manual de aprendizaje físico química nivel diversificado
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Colegio Mixto Preuniversitario Bilingüe Intercultural
Manual de Aprendizaje Físico – Química
Nivel diversificado
TZOLOK CHI NAJ XYANQ
Primer año, Bachillerato en Ciencias y Letras por Madurez
Ixcán, Quiché, 2016
2
Colegio Mixto Preuniversitario Bilingüe Intercultural
Representante Legal
Mauricio Yat Luc
Director Técnico Administrativo
Mauricio Yat Luc
Autores:
Mauricio Yat Luc
Hermelindo Quim Cuc
Rigoberto Morales
Pedro Tzuy Caal
Revisor:
Mauricio Yat Luc
Manual de Aprendizaje para estudiantes Nivel Diversificado
Playa Grande Ixcán.
No se autoriza la reproducción total o parcial de este libro
3
TABLAS DE CONTENIDOS PAGINAS
Portada ----------------------------------------------------------------------------- 1
Tabla de contenidos ------------------------------------------------------------ 3
Descripción general ------------------------------------------------------------- 5
Físico-Química ------------------------------------------------------------------ 6
Definición de cantidades físicas: escalares y vectores ---------------- 7
Representación de cantidades escalares y vectoriales ---------------- 8
Interpretación de la forma cartesiana y polar de un vector ----------- 10
Conversión de coordenadas polares a cartesianas -------------------- 12
Aplicación del cálculo vectorial en la resolución de problemas
físicos de su entorno ------------------------------------------------------------ 13
Identificación de los componentes rectangulares de un vector en
dos dimensiones ----------------------------------------------------------------- 20
Método del paralelogramo ---------------------------------------------------- 33
Cambio de base vectorial ----------------------------------------------------- 36
Las componentes del vector en la nueva base vectorial -------------- 38
Resolución de operaciones de adición de vectores, en dos
dimensiones, por método gráfico y analítico ----------------------------- 39
Multiplicación de un escalar por un vector -------------------------------- 41
Multiplicación de vectores. Producto escalar de dos vectores.
Producto vectorial de dos vectores ----------------------------------------- 42
Descripción del movimiento (cinemática) en una dimensión --------- 46
Velocidad Promedio --------------------------------------------------------- 47
Descripción del movimiento mediante el diagrama de Cuerpo
Libre ------------------------------------------------------------------------------ 48
Representación de cantidades escalares y vectoriales ---------------- 49
Interpretación de la forma cartesiana y polar de un vector ----------- 51
Base vectorial en polares ------------------------------------------------------ 52
Aplicación del cálculo vectorial en la resolución de problemas
físicos de su entorno ---------------------------------------------------------- 55
Identificación de los componentes rectangulares de un vector en
dos dimensiones ----------------------------------------------------------------- 55
Resolución de operaciones de adición de vectores, en dos
dimensiones, por método gráfico y analítico ----------------------------- 57
Suma de Vectores. Método Analítico --------------------------------------- 58
Multiplicación de un escalar por un vector -------------------------------- 60
Multiplicación de vectores. Producto escalar de dos vectores.
Producto vectorial de dos vectores ----------------------------------------- 66
Descripción del movimiento (cinemática) en una dimensión --------- 77
Descripción del movimiento mediante el diagrama de Cuerpo
Libre --------------------------------------------------------------------------------- 73
Ejemplificación del porqué la fuerza gravitacional es una fuerza
conservativa ---------------------------------------------------------------------- 74
4
Principio de conservación de la energía ----------------------------------- 76
Descripción de las Leyes de Newton del movimiento. Ley de
Inercia, Principio de masa, Principio de acción y reacción ----------- 77
Cálculo de fuerzas a partir del plano inclinado --------------------------- 78
Aplicación de las leyes de Newton del movimiento a situaciones y
problemas del entorno --------------------------------------------------------- 81
Definición de conceptos básicos: trabajo y energía -------------------- 82
Diferenciación entre energía potencial gravitacional y elástica ------ 83
Definición del centro de masa en un cuerpo ----------------------------- 84
Distribución discreta de materia --------------------------------------------- 85
Resolución de problemas relacionados con las fuerzas entre
cargas eléctricas sin movimiento -------------------------------------------- 87
Argumentación de la importancia del uso racional de la energía en
su entorno ------------------------------------------------------------------------- 89
Conceptualización de electrodinámica ------------------------------------- 86
Descripción de las características de la materia ----------------------- 87
Explicación de la Ley de Boyle ----------------------------------------------- 94
Explicación de la convección del calor------------------------------------ 97
Aplicaciones del electromagnetismo en su vida cotidiana:
generadores eléctricos, radio, televisión, medicina, transporte,
entre otros ------------------------------------------------------------------------ 98
Aplicaciones del electromagnetismo en su vida cotidiana:
generadores eléctricos, radio, televisión, medicina, transporte,
entre otros------------------------------------------------------------------------ 99
Definición de lo que es la química y su relación con otras
ciencias --------------------------------------------------------------------------- 99
Descripción de la importancia de utilizar el método científico en el
desarrollo de la Química ----------------------------------------------------- 101
Descripción de las etapas de desarrollo de la Química -------------- 104
Descripción de las etapas de desarrollo de la Química -- 105
Descripción del desarrollo de la tabla periódica ------------------------ 113
Identificación de la Ley periódica ------------------------------------------ 114
Cálculo de la fórmula empírica y molecular de un compuesto ----- 116
Bibliografía ------------------------------------------------------------------------ 118
5
DESCRIPCIÓN GENERAL La subárea, se orienta al estudio y aplicación de contenidos de aprendizaje
relacionados con matemática vectorial (cantidades escalares y cantidades
vectoriales), con el enfoque a la resolución de problemas del entorno inmediato,
respondiendo a interrogantes: ¿Cómo se mueven los cuerpos en el espacio y
tiempo? (cinemática) y ¿Por qué se mueven los cuerpos? (dinámica).
Los contenidos de aprendizajes se orientan al desarrollo de las destrezas de
pensamiento, la capacidad de análisis, el razonamiento verbal y lógico y procesos
de comunicación eficaz de las ideas, para formular, resolver e interpretar
problemas de la naturaleza, principalmente los de la rama de la física.
Asimismo, se abordan temas de energía, trabajo y potencia; el estudio de las
propiedades eléctricas de la materia, orientadas al planteamiento y resolución de
problemas aplicados a situaciones de la vida cotidiana en diferentes contextos.
La Subárea de Química promueve en las y los estudiantes el desarrollo de
habilidades y destrezas, para interpretar los fenómenos naturales que ocurren en
su entorno inmediato y para utilizarlas en el manejo de sustancias químicas
presentes en su ambiente.
La subárea, aborda inicialmente, la importancia de la Química y su relación con
otras ciencias, luego, se enfoca hacia la utilización del método científico y
herramientas matemáticas en la medición e interpretación de los fenómenos
naturales.
Una vez que la y el estudiante posee la habilidad y destreza matemática para el
desarrollo de la subárea, se contempla el análisis de la estructura, las
propiedades y los cambios físico-químicos que experimenta la materia.
Una vez que la y el educando identifica la estructura y propiedades de la materia,
se introduce en el campo de la estructura, clasificación y nomenclatura de las
sustancias químicas como contenido fundamental para comprender las
interacciones químicas que ocurren en la materia.
Además, se analizan diversas teorías como la atómica y la cinética que explican
el comportamiento de la materia en sus tres estados, los números cuánticos, la
configuración electrónica, las estructuras de Lewis y la regla del octeto para la
descripción de compuestos químicos.
Por último, se abordan las leyes de los gases y el estudio de las leyes de
conservación de masa y energía y las aplicaciones en las áreas de
estequiometria, calorimetría y termodinámica. Finalmente los cambios químicos
que experimenta la materia.
6
FÍSICO-QUÍMICA
La fisicoquímica, también llamada química física, es una subdisciplina de
la química que estudia la materia empleando conceptos físicos y químicos.
Según el renombrado químico estadounidense Gilbert Lewis, "la fisicoquímica es
cualquier cosa interesante", con lo cual probablemente se refería al hecho de que
muchos fenómenos de la naturaleza con respecto a la materia son de principal
interés en la fisicoquímica.
La fisicoquímica representa una rama donde ocurre un cambio de diversas
ciencias, como la química, la física, termodinámica, electroquímica y la mecánica
cuántica donde funciones matemáticas pueden representar interpretaciones a
nivel molecular y atómico estructural. Cambios en la temperatura, presión,
volumen, calor y trabajo en los sistemas, sólido, líquido y/o gaseoso se
encuentran también relacionados a estas interpretaciones de interacciones
moleculares.
El físico estadounidense del siglo XIX Willard Gibbs es también considerado el
padre fundador de la fisicoquímica, donde en su publicación de 1876 llamada
Onthe Equilibrium of Heterogeneous Substances (Estudio sobre el equilibrio de
sustancias heterogéneas) acuñó términos como energía libre, potencial químico,
y regla de las fases, que años más tarde serían de principal interés de estudio en
esta disciplina.
La fisicoquímica moderna tiene firmes bases en la física pura. Áreas de estudio
muy importantes en ella incluyen a la termoquímica (termodinámica química),
cinética y dinámica química, química cuántica, mecánica
estadística, electroquímica, magneto química, energética, química del estado
sólido y de superficies, y espectroscopia. La fisicoquímica forma parte
fundamental en el estudio de la ciencia de materiales.
Historia de la fisicoquímica
La fisicoquímica no se constituyó como especialidad independiente de la química
hasta principios del siglo XX. Se pueden tomar como punto de partida de la nueva
especialidad las fechas de creación de dos de las primeras revistas que
incorporaron este nombre a su título: la alemana Zeitschriftfürph y sicalische
Chemie dirigida por Wolfgang Ostwald (1853-1932) y Jacobus Henricus Van 'tHoff
(1850-1930), que comenzó su publicación en 1887, y la estadounidenseJournal of
Physical Chemistry dirigida por Wilder Dwight Bancroft (1867-1953) desde 1896.
Los trabajos realizados por Antoine Lavoisier (1743-1794) y Pierre-Simon
Laplace (1749-1827) son habitualmente considerados como el punto de partida de
la termoquímica. Diseñaron un nuevo instrumento, el calorímetro, en el que podía
7
realizar mediciones sobre la cantidad de "calórico" desprendido durante las
reacciones químicas. Laplace y Lavoisier pensaban que el calórico era uno de los
elementos imponderables y que los gases eran compuestos de calórico y el
elemento correspondiente. En la primera mitad del siglo XIX, la idea del calórico
fue abandonada y comenzaron a realizarse las investigaciones que permitieron el
establecimiento de las leyes de la termodinámica. La aplicación de estas
investigaciones a los procesos químicos permitió el surgimiento de laterm
oquímica, gracias a la obra de autores como Marcelin Berthelot (1827-1907)
o Henry Le Châtelier (1850-1936).
Uno de los primeros trabajos dedicados al estudio de la cinética química fue el
realizado por Ludwig Ferdinand Wilhelmy (1812-1864) sobre la velocidad de
cambio de configuración de determinados azúcares en presencia de un ácido. A
mediados del siglo XIX, Wilhelmy llegó a la conclusión de que la velocidad del
cambio era proporcional a la concentración del azúcar y del ácido y que también
variaba con la temperatura. La colaboración entre un químico, George Vernon
Harcourt (1834-1919), y un matemático, William Es son (1838-1916), permitió la
introducción de ecuaciones diferenciales en el estudio de la cinética química.
DEFINICIÓN DE CANTIDADES FÍSICAS: ESCALARES Y
VECTORES
Vectores: Definición de Cantidades Escalares y Vectoriales
Algunas cantidades quedan totalmente descritas si se expresan con un número y
una unidad.
Por ejemplo, una masa de 30 kg. La masa queda totalmente descrita por su
magnitud representada por el número (para el caso, 30 es la magnitud) y las
unidades correspondientes para la masa: kilogramos. Estas cantidades son
escalares.
Definición: Una cantidad escalar se especifica totalmente por su magnitud, que
consta de un número y una unidad.
Las operaciones entre cantidades escalares deben ser dimensionalmente
coherentes; es decir, las cantidades deben tener las mismas unidades para poder
operarse.
30 kg + 40 kg = 70 kg
20 s + 43 s = 63 s
Algunas cantidades escalares comunes son la masa, rapidez, distancia, tiempo,
volúmenes, áreas entre otras.
8
Para el caso de algunas cantidades, no basta con
definirlas solo con un número y una cantidad, sino
además se debe especificar una dirección y
un sentido que las defina completamente. Estas
cantidades son vectoriales.
Definición: Una cantidad vectorial se especifica
totalmente por una magnitud y una dirección.
Consiste en un número, una unidad y una dirección.
Las cantidades vectoriales son representadas por medio de vectores.
Por ejemplo, "una velocidad de 30 km/h" queda totalmente descrita si se define su
dirección y sentido: "una velocidad de 30 km/h hacia el norte" a partir de un marco
de referencia determinado (los puntos cardinales).
Entre algunas cantidades vectoriales comunes en física son: la velocidad,
aceleración, desplazamiento, fuerza, cantidad de movimiento entre otras.
Existen diferentes formas de expresar una cantidad vectorial. Una de ellas es la
forma polar, que se escribe como un par de coordenadas, en las cuales denotan
su magnitud y su dirección. Por ejemplo, La velocidad (30 m/s, 60º), quiere decir
"velocidad de 30 m/s a 60º desde el origen del marco de referencia dado".
REPRESENTACIÓN DE CANTIDADES ESCALARES Y
VECTORIALES
En física debemos distinguir entre vectores y escalares.
Un vector es una cantidad orientada, tiene tanto magnitud como dirección.
La velocidad, la fuerza y el desplazamiento son vectores.
El tiempo, la temperatura y la energía son escalares: sólo tienen magnitud, no
tienen dirección asociada a ellas.
Los vectores se representan mediante flechas, en que la longitud de la flecha se
traza proporcionalmente a la magnitud del vector. Las letras que representan
vectores se escriben en negrita.
Suma de Vectores. Método Gráfico
Para sumar escalares, como tiempo, se usa la aritmética
simple. Si dos vectores se encuentran en la misma recta
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también podemos usar aritmética, pero no así si los vectores no se encuentran en
la misma recta. Por ejemplo, si Ud. se desplaza 4 km hacia el este y luego 3 km
hacia el norte, su desplazamiento neto o resultante respecto del punto de partida
tendrá una magnitud de 5 km y un ángulo = 36.87º respecto del eje x positivo.
Ver figura
Vectorialmente, el desplazamiento resultante VR, es la suma de los vectores V1 y
V2, o sea, escribimos VR = V1 + V2 Esta es una ecuación vectorial.
La regla general para sumar vectores en forma gráfica (con regla y transportador),
que de hecho es la definición de cómo se suman vectores, es la siguiente:
(1) Use una misma escala para las magnitudes.
(2) Trace uno de los vectores, digamos V1
(3) Trace el segundo vector, V2, colocando su cola en la punta del primer vector,
asegurándose que su dirección sea la correcta.
(4) La suma o resultante de los dos vectores es la flecha que se traza desde la
cola del primer vector hasta la punta del segundo.
Este método se llama suma de vectores de cola a punta.
Notemos que V1 + V2 = V2 + V1, esto es, el orden no es importante.
Este método de cola a punta se puede ampliar a tres o más vectores. Suponga
que deseamos sumar los vectores V1, V2, y V3 representados a continuación:
VR = V1 + V2 +V3 es el vector resultante destacado con línea gruesa.
Un segundo método para sumar dos vectores es el método del paralelogramo,
equivalente al de cola y punta. En este método se trazan ambos desde un origen
común y se forma un paralelogramo usando los dos como lados adyacentes. La
resultante es la diagonal que se traza desde el origen común.
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2.- Resta de Vectores. Dado un vector V se define el negativo de ese vector (-V)
como un vector con la misma magnitud que V, la misma dirección, pero con
sentido opuesto:
La diferencia de dos vectores A y B se define como
A - B = A + (-B)
De modo que podemos aplicar las reglas de su suma para restarlos.
3.- Multiplicación de un Vector por un Escalar
Se puede multiplicar un vector V por un escalar c. Se define este producto de tal
manera que cV tenga la misma dirección que V y tenga la magnitud cV. Si c es
positivo, no afecta el sentido. Si c es negativo, el sentido es exactamente opuesto
a V.
INTERPRETACIÓN DE LA FORMA CARTESIANA Y POLAR DE UN
VECTOR.
Coordenadas polares y cartesianas. Para indicar dónde estás en un mapa o
gráfico hay dos sistemas:
Coordenadas cartesianas
Con coordenadas cartesianas señalas un punto diciendo la distancia de lado y
la distancia vertical:
Coordenadas polares
Con coordenadas polares señalas un punto diciendo la distancia y el ángulo que
se forma:
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Convertir
Para convertir de un sistema a otro, se resuelve el
triángulo:
De cartesianas a polares
Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas
polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.
Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?
Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):
r2 = 122 + 52
r = √ (122 + 52)
r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13
Usa la función tangente para calcular el ángulo:
tan( θ ) = 5 / 12
θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°
Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ)
son:
r = √ (x2 + y2)
θ = atan( y / x )
De polares a cartesianas
Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas
cartesianas (x,y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y
un ángulo:
Ejemplo: ¿qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas?
12
Usamos la función coseno para x: cos( 23 °) = x / 13
Cambiamos de orden y resolvemos: x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 = 11.98
Usamos la función seno para y: sin( 23 °) = y / 13
Cambiamos de orden y resolvemos: y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 = 5.08
Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y)
son:
x = r × cos( θ )
y = r × sin( θ )
CONVERSIÓN DE COORDENADAS POLARES A CARTESIANAS
x = r · cos α
y = r · sen α
Ejemplo:
Reales e imaginarios puros de módulo unidad:
10º = (1, 0)
1180º = (−1, 0)
190º = (0, 1)
1270º = −(0, −1)
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Conversión de coordenadas cartesianas a polares
APLICACIÓN DEL CÁLCULO VECTORIAL EN LA RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS FÍSICOS DE SU ENTORNO.
1 La relación entre la dis tancia recorrida en metros por un móvil
y el t iempo en segundos es he (t) = 6t2. Calcular:
1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.
2 La velocidad instantánea en t = 1.
2 Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia
de un mil lón de bacterias no comienza su reproducción hasta
pasados dos meses. La función que representa la población de
la colonia al variar el t iempo (expresado en meses) viene dada
por:
Se pide:
1 Verif icar que la población es función continua del t iempo.
2 Calcular la tasa de variación media de la población en los
intervalos [0, 2] y [0, 4].
3 Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4.
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3 Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la
función p (t) = 5000 + 1000t² , siendo t el t iempo metido en
horas. Se pide:
1 La velocidad media de crecimiento.
2 La velocidad instantánea de crecimiento.
3 La velocidad de crecimiento instantáneo para t 0 = 10 horas.
4 La ecuación de un movimiento recti l íneo es: e(t) = t³ − 27t.
¿En qué momento la velocidad en nula? Hallar la aceleración en
ese instante.
5 La ecuación de un movimiento circular es: φ(t) = ½t². ¿Cuál es
la velocidad y la aceleración angulares al cabo de sie te
segundos?
6 Un observador se encuentra a 2000 m de lanzamiento de la
torre de un cohete. Cuando éste despega vert icalmente mide la
variación del ángulo Φ(t) que forma la l ínea visual que le une con
el cohete y la del suelo horizontal en función del t iemp o
transcurrido. Sabiendo que Φ'(t) = Π/3, se pide:
1 ¿Cuál es la altura del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?
2 ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?
7 Se bombea gas a un globo esférico a razón de 6m 3/min. Si la
presión se mantiene constante. ¿Cuál es la velocidad con la que
cambia el radio del globo cuando el diámetro mide 120 cm?
8 ¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la
ecuación e (t) = 2 − 3t2 en el quinto segundo de su recorrido? El
espacio se mide en metros y el t iempo en segundos.
1 Hallar el simétrico del puntoA(3, −2) respecto de M(−2, 5).
2 Dados dos vértices de un triángulo A (2, 1), B(1, 0) y el
baricentro G(2/3, 0), calcular el tercer vért ice.
3 Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, alineado
con A y B, de manera que se obtenga
4 Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de
vért ices: A (−1, −2), B(4, −1), C(5 , 2) y D; sea un paralelogramo.
5 Si { , } forma una base orto normal, calcular:
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1 ·
2 ·
3 ·
4 ·
6 Dados los vectores =(2, k) y = (3, −2), calcula k para que
los vectores y sean:
1 Perpendiculares.
2 Paralelos.
3 Formen un ángulo de 60°.
7 Calcular el valor de k sabiendo que
8 Suponiendo que respecto de la base orto normal { , } del
plano los vectores t ienen como expresiones:
Calcular el valor de k para que los dos vectores sean
ortogonales.
9 Calcula la proyección del vector sobre el
vector 10 Hallar un vector unitario de la misma
dirección del vector Hallar el simétrico del punto A (3,
−2) respecto de M(−2, 5).
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Dados dos vért ices de un triángulo A (2, 1), B (1, 0) y el baricentro
G (2/3, 0), calcular el tercer vértice.
Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, al ineado con
A y B, de manera que se obtenga
Calcula las coordenadas de D para que el cuadri látero de vért ices:
A(−1, −2), B(4, −1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.
17
Si { , } forma una base orto normal, calcular:
1 · = 1 · 1 · cos 0° = 1
2 · = 1 · 1 · cos 90° = 0
3 · = 1 · 1 · cos 90° = 0
4 · = 1 · 1 · cos 0° = 1
Dados los vectores =(2, k) y = (3, −2), calcula k para que los
vectores y sean:
1 Perpendiculares.
2 Paralelos.
18
3 Formen un ángulo de 60°.
Suponiendo que respecto de la base orto normal { , } del plano
los vectores t ienen como expresiones:
Calcular el valor de k sabiendo que
19
Suponiendo que respecto de la base orto normal { , } del plano
los vectores t ienen como expresiones:
Calcular el valor de k para que los dos vectores sean ortogonales.
Calcula la proyección del vector sobre el vector
.
20
Hallar un vector unitario de la misma dirección del vector
.
IDENTIFICACIÓN DE LOS COMPONENTES RECTANGULARES DE
UN VECTOR EN DOS DIMENSIONES
Componentes rectangulares de un vector.
Todo vector se puede ligar a un sistema de coordenadas cartesianas, con su
punto de aplicación en el origen y expresarlo como la suma de dos vectores
mutuamente perpendiculares en las direcciones de los ejes de coordenadas;
estos dos vectores sumandos reciben el nombre de componentes rectangulares
del vector dado. Para descomponer los vectores en sus componentes
rectangulares debemos tener la noción de función trigonométrica.
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Funciones trigonométricas
Cuando solucionamos triángulos rectángulos en los cuales conocemos dos de sus
lados, ya sean los dos catetos o un cateto y la hipotenusa y deseamos hallar el
tercer lado, utilizamos el teorema de Pitágoras, pero cuando conocemos un lado y
un ángulo. Ya el teorema de Pitágoras no funciona, es por eso que utilizamos las
funciones trigonométricas.
Definiciones respecto de un triángulo rectángulo
Para definir las razones trigonométricas del ángulo:
α, del vértice
A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El
nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en lo sucesivo
será:
La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del
triángulo rectángulo.
El cateto opuesto(a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos
determinar. Todos los triángulos considerados la suma de sus ángulos internos
son igual a 180°. En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos
no rectos se encuentran entre 0y 90º. Las definiciones que se dan a continuación
definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese
rango:
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la
longitud de la hipotenusa:
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que
elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α, en cuyo caso se trata de
triángulos semejantes.
2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la
longitud de la hipotenusa:
3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la
del adyacente:
Observe que la altura máxima, el tiempo de vuelo, y el alcalde horizontal del
proyectil dependen exclusivamente de la velocidad inicial y del ángulo de
lanzamiento.Ejemplos1.
Un cazador acostado en el suelo, lanza una flecha con un ángulo de 60° sobre la
superficie de la tierra y con una velocidad de 20 m/s. Calcular: a.
La altura máxima que alcanza la flecha b.
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El tiempo que dura la presión del aire c.
El alcalde horizontal de la flecha 2.
Una piedra lanzada desde un puente 20 m arriba de un rio tiene una velocidad
inicial de 12 m/s y un ángulo de 45º con la horizontal ver figura, ¿Cuál es el
alcance de la piedra?
Movimiento circular uniforme (M.C.U)
El M.C.U. es el movimiento de un cuerpo cuando describe una circunferencia con
rapidez constante. La trayectoria que sigue el móvil es una circunferencia, la
velocidad cambia continuamente de dirección siempre tangente a la trayectoria,
pero la rapidez es constante o sea, la magnitud de la velocidad conserva siempre
el mismo valor.
Conceptos y ecuaciones del M.C.U. Frecuencia:
Es el número de vueltas que da el cuerpo en la unidad de tiempo. Se simboliza
con la letraf
y sus unidades son vueltas/segundo, revoluciones por minuto (rpm) o
revoluciones por segundo (rps); operacionalmente la unidad de frecuencia es s-1
.
Periodo:
Es el tiempo que emplea el cuerpo en dar una sola vuelta, se simboliza con la
letraT y su unidad es el segundo.
El periodo y la frecuencia por ser inversas se cumple que velocidad lineal o
tangencial:
La velocidad lineal de una partícula que describe un M.C.U.es un vector tangente
a la trayectoria.
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Su magnitud se obtiene, calculando el arco recorrido en la unidad de tiempo.
Cuando el móvil da una vuelta completa, recorre un arco igual a la longitud de la
circunferencia y emplea un tiempo igual a un periodo. Por lo tanto:
Velocidad angular:
El radio que une al centro de la circunferencia con la partícula P barre ángulos
iguales en tiempos iguales. Se define la velocidad angular, como el ángulo barrido
en la unidad de tiempo.
W se mide en radianes/segundo = rad/cuando el ángulo barrido es un ángulo giro,
el tiempo que emplea es un periodo. Por lo tanto:
Remplazamos una ecuación en la otra y resulta que:
¿Cuál es la frecuencia y el periodo de un móvil que da 24 vueltas en 4
segundos?2
Calcular la velocidad tangencial y la velocidad angula de un móvil que describe
una circunferencia de 12 cm de radio si tiene un periodo de 0.5 s.3
Un móvil recorre una circunferencia de 2 m de radio dando 60 vueltas cada
20segundos. Calcular la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta.4
Dos poleas de 15 cm y 20 cm, giran conectadas por una banda. Si la frecuencia
de la polea de menor radio es de 12 v/s ¿Cuál será la frecuencia de la polea de
mayorradio?5
Una sierra circular eléctrica gira con una frecuencia de 3000 rpm. Suponiendo que
al desconectarla se detiene en 5 segundos, calcular: a.
La aceleración angular de frenado que le imprime el rozamiento con el eje b.
La aceleración tangencial de los dientes de la hoja si ésta tiene un radio de 15
cmc.
El desplazamiento angular durante los 5 segundos
En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es
una magnitud física definida en un sistema de referencia que se caracteriza por
tener módulo (o longitud) y una dirección (u orientación).
En Matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial.
Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible
representar sus vectores mediante el módulo y la dirección. En particular los
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espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese
modo. Los vectores en un espacio elucídelo se pueden representar
geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano o
en el espacio .
Algunos ejemplos de magnitudes físicas que son magnitudes vectoriales:
la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan solo por
su módulo que es lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil, sino
que se requiere indicar la dirección (hacia donde se dirige); la fuerza que actúa
sobre un objeto, ya que su efecto depende además de su magnitud o módulo, de
la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto, pues es
necesario definir el punto inicial y final del movimiento.
Definición
Componentes de un vector.
Se llama vector de dimensión a una tupla de números reales (que se llaman
componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión se
representa como (formado mediante el producto cartesiano).
Así, un vector perteneciente a un espacio se representa como:
(left) , donde
Un vector también se puede ver desde el punto de vista de
la geometría como vector geométrico (usando frecuentemente el espacio
tridimensional ó bidimensional ).
Un vector fijo del plano elucídelo es un segmento orientado, en el que hay que
distinguir tres características:
módulo: la longitud del segmento
dirección: la orientación de la recta
sentido: indica cual es el origen y cuál es el extremo final de la recta
En inglés, la palabra "direction" indica tanto la dirección como el sentido del
vector, con lo que se define el vector con solo dos características: módulo y
dirección.4
Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas, por
ejemplo , que indican su origen y extremo respectivamente.
25
Características de un vector
Coordenadas cartesianas.
Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector está en el plano xy,
se representa:
siendo sus coordenadas:
Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:
Coordenadas tridimensionales.
Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se
puede representar:
siendo sus coordenadas:
Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar la recta soporte
o dirección, sobre la que se traza el vector.
26
El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.
El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre
la recta soporte.
El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la
característica vectorial representada por el vector.
El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al
vector.
Por lo tanto en un vector podemos diferenciar:
Nombre
27
Dirección
Sentido
Módulo
Punto de aplicación
Magnitudes vectorial
Representación gráfica de una magnitud
vectorial, con indicación de su punto de
aplicación y de los versores cartesianos.
Representación de los vectores.
Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, el volumen,
la energía, la temperatura, etc; que quedan completamente definidas por un
número y las unidades utilizadas en su medida, aparecen otras, tales como
el desplazamiento, lavelocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, etc.,
que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan
asociadas una dirección. Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales en
contraposición a las primeras llamadasescalares.
Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que
recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más de tres
dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. Así, un vector
queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre
positivo por definición, y su dirección, la cual puede ser representada mediante la
suma de sus componentes vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de
coordenadas; o mediante coordenadas polares, que determinan el ángulo que
forma el vector con los ejes positivos de coordenadas.
Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma
similar a una "flecha". Su longitud representa el módulo del vector, la recta indica
la dirección, y la "punta de flecha" indica su sentido.
Notación
Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras
28
en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan
en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan
colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo (el cual es un escalar).
Ejemplos
... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de
módulos A, a, ω, ... El módulo de una magnitud vectorial también se representa
encerrando entre barras la notación correspondiente al vector: ...
En los textos manuscritos se escribe: ... para los vectores
y ... o ... para los módulos.
Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al
origen y al extremo del segmento orientado que la representa geométricamente;
así, se designan los vectores representados en la Figura 2 en la
forma , ... resultando muy útil esta notación para los
vectores que representan el desplazamiento.
Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es
la unidad, se representan frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo
.
Clasificación de vectores
Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de
dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:
Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.
Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su
recta de acción.
Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.
Podemos referirnos también a:
Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.
Vectores concurrentes o angulares: son aquellas cuyas direcciones o líneas
de acción pasan por un mismo punto. También se les suele llamar angulares
por que forman un ángulo entre ellas.
Vectores opuestos: vectores de igual magnitud y dirección, pero sentidos
contrarios.1 En inglés se dice que son de igual magnitud pero direcciones
contrarias, ya que la dirección también indica el sentido.
Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.
Vectores paralelos: si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas
líneas de acción son paralelas.
29
Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias
(situadas en un mismo plano).
Componentes de un vector
Componentes del vector.
Un vector en el espacio euclídeo
tridimensional se puede expresar como
una combinación lineal de tres vectores
unitarios o versores perpendiculares entre
sí que constituyen una base vectorial.
En coordenadas cartesianas, los vectores
unitarios se representan por , , , paralelos a los ejes de
coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector en una base vectorial
predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:
O expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la
base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será
Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las
componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números
reales.
Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante
un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas
operaciones matrices(tales como el cambio de base), del modo siguiente:
Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma:
El lema de Zorn, consecuencia del axioma de elección, permite establecer que
todo espacio vectorial admite una base vectorial, por lo que todo vector es
representable como el producto de unas componentes respecto a dicha base.
Dado un vector solo existen un número finito de componentes diferentes de cero.
Representación gráfica de los vectores
Aunque hay quien no recomienda el uso de gráficos para evitar la confusión de
conceptos y la inducción al error, sin investigación que lo corrobore, también es
cierto que la memoria se estimula con mejores resultados. Para ello:
30
Se llama vector a la representación visual con el símbolo de flecha(un
segmento y un triángulo en un extremo).
La rectitud visual de una flecha o curvatura de la misma, no la hace diferente
en símbolo si los dos extremos permanecen en el mismo lugar y orden.
El que una flecha cierre en sí misma, indica la ausencia de
efectos algebraicos.
Para visualizar la suma de vectores se hará encadenándolos, es decir,
uniendo el extremo que tiene un triángulo (final) del primer vector con el
extremo que no lo tiene (origen) del segundo vector manteniendo la dirección
y distancia, propias al espacio, de sus dos extremos, ya que estas dos
cualidades los distingue visualmente de otros vectores.
Los escalares se representarán con una línea de trazos a modo, exclusivamente,
de distinción ya que no siempre pertenecen al espacio de vectores.
Se examinan cada uno de los casos que aparecen en la definición de las
operaciones suma de vectores y producto por un escalar:
Suma de vectores
La definición suma de vectores en el orden u+v produce otro vector, es como
encadenar, siempre visualmente, un vector u y luego uno v. Diremos que u+v se
simplifica como un vector w o que w descompone como suma de vectores u y v.
1) Decir que u+v=v+u, es exigir que las dos sumas simplifiquen en el mismo
vector, en negro. Véase que en física los vectores en rojo simulan la
descomposición de fuerzas ejercidas por el vector negro en su origen, y se
representa con un paralelogramo.
2) Decir que u+(v+w)=(u+v)+w, es exigir que las simplificaciones de sumas de
vectores puedan ser optativas en cualquier cadena de sumas.
3) Decir que existe un vector cero (elemento neutro) tal que u+0=u, equivale a
exigir que exista un vector incapaz de efectuar, mediante la suma, modificación
31
alguna a todos los vectores.
4) Decir que u+(-u)=0, es exigir la existencia de un elemento opuesto, -u, que
sumado a u simplifique en un vector cero.
Producto por un escalar
La definición producto por un escalar produce otro vector; es como modificar
el extremo final del vector u, siempre visualmente.
Por un lado la representación del producto en el caso que el cuerpo de los
escalares sea modifica, visualmente, la longitud de la imagen del vector,
quedando ambos siempre superpuestos; por otro lado las representaciones en el
caso que además de modificar la longitud, también agrega rotaciones,
para facilitarlas visualmente considérense centradas en el origen del vector,
siendo estas modificaciones un poco más expresivas, visualmente, pero no más
fáciles que en el caso real:
a) Decir que a(bu)=(ab)u, es exigir que los productos encadenados a(b(u)) pueden
simplificarse como uno, c=ab, luego (ab)u queda como cu.
b) Decir que existe el escalar 1 tal que 1u=u, equivale a decir exista un escalar
incapaz de efectuar, mediante producto, modificación alguna a todos los vectores.
32
c) Decir que a (u+v) = au+av, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma
vectorial.
d) Decir que (a+b)u = au+bu, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma
escalar.
Para el caso real se han de eliminar las rotaciones de los ejemplos anteriores.
Operaciones con vectores Suma de vectores
Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes
dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del
otro vector.
Suma de vectores sobre un mismo punto
La suma de vectores está bien definida si ambos vectores pertenecen al mismo
espacio vectorial, en física para que dos vectores puedan ser sumados deben
estar aplicados en el mismo punto. La composición de fuerzas sobre un sólido
rígido cuando los puntos de aplicación no coinciden lleva a la noción de momento
de fuerza dados dos fuerzas con puntos de aplicación se definen
la fuerza resultante como el par:
Donde es la suma generalizada a vectores aplicados en diferentes puntos. El
punto de aplicación es el punto de intersección de las rectas de acción de las
fuerzas. Las componentes del vector de fuerza resultante es de hecho la suma de
componentes ordinarias de vectores:
El momento resultante es el momento de fuerza del conjunto de fuerzas respecto
al punto calculado para la fuerza resultante.
33
MÉTODO DEL PARALELOGRAMO
Este método permite solamente sumar
vectores de dos en dos. Consiste en disponer
gráficamente los dos vectores de manera que
los orígenes de ambos coincidan en un punto,
trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de
igual longitud, formando así un paralelogramo (ver gráfico). El vector resultado de
la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen común de
ambos vectores.
Método del triángulo o método poligonal
Método del triángulo.
Consiste en disponer gráficamente un
vector a continuación de otro,
ordenadamente: el origen de cada uno de
los vectores coincidirá con el extremo del
siguiente. El vector resultante es aquel cuyo
origen coincide con el del primer vector y termina en el extremo del último.
Método analítico para la suma y diferencia de vectores
Dados dos vectores libres,
El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma
y ordenando las componentes,
Con la notación matricial sería
Conocidos los módulos de dos vectores dados, y , así como el ángulo que
forman entre sí, el módulo de es:
34
La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la
suma.
Producto de un vector por un escalar
Producto por un escalar.
El producto de un vector por un escalar es otro vector
cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo
del vector, cuya dirección es igual a la del vector, y
cuyo sentido es contrario a este si el escalar es
negativo.
Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre
la misma línea de su dirección tomamos tantas veces
el módulo de vector como indica el escalar.
Sean un escalar y un vector, el producto de por se representa y se
realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto
es,
Con la notación matricial sería
Producto escalar
Artículo principal: Producto escalar
Producto vectorial
Artículo principal: Producto vectorial
Derivada ordinaria de un vector
Dado un vector que es función de una variable independiente
Calculamos la derivada ordinaria del vector con respecto de la variable t,
calculando la derivada de cada una de sus componentes como si de escalares se
tratara:
teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes en módulo y
dirección.
35
Con notación matricial sería
Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función
vectorial:
Esta función representa una curva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad,
como se ilustra en la figura. Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de
una partícula y la función representa el vector posición en función del
tiempo t. Derivando tendremos:
Realizando la derivada:
La derivada del vector posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta
segunda función determina el vector velocidad de la partícula en función del
tiempo, podemos escribir:
Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado
36
por la partícula en cada instante. El sentido es hacia los valores crecientes de los
valores escalares.4 Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración.
Derivada covalente de un vector
Artículo principal: Derivada covalente
Cuando en lugar de emplear una "base fija" en todo el dominio de un vector se
usan "bases móviles" como cuando se emplean coordenadas curvilíneas la
variación total de un vector dependiente del tiempo depende no solo de la
variación de componentes como en el caso de la derivada ordinaria sino también
de la variación de la orientación de la base. La variación total se llama derivada
covariante:
Cuando se emplea una base fija (coordenadas cartesianas) la derivada variante
coincide con la derivada ordinaria. Por ejemplo cuando se estudia el movimiento
de una partícula desde un sistema de referencia no inercial en rotación, las
aceleraciones de Coriolis y centrípeta se deben a los factores que contienen y
otros factores menos comunes.
Ángulo entre dos vectores
El ángulo determinado por las direcciones de dos vectores y viene dado por:
Descomposiciones de un vector
Dado un vector y una dirección de referencia dada por un vector unitario se
puede descomponer el primer vector en una componente paralela y otra
componente perpendicular a la dirección de referencia:
En física esta descomposición se usa en diferentes contextos como descomponer
la aceleración en una componente paralela a la velocidad y otra componente
perpendicular a la misma. También la tensión mecánica en un punto sobre un
plano puede descomponerse en una componente normal al plano y otra paralela.
También dado un campo vectorial definido sobre un dominio de Lipschitz,
acotado, simplemente conexo y de cuadrado integrable admite la
llamada descomposición de Helmholtz como suma de un campo conservativo y
37
un campo solenoidal:
Cambio de base vectorial
Cambio de base vectorial.
En matemáticas las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las
normas en espacios vectoriales en los que se ha definido una operación
de producto interior. La matriz de transformación tiene la propiedad de ser una
matriz unitaria, es decir, es ortogonal y su determinante es 1. Sea un
vector expresado en un sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) con una
base vectorial asociada definida por los versores ; esto es,
Ahora, supongamos que giramos el sistema de ejes coordenados, manteniendo
fijo el origen del mismo, de modo que obtengamos un nuevo triedro ortogonal de
ejes (x′, y′, z′), con una base vectorial asociada definida por los
versores . Las componentes del vector en esta nueva base vectorial
serán:
La operación de rotación de la base vectorial siempre puede expresarse como la
acción de un operador lineal (representado por una matriz) actuando sobre el
vector (multiplicando al vector):
38
Que es la matriz de transformación para el cambio de base vectorial.
Cambio de base vectorial.
Ejemplo
En el caso simple en el que el giro tenga magnitud alrededor del eje z,
tendremos la transformación:
Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector,
obtendremos la expresión del vector en la nueva base vectorial:
siendo
LAS COMPONENTES DEL VECTOR EN LA NUEVA BASE
VECTORIAL.
Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales
No cualquier n-tupla de funciones o números reales constituye un vector físico.
Para que una n-tupla represente un vector físico, los valores numéricos de los
componentes del mismo medidos por diferentes observadores deben
transformarse de acuerdo con ciertas relaciones fijas.
En mecánica newtoniana generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a
veces vectores polares, junto con pseudo vectores, llamados vectores axiales que
realmente representan el dual de Hodge de magnitudes tensoriales antisimétricas.
El momento angular, el campo magnético y todas las magnitudes que en cuya
39
definición interviene el producto vectorial son en realidad pseudo vectores
o vectores axiales.
En teoría especial de la relatividad, solo los vectores tetra dimensionales cuyas
medidas tomadas por diferentes observadores pueden ser relacionadas mediante
alguna transformación de Lorentz constituyen magnitudes vectoriales. Así las
componentes de dos magnitudes vectoriales medidas por dos
observadores y deben relacionarse de acuerdo con la siguiente relación:
Donde son las componentes de la matriz que da la transformación de Lorentz.
Magnitudes como el momento angular, el campo eléctrico o el campo magnético o
el de hecho en teoría de la relatividad no son magnitudes vectoriales
sino tensoriales.
RESOLUCIÓN DE OPERACIONES DE ADICIÓN DE VECTORES, EN DOS DIMENSIONES, POR MÉTODO GRÁFICO Y ANALÍTICO.
Suma de vectores
Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremode uno coincida con el origen del otro vector.
Regla del paralelogramo
Se toman como representantes dos vectores con
el origen en común, se trazan rectas paralelas a
los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya
diagonal coincide con la suma de los vectores.
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
40
Propiedades de la suma de vectores
1 Asociativa
+ ( + ) = ( + ) +
2 Conmutativa
+ = +
3 Elemento neutro
+ =
4 Elemento opuesto
+ (− ) =
Resta de vectores
Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de .
Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los
vectores.
41
Ejemplo:
MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.
Multiplicación de un escalar por un vector
La mult ip l icación de un núm ero k por un vec tor es o t ro vec tor :
Con igua l d i rección que e l vec tor .
Con e l mismo sent ido que e l vec tor si k es posi t ivo .
Con sent ido contrar io de l vec tor si k es negat ivo . De módulo
Las componentes de l vector resul tante se obt ienenmult ip l icando por e l esca lar , k , por l as componentes del vector .
42
Ejemplos
Propiedades de la multiplicación de un vector por un número
Asociat iva
k · (k ' · ) = (k · k' ) ·
Distributiva I
k · ( + ) = k · + k ·
Distributiva I I
(k + k ') · = k · + k ' ·
Elemento neutro
1 · =
MULTIPLICACIÓN DE VECTORES. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES. El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
Ejemplo:
43
1 Expresión analítica del producto escalar
Ejemplo:
2 Expresión analítica del módulo de un vector
Ejemplo:
3 Expresión analítica del ángulo de dos vectores
Ejemplo:
44
4 Condición analítica de la ortogonalidad de dos vectores
Ejemplo:
Interpretación geométrica del producto escalar
El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos
por la proyección del otro sobre él.
45
Ejemplo:
Hallar la proyección del vector = (2, 1) sobre el vector = (−3, 4).
Propiedades del producto escalar
1 Conmutativa
2 Asociativa
3 Distributiva
4 El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es
positivo.
46
DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO (CINEMÁTICA) EN UNA DIMENSIÓN. El movimiento de los objetos (pelotas de béisbol, automóviles, corredores e
incluso el sol y la luna) es una parte obvia de la vida diaria. No fue sino hasta los
siglos XVI Y XVII que se estableció nuestro entendimiento, particularmente
Galileo Galilei (1564-1642) e Isaac Newton (1642-1727).
El estudio del movimiento de los objetos y de los conceptos relacionados de
fuerza y energía, forman el campo llamado mecánica. Es común dividir la
mecánica en dos partes: cinemática, que es la descripción de cómo se mueve los
objetos, y dinámica, que trata con el concepto de fuerza y las causas del
movimiento de los objetos.
Cualquier medición de posición, distancia o rapidez debe hacerse con respecto a
un marco de referencia. Por ejemplo mientras viaja en un tren a 80 km/h, ve a
una persona que camina por el pasillo hacia el frente del tren con rapidez,
digamos de 5 km/h, por supuesto, esta es la rapidez de la persona con respecto al
tren como marco de referencia.
Con respecto al terreno esa persona se está moviendo con rapidez de 80 km/h +
5 km/h = 85 km/h. Siempre es importante especificar el marco de referencia al
indicar una rapidez. En la vida diaria, usualmente sin pensarlo queremos decir "
con respecto a la tierra", pero en el marco de referencia debe ser especificado
cuando pueda haber posibles confusiones.
En física solemos dibujar un conjunto de ejes coordenados, para representar un
marco de referencia. Siempre podemos colocar el origen 0, y los sentidos de los
ejes x y y, como queramos por comodidad, los ejes x y y son siempre
perpendiculares entre sí.
La posición, de un objeto en cualquier momento está entonces dada por su
coordenada x. Tenemos que hacer una distinción entre la distancia que ha viajado
un objeto y su desplazamiento, que se define como el cambio de posición del
objeto. Es decir, el desplazamiento muestra que tan lejos está el objeto desde el
punto de inicio.
Para ver la distinción entre distancia total y desplazamiento, imagínese a una
persona caminando 70 m hacia el este y que luego regresa (oeste) una distancia
de 30 m. La distancia total viajada es de 100 m, pero el desplazamiento es solo
de 40 m ya que la persona está ahora sólo a 40 m del punto de partida.
47
El desplazamiento es una cantidad que tiene magnitud y dirección, tales
cantidades se llaman vectores y son representados por flechas en los diagramas.
VELOCIDAD PROMEDIO
El aspecto más obvio del movimiento de un objeto es que tan rápido se mueve, es
decir su rapidez o velocidad.
El término "rapidez" se refiere a qué tan lejos viaja un objeto en un intervalo dado
de tiempo, independientemente de la dirección. Si un automóvil recorre 240 km en
3 horas, decimos que su rapidez promedio es de 80 km/h. En general, la rapidez
promedio de un objeto se define como la distancia total viajada a lo largo de su
trayectoria dividida entre el tiempo que le toma viajar esta distancia:
rapidez promedio = distancia viajada
tiempo transcurrido
Los términos velocidad y rapidez son a menudo usados indistintamente en el
lenguaje ordinario. Sin embargo, en física se hace una distinción entre los dos.
La rapidez es simplemente un número positivo, con unidades. Por otra
parte, velocidad se usa para indicar tanto la magnitud (valor numérico) de que
tan rápido se esta moviendo un objeto, como la dirección en que se mueve. (la
velocidad entonces es un vector). Existe una segunda diferencia entre rapidez y
velocidad: la velocidad promedio se define en términos de desplazamiento, en
vez de distancia total recorrida:
velocidad promedio = desplazamiento = (posición final -
posición inicial)
tiempo transcurrido
ACELERACION
Se dice que un objeto cuya velocidad está cambiando está acelerando. Un
automóvil cuya velocidad crece en magnitud de cero a 80 km/h, está acelerando,
es decir, la aceleración específica qué tan rápidamente está cambiando la
velocidad de un objeto.
Aceleración promedio:
La aceleración promedio se define como el cambio en la velocidad dividido entre
el tiempo que toma efectuar este cambio:
48
aceleración promedio = cambio de velocidad
tiempo transcurrido
DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO MEDIANTE EL DIAGRAMA DE
CUERPO LIBRE
Diagramas de cuerpo libre
Un diagrama de cuerpo libre muestra a un cuerpo aislado con todas las fuerzas
(en forma de vectores) que actúan sobre él (incluídas, si las hay, el peso, la
normal, el rozamiento, la tensión, etc). No aparecen los pares de reacción, ya que
los mismos están aplicados siempre en el otro cuerpo.
DEFINICIÓN DE CANTIDADES FÍSICAS: ESCALARES Y
VECTORES
Magnitudes escalares y vectoriales
Las magnitudes que emplearemos en este curso de Física serán de dos
tipos:escalares y vectoriales.
Una magnitud escalar es aquella que queda completamente determinada con
un número y sus correspondientes unidades, y una magnitud vectorial es
aquella que, además de un valor numérico y sus unidades (módulo) debemos
especificar su dirección y sentido.
La elección de un escalar o un vector para representar una magnitud física
depende de la naturaleza de la misma; si estamos describiendo la temperatura
de una habitación, la densidad de un cuerpo, su masa... necesitaremos
representarlas mediante un número. Por el contrario, cuando trabajemos con
magnitudes como la fuerza, la velocidad, la aceleración, el campo eléctrico, etc.,
emplearemos vectores.
Un vector en el espacio tridimensional está caracterizado por tres
números que se denominan componentes o coordenadas del vector.
Las componentes de un vector serán en general diferentes dependiendo del
sistema de coordenadas que utilicemos para expresarlas, pero siempre es
49
posible relacionarlas de una manera sistemática.
Sistemas de coordenadas
En general a lo largo de estas páginas emplearemos el sistema
de coordenadas cartesianas para especificar las componentes de un vector.
El sistema de coordenadas cartesianas está constituido por tres ejes (dos si
trabajamos en dos dimensiones) perpendiculares entre sí que se cortan en un
punto llamado origen.
Componentes cartesianas
En tres dimensiones:
Las componentes cartesianas de un vector son las proyecciones de dicho
vector sobre cada uno de los ejes. Como se observa en la figura anterior están
relacionadas con el ángulo que forma el vector con el eje x y con su longitud
(módulo):
Por tanto, el vector a puede expresarse como:
Y en ese caso está expresado en coordenadas polares (esféricas en tres
dimensiones).
REPRESENTACIÓN DE CANTIDADES ESCALARES Y
VECTORIALES
50
Nota
Recuerde que el producto escalar se dos vectores siempre es un número real.
Ejemplo:
Calcular el producto escalar de los siguientes vectores
Solución Vectores perpendiculares Definición 9
Sean y dos vectores diferentes de cero. Se dice que y son
p e r p e n d i c u l a r e s ( o r t o g o n a l e s ) s i s e c u m p l
e q u e .
Teorema 7
Sean vectores y un número real, entonces
Ejemplo:
S e a n y v e c t o r e s e n . Determine los vectores en que satisfa
gan simultáneamente las siguientes condiciones:
Se puede expresar como combinación lineal de y.E s p e r p e n d i c u l a r
a .
Solución:
Sea el vector buscado. Por , existen y tales que De donde se concluye que
51
Por , como es perpendicular a , entonces se concluye que:Por y se tiene que , po
r lo que:Como , entonces sustituyendo en y se tiene que
INTERPRETACIÓN DE LA FORMA CARTESIANA Y POLAR DE UN
VECTOR.
1 Definición
En el caso del movimiento bidimensional de un punto material resulta útil en
muchas ocasiones trabajar con coordenadas polares. Usaremos la figura para
definirlas.
Sea un punto P situado en el plano OXY con coordenadas cartesianas (x,y). Su
vector de posición respecto al origen del sistema de referencia es
Las coordenadas polares (ρ,θ) se definen de la siguiente forma
1. La coordenada ρ es la distancia del punto P al punto O. Puede variar
entre los valores 0 y .
2. La coordenada θ es el ángulo que forma el vector con el eje OX.
Puede variar entre los valores 0 y 2π.
Estas dos coordenadas permiten describir de forma unívoca la posición de
cualquier punto en el plano OXY.
El intervalo para θ es abierto a la derecha para evitar llegar al valor de 2π. De lo
contrario, los puntos del eje OX aparecerían dos veces, para θ = 0 y para θ = 2π.
2 Relación con las coordenadas cartesianas
Cada par de valores (x,y) corresponde unívocamente a un par de valores ρ,θ. La
relación entre estos dos pares puede obtenerse a partir de la figura. Teniendo en
cuenta el triángulo rectángulo formado por los catetos de longitud x e y y la
52
hipotenusa de longitud ρ tenemos
Polares → cartesianas Cartesianas → polares
θ = arctan(y / x)
Base vectorial en polares
Al igual que el sistema de coordenadas cartesianas, las coordenadas polares
llevan asociada una base vectorial. Esta base la componen los vectores
unitarios pintados en verde en la figura.
El vector apunta en la dirección y sentido en que nos movemos si variamos la
coordenada ρ manteniendo θ constante. Si ρ aumenta nos alejamos radialmente
del punto O, y si disminuye nos dirigimos hacia O.
De igual modo, el vector apunta en la dirección y sentido en que nos movemos
si varía θ manteniendo ρ constante. Si θ aumenta nos desplazamos sobre la
tangente a la circunferencia de radio ρ centrada en O, en sentido contrario a las
agujas del reloj. Si θ disminuye el sentido del desplazamiento es el de las agujas
del reloj.
Usando los ángulos indicados en la figura podemos expresar los vectores de la
base polar en función de los vectores de la base cartesiana
Hay que destacar que, a diferencia de los vectores de la base cartesiana, los
vectores de la base polar no son constantes. Esto quiere decir que varían en
dirección y sentido al cambiar de punto en el plano. Algunos ejemplos
θ
0
53
π / 4
π / 2
Podemos obtener la expresión de los vectores de la base cartesiana en función
de la base polar proyectando en la primera figura o despejando en la expresión de
los vectores polares en función de los cartesianos. Así
3 Vectores cinemáticos en coordenadas polares
3.1 Vector de posición
Vamos a encontrar la expresión de los vectores de posición, velocidad y
aceleración en coordenadas polares. A partir del dibujo que el vector de
posición puede escribirse como
El vector de posición debe depender de ρ y θ. Así que uno puede preguntarse
dónde está la coordenada θ en esta expresión. La respuesta es que está en el
vector , que depende de θ.
3.2 Vector velocidad
A lo largo del movimiento del punto por el plano las coordenadas polares cambian
con el tiempo
Para obtener la velocidad hay que derivar el vector de posición respecto del
tiempo. Pero hay que tener en cuenta que al moverse el punto, como varían
tanto ρ como θ, también varían los vectores y . Así pues, hay que derivar
54
también el vector en la expresión de .
Para encontrar usamos la expresión en cartesianas del vector. Los vectores de
la base cartesiana no cambian durante el movimiento de la partícula, esto
es, . Usando la regla de la cadena tenemos
El vector entre paréntesis es precisamente . Por tanto
y la velocidad se escribe
El primer sumando representa la componente de la velocidad en la dirección
radial, mientras que el segundo sumando es la componente de la velocidad en la
dirección perpendicular a la radial.
3.3 Vector aceleración
Derivamos la velocidad respecto al tiempo para obtener la aceleración. Tenemos
en cuenta que ρ, θ, y dependen del tiempo
Para obtener la expresión de utilizamos de nuevo la expresión en cartesianas
de
Finalmente, la expresión de la aceleración en coordenadas polares es
55
APLICACIÓN DEL CÁLCULO VECTORIAL EN LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS FÍSICOS DE SU ENTORNO.
Cálculo Vectorial
Muchas cantidades que son de interés en Física, tienen ambas características:
son cantidades direccionadas (vectores), y pueden tomar un rango continuo de
valores, con lo que se hace necesario los métodos del Cálculo. De particular
importancia en la resolución de problemas físicos son las siguientes operaciones
del campo matemático del Cálculo Vectorial.
Operaciones de Cálculo Vectorial
Tres operaciones de cálculo vectorial que encuentran muchas aplicaciones en
Física son:
1. La divergencia de una función vectorial
2. El rotacional de una función vectorial
3. El gradiente de una función escalar
Estas operaciones de cálculo vectorial se expresan en coordenadas cartesianas,
pero se pueden expresar en términos de cualquier sistema de coordenadas
ortogonal, ayudando con ello en los problemas físicos que tengan otras simetrías
distintas de la rectangular.
IDENTIFICACIÓN DE LOS COMPONENTES RECTANGULARES DE
56
UN VECTOR EN DOS DIMENSIONES.
La eficacia de una cantidad vectorial depende de la dirección en la que actúa. Por
ejemplo, suponga una fuerza (cantidad vectorial) que mueve una caja grande
arrastrándola por el suelo.
La caja se moverá más fácil si se halla por medio de una cuerda inclinada (como
se muestra en la figura) que si se empuja, debido a que la cuerda levanta la caja y
la mueve hacia adelante al mismo tiempo.
En forma similar, al empujar la caja, se produce el efecto de añadir peso. Esto da
la idea de que una fuerza, y en general, un vector, tiene componentes verticales y
horizontales que podrían reemplazar al vector.
En general, las componentes de un vector son otros vectores, en direcciones
perpendiculares. El eje de referencia principal más utilizado es el plano
cartesiano.
Según éste marco de referencia, las componentes horizontales son vectores en
dirección al eje x y las componentes verticales son vectores en dirección al eje y.
Las magnitudes de las componentes se encuentran relacionadas con la magnitud
del vector principal por medio del teorema de pitágoras, tomando como catetos
las componentes, y como hipotenusa el vector principal.
La dirección del vector principal relaciona también a las magnitudes de las
componentes por medio de las relaciones trigonométricas conocidas para un
triángulo rectángulo simple. Las relaciones más utilizadas son el seno, coseno y
tangente.
Ejemplo. Encuentre la magnitud de las componentes en x e y del vector (3.5 u,
60º).
57
La componente en x se puede encontrar fácilmente utilizando la relación del
coseno:
Resolviendo: Componente en x = (3.5 u)* cos (60º) = 1.75 u.
De manera similar, se puede encontrar la magnitud de la componente en y por
medio de la relación del seno; pero además se conoce la magnitud del vector
principal, lo cual permite utilizar el teorema de Pitágoras:
Resolviendo:
Componente en y = 3.03 u
En general, las componentes de un vector pueden verse como efectos o
proyecciones a lo largo de los ejes x e y. Considere el vector V. Podemos escribir
las componentes en x e y del vector V en términos de su magnitud V y su
dirección θ:
- Componente en x, o Vx = V cos θ
- Componente en y, o Vy = V sen θ donde θ es el ángulo, medido en dirección
antihoraria, entre el vector V y el lado positivo del eje x.
RESOLUCIÓN DE OPERACIONES DE ADICIÓN DE VECTORES, EN DOS DIMENSIONES, POR MÉTODO GRÁFICO Y ANALÍTICO.
Suma de Vectores. Método Analítico
Suma de Componentes
58
La suma gráfica de vectores con regla y transportador a veces no tiene la
exactitud suficiente y no es útil cuando los vectores están en tres dimensiones.
Sabemos, de la suma de vectores, que todo vector puede descomponerse como
la suma de otros dos vectores, llamados las componentes vectoriales del vector
original. Para sumarlos, lo usual es escoger las componentes sumando a lo largo
de dos direcciones perpendiculares entre sí.
Ejemplo Suma Vectores: suponga un vector V cualquiera
Trazamos ejes coordenados x y con origen en la cola del vector V. Se trazan
perpendiculares desde la punta del vector V a los ejes x y y determinándose sobre
el eje x la componente vectorial Vx y sobre el eje y la componente vectorial Vy.
Notemos que V = Vx + Vy de acuerdo al método del paralelogramo.
Las magnitudes de Vx y Vy, o sea Vx y Vy, se llaman componentes y son números,
positivos o negativos según si apuntan hacia el lado positivo o negativo de los
ejes x y y.
Notar también que Vy = Vsen y Vx = Vcos
SUMA DE VECTORES UNITARIOS
Frecuentemente las cantidades vectoriales se expresan en términos
de unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene
magnitud igual a uno. Sirven para especificar una dirección determinada. Se usan
los símbolos i, jy k para representar vectores unitarios que apuntan en las
direcciones x, y y z positivas, respectivamente.
59
Ahora V puede escribirse
V = Ax i + Ay j
Si necesitamos sumar el vector A = Ax i + Ay j con el vector
B = Bx i + By j escribimos
R = A + B = Ax i + Ay j + Bx i + By j = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j
Las componentes de R (=A + B) son Rx = Ax + Bx y Ry = Ay + By
Suma Grafica, Ir a Pagina Inicio
Problema Ilustra torio
El siguiente ejercicio es para aclarar el uso de vectores unitarios en este método
analítico.
Un auto recorre 20 km hacia el Norte y después 35 km en una dirección 60º al
Oeste del Norte. Determine magnitud y dirección del desplazamiento resultante
del auto.
Hacemos un diagrama:
Expresando los dos desplazamientos componentes como A y B, indicados en la
figura, y usando unitarios, tenemos:
R = A + B. R es el vector resultante buscado, cuya magnitud se
denota y cuya dirección puede determinarse calculando el ángulo .
A = 20 km j, (apunta hacia el Norte).
B debemos descomponerlo en componentes x e y (ó i y j )
B = -(35 km)sen60ºi + (35 km)cos60ºj = -30.3 kmi + 17.5 kmj
60
Luego,
R = 20 kmj - 30.3 kmi + 17.5 kmj = 37.5j - 30.3i.
La magnitud se obtiene de
2 = (37.5km)2 + (30.3km)2 = 48.2 km
La dirección de R la determinaremos calculando el ángulo .
En el triángulo formado por cateto opuesto 30.3 y cateto adyacente 37.5, tg =
30.3/37.5 = arctg(30.3/37.5) = 38.9º
MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.
Producto de un escalar por un vector
El producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma
dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo
del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el
sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector
original.
Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las
componentes del vector.
Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:
V = (x, y)
k V = k (x, y) = (kx, ky)
Ejemplo:
V = (2,1)
k = 2
k V = 2 (2, 1) = (4, 2)
Ejemplo:
61
V= (2, 2)
k = -1
k V = -1 (2, 2) = (-2, -2)
Si los vectores son de más de dos coordenadas se realiza lo mismo por cada una
de ellas.
MULTIPLICACIÓN DE VECTORES. PRODUCTO ESCALAR DE
DOS VECTORES. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES.
Producto escalar
En matemática, el producto escalar, también conocido como producto
interno, producto interior o producto punto, es una aplicación cuyo dominio es
V 2 y su condominio es K, donde V es un espacio vectorial y K el conjunto de los
escalares respectivo.1 Esta aplicación amplía la oportunidad de emplear los
conceptos de la geometría euclídeatradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad
en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los
espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios
vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto
escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.
El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio
vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede
considerar una forma cuadrática definida positiva.
Un producto escalar se puede expresar como una expresión:
62
Donde es un espacio vectorial y es el cuerpo sobre el que está
definido . La función (que toma como argumentos dos elementos de ,
y devuelve un elemento del cuerpo ) debe satisfacer las siguientes
condiciones:
1. Linealidad por la izquierda: , y
linealidad conjugada por la
derecha:
2. Hermiticidad: ,
3. Definida positiva: , y si y sólo si x = 0,
donde son vectores de V, representan
escalares del cuerpo y es el conjugado del complejo c.
Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de ser
sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en
ser simétrica.
También suele representarse por:
Un espacio vectorial sobre el cuerpo o dotado de un producto escalar
se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es
completo, se dice que es un espacio de Hilbert. Si la dimensión es finita y
el cuerpo es el de los números reales, se dirá que es un espacio euclídeo;
si el cuerpo es el de los números complejos (y la dimensión es finita) se
dirá que es un espacio unitario.
Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está
definido, de la siguiente manera:
En tal caso, esta es una de las infinitas normas que pueden ser generadas
a partir de un producto interior.
Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real
A • B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B.
63
El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define
como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es
Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de
coordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial
escogida.
Proyección de un vector sobre otro
Puesto que |A| cos θ representa el módulo de la proyección del
vector A sobre la dirección del vector B, esto es |A| cos θ = proy AB, será
de modo que el producto escalar de dos
vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno de
ellos por la proyección del otro sobre él.
Ángulos entre dos vectores
La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno
del ángulo existente entre los vectores, mediante la siguiente definición
formal: que nos dice que la multiplicación de un escalar denominado K
tiene que ser diferente de cero.
Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo
recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos
vectores son ortogonales.
ya que el .
Vectores paralelos o en una misma dirección
Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que
forman es de 0 radianes (0 grados) o de π radianes (180 grados).
Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la
unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el
producto escalar.
Propiedades del producto escalar
64
Sean A, B y C vectores en el plano o en el espacio y sea m un escalar:
1. Conmutativa:
2. Distributiva respecto a la suma vectorial:
3. Asociatividad respecto al producto por un escalar m:
Expresión analítica del producto escalar
Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes
cartesianas rectangulares, tomando la base canónica en formada por
los vectores unitarios {i , j , k} tenemos:
El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente
forma:
Norma o Módulo de un vector
Se define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio
métrico considerado.
Se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo.
Efectuado el producto escalar, tenemos:
de modo que
Por componentes, tomando la base canónica en formada por los
vectores unitarios {i, j, k}
65
de modo que
Productos interiores definidos en espacios vectoriales usuales
Citamos a continuación algunos productos estudiados generalmente en
Teoría de Espacios Normados. Todos estos productos -llamados
canónicos- son sólo algunos de los infinitos productos interiores que se
pueden definir en sus respectivos espacios.
En el espacio vectorial se suele definir el producto interior (llamado,
en este caso en concreto, producto punto) por:
En el espacio vectorial se suele definir el producto interior por:
Siendo el número complejo conjugado de
En el espacio vectorial de las matrices de m x n , con elementos
reales
Donde tr(A) es la traza de la matriz A y es la matriz
traspuesta de A.
En el espacio vectorial de las matrices de m x n , con
elementos complejos
dondetr(A) es la traza de la matriz B y es la matriz
traspuesta conjugada de A.
En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre
el intervalo C[a, b], acotado por a y b:
66
En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n:
Dado tal
que :
Generalizaciones
Formas cuadráticas
Dada una forma bilineal simétrica definida sobre un espacio
vectorial puede definirse un producto escalar diferente del producto escalar
euclídeo mediante la fórmula:
Donde:
es una base del espacio vectorial
Puede comprobarse que la operación anterior satisface todas las
propiedades que debe satisfacer un producto escalar.
Tensores métricos
Se pueden definir y manejar espacio no-euclídeos o más exactamente variedades
de Riemann, es decir, espacios no-planos con un tensor de curvatura diferente de
cero, en los que también podemos definir longitudes, ángulos y volúmenes. En
estos espacios más generales se adopta el concepto de geodésica en lugar del
de segmento para definir las distancias más cortas en entre puntos y, también, se
modifica ligeramente la definición operativa del producto escalar habitual
introduciendo un tensor métrico , tal que la restricción del tensor
a un punto de la variedad de Riemann es una forma bilineal .
Así, dados dos vectores campos vectoriales y del espacio tangente a la
variedad de Riemann se define su producto interno o escalar como:
La longitud de una curva rectificable C entre dos puntos A y B se puede definir a
partir de su vector tangente de la siguiente manera:
67
DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO (CINEMÁTICA) EN UNA DIMENSIÓN.
Problemas resueltos de cinemática (I)
1.-Un móvil describe un movimiento rectilíneo. En la figura, se representa su velocidad en función del tiempo. Sabiendo que en el instante t=0, parte del origen x=0.
Dibuja una gráfica de la aceleración en función del tiempo
Calcula el desplazamiento total del móvil, hasta el instante t=8s.
Escribe la expresión de la posición x del móvil en función del tiempo t, en los tramos AB y BC.
Un ascensor de 3 m de altura sube con una aceleración de 1 m/s2. Cuando se encuentra a una cierta altura se desprende la lámpara del techo.
Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo del ascensor. Tomar g=9.8 m/s2.
¿En qué caso un cuerpo tiene aceleración centrípeta y no tangencial? ¿y en qué caso tiene aceleración tangencial y no centrípeta?
Razona la respuesta y pon un ejemplo de cada caso.
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con aceleración de 2 m/s2. Calcular:
La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto. La altura máxima El valor de las componentes tangencial y normal de la aceleración cuando
68
la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.
Tómese g=10 m/s2.
Nos encontramos en la antigua Suiza,
donde Guillermo Tell va a intentar
ensartar con una flecha una manzana
dispuesta en la cabeza de su hijo a
cierta distancia d del punto de disparo
(la manzana está 5 m por debajo del
punto de lanzamiento de la flecha). La
flecha sale con una velocidad inicial de
50 m/s haciendo una inclinación de 30º
con la horizontal y el viento produce una
aceleración horizontal opuesta a su
velocidad de 2 m/s2.
Calcular la distancia horizontal d a la que deberá estar el hijo para que
pueda ensartar la manzana.
Hállese la altura máxima que alcanza la flecha medida desde el punto de
lanzamiento. (g=9.8 m/s2)
1. Un cuerpo baja deslizando por el plano inclinado de 30º alcanzando al final del mismo una velocidad de 10 m/s. A continuación, cae siendo arrastrado por un viento en contra que causa la aceleración horizontal indicada en la figura.
Cuánto vale el alcance xmax?
Con qué velocidad llega a ese punto?
Una partícula se mueve en el plano XY de acuerdo con la ley ax=0, ay=4cos
(2t) m/s2. En el instante t=0, el móvil se encontraba en x=0, y=-1 m, y tenía la
velocidad vx=2, vy=0 m/s.
Hallar las expresiones de r(t) y v(t).
Dibujar y calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración
69
Un móvil se mueve en el plano XY con las siguientes aceleraciones: ax=2,
ay=10 m/s2. Si en el instante inicial parte del origen con velocidad inicial vx=0 y
vy=20 m/s.
Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración, y el radio
de curvatura en el instante t=2 s.
El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t-
2)i+(6t2-5)j m/s. Si la posición del móvil en el instante t=1 s es r=3i-2j m. Calcular
El vector posición del móvil en cualquier instante.
El vector aceleración.
Las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2
s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes
tangencial y normal en dicho instante.
Un bloque de 0.5 kg de masa de radio comienza a
descender por una pendiente inclinada 30º
respecto de la horizontal hasta el vértice O en el
que deja de tener contacto con el plano.
Determinar la velocidad del bloque en dicha
posición.
Hallar el punto de impacto de la esfera en el
plano inclinado 45º, situado 2 m por debajo
de O, tal como se indica en la figura.
Hallar el tiempo de vuelo T del bloque
(desde que abandona el plano inclinado
hasta el punto de impacto).
Hallar las componentes tangencial y normal
de la aceleración en el instante T/2.
El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano inclinado es 0.2.
70
Disparamos un proyectil
desde el origen y éste
describe una trayectoria
parabólica como la de la
figura. Despreciamos la
resistencia del aire.
Dibuja en las posiciones A,
B, C, D y E el vector
velocidad, el vector
aceleración y las
componentes normal y
tangencial de la aceleración.
(No se trata de dar el valor
numérico de ninguna de las
variables, sólo la dirección y
el sentido de las mismas)
¿Qué efecto producen an y
at sobre la velocidad
Un patinador desciende
por una pista helada,
alcanzando al finalizar la
pista una velocidad de
45 m/s. En una
competición de salto,
debería alcanzar 90 m a
lo largo de una pista
inclinada 60º respecto de
la horizontal.
¿Cuál será el
ángulo (o los
ángulos) que
debe formar su
vector velocidad
inicial con la
horizontal?.
¿Cuánto tiempo
tarda en aterrizar?
71
Calcular y dibujar
las componentes
tangencial y
normal de la
aceleración en el
instante t/2.
Siendo t el tiempo
de vuelo.
Tomarg=10 m/s2
Una botella se deja caer desde el reposo en la posición x=20 m e y=30 m. Al
mismo tiempo se lanza desde el origen una piedra con una velocidad de 15 m/s.
Determinar el ángulo con el que tenemos que lanzar la piedra para que
rompa la botella, calcular la altura a la que ha ocurrido el choque.
Dibujar en la misma gráfica la trayectoria de la piedra y de la botella.
(Tomar g=9.8 m/s2).
Se dispara un proyectil desde lo alto de una colina de 300 m de altura,
haciendo un ángulo de 30º por debajo de la horizontal.
Determinar la velocidad de disparo para que el proyectil impacte sobre un
blanco situado a una distancia horizontal de 119 m, medida a partir de la
base de la colina.
Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración cuando el
proyectil se encuentra a 200 m de altura.
Un cañón está situado sobre la cima de una colina de 500 m de altura y
dispara un proyectil con una velocidad de 60 m/s, haciendo un ángulo de 30º por
debajo de la horizontal.
Calcular el alcance medido desde la base de la colina.
Las componentes tangencial y normal de la aceleración 3 s después de
efectuado el disparo. Dibujar un esquema en los que se especifique los
vectores velocidad, aceleración y sus componentes tangencial y normal en
ese instante. (Tómese g=10 m/s2)
72
Un patinador comienza a descender por un pendiente inclinado 30º respecto de la horizontal. Calcular el valor mínimo de la distancia x al final de la pendiente de la que tiene que partir para que pueda salvar un foso de 5m de anchura. El coeficiente de rozamiento entre el patinador y la pista es μ=0.2
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s
desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada
por el viento, produciendo un movimiento horizontal con aceleración de 2 m/s2,
(tómese g=10 m/s2). Calcular:
La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto.
La altura máxima
Las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=3
s.
1. Se lanza un objeto desde una altura de 300
m haciendo un ángulo de 30º por debajo de la
horizontal. Al mismo tiempo se lanza
verticalmente otro objeto con velocidad
desconocida v0 desde el suelo a una distancia
de 100 m.
Determinar, la velocidad v0, el
instante y la posición de encuentro de
ambos objetos.
Dibujar la trayectoria de ambos objetos
hasta que se encuentran.
Calcular las componentes tangencial y
normal del primer objeto en el instante
de encuentro.
Tómese g=9.8 m/s2
73
DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO MEDIANTE EL DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
Un diagrama de cuerpo libre es una representación gráfica utilizada a menudo
por físicos e ingenieros para analizar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo
libre. El diagrama de cuerpo libre es un elemental caso particular de un diagrama
de fuerzas. En español, se utiliza muy a menudo la expresión diagrama de
fuerzas como equivalente a diagrama de cuerpo libre, aunque lo correcto sería
hablar de diagrama de fuerzas sobre un cuerpo libre o diagrama de fuerzas
de sistema aislado. Estos diagramas son una herramienta para descubrir las
fuerzas desconocidas que aparecen en las ecuaciones del movimiento del cuerpo.
El diagrama facilita la identificación de las fuerzas y momentos que deben tenerse
en cuenta para la resolución del problema. También se emplean para el análisis
de las fuerzas internas que actúan en estructuras
Fuerzas internas desarrolladas en elementos estructurales
Para diseñar un elemento estructural o mecánico es necesario conocer la carga
que actúa dentro de él para asegurarnos de que el material puede resistir esta
carga. Las cargas internas pueden determinarse por el método de secciones,
seccionando o cortando imaginariamente una sección perpendicular al eje de la
viga. Las cargas internas que actúan sobre el elemento quedarán expuestas y se
volverán externas en el diagrama de cuerpo libre de cada segmento.
Los componentes de la fuerza (N) que actúa en perpendicular a la sección
transversal se denomina fuerza Normal.
Los componentes de la fuerza (V) que es tangente a la sección transversal se
llama fuerza cortante.
El momento de par (M) se conoce como momento flector.3
Lo que hay que incluir
El esquema del cuerpo debe llegar solo al nivel de detalle necesario. Un simple
esbozo puede ser suficiente y en ocasiones, dependiendo del análisis que se
quiera realizar, puede bastar con un punto.
Todas las fuerzas externas se representan mediante vectores etiquetados de
forma adecuada. Las flechas indican la dirección y magnitud de las fuerzas y, en
la medida de lo posible, deberían situarse en el punto en que se aplican.
Solo se deben incluir las fuerzas que actúan sobre el objeto, ya sean
de rozamiento, gravitatorias, normales, de arrastre o de contacto. Cuando se
trabaja con un sistema de referencia no inercial, es apropiado incluir fuerzas
ficticias como la centrífuga.
74
Se suele trabajar con el sistema de coordenadas más conveniente, para
simplificar las ecuaciones. La dirección del eje x puede hacerse coincidir con la
dirección de descenso de un plano inclinado, por ejemplo, y así la fuerza de
rozamiento solo tiene componente en esa coordenada, mientras que la normal
sigue el eje y. La fuerza gravitatoria, en este caso , tendrá componentes según los
dos ejes, en el x y en el y, donde θ es el ángulo que forma
el plano con la superficie horizontal.
Lo que no hay que incluir
Las fuerzas que el cuerpo ejerce sobre otros cuerpos. Por ejemplo, si una pelota
permanece en reposo sobre una mesa, la pelota ejerce una fuerza sobre esta,
pero en el diagrama de cuerpo libre de la primera solo hay que incluir la fuerza
que la mesa ejerce sobre ella.
También se excluyen las fuerzas internas, las que hacen que el cuerpo sea
tratado como un único sólido. Por ejemplo, si se analiza las fuerzas que aparecen
en los soportes de una estructura mecánica compleja, como el tablero de un
puente, las fuerzas internas de las distintas partes que lo forman no se tienen en
cuenta.
Suposiciones
El diagrama de cuerpo libre refleja todas las suposiciones y simplificaciones que
se han hecho para analizar el problema. Si el cuerpo en cuestión es un satélite en
órbita y lo primordial que se desea es encontrar su velocidad, un punto puede ser
la mejor opción. Los vectores deben colocarse y etiquetarse con cuidado para
evitar suposiciones que condicionen el resultado. En el diagrama ejemplo de esta
entrada, la situación exacta de la fuerza normal resultante que la rampa ejerce
sobre el bloque solo puede encontrarse después de analizar el movimiento o de
asumir que se encuentra en equilibrio.
Ejemplificación del porqué la fuerza gravitacional es una fuerza
conservativa.
Concepto de trabajo
Se denomina trabajo infinitesimal al producto escalar del vector fuerza por el
vector desplazamiento.
Donde Ft es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, ds es el
módulo del vector desplazamiento, y q el ángulo que forma el vector fuerza con
el vector desplazamiento.
75
El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de
todos los trabajos infinitesimales
Cuando la fuerza es constante el trabajo se obtiene multiplicando la componente
de la fuerza a lo largo del desplazamiento por el desplazamiento.
W=Ft s
Concepto de energía cinética. Teorema de la Energía Cinética (o de las Fuerzas
vivas)
Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula
de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y
el valor inicial de la energía cinética de la partícula.
En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente
tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración tangencial.
En la segunda línea, la aceleración tangencial at es igual a la derivada del módulo
de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el tiempo dt que tarda
en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil.
Se define energía cinética como la expresión
El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la resultante de todas las
fuerzas que actúan sobre una partícula es la variación de su energía cinética.
Fuerza conservativa. Energía potencial. Trabajo en campos conservativos
Un fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la
diferencia entre los valores inicial y final de una función que solo depende de las
coordenadas. A dicha función se le denomina energía potencial.
El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del
punto A al punto B.
El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.
Ejemplos:
El peso es una fuerza conservativa
Calculemos el trabajo de la fuerza peso F=-mg j cuando el cuerpo se desplaza
desde la posición A cuya ordenada es yA hasta la posición B cuya ordenada es yB.
La energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa peso tiene la
76
forma funcional
Donde c es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la
energía potencial.
La fuerza que ejerce un muelle es conservativa
Como vemos en la figura cuando un muelle se deforma x, ejerce una fuerza sobre
la partícula proporcional a la deformación x y de signo contraria a esta.
La función energía potencial correspondiente a la fuerza conservativa F vale
El nivel cero de energía potencial se establece del siguiente modo: cuando la
deformación es cero x=0, el valor de la energía potencial se toma cero, Ep=0, de
modo que la constante aditiva vale c=0.
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
Cuando una partícula está bajo la acción de una fuerza conservativa, el trabajo de
dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y final de la energía
potencial
El trabajo de la fuerza es igual a la diferencia entre el valor final e inicial de la
energía cinética.
Igualando ambos trabajos, obtenemos la expresión del principio de conservación
de la energía
EkA+EpA=EkB+EpB
La energía mecánica de la partícula (suma de la energía potencial más cinética)
es constante en todos los puntos de su trayectoria.
Fuerzas no conservativas
Para darnos cuenta del significado de una fuerza no conservativa, vamos a
compararla con la fuerza conservativa peso.
La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa
Cuando la partícula se mueve de A hacia B, o de B hacia A la fuerza de
rozamiento es opuesta al movimiento, el trabajo es negativo porque la fuerza es
de signo contrario al desplazamiento
77
Balance de energía
En general, sobre una partícula actúan fuerzas conservativas Fc y no
conservativas Fnc. El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la
partícula es igual a la diferencia entre la energía cinética final menos la inicial.
(Ek = Energía cinética)
El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la diferencia entre la energía
potencial inicial y la final
Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar obtenemos que
=Wfnc
El trabajo de una fuerza no conservativa es igual a la variación de la energía
mecánica (cinética más potencial) de la partícula.
DESCRIPCIÓN DE LAS LEYES DE NEWTON DEL MOVIMIENTO. LEY DE INERCIA, PRINCIPIO DE MASA, PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN.
Las leyes de Newton, también conocidas como leyes del movimiento de
Newton,1 son tres principios a partir de los cuales se explican la mayor parte de
los problemas planteados por la mecánica, en particular aquellos relativos
al movimiento de los cuerpos, que revolucionaron los conceptos básicos de la
física y el movimiento de los cuerpos en el universo.
Constituyen los cimientos no solo de la dinámica clásica sino también de la física
clásica en general. Aunque incluyen ciertas definiciones y en cierto sentido
pueden verse como axiomas, Newton afirmó que estaban basadas en
observaciones y experimentos cuantitativos; ciertamente no pueden derivarse a
partir de otras relaciones más básicas. La demostración de su validez radica en
sus predicciones... La validez de esas predicciones fue verificada en todos y cada
uno de los casos durante más de dos siglos.
En concreto, la relevancia de estas leyes radica en dos aspectos: por un lado
constituyen, junto con la transformación de Galileo, la base de la mecánica
clásica, y por otro, al combinar estas leyes con la ley de la gravitación universal,
se pueden deducir y explicar las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.
Así, las leyes de Newton permiten explicar, por ejemplo, tanto el movimiento de
los astros como los movimientos de los proyectiles artificiales creados por el ser
78
humano y toda la mecánica de funcionamiento de las máquinas. Su formulación
matemática fue publicada por Isaac Newton en 1687 en su
obra Philosophiaenaturalis principia mathematica.
La dinámica de Newton, también llamada dinámica clásica, solo se cumple en
los sistemas de referencia inerciales (que se mueven a velocidad constante; la
Tierra, aunque gire y rote, se trata como tal a efectos de muchos experimentos
prácticos). Solo es aplicable a cuerpos cuya velocidad dista considerablemente de
la velocidad de la luz; cuando la velocidad del cuerpo se va aproximando a los
300 000 km/s (lo que ocurriría en los sistemas de referencia no-inerciales)
aparecen una serie de fenómenos denominados efectos relativistas. El estudio de
estos efectos (aumento de la masa y contracción de la longitud,
fundamentalmente) corresponde a la teoría de la relatividad especial, enunciada
por Albert Einstein en 1905.
CÁLCULO DE FUERZAS A PARTIR DEL PLANO INCLINADO
Acción del Peso en un Plano Inclinado
Si apoyamos un libro sobre un plano inclinado y comienza a deslizar, las fuerzas
que actúan sobre el cuerpo son la fuerza normal (N→), su peso (P→) y la fuerza
de rozamiento (F→R). Para calcular la fuerza resultante, deberemos sumarlas.
Como hemos visto con anterioridad, sumar fuerzas es más sencillo si todas tienen
la misma dirección o sus direcciones forman un ángulo de 90º y en nuestro caso,
P no lo cumple. Por esta razón, podemos descomponer el peso en dos
fuerzas, P→x y P→y, tal y como estudiamos en el apartado de descomposición
de fuerzas. Una vez que hagamos esto, si hacemos un giro a nuestro sistema de
referencia, podrás comprobar que nuestro cuerpo en el plano inclinado que se
desliza por la acción de su peso es equivalente al mismo caso en el que el cuerpo
se encuentra en un plano horizontal y nosotros lo empujamos con una fuerza
equivalente a P→x.
Cuando un cuerpo se desliza por un plano inclinado por la acción de su peso, la
fuerza resultante (ΣF) tiene la dirección y sentido de la pendiente del plano y su
módulo se obtiene:
∑F=Px-FR
Además se cumple que:
Px-FR=m·aN=PyPx=P·sinαPy=P·cosα
79
Experimenta y Aprende
α (rad) = 0.40
m (kg) = 0.25
μ = 0.30
α
P→y
P→x
P→
N→
F→R
Datos
P = m · g = 0.25 · 9.8 = 2.45 N
Px = P · sin(α) = 2.45 · sin(0.40) = 0.95 N
Py = P · cos(α) = 2.45 · cos(0.40) = 2.26 N
N = Py = 2.26 N
FR = μ · N = 0.30 · 2.26 = 0.68 N
ΣF = Px - FR = 0.95 - 0.68 = 0.28 N
a = ΣF / m = 0.28 / 0.25 = 1.11 m/s2
Esquema de fuerzas en plano inclinado
Arrastra los deslizadores para cambiar el peso del cuerpo (P), el ángulo de
inclinación (α) y coeficiente de rozamiento (μ) del plano que aparece en la figura.
Comprueba que:
Si cambias el valor de la masa, provocarás un cambio en todas las fuerzas,
ya que todas dependen directa o indirectamente de ella. Sin embargo,
observa que la aceleración no cambia!!!
Al cambiar el ángulo del plano, todas las fuerzas, excepto el peso
cambiarán.
Observa que a medida que aumentas el ángulo, se produce un efecto en
cadena: Px se hace mayor (la parte del peso que hará que el cuerpo se
deslice hacia abajo) y Py menor (la fuerza que empuja a la superficie),
como se aplica menos fuerza sobre la superficie disminuye la fuerza
normal y al hacerlo esta, la fuerza de rozamiento disminuye.
Por mucho que aumentes el coeficiente de rozamiento, la FR nunca será
mayor que Px, pues el cuerpo en vez de bajar, subiría. Fenómeno que no
80
ocurre en la vida real.
Demostración
El módulo de la fuerza resultante de sumar todas las fuerzas, es equivalente al
módulo de la resultante de sumar las fuerzas que intervienen en el eje x (ΣFx) y
las que intervienen en el eje y (ΣFy).
∑F=∑Fx+∑Fy
Para determinar cada una de ellas, vamos a estudiar las fuerzas de cada eje.
Eje X Aplicando lo estudiado en el apartado de suma de fuerzas
concurrentes, obtenemos que:
∑Fx=Px-FR
Además, sabemos por el Principio Fundamental que:
Px-FR=m·a
Eje Y
En este eje, nos encontramos que
∑Fy=N-Py
y por el principio de Inercia:
∑Fy=N-Py=m·a
Como no se mueve verticalmente (solo lo hace horizontalmente) su aceleración
en este eje es a=0, por lo que obtenemos que:
∑Fy=N-Py=0 ⇒N=Py∑Fy=0
Resultante Total
Si sustituimos los valores de ΣFx y ΣFy, obtenemos que:
∑F=∑Fx+0 ⇒∑F=Px-FR
Ejemplo
Un transportista empuja una caja de masa m sobre un plano inclinado que forma
un ángulo de 30º con la horizontal. Recibe una llamada en su móvil y suelta la
caja, la cual comienza a descender por la pendiente por la acción de su peso.
Calcular la aceleración de la caja en su huída, si no existe rozamiento.
81
APLICACIÓN DE LAS LEYES DE NEWTON DEL MOVIMIENTO A SITUACIONES Y PROBLEMAS DEL ENTORNO.
Primera ley de Newton (ley de inercia): Todos los cuerpos se mantienen firmes
y constantes en su estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta,
salvo que se vean forzados a cambiar ese estado por fuerzas impresas.
Segunda ley de Newton: el cambio de movimiento proporcional a la fuerza, y se
hace en la dirección de la línea recta en la que se imprime esa fuerza.
Tercera ley de Newton (ley de la acción y reacción): Esta ley afirma que
cuando uno objeto ejerce una fuerza sobre otro objeto ejerce también una fuerza
sobre el primero.
Durante siglos el problema del movimiento y sus causas fue un tema central de
la filosofía natural, un primer apelativo de lo que ahora llamamos física. (Resnick:
2000.)
Fue hasta tiempos de Galileo e Isaac Newton que el progreso fue extraordinario
debido a que se formularon tres leyes importantes por Isaac Newton conocidas
también como leyes del movimiento de Newton las cuales son: Ley de inercia, ley
de fuerza y ley de acción y reacción.
Isaac Newton nació en Lincolnshire, Inglaterra, en 1642, precisamente el año en
que murió Galileo. Según los autores Francisco Noreña y Juan Tonda. (1995).
Newton en la escuela fue muy retraído y mal estudiante hasta que un compañero,
el niño más brillante de la clase, lo golpeo. Newton lo reto a pelear y lo venció;
después empezó a estudiar y también lo supero académicamente.
A los 16 años de edad murió su padrastro y regreso a vivir con su madre, quien
quería que se dedicara a la agricultura, pero Newton se negó y entró a estudiar
matemáticas en el colegio de la trinidad de Cambridge.
La universidad se cerró por causa de una epidemia de peste que mató a
muchísima gente, y Newton regreso a su pueblo natal donde estuvo 18 meses,
que se consideran los más productivos de su vida. Fue ahí donde, por ejemplo, se
le ocurrió, a raíz de que le cayó una manzana en la cabeza, la teoría de la
gravitación universal, relacionando la fuerza que hizo caer a la manzana con la
fuerza que mantiene a la luna girando alrededor de la tierra. Newton también hizo
descubrimientos importantes en óptica y desarrollo el cálculo diferencial e integral,
una poderosa rama de las matemáticas muy usada por los físicos aun en la
actualidad.
82
DEFINICIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS: TRABAJO Y ENERGÍA.
Mecánica - Trabajo y energía
Conceptos principales a tener en cuenta:
Trabajo
o El trabajo realizado por una fuerza es el producto entre la fuerza y el
desplazamiento realizado en la dirección de ésta. Como fuerza y
desplazamiento son vectores y el trabajo un escalar (no tiene
dirección ni sentido) definimos el diferencial de trabajo como el
producto escalar dW=F.dr . El trabjo total realizado por una fuerza
que puede variar punto a punto a lo largo de la trayectoria que
recorre será entonces la integral de línea de la fuerza F a lo largo
de la trayectoria que une la posición inicial y final de la partícula
sobre la que actúa la fuerza.
Energía cinética
o Si realizamos un trabajo W sobre una partícula aislada, ésta varia
su velocidad a lo largo de la trayectoria de modo que podemos
relacionar el trabajo W con la variación de la energía cinética de la
partícula mediante la expresión:
Fuerzas conservativas:
o Una fuerza es conservativa si el trabajo total que realiza a lo largo
de una trayectoria cerrada, es decir regresando a la misma posición
de la que parte, es cero. Esta afirmación es equivalente al hecho de
que si el trabajo necesario para llevar a una partícula de una
posición a otra del espacio es independiente de la trayectoria que
une los dos puntos la fuerza que realiza este trabajo es
conservativa.
Trabajo y energía en sistemas de partículas. Energía potencial
o La energía potencial de un sistema es la energía asociada a la
configuración espacial del mismo. Por definición la energía potencial
es el trabajo de las fuerzas conservativas cambiado de signo es
decir :
W = -
o El trabajo realizado por una fuerza conservativa está relacionado
83
entonces con el cambio de energía potencial. Carece de sentido
hablar de energía potencial como una variable absoluta.
Energía potencial y equilibrio en una dimensión
o A partir de la definición de potencial es fácil demostrar que toda
fuerza conservativa puede hallarse a partir de una potencia
mediante el negativo del operador gradiente. Así, una partícula
estará en equilibrio estable cuando se encuentre en una posición
del espacio donde el potencial sea un mínimo; estará en
equilibrio inestable si el potencial es un máximo e indiferente si el
potencial es constante.
Conservación de la energía
o Si sobre un cuerpo sólo se realizan fuerzas conservativas la suma
de las energías potencial más cinética siempre permanece
constante. Esta es la ley de conservación de la energía. Si además
sobre este cuerpo actúan fuerzas disipativas, el trabajo total
realizado sobre la partícula será igual al cambio de la energía del
sistema. Este es el teorema generalizado de trabajo-energía.
Potencia
o La potencia es la energía transferida por unidad de tiempo. Si una
fuerza F actúa sobre una partícula que se mueve con una
velocidad v la potencia puede calcularse como P=F.v
DIFERENCIACIÓN ENTRE ENERGÍA POTENCIAL
GRAVITACIONAL Y ELÁSTICA.
La energía potencial es, junto con la energía cinética, el otro tipo de energía
mecánica que pueden tener los cuerpos. A diferencia de la energía cinética, la
energía potencial está asociada a la posición que tienen los cuerpos, y no a su
movimiento.
Definimos la energía potencial como aquella que poseen los cuerpos por el hecho
de encontrarse en una determinada posición en un campo de fuerzas.
Existen distintos tipos de energía potencial. En este apartado vamos a estudiar la
energía potencial elástica. ¿Empezamos?
La Energía de los Muelles
¿Has jugado alguna vez al pinball? Para poner la bola en juego es necesario que
comprimas el lanzador. Una vez comprimido, puedes mantenerlo en esa posición
todo el tiempo que desees. La bola permanecerá en reposo. Sin embargo, una
84
vez liberado, el lanzador (un muelle), transforma el estado de reposo de la bola, y
esta se pone en movimiento. El resto depende de tu habilidad y tu suerte para
evitar que la pelota caiga del tablero de juego. En cualquier caso, lo importante es
señalar que el muelle deformado cuenta con una energía (capacidad para
producir un trabajo, una transformación) por el hecho de encontrarse desplazado
(comprimido o estirado) respecto a su posición de equilibrio.
Definimos la energía potencial elástica como aquella que adquieren los cuerpos
sometidos a la acción de fuerzas elásticas o recuperadoras. En el caso de un
cuerpo unido a un muelle su valor viene dado por:
Ep=12·k·x2
Donde:
Ep: Es la energía potencial del cuerpo. Su unidad de medida en el Sistema
Internacional es el Julio (J)
k: Constante elástica del muelle. Depende el propio muelle en sí, cuanto
mayor es su valor, más trabajo cuesta estirar el muelle. Su unidad de
medida en el Sistema Internacional es Newton por metro (N/m)
x: Distancia hasta la posición de equilibrio. Su unidad de medida en el
Sistema Internacional es el metro (m)
DEFINICIÓN DEL CENTRO DE MASA EN UN CUERPO.
El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que
dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las
fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema
formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema
equivalente al original. Normalmente se abrevia como c.m..
En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el
punto donde, a efectos inerciales, se supone concentrada toda la masa del
sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en los que no es indispensable
considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en las órbitas de los planetas.
En la Física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden,
bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los
términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El
centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del
sistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras que
el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio. Así tendremos
que:
el centro de masas coincide con el centroide cuando la densidad es
uniforme o cuando la distribución de materia en el sistema tiene ciertas
85
propiedades, tales como simetría.
el centro de masas coincide con el centro de gravedad, cuando el sistema
se encuentra en un campo gravitatorio uniforme (el módulo y la dirección
de la fuerza de gravedad son constantes).
DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE MATERIA
Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de masas puntuales,
el centro de masas se puede calcular como:
, masa total del sistema de partículas.
, masa de la partícula i-ésima.
, vector de posición de la masa i-ésima respecto al sistema de referencia
supuesto.
Un poco más explícito si A1,... An son n puntos, y m1,... mn n números (m como
masa). Entonces el centro de masa de los (Ai, mi) es el punto G definido como
sigue:
Esta definición no depende del punto O, que puede ser cualquiera. Si se toma el
origen del plano o del espacio, se obtienen las coordenadas del baricentro como
promedio ponderado por los mi de las coordenadas de los puntos Ai:
La definición anterior equivale a la fórmula siguiente, más práctica para el cálculo
vectorial, pues prescinde de las fracciones (se obtiene tomando O = G):
86
DISTRIBUCIÓN CUASI DISCRETA DE MATERIA
En el caso de un sistema de cuerpos cuasi puntuales, o cuerpos que distan entre
sí mucho más que las dimensiones de cada uno de los cuerpos, el cálculo anterior
resulta bastante aproximado.
Distribución continua de materia
Para sistemas de masas continuos o distribuciones continuas de materia
debemos recurrir al Cálculo Infinitesimal e Integral, de modo que la expresión
anterior se escribe en la forma:
Distribución de masa homogénea: Si la masa está distribuida
homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede sacar
fuera de la integral haciendo uso de la relación siguiente:
siendo V el volumen total.
Para cuerpos bidimensionales (superficies) o mono dimensionales (líneas) se
trabajará con densidades superficiales y longitudinales respectivamente.
Para el caso de cuerpos con densidad uniforme, el c.m. coincidirá con el centroide
del cuerpo.
Distribución de masa no homogénea: Los centros de masas en cuerpos
de densidad variable pueden calcularse si se conoce la función de
densidad . En este caso se calcula el centro de masas de la siguiente
forma.
Para calcular la integral hay que conocer la función de densidad.
87
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS RELACIONADOS CON LAS FUERZAS ENTRE CARGAS ELÉCTRICAS SIN MOVIMIENTO
Problema 1
Entre dos placas planas y paralelas cargadas con
cargas iguales y opuestas existe un campo eléctrico
uniforme. Se libera un electrón con una velocidad de
v0=2 ·107 m/s en una dirección formando 5º por
debajo del eje equidistante de las placas de un tubo
de rayos catódicos, tal como se indica en la figura. La intensidad del campo
eléctrico es de 20000 N/C y está dirigido hacia abajo.
¿Cuánto se habrá desviado el electrón en sentido vertical a la salida de las
placas del condensador, x=4 cm?. ¿Cuál es su vector velocidad?
¿A qué distancia por encima del eje choca con la pantalla fluorescente,
distante 12 cm del condensador?
Datos: carga del electrón q=1.6·10-19C, masa m=9.1·10-31 kg
Problema 3
Un electrón es acelerado por una
diferencia de potencial de 300 V, entra en
una región donde hay un campo eléctrico
producido por las placas de un
condensador de 40 cm de longitud y
separadas 4 cm a las cuales se le aplica
una diferencia de potencial de 100 V.
Calcular
La velocidad inicial del electrón antes de entrar en dicha región.
El punto de impacto o la desviación del electrón a la salida de las placas.
Ahora, aplicamos un campo magnético perpendicular al plano. Determinar la
intensidad y el sentido (hacia dentro o hacia afuera) del campo magnético
para que el electrón no se desvíe.
Datos: carga del electrón 1.6 10-19 C, masa 9.1 10-31 kg
88
Un haz de electrones
acelerados por una diferencia
de potencial de 300 V, se
introduce en una región
donde existe un campo
magnético uniforme dirigido
desde el plano del papel
hacia el lector, la anchura de
la región es de 2.5 cm. Si no
hubiese campo magnético, el
haz de electrones produciría
una mancha en el punto F de
la pantalla fluorescente
situada a 5 cm del borde de
dicha región. Cuando se
conecta un campo magnético
de 1.46·10-3 T.
Dibujar el arco de circunferencia que
describe el electrón y calcular su radio.
Determinar la desviación del haz en la
pantalla.
Datos del electrón, m=9.1·10-31 kg, q=1.6·10-
19 C
Solución
q(V'−V)=12 mv 2 −12 mv 2 0 1.6⋅10 −19 ⋅300=12 9.1⋅10 −31 v 2 v=10.27⋅10 6 m/s
qvB=mv 2 r r=mvqB r=0.04 m Problema 5
En un espectrómetro de masas los iones pasan por un selector de velocidades
que consiste en un campo eléctrico producido por las placas de un
condensador plano - paralelo cargado, y un campo magnético uniforme y
89
perpendicular al campo eléctrico. Los iones que tienen una determinada
velocidad pasan a través de los campos cruzados sin desviarse y entran en la
región semicircular inferior donde solo hay campo magnético describiendo
trayectorias semicirculares
En un espectrómetro de masas tal como se muestra en la figura, los iones Mg
(24 u.m.a), con carga +e, son acelerados por una diferencia de potencial de
1000 V, entrando luego en un selector de velocidades, pasando a continuación
a una región semicircular donde hay un campo magnético de 0.6 T.
ARGUMENTACIÓN DE LA IMPORTANCIA DEL USO RACIONAL
DE LA ENERGÍA EN SU ENTORNO.
El uso racional de la energía eléctrica es el uso consciente para utilizar lo
estrictamente necesario. Esto lleva a maximizar el aprovechamiento de los
recursos naturales que en la actualidad comienzan a escasear en todo el mundo.
En casi todos los países del mundo, en particular en su sector energético se
vienen implementando políticas de uso racional de la energía eléctrica ya que la
población y el consumo crecen a gran velocidad generando la saturación de las
líneas de distribución y los riesgos de desabastecimiento eléctrico.
Según estimaciones de Agencia Internacional de la Energía, el uso racional de la
energía tanto a nivel domiciliario como a nivel industrial implicaría un ahorro en el
consumo del 15 al 20%. Este ahorro prorrogaría el agotamiento de los recursos
no renovables utilizados en la generación de electricidad, permitiendo a los países
encarar obras y devolverle al sistema su adecuado funcionamiento.
La principal estrategia en la actualidad para hacer un uso racional de la energía
consiste en la demanda con una canasta energética en el cual las energías
renovables tienen un importante peso. Esto con el fin de colaborar con la
mitigación del cambio climático y reducir la dependencia de combustibles fósiles.
Desde ya esto varía con cada país, sus políticas y su compromiso ambiental.
Mientras países como Alemania, Austria, España invierten fuertemente en
renovables otros lo hacen de manera moderada y otros de forma simbólica.
CONCEPTUALIZACIÓN DE ELECTRODINÁMICA . La electrodinámica es la rama del electromagnetismo que trata de la evolución
temporal en sistemas donde interactúan campos eléctricos y magnéticos con
cargas en movimiento
90
La electrodinámica cuántica (ó QED, Quantum Electro Dynamics), como sugiere
su nombre, es la versión cuántica de la electrodinámica. Esta teoría cuántica se
describe el campo electromagnético en términos de fotones intercambiados entre
partículas cargadas, al estilo de la teoría cuántica de campos. Por tanto, la
electrodinámica cuántica se centra en la descripción cuántica del fotón y su
interacción/intercambio de energía y momento lineal con las partículas cargadas.
Se puede señalar que la formulación de la teoría de la relatividad restringida se
compone de dos partes, una de ellas «cinemática», descrita anteriormente, y que
establece las bases de la teoría del movimiento – y, por consiguiente, del conjunto
de la teoría– dándoles su expresión matemática, y una parte «electrodinámica»
que, combinando las propuestas de la primera parte con la teoría
electromagnética de Maxwell, Hertz y Lorentz , establece deductivamente un
cierto número de teoremas sobre las propiedades de la luz y, en general de las
ondas electromagnéticas como, asimismo, la dinámica del electrón.
En la parte correspondiente a la electrodinámica, Albert Einstein formula su teoría
aplicando, para un espacio vacío, la transformación de coordenadas –que forma
la base de la cinemática relativista– a las ecuaciones de Maxwell-Hertz; esta
aplicación revela, una vez más, que la transformación, lejos de ser un simple
artificio de cálculos, posee un sentido físico esencial: las leyes del
electromagnetismo clásico determinan las propiedades de dos vectores
diferentes, uno del otro, el campo eléctrico de componentes en el sistema
y el campo magnético de componentes ; ahora bien, transformando las
ecuaciones de a e imponiendo, en función a los principios de la relatividad,
que las nuevas componentes de los campos en K, se obtienen
unas relaciones donde las componentes transformadas del campo eléctrico y del
campo magnético respectivamente dependen, a su vez, de los componentes
iniciales de ambos campos, lo que conduce con asombrosa naturalidad a la
unificación teórica del magnetismo y de la electricidad. Para ello, las relaciones
necesarias en las condiciones que interesan son:
Por otro lado, la distinción entre fuerza eléctrica y fuerza magnética no es sino
una consecuencia del estado de movimiento del sistema de coordenadas; en que,
el análisis cinemático elimina la anomalía teórica prerelativista: la distinta
explicación de un mismo fenómeno (la inducción electromagnética) no es más
que una apariencia debida al desconocimiento del principio de relatividad y de sus
91
consecuencias.
Por otra parte, en función de las fórmulas relativistas es factible extender los
resultados precedentes a las ecuaciones de Maxwell cuando existen corrientes de
convección; la conclusión es que la electrodinámica de los cuerpos en movimiento
de Lorentz está conforme con el principio de relatividad.
Ahora, en cuanto a la dinámica del electrón lentamente acelerado, que exigiría
una larga discusión, sólo citaremos el siguiente resultado: si se atribuye una masa
m a un electrón lentamente acelerado por un campo eléctrico y en función de esta
masa se puede evaluar la energía cinética de un electrón, medida en un sistema
en reposo respecto al cual ha sido acelerado por el campo hasta una velocidad v.
Pero donde la formulación teórica de la parte de la electrodinámica de la
relatividad restringida coloca su acento es en la propagación de las ondas
electromagnéticas, de donde se deduce, siempre siguiendo el mismo método de
aplicación algebraica de las fórmulas de Lorentz, las leyes de los dos fenómenos
ópticos más conocidos y de gran importancia para la astronomía: el efecto
Doppler (aparente cambio de frecuencia para una fuente en movimiento y que
analizaremos en la siguiente separata) y la aberración, ya mencionada
anteriormente.
DESCRIPCIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE LA MATERIA
Materia es todo aquello que tiene un lugar en el espacio, posee una cierta
cantidad de energía, y está sujeto a cambios en el tiempo y a interacciones con
aparatos de medida. En física y filosofía, materia es el término para referirse a los
constituyentes de la realidad material objetiva, entendiendo por objetiva que
pueda ser percibida de la misma forma por diversos sujetos. Se considera que es
lo que forma la parte sensible de los objetos perceptibles o detectables por
medios físicos. Es decir es todo aquello que ocupa un sitio en el espacio, se
puede tocar, se puede sentir, se puede medir, etc.
En física, se llama materia a cualquier tipo de entidad que es parte del universo
observable, tiene energía asociada, es capaz de interaccionar, es decir, es
medible y tiene una localización espaciotemporal compatible con las leyes de la
naturaleza.
Clásicamente se considera que la materia tiene tres propiedades que juntas la
caracterizan: ocupa un lugar en el espacio, tiene masa y perdura en el tiempo.
En el contexto de la física moderna se entiende por materia cualquier campo,
entidad, o discontinuidad traducible a fenómeno perceptible que se propaga a
través del espacio-tiempo a una velocidad igual o inferior a la de la luz y a la que
92
se pueda asociar energía. Así todas las formas de materia tienen asociadas una
cierta energía pero sólo algunas formas de materia tienen masa.
EXPLICACIÓN DE PROPIEDADES ESPECÍFICAS DE CADA
SUSTANCIA.
Propiedades específicas de la materia
Las propiedades específicas de la materia, son aquellas propiedades que
caracterizan a una sustancia y que la hace diferente de las demás.
Estados de agregación de la materia
Por la forma en que se comportan los cuerpos frente a fuerzas que se le aplican,
se clasifican en cuatro grupos llamados estados de agregación o estados fisicos.
Todas las sustancias se pueden presentar en los cuatro estados de agregación
dependiendo de las condiciones de presión y temperatura a que se encuentren.
Estado solidó
Presentan el estado solidó aquellos cuerpos que tienen forma y volumen definido
o propio, resisten a los agentes que tienden a cambiar su forma y volumen,
debido a que entre sus moléculas existe una gran fuerza de atracción.
Estado líquido
Presentan el estado líquido aquellos cuerpos que tienen volumen propio o
definido, que adoptan la forma del recipiente que los contiene, resisten a los
agentes que tienden a cambiar su volumen pero no así a los agentes que tienden
a cambiar su forma, esto debido a que la fuerza de atracción y fuerza de repulsión
entre moléculas son muy parecidas.
Estado gaseoso
Presentan el estado gaseoso, aquellos cuerpos que toman la forma y volumen del
recipiente que los contiene, por lo mismo no resisten a los agentes que cambian
su forma y volumen, esto de debe a que la fuerza de atracción entre sus
moléculas es muy pequeña en comparación a su fuerza de repulsión.
Estado plasma
Es la menos común para la experiencia cotidiana, puede considerarse como el
estado normal de la materia en el universo, el sol, las estrellas y materia
intergaláctica, si el vapor se calienta a temperaturas superiores a 2000oC los
átomos se disocian formando un gas de electrones libres y núcleos puros
llamados PLASMA.
Densidad absoluta o masa especifica
La densidad de un material se define como la cantidad de masa por unidad de
volumen, por lo que se cuantifica por el cociente que resulta entre la masa y el
93
volumen del cuerpo.
Maleabilidad
Aplicando fuerzas mayores al límite elástico se deforman los cuerpos para formar
láminas más o menos delgadas, propiedad llamada “maleabilidad”, siendo más
maleable las sustancias que se logran hacer láminas más delgadas. Por ejemplo
con el logro se pueden hacer láminas de milimicras de grueso.
Ductibilidad
Aplicando fuerzas mayores al límite elástico se pueden deformar los cuerpos para
producir hilos más o menos delgados, a esta propiedad se le llama “ductibilidad”
siendo más dúctiles los cuerpos que se pueden hacer hilos más delgados, por
ejemplo con la plata, el cuarzo y el platino se obtienen hilos de 0.03 micras.
Dureza
Es una propiedad importante de los sólidos que consiste en que debido a las
fuerzas de cohesión que se presentan entre sus moléculas se resisten los
materiales a ser penetrados o rayados.
Elasticidad
Es el fenómeno o propiedad que experimenta un cuerpo de perder su forma y
volumen al aplicarle una fuerza y recuperándolos después de que la fuerza deja
de actuar.
94
EXPLICACIÓN DE LA LEY DE BOYLE
Animación: masa y temperatura constante.
La Ley de Boyle-Mariotte, o Ley de Boyle, formulada independientemente por el
físico y químico irlandés Robert Boyle (1662) y el físico y botánico francés Edme
Mariotte (1676), es una de las leyes de los gases que relaciona el volumen y la
presión de una cierta cantidad de gas mantenida a temperatura constante. La ley
dice que:
La presión ejercida por una fuerza física es inversamente proporcional al volumen
de una masa gaseosa, siempre y cuando su temperatura se mantenga constante.
o en términos más sencillos:
A temperatura constante, el volumen de una masa fija de gas es inversamente
proporcional a la presión que este ejerce.
Matemáticamente se puede expresar así:
donde es constante si la temperatura y la masa del gas permanecen constantes.
Cuando aumenta la presión, el volumen baja, mientras que si la presión disminuye
el volumen aumenta. No es necesario conocer el valor exacto de la constante
para poder hacer uso de la ley: si consideramos las dos situaciones de la figura,
manteniendo constante la cantidad de gas y la temperatura, deberá cumplirse la
relación:
donde:
Además, si se despeja cualquier incógnita se obtiene lo siguiente:
95
Esta ley es una simplificación de la ley de los gases ideales o perfectos
particularizada para procesos isotérmicos de una cierta masa de gas constante.
Junto con la ley de Charles, la ley de Gay-Lussac, la ley de Avogadro y la ley de
Graham, la ley de Boyle forma las leyes de los gases, que describen la conducta
de un gas ideal. Las tres primeras leyes pueden ser generalizadas en la ecuación
universal de los gases.
EXPLICACIÓN DEL FUNCIONAMIENTO DEL TERMÓMETRO.
Los termómetros: Funcionamiento y tipos
¿Qué es son los termómetros? ¿Cómo funcionan los termómetros? ¿Qué tipos de
termómetros existen?
Tema: Los termómetros: Funcionamiento y tipos
Fecha: 10-Nov-2011 Fuente: Quimi Net Sectores relacionados: Farmacéutica,
Artículos médicos, Sector salud
Los termómetros son instrumentos utilizados para medir la temperatura. El
método más usado para medir la temperatura empleando termómetros es el
fenómeno de la dilatación de metales, principalmente el mercurio. El fenómeno de
la dilatación se basa en el estiramiento del metal cuando la temperatura aumenta.
Para tener una medida correcta de la temperatura, a los termómetros se les
agrega una graduación que depende de la escala de temperatura en la que se
desee obtener la medición.
Las escalas más comunes son:
- Grados Fahrenheit (ºF): es la escala más usada en los países anglosajones,
principalmente en Estados Unidos.
- Grados Kelvin (TK): también se le conoce como escala absoluta ya que el punto
más frío de su graduación está situado a -273.15 ºC, lo que se conoce como el
Cero Absoluto.
- Grados Celsius (ºC): esta escala es conocida como centígrada o de grados
96
centígrados. Se basa en los puntos de ebullición y de congelación del agua a una
atmósfera de presión. El punto de ebullición del agua lo sitúa en los 100ºC y el de
congelación en los 0ºC.
Aunque uno de sus usos más comunes es el de medir la temperatura corporal de
personas y animales, el termómetro también tiene aplicaciones en la meteorología
al medir la temperatura del ambiente. Este tipo de termómetros también tiene
diferentes escalas, aunque por lo general se usan en el mismo termómetro las
escalas en grados Fahrenheit y Celsius.
En general, el funcionamiento de los termómetros es el mismo. Un tubo delgado
de vidrio transparente le da forma a su cuerpo, en el interior hay mercurio, que es
un metal sumamente sensible a las variaciones de temperatura. Cuando la
temperatura aumenta el mercurio se expande y este efecto se mide con alguna de
las escalas antes mencionadas.
Sin embargo, hay otras formas en las que los termómetros funcionan, y
dependiendo de estas formas de funcionamiento, se tienen varios tipos de
termómetros.
Tipos de termómetros
Existen diferentes tipos de termómetros:
- Termómetro de mercurio: Como se explicó antes, es un tubo de vidrio en cuyo
interior hay mercurio, mismo que se desplaza uniformemente dependiendo de la
temperatura.
- Pirómetro: Se utiliza para medir temperaturas sumamente altas. Por lo general
es utilizado en fundiciones, hornos y demás lugares donde las temperaturas son
muy elevadas.
- Termistor: Este es una variación de los termómetros. Cuando la temperatura
varía también lo hace su resistencia eléctrica.
- Termómetro de gas: Por su exactitud se utilizan para calibrar otros termómetros.
Funcionan tanto a presión constante como a volumen constante.
- Termopar: Cuando se calienta la soldadura de dos metales distintos se produce
fuerza electromotriz. Los termopares se encargan de medir la temperatura
basándose en dicha fuerza electromotriz.
- Termómetro de resistencia: Utiliza alambre de algún metal que cambia su
resistencia eléctrica cuando la temperatura varía.
97
- Termómetro de globo: Mide la temperatura radiante. Este tipo de termómetros
consta de un termómetro de mercurio que tiene el bulbo dentro de una esfera
pintada de negro. Esta esfera se encarga de absorber la radiación de los
elementos que estén a su alrededor y que sean más calientes que el aire.
- Termómetro de bulbo húmedo: Mide el influjo de la humedad en la sensación
térmica.
- Termómetro de máximas y mínimas: Es muy utilizado en meteorología para
identificar las temperaturas máximas y mínimas que se presentan a lo largo de un
día.
- Termómetro digital: Utilizan dispositivos transductores en los que se presentan
variaciones de tensión cuando cambia la temperatura. Estas variaciones de
tensión son convertidas en números por circuitos electrónicos y expresadas en
una pantalla.
Proveedores de termómetros
A continuación le presentamos a Laboratorios Metrix, proveedores de
termómetros:
Laboratorios Metrix cuenta con todos los materiales que se requieren para el
trabajo en laboratorio.
Ofrece los mejores precios del mercado, en especial en los productos de sus
marcas, los cuales recomiendan ampliamente y aseguran la calidad en ellos y en
sus servicios.
Dentro de su amplia gama de productos se encuentran los termómetros.
Conozca el Perfil, Productos, Dirección y Teléfono de Laboratorios Metrix.
EXPLICACIÓN DE LA CONVECCIÓN DEL CALOR
La convección es una de las tres formas de transferencia de calor y se
caracteriza porque se produce por medio de un fluido (líquido o gas) que
transporta el calor entre zonas con diferentes temperaturas. La convección se
produce únicamente por medio de materiales, la evaporación del agua o fluidos.
Lo que se llama convección en sí, es el transporte de calor por medio del
movimiento del fluido, por ejemplo: al trasegar el fluido por medio de bombas o al
calentar agua en una cacerola, la que está en contacto con la parte de abajo de la
cacerola se mueve hacia arriba, mientras que el agua que está en la superficie,
desciende, ocupando el lugar que dejó la caliente.
98
La transferencia de calor implica el transporte de calor en un volumen y la mezcla
de elementos macroscópicos de porciones calientes y frías de un gas o un líquido.
Se incluye también el intercambio de energía entre una superficie sólida y un
fluido o por medio de una bomba, un ventilador u otro dispositivo mecánico
(convección mecánica, forzada o asistida).
En la transferencia de calor libre o natural un fluido es más caliente o más frío y
en contacto con una superficie sólida, causa una circulación debido a las
diferencias de densidades que resultan del gradiente de temperaturas en el fluido.
La transferencia de calor por convección se expresa con la Ley del Enfriamiento
de Newton:
DESCRIPCIÓN DE APLICACIONES DEL CAMPO MAGNÉTICO.
Un campo magnético es una descripción matemática de la influencia magnética
de las corrientes eléctricas y de los materiales magnéticos. El campo magnético
en cualquier punto está especificado por dos valores, la dirección y la magnitud;
de tal forma que es un campo vectorial. Específicamente, el campo magnético es
un vector axial, como lo son los momentos mecánicos y los campos rotacionales.
El campo magnético es más comúnmente definido en términos de la fuerza de
Lorentz ejercida en cargas eléctricas. Campo magnético puede referirse a dos
separados pero muy relacionados símbolos B y H.
Los campos magnéticos son producidos por cualquier carga eléctrica en
movimiento y el momento magnético intrínseco de las partículas elementales
asociadas con una propiedad cuántica fundamental, su espín. En la relatividad
especial, campos eléctricos y magnéticos son dos aspectos interrelacionados de
un objeto, llamado el tensor electromagnético. Las fuerzas magnéticas dan
información sobre la carga que lleva un material a través del efecto Hall. La
interacción de los campos magnéticos en dispositivos eléctricos tales como
transformadores es estudiada en la disciplina de circuitos magnéticos.
Aplicaciones del electromagnetismo en su vida cotidiana:
generadores eléctricos, radio, televisión, medicina, transporte,
entre otros
Aplicaciones en la vida cotidiana
Electricidad en el hogar
El uso de la electricidad en la vida moderna es imprescindible. Difícilmente una
sociedad puede concebirse sin el uso de la electricidad.
99
La industria eléctrica, a través de la tecnología, ha puesto a la disposición de la
sociedad el uso de artefactos eléctricos que facilitan las labores del hogar,
haciendo la vida más placentera.
Las máquinas o artefactos eléctricos que nos proporcionan comodidad en el
hogar, ahorro de tiempo y disminución en la cantidad de quehaceres, se
denominan electrodomésticos.
Entre los electrodomésticos más utilizados en el hogar citaremos: cocina eléctrica,
refrigerador, tostadora, microonda, licuadora, lavaplatos, secador de pelo, etc.
Existe también otro tipo de artefactos que nos proporcionan entretenimiento,
diversión, y que son también herramientas de trabajo y fuentes de información
como: el televisor, el equipo de sonido, el video juegos, las computadoras, etc.
Electricidad en la comunidad
La electricidad en la comunidad se manifiesta, entre otros, a través de: alumbrado
público en plazas, parques, autopistas, túneles, carreteras, etc., con el fin de
proporcionar seguridad y visibilidad a los peatones y mejor desenvolvimiento del
tráfico automotor en horas nocturnas; los semáforos en la vía pública permiten
regular y controlar el flujo de vehículos.
También en los medios de comunicación apreciamos la importancia de la
electricidad, ya que el funcionamiento de la radio, televisión, cine, la emisión de la
prensa, etc. depende en gran parte de este tipo de energía.
Desde que la electricidad fue descubierta, siempre estuvo al servicio de la
medicina a través de los distintos instrumentos y máquinas usadas en esta área
(equipos para radiaciones de cobalto, equipos de rayos X, equipos para
tomografías, equipos para electrocardiogramas, etc.), y ha contribuido a
numerosos avances en la ciencia e investigación.
Química
DEFINICIÓN DE LO QUE ES LA QUÍMICA Y SU RELACIÓN CON
OTRAS CIENCIAS
Relación de la Química con otras ciencias
Originalmente solo existía una Ciencia Natural. Con la adquisición de nuevos
conocimientos, ésta se dividió en diversas ramas, dando lugar a las cuatro
ciencias naturales clásicas: Física, Química, Biología y Geología. Desarrollos
100
posteriores de las Ciencias Naturales clásicas dieron lugar a nuevas
especialidades: Bioquímica, Biofísica, Geoquímica, Geofísica, Físico-química
“Relación de la Química con otras Ciencias”
La química se relaciona con diferentes ciencias como la física, la astronomía, la
biología, entre otras. Gracias a esta interrelación es posible explicar y
comprender los complejos fenómenos de la naturaleza.
La ciencia que está más profundamente afectada por la física es la química. La
química primitiva fue muy importante para la física. La interacción entre las dos
ciencias fue muy intensa porque la teoría de los átomos estaba apoyada en gran
medida en experimentos de química. La colección de reglas acerca de qué
sustancias se combinan con cuales, y cómo, constituyó la química inorgánica.
Todas estas reglas fueron finalmente explicadas por la mecánica cuántica, de
modo que la química teórica es de hecho física
La química cubre un campo de estudios bastante amplio, por lo que en la
práctica se estudia de cada tema de manera particular. Las seis principales y
más estudiadas ramas de la química son:
Química inorgánica: síntesis y estudios de las propiedades eléctricas, magnéticas
y ópticas de los compuestos formados por átomos que no sean de carbono
(aunque con algunas excepciones). Trata especialmente los nuevos compuestos
con metales de transición, los ácidos y las bases, entre otros compuestos.
Química orgánica: Síntesis y estudios de los compuestos que se basan en
cadenas de carbono.
Bioquímica: estudia las relaciones químicas en los seres vivos, estudia el
organismo y los seres vivos.
Química física: estudia los fundamentos y bases físicas de los sistemas y
procesos químicos. En particular, son de interés para el químico físico los
aspectos energéticos y dinámicos de tales sistemas y procesos. Entre sus áreas
de estudio más importantes se incluyen la termodinámica química, la cinética
química, la electro química, la mecánica estadística y la
101
espectroscopia. Usualmente se la asocia también con la química cuántica y la
química teórica.
Química industrial: Estudia los métodos de producción de reactivos químicos en
cantidades elevadas, de la manera económicamente más beneficiosa.
Química analítica: estudia los métodos de detección y cuantificación de una
sustancia en una muestra. Se subdivide en cuantitativa y cualitativa.
DESCRIPCIÓN DE LA IMPORTANCIA DE UTILIZAR EL MÉTODO CIENTÍFICO EN EL DESARROLLO DE LA QUÍMICA.
Química es la ciencia que estudia la materia y considera:
sus distintas variedades
sus propiedades, entre ellas la composición
las transformaciones de una variedad en otra
El método científico: para reconocer los diversos aspectos del mundo en que se
vive, la química recurre a un riguroso procedimiento intelectual: el método
científico.
Con su apropiado empleo:
examina objetos y hechos
acumula información
selecciona, organiza, compara y relaciona los datos obtenidos con una doble
finalidad:
o describir la naturaleza
o e interpretarla
La simple enumeración de fenómenos observados no es suficiente para el
científico cuya máxima aspiración es explicar las causas y los mecanismos que
producen dichos fenómenos.
Cuando la química investiga la realidad, en procura de nuevos conocimientos se
comporta como una ciencia pura. Si la química persigue fines utilitarios,
aprovechando los conocimientos para beneficio de la humanidad se convierte en
ciencia aplicada.
Tres son las etapas sucesivas del método científico:
1. la observación, seguida de la experimentación
2. la generalización, que consiste en la enunciación de definiciones, reglas,
leyes, teorías. etc.
102
3. la comunicación de los conocimientos
2. 1° Etapa: Observación Y Experimentación
A cada instante el hombre percibe mediante sus sentidos todo tipo de
impresiones: por ejemplo, cuando se quema madera se observa una llama,
cenizas, calor desprendido.... todas estas apreciaciones son incidentales y se
realizan sin una intención deliberada. Por el contrario, cuando se estudia
químicamente la combustión de la madera se adopta una actitud premeditada,
porque por ejemplo: se seleccionan trozos de madera de una calidad
determinada, se los calienta hasta combustión, se recogen íntegramente cenizas
formadas y gases desprendidos, se determina color, peso, volumen, etc.
La química es una ciencia experimental y exacta porque todos sus conocimientos
están sustentados por experiencias cuantitativas
3. 2° Etapa: Generalización
Las mediciones experimentales, practicadas sobre distintas muestras, son
independientes entre sí.
Reunidas en suficiente cantidad se ordenan y se comparan. Si tal relación existe,
se enuncia una generalización. Por ejemplo: cuando se investiga un líquido
desconocido X y se desea establecer su densidad, se procede: obtener varias
porciones del líquido X, luego introducir un instrumento para la medición de la
densidad – densímetro – teniendo cuidado que las mediciones en cada muestra
se realicen en idénticas condiciones de presión atmosférica (1 atm) y temperatura
(25°), para todas las mediciones será: d= m/v ó d= g/ml .
En nuestro ejemplo la generalización es inmediata: La densidad del líquido X a 1
atm.. y a 25° es: d= g/ml El ejemplo analizado ilustra el mecanismo de la
investigación:
experimentar
generalizar
verificar
Regularidades, semejanzas y otras relaciones generalizables, cuando son de
mayor importancia y complejidad reciben el nombre de leyes.
Las leyes químicas son naturales y descriptivas:
son naturales porque su cumplimiento es ajeno a la voluntad humana. La
gravitación es una ley natural: el hombre no la puede evitar ni suprimir.
son descriptivas porque indican cómo se producen los fenómenos en ciertas
ocasiones.
103
La química no se conforma con enunciar leyes descriptivas más o menos
conectadas entre sí. Después que ha determinado "como" se comporta la
naturaleza procura indagar las causas que motivan dicho comportamiento. Para
saber "porque" se producen los fenómenos, imagina una interpretación racional y
coherente: formula una teoría. Las teorías exponen en forma clara el
funcionamiento íntimo del mundo concreto, señalando las probables pautas de su
accionar.
El método científico ha originado, entonces, una secuencia bien definida:
Tampoco una teoría agota el pensamiento científico: establecidas las leyes por
inducción – por cuanto se pasa de los casos particulares a una generalización –
comienza el proceso inverso.
Las interpretaciones especulativas, derivadas de las teorías, permiten deducir
conclusiones de situaciones que fundamentaron experimentaciones iniciales. Se
impulsa entonces otra serie de trabajos de laboratorio y de mediciones destinadas
a corroborar la veracidad de las predicciones formuladas.
De plantearse desacuerdos o surgir problemas inesperados sin solución según lo
conocido hasta ese momento, impone la revisión de las teorías, ya sea
reformándolas parcialmente o reemplazándolas por otras más perfeccionadas.
Las teorías, producto de la inteligencia humana, no son ni rígidas ni inmutables.
En consecuencia: el progresivo desarrollo de la química es cíclico y dinámico y
está en permanente evolución: de la experimentación surgen las leyes
interpretadas por teorías; como, a su vez, estas teorías inducen nuevas
experiencias.
Generalización
4. 3° Etapa: Comunicación
Los estudios de cada químico no habrían prosperado de no haber existido una
franca y desinteresada cooperación que superó inconvenientes geográficos y
barreras idiomáticas e incluso ideológicas.
Contactos personales y epistolares, hoy páginas web, conferencias públicas,
congresos, cursos de capacitación, etc. han facilitado la libre y espontánea
comunicación de las ideas y hallazgos. No se concibe la química sin trabajo en
equipo.
Toda comunicación de conocimientos químicos exige:
lenguaje preciso
terminología específica (cada palabra adquiere un significado que no debe ser
desvirtuado)
104
DESCRIPCIÓN DE LAS ETAPAS DE DESARROLLO DE LA QUÍMICA.
Etapas del desarrollo histórico de la química
1. ETAPAS DEL DESARROLLOHISTÓRICO DE LA QUÍMICA7°básicos2011
2. Química Alquimia Inicios de la QuímicaETAPAS GENERALES Aporte de
Lavoisier al desarrollo de la Química modernaNeumática
3. La Química comienza cuando el hombreINICIOS DE LA QUÍMICA
aprendió a utilizar el fuego para modificar las cosas en su provecho, como
para fabricar piezas de alfarería, cocinar alimentos y construir objetos
metálicos.
4. La química, considerada comoINICIOS DE LA QUÍMICA ciencia, tiene su
origen en las culturas mesopotámicas y egipcias, unidas ambas en la
Grecia Clásica. Empédocles (490-430 a.C.)Aristóteles (384-322 a.C.)
5. Estas ideas sencillas predominaron de una formau ALQUIMIA otra a través
de la Alquimia hasta el sigloXVIII, en donde tuvo lugar la transformación
detodos los saberes químicos en una verdadera ciencia en el sentido
moderno.
6. La Alquimia ocupa el estado intermedio entre elALQUIMIA saber químico
de la Grecia Antigua y los cimientos de la química moderna en los siglos
XVII-XVIII. Este largo viaje en la historia a través de la Edad Media, con las
aportaciones de la cultura Árabe, parte de las explicación es aristotélicas
de la alquimia puede ser consideradala transformación de unos elementos
en otros. como la precursora de la moderna ciencia química antes de la
formulación del método científico.
7. Flogisto, sustancia hipotética queTEORÍA DEL FLOGISTO representa la
inflamabilidad, según la cual toda sustancia susceptible de sufrir
combustión contiene flogisto, y el proceso de combustión consiste
básicamente en la pérdida de dicha sustancia. Fue postulada a finales del
siglo XVII por el químico alemanes Johann Becher y Georg Stahl para
explicar el fenómeno de la combustión.
APLICACIÓN DE CRITERIOS OPERATIVOS DE LAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS, PREFIJOS Y DE NOTACIÓN CIENTÍFICA.
Aplicación de criterios operativos de las cifras significativas, prefijos y de
notación científica
La evolución biológica es el conjunto de transformaciones o cambios a través del
tiempo que ha originado la diversidad de formas de vida que existen sobre
la Tierra a partir de un antepasado común. No obstante, el concepto de que la
vida en la Tierra evolucionó a partir de un ancestro común ya había sido
formulado por varios filósofos griegos, y la hipótesis de que las especies se
105
transforman continuamente fue postulada por numerosos científicos de los siglos
XVIII y XIX, a los cuales Charles Darwin citó en el primer capítulo de su libro El
origen de las especies. Sin embargo, fue el propio Darwin, en 1859, quien
sintetizó un cuerpo coherente de observaciones que consolidaron el concepto de
la evolución biológica en una verdadera teoría científica
Históricamente, este estado del pensamiento evolutivo está representado por la
publicación en agosto de 1858 de un trabajo conjunto de Darwin y Wallace,8 al
que siguió en 1859 el libro de Darwin El origen de las especies, el cual
específicamente se refiere al principio de la selección natural como el motor más
importante del proceso evolutivo. Debido a que Darwin aceptó el principio la
marckiano de la herencia de los caracteres adquiridos como una fuente de
variabilidad biológica, es adecuado denominar a este período del pensamiento
evolutivo como el de «Lamarck-Darwin-Wallace».2Biologia: es la ciencia que tiene
como objeto de estudio a los seres vivos y, más específicamente, su origen,
su evolución y sus propiedades: nutrición, morfogénesis, reproducción, patogenia,
etc. Divisiones de la ciencia con la biología.
RELACIÓN ENTRE LOS MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DE LAS UNIDADES DE MEDIDA, EN LA CONVERSIÓN DE UN SISTEMA A OTRO.
La longitud se puede medir de forma aproximada o estimada.
Para medir longitudes, podemos hacerlo bien con sistemas de medida no
convencionales como pie, mano, cuaderno, palo.
o con los sistemas convencionales como cinta métrica o regla.
106
Dentro de estos últimos tenemos el sistema métrico decimal, que es un sistema
regular en el que los cambios se realizan de diez en diez en las magnitudes
lineales (ya que nuestro sistema de numeración es de base diez).
Para que todos obtengamos el mismo resultado debemos usar la misma unidad
de medida. Para ello se creó una unidad principal de longitud llamada metro
que es fija, universal e invariable.
Abreviadamente se expresa así:
El Sistema Métrico Decimal incluye al metro y a sus múltiplos y submúltiplos
(que son medidas mayores y menores que el metro), ya que a veces necesitamos
medir distancias largas como una carretera, y otras ocasiones distancias cortas
como una aguja.
En la siguiente imagen puedes apreciar los múltiplos y submúltiplos del metro, sus
nombres y abreviaturas; y su posición y valor con relación al metro
107
En ocasiones el hectómetro se abrevia como Hm y el decámetro como Dm.
Como puedes observar, cada unidad de longitud es 10 veces mayor (la de la
izquierda) que la inmediata inferior (la de la derecha).
Los submúltiplos del metro se utilizan para medir objetos más pequeños que
el metro. Son los siguientes:
El decímetro (dm): Se obtiene al dividir el metro en diez partes iguales. 1 metro
es igual a 10 decímetros
El centímetro (cm): Se obtiene al dividir el decímetro en diez partes iguales.
1 metro es igual a 100 centímetros
El milímetro (mm): Se obtiene al dividir el centímetro en diez partes iguales.
1 metro es igual a 1000 milímetros
Los múltiplos del metro se utilizan para medir objetos más grandes que el
metro. Son los siguientes:
El decámetro (dam): Se obtiene al unir diez metros
El hectómetro (hm): Se obtiene al unir diez decámetros o cien metros
El kilómetro (km): Se obtiene al unir diez hectómetros cien decámetros o mil
metros
108
Cambio de una medida a otra (conversión)
Para pasar de una unidad mayor a otra inferior, multiplicaremos por la unidad seguida de
tantos ceros como lugares haya entre ellas, ya que tenemos que ir partiendo cada unidad mayor
en diez más pequeñas
Ejemplo: Convertir 8 decámetros (dam) a centímetros (cm)
En este ejemplo puedes ver que de decámetros (dam) a centímetros (cm) hay 3
distancias: una de decámetros (dam) a metros (m), otra de metros (m)
a decímetros (dm) y otra de decímetros (dm) a centímetros (cm).
Por ello tendrás que multiplicar 8 por la unidad (1) seguida de tres ceros, es decir
por 1000.
Por lo que 8 dam = 8,000 cm
Para pasar de una unidad menor a otra superior, dividiremos por la unidad
seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas, ya que tenemos que ir
uniendo unidades menores de diez en diez para formar una mayor.
Ejemplo. Convertir 90 metros a kilómetros
En este ejemplo puedes ver que de metros a kilómetros hay 3 distancias: una de
metros (m) a decámetros (dam), otra de decámetros (dam) a hectómetros (hm) y
otra de hectómetros (hm) a kilómetros (km).
109
Por ello tendrás que dividir 90 por la unidad (1) seguida de tres ceros, es decir por
1000.
Por lo que 90m = 0.090 km
Puedes utilizar la escalera de medidas para hacer las conversiones. Si la medida
se convierte de una menor a una mayor, se divide; si se cambia de medida mayor
a menor, se multiplica. La escalera es la siguiente:
Veamos los ejemplos:
111
El uso de la escalera puede resultar tedioso para hacer tu conversión, por ello
puedes utilizar una tabla y hacerlo por el método abreviado, que consiste en
correr el punto decimal a la izquierda (si cambias una medida menor a otra
mayor), tantos lugares como haya de separación entre medida y medida; o
correr el punto decimal a la derecha (si cambias una medida mayor a otra
menor). Recuerda que cuando un número no tiene punto decimal es porque es
entero y el punto está a la derecha del número. También cuando ya no hay cifras
para seguir recorriendo el punto, los lugares se completan con ceros.
Veamos los ejemplos.
Convertir 8 decámetros (dam) a centímetros (cm)
112
Convertir 90 metros a kilómetros
Si queremos convertir una cantidad compleja (que contiene unidades distintas) en
otra pedida, lo primero que haremos será convertir cada una de las unidades a la
unidad pedida y después, cuando estén todas en la unidad pedida, las sumamos.
Ejemplo: Convertir 2 dam, 1.5 m, 5 dm 34 cm a mm
Hay otras medidas de longitud para medir grandes distancias como el
miriámetro (mam), que equivale a 10,000 metros, año_luz, que equivale a 9
461,000 000,000 metros; y la micra que equivale a 0.000001 m (una millonésima
parte del metro) para medir distancias microscópicas
113
DESCRIPCIÓN DE LA IMPORTANCIA DEL USO DE LA TABLA PERIÓDICA COMO HERRAMIENTA EN LA QUÍMICA.
La Importancia De La Tabla Periódica
La importancia de la tabla periódica
La tabla periódica es importante por el tipo de organización que tiene. Esta está
organizada por el número atómico (el número de protones en el núcleo) delos
elementos de forma creciente de izquierda a derecha; y de la misma manera se
divide en grupos y periodos. Estos grupos (columnas) y periodos (filas), están
ordenados de tal manera que definen ciertas propiedades químicas y físicas
similares en los elementos. Es como podemos determinar fácilmente los
electrones de valencia, pues se determinan por el número de grupo en el que el
elemento está. O por ejemplo la determinación del nivel de energía del elemento,
que lo determina el periodo en el que se encuentra, a medida que bajamos por el
grupo los niveles de energía aumentan. Pero en un periodo el nivel de energía se
conserva.
La tabla periódica también nos muestra como decrece o incrementa la ionización,
la electronegatividad, el radio atómico, por la forma de organización que tiene. Por
ejemplo, el radio atómico (distancia desde el centro del núcleo hasta la capa
exterior) depende del nivel de energía, cuantos más niveles de energía mayor el
radio atómico por la pérdida de energía nuclear. En la tabla, se muestra de
manera que de izquierda a derecha y de arriba abajo el radio atómico aumenta.
La energía de ionización (cantidad de energía requerida para remover un mol de
electrones) se puede reconocer en la tabla periódica que incrementa de izquierda
a derecha a través de un periodo, y decreciendo a través de un grupo. La
electronegatividad incrementa de izquierda a derecha en cada periodo hasta el
grupo VII.
La tabla periódica cuando fue diseñada proyectando que nuevos elementos
pudieran ser descubiertos y tuvieran sus espacios respectivos sin tener que
alterar la tabla original. Entonces, podemos notar que la tabla periódica es
importante porque su tipo de organización facilita el reconocimiento de
propiedades físicas y químicas de los...
DESCRIPCIÓN DEL DESARROLLO DE LA TABLA PERIÓDICA.
Desarrollo Histórico de la Tabla Periódica
Como resultado de los descubrimientos que establecieron en firme la teoría
atómica de la materia en el primer cuarto del siglo XIX, los científicos pudieron
determinar las masas atómicas relativas de los elementos conocidos hasta
entonces. El desarrollo de la electroquímica durante ese periodo por parte de los
químicos británicos Humphry Davy y Michael Faraday condujo al descubrimiento
114
de nuevos elementos.
En 1829 se habían descubierto los elementos suficientes para que el químico
alemán Johann Wolfgang Döbereiner pudiera observar que había ciertos
elementos que tenían propiedades muy similares y que se presentaban en
tríadas: cloro, bromo y yodo; calcio, estroncio y bario; azufre, selenio y telurio, y
cobalto, manganeso y hierro. Verificó entonces que el peso atómico del elemento
central de la tríada podía ser obtenido, aproximadamente, promediando el de los
otros dos. Del mismo modo, el peso atómico del estroncio resulta ser
aproximadamente igual al promedio de las masas atómicas del calcio y del bario.
Estos tres elementos poseen propiedades semejantes. Sin embargo, debido al
número limitado de elementos conocidos y a la confusión existente en cuanto a la
distinción entre masas atómicas y masas moleculares, los químicos no captaron
el significado de las tríadas de Döbereiner.
El desarrollo del espectroscopio en 1859 por los físicos alemanes Robert Wilhelm
Bunsen y Gustav Robert Kirchhoff, hizo posible el descubrimiento de nuevos
elementos. En 1860, en el primer congreso químico internacional celebrado en el
mundo, el químico italiano Stanislao Cannizzaro puso de manifiesto el hecho de
que algunos elementos (por ejemplo el oxígeno) poseen moléculas que contienen
dos átomos. Esta aclaración permitió que los químicos consiguieran una lista
consistente de los elementos.
Hacia 1860, estos avances dieron un nuevo ímpetu al intento de descubrir las
interrelaciones entre las propiedades de los elementos y por consiguiente, a
trabajar en nuevas propuestas de clasificación. En 1864, el químico británico John
A. R. Newlands intentó clasificar los elementos por orden de masas atómicas
crecientes, observando que después de cada intervalo de siete reaparecían las
mismas propiedades químicas (es decir que el octavo elemento tenía propiedades
similares a las del primero). Por su analogía con la escala musical, la clasificación
fue llamada "ley de las octavas".
En las columnas que resultan de la clasificación de Newlands se observa la
presencia de los elementos pertenecientes a una misma tríada (Li, Na y K). Se
deduce que a partir del Li, el elemento de número de orden igual a 8 es el Na que
tiene propiedades similares. Lo mismo ocurre con el Be (berilio), que presenta
propiedades químicas similares al Mg (magnesio); con el B (boro) y el Al
(aluminio), y así sucesivamente.
El descubrimiento de Newlands no impresionó a sus contemporáneos,
probablemente porque la periodicidad observada sólo se limitaba a un pequeño
número de los elementos conocidos. Si bien el trabajo de Newlands fue
incompleto, resultó de importancia, ya que puso en evidencia la estrecha relación
existente entre los pesos atómicos de los elementos y sus propiedades físicas y
115
químicas.
Tabla periódica de Mendeleiev
La ley química que afirma que las propiedades de todos los elementos son
funciones periódicas de sus masas atómicas fue desarrollada
independientemente por dos químicos: por el ruso Dimitri Mendeléiev y el alemán
Julius Lothar Meyer.
En 1869, Mendeleiev se propuso hallar una "ley de la naturaleza", válida para
toda clasificación sistemática de los elementos. Clasificó todos los elementos
conocidos en su época en orden creciente de sus pesos atómicos, estableciendo
una relación entre ellos y sus propiedades químicas.
En su clasificación, Mendeleiev no consideró el hidrogeno porque sus
propiedades no coincidían con las de otros elementos. Tampoco figuran en ella
los gases nobles, porque no habían sido descubiertos aun. La ley periódica de
Mendeleiev puede ser enunciada del siguiente modo:
"Las propiedades químicas y la mayoría de las propiedades físicas de los
elementos son función periódica de sus pesos atómicos".
Independientemente, en 1870, el alemán Lothar Meyer propuso una clasificación
de los elementos relacionando los pesos atómicos con las propiedades físicas,
tales como el punto de fusión, de ebullición, etc.
La clave del éxito de los esfuerzos de Mendeléiev y Meyer fue comprender que
los intentos anteriores habían fallado porque todavía quedaba un cierto número
de elementos por descubrir, y había que dejar los huecos para esos elementos en
la tabla. Por ejemplo, aunque no existía ningún elemento conocido hasta entonces
con una masa atómica entre la del calcio y la del titanio, Mendeléiev le dejó un
sitio vacante en su sistema periódico. Este lugar fue asignado más tarde al
elemento escandio, descubierto en 1879, que tiene unas propiedades que
justifican su posición en esa secuencia. El descubrimiento del escandio sólo fue
parte de una serie de verificaciones de las predicciones basadas en la ley
periódica, y la validación del sistema periódico aceleró el desarrollo de la química
inorgánica.
El sistema periódico ha experimentado dos avances principales desde su
formulación original por parte de Mendeléiev y Meyer. La primera revisión
extendió el sistema para incluir toda una nueva familia de elementos cuya
existencia era completamente insospechada en el siglo XIX. Este grupo
comprendía los tres primeros elementos de los gases nobles o inertes, argón,
helio y neón, descubiertos en la atmósfera entre 1894 y 1898 por el físico británico
John William Strutt y el químico británico William Ramsay. El segundo avance fue
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la interpretación de la causa de la periodicidad de los elementos en términos de la
teoría de Bohr (1913) sobre la estructura electrónica del átomo
IDENTIFICACIÓN DE LA LEY PERIÓDICA.
Def in ic ión de ley periódica
La ley periódica es la base de la tabla periódica de los elementos. Esta ley
señala que las propiedades químicas y físicas de los elementos tienden a
repetirse de manera sistemática a medida que se incrementa el número atómico.
La tabla, por lo tanto, es una especie de esquema que se encarga de ordenar los
elementos químicos de acuerdo al orden creciente de los números atómicos.
Un químico británico llamado John Alexander Reina Newlands (1838–1898) fue
uno de los precursores de este concepto al proponer la ley de las octavas, que
indicaba que cada ocho elementos se encuentran propiedades similares. Bajo
esta idea, Newlands elaboró una tabla periódica en 1863.
CÁLCULO DE LA FÓRMULA EMPÍRICA Y MOLECULAR DE UN COMPUESTO.
En química la fórmula empírica es una expresión que representa la proporción
más simple en la que están presentes los átomos que forman un compuesto
químico. Es por tanto la representación más sencilla de un compuesto.1 Por ello, a
veces, se le llama fórmula mínima y se representa con "fm".
Fórmula empírica Química/Fórmula empírica Una fórmula es una pequeña lista de
los elementos químicos que forman una sustancia, con alguna indicación del
número de moles de cada elemento presente y, a veces, la relación que tiene con
otros elementos de la misma sustancia.
Así, la fórmula del agua es H2O (los subíndices 1 se omiten, quedan
sobreentendidos) y la del benceno es C6H6.
La fórmula empírica es la fórmula más simple para un compuesto. Comúnmente,
las fórmulas empíricas son determinadas a partir de datos experimentales, de ahí
su nombre, fórmula empírica.
Por ejemplo, si observamos que dos moles de hidrógeno reaccionan
completamente con un mol de oxígeno para formar dos moles de agua (sin
generar otro producto), diríamos que la fórmula molecular del agua es H2O. Del
mismo modo, si observamos que al quemar benceno, siempre obtenemos
números iguales de moles de C (contenido en el CO2 formado) y de H
(monoatómico, existente en el agua producida) podemos decir que la fórmula
empírica del benceno es (CH). Midiendo cuidadosamente el oxígeno consumido,
veríamos que todo el oxígeno del CO2 y del H2O proviene del aire, por lo que la
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fórmula empírica del benceno es (CH). Puede coincidir o no con la fórmula
molecular, que indica el número de átomos de cada clase presentes en la
molécula.
Ejemplos en la química
La molécula de agua está formada por dos átomos de hidrógeno y uno de
oxígeno, por lo que su fórmula molecular es H2O, coincidiendo con su fórmula
empírica.
Para el etano, sin embargo, no ocurre lo mismo, ya que está formado por dos
átomos de carbono y seis de hidrógeno, por lo que su fórmula molecular será
C2H6 y su fórmula empírica CH3.
Varios compuestos, como el cloruro de sodio o sal común, carecen de entidades
moleculares, pues están compuestos por redes de iones, y por ello, sólo es
posible hablar de fórmula empírica. Ejemplo: NaCl es la fórmula del cloruro de
sodio, e indica que por cada ion sodio, existe un ion cloro
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BIBLIOGRAFIA
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Hispanoamericana. 2. HECHT, Eugene, Fundamentos de Física. Segunda edición. Thomson-
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Hall, Hispanoamericana, 1998. 7. MORE, L. Conrad L. Stanitski, El Mundo de la Química. 2ª. Edición. New Cork:
Adison Wesley. s.f