MATEMÁTICAS MCM 2 CS 1

EJERCICIOS SOBRE INECUACIONES. OPTIMIZACIÓN. 1.- Halla el máximo y mínimo de 12 4z x y= + ,cuando las variables están sujetas a las siguientes restricciones 2x y+ ≥ ; 2x ≤ ; 4y ≤ ; x y≤ . 2.- Optimiza el objetivo 5 4z x y= + condicionado a : 2 0y x− ≥ y 2 3y x≤ − 3.- Halla los puntos de la región definida por :

1 0

0 30 2

x yxy

+ − ≥⎧⎪ ≤ ≤⎨⎪ ≤ ≤⎩

en los que la función 5 2z x y= + alcanza su máximo y mínimo.

4.- Halla el máximo y el mínimo de ( , ) 5 2F x y x y= + si se cumplen las siguientes

restricciones:

00

2 64 103 0

xy

x yx y

x y

≥⎧⎪ ≥⎪⎪ + ≤⎨⎪ + ≤⎪

+ − ≥⎪⎩

5.- Representa gráficamente el conjunto D de los puntos del plano que verifican

34

2 34 3 12 0

xy

y xx y

≤⎧⎪ ≤⎪⎨ ≥ − −⎪⎪ − + ≥⎩

y encontrar en D el máximo y el mínimo de z y x= −

6.- Halla el máximo y el mínimo de ( , )F x y x y= + en el recinto limitado por

12 2

2 2 02 1 0

xx y

x yx y

≤⎧⎪ + ≤⎪⎨ − + ≥⎪⎪ + + ≥⎩

7.- Representa la región del plano limitada por las desigualdades:

2 20x y+ ≥ , 2 20x y− ≤ , 0 20y≤ ≤ Halla los valores máximo y mínimo de ( , ) 2F x y x y= + cuando (x,y) recorre dicha región.

MATEMÁTICAS MCM 2 CS 2

8.- Describir mediante un sistema de desigualdades la región poligonal cuyos vértices son A(0,0) ,B(0,4), C(3,3) y D(4,0). Halla los valores máximo y mínimo de la función ( , ) 7 2F x y x y= + cuando (x,y) recorre dicha región. 9.- Se dispone de 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio para fabricar bicicletas de paseo y de montaña que se venderán a 200€ y 150€ respectivamente. Cada bici de paseo requiere 1 Kg. de acero y 3 de aluminio y cada bici de montaña 2 Kg. de cada metal. ¿cuántas bicis de cada tipo hay que fabricar para lograr una facturación máxima? 10.- Una constructora dispone de 10.800.000 € para promover una urbanización con casas de dos tipos. Las de tipo A ,con coste de fabricación de 180.000 € y beneficio de 24.000 € cada una y las de tipo B , con coste de 120.000 € y beneficio de 18.000 € cada una. Si no pueden construirse más de 80 casas,¿cuántas casas de cada tipo darán un beneficio máximo? 11.- Un estudiante reparte folletos de propaganda de dos tipos A y B. Por cada folleto A repartido le pagan 0,05 € y por cada uno de tipo B le dan 0,07 €. El estudiante tiene dos bolsas , una para impresos A con cabida para 120 impresos y otra en la que lleva un máximo de 100 impresos de tipo B. La experiencia dice que cada día puede repartir a lo sumo 150 impresos. ¿Cuántos impresos de cada clase debe repartir para obtener la máxima ganancia? ¿A cuánto ascendería ésta? 12.- Con 6 Kg. de un fármaco se desea elaborar dos tipos de pastillas de 40 y de 20 gr. de manera que el número de pastillas grandes no sea inferior a 30 pero tampoco superior al doble del número de las pequeñas. El beneficio que se obtiene es de 0,25 € por cada pastilla grande y 0,15 € por cada una de las pequeñas. ¿Cuántas pastillas de cada clase hay que fabricar para obtener un beneficio máximo? 13.- Para determinado trayecto, una compañía aérea tiene dos aviones A y B. Entre ambos deben realizar al menos 60 vuelos ,pero no más de 200 .El avión A no debe pasar de 120 vuelos ni el B puede volar más veces que el A . si ,en cada vuelo, A consume 900 litros de combustible y B 700 litros ,¿cuántos vuelos debe realizar cada avión para que el consumo sea mínimo? 14.- A una persona que dispone de 30.000 € se le ofrecen dos fondos de inversión A y B con rentabilidades respectivas del 12% y del 8%. El A tiene unas limitaciones legales de 12.000 € de inversión máxima. B no tiene limitaciones legales pero se sabe que conviene no invertir en él más del doble de lo invertido en A. ¿Cómo debe organizarse la inversión para obtener un beneficio máximo?. 15.- Un camión de 9 Tm. Debe transportar mercancías de dos tipos A y B. La cantidad de A no debe ser inferior a 4Tm. Ni superior al doble de la cantidad de B. El transportista gana 0,03 € por cada kg. de A y 0,02 € por cada kg. de B.¿Cómo debe cargar el camión para obtener la máxima ganancia?. ¿A cuánto ascendería esa ganancia?.

MATEMÁTICAS MCM 2 CS 3

16.- Un sastre tiene 80 2m de tejido A y 120 2m de tejido B. Un traje de caballero requiere 1 2m de A y 3 de B , y un vestido de señora 2 2m de cada tejido. Si la venta de un traje deja al

sastre el mismo beneficio que un vestido, halla cuántos trajes y vestidos debe fabricar para obtener la máxima ganancia. 17.- En una urbanización van a construirse casas de dos tipos A y B .La empresa constructora dispone de 30 millones de euros costando cada casa 650.000 y 400.000 € respectivamente. Además las casas de tipo A han de ser como mínimo el 40% del total , y las de tipo B al menos el 20% del total .Si el beneficio es de 150.000€ por cada casa de tipo A y de 100.000 € por cada una del tipo B ,¿cuántas casas de cada tipo habrá que edificar para obtener el máximo beneficio?. R: (24,36) 18.- Para fabricar los artículos A y B se dispone de 600 kg. de acero. Una unidad de A requiere 4 kg. de acero y una de B 8 kg. Calcular cuántos artículos de cada tipo deben fabricarse para obtener el máximo beneficio si se ganan 12€ por cada unidad de A y 20 € por cada una de B, y que por necesidades técnicas no se pueden fabricar más de 120 unidades de A ni más de 70 de B. R:(120,15) 19.- Disponemos de 210.000€ para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones , las A que rinden el 10% y las B que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 € en A y un mínimo de 10.000 € en B. Además queremos que la inversión en A no sea mayor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál debe ser la inversión para obtener un beneficio máximo?. R: (130.000,80.000) 20.- Los 400 alumnos de un colegio van de excursión. Para ello se contrata el servicio a una empresa que dispone de 8 autobuses de 40 plazas y de10 con 50plazas, pero que sólo dispone de 9 conductores para ese día. Cada autobús grande cuesta 800 € y cada uno de los pequeños 600 €. ¿Cuántos autobuses de cada tipo habrá que contratar para que el viaje tenga un coste mínimo? R : (4,5) 21.- Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones ; los de tipo A con un espacio refrigerado de 20 3m y un espacio no refrigerado de 40 3m y los de tipo B con igual cubicaje total al 50% de espacio refrigerado y no refrigerado. La contratan para transportar 3000 3m de un producto que necesita refrigeración y 4000 3m de un producto que no la necesita. El coste por km. de los camiones de tipo A es de 0,6€ y el de los de tipo B de 0,8€ . ¿Cuántos camiones de cada tipo hay que utilizar para que el coste total sea mínimo?

R:( 50,67) 22.- Desde dos fábricas de ladrillos A y B , que producen al mes 8 y 10 millones de unidades se distribuye el producto a tres almacenes P Q y R que necesitan ,al mes, 7,6 y 5 millones de unidades. El coste del transporte en euros por cada millón de unidades es según el cuadro adjunto. Programa la distribución para el transporte más económico.

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P Q R A 400 300 500 B 500 300 700 23.- Tres fábricas de grúas pesadas que producen 9 unidades en Londres ,13 en Estocolmo y 7 en Bruselas han de enviar 11 a Colonia y 18 a París.¿Cómo debe programarse el transporte para un coste mínimo si el cuadro de costes por unidad es el que sigue?

L E B C 5 12 2 P 3 16 3 24.- En un país hay dos fuente productoras de carbón A y B que producen 35 y 55 unidades de consumo respectivamente. Existen tres centros de distribución P, Q y R que requieren 30, 40 y 20 unidades respectivamente. Programa el transporte más económico con el siguiente cuadro de costes por unidad. P Q R A 1 2 4 B 3 1 5 25.- Una empresa compra 26 locomotoras a tres fábricas : 9 a A ,10 a B y 7 a C. Las locomotoras deben empezar a prestar servicios en dos estaciones distintas : 11 en la estación N y 15 en la S. Los costes de traslado por unidad son los del cuadro adjunto. Programa el traslado más económico. A B C N 6 15 3 S 4 20 5