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iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg2de1019. PROBLEMAS AEROELASTICOS9.1. Flameo10. DINMICA DE ROTORES10.1. Consideraciones Tericas10.2. Hiptesis Simplificativas10.3. Ejemplo prctico11. TECNICAS EXPERIMENTALES11.1. Anlisis Modal Experimental11.2.GalgasExtensiomtricos.Aplicacinaensayosdecomponentes11.3. Especificacin de Ensayos12.- MEDIDA DEL COMPORTAMIENTO DINAMICO POR EL MEF12.1. Datos para la generacin del modelo12.2. Pasos para el anlisis12.3. Recomendaciones para el anlisis12.4. Validacin de Modelos de Elementos Finitos13. REFERENCIASAPENDICE1.EJEMPLOSDEDINAMICADEROTORESCONMSC/NASTRANCopia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg3de1011.- OBJETO.El objeto del presente documento es la definicin de la metodologa y conceptos para laejecucindelosanlisisdinmicosdecomponentesquesediseanenITP.Sepretendeestablecerlasmejoresprcticasparagarantizarlafiabilidaddelosclculosdentrodelacomplejidad que puede conllevar este tipo de predicciones.Se tratar de establecer de una forma clara y sencilla los pasos mnimos a realizar paralaejecucindeestetipodeanlisis,considerandolosdiferentesfenmenosquedefinenelcomportamiento dinmico de un componente o su modo de fallo. As, se establecern mtodosde anlisis dinmico tanto para problemas lineales, no lineales o de respuesta.Se pretende que este manual sea de propsito general, es decir, lo establecido aqu serade aplicacin a todos los componentes salvo que de forma expresa se defina especficamente elgradodeaplicacindelametodologadescrita.Lametodologaespecficaaplicadaacomponentes determinados se explica con detalle en los manuales de clculo de componentesespecficos.Ladefinicindeloscriteriosdeclculonoseincluyeenestemanual.Loscriteriosdeclculoparaelcomportamientodinmicodecomponentesseestablecenenlosmanualescorrespondientes,sibiencuandosecreaoportunoseharreferenciaaestoscriteriosparaclarificar o justificar la metodologa de clculo establecida.2.- MBITO DE APLICACIN.El presente documento recoge los conceptos ymetodologa recomendable en el Anlisisdinmico.LosmtodosespecficosparaelanlisisdeloscomponentesdeturbinasdegasosistemasdeescapediseadasenITPserecogenenmanualesespecficos,sibienciertosejemplosseexplicanenestemanualcomoaplicacindirectadelametodologadescrita.Losmtodosdescritossonaplicablesdurantetodoelprocesodediseo,desdelafaseconceptualhasta la validacin del componente.Lautilizacindeestosmtodosdurantelaejecucindelostrabajoseslamsrecomendada,yserequierelaaprobacinexpresadelaJefaturadelCdCdeTecnologaMecnicadeITP,odelaDireccindeIngenierayTecnologasisequierecambiaralgunodelos mismos.Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg4de1013.- Definiciones.3.1.-Generales.SistemaContinuo:sistemamecnicoqueprecisadeunnmeroinfinitodegradosdelibertadpara determinar su posicin deformada.Sistema Discreto: sistema mecnico cuya posicin deformada puede determinarse mediante unnmero finito de grados de libertad.3.2.- Sobre la Frecuencia.Frecuencia de Excitacin: es la frecuencia (Hz) asociada a una accin exterior actuante sobre elsistema mecnico a estudio y que vara armnicamente en un problema de vibraciones forzadasdebidas a una excitacin armnica.Frecuencia Natural (frecuencia propia): es la frecuencia del movimiento armnico que resulta alintroducirundesplazamientoy/ounavelocidadinicialaunsistema,queestenposicindeequilibrio,ydejarlovibrarlibrementesinamortiguamiento(problemadevibracioneslibresnoamortiguadas).Para un sistema de un grado de libertad su valor es:( ) Hz fmk = = 2FrecuenciaNaturalAmortiguada:frecuenciadelmovimientoarmnicoqueresultaalintroducirun desplazamiento y/o una velocidad inicial a un sistema de un gradode libertad amortiguado,queestenposicindeequilibrio,ydejarlovibrarlibremente(problemadevibracioneslibresamortiguadas). Su valor es: 21 =D. No es la frecuencia natural, pero es muy parecidapues la relacin de amortiguamiento ( ) suele ser pequea.3.3.- Sobre AmortiguamientoAmortiguamientoCrtico:parmetrointrnsecodeunsistemadeungradodelibertadamortiguado. Su valor es: = m c 20 , siendo m la masa del sistema y su frecuencia natural.AmortiguamientoRelativooRelacindeAmortiguamiento:relacindeamortiguamiento()deunsistemaeselcocienteentreelamortiguamientodelsistemacyelvalordesuamortiguamiento crtico (c0):m k 2ccc0 = =AmortiguamientoProporcional:sedenominaasaaquellahiptesisdemodelizacindelamortiguamiento que permite desacoplar las ecuaciones del movimiento de sistemas de N gdl.Entalcaso,lamatriz[C]debepoderserdiagonalizadajuntocon[K]y[M].Porello,enlaexpresinqueseadoptepara[C]debernintervenir[K]y[M].As,[C]serdiagonalizablecuandopuedaserexpresadacomocombinacinlinealdelasmatricesderigidezeinercia:[ ] [ ] [ ] K B M A C + =Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg5de1013.4.- Sobre la definicin del problema.Gradosdelibertad(gdl):ocoordenadasgeneralizadasdeunsistemamecnicosonlosparmetrosindependientesquedefinenlaposicinylaconfiguracindeformadadedichosistema.CoordenadasNaturales:Eselsistemadecoordenadasresultantedeaplicaralsistemamecnico a estudio un cambio de coordenadas basado en la matriz de modos. En estas nuevascoordenadas,elsistemadeNecuacionesdiferencialesconNincgnitassedesacoplaytransforma en N ecuaciones de una sola incgnita; es decir, en N problemas de 1 gdl.Matriz de Rigidez [K]: Est constituida por los coeficientes de rigidez kij, que se definen como lafuerza que hay que aplicar segn el gdl i para producir un desplazamiento unidad segn el gdl j,y cero segn todos los dems gdl.MatrizdeMasas[M](oinercias):Estconstituidaporloscoeficientesdeinerciamij,quesedefinen como la fuerza que hay que aplicar en el gdl i para producir una aceleracin unidad en elgdl j y cero segn todos los dems.Matriz de Amortiguamiento [C]: Est constituida por los coeficientes de amortiguamiento cij, quesedefinecomolafuerzaquehayqueaplicarsegnelgdliparaqueaparezcaunavelocidadunidad segn el gdl j y cero segn todos los dems gdl.3.5.- Sobre los modos de vibracin.Modo Natural de Vibracin: Se llaman modos naturales de vibracin de un sistema mecnico alosposiblesmovimientosarmnicosquepuedentenerlugarenelsistemaencondicionesdeexcitacinnula.Habrtantosmodosnaturalescomogradosdelibertadtengaelsistema.Altratarsedeunproblemadevibracioneslibres,vendrndados(cuandonohayaamortiguamiento)porlaresolucindelsistemadeecuaciones:[ ] [ ] ( ) { } { } 02= + X K M ,quecomoveremosenelapartado5,puederesolversecomounproblemadevaloresyvectorespropios generalizado en el que los vectores propios son los modos naturales.Cadamodo(vectorpropio)establecelarelacinexistenteentrelasamplitudesdelosmovimientos armnicos sncronos (cuando no se considera la presencia de amortiguamiento) delos diferentes grados de libertad del sistema.NormalizarlosModos:Comolasamplitudesdeunmodonaturaldevibracinnoestndeterminadas ms que en la relacin existente entre ellas, es una prctica habitual normalizarloscon respecto a la matriz de masa, haciendo que la masa modal sea igual a la unidad para todosellos de forma que se cumpla:{ } [ ] { } 1 = iTiX M X3.6.- Sobre la respuesta de un sistema.Resonancia:sedicequeunsistemaestencondicinderesonanciaoquetienelugarunfenmenoderesonancia,cuandolafrecuenciadelaexcitacinqueactasobreelmismo()coincideconalgunadesusfrecuenciasnaturales().Esdecir,enelcasodesistemascon1Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg6de101gdl,enlaresonancia = =1.Parafrecuenciasdeexcitacinprximasaalgunafrecuencianatural,laamplituddeldesplazamientoresultantepuedeservariasveceseldesplazamientoesttico que se obtendra aplicando estticamente una fuerza de la misma amplitud. As mismo,en la resonancia, el desfase de la respuesta del sistema respecto a la excitacin es siempre de90 (independientemente del valor del amortiguamiento relativo ).FactordeAmplificacinDinmica(D):eslarelacinexistenteentrelaamplituddelasvibracionesdeunsistemasometidoaunaexcitacindetipoarmnicoyeldesplazamientoesttico (cuando la carga es aplicada estticamente). El valor de D para un sistema de 1gdl es:( ) ( )2222 11 + = D con = yexcitacin la de frecuencia _ _ _ = y lafrecuencianatural del sistema.FuncindeTransferencia(funcincomplejaderespuestaenfrecuencia):dadounsistemasometidoaunaexcitacinarmnica,( )t ie f t f =0laFuncindeTransferencia-( ) H -esaquella funcin, tal que la respuesta del sistema ante dicha solicitacin puede expresarse de laforma:( ) ( )t ie f H t x =0 . El valor de( ) Hes, para un sistema de 1 gdl:( )ikH 2 112+ =Matrizdetransferencia[H()]:FuncindetransferenciaenlossistemasconNgdl.LarespuestadeunsistemaconNgradosdelibertadanteunaexcitacinarmnicaseobtienemultiplicando el vector de amplitudes de las fuerzas excitadoras por la matriz de transferencia:( ) { } ( ) [ ] { }t ie f H t x =0Silasfuerzasdeexcitacin{f(t)}nosonarmnicas,peroadmitentransformadadeFourier(TDF),elvector{f(t)}podrexpresarsecomosumadeinfinitascomponentesarmnicasdefrecuenciasdistintas,ylamatrizdetransferencia[H(w)]relacionardirectamentelaTDFdelaexcitacin y de la respuesta:( ) { } ( ) [ ] ( ) { } F H X = .La matriz de transferencia puede expresarse en funcin de los modos y frecuencias de vibracin(en el caso en que no exista amortiguamiento) en la forma:( ) [ ]{ } { }=||.|

\| =niiiTi ikX XH1221Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg7de101Transmisibilidad (Tr): puede definirse como el cociente entre la amplitud de la fuerza transmitidapor un sistema y la de la fuerza de excitacin que se introduce en el mismo.Alanalizarelproblemadelatransmisindevibracionesdeunsistemamecnicoasubaseosoporte, se define el concepto de transmisibilidad como la relacin entre el mdulo de la fuerzatransmitidaalsoporteFtyelmdulodelafuerzaexcitadoraf0.RecordandoladefinicindelFactor de Amplificacin Dinmica (D):( )202 1 + = = DfFTtr3.7.- Sobre las condiciones del anlisis.Rgimen Estacionario: un sistema dinmico se dice que est en rgimen estacionario cuando suvariacin con el tiempo reviste un carcter peridico; es decir, todas las variables del problemarepiten valores cada T segundos (T = periodo).RgimenTransitorio:unsistemadinmicosedicequeestenrgimentransitoriocuandoladependenciatemporaldelasvariablesdelproblemaesarbitrariaocarecedelcarcterperidico.3.8.- Sobre la fuerza excitadora.VibracionesLibres:vibracionesquetienenlugarenausenciadefuerzasexteriores:f(t)=0yslo son debidas a unas determinadas condiciones iniciales de desplazamiento y/o velocidad.Vibraciones Forzadas: vibraciones que tienen lugar debido a la presencia de fuerzas exterioresvariables con el tiempo actuando sobre el sistemaf (t) 0.Vibraciones Aleatorias: vibracionesquetienenlugardebidoalaaplicacinsobreelsistemadeunos esfuerzos exteriores de los que, como mucho, todo lo que se puede aspirar a conocer esalgunosvaloresestadsticostalescomosuvalormedio,suvarianza,sucomposicinenfrecuencia, etc.3.9.- Sobre el comportamiento a fatiga.FatigadeAltosciclos(HCF).Lafatigadealtosciclosestrelacionadaconlasvibraciones,afrecuencias que tpicamente varan entre 70 y 300 Hz. Si se llega a condiciones de resonancia,elnmerodeciclosquesepuedenacumularenunciclodefuncionamientopuedesermuyelevado,porloqueestetipodecondicinescrticoysueleevitarsedesdeladefinicindelcomponente.Diagrama de Goodman. Representa la relacin entre la tensin media y la amplitud de la tensino deformacin alternante permisible. El diagrama pone de manifiesto la influencia de la tensinmedia en el comportamiento final a fatiga.Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg8de101UTSEndurance limitFuncin de Temperatura y N deciclos media alternanteFigura 3.9.1. Diagrama de GoodmanParaelcasoconcretodevidainfinita,elvalordelEndurancelimitpuedeconsiderarse,siloscriterios de diseo establecidos en cada proyecto no indican lo contrario, como:Para materiales no ferrosos: la resistencia a 3107 ciclos.Para materiales ferrosos: la resistencia a 1107 ciclos.EnlaconstruccindeldiagramadeGoodmanenvezdeutilizarlatensinltima(UTS)comomximaresistenciaenausenciadecargaalternante,sepuedeutilizartambinunvalordefluencia (creep) combinado con el limite de plasticidad o incluso la resistencia a la fatiga para103 ciclos y R=0.3.10.- Sobre las solicitaciones del Sistema.Carga Mecnica. Se aplica en los bordes de laestructura (bridas, anclajes) y generalmente secalculaconayudadelModelodeMotorCompleto(WholeEngineModel,WEM)oporladefinicindeunespectrodevibracin.Losdatossuministradosdanrelacindelosnivelesdecarga y la frecuencia de los mismos en los diferentes puntos de funcionamiento.CargaTrmica.Seaplicaentodoelvolumendelaestructuraygeneralmentesecalculaconayuda del Modelo Trmico. Para el clculo de vida a fatiga ser necesario recibir la historia detemperaturasalolargodelciclodefuncionamientoprovenientedeunanlisistrmicotransitorio,aunqueparaelproblemadevibracionessuelenconsiderarsecondicionesestacionarias.Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg9de1014.- FUNDAMENTOS DEL CLCULO DE VIBRACIONES.Elobjetivodelpresentecaptuloeselderefrescarlosconceptosbsicosdelclculodevibraciones para luego hacer una descripcin de los diferentes tipos de anlisis con los que nospodemosenfrentardentrodeldesarrollodelastareascorrespondientesaladefinicindelcomportamiento dinmico de los componentes en estudio.Elanlisisdinmicotratadeestudiarelcomportamientodelasestructurassometidasacargas que varan con el tiempo, as como el estudio de las vibraciones libres a que puede estarsometida una estructura.Existen diferentes tipos de anlisis a considerar dentro del clculo de vibraciones dentrode los problemas comunes de las turbinas de gas:AnlisisModal:eselprocesodedeterminacindelascaractersticasdinmicasinherentesaunsistemamecniconecesariasparalaposteriorformulacindeunmodelomatemtico del comportamiento dinmico de dicho sistema. Esta modelizacin dinmica se llevaacabosobrelabasedelosparmetrosmodales(frecuenciasnaturales,modosnaturalesdevibracinyrelacionesdeamortiguamiento)propiosdelsistema,yquedependendeladistribucin de sus caractersticas de masa, rigidez y amortiguamiento.AnlisisDinmicotransitorio:Estudialarespuestadelsistemasometidaaunacargatransitoria.Anlisis de Respuesta Armnica: Estudia la respuesta del sistema sometido a una cargaarmnica.Anlisis de Respuesta a Vibracin Aleatoria: Estudia la respuesta del sistema sometido auna vibracin aleatoria, como pueden ser los terremotos, o las rfagas.Las vibraciones en general, son movimientos armnicos, y tericamente va a ser posibleexpresarlas como suma de movimientos armnicos simples.Con estas consideraciones, se podra expresar el desplazamiento de un punto sometido avibraciones de la forma siguiente:t sin x x =0Siendo: amplitud xima m x . .0 =( ) s rad frecuencia. = tiempo t =Sedefineelperododeoscilacincomoeltiempoenqueunpuntoquepartedeunaposicin vuelve a esa misma posicin. Se define la frecuencia de oscilacin como la inversa delperodo:Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg10de101Tf1=De la misma forma podramos definir la velocidad y la aceleracin del punto como:t x x = cos0&2 20 = = x t sin x x& &Lasleyesquegobiernanlasvibracionesestasbasadasenlasecuacionesbsicasdelmovimiento, lo que implica el cumplimiento de las leyes de Newton.En general la ecuacin de equilibrio que rige el movimiento es la siguiente:( ) t F x K x C x M = + + & & &Paracomprenderdedondeobtenemosestaecuacindelmovimiento,debemoscontemplar las diferentes leyes bsicas que rigen el movimiento:Leyes de Newton:2 ley x m F & & =3 Ley: Principio de accin y Reaccin.Principio de DAlambert, fuerzas de inercia.Mtodo de los Trabajos Virtuales. El trabajo de las fuerzas exteriores en un pequeodesplazamiento virtual de las coordenadas del sistema es igual al incremento de energapotencial elstica producido por dicho desplazamiento virtual. Este desplazamiento virtual debecumplir las condiciones de ser pequeo, para que no vare la magnitud de las fuerzas y lageometra del sistema, y compatible con las ligaduras cinemticas de dicho sistema. A veces, esms cmodo utilizar velocidades que desplazamientos y, entonces, en lugar de hablar delMtodo de los Trabajos Virtuales se habla del Mtodo de las Potencias Virtuales.Ecuaciones de Lagrange. Son el punto de partida de la Mecnica Analtica. Se establece unaecuacin por cada grado de libertad o coordenada generalizada:L=T - U es la funcin Lagrangiana, igual a la diferencia entre la energa cintica y la energapotencial, y Qi es la fuerza generalizada segn el grado de libertad i.ii iQqLqLdtd=||.|

\| Principio de Hamilton. Es un principio variacional, y establece que de todas las posiblesformas de evolucionar el sistema entre dos instantes de tiempo t1 y t2, la que verdaderamente seproduce es la que hace mnima la integral 21ttdt Lrespecto al tiempo de la funcin Lagrangiana.Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg11de1015- Anlisis ModalDefiniremos anlisis modal como el estudio de las caractersticas dinmicas relativas al sistemamecnico en estudio. Esto significa que estamos buscando los parmetros modales propios delsistema,estoes:lasfrecuenciaspropias,losmodosdevibracinylasrelacionesdeamortiguamientospropiasdelsistema,lascualesestndirigidasporladistribucindelascaractersticas de masa, rigidez y amortiguamiento que presenta el sistema.5.1- Sistema de 1 grado de libertad (Vibraciones libres no amortiguadas)Los sistemas de un grado de libertad son sistemas sencillos; normalmente las estructuras sobrelasquesecentranlosanlisisdevibracionesqueserealizanenITPsoncomplejasyconunnmeroNdegradosdelibertad(clculoatravsdelMEF).Decualquierformasehaconsideradoimportanteintroduciresteapartadoporsuimportanteinterspedaggico,parapoder de forma sencilla fijar una serie de conceptos bsicos que van a ser aplicables a sistemasdeNgradosdelibertad,yqueadems,estossistemasencondicionesnormales,puedenresolverse mediante la superposicin de N sistemas de 1 gdlSi consideramos el sistema completo de 1 grado de libertad, en que consideramos:LaenergacinticadelsistemasealmacenaenlamasaindeformableM,laenergapotencialelstica se concentra en el resorte sin masa de constante KSi definimos un sistema simple de 1 grado delibertad:Las fuerzas que actan sobre la masa M son:La fuerza debida al muelle( ) + x KLa fuerza gravitatoriag M La fuerza de inerciax M & & Si aplicamos la ecuacin de equilibrio tenemos:( ) 0 = + + g M x K x M & &de donde( ) g M K = por lo que obtenemos la ecuacin:0 = + x K x M & &Si asumimos que la solucin a la ecuacin es armnica, se podra expresar de la forma:( )t Se C t x = o ( ) t B t A t x sen cos + =y por tanto( ) ( ) t x S e S C t xSt = =2 2& & o ( ) ( ) t x t B t A t x = =2 2 2sen cos & &xMKCopia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg12de101Si sustituimos en la ecuacin:( ) ( ) 02= t x M K ( ) 02= + Ste K S M C( ) ( ) 0 cos2= + t B t sin A M K Cuyas soluciones seran:0 = C o 0 = = B A ; solucin trivial, o:( ) 02= M K MK= y i S = =2Con esto la expresin de la solucin:( )t i t ie C e C t x + = 2 1que teniendo en cuenta quet i t et i sen cos = ( ) ( ) ( ) t C C i t C C t x sen cos2 1 2 1 + + = y haciendo 2 1C C A + = y( )2 1C C i B = llegamosalamisma expresin que estamos arrastrando en paralelo. La principal diferencia estriba en que loscoeficientes C1, C2 pueden ser complejos, mientras que A y B siempre son reales.Si considerramos las constantes de la forma: cos = D Ay sen = D B , siendo 2 2B A D + =y AB= tg con lo que la solucin quedar de la forma:( ) ( ) = t D t x cosPara conocer la solucin exacta necesitaramos conocer las condiciones iniciales y tendramosuna solucin nica para x (t). Si para:0 = t ( )00 x x =0 = t ( )00 x x & & =Tendremos: B x =0A x =0 0 &( ) t x t sinxt x0 0 000cos + =&o : ( )||.|

\| ||.|

\|+ =00220 20arctg cosxxtxx t x& &Siconsiderramosmtodosenergticosparallegaralaecuacindelmovimientoelresultadoseraelmismoquecuandohemosutilizadoelequilibriodefuerzas.Sabemosquecuandoseproduce la vibracin del sistema existe un intercambio continuo entre energa cintica y energapotencial del sistema.Sihacemoslahiptesisdevibracionesestacionarias(armnicasporejemplo),tendramoselbalance de energa como sigue:( ) ( ) ( ) ( ) cte E t E t V t T = = +Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg13de101Siendo T (t) la energa cintica y V (t) la energa potencial del sistema. Con esto:0 = +dtdVdtdTSi consideramos el sistema de 1 gdl anterior:221x M T & = x x MdtdT& & & =221x K V = x x KdtdV& = 0 = + x K x M & &Que es la misma ecuacin del movimiento a la que hemos llegado anteriormente.5.2- Sistema de 1 grado de libertad (Vibraciones libres amortiguadas)Hasta ahora solo hemos tenido en cuenta la masa y la rigidez. Tendramos que tener encuanta la disipacin de energa que se produce por el amortiguamiento de la respuesta.Los sistemas no amortiguados tendran una respuesta constante en el tiempo, pero en laprcticavemosquesiseparamoselsistemadesuposicindeequilibrioconunaamplituddeterminada, esta va decayendo, yllega un momento en que esta posicininicial se vuelve arecuperar.Figura 5.2.1Figura 5.2.2Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg14de101Loqueseestproduciendoenlarealidadesunadisipacindeenergadebidaalamortiguamiento.Ensucesivoscaptuloshablaremosmsdetalladamentedelosconceptosdeamortiguamientoysutratamientoenelanlisisdevibraciones.Deformailustrativasevaaformular el caso de sistemas de 1 grado de libertad con vibraciones libres amortiguadas.Si consideramos el sistema completo de 1 grado de libertad, en que consideramos, adems delo visto anteriormente para el sistema no amortiguado, la capacidad de disipacin de energa seconcentra en el amortiguador viscoso que se mueve con velocidad proporcional a la fuerza, conconstante de proporcionalidad c.Laecuacindeequilibriototaldefuerzasnosllevaraalaexpresindelaecuacindelmovimiento:( ) ( ) ( ) 0 = + + t x K t x c t x M & & &Cuya solucin sera de la forma:( )ste A t x = donde b i a s + =( ) ibt at t b i a ste e e e = = +Sustituyendo en la ecuacin del movimiento:( ) 02= + + ste A K s c s MPara que se cumpla la ecuacin tiene que ocurrir que:( ) 02= + + K s c s MMM K cMcs2422 = ytenemoslasdosracesdelaecuacin,porloque la solucin sera:( )t s t se A e A t x + =2 12 1Laformadelasolucindependerdecmosecumplanlasrelacionesentrelosdiferentesparmetros. As:||.|

\| =2 2 141 12,cKMMcs s depender de siKM c 42

Llegadosaestasituacin,seraconvenienterecurriraladefinicindeamortiguamientocrtico.As, definimos amortiguamiento crtico 20c , como KM c 420=Con lo cual, si se cumplen las inecuaciones siguientes tendremos las situaciones:||.|

\|< < 100ccc c Amortiguamiento subcrticoCopia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg15de101||.|

\|> > 100ccc c Amortiguamiento supercrtico.LoscasosdemayorintersparaelcomportamientodinmicodeloscomponentesquesediseanenITPcorrespondenaamortiguamientosubcrtico(normalmentelosvaloresdeamortiguamiento respecto al crtico (c/c0) suelen estar entre 0,2 y 0,4)As, tendremos que las soluciones a ala ecuacin del movimiento sern de la forma:||.|

\||.|

\| = 1412,22 1cKMiMcs sSi consideramos:20 =MK; M Kccc = =20 ( ) ( )20 0 2 11 , = i s s( ) |.|

\| + = t i t t i te e A e e A t x20 020 01211 Si llamamos 201 =dFrecuencia Natural amortiguada, la solucin ser:( ) ( ) ( ) + = + = t e C t A t A e t xdtd dtsen cos sen0 02 15.3- Sistema de N grados de libertad5.3.1.- Clculo de frecuencias y modos propios.Comoyaexpusimosanteriormente,definimosanlisismodalcomoelestudiodelascaractersticasdinmicasrelativasalsistemamecnicoenestudio.Estosignificaqueestamosbuscandolosparmetrosmodalespropiosdelsistema,estoes:lasfrecuenciaspropias,losmodos de vibracin y las relaciones de amortiguamientos propias del sistema, las cuales estndirigidasporladistribucindelascaractersticasdemasa,rigidezyamortiguamientoquepresenta el sistema.Paraelanlisismodalsehacelahiptesisquelarespuestavibratoriadeunsistemapuedeexpresarsecomocombinacindemovimientosarmnicossimples,quellamamosmodospropios de vibracin. Estos responden a la caracterstica del sistema en su distribucin de masa,rigidez y amortiguamiento.Para la realizacin del anlisis modal de un sistema mecnico, sera necesario poder modelar elsistema de manera que se incluyan estas distribuciones de masa, rigidez y amortiguamiento, lastcnicasmsempleadassuelenestarbasadasenmtodosanalticos(teoradeloselementosfinitos) o experimentales (anlisis modal experimental). En ambos casos lo que se pretende esgenerarunmodeloquerepresentelascaractersticasdemasa,rigidezyamortiguamiento,deforma que puedan incorporarse a la ecuacin del movimiento de una forma discretizada, y por el"PrincipiodeSuperposicin",transformarlaresolucindelasecuacionesdiferencialesdelmovimiento en un problema de valores y vectores propios.Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg16de101Si partimos de la ecuacin general del movimiento tendremos que resolver el problema:[ ] ( ) { } [ ] ( ) { } [ ] ( ) { } ( ) { } t f t x K t x C t x M = + + & & &Donde ya hemos considerado la formulacin matricial considerando un nmero finito de gradosdelibertad,comodiscretizacindelsistema.Larespuestadelsistemabuscadoserarmnicacuando las fuerzas de excitacin tambin son armnicas: si( ) { } { }t ie F t f =los desplazamientosson( ) { } { }t ie X t x =donde{ } Xes el vector amplitud de la respuesta, la incgnita del problema.La resolucin del problema se puede expresar en funcin de los modos naturales de vibracin,que sern la resolucin de los posibles movimientos armnicos de un problema de vibracioneslibres.[ ] ( ) { } [ ] ( ) { } [ ] ( ) { } { } 0 = + + t x K t x C t x M & & &Conloquepodemos,considerandocomoseindicabaanteriormenteel"PrincipiodeSuperposicin"yhaciendolasuposicindequetodaslaspartesdelsistemavibransinusoidalmente con la misma frecuencia, que la resolucin de la ecuacin se obtiene medianteun problema de clculo de autovalores.EstoalfinalesposiblegraciasalascaractersticasdelasmatricesdeMasayrigidez,quepuedenconsiderarsepositivasdefinidas(siemprequenosepuedaproducirmovimientodeslido rgido) y adems son reales y simtricasSi consideramos que no tenemos amortiguamiento ( [ ] 0 = C ), tendramos que en la resolucin delproblema la solucin de los autovalores ser real.Considerandoloexpuestoanteriormenteyaplicandoosprincipiosdellgebraalproblemaquese busca resolver, el problema de valores y vectores propios puede resolverse de la forma:[ ] { } [ ] { }i i iX M X K = dondei eselvalorpropioy{ }iX eselvectorpropioasociadoynormalizado con la masa.Por las caractersticas de la matriz de masa, todos los valores propios sern positivos.Si suponemos como en el caso de sistema de un gdl que la solucin es de la forma:( ) {} t A t x cos =Tenemos que la resolucin de la ecuacin ser:[ ] [ ] [ ] {} 0 cos2= t A M K Con lo que hemos visto anteriormente el problema de valores y vectores propios est planteadoy en la resolucin vemos que los autovalores sevanacorresponderalafrecuenciapropiadelmodo natural, as: 2i i =Ycomolaecuacindebeservlidaparacualquierinstantedetiempo,lasposibilidadesdesolucinsern:Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg17de1011.-Si[ ] 0 det2 M K lanicasolucinposiblees{} 0 = A ,queeslasolucintrivialyquenoaporta nada a la definicin del movimiento, pues representa el caso de ausencia del mismo.2.-Lasolucinnotrivialportanto,ser[ ] 0 det2= M K ,quecorrespondealaecuacindelproblemadeautovaloresconladefinicinrealizadaenelprrafoanterior.Laresolucindeldeterminante nos da que las races de la ecuacin corresponden con las frecuencias propias delsistema.Sisustituimosenlaecuacindelmovimiento,obtendremoslosvaloresde{ } x quesernlosautovectoresquecorrespondenalasformasmodalesdelasfrecuenciaspropiasdelsistema. Este determinante ser nulo para una serie de valores de io 2i .El autovector{ }iXcorresponde al autovaloriy satisface la ecuacin planteada, por lo que la ecuacin quedarade la forma:[ ] [ ] [ ] { } 02= i iX M K Cadaautovalorserlafrecuenciapropiadelaestructura,ycadaautovectorlaformamodalasociada a esa frecuencia propia.Porotrolado,losvectorespropiosformanunsistemadeNvectoreslinealmenteindependientesquepuedenformarunabaseenunespaciovectorialdedimensinN.Portanto, el vector incgnita{ } Xse podr expresar como una combinacin lineal de los vectoresde la base.{ } { }iiia X X =Silasmatrices[ ] K y[ ] M sonrealesysimtricas,casocomndelasestructuras,sepuededemostrarquelosmodossonortogonales,estosignificaquecadaformamodalesnicaysolamente puede obtenerse a travs de una nica combinacin lineal:{ } [ ] { } 0 = jTiX M X paraj i { } [ ] { }i iTim X M X = masa generalizada{ } [ ] { } 0 = jTiX K X paraj i { } [ ] { }i i iTim da generaliza rigidez k X K X = = = 2_ De lo anterior obtenemos la ecuacin de Rayleigh:{ } [ ] { }{ } [ ] { }iTiiTiiX M XX K X =2Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg18de101 Los vectores correspondientes a las formas modales del sistema suelen normalizarse. Una delas normalizaciones ms usadas es usar la masa. As, los autovectores se escalan para que lamasa generalizada sea la unidad:{ } [ ] { } 1 = jTiX M XLasherramientasderesolucindevibracionesporelMEF,permitenhacerdiferentesnormalizaciones,aunquetodasconsideranlaanteriorcomodefecto.Sifueranecesariaotranormalizacin sera conveniente estudiar el caso particular.La resolucin del problema de autovalores y autovectores,nos da como resultado la posibilidaddegenerarlamatrizdemodos[ ] ,cuyascolumnasrepresentanlosmodosnaturalesdevibracin.Si consideramos:{ } { } {} x x~ =siendo{} x~ las coordenadas generalizadas matriz de dimensin mx1[ ] matriz de dimensin nxm con n = n de gdl no restringidos y m = n de modos calculados5.3.2.- Factores de Participacin Modal.Partamos para esta descripcin de un caso general de una estructura que puede estar excitadaporunasfuerzasodesplazamientosforzadosenlabaseyunadiscretizacindelcontinuopormedio de un modelo de Elementos Finitos. Para la consideracin de los factores de participacinmodal se considerar que el movimiento absoluto de los nudos de la estructura se compone deunmovimientorelativoyunmovimientoproducidoporlaimposicindedesplazamientoscomoslido rgido (arrastre); as: { } { } { }s r ax x x + =Si consideramos la ecuacin del movimiento:[ ] { } [ ] { } [ ] { } 0 = + + r r ax K x C x M & & &Debidoaquelasfuerzasexterioressonnulas,ylasfuerzaselsticasydeamortiguamientodependen de{ }rxy de{ }rx& . Se podra expresar entonces:{ } { } { }s r ax x x & & & & & & + =y :[ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { }s r r rx M x K x C x M & & & & & = + + Laexpresin[ ] { }sx M & & definelasfuerzasdeinerciadelsistemadebidasaldesplazamientocomoslidorgido;y{ }sx& & seranlasaceleracionesproducidasenlosnudosdebidoalosdesplazamientos como slido rgido{ }srximpuestos en el movimiento.Se va a poder expresar la influencia del movimiento de slido rgido en los desplazamientos delos nudos de la forma siguiente:{ } [ ] { }sr sx T x + =siendo[ ] T lamatrizdeinfluencia(nx6)queesde valores constantes, por lo que{ } [ ] { }sr sx T x & & & & + = . As:Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg19de101[ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] [ ] { }sr r r rx T M x K x C x M & & & & & = + + Considerando las coordenadas generalizadas{ } { } { }r rx x~ =y premultiplicando por{ }T :[ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { }srTrTrTrTx T M x K x C x M & && & & = + + ~ ~ ~Llamaremos:[ ] [ ] [ ] [ ]*M MT= Matriz de masa modal (matriz diagonal)[ ] [ ] [ ] [ ]*C CT= Matriz de amortiguamiento modal (diagonal si es proporcional a M o K)[ ] [ ] [ ] [ ]*K KT= Matriz de rigidez modal (matriz diagonal)Si llamamos[ ] [ ] [ ] [ ]6 6 = m n n nTn mPF T M conn = n de gdl del modelo no restringidos ym = n de modos calculados.Considerando m = n, definimos[ ]6 nPFcomo matriz de factores de participacin:[ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { }sr r r rx PF x K x C x M & && & & = + + ~ ~ ~ *Si analizamos la ecuacin correspondiente al modo i:[ ] { }1 6 6 1~ ~ ~x sr x i r i r i ri ix PF x k x c x m & && & & = + + DelaecuacinanteriordeducimosqueelelementoPFij eslafuerzaqueactaenelmodoicuando la aceleracin de slido rgido es unitaria sobre el grado de libertad j y nula en el resto.Matriz de factores de participacin modalDelasexpresionesanterioresvamosadeducirlamatrizdeparticipacinmodal.Sipremultiplicamos la ecuacin en la definimos los factores de participacin por[ ]1*M :{ } [ ] [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] { }sr r r rx PF M x K M x C M x & && & & = + + 1*1*1* ~ ~ ~Definimos: [ ] [ ] [ ] PF M MPF =1* como matriz de factores de participacin modal.Si hacemos la extraccin de la ecuacin del modo i como en el prrafo anterior:[ ] { }1 6 6 1~ ~ ~x sr x i riiriirix MPF xmkxmcx & && & & = + +[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] T MmPFmMPFTiiiii = =1 1Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg20de101El factor de participacin modal MPFij (modo i y gdl j) se define como el factor por el que habraque multiplicar la aceleracin de slido rgido en el gdl j, siendo nulas las aceleraciones del restode gdl, para obtener la aceleracin aplicada en el modo i.5.3.3.- Masas Efectivas.Siconsideramosunmovimientoinducidodeslidorgidosoloenelgradodelibertadjdelasecuaciones anteriores podemos deducir lo siguiente:{ } [ ] { }srj jTiiiriiiriiirx T Mmxmkxmcx & && & & = + +1~ ~ ~La solucin se consigue a travs de la integral de Duhamel:( ) { } [ ] { }( )( ) [ ] d t e x T Mmt xtitsrj jTii iiri i = 0sen1~& &( ) { } [ ] { } ( ) t V T Mmt xi jTii iir =1~La aceleracin efectiva para el modo i se define de la forma:ir i irefx x& & & & ~ ~ 2 =Si se deshace el cambio de coordenadas generalizadas:{ } { }= =niiref i refx x1~& && &Con esto, la aceleracin efectiva quedara de la forma:{ }{ } { } [ ] { }( ) t VmT Mxini ijTi ii ref = =1 & &Las fuerzas efectivas seran de la forma:{ } [ ] { }ref efx M F & & =El sistema de fuerzas aplicado en uno de los nudos del modelo es equivalente a una fuerza enel punto de referencia PPR en el gdl j.{ } { }{ } [ ] { } { } [ ] { }( ) t VmT M M TF T Pi ini ijTi iTjefTj PRj = ==1y con las ecuaciones anteriores:{ } [ ] { } ( )( ) t VmT MPi ini ijTiPRj = =12donde { } [ ] { } ( )ijTiefijmT Mm2 = sellama"masaefectiva"del modo i correspondiente al gdl j; y representa la parte de la masa total que acta en el modo icuando se aplica un movimiento de slido rgido en el gdl j en el punto de referencia.El valor de las masas efectivas no depende de la normalizacin empleada para los modos.Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg21de1015.4.- Consideraciones Especiales en el Anlisis Modal.5.4.1.- Anlisis Modal No-lineal.Las no linealidades del anlisis modal vienen por la aparicin de condiciones de: problemas degrandesdesplazamientos,modelosprecargados,contactos.Utilizaremosparalamejorexplicacin de la formulacin los conceptos considerados en el mtodo de los elementos finitos.Aunquelosdesplazamientos(olasdeformaciones)seangrandesopequeos,lascondicionesde equilibrio entre las "fuerzas " exteriores e interiores deben cumplirse. Por consiguiente, si sedefinenlosdesplazamientosdelamanerahabitualenfuncindeunnmerofinitodeparmetros (nodales) a, pueden obtenerse las ecuaciones de equilibrio necesarias mediante elprincipiodelostrabajosvirtuales.Sinembargo,las"tensiones"ylas"deformaciones"debendefinirse ahora de manera que sean conjugadas entre s. Puede escribirse( ) = = VTf dV B a 0 donderepresenta la suma de fuerzas generalizadas interiores y exteriores, yBse deducede la definicin de las deformacionesda B d = B sedistingueconunabarraporque,silosdesplazamientossongrandes,lasdeformacionesson una funcin no lineal de los desplazamientos, y la matrizBdepende ahora de a. Se podraescribir= B0B + ( ) a BLdonde 0B eslamismamatrizqueintervienecuandonoseconsideranmsquelasdeformaciones infinitesimales lineales, y LB es una matriz que depende de los desplazamientos.En general se encontrar que LB es una funcin lineal de dichos desplazamientos.Silasdeformacionessonmoderadamentepequeas,siguesiendovlidalarelacinelsticageneral( )0 0 + = Den la que D es la matriz habitual de constantes elsticas.Sinembargo,sepodraigualmenteescribircualquiertipoderelacionesnolinealesentretensionesydeformaciones,yqueendefinitiva,elprocesosereducedenuevoaresolverunsistema de ecuaciones no lineales.HayqueconsiderarquelasintegralesqueaparecenenlaecuacinprimerasecalculanenelMEF elemento por elemento y que para establecer el "equilibrio nodal", las contribuciones de losdiversos elementos se suman segn la manera habitual.Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg22de101Lasolucindelaecuacindebeencontrarseporaproximacionessucesivassiguiendounmtodo iterativo; por consiguiente, son aplicables los mtodos generales.Si, por ejemplo, se utiliza el mtodo de Newton-Raphson, se buscar una relacin entre da y d.Efectuando la diferenciacin del primer miembro de la ecuacin con respecto a da, se tiene = + = VTVT Tda K dV d B dV B d d y usando las otras dos ecuaciones se obtieneda B D d D d = = y teniendo en cuenta la relacin antes citada LdB B d =Por tanto,da K dV B d dVTL + = donde+ = =VLTK K dV B D B K0y en la que 0K representa la matriz de rigidez usual para el caso de pequeos desplazamientos;o sea, =VTdV B D B K0 0 0La matriz LK es debida a los grandes desplazamientos y viene dada por( ) + + =VTL LTL LTLdV B D B B D B B D B K0 0LK seconocebajodenominacionesdiversas,como"matrizdedesplazamientosiniciales","matriz de grandes desplazamientos",y contiene slo trminos de primer y segundo grado en a.Puede demostrarse que esta matriz podra obtenerse de otra forma manteniendo la hiptesis deque las deformaciones son infinitesimales, pero teniendo en cuenta en el clculo de la matriz derigidez, la variacin de las coordenadas de los elementos. Es decir calcular la matriz de rigidezde la estructura deformada.El primer trmino de la ecuacin en que hemos definido d puede escribirse de manera generalcomoda K dV dBVTL Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg23de101y por tanto( ) da K da K K K dT L = + + = 0donde TK representalamatrizderigideztangentetotal,queyaconsideralostrminosnolineales. Puede aplicarse nuevamente una iteracin del tipo de Newton para la resolucin..Resumiendo:a)Se calcula la solucin elstica 0acomo primera aproximacin;b)Se deduce 0de la ecuacin primera, estando B convenientemente definida por la ecuacin= B0B +BLy las tensiones por la ecuacin( )0 0 + = D(u otra ley lineal o no lineal);c)Se calcula la matrizT K0, yd)Se calcula la correccin con la ayuda de la relacin( )0100 = T K ay se repite el proceso desde b hasta que nse suficientemente pequeo.Podra utilizarse de nuevo una matriz constante, lo que aumenta el nmero de iteraciones peropermiteemplearunprocedimientoderesolucinmaseconmicoinvirtiendoparcialmente,unavez por todas, la matriz TK .ElejemplomsclarodenolinealidadomodeloprecargadodentrodeloscomponentesenestudiodentrodeITPsonloslabesdelrotordeturbina.Laprecargavaaintroducirmodificaciones en el comportamiento dinmico de la estructura, ya que, como hemos visto, va ainfluir en la definicin de la matriz de rigidez de la misma.5.4.2.- Simetra Cclica.La simetra cclica de una estructura supone que la estructura global puede descomponerse enunaseriedesectoresqueserepitenporrotacindelsectormaestroenunngulomltiplode2/N, siendo N el nmero de sectores en que se divide la estructura.No vamos a entrar en la formulacin asociada a esta circunstancia, pero para poder entenderlaes necesario tener en cuentalo siguiente: se define el problema en coordenadas cilndricas, yseconsideraelejedesimetraelejedegiro.Deestaformatantolosdesplazamientoscomovelocidades,aceleracionesomatrizderigidezymasadebenserexpresadasencoordenadascilndricas.{ } [ ] { } [ ]TcilL X L X = [ ] [ ] [ ] [ ] L K L KTcil = [ ] [ ] [ ] [ ] L M L MTcil =siendo[ ] Lla matriz detransformacin de coordenadas.Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg24de101Cada trmino de la matriz de rigidez[ ]cilKKij, por ejemplo, acopla las variables i y j en el sectormaestro, y su contribucin a la energa de deformacin puede expresarse como j i ijX X K 21, ysu contribucin en otros sectores tendrn el mismo Kij pero diferentes Xi y Xj.LasocurrenciasdelavariablecilndricaXipuedeexpresarsecomounaseriedeFouriedeNtrminos:( ) = =+ =2 /02 /0cos 0 _ secNnNnisni icni isinn X n X tor X ( ) ( ) ( ) = = + + + =2 /02 /02 2cos _ secNnNnisni icni iNksinn XNkn X k tor XTeniendo en cuenta lo expuesto en los prrafos anteriores sobre la contribucin de cada sectora la energa de deformacin total del sistema, nos da como resultado la siguiente expresin:( ) { } [ ] [ ] [ ] { }sn cncilTsn cnnX i X T K T X i XN + +014 siendo[ ] Tmatriz diagonal compleja.Si aplicamos los mismos argumentos para la contribucin a la energa cintica, tenemos que laexpresin para la resolucin del problema de autovalores quedara de la forma:[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] ( ) { } 0 = + sn cn T TiX X T L M L T T L K L T donde[ ] K Es la matriz de rigidez convencional del sector dato.[ ] M Es la matriz de masa convencional del sector dato.[ ] L Es la matriz de transformacin ortogonal a ejes cilndricos.[ ] T Es la matriz diagonal compleja de transformacin a variables cclicas. Es el autovalor{ }sn cniX X + Es elautovector complejoParaelclculofinal,losautovectoresresultantessetransformandevariablescclicasacartesianas,ylosclculosdetensionesydeformacionesseobtienencomoenunclculoconvencional.Es importante conocer para la realizacin de estos anlisis de simetra cclica los conceptos dedimetros nodales o anillos nodales.Undimetronodal,i,sedefinecomolalocalizacin,,encoordenadascilndricas,quetienenun desplazamiento nulo en un movimiento vibratorio.Unanillonodal,j,sedefinecomolalocalizacin,r,queencoordenadascilndricastienedesplazamiento nulo.i=0; j=0 i=0; j=1 i=0; j=2Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg25de101I=1; j=0 i=2; j=1 i=1; j=2Engeneral,larespuestaenunmodonormal,notieneelmismovalorcuantitativodesectorasector. Sin embargo, la respuesta puede expresarse como una serie de Fourier de N trminos: = =|.|

\|+|.|

\|=2 /02 /02 2cosNnNnsn cnjNjnsinn RNjnn R R para N par, y( ) ( ) ==|.|

\|+|.|

\|=2 / 102 / 102 2cosNnNnsn cnjNjnsinn RNjnn R R para N impar.EnamboscasoshayexactamenteNcoeficientesRcnyRsn ylasdosrepresentacionessonequivalentesyaplicanacualquierrespuestaposible.EllmiteporarribadeN/2o(N-1)/2esimportante.Porejemplosiunaestructurade40sectoresestvibrandoconunaformadecos32, la variacin de cada variable cilndrica tendr una apariencia de cos4.Figura 5.4.2.1-1,5-1-0,500,511,5001,80,180,36 0,54 0,72 0,9 1,08 1,26 1,44 1,62 1,8 1,98cos4qcos 36qCopia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg26de101Hayquehacernotarquerealmente,sisebuscadescribirlavariacincircunferencialenlaamplitudatravsdeldesplazamientorelativoconrespectoaalgunareferencia,nohabrposibilidad de resolverlo para dimetros nodales mayores d N/2 o (N-1)/2. Para un Bladed-Disk,laformadeldesplazamientodeldiscocomocos(n)paran>N/2,descritoentrminosdedesplazamientos del rim o del labe en N puntos iguales alrededor del disco aparentar como sila forma modal correspondiera a cos(N-n). Esto quiere decir que los dimetros nodales n y N-nno son distinguibles en un ensamblaje de N labes. Este fenmeno tiene implicaciones para elnmerodeensamblajesdelabes,sobretodolosquetienenshroud,dondelosdimetrosnodalesneneldiscoyN-nenelshroudserncompatibles,yaquelasdospartesestnconectadas nicamente a travs de un nmero N de labes.5.4.3.- Generacin del Diagrama de Campbell.Para los casos de anlisis de vibraciones de turbomaquinaria, es de gran inters la generacindeldiagramadeCampbello"SpokeDiagram"odiagramadeinterferencias,dndedeformagrficapuederepresentarseelcomportamientodinmicodelRotoroEsttorydefinirlaspotenciales resonancias que el sistema puede inducir en su funcionamiento.Aseneldiagramaapareceenabscisaslavelocidaddefuncionamientodelrotor,yenordenadas las frecuencias de las familias de modos de vibracin.ParalageneracindeldiagramadeCampbellsesuelerealizarelanlisismodaladiferentesvelocidades del rotor, ya que normalmente las familias de modos suelen estar representadas poruna funcin parablica de la forma:( )2 2 2 + = b a fAs,sesuelencalcularlasfrecuenciasavelocidadnula,mximavelocidadyunavelocidadintermedia.Lageneracindeldiagramaconsideraportanto,lasfrecuenciasanterioresparalosmodosofamiliasdemodosparacadaunodelosndicesdeFourieranalizados.Seconsideraqueelmodo n en condiciones de funcionamiento corresponde al modo n en condiciones estticas paraun ndice de Fourier determinado.Con esto vemos que las constantesayb,secalcularnconlascondicionesdecontornoparacondiciones estticas o de funcionamiento.Eldiagramabuscalaspotencialesresonanciasquepuedenaparecerenelrangodefuncionamiento,paraloquesedibujanlaslneasquecorrespondenalos"engineorders",queno son otra cosa que los armnicos de la velocidad de giro del eje. Se representan por tanto porlneas rectas de la forma:60_) ( _Order Enginerpm speed Engine f =Con los datos del comportamiento dinmico y los "engine orders", se calculan las interseccionesparacadamodoofamiliademodos,paratodoslosndicesdeFourier(dimetrosnodales2D,3D,..) y su correspondiente lnea de"engine order" (2D/2EO, 3D/3EO,.).LospuntosdeinterseccinparatodoslosndicesdeFourierespecificados,sedescribenenforma de % sobre la velocidad y frecuencia, y dan lugar a lo que llamamos "Spoke Diagram" o"Diagrama de Interferencias". No se describirn aqu los criterios para el clculo de vibracionesCopia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg27de101delabes,estosaparecenenlaref.25;solosepresentaunejemplodeundiagramadeinterferencia.Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg28de1016.- Anlisis de Respuesta.6.1- Definicin del anlisis de respuesta.Atravsdeanlisismodalsehacomprobadoquecadaestructuratieneunasfrecuenciaspropias,quesonaquellasenlasquelaenergacinticayelsticadelaestructuraestnencontrafase y con el mismo mdulo, o lo que es lo mismo,quela energa elstica se conviertaen cintica, o viceversa en la misma cuanta para un ciclo. Un ejemplo de movimiento oscilatorio ms cotidiano esun pndulo donde la energa potencialseconvierteencinticayviceversayademslohaceconundeterminadoperiodo( ) Hz fLg = = 2 . En el caso de las vibraciones la energa cintica se convierte en elstica ylafrecuenciaresultanteseraquellaqueigualelasenergaselsticaycinticaporciclo.Lafrecuencia para un sistema de un grado de libertad es( ) Hz fmk = = 2Qu ocurre si aplicamos una fuerza armnica en una estructura? No sucede nada salvo en lascercanas de las frecuencias de resonancia la amplitud que esperaramos de forma esttica semultiplica.AlfactorquerelacionalarespuestaestticaconladinmicaseledenominaQ"Factor de amplificacin dinmica "este factor depende del tipo de estructura pero un numeromuy comn es 50. Si un elemento entra en resonancia las amplitudes son grandes y los ciclosse consumen rpidamente, es decir, el fallo se producir en breve.Cambiamosnuestropnduloporuncolumpioconunnio,queaunquenoconstituyeunproblema de vibraciones, puede ser muy descriptivo para definir conceptos. Todos sabemos deformaintuitivaquesiqueremosquelaamplituddelcolumpiocrezcadebemosempujarelcolumpioconlamismafrecuenciaconlaqueelcolumpiosemueve,sinoesasestamosparndolo.Respectoalpuntodeaplicacindelafuerzaesimportanteempujaralnio,lasfuerzasdebendeactuarenlaszonasdemximaenergacintica,esdecir,mximodesplazamiento no hacemos nada si empujamos los soportes de columpio.Paraexcitarunmodolasfuerzasarmnicasactuanteslosdebendehacerenlaszonasdemximodesplazamientodelosmodosyenfaseconelmismo.Hayunfactorparamedirlaeficaciadeunadeterminadafuerzaparaexcitarunmodo.Sedenomina"coordenadageneralizada de la fuerza para el modo" y se calcula a partir del producto escalar entre el vectordefuerzayeldelmodoencuestin.Silosdosvectoressonparalelosobtenemoselvaloresmximo y por los tanto la mxima respuesta.En resumen podemos sacar de conclusin:1Hay unas caractersticas propias de cada estructura, sus modos y frecuencias naturales, quehacenqueestaestructurasometidaafuerzasarmnicaaestasfrecuenciasyactuandoenlasCopia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg29de101mima direccin que el modo se produce desplazamiento importante. En torno a 50 veces lo quecabe esperar de una respuestaesttica.2Eldesplazamientoproducegrandestensionesyalrealizarsegrancantidaddeciclosporsegundo el dao el dao causado en la estructura produce rotura muy rpida.6.2- Respuesta Forzada en un sistema de 1gdl.6.2.1- Ecuacin del movimiento.Las vibraciones forzadas estn gobernadas por la ecuacin diferencial:( ) ( ) ( ) ( ) t f t x K t x c t x M = + + & & & f(t)La solucin se obtendr sumando a la solucin general de la ecuacinhomognea x(t)=Xe-tcos(Dt-)) una solucin particular de la ecuacincompleta.Partedelasolucinestransitoriayrepresentaelcambiobruscodelsistemadeestarsinexcitacinaestarexcitado,esunasolucin transitoria. La otra parte de la solucin es estacionaria y es laquenosinteresaengeneralrepresentaelcomportamientobajounafuerza excitadora, como se ve la respuesta es armnica. Excitacin en los apoyosFigura 6.2.1.1 Solucin completaRespuestatransitoriaRespuestaestacionariakmcx0xCopia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg30de1016.3- Transformada de Fourier.Sabemos obtener la respuesta de la estructura para una excitacin senoidal a una determinadofrecuencia, pero en muchos casos las cargas dependen del tiempo. La transformada de Fouriernos permite convertir cualquier carga en el dominio del tiempo a la frecuencia, y la trasformadade Fourier inversa lo har al revs de la frecuencia al tiempo:1 En un primer paso se obtiene la transformada de Fourier de la solicitacin en el tiempoque tenemos, de esta forma tenemos nuestra excitacin en el campo de la frecuencia.2 Obtenemos la respuesta para cada frecuencia.3 Realizando la transformada de Fourier inversa obtenemos de nuevo el resultado en eldominiodeltiempo.Estassimplificacionessepuedenrealizarporqueelsistemaeslinealylasuma de los efectos de dos fuerzas, es igual al efecto de la suma de fuerzas.6.4- Excitacin en la base.Lassolucionesdelaecuacinanteriornosdanunresultadodiferentesdependiendodelamortiguamientodealestructuraenlagrficasiguienteseapreciaelfactordeamplificacindinmica en funcin de la frecuencias de excitacin.El resultado de la ecuacin para una excitacin armonica se presenta en la siguiente ecuacin,dondef0eselmodulodelafuerzaexcitadora,keslarigidezdelsistema,eslarazndelafrecuencia de resonancia y la frecuencia excitadora, es le amortiguamiento relativo.( ) ( )22202 11 + =kfx212= arctgFigura 6.3.1.1 respuesta de la estructura y desfase de la respuestaCopia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg31de101Hemossupuestoexcitacinarmnicaycomoeralgicalosmximosseproducencuandolafrecuenciaexcitadoracoincideconlanaturaldelaestructura,ylaamplitudmximaobtenidadepende del amortiguamiento del sistema. Tambin se aprecia enla resonancia se produce uncambio de fase entre la excitacin y el movimiento de la estructura.Enocasiones,lasvibracionesdeunsistemamecniconovienengeneradasporlaaplicacinexternadeunascargasexterioresqueseanfuncinconocidadeltiempo,sinoporunosmovimientosconocidos(almenoshastaciertopunto)delsoporteobasesobrelaqueseencuentra el sistema. Los terremotos y la transmisin de vibraciones de una estructura a otra oaunamquina,sonejemplossignificativosdeestetipodesolicitaciones.EnlaFigura6.3.1.2,se representa el sistema discreto bsico de 1 gdl correspondiente a esta situacin.Figura 6.3.1.2Si se establece el equilibrio de las fuerzas que actan sobre la masa m:( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) t f t x t x k t x t x c t x mi i= + + & & & &Restando a ambos miembros Mx'' y teniendo en cuenta la ecuacin diferencial que gobierna lasvibraciones forzadas de sistemas de un grado de libertad:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t x m t f t x k t x c t x mi& && & & = + + Ecuacin anloga a la del sistema discreto bsico, pero aplicada al movimiento relativo sistema-soporte.Paraestetipodeproblemasseestableceelparmetrode"transmisibilidad"querelaciona los desplazamientos en la basa con los desplazamientos del elemento.Transmisibilidad desplazamiento estructura / desplazamiento en la baseLa transmisibilidad esta relacionada con el factor de amplificacin dinmica:( )22 1 + = D TrCopia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg32de101Tambin se define el factor de participacin modal (que se han comentado con anterioridad enel apartado de Anlisis Modal.) que nos dice lo sensible que es un modo a una excitacin en labase en los ejes cartesianos.6.5- Aplicacin a componentes.Elanlisisderespuestaafectaacomponentesqueveanfuerzasvariablesensufuncionamiento,yseaconocidalanaturalezadelasfuerzas.Enturbomaquinariatodosloselementosqueestnenelflowpathsonsusceptibles,alabes,NGV's,etc.yaquevenpresionesvariablesconeltiempoparalosdiferentesEO.Elunbalancedelejepuedeinducirtambin fuerzas excitadoras. Las tuberas y dems elementos que estn sobre las carcasas delmotor estn sometidas a unas excitaciones provenientes de los de la propia carcasa a travs delos brackets.Engeneralestoscomponessediseabaparaevitarquelasfrecuenciasderesonancianocoincidan con las frecuencias de excitacin, por ejemplo en el caso de alabes se evitan que lasfrecuencias naturales corten los EO considerados peligrosos en el rango de funcionamiento. Enestoscasosconunanlisismodalessuficienteparaeldiseodelcomponente.Solamenteenalgunos casos concretos se tiene en cuenta que se va a convivir con la resonancia para estoses para los que se necesita realizar un anlisis de respuesta forzada.6.6- Mtodo de Clculo.6.6.1- Consideraciones Generales.En general se utilizan programas de elementos finitos. Que resuelven la ecuacin:Se tiene dos formas de resolver la ecuacin:1 Una directa en la que para cada frecuenciaseobtieneelvectordedesplazamientosobtiene la inversa de la matriz.2Apartirdeanlisismodal.Secalculanlosmodosyfrecuenciasnaturales.Posteriormenteseobtienenelfactordeparticipacinmodaldelafuerzaparacadamodoyseresuelvenelmismosistemaqueelanteriorsalvoqueenestecasotodaslasmatricessondiagonalesyporlostantoeseclculoesmsrpidoysencillo.Esteprocesotieneunainterpretacinfsica:enunprimerpasoseobtienelavectorfuerzaenotrascoordenadasquesonlasdelosmodosyelrestodematricessdiagonalizanporuncambiodecoordenadasponiendodemanifiestoquecadamodofuncionadeformaindependienteysusefectossesuperponen.[ ] [ ] [ ] ( ){ } { } ) (2w f q C iw M Ks s s= + { } [ ] [ ] [ ] ( ) { } ) (12w f C iw M K qs s s+ = Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg33de101Fig. 6.6.1.1. Funcin de respuesta en frecuencia obtenida en SC03 para dos modos6.6.2- No Linealidades.Engeneralcuandoqueremosreducirlaamplituddelarespuestadinmica,seintroducenelementosexternos"dampers"queparacadaciclodevibracindisipanenerga.Elcomportamiento de estos elementos en general es no lineal porque tiene que realizar un ciclo dehistresisquedisipeenerga.Porejemploenlafigura6.6.2.2aparecelacurvadecomportamientodeunamortiguadosdefriccinquecorrespondeaelementodefriccinutilizadosenalabesdeturbina.Sucomportamientoesnolineal:Cuandolafuerzasobreelelementosuperaundeterminadovalorelelementosedesplaza.Comoseapreciaenlafigurapor cada ciclo se produce un ciclo de histresis, disipando energa por friccin.Fig. 6.6.2.1. Amortiguadores de friccin para alabes Underpaltform damper y Tipdamper. FuerzaaerodinmicaaplicadaBarrido defrecuenciaDos modosexcitadosCopia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg34de101Fig.6.6.2.2.Comportamiento no lineal de la friccin. Ciclo de histresis fuerza desplazamiento, yfuerza en el tiempoOtra no-linealidad que en algunos casos se debe tener en cuenta son las holguras, choques, oelementos en contactoque durante un mismo ciclo estn en contacto y dejan de estarlo.Fig.6.6.2.3 Comportamiento del elemento gas.Estas no linealidades no se pueden resolver en el dominio de la frecuencia. Se debe resolver laecuacin de la respuesta forzada en el dominio del tiempo. Esto requiere condensar el modelodinmico y mucho ms tiempo de computacin.En la actualidad se estn desarrollandomtodos para convertir estas no linealidades en fuerzas armnicas, se trata de los mtodos delbalance multiarmnico. Para ms informacin sobre este tipo de anlisis consultar el curso derespuesta forzada:http://10.5.0.8/cme/modules.php?name=Nuke_Web&page=/Imagenes_ppal/Training/Vibraciones_respuesta_forzada.htm.0 2 4 6tF-10-8-6-4-20246810-0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15rFFKdamperN Frozam. =F(x)xkhCopia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg35de101.6.7- Mistuning.6.7.1- Consideraciones Generales.No existen dos componentes totalmente iguales, siempre se producen pequeas variaciones enmasa, rigidez, resistencia etc. Estas variaciones se controlan de forma estadstica, y dependendirectamente de las tolerancias de fabricacin.Existen casos como el de los alabes de turbina,enquelasdiferenciasdepesoentrelosdiferentesalabesquesemontanenunmismodisco,nos obliga a colocar los alabes para que el cdg del conjunto est lo ms cercano posible al ejederotacin.Enotroscasoscomoeldelaspropiedadesdefatiga,tensinultima,delosmateriales,ladispersindelosdatosseresuelveutilizandopropiedadesmnimasqueseconsideraran adecuadas para un determinado riesgo.Mistuningliteralmentesignificaperdidadetonoyesotrofenmenorelacionadoconlasvariacionesde:Masa,frecuencianatural,deformamodal,throatrea,"staggerangle"(ngulodeataque)delosalabesmontadosenundisco.Cadaalabedentrodelmismodiscotendrfrecuencias naturales distintas pero muy cercanas. Sus efectos son:1Losdosmodosqueseobtieneparacadadimetronodalseconviertenentantosmodos como numero de alabes hay en le disco, y todos ellos con frecuencias muy cercanas.2 Los dimetros nodales pueden llegara confundirse si las frecuencias son cercanas.3 Todos los alabes no van a tener la misma tensin dinmica.4Latensinmximadelaestructuraparaunamismafuerzaexcitadoraexterioressuperior (En un 150%) al caso con todos los alabes iguales o caso tuneado.5 El flameo o probabilidad de flameo se reduce porque los modos resultantes en generalevitan que se muevan en fase los alabes vecinos.Fig.6.7.1.1 FRF para los diferentes alabes de un rotor caso tuneado y "mistuneado".6.7.2- Aplicacin a Componentes.A cualquier componente cclico Pero en el que realmente tiene inters es en los alabes de rotordeturbinayaqueenmuchoscasosestndimensionadosafatigadealtociclos.Deahoraenadelante cuando nos referimos a mistuning nos referir a alabes de rotor.Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg36de1016.7.3- Mtodo de Clculo.Podemos decir que hay diferentes tipos de aproximaciones:1-Suponer un factor constante debido al mistuning.Esloquesehacehabitualmente.Seanalizanlosalabesparatenerun"EnduranceRatio"del50%Enestemargenseintroducentodotipodeincertidumbres,lasvariacionesdeunmotoraotro respecto a la fuerza excitadora, mistuning, error en las mediciones de SGs etc.2-Uso de sistemas de 1 gdl.Se trata de sistema de pocos grados de libertad que representan un rotor completo en generalsetratandeanillosconmasasymuelles.Sehacomprobadoquenocorrespondenconlarealidad, aunque han servido para explicar el fenmeno.Fig. 6.7.3.1. Sistema de masas y muelles. Con el factor de mistuning que se le asocia.3-Uso de un cdigo basado en sensibilidades.A travs de programas de respuesta forzada y que utilizan la identidad de Sherman, Morrison, yWoodburyXXXXref.Mediantelacualseobtienelavariacindelarespuestadeunsistemamecnicoapartirdelaspequeasperturbacionesdelamasayrigidezdelaestructura.Estosprogramas resuelven la ecuacin:Z(w)representalavariacindelasmatricesdemasa,rigidez,yamortiguamientoconelmistuning.LaidentidaddeShermanevitarealizarunainversaparaevaluarelefectodelmistuning, por lo tanto un gran ahorro de tiempo de calculo.Fig.6.7.3.2.Modo de flameo para el dimetro nodal 2. Teniendo en cuenta el mistuning la ondaya no es perfecta.( ) 121+ = N Amax[ ] [ ] [ ] ( ){ } { } ( ){ } { } f q Z f q D i M Ks s s= = + 02{ } ( ) [ ] { } f Z Z q10) ( + = Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg37de1016.7.4- Situacin actual y futuros desarrollos.A da de hoy en la mayora de las compaas el mistuning es tenido en cuenta pero esta incluidoenesegransacodeincertidumbresdelanlisisdinmico.Esconocimientodelfenmenonospermitir reducir este conservadurismo. Como regla general podemos decir:El aumento del mistuning reduce o elimina el flutter. (Trent 800 LPT1)El factor de mistuning (factor a multiplicar la tensin tuneado obtenida para tener la peorde mistuning) habitual en los componentes con los que tratamos en ITP es en torno al 2.5.Sobre la colocacin de la instrumentacin en los motores de desarrollo. Se debe colocarlainstrumentacinenaquellosalabesdondesufrecuencianaturalcoincidaconladelcasotuneado, porque su respuesta dinmica es la mayor del conjunto.Seestbuscando,conlosdesarrollosactuales,elpoderaprovecharestapropiedadanuestrofavor:diferentesordenacionesdealabes,cuantificacindelefectodelmistuningenelflutter,desarrollo de software validado para clculo de tensiones alternantes mximas.Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg38de1017- VIBRACIONES ALEATORIAS.7.1- Descripcin del Problema.Si la excitacin dinmica que recibe un sistema estructural es impredecible o no determinista, sedenominaexcitacinaleatoria.Ejemplosdeexcitacinaleatoriasonlafuerzadelviento,elmovimiento en la base de edificios provocado por terremotos y, en nuestro campo, las rfagas(gusts)deaeronavesenvuelo,lasvibracionesproducidasporlasfluctuacionesdelosgasesde escape de motores.Por su propia naturaleza, el tratamiento de este tipo de excitacin aleatoria es estadstico y, portanto, se introducirn conceptos de base estadstica intentando reducir a un mnimo consistentesu tratamiento matemtico.Enlasrestantesseccionessedetallanlosconceptosbsicosnecesariospararealizarunanlisisderespuestabajocargasaleatoriasdeunaestructuraylaposteriorverificacindesuresistencia esttica, a fatiga y a propagacin de grietas, si aplica.7.2- Definicin de la excitacin aleatoria: densidad espectral.Ladefinicinmashabitualdeunaexcitacinaleatoriaserealizaatravsdesudensidadespectral(powerspectraldensity(PSD)).Ladensidadespectralpresentaelcontenidoenfrecuencia de dicha excitacin aleatoria.Dadaunaexcitacinx(t),funcindeltiempo,demedianula(m=E[x]=0),quetienecarcteraleatorio,ladensidadespectralSx(f),funcindelafrecuencia,secalculamediantelatransformada de Fourier de su funcin de auto correlacin Rx() segn Ref. (13):( ) ( ) = d e R21f Sf 2 ix xestando la funcin de auto correlacin Rx () calculada como el valor medio del producto de x (t)x (t+):( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] + = + = dt t x p t x t x t x t x E Rxsiendo p [x (t)] la funcin de densidad de probabilidad de la variable x.Una propiedad fundamental de la densidad espectral, es que el rea A encerrada bajo su curvacorresponde el valor cuadrtico medio E [x2] de la variable x:[ ] ( ) = =0x2df f S x E ACopia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg39de101Comoelvalorcuadrticomedioeslasumadelavarianzaydelamediaalcuadrado:E[x2]=2+m2, siendo el valor de m=0, la raz cuadrada del rea A corresponde a la desviacin tpica de la variable x:[ ]rms2x x E A = = = AlarazcuadradadelvalorcuadrticomedioxrmsseledenominavalorRMS(RootMeanSquare) de la variable x. Como la variable x tiene media nula (m=0), el valor de RMS coincidecon la desviacin tpica .Figura7.21.1:Ejemplodedensidadespectral,valorRMSydesviacintpicadeunavariablealeatoria de valor medio nulo.Ladefinicinmshabitualdeladensidadespectral(PSD)deunaexcitacinaleatoriaeslaaceleracin forzada en la base o apoyo de la estructura. Las unidades mas habituales de la PSDdeestaaceleracines[g2/Hz],siendogelvalordelaaceleracindelagravedad.Deestamanera y, como cabra esperar, las unidades de RMS o de la desviacin tpica son [g].La forma tpica de definicin prctica de la densidad espectralde una excitacin aleatoria vienerepresentada en la siguiente figura en un diagrama doble-logartmico:Figura 7.1.2ASx(f)fA RMS = = log PSDlog fp0fif0f1ffB [dB/oct]A [dB/oct]Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg40de101Enestafigura,lapendienteseespecificaendecibelios/octava[dB/oct].SiAeselvalordelapendiente en [dB/oct], la pendiente en el diagrama doble logartmico tiene valor:2 log 10ADe esta manera, el tramo ascendente de pendiente A tiene la ecuacin:2 log 10A00ffp p||.|

\|=fi < f < f0siendo p el valor de la PSD en [g2/Hz] y f el valor de la frecuencia.De manera similar, el tramo descendente de pendiente B (negativa) tiene la ecuacin:2 log 10B10ffp p||.|

\|=f1 < f < ffsiendo B un valor negativo.Para un ejemplo concreto, la apariencia de este diagrama en escalas logartmicas y en escalasnormales es la recogida en los siguientes grficos:Densidad espectralp0=100; fi=10; f0=50; f1=100; ff=200; A=4; B=-61010010 100 1000frecuencia [Hz]PSD [g2/Hz]Figura 7.2.3Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg41de101Densidad espectralp0=100; fi=10; f0=50; f1=100; ff=200; A=4; B=-60204060801001200 50 100 150 200frecuencia [Hz]PSD [g2/Hz]Figura 7.2.4 Densidad espectral de frecuencia de la respuesta dinmica de un sistemaestructuralSeaunsistemaestructuralsometidoaunaexcitacinaleatoriaxdecarctervibratoriodemedianula.Larespuestaenfrecuenciaydelsistemaestarelacionadaconlaexcitacinxmediante la expresin:) f ( x ) f ( FRF ) f ( y =siendo FRF (f) la Funcin de Respuesta en Frecuencia de la variable y.Si la densidad espectral de la excitacin es Sx (f), la densidad espectral Sy (f) de la respuesta yse obtiene con la ecuacin:) f ( S ) f ( FRF ) f ( Sx2y =Como ya es sabido, el valor RMS de la respuesta y, que coincide con su desviacin tpicay(su media es nula), se obtiene calculando la raz cuadrada del rea encerrada bajo la curva desu densidad espectral.( ) = =0y y rmsdf f S yLaformatpicadelacurvadeladensidadespectralSy(f)deunarespuestadeunsistemaestructural es la representada en la siguiente figura 7.1.5.Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg42de101Figura 7.2.5Estetipodedensidadespectralsedenominadebandaestrecha,yaqueelespectrodelarespuesta est limitado al entorno de las frecuencias de resonancia del sistema estructural.Enelsiguientegrficosemuestralaevolucintemporaldelarespuestaydeunsistemaestructuralsometidoaunaexcitacinaleatoria.Lamagnituddelospicos(a)dedicharespuesta es tambin una variable aleatoria.Figura 7.2.6Paraestetipodevariablesdebandaestrecha,ladistribucindemagnituddepicosigueladistribucin de Rayleigh (Ref. 13), cuya funcin de densidad de probabilidad es:( )2y22a2yyeaa p=y su funcin de distribucin es:( )2y22aye 1 a F =Sy(f)ftyaCopia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg43de101Distribucion de Rayleigh 0.000000.000650.001300.001950.002600.003250.003900.004550.005200.005850.006500 1 2 3 4a/yDensidad de probabilidad: p(a)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91Funcion de distribucion: F(a)p(a)F(a)Figura 7.2.7De esta manera, conocido el valor RMS de una respuesta y (yrms = y), la distribucin de picosest determinada por la distribucin de Rayleigh.Otro parmetro fundamental que hay que conocer para la realizacin de los anlisis posterioreses la frecuencia media de cruces positivos con un nivel de pico a que denominaremos a+, y,enparticular,lafrecuenciadecrucespositivosconelnivel0( 0+),ofrecuenciamediaestadstica del proceso.Figura 7.2.8 Cruces positivos con nivel 0tyaCopia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg44de101El clculo de la frecuencia de cruces positivos con el nivel 0 (0+) frecuencia media estadsticade la respuesta se obtiene con la expresin (ref. 13):yy02= +siendo y ladesviacintpicadeladerivadatemporaldelarespuestaydelsistemaestructural.La densidad espectral de la derivada de la respuesta y se obtiene con la ecuacin:( ) ) f ( S f 2 ) f ( Sy2y =entonces la frecuencia media estadstica de la respuesta se obtiene:( ) ( )( )rmsrms0y0y20y 2ydf f S 2df f S f 2= = +7.3- Ejemplo para un Sistema con 1 gdl.Seaelsistemadeungradodelibertadrepresentadoenlafigura,enelqueseintroduceunaaceleracin en la base de densidad espectral S0, constante en la frecuencia. Se quiere obtenerel valor RMS y0+ de la aceleracin de la masa m.Figura 7.3.1La frecuencia de resonancia f0 se calcula con la expresin:mk21f0=y el amortiguamiento relativo :0mf 4c= El factor de amplificacin dinmica se obtiene: Q=1/(2)Laaceleracindelamasamyladelsoporteestnrelacionadasporlafuncindetransmisibilidad T (f):( ) ( ) ( ) f x f T f x0 = kmcx0xCopia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg45de101Por tanto la densidad espectral de la aceleracin de la masa m se obtiene:( ) ( )02xS f T f S = siendo( )02 2 2 22 22ff4 ) 1 (4 1f T = + +=Particularizando para los valoresk 13000 N/mmc 0.06 N*s/mmm 0.015MgS03 g2/Hzresulta quef0148.165 Hz 0.015Q 33.333Ladensidadespectral( ) f Sx delaaceleracindelamasamcalculadaconlosvaloresdescritos esta representada en la siguiente grafica:Densidad espectral de la aceleracion de la masa m05001000150020002500300035004000100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200Frecuencia [Hz]Densidad espectral [g2/Hz]El valor de RMS de esta aceleracin se calcula obteniendo la raz cuadrada del rea encerradabajo la curva de la densidad espectral y resultag 60 . 152 xrms = Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg46de101Un clculo aproximado del rea encerrada bajo la curva puede obtenerse multiplicando el valormximo o pico de la densidad espectral por la anchura de banda cuadrtica media (f0):( )0 0 0 0 x rmsf Q S2f f S x = =152.56 gLa frecuencia media estadstica de la aceleracin de la masa m se obtiene:( ) ( )( )+ = 0y0y20df f S 2df f S f 2 y resulta 147.5 Hz.Realizando la misma aproximacin anterior para el clculo del rea encerrada bajo la curva dela derivada de la aceleracin se obtiene que:Hz 2 . 148 f0 0= +7.4- Ejemplo de viga: modelo de n grados de libertad.Seaunavigaenvoladizoconunextremoempotradoyelotrolibre.SelevaasometeraunaaceleracinenlabasededensidadespectralSay=3g2/Hzconstanteenelintervalodefrecuencia[10-1000Hz].SepretendecalcularlosvaloresRMSy 0+delaaceleracinenelextremo libre y del momento de reaccin en el encastre.Este ejemplo ha sido resuelto mediante el siguiente modelo de elementos finitos (10 elementosviga/ 11 nudos) con MSC.Nastran:L=500 mmayE= 200000 MPa=0.3=7.8e-9 Mg/mm312 mm12 mmSeccin trasversalMxCopia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg47de101Los resultados obtenidos con MSC.Nastran son:RMS 0+ [Hz]Momentoenelencastre(M)121280.096 N*mm 80.714Aceleracinenelextremo libre (x)313.846 g 431.817Pueden obtenerse estos resultados de manera aproximada con los resultados derivados de unanlisis modal mediante las siguientes expresiones:Densidad espectral de un resultado V para la frecuencia de resonancia del modo i:( )) f ( Sf 2 mL V Q) f ( Si aj22i iij i ii v

en donde: fiFrecuencia de resonancia del modo iQifactor de amplificacin dinmica del modo i.Qi =1/Gi=1/(2i) Giamortiguamiento estructuraliamortiguamiento criticoLijfactordeparticipacinmodaldelmodoicuandolaexcitacinenlabasetiene la direccin j.Saj (fi) densidad espectral de la aceleracin en la base de direccin j para lafrecuencia de resonancia del modo i.mimasa generalizada del modo i.Valor RMS del resultado V:=n1 i iii v rmsQ 2f) f ( S Vsiendo n el numero de modos en la banda de frecuencia de la excitacin.Valor RMS de la derivada temporal V del resultado V:( )= n1 i iii v2i rmsQ 2f) f ( S f 2 VFrecuencia media estadstica del resultado V:rmsrms0V 2V= +Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg48de101Estasaproximacionessonvalidascuandonoseacoplanlosmodos,esdecir,cuandolasfrecuencias de resonancia estn separadas y nose solapan las anchuras de banda cuadrticamedias de las diferentes frecuencias.Del anlisis modal se obtiene los siguientes datos:Mode number 1 2 3fi[Hz]39.071 241.633 667.568Lij[Mg*mm]1.852212E-02 -1.029892E-02 6.037937E-03mi[Mg*mm2]1 1 1Qiadimensional50 50 50Saj(fi) [(mm/s2)2/Hz]288120000 288120000 288120000Y los valores modales de los resultados requeridos:Mi[N*mm]-4.071324E+05 2.497965E+06 -6.843698E+06ix [mm/s2]5.07E+06 1.89E+08 1.38E+09Con las expresiones anteriores se obtienen una buena aproximacin a los resultados buscados:Momento en el encastre (M) MSC.Nastran Aproximacin Error [%]RMS [N*mm] 121280.096 120862.922 -0.3440+ [Hz] 80.714 81.923 1.497Aceleracin en el extremo libre (x) MSC.Nastran aprox. Error [%]RMS [g] 313.846 313.317 -0.1690+ [Hz] 431.817 429.583 -0.5177.5- Anlisis de resistencia esttica bajo vibraciones aleatoriasEn la prctica habitual, se utiliza el siguiente criterio:13minRFVonMisesrms2 . 0 =La probabilidad de que la tensin de Von Mises sea superior a VonMisesrms3 es:0111 . 0 e e292) 3 (2rms2rms= = Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg49de1017.6- Anlisis de vida bajo vibraciones aleatorias.7.6.2- Anlisis de fatiga.Siguiendo la ley de Miner de acumulacin lineal de dao, el dao D por fatiga generado por unatensin aleatoria se obtiene con la expresin:+ =0 ) ( N) ( pod T Dsiendo: o+Frecuenciadecrucespositivosconelnivel0frecuenciamediaestadstica de la tensin.T Duracin total de la excitacin aleatoriap () Funcin de densidad de probabilidad de Rayleigh2rms22 /2rmse ) ( p = siendorms el valor RMS de la tensin.N() Numero de ciclos admisible para R=-1 (vibracin de media nula)La integral para obtener el dao, normalmente, se resuelve mediante integracin numrica, y enlaprctica,elvalordellmitesuperiordelaintegralsesueleacotaralvalor8rmsenvezdeinfinito.7.6.2- Anlisis de propagacin de grietas bajo vibraciones aleatorias.Enaquelloscasosenlosqueelordendelospicosdetensinnotengaunefectoenlapropagacindegrietas(p.e.nosetienenencuentaefectosderetardo)esposibleobtenerunvalordepicodetensinconstanteequivalente(eq)de0+Tciclosquecausalamismapropagacin que una tensin aleatoria (rms, 0+) de duracin T.Considerando que la ley de propagacin es la ley de Paris modificada por Walker:( )nm 1R 1KCdNda||.|

\| =Conociendo que:R=-1( ) a f 2 K = Numero de ciclos de pico de tensin :( ) =+d p T dN0De estas expresiones se deduce que el valor de tensin pico equivalente (eq) de 0+T ciclos es:( )n10neqd p

= Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg50de101Esta expresin slo es valida para la ley de propagacin de Paris y su modificada por Walker.Enelcasoenelqueelordendelastensionespicotenganefectoenlapropagacin,esnecesario generar un espectro muestra de picos de tensin que siga la distribucin de Rayleigh.Como en la mayora de las aplicaciones existen generadores de nmeros aleatorios entre 0 y 1conunafuncindedensidadconstante,paraobteneresteespectromuestradepicosdetensin, se utiliza la funcin de distribucin de Rayleigh de la siguiente manera:Distribucion de Rayleigh 0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00 1 2 3 4/rmsDensidad de probabilidad: p()Figura 7.4.1.1Sixesunnmeroaleatorioentre0y1condensidadconstante,elvalorqueseguiraladistribucindeRayleighseobtendradeigualaraxelvalordelafuncindedistribucindeRayleigh para el valor .( ) x 1 ln 2 e 1 xrms22rms2 = = 7.5.3- Ejemplo de aplicacin.Seaunagrietacentralenunaplacainfinitadetamao2a=2mmsometidaaunatensinaleatoria R=-1, con picos de tensin de valor RMS 180 MPa y 0+=100Hz durante 100 segundos.LasconstantesdeParissonC=1e-9yn=3.1,estandoKen[MPa*m1/2]yaenmm.Elcoeficiente de Walker es 0.5.Se pretende obtener el tamao final de la grieta de dos maneras:a.Obteniendo el pico de tensin equivalente.xCopia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg51de101b.Mediante generacin aleatoria de muestras de espectros.a.La tensin equivalente se obtiene con la siguiente expresin mediante integracin numrica( )n10neqd p

= = 399.2 MPaEl tamao final de la grieta se obtiene integrando la expresin:( )nm 1R 1KCdNda||.|

\| =que siendoa 2 Keq = , resulta:( )( )n 22nm 1eq2 n2 n 1iNR 1210002 n 1 Ca a|||.|

\|||.|

\| + = =10.176 mmsiendo N=0+Tb.Se generan 100 muestras de N valores de pico de tensin mediante la expresin:( ) x 1 ln 2rms = siendo x valores aleatorios entre 0 y 1 con densidad constante.ElvalordeltamaodelagrietadespusdeaplicarunciclodetensinR=-1depicoseobtiene:( )( )n 22nm 1 2 n2 n 1i1 iR 1210002 n 1 Ca a+|||.|

\|||.|

\| + =Partiendodelvalora0=1mmseobtienealvalordeltamaofinaldelagrietaaN paracadamuestra.El valor medio del tamao final de la grieta para las 100 muestras resulta:a=10.184 mm.que es aproximadamente el valor obtenido en el apartado a).Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg52de1018- AMORTIGUAMIENTO.8.1- Consideraciones Generales sobre Amortiguamiento.Elamortiguamientoesalgoinherenteatodaslasestructuras.Eselagenteencargadodequeunaestructuraenresonancianotengaundesplazamientoinfinito.Enmuchoscasosconelamortiguamientoqueaportalapropiaestructuranoessuficienteysedebenutilizarelementosauxiliares para reducir la respuesta de la estructura en la resonancia. Se mide conel parmetrode amplificacin dinmica Q, que es el factor que relaciona la respuesta esttica de la estructuraconlarespuestadinmicaenlascondicionesderesonancia.Unvalordeamortiguamientogeneralmente utilizado es Q=50. Otro parmetro que se suele utilizar el amortiguamiento relativomodal,quesueleserunvalorcaractersticoparacadamododelaestructura.Ambosparmetrosestnrelacionadosconlaecuacin:Q=1/2,ysedebenobtenerdeformaexperimental.Lamodelizacinenlasherramientasdeprediccinesimportante;haymuchosparmetrosdeamortiguamientoperoelmscomnysencillodeutilizareselamortiguamientorelativomodal.8.2- Tipos de Amortiguamiento.8.2.1- Sistemas mecnicos.Si necesitamos reducir la amplitud de la respuestade nuestro componte en las condiciones deresonanciadebemosintroducirelementosadicionalesparaproporcionarlo.Acontinuacinsedescriben diferentes posibilidades que se utilizan en la prctica.1-Dampersdefriccin:Songeneralmenteutilizadosenalabesdeturbina.Suformadefuncionamientoesproducirunciclodehistresisconlasfuerzasderozamientoentreloselementos.Lafuerzanormalentreloselementosdebesercontroladaparaqueencondicionesdefuncionamientoseproduzcaeldeslizamiento.ParamsinformacinverelapartadoderespuestaforzadanolinealyelcursoderespuestaforzadadelCDCdeTecnologaMecnica.http://10.5.0.8/cme/modules.php?name=Nuke_Web&page=/Imagenes_ppal/Training/Vibraciones_respuesta_forzada.htm.2-Elastmeros:Seutilizanenelsoportedediferenteselementos;porsucomposicinnosepueden utilizar a alta temperatura. Su funcionamiento es similar a los elementos de friccin,sucurvatensindeformacinesnolinealylosciclosdedescarganosonelsticosnoseproducen por la misma curva de carga. Este fenmeno produce un ciclo de histresis que esel responsable de disipar energa.Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg53de1013-Recubrimientos:Loscomponentessepuedenrecubrirdediferenteselementosquesometidos a ciclos de compresin-traccin disipen energa. Esta energa puede ser elctrica,magntica, o calor.4-Lquidos,Aceite,etc.:Loslquidosengeneralamortiguanlasvibracionesysonunabuenaformadedisiparenerga,porejemploenlosrodamientosseutilizanunapequeacapadeaceite a presin para trasmitir las cargas al apoyo.5-Partculas,arena,etc.:Lafriccininternaessuprincipalcaractersticayhayaplicacionesindustriales que utilizan este principio apoyos para maquinaria con partculas de metales enforma de "nanas".6-Resonador:Unavezconocidalafrecuenciaderesonanciadelaestructura.Sepuedenamortiguar su vibracin introduciendo un elemento, en las zonas de mximo desplazamiento,queresuenealamismafrecuenciaquelaestructuraperoencontrafase.Estedispositivodivide la funcin de respuesta en frecuencia en dos picos ms pequeos.7-Elementos de impacto: Se trata de utilizar elementos que golpeen la estructura en direccincontraria a su movimiento si entra en resonancia.Enelprocesodediseosedebentenerencuentasienunfuturosedebenconsideraramortiguadores en nuestra estructura.8.2.2- Amortiguamiento Aerodinmico.Setratadelamortiguamientoqueproduceelairecircundanteaunaestructura.Estaclaroquelas vibraciones mueven el aire circundante y esto disipa energa. En el caso de turbo maquinariaes un poco mas complicado, l alabe mueve el aire que le rodea y este movimiento genera unapresinnoestacionariassobrelalabeestapresinproduceuntrabajosobrelasuperficiedelalabealolargodeunciclo.Estetrabajopuedeserpositivoonegativo,puedeamortiguarlavibracinoamplificarla.Seevalaconcdigosfluido-dinmicosycomoeslgicoesdiferentepara cada forma modal, porque cada una de ellas tiene un campo de presiones no estacionariadiferentes.Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg54de1019.- PROBLEMAS AEROELASTICOS.9.1.- Flameo9.1.1.- Consideraciones Generales.Es un fenmeno que afecta a elementos sumergidos en una corriente fluida, como son todos loslabesdeunaturbina.Seproduceporlainteraccindetrestiposdefuerzasdistintas:laselsticas,lasdeinercia,ylasaerodinmicas.Comosehavistoenelapartadoderespuestaforzada,existe una frecuencias de excitacin para las cuales las fuerzas de inercia y elsticasse compensan y produce desplazamientos y tensiones mucho mayores que las estticas. Estosdesplazamientosproducencambiosenlacorrientedelfluidocircundante,yparaunperfilaerodinmicoelcoeficientedesustentacincambiayporlotantolasfuerzasdesustentacinsobre el perfil. Estas fuerzas sobre el perfil producen un trabajo que en el caso de ser positivohacenquelaamplituddelavibracinaumenteaestefenmenoseledenominaflameo(flutter). En el caso de ser negativo la vibracin se amortigua.Estetrabajo(W)producidoporlasfuerzasdelfluido(FyM)actuandoenunlabevibrandovienedefinidoporlasiguienteexpresin,dondelasfuerzasenellabesonrepresentadasporunos coeficientes que relacionan esas mismas fuerzas o momentos con los desplazamientos (h)y rotaciones (, twist) del labe:Fuerza de sustentacin (lift): [ ] + = = A h A b v C b v Fh L2 2Momento:[ ] + = = B h B b v M b v Mh2 2( ) { }2 2 2 2 2cos sin ) ( + + + + =I I h I R h R I hB h B A B A h A v b Wdonde, Arepresenta los coeficientes de sustentacinBrepresenta los coeficientes del momentoComoconsecuenciadequelasfuerzasaerodinmicasnoactaninstantneamenteconlasdeflexiones generadas por el labe al vibrar, existe un desfase entre las deflexiones en el labeylasfuerzasaerodinmicasresultantes.Sepuedeportantodescomponerlasfuerzasaerodinmicas en componentes en fase (R) y a 90 (I) con relacin a las deflexiones del labevibrando.Slolascomponentesenfaseconlasdeflexionesintervienenenlaformulacindeltrabajo realizado por la corriente a su paso por el perfil aerodinmico.I h R h hA i A A + =I h R h hB i B B + =I RA i A A + =I RB i B B + =Losdesplazamientosylasrotaciones(twist)dellabealvibrar(w)sepuedenexpresarenfuncin de sus mximas amplitudes de la siguiente forma:t h h cos = t cos =Copia en papel ser SLO PARA INFORMACIN Paper copy will be FOR INFORMATION ONLY

iMANUAL DE CALCULO DEVIBRACIONESMET-102-024Edicin: 1Revisin: 0Pg55de101El significado del resto de parmetros es el siguiente: ngulo de desfase entre los desplazamientos (h) y la rotacin () de laperfil aerodinmica vibrando densidad del fluidobmitad de la cuerdav velocidad relativa del fluido con respecto al labeComosehaexplicadoanteriormenteelfenmenodelflameoessusceptibledeproducirsecuando el trabajo realizado por el fluido a su paso por el labe vibrando es positivo. Adems, elfenmeno puede llegar a ser inestable cuando las fuerzas aerodinmicas generadas por el fluidosobreellabevibrandosonlosuficientementegrandeparasuperarelamortiguamientomecnico(energadisipadaporelamortiguamientomecnico).Esdecir,parapredecirsiunperfilaerodinmicovibraonodebidoalflameoesnecesariodeterminar,paraunadeflexindada, el trabajo realizado por el paso del fluido en todas las secciones a lo largo de la longituddel labe, y si ese valor excede la energa liberada por el amortiguamiento mecnico, entoncesel fenmeno es inestable.Es muy difcil, por no decir imposible, evaluar la expresin anterior (W) parapredecir si un perfilparticular de labe es susceptible de flamear o no. Los resultados de ensayos de cascada sobreplacas planas, y teniendo en cuenta la formula anterior del trabajo W, permiten descubrir cincovariables independientes adimensionales necesarias o tiles para determinar el comportamientoaflameodelosperfiles:elratioespacio-cuerda,elngulodeincidencia(staggerangle),elnmero de Mach, el parmetro de frecuencia o parmetro de frecuencia reducida, y el ngulo defase entre los labes (interblade phase angle). El significado y formulacin de algunas de estasvariablesadimensionalesqueayudanadeterminarelflameoseexplicanenlassiguientessecciones.Paraunanlisisdeflameocomoelindicadoenelprrafoanteriorsepuedenconsiderarochovariables dependientesde inters: las componentes en fase y a 90 de las fuerzas y momentosparamovimientosdeflexinytorsin.Estenmerodevariableshaceimpracticablecualquierpresentacingeneralderesultados,ysehacenecesarialaayudadeprogramasdeclculocomputacional (mtodo de elementos finitos) para evaluar cualquier caso particular de labe quetenga en cuen