los cuadrados de los residuos sea mnima. Esto es, hemosde determinar a y b de forma quen

i =1r2i =n

i =1(yiaxib)2(4.35)sea mnima. La suma anterior puede verse como una funcin de dos variables, ni =1r2i=f (a, b), yaque, para un conjunto dado de datos experimentales, el resultado de dicha suma depender slo delos valores elegidos dea y b, que actan ahora como variables de la funcin. En este sentido, paradeterminar los valores de a y b que hacen mnima af (a, b) puede utilizarse la tcnica de clculo demximos y mnimos de funciones de varias variables. As, exigiendo que las derivadas parciales dela funcinf (a, b) con respecto a los variables a y b, esto es (f /a) y (f /b), sean nulas se obtienenalmente quea =nC DEnF D2b =FE DCnF D2, (4.36)siendoC =n

i =1xiyi; D =n

i =1xi; E =n

i =1yi; F =n

i =1x2i. (4.37)Puede demostrarse que la recta de mnimos cuadrados tiene la propiedad de que pasa por el puntomedio de los valores experimentales (x, y).La pendiente a y la ordenada en el origen b de la recta de mnimos cuadrados son en muchasocasiones magnitudes fsicas que se quieren medir. Por ello, es importante establecer qu error abso-luto vamos a considerar para dichos parmetros as calculados. Se puede demostrar que la desviacinestndar de a y b viene dada porsa=_n

ni =1r2i(n 2)(nF D2)(4.38)sb=_F

ni =1r2i(n 2)(nF D2)(4.39)Por tanto, como vimos en su momento (4.12), tomaremos como error absoluto de la pendiente y dela ordenada en el origen de una recta de mnimos cuadrados al triple de sus desviaciones estndarrespectivas:a(3sa) (4.40)b(3sb) (4.41)Convienesealarque,en algunas ocasiones, estabanda deerror paraayparabresultaserexcesiva, resultando aparentemente imposible seleccionar ni siquiera una sola cifra signicativa delos resultados. Cuando ello ocurra, es aceptable adoptar un criterio de error ms suave (por ejemplo,las propias desviaciones estndar en lugar del triple de las mismas).La recta de regresin obtenida nos permitir, si lo deseamos, estimar el valor de la magnitudypara valores de x distintos a los inicialmente medidos. Se puede demostrar el valor obtenido, yo, uti-lizando la recta de regresin para un cierto valor, xo (no medido), viene afectado por una desviacinestndarsyo=_

ni =1r2i(n 2)_D2xoD+nxonF D2_, (4.42)Prctica4. TratamientodeErrores 44y como error absoluto del valor de yo estimado adoptaremos el triple de su desviacin estndar:y(3syo) . (4.43)Existe un parmetro muy importante denominado coeciente de correlacin lineal rde las va-riables x e y, que nos permite determinar la bondad del ajuste de la recta de mnimos cuadrados. Unade las formas de expresarlo esr =nC DE_(nF D2)(nGE2)(4.44)siendo G =

ni =1y2i . El coeciente de correlacin puede ser positivo o negativo y su valor absoluto,|r |, vara entre 0 y 1; el ajuste es tanto mejor cuanto ms prximo est |r | de la unidad. Un valor de |r |prximo a cero indica que no hay mucha correlacin lineal entre los datos, y que posiblemente hayaque buscar una correlacin ms complicada (es decir, la nube de puntos experimentales se ajustaramejor con una funcin distinta de una recta).Muchas calculadoras as como programas para representacin grca de funciones traen incor-poradas como utilidad estadstica el clculo de rectas de regresin, proporcionando todos los par-metros del ajuste para los pares de valores (xi, yi) que se utilicen como datos.Finalmente, cabe indicar que el estudio anterior llevado a cabo para la recta de mejor ajuste, tie-ne un doble inters: por un lado, la dependencia tipo recta es muy frecuente entre magnitudes fsicasy, por otro lado, muchas otras dependencias ms complicadas pueden reducirse a una dependenciatipo recta mediante un cambio de variables adecuado. A continuacin se exponen algunos ejemplosfuncin inicial cambio forma linealy =ax2x2=z y =azy =a

x

x =z y =azy = Aexp(x) ln(y) =z ; ln(A) =b z =x +by = Axnln(y) =z ; ln(A) =b; ln(x) =t z =b +nt4.6. Realizacin de grcasLas representaciones grcas son una herramienta imprescindible para la fsica experimental.Con el n de que la grcas aporten toda la informacin necesaria de la forma ms adecuada debenseguirse ciertas normas de carcter general:Las grcas podrn realizarsemanualmente obien haciendousodealgnsoftware grco.Caso de hacerse manualmente deber utilizarse papel milimetrado.Los datos experimentales siempre deben aparecer ntidamente en la grca. Se presentaranco-mo un conjunto de puntos. En este sentido, no deben unirse dichos puntos entre s mediantesegmentos formando una extraa lnea quebrada (debe controlarse esta opcin en los progra-mas de software grco).la recta de regresin se dibujar sobre la nube de puntos experimentales en una nica grca.Los intervalos devalores consideradosen losejes deben ser tales quela recta representadase visualiceconvenientemente en la grcaocupandolamayorreaposibley no aparezcaconcentrada en una fraccin de ella (es decir, evitar que la grca quede en una esquina y elresto de papel vaco).Prctica4. TratamientodeErrores 45Debeespecicarse siempre sobre los ejes horizontal y