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1Eduardo Mancera Martínez

Matemáticas 1

Mat

emát

icas

1

Matemáticas

Matemáticas 1Eduardo Mancera Martínez

El libro Matemáticas 1 es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, con la dirección de Clemente Merodio López.

00 Preliminares Mate 1 isbn.indd 100 Preliminares Mate 1 isbn.indd 1 4/11/08 11:37:37 AM4/11/08 11:37:37 AM

La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 1 son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

D. R. © 2006 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V.Av. Universidad 767 03100, México, D. F.

ISBN: 978-97-29-1974-2Primera edición: julio de 26Primera reimpresión: febrero de 27Segunda reimpresión corregida: junio de 27Tercera reimpresión corregida: abril de 28

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg. Núm. 802Impreso en México

Edición:José Luis AcostaColaboración:Claudia Navarro CastilloJavier Esquivel HernándezCoordinación editorial:Armando Sánchez MartínezRevisión técnica:Rodrigo Cambray NúñezJosé Luis Córdova FrunzCorrección de estilo:José Luis AcostaDiseño de interiores:José Luis AcostaDiseño de portada:Francisco Ibarra MezaIlustración:Sergio BourguetAbelardo Culebro BahenaDiagramación:Sergio BourguetDigitalización de imágenes:Sergio Bourguet

Editor en Jefe de Secundaria:Roxana Martín-Lunas RodríguezGerencia de Investigación y Desarrollo:Armando Sánchez MartínezGerencia de Procesos Editoriales:Laura Milena Valencia EscobarGerencia de Diseño:Mauricio Gómez Morin FuentesCoordinación de Arte y Diseño:Francisco Ibarra MezaFotomecánica electrónica:Gabriel Miranda Barrón, Manuel Zea Atenco, Benito Sayago Luna

El libro Matemáticas 1 fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:


Originalmente ateneo signifi caba institución literaria o científi ca. La palabra viene del griego Athenaion, que era el templo de Atenea en Atenas, donde los poetas, oradores

y fi lósofos compartían sus obras. En la Roma antigua, el ateneo era el lugar destinado al estudio de las artes y las técnicas. Por extensión, en la actualidad ateneo signifi ca institución donde se cultiva el conocimiento y el aprecio de las artes.

Atenea era la diosa griega de la paz, la serenidad, la inteligencia y la sabiduría. Su imagen representaba, entre otras cosas, la prudencia. De ahí que la palabra ateneo hasta nuestros días se asocie con el progreso intelectual y espiritual del ser humano.

Si entendemos la educación como arte moral, razonamiento científi co y sabiduría práctica que extiende los límites de la libertad y permite a las personas enriquecerse y enriquecer a quienes las rodean, entonces, el objetivo de la serie Ateneo seguirá siendo transformar a las personas para que ellas transformen el mundo de manera favorable.

Desde los primeros ateneos se sabía que el ser humano nunca está completamente hecho, sino en continua marcha, perfeccionándose de un modo inacabable. El sujeto de la educación es una construcción por hacer, para alcanzar más altos niveles de existencia y satisfacer todas las necesidades de su espíritu.

Sin embargo, la persona se perfecciona en comunidad; se ve en sus semejantes y en ellos y con ellos descubre su destino. Al mismo tiempo, la comunidad social también se perfecciona en el respeto del individuo. La valoración de la persona es indispensable para equilibrar las partes con el todo.

El presente libro de la serie Ateneo tiene como objetivo ofrecerte oportunidades para la construcción del conocimiento matemático, de acuerdo con los planes y programas de estu-dio vigentes. Se apoya el libro en secuencias didácticas obtenidas de diversas fuentes como la historia de la disciplina y algunos resultados de la investigación y desarrollo educativo, ade-más de que se fomenta el trabajo colegiado con tus compañeros.

Para tu maestro este libro ofrece una herramienta de trabajo fl exible, con la información básica para cultivar el conocimiento matemático y el aprecio por esta asignatura. Por lo mis-mo, en el desarrollo de los contenidos se recuperan prácticas del Ateneo, consideradas tam-bién en los planes y programas de estudio de la asignatura de matemáticas para la educación secundaria, como son la refl exión, la formulación de argumentaciones y la exploración de di-ferentes vías para aproximarse al conocimiento y resolver problemas.

El enfoque planteado recupera las experiencias en la resolución de problemas, el trabajo colegiado e induce la refl exión sobre temas nodales de la asignatura. También se adelanta a prever la generación de errores a partir de preguntas frecuentes y actividades formuladas para ese propósito.

En la medida en que tú estudies y te prepares, serás más capaz de elegir quién quieres ser y de transformar favorablemente el mundo en que te tocó vivir. Por ello, en este texto de la serie para la educación secundaria, queremos revivir el espíritu del Ateneo y participar con estos materiales en una formación que te permita alcanzar las metas que te fi jes como ser humano y como ciudadano de un país que necesita personas como tú, en un mundo cuya complejidad exigirá que siempre estés muy preparado y atento.

La inauguración de una nueva escuela, como promueven las más recientes tendencias edu-cativas, es una excelente oportunidad para avanzar en lo antes expuesto, así que, bienvenido al ateneo.

Presentación

3


1 Una mirada a los números de la antigüedad 12

• De visita en el museo 14• Babilonios 15• Romanos 19• Mayas 21• Sistemas de numeración

decimal, babilonio, romano y maya 24

2 Regularidades numéricas 28• Sucesiones numéricas 30• Progresiones aritméticas 32• Confi guraciones geométricas

y sucesiones numéricas 37• Símbolos, fi guras y sucesiones

numéricas 50

3 Fracciones y decimales 56• Fracciones equivalentes 58• Recta numérica y fracciones 59• Recta numérica y decimales 63• Orden de las fracciones 65• Orden de los decimales 68• Densidad de los números

racionales 70

4 Movimientos de fi guras planas 72

• Simetría axial 74

5 P roporcionalidad 80• Variación proporcional directa 82• Conteo por tablas y diagramas

de árbol 89

6 P roblemas aditivos 96• Las fracciones y la música 98• Estimaciones con fracciones

y decimales 100• Problemas aditivos 104

7 P roblemas multiplicativos 110

• Estimaciones con fracciones y decimales 112

• Problemas multiplicativos 113• Una por otra: multiplicaciones

y divisiones 115

8 Rectas y ángulos 124• Convenciones 126• Mediatrices 128• Bisectrices 133

9 Áreas y perímetros 142• De un cuadrilátero a otro 144• Parientes cercanos:

triángulos y cuadriláteros 145

10 Relaciones de proporcionalidad 150

• Proporciones y fracciones 152• Más sobre constantes

de proporcionalidad 156

21

4

Contenido BloqueBloque


11 T ransformación de cocientes, raíz cuadrada y potencias 164

• Administrando la biblioteca 166• Multiplicas y divides por

lo mismo y no se altera 167• El tiempo y los decimales 171• Problemas y división

de decimales 172• Cuadrados y proporcionalidad 173• Cálculo de raíces cuadradas 174• Potencias y raíces 179

12 Ecuaciones del tipo ax + b = c 182

• Aplicaciones de las ecuaciones al entretenimiento 184

• Más sobre las aplicaciones de ecuaciones 186

• Ecuaciones de primer grado 189

13 F iguras geométricas: construcción, perímetros y áreas 194

• Construcción de triángulos 196• Construcción de cuadriláteros 198• Construcción de polígonos 198• Álgebra y fi guras geométricas 200

14 Gr áfi cas, diagramas y tablas 204

• Porcentajes 206• Interpretación de datos 212

15 ¿Qué podemos hacer con la probabilidad? 222

• El azar 224• Probabilidad frecuencial 226• Probabilidad clásica 227

16 Números con signo 232• Ganar y perder 234• Recta numérica

y los números con signo 235

17 Relación funcional 240• Variaciones de valores 242• Expresiones de la forma

y = kx 245• Expresiones de la forma

y = kx + b 248

18 Simplement e círculos 252• Trazo de círculos 254• Relación entre el perímetro

y el diámetro de un círculo 256• Área y perímetro del círculo 258

19 Relaciones de proporcionalidad y el álgebra 262

• Constantes de proporcionalidad 264

20 Media, moda y mediana 268• Aplicaciones de las gráfi cas

de rectas 270• Las gráfi cas también se leen 271• Tendencia central

y dispersión 274

21 Problemas aditivos con números con signo 282

• Un juego de equilibrios 284• La recta numérica

y los números con signo 288

22 Medir , estimar y calcular áreas 290

• Cálculo de áreas de fi guras compuestas por polígonos y círculos 292

23 Juego justo y probabilidad 298

• La probabilidad y juegos de azar 300

• Monedas justas 300

24 I ncógnitas y proporcionalidad directa 306

• Cambio de unidades 308

25 P roporcionalidad inversa 312

• Situaciones de proporción inversa 314

3 4 5

5

Bloque Bloque Bloque


En este índice se muestra la correlación entre los temas del nuevo programa de estudios, organizados en tres ejes principales, y las lecciones donde se desarro-llan dichos temas en la obra.

Subtema L ección Página

Ecuaciones 12 182

Patrones y fórmulas 2 28

Relación funcional 17 240

24 306

Potenciación y radicación 11 164

Problemas aditivos 6 96

21 282

Problemas multiplicativos 7 110

12 182

Números con signo 16 232

Números fraccionarios y decimales 3 56

Números naturales 1 12

Sentido numérico y pensamiento algebraicoEje

Tema: Signifi cado y uso de las literales

Tema: Signifi cado y uso de las operaciones

Tema: Signifi cado y uso de los números


8 124

Figuras planas 13 194

18 252

Rectas y ángulos 8 124

Forma, espacio y medidaEje

Tema: Formas geométricas

6

Índice temático


Tema: Medida

L ección Página

13 194

Estimar, medir y calcular 18 252

22 290

Justifi cación de fórmulas 9 142

18 252

Movimientos en el plano 4 72Tema: Transformaciones


Nociones de probabilidad 15 222

23 298

Porcentajes 14 204

5 80

Relaciones 10 150

de proporcionalidad 19 262

25 312

Diagramas y tablas 5 80

14 204

Gráfi cas 14 207

17 240

Medidas de tendencia central y de dispersión 20 268

Manejo de la informaciónEje

Tema: Análisis de la información

Tema: Representación

de la información

7


En cada entrada de bloque se incluyen los propósitos señalados en los programas de estudio, resaltando la importancia de éstos para el estudiante.

Entrada de bloque

En este bloque temático…

Resolverás problemas que impliquen efectuar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con fracciones.

Resolverás problemas que impliquen efectuar multiplicaciones con números decimales.

Justifi carás el signifi cado de fórmulas geométricas que utilizas al calcular perímetros y áreas de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares.

Resolverás problemas de proporcionalidad directa del tipo valor faltante, con factor de proporcionalidad entero o fraccionario, y problemas de reparto proporcional.

Bloque 2

Entrada de lección “Algo de lo que me enseñaron”

Mis retos Durante tus estudios de primaria aprendiste a resolver situaciones

problemáticas que implicaron relaciones de proporcionalidad

directa; ahora formularás expresiones algebraicas que correspondan

a la relación entre dos cantidades directamente proporcionales.

Qué sé En la primaria aprendiste a resolver problemas que implicaron

proporcionalidad directa e indirecta; además, lograste representar y

analizar la información en tablas.

Sabes elaborar tablas de variación proporcional y no proporcional

para resolver problemas; además, relacionas datos de una tabla de

proporcionalidad directa y elaboras gráfi cas de variación

proporcional y no proporcional.

Qué lograré aprender ¿Qué es una relación funcional?

¿Para qué sirven las funciones?

Relación funcional17

186

1 Calcula la longitud de cada una de las siguientes circunferencias.

• ¿Cómo calculaste el perímetro de cada círculo? • ¿Utilizaste el número p para calcular el perímetro de los círculos? • ¿Por qué?

2 Traza con ayuda de un compás y una regla un círculo que tenga un diámetro de 4.5 cm. ¿Cuántos centímetros tuviste que abrir tu compás?

3 Con la ayuda de un compás y una regla, reproduce la siguiente fi gura. Describe los pasos que seguiste.

197

A B C D

E

ALGO DE LO QUE ME ENSEÑARON

r = 2 cm

Las entradas de lección se componen de tres apartados:

• Mis Retos informa al estudiante los conocimientos que se espera que adquiera o amplíe al terminar la lección.

• Qué sé recuerda al estudiante los contenidos trabajados en la escuela primaria que están relacionados con el desarrollo de la lección que inicia.

• Qué lograré aprender plantea preguntas concisas al estudiante que lo ayudarán a determinar su dominio de los contenidos revisados en la lección.

“Algo de lo que me enseñaron” propone actividades sobre contenidos que es conveniente tener claros antes de abordar los temas de la lección. También sirve como evaluación diagnóstica.

Las actividades planteadas en las secciones “Algo de lo que me e nseñaron” y “Demuestro lo que sé y hago” (p. 9) deben dosifi carse de acuerdo con el criterio del maestro. No es indispensable resolver todos los incisos, sino sólo aquellos necesarios para asignar tiempos adecuados al tratamiento de los contenidos y de acuerdo con el avance del curso.

8

Estructura de la obra


Secciones particulares

Desarrollo de lección

Cada contenido planteado en el programa de estudios constituye un tema o subtema de la lección, los cuales se resaltan para su mejor identifi cación.

Relación entre el perímetro y el diámetro de un círculo

Observa los cuadrados de la fi gura 6. La medida del segmento que aparece indicado dentro de cada cuadrado de la fi gu-

ra 6 es la mitad de la longitud de cada una de las diagonales del cuadrado.

Observa que la división perímetro

longitud del segmento es casi igual en todos los casos; las

diferencias se explican por imprecisión de las mediciones o los cálculos.

Longitud del segmento Perímetro del cuadradoperímetrosegmento

1.99 11.23 5.643

4.15 23.49 5.66

6.29 35.6 5.66

Ahora traza tú 3 cuadrados diferentes. Divide en cada caso la longitud del períme-tro entre la del segmento de diagonal y anota el resultado. ¿Qué observas?

Haz algo semejante con hexágonos regulares y otros polígonos regulares. Cons tru ye, basándote en los polígonos de la fi gura 7 y los de la fi gura 8, dos tablas que muestren la relación entre los perímetros y los segmentos indicados en los polígonos.

Si en vez de la mitad de la diagonal se utiliza la longitud de la diagonal completa o la

de un segmento en el interior del cuadrado que una dos de sus vértices, ¿los cocien-

tes de la tercera columna de la tabla también serán aproximadamente iguales?

¿Esto indica que hay proporcionalidad entre el perímetro de un cuadrado y la longi-

tud de un segmento en el interior?

Para curiosos

Figura 6

Perímetro: 23.49 cm

4.15 cm

Perímetro: 35.6 cm

6.29 cm

Perímetro: 11.23 cm

1.99

cm

Figura 79.

75 c

m

2.85

cm

Perímetro:8.56 cm

6.85

cm

Perímetro: 18.75 cm Perímetro:

29.4 cm

BLOQUE 4

9

“Para curiosos” es una sección que invita a los estudiantes a trabajar en equipo para buscar respuestas a preguntas frecuentes sobre el tema tratado, lo cual los involucra en situaciones que los ayudan a desarrollar su pensamiento crítico.

Para curiosos

“En el ateneo” es un espacio dedicado al planteamiento de actividades que se re comienda que el alumno realice en grupo para posteriormente redactar en su cuaderno las respuestas y los procedimientos para llegar a ellas. Aquí también se invita a la refl exión y se hace hincapié en las partes operativas cuando se considera necesario. En esta sección hay algo más que solamente “ejercicios”.

EN

EL ATENEOEste apartado, específi co de la primera lección de cada bloque, explora algunas situaciones didácticas indicadas en los planes y programas de estudio.

Apertura de lección

Lasfraccionesy lamúsica

Figura Nombre Valor

Redonda 1

Blanca12

Negra14

Corchea18

Semicorchea1

16

Fusa1

32

Semifusa1

64

Líneas Espacios

5ª 4ª

4º

3ª 3º

2ª 2º

1ª 1º

Figura 1

Figura 2

¿Te gusta la música? Pues las fracciones pueden ayudarte a comprender algunas bases de la teoría musical.

Un músico te podría explicar cómo se representan soni-dos por medio de notación y diagramas, los cuales se ba-san en símbolos asociados a lo que se conoce como notas musicales, que se escriben en un conjunto de cinco líneas horizontales paralelas y cuatro espacios, llamado pen-tagrama (figura 1).

Cada nota se representa con una figura colocada en el penta-grama, la cual indica el tipo de sonido (por la posición en el pen-tagrama) y su duración o valor (por la figura que se dibuja en el pentagrama). Observa la figura 2.

Las figuras tienen diferentes nombres y valores:

BLOQUE 2

84

Al fi nal de cada lección se incluyen las siguientes dos secciones:

“Demuestro lo que sé y hago”

Es una evaluación sumaria en la que se integran los diversos contenidos estudiados en la lección. El maestro encontrará aquí actividades con las cuales puede plantear tareas o construir exámenes de acuerdo con sus necesidades.

“Conéctate”

Esta sección presenta opciones de consulta en Internet o en libros que permiten profundizar en algunos contenidos.

Considerando que los contenidos de Internet cambian o desaparecen sin previo aviso, las direcciones que se ofrecen sólo son un ejemplo de lo que se puede encontrar en este medio de información. Se recomienda utilizar un “motor de búsqueda” para hallar otras páginas sobre el tema de interés.

Por otra parte, aun cuando algunas referencias bibliográfi cas que se sugieren son publicadas por editoria-les extranjeras, son parte de las fuentes que se pueden obtener en idioma español y se han detectado en bibliote-cas de varias instituciones o en librerías.

Se pueden obtener artículos sobre la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en revistas especializadas, como las incluidas en el índice de revistas de excelencia sobre investiga-ción del CO N A C Y T . También se cuenta con revistas digitalizadas de distri bu-ción gratuita, como la revista Uno, y otras publicaciones periódicas en hemerotecas de servicio gratuito en línea, como Redalyc.

9


Bloque 1“Mucho antes de que se inventara la

escritura el hombre empezó a rayar las rocas

y las paredes de las cuevas y a tallar

muescas en varas para indicar ‘cuántos’.

Tales marcas fueron el inicio de los sistemas

de numeración.”

Margaret F. Willerding

10

01(Bl 1) Una mirada a los numeros-v3.indd 1001(Bl 1) Una mirada a los numeros-v3.indd 10 4/11/08 10:40:42 AM4/11/08 10:40:42 AM

En este bloque temático…

Conocerás las características del sistema de numeración decimal (base, valor de posición, número de símbolos) y establecerás analogías y diferencias de éste con respecto a otros sistemas posicionales y no posicionales.

Podrás comparar y ordenar números fraccionarios y decimales mediante expresiones equivalentes, la recta numérica, los productos cruzados u otros recursos.

Representarás sucesiones de números o de fi guras a partir de una regla dada y viceversa.

Construirás fi guras simétricas con respecto a un eje, identifi cando cuáles son las propiedades de la fi gura original que se conservan.

Resolverás problemas de conteo con apoyo en representaciones gráfi cas.

11


Una mirada a los números de la antigüedad1

Mis retos Ya conoces el sistema de numeración decimal, lo aprendiste en la

escuela primaria. Pero ahora vas a identifi car propiedades de este

sistema que otros sistemas numéricos, posicionales y no

posicionales, no tienen. Estos otros sistemas fueron utilizados por

diversas culturas antiguas.

Qué sé Ya has manejado números naturales de una a seis cifras.

Sabes que en el sistema de numeración decimal se hacen

agrupamientos de diez en diez para construir números de más de

una cifra, y que los dígitos toman determinado valor de acuerdo con

su posición en la representación escrita de un número.

Puedes nombrar números de una a seis cifras.

Sabes el número anterior y el que sigue a un número dado.

Conoces el sistema de numeración romano y las diferencias

importantes de este sistema con el sistema de numeración decimal.

Sabes cuándo un número es múltiplo de otro y cómo se

descomponen los números expresándolos mediante

multiplicaciones de números menores.

Qué lograré aprender ¿Los sistemas de numeración son recientes?

¿Qué otros sistemas de numeración existen, además del romano y el

decimal?

¿Solamente puede haber agrupamientos de diez en diez, como en

el sistema de numeración decimal?

¿Puedo inventar un sistema de numeración? ¿Qué se necesita?

¿Cómo se escribían los números en la antigüedad?

12


1 Escribe el número que corresponde a los siguientes nombres.

• Trece

• Cincuenta y cuatro

• Doscientos siete

• Tres mil quinientos doce

• Cuarenta y cuatro mil novecientos uno

• Trescientos cinco mil tres

2 Escribe el nombre de los siguientes números en nuestro sistema decimal.

• 78 • 25 001

• 309 • 504 010

• 2 010

3 Responde las siguientes preguntas.

• ¿Cuántas decenas de millar tiene el número 204 025?

• ¿Cuántas centenas tiene 23 547?

• ¿Cuál es la representación del número que tiene dos centenas y tres

unidades?

• ¿Cuál es la representación del número que tiene tres decenas de millar,

cinco decenas y dos unidades?

• ¿Cuál es la representación del número que tiene cinco centenas de millar y

dos decenas?

4 ¿Qué número representan en el sistema decimal los siguientes números

romanos?

• VIII • DI

• XXIV • MCCXIII

• CDXIX

5 ¿Qué representación tienen los siguientes números en el sistema romano?

• 7 • 3 408

• 53 • 1 005

• 245 • 2 999

13



• Antes de proceder a la lectura de la lección, discute con tus compañeros el signifi cado de los símbolos en estos objetos antiguos.

• Identifi ca algunos símbolos que se repiten y que aparecen en secuencias similares.

• Escribe tus conclusiones en tu cuaderno y los puntos en que estuviste de acuerdo con tus compañeros.

Imagina que al visitar un museo te encuentras con objetos como los que aquí se ilustran.

Figura 1

Figura 3

Figura 2

De visita en el museo

14

BLOQUE 1


Babilonios

En la fi gura 4 se muestra una tablilla que contiene varios símbolos que corresponden a una multiplicación con números. Esta tablilla fue hecha de arcilla por los babilonios.

Esta simbología fue utilizada por los babilonios hace miles de años.

Un arqueólogo se preguntaría sobre el signifi cado de los símbolos de la fi gura 4. Seguramente trataría de identifi car las representaciones escritas que se utilizan reiteradamente. ¿Cuáles son esos símbolos?

La fi gura 5 muestra símbolos similares a los que están inscritos en la tablilla de la fi gura 4.

Si el arqueólogo te dice que algunos de estos símbolos tienen determinados valo-res en el sistema decimal, como se muestra en la fi gura 6, ¿cómo podrías deducir el valor de los que no están identifi cados? Discute con tus compañeros tu respuesta.

Imaginemos que el arqueólogo te dice que los números mayores que 60 se compo-nen como se muestra en la fi gura 7.

Figura 4Tablilla con números babilonios

Figura 7Expresión del número 83 en sistema babilonio

Figura 5Símbolos babilonios

Figura 6Algunos símbolos babilonios con su valor correspondiente en el sistema decimal

1 ¥ 60 2 ¥ 10 3 ¥ 1+ + 83=

1 3 4

10 20 36

¿Cómo eran los babilonios? ¿Cuáles eran sus costumbres? ¿Qué problemas matemá-

ticos se plantearon? ¿Cuáles pudieron resolver? ¿Qué descubrimientos importantes

hicieron?

Organízate con tus compañeros para hacer fi chas sobre estos temas y un ensayo

sobre la vida de los babilonios y su conocimiento matemático.

Para curiosos

15

LECCIÓN 1 • UNA MIRADA A LOS NÚMEROS DE LA ANTIGÜEDAD


De acuerdo con la regla que mostró el arqueólogo, ¿qué números representan, en sistema decimal, las expresiones babilonias que se muestran en las fi guras 8a, 8b y 8c? Escribe la respuesta en tu cuaderno.

Veamos otro número y su equivalencia en el sistema decimal.

Si permutamos los grupos de símbolos que conforman este número, ¿qué número re pre senta cada una de las expresiones babilonias que se muestran en las fi guras 10a, 10b y 10c? Escribe la respuesta en tu cuaderno.

Consideremos ahora una cantidad mucho mayor.

Si nuevamente cambiamos de lugar grupos de símbolos de este número, ¿qué nú-meros en sis tema decimal corresponden a las expresiones babilonias de las fi guras 12a, 12b y 12c? Escribe la respuesta en tu cuaderno.

Figura 9Expresión del número 755

en sistema babilonio

5 ¥ 13 ¥ 10+12 ¥ 60 =+ 755

Figura 11Expresión del número 116 503

en sistema babilonio43 ¥ 121 ¥ 60+32 ¥ 3 600 =+ 116 503

Figura 8a

Permutar: Cambiar una cosa por otra. Variar la disposición u orden en que se hallaban dos o más cosas.

Glosario

Figura 8b Figura 8c

Figura 10a Figura 10b Figura 10c

Figura 12a Figura 12b Figura 12c

16

BLOQUE 1


Al abordar las actividades de la sección “Algo de lo que me enseñaron” de esta lección ya recordaste algunos aspectos del sistema de numeración decimal, como la forma de hacer agrupamientos de diez en diez y el valor que tiene un dígito de acuer-do con su posición. Ahora vas a utilizar esas ideas para analizar otros sistemas numé-ricos.

Escribe en los recuadros de la fi gura 13 la potencia de 10 que corresponda.

Por ejemplo, en el sistema decimal los dígitos del número 4 275 tienen los valores que se muestran en la fi gura 14. En los recuadros escribe la multiplicación del núme-ro y la potencia de 10 que corresponden; comprueba que la suma equivale al número de la izquierda (si es permisible, de acuerdo con tu maestro, puedes usar una calcu-ladora para hacerlo).

Los babilonios hacían algo similar, pero agrupando en potencias de 60, en vez de potencias de 10, por lo que decimos que su sistema es sexagesimal. En los recuadros de la fi gura 15 escribe la potencia de 60 que corresponda.

Con nuestros símbolos, el número 4 275 en sistema decimal indica, como ya vi-mos, que tenemos 4 millares (4 decenas de centenas), 2 centenas (2 decenas de dece-nas), 7 decenas y 5 uni dades. Pero si las agrupaciones fueran de sesenta en sesenta, la representación 4 275 indicaría 871 625 en sistema decimal, como puedes observar en la fi gura 16.

En los recuadros de la fi gura 16 escribe el número y la potencia de 60 que corres-ponden:

Comprueba que la suma equivale al número de la derecha (si es permisible, de acuerdo con tu maestro, puedes usar una calculadora para hacerlo).

Figura 16Notación posicional de un número en el sistema sexagesimal

+ + +

5724

= 871 625

Figura 15La notación posicional en el sistema sexagesimal

216 000 3 600 60 1

Figura 13La notación posicional de los números en el sistema decimal

Millares Centenas Decenas Unidades

1 000 100 10 1

Figura 14Notación posicional de un número en el sistema decimal

5 unidades7 decenas2 centenas4 millares

4 275 = + + +

17



Discute con tus compañeros cómo encontrar una regla para escribir números en

notación sexagesimal. Escribe tus conclusiones y compártelas con tus compañeros.

Escribe en la notación numérica de los babilonios los siguientes números expresados

en sistema decimal.

Decimal 47 95 137 546 987 1 245 5 528 12 604 23 549

Babilonio

Discute con tus compañeros sobre las ventajas o desventajas del sistema decimal

y del sexagesimal (con respecto a la facilidad de escritura, al uso de más o menos

símbolos para representar cantidades grandes o pequeñas, etcétera). ¿Cuál pre-

ferirías usar?

Considera los símbolos y . Utilízalos en vez de los símbolos de los babilonios, asig-

nándoles un nombre y un valor en el sistema decimal.

A partir de las reglas de escritura de los números babilonios, escribe con los nuevos

símbolos las cantidades que se indican en la tabla siguiente. Combina los nombres

que asignaste a los símbolos para darle denominación a las cantidades que escri-

biste.

Número en el sistema decimal

Número en el nuevo sistema

Nombre dado al número

23

245

2 539

5 457

15 032

Seguramente habrás notado que también debe establecerse una regla para denomi-

nar a estos números.

1

EN

EL ATENEO

2

3

4

Nombre:

Cantidad que representa en el sistema decimal:

Nombre:

Cantidad que representa en el sistema decimal:

18

BLOQUE 1


Romanos

Ya conoces los números romanos. En la fi gura 17 puedes observar un documento antiguo en el que se emplean números romanos.

El documento de la fi gura 17 es del siglo xvi. Muestra la relación entre algunos números escritos en la notación romana y la decimal. La notación de los romanos estuvo en boga hace cientos de años, aunque todavía se sigue usando. Por ejemplo, en las carátulas de algunos relojes o para señalar capítulos de libros.

En el documento de la fi gura 17 hay varios símbolos que puedes reconocer, pero las cantidades que se representan son “grandes”.

La notación romana de los números sigue algunas reglas sencillas, las cua les segu-ramente aprendiste en la escuela primaria.

Como sabes, los romanos hicieron uso del alfabeto latino para representar can-tidades. Los símbolos básicos para formar números con la notación de los roma-nos se muestran a continuación.

Decimal 1 5 10 50 100 500 1000

Romano

Algunos números romanos se muestran en la siguiente tabla.

Decimal Romano Millares Centenas Decenas Unidades

96(100 - 10) (5 + 1)

949(1000 - 100) (50 - 10) (10 - 1)

1704(1000) (500 + 200) (5 - 1)

2 458(1000 + 1000) (500 - 100) (50) (5 + 3)

Figura 17Documento con números romanos

¿Cuándo se empezó a utilizar la notación romana de los números?

¿Cómo vivía la gente de esa época? ¿Qué conocimientos matemáticos

tenían los romanos de esa época?

Discute estas cuestiones con tus compañeros, haz fi chas y un ensayo

sobre la vida de los romanos y sus conocimientos matemáticos.

Para curiosos

19



Escribe en la notación numérica de los romanos los siguientes números expresados

en sistema decimal.

Decimal 59 87 137 623 902 1 543 3 561

R omano

Discute con tus compañeros cómo se escriben los números en notación romana.

¿Qué diferencias encuentras entre las maneras de escribir números de los babilonios,

los romanos y la que usamos en la actualidad? ¿La posición de los símbolos importa?

¿De cuántos en cuántos se agrupa en cada sistema de notación?

Escribe en tu cuaderno tus conclusiones; añade algunos ejemplos. Después, inter-

cambia tu escrito con tus compañeros.

Discute con tus compañeros sobre las ventajas o las desventajas del sistema decimal

y del romano (con respecto a facilidad de escritura, al uso de más o menos símbolos

para representar cantidades grandes o pequeñas, etcétera). ¿Cuál preferirías usar?

Considera los siguientes símbolos: , , , , , y .

Utilízalos en vez de los símbolos de los romanos, asignándoles un nombre y un

valor en sistema decimal.

Símbolo

Valor decimal

Nombre

A partir de las reglas de escritura de los números romanos, escribe con estos símbolos

las cantidades que se indican en la tabla. Combina los nombres de los símbolos para

darle denominación a las cantidades que escribiste.

Número en el sistema decimal

Número en el nuevo sistema

Nombre dado al número

43

415

1 739

Nuevamente podrás constatar que la denominación de los números no es algo sen-

cillo, y que en el sistema decimal eso no es tan complicado precisamente por los

nombres elegidos y las reglas de composición para nuevos nombres.

1

EN

EL ATENEO2

3

4

20

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Mayas

Los arqueólogos encontraron un códice maya conocido ahora como el Códice de Dresde. La fi gura 18 muestra este códice.

Los arqueólogos analizaron los símbolos contenidos en el códice de la fi gura 18 y descubrieron valores numéricos para algunos de esos símbolos.

Posteriormente descubrieron regularidades en determinados símbolos mayas y pudieron asignarles valores numéricos en el sistema decimal, como se observa en la fi gura 20.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Observa que en los sistemas de numeración que ya trabajaste, el babilonio y el romano, las cantidades se escriben con secuencias de símbolos en sentido horizontal; en el de los mayas las secuencias de símbolos se escriben en forma vertical.

¿Cómo eran los mayas? ¿Cuáles eran sus costumbres? ¿Qué problemas matemáti-

cos se plantearon? ¿Cuáles pudieron resolver? ¿Qué descubrimientos importantes

hi cieron?

Organízate con tus compañeros para hacer fi chas sobre estas cuestiones y escribir un

ensayo sobre la vida de los mayas y sus conocimientos matemáticos.

Para curiosos

Figura 19Números escritos en notación maya

Figura 20Números escritos en notación maya con su valor correspondiente en el sistema decimal

Figura 18Fragmento del Códice de Dresde

21



Los mayas, como algunas otras civilizaciones, tenían un sistema de numeración que se modifi caba de acuerdo con el uso. En efecto, existía una numeración para las transacciones comerciales y otra para trabajar cuestiones de astronomía.

De la tabla anterior y la fi gura 20 se pueden inferir las reglas para la simbolización de los números en el sistema de la cultura maya. Hay símbolos que se repiten, los cuales corresponden a diferentes valores (fi gura 21).

Los mayas agrupaban verticalmente, casi siempre de veinte en veinte, salvo el caso de la numeración astronómica. Cuando en alguno de los agrupamientos no había que incluir alguna cantidad, utilizaban el símbolo del cero, como lo hacemos en el sistema decimal.

En la numeración comercial, los mayas colocaban en el primer nivel símbolos del cero al 19, en el siguiente nivel superior, escribían un número del cero al 19, cuyo valor en el sistema decimal lo obtenemos multiplicando por 20; en el siguiente nivel, el ter-cero, el número correspondiente se multiplica por 20 ¥ 20 = 400; en el cuarto nivel se multiplica por 20 ¥ 20 ¥ 20 = 8 000, y así sucesivamente, como se aprecia en el dia-grama siguiente.

Número maya Valor en la numeración comercial Valor en la numeración astronómica

20 = (1 ¥ 20) + 0 20 = (1 ¥ 20) + 0

21 = (1 ¥ 20) + 1 21 = (1 ¥ 20) + 1

41 = (2 ¥ 20) + 1 41 = (2 ¥ 20) + 1

61 = (3 ¥ 20) + 1 61 = (3 ¥ 20) + 1

122 = (6 ¥ 20) + 2 122 = (6 ¥ 20) + 2

400 = (1 ¥ 202) + (0 ¥ 20) + 0

= (1 ¥ 400) + 0 + 0

360 = (1 ¥ 360) + (0 ¥ 20) + 0

= (1 ¥ 360) + 0 + 0

401 = (1 ¥ 202) + (0 ¥ 20) + 1

= (1 ¥ 400) + 0 + 1

361 = (1 ¥ 360) + (0 ¥ 20) + 1

= (1 ¥ 360) + 0 + 1

8 000 = (1 ¥ 203) + (0 ¥ 202) + (0 ¥ 20) + 0

= (1 ¥ 8 000) + 0 + 0 + 0

7 200 = [1 ¥ (360 ¥ 20)] + (0 ¥ 360) + (0 ¥ 20) + 0

= (1 ¥ 7 200) + 0 + 0 + 0

0 1 5

Figura 21Valores en el sistema decimal

de los símbolos numéricos mayas fundamentales

22

BLOQUE 1


Por ejemplo:

2 ¥ 20 = 40 6 ¥ 20 ¥ 20 ¥ 20 = 48 000 5 ¥ 1 = 5 0 ¥ 20 ¥ 20 = 0 45 10 ¥ 20 = 200 3 ¥ 1 = 3 48 203

En la numeración astronómica de los mayas, en el primer nivel se colocaban nú-meros del cero al 19; a partir del 19, se pasaba a un segundo nivel. La cantidad que se escribía en ese nivel se multiplicaba por 20, en el caso del tercer nivel se multiplicaba por 360 (por ajustes del calendario), posteriormente se volvía a mul tiplicar por 20, es decir 20 ¥ 360, y así sucesivamente.

Por ejemplo:

7 ¥ 360 = 2 520 6 ¥ 360 ¥ 20 = 43 200 2 ¥ 20 = 40 5 ¥ 360 = 1 800 5 ¥ 1 = 5 10 ¥ 20 = 200 2 565 3 ¥ 1 = 3 45 203

Número del 0 al 19 20 ¥ 20 ¥ 20 ¥ 20 = 160 000¥

Número del 0 al 19 20 ¥ 20 ¥ 20 = 8 000¥

Número del 0 al 19 20 ¥ 20 = 400¥

Número del 0 al 19 20¥


Quinto nivel

Cuarto nivel

Tercer nivel

Segundo nivel

Primer nivel

+

+

+

+

Número del 0 al 19 360 ¥ 20 ¥ 20 = 144 000¥

Número del 0 al 19 360 ¥ 20 = 7 200¥




Quinto nivel

Cuarto nivel

Tercer nivel

Segundo nivel

Primer nivel

+

+

+

+

23



Escribe en la notación numérica comercial y astronómica de los mayas los siguien-tes números expresados en sistema decimal.

Decimal 14 25 142 538 875 1 255 5 638 11 544 23 749

Maya comercial

Maya astronómico

Sistemas de numeración decimal, babilonio, romano y maya

Incluso los símbolos del sistema decimal, que manejamos cotidianamente, sufrieron modifi caciones importantes a través del tiempo, y sus formas de representación son tan diferentes como las culturas que los desarrollaron. En la tabla siguiente se mues-tran estas diferencias para los primeros diez dígitos en nueve sistemas de escritura.

Discute con tus compañeros las reglas para escribir números en notación maya.

Anota tus conclusiones y compártelas con tus compañeros.

Discute con tus compañeros sobre las ventajas o las desventajas del sistema decimal

y del maya (con respecto a la facilidad de escritura, al uso de más o menos símbolos

para representar cantidades grandes o pequeñas, etcétera). ¿Cuál preferirías usar?

EN

EL ATENEO

2

Símbolos numéricos empleados por distintos pueblos

Hindoarábigos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Árabe

Chino (comercial)

Gujarati

Hindi

Maya

Tailandés

Tamil

Romano

1

24

BLOQUE 1


Por otro lado, como también puede obser varse en la tabla, no siempre hubo un símbolo para el cero.

Indaga sobre algunas culturas que incorporaron al cero en su sistema de numera-ción y escribe una lista de las que encontraste.

¿En cuál de los sistemas, el babilonio, el romano o el maya, se utilizó el cero?No solamente la representación escrita de los números ha presentado difi cultades,

también sucedió así con su denominación, lo cual persiste hasta nuestra época. Por ejemplo:

• 11 es “once” pero podría ser “diez más uno” o “diez y uno”.• 12 se llama “doce”, pero podría llamarse “diez más dos” o “diez y dos”.• 13 es “trece” en vez de “diez y tres”.• 14 es “catorce”, no “diez y cuatro”.• 15 es “quince”, no “diez y cinco”.

Sin embargo, 16 es “diez y seis”; 34 es “treinta y cuatro”, y así con otros números.En el sistema decimal, aunque los agrupamientos son de diez en diez, la forma de

denominar algunos números no corresponde a esa manera de agrupar. Por ejemplo, 147 podría denominarse “diez veces diez y cuarenta y siete”, pero se denomina “cien-to cuarenta y siete”. Se nombra una nueva unidad de agrupamiento en vez de expresar las agrupaciones de diez en diez.

También en los millares encontramos una situación análoga: 3 254 se llama “tres mil doscientos cincuenta y cuatro”. No se conserva la idea de agrupamientos de diez, sino que se forma una nueva agrupación, los millares.

En cifras mayores como los millones se prefi ere agrupar de mil en mil en vez de diez en diez. Por ejemplo, 49 007 235 se denomina “cuarenta y nueve millones siete mil doscientos treinta y cinco”.

La existencia de variaciones en la forma de expresar oralmente las cantidades no necesariamente implica un error; se ha establecido así porque puede incorporar ven-tajas para la comunicación o se ha conservado a lo largo de los años sin modifi cación.

Considera los siguientes símbolos:

Elige algunos de ellos para utilizarlos en vez de los símbolos de los babilonios y asígnales un nombre.

Símbolos elegidos

Nombres asignados

Compara tus resultados con los de tus compañeros y traten de llegar a sím bolos y nombres comunes.

¿Es sencillo ponerse de acuerdo? ¡Imagina el tiem po que tardó la humanidad para ponerse de acuerdo!

EN

EL ATENEO

1

25



A partir de las reglas de los babilonios para la escritura de los números, escribe con los nuevos

símbolos elegidos las cantidades que se indican en la tabla. También asigna un nombre a las cantida-

des que escribas.

Decimal 23 67 89 146 327

Babilonio con nuevos símbolos

Nombres de números construidos

Haz lo mismo usando el sistema de numeración romano con nuevos símbolos. Es decir, elige algunos

de los símbolos anteriores para utilizarlos en vez de los símbolos de los romanos y utiliza las reglas de

la escritura de la numeración romana. Escribe con los nuevos símbolos las cantidades que se indican

en la tabla. También asigna un nombre a los símbolos elegidos y combina esos nombres para darle

denominación a las cantidades que escribas.

Símbolos elegidos

Nombres asignados

Decimal 12 47 148 367 777

Romano con nuevos símbolos


Aplicando las reglas de la numeración maya, con nuevos símbolos escribe las cantidades que se indi-

can en la tabla. También asigna un nombre a los símbolos elegidos y combina esos nombres para

darle denominación a las cantidades que escribas.

Símbolos elegidos

Nombres asignados

Decimal 33 69 94 138 256

Maya con nuevos símbolos


Con tus compañeros investiga sobre las características del sistema de numeración azteca y escribe

un ensayo sobre este sistema. Describe sus símbolos y las reglas que utilizaban para escribir los

números.

2

3

4

26

BLOQUE 1


También, con tus compañeros, escriban un ensayo sobre el sistema de numeración egipcio descri-

biendo sus símbolos y las reglas que utilizaban para escribir los números.

Discute con tus compañeros las siguientes preguntas:

• ¿En cuáles de los sistemas numéricos que hemos trabajado importa la posición de los símbolos?

• ¿Cuál es el mejor sistema para escribir números grandes con pocos símbolos?

Formen un grupo para la discusión y cada uno tendrá un tiempo establecido para dar sus respuestas.

Posteriormente, redacten un escrito común con las opiniones que compartan todos o la mayoría.

Efectúa las siguientes operaciones aritméticas y analiza si la forma de realizarlas puede ser aplicada en

cada uno de los sistemas numéricos que hemos visto (babilonio, romano y maya).

Discute con tus compañeros sobre la facilidad que se podría tener en los sistemas babilonio, romano

y maya, para realizar algunas operaciones, en comparación con el sistema de numeración decimal.

207

+ 45

3

29

- 5

43

¥ 8 21 534

5

6

7

8

1 Escribe los siguientes números, expresados en el sis-tema decimal, en el sistema babilonio, maya comer-cial y maya astronómico.

7 15 259 3 408 23 233 508 247

2 Describe las características de los sistemas decimal, babilonio, romano y maya comercial.

Demuestro lo que sé y hago

ConéctatePuedes consultar algunas páginas de Internet para profundizar en lo que hemos estudiado en esta lección. Por ejemplo, en http://www.scm.org.co/

Articulos/756.pdf encontrarás un trabajo que explica cómo contaban mayas, aztecas e incas y hace referencia a algunos otros métodos de conteo y cálculo en civilizaciones de Latinoamérica. El resumen está en inglés pero todo el artículo está en español.

También puedes consultar la página http://es.wikipedia.org/wiki/Numerales_griegos , que se refi ere al sistema de numeración griega, pero también contiene enlaces a páginas sobre otros sistemas numéricos.

Otras fuentes de información están contenidas en libros como:

• Denis GuedjEl imperio de las cifras y los númerosBiblioteca de bolsillo Claves, Edicio nes B, Barcelona, 1998.

• Richard MankiewiczHistoria de las matemáticasPaidós, Barcelona, 2000.

Ten en cuenta el comentario incluido en la descripción de esta sección en la página 9.

27



2Mis retos Ya conoces algunas sucesiones numéricas sencillas. Ahora, con lo

que sabes, se pueden construir otras sucesiones de números

determinando una regla para saber el término que desees. Algunas

de esas reglas tienen relación con fi guras geométricas.

También será posible encontrar expresiones generales, utilizando

símbolos con los que se defi nen reglas para los números que

forman sucesiones numéricas y fi gurativas.

Como las fórmulas geométricas representan relaciones entre

algunas magnitudes que describen a una fi gura, será importante

aprender a interpretar lo que representan las literales de algunas

fórmulas geométricas.

Qué sé Ya trabajaste con nociones como la de antecesor o la de sucesor,

relacionadas con la sucesión numérica de los números naturales.

También utilizaste algunas sucesiones numéricas más complejas.

Empleaste las nociones de múltiplo de un número y la de mínimo

común múltiplo.

Utilizaste también varias fórmulas para calcular el área o el perímetro

de algunas fi guras geométricas.

Qué lograré aprender ¿Cómo se pueden construir sucesiones numéricas?

¿Cómo determinar cualquier término de una sucesión numérica

de la que solamente conocemos algunos de sus términos?

¿Las letras de una fórmula relacionadas con perímetros o áreas de

fi guras geométricas pueden ayudar a crear sucesiones numéricas?

¿Cómo se deben interpretar las letras de dichas fórmulas?

Regularidades numéricas

28

02(Bl 1) Regularidades numericas-v3.indd 2802(Bl 1) Regularidades numericas-v3.indd 28 4/11/08 11:26:42 AM4/11/08 11:26:42 AM

1 Observa la siguiente secuencia de números:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …

Encuentra los siguientes cinco términos.

2 Considera la secuencia numérica 1, 4, 9, 16, 25, … Encuentra el décimo tér mino.

3 La sucesión de los números impares es

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …

¿Qué necesitas sumarle a cada término para que obtengas la sucesión de los números pares?

4 Encuentra los primeros diez términos de la sucesión numérica que se obtendría sumando término a término la sucesión de los números pares y la de los impares.

5 Encuentra los primeros diez términos de la sucesión numérica que se obtendría restando término a término la sucesión de los números pares y la de los impares.

6 Encuentra el área de un cuadrado que tiene un lado que mide 3 centímetros. Si aumentas el tamaño del lado en tres ocasiones: a 4 centímetros, 5 centí-metros y 6 centímetros, ¿cuáles serán las áreas de los cuadrados correspon-dientes cada vez que se incrementa en una unidad el lado del cuadrado?

7 Un rectángulo tiene 4 centímetros de ancho y 6 centímetros de largo. ¿Qué área tendrá el rectángulo con lados del triple de tamaño?

8 Un trapecio tiene base menor de 3 centímetros y base mayor de 9 centí-metros; su altura es de 5 centímetros. ¿Cúal sería su área si solamente se duplican la base mayor y la base menor?

29



Sucesiones numéricas

Al inicio de esta lección, en la sección “Algo de lo que me enseñaron”, recordaste al-gunas sucesiones numéricas, como las de los números pares e impares; además, construiste algunas otras secuencias de números. En matemáticas, algo muy útil es analizar las situaciones, incluso las sencillas, desde diferentes perspectivas. La expe-rimentación, o simplemente el deseo de escudriñar sobre algo conocido, puede reve-lar relaciones hasta ese momento inadvertidas que nos lleven a útiles resultados.

Por ejemplo, de la escuela primaria sabes que los números pares son múltiplos de 2. Escribe una lista de los primeros nueve múltiplos de 2.

, , , , , , , ,

• ¿Cómo se obtienen los múltiplos de 2?

• ¿Cómo obtienes el número par, o múltiplo de 2, que ocupa el lugar 2 de la lista?



• ¿Cómo obtienes el número par, o múltiplo de 2, que ocupa el lugar 17?

• ¿Cómo obtendrías el par que ocupa el lugar 53?

Discute con tus compañeros: ¿cómo se forma la sucesión de números pares? ¿Qué operaciones tienes que realizar? ¿Qué papel desempeña cada uno de los números que intervienen en dichas operaciones?

¿Hay una regla para lograrlo? Escríbela:

¿Qué sucesión numérica se obtiene con los resultados de multiplicar 7 por núme-ros naturales?:

7 ¥ 1 = , 7 ¥ 2 = , 7 ¥ 3 = , 7 ¥ 4 = ,

7 ¥ 5 = , 7 ¥ 6 = , 7 ¥ 7 = , …

(Los puntos suspensivos “…” se usan para indicar que se puede continuar de manera similar indefi nidamente.)

¿Qué relación tienen los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … con los términos de la suce-sión numérica que calculaste?

30

BLOQUE 1


Seguramente te habrás dado cuenta de que la sucesión de múltiplos de un número se genera multiplicando dicho número por el número que indica el lugar que ocupa-rá cada término en la sucesión:

¥ (el número que indica el lugar que ocupa el término en la sucesión).

Pero la frase “el número que indica el lugar que ocupa el término en la sucesión” es muy larga; ¿podríamos sustituirla?

¿Podrías usar una frase más corta?, ¿una palabra? Por ejemplo:

¥ (lugar).

Incluso podrías usar una sola letra en vez de una palabra. Por ejemplo, si usamos la letra n para sustituir la frase “el número que indica el lugar que ocupa el término en la sucesión” o la palabra “lugar”, la expresión se puede escribir de manera más corta:

¥ n .

¿No te agrada la letra n? ¿Tienes otra letra favorita? ¿Haría alguna diferencia escribir 2 ¥ a o 2 ¥ p o 2 ¥ k o 2 ¥ r? ¿Puedes usar la letra que quieras? Pero la interpretación de la letra que utilices debe ser clara. Lo anterior, aplicado a la sucesión de números pares, se resume en el siguiente

diagrama.

Escribe una lista de los primeros siete múltiplos de 3.

, , , , , ,

• ¿Cómo se obtienen los múltiplos de 3?

• ¿Cómo obtienes el múltiplo de 3 que ocupa el lugar 5 de la lista?

• ¿Cómo obtienes el múltiplo de 3 que ocupa el lugar 11?

• ¿Cómo obtendrías el múltiplo de 3 que ocupa el lugar 75?

Cada término de la sucesión de múltiplos de 3 puede obtenerse por una multipli-cación de dos números; explica cuáles son cada uno de los factores:

¥ ( ).

¥ 2 ¥ 2 ¥ 2

2 ¥ n

¥ 2

n3

6

2

4

1

2

Lugar

Término

. . .

. . .

31

LECCIÓN 2 • REGULARIDADES NUMÉRICAS


La expresión simplifi cada, usando un número y una letra, para encontrar los múl-tiplos de 4 es ¥ .

La expresión para los múltiplos de 6 es ¥ . La expresión 9 ¥ n se refi ere a la sucesión de múltiplos de . La expresión 15 ¥ s se refi ere a la sucesión de múltiplos de .

Progresiones aritméticas

Puedes seguir experimentando con las sucesiones numéricas. Analiza nuevamente la sucesión de los números pares de acuerdo con la siguiente guía.

¿Cuál es el resultado de la resta del segundo número par con el primero? :

- = .

Discute con tus compañeros: ¿qué sucede si restas un número par cualquiera con el que le antecede?

4 - 2 = , 6 - 4 = , 8 - 6 = , …

18 - 16 = , … 34 - 32 = , 116 - 114 = …

A menos que se indique lo contrario, considerarás la diferencia de términos con-secutivos como el número que se obtiene al restar a cualquier término el que le ante-cede.

Así pues, la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión de números pares siempre es igual a .

Esto conduce a pensar que los términos de la sucesión de números pares también pueden escribirse de la siguiente manera (haciendo explícita la forma en que se acu-mula la diferencia):

Con tus compañeros encuentra los primeros 7 términos de las sucesiones que corres-

ponden a los múltiplos de 8, 12, 25 y 142. En cada caso escribe la expresión simplifi ca-

da (fórmula) que nos indica cómo hacer los cálculos correspondientes para determi-

nar cualquier término de la sucesión, de acuerdo con el lugar que ocupa en ella.

Para curiosos

1

2

2

2

4

2 + 2

3

6

2 + 2 + 2

8

2 + 2 + 2 + 2

4Lugar

Término . . .

. . ., , , ,

32

BLOQUE 1


Lo cual ya conocías y podrías considerarlo poco importante, pero en la sencillez ge-neralmente están ocultas cosas muy interesantes.

Lo anterior indica que podemos construir la sucesión de números pares de otra manera:

2 + 2 + 2 + 2 = 2 + (2 ¥ ), 2 + 2 + 2 = 2 + (2 ¥ ),

2 + 2 = 2 + (2 ¥ ), 2 = 2 + (2 ¥ ) …

¿Cómo escribirías el quinto, octavo y decimocuarto términos usando esta nota-ción?

• Quinto término de la sucesión = 2 + (2 + ) • Octavo término de la sucesión = 2 + (2 + ) • Decimocuarto término de la sucesión = 2 + (2 + )

Esto indica que los términos de la sucesión de pares se pueden construir de acuer-do con lo que se plantea en el siguiente diagrama.

Se puede observar que, en el cálculo de cada término, el primer término de la su-cesión es el primer sumando; en este caso es .

El segundo sumando es un producto donde el segundo factor es la diferencia entre dos términos consecutivos, que en este caso es ; mientras que el primer factor es .

Emerge un patrón que puedes utilizar para construir sucesiones numéricas de otros múltiplos de un número. Por ejemplo, en los múltiplos de 9:

• es el término inicial, es decir, el que ocupa el lugar número 1 de la sucesión.• es el segundo término, esto es, el que ocupa el lugar número 2. Este término

se puede calcular sumando al término inicial el producto del número que corres-ponde al lugar que ocupa en la sucesión el término anterior por la diferencia entre términos consecutivos, que en este caso debe ser . De este modo,

+ ( ¥ ) = 18.

• El tercer término, , se calcula entonces de la siguiente manera:

+ ( ¥ ) = 27.

1

2

2

2 + 2

3

2 + 2 + 2 2 + 2 + 2 + 2

4Lugar

. . ., , , ,

Término . . .

. . .

2

2 + (0 ¥ 2) ,

4

2 + (1 ¥ 2) ,

6

2 + (2 ¥ 2) ,

8

2 + (3 ¥ 2) ,

33



• El término que ocupará el lugar 92 se puede calcular así:

+ ( ¥ ) = .

Intenta calcular este término de otra manera; ¿qué sucede?

Ahora, calcula de la manera que desees los términos que ocuparán los lugares 129 y 5 423. ¿De qué manera lo harías?

Escribe los quince primeros términos de la sucesión de múltiplos de nueve:

, , , , , , , ,

, , , , , ,

Puedes experimentar con otras sucesiones, siguiendo las ideas anteriores.Considera que el primer término es 7 y que la diferencia de dos términos consecu-

tivos es 4. La sucesión tendrá los siguientes términos:

• El segundo término será 7 + (1 ¥ 4) = . • El tercer término será 7 + (2 ¥ 4) = . • El término que ocupará el lugar 11 será + ( ¥ ) = . • El término que ocupará el lugar 36 será + ( ¥ ) = .

Escribe 15 términos de la sucesión:

, , , , , , , ,

, , , , , ,

Con tus compañeros construye varias sucesiones. Por ejemplo, si el término inicial es 11 y la diferencia entre términos consecutivos es 5, entonces:

• El segundo término será + ( ¥ ) = . • El tercer término será + ( ¥ ) = . • El quinto término será + ( ¥ ) = . • El término que ocupará el lugar 17 será + ( ¥ ) = . • El término que ocupará el lugar 59 será + ( ¥ ) = .

Escribe 15 términos de esta sucesión:

, , , , , , , ,

, , , , , ,

A las sucesiones en las que cada término después del primero se obtie ne su-mando un número fi jo al término precedente se las denomina progresio nes aritméticas.

34

BLOQUE 1


En general, para obtener cualquier término de una progresión aritmética, se re-quieren ciertos datos. Con tus compañeros indica con palabras el dato que se requie-re en cada casilla e identifi ca en cuál obtendrás el término de la sucesión.

+ ( ¥ ) = .

Ya sabes que con una sola letra se pueden resumir muchas palabras, siempre y cuando interpretes adecuadamente cada letra. Así, lo expresado en el diagrama ante-rior se puede simplifi car usando letras.

Asigna letras a los siguientes elementos que participan en el cálculo de los térmi-nos de una progresión aritmética:

• es el término inicial; • es el lugar que ocupa el término anterior al que se quiere calcular; • es la diferencia entre dos términos consecutivos; • es el término que se quiere calcular.

La fórmula quedaría: + ( ¥ ) = .

Ahora usemos las siguientes letras:

• I para el término inicial; • L para el lugar que ocupa el término anterior al que se quiere calcular; • D para la diferencia entre dos términos consecutivos; • T para el término que se quiere calcular.

La fórmula quedaría: + ( ¥ ) = .

Ahora considera la situación al revés; siempre es útil hacerlo y en matemáticas es muy importante. Si sabes que la siguientes sucesiones numéricas son progresiones aritméticas, determina, en cada una de ellas, cuál es el primer término y qué valor tiene la diferencia entre dos términos consecutivos:

5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68, 75, 82, 89, 96, 103, 110, …

3, 11, 19, 27, 35, 43, 51, 59, 67, 75, 83, 91, 99, 107, 115, 123, …

35



Discute con tus compañeros los siguientes planteamientos y encuentra la respuesta a cada uno de

ellos. Si dominan las operaciones aritméticas podrían utilizar una calculadora o una hoja electrónica.

¿Cuál es la regla para calcular términos de las siguientes sucesiones numéricas?

• 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, …

• 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, …

• 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, …

• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …

• 2, 8, 18, 32, 50, 72, 98, 128, …

Considera la progresión aritmética 5, 8, 11, 14 …

• ¿Cuál es el valor de la diferencia entre dos términos consecutivos?

• Encuentra los términos que ocupan los lugares del 5 al 20.

• ¿Qué lugares ocupan los términos que se calculan de la siguiente manera? También calcula el valor

del término correspondiente:

• 5 + (14 ¥ 3) • 5 + (38 ¥ 3) • 5 + (89 ¥ 3) • 5 + (105 ¥ 3)

Una sucesión de números se calcula como una progresión aritmética con la fórmula

13 + (L ¥ 2) = .

• ¿Qué representa L?

• Encuentra los términos que ocupan los lugares 3, 10, 25, 100 y 278.

Si sabes que el término que ocupa el lugar 11 de una progresión aritmética es 75 y la diferencia de

dos términos consecutivos es 4, encuentra el primer término de la progresión.

Calcula el término que ocupa el lugar 100 de una progresión aritmética cuyo primer término es igual

a 4 y la diferencia de dos términos consecutivos es 5.

El décimo término de una progresión aritmética es 45 y la diferencia de dos términos consecutivos

es 4. Halla el primer término.

¿Qué lugar ocupará en una progresión aritmética el número 88, si sabes que el primer término es 4 y

la diferencia de dos términos consecutivos es 7?

Es posible que en una progresión aritmética el tercer término sea 24, el décimo sea 66 y que inicie

en 11? ¿Es posible que inicie en 12?

Utiliza las mismas ideas de las progresiones aritméticas pero con fracciones y decimales; en cada caso

encuentra los primeros 10 términos:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

EN

EL ATENEO

36

BLOQUE 1


Confi guraciones geométricas y sucesiones numéricas

De la observación de algunas confi guraciones geométricas podemos encontrar tam-bién algunas regularidades numéricas. Escribe en los espacios la cantidad de fi chas en cada paso mostrado en la fi gura 1.

Confi guración: Disposición de las partes de un cuerpo, lo que le da fi gura propia.

Glosario

¿Todas las sucesiones numéricas son progresiones aritméticas? ¿La sucesión de los

números primos, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …, es una progresión aritmética? ¿Por

qué? Coméntalo con tus compañeros.

Para curiosos

• El primer término es 1

2 , la diferencia entre términos consecutivos es

1

5 .

• El primer término es 2

3 , la diferencia entre términos consecutivos es

2

5 .

• El primer término es 0.68, la diferencia entre términos consecutivos es 0.25.

• El primer término es 2.53, la diferencia entre términos consecutivos es 1.3.

Juan quiere comprarse un aparato electrónico que cuesta $900. Inicia ahorrando $100 y cada día

ahorra otros $100 más $10 por cada día que haya pasado, en progresión aritmética ¿Cuánto lleva

ahorrado después de 5 días? Si el precio del aparato solamente tendrá vigencia de un mes, con el plan

de ahorro que tiene Juan, ¿le alcanzará el tiempo para comprarlo?

Pedro pide a un prestamista $60 000 para comprar un coche, y el trato que hacen es que, si Pedro no

liquida la deuda en el plazo acordado, ésta se incrementará $3 000 por cada mes adicional que trans-

curra, de acuerdo con una progresión aritmética. ¿Cuánto deberá el primer mes? ¿Cuánto el segun-

do? ¿Cuánto el quinto? ¿Cuánto a medio año? Si Pedro tendrá recursos hasta un mes después de un

año, ¿cuánto deberá pagarle al prestamista? ¿En cuántos meses se duplicaría la deuda de Pedro?

10

1111

Figura 1

37



Imagina que continúas el proceso implícito para construir las confi guraciones an-teriores.

¿Qué sucesión numérica corresponde a la sucesión de confi guraciones geomé-tricas?

¿Cuántos puntos tendrá la confi guración que se dibujaría en el noveno término?¿Cuántos puntos tendrá la confi guración que se dibujaría en el decimosexto tér-

mino? Si por L se denota el lugar que ocupa un término en la sucesión y con R el valor del

término que ocupa el lugar L, escribe la fórmula que genera la sucesión numérica asociada a las confi guraciones geométricas anteriores:

= ¥ .

Puedes realizar varias combinaciones con fi guras para generar sucesiones numé-ricas. Por ejemplo, analiza con tus compañeros lo que sucede con la sucesión que se muestra en la fi gura 2. Escribe en el recuadro ubicado debajo de cada confi guración el número de cuadrados que la componen.

¿Qué sucesión numérica corresponde a la sucesión que se genera con estas confi -guraciones geométricas?

Escribe 10 términos de la sucesión numérica correspondiente.

, , , , , , , , ,

¿Cuántos cuadrados tendrá la confi guración que se dibujaría en el decimoctavo lugar?

¿Cuántos cuadrados tendrá la confi guración que se dibujaría en el vigésimo cuarto lugar?

¿Qué operaciones aritméticas se tienen que hacer para calcular el número de cua-drados que componen cualquier fi gura de la sucesión?

¿La sucesión numérica conforma una progresión aritmética? Si es así, ¿cuál es el primer término?, ¿cuál es la diferencia?¿Cuántos cuadrados tendrá la fi gura que ocupe el trigésimo séptimo lugar?Si por Z se denota el lugar que ocupa en la sucesión una confi guración, o el núme-

ro asociado, al cual podemos nombrar como R, escribe la fórmula que genera la su-cesión numérica en este caso: .

. . .

Figura 2

38

BLOQUE 1


Recuerda que es muy importante que experimentes, que modifi ques un poco lo aprendido para continuar aprendiendo, que te plantees preguntas y las discutas con tus compañeros. Por ejemplo, una pequeña variante de las confi guraciones anterio-res puede ser la que se muestra en la fi gura 3.

Escribe 10 términos de la sucesión numérica correspondiente a la fi gura 3.

, , , , , , , , ,

¿Cuántos cuadrados tendrá la confi guración que se dibujaría en el decimotercer lugar?

¿Cuántos cuadrados tendrá la confi guración que se dibujaría en el trigésimo se-gundo lugar?

La sucesión numérica en este caso, ¿conforma una progresión aritmética? Si es así, ¿cuál es el primer término?, ¿cuál es la diferencia? ¿Cuál es la fórmula correspondiente? Usa las letras que quieras, pero compara tu

resultado con los de tus compañeros. ¿Sería mejor que todos usaran las mismas le-tras?

Dada la sucesión mostrada en la fi gura 4, si continúas añadiendo dos círculos cada vez, ¿qué sucesión numérica se genera con estas confi guraciones?

Escribe 15 términos de la sucesión numérica asociada a la sucesión de la fi gura anterior.

, , , , , , , ,

, , , , , ,

¿Cómo se calcula el número de círculos correspondiente a cada término? Observa que en el lugar 1 solamente hay un círculo, pero en los siguientes siempre

se agregó un número par de círculos.

Figura 4

. . .

Figura 3

39



En ocasiones conviene analizar algunos casos particulares para reconocer algunas regularidades.

• Se parte de un solo círculo, el primer término de la sucesión: • A se le agregaron . ¿Cómo se expresa esto con operaciones aritméticas?

Después, a se le agregaron . ¿Cómo se expresa esto numéricamente con

operaciones aritméticas?

• A se le agregaron . La expresión con operaciones aritméticas es .

• A se le agregaron . La expresión con operaciones aritméticas es .

Las expresiones aritméticas para cada término pueden ser diversas; esto es más claro si se analiza al revés la parte de la sucesión con la que acabamos de trabajar.

• Quinto término (quinto lugar en la sucesión):

9 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 = 1 + ( ¥ ).

• Cuarto término (quinto lugar en la sucesión):

7 = 1 + 2 + 2 + 2 = 1 + ( ¥ ).

• Tercer término (tercer lugar en la sucesión):

5 = 1 + 2 + 2 = 1 + ( ¥ ).

• Segundo término (segundo lugar en la sucesión):

3 = 1 + 2 = 1 + ( ¥ ).

• Primer término (primer lugar en la sucesión):

1 = 1 + ( ¥ ).

Utiliza el patrón detectado en lo anterior para encontrar otros términos de la su-cesión:

• Octavo término: = + ( ¥ ). • Decimoquinto término: = + ( ¥ ). • Trigésimo cuarto término: = + ( ¥ ).

¿Qué datos necesitas para calcular cualquiera de los términos de esta sucesión?

40

BLOQUE 1


Elige las letras necesarias para encontrar una expresión, una fórmula, que sirva para calcular el valor de cualquier término que ocupe un determinado lugar en la sucesión: .

Si H es el lugar que ocupa un término G escribe la fórmula: .

¿Qué sucesión numérica genera la siguiente fórmula?

I = 1 + 2 ¥ (N - 1),

donde N es el lugar que ocupa un término I.

A lo largo de la historia de la matemática las sucesiones numéricas asociadas a con-fi guraciones geométricas fueron estudiadas por muchos personajes, como Pitágoras o Pierre de Fermat.

<Inicia Para Curiosos>

Hay otras sucesiones numéricas que se pueden construir a partir de confi guracio-nes geométricas; por ejemplo, la sucesión de los números triangulares (fi gura 5).

A números como éstos, que pueden representarse mediante un arreglo geométri-co regular de elementos, los llamamos números fi gurados.

En lo que sigue establece expresiones aritméticas usando sumas para ilustrar cómo se van formando los números triangulares.

• Se inicia con ; la expresión aritmética correspondiente es .

• A se le agregan ; la expresión aritmética correspondiente es .

Figura 5Números triangulares

Investiga con tus compañeros quiénes fueron Pitágoras y Pierre de Fermat y cuáles

fueron sus aportaciones a la matemática.

Indaga también sobre otros matemáticos famosos que hayan estudiado los números

fi gurados, los cuales han recibido distintas denominaciones a través de la historia.

Para curiosos

41







Así pues, cada número triangular en la sucesión consiste en sumas de números consecutivos:

• Primer triangular: .• Segundo triangular: = + . • Tercer triangular: = + + . • Cuarto triangular: = + + + . • Quinto triangular: = + + + + .• Sexto triangular: = + + + + + .

Escribe las sumas que generan los siguientes diez números triangulares y calcula el resultado:

Número triangular Suma

7º

8º

9º

10º

11º

12º

13º

14º

15º

16º

Escribe los 16 números triangulares que obtuviste:

, , , , , , , ,

, , , , , , ,

42

BLOQUE 1


¿Encuentras algún patrón para establecer una fórmula? Completa la siguiente tabla. Anota el resultado de cada suma.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

1 + 2 + 3 + 4 + 5

1 + 2 + 3 + 4

1 + 2 + 3

1 + 2

1

¿Qué relación tiene cada resultado en la tabla anterior con hacer la suma de los resultados de la adición del primer sumando y el último, el segundo y el penúltimo, el tercero y el antepenúltimo y así sucesivamente?

¿Lo anterior te ayuda para encontrar una fórmula para generar números triangu-lares?

Si no es así, no te preocupes, a la humanidad le llevó bastantes años.Podemos intentar otros caminos, los cuales, aunque hayas encontrado ya la fór-

mula, te ayudarán a comprender otras relaciones con los números triangulares. Como ya se ha dicho, es importante imaginar otras formas de trabajar el mismo

contenido para profundizar en las relaciones implícitas que a veces no podemos en-contrar por tener solamente una perspectiva de las situaciones que enfrentamos; por ello, observa las confi guraciones que se muestran en la fi gura 6.

¿Estas confi guraciones también corresponden a números triangulares? Escribe la sucesión numérica asociada:

.

. . . Figura 6

43



Observa que puedes apoyarte en las confi guraciones anteriores para formar otras (fi gura 7).

Si cada cuadrado pequeño se considera como una unidad de área, calcula las áreas de los rectángulos.

• Primera confi guración: área = ¥ = . • Segunda confi guración: área = ¥ = . • Tercera confi guración: área = ¥ = . • Cuarta confi guración: área = ¥ = . • Quinta confi guración: área = ¥ = . • ¿Qué sucedería en las siguientes, que no están ilustradas en la fi gura 7? • Sexta confi guración: área = ¥ = . • Novena confi guración: área = ¥ = . • Vigésima confi guración: área = ¥ = .

Calcula números triangulares que ocupan los siguientes lugares:

• 15: .

• 46: .

• 75: .

¿Ahora sí puedes establecer una fórmula para obtener números triangulares? ¿Cuántas literales requieres? Asígnales nombres y escribe una fórmula tentativa.

Discute y compara tu fórmula con las de tus compañeros y comprueba si son correc-tas: .

En lo anterior trabajaste arreglos rectangulares (también puedes referirte a ellos como números rectangulares).

La fi gura 8 muestra dos números triangulares formando un arreglo rectangular.

Figura 8

. . .Figura 7

44

BLOQUE 1


El número de círculos que conforman el arreglo de la fi gura 8 se puede representar como

(1 + 2) + (2 + 1) = 2 ¥ 3 .

Siguiendo esta misma forma de representación, si consideramos los números trian gulares que siguen en la sucesión, tendríamos lo que se muestra en la fi gura 9.

Figura 91 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 6 ¥ 7

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 5 ¥ 6

1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 3 + 2 + 1 = 4 ¥ 5

1 + 2 + 3 + 3 + 2 + 1 = 3 ¥ 4

45



De acuerdo con el diagrama de la fi gura 9.

• 2 ¥ (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = ( ¥ ) . • 2 ¥ (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = ( ¥ ) . • 2 ¥ (1 + 2 + 3 + 4) = ( ¥ ) . • 2 ¥ (1 + 2 + 3) = ( ¥ ) . • 2 ¥ (1 + 2) = ( ¥ ) . • 2 ¥ (1) = ( ¥ ) .

Lo anterior muestra que con dos números triangulares se construyen números rectangulares.

Escribe 15 términos de la sucesión de números rectangulares y dibuja las confi gu-raciones correspondientes.

, , , , , , , ,

, , , , , ,

46

BLOQUE 1


Escribe una fórmula para obtener números rectangulares. ¿Cuántas literales nece-sitas?

Los arreglos rectangulares nos conducen de manera natural a los números cua-drados.

La sucesión de los números cuadrados podemos verla simplemente como se mues-tra en la fi gura 10, es decir, como la sucesión 1, 4, 9, 16, 25, … ; pero también podemos verla como una sucesión de sumas de números impares a partir del segundo término, lo cual se ilustra en la fi gura 11.

Escribe los primeros 15 números cuadrados

, , , , , , , ,

, , , , , ,

Con las relaciones que se desprenden de los números cuadrados, puedes calcular las siguientes sumas sin sumar; encuentra el resultado.

• 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = . • 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 = .

Con tus compañeros puedes inventar algunas confi guraciones para generar otras sucesiones de números, por ejemplo, agregando a un número cuadrado un número triangular, como se muestra en la fi gura 12.

Figura 10Números cuadrados

Figura 11Números cuadrados como sumas de números impares

1 + 3 + 5 + 7 = 161 + 3 + 5 = 91 + 3 = 41

. . . Figura 12

47



O agregando a un número cuadrado dos números triangulares (fi gura 13).

Diseña distintas confi guraciones y encuentra algunos términos de las sucesiones numéricas asociadas, determina fórmulas para conocer el valor de los términos que ocupan un lugar determinado y encuentra sumas que puedes calcular con las confi -guraciones que construiste.

. . .

Figura 13

Considera la sucesión de los números pentagonales.

(Observa que solamente se agrega un círculo en la “base” para saber la cantidad de círculos por

lado.)

• De acuerdo con las fi guras podemos descomponer cada número pentagonal en sumas de nú-

meros:

• Primer número pentagonal: 1.

• Segundo número pentagonal: 1 + 4 = .

• Tercer número pentagonal: 1 + 4 + = .

• Cuarto número pentagonal: + + + = .

• Quinto número pentagonal: + + + + = .

• Sexto número pentagonal: + + + + + = .

• Séptimo número pentagonal: + + + + + + = .

• Octavo número pentagonal: + + + + + + + = .

• Noveno número pentagonal: + + + + + + + + = .

• Décimo número pentagonal: + + + + + + + + + = .

• Siguiendo las secuencias de puntos en las confi guraciones dadas, dibuja el sexto, séptimo, octavo,

noveno y décimo número pentagonal.

1

EN

EL ATENEO

48

BLOQUE 1


• ¿Cuántos círculos tendrá el lado del duodécimo y vigésimo número pentagonal?

• ¿Cuántos círculos tendrá el “perímetro” del decimoquinto número pentagonal?

Desde un mismo vértice traza las “diagonales” en el interior de los números pentagonales, como se

observa en el ejemplo.

• Al hacer esos trazos, ¿cuántos números triangulares detectas en cada uno de los números pentago-

nales dados? ¿Con “sumas” de números triangulares podemos construir un número pentagonal?

• ¿Los números pentagonales pueden escribirse como “sumas” de números cuadrados y triangula-

res? Explica tu respuesta.

Los números hexagonales tienen la siguiente forma:

(Observa que, también, solamente se agrega un círculo en la “base” para saber la cantidad de círculos

por lado.)

• De acuerdo con las figuras podemos descomponer cada número hexagonal en sumas de nú-

meros:

• Primer número hexagonal: 1

• Segundo número hexagonal: 1 + = .

• Tercer número hexagonal: 1 + + = .

• Cuarto número hexagonal: + + + = .

• Quinto número hexagonal: + + + + = .

• Sexto número hexagonal: + + + + + = .

• Séptimo número hexagonal: + + + + + + = .

• Octavo número hexagonal: + + + + + + + = .

• Noveno número hexagonal: + + + + + + + + = .

• Décimo número hexagonal: + + + + + + + + + = .

2

3

49



Símbolos, fi guras y sucesiones numéricas

En la sección “Algo de lo que me enseñaron” pudiste recordar algunos procedimien-tos para el cálculo de áreas de algunas fi guras, los cuales emplearás en este apartado.

Un marco para una fotografía tiene una fi gura de cuadrado con 20 cm de lado. Discute con tus compañeros: ¿cómo se puede saber el perímetro del marco?, ¿cómo se encontraría el área?

Si otro marco de forma cuadrada mide 18 cm de lado, ¿cómo se determina el perí-metro y área del marco? ¿Y si midiera 22 cm?

Cuando trabajas con fórmulas como las de área o perímetro, las letras empleadas no solamente representan magnitudes que debes sustituir por números: son en reali-dad números que se representan por literales. Observa los cuadrados de la fi gura 14.

Si deseas referirte al área o perímetro de un cuadrado sin usar medidas particula-res, ¿cómo lo harías?

En efecto, el perímetro y el área los puedes expresar usando palabras como

Perímetro = + + + = ¥ .

Área = ¥ .

• Siguiendo las secuencias de puntos en las confi guraciones dadas, dibuja el octavo

y décimo número hexagonal.

• ¿Cuántos círculos tendrá el lado del undécimo número hexagonal?

• ¿Cuántos círculos tendrá el “perímetro” del decimocuarto número hexagonal?

• Desde un mismo vértice, traza las “diagonales” en el interior de los números hexa-

gonales. ¿Cuántos números triangulares detectas en cada uno de los números

hexagonales dados?

Figura 14

Área:

Perímetro:

3

3

10

10

Área:

Perímetro:

50

BLOQUE 1


Pero también puedes usar simplemente letras:

Perímetro = + + + = ¥ .

Área = ¥ = .

Para generalizar y evitar referirse a cantidades específi cas, se representa la canti-dad con una letra. En el caso del cuadrado, se acostumbra representar la magnitud del lado con la letra å, de tal modo que, como con los números, lado por lado será lado al cuadrado, o lado más lado más lado más lado será cuatro veces el lado (fi gura 15).

De la misma manera se puede proceder al referirse a las áreas y perímetros de otras fi guras geométricas, como es el caso del rectángulo. Considera la siguiente si-tuación particular.

Si tuvieras un marco para una fotografía con forma rectangular, siendo la longitud de la base 12 cm y la de la altura 15 cm, ¿cómo se puede saber el perímetro del marco? (Sin usar fórmulas.)

Suponiendo que la base del marco midiera 28 cm y la altura 12 cm, ¿cómo se deter-mina el perímetro del marco? ¿Y si sus medidas fueran 35 cm y 23 cm?

Considera el área y el perímetro de los rectángulos de la fi gura 16.

Figura 15

å

å

Ár ea: å ¥ å = å2

(lado por lado igual a lado al cuadrado)

Perímetro: å + å + å + å = 4å (cuatro veces el lado)

3

2

Ár ea: 3 ¥ 2

Perímetro: 3 + 2 + 3 + 2 = 3 + 3 + 2 + 2

= (2 ¥ 3) + (2 ¥ 2)

= 2(3 + 2)

15

9

Ár ea: 15 ¥ 9

Perímetro: 15 + 9 + 15 + 9 = 15 + 15 + 9 + 9

= (2 ¥ 15) + (2 ¥ 9)

= 2(15 + 9)

Figura 16

51



Es claro lo que se debe hacer para calcular el área y el perímetro.Pero cuando se hace referencia a cualquier triángulo no es posible expresarse con

números particulares, por ello se recurre a letras. Cabe mencionar que frecuentemente se toma como base la longitud horizontal y

como altura la longitud vertical; pero eso es relativo, dado que el rectángulo puede tener otras posiciones y habrá que elegir cuál lado desempeña el papel de base y cuál el de altura.

Cuando se considera el caso general, tenemos lo que se ilustra en la fi gura 17.

Puedes formar sucesiones numéricas con las fórmulas de fi guras geométricas.Si tienes un rectángulo de lados 3 y 7, e incrementas cada lado en 3 unidades, puedes

obtener una sucesión numérica con la mitad de los perímetros (observa la fi gura 18).

3 + 7, 6 + 10, 9 + 13, …

Discute con tus compañeros cómo determinar la expresión general para los térmi-nos de esta sucesión.

También con las áreas de los rectángulos se puede generar una sucesión numérica:

21, 60, 117, …

Discute con tus compañeros cómo determinar la expresión general para los térmi-no de esta sucesión.

Ár ea: b ¥ h (base por altura)

Perímetro: b + h + b + h = b + b + h + h = 2b + 2h = 2(b + h) (dos veces la suma de la base y la altura)

b

h

Figura 17

7

3

3 + 3

7 + 3

3 + 3 + 3

7 + 3 + 3

Figura 18

52

BLOQUE 1


Desarrolla con tus compañeros las siguientes actividades, que se relacionan con va-

rios contenidos de geometría que trabajaste en la primaria.

Dadas las siguientes fi guras geométricas, estima sus áreas en cm2, sin hacer cálculos

con lápiz y papel; posteriormente, mide las longitudes necesarias para calcular sus

perímetros y áreas; fi nalmente compara las estimaciones que hiciste con los resulta-

dos de tus cálculos.

• En una hoja, describe qué medidas tomaste y la manera en que realizaste los cálcu-

los de áreas y perímetros. Intercámbiala con tus compañeros y analiza si realizaron

correctamente la actividad.

• Finalmente, asigna literales a las medidas necesarias para calcular áreas y períme-

tros y escribe expresiones que indiquen los cálculos necesarios para calcular áreas

y perímetros. Comprueba tus resultados con las medidas que tomaste.

1

EN

EL ATENEO

53



Utiliza las letras en las siguientes fi guras para escribir expresiones generales para cal-

cular perímetros y áreas de cada una de ellas.

• Comprueba la validez de las expresiones que escribiste. Mide cada una de las longi-

tudes implicadas y realiza los cálculos de los perímetros y las áreas empleando la

expresión a la que llegaste en cada caso. Compara tus resultados calculando dichas

áreas y perímetros de otras formas, haciendo las mediciones que requieras.

Un pentágono regular tiene 4 cm de lado. Si cada lado aumenta 3 unidades cada vez,

escribe los 10 primeros términos de la sucesión y la fórmula para encontrar cualquier

término.

Si un hexágono regular mide 7 cm de lado, ¿cuáles serán los primeros quince térmi-

nos de la sucesión numérica que se forma si el lado del hexagono se incrementa 5

unidades cada vez?

¿Cuál será la expresión para obtener cualquier término de esta sucesión?

Dadas las siguientes expresiones, dibuja fi guras para las cuales dichas expresiones

representen su área o su perímetro. Coloca en ellas cada letra de acuerdo a lo que

representen.

• a + b + c + d • r ¥ t

2 • W 2

• m + n + o • P ¥ Q • (g ¥ d )å

2

2

3

4

5

a

s

r t

v

u

b

zw

c

e

m

h

54

BLOQUE 1


1 Escribe la sucesión numérica de los múltiplos de 3 como una progresión aritmética.

2 Escribe la sucesión numérica de las potencias de 4 como una progresión geométrica.

3 Encuentra los diez primeros términos de la progre-sión aritmética que tiene como primer término al 5, y d = 4.

4 Encuentra los ocho primeros términos de la progre-sión geométrica que inicia en 7 y cuya razón es 3.

5 Determina los primeros diez términos de la suce-sión numérica obtenida sumando los números trian gulares y cuadrados. También encuentra una fórmu la para obtener cualquiera de sus términos.

6 Escribe con palabras la forma de calcular el períme-tro y el área de un triángulo, de un rectángulo y de un pen tágono.

7 ¿Hay alguna fi gura geométrica cuya área se calcule con una fórmula como la siguiente?

( g + j) f2Explica.

8 Encuentra el área de un paralelogramo que tiene la-dos que miden 45 cm y 98 cm.

9 Si un rectángulo tiene medidas 12 cm y 21 cm, ¿cuán-to medirá el área del rectángulo que tiene como me-didas el triple de las del primer rectángulo?

10 Encuentra la sucesión de números que se obtiene del perímetro de un hexágono regular con lados de 4 cm y que en cada paso se duplica la medida de su lado.

Demuestro lo que sé y hago

Puedes consultar algunas páginas de Internet para profundizar en lo que hemos estudiado en esta lección. Por ejemplo, en http://www.telefonica.net/

web2/lasmatematicasdemario/Aritmetica/Numeros/

Numpol.htm y http://www.fi sem.org/descargas/11/

Union_011_013.pdf , encontrarás información adicional sobre los números poligonales y las sucesiones numé-ricas asociadas a ellos.

También puedes consultar la página http://math2.org/math/geometry/es-areasvols.htm , en la que encontrarás fórmulas para calcular diversas magnitudes relacionadas con las fi guras geométricas.

Otras fuentes de información están contenidas en li-bros como

• Pedro M. González Pitágoras. El fi lósofo del número La matemática en sus personajes 9, Nivola, Madrid, 2001.

Ten en cuenta el comentario incluido en la descrip-ción de esta sección en la página 9.

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1Eduardo Mancera Martínez

Matemáticas 1

Mat

emát

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Matemáticas

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