ma093 { matem atica b asica 2 - instituto de matemática ...chico/ma092/ma092_31_determinante… ·...

$: MA093 { Matem atica b asica 2 - Instituto de Matemática ...chico/ma092/ma092_31_determinante… · Determinantes de matrizes 3 3 Determinante de matriz 3 3: solu˘c~ao pela Regra$
Determinantes Aplicacoes do determinante Exercıcios

MA093 – Matematica basica 2Determinantes.

Francisco A. M. Gomes

UNICAMP - IMECC

Novembro de 2018


Topicos importantes

O objetivo dessa aula e investigar

1 Como calcular determinantes;

2 Algumas aplicacoes dos determinantes.


Determinante

Problemas

1 E possıvel saber se uma matriz quadrada A e inversıvel semdeterminar A−1?

2 E possıvel determinar se um sistema linear tem solucao unicasem tentar resolve-lo, mas conhecendo sua matriz decoeficientes A?

Essas duas perguntas podem ser respondidas usando o

determinante da matriz A.

O determinante e um numero real associado a uma matrizquadrada, e e representado por

|A| ou det(A).


Determinantes de matrizes 1× 1 e 2× 2

Determinante de matriz 1 × 1

O determinante de uma matriz A = [a11] e a11.

ex: Se A = [ 8 ], entao det(A) = 8.

Determinante de matriz 2 × 2

O determinante de uma matriz A =

[a11 a12

a21 a22

]e dado por

∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

+−

Ex: Se A =

[3 25 1

], det(A) = 3 · 1− 2 · 5 = 3− 10 = −7


Determinantes de matrizes 3× 3

Determinante de matriz 3 × 3: solucao pela Regra de Sarrus:

Ao lado direito da matriz, anexe uma copia das colunas 1 e 2.

Calcule os produtos indicados pelas setas da figura abaixo.

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

+ + +− − −Some os produtos das setas azuis e subtraia os produtos dassetas vermelhas.

det(A) =a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a33

−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33


Exemplo

Calcule o determinante de B =

4 2 −1−2 3 0

1 −6 5

4 2 − 1 4 2

−2 3 0 −2 3

1 − 6 5 1 −6+ + +− − −

det(B) = 4 · 3 · 5 + 2 · 0 · 1 + (−1) · (−2) · (−6)

−(−1) · 3 · 1− 4 · 0 · (−6)− 2 · (−2) · 5

det(B) = 60 + 0− 12 + 3 + 0 + 20 = 71


Determinantes de matrizes n × n

O determinante de uma matriz An×n (com n ≥ 2) e dado por

n∑j=1

a1j · (−1)1+j · D1j oun∑

i=1

ai1 · (−1)i+1 · Di1

em que

Dij , chamado menor complementar do elemento aij e odeterminante da matriz obtida eliminando-se a linha i e acoluna j de A;

o termo (−1)i+j · Dij e chamado cofator de aij .

Ou seja, o determinante e dado pela soma dos elementos da 1a

linha i (ou 1a coluna) pelos seus cofatores.

Podemos usar outra linha (ou coluna) da matriz A, em lugar da 1a.


Exemplo: Determinante de uma matriz 4× 4

1 − 2 0 4− 2 0 3 − 1

5 − 4 1 2− 4 3 − 2 1

= 1 · (−1)1+1 · D11 + (−2) · (−1)1+2 · D12 +

0 · (−1)1+3 · D13 + 4 · (−1)1+4 · D14

Det = 1 · (−1)2 ·0 3 −1

−4 1 2

3 −2 1

− 2 · (−1)3 ·−2 3 −1

5 1 2

−4 −2 1

+ 0 · (−1)4 · D13 + 4 · (−1)5 ·−2 0 3

5 −4 1

−4 3 −2

Det = 1 · 1 · 25 + (−2) · (−1) · (−43) + 0 + 4 · (−1) · (−13) = −9


Propriedades do determinante

Propriedades

a) Se uma linha ou coluna da matriz so contem zeros, odeterminante e zero.

A =

∣∣∣∣ 0 20 1

∣∣∣∣ = 0 · 1− 2 · 0 = 0

b) det(AT ) = det(A)

c) det(A−1) = 1/det(A)

d) det(AB) = det(A) · det(B)


Descobrindo se um sistema tem solucao unica

Teorema

Um sistema com matriz de coeficientes A tem solucao unica se esomente se det(A) 6= 0.

Exemplo: Verifique se o sistema abaixo tem solucao unica3x +2y −z = 4x −y +2z = 2

5x +3z = 8∣∣∣∣∣∣3 2 −11 −1 25 0 3

∣∣∣∣∣∣ = −9 + 20 + 0− 5− 0− 6 = 0

Como det(A) = 0 o sistema nao tem solucao unica(pode ser insoluvel ou ter infinitas solucoes)


Descobrindo se uma matriz e inversıvel

Teorema

Uma matriz quadrada A tem inversa se e somente se det(A) 6= 0.

Exemplo: Verifique se a matriz abaixo e inversıvel

A =

1 4 −30 2 13 8 6

∣∣∣∣∣∣

1 4 −30 2 13 8 6

∣∣∣∣∣∣ = 12 + 12 + 0 + 18− 8− 0 = 34

Como det(A) 6= 0 a matriz A tem inversa


Encontrando a area de um triangulo

Teorema

Dado um triangulo ABC comvertices A(xA, yA), B(xB , yB) eC (xC , yC ) no plano cartesiano, aarea de ∆ABC e dada por

1

2|det(M)|

em que

M =

xA yA 1xB yB 1xC yC 1


Encontrando a area de um triangulo

Exemplo

Encontre a area do trianguloabaixo

Nesse caso.

M =

−2 −1 12 3 14 1 1

−2 −12 34 1

det(M) = −6−4 + 2−12 + 2 + 2

det(M) = −16

Area =1

2| − 16| = 8.


Encontrando a equacao da reta

Teorema

A reta que passa pelos pontos (x1, y1) e (x2, y2) e descrita pelaequacao ∣∣∣∣∣∣

x y 1x1 y1 1x2 y2 1

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Observe que isso e equvalente a pedir que a area do triangulo comvertices (x , y), (x1, y1) e (x2, y2) seja igual a zero.

Exemplo: Encontrar a equacao que passa por (−2, 3) e (4,−1).∣∣∣∣∣∣x y 1−2 3 1

4 −1 1

∣∣∣∣∣∣ = 3x + 4y + 2− 12 + x + 2y = 0

A equacao e 4x + 6y − 10 = 0, ou 4x + 6y = 10


Exercıcio 1

Problema

Calcule o determinante da matriz abaixo.

A =

[2 −34 8

]

28


Exercıcio 2

Problema

Calcule o determinante da matriz abaixo.

A =

5 2 −12 4 36 0 −5

−20


Exercıcio 3

Problema

Seja A uma matriz tal que det(A) = −5. Nesse caso, det(A−1)vale

A) 5

B) −5

C) 1/5

D) −1/5

E) −5− 1 = 6


Exercıcio 4

Problema

O sistema abaixo tem solucao unica?4x −y +2z = 3x +2y +3z = −2

4y +5z = 6

Sim, pois det(A) = 5, ou seja, det(A) 6= 0


Exercıcio 5

Problema

Determine a area do triangulo com vertices A(−2, 0), B(3,−1) eC (2, 4).

Area = 12


Exercıcio 6

Problema

Determine a equacao da reta que passa pelos pontos A(−1,−2) eB(3, 2).

−4x + 4y + 4 = 0

ma093 { matem atica b asica 2 - instituto de matemática ...chico/ma092/ma092_31_determinante… ·...

Documents