magnetismo(1)
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Experiencia de Oesterd(1820)
Cuando colocamos una brújula cerca de un conductor por el que pasa una corriente eléctrica, la brújula se orienta perpendicularmente al conductor y deja de señalar hacia el polo norte. Si aumentamos la intensidad de la corriente eléctrica que circula por el conductor , la brújula gira más rápidamente hasta colocarse perpendicular a si mismo. Si invertimos el sentido de la corriente eléctrica . La brújula sigue orientada perpendicularmente al conductor , pero en sentido opuesto al caso anterior. Conclusiones: 1.- “Una corriente eléctrica produce un campo magnético “ 2.- El resultado de la experiencia de Oersted indica que el campo magnético producido por una corriente rectilínea es perpendicular a dicha corriente. Ad
1
Balanza de Ampere
Figura 4. Esquema del experimento con el que Ampère descubrió que dos alambres (el GH y el BC)que conducen electricidad ejercen fuerza entre sí.
2
1.- Dos conductores paralelos por los que circulan intensidades en el mismo sentido se atraen. Dos corrientes circulares en la misma dirección se atraen 2.- Dos conductores paralelos por los que circulan intensidades en sentido contrario se repelen. Dos corrientes circulares de direcciones opuestas se repelen. 3.- La fuerza de atracción/ repulsión es perpendicular a los conductores 4.- la fuerza de atracción / repulsión es directamente proporcional a las intensidad que pasa por cada conductor e inversamente proporcional a la distancia que los separa al cuadrado.
𝐝𝐝𝟏
�⃗�𝟐 �⃗�𝟏
�⃗�𝟐]𝟏 = 𝒓𝟐,𝟏
𝐝𝐝𝟐 𝐈𝟐
𝐈𝟏
𝐝�⃗�𝟐�𝐝𝑳𝟏 = 𝐊𝐈𝟏 ∙ 𝐈𝟐 ∙ 𝐝𝐝𝟐 ∧ 𝐝𝐝𝟏 ∧ �⃗�𝟐]𝟏
�⃗�𝟐]𝟏 𝟑
𝐝�⃗�𝟏�𝐝𝑳𝟐 = 𝐊𝐈𝟏 ∙ 𝐈𝟐 ∙ 𝐝𝐝𝟏 ∧ 𝐝𝐝𝟐 ∧ �⃗�𝟏]𝟐
�⃗�𝟏]𝟐 𝟑
3
Si 𝒅𝒍𝟏 y 𝒅𝒍𝟐 son paralelos 𝐝�⃗�𝟐�𝟏 = 𝐝�⃗�𝟏�𝟐 Si 𝒅𝒍𝟏 y 𝒅𝒍𝟐 no son paralelos 𝐝�⃗�𝟐�𝟏 ≠ 𝐝�⃗�𝟏�𝟐
𝐝𝐝𝟏
𝐈𝟏
𝐈𝟐
𝐝𝐝𝟐
𝐝�⃗�𝟐�𝐝𝑳𝟏 𝐝�⃗�𝟏�𝐝𝑳𝟐
�⃗�𝟐]𝟏 = 𝒓𝟐,𝟏
𝐝𝐝𝟏
𝐈𝟏
𝐈𝟐
𝐝𝐝𝟐
𝐝�⃗�𝟐�𝐝𝑳𝟏
𝐝�⃗�𝟏�𝐝𝑳𝟐
�⃗�𝟐]𝟏 = 𝒓𝟐,𝟏
No se cumple el principio de acción y reacción
4
La fuerza que el elemento dl1 del circuito 1 ejerce sobre todo el circuito 2 vendra dado por:
𝒅�⃗�𝟐�𝟏 = �𝐝�⃗�𝟐�𝟏𝑳𝟐
= � 𝐊𝐈𝟏 ∙ 𝐈𝟐 ∙ 𝐝𝐝𝟐 ∧ 𝐝𝐝𝟏 ∧ �⃗�𝟐]𝟏
�⃗�𝟐]𝟏 𝟑𝑳𝟐
La fuerza que todo el circuito 1 ejerce sobre todo el circuito 2 vendra dado por:
�⃗�𝟐�𝟏 = � �𝐝�⃗�𝟐�𝟏𝑳𝟐𝑳𝟏
= � � 𝐊𝐈𝟏 ∙ 𝐈𝟐 ∙ 𝐝𝐝𝟐 ∧ 𝐝𝐝𝟏 ∧ �⃗�𝟐]𝟏
�⃗�𝟐]𝟏 𝟑𝑳𝟐𝑳𝟏
De forma análoga la fuerza que todo el circuito 2 ejerce sobre todo el circuito 1 vendra dado por:
�⃗�𝟏�𝟐 = � �𝐝�⃗�𝟏�𝟐𝑳𝟏𝑳𝟐
= � � 𝐊𝐈𝟏 ∙ 𝐈𝟐 ∙ 𝐝𝐝𝟏 ∧ 𝐝𝐝𝟐 ∧ �⃗�𝟏]𝟐
�⃗�𝟏]𝟐 𝟑𝑳𝟏𝑳𝟐
5
�⃗�𝟐�𝟏 = � �𝐝�⃗�𝟐�𝟏𝑳𝟐𝑳𝟏
= � � 𝐊𝐈𝟏 ∙ 𝐈𝟐 ∙ 𝐝𝐝𝟐 ∧ 𝐝𝐝𝟏 ∧ �⃗�𝟐]𝟏
�⃗�𝟐]𝟏 𝟑𝑳𝟐𝑳𝟏
�⃗�𝟏�𝟐 = � �𝐝�⃗�𝟏�𝟐𝑳𝟏𝑳𝟐
= � � 𝐊𝐈𝟏 ∙ 𝐈𝟐 ∙ 𝐝𝐝𝟏 ∧ 𝐝𝐝𝟐 ∧ �⃗�𝟏]𝟐
�⃗�𝟏]𝟐 𝟑𝑳𝟏𝑳𝟐
= se cumple el principio de acción y reacción
6
𝐝𝐝𝟏
�⃗�𝟐 �⃗�𝟏
�⃗�𝟐]𝟏 = 𝒓𝟐,𝟏 𝐝𝐝𝟐 𝐈𝟐
𝐈𝟏
𝐝�⃗�𝟐�𝐝𝑳𝟏 = 𝑰𝟐𝒅𝒍𝟐 ∧ 𝒅𝑩𝟏
7
Ley de Boit-Savart
𝐝�⃗�𝟐�𝐝𝑳𝟏 = 𝐊𝐈𝟏 ∙ 𝐈𝟐 ∙ 𝐝�⃗�𝟐 ∧ 𝐝�⃗�𝟏 ∧ �⃗�𝟐]𝟏
�⃗�𝟐]𝟏 𝟑 = 𝑰𝟐𝒅𝒍𝟐 ∧ 𝑲 ∙𝐈𝟏 ∙ 𝐝�⃗�𝟏 ∧ �⃗�𝟐]𝟏
�⃗�𝟐]𝟏 𝟑
𝒅𝑩𝟏
𝒅𝑩𝟏 Campo magnético creado por un elemento de corriente 𝐝�⃗�𝟏 𝒅𝒅𝒍 𝒑𝒓𝒑𝒑𝒅𝒓 𝒄𝒄𝒄𝒅𝒄𝒄𝒄𝒄𝒓 𝐞𝐞 𝐞𝐝 𝐩𝐩𝐞𝐩𝐩 𝐝𝐩𝐞𝐝𝐞 𝐬𝐞 𝐞𝐞𝐞𝐩𝐞𝐞𝐩𝐫𝐞 𝒅𝒍𝟐 del segundo conductor
𝑩𝟏 = � 𝒅𝑩𝟏𝑳𝟏
= � 𝑲 ∙𝐈𝟏 ∙ 𝐝𝐝𝟏 ∧ �⃗�𝟐]𝟏
�⃗�𝟐]𝟏 𝟑𝑳𝟏
8
Campo magnético que crea un hilo de corriente indefinido por el que circula una intensidad de corriente I a una distancia a del hilo
Datos I,a Incognita 𝐵(𝑃)
𝑩𝟏 = � 𝒅𝑩𝟏𝑳𝟏
= � 𝑲 ∙𝐈𝟏 ∙ 𝐝𝐝𝟏 ∧ �⃗�𝟐]𝟏
�⃗�𝟐]𝟏 𝟑𝑳𝟏
𝑩 (𝑷) = � 𝒅𝑩 (𝑷)𝑳𝟏
= � 𝑲 ∙𝑰 ∙ 𝐝𝐝𝟏 ∧ 𝒓𝑷,𝒅𝒍𝟏
𝒓𝑷,𝒅𝒍𝟏𝟑
𝑳𝟏
�⃗�𝐏 = 𝒂𝒄𝒙 �⃗�𝐝𝐝𝟏 = 𝐲𝒄𝒚
�⃗�𝐏.𝐝𝐝𝟏 = 𝒓𝑷 − 𝒓𝒅𝒍𝟏 = 𝒂𝒄𝒙 − 𝒚𝒄𝒚
𝒓𝑷,𝒅𝒍𝟏 = 𝒂𝟐 + 𝒚𝟐 𝟏 𝟐⁄
𝒓𝑷,𝒅𝒍𝟏𝟑 = 𝒂𝟐 + 𝒚𝟐 𝟑 𝟐⁄
𝐝𝐝𝟏 = 𝒅𝒚𝒄𝒚
En el S.R. elegido obtenemos los vectores que aparecen en la ley de B-S
�⃗�𝐏.𝐝𝐝𝟏
�⃗�𝐝𝐝𝟏
�⃗�𝐏
Z
Y
X
α P
9
𝐝�⃗�𝟏 ∧ �⃗�𝐏.𝐝𝐝𝟏 = 𝐝𝐲𝐩𝐲 ∧ 𝐞𝐩𝐱 − 𝐲𝐩𝐲 = −𝐞 ∙ 𝐝𝐲𝐩𝐳
𝑩 𝑷 = −� 𝑲 ∙𝑰 ∙ 𝐞 ∙ 𝐝𝒚𝒄𝒛𝒂𝟐 + 𝒚𝟐 𝟑 𝟐⁄
+∞
−∞
𝐩𝐞𝐞𝜶 =𝒚𝒂→ 𝒚 = 𝒂 ∙ 𝐩𝐞𝐞𝜶 → 𝒅𝒚 = 𝒂
𝒅𝜶𝒄𝒄𝒄𝟐𝜶
𝐞𝐩𝐬𝜶 =𝒂
𝒂𝟐 + 𝒚𝟐 𝟏 𝟐⁄ → 𝒂𝟐 + 𝒚𝟐𝟏 𝟐⁄
=𝒂
𝐞𝐩𝐬𝜶→ 𝒂𝟐 + 𝒚𝟐
𝟑 𝟐⁄=
𝒂𝟑
𝒄𝒄𝒄𝟑𝜶
𝑩 𝑷 = −𝑲 ∙ 𝐈 ∙ 𝐞�𝒂 𝒅𝜶𝒄𝒄𝒄𝟐𝜶𝒂𝟑
𝒄𝒄𝒄𝟑𝜶
+∞
−∞∙ 𝒄𝒛
Sustituimos
El calculo de esta integral se puede hacer de varias formas, según lo que habléis estudiado en Matematicas I
Una posible forma es al igual que se hizo para el calculo del campo eléctrico es un cambio de variable trigonométrico. Con referencia al triangulo dibujado en la figura
Sustituyendo
Al cambiar de variable de integración cambian los
límites:�𝒚 → ∞ 𝜶 → 𝝅
𝟐
𝒚 → −∞ 𝜶 → −𝝅𝟐
En el S.R. elegido obtenemos los vectores que aparecen en la ley de B-S
Simplificando
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𝑩 𝑷 = −𝑲 ∙ 𝑰 ∙ 𝐞�cos𝜶 ∙ 𝒅𝜶
𝒂𝟐+𝝅𝟐
−𝝅𝟐
∙ 𝒄𝒛
𝑩 𝑷 = −𝑲 ∙ 𝑰 ∙𝟏𝒂� cos𝜶 ∙ 𝒅𝜶
+𝝅𝟐
−𝝅𝟐
∙ 𝒄𝒛 = −𝟐𝑲 ∙ 𝑰𝒂 𝒄𝒛 =
𝟐 ∙ 𝝁𝟎 ∙ 𝑰𝟒 ∙ 𝝅 ∙ 𝒂 𝒄𝒛 =
𝝁𝟎 ∙ 𝑰𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝒂 𝒄𝒛
B entrante hacia el papel
�⃗�𝐏.𝐝𝐝𝟏 �⃗�𝐝𝐝𝟏
�⃗�𝐏
Z
Y
X
α P B saliente del papel
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�⃗�𝐏.𝐝𝐝𝟏
�⃗�𝐝𝐝𝟏
�⃗�𝐏
Z
Y
X θ
P 𝑩𝟏 = � 𝒅𝑩𝟏
𝑳𝟏= � 𝑲 ∙
𝐈𝟏 ∙ 𝐝𝐝𝟏 ∧ �⃗�𝟐]𝟏�⃗�𝟐]𝟏 𝟑
𝑳𝟏
𝑩 (𝑷) = � 𝒅𝑩 (𝑷)𝑳𝟏
= � 𝑲 ∙𝑰 ∙ 𝐝𝐝 ∧ 𝒓𝑷,𝒅𝒍𝟏
𝒓𝑷,𝒅𝒍𝟏𝟑
𝑳𝟏
�⃗�𝒅𝒍 = 𝑹 cos𝜽𝒄𝒛 + 𝑹 sen𝜽𝒄𝒙
�⃗�𝐏 = 𝐞𝒄𝒚 �⃗�𝐏.𝐝𝐝𝟏 = 𝒓𝑷 − 𝒓𝒅𝒍 = 𝒂𝒄𝒚 − (𝑹 cos𝜽𝒄𝒛 + 𝑹 sen𝜽𝒄𝒙)
𝒓𝑷,𝒅𝒍 = 𝑹𝟐 + 𝒂𝟐 𝟏 𝟐⁄
𝒓𝑷,𝒅𝒍𝟑 = 𝑹𝟐 + 𝒂𝟐 𝟑 𝟐⁄
𝐝𝐝 = 𝒅𝒍𝒄𝜽
En el S.R. elegido obtenemos los vectores que aparecen en la ley de B-S
Datos I,radio de la circumferencia R Incognita 𝑩(𝑷)
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θ 𝛑𝟐− 𝛉
𝐩𝛉
𝐩𝛉 𝐩𝛉 = − sen𝜽𝒄𝑧 + cos𝜽𝒄𝑥
Z
X
𝐝�⃗�𝟏 = 𝒅𝒍(𝒄𝒄𝒄𝜽𝒄𝒙 − 𝒄𝒅𝒄𝜽𝒄𝒛)
𝐝�⃗�𝟏 ∧ �⃗�𝐏.𝐝𝐝𝟏 = 𝒅𝒍(𝒄𝒄𝒄𝜽𝒄𝒙 − 𝒄𝒅𝒄𝜽𝒄𝒛) ∧ 𝒂𝒄𝒚 − (𝑹 cos𝜽𝒄𝒛 + 𝑹 sen𝜽𝒄𝒙)
𝐝𝐝𝐩𝐱 𝐩𝐲 𝐩𝐳
𝒄𝒄𝒄𝛉 𝟎 −𝒄𝒅𝒄𝛉𝐑𝒄𝒅𝒄𝛉 𝐞 𝐑𝐞𝐩𝐬𝛉
= 𝐝𝐝 𝐞 ∙ 𝒄𝒅𝒄𝛉𝐩𝐱 −𝐑(𝒄𝒄𝒄𝟐𝛉+ 𝒄𝒅𝒄𝟐𝜽)𝐩𝐲 +𝐞𝒄𝒄𝒄𝛉𝒄𝒛
𝑩 𝑷 = � 𝒅𝑩 𝑷𝑳𝟏
= � 𝑲 ∙𝑰 ∙ 𝐝𝐝 𝐞𝒄𝒅𝒄𝛉𝒄𝒙 − 𝑹𝐩𝐲 + 𝐞𝒄𝒄𝒄𝛉𝒄𝒛
𝑹𝟐 + 𝒂𝟐 𝟑 𝟐⁄𝑳𝟏
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𝑩𝒚 𝑷 = � 𝑲 ∙𝑰 ∙ 𝑹 ∙ 𝑹𝒅𝜽𝑹𝟐 + 𝒂𝟐 𝟑 𝟐⁄ =
𝑳𝟏𝑲 ∙
𝑰 ∙ 𝑹𝟐
𝑹𝟐 + 𝒂𝟐 𝟑 𝟐⁄ � 𝒅𝜽 = � 𝑲 ∙𝑰 ∙ 𝑹 ∙ 𝑹𝒅𝜽𝑹𝟐 + 𝒂𝟐 𝟑 𝟐⁄ =
𝑳𝟏𝑲 ∙
𝑰 ∙ 𝑹𝟐 ∙ 𝟐𝝅𝑹𝟐 + 𝒂𝟐 𝟑 𝟐⁄
𝟐𝝅
𝟎
𝑩𝒙 𝑷 == −� 𝑲 ∙𝑰 ∙ 𝐞𝒄𝒅𝒄𝛉 𝑹𝒅𝜽𝑹𝟐 + 𝒂𝟐 𝟑 𝟐⁄
𝟐𝝅
𝟎= 𝟎 𝑩𝒛 𝑷 == −� 𝑲 ∙
𝑰 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝛉 𝑹𝒅𝜽𝑹𝟐 + 𝒂𝟐 𝟑 𝟐⁄ = 𝟎
𝟐𝝅
𝟎
𝑩𝒚 𝑷 =𝝁𝟎𝟒𝝅
∙ 𝑰 ∙ 𝑹𝟐 ∙ 𝟐𝝅𝑹𝟐 + 𝒂𝟐 𝟑 𝟐⁄ =
𝝁𝟎𝟐
∙ 𝑰 ∙ 𝑹𝟐
𝑹𝟐 + 𝒂𝟐 𝟑 𝟐⁄
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Campo magnético de distintas distribuciones de corriente
Hilo indefinido
I
a P
𝑩(𝑷) =𝝁𝟎𝑰𝒉𝒑𝒍𝒄𝟐𝝅𝒂 𝒄𝑲
Anillo circular en un punto del eje
R
a
Z
Y
X
P
I
𝑩𝒚 𝑷 =𝝁𝟎𝟐
∙ 𝑰 ∙ 𝑹𝟐
𝑹𝟐 + 𝒂𝟐 𝟑 𝟐⁄
Solenoide (Punto del eje)
I
a P
𝑩(𝑷) =𝝁𝟎𝑰𝒉𝒑𝒍𝒄𝟐𝝅𝒂 𝒄𝑲
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Caracteristicas del campo magnético: 1.- No es un campo conservativo. 2.- No existe potencial escalar asociado ( no hay energía de potencial magnética)
Ley de circulación de Ampere
La circulación del campo magnético a través de una línea cerrada es proporcional al la intensidad que atraviesa la línea. La de proporcionalidad es la permeabilidad magnética del medio
𝐂 = ∮ 𝑩 ∙ 𝒅𝒍 = 𝝁𝟎𝑳 𝑰𝒅𝒄𝒄𝒅𝒓𝒓𝒅𝒂
Aplicaciones de la ley de Ampere
La ley de Ampere es una forma muy cómoda de determinar los campos magnéticos de distintas distribuciones de corriente, al igual que el Teorema de Gauss para el caso el campo eléctrico Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampère son similares a los de la ley de Gauss. • Dada la distribución de corrientes, deducir la dirección y sentido del campo magnético • Elegir un camino cerrado apropiado, atravesado por corrientes y calcular la circulación del campo
magnético. • Determinar la intensidad de la corriente que atraviesa el camino cerrado • Aplicar la ley de Ampère y despejar el módulo del campo magnético. •
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17
�⃗�𝐏.𝐝𝐝𝟏 �⃗�𝐝𝐝𝟏
�⃗�𝐏
Z
Y
X
α P
Aplicaciones de la ley de Ampere (EJEMPLO HILO CONDUCTOR INDEFINIDO) • Dada la distribución de corrientes, deducir la dirección y sentido del campo magnético La dirección y el sentido del campo vienen dados por el producto vectorial de:
𝐝�⃗�𝟏 ∧ �⃗�𝐏.𝐝𝐝𝟏 = �𝐝𝐝 ∥ 𝐩𝐲
�⃗�𝐏.𝐝𝐝𝟏𝒑𝒅𝒓𝒄𝒅𝒄𝒅𝒄𝒅 𝒂𝒍 𝒑𝒍𝒂𝒄𝒄 𝑿𝑿 𝐩𝐱;𝐩𝐲;𝟎=∥ 𝐩𝐳
Elegir un camino cerrado apropiado, atravesado por corrientes y calcular la circulación del campo magnético. Esta línea cerrada debe de contener al punto donde se quiere calcular el campo magnético En nuestro caso es una circunferencia centrada en el hilo y radio la distancia del hilo al punto a
�⃗�𝐏 = 𝒂
Z
Y
X
P
Linea de Ampere
B saliente del papel 𝐂 = ∮ 𝑩 ∙ 𝒅𝒍 = ∫ 𝑩 𝒅𝒍 = 𝑩∫ 𝒅𝒍 = 𝑩𝟐𝝅𝒂𝑳𝑳𝑳
𝑩 ∥ 𝒅𝒍 𝒅𝒄 𝒄𝒄𝒅𝒄𝒄 𝒍𝒄𝒄 𝒑𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒅𝒅 𝒍𝒂 𝒍𝒍𝒄𝒅𝒂
𝑩 𝒄𝒄𝒑𝒂 𝒅𝒍 𝒑𝒑𝒄𝒑𝒄 𝒗𝒂𝒍𝒄𝒓 𝒅𝒄 𝒄𝒄𝒅𝒄𝒄 𝒍𝒄𝒄 𝒑𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒅𝒅 𝒍𝒂 𝒍𝒍𝒑𝒄𝒅𝒂, al depender solo de la distancia del punto al eje
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�⃗�𝐏.𝐝𝐝𝟏 �⃗�𝐝𝐝𝟏
�⃗�𝐏
Z
Y
X
α P
Aplicaciones de la ley de Ampere • Dada la distribución de corrientes, deducir la dirección y sentido del campo magnético La dirección y el sentido del campo vienen dados por el producto vectorial de:
𝐝�⃗�𝟏 ∧ �⃗�𝐏.𝐝𝐝𝟏 = �𝐝𝐝 ∥ 𝐩𝐲
�⃗�𝐏.𝐝𝐝𝟏𝒑𝒅𝒓𝒄𝒅𝒄𝒅𝒄𝒅 𝒂𝒍 𝒑𝒍𝒂𝒄𝒄 𝑿𝑿 𝐩𝐱;𝐩𝐲;𝟎=∥ 𝐩𝐳
Elegir un camino cerrado apropiado, atravesado por corrientes y calcular la circulación del campo magnético. Esta línea cerrada debe de contener al punto donde se quiere calcular el campo magnético En nuestro caso es una circunferfencia de radio ladistancia del hilo al punto a
�⃗�𝐏
Z
Y
X
P
Linea de Ampere
Determinar la intensidad de la corriente que atraviesa el camino cerrado En nuestro casa será la corriente que atraviese la superficie que encierra la línea de Ampere
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�⃗�𝐏
Y
P
Z
Y
X
P
Superficie encerrada
Intensidad de corriente encerrada
No hay Intensidad de corriente
Aplicar la ley de Ampère y despejar el módulo del campo magnético.
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∮ 𝑩 ∙ 𝒅𝒍𝑳 = 𝝁𝟎 ∙ 𝑰𝒅𝒄𝒄𝒅𝒓𝒓𝒂𝒅𝒂
𝐁 ∙ 𝟐𝛑 ∙ 𝐞 𝛍𝟎𝐈𝐡𝐡𝐝𝐩
𝑩 =𝝁𝟎𝑰𝒉𝒑𝒍𝒄𝟐𝝅𝒂
=
𝑩 =𝝁𝟎𝑰𝒉𝒑𝒍𝒄𝟐𝝅𝒂 𝒄𝑲
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𝑩 𝑷 =𝝁𝟎𝟐𝑵𝑳𝑰 𝐞𝐩𝐬𝜶𝟏 + 𝒄𝒄𝒄𝜶𝟐 =
𝝁𝟎𝟐𝒄𝑰 𝐞𝐩𝐬𝜶𝟏 + 𝒄𝒄𝒄𝜶𝟐
𝑳 → ∞ 𝑩 𝑷 = 𝝁𝟎 ∙ 𝒄 ∙ 𝑰 (solenoide infinito)
Solenoide (Punto del eje)
dx
I=nIdx
P α1 α2 I
L
L=Longitud solenoide N=Número total espiras n=número de espiras por unidad de longitud (densidad de espiras) 𝑛 = 𝑁
𝐿
Ángulo que el punto P forma con la primera/ultima espira I= intensidad que circula por cada espira
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Flujo del campo magnético.- El flujo de un campo magnético 𝐁a través de una superficie elemental 𝐝𝐝 se define como :
𝒅∅ = 𝑩.𝒅𝑺
𝑩
𝐝𝑺
𝑩 𝑩 𝑩
α
El flujo de un campo magnético 𝐁a través de la superficie S
∅ = � 𝑩.𝒅𝑺𝑺
= � 𝑩 ∙ 𝒅𝑺 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝜶𝑺
Si la superficie S es cerrada
∅ = � 𝑩.𝒅𝑺𝑺
= � 𝑩 ∙ 𝒅𝑺 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝜶𝑺
= 𝟎
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NO SE DETECTA EL PASO DE CORREINTE EN EL GALVANÓMETRO (IP =0)
S
IP =0
IP (t) IP (t=0)=0 IP (t=τ)=cte
SE DETECTA EL PASO DE CORREINTE EN EL GALVANÓMETRO, HASTA QUE IP SE ESTABILIZA (IP =CTE) Aparece IS
IP ≠0 IS ≠0
IP =cte
IS =0
NO SE DETECTA EL PASO DE CORREINTE EN EL GALVANÓMETRO IP ESTABILIZADA (I=CTE)
IP (t=τ)=cte IP (tf)=0 IP ≠0
IS ≠0
SE DETECTA EL PASO DE CORREINTE EN EL GALVANÓMETRO, (EN SENTIDO CONTRARIO) HASTA QUE I SE ANULA
SECUNDARIO
PRIMARIO
Experiencias de Faraday/Henry
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Conclusiones Experiencias de Faraday/Henry
1.- Cuando el campo magnético generado por el primario es estacionario no aparece corriente inducida en el secundario. Aparece una corriente momentánea en el instante en que se cierra el interruptor S del primario, cuando se abre de nuevo, el interruptor S, vuelve a observarse una corriente inducida en el secundario y esta tiene sentido contrario a la primera. Por lo tanto únicamente existía corriente inducida cuando el campo magnético producido por la bobina estaba cambiado.
Cuando más rápido es el movimiento del imán mayor es el movimiento de la aguja en el galvanómetro
Si mantenemos fijo el imán y acercamos la espira, los resultados son los mismos.
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AMBOS CIRCUITOS EN REPOSO NO SE DETECTA EL PASO DE CORREINTE EN EL GALVANÓMETRO (I=0)
SE MUEVE EL CIRCUITO PRIMARIO/SECUNDARIO SE DETECTA EL PASO DE CORREINTE EN EL GALVANÓMETRO, HASTA QUE CESA EL MOVIMIENTODEÑ CIRCUITO PRIMARIO/SECUNDARIO
PRIMARIO
SECUNDARIO
SE MUEVE EL CIRCUITO PRIMARI0/SECUNDARIO SE DETECTA EL PASO DE CORREINTE EN EL GALVANÓMETRO, EN SENTIDO CONTRARIO, HASTA QUE CESA EL MOVIMIENTO DEL CIRCUITO PRIMARIO/SECUNDARIO
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Conclusiones Experiencias de Faraday/Henry
1.- Aparece una fem inducida en el secundario siempre que cambia la corriente del primario 2.- Lo importante es la rapidez con la cual cambia la corriente y no la magnitud de la misma 3.L- Lo que importa es el movimiento relativo del imán y la bobina. L
Ley de Faraday/Henry
La fuerza electromotriz inducida F.E.M.in en un circuito es directamente proporcional a la variación temporal del flujo magnético que atraviesa el circuito (a la rapidez con que varia el flujo magnético que lo atraviesa)
𝑭.𝑬.𝑴]𝒑𝒄 = −𝒅∅𝒄𝒅𝒄𝒄𝒄𝒅𝒂𝒓𝒑𝒄]𝒑𝒓𝒑𝒑𝒂𝒓𝒑𝒄
𝒅𝒄
= −𝟏𝒅𝒄
� 𝑩𝒑𝒓𝒑𝒑𝒂𝒓𝒑𝒄 ∙ 𝒅𝑺𝒄𝒅𝒄𝒄𝒄𝒅𝒂𝒓𝒑𝒄𝑺 𝒄𝒅𝒄𝒄𝒄𝒅𝒂𝒓𝒑𝒄
𝑭.𝑬.𝑴]𝒑𝒄 = � 𝒍𝒄𝒅𝒄 𝒗𝒄𝒅𝒄 ∧ 𝑩𝒑𝒓𝑳𝒄𝒅𝒄
Primario
Ipr=I1
Secundario
vsec=v2
𝐅.𝐄.𝐌. ]𝐡𝐞
𝑭.𝑬.𝑴]𝒑𝒄 = −𝒅∅𝒅𝒄
= −𝟏𝒅𝒄
� 𝑩𝟏 ∙ 𝒅𝑺𝟐𝑺𝟐
𝑭.𝑬.𝑴]𝒑𝒄 = � 𝒍𝟐 𝒗𝟐 ∧ 𝑩𝟏𝑳𝟐
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Inducción mutua
𝐅.𝐄.𝐌]𝐡𝐞 = −𝐝∅𝟐]𝟏𝐝𝐩 = −
𝐝∅𝟐]𝟏𝐝𝐈𝟏
∙𝐝𝐈𝟏𝐝𝐩 = 𝑳𝟐,𝟏 ∙
𝐝𝐈𝟏𝐝𝐩
Ley de Lenz
Es una consecuencia del principio de conservación de la energía. el sentido de la corriente inducida es tal que se opone siempre a la causa que lo ha producido.
Como el flujo que el primario crea en el secundario es proporcional a la corriente del primario,
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Espira 1
Espira n
Campo magnético que crea la espira 1 donde esta situada la espira n
Si la intensidad que circula por la espira 1 cambia el campo magnético que esta espira crea en el punto donde esta la espira n cambia, por lo tanto el flujo magnético que atraviesa la espira n cambia y se produce una “pequeña fuerza electromotriz inducida” de la espira 1 en la en la espira n Asi con todas las espiras. La suma de estas “pequeñas fuerzas electromotrices inducidas” se puede determinar:
𝐹.𝐸.𝑀]𝑖𝑖 = −𝑑∅1]1𝑑𝑑 = −
𝑑∅1]1𝑑𝐼1
∙𝑑𝐼1𝑑𝑑 = 𝐿11 ∙
𝑑𝐼1𝑑𝑑
Coeficiente de autoinducción
Autoinducción
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𝑑𝑆 𝛉 = 𝛚𝐩
Corriente alterna
𝐅.𝐄.𝐌. ⌋𝐡𝐝 = −𝐝∅𝐝𝐩
= −𝐝𝐝𝐩� 𝐁 ∙ 𝐝�⃗� = −
𝐝 𝐁 ∙ 𝐝 ∙ 𝐞𝐩𝐬𝛉𝐝𝐩
= 𝐁 ∙ 𝐝 ∙ 𝛚 ∙ 𝐬𝐞𝐞𝛚𝐩𝐝
La fuerza electromotriz inducida en la espira:
𝐅.𝐄.𝐌. ⌋𝐡𝐝 = 𝑽𝒑𝒄𝒅 = 𝐁 ∙ 𝐝 ∙ 𝛚 ∙ 𝐬𝐞𝐞𝛚𝐩 = 𝑽𝒄𝒄𝒅𝒄𝒔𝒄
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Comportamiento de los elementos pasivos de un circuito en corriente alterna
𝑽𝒄𝒄𝒅𝒄𝒔𝒄
𝐈 =? 𝑽𝒄𝒄𝒅𝒄𝒔𝒄 = 𝐈 ∙ 𝑹
𝐈 = 𝑽𝒄𝒄𝒅𝒄𝒔𝒄
𝑹
Caída de tensión e intensidad en fase
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𝐅.𝐄.𝐌. ]𝐞𝐩𝐩𝐩𝐡𝐞𝐝𝐩𝐞𝐡𝐝𝐞 = 𝐋𝐝𝐈𝐝𝐩
𝑽𝒄𝒄𝐞𝐞 𝛚𝒄 = 𝐋𝐝𝐈𝐝𝐩
−𝑽𝒄𝒄𝐞𝐞 𝛚𝒄
𝑳 𝒅𝒄 = 𝐝𝐈 �𝑽𝒄𝒄𝐞𝐞 𝛚𝒄
𝑳 𝒅𝒄 = � 𝒅𝑰𝑰(𝒄)
𝒄
𝒄
𝟎
−𝐕𝐩𝐋 ∙ 𝛚
𝐞𝐩𝐬𝛚𝐩 = 𝐈(𝐩)
𝐕𝐩𝐋 ∙ 𝛚
𝐬𝐞𝐞(𝛚𝐩−𝛑𝟐
) = 𝐈(𝐩) Caída de tensión (adelantada )desfasada
𝝅𝟐
𝒓𝒅𝒄𝒑𝒅𝒄𝒄𝒄 𝒂 𝒍𝒂 𝒑𝒄𝒄𝒅𝒄𝒄𝒑𝒅𝒂𝒅
𝐗𝐋 = 𝐋𝛚 = 𝐙𝐋
Reactancia inductiva Impedancia inductiva Resistencia presenta la bobina al crecimiento de la corriente Dimensiones de ohmios (resistencia)
𝐗𝐋 = 𝐣𝐋𝛚 = 𝐙𝐋 En notación fasorial)
32
𝐂 =𝐐𝐕
𝐕 =𝐐𝐂
𝒅𝑽𝒅𝒄
=𝟏𝑪𝒅𝒅𝒅𝒄
=𝟏𝑪𝑰(𝒄)
Si V es constante (corriente continua) I es nula
𝐝𝐕𝐝𝐩
=𝟏𝐂𝐈(𝐩)
𝑰 𝒄 = 𝑪 ∙ 𝑽𝟎 ∙ 𝒔 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒔𝒄 = 𝐂𝑽𝟎𝒔𝒄𝒅𝒄 𝒔𝒄 +𝝅𝟐
Caída de tensión (retrasada ) desfasada 𝝅𝟐
𝒓𝒅𝒄𝒑𝒅𝒄𝒄𝒄 𝒂 𝒍𝒂 𝒑𝒄𝒄𝒅𝒄𝒄𝒑𝒅𝒂𝒅
Reactancia capacitativa Impedancia capacitativa Dimensiones de ohmios (resistencia)
𝑰 𝒄 =𝟏𝟏𝑪𝒔
𝑽𝟎𝒄𝒅𝒄(𝒔𝒄 +𝝅𝟐)
𝐗𝐂 = 𝐙𝐂 =𝟏𝐂𝛚
𝐗𝐂 = 𝐙𝐂 =−𝐣𝐂𝛚 En notación fasorial)
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Potencia en circuitos de corriente alterna
Potencia Instantánea generada
𝑷 𝒄 = 𝑽 𝒄 ∙ 𝑰 𝒄 = 𝑽𝟎𝑰𝟎𝒄𝒅𝒄 𝒔𝒄 ∙ 𝒄𝒅𝒄(𝒔𝒄 + 𝝋)
𝑽 𝒄 = 𝑽𝟎𝒄𝒅𝒄(𝒔𝒄) 𝑰 𝒄 = 𝑰𝟎𝒄𝒅𝒄(𝒔𝒄 + 𝝋)
𝒄𝒅𝒄 𝒔𝒄 + 𝝋 = 𝒄𝒅𝒄𝒔𝒄 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝝋 + 𝒄𝒄𝒄𝒔𝒄 ∙ 𝒄𝒅𝒄𝝋
𝑷 𝒄 = 𝑽 𝒄 ∙ 𝑰 𝒄 = 𝑽𝟎𝑰𝟎𝒄𝒅𝒄𝟐 𝒔𝒄 𝒄𝒄𝒄𝝋 + 𝒄𝒅𝒄(𝒔𝒄) ∙ 𝐞𝐩𝐬 (𝒔𝒄) ∙ 𝒄𝒅𝒄𝝋
Valor medio de la Potencia Instantánea en un periodo: Potencia activa(P)
𝐏 = 𝐏� 𝐩 = 𝐏𝐦 =𝟏𝑻� 𝑷(𝑻)𝒅𝒄
𝑻
𝟎=𝟏𝑻� 𝑽𝟎𝑰𝟎𝒄𝒅𝒄𝟐 𝒔𝒄 𝒄𝒄𝒄𝝋 + 𝒄𝒅𝒄(𝒔𝒄) ∙ 𝐞𝐩𝐬 (𝒔𝒄) ∙ 𝒄𝒅𝒄𝝋 𝒅𝒄
𝑻
𝟎
𝑷 𝒄 = 𝑽 𝒄 ∙ 𝑰 𝒄
𝐏� =𝟏𝟐𝐕𝟎𝐈𝟎 ∙ 𝐞𝐩𝐬𝐜
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑝𝑝𝑑𝑒𝑛𝑟𝑝𝑝 𝐏� =𝟏𝟐𝐕𝟎𝐈𝟎 ∙ 𝐞𝐩𝐬𝐜
𝑒𝑒𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒 𝑏𝑒𝑏𝑝𝑛𝑝 𝐏� = 0𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑝𝑝𝑑𝑒𝑟 𝐏 = 0
𝝋 Desfase entre la tensión y la intensidad en el elemento considerado + ~
Elemento Pasivo
𝑰 𝒄 = 𝑰𝟎𝒄𝒅𝒄(𝒔𝒄 + 𝝋)
𝑽 𝒄 = 𝑽𝟎𝒄𝒅𝒄(𝒔𝒄)
34
Potencia reactiva(Q)
𝐏� = 𝟏𝟐𝐕𝟎𝐈𝟎 ∙ 𝐞𝐩𝐬𝐜 = 𝑽𝒅𝒆 ∙ 𝑰𝒅𝒆 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝝋 (Watios)
Q= 𝟏𝟐𝐕𝟎𝐈𝟎 ∙ 𝐞𝐩𝐬𝐜 = 𝑽𝒅𝒆 ∙ 𝑰𝒅𝒆 ∙ 𝒄𝒅𝒄𝝋 (𝒗𝒄𝒍𝒄𝒑𝒄𝒄 − 𝒂𝒑𝒑𝒅𝒓𝒑𝒄𝒄 − 𝒓𝒅𝒂𝒄𝒄𝒑𝒗𝒄𝒄)
P
S Q
S Potencia aparente