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1.NÚMEROS REALES
Introducción ............................................................ 1
1.1 CONCEPTO DE NÚMERO REAL..................... 1No existe ningún número racional igual a 2................ 2Expresiones decimales infinitas ................................... 3
Adición y multiplicación......................................... 4Propiedades de la adición ........................................... 4Propiedades de la multiplicación.................................. 4
Orden en R .............................................................. 5Correspondencia entre el conjunto de los
números reales y los puntos de la recta ................ 5Intervalos en la recta real ........................................ 5Módulo de un número real ...................................... 7Ecuaciones con módulo........................................... 8Inecuaciones con módulo........................................ 9Potenciación de base real y exponente entero ...... 10
Propiedades de la potenciación.................................. 10
1.2 RADICACIÓN .................................................. 10Propiepades de la radicación................................. 11
Extracción de factores del radical .............................. 12Adición y sustracción de radicales........................ 14Multiplicación y división de radicales .................. 15
Racionalización del divisor ....................................... 17Potencias de exponente racional ........................... 18Representación de radicales en la recta ................ 19
Para ejercitar ......................................................... 21
1.3 LOGARITMACIÓN........................................... 23Propiedades de la logaritmación ........................... 24Logaritmos decimales y logaritmos naturales....... 25Cambio de base ..................................................... 25
Uso de la calculadora para obtener el logaritmo de un número.......................................................... 25Logaritmos en una base cualquiera............................. 25
Para ejercitar ......................................................... 27Para recordar ......................................................... 28
2.NÚMEROS COMPLEJOS
Introducción............................................................29
2.1 CONCEPTO DE NÚMERO COMPLEJO ........ 29Definición de número complejo............................ 30Adición de números complejos .................................. 30Multiplicación de números complejos ........................ 30Propiedades de la adición ......................................... 31Propiedades de la multiplicación................................ 32Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición........................................... 33
Identificación del conjunto de los números reales con un subconjunto de C .......................... 33
2.2 FORMA BINÓMICA DE UN NÚMERO COMPLEJO ..................................................... 34
División en C.......................................................... 36Potenciación ........................................................... 37
2.3 REPRESENTACIÓN GRÁFICADE LOS NÚMEROS COMPLEJOS................. 38
Representación vectorial........................................... 39Módulo de un número complejo ................................ 41Argumento de un número complejo............................ 41
Forma polar de un número complejo.................... 42Forma trigonométrica de un número complejo..... 43
Para ejercitar ......................................................... 44Para recordar ......................................................... 47
3.ESTUDIO DE FUNCIONES. ECUACIONES DE LA RECTA
Introducción .......................................................... 49
3.1 REVISIÓN DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN... 50Clasificación de funciones .................................... 51
Función inyectiva .................................................... 51Función suryectiva................................................... 52
ÍNDICE
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Función biyectiva .................................................... 52Relación inversa ...................................................... 53Función polinómica.................................................. 54
Estudio de una función a partir de su gráfica........ 57Ceros de una función................................................ 57Conjuntos de positividad y negatividad de una función......................................................... 57Intervalos de crecimiento y decrecimientode una función......................................................... 57Máximos y mínimos relativos .................................... 58Funciones pares e impares......................................... 59
3.2 FUNCIONES: LINEAL, DEFINIDAPOR PARTES .................................................. 60
Casos particulares .................................................... 60Funciones definidas por partes .............................. 62
Función módulo....................................................... 62
3.3 ECUACIONES DE LA RECTA ......................... 64Ecuación explícita de la recta ................................ 64
Ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas ........................................................ 64Ecuación de la recta que no pasa por el origen de coordenadas ........................................................ 65Ecuación del haz de rectas......................................... 67Ecuación de la recta que pasa por dos puntos ............... 69Rectas paralelas ....................................................... 70Rectas perpendiculares.............................................. 71Distancia entre dos puntos......................................... 73Distancia de un punto a una recta ............................... 74
Formas segmentaria e implícita de la ecuación de la recta............................................................. 75Forma implícita ....................................................... 76
Sistemas de ecuaciones lineales ............................ 78
Para ejercitar .......................................................... 79Para recordar ......................................................... 88
4.PROGRAMACIÓN LINEAL
Introducción ........................................................... 91
4.1 INECUACIONES LINEALES............................ 91
4.2 SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES .................................... 93
4.3 NOCIONES DE PROGRAMACIÓN LINEAL ... 95Resolución de problemas....................................... 99
Para ejercitar ........................................................ 101Para recordar ....................................................... 105
5.FUNCIÓN CUADRÁTICA
Introducción ......................................................... 107
5.1 FUNCIÓN CUADRÁTICA .............................. 107Influencia de a, x0, y0 en la función f: R→R
dada por y = a (x - x0)2 + y0 .............................. 108Variación de a en la función f: R→R dada por y = a x2 ........................................................... 108Variación de y0 en la función f: R→R dada por y = x2 + y0 ....................................................... 110Variación de x0 en la función f: R→R dada por y = (x - x0)2...................................................... 111Variación simultánea de a, x0, y0 en la función f: R→R dada por y = (x - x0)2 + y0 ........................... 113
Pasaje de la forma y = a (x - x0)2 + y0
a la forma polinómica ........................................ 113Pasaje de la forma polinómica a la forma
y = a (x - x0)2 + y0.............................................. 114Procedimiento general ............................................ 115
5.2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ........ 117Fórmula general de las raíces de una ecuación
de segundo grado............................................... 120Discriminante de la ecuación de segundo grado.......... 121Reconstrucción de la ecuación de segundo grado dadas las raíces ...................................................... 123Factorización del trinomio de segundo grado a partir de sus raíces ............................................... 125Parábola que pasa por tres puntos dados.................... 125
Ecuaciones bicuadradas ....................................... 126
5.3 INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO .... 128Inecuaciones con una incógnita........................... 128Inecuaciones de segundo grado con
dos incógnitas .................................................... 132Sistemas de inecuaciones ........................................ 134
Para ejercitar ........................................................ 135Para recordar ....................................................... 142
6.POLINOMIOS
Introducción ......................................................... 143
6.1 POLINOMIOS. REVISIÓN ............................. 143Operaciones con polinomios................................ 145
Suma.................................................................... 145Resta .................................................................... 145
Grado de la suma y de la resta de dos polinomios ......................................................... 146Producto ............................................................... 146
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División de polinomios........................................ 147Especialización de un polinomio......................... 148Raíces de un polinomio ....................................... 148Teorema del resto................................................. 149Regla de Ruffini....................................................150
6.2 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS ............ 152Cálculo de las raíces de polinomios especiales ... 152Polinomios de grado uno ..................................... 152Polinomios de grado dos...................................... 152Polinomios de la forma an xn + a0 an ≠ 0......... 153Polinomios de grado n con coeficientes
enteros................................................................ 153Teorema de Gauss .................................................. 153
Técnicas que permiten expresar polinomios especiales como productos de otros polinomios .. 155Factor común ........................................................ 155Diferencia de cuadrados.......................................... 155Trinomio cuadrado perfecto..................................... 156
Raíces de un polinomio expresado como producto ................................................... 157
Factorización de polinomios en R[x] .................. 158
6.3 FUNCIONES POLINÓMICAS ........................ 161Concepto de continuidad ..................................... 161Propiedades de las funciones continuas .............. 161
Teorema del valor medio......................................... 161Gráfica aproximada de una función continua ............. 162
Para ejercitar ........................................................ 165
6.4 FUNCIONES RACIONALES, ECUACIONES E INECUACIONES ............... 167
Expresiones algebraicas racionales...................... 167Fracciones equivalentes ....................................... 168Operaciones con expresiones algebraicas
racionales ........................................................... 169Adición - Sustracción .......................................... 169Multiplicación ...................................................... 170División................................................................ 170Operaciones combinadas ..................................... 171Funciones racionales............................................ 172
Función potencial................................................... 173Estudio de la función y = xp .................................... 174Estudio de la función y = (x - x0)3 + y0...................... 176
Ecuaciones racionales .......................................... 178Inecuaciones racionales ....................................... 179
Para ejercitar ........................................................ 181Para recordar ....................................................... 182
7.MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Introducción ......................................................... 183
7.1 ÁNGULOS ORIENTADOS ............................. 183Ángulos centrados ............................................... 184
7.2 SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS ... 185Sistema sexagesimal ............................................ 185Sistema centesimal............................................... 186Sistema radial....................................................... 186Sistema horario .................................................... 190Uso de la calculadora........................................... 191
Para ejercitar ........................................................ 192Para recordar ....................................................... 195
8.TRIGONOMETRÍA
Introducción ......................................................... 197
8.1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.............. 197
Para ejercitar ........................................................ 200
8.2 RELACIONES ENTRE LOS VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ...... 205
Ángulos complementarios ................................... 205Ángulos que difieren en 90° ................................ 206Águlos suplementarios......................................... 207Ángulos opuestos................................................. 209Reducción de ángulos al primer cuadrante.......... 210Ángulos cuyo seno es cero .................................. 213
Para ejercitar ........................................................ 214
8.3 TEOREMA DEL SENO. TEOREMA DEL COSENO ............................. 221
Teorema del seno ................................................. 221Teorema del coseno ............................................. 223Fórmula del área de un triángulo en función
de sus lados........................................................ 224
Para ejercitar ........................................................ 224Para recordar ....................................................... 227
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9.SUCESIONES
Introducción ......................................................... 229
9.1 SUCESIONES Y SERIES .............................. 229Límite de una sucesión ........................................... 231Definición de límite................................................ 233Sucesiones monótonas ............................................ 233Pares de sucesiones monótonas contiguas .................. 233
Series numéricas .................................................. 235
9.2 SUCESIONES ARITMÉTICAS....................... 237Serie aritmética .................................................... 239
9.3 SUCESIONES GEOMÉTRICAS .................... 240Serie geométrica .................................................. 243
9.4 APLICACIONES............................................. 244Capitalización........................................................ 244Anualidades........................................................... 246
Para ejercitar ........................................................ 246Para recordar ....................................................... 251
10.ESTADÍSTICA
Introducción ......................................................... 253
10.1 ESTADÍSTICA. GENERALIDADES ............. 253Población y muestra ............................................... 254Estadística descriptiva y estadística inductiva............. 255
10.2 SERIE SIMPLE ............................................ 255Variables aleatorias discretas y continuas................... 255Frecuencias ........................................................... 256
Estadísticos de centralización o posición ............ 258Estadísticos de dispersión .................................... 262
10.3 INTERVALOS DE CLASE ............................ 265
10.4 CORRELACIÓN ........................................... 272Coeficiente de correlación lineal r....................... 272
Recta de regresión de y sobre x................................ 273
Para ejercitar ........................................................ 275Para recordar ....................................................... 278
PARA PRACTICAR
Números reales .................................................... 279Números complejos ............................................. 280Estudio de funciones. Ecuaciones de la recta...... 281Programación lineal ............................................. 283Función cuadrática............................................... 284Polinomios ........................................................... 286Medición de ángulos............................................ 287Trigonometría....................................................... 288Sucesiones............................................................ 292Estadística ............................................................ 293
PARA EVALUAR
Integración I......................................................... 295Integración II........................................................ 297Integración III ...................................................... 299
RESPUESTAS
Números reales .................................................... 301Números complejos ............................................. 304Estudio de funciones. Ecuaciones de la recta...... 306Programación lineal ............................................. 312Función cuadrática............................................... 314Polinomios ........................................................... 319Medición de ángulos............................................ 326Trigonometría....................................................... 327Sucesiones............................................................ 337Estadística ............................................................ 339
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1. Números reales
Introducción
1.1. Concepto de número realPara aplicar (A, B, C, D)
1.2. RadicaciónPara aplicar (E, F, G, H, I, J)Para ejercitar (Ejercicios N°- 1 al 18)
1.3. LogaritmaciónPara aplicar (K, L)Para ejercitar (Ejercicios N°- 19 al 24)
Para recordar
IntroducciónUn triángulo pitagórico es un triángulo rectángulo de lados enteros. El más simple de estos triángulos es el
de lados 3, 4 y 5. Multiplicando cada uno de estos números por un mismo número natural se obtienen las medi-das de los lados de otro triángulo pitagórico. Así, por ejemplo, multiplicando por 2, se obtienen 6, 8 y 10.
Presentamos a continuación un problema sobre triángulos pitagóricos.
¿Cuál es la menor cantidad de fósforos que pueden utilizarse para formar con ellos sobre una mesa dos trián-gulos rectángulos no congruentes, sin cortar ningún fósforo?
1.1 CONCEPTO DE NÚMERO REALLa extensión del conjunto de los números enteros, mediante la introducción de los números racionales, satis-
face por una parte la necesidad, surgida en la práctica, de contar con números para expresar los resultados de me-diciones y por otra parte satisface la necesidad, de carácter puramente aritmético, de hacer posible la división sinrestricciones, con la única condición de que el divisor sea distinto de cero.
En Q son siempre posibles las operaciones racionales, es decir, la adición, sustracción, multiplicación y divisiónde divisor no nulo. Q con las operaciones de adición y multiplicación tiene estructura de cuerpo conmutativo.
La ecuaciónax + b = 0 (a ≠ 0)
que en Z solo tiene solución si b es múltiplo de a, admite en Q solución única cualesquiera sean los números ra-cionales a y b, a ≠ 0.
En Q se define un orden (≤ ) que es compatible con la estructura de cuerpo, luego
(Q, +, ., ≤ ) es un cuerpo conmutativo totalmente ordenado.
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Otra característica que diferencia esencialmente al conjunto de los números racionales del conjunto de los nú-meros enteros es la densidad.
Q es denso
pues dados dos números racionales a y b siempre existe otro racional c, tal que a < c < b.Como a cada número racional corresponde un punto en la recta (punto racional), podemos afirmar, teniendo
en cuenta la densidad de Q, que entre dos puntos racionales distintos existen infinitos puntos racionales.La existencia de infinitos puntos racionales entre dos puntos racionales cualesquiera puede hacernos pensar
que en la recta “no hay lugar” para otros puntos que no sean racionales. Sin embargo, esto no es cierto, pues exis-ten en la recta infinitos puntos a los que no les corresponde ningún número racional.
No existe ningún número racional igual a 2 Supongamos razonando por el absurdo que 2 es un número racional. Luego, como todo número racional
puede expresarse mediante una fracción irreducible, podemos escribir:
(1)
donde a y b son números enteros primos entre sí.Elevando en (1) ambos miembros al cuadrado resulta:
es decir: 2 b2 = a2 (2)
Luego a2 es un número par
pero entonces a es un número par
y, por lo tanto, a puede expresarse como a = 2m (m ∈ Z)
Reemplazando esta última expresión en (2) resulta: 2 b2 = 4m2
o bien: b2 = 2m2
Luego b es un número par
pero si a y b son números pares, la fracción a—b
no es irreducible, lo cual contradice la suposición hecha. Porlo tanto
no es un número racional
Existen, entonces, otros números que no son racionales, es decir, inexpresables como cocientes de dos ente-ros. A estos números los llamamos irracionales.
es un número irracional. También son irraccionales , , , y en general todas las raíces ené-simas de números naturales que no sean números naturales, el número π, el número e, etc.
Simbolizamos con la letra I al conjunto de los números irracionales.El conjunto de los números racionales ampliado con el conjunto de los números irracionales determina el con-
junto de los números reales. Simbolizamos con la letra R al conjunto de los números reales.
12523752
2
2 =a2
b2
2 =ab
2 Números reales
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Expresiones decimales infinitasTodo número racional puede representarse mediante una expresión decimal periódica, como por ejemplo:
1—4
= 0,25 = 0,25000… ó 1—4
= 0,24999…
2—3
= 0,6666…
1—18
= 0,05555…
Recíprocamente, toda expresión decimal periódica es un número racional.Las expresiones decimales infinitas no periódicas son números irracionales.Podemos entonces adoptar como definición provisoria la siguiente:R es el conjunto de expresiones decimales infinitas, siendo las decimales finitas un caso particular de las in-
finitas, pues puede considerarse a aquellas como expresiones periódicas de período cero o período 9.Resulta entonces de la definición:
Q ⊂ R R = Q ∪ I Q ∩ I = Ø
Observación: el concepto de número real será tratado con más precisión en la unidad 9.
Anticipamos a modo de ejemplo el procedimiento para obtener :
Sea x = , entonces x2 = 2
Por lo tanto, como: 1 < 2 < 4
resulta 1 < x < 2
Luego 1 es una primera aproximación por defecto de , mientras que 2 es una aproximación por exceso.Para una segunda aproximación agregamos a 1 una cifra decimal del orden de los décimos, de manera tal que
el cuadrado del número obtenido sea menor que 2, mientras que si se le suma un décimo, el cuadrado supere a2. De esta manera se obtienen los números 1,4 y 1,5.
(1,4)2 < 2 < (1,5)2
Luego 1,4 < x < 1,5
Una nueva aproximación se obtiene agregando una cifra decimal del orden de los centésimos a 1,4 y proce-diendo como en el caso anterior se obtienen 1,41 y 1,42.
(1,41)2 < 2 < (1,42)2
Luego 1,41 < x < 1,42
Aproximándonos por defecto obtendremos sucesivamente
1 1,4 1,41 1,414 1,4142…
y por exceso 2 1,5 1,42 1,415 1,4143…
quedando así formadas dos clases de números: la primera correspondiente a los números cuyo cuadrado esmenor que 2 y la segunda a los números cuyo cuadrado es mayor que 2, siendo el elemento de separaciónde ambas clases.
2
2
2
2
3Números reales
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De esta manera podemos encontrar la expresión decimal de con tantas cifras como se desee,
1,4142…
aunque nunca llegaremos al verdadero valor del número, que es el del número cuyo cuadrado es 2, y que sim-bolizamos .
En la práctica, cuando es necesario operar con la expresión decimal de un número irracional, el valor que setoma es el de una aproximación racional. Así, por ejemplo, lo hacemos cuando utilizamos
≅ 1,4142
π ≅ 3,1416
Adición y multiplicaciónEn R se definen las operaciones de adición y multiplicación de manera tal que se verifiquen las propiedades
fundamentales que se cumplen en Q.
Propiedades de la adiciónLey de cierreSi a ∈ R y b ∈ R entonces a + b ∈ R.
Ley uniformeSi a ∈ R, b ∈ R, c ∈ R y a = b entonces a + c = b + c.
Ley asociativaa + (b + c) = (a + b) + c cualesquiera sean los números reales a, b y c.
Ley conmutativaa + b = b + a cualesquiera sean los números reales a y b.
Existencia de elemento neutro de la sumaExiste un número real 0 tal que
a + 0 = 0 + a = a ∀ a ∈ R.
Existencia de inverso aditivoCualquiera sea el número real a, existe un número real b tal que
a + b = b + a = 0 (b = -a)
Propiedades de la multiplicaciónLey de cierreSi a ∈ R y b ∈ R entonces a . b ∈ R
Ley uniformeSi a ∈ R, b ∈ R , c ∈ R y a = b entonces a . c = b . c
Ley asociativa a . (b . c) = (a . b) . c ∀ a, b, c ∈ R
Ley conmutativa a . b = b . a ∀ a, b ∈ R
Existencia de elemento neutroExiste un número real 1 tal que
a . 1 = 1 . a = a ∀ a ∈ R
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4 Números reales
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Existencia de inverso multiplicativoCualquiera sea el número real a ≠ 0 existe un número real b tal que
a . b = b . a = 1 (b = a–1)
Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición
a . (b + c) = a . b + a . c ∀ a, b, c ∈ R
por lo tanto (R, +, · ) es un cuerpo conmutativo.
Orden en REn R está definida una relación de orden (≤ )
s ≤ r si ∃ t ≥ 0 / s + t = r (s, t, r, ∈ R)
El orden así definido es compatible con la suma
Si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c
y es compatible con la multiplicación
Si a ≤ b ∧ c ≥ 0 entonces a . c ≤ b . c
Correspondencia entre el conjunto de los números reales y los puntos de la rectaComo a cada número real corresponde un punto de la recta y a cada punto de la recta corresponde un núme-
ro real, queda establecida una biyección entre el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos de larecta.
De esta manera los números reales cubren totalmente la recta.
Para aplicar - A
a. Indicar V o F. Justificar.
a1) La longitud de la diagonal de un rectángulo de lados 3 y 4 es un número racional.
a2) = 1,41
a3) π < 3,1416
a4) Las raíces de índice par de números naturales impares son números irracionales.
a5) La ecuación x2 - 4 = 0 tiene raíces reales.
b. Determinar por aproximación las cuatro primeras cifras decimales de:
Intervalos en la recta realConsideremos los siguientes conjuntos de números reales, llamados intervalos.
• (1;4) es el conjunto de números reales mayores que 1 y menores que 4.
Representación gráfica de (1 ; 4)
(1;4) es un INTERVALO ABIERTO; los extremos 1 y 4 no pertenecen al intervalo x ε (1 ; 4) ⇔ x > 1 ∧ x < 4
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5Números reales
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La condición x > 1 ∧ x < 4 la escribimos
1< x < 4
• [1 ; 4] es el conjunto de números reales mayores o iguales que 1 y menores o iguales que 4.
Representación gráfica de [1 ; 4]
[1 ; 4] es un INTERVALO CERRADO; los extremos 1 y 4 pertenecen al intervalo
x ε [1 ; 4] ⇔ 1 ≤ x ≤ 4
• [1 ; 4) es el conjunto de números reales mayores o iguales que 1 y menores que 4.
Representación gráfica de [1 ; 4)
[1 ; 4) es un INTERVALO SEMIABIERTO, solo uno de los extremos pertenece al intervalo. 1 ε [1 ; 4) , 4 ε [1 ; 4). El corchete en 1 indica que 1 pertenece al intervalo y el paréntesis en 4 indica que 4 no pertenece al intervalo.
x ε [1 ; 4) ⇔ 1 ≤ x < 4
• [1 ; +∞) es el conjunto de números reales mayores o iguales que 1.
Representación gráfica de [1 ; +∞)
[1 ; +∞) es una semirrecta de la recta real con origen en 1, dirigida hacia los valores positivos. Los intervalos que representan semirrectas de la recta real se llaman INTERVALOS INFINITOS.
x ε [1 ; +∞) ⇔ x ≥ 1
• (-∞ ; 1) es el conjunto de números reales menores que 1.
Representación grafica de (-∞ ; 1)
(-∞ ; 1) es una semirrecta de la recta real de origen 1, dirigida hacia los valores negativos.
x ε (-∞ ; 1) ⇔ x < 1 (-∞ ; 1) INTERVALO INFINITO
• (-∞ ; +∞) es la recta real.
6 Números reales
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10 4
10
10
0 R
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Módulo de un número realSe llama módulo o valor absoluto de un número real x a la distancia de x a cero y se indica |x|.
Ejemplo |3| = 3 |-3| = 3la distancia de 3 a 0 es 3 la distancia de -3 a 0 es 3
La distancia a cero de un número y de su opuesto es la misma.
Para aplicar - B
a. Completar.
a1) (-1 ; 1) Representación gráfica ................. a2) [-3 ; 0] Representación gráfica ................ x ε (-1 ; 1) ⇔ ....... x ε [-3 ; 0] ⇔ .......
a3) [-5 ; 6) Representación gráfica ................. a4) (2 ; 4] Representación gráfica ................x ε [-5 ; 6) ⇔ ....... x ε (2 ; 4] ⇔ .......
a5) (-3 ; +∞) Representación gráfica ................. a6) [0 ; +∞) Representación gráfica ................x ε (-3 ; +∞) ⇔ ....... x ε [0 ; +∞) ⇔ .......
a7) (-∞ ; 4) Representación gráfica ................. a8) (-∞ ; -8) Representación gráfica ................x ε (-∞ ; 4) ⇔ ....... x ε (-∞ ; -8) ⇔ .......
b. Completar.
b1) Si x = 0 ⇒ |x| = ........... Si x ≠ 0 ⇒ |x| > ..............
b2) Si x ≥ 0 ⇒ |x| = ........... Si x < 0 ⇒ |x| = ..............
c. Comprobar las propiedad encuadradas, efectuando, en cada caso, los cálculos indicados.
P1 El módulo del producto de dos números reales es igual al producto de los módulos, es decir:
entonces
P2 El módulo del cociente de dos números reales es igual al cociente de los módulos, es decir:
entonces
P3 El módulo de la suma de dos números reales es menor o igual que la suma de los módulos, es decir:
entonces
entonces −10 + 5 < .......−10 + 5 = .......−10 + 5 = .......
10 + 5 = .......10 + 5 = .......10 + 5 = .......
a + b ≤ a + b
10 : (−2,5) = .......10 : − 2,5 = ......10 : (−2,5) = .......
a : b = a : b b ≠ 0
− 2 . 8 = .......− 2 . 8 = .......− 2 . 8 = −16 = .......
a . b = a . b
7Números reales
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Ecuaciones con móduloUtilizando la definición de módulo de un número real y las propiedades P1 y P2, pueden resolverse ecua-
ciones en las que aparezcan módulos.
EjemploResolver las siguientes ecuaciones.
a) |x| = 4 Resolver esta ecuación es encontrar aquellos números x cuyo módulo es 4. Por definición sabemos que existen dos números reales cuyo módulo es 4: x1 = 4 x2 = -4Entonces el conjunto solución es S = {4 , -4}
b) |x-1| = 6 Por definición sabemos que:si |x - 1| = 6 entonces x - 1 = 6 o x - 1 = -6
Resolviendo las dos ecuaciones x - 1 = 6 ⇒ x = 7x - 1 = -6 ⇒ x = -5
obtenemos 2 soluciones x1 = 7, x2 = -5
Luego, S = {7 , -5}
c) 2 . |x - 1| = 6 Despejando |x - 1| resulta |x - 1| = 3
Por definición |x - 1| = 3 ⇒ x-1 = 3 o x - 1 = -3
entonces x - 1 = 3 ⇒ x = 4 ⇒ x1 = 4x - 1 = -3 ⇒ x = -2 ⇒ x2 = -2
Luego S = {4 ; -2}
d) |6x| - 2 = |-4x| + 8Como |6x| = 6 . |x| y |-4x| = |-4| . |x| = 4|x| (P1)
reemplazando en la ecuación, resulta6 . |x| - 2 = 4 . |x| + 86 . |x| - 4|x| = 8 + 2 2|x| = 10 |x| = 5, x1 = 5, x2 = -5 son las soluciones de la ecuación.
Luego S = {5 ; -5}
e) x2 - 12 = 4 x2 = 16 ⇒ = ⇒ = 4
= |x| porque la raíz cuadrada de un número positivo (x2) es un número positivo, pero x puede ser positivo o negativo.
Entonces = 4 ⇒ |x| = 4 y S = {4 , -4}
Para aplicar - C
a. Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
a1) |x| = 3,25 a2) |5x| = 45 a3) |x - 9| = 15 a4) |3x - 1| = 0
a5) -2 . |x - 3| + 1 = 5 - 6 . |x - 3| a6) |2x - 6| + 10 = 12 a7) 3|x - 3| - 1 = |2x - 6|
x2
x2
x216x2
8 Números reales
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b. Hallar los números que verifican las siguientes condiciones:
b1) La diferencia entre el doble del cuadrado de un número y 6 es 14.
b2) El cuadrado de la suma de dos números consecutivos es 49.
b3) La tercera parte del cuadrado de la suma de un número y 1 es 12.
Inecuaciones con móduloResolvemos la siguientes inecuaciones.
a) |x| < 5Resolver esta inecuación es encontrar aquellos números reales cuya distancia a cero es menor que 5.
Gráficamente, se ve que estos números pertenecen al intervalo (-5 , 5), es decir, S = (-5 , 5), entonces
|x| < 5 ⇔ x ε (-5 , 5) ⇔ -5 < x < 5
En general, si a es un número positivo
|x| < a ⇔ -a < x < a
b) |x| > 5
Gráficamente, se ve que los números cuya distancia a cero son mayores que 5 pertenecen a una de las dos semirrectas:
(-∞ , -5) ó (5 , +∞)
es decir S = (-∞ , -5) ∪ (5 , +∞)
Entonces |x| > 5 ⇔ x ε (-∞ , -5) ∪ (5 , +∞) ⇔ x < -5 v x > 5
En general, si a es un número positivo
|x| > a ⇔ x > a v x < -a
c) |x - 3| ≤ 5
Como |x| < a ⇔ -a ≤ x ≤ a|x - 3| ≤ 5 ⇔ -5 ≤ x - 3 ≤ 5
Sumando 3 en cada miembro de la cadena de desigualdades
resulta -5 + 3 ≤ x - 3 + 3 ≤ 5 + 3
Entonces -2 ≤ x ≤ 8 y S = [-2 , 8]
9Números reales
5 5
50-5
5 5
50-5
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d) |1 - x| > 4Como |x| > a ⇔ x > a v x < -a
|1 - x| > 4 ⇔ 1 - x > 4 1 - x < -4
-3 > x 5 < xx < -3 x > 5
entonces S = (-∞ , -3) ∪ (5 , +∞)
Para aplicar - D
a. Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
a1) |x| < 2 a2) |x| ≥ 3 a3) 2 |x - 5| < 6
a4) |x - 1| ≥ 4 a5) 4 |2x - 1| +1 < 2 + |6x - 3| a6)4—3
|2 - x| ≥ 1 + |2 - x|
b. Hallar el conjunto de la recta real al cual pertenecen los números que verifican las condiciones indicadas en cada caso.
b1) La distancia a 3 es inferior a 5 y mayor que 1.
b2) La distancia a 3 es inferior a 4 y la distacia a 6 es inferior a 2.
b3) La distancia a cero es menor que 5 y la distancia a 2 es mayor que 2.
Potenciación de base real y exponente entero
Sea a ∈ R y n ∈ Z (n > 0). Definimosa0 = 1 (Si a ≠ 0)an = a . a . … a
n factores
(Si a ≠ 0)
Propiedades de la potenciación1. (a . b)n = an . bn
2. am . an = am+n
3. am : an = am-n
4. (am)n = am.n
1.2 RADICACIÓN
Para cada número real positivo a, y para cada entero positivo n, existe un único número real positivo btal que bn = a.El número b se llama raíz enésima de a y se representa .b = an
a−n =1a
⎛⎝
⎞⎠
n
10 Números reales
50
-3
{ {
v
v
⎧ ⎨⎪ ⎪ ⎩⎪ ⎪
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Observemos que:
1) La raíz enésima es un número real positivo (b ∈ R, b > 0) y se ha definido solo para números reales posi-tivos (a ∈ R, a > 0). De esta manera, el valor es único para cada n ∈ Z, n > 0 y para cada a ∈ R (a > 0) pues:
Si a fuese un número real negativo, solamente existe un único b tal que bn = a, si el índice n es impar.
Así, por ejemplo = -2 pues (-2)3 = -8, siendo -2 el único valor en R de
Si a fuese un número real negativo y el índice n es par, no existe ningún número real b tal que bn = a.
Así, no tiene sentido en R pues no existe ningún número real cuyo cuadrado sea -16, pues
42 = 16 y (-4)2 = 16
2) La ecuación xn - a = 0 (a ∈ R) tiene solución en R y esta solución es si n es impar.
Aclaración: en la expresión , es el signo radical, n es el índice, a el radicando y b la raíz enésima de a.
Propiedades de la radicaciónDados a, b ∈ R, a, b > 0 y n ∈ Z (n > 0)
1. La raíz enésima de un producto es el producto de las raíces enésimas de los factores, siempre que los fac-tores sean positivos, es decir:
Ejemplo 1
Ejemplo 2
En este caso no se distribuye la raíz, pues la raíz cuadrada no está definida si el radicando es negativo.
2. La raíz enésima de un cociente es el cociente de las raíces enésimas del dividendo y del divisor, siempreque estos sean positivos, es decir:
Ejemplo
3. La potencia emésima de una raíz enésima es la raíz enésima de la potencia emésima del radicando, es decir:
(m ∈ Z, m > 0)
Ejemplo
4. La raíz emésima de la raíz enésima de a es la raíz de índice igual al producto de los índices y radicandoigual al número a, es decir:
(m ∈ Z, m > 0)
Ejemplo 6432 = 646
anm = am.n
83( )4= 843
an( )m= amn
81:164 = 814 : 164
a : bn = an : bn
(−4) (−4) = 16
4 . 5 = 4 . 5
a . bn = an . bn
an = b
x = an
−16
−83−83
an
11Números reales
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5. Una raíz enésima no varía si se multiplican o dividen por un mismo número el índice y el exponente delradicando, es decir:
(m,r ∈ Z; m > 0)
Ejemplo
• (Si m divide a n y a r; m, r ∈ Z; m > 0)
Ejemplos:
Para aplicar - E
a. Indicar V o F. Justificar
a1) a2)
a3) a4)
a5) a6)
b. Aplicando las propiedades correspondientes hallar:
b1) b2)
b3) b4)
b5)
Aclaración: llamamos radical a toda expresión numérica o literal afectada por el signo radical.
Ejemplo
donde es el signo radical, 3 el índice y 2ab2 y es el radicando.Los factores que componen el radicando los consideraremos siempre positivos. Las letras representaránen todos los casos números reales positivos.
Extracción de factores del radicalTeniendo en cuenta las propiedades de la radicación, extraeremos factores fuera del radical, cuando los fac-
tores que figuren en el radicando sean potencias de exponente mayor o igual que el índice de la raíz.
EjemploExtraer factores de los siguientes radicales:
a) a5
2 a b2y3
30 : 5 . 2( ) =
264 =125 : 5 =
2 . 10 . 5 =43 =
236 = 29273 = 27( )3100 − 36 = 100 − 3625 : 83 = 253 : 83
9 +16 = 9 + 168 . 3 = 8 . 3
53a69 = 53:3a6:39:3 = 5a2
71510 = 715:510:5 = 73
arn = ar:mn:m
32 a35 = (32 a3 )1.25.2 = (32 )2 (a3 )210 = 34a610
523 = 52.23.2 = 546
arn = ar.mn.m
12 Números reales
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Expresando el radicando como un producto de potencias de igual base, de manera tal que el exponente de unade ellas sea múltiplo del índice, resulta:
Distribuyendo la raíz en el segundo miembro:
Simplificando, es decir, dividiendo el exponente y el índice por 2, resulta:
Luego:
b)
Factoreando el radicando resulta:
Procediendo como en el caso anterior:
Distribuyendo y simplificando:
Luego:
c)
Luego
Observación: comprobamos que hemos operado correctamente si introduciendo nuevamente los factoresextraídos y haciendo las operaciones correspondientes bajo el signo radical obtenemos el radical inicial.
Como
entonces
que es el radical inicial
Para aplicar - F
a. Extraer factores fuera del signo radical.
a1) a2) a3)
a4) a5) a6) x6 − x33 =x3 + 2a x2 + a2x =485
x9 y5 z44 =
44 x2 y =320 =x5 y33 =
= 12a3 b2
2a b . 3a = 22 a2 b2 . 3a = 4 . 3a3 b2
2a b = 22 a2 b2
12a3 b2 = 2a b 3a
12a3 b2 = 22 3a2 a b2 = 22 . 3 . a2 a . b2 = 2a b 3 . a
12a3 b2
813 = 3 33
813 = 333 . 33
813 = 33 . 33
813 = 343
813
a5 = a2 . a
a4 2 = a2
a5 = a4 . a
a5 = a4 . a
13Números reales
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b. Introducir en el radical todos los factores que figuran fuera de él.
b1) b2)
b3) b4)
b5) b6)
c. Indicar V o F. Justificar introduciendo factores.
c1) c2)
c3) c4)
c5) c6)
Adición y sustracción de radicalesPara sumar o restar dos términos que tienen como factor el mismo radical, extraemos dicho radical como fac-
tor común.
EjemploEfectuar las siguientes operaciones:
a)
Extrayendo factor común, resulta
b)
c)
Como 50 = 52 . 2 y 18 = 2 . 32
entonces y
Luego, reemplazando y por y respectivamente,
resulta:
d)
Como
y
entonces 4 5 a +12
75 a − 180 a = 4 5 a +52
3 a − 6 5 a
180 a = 22 . 32 . 5 . a = 6 5 a
75 a = 3 . 52 a = 5 3 a
4 5 a +12
75 a − 180 a
50 − 2 18 = 5 2 − 6 2 = − 2
3 25 21850
18 = 3 250 = 52 . 2 = 5 2
50 − 2 18
2 a3 − 0,5 a3 = a3 2 − 0,5( ) =1,5 a3
12
3 + 5 3 = 312+ 5⎛
⎝⎞⎠=
112
3
12
3 + 5 3
(x4 − b4 ) (x + b) = (x + b) (x2 + b2 ) (x − b)a4 − b43 = a − b( ) a − b3
649
x10 z2 a235 = 2 x2 a4 29
z2 a3516a2 b44 = 2 b a b
x4 y27
=13
x3y3
128a b33 = 4 b 2a3
(a >1)a −1( ) a2 −1 =32
x545
x2 =3
(b > 0)0,1 x b4 10 x2 y5 =33x2 y 9x3 y24 =
(a > 0)a x 2x =5 43 =
14 Números reales
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Asociando los radicales en forma conveniente:
Observamos que en este caso el resultado queda expresado como una diferencia.
Para aplicar - G
a. Efectuar las siguientes operaciones:
a1) a2)
a3) a4)
b. Obtener x.
b1) b2)
b3) b4)
Multiplicación y división de radicalesEn la multiplicación y división de radicales pueden presentarse dos casos.
• Los radicales tienen el mismo índiceEjemploEfectuar las siguientes operaciones:
a)
Como la radicación es distributiva con respecto a la multiplicación, podemos escribir:
es decir:
o bien, extrayendo x:
b)
Como la radicación es distributiva con respecto a la división, podemos escribir:
es decir:
y simplificando: x2 z34 : z4 = x z
x2 z34 : z4 = x2 z24
x2 z34 : z4 = x2 z3 : z4
x2 z34 : z4
2 x . x y = x 2 y
2 x . x y = 2 x2 y
2 x . x y = 2 x . x y
2 x . x y
x =13
25a2 b +1( ) − 5 a a b + a( )x = 2 a3 + a2 − a2 9a + 9
x = a2 − 9 + a + 3( )3 a − 3( )x = 4 + 4a − 1+ a
2 x3 + 8x −13
16 x =27 + 5 3 − 300 =
23 +45
23 =a −12
a + 3 a =
4 5 a +12
75 a − 180 a =52
3 a − 2 5 a
15Números reales
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• Los radicales tienen distinto índiceEjemploEfectuar las siguientes operaciones:
a)
Hallamos un múltiplo común de los tres índices:
20 = m . c . m (2, 5, 4)
Utilizando la propiedad 5 de la radicación, expresamos cada radical como un radical de índice igual almúltiplo común, o sea, reducimos los radicales a común índice.
Por lo tanto:
y multiplicando como en el ejemplo anterior:
o bien extrayendo factores:
Luego:
b)
Reduciendo a común índice:
Luego:
Para aplicar - H
a. Efectuar las siguientes operaciones:
a1) a2)
a3) a4)
a5) x3 y5 .12
x y53 − x3 y94( ) =
x3 y24 . x y . x23 =3 x y3 . 3 x5 y6 . 3 x2 y3 =
2 x2 y3 . 8 x4 y45 =3 . 2 . 6 =
6 b x : b3 x7 = 67 b7 x714 : b6 x214 = 67 b x514
b3 x7 = b3( )2 x214 = b6 x214
6 b x = 67 b7 x714
6 b x : b3 x7
3 2 a25 3 a34 = a 315 24 a320
= a 315 24 a320 =
= 315 24 a2320 =
= 310 24 a8 35 a1520 =
3 . 2 a25 . 3 a34 = 31020 . 24 a820 . 35 a1520 =
3 a34 = 3 a3( )520 = 35 a1520
2 a25 = 2 a2( )420 = 24 a820
3 = 31.102 .10 = 31020
3 . 2 a25 . 3 a34
16 Números reales
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b. Efectuar las siguientes operaciones:
b1) b2)
b3) b4)
b5)
Racionalización del divisorEn aquellos casos en que el divisor de un cociente es un número o una expresión irracional, resulta a veces
conveniente transformar este cociente en otro equivalente de manera tal que el divisor sea racional. Se demues-tra que esta racionalización del divisor es siempre posible.
EjemploRacionalizar el divisor de cada una de las siguientes expresiones:
a)
Multiplicando el numerador y el denominador por resulta:
donde el divisor es un número racional.Observemos que, precisamente, se ha elegido el factor para poder simplificar el índice.
b)
Procediendo como en el ejemplo anterior elegimos el factor
pues:
Luego:
c)
Como el exponente del radicando es mayor que el índice, extraemos el factor a y luego procedemos comoen el caso anterior:
d)
Luegoa
2a2 b43=
22 a b23
2 b2
a
2a2 b43=
a 22 a b23
b 2a2 b3 22 ab23=
a 22 a b23
b 23 a3 b33=
a 22 a b23
2a b2
a2a2 b43
1a65
=1
a a5=
a45
a a5 a45=
a45
a a55=
a45
a2
1a65
x2
x4=
x2 x34
x4 . x34=
x2 x34
x44=
x2 x34
x= x x34
x4 . x34 = x44
x34
x2
x4
2
32=
3 22 . 2
=3 2
22=
3 22
2
32
(x > y)x − y : x − y3 =
13
x2 a2 b3 :12
x a =x5 y4 z26 : 2 x2 y z3 =
x2 y4 : x =8 a9 b215 : 2 a b45 =
17Números reales
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e)
Racionalizando el denominador:
f)
Teniendo en cuenta que (a - b) (a + b) = a2 - b2 resulta ser el factor conveniente para racionalizar:
Luego:
Para aplicar - I
a. Racionalizar el divisor de las siguientes expresiones:
a1) a2) a3) a4)
a5) a6) a7) a8)
a9) a10) a11) a12)
b. Indicar V o F. Justificar.
b1) b2)
Potencias de exponente racionalLa definición de potenciación de exponente entero se generaliza al caso en que el exponente es un número ra-
cional m—n , siendo m y n números enteros, de manera tal que si n es igual a 1, es decir, m—n ∈ Z, coincida con la de-finición de potencia de exponente entero y verifique las mismas propiedades.
Dados a ∈ R, a > 0 y m—n ∈ Q (m, n ∈ Z y m, n > 0) definimos:
a− mn =
1amn
amn = amn
2 − 2
2 + 2= 2 −1
2 + 32 + 27
=13
7 + 37 − 3
=a −1
1− a= (a ≠ 1)
−32 − 3
=1
2 + 5=
a b5
a2 b3=
2 x2 y2
x5 y86=3a a−35 =2 . 3−1 =
x3 2x
=543=
118
=36=
12 − 3
= − 2 + 3( )
12 − 3
=1 2 + 3( )
2 − 3( ) 2 + 3( )=
2 + 3
2( )2− 3( )2 =
2 + 3−1
2 + 3
12 − 3
b−1 =b
bb−1 =
1b=
1b
b−1
18 Números reales
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Si a es un número real negativo, esta definición tiene sentido solo si n es impar.
EjemploCalcular las siguientes potencias:
a) luego
b) luego
c) luego
d) luego
Representación de radicales en la rectaHemos visto que a cada número real corresponde un punto en la recta. Mostraremos cómo determinar ese pun-
to si el número real es un radical de índice 2.
EjemploRepresentar en la recta:
a)
Según el teorema de Pitágoras, la diagonal d de un cuadrado de lado l (l ∈ R) está dada por
Si l = 1 es d = , es decir, representa la diagonal de un cuadrado de lado unidad.
Tomando con el compás la longitud de esta diagonal ( ) y transportándola a partir del origen hacia la derecha sobre la recta numérica determinamos la ubicación del punto irracional .
b)
Como
resulta que
es la diagonal de un rectángulo de lados y 1 (Pitágoras).
Procediendo como en a) determinamos el punto y a partir de ese punto trazamos un segmento perpendicular a la recta, de longitud igual a 1.
2
23
3 = 2( )2+12
3
22
22
d = 2 l2
2
x43 = x x3x
43 = x43x
43
16− 12 =
14
16− 12 =
116
16− 12
432 = 84
32 = 43 = 644
32
2713 = 327
13 = 2713 = 273 = 327
13
19Números reales
√2
1
1
1
1
0 2√2
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La longitud de OP—
es .
Transportando la longitud de OP—
a partir del origen hacia la derecha sobre la recta, determinamos la posicióndel punto irracional .
Observación: para representar cualquier radical de índice 2 en la recta numérica, debemos descomponerel radicando en suma de cuadrados como se hizo en los ejemplos anteriores.
Para aplicar - J
a. Completar aplicando las propiedades correspondientes.
a1) a2) a3)
a4) a5)
b. Expresar cada uno de los siguientes radicales como una potencia de exponente fraccionario.
b1) b2) b3) b4)
c. Calcular:
c1) c2) c3) c4)
d. Realizar las siguientes operaciones (sugerencia: escribir como potencias de exponente racional y resolver).
d1) d2) d3)
d4) d5)
e. Ubicar en la recta numérica:
e1) e2) 1+ 25
235 : 215
12
⎛⎝
⎞⎠
25=93 : 9
25( ) . 9− 1
5 =
x− 73( )
65
: x25 =1
3:
13
4⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−2
=2−14 :12
⎛⎝
⎞⎠
2⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
47
=
412 −125
13 + 2.30 =2
12 + 2
32 − 2
52 + 2
72 =3
23 + 9
13 − 2.50 =61 +
425
⎛⎝
⎞⎠
− 12=
x yz
3 =12=x y =x35 =
(amn )
pq =a
mn : a
pq =
amn . a
pq . a
rs =a : b( )
mn =a . b( )
mn =
3
3
20 Números reales
P
10 2√2
P
10 2√2 √3
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PARA EJERCITAR
1. Determinar por aproximación racional las tres primeras cifras de .
2. Indicar si las siguientes ecuaciones tienen solución en R y en caso afirmativo hallarlas:
a) x2 - 25 = 0 b) x2 + 8 = -1 c) x2 = -4
3. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) b) c)
4. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i)
5. ¿Cuáles son los números cuya distancia a 4 es 6?
6. La distancia entre dos números es 4—5
. Si uno de ellos es -3—5
, ¿cuál es el otro?
7. Hallar los números que satisfacen las siguientes condiciones:
a) El módulo de la diferencia entre el cuadrado de un número y 2 es 2.
b) El cuadrado de la diferencia entre el cuadrado de un número y 1 es 1.
8. Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
a) b)
c) d)
9. Determinar el intervalo al que pertenecen los números que verifican la condición enunciada:
a) La distancia a -6 es mayor que 1 y menor que 16.
b) La distancia a -4 es mayor que 1 y menor que 9, y la distancia a -1 es mayor que 0 y menor que 4.
3x −92
− 2x − 3 +12
x −34
≤ −1. −2( )3− 2x +35+ 3
13
x −1
10⎛⎝
⎞⎠> −10
35−
65
x +65
x −35
≥45
− 2x + 3x − −14
x < 4
x2 − 6 = 3
3x − 2 + 6x − 4 = 8+ x −23
− 2 −12
x + 3 1+14
x = 5
x−4
.83= 2 + −6− 2x . − 4 = − 2 + |−5|
2x − 4 + − x + 2 + 3x − 6 = 48− x = 4
2x −1 = 2x + 3 = 4
3x +1 − 3x2 + 3x = 09 x +1 −12= 42x − 2 − 4 = 0
31
21Números reales
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10. Extraer factores fuera del signo radical:
a) b) c)
d) e) f)
11. Efectuar las siguientes sumas algebraicas:
a) b) c)
d) e)
12. Simplificar las siguientes expresiones:
a) b) c)
13. Efectuar las siguientes operaciones:
a) b) c)
d) e) f)
Sug.: 1) Factorear los radicandos.2) Sacar común índice.
14. Efectuar las siguientes divisiones:
a) b) c)
d) e) f)
15. Racionalizar los denominadores de las siguientes expresiones:
a) b) c)
d) e) f) 1+ 84
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 8−14 =
y xy23
=2 x4 y3
32x3 y=
yy76
=2
3 2y=
18=
a + b : a + b5 =2 : 23 =12
x7 y z3 : − 2 x2 y5 =
a y3 : a y43 =x2 y23 :1x
x⎛⎝
⎞⎠=400x5 : 900x =
x3 − x . x2 − x3 . x −16 =12
23
x2 y z3 −49
x3⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =−
12
2 x y .32
14
x2 y35 =
x y3 . x24 . y5 =2
x y3 .
10x2 y2
3 .5
x2 y3 =605 . 1005 . 205 =
x2 − y2 x2
1− y2 = (y ≠ 1)x2 − 4x + 43 =23 2 =
x −x3
x+
x5
x2=a43 + 2 a a26 −
13
a39 =
481
4 − 2 + 5 0,02 =12
12 + 4 75 −13
108 =18 + 8 − 6 =
a − b( ) a4 − b4( ) =27x6 − x33 =0,01z2
y44 =
13,5 =x6 y9
543 =64 x4 y75 =
22 Números reales
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g) h) i)
16. Calcular la diagonal de un cuadrado de lado
17. Realizar las siguientes operaciones aplicando las propiedades de la potenciación.
a) b)
c) d)
18. Hallar x:
a) b)
c) d)
1.3 LOGARITMACIÓNLa operación inversa de la potenciación que consiste en calcular el exponente conociendo la potencia y la ba-
se se llama logaritmación.
Si a y b son dos números reales positivos, siendo b ≠ 1, existe un único número x tal que
bx = a
Este número x se llama logaritmo en base b del número a y se indica:logb a = x
Luego: logb a = x ⇔ bx = a
EjemploHallar los siguientes logaritmos:
a) log2 8 log2 8 = 3 porque 23 = 8
b) log3 log3 = -2 porque 3-2 = 19
19
19
3− x23 = −53 . x
23 =1
x32 =
32
52 x( )13 =1
212( )
32
. 25( )−2=1
5⎛⎝
⎞⎠
12
. 532 .
15
⎛⎝
⎞⎠
− 13
: 512
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
−2
3
=
0,3( )−2[ ]54 : 0,3( )−1[ ]
52 =2
49( )
12⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
−3
: 2−1( )2[ ]−13 =
2 −1.
2 − x2 − 2 + x
=x − 3 2
− x − 3 2=
22 + 5
=
23Números reales
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Propiedades de la logaritmación
1. El logaritmo de 1 en cualquier base es cero.
logb 1 = 0 porque b0 = 1
Ejemplo log9 1 = 0 porque 90 = 1
2. El logaritmo de la base es 1.
logbb = 1 porque b1 = b
Ejemplo log4 4 = 1 porque 41 = 4
3. El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, si estos son positivos.
logb (r . s) = logb r + logbs si r, s > 0
Ejemplo log2 (4 . 2) = log2 4 + log2 2 porque log2 (4 . 2) = log2 8 = 3y log2 4 + log22 = 2 + 1 = 3
4. El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor, si estos sonpositivos.
logb (r : s) = logb r - logb s si r, s > 0
Ejemplo log4 (16:4) = log4 16 - log4 4 porque log4 (16 : 4) = log4 4 = 1y log4 16 - log44 = 2 - 1 = 1
5. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base de dicha po-tencia, si esta es positiva.
logb an = n logb a si a > 0
Ejemplo log4 43 = 3 log4 4 porque log4 43 = 3y 3 log4 4 = 3 . 1 = 3
6. De las propiedades anteriores se deducen las dos propiedades siguientes
logb a = logbn an Si n ≠ 0
Ejemplo log2 4 = log23 43 porque log2 4 = 2y log23 43 = log8 64 = 2
blogb P = P
Ejemplo 2log2
16 = 16 porque log2 16 = 4 y 24 = 16
24 Números reales
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Para aplicar - K
a. Completar aplicando la definición de logaritmo:
a1) log2 16 = ............ porque 2… = ....... a2) log5 125 = .......... porque .......
a3) a4)
a5) a6) log251—5
=
a7) a8)
a9) a10)
b. Aplicando las propiedades del logaritmo, calcular:
b1) b2)
b3) b4)
b5) b6)
b7) b8)
Logaritmos decimales y logaritmos naturales
Se llaman logaritmos decimales o de Briggs a los logaritmos de base 10.
Notación: log10 a = log a
Así, para indicar el logaritmo decimal de 2, escribimos log 2.
Se llaman logaritmos naturales o neperianos a los logaritmos de base e, donde e es el número irracional cu-yas primeras cifras son 2,71828 (unidad 9), y se indica:
loge a = ln a
Así, para indicar el logaritmo natural de 2, escribimos ln 2.
Cambio de baseConociendo el logaritmo de un número en una base determinada podemos obtener el logaritmo de dicho nú-
mero en cualquier otra base, aplicando la siguiente fórmula:
EjemploCalcular log4 100, sabiendo que el log 4 ≅ 0,6
log4 100 ≅ 3,33
log4 100 =log 100log 4
≅2
0,6
logc a =logb alogb c
log5
15
. 25 =log 32
32
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−1
.49
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥=
log2
4 . 2( ) =log2 24 163 =
log5 253 =log2 43 =
log3 27 : 3( ) =log2 16 . 8( ) =
log6
36 =log5 53 =
log3 3 =log 43
916
=
log17
49 =
log13
27 =log12
4 =
25Números reales
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Uso de la calculadora para obtener el logaritmo de un número
• Logaritmos decimalesPara obtener el logaritmo decimal de un número de manera inmediata, debe marcarse primero el número yluego la tecla .
Así, por ejemplo, para obtener log 54 debe seguirse la siguiente secuencia:
y aparecerá entonces en pantalla el número 1,7323938.
• Logaritmos naturalesSe procede como en el caso del logaritmo decimal pero pulsando, esta vez, la tecla .
Así, para obtener ln 2,8, se sigue la secuencia:
y aparecerá en pantalla el número 1,0296194.
Logaritmos en una base cualquieraPara obtener el logaritmo de un número en una base cualquiera se utiliza la fórmula de cambio de base.Así, por ejemplo, para obtener log2 6, debe calcularse el cociente:
siguiendo la secuencia de teclas:
El número que aparecerá en pantalla es:
2.5849624
Luego log2 6 = 2.5849624
Para obtener log2 6 también puede utilizarse la tecla . En este caso debe calcularse el cociente:
siguiendo la misma secuencia anterior pero pulsando la tecla en lugar de la tecla .
Para aplicar - L
a. Completar:
a1) Si log 2 ≅ 0,30, log2 100 = a2) Si log 3 ≅ 0,47, log3 0.1 =
a3) Si log 5 ≅ 0,69, log5 10 = a4) Si ln 6 ≅ 1,79 y ln 8 ≅ 2,07, log8 6 =
a5) Si ln 3 ≅ 1,09 y ln 2 ≅ 0,69, log3 2 =
LOGLN
ln 6ln 2
= log2 6
LN
=LOG2÷LOG6
log 6log 2
= log2 6
LN8.2
LN
LOG45
LOG
26 Números reales
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b. Sabiendo que log 3 ≅ 0,47 y log 2 ≅ 0,30, calcular:
b1) log3 6 = b2) log3 24 =
b3) log3 324 = b4) log21—18
=
PARA EJERCITAR
19. Aplicando las propiedades del logaritmo, calcular:
a) log3 15 + log3 5-1 = b) log 0,2 + log 0,05 - log 1—10
=
c) d) ln e3 + ln e-2 =
e) f)
20. Resolver las siguientes ecuaciones (x > 0).
a) b)
c) d)
21. Calcular x aplicando logaritmos y sus propiedades (a, x > 0). (Sugerencia: elegir una base conveniente.)
a) b)
c) d)
22. Si el logaritmo de un número en base 5 es 3—2
, ¿cuál es el logaritmo de ese mismo número en base 0,04?
23. ¿Cuál es el número cuyo logaritmo en base k es 2 y en base k—2
es 3?
24. Resolver el problema planteado en la introducción.
x =a−4 . a2 . a5
a−1x = 4 + 8+ 4
22−1
x =100
0,0001.1000 . 0,1x = 4 .
116
. 0,254
log13
−x + 4( ) = −2logx
25 = 5
9x = 27x = 3log1
2
16
log3181
+log5
15
log15
5=ln e5 . e−3( ) =
log4 log14
0,25⎛⎝
⎞⎠=
27Números reales
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PARA RECORDAR
RADICACIÓN
•
•
•
• Representación de radicales de índice 2 en la recta
LOGARITMACIÓN
•
•
• logb an = n . logb a
logb a : c( ) = logb a − logb c
logb a . c( ) = logb a + logb c
logb a = x ⇔ bx = a
a , b , c ∈R+ y b ≠ 1( )
amn = an.m
a : bn = an : bn
a . bn = an . bn
a > 0 , b > 0 , n ∈Z+( )
28 Números reales
1
1
0 2√2
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